2018版高一数学人教版A版必修一学案：第三单元 3.2.1 几类不同增长的函数模型

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人教A版数学必修一教案：3.2.1几类不同增长的函数模型

§3.2.1 几类不同增长的函数模型一、教学目标:1. 知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.2. 过程与方法能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.3. 情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.二、教学重点、难点：1. 教学重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．教学难点选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、学法与教学用具：1. 学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.四、教学设想：（一）引入实例，创设情景.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.（二）互动交流，探求新知.1. 观察数据，体会模型.教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.2. 作出图象，描述特点.教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.（三）实例运用，巩固提高.1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.2. 教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。

【原创】高中数学人教A版必修一第三章3.2.1 几类不同增长的函数模型教学设计

“几种不同增长的函数模型”教学设计一、教材分析（一）、教学内容本节课的内容是高中数学必修1第三章《函数的应用》的第二节“几种不同增长的函数模型”第一课时，根据课程设置要求，“几种不同增长的函数模型”需用2个课时，因此我把教材中的例题1和例题2作为第一课时。

（二）教材的地位和作用本节课要求学生通过实例分析，体会“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”的含义及其在实际生活中的应用。

它既是第二章基本初等函数知识的延续，又为函数模型的应用打下了基础，起着承前起后的作用。

（三）、教学目标和要求1、知识目标：利用计算工具，比较指数函数、对数函数、幂函数间的增长差异，结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同函数增长的含义。

2、能力目标：通过对几种不同增长的函数模型的分析，体会它们间的差异，培养学生利用图表分析问题的能力和数据处理能力；了解函数模型的广泛应用；培养学习数学的兴趣。

3、情感目标：通过对几种不同增长的函数模型的探究，体验指数函数、对数函数、幂函数与现实世界的密切联系及其在刻划现实生活中的作用。

（四）、教学重难点：重点: 认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长；应用函数模型解决简单问题。

难点：学生对指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的认识还很少所以让学生比较这几种函数的增长差异会有一定困难；如何选择适当的函数模型分析解决实际问题是另一个困难。

二、教学方法：问题探究和启发式相结合的教学方法．三、教学工具：电脑多媒体四、教学过程1、复习、引入：在《基本初等函数》中我们学习了哪几种函数？ 2、创设问题情境一：（展示细胞生长故事的课件）12222324回顾：某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，两个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系是。

第一次第二次第三次第四次引导学生观察，思考，回答问题。

3、创设问题情境二：（展示问题情境课件）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元：方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

高中数学(人教版A版必修一)配套课件：第三章 3.2.1几类不同增长的函数模型

细菌数
0
300
1
600
2
1 200
3
2 400
据此表可推测实验开始前2 h的细菌数为( A )
A.75
C.150
B.100
D.200
答案
规律与方法
1.函数应用题的类型
函数应用题主要有：(1)函数类型已知的问题；(2)函数类型未知的问题；
且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金
总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的 25%.现有三个奖励模型： y
＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
按此模型，如果某人的销售利润是343万元，则所获奖金为多少？
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说： “如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行 2 为集体票，按原价3优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.
3
4
3.某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－ 3t＋60，t＝0表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为( B ) A.8℃ C.112℃ B.78℃ D.18℃
答案
1
2
3
4
4.细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长.若实验开始时有300个细菌，以
后的细菌数如下表所示： x(h)
7 128 49 2.8
8 256 64 3
… … … …
尽管在x的某一范围内，有2x<x2的情况，但y＝2x比y＝x2增长的快，

2018学年高中数学新课标人教a版必修1同步学案：3.2第1

几类不同增长的函数模型一、课前准备1．课时目标1、借助绘图技术，利用函数图像及数据表格，比较一次函数，指数函数，幂函数，对数函数的增长差异；2、结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；3、重点体会现代信息技术在解决实际问题中的作用，将实际问题转化为函数模型，利用手持技术比较一次函数，指数函数，幂函数，对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2．基础预探1、实际应用问题的解答关键是、解模并返回到实际问题；2、教材中例1、例2分别是和模型的应用；3、我们学过的函数模型类型由、、、等。

二、基本知识习题化1. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为（）.A．1= B. y=21x- C. y=2 D. y=2x2xy+2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（）.A. 一次函数B. 二次函数C. 指数型函数D. 对数型函数3. 某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y与投放市场的月数x之间的关系可写成. 5. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机. 现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有台计算机被感染. （用式子表示）三、学习引领1. 两类实际问题：投资回报、设计奖励方案；2. 几种函数模型：一次函数、对数函数、指数函数；3. 应用建模（函数模型）；4.解决应用题的一般程序：⑴审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；⑵建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；⑶解模：求解数学模型，得出数学结论；⑷还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义。

