【数学】河北省衡水中学高三下学期大联考卷Ⅱ试题(理)(扫描版)(解析版)
河北省衡水中学高三下学期二调考试数学(理)试题2
河北省衡水中学2021 -2021学年度下学期高三年级二调考试理科试卷第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.集合{}1,3,4,5A =，集合{}2|450B x Z x x =∈--<，那么AB 的子集个数为〔 〕A ．2B ．4C ．8D ．162.如，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的间隔 都相等，假设复数z 所对应的点为1Z ，那么复数z i ⋅〔i 是虚数单位〕的共轭复数所对应的点为〔 〕 A ．1Z B ．2Z C ．3Z D ．4Z3.以下四个函数中，在0x =处获得极值的函数是〔 〕 ①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2x y =A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③5.执行如下的程序框，输出的结果是〔 〕 A ．5 B ．6 C ．7 D ．86.两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-，那么它们的第7项之比为〔 〕A ．2B ．3C ．4513D ．70277.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()21000，σσ>，假设ξ在〔80,120〕内的概率为0.8，那么落在〔0,80〕内的概率为〔 〕A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．8.函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的局部象如下，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为〔 〕A ．0B ．32C ．62D ．2-9.假设()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，那么127a a a ++⋅⋅⋅+的值是〔 〕 A ．-2 B ．-3 C ．125 D ．-13110.圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1x y C a b+=〔0a b >>，焦距为2c 〕，假设圆12,C C 都在椭圆内，那么椭圆离心率的范围是〔 〕 A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．102，⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．202，⎛⎤⎥ ⎝⎦11.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的象关于〔1,0〕成中心对称，假设,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，那么当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是〔 〕 A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 12.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的间隔 为3，此时四面体ABCD 外接球外表积为〔 〕A ．7πB ．19πC ．776π D ．19196π 第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13.一个几何体的三视如下，该几何体体积为 .14.向量AB 与AC 的夹角为60°，且||||2AB AC ==，假设AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，那么实数λ的值为 .15.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，假设抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的弦长是2223be 〔e 为双曲线的离心率〕，那么e 的值为 .16.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= . 三、解答题 〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17.(本小题总分值12分)在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，7,3,7sin sin 23a b B A ==+=.(1)求角A 的大小； (2)求ABC ∆的面积. 18. (本小题总分值12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量〔单位：台〕，并根据这10个卖场的销售情况，得到如下的茎叶.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场〞.(1)当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场〞数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场〞数量为n ，比拟m ，n 的大小关系；(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场〞的个数，求X 的分布列和数学期望；(3)假设1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶推断b 为何值时，2s 到达最小值.(只需写出结论)19. (本小题总分值12分)如1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥，如2. (1)求证：1A E ⊥平面BCDE ； (2)求二面角1E A B C --的余弦值；(3)判断 段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？假设存在，求出EPPB的值；假设不存在，说明理由.20. (本小题总分值12分)如，椭圆：2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,E F 两点. (1)假设6ED DF =，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.21. (本小题总分值12分)设函数()()22ln f x x a x a x =---. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)假设函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； (3)假设方程()()f x c c R =∈有两个不相等的实数根12,x x ，比拟12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分.22. (本小题总分值10分)选修4-1：几何证明选讲如，直线PQ 与⊙O 相切于点,A AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点.(1)求证：22QC BC QC QA ⋅=-； (2)假设6,5AQ AC ==，求弦AB 的长.23. (本小题总分值10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕，在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为25sin ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)假设点P 坐标()3,5，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求|||PB |PA +的值. 24. (本小题总分值10分)选修4-5：不等式选讲(1)函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； (2)假设222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求225m x y z =++的最大值.参考答案及解析一、选择题1. C2.B3.D4.D5.B6.B7.B8.A9.C 10.B 11.D 12.A 二、填空题13. 433 14.1 15. 6216. 2015413-三、解答题17.解：(1)在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B =，得73sin sin A B=，即7sin 3sin B A =.(3分) 又因为7sin sin 23B A +=，所以3sin 2A =. (5分)当1c =时，因为2227cos 0214a c b B ac +-==-<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去.当2c =时，因为2227cos 0214a cb B ac +-==>，又,,b c b a B C B A >>⇒>>，所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11333sin 322222S bc A ==⨯⨯⨯=. (12分) 18.解：(1)根据茎叶，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=.(1分)乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=.(2分) 由茎叶，知甲型号电视剧的“星级卖场〞的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场〞的个数5n =，所以m n =. (4分)(2)由题意，知X 的所有可能取值为0,1,2. (5分)且()025*******C C P X C ===，()()11025555221010521299，C C C C P X P X C C ======，〔8分〕 所以X 的分布列为X 0 1 2P所以()2520121999+=E X =⨯+⨯⨯. 〔10分〕 〔3〕当0b =时，2s 到达最小值. (12分)：〔1〕∵DE BE ⊥，//BE DC ，∴DE DC ⊥，又∵1A D DC ⊥，1A D DE D =，∴DC ⊥平面1A DE .