第十一章 压杆的稳定性-修订版

§11.2 两端铰支细长压杆的临界压力 1.两端铰支细长压杆的临界压力 状态临界
P
M(x)=m=-Py
x y
M= EI
借用挠曲线近似微分方程
d y M(x) Py = =− 2 dx EI EI
令 则
2
l
m=Py
ρ
P k = EI
2
y
Pcr
y“ + k2 y = 0
通解为 y = Asinkx + Bcoskx
π EI
2
l2
2. 线形讨论
y=Asinkx
nπx y = Asin( ) l nπx 当 sin( ) =1 ymax = A 时 l
nπ k 将 = 代 入 l
n=1
P
nπ nπx cos( ) =0 令 '= 0 y' = A y l l nπx cos( ) =0 l nπx π 3π 5π 7π = , , , ⋯ l 2 2 2 2 l 3l 5l 7l x0 = , , , ⋯ 2n 2n 2n 2n
Pcr A 1 l l C D 2 l B
1 YA = (kδ2 + 2kδ1) 3
y
1 YB = (kδ1 + 2kδ2 ) 3
HB = P cr
Pcr
A YA
C kδ1 δ1
D kδ2 δ2
B HB YB
x
研 AC的 衡 究 平
y
∑mC = 0,
P δ1 = YAl cr
Pcr
A YA
y
C kδ1 C
一根角钢的惯性矩 A1＝28.9×10－4m2 — 一根角钢的面积
i= Iy A = 2I y1 2A 1 = I y1 A 1
y
d
y
= i1
查表
i = i1 = iy = 3.83cm
λ=
µl
i
= 62.7
查表 a=304, b=1.12
λ2 =
a −σs = 61.6 ≺ λ 为中柔度杆 b
x P z d
A
P
l 3l 5l 7l x0 = , , , ⋯ 2n 2n 2n 2n
在l 范围内
n=1
P
n=1 n=2 n=3
l x0 = 2
A
n=3
l 3l x0 = , 4 4
l 3l 5l x0 = , , 6 6 6
n=2
P
⋯ ⋯
在x0处
ymax=A
n为正弦半波个数
§11.3 其它支承条件下细长压杆的临界压力 1.两端固定细长压杆
σcr ≤σp
λ ≥ λ1
≈100
0
如A3钢 E=206GPa,σp=200MPa
λ1
λ
λ1 =
π 2 ×206×109
200×10
6
三 中、小柔度杆临界应力及适用范围 1 中柔度杆临界应力及适用范围 中柔度杆：发生弹塑性失稳的压杆。 直线公式（经验公式） σ
σcr = a −bλ
式中a、b为材料的有关实验常数。
D =1.78mm 4 2
λ=
µl
i
=197 ≻ λ 1
D
d1 D1
§11.5 压杆的稳定校核 一 稳定的许用应力和稳定条件 稳定的许用应力 稳定条件 或者
[σst ] =
σcr
nst
P n = cr ≥ nst P
σcr n= ≥ nst σ
P σ = ≤[σst ] A
式中 n －－工作稳定安全系数
4. 千斤顶
P
P
μ＝2
P
5. 工作台
μ＝1
6. 弹性支承 弹簧刚度：
P P P μ＝2 μ＝0.7
C＝0 μ＝2 C＝∞ μ＝0.7 C＝0－∞ μ＝2－0.7
欧拉公式适用范围• §11.4 欧拉公式适用范围•经验公式 一 细长压杆临界应力 P π 2EI σcr = cr = 细长压杆临界应力 A (µl)2 A 其中 A为未削弱的横截面面积。 把 i = I 代入上式
A
π 2E σcr = µl 2
( i )
令
λ=
µl
i
称为柔度或者长细比。
柔度集中反应了压杆的长度，约束条件，截面形状和尺寸等因素。 是压杆计算中的重要参量。 细长压杆临界应力计算公式也称为欧拉公式.为
π E σcr = 2 λ
2
二 欧拉公式的适用范围 π 2E 在λ－σ座标下，其图象为欧拉双曲线。 σcr = 2 λ π 2E σcr ≤ σ p 即 σcr = 2 ≤σ p λ σ 2 π E λ≥ σp π 2E σp 对应的柔度为 λ1 = σp σp 欧拉公式的适用范围 为
第11章 压杆的稳定性 11章
第11章 压杆的稳定性 11章