人教A版高中数学必修一学新导学案几类不同增长的函数模型,

§3.2.1几类不同增长的函数模型(2)1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题.98101复习1：用石板围一个面积为200平方米的矩形场地，一边利用旧墙，则靠旧墙的一边长为___________米时，才能使所有石料的最省.复习2：三个变量,,y y y 随自变量x 的变化情况如下表：，呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________.二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：幂、指、对函数的增长差异问题：幂函数(0)n y x n =>、指数函数(1)x y a a =>、对数函数log (1)a y x a =>在区间(0,)+∞上的单调性如何？增长有差异吗？实验：函数2x y =，2y x =，log y x =，试计算：思考：22log ,2,x x x 大小关系是如何的？增长差异？尽管(1)x y a a =>，log (1)a y x a =>和结论：在区间(0,)+∞上，(0)n y x n =>都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个(1)x y a a =>的增长速度越来越快，会超“档次”上，随着x 的增大，过并远远大于(0)n y x n =>的增长速度．而log (1)a y x a =>的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就有log n x a x x a <<．※ 典型例题例1某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量t 与月份的x 关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(,,)x y ab c a b c =+其中为常数. 已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.小结：待定系数法求解函数模型；优选模型. ※ 动手试试练1. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）与t 的函数关系式为1()16t ay -=（a 为常数），成正比；药物释放完毕后，y 如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.练2. 某商场购进一批单价为6元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格. 经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y （件）是价格x （元/件）的一次函数. （1）试求y 与x 之间的关系式；（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能时每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？三、总结提升 ※ 学习小结直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义.※ 知识拓展在科学试验、工程设计、生产工艺和各类规划、决策与管理等许多工作中，常常要制订最优化方案，优选学是研究如何迅速地、合理地寻求这些方案的科学理论、模型与方法. 它被广泛应用于管理、生产、科技和经济领域中，几乎可以用于凡是有数值加工的每个领域. 中国.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物，生产了一段时间后，由于订货商想再多订一些，但供货时间不变，该工厂便组织工人加班生产，能反映该工厂生产的货物数量y 与时间x 的函数图象大致是（）.2. 下列函数中随x 增大而增大速度最快的是（）. A ．2007ln y x = B ．2007y x =C ．2007xe y = D ．20072x y =⋅3. 根据三个函数2()2,()2,()log x f x x g x h x x ===给出以下命题：（1）(),(),()f x g x h x 在其定义域上都是增函数；（2）()f x 的增长速度始终不变；（3）()f x 的增长速度越来越快；（4）()g x 的增长速度越来越快；（5）()h x 的增长速度越来越慢。

人教版高中数学必修1第3章3.2.1 几类不同增长的函数模型教案

3.2.1 几类不同增长的函数模型教学目标分析：知识目标：掌握指数函数、对数函数以及幂函数等的图象和性质，会比较它们的增长差异。

过程与方法：通过比较上面几类函数的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型增长的含义。

情感目标：提高学生的观察、分析、比较能力，以及总结的能力，培养数学思维的逻辑性。

重难点分析：重点：利用函数模型分析问题。

难点：利用函数模型分析问题。

互动探究：一、课堂探究：1、情境引入澳大利亚兔子数“爆炸”在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋。

1859年，有人从欧洲带了几只兔子进入澳洲，由于澳洲茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只。

可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口。

这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气。

例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案？探究一、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？探究二、如何建立日回报效益与天数的函数模型？解：设第x 天所得回报是y 元，方案一可以用函数40(*)y x N =∈进行描述；方案二可以用函数10(*)y x x N =∈进行描述；方案三可以用函数10.42(*)x y x N -=⨯∈进行描述。

探究三、（1）指出它们属于哪种函数模型？它们分别属于：y kx b =+（直线型）；x y k a b =⋅+（指数型）. （2）三个函数模型的增减性如何？三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模。

高中数学新人教版A版精品教案《3.2.1 几类不同增长的函数模型》

六．教学环境及资源准备
教学环境：多媒体教室
教学资源准备：PPT课件，几何画板软件
七．教学过程
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图及资源准备
创设问题情景
创设问题情景
例1的教学
多媒体展现例1投资方案的选择问题
1.提问:投资方案选择的标准如何确定？
三种方案中每天的回报量分别是多少？如何计算？
2.模型建立了，如何对模型进行分析研究，比较三个函数的增长差异？
2.通过对模型进行探究，能体会到不同函数的增长差异：常函
数没有增长，一次函数匀速增长，指数函数急速增长，对数函
数缓慢增长。
3.通过对问题的分析掌握：解析式法、列表法、图像法是研究
函数模型的基本方法。
（二）过程和方法：在引导学生建立函数模型解决实际问题的过程中，教师采用问题串的形式引导学生思考，同时充分利用信息技术手段通过对图像和表格的分析，了解不同函数模型的增长差异。
学生通过对表格的观察得出：常函数没有增长，一次函数匀速增长，指数函数急速增长。
学生通过图象的平缓与陡峭与函数变化的关系角度指出三类函数的增长差异。
学生做出回答
学生积极审题，并作出思考
学生作出回答
学生思考并积极作出回答
学生提出探究方法利用函数图像
学生根据图像做出判断y=0.25x显然不满足条件。然后通过函数的相关性质及计算得出结论。
（三）情感态度价值观：通过问题的解决让学生体会到数学是有用的，并学会用科学的方法去观察、分析、研究生活中的实际问题，从而提高解决问题的能力。
四．教学重难点
（一）教学重点：1.将实际问题转化为数学模型。
2。通过对模型的探究掌握几类不同增长的函数模型的增长差异：常函

