二次训练
(完整版)初三二次函数专题强化训练及提高测试+详细答案
初三二次函数专题训练及强化提高一、选择题：1.抛物线的对称轴是（ ）3)2(2+-=x y A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线3-=x 3=x 2-=x 2=x 2.二次函数的图象如右图，则点c bx ax y ++=2在（ ）),(acb M A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限3.已知二次函数，且，，则一定有（）c bx ax y ++=20<a 0>+-c b a A. B. C. D. ≤0042>-ac b 042=-ac b 042<-ac b ac b 42-4.把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式c bx x y ++=2是，则有（ ）532+-=x x y A. ， B. ，3=b 7=c 9-=b 15-=c C. ， D. ，3=b 3=c 9-=b 21=c 5.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数c x c a ax y +++=)(2的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）c ax y +=D6.抛物线的对称轴是直线（）322+-=x x y A. B. C. D. 2-=x 2=x 1-=x 1=x7.二次函数的最小值是（）2)1(2+-=xyA. B. 2 C. D. 12-1-8.二次函数的图象如图所示，若cbxaxy++=2cba++24，，则（）cbaN+-=baP-=4A. ，，>M0>N0>PB. ，，<M0>N0>PC. ，，>M0<N0>PD. ，，<M0>N0<P二、填空题：9.将二次函数配方成的形式，则322+-=xxy khxy+-=2)(y=______________________.10.已知抛物线与x轴有两个交点，那么一元二次方程的cbxaxy++=202=++cbxax根的情况是______________________.11.已知抛物线与x轴交点的横坐标为，则=_________.cxaxy++=21-ca+12.请你写出函数与具有的一个共同性质：_______________.2)1(+=xy12+=xy13.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.14.如图，抛物线的对称轴是，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是，则A1=x)0,3(点的坐标是三、解答题：1.已知函数的图象经过点（3，2）.12-+=bxxy（1）求这个函数的解析式；（2）当时，求使y≥2的x的取值范围.>x2、如右图，抛物线经过点，与y轴交于点B.nxxy++-=52)0,1(A（1）求抛物线的解析式；（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.3．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）抛物线y2的顶点坐标 ；（2）阴影部分的面积S= ；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．4．（1999•烟台）如图，已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC的解析式．5．如图，抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标．6．如图，抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．7．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标及c的值；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状．8、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？参考答案及解题步骤一、选择题：题号123456789答案DDAADDDBD二、填空题：1. 2. 有两个不相等的实数根3. 12)1(2+-=x y 4. （1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）5. 或或或358512+-=x x y 358512-+-=x x y 178712+-=x x y 178712-+-=x x y 6. 等（只须，）122++-=x x y 0<a 0>c 7. )0,32(-8. ，，1，43=x 51<<x 三、解答题：1. 解：（1）∵函数的图象经过点（3，2），∴. 解得.12-+=bx x y 2139=-+b 2-=b∴函数解析式为.122--=x x y （2）当时，.3=x 2=y 根据图象知当x ≥3时，y ≥2.∴当时，使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3.0>x 2. 解：（1）由题意得. ∴. ∴抛物线的解析式为.051=++-n 4-=n 452-+-=x x y（2）∵点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为.)4,0(- ∴OA =1，OB =4. 在Rt △OAB 中，，且点P 在y 轴正半轴上.1722=+=OB OA AB ①当PB =PA 时，. ∴.17=PB 417-=-=OB PB OP此时点P 的坐标为.)417,0(-②当PA =AB 时，OP =OB =4此时点P 的坐标为（0，4）.3. 解：（1）设s 与t 的函数关系式为，c bt ats ++=2由题意得或 解得 ∴.⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++；5.2525,224,5.1c b a c b a c b a ⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=++.0,224,5.1c c b a c b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==.0,2,21c b a t t s 2212-=（2）把s =30代入，得 解得，（舍去）t t s 2212-=.221302t t -=101=t 62-=t答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元.（3）把代入，得7=t .5.10727212=⨯-⨯=s 把代入，得8=t .16828212=⨯-⨯=s.答：第8个月获利润5.5万元.5.55.1016=-4. 解：（1）由于顶点在y 轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为.1092+=ax y 因为点或在抛物线上，所以，得.)0,25(-A )0,25(B 10925(·02+-=a 12518-=a因此所求函数解析式为（≤x ≤）.109125182+-=x y 25-25（2）因为点D 、E 的纵坐标为，所以，得.20910912518209+-=245±=x所以点D 的坐标为，点E 的坐标为.)209,245(-)209,245( 所以.225)245(245=--=DE因此卢浦大桥拱内实际桥长为（米）.385227501.01100225≈=⨯⨯5. 解：（1）∵AB =3，，∴. 由根与系数的关系有.21x x <312=-x x 121=+x x ∴，.11-=x 22=x ∴OA =1，OB =2，.2·21-==amx x ∵，∴.1tan tan =∠=∠ABC BAC 1==OBOCOA OC ∴OC =2. ∴,.2-=m 1=a ∴此二次函数的解析式为.22--=x x y （2）在第一象限，抛物线上存在一点P ，使S △PAC =6.解法一：过点P 作直线MN ∥AC ，交x 轴于点M ，交y 轴于N ，连结PA 、PC 、MC 、NA .∵MN ∥AC ，∴S △MAC =S △NAC = S △PAC =6.由（1）有OA =1，OC =2.∴. ∴AM =6，CN =12.6121221=⨯⨯=⨯⨯CN AM ∴M （5，0），N （0，10）.∴直线MN 的解析式为.102+-=x y 由 得（舍去）⎩⎨⎧--=+-=,2,1022x x y x y ⎩⎨⎧==；4311y x ⎩⎨⎧=-=18,422y x ∴在 第一象限，抛物线上存在点，使S △PAC =6.)4,3(P 解法二：设AP 与y 轴交于点（m >0）),0(m D∴直线AP 的解析式为.m mx y +=⎩⎨⎧+=--=.,22m mx y x x y ∴.02)1(2=--+-m x m x ∴，∴.1+=+m x x P A 2+=m x P 又S △PAC = S △ADC + S △PDC ==.P x CD AO CD ·21·21+)(21P x AO CD +∴，6)21)(2(21=+++m m 0652=-+m m ∴（舍去）或.6=m 1=m ∴在 第一象限，抛物线上存在点，使S △PAC =6.)4,3(P 提高题1. 解：（1）∵抛物线与x 轴只有一个交点，c bx x y ++=2∴方程有两个相等的实数根，即. ①02=++c bx x 042=-c b 又点A 的坐标为（2，0），∴. ②024=++c b 由①②得，.4-=b 4=a （2）由（1）得抛物线的解析式为.442+-=x x y 当时，. ∴点B 的坐标为（0，4）.0=x 4=y 在Rt △OAB 中，OA =2，OB =4，得.5222=+=OB OA AB ∴△OAB 的周长为.5265241+=++2. 解：（1）.76)34()10710710(1022++-=--⨯++-⨯=x x x x x S 当时，.3)1(26=-⨯-=x 16)1(467)1(42=-⨯-⨯-⨯=最大S∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利润是16万元.（2）用于投资的资金是万元.13316=- 经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A 、B 、E 各一股，投入资金为（万元），收益为0.55+0.4+0.9=1.85（万元）>1.6（万元）；13625=++另一种是取B 、D 、E 各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）<13（万元），收益为0.4+0.5+0.9=1.8（万元）>1.6（万元）.3.解：（1）设抛物线的解析式为，桥拱最高点到水面CD 的距离为h 米，则，2ax y =),5(h D -.)3,10(--h B∴ 解得⎩⎨⎧--=-=.3100,25h a h a ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1,251h a∴抛物线的解析式为.2251x y -= （2）水位由CD 处涨到点O 的时间为1÷0.25=4（小时），货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280，∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车的速度提高到x 千米/时， 当时，.2801404=⨯+x 60=x∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时.4. 解：（1）未出租的设备为套，所有未出租设备的支出为元.10270-x )5402(-x （2）.54065101)5402()1027040(2++-=----=x x x x x y∴.（说明：此处不要写出x 的取值范围）540651012++-=x x y （3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为32套.因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32套；如果考虑市场占有率，应选择出租37套.（4）.5.11102)325(1015406510122+--=++-=x x x y∴当时，y 有最大值11102.5.但是，当月租金为325元时，租出设备套数为34.5，325=x 而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套.即当月租金为为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元.16．如图，抛物线y 1=﹣x 2+2向右平移1个单位得到抛物线y 2，回答下列问题：（1）抛物线y 2的顶点坐标 （1，2） ；th i ng si nt h ei r be i （2）阴影部分的面积S= 2 ；（3）若再将抛物线y 2绕原点O 旋转180°得到抛物线y 3，求抛物线y 3的解析式．考点：二次函数图象与几何变换．分析：直接应用二次函数的知识解决问题．解答：解：（1）读图找到最高点的坐标即可．故抛物线y 2的顶点坐标为（1，2）；（2分）（2）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积=1×2=2；（6分）（3）由题意可得：抛物线y 3的顶点与抛物线y 2的顶点关于原点O 成中心对称．所以抛物线y 3的顶点坐标为（﹣1，﹣2），于是可设抛物线y 3的解析式为：y=a （x+1）2﹣2．由对称性得a=1，所以y 3=（x+1）2﹣2．（10分）20．（1999•烟台）如图，已知抛物线y=ax 2+bx+交x 轴正半轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC 的解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．sintheirbei分析：根据抛物线的解析式，易求得C点的坐标，即可得到OC的长；可分别在Rt△OBC和Rt△OAC中，通过解直角三角形求出OB、OA的长，即可得到A、B的坐标，进而可运用待定系数法求得抛物线和直线的解析式．解答：解：由题意得C（0，）在Rt△COB中，∵∠CBO=60°，∴OB=OC•cot60°=1∴B点的坐标是（1，0）；（1分）在Rt△COA中，∵∠CAO=45°，∴OA=OC=∴A点坐标（，0）由抛物线过A、B两点，得解得∴抛物线解析式为y=x2﹣（）x+（4分）设直线BC的解析式为y=mx+n，得n=，m=﹣∴直线BC解析式为y=﹣x+．（6分）23．如图，抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；动点型．Al l th i ng si nt h ei r be i ng ar 分析：（1）先根据直线y=x ﹣3求出A 、B 两点的坐标，然后将它们代入抛物线中即可求出待定系数的值．（2）根据（1）中抛物线的解析式可求出C ，D 两点的坐标，由于△APC 和△ACD 同底，因此面积比等于高的比，即P 点纵坐标的绝对值：D 点纵坐标的绝对值=5：4．据此可求出P 点的纵坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求出P 点的坐标．解答：解：（1）直线y=x ﹣3与坐标轴的交点A （3，0），B （0，﹣3）．则，解得，∴此抛物线的解析式y=x 2﹣2x ﹣3．（2）抛物线的顶点D （1，﹣4），与x 轴的另一个交点C （﹣1，0）．设P （a ，a 2﹣2a ﹣3），则（×4×|a 2﹣2a ﹣3|）：（×4×4）=5：4．化简得|a 2﹣2a ﹣3|=5．当a 2﹣2a ﹣3=5，得a=4或a=﹣2．∴P （4，5）或P （﹣2，5），当a 2﹣2a ﹣3＜0时，即a 2﹣2a+2=0，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（﹣2，5）．27．如图，抛物线y=a （x+1）2的顶点为A ，与y 轴的负半轴交于点B ，且OB=OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点C （﹣3，b ）在该抛物线上，求S △ABC 的值．an dAl l th i ng si nt h ei r be i ng ar e 考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：（1）由抛物线解析式确定出顶点A 坐标，根据OA=OB 确定出B 坐标，将B 坐标代入解析式求出a 的值，即可确定出解析式；（2）将C 坐标代入抛物线解析式求出b 的值，确定出C 坐标，过C 作CD 垂直于x轴，三角形ABC 面积=梯形OBCD 面积﹣三角形ACD 面积﹣三角形AOB 面积，求出即可．解答：解：（1）由投影仪得：A （﹣1，0），B （0，﹣1），将x=0，y=﹣1代入抛物线解析式得：a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣（x+1）2=﹣x 2﹣2x ﹣1；（2）过C 作CD ⊥x 轴，将C （﹣3，b ）代入抛物线解析式得：b=﹣4，即C （﹣3，﹣4），则S △ABC =S 梯形OBCD ﹣S △ACD ﹣S △AOB =×3×（4+1）﹣×4×2﹣×1×1=3．点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．an dAl l th i ng si nt h ei r 28．如图，抛物线y=x 2﹣2x+c 的顶点A 在直线l ：y=x ﹣5上．（1）求抛物线顶点A 的坐标及c 的值；（2）设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C 、D （C 点在D 点的左侧），试判断△ABD 的形状．考点：二次函数综合题．分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A 的横坐标，然后代入直线l 的解析式中求出点A 的坐标，再将点A 的坐标代入抛物线的解析式y=x 2﹣2x+c 中，运用待定系数法即可求出c 的值；（2）先由抛物线的解析式得到点B 的坐标，再求出AB 、AD 、BD 三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可确定△ABD 是直角三角形．解答：解：（1）∵y=x 2﹣2x+c ，∴顶点A 的横坐标为x=﹣=1，又∵顶点A 在直线y=x ﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴点A 的坐标为（1，﹣4）．将A （1，﹣4）代入y=x 2﹣2x+c ，得﹣4=12﹣2×1+c，解得c=﹣3．故抛物线顶点A的坐标为（1，﹣4），c的值为﹣3；（2）△ABD是直角三角形．理由如下：∵抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点B，∴B（0，﹣3）．当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴C（﹣1，0），D（3，0）．∵BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，∴BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．nisgnihtllA。
数学九年级上册-二次函数中的新定义问题专项训练30道人教版解析版
专题22.7 二次函数中的新定义问题专项训练（30道）【人教版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！一．选择题（共10小题）1．（2022•市中区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的勾股值，记[P ]＝|x |+|y |．若抛物线y ＝ax 2+bx +1与直线y ＝x 只有一个交点C ，已知点C 在第一象限，且2≤[C ]≤4，令t ＝2b 2﹣4a +2020，则t 的取值范围为（ ）A ．2017≤t ≤2018B ．2018≤t ≤2019C ．2019≤t ≤2020D ．2020≤t ≤20212．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ≥0时，它们对应的函数值相等；当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y ＝x ，它的相关函数为．已知点M ，N 的坐标分别为，，连结y ={x(x ≥0)−x(x ＜0)(−12，1)(92，1)MN ，若线段MN 与二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数的图象有两个公共点，则n 的取值范围为（ ）A ．﹣3≤n ≤﹣1或B ．﹣3＜n ＜﹣1或1＜n ≤541＜n ≤54C ．﹣3＜n ≤﹣1或D ．﹣3≤n ≤﹣1或1≤n ≤541≤n ≤543．（2022•青秀区校级一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数y ＝x 2﹣x +c （c 为常数）在﹣2＜x ＜4的图象上存在两个二倍点，则c 的取值范围是（ ）A ．﹣2＜cB ．﹣4＜cC ．﹣4＜cD ．﹣10＜c ＜14＜94＜14＜944．（2022秋•汉阳区期中）我们定义：若点A 在某一个函数的图象上，且点A 的横纵坐标相等，我们称点A 为这个函数的“好点”．若关于x 的二次函数y ＝ax 2+tx ﹣2t 对于任意的常数t 恒有两个“好点”，则a 的取值范围为（ ）A ．0＜a ＜1B ．0C ．D ．＜a ＜1213＜a ＜1212＜a ＜15．（2022秋•和平区校级月考）对于实数a ，b ，定义运算“*”：a *b ，例如：4*2，因={a 2−ab(a ≥b)b 2−ab(a ＜b)为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若函数y ＝（2x ）*（x +1），则下列结论：①方程（2x ）*（x +1）＝0的解为﹣1和1；②关于x 的方程（2x ）*（x +1）＝m 有三个解，则0＜m ≤1；③当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；④直线y ＝kx ﹣k 与函数y ＝（2x ）*（x +1）图象只有一个交点，则k ＝﹣2；⑤当x ＜1时，函数y ＝（2x ）*（x +1）的最大值为1．其中正确结论的序号有（ ）A ．②④⑤B ．①②⑤C ．②③④D ．①③⑤6．（2022•莱芜区二模）定义：平面直角坐标系中，点P （x ，y ）的横坐标x 的绝对值表示为|x |，纵坐标y 的绝对值表示为|y |，我们把点P （x ，y ）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的折线距离，记为|M |＝|x |+|y |（其中的“+”是四则运算中的加法），若抛物线y ＝ax 2+bx +1与直线y ＝x 只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且2≤|M |≤4，令t ＝2b 2﹣4a +2022，则t 的取值范围为（ ）A ．2018≤t ≤2019B ．2019≤t ≤2020C ．2020≤t ≤2021D ．2021≤t ≤20227．（2022•岳阳模拟）在平面直角坐标系中，对于点P （m ，n ）和点P ′（m ，n ′），给出如下新定义，若n '，则称点P ′（m ，n ′）是点P （m ，n ）的限变点，例如：点P 1（1，4）的限={|n|(当m ＜0时)n−2(当m ≥0时)变点是P ′1（1，2），点P 2（﹣2，﹣1）的限变点是P ′2（﹣2，1），若点P （m ，n ）在二次函数y ＝﹣x 2+4x +1的图象上，则当﹣1≤m ≤3时，其限变点P ′的纵坐标n '的取值范围是（ ）A ．﹣1≤n '＜3B ．1≤n '＜4C ．1≤n '≤3D ．﹣1≤n '≤48．（2022•自贡模拟）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l ：y x +b 经过点M （0，），一组抛物线的顶点=1314B 1（1，y 1），B 2（2，y 2），B 3（3，y 3），…B n （n ，y n ） （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1（x 1，0），A 2（x 2，0），A 3（x 3，0），…A n +1（x n +1，0）（n 为正整数）．若x 1＝d （0＜d ＜1），当d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A ．或B ．或C ．或D ．512712512111271211127129．（2022秋•诸暨市期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A （0，2），点C （2，0），则互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值之差为（ ）A ．5B ．C ．4D ．7+1727−17210．（2022秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点P 分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P 叫做和谐点，所围成的矩形叫做和谐矩形．已知点P 是抛物线y ＝x 2+k 上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k 的值可以是（ ）A ．16B ．4C ．﹣12D ．﹣18二．填空题（共10小题）11．（2022•芦淞区模拟）定义[a ，b ，c ]为函数y ＝ax 2+bx +c 的特征数，下面给出特征数位[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m ]的函数的一些结论：①当m ＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；1383②当m ＝1时，函数图象截x 轴所得的线段长度等于2；③当m ＝﹣1时，函数在x 时，y 随x 的增大而减小；＞14④当m ≠0时，函数图象经过同一个点．上述结论中所有正确的结论有 ．（填写所有正确答案的序号）12．