∴1DC A E ⊥，又∵1A E DE ⊥，DCDE D =，∴1A E ⊥平面BCDE ；(4分)〔2〕∵1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，∴以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴，y 轴和z 轴，如建立空间直角坐标系，易知23DE =，那么1(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(4,23,0)C ，(0,23,0)D ，∴1(2,0,2)BA =-，(2,23,0)BC =，平面1A BE 的一个法向量(0,1,0)n =，设平面1A BC 的法向量(,,)m x y z =，由10BA m ⋅=，0BC m ⋅=，得2202230x z x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得(3,1,3)m =--，∴7cos ,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由，得二面角1E A B C --为钝二面角，∴二面角1E A B C --的余弦值为77-； 〔8分〕 〔3〕假设 段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1ABC ，设(,0,0)(02)P t t ≤≤，那么1(,0,2)A P t =-，1(0,23,2)A D =-，设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =，由10A D p ⋅=，10A P p ⋅=，得1111232020y z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得(2,,)3t p t =，∵平面1A DP ⊥平面1A BC ，∴0m p ⋅=，即23303tt -+=，解得3t =-， ∵02t ≤≤，∴ 段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1ABC ．(12分 ) 29592920.解：(1)依题设得椭圆的顶点()()2,0,0,1A B ，那么直线AB 的方程为220x y +-=.(1分) 设直线EF 的方程为()0y kx k =>.设()()()001122,,,,，D x kx E x kx F x kx ，其中12x x <.联立直线l 与椭圆的方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得方程()22144k x +=.(3分)故212214x x k=-=+，由6ED DF =知，()02206x x x x -=-，得()021221510677714x x x x k=+==+，由点D 段AB 上，知00220x kx +-=，得0212+x k =，所以221012714=++k k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =.〔6分〕 (2)根据点到直线的间隔 公式，知点,A B 到线段EF 的间隔 分别为122221,1414k h h kk==++，又2241||14k EF k +=+，所以四边形AEBF 的面积为()()212222121144||221414k k kS EF h h k k+++=+==++ 2442121221144k+kk k==+≤++，当且仅当14k k =，即12k =时，取等号.所以四边形AEBF 面积的最大值为22.(12分)：(1) ()()()22221'220-（）（)(）a x a x a x a x f x x a x x x x---+=---==>．当0a ≤时 ()'0f x >函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 所以函数()f x 的单调增区间为()0,+∞，无单调减区间．当0a >时，由()'0f x >，得2a x >；由()'0f x <，得02a x <<. 所以函数()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.〔4分〕(2)由(1)得，假设函数()f x 有两个零点，那么0a >，且()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，即244ln02a a a a -+-<.因为0a >，所以4ln 402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=. 当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <.所以满足条件的最小正整数3a =. 又当3a =时，()()()332ln30,10f f =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.(3)证明：因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由(1)知0a >.不妨设120x x <<，那么()()22111222-2ln ,-2ln ,x a x a x c x a x a x c --=--= 两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．所以221122112222ln ln ＋－－＋－－x x x x a x x x x =.因为'02a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，故只要证122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋> 2a即可，即证明22112211221222ln ln ＋－－＋－－x x x x x x x x x x +>， 即证明()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，即证明11221222ln－＋x x x x x x <.设t ＝()1201xt t x =<<．令()22ln 1－＋t g t t t =-，那么()()()222114'11（）t g t t t t t -=-=++.因为0t >，所以()'0g t ≥，当且仅当1t =时，()'0g t =，所以()g t 在()0,+∞上是增函数． 又()10g =，所以当()()0,1,0t g t ∈<总成立．所以原题得证．〔12分〕22. 解：(1)∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴由切割线定理得()2QA QB QC QC BC QC =⋅=-⋅，∴22QC BC QC QA ⋅=-.(5分)(2)∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴PAC CBA ∠=∠,∵,PAC BAC BAC CBA ∠=∠∴∠=∠,∴5AC BC ==.由6AQ =及(1)知，9QC =.由QAB QCA ∠=∠，知QAB QCA ∆=∆，∴AB QACA QC =，∴103AB =.(10分) 23. 解：(1)由232252x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得直线l 的普通方程为350x y ---=.(2分)又由25sin ρθ=得圆C 的直角坐标方程为22250x y y +-=，即()2255x y +-=.(5分) 〔2〕把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223522t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23240t t -+=，由于()2324420∆=-⨯->，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以1212324t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，又直线l 的过点()3,5，,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，所以12|||PB||||t |32PA t +=+=.(10分)24.解：(1) ()22,3134,3122,1x xf x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.(4分)那么当[]3,1x ∈-时，()f x 为常函数.(5分) 〔2〕由柯西不等式得()()()()()2222222x 225225y z x y z ⎡⎤++++≥++⎢⎥⎣⎦，所以32253x y z -≤++≤，当且仅当222x y z ==，即225,,333x y z ===时，取最大值，因此m 的最大值为3.〔10分〕。
衡水中学2020届高三数学下学期第二次调研试题理含解析
A. B. C。 D.
【答案】B
【解析】
试题分析： 为将复数 所对应的点逆时针旋转 得 ,选B.
考点：复数几何意义
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题。首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 。 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、共轭为
11。定义在 上的函数 对任意 都有 ,且函数 的图象关于 成中心对称，若 满足不等式 ，则当 时, 的取值范围是（ ）
A。 B。 C。 D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由已知条件知函数 为奇函数且在 上为减函数，由 有 ，所以 ， ,若以 为横坐标, 为纵坐标,建立平面直角坐标系，如图所示,阴影部分为不等式 表示的平面区域,即 及其内部， ,令 ,则 ,求出 ，所以 ，解得 ，∴ 的取值范围是 ,选D.
A。 2B。3C。 D.
【答案】B
【解析】
试题分析：设这两个数列的前 项和分别为 ，则 ，故选B．
考点：1、等差数列的前 项和;2、等差数列的性质．
7.在某次数学测试中，学生成绩 服从正态分布 ，若 在 内的概率为 ，则 在 内的概率为（ ）
A. 0.05B.0。1C。 0.15D。 0.2
【答案】B
因为 为锐角三角形，所以 .
（2）在 中,由余弦定理 ，得 ，即 .解得 或 .
当 时，因为 ，所以角 为钝角，不符合题意，舍去.当 时，因为 ，又 ，所以 为锐角三角形，符合题意。所以 面积 .
考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．
河北省衡水中学2019届高三下学期大联考卷Ⅱ数学(理)试题答案
D;当x>0
时
,f(x)=2x
x3 +2-x
>
sin2θ,所 以
P S = 正 方 形EFGH S正 方 形ABCD
=1-sin2θ.故 选
C.
0,排
除
B;由
f
(4)=
24
43 +2-4
26 > 2×24
=2,f (8)=
83 28 +2-8
29 <28
=2,得 f(4)>f(8),排 除
C.故
选
A.
12 6+12=
2 3
,所
以
p=4.故
选
C.
7.D
【解
析】
由题意得A→O=
1 3
(A→B+A→C)=
1 3
(-2B→A +
连接 MC,显然 NC⊥MC.令 正 方 体 的 棱 长 为 2,PM = x,x∈[0,2],则 MC= x2+1,又CN=1,所以tanθ=
x2+1,所以tanθ∈[1,5].故选 B.
当n≥2
时
,an
2019 年 全 国 高 三 统 一 联 合 考 试
·理科数学·
参考答案及解析
2019 年 全 国 高 三 统 一 联 合 考 试 · 理 科 数 学
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【精编精校卷】2021届河北省衡水中学全国高三下学期第二次联合考试(II卷)数学(理)试题(解析版)