2018学年高一数学人教A版必修1第3.2.1 几类不同增长的函数模型含解析

绝密★启用前3.2.1几类不同增长的函数模型一、选择题（本题共8个小题）1.【题文】设()()()22,2,log x f x x g x h x x ===，当()4,x ∈+∞时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是（） A ．()f x 增长速度最快，()h x 增长速度最慢 B ．()g x 增长速度最快，()h x 增长速度最慢 C ．()g x 增长速度最快，()f x 增长速度最慢 D ．()f x 增长速度最快，()g x 增长速度最慢2．【题文】某种动物数量y (只)与时间x (年)的关系为()2log 1y a x =+，设这种动物第年有100只，到第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只3．【题文】下列函数关系中，可以看作是指数型函数x y ka =（k ∈R ，0a >且1a ≠）模型的是（）A ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ．如果某人s t 内骑车行进了1 km ，那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系D ．信件的邮资与其重量间的函数关系4．【题文】某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2 万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 万公顷关于年数x 的函数关系较为接近的是( ) A ．0.2y x =B ．()21210y x x =+ C ．210xy =D ．160.2log y x =+5．【题文】甲、乙两人沿着同一方向去B 地，途中两人的速度都是1v 或2v (12v v <)．甲一半的路程使用速度1v ，另一半的路程使用速度2v ；乙一半的时间使用速度1v ，另一半的时间使用速度2v .关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有下面4个不同的图示分析(其中横轴表示时间，纵轴表示路程)，则其中可能正确的图示分析为()A ．①B ．③C ．①或④D ．①或②6．【题文】已知函数12x y =，22y x =，32log y x =，则当24x <<时，有( ) A ．123y y y >> B ．213y y y >> C ．132y y y >> D ．231y y y >>7．【题文】今有一组实验数据如下表所示：则最佳体现这些数据关系的函数模型是（） A ．2log u t = B ．1122t u -=- C ．212t u -= D ．22u t =-8．【题文】在区间()3,+∞上，随着x 的增大，下列四个函数中，增长速度最快的是（） A ．2y x = B ．2x y = C ．2y x = D ．2log y x =二、填空题（本题共3个小题）9.【题文】某林场今年造林8 000亩，计划以后每一年比前一年多造林5%，那么从明年算起第年将造林________亩.10.【题文】近几年由于深圳房价的暴涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2016年以200万的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2026年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________．11.【题文】某化工厂生产的一种溶液，其杂质含量y 与过滤次数的函数关系式为()22%3xy x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ．按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．要使产品达到市场要求至少应过滤_____次.（已知：lg 20.3010=，lg30.4771=）三、解答题（本题共3个小题）12．【题文】用模型()f x ax b =+来描述某企业每季度的利润()f x (亿元)和生产成本投入x (亿元)的关系．统计表明，当每季度投入 (亿元)时利润11y =(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润22y =(亿元)，当每季度投入 (亿元)时利润32y =(亿元)．又定义：当()f x 使()()()222123123f y f y f y -+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦的数值最小时为最佳模型． (1)当23b =时，求相应的a 使()f x ax b =+成为最佳模型； (2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润4y (亿元)的值．13．【题文】某地区今年月，2月，月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型2y ax bx c +=+，乙选择了模型·x y p q r =+，其中y 为患病人数，x 为月份数，,,,,,a b c p q r 都是常数．结果4月，月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？14．【题文】某上市股票在30天内每股的交易价格P（元）与时间（天）组成有序数对(),t P ，点(),t P 落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q（万股）与时间（天）的部分数据如下表所示：（1）根据提供的图象，求出该种股票每股交易价格P（元）与时间（天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据，写出日交易量Q（万股）与时间（天）的一次函数关系式；（3）用（万元）表示该股票日交易额，写出关于的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？3.2.1几类不同增长的函数模型参考答案及解析1. 【答案】B【解析】由三种函数性质可知，()g x 增长速度最快，()h x 增长速度最慢. 考点：指对幂函数模型增长的比较. 【题型】选择题【难度】较易 2. 【答案】A【解析】由题设知2100log 2a a ==，所以7x =时，2100log 8300y ==. 考点：指对幂增长差异的实际应用. 【题型】选择题【难度】较易 3. 【答案】B【解析】A ：竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系；B ：我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系；C ：如果某人s t 内骑车行进了1 km ，那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系是反比例函数关系；D ：信件的邮资与其重量间的函数关系，是一次函数关系．考点：指对幂增长差异的实际应用. 【题型】选择题【难度】较易 4. 【答案】C【解析】将1,2,3x =代入每个式子，得到的结果与0.2,0.4,0.76比较，只有函数210xy =较为接近.考点:指对幂增长差异的实际应用.【题型】选择题【难度】一般 5. 【答案】D【解析】甲用的时间()121212=222s v v s s t v v v v ++=甲，甲用的时间122=st v v +乙，()()()21212121212122=022s v v s v v st t v v v v v v v v +---=>++甲乙，则甲到B 地所用时间长一些，因此图①、图②可能正确．考点：函数图象判断. 【题型】选择题【难度】一般 6. 【答案】B【解析】在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间()2,4内，从上到下图象依次对应的函数为22y x =，1y =2x ，32log y x =，故213y y y >>. 考点：比较大小. 【题型】选择题【难度】一般 7. 【答案】B【解析】把(),t u 的值分别代入A ，B ，C ，D 选项中的四个函数模型中，只有B 选项中的函数模型基本符合，故B 能最佳体现这些数据关系. 考点：函数模型的选择. 【题型】选择题【难度】一般 8. 【答案】B【解答】在区间()3,+∞上，①2y x =，②2x y =，③2y x =，④2log y x =的图象如图所示，由图可知2x y =的函数值随着x 的增大增长速度最快. 考点：指对幂增长差异的实际应用. 【题型】选择题【难度】一般 9. 【答案】9261【解析】依题意得，从明年算起第年将造林()3321800015%8000926120⎛⎫⨯+=⨯= ⎪⎝⎭亩.考点：函数模型的选择. 【题型】填空题【难度】一般10. 【答案】()102001y x =+【解析】一年后的价格为()2002002001x x +⋅=+万元．两年后的价格为()()20012001x x x +++⋅()()()2200112001x x x =++=+万元，由此可推得10年后的价格为()102001x +万元. 故()102001y x =+．考点：函数模型的选择. 【题型】填空题【难度】一般 11. 【答案】【解析】依题意令212%31000x⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即21320x⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴1lg1lg 220=7.42lg 3lg 2lg 3x +≥≈-．又∵x ∈N ，∴8x ≥，即至少要过滤次才能达到市场要求．考点：指数函数模型.【题型】填空题【难度】较难 12. 【答案】(1)12 (2)83【解析】(1)23b =时，()()()222123123f y f y f y -+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2614112a ⎛⎫=- ⎪⎝+⎭，∴12a =时，()1223f x x =+为最佳模型．(2)由(1)知()223f x x =+，当4x =时，则()4483y f ==. 考点：最优函数模型的选择. 【题型】解答题【难度】较易 13. 【答案】乙【解析】依题意，得2221152,2254,3358,a b c a b c a b c ⎧⋅+⋅+=⎪⋅+⋅+=⎨⎪⋅+⋅+=⎩即52,4254,9358,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得1,1,52.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴甲：2152y x x =-+.又12352,54,58,p q r p q r p q r ⎧⋅+=⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩①②③②-①，得21··2p q p q -=， ④ ③-②，得32··4p q p q -=， ⑤ ÷⑤④，得2q =，将2q =代入④，得1p =，将2q =，1p =代入①，得50r =， ∴乙：2250x y =+.当4x =时，164y =，266y =；当5x =时，172y =，282y =；当6x =时，182y =，2114y =. 可见，乙选择的模型较好．考点：最优函数模型的选择. 【题型】解答题【难度】一般 14. 【答案】（1）12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N（2）40,030,Q t t t =-+<≤∈N （3）在30天中的第15天，日交易额最大，为125万元【解析】（1）当020t ≤≤时，设P at b =+，由题图可知此时图象过点()0,2和(20,6)，故2620b a b =⎧⎨=+⎩，，215b a =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，，125P t ∴=+. 同理，当2030t <≤时，1810P t =-+.12,020,518,2030,.10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，（2）设Q ct d =+，把所给表中任意两组数据代入可求得1,40c d =-=，40,030,Q t t t =-+≤≤∈N .（3）日交易额（万元）=日交易量Q （万股）每股交易价格P （元），()()22115125,020,516040,2030,10,,t t t y t t t ⎧--+≤≤∈⎪⎪∴=⎨⎪--<≤∈⎪⎩N N当020t ≤≤时，当15t =时，max 125y =万元，当2030t <≤时，随的增大而减小，故在30天中的第15天，日交易额最大，为125万元．考点：函数模型的选择. 【题型】解答题【难度】较难。

