2019-2020学年高中数学 2.4渐开线与摆线练习 新人教A版选修4-4.doc
高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线练习新人教A版选修4_4
高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线练习新人教A版选修4_4四渐开线与摆线课后篇巩固探究A组1.下列说法正确的是()①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有()A.②③B.②C.③D.①③2.下列各点中,在圆的摆线(φ为参数)上的是()A.(π,0)B.(π,1)C.(2π,2)D.(2π,0).3.当φ=2π时,圆的渐开线(φ为参数)上对应的点是()A.(6,0)B.(6,6π)C.(6,-12π)D.(-π,12π)φ=2π时,将其代入圆的渐开线的参数方程,得即所求的坐标为(6,-12π).4.当φ=时,圆的摆线(φ为参数)上对应的点的坐标是.π+4,4)5.如果半径为3的圆的摆线上某点对应的参数φ=,那么该点的坐标为.r=3,所以圆的摆线的参数方程为(φ为参数).把φ=代入得x=π-,y=3-.故该点的坐标为.6.已知一个圆的摆线方程是(φ为参数),求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.4,所以面积是16π,该圆对应的渐开线的参数方程是(φ为参数).7.已知圆C的参数方程是(α为参数),直线l的普通方程是x-y-6=0.(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么位置关系?(2)写出平移后的圆的渐开线的参数方程.圆C平移后的圆心为O(0,0),它到直线x-y-6=0的距离为d==6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6,所以可得平移后圆的渐开线的参数方程是(φ为参数).点A,B,并求出A,B两点间的距离.φ=代入得所以A.将φ=π代入得所以B(-1,π).故A,B两点间的距离为|AB|=.9.已知圆的半径为r,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,圆上点M从起始处(点O处)沿顺时针已偏转φ角.试求点M的轨迹的参数方程.x M=r·φ-r·cos=r(φ-sin φ),y M=r+r·sin=r(1-cos φ).故点M的轨迹的参数方程为(φ为参数).B组1.我们知道图象关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线(φ为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为()A.(φ为参数)B.(φ为参数)C.(φ为参数)D.(φ为参数)y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y 的互换.所以要写出摆线关于直线y=x对称的曲线方程,只需把其中的x与y互换.2.已知一个圆的参数方程为(θ为参数),则圆的摆线的参数方程中与φ=对应的点A与点B之间的距离为()A.-1B.C. D.,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为(φ为参数),把φ=代入参数方程中可得即A,所以|AB|=.线”,其中,…的圆心依次按B,C,D,A循环,则曲线段AEFGH的长是()A.3πB.4πC.5πD.6π,是半径为1的圆周长,长度为是半径为2的圆周长,长度为π;是半径为3的圆周长,长度为是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线段AEFGH的长是5π.4.已知渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点,若把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),则得到的曲线的焦点坐标为.r=7,其方程为x2+y2=49,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线方程为+y2=49,整理可得=1,这是一个焦点在x轴上的椭圆.c==7.故焦点坐标为(7,0)和(-7,0).,0)和(-7,0)摆线的参数方程以及对应圆的渐开线的参数方程.y=0,可得r(1-cos φ)=0,由于r>0,即得cos φ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).将其代入x=r(φ-sin φ),得x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).又因为x=2,所以r(2kπ-sin 2kπ)=2,即得r=(k∈Z).又由实际可知r>0,所以r=(k∈N*).易知,当k=1时,r取最大值.故所求圆的摆线的参数方程为(φ为参数);所求圆的渐开线的参数方程为(φ为参数).6.设圆的半径为4,圆沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,记圆上动点为M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M 的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上纵坐标y的最大值.M的轨迹是摆线,其参数方程为(φ为参数,且0≤φ≤2π).其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π),如图所示.易知,当x=4π时,y有最大值8,故该曲线上纵坐标y的最大值为8.。
高中数学 2.4渐开线与摆线 新人教A版选修4-4
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所
栏 目
链
以才能得到不同的图形
接
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画
出的渐开线形状就不同
编辑课件
分析：本题容易错选 A.渐开线不是圆独有的．其他图形，例如
椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，
题二 渐开线、摆线参数方程的应用
例 3 设摆线xy＝＝1t－－scionst，t (t 为参数，0≤t≤2π)与直线 y＝1
相交与 A，B 两点，求 A，B 两点间的距离．
栏
目
解析：由 y＝1 及 y＝1－cos t 得 cos
∴t1＝π2 ，t2＝3π2 .当
π t1＝ 2 时，
编辑课件
►变式训练
1．已知圆的渐开线的参数方程是
x＝cos φ＋φsin
y＝sin
φ－φcos
φ， φ (φ 为参数)，则此渐开线对应的基圆的直
栏 目
径
是
________
，
当
参
数
φ
＝
π 4
时
对
应
的
曲
线
上
的
点
的
坐
标
为
链 接
__________________．
1
22＋
28π， 22－
2π 8
编辑课件
φ＋φsin φ－φcos
φ）， φ） (φ 为参数)可求
π r 的值，然后把 φ＝ 2 代入方编辑程课，件即得对应的点的坐标．
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为
2019-2020年高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教A版选修
2019-2020年高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教A 版选修一、基础达标1.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( ) A.π B.2π C.3πD.4π解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B. 答案 B2.已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10D.3π2－1 解析 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－3，3，∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－3－3π22＋（3－2）2＝10.答案 C3.摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（t －sin t ），y ＝2（1－cos t ）(t 为参数，0≤t ＜2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A.(π－2，2)，(3π＋2，2)B.(π－3，2)，(3π＋3，2)C.(π，2)，(－π，2)D.(2π－2，2)，(2π＋2，2)解析 由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0.∵t ∈[0，2π)，∴t 1＝π2，t 2＝3π2.代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2，2)，(3π＋2，2). 答案 A4.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数θ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________.解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把θ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8.答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π85.