信号与系统第三章

a0 ∞ fT ( t ) = + ∑ 2 n=1
Fne jnΩt + F− ne − jnΩt ) (
jnΩt
=
n =−∞
∑
∞
Fn e
F0
a0 2
an + jbn = 2 ∗ = Fn
第
指数形式的傅立叶级数(2) 指数形式的傅立叶级数(2)
1. 傅里叶系数
a − jbn 1 Fn = n = 2 T T
ε =0
2
∫
t2 t1
f (t ) d t = ∑ C 2 K j j
2 j =1
∞
(Parseval 公式 公式)
第
§3.2
周期信号的频谱分析
-----傅里叶级数 傅里叶级数
5 页
一、三角形式的傅立叶级数 二、周期信号的频谱 三、指数形式的傅立叶级数 周期信号的功率——Parseval等式 Parseval等式 四、周期信号的功率 Parseval 五、函数对称性与频谱特性
bn ϕn = −arctg an an = An cos (ϕn ) , bn = − An sin (ϕn )
A0 a0 = 2 2
An = an 2 + bn 2
第
二、周期信号的频谱
概念：周期信号中各次谐波分量的幅度、初相位随频率的变化关系。 概念：周期信号中各次谐波分量的幅度、初相位随频率的变化关系。 An~ω：幅度谱； ：幅度谱； 例1： ：
在正交函数集 满足： 满足：
1
之外， {ϕ ( t ) ,ϕ ( t ) ,L,ϕ ( t )} 之外，不存在 ϕ ( t ) ≠ 0
2 n
∫
t2 t1
ϕ ( t )ϕ i ( t ) d t = 0
( i =1，2，…，n) ， ， ，
第
4. 典型的完备正交函数集
三角函数集： 三角函数集： {1,cos ( nΩt ) ,sin ( nΩt ) , n = 1,2,L} 虚指数函数集： 虚指数函数集： e jnΩt , n = 0, ±1, ±2,L 正交区间： 正交区间： 积分关系： 积分关系：
F− n = Fn∗
F n 是ω的偶函数，ϕn是ω的奇函数
|Fn|~ω:双边幅度谱；ϕn~ω：双边相位谱。 双边幅度谱； 双边幅度谱 ：双边相位谱。 注意：负频率没有实际意义。 注意：负频率没有实际意义。相应的正负频率成分合并才 成为实际信号成分。 成为实际信号成分。
第
单边谱和双边谱的对应关系
| | 双边谱
ω
f (t )
− jω t
1 = 2π
n =−∞
∑ T ⋅F
∞
∞
n
e
jnΩ t
2π T
=∫
∞
−∞
f ( t )e
1 = 2π
∫
−∞
F ( jω )e jω t dω
傅立叶 逆变换
dt
傅立叶 变换
= F ( jω )
第
傅立叶变换对
dt Φ [f(t)]= F ( jω ) = ∫−∞ f ( t )e dt = −∞ f ( t )e 傅立叶逆变换： 傅立叶逆变换： +∞ 1 +∞ jωt -1 [F(ω)]= f ( t ) = F ( jω ) e d ω = ∫ F ( jf ) e j 2π ft df Φ −∞ 2π ∫−∞
第
§3.1 信号的正交函数分解
一、正交函数集
1.正交函数： 1.正交函数： 正交函数 则： 2. 正交函数集： 正交函数集：
若函数集 在(t1，t2)内，有 内
2 页
∫
t2 t1
ϕ1 (t )ϕ 2∗ (t ) d t = 0
上的正交函数 ϕ1 ( t )、ϕ2 ( t ) 为(t1，t2)上的正交函数
T 2 T − 2
n =−∞
14 页
f(t) 0 … T t
τ
2
f (t ) =
∑Fe
n
+∞
jnΩt
nΩτ jnΩt τ +∞ 2τ nΩτ = ∑ Sa( = + ∑ Sa ( )e ) cos ( nΩt ) 2 T n =1 T 2 n =−∞ T
+∞
τ
取T = 4τ
Ω= 2π 1 2π = T 4 τ
1 2π π f (t ) = 1 − cos t − 2 3 4 1 2π π =1 + cos t − 2 3 4
直流分量
7 页
ϕn~ω：相位谱 ：
π 1 π + sin t − 6 4 3 π π 1 π + π + cos t − − 6 2 4 3
2
4 页
