高等数学下册9-2(涂)

∂z y = x ln x , ∂y
x ∂z 1 ∂ z x y −1 1 y x ln x + = yx + ln x y ∂x ln x ∂y y
= x y + x y = 2z .
பைடு நூலகம்原结论成立． 原结论成立．
x ∂z ∂z 例 3 设 z = arcsin ，求 ， . 2 2 ∂x ∂ y x +y
按定义可知： 当( x , y ) = (0,0)时, 按定义可知：
f ( ∆x ,0) − f (0,0) 0 f x (0,0) = lim = lim = 0, ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x ∆x f ( 0, ∆ y ) − f ( 0, 0 ) 0 f y ( 0,0) = lim = lim = 0, ∆y → 0 ∆y → 0 ∆ y ∆y f x ( 0, ∆ y ) − f x ( 0, 0 ) f xy (0,0) = lim = 0, ∆y → 0 ∆y f y ( ∆x ,0) − f y (0,0) f yx (0,0) = lim = 1. ∆x → 0 ∆x 显然 f xy (0,0) ≠ f yx (0,0).
两个二阶混合偏导数必相等． 两个二阶混合偏导数必相等．
∂u x , ∴ = 2 2 ∂x x + y
∂u y , = 2 2 ∂y x + y
y2 − x2 ∂ 2u ( x 2 + y 2 ) − x ⋅ 2 x , ∴ 2= = 2 2 2 2 2 2 (x + y ) (x + y ) ∂x x2 − y2 ∂ 2u ( x 2 + y 2 ) − y ⋅ 2 y . = = 2 2 2 2 2 2 2 (x + y ) (x + y ) ∂y
0 0
x = x0 或 y = y0
f x ( x 0 , y0 ) .
同理可定义函数 同理可定义函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数， 为 的偏导数，
f ( x 0 , y0 + ∆y ) − f ( x 0 , y0 ) lim ∆y → 0 ∆y ∂z ∂f 记为 ， ， z y x = x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) . y = y0 ∂y x = x 0 ∂y x = x 0 y= y y= y
∂ ∂z ∂ 2 z ∂ ∂z ∂ 2 z = f xy ( x , y ), = = = f yx ( x , y ) ∂ y ∂ x ∂ x∂ y ∂x ∂y ∂y∂x
纯偏导
混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
按定义可知： 当( x , y ) = (0,0)时, 按定义可知： f ( ∆x ,0) − f (0,0) 0 f x (0,0) = lim = lim = 0, ∆x → 0 ∆x → 0 ∆ x ∆x f ( 0, ∆ y ) − f ( 0, 0 ) 0 f y ( 0,0) = lim = lim = 0, ∆y → 0 ∆y → 0 ∆ y ∆y y( y 2 − x 2 ) ( x , y ) ≠ ( 0,0) 2 2 2 f x ( x, y) = ( x + y ) , 0 ( x , y ) = ( 0, 0 ) x( x 2 − y 2 ) ( x , y ) ≠ (0,0) 2 2 2 f y ( x, y) = ( x + y ) . 0 ( x , y ) = (0,0)
∂ z ∂ z 2 ∂ z 2 = 6 xy , = 2 x 3 − 18 xy; = 6y , 2 3 ∂y 2 ∂x ∂x 2 ∂ z ∂ 2z 2 2 2 2 = 6 x y − 9 y − 1, = 6 x y − 9 y − 1. ∂x∂y ∂y∂x
2
3
2
例7
求二阶偏导数. 设 u = e ax cos by ， 求二阶偏导数
RT RT ∂p 证 p= ⇒ =− 2; V ∂V V RT ∂V R ∂T V pV V= ⇒ = ; = ; T= ⇒ p ∂T p ∂p R R
RT R V ∂p ∂V ∂T RT = −1. ⋅ ⋅ =− 2 ⋅ ⋅ =− V ∂V ∂T ∂p p R pV
有关偏导数的几点说明： 有关偏导数的几点说明：
解
∂z = ∂x
1 x 1− 2 2 x +y
2
′ x ⋅ x2 + y2 x
=
x2 + y2 y2 ⋅ | y| ( x 2 + y 2 )3
( y 2 =| y |)
| y| . = 2 2 x +y
∂z = ∂y
1 x 1− 2 2 x +y
2
′ x ⋅ x2 + y2 y
解
∂u = ae ax cosby , ∂x ∂ 2u = a 2e ax cos by , 2 ∂x ∂ u = − abe ax sin by , ∂ x∂ y
2
∂u = − be ax sin by; ∂y ∂ 2u = − b 2e ax cos by , ∂y 2 ∂ u = − abe ax sin by . ∂y∂x