§11.1 压杆稳定的概念 一 细长压杆受压时的各种现象 1 稳定状态 2 不稳定状态 3 临界状态 临界力Pcr
P
P
P
P
二 细长压杆稳定的物理实质 一对对立因素 外力矩 m=Pe 内力矩 M = 主动因素 P
1
EI
P
P
使杆弯曲 使杆复直
λ1 λ
临界应力总图
已知：A3钢压杆，l =1m,A=80mm2,σs =240 MPa, E=210GPa,b=8mm,h=10mm. 求：Ps和Pcr，并比较 解：（1）用强度观点计算Ps Ps=σs A = 19.2kN （2）用稳定观点计算Pcr
Imin
i=
P
hb3 = = 4.27×10−10 m4 12
三 构件约束形式的简化 1. 柱形铰约束 xy平面简化两端铰支 μ＝1 xz平面简化两端固定 μ＝0.5 2. 焊接或铆接 μ＝1 3. 螺母和丝杆连接
l0 ≺1.5 d0
l0 ≻3 d0 1.5 ≤ l0 ≤3 d0
x
P
x
P
l1
l2
y
z
简化为固定铰 简化为固定端
d0
简化为非完全铰 μ＝0.7
l0
P = kl cr
1 P = kl cr 3
1 ∴P = kl cr 3
e
M= EI
ρ
m=Pe
ρ
被动因素 ρ e M 1 P＜Pcr 即 m ＜ M 稳定状态 2 P ＞ Pcr 即 m＞M 3 P = Pcr 即 m=M 不稳定状态 临界状态
P
P
Pcr
压杆的稳定与不稳定的实质是: 受扰微弯时出现的使杆弯曲的外力矩和要使杆复直的内力 矩何者处于优势的问题.优胜的一方决定压杆的状态. 矩何者处于优势的问题.优胜的一方决定压杆的状态.
例 带削弱截面的压杆 已知：两端铰支压杆，l =2.4m,由两根∟125×125×12 等边角钢组成,铆钉孔直径d =30mm,P=50kN,材料为A3钢， [σ]=160MPa,nst=2.5。 求：校核压杆是否安全？ 解：1 稳定校核 1
x P z
I y = 2I y1
I y1 —
A = 2 A1
2 D2 + d1 I 1 i1 = = = 3.05mm A 4 π 2E µl Pa σcr1 = 2 =157M λ= =115 ≻ λ 1 λ i1
（2）实心压杆的临界应力
πD2
4 =
2 π(D2 − d1 ) 1
l
4
D = D − d = 7.14mm
2 1 2 1
i=
π E = 53M Pa 2 λ (3) 比较 σcr1 ：σcr＝157：53＝2.96：1 结论: 空心杆抗失稳能力强 σcr =
σcr = a -bλ =234MPa
P = σcr A =1352.5kN cr
P 1352.5 cr n= = = 2.7 ≻ nst = 2.5 P 500
稳定 2 强度校核
y
A净＝2A1-2dx1.2 = 56.6cm2
y
P σ= = 98.8M Pa A 净
强度足够
P
图示三脚架,DC杆的横截面积为A,弹性模 量为E,BD杆为一刚性杆.试求此结构的临 界力. 解:BD杆倾角θ,D水平位移DD’.CD杆伸长 CD杆伸长:
x=0 时, y=0 y=Asinkx x=l 时, y=0 A≠0
B=0
P P
Asinkl =0
l
y
x y M = EI
ρ
n=1
sinkl =0 (n=0﹑1﹑2﹑3…) 与
P 2 k = EI
m=Py
A
kl = nπ
nπ k= l
Pcr
P
解出
n2π 2EI P= l2
n=1
临界压力
P = cr
l b
= 0.885kN
Imin = 2.31×10−3 m A
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μ=1
π 2EI
l
2
λ=
µl
i
= 433 ≻ λ1 P = cr
(3) 比较
Ps : Pcr = 19.2 : 0.885=21.7:1
结论: 压杆为低应力破坏
h
已知： A3钢压杆两端铰支，D1=10mm,d1=7mm,l=351mm,E=210GPa. 求：（1）压杆的临界应力； （2） 若采用面积相同的实心杆两者临界应力之比。 解：（1）空心压杆的临界应力 P
P = cr l
2
=
(0.7l)2
在0.7l上有一个正弦半波.