f ( t ) ≈ C1ϕ1 + C2ϕ2 + L + Cnϕn
n t2 1 均方误差 ε = [ f (t ) − ∑ C jϕ j (t )]2 d t → 极小值 t2 − t1 ∫ t1 j =1
∂ε 2 ∂ = ∂Ci ∂C i
Ci
∫
t2 t1
[ f (t ) − ∑ C j ϕ j (t )]2 d t =0
11 页
第
四、周期信号的功率
——Parseval等式 等式
12 页
1 T 2 P = ∫ f (t ) dt T 0
∞ 1 T a0 ∞ = ∫ + ∑ an cos(nΩt ) + ∑ bn sin(nΩt ) dt T 0 2 n =1 n =1
2
a0 2 ∞ 1 2 A0 2 1 ∞ 2 2 = ( ) + ∑ ( an + bn ) =( ) + ∑ An 2 2 2 n =1 n =1 2
第
§3.3非周期信号的频谱分析 3.3非周期信号的频谱分析
----傅里叶变换 ----傅里叶变换
一、从傅立叶级数到傅立叶变换 二、傅立叶变换的物理解释 三、典型非周期信号的频谱
16 页
第
一、从傅立叶级数到傅立叶变换
思路
17 页
T →∞
nΩ → ω Ω → dω
Fn → 0
f (t ) = lim fT (t )
第
第三章 连续系统的频域分析
§3.1 信号的正交函数分解 § 3.2 周期信号的频谱分析 § 3.3 非周期信号的频谱分析
连续信号 频谱分析
1 页
§ 3.4 奇异信号的 奇异信号的Fourier 变换 § 3.5 傅里叶变换的性质 § 3.6 周期信号的傅里叶变换 § 3.7 抽样信号的傅里叶变换 § 3.8 LTI系统的频域分析 系统的频域分析
( an cos(nΩt ) + bn sin(nΩt ) )
幅度 初相位
A0 ∞ = + ∑ An cos(nΩt + ϕ n ) 2 n =1
直流分量 n次谐波 n=1： n=1：基波 =2π/T:基频 Ω=2π/T:基频
2 T an = ∫ 2T f (t ) cos( nΩt ) d t T −2 2 T bn = ∫ 2T f (t ) sin( nΩt ) d t T −2
第
五、函数对称性与频谱特性
信号 f(t)
偶函数 f(-t) = f(t) 奇函数 f(-t) = - f(t) 奇谐函数 f(t±T/2) = -f(t) ±
13 页
信号特点
纵轴对称 纵轴反对称 半周期镜象
谱结构
只含余弦分量, 只含余弦分量 bn= 0 只含正弦分量, 只含正弦分量 an= 0 只含奇次谐波， 只含奇次谐波，n=1,3,5…
0, n ≠ m sin ( n Ω t ) sin ( m Ω t )dt = T 2 ,n = m
∫
e
jn Ω t
e
− jm Ω t
0, n ≠ m dt = T , n = m
第
二、信号的正交分解
设{ϕ1 ( t ) ,ϕ2 ( t ) ,L,ϕn ( t )}在 ( t1 , t2 ) 上正交，
3 页
( t0 , t0 + T ) (T = 2π Ω )
∫
t0 +T
{
}
∫
∫
t0
t0 +T
t0
cos ( nΩt ) sin ( mΩt )dt = 0
t0
0, n ≠ m cos ( nΩt ) cos ( mΩt )dt = T 2 ,n = m
t0 + T t0
t0 + T
− 2π
1 4
Fn
0
2π
4π
ω
τ
τ
τ
第
频谱特点
(a) 离散谱，ω 离散谱，
15 页
= nΩ
ωτ Sa 2
− 2π
τ 1 Fn
T4
0
2π
4π
ω
(b) 谱线包络呈
2π
τ
τ
τ
形式， 形式，
主零点： 主零点：τ ，占据90%以上能量； 占据90%以上能量； 90%以上能量 带宽： 带宽： Bω = 2π , B f = 1 τ τ (c) T一定，τ ↓ ，谱线间隔Ω不变。两零点之间的谱线数目增多。 一定， 谱线间隔Ω不变。两零点之间的谱线数目增多。 一定 (d) τ一定，T↑，间隔Ω ↓ ，频谱变密，幅度减小。 一定， ↑ 间隔Ω 频谱变密，幅度减小。
1 P= T
∫
T
0
∞ 1 T ∞ jnΩt f (t ) dt = ∫ ∑ Fn e ∑ Fn e jnΩt dt T 0 n =−∞ n =−∞
