高考数学一轮总复习第8章解析几何第三节圆的方程课件文新人教A版

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高考数学总复习第8章第3讲圆的方程课件理新人教A版

核心要点研究
例1
[2011· 辽宁高考 ] 已知圆 C 经过 A(5,1) ， B(1,3) 两点，
圆心在x轴上，则C的方程为________．
[解析] 依题意设所求圆的方程为：(x－a)2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程得
2 2 5－a ＋1＝r ， 2 2 1 － a ＋ 9 ＝ r ，
y－2 (2)设 k＝，则直线 kx－y－k＋2＝0 与圆(x＋2)2＋y2 x－1 ＝1 有公共点， |－3k＋2| 3－ 3 3＋ 3 ∴ ≤1.∴ 4 ≤k≤ 4 . 2 k ＋1 3＋ 3 3－ 3 ∴kmax＝ 4 ，kmin＝ 4 .
例3
[2013·淮北模拟]已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足
(3)方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，则圆心到2x＋y－1＝0的距
离________．
2．点与圆的位置关系 (1)理论依据：________与________的距离与半径的大小关系．
(2)三个结论
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0) ①____________⇔点在圆上； ②____________⇔点在圆外； ③____________⇔点在圆内．
(2)y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，当直线 y＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值， |2－0＋b| 此时＝ 3， 2 解得 b＝－2＋ 6或 b＝－2－ 6. 所以 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
(3)x2＋y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 2－02＋0－02＝2，所以 x2＋y2 的最大值是(2＋ 3)2＝7＋4 3， x2＋y2 的最小值是(2－ 3)2＝7－4 3.

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：解析几何

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当m＝－k时，直线PQ的方程为y＝kx－k＝k(x－1). 此时直线PQ过定点(1,0). 当直线PQ的斜率不存在时，若直线PQ过定点(1,0)， P，Q 的坐标分别为1，32，1，－32. 满足 kAP·kAQ＝－14. 综上，直线PQ过定点(1,0).
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②求△APQ面积的最大值.
1234
则 x1·x2 ＋ 2(x1 ＋ x2) ＋ 4 ＋ 4(kx1 ＋ m)(kx2 ＋ m) ＝ (1 ＋ 4k2)x1x2 ＋ (2 ＋ 4km)(x1＋x2)＋4m2＋4＝1＋4k32＋44mk22－12＋(2＋4km)·3－＋84kmk2＋4m2＋ 4＝0，则m2－km－2k2＝0， ∴(m－2k)(m＋k)＝0，∴m＝2k或m＝－k. 当m＝2k时，直线PQ的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)，此时直线PQ过定点(－2,0)，显然不符合题意；
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设l1的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， x＝my＋1，
联立x42＋y32＝1，消去 x 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，易知 Δ>0 恒成立，由根与系数的关系得 y1＋y2＝3－m26＋m4，y1y2＝3m－2＋9 4，
由直线 A1M 的斜率为kA1M＝x1y＋1 2，得直线 A1M 的方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)，
第八章直线和圆、圆锥曲线
必刷大题17 解析几何
1.(2022·南通模拟)已知P为抛物线C：y2＝4x上位于第一象限的点，F为C 的焦点，PF与C交于点Q(异于点P).直线l与C相切于点P，与x轴交于点M. 过点P作l的垂线交C于另一点N. (1)证明：线段MP的中点在定直线上；
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设 P(x0，y0)，则 y20＝4x0，

新教材高考数学一轮复习第八章8-3圆的方程课件新人教A版

过点B且垂直于直线x-y-1=0的直线的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.②
= 3,
联立①②,解得
= 0,
所以圆心坐标为(3,0),
半径 r= (4-3)2 + (1-0)2 = 2,
所以圆 C 的方程为(x-3)2+y2=2.
(方法 2)设圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),因为点 A(4,1),B(2,1)都在圆 C
(1)(x0-a)2+(y0-b)2 =
r2⇔点M在圆上;
(2)(x0-a)2+(y0-b)2 >
r2⇔点M在圆外;
(3)(x0-a)2+(y0-b)2 <
r2⇔点M在圆内.
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.( × )
4.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则圆C
的标准方程是(
)
A.(x-2)2+(y-1)2=1
B.(x-2)2+(y+1)2=1
C.(x+2)2+(y-1)2=1
D.(x-3)2+(y-1)2=1
答案 A
解析因为圆心在第一象限,且与x轴相切,所以设圆心的坐标为(a,1)(a>0).
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆.( × )
2
2
2
(3)方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0

