2020届高三第二轮数学专题复习教案：数列

2020届高三第二轮数学专题复习教案：数列
一、本章知识结构：
二、重点知识回忆
１．数列的概念及表示方法
〔１〕定义：按照一定顺序排列着的一列数．
〔２〕表示方法：列表法、解析法〔通项公式法和递推公式法〕、图象法．
〔３〕分类：按项数有限依旧无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．
〔４〕n a 与n S 的关系：
11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-⎩≥． 2．等差数列和等比数列的比较
〔１〕定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数〔不为0〕的数列叫做等比数列． 〔２〕递推公式：110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，．
〔３〕通项公式：
111(1)n n n a a n d a a q n -*
=+-=∈N ，，．
〔４〕性质
等差数列的要紧性质：
①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列．
②假设m n p q +=+，那么()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．专门地，当
2m n p +=时，有2m n p a a a +=．
③()()
n m a a n m d m n *-=-∈N ，．
④
232k k k k k S S S S S --，，，…
成等差数列．
等比数列的要紧性质：
①单调性：当
1001
a q <⎧⎨
<<⎩，
或101a q >⎧⎨>⎩时，为递增数列；当101a q <⎧⎨>⎩，，，或1001a q >⎧⎨<<⎩时，为
递减数列；当0q <时，为摆动数列；当1q =时，为常数列．
②假设m n p q +=+，那么()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，．专门地，假设2m n p +=，那么2m n p
a a a =·．
③(0)n m n
m a q m n q a -*=∈≠N ，，．
④
232k k k k k
S S S S S --，，，…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，假设k 为偶
数，不是等比数列．假设k 为奇数，是公比为1-的等比数列． 三、考点剖析
考点一：等差、等比数列的概念与性质 例1. 〔2018深圳模拟〕数列.
12}{2n n S n a n n -=项和的前
〔1〕求数列
}
{n a 的通项公式； 〔2〕求数列
.
|}{|n n T n a 项和的前
解：〔1〕当111112,12
11=-⨯===S a n 时；、
当
.
213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时，
.213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、
〔2〕令.
6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N
当
2
212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ 时；
当
|
|||||||||,67621n n a a a a a T n ++++++=> 时
n
a a a a a a ----+++= 87621
.
7212)12()6612(222226+-=---⨯⨯=-=n n n n S S n
综上，
⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=.6,7212,6,122
2
n n n n n n T n 点评：此题考查了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系，专门要注意n ＝１时情形，
在解题时经常会不记得。

第二咨询要分情形讨论，表达了分类讨论的数学思想． 例２、〔2018广东双合中学〕等差数列
}
{n a 的前n 项和为
n
S ，且
35
a =，
15225
S =. 数列
}
{n b 是等比数列，
32325,128
b a a b b =+=〔其中1,2,3,n =…〕.
〔I 〕求数列
}{n a 和
{}
n b 的通项公式；〔II 〕记
,{}n n n n n
c a b c n T =求数列前项和.
解：〔I 〕公差为d ，
那么⎩⎨⎧=⨯+=+,22571515,521
1d a d a 1
2,2,
11-=⎩
⎨
⎧==∴n a d a n 故(1,2,3,n =)….
设等比数列}{n b 的公比为q ， ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=,128,
82
333q b q b b 则 .2,83==∴q b
n n n q b b 233=⋅=∴-(1,2,3,n =)….
〔II 〕,2)12(n n n c ⋅-=
2323252(21)2,
n n T n ∴=+⋅+⋅+
+-⋅
.2)12(2)32(2523221432+⋅-+⋅-++⋅+⋅+=n n n n n T
作差：
1
15432)12(22222++⋅--+++++=-n n n n T
311
2(12)2(21)212n n n -+-=+--⋅-
31122122(21)(21)222822n n n n n n n -++++=+---⋅=+--+162(23)n n +=---⋅ 1(23)26n n T n +∴=-⋅+(1,2,3,n =)
….
点评：此题考查了等差数列与等比数列的差不多知识，第二咨询，求前n 项和的解法，要抓住它的结特点，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以２后变成另外的一个式子，表达了数学的转化思想。

考点二：求数列的通项与求和
例3.〔2018江苏〕将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第n 行〔3≥n 〕从左向右的第3个数为
解：前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋〔n －1〕个，即22n n
-个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为26
2n n -+．
点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要
一定的观看能力和逻辑推理能力。

例4.〔2018深圳模拟〕图〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔4〕分不包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物〝福娃迎迎〞，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个〝福娃迎迎〞，那么(5)f = ；
()(1)f n f n --=＿＿＿＿
解：第1个图个数：1 第2个图个数：1+3+1
第3个图个数：1+3+5+3+1
第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1
第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=41， 因此，f 〔５〕＝４１
f(2)-f(1)=４ ，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６ ()(1)f n f n --=4(1)n -
点评：由专门到一样，考查逻辑归纳能力，分析咨询题和解决咨询题的能力，此题的第二咨询是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，能够转化递推公式来求解，表达了转化与化归的数学思想。

