第3章功和能-1

结论：合力对物体所做的功 = 各分力分别对物体所做功的代数和。
dri
2
dA F dr F cosθ dr B B A F dr F cosθ dr
A A
变力的功
i
F
B
*
dr
*

Fi
dr1 1 F 1
A
——线积分
解析式(直角坐标系)：
s2
F cos
A F cos θ ds
s1
o s1
ds
பைடு நூலகம்
s2
s
A
B
A
B F dr F cosθ dr
A
（3）功是力的作用对空间的积累，功是一个过程量，与路径有关． （4）合力的功，等于各分力的功的代数和．
物体同时受
(L)
F1 , F2 , , Fn 的作用
m'm A G 2 dr rA r
rB
Gm' m(
1 1 ) rB rA
万有引力作功仅与作功 路径的始末位置有关， 与路径无关
( 3)
F kxi
弹性力作功
F
dA kx dx
o
x2 x1
x
P
x
A Fdx
x1
x2
1 2 1 2 kxdx ( kx 2 kx1 ) 2 2
说明：1、动能是状态量，任一运动状态对应一 定的动能；
2、功是过程量，它与能量的改变有联系。 3、EK为动能的增量，增量可正可负，视功的正负而变。 4、动能是质点因运动而具有的做功本领。
质点系的动能定理是不是可以写出来？
质点系的动能定理
A外＋A内＝EK2 – EK1
一对作用力和反作用力的功是否为零？
弹性力作功仅与弹簧的始末位置有关，与弹性形变的过程无关
？
f1
f2
dA内 f 1 d r 1 f 2 d r 2
v
f1 f2
dA内 f 2 ( d r 2 d r 1 ) f 2 d ( r 2 r 1 )
r 2 r1 r 21 两质点间的相对位置
一对作用力和反作用力所作功之和等于一个质点所受的力在两质点 间的相对位移上所作的功，并不一定等于零！
b
Z

b
a
ab mg
mg( zb z a ) (mgzb mgza ) X
O
Y
重力作功仅与路径的始末位置有关，与路径的具体形式无关； 质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。
(2) 万有引力作功
m' 对 m 的万有引力为
dA F dr
G
m 移动dr 时，F作元功为
Ft ds
A
自然坐标系中：
A F dr F cos θ dr
v2 v1 t
v1
F
θ
dr
B
A ma ds


v2
v1
v2 dv m ds mv dv v1 dt
1 1 2 2 mv2 mv1 2 2
v2
力F 在位移dr 上的作用引起质点物理量
A A
讨论
o
A
B
A
B F dr F cosθ dr
A
(1)功等于质点受的力和它的位移的标积.功是标量，功的正、负
0 θ 90 , dA 0
o
正功 负功
90o θ 180 o , dA 0 o θ 90 F dr dA 0
(2) 作功的图示
解：v v t adt 0 0 0
dr vdt 3t 2 dt
t 12t F dt dt 3t 2 0 m 0 2 t
A＝ F d r Fdr

3
0
12t 3t dt 36t 3dt 9t 4 729J
2 0
3
二
质点的动能定理
F dr F dA v Fcosv 瞬时功率 P dt dt
平均功率
功率的单位
P A t
（瓦特）
1 W 1 J s 1
1 kW 103 W
例 1 作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j ( N ) 求质点从 x1 2(m) 处运动到 x2 3(m ) 处该力作的功？
A
(L)
( F dx F dy ) ( 2 ydx 4dy )
x y (L)
2 ydx 4dy
2 y1
3
y2
（1） 质点的运动轨道为直线：
3
4y x 6
9/ 4
要统一积分变量
1 AL2 ( x 6 )dx 4dy 21.25( J ) 2 2 1
例 1 作用在质点上的力为 F 2 yi 4 j ( N ) 求质点从 x1 2(m) 处运动到 x2 3(m ) 处该力作的功？
A
(L)
( F dx F dy ) ( 2 ydx 4dy ) 2ydx 4dy
x y (L)
2 y1
( L)
( F F F ) d r n AL F dr 1 2
F1 dr
( L)
( L)
F d r 2
( L)
F d r A1 A2 An n
力的累积效应
F对 F对
F
t 积累
I , p
r 积累 W , E
t
F
F
F
r
一
1
功
恒力作用下的功

F
A F cos θ r
F r
r
功等于质点受的力和它的位移的点积.
位移无限小时： dA称为元功 dA F d r B B A F dr F cosθ dr
3
y2
（2） 质点的运动轨道为抛物线：
x2 4 y
要统一积分变量
1 2 AL1 x dx 4dy 10.8( J ) 2 2 1
3
9/ 4
例2：质量为 2 kg 的质点在力
F ＝ 12t i
(SI)
的作用下，从静止出发，沿 x 轴正向作直线运动。 求前三秒内该力所作的功。
m'm er dr 2 r
m'm F G 2 er r
A
rA
m'
r
rB
m
dr
r dr
B
B m'm A F dr G 2 er dr A r er dr er dr cos dr
A ( Fx dx Fy dy Fz dz )
A
B
解析式(自然坐标系)：
b A A L F cos θ | dr | a L F cos ds
B
A
功的单位（焦耳）
B
A
1J 1 Nm
B F dr F cosθ dr
A
功率：作功的快慢，即功对时间的变化率。
1 mv 2 2
的变化。
1 E k mv 2 描述质点运动状态的物理量 ——动能 2
动能的物理意义：
表示物体由于运动所具有的作功的本领。
F dr W ,引起 E变化
1 2 1 2 A mv2 mv1 Ek 2 Ek1 2 2
合外力对质点所作的功，等于质点 动能的增量 ——质点的动能定理。
A外＋A内＝EK2 – EK1
所有外力对质点系做的功和内力对质点 系做的功之和等于质点系总动能的增量。
即： 外力的功之和＋内力的功之和 ＝系统末动能－系统初动能
下面看几个特殊的力的功
（1）重力的功
质点m 在重力作用下由重力场中的 a 点运动到 b 点，取地面为坐标原点. b Ag mg dr mg ab a mg (ab' bb') mg ab'