已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐标为________.解析 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ）y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数).当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2).答案 (π，2)6.给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系.又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数).以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数). 7.已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是π3和π2，求A 、B 两点的距离.解 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A 、B 两点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝16（13－63）π2－6π－363＋72. 即A 、B 两点之间的距离为16（13－63）π2－6π－363＋72. 二、能力提升8.如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ︵、EF ︵、FG ︵、GH ︵…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( ) A.3π B.4π C.5πD.6π解析 根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案 C9.已知一个圆的平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2φ－2sin φ，y ＝2－2cos φ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标.解 由平摆线方程知，圆的半径为2，则圆的周长为4π.当φ＝π时，y 有最大值4， 平摆线具有周期性，周期为2π.∴平摆线上最高点的坐标为(π＋2k π，4)(k ∈Z ).10.渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C ，求曲线C 的方程，及焦点坐标. 解 由渐开线方程可知基圆的半径为6，则圆的方程为x 2＋y 2＝36. 把横坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2114＋y 236＝1， 对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0).11.如图，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝r 2或|AQ |＝3r2，请推出Q 的轨迹的参数方程.解 设Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，若A (r θ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），y 0＝r （1－cos θ）.当|AQ |＝r2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －r θ，y 0＝2y －r ， 代入⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），y 0＝r （1－cos θ）. ∴点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－12sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12cos θ(θ为参数).当AQ ＝3r2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r θ＋2x 3，y 0＝r ＋2y 3，代入⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），y 0＝r （1－cos θ）.∴点Q 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－32sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32cos θ(θ为参数).三、探究与创新12.已知一个参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α，如果把t 当成参数，它表示的图形是直线l (设斜率存在)，如果把α当成参数(t ＞0)，它表示半径为t 的圆. (1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆平移到圆心在(0，t )，求出圆对应的摆线的参数方程.解 (1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为：y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t ＞0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝t 2.(2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t （φ－sin φ），y ＝t （1－cos φ）(φ为参数).2019-2020年高中数学第2讲参数方程讲末检测新人教A 版选修一、选择题1.下列点不在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t (t 为参数)上的是( )A.(－1，2)B.(2，－1)C.(3，－2)D.(－3，2)解析 直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 答案 D2.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14 B.214 C. 2D.22解析 由题意得，直线l 的普通方程为x －y －4＝0，圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，直线l 被圆C 截得的弦长为222－（2）2＝2 2.答案 D3.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线解析 ∵(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)，∴ρ＝1或θ＝π(ρ≥0).ρ＝1表示圆心在原点，半径为1的圆，θ＝π(ρ≥0)表示x 轴的负半轴，是一条射线，故选C. 答案 C4.在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是( )A.ρsin θ＝1B.ρsin θ＝ 3C.ρcos θ＝1D.ρcos θ＝ 3解析 因点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，得x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1， 再化为极坐标为ρsin θ＝1，选A. 答案 A5.已知O 为原点，当θ＝－π6时，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝9sin θ(θ为参数)上的点为A ，则直线OA 的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 当θ＝－π6时，x ＝332，y ＝－92，∴k OA ＝tan α＝y x＝－3，且0≤α＜π， 因些α＝23π.答案 C6.若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，则直线l 的倾斜角的余弦值为( )A.－45B.－35C.35D.45解析 由题意知，直线l 的普通方程为4x ＋3y －10＝0.设l 的倾斜角为θ，则 tan θ＝－43.由1cos 2θ＝1＋tan 2θ知cos 2θ＝925.∵π2<θ<π，∴cos θ＝－35，故选B.答案 B7.椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率是( )A.74B.73C.72D.75解析 椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ的标准方程为x 29＋y 216＝1，∴e ＝74.故选A.答案 A 8.若直线y ＝x －b与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θθ∈[0，2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是( ) A.(2－2，1)B.[2－2，2＋2]C.(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D.(2－2，2＋2)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.将y ＝x －b 代入(*)，化简得2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0， 依题意，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)＞0. 解之得2－2＜b ＜2＋ 2. 答案 D9.