高一数学人教a版必修一精品教案：3.2.1几类不同增长的函数模型含答案

课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型
教学目标：
知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．
过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．
情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．
教学重点：
重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．
教学程序与环节设计：
实际问题引入，激发学生兴趣．
归纳一般的应用题的求
教学过程与操作设计：。

2018版高中数学人教版A版必修一学案第三单元 3.2.1 几类不同增长的函数模型 Word版含答案

§ 函数模型及其应用几类不同增长的函数模型学习目标 .掌握常见增长函数的定义、图象、性质、并体会增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义(重点).会分析具体的实际问题，并进行数学建模解决实际问题(重点)．预习教材－，完成下面问题：知识点三种函数模型的性质()当每增加一个单位时，增加或减少的量为定值，则是的一次函数．( ) ()函数＝衰减的速度越来越慢．( ) ()不存在一个实数，使得当>时，>.( )提示 ()√因为一次函数的图象是直线，所以当增加一个单位时，增加或减少的量为定值． ()√由函数＝的图象可知其衰减的速度越来越慢．()×根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数，使得当>时，>.题型一几类函数模型的增长差异【例】 ()下列函数中，增长速度最快的是( )．＝．＝．＝．＝()四个自变量，，，随变量变化的数据如下表：解析()比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选．()以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量，，，均是从开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量关于呈指数型函数变化．答案() ()规律方法常见的函数模型及增长特点()线性函数模型：线性函数模型＝＋(>)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．()指数函数模型：能用指数型函数()＝＋(，，为常数，>，>)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．()对数函数模型：能用对数型函数()＝＋(，，为常数，>，>，>)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．()幂函数模型：能用幂型函数()＝α＋(，，α为常数，≠，α≠)表达的函数模型，其增长情况由和α的取值确定．【训练】下列函数中随的增大而增长速度最快的是( )．＝．＝．＝．＝·解析指数函数＝，在>时呈爆炸式增长，并且值越大，增长速度越快，应选．答案()请指出图中曲线，分别对应的函数．()结合函数图象，判断()，()，()，()的大小．解()对应的函数为()＝，对应的函数为()＝.()因为()>()，()<()，()<()，()>()，所以<<<<，所以<< >，从图象上可以看出，当<<时，()<()，所以()<()．当>时，()>()，所以( )>( )．又因为( )>()，所以( )>( )>()>()．【迁移】(变换条件)在例中，若将“函数()＝”改为“()＝”，又如何求解第()题呢？。