（2022秋•浦东新区期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN 长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线y ＝﹣x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点B 恰好是抛物线y ＝﹣（x ﹣m ）2+n 的顶点，则此时抛物线关于直线y 的割距是 ．13．（2022•宣州区校级自主招生）对某一个函数给出如下定义：若存在实数m ＞0，对于任意的函数值y ，都满足﹣m ≤y ≤m ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数y ＝﹣x 2+1（﹣2≤x ≤t ，t ≥0）的图象向上平移t 个单位，得到的函数的边界值n 满足n 时，则t 的取值范围是 ．94≤≤5214．（2022秋•德清县期末）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．若抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +3与x 轴围成的区域内（不包括抛物线和x 轴上的点）恰好有8个“整点”，则a 的取值范围是 ．15．（2022秋•鄞州区校级期末）定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B （3，0）、C （﹣1，3）都是“整点”．当抛物线y ＝ax 2﹣4ax +1与其关于x 轴对称的抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点时，a 的取值范围 ．16．（2022秋•思明区校级期中）在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：若y ′，则称点Q 为点P 的“可控变点”．={y(x ≥0)−y(x ＜0)请问：若点P 在函数y ＝﹣x 2+16（﹣5≤x ≤a ）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是﹣16＜y ′≤16，则实数a 的取值范围是 ．17．（2022•徐汇区模拟）定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与抛物线y ＝（x ﹣1）2+1的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数解析式： ．18．（2022•二道区校级模拟）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A （0，2），点C （2，0），则互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 与正方形OABC 有公共点时m 的最大值是 ．19．（2022•郫都区模拟）定义：由a ，b 构造的二次函数y ＝ax 2+（a +b ）x +b 叫做一次函数y ＝ax +b 的“滋生函数”，一次函数y ＝ax +b 叫做二次函数y ＝ax 2+（a +b ）x +b 的“本源函数”（a ，b 为常数，且a ≠0）．若一次函数y ＝ax +b 的“滋生函数”是y ＝ax 2﹣3x +a +1，那么二次函数y ＝ax 2﹣3x +a +1的“本源函数”是 ．20．（2022•亭湖区校级开学）定义{a ，b ，c }＝c （a ＜c ＜b ），即（a ，b ，c ）的取值为a ，b ，c 的中位数，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函数y ＝{x 2+1，﹣x +2，x +3}与直线yx +b 有3个交点时，=13则b 的值为 ．三．解答题（共10小题）21．（2022•工业园区模拟）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”．例如，点（﹣1，1）是函数y ＝x +2的图象的“好点”．（1）在函数①y ＝﹣x +3，②y ③y ＝x 2+2x +1的图象上，存在“好点”的函数是 ；（填序号）=3x （2）设函数y （x ＜0）与y ＝kx +3的图象的“好点”分别为点A 、B ，过点A 作AC ⊥y 轴，垂足=−4x 为C ．当△ABC 为等腰三角形时，求k 的值；（3）若将函数y ＝x 2+2x 的图象在直线y ＝m 下方的部分沿直线y ＝m 翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m 的值．22．（2022春•荷塘区校级期中）如图1，若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a＜0）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0＜x2），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，O是坐标原点．（1）若a ＝﹣1，b ＝2，c ＝3．①求此二次函数图象的顶点M 的坐标；②定义：若点G 在某一个函数的图象上，且点G 的横纵坐标相等，则称点G 为这个函数的“好点”．求证：二次函数y ＝ax 2+bx +c 有两个不同的“好点”．（2）如图2，连接MC ，直线MC 与x 轴交于点P ，满足∠PCA ＝∠PBC ，且的tan∠PBC =12，△PBC 面积为，求二次函数的表达式．1323．（2022春•海门市期中）定义：在平面直角坐标系xOy 中，若某函数的图象上存在点P （x ，y ），满足y ＝mx +m ，m 为正整数，则称点P 为该函数的“m 倍点”．例如：当m ＝2时，点（﹣2，﹣2）即为函数y ＝3x +4的“2倍点”．（1）在点A （2，3），B （﹣2，﹣3），C （﹣3，﹣2）中， 是函数y的“1倍点”；=6x （2）若函数y ＝﹣x 2+bx 存在唯一的“4倍点”，求b 的值；（3）若函数y ＝﹣x +2m +1的“m 倍点”在以点（0，10）为圆心，半径长为2m 的圆外，求m 的所有值．24．（2022•费县一模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点（2，2）是函数y ＝2x ﹣2的图象的“等值点”．（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；y =5x ，y =x +2如果不存在，说明理由；（2）写出函数y ＝﹣x 2+2的等值点坐标；（3）若函数y ＝﹣x 2+2（x ≤m ）的图象记为W 1，将其沿直线x ＝m 翻折后的图象记为W 2．当W 1，W 2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请写出m 的取值范围．25．（2022春•武侯区校级月考）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （5，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣5）．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，作出如下定义：对于矩形DEFG，其边长EF＝1，DE＝2k（k为常数，且k＞0），其矩形长和宽所在直线平行于坐标轴，矩形可以在平面内自由的平移，且EG所在直线与抛物线无交点，则称该矩形在“游走”，每一个位置对应的矩形称为“悬浮矩形”；对与每一个“悬浮矩形”，若抛物线上有一点P，使得△PEG的面积最小，则称点P是该“悬浮矩形”的核心点．①请说明“核心点”P不随“悬浮矩形”的“游走”而变化，并求出“核心点”P的坐标（用k表示）；②若k＝1，DF所在直线与抛物线交于点M和N（M在N的右侧），是否存在这样的“悬浮矩形”，使得△PMN是直角三角形，若存在，并求出“悬浮矩形”中对角线DF所在直线的表达式；若不存在，说明理由．v26．（2022•武侯区模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线C的顶点，直线l与抛物线C分别相交于M，N两点（其中点M在点N的右侧），与抛物线C的对称轴相交于点Q，若记S（l，C）＝PQ•MN，则称S（l，C）是直线l与抛物线C的“截积”．【迁移应用】根据以上定义，解答下列问题：如图，若直线l的函数表达式为y＝x+2．（1）若抛物线C的函数表达式为y＝2x2﹣1，分别求出点M，N的坐标及S（l，C）的值；（2）在（1）的基础上，过点P作直线l的平行线l'，现将抛物线C进行平移，使得平移后的抛物线C'的顶点P′落在直线l'上，试探究S（l，C'）是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；22（3）设抛物线C的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，若S（l，C）＝6，MN＝4，且点P在点Q的下方，求a的值．27．（2022•南关区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于3，则称点P为三好点．（1）在点R（0，﹣3），S（1，2），T（6，﹣3）中，属于三好点的是 （填写字母即可）；（2）若点A在x轴正半轴上，且点A为三好点，直线y＝2x+b经过点A，求该直线与坐标轴围成的三角形的面积；（3）若直线y＝a（a＞0）与抛物线y＝x2﹣x﹣2的交点为点M，N，其中点M为三好点，求点M的坐标；（4）若在抛物线y＝﹣x2﹣nx+2n上有且仅有两个点为三好点，直接写出n的取值范围．28．（2022秋•长沙期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G 上的点P （x ，y ）的横坐标x 和纵坐标y 的和x +y 称为点P 的“横纵和”，而图形G 上所有点的“横纵和”中最小的值称为图形的“极小和”．（1）抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣2的图象上点P （1，﹣3）的“横纵和”是 ；该抛物线的“极小和”是 ．（2）记抛物线y ＝x 2﹣（2m +1）x ﹣2的“极小和”为s ，若﹣2021≤s ≤﹣2020，求m 的取值范围．（3）已知二次函数y ＝x 2+bx +c （c ≠0）的图象上的点A （，2c ）和点C （0，c ）的“横纵和”相等，m 2求该二次函数的“极小和”．这个“极小和”是否有最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．29．（2022•泰兴市二模）定义：在平面直角坐标系xOy 中，若P 、Q 的坐标分别为（x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则称|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|为若P 、Q 的“绝对距离”，表示为d PQ ．【概念理解】（1）一次函数y ＝﹣2x +6图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 点．①d AB 为 ；②点N 为一次函数y ＝﹣2x +6图象在第一象限内的一点，d AN ＝5，求N 的坐标；③一次函数的图象与y 轴、AB 分别交于C 、D 点，P 为线段CD 上的任意一点，试说明：y =x +32d AP ＝d BP ．【问题解决】（2）点P （1，2）、Q （a ，b ）为二次函数y ＝x 2﹣mx +n 图象上的点，且Q 在P 的右边，当b ＝2时，d PQ ＝4．若b ＜2，求d PQ 的最大值；（3）已知P 的坐标为（1，1），点Q 为反比例函数（x ＞0）图象上一点，且Q 在P 的右边，y =3x d PQ ＝2，试说明满足条件的点Q 有且只有一个．30．（2022•开福区校级一模）定义：当x 取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”．（1）判断：函数y ＝x 2+2x +2是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不是，请说明理由；（2）已知“恒心函数”y ＝3|ax 2+bx +c |+2．①当a ＞0，c ＜0时，此时的恒心值为 ；②若三个整数a 、b 、c 的和为12，且，求a 的最大值与最小值，并求出此时相应的b 、c 的值；b a =c b （3）恒心函数y ＝ax 2+bx +c （b ＞a ）的恒心值为0，且恒成立，求m 的取值范围．a +b +c a +b ＞m。
人教版九年级数学上册第22章二次函数训练题(一)(含答案)
人教版九年级数学上册第22章二次函数训练题（一）（含答案）一．选择题1．下列函数中属于二次函数的是（）A．y＝x B．y＝2x2﹣1C．y＝D．y＝x2++12．关于二次函数y＝﹣2（x+1）2+5，下列说法正确的是（）A．最小值为5B．最大值为1C．最大值为﹣1D．最大值为53．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+2，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是（）A．m≤0B．0＜m≤1C．m≤1D．m≥14．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如右图所示，若M＝5a+4c，N＝a+b+c，则（）A．M＞0，N＞0B．M＞0，N＜0C．M＜0，N＞0D．M＜，N＜05．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c ＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．46．二次函数y＝2x2﹣4x﹣6的最小值是（）A．﹣8B．﹣2C．0D．67．函数y＝ax2﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．8．对于二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②其图象与直线y ＝x﹣1有且只有一个公共点；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．49．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y110．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3…如此变换进行下去，若点P（21，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．3二．填空题11．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（x1，0），（x2，0），则x1+x2＝．12．二次函数y＝x2﹣3x+2的图象与x轴的交点坐标是．13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③4a+2b+c＜0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3；⑥3a+2c＜0．其中不正确的有．14．某幢建筑物，从5米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直（如图所示），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是m．15．二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴有两个交点A，B，顶点为C．若△ABC恰好是等边三角形，则代数式b2﹣2（2a﹣5）＝．三．解答题16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为P（h，k），h≠0．（1）若该函数图象过点（2，1），（5，7），h＝3．①求该函数解析式；②t≤x0≤t+1，函数图象上点Q（x0，y0）到x轴的距离最小值为1，则t的值为；（2）若点P在函数y＝x2﹣3x+c的图象上，且≤a≤2，求h的最大值．17．已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．（1）把它变形为y＝a（x﹣h）2+k的形式：；（2）它的顶点坐标是；当x时，y随x的增大而减小．（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（4）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是．18．“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，标价1500元．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．（1）求该型号自行车的进价是多少元？（2）若该型号自行车的进价不变，按标价出售，该店平均每月可售出60辆；若每辆自行车每降价50元，每月可多售出10辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？19．阅读以下材料：对于三个数a、b、c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝＝；min{﹣1，2，3}＝﹣1，…解决下列问题：（1）填空：如果min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的取值范围为；（2）①如果M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x；②根据①，你发现了结论：如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么（填a、b、c的大小关系），证明你发现的结论．③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，+2x﹣y}，则x+y（3）在同一直角坐标系中作出函数y＝x+1，y＝（x﹣1）2，y＝2﹣x的图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：min{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最大值为．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，﹣4）和B（2，0）两点．（1）求c的值及a，b满足的关系式；（2）若抛物线在A和B两点间，y随x的增大而增大，求a的取值范围；（3）抛物线同时经过两个不同的点M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．①若m＝n，求a的值；②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，点M在直线y＝﹣2x﹣3上，请验证点N也在y＝﹣2x﹣3上并求a的值．参考答案一．选择题1．解：A、y＝x是正比例函数，故本选项不符合题意；B、y＝2x2﹣1是二次函数，故本选项符合题意；C、y＝不是二次函数，故本选项不符合题意；D、y＝x2++1不是二次函数，故本选项不符合题意．故选：B．2．解：∵二次函数y＝﹣2（x+1）2+5，可得函数开口向下，∴函数有最大值，∴当x＝﹣1时，函数有最大值5，故选：D．3．解：∵函数的对称轴为x＝m，又∵二次函数开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∵x＞1时，y随x的增大而减小，∴m≤1．故选：C．4．解：∵当x＝2.5时，y＝a+b+c＞0，∴25a+10b+4c＞0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴25a﹣20a+4c＞0，即5a+4c＞0，∴M＞0，∵当x＝1时，y＝a+b+c＞0，∴N＞0，故选：A．5．解：①观察图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，∴①正确；②当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，∴②错误；③对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1得b＝2a，当x＝时，y＜0，即a+b+c＜0，即a+2b+4c＜0，∴5a+4c＜0．∴③正确；④因为抛物线与x轴有两个交点，所以△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0．∴④错误；⑤∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），∴当y1＞y2时，﹣5＜m＜3．∴⑤正确．故选：C．6．解：y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8，因为图象开口向上，故二次函数的最小值为﹣8．故选：A．7．解：①当a＞0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向上、对称轴为y轴、顶点在y轴负半轴，一次函数y＝ax ﹣a（a≠0）的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点；②当a＜0时，二次函数y＝ax2﹣a的图象开口向下、对称轴为y轴、顶点在y轴正半轴，一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y轴同一点．对照四个选项可知D正确．故选：D．8．解：①当y＝0，ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1＝0，解得x1＝1，x2＝，则二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（，0），故①正确，符合题意；②由题意得：ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1＝x﹣1，化简得：x2﹣2x+1＝0，△＝22﹣4＝0，故抛物线图象与直线y＝x﹣1有且只有一个公共点，故②正确，符合题意；③该抛物线对称轴为x＝1﹣，顶点的纵坐标为y＝，则y＝（1﹣）﹣，即无论a取何值，抛物线的顶点始终在直线y＝x﹣上，所以③正确，符合题意；④由①知，二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）、（，0），故无论a取何值，函数图象都经过同一个点（1，0），故④正确，符合题意．故选：D．9．解：y＝ax2﹣2ax+b（a＞0），对称轴是直线x＝﹣＝1，即二次函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），∵2＜3＜4，∴y3＞y1＞y2，故选：A．10．解：∵y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，∴点A1（4，0），∴OA1＝4，∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝4，∵点P（21，m）在这种连续变换的图象上，∴x＝21和x＝1时的函数值互为相反数，∴﹣m＝﹣1×（1﹣4）＝3，∴m＝﹣3，故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：由韦达定理得：x1+x2＝﹣＝2，故答案为2．12．解：当y＝0时，x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，所以二次函数y＝x2﹣3x+2x的图象与x轴的交点坐标是（1，0），（2，0）．故答案为（1，0）、（2，0）．13．解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，∴a＞0，﹣＞0，c＜0，∴b＜0，∴ab＜0，说法①正确；②二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，说法②正确；③∵当x＝2时，函数y＜0，∴4a+2b+c＜0，说法③正确；④∵抛物线与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵图象开口向上，∴当x＞1时，y随x值的增大而增大，说法④正确；⑤∵抛物线与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，∴当y＜0时，﹣1＜x＜3，说法⑤错误；⑥∵当x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，∴抛物线的对称轴为直线x＝1＝﹣，∴b＝﹣2a，∴3a+c＝0，∵c＜0，∴3a+2c＜0，说法⑥正确．故答案为⑤．14．解：地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+，把点A（0，5）代入抛物线解析式得：a＝﹣，∴抛物线解析式：y＝﹣（x﹣1）2+．当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．∴OB＝3（m）．故答案为3．15．解：如图，过C作CE⊥AB于E．当△ABC等边三角形时，CE＝AC•sin60°＝AC＝AB，令y＝ax2+bx+1＝0，解得x＝，则AB＝＝，而CE＝﹣，即＝＝×，∵b2﹣4a＞0，故b2﹣4a＝12．则b2﹣2（2a﹣5）＝b2﹣4a+10＝22，故答案是22．三．解答题（共5小题）16．解：（1）①设解析式为y＝a（x﹣h）2+k，将（2，1），（5，7），h＝3代入，得解得a＝2，k＝﹣1，所以，解析式为y＝2（x﹣3）2﹣1，即y＝2x2﹣12x+17，②把y＝1代入y＝2x2﹣12x+17求得x＝2或4，把y＝﹣1代入y＝2x2﹣12x+17求得x＝3，∵t≤x0≤t+1，函数图象上点Q（x0，y0）到x轴的距离最小值为1，∴t＝1或t＝4，故答案为t＝1或t＝4．（2）设解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由y＝ax2+bx+c（a≠0）知图象过（0，c），∴c＝ah2+k．∵点P在函数y＝x2﹣3x+c的图象上，∴k＝h2﹣3h+c，∴h2﹣3h+ah2＝0，∵h≠0，∴，∵，h随a的增大而减小，∴当时，h的值最大，h的最大值为2．17．解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当x＜1时，y随x的增大而减小．故答案为（1，﹣4），＜1；（3）列表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…描点，连线画出函数图象如图：（3）当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是﹣4≤y＜5，故答案为﹣4≤y＜5．18．解：（1）设进价为x元，则由题意得：（1500×0.9﹣x）×8＝（1500﹣100﹣x）×7，解得：x＝1000，∴改型号自行车进价1000元；（2）设自行车降价x元，获利为y元，则：＝＝，∴对称轴：x＝100，∵，∴当x＝100时，＝32000，答：降价100元时每月利润最大，最大利润为32000元．19．解：（1）由min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，得，即0≤x≤1，故答案为：0≤x≤1；（2）①∵M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，∴，解得：，∴x＝1；②证明：由M{a，b，c}＝min{a，b，c}，可令＝a，即b+c＝2a；又∵，解之得：a+c≤2b，a+b≤2c；把b+c＝2a代入a+c≤2b可得c≤b；把b+c＝2a代入a+b≤2c可得b≤c；∴b＝c；将b＝c代入b+c＝2a得c＝a；∴a＝b＝c，故答案为：a＝b＝c；③据②可得，解之得y＝﹣1，x＝﹣3，∴x+y＝﹣4，故答案为：＝﹣4；（3）作出图象，由图可知min{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最大值为1，故答案为：1．20．解：（1）令x＝0，则c＝﹣4，将点B（2，0）代入y＝ax2+bx+c可得4a+2b﹣4＝0，∴2a+b＝2；（2）当a＞0时，∵A（0，﹣4）和B（2，0），∴对称轴x＝﹣＝﹣＝1﹣≤0，∴0＜a≤1；当a＜0时，对称轴x＝1﹣≥2，∴﹣1≤a＜0；综上所述：﹣1≤a≤1且a≠0；（3）①当m＝n时，M（p，m），N（﹣2﹣p，n）关于对称轴对称，∴对称轴x＝1﹣＝﹣1，∴a＝；②将点N（﹣2﹣p，n）代入y＝﹣2x﹣3，∴n＝4+2p﹣3＝1+2p，∴N点在y＝﹣2x﹣3上，联立y＝﹣2x﹣3与y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4有两个不同的实数根，∴ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，∵p+（﹣2﹣p）＝，∴a＝1．。