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( ) A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分，且过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 D.抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 解析 由y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ2＝1＋sin θ2，可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ得x 2－1＝sin θ， ∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y . 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]，故选D. 答案 D 10.已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0，2)到P 1，P 2两点距离之和是( ) A.4＋ 3 B.2(2＋3) C.4(2＋3) D.8＋3解析 将直线l 参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32t ′y ＝2＋12t ′(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，得t ′2＋4(2＋3)t ′＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2＋3)，t 1′t 2′＝16＞0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A (0，2)的下方，则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2＋3).答案 C 二、填空题11.双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φ，y ＝sec φ(φ是参数)的渐近线方程为________.解析 化参数方程为普通方程，得y 2－x 2＝1.故其渐近线为y ＝±x ，即x ±y ＝0. 答案 x ±y ＝012.在极坐标系中，直线过点(1，0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线极坐标方程为________.解析 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝π3的斜率是3，所求直线是过点(1，0)，且斜率是－13，所以直线方程为y ＝－13(x －1)，化为极坐标方程ρsin θ＝－13(ρcos θ－1)化简得2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1. 答案 2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1、()ρcos θ＋3ρsin θ＝113.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ， 联立两方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以公共点为(1，2).所以公共点的极径为ρ＝22＋1＝ 5. 答案514.已知P 为椭圆4x 2＋y 2＝4上的点，O 为原点，则|OP |的取值范围是________. 解析 由4x 2＋y 2＝4，得x 2＋y 24＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，则|OP |2＝x 2＋y 2＝cos 2φ＋4sin 2φ＝1＋3sin 2φ. ∵0≤sin 2φ≤1， ∴1≤1＋3sin 2φ≤4， ∴1≤|OP |≤2. 答案 [1，2] 三、解答题15.已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，求椭圆上一点P到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3ty ＝2＋2t (t为参数)的最短距离.解 由题意，得P (3cos θ，2sin θ)，直线：2x ＋3y －10＝0.d ＝|6cos θ＋6sin θ－10|13＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1013，而62sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－10∈[－62－10，62－10].∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1013∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－6213，10＋6213.∴d min ＝10－6213.即椭圆上的点到直线的最短距离为10－6213.16.已知圆O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π).(1)求圆心和半径；(2)若圆O 上点M 对应的参数θ＝5π3，求点M 的坐标.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(0≤θ＜2π)，平方得x 2＋y 2＝4，∴圆心O (0，0)，半径r ＝2.(2)当θ＝53π时，x ＝2cos θ＝1，y ＝2sin θ＝－ 3.∴点M 的坐标为(1，－3).17.已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点. (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α).M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π). (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π).当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点.18.在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4，2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程；并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线相交于不同的两点M ，N ，求|PM |＋|PN |的取值范围.解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数). ∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，所以C ：x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入C ：x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16（sin α＋cos α）2－16＞0t 1＋t 2＝－4（sin α＋cos α）t 1·t 2＝4∴sin α·cos α＞0，又α∈[0，π)，所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，t 1＜0，t 2＜0. 而|PM |＋|PN |＝（4＋t 1cos α－4）2＋（2＋t 1sin α－2）2＋（4＋t 2cos α－4）2＋（2＋t 2sin α－2）2＝|t 1|＋|t 2|＝－t 1－t 2＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴22＜sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，所以|PM|＋|PN|的取值范围是为(4，42).。
最新精编高中人教A版选修4-4高中数学强化习题第二讲四渐开线与摆线和答案
第二讲 参数方程四、渐开线与摆线A 级 基础巩固一、选择题1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画出的渐开线形状就不同解析：本题容易错选A.渐开线不是圆独有的，其他图形，例如椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆，不论在什么地方建立直角坐标系，画出的渐开线的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．答案：C2.⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5（φ－sin φ），y ＝5（1－cos φ）(φ为参数)表示的是( ) A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程B ．半径为5的圆的摆线的参数方程C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程D ．直径为5的圆的摆线的参数方程解析：对照渐开线和摆线参数可知选B.答案：B[来源:学科网]3．下列各点中，在圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝1－cos φ(φ为参数)上的是( ) A ．(π，0)B ．(π，1)C ．(2π，2)D ．(2π，0)解析：当φ＝π时，x ＝π－sin π＝π，y ＝1－cos π＝1＋1＝2，当φ＝2π时，x ＝2π－sin 2π＝2π，y ＝1－cos 2π＝1－1＝0，故选D.