2021届河北省衡水中学全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{0,1,2,3,4,5},{2,4,5},{0,2,4}U A B ===，则()UA B =（ ）A ．{5}B ．{2,4}C ．{0,2,5}D ．{0,2,4,5}【答案】A【分析】利用集合的交、补运算即可求解.【详解】由题意得{1,3,5}U B =，所以(){5}U A B ⋂=． 故选：A2．已知sin 0,cos 0αα><，则（ ） A ．sin20α> B ．cos20α<C ．tan02α> D ．sin02α<【答案】C【分析】由条件得到角α所在的象限，从而得到2α所在的象限，这样就可以得到答案. 【详解】由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2α为第一或第三象限角，所以tan 02α>．故选：C.3．已知复数(1)()z a a i a =+-∈R ，则||z 的最小值为（ ）A ．12 B C D ．1【答案】B【分析】转化为求二次函数的最值即可【详解】因为(1)z a a i =+-，所以12||22z ==，所以||z 故选：B4．直线21y x =-被过点(0,1)和(2,1) ）A B C D 或21455【答案】B【分析】先根据题意求出圆的方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后由弦、弦心距和半径的关系可求得答案 【详解】解：设圆心为(,)a b ，则由题意可得 2222(0)(1)(2)(1)5a b a b -+-=-+-=，解得11a b =⎧⎨=-⎩或13a b ==⎧⎨⎩，所以圆心为(1,1)-或(1,3)所以圆方程为22(1)(1)5x y -++=或22(1)(3)5x y -+-=， 则圆心到直线21y x =-的距离为22|211|2552(1)d +-==+-或22|231|2552(1)d --==+-，则弦长222521052(5)55⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭． 故选：B5．已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（ ）A 5B 5C 10D ．12【答案】C【分析】首先根据三视图还原几何体，且同时还原几何体的棱长；找出最长的侧棱，并找出最长的侧棱与底面所成的角.【详解】设该四棱锥为P ABCD -，则由题意可知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，平面PDC ⊥平面ABCD ，且3,4,2PC PD AB AD ====，如图，过点P 作PE CD ⊥交CD 于点E ，则PE ⊥平面ABCD ，连接AE ，可知PAE ∠为直线PA 与平面ABCD 所成的角， 则225PE PD DE =-=，2222AE AD DE =+=， 所以510tan 422PE PAE AE ∠===．故选：C.6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点(c,0)F 3，且点3)在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）A ．22193x y -=B ．221123y x -=C ．221312x y -=D ．22139x y -=【答案】D【分析】求出双曲线的渐近线，利用点到直线的距离公式可得2234b c =，再由222c a b =+，解得223b a =，将点3)代入双曲线方程即可求解.【详解】双曲线22221x y a b -=的焦点(c,0)F 到渐近线0bx ay ±=的距离为223a b =+， 解得3b =，所以2234b c =．又222c a b =+，所以223b a =． 因为点3)在双曲线上，所以22431a b-=，所以223,9a b ==， 所以双曲线的方程为22139x y -=． 故选：D7．异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“∧”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0．如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即321032101012021202,912020212=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯），那么109101010010011∧=∧=，现有运算1211000001m n ∧=∧=，则m 的值为（ ）A ．7B ．9C ．11D ．13【答案】D【分析】根据异或运算和十进制与二进制的转化求解. 【详解】因为1211000001m n ∧=∧=， 所以1101n =，所以32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=， 即13m =， 故选：D ．8．已知奇函数()f x 的定义域为R ，且满足(2)(2)f x f x +=-，以下关于函数()f x 的说法：①()f x 满足(8)()0f x f x -+= ②8为()f x 的一个周期 ③()sin4xf x π=是满足条件的一个函数 ④()f x 有无数个零点其中正确说法的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】利用的周期性定义以及函数为奇函数可得(8)(4)()f x f x f x +=-+=，可判断①、②；由正弦函数的性质可判断③；根据(0)0f =且函数为奇函数可判断④. 【详解】因为(2)(2)f x f x +=-，所以(4)()f x f x +=-． 因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(4)()f x f x +=-， 所以(8)(4)()f x f x f x +=-+=，所以8为()f x 的一个周期，故②正确；由(8)()f x f x +=可得(8)()()f x f x f x -=-=-，所以(8)()0f x f x -+=，故①正确；()sin4xf x π=为奇函数满足()()0f x f x +-=，且一条对称轴为直线2x =，故③正确；由()f x 为奇函数且定义域为R 知，(0)0f =，又()f x 为周期函数， 所以()f x 有无数个零点，故④正确． 故选：D9．已知三棱锥P ABC -的高为1，底面ABC 为等边三角形，PA PB PC ==，且P ，A ，B ，C 都在体积为323π的球O 的表面上，则该三棱锥的底面ABC 的边长为（ ）A B C ．3 D ．【答案】C【分析】利用球的体积公式求出球的半径，画出图形，设点1O 为ABC 的外心，则1OO ⊥平面ABC ．求解13AO =．通过求解三角形推出AB 即可． 【详解】设球O 的半径为R ，由球的体积为323π可得，343233R ππ=，解得2R =．因为三棱锥P ABC -的高h 为1，所以球心O 在三棱锥外． 如图，设点1O 为ABC 的外心，则1OO ⊥平面ABC ．在Rt △1AO O 中，由22211AO OA OO =-，且11OO R h =-=，得13AO =．因为ABC 为等边三角形，所以123sin 6033AO AB AB =⋅︒=， 所以133AB AO ==． 故选：C ．10．甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n 次由甲掷的概率为n P ，则10P 的值为（ ）A ．5111024B ．12C ．5131024D ．257512【答案】A【分析】抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5的概率为14，第n 次由甲掷有两种情况：一是第1n -次由甲掷，第n 次由甲掷，概率为114n P -；二是第1n -次由乙掷，第n 次由甲掷，概率为()1314n P --，由已知得11324n n P P -=-+，可得到数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12-为公比的等比数列，由此可得解.【详解】抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为41164=， 第n 次由甲掷有两种情况：一是第1n -次由甲掷，第n 次由甲掷，概率为114n P -；二是第1n -次由乙掷，第n 次由甲掷，概率为()1314n P --． 这两种情况是互斥的，所以()1113144n n n P P P --=+-，即11324n n P P -=-+，所以1111222n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以11122P -=为首项，12-为公比的等比数列，所以1111222n n P -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以9101115112221024P ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭． 故选：A【点睛】方法点睛：本题考查概率的求法，互斥事件概率加法公式，等比数列的性质，在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠），可以利用构造法求数列的通项公式：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；11．若()P n 表示正整数n 的个位数字，()2(2)n a P n P n =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =（ ） A ．1- B ．0 C ．1009 D ．1011【答案】C【分析】根据题意可判断数列{}n a 为周期数列，且周期为10，即可求解.【详解】由题意得11a =-，20a =，33a =，42a =-，55a =，64a =，75a =，82a =-，97a =-，100a =，111a =-，120a =……所以数列{}n a 为周期数列，且周期为10． 因为105S =，所以20215202(1)1009S =⨯+-=． 故选：C.12．已知函数()()3()ln ||,(ln3),(ln3),3,x e f x e x a f b f c f d f e ==-===，则a ，b ，c ，d 的大小顺序为（ ） A ．a b c d >>> B ．d c b a >>> C ．c d b a >>> D ．c d a b >>>【答案】B【分析】对,a b 化简变形得ln(ln 3),3ln(ln 3)3a b ==，从而可得a b <，而函数()ln ||x f x e x =在区间(0,)+∞上单调递增，所以b ，c ，d 中b 最小，然后构造函数()ln g x x e x =-，利用导数判断其在区间[),e +∞上单调递增，从而可得(3)3ln3()0g e g e =->=，3ln3e >，于是可比较出c ，d 的大小【详解】因为ln3ln3ln(ln3)(ln3)ln(ln3),(ln3)ln(ln3)3ln(ln3)3a f eb f e -=-=====，所以a b <．因为函数()ln ||x f x e x =在区间(0,)+∞上单调递增，且1ln32<<，332,2e e >>，所以b ，c ，d 中b 最小．构造函数()ln g x x e x =-，则()x eg x x-'=， 当x e 时，()0g x '，所以()g x 在区间[),e +∞上单调递增， 所以(3)3ln3()0g e g e =->=，所以3ln3e >． 