北师版九年级数学下册作业课件 第二章 二次函数 专题训练(四) 二次函数的应用
(二)在区间的端点处求最值 5．某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价 每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y(kg)与每千克的售价x(元) 之间满足一次函数关系，部分数据如下表： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当每千克山野菜的售价定为多少元时批发商每日销售这批山野菜所获得的利润 最大？最大利润为多少元？
润z(万元)与销售价格x之间的函数关系式为z＝－
1 10
x2＋12x－320(2)当z＝－
1 10
(x－60)2＋40＝17.5时，解得x1＝45，x2＝75，∵－
1 10
＜0，∴当
z≥17.5时，45≤x≤75.又∵y＝－
1 10
x＋9中的－
每千克的售价x/元 日销售量y/kg
… 20 22 24 … … 66 60 54 …
12k＋b＝500， 解 ：(1) 设 y 与 x 之 间的 函数 关系 式 为 y ＝kx ＋b ， 则 14k＋b＝400， 解 得 k＝－50， b＝1 100， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－50x＋1 100 (2)由题意，得 w＝(x－10)y＝(x－10)(－50x＋1 100)＝－50x2＋1 600x－11 000＝ －50(x－16)2＋1 800，∵12≤x≤15，且 x 为整数，∴当 x＝15 时，w 最大值＝－50×(15 －16)2＋1 800＝1 750，∴当销售单价为 15 元时每周所获利润最大，最大利润是 1 750 元
(三)在分段函数中求最值 7．某商场销售一种进价为每件30元的商品，销售过程中发现月销售量y(件)与销售 单价x(元)之间的关系如图所示． (1)根据图象直接写出y与x之间的函数关系式； (2)设这种商品的月利润为W(元)， 求W与x之间的函数关系式； (3)这种商品的销售单价定为多少元时月利润最大？ 最大月利润是多少？
2024年广西桂林市中考第二次适应性训练物理试卷(学生版)
桂林市2024年中考第二次适应性训练试卷物理（考试时间：90分钟；满分：100分）注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。
2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效。
3.本试卷g取10N/kg。
一、单项选择题（本题共13小题，每小题2分，共26分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1. 用紫砂锅盛汤上桌，过了较长时间后食客仍可喝到热汤，这主要是因为紫砂锅的（）A. 导热差B. 密度大C. 硬度高D. 弹性差2. 如图请估测该瓶子的高约为（）A. 2cmB. 20cmC. 50cmD. 500cm3. 今年“广西三月三·嗨唱歌圩节”在桂林榕湖边展演中，演员用大小不同的力度敲击鼓面，是为了改变声音的（）A. 响度B. 音调C. 速度D. 音色4. 2024年4月24日是中国第九个航天日，宇航员在太空站上将信息传递到地面是通过：（）A. 超声波B. 次声波C. 紫外线D. 电磁波5. 下列现象是由于光的直线传播产生的是（）A. 水中倒影B. 海市蜃楼C. 影子的形成D. 彩虹的形成6. 晋代《博物志》中有“削冰令圆，举以向日，以艾承其影，则其火”的用冰取火的发明记载，其实质是将冰块制作成（）A. 平面镜B. 凸透镜C. 凹透镜D. 三棱镜7. “漓江饮马欲何之，不尽芒山烟雨迷”，烟雨漓江上“白雾”的形成所发生的物态变化是（）A. 熔化B. 凝固C. 汽化D. 液化8. 如图，调节旋钮开关能改变台灯的亮暗程度，这实质是改变台灯接入电路中导体的（ ）A. 长度B. 材料C. 横截面积D. 温度9. 如图所示，当风吹过弧形的硬纸板上方时，纸板会上升，这是因为此时硬纸板上方气体（ ）A. 流速大，压强大B. 流速大，压强小C. 流速小，压强大D. 流速小，压强小10. 如图所示，游客在干燥的沙漠上游玩时，出现头发竖起如“刺猬头”的静电现象，关于头发带电情况分析正确的是（ ）A. 头发创造了电荷B. 头发带了异种电荷C. 头发带了同种电荷D. 头发一定带了正电荷11. 如图所示，小桂沿着斜面推动木箱向上移动过程中，木箱受到的哪个力没有做功（ ）A. 推力B. 重力GC. 支持力D. 摩擦力f12. 下列说法正确的是（ ）A. 汽车轮胎上的条纹有利于减小摩擦B.给轴承里滴入润滑油有利于减小摩擦的F 推F 支持C. 刀口磨锋利后有利于减小刀口压强D. 助跑后能跳得更远，是因为助跑增大了惯性13. 如图所示的电路是一种声光报警电路的示意图，当开关和同时闭合时，会出现的现象是（ ）A. 灯不亮，铃响B. 灯亮，铃响C. 灯亮，铃不响D. 灯不亮，铃不响二、多项选择题（本大题共3小题，每小题3分，共9分。
二次函数专题训练(解析版)
2019中考数学---二次函数专题训练一、选择题1.(2018，北京房山区模拟)小明以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感设计了一款杯子，如图所示的为杯子的设计稿．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE 为(B)第1题图A. 14B. 11C. 6D. 32. (2018，芜湖繁昌县一模)某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式为y＝－4x＋440，要使销售该商品获得的月利润最大，该商品的售价应定为(C)A. 60元/件B. 70元/件C. 80元/件D. 90元/件3. (2018，石家庄裕华区二模)二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上有两点(3，4)和(－5，4)，则此拋物线的对称轴是(A)A. x＝－1B. x＝1C. x＝2D. x＝34. (2018，哈尔滨)将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为(A)A. y＝－5(x＋1)2－1B. y＝－5(x－1)2－1C. y＝－5(x＋1)2＋3D. y＝－5(x－1)2＋35.(2018，荆门京山模拟)一条抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为(B)A. y＝－2(x－1)2＋3B. y＝－2(x＋1)2＋3C. y＝－(2x＋1)2＋3D. y＝－(2x－1)2＋36. (2018，广西二模，导学号5892921)如图所示的是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时水面宽4 m．若水面下降1 m，则水面宽度为(A)A. 2 6 mB. 2 3 mC. 6 mD. 3 m7. 如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点(与点B，C不重合)，连接AP，作PE⊥AP交外角∠DCF的平分线于点E.设BP＝x，△PCE的面积为y，则y与x之间的函数关系式是(C)A. y＝2x＋1B. y＝12x－2x2C. y＝2x－12x2 D. y＝2x8. 若二次函数y＝(a－1)x2＋3x＋a2－1的图象经过原点，则a的值为(C)A. 1或－1B. 1C. －1D. 09. 将抛物线y＝12x2－6x＋21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线的解析式为(D)A. y＝12(x－8)2＋5 B. y＝12(x－4)2＋5C. y＝12(x－8)2＋3 D. y＝12(x－4)2＋310. (2018，北京顺义区模拟)二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x＝－1，则这个二次函数的解析式为(D)A. y＝－x2＋2x＋3B. y＝x2＋2x＋3C. y＝－x2＋2x－3 D . y＝－x2－2x＋311. (2018，哈尔滨道外区二模)某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，点O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图)，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋3，则下列结论：①柱子OA的高度为3 m；②喷出的水流在距柱子 1 m 处达到最大高度；③喷出的水流距水平面的最大高度是 4 m；④水池的半径至少要3 m才能使喷出的水流不至于落在池外．其中正确的有(D)第3题图A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. (2018，广州南沙区模拟)如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB ＝8 cm，AC＝6 cm.点P从点A出发，沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ的面积最大是(C)第6题图A. 10 cm2B. 8 cm2C. 16 cm2D. 24 cm213. (2018，成都)关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是(D)A. 图象与y轴的交点坐标为(0，1)B. 图象的对称轴在y轴的右侧C. 当x＜0时，y随x的增大而减小D. y的最小值为－314. (2018，广安)抛物线y＝(x－2)2－1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是(D)A. 先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B. 先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C. 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D. 先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度15. (2018，合肥包河区二模)已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(－1，1)，则ab有(D)A. 最大值1B. 最大值2C. 最小值0D. 最小值－1 416.汽车刹车后行驶的距离s(m)关于行驶时间t(s)的函数解析式是s＝20t －5t2，汽车刹车后到停下来前进的距离是(B)A. 10 mB. 20 mC. 30 mD. 40 m17. 如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是边BC和CD上的动点(不与正方形的顶点重合)，不管点E，F怎样运动，始终保持AE⊥EF.设BE＝x，DF＝y，则y关于x的函数解析式是(C)A. y＝x＋1B. y＝x－1C. y＝x2－x＋1D. y＝x2－x－118. (2018，哈尔滨道里区二模)将抛物线y＝2x2平移可得到抛物线y＝2(x ＋3)2＋4，下列平移正确的是(A)A. 先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度B. 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度C. 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度D. 先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度19. (2018，邵阳模拟)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 先向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋4，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是(C )A. (6，3)B. (6，5)C. (－4，3)D. (－4，5)20. (2018，南京玄武区一模)已知二次函数y ＝x 2－5x ＋m 的图象与x 轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为(1，0)，则另一个交点的坐标为(B )A. (－1，0)B. (4，0)C. (5，0)D. (－6，0)二、 填空题21. (2018，武汉)飞机着陆后滑行的距离y (m)关于滑行时间t (s)的函数解析式是y ＝60t －32t 2.在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是 24 m. 22.如图，在矩形ABCD 中，AD ＝16，AB ＝12，E ，F 分别是边BC ，DC 上的点，且EC ＋CF ＝8.设BE 的长为x ，△AEF 的面积为y ，则y 关于x 的函数解析式是( y ＝12x 2－10x ＋96 ).23. (2018，上海长宁区一模)抛物线y ＝x 2－4x ＋3的顶点坐标为 (2，－1) ．24. (2018，莆田秀屿区模拟)如果将抛物线y ＝x 2－2x －1向上平移，使它经过点A (0，3)，那么所得新抛物线的解析式是y ＝x 2－2x ＋3 .25. (2018，洛阳洛宁县三模，导学号5892921)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2，4)，B (6，4)两点，且顶点在x 轴上，则该抛物线的解析式为（ y ＝14x 2－x ＋1 ）.26. (2018，滨州)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (m)与飞行时间x (s)之间具有函数关系y ＝－5x 2＋20x ，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m 时，飞行时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？【思路分析】 (1)根据题目中的函数解析式，令y ＝15即可解答本题．(2)令y ＝0，代入题目中的函数解析式即可解答本题．(3)将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．解：(1)当y ＝15时，15＝－5x 2＋20x .解得x＝1或x＝3.答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s.(2)当y＝0时，0＝－5x2＋20x.解得x＝0或x＝4.4－0＝4(s)．答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s.(3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20，∴当x＝2时，y取得最大值，为20.答：在飞行过程中第2 s时，小球飞行高度最大，最大高度是20 m.27. (2018，盘锦节选)鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本为30元．设该款童装每件售价为x 元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(不求自变量的取值范围)(2)当每件童装售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？(3)当每件童装售价定为多少元时，该店销售该款童装一星期可获得 3 910元的利润？【思路分析】 (1)每星期的销售量等于100件加上因降价而多销售的销售量，由此得到函数关系式．(2)设每星期的销售利润为W元，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．(3)根据题意列方程即可解决问题．解：(1)y＝100＋10(60－x)＝－10x＋700.(2)设每星期的销售利润为W元．根据题意，得W＝(x－30)(－10x＋700)＝－10x2＋1 000x－21 000＝－10(x－50)2＋4 000.∴当x＝50时，W最大，W最大＝4 000.所以当每件童装售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润是4 000元．(3)由题意，得－10(x－50)2＋4 000＝3 910.解得x＝53或x＝47.所以当每件童装售价定为53元或47元时，该店销售该款童装一星期可获得3 910元的利润．28. (2018，菏泽郓城县模拟)如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过点A和点B.(1)求该二次函数的解析式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)若点P(m，m)在该函数的图象上，求m的值．第17题图【思路分析】 (1)由图象可知点A 和点B 的坐标，代入解析式可得到关于a 和c 的二元一次方程组，解得a 和c ，可得出二次函数的解析式．(2)利用配方法化成顶点式即可得解．(3)把点的坐标代入可求得m 的值．解：(1)将A (－1，－1)，B (3，－9)的坐标分别代入，得⎩⎨⎧a ＋4＋c ＝－1，9a －12＋c ＝－9.解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝－6. ∴该二次函数的解析式为y ＝x 2－4x －6.(2)y ＝x 2－4x －6＝(x －2)2－10，所以该抛物线的对称轴为x ＝2，顶点坐标为(2，－10)．(3)∵点P (m ，m )在函数的图象上，∴m 2－4m －6＝m .解得m ＝6或m ＝－1.29. (2018，淮北相山区二模)已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(－2，－5)，求此二次函数的解析式．【思路分析】 设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2＋4，然后把(－2，－5)代入求出a 的值即可．解：设该二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2＋4.把(－2，－5)代入，得a ·(－2－1)2＋4＝－5.解得a ＝－1.所以该二次函数的解析式为y ＝－(x －1)2＋4.30.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资成本x 成正比例关系，种植花卉的利润y 2与投资成本x 的平(1)分别求出利润y 12(2)如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m 万元，种植花卉和树木共获利润W 万元，求出W 关于m 的函数解析式，并求他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少．【思路分析】 (1)根据题意设y1＝kx，y2＝px2，将表格中的数据分别代入求解可得．(2)由投入种植花卉金额m万元，则投入种植树木金额(8－m)万元，根据“总利润＝花卉利润＋树木利润”列出函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可．解：(1)设y1＝kx.由表格数据可知，函数y1＝kx的图象过(2，4)，∴4＝k·2.解得k＝2.故种植树木的利润y1关于投资成本x的函数解析式是y1＝2x(x≥0)．设y2＝px2.由表格数据可知，函数y2＝px2的图象过(2，2)．∴2＝p·22.解得p＝1 2 .故种植花卉的利润y2关于投资成本x的函数解析式是y2＝12x2(x≥0)．(2)因为投入种植花卉金额m万元，则投入种植树木金额(8－m)万元．根据题意，得W＝2(8－m)＋1 2 m2＝12m2－2m＋16＝12(m－2)2＋14.∵a＝12＞0，0≤m≤8，∴当m＝2时，W取得最小值，为14.∵a＝12＞0，∴当0≤m<2时，W随m的增大而减小；当2<m≤8时，W随m的增大而增大．在对称轴左侧，当m＝0时，W取得最大值，为16.在对称轴右侧，当m＝8时，W取得最大值，为32.∵16<32，∴当m＝8时，W取得最大值，为32.故他至少获得14万元的利润，他能获取的最大利润是32万元．。
二次函数培优专题训练(含答案)
A． 个B． 个C． 个D． 个
二、填空题
11．若抛物线y=x2﹣2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为．
12．二次函数y=x2-4x+5的最小值是
13．已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线y＝ax2（a≠0）上的两点．当x2＜x1＜0时，y2＜y1，则a的取值范围是_____．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？
（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．
（1）求x=2时，平行四边形AGEF的面积．
（2）当x为何值时，平行四边形AGEF的面积最大？最大面积是多少？
19．某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示.
(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每干克的收益是多少元?(收益=售价－成本)
试题解析：A：在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．故此选项正确，
B：当x=0，y=1，∴图象与y轴的交点坐标为：（0，1），故此选项错误，
C：∵a=-1，∴函数的开口向下，对称轴是x=1，故此选项错误，
D：∵这个函数的顶点是（1，2），故此选项错误，
故选A．
考点：二次函数的性质．
(2)S是x的什么函数？
(3)当S＝6时，求点P的坐标；
(4)在y＝x2的图象上求一点P′，使△OP′A的两边OP′＝P′A.
人教版九年级数学上册作业课件 第二十二章 二次函数 专题训练(五) 二次函数与几何图形综合
(3)如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可 得N(－2，－3)或N′(0，－3)，当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，x＝ 2时，y＝4＋4－3＝5，∴N″(2，5).综上所述，满足条件的点N的坐标为 (－2，－3)或(0，－3)或(2，5)
＋2x－3＝0，解得 x＝－3 或 1，∴A(－3，0)
(2)如图 1 中连接 AD，CD.∵点 D 到直线 AC 的距离取得最大，∴此 时△DAC 的面积最大，设直线 AC 解析式为：y＝kx＋b，∵点 A(－3，0)， C(0，－3)， ∴b－＝3－k＋3，b＝0， 解得kb＝＝－－13，，
∴直线 AC 的解析式为 y＝－x－3，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于点 G，设点 D 的坐标为(x，x2＋2x－3)，则 G(x，－x－3)，∵点 D 在第三象限，∴DG＝－x －3－(x2＋2x－3)＝－x2－3x，∴S△ACD＝12 DG·OA＝12 (－x2－3x)×3＝－32 x2 －92 x＝－32 (x＋32 )2＋287 ，∴当 x＝－32 时，S 最大＝287 ，此时点 D(－32 ，－145 )， ∴点 D 到直线 AC 的距离取得最大时，D(－32 ，－145 )
(1)若点 A 的横坐标为 8. ①用含 m 的代数式表示 M 的坐标； ②点 P 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出 m 的值；若不能，请 说明理由． (2)当 m＝2 时，若点 P 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满 足条件的所有直线 OA 的函数解析式．
解：(1)①∵点 A 在 y＝14 x2 的图象上，横坐标为 8，∴A(8，16)，∴ 直线 OA 的解析式为 y＝2x，∵点 M 的纵坐标为 m，∴M(12 m，m)
3．(2020·武汉)将抛物线 C：y＝(x－2)2 向下平移 6 个单位长度得到抛物 线 C1，再将抛物线 C1 向左平移 2 个单位长度得到抛物线 C2.