考点三：数列与不等式的联系
例5.〔２００９届高三湖南益阳〕等比数列{}n a 的首项为
31
1=
a ，公比q 满足10≠>q q 且。

又1a ，
3
5a ，
5
9a 成等差数列。

〔1〕求数列
{}n a 的通项
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
………………
〔2〕令
n
a n
b 13
log =，求证：关于任意n N *∈，都有
12231
1111 (1)
2n n b b b b b b +≤+++
〔1〕解：∵
315259a a a ⋅=+ ∴
24
111109a q a a q =+ ∴
4291010q q -+= ∵10≠>q q 且 ∴
1
3q =
∴113n n
n a a q --==
〔2〕证明：∵
1
3
3log log 3n
a n n
b n === ， 11111
(1)1n n b b n n n n +==-
++
∴12
231111111
111...1122311n n b b b b b b n n n ++++=-+-++
-=-++
12231
1111 (1)
2n n b b b b b b +∴≤+++
点评：把复杂的咨询题转化成清晰的咨询题是数学中的重要思想，此题中的第〔２〕咨询，采纳裂项相消法法，求出数列之和，由n 的范畴证出不等式。

例６、(2018辽宁理) 在数列
||
n a ，
||
n b 中，a1=2，b1=4，且
1
n n n a b a +，，成等差数列，
11
n n n b a b ++，，成等比数列〔n ∈*
N 〕
〔Ⅰ〕求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此推测
||
n a ，
||
n b 的通项公式，并证明你的结论；
〔Ⅱ〕证明：11
221115
12n n a b a b a b +++<+++…．
解：〔Ⅰ〕由条件得
2
111
2n n n n n n b a a a b b +++=+=，由此可得
2233446912162025
a b a b a b ======，，，，，．
推测
2
(1)(1)n n a n n b n =+=+，．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，由上可得结论成立． ②假设当n=k 时，结论成立，即
2
(1)(1)k k a k k b k =+=+，，
那么当n=k+1时，
22
2
21122(1)(1)(1)(2)(2)k
k k k k k
a a
b a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，．
因此当n=k+1时，结论也成立．
由①②，可知
2
(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立．
〔Ⅱ〕11
115
612a b =<
+．
n ≥2时，由〔Ⅰ〕知
(1)(21)2(1)n n a b n n n n
+=++>+．
故11
2211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫
+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭…… 111111116223341n n ⎛⎫=
+-+-++- ⎪+⎝⎭… 111111562216412n ⎛⎫=
+-<+= ⎪+⎝⎭
综上，原不等式成立．
点评：本小题要紧考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．
例７. 〔2018安徽理〕设数列{}n a 满足3
*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数
〔Ⅰ〕证明：
[0,1]
n a ∈对任意*
n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；
〔Ⅱ〕设
1
03c <<
，证明：1*
1(3),n n a c n N -≥-∈; 〔Ⅲ〕设
103c <<
，证明：
22
2*
122
1,13n a a a n n N c ++
>+-
∈-
解： (1) 必要性 ：
120,1a a c
==-∵∴ ，
又
2[0,1],011
a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈
充分性 ：设 [0,1]c ∈，对*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]
n a ∈
当1n =时，10[0,1]
a =∈.假设
[0,1](1)
k a k ∈≥
那么
3
1111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且
3
1110
k k a ca c c +=+-≥-=≥
1[0,1]
k a +∈∴，由数学归纳法知
[0,1]
n a ∈对所有*
n N ∈成立
(2) 设
1
03c <<
，当1n =时，10a =，结论成立
当2n ≥ 时，
32
11111,1(1)(1)
n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴
1
03C <<
∵,由〔1〕知1[0,1]n a -∈，因此 2
1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥
113(1)
n n a c a --≤-∴
211
12113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=∴
1*1(3)()
n n a c n N -≥-∈∴
(3) 设
103c <<
，当1n =时，212
0213a c =>-
-，结论成立
当2n ≥时，由〔2〕知11(3)0n n a c -≥->
2
1212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴
2222
2
2112212[3(3)(3)]
n n n a a a a a n c c c -++
+=+
+>--++
+∴
2(1(3))2
111313n c n n c c -=+->+-
--
点评：此题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，
加强训练。