[来源:学§科§网]答案：D4．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．3πC ．6πD ．10π解析：根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)，故x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z)．答案：C5．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )[来源:学科网] A.π2－1 B. 2 C.10 D. 3π2－1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎨⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3，所以|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋（3－2）2＝10. 答案：C二、填空题 6．已知一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________．解析：由圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)知圆的半径r ＝3，所以摆线一个拱的高度是3×2＝6.答案：67．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为________．解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x 2＋y 2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)，它们之间的距离为12 3.答案：12 38．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （θ－sin θ），y ＝r （1－cos θ）(θ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________________．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线的参数方程，只需把其中的x 与y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （1－cos θ），y ＝r （θ－sin θ）(θ为参数)三、解答题[来源:学§科§网]9．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．[来源:]解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋4θsin θ，y ＝4sin θ－4θcos θ(θ为参数)． 10．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ＋2φsin φ，y ＝2sin φ－2φcos φ(φ是参数)，求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方程．解：由圆的渐开线的参数方程可知该圆的半径为2.所以该圆的面积为4π，对应圆的摆线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2φ－2sin φ，y ＝2－2cos φ(φ是参数)． B 级 能力提升1.如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π 解析：根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案：C2．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（t －sin t ），y ＝4（1－cos t ）(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝4的交点的直角坐标为________________．解析：由题设得4＝4(1－cos t )得cos t ＝0.因为t ∈[0，2π)，所以t 1＝π2，t 2＝3π2，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2π－4，4)，(6π＋4，4)．答案：(2π－4，4)，(6π＋4，4)3．已知圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 的普通方程x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，那么平移后圆和直线满足什么关系？(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（φ－sin φ），y ＝6（1－cos φ）(φ为参数)．。
高中数学人教A版选修4-4 2-4 圆的渐开线与摆线 测试学生版 精品
2.4 渐开线与摆线（检测学生版）时间:50分钟 总分：80分班级： 姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1、已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①③④3．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)y ＝6(sin φ－φcos φ)上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)4．已知一个圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10D.3π2－15．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12k π(φ－sin φ)y ＝12k π(1－cos φ) B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1k π(φ－sin φ)y ＝1k π(1－cos φ)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k π(φ－sin φ)y ＝12k π(1＋cos φ)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k π(φ－sin φ)y ＝1k π(1＋cos φ)6、如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐标为________．8．已知平摆线的方程为⎩⎨⎧x ＝α－sin α，y ＝1－cos α(α为参数)，则该平摆线的拱高是________，周期是________．9．渐开线⎩⎨⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________． 10、我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎨⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________． 三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）11、已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么位置关系？ (2)写出平移后圆的渐开线方程．12．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm ，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．13、当φ＝π2，π时，求出渐开线⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)上的对应点A ，B ，并求出A ，B 间的距离．。
高中数学 第二章 参数方程 2.3 直线的参数方程 2.4渐开线与摆线课时提升作业(含解析)新人教A版选修44
直线的参数方程渐开线与摆线课时提升作业一、选择题(每小题6分,共18分)1.直线不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】选D.直线经过点(-3,2),倾斜角α=,所以不经过第四象限.【补偿训练】直线的倾斜角为( )A. B. C. D.【解析】选C.方法一:直线的普通方程为y-2=(x+3),所以由直线的斜率得倾斜角为.方法二:直线即所以直线的倾斜角为.2.(2016·衡水高二检测)若直线的参数方程为(t为参数),则直线的斜率为( )A. B.- C. D.-【解析】选B.直线的普通方程为y=-x+,所以直线的斜率为-.3.已知直线l过点P(1,2),其参数方程为(t是参数),直线l与直线2x+y-2=0交于点Q,则|PQ|= ( )A.1B.C.2D.2【解析】选D.方法一:将直线l的参数方程(t是参数)化为普通方程y=-x+3,代入2x+y-2=0, 得x=-1,y=4,即Q(-1,4),所以|PQ|2=4+4=8,|PQ|=2.方法二:将直线l的方程化为标准形式代入2x+y-2=0得t′=2,所以PQ=|t′|=2.二、填空题(每小题6分,共12分)4.(2015·重庆高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=4,则直线l与曲线C的交点的极坐标为__________.【解题指南】首先将直线与曲线C的方程化为直角坐标系下的方程,然后求出交点坐标再化为极坐标即可. 【解析】因为直线l的参数方程为所以直线l的普通方程为y=x+2.因为曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=4,可得曲线C的直角坐标方程为x2-y2=4(x<0).