二次函数与实际问题综合训练题精选(含18题)
二次函数与实际问题综合训练题精选（含18题）1．下图表示近5年来某市的财政收入情况．图中x轴上1，2，…，5依次表示第1年，第2年，…，第5年，即1997年，1998年，…，2001年，可以看出，图中的折线近似于抛物线的一部分．（1）请你求出过A、C、D三点的二次函数的解析式；（2）分别求出当x＝2和x＝5时，（1）中的二次函数的函数值；并分别与B、E两点的纵坐标相比较；（3）利用（1）中的二次函数的解析式预测今年该市的财政收入．2．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数关系，部分数据如表：x（元/件）13141516y（件）11001000900800（1）求y与x的函数关系式；（2）当线下售价x为多少时，线下月销售量最大，最大是多少件？（3）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．①求出总利润w（单位：元）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）的函数关系式；②回忆一次函数的概念，请你给上一问求出的函数命名，并用字母表示出它的一般形式．3．如图（单位：m），等腰直角三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形不重叠部分的面积为ym2．（1）写出y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）请画出此函数的图象；（3）当不重叠部分的面积是三角形面积的一半时，三角形移动了多长时间？4．某同学练习推铅球，铅球推出后在空中飞行的路线是一条抛物线，铅球在离地面0.5米高的A处推出，推出后达到最高点B时的高度是2.5米，水平距离是4米，铅球在地面上点C处着地．（1）根据如图所示的直角坐标系求抛物线的解析式；（2）这个同学推出的铅球有多远？5．如图是一种新型娱乐设施的示意图，x轴所在位置记为地面，平台AB∥x轴，OA＝6米，AB＝2米，BC是反比例函数y＝的图象的一部分，CD是二次函数y＝﹣x2+mx+n图象的一部分，连接点C为抛物线的顶点，且C点到地面的距离为2米，D点是娱乐设施与地面的一个接触点．（1）试求k，m，n的值；（2）试求点B与点D的水平距离．6．我市某文具厂生产一种签字笔，已知这种笔的生产成本为每支6元．经市场调研发现：批发该种签字笔每天的销售量y（支）与售价x（元/支）之间存在着如下表所示的一次函数关系：售价x（元/支）…78…销售量y （支） … 300 240 …（利润＝（售价﹣成本）×销售量）（1）求销售量y （支）与售价x （元/支）之间的函数关系式；（2）求销售利润W （元）与售价x （元/支）之间的函数关系式；（3）试问该厂应当以每支签字笔多少元出售时，才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？7．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度AB 长12米．（1）请以AB 所在直线为x 轴（射线AB 的方向为正方向），线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式；（2）若要搭建一个矩形“支架CD ﹣DE ﹣EF ，使D 、E 两点在抛物线上，C 、F 两点在地面AB 上，若AC ＝2米，求支架的总长度．8．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服进价为每件60元，每月的销量与售价的相关信息如表：售价x （元/件）100 110 120 130 … 月销量y （件） 200 180 160 140 … 设该运动服的售价为x 元．（1）请用含x 的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 元，②月销量是 件．（直接写出结果）；（2）若要在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（3）设销售该运动服的月利润为y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？9．某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A 品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可卖出120套（两套服装的市场行情互不影响）．目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：120011001000900800700600500400300200100转让数量（套）价格240250260270280290300310320330340350（元/套）方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装；方案3：部分转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装．问：①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？此时他在一年内共得利润多少元？10．一个圆形喷水池的中心竖立一根高为2.25m顶端装有喷头的水管，喷头喷出的水柱呈抛物线形．当水柱与池中心的水平距离为1m时，水柱达到最高处，高度为3m．（1）求水柱落地处与池中心的距离；（2）如果要将水柱的最大高度再增加1m，水柱的最高处与池中心的水平距离以及落地处与池中心的距离仍保持不变，那么水管的高度应是多少？11．某水果商将一种高档水果放在商场销售，该种水果成本价为10元/kg，售价为40元/kg，每天可销售20kg．调查发现，销售单价每下降1元，每天的销售量将增加5kg．（1）直接写出每天的销售量y（kg）与降价x（元）之间的函数关系式；（2）降价多少元时，每天的销售额w元最大，最大是多少元？（销售额＝售价×数量）（3）每销售1kg水果，需向商场缴纳柜台费a元（a＞0），水果商计划租赁柜台20天，为了促销，决定开展“每天降价1元”活动，即从第1天开始，每天的销售单价比前一天下降1元（第1天的销售单价为39元），经测算发现，销售的前11天，每天的利润Q 元随销售天数t（t为正整数）的增大而增大，试确定a的取值范围．（利润＝销售额﹣成本﹣柜台费）12．实际测试表明1千克重的干衣物用水洗涤后拧干，湿重为2千克，今用浓度为1%的洗衣粉溶液洗涤0.5千克干衣物，然后用总量为20千克的清水分两次漂洗．假设在洗涤和漂洗的过程中，残留在衣物中的溶液浓度和它所在的溶液中的浓度相等，且每次洗、漂后都需拧干再进入下一道操作．问怎样分配这20千克清水的用量，可以使残留在衣物上的洗衣粉溶液浓度最小，残留在衣物上的洗衣粉有多少毫克？（保留3个有效数字）（溶液浓度＝×100%，1千克＝106毫克）13．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲8a20200乙201030+0.05x290其中a为常数，且5≤a≤7（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（注：年利润＝总售价﹣总成本﹣每年其他费用）（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．14．善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20min时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x（min）与学习收益量y的关系如图①所示，用于回顾反思的时间x（min）与学习收益量y的关系如图②所示（其中OA 是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．（1）求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式；（2）求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式；（3）小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20min的学习收益总量最大？15．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少并求出总收益w的最大值．16．为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求彩虹桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使彩虹桥上车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？（3）当车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．17．我市一家电子计算器专卖店每只进价12元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20﹣10）＝1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买；（2）求该专卖店当一次销售x只时（x＞10），所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少元？18．我市某外资企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查．其中，国内市场的日销售量y1（万件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示．而国外市场的日销售量y2（万件）与时间t （t为整数，单位：天）的关系如图所示．（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t 的变化规律，写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）分别探求该产品在国外市场上市20天前（不含第20天）与20天后（含第20天）的日销售量y2与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（3）设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式，并判断上市第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．0510********时间t（天）025*********日销售量y1（万件）。
二次函数专项训练——“对称性'
x
巧用“对称性”
化繁为
简
3、比较函数值的大小
小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐 标找到三点(－1，y1)，(0.5，y2 )，(-3.5，y3) 则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（ D ）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2 B、y2>y3>y1 D、y3>y2>y1
致胜宝典： 巧用“对称性” 化线为 （1）求抛物线y=2x -4x-5关于x轴对称的抛物线。 点
2
（2）求抛物线y=2x2-4x-5关于y轴对称的抛物线。 （3）求抛物线y=2x2-4x-5关于原点成中心对称的抛物线。 （4）求抛物线y=2x2-4x-5绕着 顶点旋转180°得到的抛物线。
▲ 抛物线关于x轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(x，－y) y＝ax2＋bx＋c变为y＝－ax2－bx－c. ▲ 抛物线关于y轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(－x，y) y＝ax2＋bx＋c变为y＝ax2－bx+c. ▲ 抛物线关于原点对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(－x， － y) y＝ax2＋bx＋c变为y＝ － ax2+bx － c. ▲ 抛物线绕着 顶点旋转180°后得到的抛物线，顶点坐标不变，开口方向相反。 （1）设抛物线顶点为(m,n)则顶点式为y=a(x-m)²+n 抛物线绕顶点坐标旋转180后,解析式中a变为-a,其余不发生变化：y=-a(x-m)²+n （2）如果原解析式为y=ax²+bx+c,顶点纵坐标为n 则新解析式为y=2n-(ax²+bx+c)=-ax²-bx+2n-c
x 2
二次函数专题训练(含答案)-
二次函数专题训练（含答案）一、填空题： 1.把抛物线221x y -=向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个 单位，得抛物线 .2.函数x x y +-=22图象-的-对称轴是 ，最大值是 .3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是 .4.二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 .5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则x 1与x 2的关系是 . 6.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是 ，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴 侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴 侧.7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .8.若a <0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第 象限；当x >4a-时，函数值随x 的增大而 .9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）当a >0时，图象的开口a <0时，图象的开口 ，顶点坐标是 . 10.抛物线2)(21h x y --=，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 11.二次函数)()(32+-=x y 的图象的顶点坐标是（1，-2）.12.已知2)1(312-+=x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 .14.用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 . 二、选择题：16.在抛物线1322+-=x x y 上的点是（ ）A.（0，-1）B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21 C.（-1，5） D.（3，4）17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个18.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ）① 当a >0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当a <0时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴 交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.① 19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数b ax y +=的图象如图代13-3-12中A 所示，那么二次函+=2ax ybx -3的大致图象是（ ）图代13-2-1221.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=ba（ ） A.2 B.21 C.4 D.41 22.若函数xa y =的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ）A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交23.二次函数c bx x y ++=2中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ） A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1） 24.函数2ax y =与xay =（a <0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（ ）A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=426.二次函数2ax y =（a <0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是（ ）A ．X 取任何实数 B.x <0 C.x >0 D.x <0或x >027.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 （ ）A.6)4(22+-=x y B.2)4(22+-=x y C.2)2(22+-=x y D.2)3(32+-=x y 28.二次函数229k ykx x y ++=（k >0）图象的顶点在（ ）A.y 轴的负半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴的负半轴上D.x 轴的正半轴上 29.四个函数：xy x y x y 1,1,-=+=-=（x >0），2x y -=（x >0），其中图象经过原点的函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的值永远小于0的条件是（ ） A.a >0，Δ>0 B.a >0,Δ<0 C ．a <0,Δ>0 D.a <0,Δ<0 三、解答题31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ，求a ，b 的值.32.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为21，它 的图象与x 轴交于两点B （x 1，0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且132221=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过P ，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由. 33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该 抛物线的对称轴x=-21与x 轴相交于点C ，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-1634.中图代13-3-16，抛物线c x ax y +-=32交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D ，若⊙D 与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tgα；（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明.35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8米，AD 和A ＇D ＇是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ＇D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4. 求（1）桥拱DGD ＇所在抛物线的解析式及CC ＇的长；（2）BE 和B ＇E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ＇B ＇为两个方 向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ＇B ＇的宽； （3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车 载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过？请说明理由.36.已知：抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （a <b ）.O为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系. 37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b. （1） 求m 的取值范围；（2） 若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（3） 设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存 在 点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请 说明理由. 38.已知：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=EB.A是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-18① 若AE=2，求AD 的长.② 当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有FHEDAH AD =试证 明 你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39.已知二次函数)294(2)254(222+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为 A ，B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C. ① 若△ABC 为Rt △，求m 的值；② 在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值；③ 设△ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值.40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ， 满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.图代13-3-19① 求⊙C 的圆心坐标.② 过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式.③ 抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式.41.已知直线x y 21=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. ① 若M 恰在直线x y 21=与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点. ② 在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次函数q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20③ 在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于点C ，与x 同 的左交点为A ，试在直线x y 21=上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上. 42.如图代13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ，B 两点， 与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°. （1） 求点C 的坐标； （2） 求抛物线的解析式；（3） 若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.参 考 答 案动脑动手 1. 设每件提高x 元（0≤x ≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每天可销售（100-10x ） 件，设每天所获利润为y 元，依题意，得)10100)(2(x x y -+=.360)4(10200801022+--=++-=x x x∴当x=4时（0≤x ≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元. 2.∵43432+⎪⎭⎫⎝⎛+-=x m mx y ， ∴当x=0时，y=4. 当0,043432≠=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m x m mx 时mm m 34,321==. 即抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴的交点为A （3，0），⎪⎭⎫⎝⎛0,34m B . （1）当AC=BC 时，94,334-=-=m m . ∴ 4942+-=x y （2）当AC=AB 时，5,4,3===AC OC AO .∴ 5343=-m. ∴ 32,6121-==m m . 当61=m 时，4611612+-=x x y ； 当32-=m 时，432322++-=x x y .（3）当AB=BC 时，22344343⎪⎭⎫⎝⎛+=-m m ，∴ 78-=m . ∴ 42144782++-=x x y .可求抛物线解析式为：43232,461161,494222+--=+-=+-=x x y x x y x y 或42144782++-=x x y .3.（1）∵)62(4)]5([222+---=∆m m)1(122222 +=++=m m m图代13-3-21∴不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点. 令y=0，得062)5(222=+++-m x m x 0)3)(2(2=---m x x ，∴ 3,2221+==m x x .∴两交点中必有一个交点是A （2，0）.（2）由（1）得另一个交点B 的坐标是（m 2+3,0）.12322+=-+=m m d ，∵ m 2+10>0，∴d=m 2+1.（3）①当d=10时，得m 2=9.∴ A （2，0），B （12，0）.25)7(241422--=+-=x x x y .该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB 的中点E （7，0）. 过点P 作PM ⊥AB 于点M ，连结PE ， 则2222)7(,,521a MEb PM AB PE -====， ∴ 2225)7(=+-b a . ① ∵点PD 在抛物线上，∴ 25)7(2--=a b . ② 解①②联合方程组，得0,121=-=b b .当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1. 注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程. ②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b <-1； △ ABP 为钝角三角形时，则b >-1，且b ≠0. 同步题库一、 填空题 1.3)2(21,)2(2122-+-=+-=x y x y ； 2.81,41=x ； 3.9)3(2-+=x y ； 4. 2)2(22+--=x y ； 5.互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x >-1； 8.四，增大； 9.向上，向下，a bx a b ac a b 2,44,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--； 10.向下，（h,0），x=h ； 11.-1，-2； 12.x <-1； 13.-17，（2，3）； 14.91312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y ； 15.10.二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28. C 29.A 30.D 三、解答题31.解法一：依题意，设M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0 的两个实数根，∴ a x x 221-=+，1x ·122+-=b x . ∵x 1，x 2又是方程01)3(22=-+-+-b x a x 的两个实数根， ∴ x 1+x 2=a-3，x 1·x 2=1-b 2. ∴ ⎩⎨⎧-=+--=-.112,322b b a a解得 ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a 当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.