考点四：数列与函数、概率等的联系
例题８.. (2018福建理) 函数321
()2
3f x x x =+-.
〔Ⅰ〕设{an}是正数组成的数列，前n 项和为Sn ，其中a1=3.假设点
2
11(,2)
n n n a a a ++-(n
∈N*)在函数y=f ′(x)的图象上，求证：点〔n,Sn 〕也在y=f ′(x)的图象上；
〔Ⅱ〕求函数f(x)在区间〔a-1,a 〕内的极值.
(Ⅰ)证明：因为321
()2,
3f x x x =+-因此f ′(x)=x2+2x,
由点211(,2)(N )
n n n a a a n +
++-∈在函数y=f ′(x)的图象上,
又
0(N ),
n a n +>∈因此
11()(2)0,
n n n n a a a a -+---=
因此
2(1)
32=22n n n S n n n -=+
⨯+,又因为f ′(n)=n2+2n,因此()n S f n '=,
故点
(,)
n n S 也在函数y=f ′(x)的图象上.
(Ⅱ)解:
2
()2(2)f x x x x x '=+=+, 由()0,f x '=得02x x ==-或.
当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情形如下表:
注意到
(1)12
a a --=<,从而
①当
2
12,21,()(2)3a a a f x f -<-<-<<--=-
即时的极大值为,现在()f x 无极小值；
②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,现在()f x 无极大值； ③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值.
点评：本小题要紧考查函数极值、等差数列等差不多知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析咨询题和解决咨询题的能力. 例９ 、〔２００７江西理〕将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数 列的概率为〔 〕
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：〔1〕公差为
0的有6个；〔2〕公差为1或-1的有8个；〔3〕公差为2或-2的有4个，共有18个，
成等差数列的概率为，选B
点评：此题是以数列和概率的背景显现，题型新颖而不开生面，有
采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。

考点五：数列与程序框图的联系 例１０、〔２００９广州天河区模拟〕依照如下图的程序框图，将输出的x 、y 值依次分不记为
122008
,,,,,n x x x x ；
122008,,,,,n y y y y
〔Ⅰ〕求数列}
{n x 的通项公式
n
x ；
〔Ⅱ〕写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}；
x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f ′(x) + 0 - 0 + f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
的一个通项公式yn ，并证明你的结论; 〔Ⅲ〕求
1122(,2008)
n n n z x y x y x y x N n =+++∈*≤． 解：〔Ⅰ〕由框图，知数列2
,1}{11+==+n n n x x x x 中，
∴
12(1)21(*,2008)
n x n n n N n =+-=-∈≤
〔Ⅱ〕y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想
31(*,2008).
n n y n N n =-∈≤
证明：由框图，知数列{yn}中，yn+1=3yn+2 ∴
)
1(311+=++n n y y
∴111
3,1 3.1n n y y y ++=+=+
∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。

∴n y +1=3·3n －1=3n
∴
n
y =3n －1〔*,2008n N n ∈≤〕
〔Ⅲ〕zn=
n
n y x y x y x +++ 2211
=1×〔3－1〕+3×〔32－1〕+…+〔2n －1〕〔3n －1〕 =1×3+3×32+…+〔2n －1〕·3n －[1+3+…+〔2n －1〕] 记Sn=1×3+3×32+…+〔2n －1〕·3n ，① 那么3Sn=1×32+3×33+…+〔2n －1〕×3n+1 ② ①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n －〔2n －1〕·3n+1 =2〔3+32+…+3n 〕－3－〔2n －1〕·3n+1
=2×13·)12(331)
31(3+-----n n n =
113·)12(63++---n n n 63·)1(21
--=+n n ∴
.
33·)1(1+-=+n n n S
又1+3+…+〔2n －1〕=n2 ∴
12(1)33(*,2008)
n n z n n n N n +=-⋅+-∈≤.
点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新奇事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，因此，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视。

四、方法总结与2018年高考推测 〔一〕方法总结
1. 求数列的通项通常有两种题型：一是依照所给的一列数，通过观看求通项；一是依照递推关系式求通项。

2. 数列中的不等式咨询题是高考的难点热点咨询题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。

3. 数列是专门的函数，而函数又是高中数学的一条主线，因此数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。

〔二〕2018年高考推测 1. 数列中n
S 与
n
a 的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实
注意
n
S 与
n
a 的关系.关于递推公式，在«考试讲明»中的考试要求是：〝了解递推公式是给出
数列的一种方法，并能依照递推公式写出数列的前几项〞。

但实际上，从近两年各地高考试
题来看，是加大了对〝递推公式〞的考查。

2. 探干脆咨询题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探干脆咨询题对分析咨询题解决咨询题的能力有较高的要求.
3. 等差、等比数列的差不多知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。

4. 求和咨询题也是常见的试题，等差数列、等比数列及能够转化为等差、等比数列求和咨询题应把握，还应该把握一些专门数列的求和.
5. 将数列应用题转化为等差、等比数列咨询题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.
6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等咨询题既是考查的重点，也是考查的难点。

今后在这方面还会表达的更突出。

７、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。

五、复习建议
在进行数列二轮复习时，建议能够具体从 以下几个方面着手:
1．运用差不多量思想(方程思想)解决有关咨询题； 2．注意等差、等比数列的性质的灵活运用；
3．注意等差、等比数列的前n 项和的特点在解题中的应用； 4．注意深刻明白得等差数列与等比数列的定义及其等价形式；
5．依照递推公式，通过查找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，要紧需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；
6．把握数列通项an 与前n 项和Sn 之间的关系；
7．依照递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列； 8．把握一些数列求和的方法 (1)分解成专门数列的和 (2)裂项求和
(3)〝错位相减〞法求和
9．以等差、等比数列的差不多咨询题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、
数列与几何等的综合应用．
以上关于数列二轮复习的几点建议仅供复习时参考，各校应依照自己的实际情形进行增减，四星以下的学校应重在基础，关于数列的综合咨询题可略讲，甚至不讲．。