浙江省2018版高一数学人教版A版必修一学案：第三单元 3.2.1 几类不同增长的函数模型

§3.2　函数模型及其应用3.2.1　几类不同增长的函数模型学习目标　1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质、并体会增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义(重点).2.会分析具体的实际问题，并进行数学建模解决实际问题(重点)．预习教材P95－P101，完成下面问题：知识点　三种函数模型的性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x 增大逐渐近似与y 轴平行随x 增大逐渐近似与x 轴平行随n 值而不同增长速度①y ＝a x (a >1)：随着x 的增大，y 增长速度越来越快，会远远大于y ＝x n (n >0)的增长速度，y ＝log a x (a >1)的增长速度越来越慢②存在一个x 0，当x >x 0时，有a x >x n >log a x【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当x 每增加一个单位时，y 增加或减少的量为定值，则y 是x 的一次函数．( )(2)函数y ＝x 衰减的速度越来越慢．( )log12(3)不存在一个实数m ，使得当x >m 时，1.1x >x 100.( )提示　(1)√　因为一次函数的图象是直线，所以当x 增加一个单位时，y 增加或减少的量为定值．(2)√　由函数y ＝x 的图象可知其衰减的速度越来越慢．log12(3)×　根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m ，使得当x >m 时，1.1x >x 100.题型一　几类函数模型的增长差异【例1】　(1)下列函数中，增长速度最快的是( )A ．y ＝2 017x B ．y ＝x 2 017C ．y ＝log 2 017x D ．y ＝2 017x(2)四个自变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：x 151015202530y 1226101226401626901y 2232 1 02432 768 1.05×1063.36×1071.07×109y 32102030405060y 424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x 呈指数型函数变化的变量是________．解析　(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A ．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y 2关于x 呈指数型函数变化．答案　(1)A (2)y 2规律方法　常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y ＝kx ＋b (k >0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型：能用指数型函数f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0，b >1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x 的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．(3)对数函数模型：能用对数型函数f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m >0，x >0，a >1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x 的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．(4)幂函数模型：能用幂型函数f (x )＝ax α＋b (a ，b ，α为常数，a ≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a 和α的取值确定．【训练1】　下列函数中随x 的增大而增长速度最快的是( )A ．y ＝e xB ．y ＝100 ln xC ．y ＝x 100 D ．y ＝100·2x1100解析　指数函数y＝a x，在a>1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A．答案　A典例迁移　题型二　指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例2】　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数．(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 011)，g(2 011)的大小．解　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2 011>x2，从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 011)>g(2 011)．又因为g(2 011)>g(6)，所以f(2 011)>g(2 011)>g(6)>f(6)．【迁移1】　(变换条件)在例2中，若将“函数f(x)＝2x”改为“f(x)＝3x”，又如何求解第(1)题呢？解　由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝3x.【迁移2】　(变换所求)本例条件不变，例2(2)题中结论改为：试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2 015)，g(2 015)的大小．解　因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<8<x2，2 015>x2，从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(8)<g(8)，当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 015)>g(2 015)，又因为g(2 015)>g(8)，所以f(2 015)>g(2 015)>g(8)>f(8)．规律方法　由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．题型三　函数模型的选择问题【例3】　某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pq x＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？解　根据题意可列方程组Error!解得Error!所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.①同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.②再将x＝4分别代入①与②式得f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pq x＋r作为模拟函数较好．规律方法　建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．【训练2】　某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？解　A 种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B 种债券的半年利率为，所51.4－5050以100元一年到期的本息和为1002≈105.68(元)，收益为5.68元；C 种债券的利(1＋51.4－5050)率为，100元一年到期的本息和为100≈103.09(元)，收益为3.09元．通100－9797(1＋100－9797)过以上分析，应购买B 种债券．课堂达标1．如表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( )x 45678910y15171921232527A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．指数函数模型D ．对数函数模型解析　随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．故选A ．答案　A2．当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( )A ．y ＝3x B ．y ＝log 3xC ．y ＝x 3 D ．y ＝3x解析　几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D ．答案　D3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析　设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意，ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x (x ≥1)，∴y ＝f (x )的图象大致为D 中图象．答案　D4．当2＜x ＜4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( )A ．2x ＞x 2＞log 2xB ．x 2＞2x ＞log 2xC ．2x ＞log 2x ＞x 2D ．x 2＞log 2x ＞2x解析　法一　在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x 在区间(2,4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图象，所以x 2＞2x ＞log 2x .法二　比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x ＝3，经检验易知选B ．答案　B5．有甲乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p 万元和q 万元，它们与投入资金m (万元)的关系式为p ＝m ，q ＝.今有3万元资金投入这两种商品．1535m 若设甲商品投资x 万元，投资两种商品所获得的总利润为y 万元．(1)写出y 关于x 的函数表达式；(2)如何分配资金可使获得的总利润最大？并求最大利润的值．解　(1)由题意知，对甲种商品投资x 万元，获总利润为y 万元，则对乙种商品的投资为(3－x )万元，所以y ＝x ＋·(0≤x ≤3)．15353－x (2)令t ＝(0≤t ≤)，3－x 3则x ＝3－t 2，所以y ＝(3－t 2)＋t ＝－2＋，153515(t －32)2120所以当t ＝时，y max ＝＝1.05(万元)．322120由t ＝＝可求得x ＝0.75(万元)，3－x ＝2.25(万元)，3－x 32所以为了获得最大利润，对甲乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，此时获得最大利润为1.05万元．课堂小结三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n＞0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．。

高一数学人教A版必修一精品教案：3.2.1几类不同增长的函数模型 Word版含答案

生：通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本全的完整解答，然后全班进行交流．
例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：
生：进一步认识三个函数模型的增长差异，对问题作出具体解答．
探
究
与
发
现
幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：
你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数、指数函数、对数函数在区间上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结，形成较为准确、详尽的结论性报告．
师：引导学生仿照前面例题的探究方法，选用具体函数进行比较分析．
．
问：其中哪个模型能符合公司的要求？
探究：
1）本例涉及了哪几类函数模型？
本例的实质是什么？
2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？
师：引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况．
生：进一步体会三种基本函数模型在实际中的广泛应用，体会它们的增长差异．
生：仿照例题的探究方法，选用具体函数进行研究、论证，并进行交流总结，形成结论性报告．
师：对学生的结论进行评析，借助信息技术手段进行验证演示．
巩
固
与
反
思
尝试练习：
1）教材P116练习1、2；
2）教材P119练习．
小结与反思：
通过实例和计算机作图体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数模型的增长的含义，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美．