所以33e e >，所以d c >，所以d c b a >>>． 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查函数值大小的比较，解题的关键是构造函数()ln g x x e x =-，利用导数判断其在区间[),e +∞上单调递增，从而可比较出c ，d 的大小，考查计算能力，属于较难题二、填空题13．若向量a ，b 满足()()cos ,sin ,2a b θθθ=∈=R ，则2a b -的取值范围为_________． 【答案】[0,4]【分析】依题意可知1a =，又2b =，设a 与b 的夹角为α，则()2288cos a bα-=-．由[0,]απ∈可得结果.【详解】依题意可知1a =，又2b =，设a 与b 的夹角为α， 则()22224488cos a ba b a b α-=+-⋅=-．因为[0,]απ∈，所以088cos 16α-，所以024a b -．故答案为：[]0,4.14．在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到．若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为___________． 【答案】48【分析】结合已知条件，对可能出现的情况进行讨论，然后运用排列的知识进行求解. 【详解】按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有1222A A 种，乙第三个到达有112222A A A 种，乙第四个到达有2232A A 种，乙最后到达有44A 种，所以不同的情况种数为121122242222232448A A A A A A A A +++=．故答案为：4815．已知等差数列{}n a 满足23a =，3a 是1a 与9a 的等比中项，则21ni i a =∑的值为_________．【答案】3n 或()312n n +【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件求出d 的值，再利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为3a 是1a 与9a 的等比中项，所以()()()22227a d a d a d +=-+， 即()()()23337d d d +=-+，整理得2230d d -=，解得0d =或32d =． 当0d =时，224213ni n i a a a a n ==+++=∑；当32d =时，()2322n a a n d n =+-=，则23n a n =， ()()22421333122ni ni n n n n a a a a =++=+++==∑． 故答案为：3n 或312n n.16．在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA =+=，E 为棱11C D 上任意一点，给出下列四个结论： ①1BD 与AC 不垂直；②长方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积最小为3π；③E 到平面11A B D 的距离的最大值为2； ④长方体1111ABCD A B C D -的表面积的最大值为6． 其中所有正确结论的序号为__________． 【答案】②③④【分析】根据正方体的性质，取正方体即可否定①；设AD x =，可求得长方体长方体的对角线，利用二次函数性质求得对角线最小值，进而求得外接球的表面积最小值，可判定②；利用等体积法求得点E 到平面11A B D 的距离为h 关于x 的表达式，利用基本不等式可求得其最大值，进而判定③；求得表面积关于x 的表达式，利用二次函数的性质求得最大值，可判定④.【详解】对于①，当长方体为正方体时，1BD AC ⊥，故①错误；对于②，如图，设AD x =，则12(02)AA x x =-<<，所以1BD 当1x =时，1BD1111ABCD A B C D -最小值为3π，故②正确；对于③，设点E 到平面11A B D 的距离为h ，如图，由1111E A DB D A B E V V --=可得111111133A DB A B E Sh S DD ⋅=⋅，所以由②可知，h =，其中22(2)12x x x x +-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当且仅当2x x =-，即1x =时等号成立，2[(22x +=2x x =-，即1x =时等号成立，所以22h，当且仅当2x x =-，即1x =时，等号成立，故③正确；对于④，该长方体的表面积为2222(2)2(2)4422(1)6S x x x x x x x =+-+-=+-=--+，当1x =时，S 的最大值为6，故④正确． 故答案为：②③④【点睛】关键是设出AD 的长度，求得相应的函数表达式，然后利用基本不等式或二次函数的性质求最值.另外，在正方体中，体对角线是与个面上的与之不相连的面对角线垂直的，这点不难用线面垂直的判定定理证明，也是应当熟记的结论；等体积法求点到平面的距离也是常用的方法，要熟练掌握.三、解答题17．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，ABD △为等边三角形，2,7,1BD AC BC ===．（1）求CBD ∠的大小； （2）求ADE 的面积． 【答案】（1）3π；（2）233. 【分析】（1）在ABC 中，由余弦定理可得ABC ∠，进而可得CBD ∠； （2）先证得//BC AD ，由此可得2DE BE =，进而可得ADE 的面积. 【详解】（1）在ABC 中，2,7,1AB AC BC ===，由余弦定理得22222221(7)1cos 22212AB BC AC ABC AB BC +-+-∠===-⨯⨯⨯．因为0ABC π<∠<，所以23ABC π∠=，从而233CBD ABD ππ∠=-∠=．（2）由3CBD ADB π∠==∠知，//BC AD ，所以BCE DAE ∽，所以12BC BE AD DE ==，所以2DE BE =．因为2BD =，所以43DE =． 所以11423sin 2sin 22333ADESAD DE ADE π=⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=．18．为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“312++”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目．某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A 组合：物理、化学、生物，B 组合：历史、政治、地理，C 组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A 组合的概率为35，选择B 组合的概率为15，选择C 组合的概率为15，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的．（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望． 【答案】（1）18125；（2）分布列见解析，65. 【分析】（1）用i A 表示第i 位同学选择A 组合，用i B 表示第i 位同学选择B 组合，用iC 表示第i 位同学选择C 组合，1,2,3i =，则由题意可得()()()311,,555i i i P A P B P C ===，而三位同学恰好选择不同组合共有336A =种情况，每种情况的概率相同，从而可求出概率；（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且2~3,5B η⎛⎫⎪⎝⎭，然后求出各自所对应的概率，从而可得η的分布列及数学期望【详解】解：用i A 表示第i 位同学选择A 组合，用i B 表示第i 位同学选择B 组合，用i C 表示第i 位同学选择C 组合，1,2,3i =． 由题意可知，,,i i i A B C 互相独立，且()()()311,,555i i i P A P B P C ===．（1）三位同学恰好选择不同组合共有336A =种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率()()()()12312331118666555125P P A B C P A P B P C =⨯=⨯=⨯⨯⨯=．（2）由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且2~3,5B η⎛⎫⎪⎝⎭，所以03032327(0)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132354(1)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21232336(2)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3033238(3)55125P C η⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以η的分布列为η0 1 2 3P27125 54125 36125 8125所以27543686()01231251251251255E η=⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．如图，两个全等的梯形ABCD 与BAFE 所在的平面互相垂直，,//,,2AB AD AD BC AB AD BC AD ⊥==，P 为CF 的中点．（1）证明：//DP 平面ABFE ；（2）求平面DEF 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（26【分析】（1）取BF 的中点Q ，连接,PQ AQ ，证得//DP AQ ，结合线面平行的判定定理，即可证得//DP 平面ABFE ．（2）以B 为原点，以,,BA BC BF 所在直线为x ，y ，z 轴建立的空间直角坐标系，设2BC =，分别求得平面DEF 和平面BCF 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）如图所示，取BF 的中点Q ，连接,PQ AQ ， 因为P ，Q 为,CF BF 的中点，所以//PQ BC ，且12PQ BC =． 又因为//,2AD BC BC AD =，所以//PQ AD ，且PQ AD =， 所以四边形ADPQ 为平行四边形，所以//DP AQ ，又由AQ ⊂平面ABFE ，DP ⊄平面ABFE ，所以//DP 平面ABFE ． （2）因为平面ABCD ⊥平面BAEF ，平面ABCD 平面,BAEF AB FB AB =⊥， 且FB ⊂平面BAEF ，所以FB ⊥平面ABCD ，又因为BC ⊂平面ABCD ，所以FB BC ⊥， 又由,AB FB AB BC ⊥⊥，以B 为原点，以,,BA BC BF 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设2BC =，则(1,1,0),(1,0,2),(0,0,1),(1,0,0)D E F A ， 可得(1,1,1),(0,1,2)FD ED =-=-设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n FD n ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1z =，可得(121)n ,,=-，又由平面BCF 的一个法向量为(1,0,0)m BA ==，所以16cos ,6||||16m n m n m n ⋅-〈〉===-⨯．