解法二：∵二次函数1222+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=，二次函数1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为23-=a x ， 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ， ∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.∴ 23-=-a a . 解得 1=a .∴两个二次函数分别为1222+-+=b x x y 和1222-+--=b x x y . 依题意，令y=0，得01222=+-+b x x ， 01222=-+--b x x .①+②得022=-b b .解得 2,021==b b . ∴ ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.32.解：∵c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点B （x 1，0），C （x 2，0）， ∴ acx x a b x x =⋅-=+2121,. 又∵132221=+x x 即132)(21221=-+x x x x ，∴ 132)(2=⋅--a cab . ① 又由y 的图象过点A （2，4），顶点横坐标为21，则有4a+2b+c=4， ② 212=-a b . ③ 解由①②③组成的方程组得 a=-1,b=1,c=6.∴ y=-x 2+x+6. 与x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）. 与y 轴交点D 坐标为（0，6）.设y 轴上存在点P ，使得△POB ∽△DOC ，则有 （1） 当B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有6,3,2,====OD OC OB ODOPOC OB . ∴OP=4，即点P 坐标为（0，4）或（0，-4）.当P 点坐标为（0，4）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为 y=kx+4.有 0=-2k-4. 得 k=-2. ∴ y=-2x-4. 或3,6,2,====OC OD OB OCOPOD OB . ∴OP=1，这时P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.当P 点坐标为（0，1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为 y=kx+1.有 0=-2k+1.得 21=k . ∴ 121+-=x y .当P 点坐标为（0，-1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为 y=kx-1，有 0=-2k-1，得 21-=k . ∴ 121--=x y . （2） 当B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9，或 131+-=x y ， 或 131-=x y . 33.解：（1）在直线y=k(x-4)中，令y=0，得x=4.∴A 点坐标为（4，0）.∴ ∠ABC=90°.∵ △CBD ∽△BAO ， ∴OBOA OC OB =，即OB 2=OA ·OC. 又∵ CO=1，OA=4，∴ OB 2=1×4=4.∴ OB=2（OB=-2舍去）∴B 点坐标为（0，2）.将点B （0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得21-=k . ∴直线的解析式为：221+-=x y . （2）解法一：设抛物线的解析式为h x a y ++=2)1(，函数图象过A （4，0），B （0，2），得⎩⎨⎧=+=+.2,025h a h a 解得 .1225,121=-=h a ∴抛物线的解析式为：1225)1(1212++-=x y . 解法二：设抛物线的解析式为：c bx ax y ++=2，又设点A （4，0）关于x=-1的对 称是D.∵ CA=1+4=5，∴ CD=5.∴ OD=6.∴D 点坐标为（-6，0）.将点A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++.0636,2,0416c b a c c b a 解得 2,61,121=-=-=c b a . ∴抛物线的解析式为：2611212+--=x x y . 34.解：（1）A ，B 的横坐标是方程032=+-c x ax 的两根，设为x 1,x 2（x 2>x 1），C 的 纵坐标是C.又∵y 轴与⊙O 相切，∴ OA ·OB=OC 2.∴ x 1·x 2=c 2.又由方程032=+-c x ax 知 a c x x =⋅21， ∴ac c =2，即ac=1. （2）连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴ AB AE 21=. α=∠=∠=∠ADE ADB ACB 21. ∵ a >0,x 2>x 1， ∴ a a ac x x AB 54912=-=-=. aAE 25=. 又 ED=OC=c ，∴ 25==DE AE tg α. （3）设∠PAB=β，∵P 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 45,23，又∵a >0， ∴在Rt △PAE 中，aPE 45=. ∴ 25==AE PE tg β. ∴ tg β=tg α. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵ ∠ADE+∠DAE=90°∴PA 和⊙D 相切.35.解：（1）设DGD ＇所在的抛物线的解析式为c ax y +=2，由题意得G （0，8），D （15，5.5）.∴ ⎩⎨⎧+==.255.5,8c a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,901c a∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为89012+-=x y . ∵41=AC AD 且AD=5.5, ∴ AC=5.5×4=22(米).∴ 2215(2)(22+⨯=+⨯=='AC OA OC c c ）=74（米）.答：cc ＇的长为74米.（2）∵ 4,41==BE BC EB ， ∴ BC=16.∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）.答：AB 和A ＇B ＇的宽都是6米.（3） 在89012+-=x y 中，当x=4时， 45377816901=+⨯-=y . ∵ 4519)4.07(45377=+->0. ∴该大型货车可以从OA （OA ＇）区域安全通过.36.解:（1）∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即a <0，b >0.∴方程02)4(2=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号.∴ab=m+2<0，∴m <-2.（2）当m <-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. m=-4时，四边形PO 1O 2Q 是矩形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. （3）∵ 4)2()2(4)4(22++=+-+=∆m m m >0∴方程02)4(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根.∵ m >-2， ∴ ⎩⎨⎧+=+=+.02,04 m ab m b a ∴ a >0，b >0.∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧，并且两圆内切.37.解：（1）设A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0），∵A ，B 两点在原点的两侧，∴ x 1x 2<0，即-（m+1）<0，解得 m >-1.∵ )1()1(4)]1(2[2+⨯-⨯--=∆m m 7)21(484422+-=+-=m m m 当m >-1时，Δ>0，∴m 的取值范围是m >-1.（2）∵a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k （k >0），则 x 1=3k ，x 2=-k ，∴ ⎩⎨⎧+-=-⋅-=-).1()(3),1(23m k k m k k 解得 31,221==m m . ∵31=m 时，3421-=+x x （不合题意，舍去）， ∴ m=2∴抛物线的解析式是32++-=x x y .（3）易求抛物线322++-=x x y 与x 轴的两个交点坐标是A （3，0），B （-1，0） 与y 轴交点坐标是C （0，3），顶点坐标是M （1，4）.设直线BM 的解析式为q px y +=，则 ⎩⎨⎧+-⋅=+⋅=.)1(0,14q p q p解得 ⎩⎨⎧==.2,2q p ∴直线BM 的解析式是y=2x+2.设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是（0，2），∴ MNC BCN BCM S S S ∆∆∆+= .111211121=⨯⨯+⨯⨯=设P 点坐标是（x,y ），∵ BCM ABP S S ∆∆=8，∴1821⨯=⨯⨯y AB . 即 8421=⨯⨯y . ∴ 4=y .∴4±=y .当y=4时，P 点与M 点重合，即P （1，4），当y=-4时，-4=-x 2+2x+3，解得 221±=x .∴满足条件的P 点存在.P 点坐标是（1，4），)4,221(),4,221(---+.38.（1）解：∵AD 切⊙O 于D ，AE=2，EB=6，∴ AD 2=AE ·AB=2×（2+6）=16.∴ AD=4.图代13-2-23（2）①无论点A 在EP 上怎么移动（点A 不与点E 重合），总有FH ED AH AD =. 证法一：连结DB ，交FH 于G ，∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEB.又∵BH ⊥AH ，BE 为直径，∴ ∠BDE=90°有 ∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=∠DBH.在△DFB 和△DHB 中，DF ⊥AB ，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB ，∠DBE=∠DBH ，∴ △DFB ∽△DHB.∴BH=BF ， ∴△BHF 是等腰三角形.∴BG ⊥FH ，即BD ⊥FH.∴ED ∥FH ，∴FHED AH AD =.图代13-3-24证法二：连结DB ，∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEF.又∵DF ⊥AB ，BH ⊥DH ，∴ ∠EDF=∠DBH.以BD 为直径作一个圆，则此圆必过F ，H 两点，∴∠DBH=∠DFH ，∴∠EDF=∠DFH.∴ ED ∥FH.∴ FHED AH AD =. ②∵ED=x ，BH=，BH=y ，BE=6，BF=BH ，∴EF=6y.又∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高，∴ △DFE ∽△BDE ， ∴EBED ED EF =，即EB EF ED ⋅=2. ∴)6(62y x -=，即6612+-=x y . ∵点A 不与点E 重合，∴ED=x >0.A 从E 向左移动，ED 逐渐增大，当A 和P 重合时，ED 最大，这时连结OD ，则OD ⊥PH. ∴ OD ∥BH.又 12,936==+=+=PB EO PE PO ，4,=⋅==POPB OD BH PB PO BH OD ， ∴ 246,4=-=-===BF EB EF BH BF ，由ED 2=EF ·EB 得 12622=⨯=x ，∵x >0，∴32=x .∴ 0<x ≤32.（或由BH=4=y ，代入6612+-=x y 中，得32=x ） 故所求函数关系式为6612+-=x y （0<x ≤32）. 39.解：∵]294)[2(2942254222⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m m x x m m x m m x y , ∴可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2942,0,0,294),0,2(22m m C m m B A . （1）∵△ABC 为直角三角形，∴OB AO OC⋅=2， 即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22942294422m m m m ， 化得0)2(2=-m .∴m=2.（2）∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即22942=+-m m . ∴429422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=m m OC .∴25==BC AC .过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB ·OC=BC ·AD. ∴ 58=AD .∴ 545258sin ===∠AC AD ACB .图代13-3-25（3）CO AB S ABC ⋅=∆21 .1)1()2(2942229421222-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=u u u m m m m ∵ 212942≥+-=m m u ， ∴当21=u ，即2=m 时，S 有最小值，最小值为45. 40.解：（1）∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2，∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8.A 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,532，B 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛524,0. ∴⊙C 的圆心C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,516. （2）由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB ，∴ ∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO.∴ Rt △AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴OBOC AB OF OA OC AB OE ==,. ∴ 320,5==OF OE .E 点坐标为（5，0），F 点坐标为，∴切线EF 解析式为32034+-=x y . （3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+4512,516，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-.524,1,325.52453244,51622c b a c a b ac a b ∴ 5243252++-=x x y . ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-4512,516，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-.524,4,85.524,5844,51622c b a c a b ac a b ∴ 5244852+--=x x y . 综合上述，抛物线解析式为5243252++-=x x y 或5244852+-=x x y . 41.（1）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,,21m x y x y 有m x x +-=21， ∴ m y m x m x 31,32,23===. ∴交点)31,32(m m M .此时二次函数为m m x y 31322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= m m mx x 31943422++-=. 由②③联立，消去y ，有 0329413422=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m x m x . ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆m m m 3294413422 .013891613891622>=+-+-=m m m m∴无论m 为何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.图代13-3-26（2）解：∵直线y=-x+m 过点D （0，-3），∴ -3=0+m ，∴ m=-3.∴M （-2，-1）.∴二次函数为)1)(3(341)2(22++=+-=-+=x x x x x y .图象如图代13-3-26.（3）解：由勾股定理，可知△CMA 为Rt △，且∠CMA=Rt ∠，∴MC 为△CMA 外接圆直径.∵P 在x y 21=上，可设⎪⎭⎫ ⎝⎛n n P 21,，由MC 为△CMA 外接圆的直径，P 在这个圆上， ∴ ∠CPM=Rt ∠.过P 分别作PN ⊥y ，轴于N ，PQ ⊥x 轴于R ，过M 作MS ⊥y 轴于S ，MS 的延长线与PR 的 延长线交于点Q.由勾股定理，有222QP MQ MP +=，即222121)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n MP . 22222213n n NP NC CP +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=. 202=CM .而 222CM CPMP =+， ∴ 20213121)2(2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n n n ， 即 062252=-+n n ， ∴ 012452=-+n n ，0)2)(65(=+-n n .∴ 2,5621-==n n . 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴ 56=n ， 此时 5321=n . ∴P 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛53,56. 42.解：（1）根据题意，设点A （x 1，0）、点（x 2，0），且C （0，b ），x 1<0，x 2>0，b >0， ∵x 1，x 2是方程02=++-b ax x 的两根，∴ b x x a x x -=⋅=+2121,.在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC 2=OA ·OB.∵ OA=-x 1,OB=x 2，∴ b 2=-x 1·x 2=b.∵b >0,∴b=1，∴C （0，1）.（2）在Rt △AOC 的Rt △BOC 中， 211212121==+-=--=-=-ba x x x x x x OB OC OA OC tg tg βα. ∴ 2=a .∴抛物线解析式为122++-=x x y .图代13-3-27（3）∵122++-=x x y ，∴顶点P 的坐标为（1，2），当0122=++-x x 时，21±=x .∴)0,21(),0,21(+-B A .延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1， ∴点D 坐标为（-1，0）. ∴ DCA DPB ABPC S S S ∆∆-=四边形).(22321)22(212)22(212121平方单位+=⨯-⨯-⨯+⨯=⋅-⋅⋅=yc AD y DB p。
二次函数专题训练(带答案)
二次函数知识点第一节 二次函数的定义、图像、性质1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A.13-=x yB.c bx ax y ++=2C.1222+-=t t sD.xx y 12+= 【解答】解：A 、y=3x ﹣1是一次函数，故A 错误；B 、y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数，故B 错误； C 、s=2t 2﹣2t+1是二次函数，故C 正确；D 、y=x 2+不是二次函数，故D 错误；故选：C ．2.下列函数是二次函数的是（ ） A.12+=x yB.12+-=x yC.22+=x yD.221-=x y 【解答】解：A 、y=2x+1，是一次函数，故此选项错误；B 、y=﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误； D 、y=x 2+2是二次函数，故此选项正确；D 、y=x ﹣2，是一次函数，故此选项错误．故选：C ．3.下列函数关系中，是二次函数的是（ ） A.在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系C.等边三角形的周长C 与边长a 之间的关系D.圆心角为︒120的扇形面积S 与半径R 之间的关系【解答】解：A 、y=mx+b ，当m ≠0时（m 是常数），是一次函数，错误；B 、t=，当s ≠0时，是反比例函数，错误；C 、C=3a ，是正比例函数，错误；D 、S=πR 2，是二次函数，正确．故选：D ．4.二次函数722-+=x x y 的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ）A.3B.5C.-3和5D.3和-5【解答】解：根据题意，得x 2+2x ﹣7=8，即x 2+2x ﹣15=0，解得x=3或﹣5，故选：D ．5.已知一次函数c x ab y +=的图象如图，则二次函数c bx ax y ++=2在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C.D.【解答】解：观察函数图象可知：＜0、c ＞0，∴二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴x=﹣＞0，与y 轴的交点在y 轴负正半轴．故选：A ．6.如图，函数122+-=x ax y 和a ax y -=（a 是常数，且0≠a ）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A. B. C. D.【解答】解：A 、由一次函数y=ax ﹣a 的图象可得：a ＜0，此时二次函数y=ax 2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B 、由一次函数y=ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；C 、由一次函数y=ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x 轴的正半轴相交，故选项错误；D 、由一次函数y=ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y=ax 2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B ．7.函数)(k x k y -=与2kx y =，)0(≠=k xky ，在同一坐标系上的图象正确的是（ ）A. B.C. D.【解答】解：一次函数y=k （x ﹣k ）=kx ﹣k 2，∵k ≠0，∴﹣k 2＜0，∴一次函数与y 轴的交点在y 轴负半轴． A 、一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴，A 不正确；B 、一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴，B 不正确；C 、一次函数图象与y 轴交点在y 轴负半轴，C 可以；D 、一次函数图象与y 轴交点在y 轴正半轴，D 不正确．故选：C ．8.如图，二次函数bx ax y +=2的图象开口向下，且经过第三象限的点P .若点P 的横坐标为-1，则一次函数b x b a y +-=)(的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由二次函数的图象可知，a ＜0，b ＜0，当x=﹣1时，y=a ﹣b ＜0， ∴y=（a ﹣b ）x+b 的图象在第二、三、四象限，故选：D ．9.已知二次函数33222+++=a ax ax y （其中x 是自变量），当2≥x 时，y 随x 的增大而增大，且12≤≤-x 时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ）A.1或﹣2B.2-或2C.2D.1【解答】解：∵二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3（其中x 是自变量），∴对称轴是直线x=﹣=﹣1，∵当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，∴a ＞0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最大值为9，∴x=1时，y=a+2a+3a 2+3=9， ∴3a 2+3a ﹣6=0，∴a=1，或a=﹣2（不合题意舍去）．故选：D ．10.抛物线5)2(32+-=x y 的顶点坐标是（ ）A.（-2，5）B.（-2，-5）C.（2，5）D.（2，-5）【解答】解：抛物线y=3（x ﹣2）2+5的顶点坐标为（2，5），故选：C ．11.关于二次函数1422-+=x x y ，下列说法正确的是（ ）A.图象与y 轴的交点坐标为（0，1）B.图象的对称轴在y 轴的右侧C.当0<x 时，y 的值随x 值的增大而减小D.y 的最小值为-3【解答】解：∵y=2x 2+4x ﹣1=2（x+1）2﹣3，∴当x=0时，y=﹣1，故选项A 错误，该函数的对称轴是直线x=﹣1，故选项B 错误，当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小，故选项C 错误， 当x=﹣1时，y 取得最小值，此时y=﹣3，故选项D 正确，故选：D ．12.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA ，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y （m）与水平距离x （m）之间的关系式是322++-=x x y ，则下列结论：（1）柱子OA 的高度为3m ；（2）喷出的水流距柱子1m 处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m ；（4）水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外．其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4【解答】解：∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴当x=0时，y=3，即OA=3m ，故（1）正确， 当x=1时，y 取得最大值，此时y=4，故（2）和（3）正确，当y=0时，x=3或x=﹣1（舍去），故（4）正确，故选：D ． 13.如图，抛物线()02≠++=a c bx ax y 的对称轴为直线1=x ，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①ac b 42-；②方程02=++c bx ax 的两个根是11-=x ,32=x ；③3ca->；④当0>y 时，x 的取值范围是31≤<-x ；⑤当0>x 时，y 随x 增大而增大． 上述五个结论中正确的有 （填序号）【解答】解：∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，即b 2＞4ac ，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以②正确；∵x=﹣=1，即b=﹣2a ，而x=﹣1时，y=0，即a ﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，即a=﹣，所以③错误；∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤错误． 故答案为①②． 14.已知二次函数()()m x m x y ---=22（m 为常数）．（1）求该二次函数图象与x 轴的交点坐标； （2）求该二次函数图象的顶点P 的坐标；（3）如将该函数的图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到函数2x y =的图象，直接写出m的值．【解答】解：（1）当y=0时，（x ﹣m ）2﹣2（x ﹣m ）=0，（x ﹣m ）（x ﹣m ﹣2）=0，解得x 1=m ，x 2=m+2，∴该二次函数图象与x 轴的交点坐标为（m ，0），（m+2，0）；（2）∵y=[x ﹣（m+1）]2﹣1，∴该二次函数图象的顶点P 的坐标为（m+1，﹣1）；（3）∵该函数的图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位，∴平移的顶点坐标为（m+1﹣3，﹣1+1），即顶点坐标为（m ﹣2，0），∵平移后的抛物线为y=x 2，即平移后的抛物线顶点坐标为（0，0）， ∴m ﹣2=0，∴m=2．第二节 待定系数法、图像与系数关系1.已知二次函数的图象过（0，1），（2，4），（3，10）三点，求这个二次函数的解析式.2.