新课标人教A版第三章《3.2.1几类不同增长的函数类型(1)》获奖教学设计(含教学设计说明+点评)

《几类不同增长的函数类型（1）》教学设计一、内容和内容解析本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学1必修(A版)》中第三章“函数的应用”3.2.1《几类不同增长的函数模型》的第1课时．学生在本册书的第二章已经学习了指数函数、对数函数以及幂函数等基本初等函数的概念、图象和性质，本节课是对这些基本初等函数性质的进一步拓展和应用，同时也为下一节继续研究函数的增长性和“函数模型的应用”奠定了基础．教科书本节课安排了投资回报和选择奖励模型两个实例，目的是让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长的快，一次函数比对数函数增长的快．教科书的例1是投资回报模型，编者的意图是让学生通过此题体会指数爆炸；教科书的例2是选择奖励模型，教材将三个函数增长模型，，同时呈现给学生，主要目的是让学生感受它们增长速度的差异．教科书对几种不同增长的函数模型的认识和应用，都是通过实例来实现的，这一方面可以让学生体会到数学在生活实际和生产实践的应用价值，另一方面也给学生提供了更多的从实际问题中发现和建立函数模型的机会，培养学生的函数建模能力．本节课蕴涵了丰富的数学思想和方法，如借助于表格和图象来研究基本初等函数的增长性，体现了数形结合的数学思想；从实际问题中抽象出函数模型，体现了函数建模的思想．因此本节课是渗透数学思想，培养学生理性思维能力和数学应用意识的良好载体．此外，本节课借助于信息技术手段，让学生按照由特殊到一般，由具体到抽象的思路来研究函数的增长性，也是培养学生信息素养及分析和解决数学问题能力的良好载体．基于以上对本节课教学内容的分析，确定本节课的教学重点为：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸和对数增长．二、目标和目标解析（一）教学目标1．通过对具体的实际问题的探究，认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸和对数增长．2. 通过利用函数图象和表格来研究函数的增长性，体会数形结合思想．3．通过对生产生活中具体实例的研究，体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．4. 在实际问题转化为数学问题的过程中，培养学生的函数建模能力．5. 通过利用电子表格等信息技术手段，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，增强使用技术手段研究数学问题和实际问题的能力．6. 通过小组合作的学习方式，培养团结、合作的意识和表达交流的能力．（二）教学目标解析1．本节课的内容脉络是：先复习一次函数（斜率大于零）、二次函数（抛物线开口向上）、指数函数（底大于）、对数函数（底大于）的图象和性质．通过对图象的观察，体会几类不同函数递增方式的不同（二次函数研究其对应的单调递增区间），为后面的学习做出铺垫．然后通过对三个实例问题的解决，让学生体会几类不同的增长型函数在实际问题中的应用，并进一步体会其不同之处.本节课以实际应用问题为主要研究的对象，以图象和数表为研究的主要依据，通过对图象以及数据的观察、分析、探究、归纳和概括得到所对应的结论，进而加强对几类函数的认识．2．这节课突出了数形结合的数学思想．学生通过这节课的学习，加强了通过对图象的研究认识问题、研究问题和解决问题的能力．3. 这节课也渗透着函数与方程的数学思想，通过将实际问题转化为函数问题，通过研究函数进而解决实际问题，让学生在学习和研究的过程中体会数学建模的过程和处理的方式．4．通过这节课的学习，使学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的思维品质，提高学生思维能力．通过小组合作的方式，也可以增强学生们之间的合作意识，培养学生的综合能力．三、教学问题诊断分析本节课涉及到的一次函数、二次函数学生在初中已学过，对其图象和性质学生非常熟悉；指数函数、对数函数和幂函数这三类基本初等函数的模型学生在本册书的第二章也学过，已基本掌握了它们的概念、图象和性质．并且在前面的学习中，学生也熟悉了研究函数性质的一般方法并对数形结合思想有了初步的了解．学生前面的学习主要是针对某一类函数进行研究，很少将其综合在一起，学生没有或者很少有对这几类函数不同变化趋势的理解．所以学生对指数函数、对数函数、幂函数等的增长速度的认识还很少，让学生比较这几种函数的增长差异会有一定困难．另外，在第二章中，主要是从函数的基本模型认识函数，而函数在生活、生产中的实际应用相对较少．学生在研究具体问题时，如何选择恰当的模型函数分析和解决实际问题是另一个困难．再有，这节课的内容由于涉及到实际问题，会有大量的数据，课上将采用excel做数据处理，学生对于excel软件的操作是否熟悉也会影响学生对内容的掌握和吸收．这节课学习的对象是天津市南开中学高一年级的学生．南开中学是天津市市直属重点中学，学生的水平相对较高，基础知识掌握得较好，学生的理解能力比较强．在几个应用问题的理解上不会出现太大的问题．综上所述，确定这节课的教学难点为：（1）对不同增长的函数模型的认识；（2）选取适当的函数模型以研究具体的增长模式；针对以上这些问题，课堂形式将采用小组合作学习的方式，指定小组长，并提前对小组长做软件使用的适当培训．小组中的同学还可以取长补短，在选取函数模型，研究不同模型的增长方式做进一步的讨论和探究．四、教学策略分析1. 教法和学法分析《高中数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．根据本节课的教学内容和南开中学学生自主学习能力相对比较强的特点，本节课拟采用小组合作学习的教学组织形式．教师利用问题串来引导学生开展合作探究的学习活动．