1.3_条件概率、全概率公式和贝叶斯公式

类似地， P( B) 0 时， 当 事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率
P( AB) P( A | B) ． P( B)
2013年8月9日星期五 4
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关于条件概率，作如下几点说明：
(1) P( B | A) 可认为是 A, B 同时发生的次数占 A 发生次 数的比例．一般地， P( B | A) P( B) ， P( B | A) P( A) ， P( B | A) P( BA) ．
P ( AB) P( A) P( B | A) 90 3 45 0.0315. 93 92 1426
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【例 14】设袋中有 a 只红球，b 只白球，随机取出一只， 观察颜色后放回，并加进同样颜色的球 c 只，一共取了 试求前 m 次取到红球， n 次取到白球的概 后 m n 次球， 率．
i 1 i

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关于条件概率，作如下几点说明：
(3) 计算条件概率可选择如下两种方法之一：① 在原 样 本 空 间 中 ， 先 计 算 P( AB), P( A) ， 再 按 公 式 P( AB) P( B | A) 计算； ②由于事件 A 已经出现， 它可以 P( A) 看成新的样本空间，因此可以在缩小后的样本空间 A 中 计算事件 B 发生的概率 P( B | A) ．
抽 签 公 平 原 理
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【例 16】 设某仓库有一批产品，已知其中 50%、30%、 20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产 1 1 1 的次品率分别为 , , . 求 10 15 20 (1) 现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率？ (2) 若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求它 是由甲厂生产的概率？
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【例 17】对以往的数据分析结果表明，当机器调整得良 好时，产品的合格率为 98%，而当机器发生某种故障时， 其合格率为 55%. 每天早上机器开动时，机器调整良好 的概率为 95%. 试求已知某日早上第一件产品是合格品 时，机器调整良好的概率是多少？ 解 设 A 为事件 “产品合格” B 为事件 ， “机器调整良好” . 已 知 P( A | B) 0.98 ， P( A | B ) 0.55 ， P( B) 0.95 ，
解 设 A 、 B 分别表示第一个、第二个顾客中奖，则
2 8 1 2 P ( A) ， P ( A) ， P( B | A) ， P( B | A) ． 10 10 9 9
由全概率公式
P( B) P( A) P( B | A) P( A) P( B | A) 2 1 8 2 2 0.2. 10 9 10 9 10
P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 ) P( A3 ) P( B | A3 )
5 1 3 1 2 1 10 10 10 15 10 20 0.08.
P( A1 B) P( A1 ) P( B | A1 ) 0.5 0.01 (2) P ( A1 | B ) 0.625. P( B) P( B) 0.08
的一组事件，若 (1) Ai , Aj 两两互不相容， Ai Aj , i j , i, j 1, 2, , n ； 即 (2) A1 A2 An ， 则 称 A1 , A2 ,, An 为 样 本 空 间 的 一 个 划 分 (partition)．
2013年8月9日星期五
上述问题所求的概率只与红球、白球出现的次数有关， 而与它们出现的次序无关．历史上玻利亚(Ploya)曾经 用此模型讨论传染病传播的规律．在时是放回抽样的 摸球问题，在时是不放回抽样的摸球问题．
2013年8月9日星期五 12
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三、全概率公式
A 定义 7 设 是随机试验 E 的样本空间， 1 , A2 ,, An 是 E
(2) 条件概率 P( | A) 也满足概率公理化定义中的三条， 即：① P( B | A) 0 ；② P( | A) 1 ；③若 B1 , B2 , 是可 数 个 两 两 互 不 相 容 的 事 件 ， 则 P ( Bi | A)
i 1
P( B | A) ．因而也是一个概率．
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a (m 1)c P( Am | A1 A2 Am1 ) , a b (m 1)c
b P( Am1 | A1 A2 Am ) , a b mc
b (n 1)c P( Am n | A1 A2 Am Am1 Am n1 ) a b ( m n 1)c
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四、 贝叶斯公式(Bayesian formula)
设 A1 , A2 ,, An 为试验 E 的样本空间 的一个划分，且
P( Ai ) 0,(i 1, 2,, n) ， B 为 E 的一个事件，且 P( B) 0 ，
则有
P (Байду номын сангаасAi | B)
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一、 条件概率
定义 6 设 A, B 是两个事件， P( A) 0 ， 且 则事件 A 发生 的 条 件 下 事 件 B 发 生 的 条 件 概 率 (conditional probability)为 P( AB) P( B | A) ． P( A)
(4) 一般地， P( B | A) P( A | B) ．
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【例 11】某疾病 D 的医学检验结果可能为阳性(+)和阴性 ( )，其概率如下：
D
D 0.099 0.891
+
0.009 0.001