联立解得交点坐标为(-2,0),所以交点的极坐标为(2,π).答案:(2,π)5.已知直线l:(t为参数)圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,则圆心C到直线l的距离为________.【解析】直线l的普通方程为2x-y+1=0,圆ρ=2cosθ的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0).故圆心到直线的距离为=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)6.已知直线l过点A(-2,3),倾斜角为135°,求直线l的参数方程,并且求直线上与点A距离为3的点的坐标.【解析】直线l1的参数方程为(t为参数)即①设直线上与点A距离为3的点为B,且点B对应的参数为t,则|AB|=|t|=3.所以t=±3.把t=±3代入①,得当t=3时,点B在点A的上方,点B的坐标为(-5,6);当t=-3时,点B在点A的下方,点B的坐标为(1,0).7.(2015·湖南高考)已知直线l:(t为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)设点M的直角坐标为,直线l与曲线C的交点为A,B,求·的值.【解题指南】(1)利用ρ2=x2+y2,ρcosθ=x即可将已知条件中的极坐标方程转化为直角坐标方程.(2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程,利用参数的几何意义结合根与系数的关系即可求解.【解析】(1)ρ=2cosθ等价于ρ2=2ρcosθ, ①将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入①式即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0. ②(2)将代入②,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知·==18.8.(2016·唐山高二检测)已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=.(1)写出直线l的参数方程.(2)设l与圆x2+y2=4相交于A,B两点,求P点到A,B两点的距离之积|PA||PB|和距离之和|PA|+|PB|. 【解析】(1)(t为参数)(2)将(t为参数),代入x2+y2=4得,t2+(1+)t-2=0,由根与系数的关系,得t1+t2=-(+1),t1t2=-2,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=,|PA||PB|=|t1t2|=2.【补偿训练】(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,且t≠0)其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标.(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此点A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2cosα,α).所以|AB|=|2sinα-2cosα|=4.当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·邯郸高二检测)在参数方程(t为参数)所表示的曲线上有B,C两点,它们对应的参数值分别为t1,t2,则线段BC的中点M对应的参数值是( )A. B.C. D.【解析】选B.在参数方程(t为参数)所表示的曲线上有B,C两点,它们对应的参数值分别为t1,t2,则B(a+t1cosθ,b+t1sinθ),C(a+t2cosθ,b+t2sinθ),线段BC的中点M,对应的参数值是.2.(2016·龙岩高二检测)若曲线(t为参数)与曲线ρ=2相交于B,C两点,则|BC|的值为( )A.2B.2C.7D.【解析】选D.曲线ρ=2的直角坐标方程为x2+y2=8,直线的普通方程为x+y-1=0,圆心到直线的距离为d=,由弦长公式,得|BC|=2=.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知一个圆的摆线的参数方程是(φ为参数)则该摆线一个拱的高度是________.【解析】由圆的摆线的参数方程(φ为参数)知圆的半径r=3,所以摆线一个拱的高度是3×2=6.答案:64.(2015·广州高二检测)在直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为(θ为参数)和(t为参数)以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线C1与C2的公共点的极坐标为________.【解析】曲线C1:(θ为参数)的普通方程为x2+y2=2,C2:(t为参数)的普通方程为x+y-2=0.圆心(0,0)到此直线的距离为d===r,所以直线和圆相切,切点为(1,1),化为极坐标为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·安庆高二检测)过点P(-1,0)作倾斜角为α的直线与曲线+=1相交于M,N两点.(1)写出直线MN的参数方程.(2)求·的最小值.【解析】(1)因为直线MN过点P(-1,0)且倾斜角为α,所以直线MN的参数方程为:(t 为参数).(2)将直线MN的参数方程代入曲线+=1,得2(-1+tcosα)2+3(tsinα)2=6,整理得(3-cos2α)·t2-4cosα·t-4=0,设M,N对应的参数分别为t1,t2,则|PM|·|PN|=|t1·t2|=,当cosα=0时,|PM|·|PN|取得最小值为.6.以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为(t为参数,0<α<π)曲线C的极坐标方程ρ=.(1)求曲线C的直角坐标方程.(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当α变化时,求|AB|的最小值.【解析】(1)由ρ=,得ρ2sin2θ=2ρcosθ,所以曲线C的直角坐标方程为y2=2x.(2)将直线l的参数方程代入y2=2x,得t2sin2α-2tcosα-1=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1·t2=-,所以|AB|=|t1-t2|===,当α=时,|AB|取得最小值2.。
2019-2020学年高中数学人教A版选修4同步作业与测评：2.4 渐开线和平摆线
导疑1 渐开线方程中，字母r 和参数φ的几何意义是什么？导思1 字母r 是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时，绳子t 的定点M 相对于圆心的张角．导疑2 摆线的参数方程中，字母r 和参数φ的几何意义是什么？导思2 字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于一定点运动所张开的角度大小．导果 1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，□01 相应的定圆叫做基圆．□02 2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨□03 迹，圆的摆线又叫旋轮线．□04 3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：Error!(φ为参数)．□05(2)摆线的参数方程：Error!(φ为参数)．□061．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程．( )(2)圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题．( )(3)在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程．( )(4)圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．( )答案 (1)× 圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程．(2)√(3)√(4)× 圆的渐开线和坐标轴交点要看坐标系的选取．2．做一做(1)已知圆的渐开线的参数方程Error!(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的面积是( )A．1 B．πC．2 D．2π答案 B解析 由参数方程知基圆的半径为1，所以其面积为π．(2)圆的渐开线方程为Error!(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上的对应点的坐标为( )A．(－2，2π)B．(－2，π)C．(4，2π)D．(－4，2π)答案 A解析 将φ＝π代入Error!可得Error!即Error!选A．(3)半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A．πB．2πC．12πD．14π答案 C解析 圆的摆线的参数方程为Error!(φ为参数)，由题意得0＝3(1－cosφ)，cosφ＝1．sinφ＝0，φ＝2kπ，k∈Z，则x＝3·2kπ＝6kπ，k∈Z．当k∈Z时，横坐标可能为12π，故选C．(4)我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线Error!(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．答案 Error!(φ为参数)解析 关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．