所以平面DEF 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为66．20．已知曲线C 2222(1)(1)4x y x y ++-+=． （1）求曲线C 的离心率；（2）设曲线C 的右焦点为F ，斜率为k 的动直线l 过点F 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，证明：||||PF AB 为定值． 【答案】（1）12；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可知点(,)x y 到点(1,0),(1,0)-的距离之和为4，且42>，所以曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，且长轴长为4，焦距为2，从而可求出离心率；（2）由（1）可求得曲线C 的方程为22143x y +=，则(1,0)F ，所以直线l 为(1)y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出AB 的中点坐标，则可得线段AB 的垂直平分线的方程，则可表示出点P 的坐标，从而可表示出||PF ，再利用弦长公式表示出||AB ，进而可得||||PF AB 的值 【详解】（14=可知，点(,)x y 到点(1,0),(1,0)-的距离之和为4，且42>，根据椭圆的定义可知，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆． 设椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ， 则24,22a c ==， 所以曲线C 的离心率为12c e a ==． （2）证明：设椭圆的短轴长为2b ， 由（1）可得2223b a c =-=，所以曲线C 的方程为22143x y +=，则(1,0)F ． 由题意可知，动直线l 的方程为(1)y k x =-， 设()()1122,,,A x y B x y ，由221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩ 得()()2222348430kxk x k +-+-=，所以()22121222438,3434k k x x x x k k-+==++． 设AB 的中点为()00,Q x y ，则212024234x x k x k+==+，()0023134k y k x k -=-=+． 当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫--=-- ⎪++⎝⎭，令0y =，得2234k x k =+，所以()222231||13434k k PF k k +=-=++，||AB =()2212134k k+=+，所以()()222231||134||412134k PF k AB k k ++==++．当0k =时，l 的方程为0y =， 此时，||1||24,||1,||4PF AB a PF c AB =====． 综上，||||PF AB 为定值． 21．已知函数2()ln ,(),x f x x a x g x x e a =+=∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当2a =时，方程()()g x mf x =有两个实根，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）(,)e +∞.【分析】（1）先求出函数()f x 的定义域，然后对函数求导，再分0a ，0a <判断导数的正负，从而可得函数的单调区间；（2）方程()()g x mf x =有两个实根，转化为函数2()(2ln )x h x x e m x x =-+有两个零点，而22ln ()(2ln )(2ln )x x x h x x e m x x e m x x +=-+=-+，令2ln t x x =+，由（1）得t 是关于x 的单调递增函数，且t ∈R ，所以只需函数()t u t e mt =-有两个零点，令()0u t =，得1t tm e=，令()t t t e ϕ=，然后利用导数求出函数()t ϕ的单调区间和极值，画出函数图像，结合图像求解即可【详解】解：（1）由题意知函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 因为()ln ,f x x a x a =+∈R ， 所以()1a x a f x x x+'=+=． ①当0a 时，()0f x '>在区间(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间． ②当0a <时，令()0f x '>，得x a >-， 令()0f x '<，得0x a <<-，所以函数()f x 的单调递增区间为(,)a -+∞，单调递减区间为(0,)a -．（2）方程()()g x mf x =有两个实根，即关于x 的方程2e (2ln )0x x m x x -+=有两个实根，即函数2()(2ln )x h x x e m x x =-+有两个零点．又22ln ()(2ln )(2ln )x x x h x x e m x x e m x x +=-+=-+， 令2ln t x x =+，由（1）得t 是关于x 的单调递增函数，且t ∈R ， 所以只需函数()t u t e mt =-有两个零点．令()0u t =，得1tt m e =， 令()t t t eϕ=，则1()t tt e ϕ-'=，易知当(,1)t ∈-∞时，()t ϕ单调递增， 当(1,)t ∈+∞时，()t ϕ单调递减，所以当1t =时，()t ϕ取得最大值1(1)eϕ=．又因为当0t <时，()0t ϕ<，当0t >时，()0t ϕ>，(0)0ϕ=，则函数()ttt e ϕ=的图象如图所示，所以当110,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即(,)m e ∈+∞时，函数()h x 有两个零点． 所以实数m 的取值范围为(,)e +∞【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是方程()()g x mf x =有两个实根，转化为函数22ln ()(2ln )(2ln )x x x h x x e m x x e m x x +=-+=-+有两个零点，结合（1）转化为函数()t u t e mt =-有两个零点，再利用导数求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos ,12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数）以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos (0,02,)42b πρθρθπ⎛⎫+=<∈ ⎪⎝⎭R ． （1）求曲线1C 的普通方程及曲线2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 上存在点P 到曲线2C 的距离为1，求b 的取值范围．【答案】（1）22(1)(1)4x y -+-=，0x y b --=；（2）[-.【分析】（1）由12cos ,12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），消去参数α即可；由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin θθ-=，再将cos ,sin x y ρθρθ==代入求解； （2）设(12cos ,12sin )P αα+-，根据曲线1C 上存在点P 到直线0x y b --=的距离为1，1=有解，利用三角函数的性质求解.【详解】（1）由12cos ,12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），消去参数α，得曲线1C 的普通方程为22(1)(1)4x y -+-=．由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin θθ=，令cos ,sin x y ρθρθ==， 得x y b -=，所以曲线2C 的直角坐标方程为0x y b --=． （2）设(12cos ,12sin )P αα+-， 因为点P 到直线0x y b --=的距离为1， 1=，化简得4b πα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ ①．若关于α的方程①有解，则曲线1C 上存在点P 到曲线2C 的距离为1，所以4b πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭②或4b πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由②得232b ， 由③得22b-，所以b 的取值范围为[-．23．已知函数()|2|||,,f x x a x b a b =-++∈R ． （1）当4,1a b ==时，求不等式()9f x 的解集； （2）当0ab >时，()f x 的最小值为1，证明：1292a b +． 【答案】（1）[2,4]-；（2）证明见解析.【分析】（1）用零点分段法去绝对值后再解不等式即可； （2）根据三角不等式得到12ab +=，再用基本不等式即可证明. 【详解】（1）解：由题意得()|24||1|f x x x =-++， 当2x 时，原不等式可化为339x -， 解得4x ，故24x ； 当12x -<时，原不等式可化为59x -， 解得4x -，故12x -<； 当1x <-时，原不等式可化为339x -+， 解得2x -，故21x -<-．综上，不等式()9f x 的解集为[2,4]-． （2）证明：因为()|2|||2||||()12222aaa af x x a x b x x b x x b x x b b =-++=-++-++--+=+=，且0ab >， 所以121255922222a a ba b a b a b b a b +=++=+++=， 当且仅当23a b ==或23a b ==-时等号成立， 故原不等式得证．。
2025届河北省衡水市第十三中学高三下学期联合考试数学试题含解析
2025届河北省衡水市第十三中学高三下学期联合考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ） A ．1234 B ．1114C ．1054D ．11743．已知平面向量,a b 满足||||a b =，且2)b b -⊥，则,a b 所夹的锐角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．04．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A ．84B ．54C ．42D ．185．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知整数,x y 满足2210x y +≤，记点M 的坐标为(,)x y ，则点M 满足5x y +≥的概率为（ ）A ．935B ．635C ．537D ．7377．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ） A ．55π B ．255πC ．455πD ．855π8．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．199．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．10．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ）A ．43B ．53C ．54D ．3211．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c ,0）（c ＞0）线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为 ）A ．221205x y -=B ．22125100x y -=C ．221520x y -=D ．221525x y -=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