已知二次函数的图象的顶点坐标为（-2，-3），且图象过点（-3，-2）.求此二次函数的解析式.3.已知二次函数c bx ax y ++=2，当4=x 时，3=y ；当1-=x 时，8-=y ；当2=x 时，1=y .求这个二次函数的解析式.4.已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-1），且过原点（0，0），求该二次函数的解析式.5.已知一个二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标分别为（-1，0）和（2，0），与y 轴的交点坐标为（0，-2），求这个二次函数的解析式.6.如图所示，已知二次函数c bx x y ++=2过点)0,1(A ，)3,0(-C .（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P 使ABP ∆的面积为10，请直接写出点P 的坐标.7.如图，直线l 过点)0,4(A 和)4,0(B 两点，它与二次函数2ax y =的图象在第一象限内交于点P ，若29=∆AOPS ，求二次函数的解析式.8.抛物线c bx x y ++-=231经过点)0,33(A 和点)3,0(B ，且这个抛物线的对称轴为直线l ，顶点为C ．（1）求抛物线的解析式； （2）连接AB 、AC 、BC ，求△ABC ABC ∆的面积.【解答】解：（1）∵抛物线经过A、B （0，3）∴由上两式解得∴抛物线的解析式为：；（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=把x=代入，得y=4则点C 坐标为（，4）设线段AB 所在直线为：y=kx+b 解得AB 解析式为：∵线段AB 所在直线经过点A 、B （0，3）抛物线的对称轴l 于直线AB 交于点D∴设点D 的坐标为D 将点D代入，解得m=2∴点D 坐标为，∴CD=CE ﹣DE=2过点B 作BF ⊥l 于点F ∴BF=OE=∵BF+AE=OE+AE=OA=∴S △ABC =S △BCD +S △ACD =CD •BF+CD •AE∴S △ABC =CD （BF+AE ）=×2×=9.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，下列结论：①0>abc ；②02>+b a ；③042>-ac b；④0>+-c b a ，其中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4解：①∵抛物线对称轴是y 轴的右侧，∴ab ＜0，∵与y 轴交于负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确； ②∵a ＞0，x=﹣＜1，∴﹣b ＜2a ，∴2a+b ＞0，故②正确；③∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，故③正确； ④当x=﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b+c ＞0，故④正确．故选：D ． 10.如图，已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：①0>abc ；②c a b >-；③024>++c b a ；④c a ->3；⑤)(b am m b a +>+（1≠m 的实数）．其中正确结论的有（ ）A.①②③B.②③⑤C.②③④D.③④⑤【解答】解：①∵对称轴在y 轴的右侧，∴ab ＜0，由图象可知：c ＞0，∴abc ＜0，故①不正确； ②当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜0，∴b ﹣a ＞c ，故②正确；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c ＞0，故③正确； ④∵x=﹣=1，∴b=﹣2a ，∵a ﹣b+c ＜0，∴a+2a+c ＜0，3a ＜﹣c ，故④不正确；⑤当x=1时，y 的值最大．此时，y=a+b+c ，而当x=m 时，y=am 2+bm+c ，所以a+b+c ＞am 2+bm+c （m ≠1），故a+b ＞am 2+bm ，即a+b ＞m （am+b ），故⑤正确．故②③⑤正确．故选：B ．11.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.0<acB.0<bC.042<-ac bD.0<++c b a【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线交于y 轴的正半轴，∴c ＞0，∴ac ＞0，A 错误； ∵﹣＞0，a ＞0，∴b ＜0，∴B 正确；∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，C 错误；当x=1时，y ＞0，∴a+b+c ＞0，D 错误；故选：B ．12.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，OC OA =，则由抛物线的特征写出如下含有c b a ,,三个字母的等式或不等式：①1442-=-ab ac ；②01=++b ac ；③0>abc ；④0>+-c b a .其中正确的个数是（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个【解答】解：①=﹣1，抛物线顶点纵坐标为﹣1，正确；②ac+b+1=0，设C （0，c ），则OC=|c|，∵OA=OC=|c|，∴A （c ，0）代入抛物线得ac 2+bc+c=0，又c ≠0，∴ac+b+1=0，故正确； ③abc ＞0，从图象中易知a ＞0，b ＜0，c ＜0，故正确；④a ﹣b+c ＞0，当x=﹣1时y=a ﹣b+c ，由图象知（﹣1，a ﹣b+c ）在第二象限，∴a ﹣b+c ＞0，故正确．故选：A ．13.若抛物线c bx x y ++-=2经过点（-2，3），则942--b c 的值是（ ）A.5B.-1C.4D.18【解答】解：∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点（﹣2，3），∴﹣（﹣2）2﹣2b+c=3，整理得，﹣2b+c=7， ∴2c ﹣4b ﹣9=2（c ﹣2b ）﹣9=2×7﹣9=5，故选：A ．14.已知抛物线)0(2>=a ax y 过),2(1y A -、),1(2y B 两点，则下列关系式一定正确的是（ ）A.210y y >> B.120y y >>C.021>>y yD.012>>y y【解答】解：∵抛物线y=ax 2（a ＞0），∴A （﹣2，y 1）关于y 轴对称点的坐标为（2，y 1）． 又∵a ＞0，0＜1＜2，∴y 2＜y 1．故选：C ．15.将抛物线322++=x x y 向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线3=y 的交点坐标是（ ）A.（0，3）或（-2，3）B.（-3，0）或（1，0）C.（3，3）或（-1，3）D.（-3，3）或（1，3）【解答】解：将抛物线y=x 2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线为y=x 2+2x当该抛物线与直线y=3相交时，x 2+2x=3解得：x 1=﹣3，x 2=1则交点坐标为：（﹣3，3）（1，3）故选：D ．16.将抛物线2x y =向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ）A.5)2(2-+=x yB.5)2(2++=x yC.5)2(2--=x yD.5)2(2+-=x y【解答】解：抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5．故选：A ．第三节 最值问题、一元二次方程、实际应用1.已知二次函数2)(h x y --=（h 为常数），当自变量x 的值满足52≤≤x 时，与其对应的函数值y 的最大值为-1，则h 的值为（ ） A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6【解答】解：当h ＜2时，有﹣（2﹣h ）2=﹣1，解得：h 1=1，h 2=3（舍去）；当2≤h ≤5时，y=﹣（x ﹣h ）2的最大值为0，不符合题意；当h ＞5时，有﹣（5﹣h ）2=﹣1， 解得：h 3=4（舍去），h 4=6．综上所述：h 的值为1或6．故选：B ．2.当1+≤≤a x a 时，函数122+-=x x y 的最小值为1，则a 的值为（ ）A.-1B.2C.0或2D.-1或2【解答】解：当y=1时，有x 2﹣2x+1=1，解得：x 1=0，x 2=2．∵当a ≤x ≤a+1时，函数有最小值1，∴a=2或a+1=0，∴a=2或a=﹣1，故选：D ． 3.函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，那么关于x 的一元二次方程032=-++c bx ax 的跟的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个异号的实数根C.有两个相等的实数根D.没有实数根4.在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=221的图像如图所示，关于x的方程m c bx x =++221有实数根，则m 的取值范围是5.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y （件）与销售单价x （元/件）之间的函数关系式为4404+-=x y ，要获得最大利润，该商品的售价应定为（）A ．60元B ．70元C ．80元D ．90元【解答】解：设销售该商品每月所获总利润为w ， 则w=（x ﹣50）（﹣4x+440） =﹣4x 2+640x ﹣22000 =﹣4（x ﹣80）2+3600，∴当x=80时，w 取得最大值，最大值为3600，即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，故选：C ．6.竖直向上发射的小球的高度)(m h 关于运动时间)(s t 的函数表达式为bt ath +=2，其图象如图，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ） A.第3秒 B.第3.5秒 D.第4.2秒 D.第6.5秒7.如图，ABC ∆是直角三角形，︒=∠90A ，cm AB 8=，cm AC 6=点P 从点A 出发，沿AB 方向以s cm /2的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发沿AC 方向以s cm /1的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ 的最大面积是（ ）A.28cm B.216cm C.224cm D.232cm8.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系()02≠++=a c bx ax y ．如图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离是多少？【解答】解：根据题意知，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x=﹣==15（m ）．9.已知二次函数c bx x y ++-=2163的图象经过()3,0A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛--29,4B 两点．（1）求c b ,的值． （2）二次函数c bx x y ++-=2163的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．【解答】解：（1）把A （0，3），B （﹣4，﹣）分别代入y=﹣x 2+bx+c ，得，解得；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣x 2+x+3．△=（）2﹣4×（﹣）×3=＞0，所以二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象与x 轴有公共点．∵﹣x 2+x+3=0的解为：x 1=﹣2，x 2=8∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．10.设二次函数()b a bx ax y +-+=2（a ，b 是常数，0≠a ）．（1）判断该二次函数图象与x 轴的交点的个数，说明理由． （2）若该二次函数图象经过()4,1-A ，()1,0-B ，()1,1C 三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若0<+b a ，点()m P,2()0>m 在该二次函数图象上，求证：0>a ．【解答】解：（1）设y=0∴0=ax 2+bx ﹣（a+b ）∵△=b 2﹣4•a[﹣（a+b ）]=b 2+4ab+4a 2=（2a+b ）2≥0 ∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根．∴二次函数图象与x 轴的交点的个数有两个或一个（2）当x=1时，y=a+b ﹣（a+b ）=0∴抛物线不经过点C 把点A （﹣1，4），B （0，﹣1）分别代入得解得∴抛物线解析式为y=3x 2﹣2x ﹣1（3）当x=2时m=4a+2b ﹣（a+b ）=3a+b ＞0①∵a+b ＜0∴﹣a ﹣b ＞0② ①②相加得：2a ＞0∴a ＞011.已知二次函数()()312---=m x x y （m 为常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点； （2）当m 取什么值时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？【解答】（1）证明：当y=0时，2（x ﹣1）（x ﹣m ﹣3）=0， 解得：x 1=1，x 2=m+3．当m+3=1，即m=﹣2时，方程有两个相等的实数根； 当m+3≠1，即m ≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点； （2）解：当x=0时，y=2（x ﹣1）（x ﹣m ﹣3）=2m+6， ∴该函数的图象与y 轴交点的纵坐标为2m+6，∴当2m+6＞0，即m ＞﹣3时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方．。
2022年新课标全国II卷完形填空二次开发训练学案-高三英语二轮复习
2022年新课标全国II卷完形填空二次开发训练〖原题重现〗Like many young people, Jessica wants to travel the globe. Unlike most of them, this 25-year-old is doing it ___21___ . She and her husband have spent the last two years traveling the world, stopping everywhere from Paris to Singapore. It might sound like one long, expensive ___22___ , but the couple has an unusual way to make their travel ___23___ .They’re part of a new form of the ___24___ economy: an online group of house sitters. Throughout their no-cost stays in ___25___ homes, they feed pets and water plants in the homeowner’s ___26___ .It’s not all sightseeing. The two travelers carefully ___27___ their trips, scheduling their days around the pets that are sometimes difficult to ___28___ . But house sitting also offers a level of ___29___ they can’t find in a hotel. “It’s like ____30____ at a friend’s house,” Jessica says.The couple has a high ____31____ rate in getting accepted as house sitters and they always go beyond the homeowner’s ____32____ . For Jessica, that means ____33____ plenty of pictures of happy pets, keeping the house ____34____ and leaving a nice small gift before heading to the next house. “You want to make the homeowner feel that they made the right ____35____ ,” she says.21. A. indoors B. online C. single-handed D. full-time22. A. game B. service C. vacation D. procedure23. A. safe B. busy C. helpful D. affordable24. A. local B. private C. sharing D. agricultural25. A. strangers’ B. parents’ C. co-workers’ D. neighbors’26. A. favor B. defense C. honor D. absence27. A. plan B. explain C. compare D. complete28. A. buy B. transport C. choose D. please29. A. support B. comfort C. control D. attention30. A. cooking B. staying C. waiting D. studying31. A. success B. survival C. growth D. unemployment32. A. budget B. abilities C. expectations D. understanding33. A. admiring B. donating C. sending D. borrowing34. A. clean B. open C. simple D. empty35. A. guess B. decision C. response D. impressionI 词汇积累〖重点单词〗1 expensive2 vacation3 afford4 unusual5 economy6 online7 throughout8 absence9 strange 10 schedule 11 offer 12 comfort13 beyond 14 expectation 15 sightseeing 16 decision〖根据语境猜测词义〗sit ( )→sitter ( )→house sitter ( )↓baby sitter ( )A sitter is a person who looks after children, pets or a house while the parents or the owners are away.〖一词多义〗1 expect V. ① ② ③2 gift n. ① ②3 form v. & n. ① ② ③4 mean V & adj ① ② ③〖高频词汇词性转换〗1.care v &n adj. adj.(反义词) adv.2 absence n. adj.3 success n. v. adj. adv.4 decide v. n. adj.5 globe n. adj.6 expect v. n. adj. adj.(反义词）7 please v. adj. adj8 comfort v. & n. v.&n.(反义词）adj adj(反义词）〖重点短语〗1 full-time jobs2 spend...doing3 a new form of4 in one’s absence5 get accepted as6 beyond one’s expectations7 plenty of 8 head to9 make a decision 10 sharing economy11 mean doing 12 make the right decisionII 句子积累1 She and her husband have spent the last two years traveling the world, stopping everywhere from Paris to Singapore.仿写：2 It is not all sightseeing仿写：3 The pets are sometimes difficult to please.仿写：4 That means sending plenty of pictures of happy pets仿写：III 重点短语回填Like many young people, Jessica wants to travel the globe. Unlike most of them, this 25-year-old is doing it full-time. She and her husband the last two years the world, stopping everywhere from Paris to Singapore. It might sound like one long, expensive vacation , but the couple has an unusual way to make their travel affordable.They’re part of the sharing economy: an online group of house sitters. Throughout their no-cost stays in strangers’ homes, they feed pets and water plants .It’s not all sightseeing. The two travelers carefully plan their trips, scheduling their days around the pets that are sometimes difficult to please. But house sitting also offers a level of comfort that they can’t find in a hotel. “It’s like staying at a friend’s house,” Jessica says.The couple has a high success rate in house sitters and they always go . For Jessica, that means sending pictures of happy pets, keeping the house clean and leaving a nice small gift before the next house. “You want to make the homeowner feel that they ,” she says.IV 语法填空Like many young people, Jessica wants to travel the globe. Unlike most of them, this 25-year-old is doing it full-time. She and her husband have spent the last two years 1 (travel)the world, stopping everywhere from Paris to Singapore. It might sound like one long, expensive vacation , but the couple has an unusual way to make their travel 2 (afford).They’re part of a new form of the sharing economy: an online group of house sitters. Throughout their no-cost stays in strangers’ homes, they feed pets and water plants 3 the homeowner’s absence. It’s not all sightseeing. The two travelers 4 (careful) plan their trips, scheduling their days around the pets that are sometimes difficult 5 (please). But house sitting also offers a level ofcomfort 6 they can’t find in a hotel. “It’s like staying at a friend’s house,” Jessica says.The couple 7 (have) a high success rate in getting accepted as house sitters and they always go beyond the homeowner’s 8 (expect). For Jessica, that means sending plenty of pictures of happy pets, keeping the house clean 9 leaving a nice small gift before heading to the next house. “You want to make the homeowner feel that they made 10 right decision ,” she says.V 深度学习Like many young people, Jessica wants to travel the globe. Unlike most of them, this 25-year-old is doing it full-time. She and her husband have spent the last two years traveling the world, stopping everywhere from Paris to Singapore. It might sound like one long, expensive vacation , but the couple has an unusual way to make their travel affordable.They’re part of a new form of the sharing economy: an online group of house sitters. Throughout their no-cost stays in strangers’ homes, they feed pets and water plants in the homeowner’s absence.It’s not all sightseeing. The two travelers carefully plan their trips, scheduling their days around the pets that are sometimes difficult to please. But house sitting also offers a level of comfort that they can’t find in a hotel. “It’s like staying at a friend’s house,” Jessica says.The couple has a high success rate in getting accepted as house sitters and they always go beyond the homeowner’s expectations. For Jessica, that means sending plenty of pictures of happy pets, keeping the house clean and leaving a nice small gift before heading to the next house. “You want to make the homeowner feel that they made the right decision ,” she says.。
2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与不等式 (4)