1探究 圆的渐开线的参数方程例1 如图所示，有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径是340 mm，以基圆圆心O为原点建立直角坐标系，求齿廓线AB所在的渐开线的参数方程．解 由圆的渐开线的参数方程可知，渐开线的参数方程与基圆的半径有关，若基圆的半径确定了，把半径r的值代入，即得圆的渐开线的参数方程．由已知，得2r＝340，即r＝170，代入圆的渐开线的参数方程，得Error!(φ为参数)． 解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)；(2)取定运动中产生的某一角度为参数；(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式；(4)用向量运算得到O 的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．M → 【跟踪训练1】 已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A ，B 对应的参数分别是和，求A ，B 两点的距离．π3π2解 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是Error!(φ为参数)，分别把φ＝和φ＝代入，可得A ，B 两点的坐标分别为π3π2A ，B ．(3＋3π6，33－π6)(π2，1)那么，根据两点之间的距离公式可得A ，B 两点的距离为|AB |＝ (3＋3π6－π2)2＋(33－π6－1)2＝ ．16(13－63)π2－6π－363＋72即A ，B 两点之间的距离为．16(13－63)π2－6π－363＋72探究 圆的摆线的参数方程2 例2 已知一个圆的摆线方程是Error!(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解 根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以其面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是Error!(φ为参数)．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．【跟踪训练2】 圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O ．圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．解 x M ＝r ·φ－r ·cos＝r (φ－sin φ)，(φ－π2)y M ＝r ＋r ·sin ＝r (1－cos φ)．(φ－π2)即点M 的轨迹方程为Error!1．圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．2．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．1．已知圆的渐开线Error!(φ为参数)上有一个点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．6πD ．9π答案 D解析 把已知点(3，0)代入参数方程得Error!由②得φ＝tan φ，所以φ＝0，代入①得，3＝r ·(cos0＋0)，所以r ＝3，所以基圆的面积为9π．2．圆的渐开线Error!(φ为参数)上与φ＝对应点的直角坐标为( )π4A ． B ．(1＋π4，1－π4)(1－π4，1＋π4)C ．D ．(－1－π4，1－π4)(1＋π4，－1－π4)答案 A解析 将φ＝代入圆的渐开线方程，π4得Error!所以x ＝1＋，y ＝1－．π4π43．摆线Error!(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A ．(π－2，2)，(3π＋2，2)B ．(π－3，2)，(3π＋3，2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2，2)，(2π＋2，2)答案 A解析 由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0．∵t ∈[0，2π)，∴t 1＝，t 2＝．π23π2代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2，2)，(3π＋2，2)．4．已知圆的渐开线的参数方程是Error!(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．π4答案 2 (22＋2π8，22－2π8)解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2．求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得π4π4x ＝＋，y ＝－，222π8222π8由此可得对应的坐标为．(22＋2π8，22－2π8)一、选择题1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是 ( )A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同答案 C解析 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．2．圆Error!(φ为参数)的渐开线方程是( )A ．Error!(φ为参数)B ．Error!(φ为参数)C ．Error!(φ为参数)D ．Error!(φ为参数)答案 C解析 由圆的参数方程知圆的半径为10，故其渐开线方程为Error!(φ为参数)，选C ．3．半径为1的圆的渐开线的参数方程为( )A ．Error!(θ为参数)B ．Error!(θ为参数)C ．Error!(θ为参数)D ．Error!(θ为参数)答案 C解析 由圆的渐开线的参数方程得Error!(θ为参数)．4．已知圆的渐开线的参数方程为Error!(φ为参数)，点M 是此渐开线上一点，则点M 与原点的距离的最小值是( )A ．B ．3C ．6D ．932答案 B解析 由圆的渐开线的定义，知渐开线开始时的点(3，0)与原点的距离最小，故最小距离为3．5．已知摆线的参数方程为Error!(φ为参数)，当参数φ＝π时，对应于摆线上的点的坐标是( )A ．(2π，4)B ．(4π，4)C ．(4π，8)D ．(4，4)答案 C解析 把φ＝π代入参数方程，得Error!故所求点的坐标为(4π，8)．6．已知圆的摆线的参数方程为Error!(φ为参数)，则它的一个拱的宽度和高度分别是( )A ．4π，2B ．2π，4C ．2π，2D ．4π，4答案 D解析 由圆的摆线的参数方程可知，基圆的半径为2，而摆线的拱宽为2πr ，拱高为2r ，故可知此摆线的一个拱的宽度和高度分别为4π和4．选D ．二、填空题7．渐开线Error!(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________．答案 (6，0)和(－6，0)33解析 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2＋y 2＝36，整理可得＋＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c ＝(12x )x 2144y 236＝＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．a 2－b 2144－363338．已知圆的渐开线的参数方程是Error!(t 为参数)，则该渐开线的基圆的半径为________，参数t ＝对应的点的直角坐标是________．2π3答案 6 (－3＋2π，3＋2π)33解析 由参数方程，得基圆的半径r ＝6．把t ＝代入参数方程，得Error!即2π3参数t ＝对应的点的直角坐标是(－3＋2π，3＋2π)．2π3339．当φ分别为和π时，渐开线Error!(φ为参数)上对应的点为A ，B ，则π2A ，B 间的距离为________．答案 54π2－π＋2解析 将φ＝代入Error!得π2Error!∴A ．(π2，1)将φ＝π代入Error!得Error!∴B (－1，π)．故A ，B 间的距离为|AB |＝＝．(1－π)2＋(π2＋1)254π2－π＋2三、解答题10．半径为r的圆沿直轨道滚动，M在起始处和原点重合，当M转过π和53π时，求点M的坐标．72解 由摆线方程可知，φ＝时，x M＝r，y M＝r；5π310π＋33612φ＝时，x M＝r(7π＋2)，y M＝r．7π212∴点M的坐标分别是，r(7π＋2)，r．(10π＋336r，12r)1211．已知一个圆的平摆线方程是Error!(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标．解 由平摆线方程知，圆的半径为2，则圆的周长为4π．当φ＝π时，y有最大值4，平摆线具有周期性，周期为2π．∴平摆线上最高点的坐标为(π＋2kπ，4)(k∈Z)．12．已知圆C的参数方程是Error!(α为参数)，直线l的普通方程是x－y－6＝0．2(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么关系？(2)写出平移后圆的摆线方程；(3)求摆线和x轴的交点．解 (1)圆C平移后圆心为O(0，0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝2＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．622(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是Error!(φ为参数)．(3)令y＝0，得6－6cosφ＝0⇒cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝6φ－6sinφ，得x＝12kπ(k∈Z)，即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．。