二 欧拉公式及长度系数 写成统一的形式
π 2EI P = cr (µl)2
为长度系数。与支承情况有关。
称为欧拉公式
1 式中：µ = nmin
μl 为相当长度
长度系数μ 长度 两端 系数 铰支 μ 1 两端 一端固定， 一端固定， 固定 另一端自由 另一端铰支 0.5 2 0.7
nst －－规定的稳定安全系数
注： 1 规定的稳定安全系数nst取得比强度 安全系数大，原因是： 安全系数大，原因是： （1）压杆的不可避免的影响因素。 （2）失稳的突然性，造成灾害的 严重性。 2 对有局部削弱的压杆 （1） 进行稳定计算不考虑削弱面。（整体） （2）对削弱面进行 进行强度计算。（局部）
σcr =σs
σcr = a - bλ
σs σp
σcr≤σs
即σcr = a - bλ≤σs
b
π 2E σcr = 2 λ
σs 对应的柔度为 λ2 = a −σs
中柔度杆临界应力公式的适用范围 σcr≤σs λ2≤λ≤λ1 2 小柔度杆临界应力及适用范围 P σcr = ≤ σS λ≤λ2 A 0 λ2
二 稳定校核步骤 1 计算
λ=
µl
i
确定最大柔度λmax 。
2 由λmax .确定压杆计算公式，求σcr或Pcr 。
3 稳定校核
σcr P n= = cr ≥ nst σ P
例3 约束不同不一定在最大刚度平面内失稳。 约束不同不一定在最大刚度平面内失稳。 已知：连杆材料为35钢,P=60kN,nst=4,l1=800mm,l2=770mm. b=20mm,h=45mm. P 求：校核连杆的稳定性。 x x 解： 1 计算柔度 0xy平面 μ=1 y
YA
δ1
=
YB
δ2
代 入
1 1 YA = (kδ2 + 2kδ1)和YB = (kδ1 + 2kδ2 ) 3 3
δ2 δ1 = δ1 δ2
δ =δ
2 1
2 2
δ1 = δ2或 1 = −δ2 δ
当 1 =δ2 =δ 时 δ , 1 P δ = (kδ + 2kδ )l = klδ cr 3 当 1 = −δ2 = δ 时 δ , 1 1 P δ = (−kδ + 2kδ )l = klδ cr 3 3
D α
l
B
C
∆l = (l cosα)θ ⋅ sin α
CD杆的轴力:
Pcr D D’ α
∆l N= EA =θEAcosα ⋅ sin α l ∑mB = 0, P (l cosα)θ − Nsin α(l cosα) = 0 cr
l θ
B C
P = EAsin α ⋅ cosα cr
2
已知:图示结构各杆均为刚性杆,弹簧1和弹簧2 的抗垃压刚度均为k. 求:结构的临界力Pcr. 解:由整体平衡得
nmin = 2
22π 2EI π 2EI P = = cr 2 l (0.5l)2
P
P
P
P
在0.5l上有一个 正弦半波.
l
2.一端固定,另一端 自由细长压杆
nmin = 0.5
0.52π 2EI π 2EI P = = cr 2 l (2l)2
在2l上有一个正弦半波.
3.一端固定,另一端铰支细长压杆 nmin =1.5 1.52π 2EI π 2EI
x
D δ1 kδ2 δ2
B HB YB
x
研究BD的平衡
∑m
D
= 0,
Pcr
A YA
HBδ2 = YBl
由 crδ2 = YBl与 P δ1 = YAl P cr
kδ1
y
D kδ2 δ2
解 : 出
YA
B HB YB
x
δ1
=
YB
δ2
1 代 入 YA = (kδ2 + 2kδ1) 3
1 YB = (kδ1 + 2kδ2 ) 3
2 计算临界应力 查表 35钢 λ1＝100 ，λ2＝60
x P x y z y h b l1 h b z z l2 P
λ1 < λy< λ2 为中柔度杆
查表 a=461MPa, b=2.568MPa
σcr= a –bλ= 290 MPa
3 稳定校核 y 压杆工作应力 P σ = = 66.7MPa A σcr 290 n= = = 4.35 ≻ nst = 4 σ 66.7 压杆稳定
Iz bh h iz = = = =12.99mm A 12bh 2 3
3
P
z y h y b l1 h b z z l2
λz =
µl1
iz
= 61.6
0xz平面 μ=0.5
iy = Iy
hb3 b = = = 5.77mm A 12bh 2 3
λy =
µl2
iy
= 66.7
λmax = λy = 66.7