由条件概率的定义可得
P ( D) 0.009 P ( | D) 0.9, P( D) 0.009 0.001 P( D) 0.891 P ( | D) 0.9, P( D) 0.891 0.099 P( D) 0.009 P( D | ) 0.08. P() 0.009 0.099
2013年8月9日星期五 7
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不 要 轻 易 相 信 你 的 直 觉
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【例 12】设某种动物从出生起活 20 岁以上的概率为 0.8， 活 25 岁以上的概率为 0.5．求 (1) 如果现在有一个 20 岁的这种动物，它能活 25 岁 以上的概率？ (2) 如果现在有一个 20 岁的这种动物，它活不到 25 岁的概率？ 解 (1)设事件 A ={能活 20 岁以上}；事件 B ={能活 25 岁 ． 以上}，则 P( AB) 0.5 P( B | A) 0.625. P( A) 0.8
§1.3 条件概率、全概率公 式和贝叶斯公式
一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式
四、贝叶斯公式
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【引例】考虑有两个小孩的家庭．样本空间 { (男、 男)，(男、女)，(女、男)，(女、女) } . 设事件 A 为{家 中至少有一个男孩}，事件 B 为{家中至少有一个女 孩}． 求已知家中至少有一男孩的条件下至少有一女孩的 概率． A { (男、男)，(男、女)，(女、男) } 2 P( B | A) . B { (男、女)，(女、男)，(女、女) } 3
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三、全概率公式
全 概 率 公 式 (complete probability formula)： 若 A1 , A2 ,, An 为 试 验 E 的 样 本 空 间 的 一 个 划 分 ， 且
P( Ai ) 0, i 1, 2, , n ，则对 中的任意一个事件 B 都有
P( B) P ( A1 )P (B A1 ) P ( A2 )P (B A2 ) P (An )P (B An )
P( Ai ) P ( B Ai ) ．
i 1
n
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【例 15】若 10 张彩票中有 2 张有奖，顾客各抽一张， 问第二位顾客中奖的概率是多大？
解 设 Ai 表示第 i 次取到红球的事件， i 1,2, m n ， , 则前 m 次取到红球，后 n 次取到白球的事件为 A1A2 AmAm 1Am 2 Am n ．依题设有
ac a P( A1) , P( A2 | A1 ) , ab abc
a 2c P( A3 | A A ) , 1 2 a b 2c
P ( AB ) P ( A) P ( B A) P ( B ) P ( A B )
利用这个公式可以计算积事件的概率． 推广
P( A1 An ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 ) P( An A1 An 1 )
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(2) P( B | A) 1 P( B | A) 1 0.625 0.375
【注】该例说明 P( B | A) 1 P( B | A) ．
2013年8月9日星期五 8
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二、 乘法公式
由条件概率的定义容易推得概率的乘法公式(multip lication formula)：
P( Ai ) P( B Ai ) P( A1 ) P( B A1 ) P( An ) P( B An )

P ( Ai ) P ( B Ai )
P( A ) P( B A )
j 1 j j
n
.
这个公式称为贝叶斯公式(Bayesian formula)， 也称为后验公式 .
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3 P( A) ; 4
3 P( B) ; 4
1 2 P( AB) ; 2 4 2 2 4 P( A | B) ; 3 3 4
2
P ( AB ) . P ( B | A) P ( A)
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2013年8月9日星期五
事实上，设试验中样本点的总数为 n ，事件 A 所包 含的样本点的个数为 m(m 0) ， 所包含的样本点的个 AB 数为 k ，则有 k k n P( AB) ． P( B | A) m m P( A) n 一般地，人们将上述关系式作为条件概率的定义．
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【例 13】 在一批由 90 件正品， 件次品组成的产品中， 3 不放回地连续抽取两件产品，问第一件取正品，第二件 取次品的概率．
解 设事件 A ={第一件取正品}；事件 B ={第二件取次 90 3 品}．依题意， P( A) = ， P( B | A) = .由乘法公式得 93 92
解 (1)以 A1 、 A2 、 A3 分别表示事件“取得的这件产品是 甲、乙、丙厂生产” ；以 B 表示事件“取得的产品为次 品” ，则
2013年8月9日星期五
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5 3 2 P( A1 ) , P ( A2 ) , P ( A3 ) , 10 10 10 1 1 1 P( B | A1 ) , P ( B | A2 ) , P ( B | A3 ) . 10 15 20 由全概率公式，有
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先验概率: 在贝叶斯公式中， P( Ai ), i 1, 2, , n 是 在试验以前就已经知道的概率，所以习惯地称它们为先 验概率．
后验概率: 如果试验产生结果 B ，条件概率 P( Ai | B), i 1, 2, , n 反映了导致结果 B 的原因 Ai 的可能 性是多少， 通常称作后验概率．