在教学前根据学生的具体情况将学生分为六个小组，每个小组指定一名excel和几何画板使用较为熟练的同学作为组长．考虑到课堂教学时间的限制，以及本节课的重点是几类不同增长的函数类型之间的联系与区别，因此在小组探究和讨论的过程中回避了学生自己制作数据表和绘制散点图以及绘制函数图象的过程．教师在课前已经制作好相应的文件和文档提供给学生，让学生将重点放在对不同增长的函数类型的研究上．为了控制好课堂的研究方向，也为了提高小组讨论的效率，本节课设置了学案．在学案中为学生的讨论和探究设置了一系列的参考问题，问题的设置也始终围绕着这节课的重点．也为了培养学生的自主创新能力，建立学生积极主动、勇于探索的学习方式，在每一个问题之后都留给学生自己发现问题和解决问题的空间，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习的过程中，养成独立思考、积极探索的学习习惯．基于以上原因，本节课将从复习几个常见的函数类型入手，然后通过对课本例一和例二的处理，理解选取不同函数模型的不同增长方式．在例题一的处理上，除了课本中涉及的几个问题外，还特意增加了对于“日回报图”与“日增量图”的比较以及“日回报图”与“累计回报图”的比较，以便让学生对不同增长函数类型的理解．在例题二的处理上，增加了对模型在奖励的过程中的不足之处的分析，并引导学生就如何实现更有效的分配进行探究，也是为了让学生更好的体会对数型增长方式以及其他类型增长方式的特点．2. 教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，本节借助信息技术工具，以“excel”和“几何画板”软件为平台，绘制具体的指数函数、对数函数和幂函数等基本初等函数的图象并列出相应的数据表格，通过数形结合开展数学探究活动．每个小组配置一台电脑，教师有一台电脑作为演示．为了提高课堂的效率和把握课堂教学的重点，本节课还设置了学案．四、教学过程设计（一）复习旧知，体会不同函数模型增长方式引入：我们已经学习过哪些具有单调递增区间的函数模型？通过具体函数图象，观察他们在对应的递增区间内递增变化的规律．一次函数：()；二次函数：()；指数函数：()；对数函数：().师生活动：教师提问，学生思考、回答．教师根据学生回答的情况加以补充，几类函数图象运用几何画板显示，观察不同函数模型的不同变化趋势，尤其是体会指数函数的“爆炸式”递增方式．【设计意图】通过复习不同的函数模型，熟悉不同函数类型对应着不同的增长方式，为后面处理实际问题做好铺垫．（二）深入研究，应用函数模型确定合适的方案问题1：（课本例一）假设你有一笔资金进行投资，现有三种方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0．4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？师生活动：教师引导学生写出三个方案所对应的日回报函数模型：三个方案的日回报函数：其中表示天数，表示日回报．方案一：（）方案二：（）方案三：（）图象如下：分两个部分同时进行下面的探究和讨论．其中第1、2、3小组研究方向一：通过研究三个方案的日回报，体会它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．教师提出下面几个研究的方向供参考：1.通过日回报数据表，得出从日回报的角度来看的投资选择方案；2.3.通过日回报散点图验证上面得到的结果，并给出结论；4.5.通过日回报增量数据以及散点图分析三个方案所对应的函数增长方式；6.7.比较日回报函数模型与其所对应的增量函数模型；8.9.其他学生想到的问题.10.三种不同方案所得日回报的增长情况：（天）（元）（元）（元）第4、5、6小组研究方向二：通过研究累计回报，体会它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．教师提出下面几个研究的方向供参考：1.通过累计回报数据表（见“学生文档.xls”），发现从累计回报的角度来看的投资选择方案；2.3.通过累计回报散点图验证上面得到的结果，并给出结论；4.5.通过累计回报数据以及散点图分析三个方案所对应的函数增长方式.6.除此之外，大家所想到的问题．其他备案：可能有学生会提出对“日回报图与日增量图”与“日回报图与累计回报图”的比较，得到一次函数模型的增量是常数，二次函数模型的增量是一次函数模型，指数函数模型的增量还是指数函数模型；相反，常数函数模型的累计是一次函数模型，一次函数模型的累计是二次函数模型，指数函数模型的累计还是指数函数模型.下面列出累计回报数据表：（天）通过日回报图与日增量图，以及日回报图与累计回报图，引导学生得出下面的结论：常数型函数的增量为常零型，累计为一次型；一次函数的增量为非零常数型，累计为二次型；指数函数的增量和累计仍然为指数型.【设计意图】1.通过两个大组分别研究，提高课堂效率，培养学生研究和交流的能力与素养；2.对于方向一，由于三个函数模型较为简单，故采用先确定函数模型，再进一步讨论处理的方法．由于已经确定了函数，采取了更为习惯的先做出图象研究，然后列表，研究增量关系，并通过绘制散点图得到更为形象的图形关系．这一点的处理与课本上的方式略有不同；3.通过比较三种方案的不同，让学生探究和发现不同增长型函数的增长差异；4.对于方向二，学生较难直接写出三种方案所对应函数模型，故在操作上先列表，再根据表中的数据绘出图象，体会不同增长型函数的增长差异．问题2（课本例二）某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的．现有三个奖励模型：,,，其中哪个模型能符合公司要求？师生活动：1.教师引导学生发现上述问题中对模型的几个制约．2.（1）递增模型；（2）销售利润（自变量）大于等于10万元，小于等于1000万；（3）奖金总数不超过5万元；（4）奖金不超过利润的.3.教师为每个小组准备好了三个函数的图象，每个小组根据给出的图象探究、讨论，找出合适的模型并做出解释．