2
*
=
n =−∞
| Fn |2 ∑
∞
周期信号的平均功率等于直流、 周期信号的平均功率等于直流、基波及各次谐波分量有 频域能量守恒。 效值的平方和 — 时、频域能量守恒。
根据信号的时域对称性，可以确定谱的基本组成， 根据信号的时域对称性，可以确定谱的基本组成，减 少计算工作量。 少计算工作量。 f(t) ±A（常量）产生对称性。 （常量）产生对称性。
第
例：周期矩形脉冲信号的频谱
1 Fn = T 1 τ2 − jnΩt 1 f (t ) e − jnΩt d t = ∫ τ e dt ∫ T −2 nΩτ τ -T − sin( ) 2 2 2 = τ Sa ( nΩτ ) = n = 0 ,±1，±2，… ± ， ， 2 T nΩ T
第
一、三角形式的傅立叶级数 三角形式的傅立叶级数
{1,cos ( nΩt ) ,sin ( nΩt ) , n = 1,2,L}是 ( t , t
0 0

6 页
+ T ) 上的完备正交函数
狄义赫利条件
可分解为： 周期信号 fT ( t ) 可分解为：
Ω = 2π
T
a0 ∞ fT (t ) = + ∑ 2 n =1
T →∞
第
推导过程
1 TFnFn = ∫ ffTT((t )ee − jnΩdt d t ⋅ = t ) − jnΩ t t T
18 页
∫
T T 2 2 T T 2 2
fT (t ) =
n =−∞
∑
∞
Fn e jnΩt
T→∞
2π Ω= T
dω
nΩ
Fn lim T ⋅ Fn = lim T →∞ T →∞ f 1
9 页
∫
1 2 Fn = ∫ T f ( t )e − jnΩt dt T −2
T 2 T − 2
f (t ) [ cos(nΩt ) − j sin(nΩt )] dt
= Fn e
jϕn
n ∈ ( −∞, +∞ )
2. 关系
A0 a0 2 F0 = = ， Fn = An / 2 = an + bn2 / 2 2 2
次谐波 π/3 π/2 π/4 π/3
T = 24 =π/12
3 =π/4
三次谐波
4 =π/3四
An 幅 度 谱
1 1/2 π/12 1/4 π/4 π/3
φn
相 位 谱
ω
ω
-2π/3
第
三、指数形式的傅立叶级数
欧拉 公式
8 页
a0 ∞ fT (t ) = + ∑ 2 n =1
( an cos(nΩt ) + bn sin(nΩt ) )
∫
t2 t1
i≠ j 0, ϕi (t )ϕ j (t ) d t = Ki ≠ 0, i = j
*
{ϕ ( t ) ,ϕ ( t ) ,L,ϕ ( t )}
1 2 n
满足： 在(t1，t2)满足： 满足
则称为 (t1，t2)上的正交函数集 上的正交函数集
完备正交函数集： 3. 完备正交函数集：
10 页
单边谱
第
连续周期信号的频谱的特点
1. 离散性：频谱分布在离散的频率点上； 离散性：频谱分布在离散的频率点上； 2. 谐波性：谱线位置是基频 的整数倍； 谐波性： 的整数倍； 3. 收敛性：信号能量主要集中在部分低频分量 收敛性： 上， n→∞, An→0。 。 4. 非周期。 非周期。 5. 对称性：幅度谱偶对称，相位谱奇对称； 对称性：幅度谱偶对称，相位谱奇对称；
Ω = 2π
T
e jnΩt + e − jnΩt e jnΩt − e− jnΩt + bn an 2 2j an − jbn jnΩt an + jbn − jnΩt e + e 2 2 an − jbn a− n − jb− n F 令： n = F ( nΩ ) = 那么： 那么：F− n = F ( − nΩ ) = 2 2 a0 ∞ = +∑ 2 n=1 a0 ∞ = +∑ 2 n=1
j =1
n
∫ =
t2 t1
f (t )ϕi (t ) d t
t2 t1
∫
ϕ (t ) d t
2 i
1 = Ki
∫
t2 t1
f (t )ϕi (t ) d t
若{ϕ1 ( t ) ,ϕ 2 ( t ) ,L,ϕn ( t )， }为完备正交函数集 L
f ( t ) = ∑ C jϕ j
j =1
∞
此时有：