=
x2 + y2 ( − xy ) ⋅ 2 2 3 | y| (x + y )
( y ≠ 0)
∂z 不存在． 不存在． 0 ∂y x ≠ 0 y=
x y =− 2 x + y2 y
例 4
已知理想气体的状态方程 pV = RT
∂p ∂V ∂T ⋅ ⋅ = −1. 为常数） 求证： ，求证 （ R 为常数） 求证： ， ∂ V ∂ T ∂p
但函数在该点处并不连续. 但函数在该点处并不连续 偏导数存在
连续. 连续
4、偏导数的几何意义 、
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z = f ( x , y ) 上一点,
如图
几何意义: 几何意义:
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y = y0 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴的 斜率. 斜率
当( x , y ) ≠ (0,0)时,
y( x 2 + y 2 ) − 2 x ⋅ xy y( y 2 − x 2 ) , = 2 f x ( x, y) = 2 2 2 2 2 (x + y ) (x + y ) x ( x 2 + y 2 ) − 2 y ⋅ xy x ( x 2 − y 2 ) , = 2 f y ( x, y) = 2 2 2 2 2 (x + y ) (x + y )
f ( x , y , z + ∆z ) − f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) = lim . ∆z → 0 ∆z
z = x 2 + 3 xy + y 2 在点(1, 2) 处的偏导数． 处的偏导数． 例1 求
解
∂z = 2x + 3 y ; ∂x
x =1 y= 2
∂z = 3x + 2 y . ∂y
∂z ∴ ∂x ∂z ∂y
= 2×1 + 3× 2 = 8 , = 3×1 + 2× 2 = 7 .
x =1 y= 2
例2
y 设 z = x ( x > 0, x ≠ 1) ，
x ∂z 1 ∂z + = 2z . 求证 y ∂x ln x ∂y
证
∂z yx y −1 , = ∂x
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义， 域内有定义 ， 当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 ∆x 时，相应地函数有增量 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) ，
例6
设 z = x 3 y 2 − 3 xy 3 − xy + 1，
∂ 2z ∂ 2z ∂3z ∂2z ∂ 2z 、 、 2及 3. 求 2、 ∂x ∂x ∂y∂x ∂x∂y ∂y
∂z ∂z 2 2 3 解 = 2 x 3 y − 9 xy 2 − x; = 3 x y − 3 y − y, ∂y ∂x
f ( x 0 + ∆ x , y 0 ) − f ( x 0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 存在， ∆x → 0 ∆x 此极限为函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 x 的
偏导数， 偏导数，记为
∂z ∂f ， ，zx = = ∂x x = x0 ∂x x = x0 y y y y
偏导数 f y ( x 0 , y0 ) 就是曲面被平面 x = x0 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0T y 对 y 轴的 斜率. 斜率
二、高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数为
∂ ∂z ∂ 2 z ∂ ∂z ∂ 2 z = 2 = f xx ( x , y ), = 2 = f yy ( x , y ) ∂x ∂ x ∂x ∂y ∂y ∂y
同理可以定义函数 z = f ( x , y ) 对自变量 y 的偏导
∂z ∂ f 数，记作 ， ，z y 或 f y ( x , y ). ∂y ∂y
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u = f ( x, y, z ) 在 ( x, y, z ) 处
f ( x + ∆x , y , z ) − f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) = lim , ∆x → 0 ∆x f ( x , y + ∆y , z ) − f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) = lim , ∆y → 0 ∆y