2023年中考专题训练——二次函数与不等式1．已知抛物线2y x bx c =++经过点(1，0)和点(0，3)． (1)求此抛物线的解析式；(2)当自变量x 满足13x -≤≤时，求函数值y 的取值范围；(3)将此抛物线沿x 轴平移m 个单位长度后，当自变量x 满足15x ≤≤时，y 的最小值为5，求m 的值． 2．已知二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3．(1)用配方法将y ＝x 2﹣2x ﹣3化成y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式．并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； (3)当y 随x 的增大而减小时，求x 的范围．3．如图，直线28y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =++经过点A 和点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)结合图象直接写出不等式228x bx c x ++>-+的解集；(3)若点1(1,)C y ，2(,)D m y 都在抛物线上，当21y y >时，求m 的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y =x +2与坐标轴交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，C 点的坐标为（1，0），抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A ，B ，C ．(1)求抛物线的解析式；(2)根据图象写出不等式ax 2+（b -1）x +c ＞2的解集；(3)点P 是抛物线上直线AB 上方的一动点，过点P 作直线AB 的垂线段，垂足为Q 点．当PQ P 点的坐标．5．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象过（﹣2，0），（4，0）． (1)求二次函数解析式；(2)求当﹣1≤x ≤5时函数值的取值范围；(3)一次函数y ＝（3+m ）x +6+2m 的图象与y ＝x 2+bx +c 的交点的横坐标分别是x 1，x 2，且x 1＜5＜x 2，求m 的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y ax x c =-+与x 轴交于A ，()3,0B 两点，与直线AM ：2y kx b=+交于点A 、()4,5M 两点．(1)求抛物线解析式及顶点C 的坐标．(2)求点A 的坐标，并结合图象写出不等式22ax x c kx b -+>+的解集．(3)将直线AM向下平移，在平移过程中与抛物线BC部分图象有交点时(包含B，C端点)，请直接写出b的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上，其中x1＜x2．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)①当x＝a时，求y的值；②若y1＝y2＝0，求x1的值（用含a的式子表示）．(3)若对于x1+x2＜﹣4，都有y1＜y2，求a的取值范围．8．如图二次函数2y x bx c=-++的图象与x轴交于点A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象经过B，D(1)求二次函数的解析式；(2)写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；(3)若直线BD与y轴的交点为E点，连结AD，AE，求ADE∆的面积9．如图，已知抛物线y1＝ax2＋c过点（﹣4，5），（1，54），直线y2＝kx＋2与y轴交于C点，与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为第一象限抛物线上一个动点，以点P 为圆心，PC 为半径画圆，求证：x 轴是⊙P 的切线； (3)我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较大者为M ；若y 1＝y 2，记M ＝y 1＝y 2．①k ＝2时，求使M ＞y 2的x 的取值范围； ②当k ＝﹣1时，求使M ＝5的x 的值．10．已知二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象经过点A （1，0）和D （4，3），与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象在点B 、C 之间的部分（包含点B 、C ）记为图象G ．已知直线l ：y ＝kx ﹣2k +2总位于图象G 的上方，请直接写出k 的取值范围；（3）如果点P （x 1，c ）和点Q （x 2，c ）在函数y ＝x 2+mx +n 的图象上，且x 1＜x 2，PQ ＝2a ，求x 12﹣ax 2+6a +4的值．11．已知抛物线22234y mx mx m =++-． （1）该抛物线的对称轴为______；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的函数表达式；（3）设点()1,M n y 、()22,N y 在该抛物线上，若12y y >，求n 的取值范围．12．如图，抛物线2y x bx c =-++与y 轴交于点A （0，3），与x 轴交于B （-1，0），C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2） 连接AB ,点P 为抛物线上一点，且ABP ∠45=︒，求点P 的坐标； （3）()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，当11122m x m -≤≤+，22x ≥ 时，总有12y y ≥，请直接写出m 的取值范围．13．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线、画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数22y x x c =-+的过程．（1已知函数过点()1,4，则这个函数的解析式为：______．（2）在（1）的条件下，在平面直角坐标系中，若函数22y x x c =-+的图象与x 轴有两个交点，请画出该函数的图象，并写出函数图象的性质：_______（写出一条即可）．（3）结合（2）中你所画的函数图象，求不等式221x x c x -+≥+的解集．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax ax c =-+与直线=3y -有且只有一个公共点． （1）直接写出抛物线的顶点D 的坐标，并求出c 与a 的关系式；（2）若点(),P x y 为抛物线上一点，当1t x t ≤≤+时，y 均满足233y at -≤≤-，求t 的取值范围；（3）过抛物线上动点(),M x y （其中3x ≥）作x 轴的垂线l ，设l 与直线23y ax a =-+-交于点N ，若M 、N 两点间的距离恒大于等于1，求a 的取值范围．15．在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：y ＝ax 2＋2x ﹣1（a ≠0）和直线l ：y ＝kx ＋b ，点A （﹣3，﹣3），B （1，﹣1）均在直线l 上． （1）求出直线l 的解析式；（2）当a ＝﹣1，二次函数y ＝ax 2＋2x ﹣1的自变量x 满足m ≤x ≤m ＋2时，函数y 的最大值为﹣4，求m 的值； （3）若抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点，求a 的取值范围．16．根据我们学习函数的过程与方法，对函数y ＝x 2＋bx ＋2﹣c |x ﹣1|的图像和性质进行探究，已知该函数图像经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点， （1）该函数的解析式为 ，补全下表：（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质： ． （3）结合你所画的图象与函数y ＝x 的图象，直接写出x 2＋bx ＋2﹣c |x ﹣1|≤x 的解集 ．17．已知抛物线243y x x =-+．（1）该抛物线的对称轴是______ ，顶点坐标______ ；（2）选取适当的数据填入如表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；（3）根据图象，直接写出当0y >时，x 的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2224y x mx m =-++-与图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）若点B 的坐标为(3,0)， ①求此时二次函数的解析式；②当2x n ≤≤时，函数值y 的取值范围是13n y --≤≤，求n 的值；（2）将该二次函数图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当21x -≤≤-时，这个新函数的函数值y 随x 的增大而增大，结合函数图象，求m 的取值范围．19．已知函数()()2110b y a x a =-++≠，某兴趣小组对其图像与性质进行了探究，请补充完整探究过程．x … －3 －2 －1 12 3 4 5 … y … －6 －2 2－2 －1 －2m385-…（1）请根据给定条件直接写出,,a b m 的值；（2）如图已经画出了该函数的部分图像，请你根据上表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，补充该函数图像，并写出该函数的一条性质；（3）若()214ba x x x-+≥-，结合图像，直接写出x 的取值范围． 20．已知函数261y x =+，请根据已学知识探究该函数的图像和性质． （1）列表，写出表中a 、b 、c 的值：=a ______，b =______，c =______．x… 3- 2- 1-0 1 2 3 … y…0.6a3b31.2c…（2）描点、连线，在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出该函数的一条性质：______． （3）已知函数2y x =+的图像如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出不等式2621x x ≥++的解集：______．参考答案：1．(1)243y x x =-+； (2)18y -≤≤；(3)m 的值为66【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）先求出x =-1及x =3时的函数值，结合函数的性质得到答案；（3）设此抛物线沿x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为y = (x -2-m ) 2- l ，利用二次函数的性质，当2+m >5， 此时x =5时，y =5，即(5-2-m ) 2- 1=5，设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为y = (x - 2+m ) 2- 1,利用二次函数的性质得到2 - m <l ，此时x =1时，y =5，即(1-2-m ) 2- 1=5，然后分别解关于m 的方程即可． (1)解：∵抛物线2y x bx c =++经过点(1，0)和点(0，3)， ∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-=⎧⎨⎩，∴此抛物线的解析式为243y x x =-+； (2)当x =-1时，y =1+4+3=8， 当x =3时，y =9-12+3=0， ∵()224321y x x x =-+=--， ∴函数图象的顶点坐标为（2，-1），∴当13x -≤≤时， y 的取值范围是18y -≤≤； (3)设此抛物线x 轴向右平移m 个单位后抛物线解析式为y = (x -2-m ) 2- 1， ∵当自变量x 满足 1≤x ≤5时，y 的最小值为 5， ∴2+m >5，即m >3，此时x =5时，y =5，即(5-2-m ) 2-1=5，解得m 16，m 26 (舍去)； 设此抛物线沿x 轴向左平移m 个单位后抛物线解析式为y = (x - 2+m ) 2- 1， ∵当自变量x 满足1≤x ≤5时，y 的最小值为5， ∴2-m <1，即m >1，此时x =1时，y =5， 即(1-2-m ) 2-1=5，解得m 16，m 26 (舍去)， 综上所述，m 的值为66．【点评】题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，也考查了二次函数的性质． 2．(1)2(1)4y x =--，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣4）； (2)见解析； (3)1x <【分析】（1）配方成顶点式可得；（2）先确定抛物线与x 和y 轴的交点坐标，再确定抛物线的顶点坐标，然后描点得到二次函数的图象； （3）利用函数图象可得； (1)223y x x =--()22113x x +=---()214x =--∴对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣4）； (2)抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当x ＝0时，2233y x x =-=--，则抛物线与y 轴的交点坐标为（0，﹣3）； 当y ＝0时，2230x x =--，解得x 1＝﹣1，x 2＝3， 则抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）； 如图所示：(3)由题（2）图象知，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小．【点评】本题考查二次函数的三种形式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式及函数性质是解题的关键．3．(1)268y x x =-+ (2)0x <或>4x(3)1m <或5m >【分析】（1）先通过直线解析式得到A 、B 的坐标，再代入二次函数解析式进行求解即可；（2）根据图象解答即可；（3）先将1(1,)C y 代入抛物线解析式，得出1y 的值，再解出当13y =时，方程的解，结合图象，求解即可．(1)令0x =，则8y =(0,8)B ∴令0y =，则4x =(4,0)A ∴将A 、B 分别代入2y x bx c =++得80164c b c =⎧⎨=++⎩ 解得 68b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为268y x x =-+； (2)直线28y x =-+与抛物线268y x x =-+交于A 、B 两点0x ∴<或>4x 时，228x bx c x ++>-+；(3)将1(1,)C y 代入抛物线解析式，得 11683y =-+=21y y >23y ∴>将13y =代入抛物线解析式，得 2368x x =-+解得 121,8x x ==根据图象，当21y y >时，1m <或5m >．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及一次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、图像法解一元一次不等式、图像法解一元二次不等式、解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．4．(1)y =-x 2-x +2(2)-2＜x ＜0(3)（-1，2）【分析】（1）先求出A 、B 两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式；（2）将不等式2(1)2ax b x c +-+>变形为22ax bx c x ++>+,进而得到二次函数图象在一次函数图象上方即可求解；（3）先证明△PDQ 为等腰直角三角形，利用勾股定理进而求出21PDPQ ，表示PD 的长度列方程求解即可．（1）解：当x =0，y =0+2=2，当y =0时，x +2=0，解得x =-2，∴A （-2，0），B （0，2），把A （-2，0），C （1，0），B （0，2）代入抛物线解析式， 得42002a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得112a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴该抛物线的解析式为：y =-x 2-x +2；（2）解：由不等式()212ax b x c +-+>，得22ax bx c x ++>+，由图象可知，二次函数图象在一次函数图象上方，结合图象可得：不等式()212ax b x c +-+>的解集为20x -<<；（3）解：作PE ⊥x 轴于点E ，交AB 于点D ，作PQ ⊥AB 于Q ，在Rt △OAB 中，∵OA =OB =2，∴∠OAB =45°，∴∠PDQ =∠ADE =45°，在Rt△PDQ中，∠DPQ=∠PDQ=45°，∴PQ=DQ 2，∴PD221PQ DQ+，设点P（x，-x2-x+2），则点D（x，x+2），∴PD=-x2-x+2-（x+2）=-x2-2x，即-x2-2x=1，解得x=-1，∴此时P点的坐标为（-1，2），【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图象法解不等式、点坐标表示线段以及等腰直角三角形的性质等，求出解析式是解题的关键．5．(1)y＝x2﹣2x﹣8；(2)﹣9≤y≤7(3)m＞﹣2【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝1，函数有最小值﹣9；当x＝5时函数有最大值7，进而求得当﹣1≤x≤5时函数值的取值范围；（3）由题意得x2﹣2x﹣8＝（3+m）x+6+2m，整理得x2﹣（m+5）x﹣2（m+7）＝0，解方程求得x1＝﹣2，x2＝m+7，根据题意得到m+7＞5，解得m＞﹣2．(1)解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过（﹣2，0），（4，0）．∴420 1640b cb c-+=⎧⎨++=⎩，解得：28bc=-⎧⎨=-⎩，∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣8；(2)∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，∴抛物线开口向上，当x＝1时，函数有最小值﹣9，把x＝5代入y＝x2﹣2x﹣8得，y＝25﹣10﹣8＝7，∴当﹣1≤x≤5时函数值的取值范围为﹣9≤y≤7；(3)∵一次函数y＝（3+m）x+6+2m的图象与y＝x2﹣2x﹣8的交点的横坐标分别是x1，x2，∴x2﹣2x﹣8＝（3+m）x+6+2m，整理得x2﹣（m+5）x﹣2（m+7）＝0，解得：x 1＝﹣2，x 2＝m +7，∵x 1＜5＜x 2，∴m +7＞5，解得m ＞﹣2，即m 的取值范围是m ＞﹣2．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数化为顶点式，根据自变量的取值范围求得函数值的范围，一次函数与二次函数交点问题，解一元二次方程，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 6．(1)2223(1)4y x x x =--=--，C 的坐标为()1,4-；(2)点()1,0A -，1x <-或>4x ； (3)2134b -≤≤-【分析】（1）根据待定系数法求得二次函数的解析式，把一般式化成顶点式，即可求得顶点C 的坐标；（2）利用抛物线的解析式求得A 的坐标，然后根据图象即可求得；（3）先利用待定系数法求得直线AM 的解析式，即可得到平移后的解析式为y x b =+，分别代入B 、C 点的坐标，求得b 的值，求得平移后的直线与抛物线有一个交点时的b 的值，结合图象即可求得．（1） 点30B （，）、M （4，5）是抛物线图象上的点，9601685a c a c -+=⎧∴⎨-+=⎩解得13a c =⎧⎨=-⎩∴抛物线解析式为222314y x x x =--=--（），∴抛物线顶点C 的坐标为14-（，）；（2）对于抛物线2=23y x x --，当0y =时，即2230x x --=，解得1213x x =-=，，∴点A （-1，0）观察函数图象可知，不等式22ax x c kx b -+>+的解集为1x <-或>4x ；（3）点A （-1，0）和点M （4，5）在直线AM ：2y kx b =+的图象上，045k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩解得11k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AM 的解析式为21y x =+．当直线AM 向下平移经过点30B （，）时，直线AM 的解析式为'y x b =+，则3十'0b =，解得'3b =-，当直线AM 平移经过点C （1，-4）时，则1''4b +=- 解得''5b =-，当直线AM 平移后与抛物线2=23y x x --有一个交点时，联立223y x b y x x =+⎧⎨=--⎩化简得2330x x b ---=则94(3)0m ∆=---= 解得214b =-， b ∴的取值范围是2134b -≤≤-． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，函数与不等式的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．7．(1)对称轴为直线x ＝a ﹣1(2)①y =0；②x 1＝a ﹣2(3)a ≥﹣1【分析】（1）根据抛物线的对称轴x ＝﹣2b a求解即可； （2）①将x ＝a 代入y ＝﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a 求解即可；②若y 1＝y 2＝0，则﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a ＝0，解方程并根据x 1＜x 2，求出x 1的值．（3）由题意得出x 1＜﹣2，则只需讨论x 1＜a ﹣1的情况，分两种情况：①当a ≥﹣1时，又有两种情况：x 1＜x 2＜a ﹣1，x 1＜a ﹣1＜x 2，分别结合二次函数的性质及x 1+x 2＜﹣4计算即可；②当a ＜﹣1时，令x 1＝a ﹣1，x 2＝﹣2，此时x 1+x 2＜﹣4，但y 1＞y 2，不符合题意．【解析】（1）解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2(1)2a --＝a ﹣1； （2）解：①当x ＝a 时，y ＝﹣a 2+（2a ﹣2）a ﹣a 2+2a＝﹣a 2+2a 2﹣2a ﹣a 2+2a＝0；②当y 1＝y 2＝0时，﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a ＝0，∴x 2﹣（2a ﹣2）x +a 2﹣2a ＝0，∴（x ﹣a +2）（x ﹣a ）＝0，∵x 1＜x 2，∴x 1＝a ﹣2；（3）解：①当a ≥﹣1时，∵x 1＜x 2，x 1+x 2＜﹣4，∴x 1＜﹣2，只需讨论x 1＜a ﹣1的情况．若x 1＜x 2＜a ﹣1，∵x ＜a ﹣1时，y 随着x 的增大而增大，∴y 1＜y 2，符合题意；若x 1＜a ﹣1＜x 2，∵a ﹣1≥﹣2，∴2（a ﹣1）≥﹣4，∵x 1+x 2＜﹣4，∴x 1+x 2＜2（a ﹣1）．∴x 1＜2（a ﹣1）﹣x 2．∵x ＝2（a ﹣1）﹣x 2时，y 1＝y 2，x ＜a ﹣1时，y 随着x 的增大而增大，∴y 1＜y 2，符合题意．②当a ＜﹣1时，令x 1＝a ﹣1，x 2＝﹣2，此时x 1+x 2＜﹣4，但y 1＞y 2，不符合题意；综上所述，a 的取值范围是a ≥﹣1．【点评】本题属于二次函数的综合题，涉及二次函数的性质、求函数值、运用二次函数求不等式等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．8．(1)223y x x =--+(2)<2x -或1x >(3)4【分析】（1）根据题意可以设出二次函数解析式，根据函数过点A 、B 、C ，即可解答本题；（2）根据题意可以求得点D 的坐标，再根据函数图象即可解答本题；（3）根据题意作出辅助线，即可求得△ADE 的面积．【解析】（1）∵二次函数 2y x bx c =-++过(1,0)B ，(0,3)C∴103b c c -++=⎧⎨=⎩解得23b c =-⎧⎨=⎩所以解析式为：223y x x =--+（2）223y x x =--+∴该函数的对称轴是直线x =-1，∵点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，∴点D （-2，3），∴一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是x ＜-2或x ＞1（3）连结AE ，设直线BD ：y ＝mx ＋n ，代入B （1，0），D （−2，3）得023m n m n +=⎧⎨-+=⎩， 解得：11m n =-⎧⎨=⎩， 故直线BD 的解析式为：y ＝−x ＋1把x ＝0代入y ＝−x ＋1得，y =1，所以E （0，1），∴OE ＝1，又∵AB ＝4114341422ADB S ∆=⨯⨯-⨯⨯=∴ 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．9．(1)y 214x =+1 (2)见解析(3)①x ＜4﹣5x ＞4＋5②﹣3或4【分析】（1）利用待定系数法将已知点的坐标代入解析式求得a ，c 的值即可得出结论；（2）过点P 作PE ⊥x 中于点E ，PD ⊥y 轴于点D ，利用到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，证明PE =PC即可；设P （t ，14t 2＋1），利用勾股定理求出线段PC 的长即可；（3）①当k =2时，将两个解析式联立求出交点坐标，利用函数图象判定出使M ＞y 2的值即为y 1＞y 2的取值范围；②将两个解析式联立求出交点坐标，利用函数图象利用分类讨论的方法得到M 与x 的关系式，将M =5代入解析式即可求得结论．(1)解：∵抛物线y 1＝ax 2＋c 过点（﹣4，5），（1，54）， ∴16554a c a c +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：141a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴抛物线的解析式为：y 214x =+1． (2)解：过点P 作PE ⊥x 中于点E ，PD ⊥y 轴于点D ，如图，∵直线y 2＝kx ＋2与y 轴交于C 点，令x ＝0，则y ＝2，∴C （0，2）．∴OC ＝2．∵点P 为第一象限抛物线上一个动点，∴P （t ，14t 2＋1）， ∴PE ＝OD 2114t =+，PD ＝t ， ∴CD ＝OD ﹣OC 2114t =-． ∴PC 214t ==+1． ∴PE ＝PC ．∵PE ⊥x 轴，∴x 轴是⊙P 的切线．(3)解：①当k ＝2时，直线y 2＝2x ＋2．∴222114y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩． 解得：11451045x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩22425105x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ∴y 214x =+1与y ＝2x ＋2的交点为（4＋510＋54﹣510﹣5． 由图象可知：当x ＜4﹣5x ＞4＋5y 1＞y 2．∵M ＞y 2，∴y 1＞y 2．∴使M ＞y 2的x 的取值范围为x ＜4﹣5x ＞4＋5②当k ＝﹣1时，y ＝﹣x ＋2．∴21142y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩． 解得：112242x y ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩2222422x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩结合图象可知：当﹣2＋2x ≤﹣2﹣2M ＝﹣x ＋2；当x ＞﹣2＋2x ＜﹣2﹣2M 2114x =+． ∵M ＝5，∴﹣x ＋2＝5，∴x ＝﹣3．∴21154x +=， ∴x ＝±4（﹣4不合题意，舍去）．综上，使M ＝5的x 的值为﹣3或4．【点评】本题主要考查了二次函数的图象的性质，待定系数法求函数的关系式，二次函数与一次函数图象上点的坐标的特征，利用数形结合法判定函数值的大小，利用交点坐标结合图象判定函数值的大小是解题的关键．10．（1）y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）；（2）﹣2＜k ＜﹣12；（3）8．【分析】（1）代入点A (1,0)和D (4,3)，可求得m 、n 的值，从而可得二次函数的表达式，将表达式化为顶点式，即可求得顶点坐标．（2）由l ；y =kx −2k +2=k （x −2）+2可得，过定点（2，2），再分别代入点B 、C 的坐标，可求得k 的值，要使直线l ；y =kx −2k +2总位于图象G 的上方，则k 的取值范围，即为分别代入点B 、C 的坐标所求得的k 的值之间的部分．（3）由二次函数243y x x =-+的对称轴是直线x=2，点P (x 1，c)和点Q (x 2，c)在函数2y x mx n =++的图象上，且x 1＜x 2，可得x 1=2−a ，x 2=2+a ，代入21264a a x x +++即可求解．【解析】解：（1）根据题意得：1413m n m n +=-⎧⎨+=-⎩，解得43m n =-⎧⎨=⎩． 