第4章电磁波的传播

（2） ）
P == AS = (4π R 2 ) ×1300 = 3.68 ×1026 (W )
P 3.68 ×1026 S'= = = 6 × 109 (W / m 2 ) A' 4π R '2
（3）太阳表面： ）太阳表面：
' 0
' µ0 1/ 4 E0 6 ' E = ( ) (2 S ') = 2.1× 10 (V / m); B0 = = 7 ×10−3 (T ); ε0 c
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z
B=−
i
ω
∇× E =
1
ω
k × E ⇒ B ⊥ E; B ⊥ k
总之： 总之：① ②
B ⊥ E; B ⊥ k ; E ⊥ k ；E×B的方向为k的方向；横波； 的方向为k的方向；横波；
E
E / B = v ； E和B同相位。 同相位。
k
四、平面电磁波的能量与能流 能量密度： 能量密度： w = 1 ( E ⋅ D + H ⋅ B) = 1 ε E 2 +
B=− i
ω
∇× E = −
i
ω
∇ × ( E 0 ei ( kx −ωt ) ) = −
i
ω

∇ei ( kx −ωt ) × E 0 =
1
ω
k×E
所以有： 所以有：
B ⊥ E; B ⊥ k ; E ⊥ k
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的实部： 常数， 取E的实部：E=E0cos(kx -ωt)。对任一时刻的 ，取kx=常数，即与 轴 的实部 。对任一时刻的t， 常数 即与x轴 垂直的面——等相位点组成的面为平面。取t=0、x=0为波峰，经过t时刻 垂直的面 等相位点组成的面为平面。 、 为波峰，经过 时刻 等相位点组成的面为平面 为波峰 波峰传到了x处 波峰传到了 处，则： （kx – ωt）=0，x= ωt/k。 ） ， 。 波速即相速度： 波速即相速度： v = dx = ω = ω = 1 y
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二、定态波动方程 在介质中仅讨论有一定频率的正弦波的传播， 在介质中仅讨论有一定频率的正弦波的传播， 给定的这种波称为定态波，表示式： 给定的这种波称为定态波，表示式： E ( x, t ) = E ( x)e − iωt ; B ( x, t ) = B ( x)e − iωt ; 这时， 成立。 这时，D=εE、B=µH成立。 、 成立 由麦氏方程组可得： 由麦氏方程组可得：
1、真空中 、 因为ρf=0,Jf=0，由麦氏方程组第一个方程，两边取旋度得： 因为 ，由麦氏方程组第一个方程，两边取旋度得：
∇ × (∇ × E ) = ∇(∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E = − ∂ (∇ × B) ∂t
∂E ; ∂t
由真空中电磁性质方程及麦氏第二和第三方程： 由真空中电磁性质方程及麦氏第二和第三方程：
同理可得： 同理可得：
∇ 2 B + k 2 B = 0; (∇ ⋅ B = 0); ⇒ E = (i∇ × B ) / ωµε ;
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三、平面电磁波 ∇ 2 E + k 2 E = 0; (∇ ⋅ E = 0) 方程： 方程： 1、E仅是一维空间的函数（如沿 方向传播） 仅是一维空间的函数（ 方向传播） 、 仅是一维空间的函数 如沿x方向传播
fg =
1 T 1 1 ( f 0 cos ωt )[ g 0 cos(ωt − φ )]dt = f 0 g 0 cos φ = Re( f * g ) T ∫0 2 2
因而有： 因而有： S = E × H = 1 Re( E * × H ) = 1 ε E02 n
2 2 µ
w=
* * 1 1 1 1 1 1 2 ( E ⋅ D + H ⋅ B) = Re( E ⋅ D + H ⋅ B ) = (ε E02 + B02 ) = ε E02 = B0 µ 2 4 4 2 2µ
∇ × (∇ × E ) = ∇(∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E = −∇ 2 E = iωµ∇ × H = ω 2 µε E ⇐ ∇ ⋅ E = 0; ∇ × H = −i ωε E ;
E满足亥姆霍兹方程： 满足亥姆霍兹方程： 满足亥姆霍兹方程
k 2 = ω 2 µε ; ⇒ ∇ 2 E + k 2 E = 0; (∇ ⋅ E = 0); ⇒ B = (−i∇ × E ) / ω ;
2
1 ∂2 B ∇ B− 2 2 =0 c ∂t
2
这是波动方程，无波源，适用于任何波长， 是传播波速 是传播波速。 这是波动方程，无波源，适用于任何波长，c是传播波速。 2、介质中 、 介质中： 介质中：
D (ω ) = ε (ω ) E (ω ); B(ω ) = µ (ω ) H (ω );