新人教版2020版高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第3节圆与方程课件理新人教A版

(2)∵圆M的圆心在y＝－x＋2上，
∴设圆心为(a，2－a)，
∵圆M与直线x－y＝0Байду номын сангаасx－y＋4＝0都相切，
∴圆心到直线x－y＝0的距离等于圆心到直线x－y＋4＝0的距离，
即|2a－2|＝|2a＋2|，解得
2
2
a＝0，
∴圆心坐标为(0，2)，圆
M
的半径为|2a－2|＝ 2
2，
∴圆M的标准方程为x2＋(y－2)2＝2.
解析 (1)法一设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F
则F1＋＝10＋，D＋E＋F＝0，解得 D＝－2，E＝0，F＝0， 4＋2D＋F＝0，
故圆的方程为x2＋y2－2x＝0. 法二设 O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，则 kOA＝1，kAB＝－1，所以即 OA⊥AB，所以△OAB 是以角 A 为直角的直角三角形，则线段 B
4.(2019·日照调研)若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实
() A.(－1，1) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析因为点(1，1)在圆的内部，
B.(0，1) D.a＝±1
所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1. 答案 A
5.(2019·荆州模拟)若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，
径，则圆心为 C(1，0)，半径 r＝12|OB|＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2 2x＝0.
(2)法一 ∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上， ∴设所求圆的圆心为(a，－a). 又∵所求圆与直线x－y＝0相切， ∴半径 r＝2|a2|＝ 2|a|.
又所求圆在直线 x－y－3＝0 上截得的弦长为 6，圆心(a，－a)到

高三数学一轮复习第八章第三节圆的方程课件理新人教A版

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若本例中的条件不变． (1)求xy＋＋21的最大值和最小值； (2)求 x－2y 的最大值和最小值．【解】 (1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心， 3为半径的圆． xy＋＋21的几何意义是圆上一点与(－1，－2)连线的斜率，设xy＋＋21＝k，即 y＋2＝k(x＋1)．
∴半径 r＝2 2， ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
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用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r的方程组求解．②若已知条件没有明确(míngquè)给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解．
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1．(人教 A 版教材习题改编)圆的方程为 x2＋y2＋2by－ 2b2＝0，则圆的圆心和半径分别为( )
A．(0，b)， 3b
B．(0，b)， 3|b|
C．(0，－b)， 3b
D．(0，－b)， 3|b|
【解析】圆的标准方程为 x2＋(y＋b)2＝3b2，从而圆的圆心坐标为(0，－b)，半径为 3|b|.
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从近两年高考看，圆的方程的求法每年均有涉及，是高考的必考点，命题形式主要有两大类，一是以选择题、填空题的形式考查(kǎochá)圆的定义及标准方程的求法，另一类是与直线、向量、圆锥曲线综合命题，注重数形结合思想及圆的几何性质的考查(kǎochá)，在求解与圆有关的解答题时，应注意解题的规范化．
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1．本例中点P是平行四边形MONP的一个顶点，因此在点M、O、N三点共线(ɡònɡ xiàn)时，点P是不存在的，故所求的轨迹中应除去两点．

2024届新高考一轮复习人教A版第8章第3讲圆的方程课件(62张)

