递推关系式求通项公式

递推关系式求通项公式 类型一、型或)()(11n g a a n f a a n

n n n ==-+- 对策：利用迭加或迭乘方法，即：

112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- 或112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=---

类型二、型)(n n a f S =

对策：巧用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n a a n n

n

类型三、型)0(1≠+=-pq q pa a n n

对策：等价转化为：)1

(11-+=-+-p q a p p q a n n 从而化为等比数列{1-+p q a n }，并且该数列以1

1-+p q a 为首项，公比为p 变式1：型)0(1≠+=-pqr rq pa a n n n

对策：（1）若p=q ，则化为

r q a q a n n n n +=--11，从而化为以q a 1为首项，公差等于r 的等差数列{n

n q a } （2）若p ≠q ，则化为

r q a q p q a n n n n

+⋅=--11，进而转化为类型三求通项 变式2：型)0(1≠++=-pq r qn pa a n n

对策：等价转化为：)(1y xn a p y xn a n n ++=++-，再化为y p xn p pa y xn a n n )1()1(1-+-+=++-，对照系数，解出x ，y ，进而转化为类型三

变式3、r

qa pa a n n n +=+1型 对策：取倒数后得p

q a p r a n n +⋅=+11

1，化为类型三 变式4：型)0(1>=-p pa a r n n

若p=1，则等式两边取常用对数或自然对数，化为：1lg lg -=n n a r a ，得到首项为1lg a ，公比为r 的等比数列{n a lg }，所以n a lg =11lg a r n -，得11-=n r n a a 若p ≠1，则等式两边取以p 为底的对数得：1lg lg 1+=-n p n p a r a ，转为类型三求通项。

变式5、型)0(11≠=+++pq a qa pa a n n n n

对策： 两端除以n n a a 1+得：q a p a n n =++1

11 （1）若1-=p ，则构成以首项为

11a ，公差为q -的等差数列{n a 1}； （2）若1-≠p ，转化为类型三求解。

变式6：型)0(11≠+=-+pq qa pa a n n n

对策：等价转化为)(11-++=+n n n n xa a y xa a ，利用与11-++=n n n qa pa a 恒等求出x,y 得到一等比数列}{1n n xa a ++，得n n xa a ++1=f(n)，进而化为变式2类型

类型四、奇偶项型

对策一：求出奇数项（或偶数项）的递推关系，再对应以上方法求解。 对策二：型)0(1≠=⋅+pq pq a a n n n ，这种类型一般可转化为{12-n a }与{n a 2}是等差或等比数列。

类型五、周期型