人教新课标A版选修4-4数学2.4渐开线与摆线同步检测D卷
人教新课标A版选修4-4数学2.4渐开线与摆线同步检测D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共7题；共14分)1. （2分）已知圆的摆线的参数方程是（为参数)，则当时对应两点间的距离是（）A . 2B . 4C .D .2. （2分）已知一个圆的参数方程为 (为参数)那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点之间的距离为（）A .B .C .D .3. （2分） (为参数)表示的是（）A . 半径为5的圆的渐开线的参数方程B . 半径为5的圆的摆线的参数方程C . 直径为5的圆的渐开线的参数方程D . 直径为5的圆的摆线的参数方程4. （2分）对于参数方程和下列结论正确的是（）A . 是倾斜角为30°的两平行直线B . 是倾斜角为150°的两重合直线C . 是两条垂直相交于点(1，2)的直线D . 是两条不垂直相交于点(1，2)的直线5. （2分）关于渐开线和摆线的叙述，正确的是（）A . 只有圆才有渐开线B . 渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C . 正方形也可以有渐开线D . 对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同6. （2分）已知一个圆的摆线过点(1，0)，则摆线的参数方程为（）A .B .C .D .7. （2分）当φ＝2π时，圆的渐开线上的点是（）A . (6,0)B . (6,6π)C . (6，－12π)D . (－π，12π)二、填空题 (共10题；共14分)8. （2分）已知圆的渐开线的参数方程是(为参数)则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数时对应的曲线上的点的坐标为________9. （2分）已知圆的渐开线方程为 (为参数)，则该基圆半径为________、当圆心角时，曲线上点A的直角坐标为________10. （1分）我们知道关于直线对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(为参数)关于直线对称的曲线的参数方程________11. （1分）已知一个圆的参数方程为(为参数)，那么圆的摆线方程中与参数对应的点A与点之间的距离为________12. （1分）圆的渐开线参数方程为：(为参数)则基圆的面积为________13. （2分）已知圆的渐开线的参数方程为(为参数)，则此渐开线对应基圆的面积为________，当时对应的曲线上的点的坐标为________14. （1分）渐开线 (为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________15. （1分）圆的渐开线上与对应的点的直角坐标为________.16. （2分）设圆的半径是r，则其摆线的一个拱的宽度与高度分别是________、________．17. （1分）半径为4的圆的渐开线的参数方程是________三、解答题 (共8题；共55分)18. （5分）如图ABCD边长为1的正方形，曲线AEFGHL 叫做“正方形的渐开线”，其中AE,EF,FG,GHL 的圆心依次按B,C,D,A 循环，它们依次相连接，求曲线AEFGH的长。
高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线课件新人教A版选修4_4
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四 渐开线与摆线
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”. (1)只有圆才有渐开线. ( × )
(2)渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以
变式训练 1 已知圆的渐开线的参数方程是
������ ������
= =
csions������������-���+���c���o���ss���i���n������,(φ
为参数),则此渐开线对应的基圆的直径
是
,当参数 φ=π4时对应的曲线上的点的坐标
为
.
答案：2
√2 2
+
√2π 8
,
√2 2
四 渐开线与摆线 探究一
探究二
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变式训练 若半径为5的圆的摆线上某点的纵坐标为0,则其横坐
标可能是( )
A.π B.5π C.10πD.12π
������ = 5������-5sin������,
π4,则对应
的点的直角坐标分别为 .
答案：
2π 3
-√3,1
,
π 2
-√2,2-√2
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最新整理高中数学人教A版选修4-4课后训练2.4 渐开线与摆线 Word版含解析.doc
四 渐开线与摆线练习1已知一个圆的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝2π对应的点A 与点B (32π，2)之间的距离为( )． A.2π－1 B.2 C.10 D.312π- 2如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，,,EF FG GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )．A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π3我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(sin ),(1cos )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．4已知一个圆的摆线方程是44sin ,44cos x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)，则该圆的面积为________，对应圆的渐开线方程为________．5给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．6有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm ，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．7已知圆C 的参数方程是16cos ,26sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么位置关系？(2)写出平移后圆的渐开线方程．8已知一个参数方程是2cos ,2sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩如果把t 当成参数，它表示的图形是直线l (设斜率存在)，如果把α当成参数(t ＞0)，它表示半径为t 的圆．(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆心平移到(0，t )，求出圆对应的摆线的参数方程．9如图，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝2r 或|AQ |＝32r ，请推出Q 的轨迹的参数方程．参考答案1. 答案：C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为3(sin ),3(1cos )x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩ (φ为参数)，把φ＝2π代入参数方程中可得3(1),23,x y π⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即A 33,32π⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴|AB |＝22333(32)1022ππ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭. 2. 答案：C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为2π，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为32π；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 3．答案：(1cos ),(sin )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数) 4. 答案：16π 4cos 4sin ,4sin 4cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩ (φ为参数) 5. 答案：解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是3cos 3sin ,3sin 3cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为33sin ,33cos x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩ (φ为参数)． 6. 答案：分析：直接利用圆的渐开线参数方程的形式代入即可．