第八章解析几何
第三讲圆的方程
知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升
知识梳理 · 双基自测
知识点一圆的定义及方程
定义平面内到__定__点____的距离等于__定__长___的点的集合(轨迹)叫做圆标准 (x－a)2＋(y－b)2＝圆心 C：_(a_，__b_)__
A＝C≠0，
B＝0， D2＋E2－4F>0.
题组一走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ ) (2)圆心为(1，－1)且过原点的圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.( × ) (3)若A(2,0)，B(0，－4)，则AB以为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋ 2)2＝5.( √ )
5．(2020·高考全国Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到
直线 2x－y－3＝0 的距离为( B )
5 A. 5
B．2
5 5
35 C. 5
D．4 5 5
[解析] 设圆心为 P(x0，y0)，半径为 r，∵圆与 x 轴，y 轴都相切， ∴|x0|＝|y0|＝r，又圆经过点(2,1)，∴x0＝y0＝r 且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2， ∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得 r＝1 或 r＝5.①r＝1 时，圆心 P(1,1)，则圆心到直线 2x－y－3＝0 的距离 d＝ |222－＋1－－31|2＝255；②r＝5 时，圆心 P(5,5)，则圆心到直线 2x－y－3＝0 的距离 d＝ |1202－＋5－－13|2＝255.故选 B.
_(y_－__1_)_2＝__1_26_59_或__(_x_－__2_)_2＋__(_y_－__1_)_2＝__5___. (4)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在

高三数学一轮复习第八章解析几何第3课时圆的方程课件

√ √
跟进训练3 (2024·山东潍坊高三模拟)已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上． (1)求圆C的方程； (2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
【教师备用】设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
位置关系
几何法
判断方法代数法
点M(x0，y0)在圆A内 |MA|<r
<
<
点M(x0，y0)在圆A上 |MA|＝r
＝
＝
点M(x0，y0)在圆A外 |MA|>r
>
>
点拨求圆的方程的两种方法
跟进训练1 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝3，且AB∥CD，AD＝BC， AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
提示：对于求点的轨迹或轨迹方程的问题，在求出轨迹方程后，应判断一下题目中的条件有没有特殊的限制或要求，是否需要排除掉某些特殊点．本题中容易忽略掉O，M，P三点共线时的情况，因此得到轨迹为整个圆的错误结论．
【教师备用】拓展视野1 阿波罗尼斯圆
如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|. 则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
第八章解析几何第3课时圆的方程
考点一圆的方程 1．圆的定义及方程
定义标准方程
平面定上点到____的距离等于_定___长的点的集合(轨迹)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)

高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程课件文

12/11/2021
第七页，共四十五页。
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2．两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中 a，b 为定值， r 是参数； (2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中 r 为定值，a，b 是参数．
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与圆有关(yǒuguān)的最值问题
►考法 1 斜率型最值问题【例 1】已知实数 x，y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0，则xy的最大值为________，最小值为________．
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解析答案
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12/11/2021
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[规律方法] 求圆的方程的方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，求出 a，b，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值．
径的圆的方程是( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝ 2
C．x2＋y2＝1
D．x2＋y2＝4
A [AB 的中点坐标为(0,0)，|AB|＝ [1－－1]2＋－1－12 ＝2 2，所以圆的方程为 x2＋y2＝2.]
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3．点(m2,5)与圆 x2＋y2＝24 的位置关系是( )
(1)若 M(x0，y0)在圆外，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2

高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3讲圆的方程课件

解析因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5 的圆心 (－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为 5，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
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命题角度 2 圆自身对称例 3 若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9 上的相异两点 P，Q 关于直线 kx＋2y－4＝0 对称，则 k 的值为___2_____．解析圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线 kx＋2y－4＝ 0 过圆心，则 k×(－1)＋2×3－4＝0，解得 k＝2.
(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的.
12/11/2021
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考向与圆有关的轨迹问题
例 6 已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点．
12/11/2021
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(2)[2016·天津高考]已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x－y＝0 的距离为 455，则圆 C 的方程为____(_x_－__2_)_2＋__y_2_＝__9_______．
解析设圆 C 的方程为(x－a)2＋y2＝r2(a>0)，由题意可
径为 t 的一个圆．( × ) (3)方程 x2＋2ax＋y2＝0 一定表示圆．( × ) (4)方程 x2＋Bxy＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条
件是 B＝0，D2＋E2－4F>0.( √ ) (5)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20