衡水中学全国大联考二卷理数高三模拟卷大联考正文
绝密★启用前河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试理科数学本试卷4页。
总分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本 试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
名2 寸 A/T6. 已知双曲线十一% = 1(。
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0>。
)的焦点F(c,0)到渐近线的距离为彳c,且点(2,龙)在双o' b L 2曲线上，则双曲线的方程为A ・厂L B.正-耳-1 c ・ y-^-1 D. y-y-17. 异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“A”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位 的两个数字不同时，输出1,反之输出0.如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1 010, 1 001(即 1O = 1X23+OX22+1X21+OX2°,9 = 1X23+OX22+OX21+1X2°),那么 10A9 = 1 010 Al 001 = 0 011,现有运算 12 = l 100 A 〃 = 0 001,则 m 的值为A. 7B. 9C. 11D. 138. 已知奇函数/怂)的定义域为R,且满足/(2+z)=f(2—z),以下关于函数丁伝)的说法： ②8为了(”的一个周期①//%)满足 / (8 —rc)+/(jr)=O一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知集合 U={0,l,2,3,4,5},A = {2,4,5},B = {0,2,4}，则 A A C uB — A. {5}B. {2,4}C. {0,2,5} 2. 已知 sin a>0 ,cos a VO,则 ③r (/)= sin 芸是满足条件的一个函数 其中正确说法的个数为A. 1B. 2C. 3D. 49.已知三棱锥P-ABC 的高为1,底面△ABC 为等边三角形，PA=PB=PC,且P,A,B,C 都D. {0,2,4,5}Z 2 7T在体积为艺的球。
河北省衡水中学高三下学期二调考试数学(理)试卷
河北省衡水中学高三下学期二调考试数学（理)试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．设集合A ={x|x <2}，B ={y|y =2x −1,x ∈A}，则A ∩B =（ ）A ．(−∞,3)B ．[2,3)C ．(−∞,2)D ．(−1,2)2．已知复数1z i =-（i 为虚数单位），则22z z -的共轭复数是（ ） A ．13i - B ．13i + C ．13i -+ D ．13i --3．有一长、宽分别为50m 、30m 的矩形游泳池，一名工作人员在池边巡逻，某时刻出现在池边任一位置可能性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出15√2m ，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是A ．34B ．38C ．3π16D ．12+3π324．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()122n n S a n =+≥，且12a =，则20S =（ ）A ．1921-B ．2122-C ．1921+D ．2122+5．已知圆C ： 224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ） A ．48,99⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．24,99⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,0 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4√3B ．5√3C ．6√3D ．8√37．f(x)=log 12(ax 2+2x −1)，g(x)=2+2sin(2x+π6)sinx+√3cosx ，若不论x 2取何值，对f(x 1)>g(x 2)任意x 1∈[710,32]总是恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−710) B ．(−∞,−45) C ．(−6380,+∞) D ．(−4049,−45)8．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1210,,P P P L ，记()2•1,2,,10i i m AB AP i ==u u u u r u u u r L ，则1210m m m +++L 的值为（ ）A ．B ．45C ．D ．1809．已知函数f(x)是定义在R 上的单调函数，且对任意的x,y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)，若动点P(x,y)满足等式f(x 2+2x +2)+f(y 2+8y +3)=0，则x +y 的最大值为（ ）A ．2√6−5B ．-5C ．2√6+5D ．510．数列{}n a 满足143a =，*11(1)()n n n a a a n N +-=-∈，且12111n n S a a a =+++L ，则n S 的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ）A ．{0,1,2}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2}D ．{0,2} 11．等腰直角OAB ∆内接于抛物线，其中O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，OA OB ⊥，OAB ∆的面积为16，F 为C 的焦点，M 为C 上的动点，则OM MF的最大值为（ ）ABCD ．312．某校今年计划招聘女教师x 人，男教师y 人，若x ， y 满足25{26x y x yx -≥-≤<，则该学校今年计划招聘教师最多__________人．13．已知函数()22sin 12f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的两个零点分别为,()m n m n <，则m =__________．14．已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，5AB AC ==，8BC =，AD ⊥底面ABC ，G 为ABC ∆的重心，且直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为12，则球O 的表面积为__________．15．已知是定义在R 上的函数，且满足①f(4)=0；②曲线y =f(x +1)关于点(−1,0)对称；③当x ∈(−4,0)时，f(x)=log 2(xe |x|+e x −m +1)，若y =f(x)在x ∈[−4,4]上有5个零点，则实数m 的取值范围为__________．16．已知向量2,1),(cos ,cos 1)m x n x x ωωω==+v v ，设函数()f x m n b =⋅+v v . （1）若函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，[0,3]ω∈，求函数()f x 的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当7[0,]12x π∈时，函数()f x 有且只有一个零点，求实数b 的取值范围.17．如图，已知四棱锥S −ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BCD =90∘，且SA =AB =BC =2CD ，E 是边SB 的中点．（1）求证：CE//平面SAD ；（2）求二面角D −EC −B 的余弦值大小．18．某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个建设项目供选择，若投资甲项目一年后可获得的利润为ξ1（万元）的概率分布列如表所示：且ξ1的期望E(ξ1)=120；若投资乙项目一年后可获得的利润ξ2（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立，且调整的概率分别为p(0<p <1)和1−p ，乙项目产品价格一年内调整次数X （次）与ξ2的关系如表所示：（1）求m,n 的值；（2）求ξ2的分布列；（3）根据投资回报率的大小请你为公司决策：当p 在什么范围时选择投资乙项目，并预测投资乙项目的最大投资回报率是多少？（投资回报率=年均利润/投资总额×100%）19．如图，曲线Γ由曲线22122:1(0,0)x y C a b y a b+=>>≤和曲线22222:1(0,0,0)x y C a b y a b-=>>>组成，其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点．（1）若23(2,0),(6,0)F F -，求曲线Γ的方程；（2）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点,A B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点,C D ，求1CDF ∆的面积的最大值．20．设()()4ln 31x a xf x x +=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线10x y ++=垂直．（1）求a 的值；（2）若对于任意的[)1,x ∈+∞， ()()1f x m x ≤-恒成立，求m 的取值范围；（3）求证： ()()()()*1ln 41164143n i in n N i i =+≤∈+-∑． 21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）曲线C 2的参数方程为cos ,sin ,x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0a b >>，ϕ为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2π时，这两个交点重合. （1）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1,当α=-4π时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积.22．