对不同频率的电磁波， 、 不同 不同， 、 随频率变化的现象称为色散 随频率变化的现象称为色散。 对不同频率的电磁波，ε、µ不同， ε、µ随频率变化的现象称为色散。色 散使电磁场非正弦变化时： 散使电磁场非正弦变化时： D (t ) ≠ ε E (t ); B(t ) ≠ µ H (t ); 这时，不能导出与真空情况下类似的波动方程： ε0µ0 →µε。 这时，不能导出与真空情况下类似的波动方程： 。
麦氏方程不独立，前两个方程两边取散度可导出后两个方程。因此， 麦氏方程不独立，前两个方程两边取散度可导出后两个方程。因此，对 定态波，边值关系的四个方程也不独立，由前两个同样可导出后两个。 定态波，边值关系的四个方程也不独立，由前两个同样可导出后两个。 2、反射折射定律 界面为z=0的无限大平面（界面的限度比波长大很多）。入射波、 z=0的无限大平面 ）。入射波 界面为z=0的无限大平面（界面的限度比波长大很多）。入射波、反 射波和折射波均为平面波： 射波和折射波均为平面波：
电动力学
• 授课老师：赵圣之 • E-mail: Shengzhi_zhao@
第四章 电磁波的传播
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 平面电磁波 电磁波在介质界面的反射和折射 有导体存在时电磁波的传播 谐振腔 波导管
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第一节 平面电磁波
∇× E = − ∂B ∂D ∂E = iω B = iωµ H ; ∇ × H = =ε = −iωε E ; ∇ ⋅ E = 0; ∇ ⋅ B = 0 ∂t ∂t ∂t
对定态波，麦氏方程不独立， 对定态波，麦氏方程不独立，因为对前两个方程取散度可得后两个 。 如果对第一个方程取旋度并利用第二和第三个方程可得： 对第一个方程取旋度并利用第二和第三个方程可得 如果对第一个方程取旋度并利用第二和第三个方程可得：
E ( x, t ) = E ( x)e − iωt
z
y
o
k
x
d2E 方程及解为： 方程及解为： + k 2 E = 0 ⇒ E ( x) = E 0 eikx ⇒ E ( x, t ) = E 0 ei ( kx −ωt ) dx 2
满足： 满足： ⋅ E = 0 ⇒ ∇ ⋅ [ E 0 ei ( kx −ωt ) ] = 0 ⇒ ∇ei ( kx −ωt ) ⋅ E 0 = 0 ⇒ ik ⋅ E = 0 ⇒ E ⊥ k ∇ 的振动方向与波矢量k的传播方向垂直 即: E的振动方向与波矢量 的传播方向垂直。 的振动方向与波矢量 的传播方向垂直。
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E = E 0 ei ( k ⋅ x −ωt ) ; E ' = E 0 ei ( k '⋅ x −ω 't ) ; E '' = E 0 ei ( k ''⋅ x −ω '' t )
'
''
处边值关系: 由z=0处边值关系 处边值关系
n × ( E 2 − E1 ) = 0 ⇒ n × E 2 = n × E1 ⇒ n × ( E + E ') = n × E ''
dt k
ω µε
µε
2、沿任意方向传播的平面波 、
E = E 0e
i ( k ⋅ x −ωt )
x x′
k
o x
以一确定的时刻t， 常数=kx’， 以一确定的时刻 ，取k · x=常数 常数 ， 这表示与k或 轴垂直的平面 在此平面上， 轴垂直的平面， 这表示与 或x’轴垂直的平面，在此平面上， 相位相等。 相位相等。 （1） ） E = E 0 e i ( k ⋅ x −ω t ) ⇒ ∇ 2 E + k 2 E = 0 （2） ∇ ⋅ E = 0 ⇒ E ⋅ k = 0 ⇒ E ⊥ k ; ）
D = ε 0 E; B = µ0 H ; ⇒ ∇ ⋅ E = 0; ∇ × B = µ0ε 0
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因此有： 因此有： 同理有： 同理有：
∂2 E 1 ∂2 E 1 2 ∇ E − µ0ε 0 2 = 0; ⇒ ∇ E − 2 2 = 0; ⇐ c 2 = ; ∂t c ∂t µ 0ε 0
例：地球上测得太阳光能流密度的周期平均值为每平方米1300W，设太 地球上测得太阳光能流密度的周期平均值为每平方米 ， 阳光为定态平面线偏振光： 阳光为定态平面线偏振光： （1）试估算太阳光中电场、磁场的振幅； ）试估算太阳光中电场、磁场的振幅； （2）求太阳的平均辐射功率（日地距离为 1.5 × 1011 m ）； ）求太阳的平均辐射功率（ （3）估计太阳表面中太阳光中电磁场的振幅（太阳半径为 7 × 107 m ）。 ）估计太阳表面中太阳光中电磁场的振幅（
2 2
B
1 2 B = we + wm 2µ
⇐ D = ε E; B = µ H ;
E2 1 B2 B2 2 2 = ;⇒ ε E = ; ⇒ we = wm ⇒ w = ε E = B 2 µε µ µ