高考数学总复习第8章第3节圆的方程课件新人教A版

2．与圆有关的最值问题的应用．
【典例剖析】 (1)圆 x2＋y2－4x－4y－10＝0 上的点到直线 x＋y
－14＝0 的最大距离与最小距离的差是 A．30 C ．6 2 B．18 D．5 2
(2)已知实数 x、y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0. y ①求的最大值和最小值； x ②求 y－x 的最大值和最小值； ③求 x2＋y2 的最大值和最小值．
方程为________．
解析：设圆心坐标为 C(a,0)，由|CA|＝|CB|得 a－52＋－12＝ a－12＋－32，解得 a＝2， ∴圆心为(2,0)，半径为 10， ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
【考向探寻】 1．求圆的标准方程和一般方程．
【典例剖析】
(1)动点 A 在圆 x2＋y2＝1 上移动时，它与定点 B(3,0)的连线的中点的轨迹方程是 A．(x＋3)2＋y2＝4 C．(2x－3) ＋4y ＝1
2 2
B．(x－3)2＋y2＝1
32 2 1 D.x＋2 ＋y ＝ 2
(2)(2013· 沧州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2 ＋y2＝4 上有且只有四个点到直线 12x－5y＋c＝0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是________． (3)(12 分)(2013· 江门模拟)在直角坐标系 xOy 中，以O为圆心的圆与直线 x－ 3y＝4 相切． ①求圆 O 的方程； ②圆 O 与 x 轴交于 A、 B 两点，圆内的动点 P 使|PA|， |PO|， → → |PB|成等比数列，求PA· PB的取值范围．
2．从圆的标准方程和一般方程中得出相关信息(如圆心、半
径等)．