选修4-5：不等式选讲设函数f(x)=|x −a|,a <0．（1） 证明:f(x)+f(−1x )≥2； （2）若不等式f(x)+f(2x)<12的解集非空，求a 的取值范围．参考答案1．D【解析】由集合A ={x|x <2}，B ={y|y =2x −1,x ∈A}，得B =(−1,3)，则A ∩B =(−1,2)，故选D.2．A【解析】 22222(1)(1)212131(1)(1)i z i i i i i z i i i +-=--=+=++=+--+ ,所以共轭复数是13i - ．故选A ．3．B【解析】所求概率为几何概型，测度为长度，如图AB =CD =50,BC =DA =30, OE =15√2,OS =15⇒ES =√OE 2−OS 2=15⇒EF =MN =30 ,因此概率为EF+MN AB+BC+CD+DA =30×2(50+30)×2=38 ，选B.4．C【解析】当2n =时，得22212a a +=+，即21a =，由()122n n S a n =+≥可知： 1112n n S a ++=+，两式相减可得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，故数列{}n a 是从第二项起以2为公比的等比数列，则()19192011222112S -=+=+-，故选C.5．A【解析】设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y 则1122:4;:4;PA x x y y PB x x y y +=+= 即101020204;4;x x y y x x y y +=+=因此A 、B 在直线004x x y y +=上，直线AB 方程为004x x y y +=，又00290x y +-=，所以()()0009242940y x y y y y x x -+=⇒-+-= 即8420,940,99y x x y x -=-=⇒==，直线AB 经过定点48,99⎛⎫ ⎪⎝⎭，选A. 6．A【解析】由三视图可知，该几何体为左边两个相同的三棱锥，右边一个三棱柱的组合体；且三棱锥的底面是直角边长为√3和1的直角三角形，高为3，三棱柱的底面为边长为2的等边三角形，高为3，故其体积为：V =2×13×12×1×√3×3+12×2×2×sin60∘×3=4√3，故选A.7．D【解析】∵g(x)=2+2sin (2x+π6)sin x+3cos x =2−2cos(2x+2π3)2sin(x+π3)=2sin(x +π3)，∴g max (x 2)=2； 对f(x 1)>g(x 2)任意x 1∈[710,32]总是恒成立，即f min (x 1)>2恒成立； 等价于0<ax 12+2x 1−1<14在x 1∈[710,32]恒成立，即1−2x 1x 12<a <54−2x 1x 12对任意x 1∈[710,32]恒成立，设p(x 1)=1−2x 1x 12=(1x 1−1)2−1，q(x)=54−2x 1x 12=54(1x 1−45)2−45， ∵x 1∈[710,32]，∴1x 1∈[23,107]，∴p(x 1)max =(107−1)2−1=−4049， q(x 2)min =−45，∴a ∈(−4049,−45)，故选D. 点睛：本题主要考查了三角函数的性质，函数恒成立问题等函数的综合应用，难度较大；对于不论x 2取何值，对f(x 1)>g(x 2)任意x 1∈[710,32]总是恒成立，等价于f(x 1)min >g(x 2)max ，求三角函数g(x)=2+2sin(2x+π6)sinx+3cosx 的最大值需通过三角运算公式将其化简为g(x)=2sin(x +π3)，最后利用分离参数的思想求参数a 的取值范围.8．D【解析】因为2AB 与33B C 垂直,设垂足为C ，所以i AP u u u r 在2AB u u u u r 投影为AC ，22·18i i m AB AP AB AC ==⨯==u u u u r u u u r ，从而1210m m m +++L 的值为1810180.⨯= 选D.点睛：本题解题关键为运用向量数量积的几何意义：投影. 其有两个要素，一是有个定向量，二是明确垂足位置.9．A【解析】对任意的x,y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)，令x =0,y =0，都有f （0+0）=f （0）+f （0）⇒f （0）=0，动点P(x,y)满足等式f(x 2+2x +2)+f(y 2+8y +3)=0，即有f(x 2+y 2+2x +8y +5)=0=f(0)，由函数f(x)是定义在R 上的单调函数， 可得x 2+y 2+2x +8y +5=0，化为（x +1）2+（y +4）2=12，可令x =−1+2√3cosα，y =−4+2√3sinα α∈（0，2π），则x +y =2√3(cosα+sinα)−5=2√6cos(α−π4)−5，当cos(α−π4)=1即α=π4时，x +y 取得最大值2√6−5，故选A. 点睛：本题考查抽象函数的运用，注意赋值法的运用，考查转化思想，以及三角换元法，两角差的余弦公式和余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题；由条件可令x =0,y =0，求得f(0)=0，再由f(x) 为单调函数且满足的条件，将f(x 2+2x +2)+f(y 2+8y +3)=0化为f(x 2+y 2+2x +8y +5)=f(0)，可得x 2+y 2+2x +8y +5=0，配方后，利用三角换元，运用两角差的余弦公式和余弦函数的值域，即可得到所求最大值.10．A【解析】试题分析：对11(1)n n n a a a +-=-两边取倒数，得111111n n na a a +-=--，累加得1111113111n n n S a a a ++=-=----，由211(1)0,n n n n n a a a a a ++-=-≥≥，n a 为单调递增数列，123413133,,3981a a a ===，其中111S a =，整数部分为0，293344S =-=，整数部分为0，37552S =，整数部分为1，由于3n S <，故选A ． 考点：递推数列，数列求和．【思路点晴】本题主要考查递推数列求通项、数列求和有关问题．对11(1)n n n a a a +-=-两边取倒数后，有111111n n na a a +-=--，这个相当于数列求和方法中的列项求和法，由此可以得到1111113111n n n S a a a ++=-=----，结合数列211(1)0,n n n n n a a a a a ++-=-≥≥，n a 为单调递增数列，通过列举法，可求得整数部分有{}0,1,2，三种可能．11．C【解析】【分析】设等腰直角三角形OAB 的顶点()11,A x y ，()22,B x y ，利用OA OB =可求得12x x =，进而可求得4AB p =，由OAB S ∆求得P=2．做抛物线的准线，与x 轴的交点为N （-1,0），MA 垂直于准线，由抛物线的定义得|MF|=|MA|，设M 到准线的距离等于d ，化简为OMMOMF d ==【详解】设等腰直角三角形OAB 的顶点()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2222y px =．由OA OB =得：22221122x y x y +=+，221212220x x px px -=-=∴，即()()1212++20x x x x p -=，10x >Q ，20x >，20p >，12x x =∴，即,A B 关于x 轴对称．∴直线OA 的方程为：tan45y x x =︒=，与抛物线联立，解得00x y =⎧⎨=⎩或22x p y p =⎧⎨=⎩， 故4AB p =，212442OAB S p p p ∆=⨯⨯=∴． AOB ∆Q 的面积为16，2P =∴；焦点()1,0F ，设(),M m n ，则24n m =，0m >，设M 到准线1x =-的距离等于d ，则OM MO MFd==．令1m t +=，1t >，则OMMF =≤3t =时，等号成立）． 故OMMF故选C ． 【点睛】本题考查抛物线的性质，求得A ，B 关于x 轴对称是关键，考查抛物线的定义，基本不等式的应用，体现了换元的思想，正确运用抛物线的定义是关键，属于难题． 12．10【解析】试题分析：由于某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，且x 和y 须满足约束条件25,{2,6,x y x yx -≥-≤<，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z=x+y ⇔y="-x+z" 则题意转化为，在可行域内任意去x ，y 且为整数使得目标函数代表的斜率为定值-1，截距最大时的直线为过250{5x y x --==⇒（5，5）时使得目标函数取得最大值为：z=10 考点：本题考查了线性规划的运用点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案． 13．2π 【解析】由题意得21011x x -≥⇒-≤≤ ,而()()π102sin 02f x x x x x ⎛⎫=⇒=+≠⎪⎝⎭,因为1π2,2sin 22x x x ⎛⎫+≥≤ ⎪⎝⎭,所以1,1,1x m n =±=-=,11- 表示单位圆在x 轴上方(含与x 轴交点)半圆的面积,即π2. 14．6349π 【解析】 试题分析：在等腰中，5AB AC ==，8BC =，取的中点，连接，重心为的三等分点，，，由于AD ⊥底面ABC ，直线DG与底面ABC 所成角的正切值为12，所以，，在等腰中，，，所以的外接圆直径，，设的外接圆圆心为，四面体ABCD 的球心为，在中，，球的表面积为，故答案为6349π. 考点：球的表面积和体积. 15．[−3e −4,1)∪{−e −2}【解析】∵曲线y =f(x +1)关于点(−1,0)对称，∴曲线y =f(x)关于点(0,0)对称， ∴f(x)在R 上是奇函数，∴f(0)=0，又∵f(4)=0，∴f(−4)=0，而y =f(x)在x ∈[−4,4]上有5个零点，故x ∈(−4,0)时，f(x)=log 2(xe |x|+e x −m +1)有一个零点，而f(x)=log 2(x e|x|+e x−m +1)=log 2(x e −x+e x −m +1)=log 2(xe x +e x −m +1)故xe x +e x −m =0在(−4,0)上有一个解，令g(x)=xe x +e x −m ，g ′(x)=e x +xe x +e x =e x (x +2)，故g(x)在(−4,−2)上是减函数，在(−2,0)上是增函数； 而g(−4)=−3e−4−m ，g(0)=1−m ，而g(−4)<g(0)，故{g(−4)=−3e −4−m ≤0g(0)=1−m >0或g(−2)=−e −2+m =0，解得m ∈[−3e −4,1)∪{−e −2}，故答案为[−3e −4,1)∪{−e −2}.16．(1)[,]().36k k k Z ππππ-+∈(2)5({}2b ∈--U . 【解析】试题分析：（1）根据平面向量数量积运算求解出函数()•f x m n b =+r r，利用函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，且[]0,3ω∈可得1ω=，结合三角函数的性质可得其单调区间；（2）当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求出函数()f x 的单调性，函数()f x 有且只有一个零点，利用其单调性求解求实数b 的取值范围. 