故二次函数的表达式为y ＝x 2﹣4x +3，则函数的对称轴为x ＝﹣2b a＝2， 当x ＝2时，y ＝x 2﹣4x +3＝﹣1，故顶点坐标为：（2，﹣1）；（2）在y ＝x 2﹣4x +3中，令x ＝0，解得y ＝3，令y ＝x 2﹣4x +3＝0，解得x ＝1或3，则C 的坐标是（0，3），点B （3，0），∵y ＝kx ﹣2k +2＝k （x ﹣2）+2，即直线故点（2，2），设该点为M ，当直线过点C 、M 或过B 、M 时，都符合要求，将点C 的坐标代入y ＝kx ﹣2k +2，即3＝﹣2k +2，解得k ＝﹣12；将点B 的坐标代入3＝kx ﹣2k +2，即0＝3k ﹣2k +2，解得k ＝﹣2；故﹣2＜k ＜﹣12，故答案为：﹣2＜k ＜﹣12；（3）∵P （x 1，c ）和点Q （x 2，c ）在函数y ＝x 2﹣4x +3的图象上，∴PQ //x 轴，∵二次函数y ＝x 2﹣4x +3的对称轴是直线x ＝2，又∵x 1＜x 2，PQ ＝2a ，∴x 1＝2﹣a ，x 2＝2+a ，∴x 12﹣2x 2+6a +4＝（2﹣a ）2﹣a （2+a ）+6a +4＝8．【点评】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 11．（1）直线=1x -；（2）221y x x =---或2484333y x x =++；（3）当0a >时，4n <-或2n >；当a<0时，42n -<<．【分析】（1）利用二次函数的对称轴公式即可求得．（2）根据题意可知顶点坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式． （3）分类讨论当m ＞0时和m ＜0时二次函数的性质，即可求出n 的取值范围． 【解析】解：（1）利用二次函数的对称轴公式可知对称轴212mx m=-=-． 故答案为：=1x -．（2）∵抛物线顶点在x 轴上，对称轴为=1x -， ∴顶点坐标为(-1，0)．将顶点坐标代入二次函数解析式得：()()22012134m m m =-+⨯-+-， 整理得：(1)(34)0m m +-=， 解得：1m =-或43m =．∴抛物线解析式为221y x x =---或2484333y x x =++； （3）∵对称轴为直线=1x -，∴点()22,N y 关于直线=1x -的对称点为()24,N y '-， 根据二次函数的性质分类讨论．（ⅰ）当m ＞0时，抛物线开口向上，若y 1＞y 2，即点M 在点N 或N '的上方，两点NN′外侧，则4n <-或2n >； （ⅱ）当m ＜0时，抛物线开口向下，若y 1＞y 2，即点M 在点N 或N '的上方，两点内部，则42n -<<． 【点评】本题为二次函数综合题，二次函数对称轴，待定系数法求二次函数解析式，比较函数值大小，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．12．（1）y =-x 2+2x +3；（2）点P 坐标为（52，74）；（3）m 的取值范围为1322m ≤≤．【分析】（1）将点A （0，3）、B （-1，0）代入抛物线y =-x 2+bx +c 中即可求得b 、c 的值，进而得到解析式； （2）过点A 作AM ⊥BP 于点M ，过点M 作MN ⊥y 轴于点N ，构造等腰直角三角形，利用“一线三垂直模型”证明△ABO ≌△MAN ．继而得到点M 坐标，求出直线BM 解析式，联立BM 解析式与抛物线解析式即可得交点P 的坐标；（3）结合抛物线图象，可直观看到当x 2≥2时，y 2≤3．要使y 1≥y 2恒成立，则y 1≥3，得0≤x 1≤2，从而0≤m −12≤x 1≤m +12≤2，解不等式组即可．【解析】解：（1）将点A （0，3）、B （-1，0）代入抛物线y =-x 2+bx +c 中，得：310c b c =⎧⎨--+=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴该抛物线解析式为：y =-x 2+2x +3；（2）过点A 作AM ⊥AB 交BP 于点M ，过点M 作MN ⊥y 轴于点N ．又∠ABP =45°，则△ABM 为等腰直角三角形，AM =AB ，∵∠BAO +∠P AO =∠BAM =90°，∠MAO +∠AMN =90°， ∴∠BAO =∠AMN ， 在△ABO 和△MAN 中，90BAO AMN AOB MNA AB AM ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∴△ABO ≌△MAN （AAS ），∴AN =BO =1，ON =OA -AN =3-1=2，MN =AO =3， ∴点M 坐标为（3，2）． 设直线BM 解析式为y =kx +n ， 代入点B （-1，0）、M （3，2）得： 032k n k n -+=⎧⎨+=⎩，解得：1212k n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 故直线BM 解析式为y =12x +12．解方程12x +12=-x 2+2x +3得：12512x x =-=，，当52x =时，y =1522⨯+12=74， 故点P 坐标为（52，74）；（3）由图可知，当x =2时，y =-x 2+2x +3=-4+4+3=3，当x 2≥2时，y 2≤3．要使y 1≥y 2恒成立，则y 1≥3，即-x 2+2x +3≥3， 解得：0≤x ≤2，即0≤x 1≤2， ∴0≤m −12≤x 1≤m +12≤2，解不等式0≤m −12得：12m ≥，解不等式m +12≤2得：32m ≤，∴m 的取值范围为1322m ≤≤． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、全等三角形判定与性质、解不等式组等知识，根据题意作出合理辅助线以及数形结合思考问题是解题的关键．13．（1）225y x x =-+或223y x x =--；（2）图见解析，性质：（写出一条即可）①关于1x =对称；②=1x -或3x =时有最小值为0；③1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大；（3）4x ≥或2x ≤【分析】（1）由函数过点()1,4，代入124c -+=，求出5c =或3c =-，可得函数；（2）用描点法画图，列表、描点、连线，性质：①关于1x =对称；②=1x -或3x =时有最小值为0；③1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大，（3）利用图像解法不等式221x x c x -+≥+在图像上表现为225y x x =-+永远在1y x =+图像上方，或223y x x =--图像在1y x =+图像上方；由交点（2,3）的左侧和交点（4,5）的右侧即可得出答案 【解析】解：（1）∵函数过点()1,4，124c -+= ∴14c -=， ∴14c -=±， ∴5c =或3c =-，∴225y x x =-+或223y x x =--； 故答案为：225y x x =-+或223y x x =--；（2）列表 x -2 -1 0 1 2 3 4 y=|x+1| 1 0 1 2 3 4 5 y=223x x --53435描点连线性质：（写出一条即可） ①关于1x =对称；②=1x -或3x =时有最小值为0；③1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大，故答案为①关于1x =对称；②=1x -或3x =时有最小值为0；③1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大;（3）2251x x x -+=+，()2251x x x -+=±+，22340,60x x x x -+=-+=，都无解，或2231x x x --=+，()2231x x x --=±+，2340x x --=或220x x --=， 解得x=-1，x=2，x=4，不等式221x x c x -+≥+在图像上表现为225y x x =-+永远在1y x =+图像上方，或223y x x =--图像在1y x =+图像上方；由交点（2,3）的左侧和交点（4,5）的右侧，即不等式2251x x x -+≥+或2251x x x -+≥+的解集为4x ≥或2x ≤．．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，用描点法画函数解析式，观察函数图像写函数性质，利用函数图像求不等式的解集，掌握待定系数法求函数解析式，用描点法画函数解析式，观察函数图像写函数性质，利用函数图像求不等式的解集是解题关键． 14．（1）()1,3-，3c a =-；（2）12t ≥；（3）15a ≤-或15a ≥ 【分析】（1）由题意可得D 在直线y =-3上且D 在二次数对称轴上，由此可以得到D 点坐标并求出c 与a 的关系式；（2）分a >0与a <0两种情况，根据二次函数的增减性进行求解；（3）把MN 用a 表示出来可以得到关于a 的不等式，解不等式即可得到a 的取值范围． 【解析】解：（1）由题意得D 在直线y =-3上且D 在二次数对称轴x 222b aa a-=-=-=1上， ∴D (1-3)，将其代入22y ax ax c =-+得-3=a -2a +c ，化简得c =a -3； （2）当a >0时，二次函数图象开口向上， 如图，抛物线的开口向上，当11t +≤，即0t ≤，此时：当1x t =+时，满足3y -≤，当x t =时，函数值最大，则22233,at at a at -+-≤- 解得：12t ≥，不合题意，舍去当0＜t ＜12时，则1＜1t +＜32，如图，此时：当1x t =+时，满足3y -≤，当x t =时，函数值最大，则22233,at at a at -+-≤- 解得：12t ≥，不合题意，舍去 当12t ≥时，则321t ≤+，如图，此时：当x t =时，满足3y -≤， 当+1x t =时，函数值最大，则()()22112133t y a t a t a at +=+-++-=- ∴()()2212133a t a t a at +-++-≤-恒成立， 1.2t ∴≥当a <0时，二次函数图象开口向下，此时函数有最大值3-，不满足233y at -≤≤-，此情况不存在； 综上12t ≥； （3）|MN |≥1即()223231ax ax a ax a -+---+-≥，即21ax ax a --≥①21ax ax a --≥(x ≥3恒成立要求a ＞0，其对称轴为x 1222b a a a -=-=-=，只需要求x =3时21ax ax a --≥即9a -3a -a ≥1，解得15a ≥；②21ax ax a --≤-(x ≥3恒成立要求a ﹤0)， 只需要求x =3时21ax ax a --≤-即9a -3a -a ≤-1， 解得15a ≤-．【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质及二次函数、一次函数与不等式的关系是解题关键． 15．（1）1322y x =-；（2）m =-3或m =3；（3）49≤a ＜98或a ≤-2； 【分析】（1）用待定系数法直接将点A 和B 代入直线l 中然后得到关于k 和b 的二元一次方程没然后解方程即可得到k 和b 的值，然后得到l 的解析式；（2）根据题意可得，y =-x 2+2x -1，当y =-4时，有-x 2+2x -1=-4，x =-1或x =3； ①在x =1左侧，y 随x 的增大而增大，x =m +2=-1时，y 有最大值-4，m =-3； ②在对称轴x =1右侧，y 随x 增大而减小，x =m =3时，y 有最大值-4； （3）①a ＜0时，x =1时，y ≤-1，即a ≤-2；②a ＞0时，x =-3时，y ≥-3，即a ≥49，直线AB 的解析式为y =12x -32，抛物线与直线联立：ax 2+2x -1=x -32，△=94-2a ＞0，则a ＜98，即可求a 的范围；【解析】解：（1）点A （-3，-3），B （1，-1）代入y =kx +b 可得： 3=31k b k b --+⎧⎨-=+⎩解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴l 的解析式为：1322y x =-； （2）根据题意可得，y =-x 2+2x -1， ∵a ＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x =1， ∵m ≤x ≤m +2时，y 有最大值-4， ∴当y =-4时，有-x 2+2x -1=-4， ∴x =-1或x =3，①在对称轴直线x =1左侧，y 随x 的增大而增大， ∴x =m +2=-1时，y 有最大值-4， ∴m =-3；②在对称轴直线x=1右侧，y随x增大而减小，∴x=m=3时，y有最大值-4；综上所述：m=-3或m=3；（3）①a＜0时，x=1时，y≤-1，即a≤-2；②a＞0时，x=-3时，y≥-3，即a≥49，直线AB的解析式为y=12x-32，抛物线与直线联立：ax2+2x-1=12x-32，∴ax2+32x+12=0，△=94-2a＞0，∴a＜98，∴a的取值范围为49≤a＜98或a≤-2．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．16．(1) y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，补全表格见解析，(2)函数图像见解析，当x=-1时，函数有最小值，最小值为-2；x x【分析】（1）将点（﹣1，﹣2）与（2，1）代入解析式即可；（2）画出函数图象，观察图象得到一条性质即可（3）根据图象，求出两个函数图象的交点坐标，通过观察可确定解解集．【解析】解：（1）∵该函数图象经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，∴1222 4221b cb c-+-=-⎧⎨++-=⎩，∴13bc=-⎧⎨=⎩，∴y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，故答案为：y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|；当x=-4时，y=7；当x=0时，y=-1；补全表格如图，x ⋯ ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ⋯y ⋯ 7 2﹣1 ﹣2 -1 2 1 2 ⋯（2）函数图像如图所示，当x =-1时，函数有最小值，最小值为-2； （3）当x ≥1时，x 2﹣x +2﹣3x +3=x ， 解得，155x +=255x -55-x 55+ 当x ＜1时，x 2﹣x +2+3x ﹣3=x ， 解得，315x -+，415x --=15--x 15-+ ∴不等式x 2+bx +2﹣c |x ﹣1|≤x 55-x 55+15--≤x 15-+【点评】本题考查二次函数与不等式的关系；掌握描点法画函数图象，利用数形结合解不等式是解题的关键．17．（1）x =2，(2,-1)；（2）答案见解析；（3）x <1或x >3【分析】（1）根据对称轴是2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可得答案；（2）根据对称轴，可在对称轴的左边选两个，右边选两个，它们要关于对称轴对称，可填上表格，根据描点法，可得函数图象；（3）根据函数与不等式的关系，可得答案． 【解析】解：（1）抛物线243y xx =-+的对称轴是4222b x a -=-=-=， 4222b x a -=-=-=，()224344144ac b y a ⨯---===-∴顶点坐标是(2,-1)， 故答案为x =2，(2,-1)；（2）列表：连线：（3）观察图象，函数图象在x 轴上方的部分的相应的自变量的取值范围为x <1或x >3， 即当x <1或x >3时，0y >．【点评】本题考查了二次函数图象与性质，函数与不等式的关系．熟悉掌握二次函数()20y ax bx c a =++≠的对称轴是2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭是解（1）题的关键，会用描点法画函数图象是解（2）题的关键；了解函数与不等式的关系是解（3）题的关键． 18．（1）①223y x x =-++，②4n =；（2）32m -≤≤-或m 1≥【分析】（1）①令x =3，则y=−x 2+2mx+4−m 2=0，解方程即可得到m 的值，从而得到二次函数的解析式；②由①可得二次函数的对称轴为x=1，然后根据二次函数的增减性可以得解；（2）令y =0，可以得到二次函数图象与x 轴交点，然后根据二次函数的增减性可以得解． 【解析】（1）①二次函数为2()4y x m =--+，对称轴为x m =． 令3x =有：2(3)40m --+=，解得：1m =或5m =． ∵(3,0)B 为该二次函数图象与x 轴靠右侧的交点， ∴点B 在对称轴右侧， ∴3m <，故1m =．∴二次函数解析式为223y x x =-++． ②由于二次函数开口向下，且对称轴为1x =． ∴2x n ≤≤时，函数值y 随x 的增大而减小； ∴当2x =时，函数取得最大值3；当x n =时，函数取得最小值2231n n n -++=--，∴在2n >范围内解得4n =．（2）令0y =，得2()40x m --+=，解得12x m =-，2x m 2=+，将函数图象在x 轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为：当2x m ≤-时，y 随x 的增大而增大，当2m x m -≤≤时，y 随x 的增大而减小，当2m x m ≤≤+时，y 随ⅹ的增大而增大，当2x m ≥+时，y 随x 的增大而减小．因此，若当21x -≤≤-时，y 随x 的增大而增大，结合图象有：①12m -≤-，即m 1≥时符合题意；②2m ≤-且12m -≤+，即32m -≤≤-时符合题意．综上，m 的取值范围是32m -≤≤-或m 1≥．【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数解析式的求法、二次函数的对称轴与增减性是解题关键 ．19．（1）12a =-，3b =-，174m =-；（2）见解析；（3）x 的取值范围是：-3≤x ＜0或1≤x≤2． 【分析】（1）先将（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x-1）2+b x+1中，列方程组解出可得a 和b 的值，写出函数解析式，计算当x=4时m 的值即可；（2）描点并连线画图，根据图象写出一条性质即可；（3）画y=x-3的图象，根据图象可得结论．【解析】解：（1）把（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x-1）2+b x+1中得： 41212a b b -+=⎧⎨+=⎩，解得：123a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴y=213(1)12x x---+（a≠0）， 当x=4时，m=131791244-⨯-+=-； （2）如图所示，。
2022年中考第二次涂卡训练九年级物理试卷+答案
2022年中考第二次涂卡训练试题九年级 物理 2022.05(考试时间：100分钟 满分：100分 本卷g 取10N/kg ）一、选择题(每小题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确)1．下列物理量最接近实际的是（ ▲ ）A. 你所在考场温度约为45 ℃B. 你所用的新2B 铅笔长度约为18 cmC. 你的质量约为30 kgD. 考场里一盏日光灯的额定功率约为200 W2．音乐会上，小提琴曲让人如痴如醉，钢琴演奏让人心旷神怡，关于声音的说法正确的 是（ ▲ ）A ．小提琴的声音是由空气振动产生的，以声波的形式传播B ．调节琴弦松紧可以改变声音的响度C ．小提琴和钢琴发出的声音在空气中传播速度相同D ．禁止同学们喧哗是从传播过程中减弱噪声3．在抗击新冠肺炎的战役中，全国各地“众志成城，共同抗疫”，令世人瞩目。
对如图抗疫中的现象解释正确的是（ ▲ ）A ．护目镜上的水雾是液化现象B ．戴口罩能阻止病毒的分子运动C ．测温枪是利用紫外线工作的D ．负压救护车内的气压比车外大4．如图所示的现象中，属于光的反射形成的现象是（ ▲ ）5．如图所示的指尖陀螺是目前很流行的一种玩具，该玩具中间是轴承，轴承内有滚珠，边上有三个用密度较大的金属制作的飞叶，拨动飞叶后，飞叶可以绕轴在指尖上长时间转动。
下列分析错误的是（ ▲ ）A ．飞叶转速变慢，惯性不变B ．轴承内有滚珠，利于减小摩擦C ．飞叶被拨动后旋转是因为力能改变物体的运动状态D ．陀螺对指尖的压力和指尖对陀螺的支持力是一对平衡力6．为了探究压强大小跟哪些因素有关，老师准备了如图所示的器材：①用钉子做腿的小桌 ②海绵 ③砝码 ④木板 ⑤盛有适量水的矿泉水瓶 ⑥装有沙的容器等供同学们选择，在同学们所选的四组器材中，不能达到探究目的的是（ ▲ ）A ．①③⑥B ．②⑤C ．②③④D ．③④⑤筷子好像在水面处向上弯折金水桥在水中的“倒影” A B C D 苹果在桌面上形成影子 用放大镜观察图案第5题图第6题图第7题图第8题图7．如图所示为某校门禁系统，本校师生通过刷脸识别开启闸口，外部人员则需要门卫按动按钮才能开启闸口。
初三数学二次函数专题训练
初三数学二次函数专题训练◆知识讲解①一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．②当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．③二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；两根式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a -）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．④二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=－2b a ，最值为244ac b a -，（a>0时为最小值，a<0时为最大值）．由此可知y=ax 2的顶点在坐标原点上，且y 轴为对称轴即直线x=0．⑤抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax 2沿着y 轴（上“＋”，下“－”）平移k （k>0）个单位得到函数y=ax 2±k ，将y=ax 2沿着x 轴（右“－”，左“＋”）平移h （h>0）个单位得到y=a （x ±h ）2．•在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y •轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x 轴平移则直接在含x 的括号内进行加减（右减左加）．⑥在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．⑦抛物线y=ax 2+bx+c 的图像位置及性质与a ，b ，c 的作用：a 的正负决定了开口方向，当a>0时，开口向上，在对称轴直线x=－2b a 的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴直线x=－2b a的右侧，y 随x 的增大而增大，此时y 有最小值为y=244ac b a -，顶点（－2b a ，244ac b a-）为最低点；当a<0时，开口向下，在对称轴直线x=－2b a 的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴直线x=－2b a的右侧，y 随x 的增大而增大，此时y 有最大值为y=244ac b a -，顶点（－，244ac b a-）为最高点．│a │的大小决定了开口的大小，│a │越大，开口越小，图像两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，•图像两边越靠近x 轴；a ，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴直线x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴直线x=－2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，垂直于x 轴负半轴，当a ，b •异号时，对称轴直线x=－2b a>0，即对称轴在y 轴右侧，垂直于x 轴正半轴；c •的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y •轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．⑧y 恒大于零<=>抛物线在X 轴上方<=>a ＞0，△＜0；y 恒小于零<=>抛物线在X 轴下方<=>a ＜0，△＜0； 抛物线顶点在X 轴上<=>△=0；设抛物线与Y 轴的交点为C 与X 轴的两个交点分别为A 、B ，当∠ACB 为直角时则二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0）中ac = -1。
第二次作文训练：希腊神话安泰的故事(教师用)
第二次作文训练：安泰的故事【文题展示】古希腊神话中有这样一则故事：安泰是众所公认的英雄，所向无敌，地神盖娅是他的母亲。
安泰在格斗时，只要身不离地，便可源源不断地从大地母亲身上汲取力量，因而能够击败任何强大的对手。
不幸的是，安泰克敌制胜的奥妙，被一个叫赫拉克勒斯的对手发现了，于是安泰被弄到空中扼死了。
根据材料，联系实际，自选角度写一篇800字的议论文。
【审题立意】材料写了三个人物，先要弄清他们的关系，安泰和盖娅是母子关系，安泰和赫拉克勒斯是敌人，一向无敌的英雄安泰被赫拉克勒斯弄到空中扼死。
究其原因，是安泰离开了力量之源——大地母亲。
我们可以从三个角度来立意：从安泰的角度探究他失败的原因，一向无敌是因为不断从大地母亲身上吸取力量，而被扼死是因为离开了大地被弄到空中，没有了力量之源，可见个人的力量是渺小的，要依靠集体才能有所作为（依托、团结）；要直面缺点，认识自我，完善自我；扬长避短，勇于革新。
从母亲的角度看，她给予安泰力量，却不给予安泰自立的能力，对安泰的悲剧她有责任。
所以适当的给予是必要的，但更重要的是培养孩子的自立能力。
从赫拉克勒斯的角度来看，他能打败安泰的关键在于他掌握了对手的致命弱点，所以只有知己知被，才能百战不殆。
【佳作欣赏】直面缺点，方能有所长进英雄安泰因为能源源不断地从地神母亲盖娅那儿汲取到能量，所以战无不胜、所向披靡。
可貌似强大的安泰却有致命的缺点——必须与大地母亲时刻相接。
被胜利冲昏头脑的战神却浑然不知，当赫拉克斯设法将他弄到空中后，力不从心的他才开始明白，可为时已晚……的确，人无完人，金无足赤。
缺点是人们总不愿直视的附属品，但唯有懂得直面缺点的人生才是不断长进的人生。
对于像安泰这样的英雄尚受制于自己的缺点而失败，所以许许多多的成功人士葬身于自身缺点便不足为怪。
韩信因未放手权贵而身首异处，关云长因刚愎自用而失荆州，殒命麦城，唐玄宗因贪恋温柔乡而险些亡国……类似这样的历史兴衰，个人得失不胜枚举。
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种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
2.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个． 调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个． 为了实现平均每月 10000元的销售利润，商场决定采取调控价格的 措施，扩大销售量，减少库存，这种台灯的售价应定为多少元？ 这时应进台灯多少个？
1.甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，该公司缴税的年 平均增长率是多少？
2.某果园今年栽种果树200棵，现计划扩大栽种面积，使今后两年 的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括 今年）的总栽种量为1400棵．求这个百分数．
1.新华商场为迎接家电下乡活动销售某种冰箱，每台进价为2500元， 市场调研表明；当销售价定为2900元时，平均每天能售出8台；而 当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这
7.某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树 以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个， 但多种的桃树不能超过100棵．如果要使产量增加15.2%，那么应多种多 少棵桃树？
3.某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利 与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均 单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平 均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每 盆应该植多少株？
4.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个． 调查表明：售价在40 60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元， 其销售量就将减少10个．为了实现平均每月 10000元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？
5.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天 可售出500张，每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采 取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元， 那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元， 每张贺年卡应降价多少元？
6.某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超 过10元的情况下，若每件降价1元，