教师提供以下几个问题作为参考：（1）三个模型中哪两个不符合问题的要求，为什么？（2）哪个方案符合问题要求，如何判断的？（3）如何判断满足奖金不超过利润的？（4）满足问题要求的模型有没有不足之处，是否可以找到更为合适的模型？（5）其他的问题.提供的图象：【设计意图】这个问题是通过限定一些条件的情况下，判断给定的线性函数、对数型函数和指数函数是否满足要求的问题．1．通过这个问题，使学生进一步体会不同增长型函数的增长特征．2．学会将实际问题的限制转化为数学问题的限制，从而解决实际问题．3．通过对具体函数图象的解释，将数学问题回归为实际问题．4．通过修订给出的指数函数模型，让学生再次体会指数型函数增长形式．（三）归纳反思，总结几类不同增长的函数模型通过这节课，我们研究了下面几类不同增长的函数模型，请总结他们不同的增长方式：1.线性函数；2.二次函数；3.对数函数；4.指数函数师生活动：教师提出问题，请同学总结并幻灯片演示与板书附：幻灯片投影当随着随着随着【设计意图】教师引导学生归纳总结这节课的重点：几类不同增长的函数模型的区别与联系，让学生进一步体会线性增长、指数型的“爆炸式”增长以及对数型的“平缓式”增长．五、目标检测设计1．四个变量，，，随变量变化的数据如下表：关于呈指数型函数变化的变量是；,关于呈怎样的模型变化？2．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他20台未感染的计算机．现有10台计算机被第1轮病毒感染，问被第5轮病毒感染的计算机有多少台？【设计意图】第1题主要的目的是检测学生对几类函数模型的理解．在处理上，先让学生通过数据的分析体会并作答，然后利用散点图进一步的验证．第2题以实际问题为背景，检测学生运用数学方法解决实际问题的能力．通过这道题目，让学生进一步体会指数型的“爆炸式”增长，并为后面学习等比数列等知识做一铺垫．六、作业：选择一个你所知道的增长模型，判断其增长方式，试找到其对应的函数模型.下面的问题供选择：1. 中国的经济总量；2.中国从1980年开始的人口数；3. 世界人口数；4. 中国的私家车数量；5. 其它问题.【设计意图】作业采用开放性的问题，学生通过这节课的学习能够应用所学到的知识发现和解决实际的问题，发展学生的数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣，也有利于扩展学生的视野，提高实践能力.《几类不同增长的函数类型（1）》教学设计说明天津市南开中学张广民一、本课数学内容的本质、地位、作用分析本课内容属于《普通高中课程标准（实验）》规定的必修1中函数概念与基本初等函数I中的部分．采用的教科书是人民教育出版社的《普通高中课程标准实验教科书数学1（A版）》．这部分内容是在学习完三类基本初等函数后，让学生通过具体的实例来体会不同模型的增长方式．让学生利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．通过具体的实例了解函数模型的广泛应用．本节课充分利用函数的图象、列表数据等方式进行研究，培养学生数形结合的数学思想的应用．学好本节课，对于学生学习后面的函数问题奠定基础，对于学生学习导数的有关知识做了铺垫．二、教学目标分析1．学生已经学习了幂函数、指数函数和对数函数的有关知识，但还没有将这三者函数放在一起进行比较．通过这节课，让学生体会到不同的函数模型所对应的增长差异，体会会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．这是本节课的重点与核心．2．根据本节课的内容，将采用更多的技术手段加以实施．主要采用几何画板软件和EXCEL软件．这样也可以让学生体会到技术手段对于处理数学问题和实际问题的应用，并且培养学生探究问题和解决问题的能力．由于准备这节课的时间短，只能对学生进行一些简单的技术手段的培训，采用小组合作的方式进行．如果采用每人一台casio的图形计算器将会有更好的效果．3．本节课以应用问题为主线，也培养学生将实际问题转化为数学问题的建模能力．通过三个函数不同增长方式的体会，让学生了解函数模型的广泛应用．更加让学生体会生活中的数学和身边的数学，培养学生学习数学的兴趣．4．本节课采用小组合作的方式进行，培养学生合作交流的意识与能力．三、教学问题诊断函数的基本知识学生已经学习过，但对各类函数不同的变化模式并不是十分了解．在处理实际问题的过程中，容易选用错误的函数模型．此外，对于实际问题，在前面的学习过程中，学生接触的相对较少，因而会出现对题目的理解，加工，处理上存在问题．通过大量的数据，找出所要研究问题的依据，对于学生来讲也是一个难点．如何得到数据和处理数据在以前的学习中也比较少见．另外，这节课中需要学生自己使用Excel与几何画板软件，学生使用的是否熟练也是影响课堂效果的一个原因．四、教法、学法特点分析新课程理念倡导学生主动参与、积极探究的学习方式．强调数学在实际生产与生活中的应用．本节课正是函数问题在实际生活中应用的典范，强调学生通过观察、实验、探究了解和体会对以学习的几种不同函数模型的区别．在设计上，我也采用学生主动学习的方式，以小组合作模式进行．每个同学既有自己的独立思考，又有小组内的互帮互助，还有小组间的探讨和研究，让学生在主动参与的过程中掌握这节课应该掌握的知识，并锻炼学生的能力．《几类不同增长函数模型（1）》教学设计点评结合本节课的教学内容与本节课的特点从四个方面进行点评１．以问题为驱动，引导学生自主学习新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程，本课按照“创设情境——学生活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的程序设计教学过程．以问题为驱动，适时适度地铺设认知阶梯，准确把握启发学生思维的时机，引导学生自己去发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，使学生真正成为学习的主人．教师的点拨起着画龙点睛的作用。