试题解析：解：向量),1m x rω=，()cos ,cos21n x x ωω=+r，()2•cos cos 1f x m n b x x x b ωωω=+=+++r r133cos2sin 22262x x b x b πωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭ （1）∵函数()f x 图象关于直线6x π=对称，∴()2?662k k Z πππωπ+=+∈，解得：()31k k Z ω=+∈，∵[]0,3ω∈，∴1ω=，∴()3sin 262f x x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-≤+≤+， 解得：()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（2）由（1）知()3sin 262f x x b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，∵70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增； 42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即7,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减． 又()03f f π⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴当70312f f ππ⎛⎫⎛⎫>≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭时函数()f x 有且只有一个零点． 即435sinsin 326b ππ≤--<或3102b ++=，所以满足条件的52b ⎛⎧⎫∈-⋃- ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎦． 17．（1）详见解析；（2）−√105.【解析】试题分析：（1）先利用三角形的中位线和平行四边形及平行公理证明线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（2）建立适当的空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，利用空间向量进行求解.试题解析：（1）证明：取SA 中点F ，连接EF ，FD ， ∵E 是边SB 的中点， ∴EF ∥AB ，且EF =12AB ，又∵∠ABC =∠BCD =90°， ∴AB ∥CD ，又∵AB =2CD ，即CD =12AB ，∴EF ∥CD ，且EF =CD ， ∴四边形EFDC 是平行四边形， ∴FD ∥EC ，又FD ⊂面SAD ，CE ⊄面SAD ， ∴CE ∥面SAD .（2）解：在底面内过点A 作直线AM ∥BC ，则AB ⊥AM ，又SA ⊥平面ABCD ， 以AB ，AM ，AS 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(1，2，0)，E(1，0，1)， 则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，0，1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，0，0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，1)， 设面BCE 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y =0−x +z =0，令x =1，则z =1，∴n ⃗ =(1，0，1).同理可求面DEC 的一个法向量为m ⃗⃗ =(0，1，2)， cos <n ⃗ ，m ⃗⃗ >=n⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√105，由图可知，二面角D−EC−B是钝二面角，所以其平面角的余弦值为−√105.18．（1）m=0.5,n=0.1；（2）分布列见解析；（3）p=12，最大回报率为12.01%.【解析】试题分析：（1）由题意得：{m+0.4+n=1110m+120×0.4+170n=120，由此能求出m,n的值；（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0，分别计算出P(ξ2=41.2)，P(ξ2=117.6)，P(ξ2=204.0)，由此能求出ξ2的分布列；（3）由（2）求出E(ξ2)=−10p2+10p+117.6，解不等式120<−10p2+10p+117.6得p的取值范围，计算出E(ξ2)的最大值，可预测投资乙项目的最大投资回报率.试题解析：解：（1）由题意得：{m+0.4+n=1110m+120×0.4+170n=120，得：m=0.5,n=0.1．（2）ξ2的可能取值为41.2，117.6，204.0，P(ξ2=41.2)=(1−p)[1−(1−p)]=p(1−p)P(ξ2=117.6)=p[1−(1−p)]+(1−p)(1−p)=p2+(1−p)2P(ξ2=204.0)=p(1−p)所以ξ2的分布列为（3）由（2）可得：E(ξ2)=41.2×p(1−p)+117.6×[p2+(1−p)2]+204.0×p(1−p)=−10p2+10p+117.6根据投资回报率的计算办法，如果选择投资乙项目，只需E(ξ1)<E(ξ2)，即120<−10p2+10p+117.6，得0.4<p<0.6．因为E(ξ2)=−10p2+10p+117.6，所以当P=12时，E(ξ2)取到最大值为120.1，所以预测投资回报率的最大值为12.01%.19．（1）()22102016x y y +=≤和()22102016x y y -=>；（2）证明见解析；（3）．【解析】 【分析】（1）本题曲线方程的求法实质为待定系数法，即根据条件列出两个方程组，解出对应参数即可（2）本题证明方法为以算代证，即先求出弦AB 的中点M 坐标，再代入双曲线渐近线方程进行验证.先根据条件设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，根据韦达定理及中点坐标公式求出弦中点横坐标（或纵坐标），代入直线方程可得弦中点纵坐标（或横坐标），再代入双曲线另一渐近线方程进行验证.（3）三角形1CDF 的面积可转化为等于两个三角形面积之差，即1143412CDF S F F y y ∆=⋅-，所以只需根据直线方程（设直线斜率）与椭圆方程，利用韦达定理表示出34y y -，并根据判别式大于零列出直线斜率取值范围，最后根据基本不等式求最值. 【详解】（1）2222223620{{416a b a a b b +==⇒-== 则曲线Γ的方程为()22102016x y y +=≤和221(0)2016x y y -=>（2）曲线2C 的渐近线为by x a =±,如图，设直线():b l y x m a=- 则()()2222222{2201by x m a x mx m a x y a b =-⇒-+-=+= ()22420a m m ∆=->⇒<<又由数形结合知.m a a m ≥∴≤<设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则122212{2x x mm a x x +=-=，0000,22m bm b x y y x a a∴==-∴=-即点M 在直线by x a=-上 （3）由（1）知，曲线()221:102016x y C y +=≤，点()46,0F设直线1l 的方程为6(0)x ny n =+>()22221454864020166x y n y ny x ny ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩201n ∆>⇒>设()()3344,,,C D x y y x 由韦达定理：34234248456445n y y n y y n -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩34y y ∴-=1143421245CDF S F F y y n ∆=⋅-=+令0t =>,则1219494CDF t S t t t∆==++90412t t t >∴+≥Q ，当且仅当32t =即n =n =()1minCDFS ∆=20．（Ⅰ）0a =（Ⅱ）1m ≥（Ⅲ）详见解析【解析】试题分析:（Ⅰ）先求导数，再根据导数几何意义列方程，解方程可得a 的值；（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，本题去分母转化为差函数：()14ln 32g x x m x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，因为()10g =，所以()g x 最大值不小于()1g ，根据()g x 导函数符号可得1m ≥才满足条件.（Ⅲ）不等式证明中涉及求和问题，一般方法为适当放缩，再利用裂项相消法给予证明.本题由（Ⅱ）知，当1x >时, 1m =时, 11ln 324x x x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭成立，所以放缩这一难点已暗示，下面只需令41,43i x i +=-得()()4116ln434143i i i i i +≤-+-，即()()()()16ln 4i 1ln 434143ii i i +--≤+-，最后叠加可得证.试题解析：（Ⅰ） ()()()()244ln 3134ln 31x a x x x a x x f x x +⎛⎫++-+ ⎪'⎝⎭=+ 由题设()11f '=，∴414a+= 0a ∴=. （Ⅱ）()4ln 31x x f x x =+,[)1x ∀∈+∞，， ()()1f x m x ≤-，即14ln 32x m x x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭设()14ln 32g x x m x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，即[)()1,0x g x ∀∈+∞≤，. ()22241343mx x m g x m x x x -+-⎛⎫=-+= ⎝'⎪⎭()14-4g m '= ①若()0,0m g x '≤>， ()()10g x g ≥=，这与题设()0g x ≤矛盾②若()0,1m ∈当()21,,03x g x m ⎛+∈> ⎪⎝'⎭, ()g x 单调递增， ()()10g x g >=，与题设矛盾.③若1,m ≥当()()1,,0x g x '∈+∞≤， ()g x 单调递减， ()()10g x g ≤=，即不等式成立综上所述， 1m ≥ .（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当1x >时, 1m =时, 11ln 324x x x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭成立. 不妨令*41,43i x i N i +=∈-所以()()4116ln434143i i i i i +≤-+-， ()()4116ln434143+≤-+- ()()421162ln423421423⨯+⨯≤⨯-⨯+⨯-()()431163ln433431433⨯+⨯≤⨯-⨯+⨯-…………()()4116ln434143n nn n n +≤-+- 累加可得 ∴()()()()*1ln 41164143ni in n N i i =+≤∈+-∑。