2020高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程教师用书文新人教A版

【2019最新】精选高考数学一轮复习第8章平面解析几何第3节圆的方程教师用书文新人教A版————————————————————————————————[考纲传真] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程2.点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．( )(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )[解析] 由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确．(2)中，当t≠0时，表示圆心为(－a ，－b)，半径为|t|的圆，不正确．[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)方程x2＋y2＋ax ＋2ay ＋2a2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a ＜－2或a ＞B ．－＜a ＜0C ．－2＜a ＜0D ．－2＜a ＜23 D [由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a －1)＞0，解得－2＜a ＜.]3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－B ．－ C. D ．2A [圆x2＋y2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝＝1，解得a ＝－.]4．(2017·西安质检)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．x2＋(y －1)2＝1 [两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相等，则圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x2＋(y －1)2＝1.]5．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y2＝ [由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m)2＋y2＝r2(0<m<4，r>0)，则解得所以圆的标准方程为2＋y2＝.]求圆的方程，C(2，)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )C. D.43(2)(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M(0，)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为，则圆C 的方程为________．(1)B (2)(x －2)2＋y2＝9 [(1)法一：在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE|＝|AD|＝，从而|OE|＝＝＝，故选B.法二：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.所以△ABC 外接圆的圆心为.因此圆心到原点的距离d ＝＝.(2)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝＝，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM|＝＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y2＝9.][规律方法] 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2．待定系数法求圆的方程：①若已知条件与圆心(a ，b)和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．[变式训练1] (2017·河南百校联盟联考)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．x2＋y2－4x －2y －5＝0(或(x －2)2＋(y －1)2＝10) [法一 ∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上．易知线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－(x －4)．设所求圆的圆心为C(a ，b)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －3＝0，b ＝－12a －4，解得a ＝2，且b ＝1.因此圆心坐标C(2,1)，半径r ＝|AC|＝.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.法二设圆的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D2＋E2－4F ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5，∴所求圆的方程为x2＋y2－4x －2y －5＝0.]与圆有关的最值问题Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值．[解] (1)由圆C ：x2＋y2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2.2分又|QC|＝＝4，∴|MQ|max ＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.5分(2)可知表示直线MQ的斜率k.6分设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.8分由直线MQ与圆C有交点，所以≤2，可得2－≤k≤2＋，∴的最大值为2＋，最小值为2－.12分[迁移探究1] (变化结论)在本例的条件下，求y－x的最大值和最小值．[解] 设y－x＝b，则x－y＋b＝0.3分当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，∴＝2，∴b＝9或b＝1.10分因此y－x的最大值为9，最小值为1.12分[迁移探究2] (变换条件结论)若本例中条件“点Q(－2,3)”改为“点Q是直线3x＋4y＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值．[解] ∵圆心C(2,7)到直线3x＋4y＋1＝0上动点Q的最小值为点C到直线3x ＋4y＋1＝0的距离，∴|QC|min＝d＝＝7.5分又圆C的半径r＝2，∴|MQ|的最小值为7－2.12分[规律方法] 1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解．2．某些与圆相关的最值可利用函数关系求最值．根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、利用基本不等式求最值是比较常用的．[变式训练2] 设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PACB的面积的最小值．[解] 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，2分圆心为C(1,1)，半径为r＝1.5分根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝.8分要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2.10分所以四边形PACB面积的最小值为|PC|2m in－r2＝＝.12分与圆有关的轨迹问题P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．[解] (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.2分设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.5分(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上．又P在圆N上，从而ON⊥PM.7分因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为y＝－x＋.10分又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以△POM的面积为.12分[规律方法] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．[变式训练3] 已知点A(－1,0)，点B(2,0)，动点C满足|AC|＝|AB|，求点C 与点P(1,4)所连线段的中点M的轨迹方程. 【导学号：31222293】[解] 由题意可知：动点C的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x＋1)2＋y2＝9.3分设M(x0，y0)，则由中点坐标公式可求得C(2x0－1,2y0－4)，6分代入点C的轨迹方程得4x＋4(y0－2)2＝9，化简得x＋(y0－2)2＝，10分故点M的轨迹方程为x2＋(y－2)2＝.12分[思想与方法]1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件，“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．[易错与防范]1．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F＞0这一前提条件．2．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．3．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．课时分层训练(四十七) 圆的方程A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y ＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2D [圆的半径r＝＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.]2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )A．2 B.C．1 D. 2D [圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，则圆心坐标为(1，－2)．故圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.]3．(2017·山西运城二模)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0D [易知圆心坐标为(2，－1)．由于直线x－2y＋3＝0的斜率为，∴该直径所在直线的斜率k＝－2.故所求直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.]4．若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( )A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5D [设圆心为(a,0)(a＜0)，则r＝＝，解得a＝－5，所以圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.]5．(2017·重庆四校模拟)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6 B．4C．3 D．2B [如图所示，圆心M(3，－1)与直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.]二、填空题6．(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4) 5 [由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－<0，不表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.]7．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．【导学号：31222294】x＋y－1＝0 [圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，则kCM＝＝1.∵过点M的最短弦与CM垂直，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.]8．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________.【导学号：31222295】(x－1)2＋y2＝2 [因为直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝，所以半径最大时的半径r＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]三、解答题9．已知直线l：y＝x＋m，m∈R，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．【导学号：31222296】[解] 法一：依题意，点P的坐标为(0，m)，2分因为MP⊥l，所以×1＝－1，5分解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)，8分圆的半径r＝|MP|＝＝2，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.12分法二：设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2，2分依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则6分解得10分所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.12分10．(2015·广东高考改编)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．[解] (1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，2分所以圆C1的圆心坐标为(3,0).5分(2)设M(x，y)，依题意·＝0，所以(x－3，y)·(x，y)＝0，则x2－3x＋y2＝0，所以2＋y2＝.7分又原点O(0,0)在圆C1外，因此中点M的轨迹是圆C与圆C1相交落在圆C1内的一段圆弧．由消去y2得x＝，因此＜x≤3.10分所以线段AB的中点M的轨迹方程为2＋y2＝.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·佛山模拟)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )A．6 B．25C．26 D．36D [(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到点(5，－4)的距离的平方．点(5，－4)到圆心(2,0)的距离d＝＝5.则点P(x，y)到点(5，－4)的距离最大值为6，从而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36.]2．(2017·济南调研)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C 截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程是________．(x－2)2＋(y－1)2＝4 [设圆C的圆心为(a，b)(b＞0)，由题意得a＝2b＞0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.]3．已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x ＋y＋2＝0对称．【导学号：31222297】(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．[解] (1)设圆心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)，则解得2分则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.5分(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，→·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)PQ＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.8分令x＝cos θ，y＝sin θ，所以·＝x＋y－2＝(sin θ＋cos θ)－2＝2sin－2，所以·的最小值为－4.12分。

高考数学一轮复习第八章平面解析几何第3讲圆的方程课件文

12/13/2021
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【解】 (1)因为 PA 是圆 C 的一条切线，所以∠CAP＝90°，在 Rt△CAP 中，PA＝ PC2－AC2＝ PC2－22. 因为 PC 的最小值为圆心 C 到直线 x－2y＝0 的距离 d，且 d ＝ |－2×4| ＝8 5，
（－2）2＋12 5
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有关圆的综合问题中应注意常见问题的处理方法，例如圆的切线、弦长等，同时应注重结合图形加以分析，寻找解题思路．
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在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x) ＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C. (1)求实数 b 的取值范围； (2)求圆 C 的方程； (3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？请证明你的结论．
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1．圆 C 的直径的两个端点分别是 A(－1，1)，B(1，3)，则圆 C 的方程为____x_2＋__(_y_－__2_)_2＝__2_____． [解析] 因为点 A(－1，1)和 B(1，3)为圆 C 直径的两个端点，则圆心 C 的坐标为(0，2)，
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(2)可知mn－＋32表示直线 MQ 的斜率，设直线 MQ 的方程为 y－3＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋3＝0，则mn－＋32＝k.由直线 MQ 与圆 C 有交点，所以|2k－71＋＋2kk2＋3|≤2 2.可得 2－ 3≤k≤2＋ 3，所以mn－＋32的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3.
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高考数学一轮复习第八章解析几何第3讲圆的方程课件文新人教版

[答案] (1)(x－2)2＋y2＝9 (2)x－322＋y2＝245
方法感悟求圆的方程的方法 1．方程选择原则求圆的方程时，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程．
2．求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤如下： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程．
A．[－1,1]
B.－12，12
C．[－ 2， 2]
D.－

22，
22
[解析] 当点 M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点 N(1,0)，使得∠
OMN＝45°，所以 x0＝1 符合题意，故排除 B，D；当点 M 的坐标为 ( 2，1)时，|OM|＝ 3，过点 M 作圆 O 的一条切线 MN′，连接 ON′，
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， ∵点 A(4,1)，B(2,1)在圆上，故42－－aa22＋＋11－－bb22＝＝rr22，，又∵ba－－12＝－1，解得 a＝3，b＝0，r＝ 2，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2. [答案] (x－3)2＋y2＝2
当直线 y＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时
|2－0＋b|＝ 2
3，解得 b＝－2± 6.所以 y－x 的最大值为－2＋ 6，最
小值为－2－ 6.
考向三距离型最值问题 3．在[考向一]条件下求 x2＋y2 的最大值和最小值． [解] 如图所示，x2＋y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．

高考数学一轮复习第八章解析几何第3讲圆的方程课件

考点3 与圆有关的轨迹问题——师生共研
例 5 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P、Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解析] (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－ 2,2y)．
程是( B )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
[解析] 设圆心为(0，b)，半径为r，由圆与x轴相切，得r＝|b|，故圆的方程
为x2＋(y－b)2＝b2.∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.∴圆的方程为
x2＋y2－10y＝0.
1．圆心在过切点且垂直于切线的直线上． 2．圆心在任一弦的垂直平分线上． 3．两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 4．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－ y1)(y－y2)＝0(公式推导：设圆上任一点P(x，y)，则有kPA·kPB＝－1，由斜率公式代入整理即可)
4．(2019·江西新余)若圆 C 与 y 轴相切于点 P(0,1)，与 x 轴的正半轴交于 A，
B 两点，且|AB|＝2，则圆 C 的标准方程是( C )
A．(x＋ 2)2＋(y＋1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y＋ 2)2＝2
C．(x－ 2)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－ 2)2＝2
[解析] 设线段 AB 的中点为 D，则|AD|＝|CD|＝1，∴r＝|AC|＝ 2＝|CP|，故 C( 2，1)，故圆 C 的标准方程是(x－ 2)2＋(y－1)2＝2，故选 C．

高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第三节 圆的方程课件 文 新人教A版

高考数学总复习 第8章 第3讲 圆的方程课件 理 新人教A版