解：因为基圆的直径为22 mm ，所以基圆的半径为11 mm ，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为11(cos sin ),11(sin cos )x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)． 7. 答案：解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是6cos 6sin ,6sin 6cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)． 8. 答案：解：(1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为：y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t ＞0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝t 2.(2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的摆线的参数方程为(sin ),(1cos )x t y t ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩ (φ为参数)．9. 答案：解：设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，若A (rθ，r )，则00(sin ),(1cos ).x r y r θθθ=-⎧⎨=-⎩ 当|AQ |＝2r 时，有002,2,x x r y y r θ=-⎧⎨=-⎩代入00(sin ),(1cos ).x r y r θθθ=-⎧⎨=-⎩ ∴点Q 的轨迹的参数方程为1(),21(1cos )2x r sin y r θθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (θ为参数)．当AQ ＝32r 时， 有002,32,3r x x r y y θ+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩代入00(sin ),(1cos ).x r y r θθθ=-⎧⎨=-⎩∴点Q 的轨迹方程为3(sin )2,3(1cos )2x r y r θθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (θ为参数)．。
高中数学 第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线达标训练 新人教A版选修44
四 渐开线与摆线更上一层楼基础·巩固1关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( ) A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆,如果建立的直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不同思路解析：首先要明确不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处,但是它们的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 答案：C2给出下列说法①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③在求圆的摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同,可能会得到不同的参数方程;④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点. 其中正确的说法有( )A.①③B.②④C.②③D.①③④思路解析：对于一个圆,只要半径确定,渐开线和摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所区别,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置. 答案：C3在圆的摆线上有点(π,0),那么在满足条件的摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆线上,参数φ=4π对应点的坐标为_________. 思路解析：首先根据摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),把点(π,0)代入可得⇒⎩⎨⎧-=-=)cos 1(0)sin (ϕϕϕπr r cosφ=1,则sinφ=0,φ=2kπ(k∈Z ), 所以r=kk 212=ππ(k∈Z ).又r ＞0,所以k∈N *, 当k=1时,r 最大为21.再把φ=4π代入即可.答案：(422,822--π)4已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin ,sin cos y x (φ为参数),则此渐开线对应的基圆的直径是____________,当参数φ=4π时对应的曲线上的点的坐标为______________. 思路解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定,从方程不难看出基圆的半径为1,故直径为2.求当φ=4π时对应的坐标只需把φ=4π代入曲线的参数方程, x=8222π+,y=8222π-,由此可得对应的坐标为(8222π+,8222π-). 答案：2 (8222π+,8222π-) 5已知一个圆的摆线方程是⎩⎨⎧-=-=ϕϕϕcos 44,sin 44y x (φ为参数),求该圆的面积和对应的圆的摆线的参数方程.思路分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4,易得圆的面积为16π, 再代入渐开线的参数方程的标准形式即可得圆的渐开线的参数方程. 解：首先根据渐开线的参数方程可知圆的半径为4,所以面积是16π. 该圆对应的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos 4sin 4,sin 4cos 4y x (φ为参数).6已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程.思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式,根据表达式求出r 的最大值,再确定对应的摆线和渐开线的方程.解：令y=0得r(1-cosφ)=0,即得cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z ). 代入x=r(2kπ-sin2kπ)=2, 即得r=πk 1 (k∈Z ).又由实际可知r>0, 所以r=πk 1 (k∈N *).易知,当k=1时,r 最大值为π1 代入即可得,圆的摆线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)cos 1(1),sin (1ϕπϕϕπy x (φ为参数),圆的渐开线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 1),sin (cos 1ϕϕϕπϕϕϕπy x (φ为参数).7已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧+-=+=ααsin 62,cos 61y x (α为参数)和直线l 对应的普通方程是x-y-26=0.(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么关系?(2)写出平移后圆的摆线方程. (3)求摆线和x 轴的交点.思路分析：首先根据条件可知,圆的半径是6,平移后圆心为O(0,0),根据圆心O 到直线的距离可以判断出直线和圆的位置关系.再由圆的半径写出圆的摆线方程.求摆线和x 轴的交点只需令y=0,求出对应的参数φ,再代入求出x 的值.解：(1)圆C 平移后圆心为O(0,0),它到直线x-y-26=0的距离为d=226=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6,所以可得摆线方程是⎩⎨⎧-=-=ϕϕϕcos 66,sin 66y x (φ为参数).(3)令y=0得6-6cosφ=0⇒cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z ). 代入x 得x=2kπ(k∈Z ),即圆的摆线和x 轴的交点为(2kπ,0)(k∈Z ). 综合·应用8如图2-4-5,ABCD 是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其中弧AE 、EF 、FG 、GH 、…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环,它们依次相连结,则曲线AEFGH 的长是( )图2-4-5A.3πB.4πC.5πD.6π 思路解析：如题图,根据渐开线的定义可知,是半径为1的41圆周长,长度为2π,继续旋转可得是半径为2的41圆周长,长度为π；是半径为3的41圆周长,长度为23π;是半径为4的41圆周长,长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案：C9我们知道关于直线y=x 对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数)关于直线y=x 对称的曲线的参数方程为___________.思路解析：关于直线y=x 对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换.所以,要写出摆线方程关于直线y=x 的对称曲线方程,把其中的x 与y 互换,即是交换x 与y 对应的参数表达式. 答案：⎩⎨⎧-=-=)sin (),cos 1(ϕϕϕr y r x (φ为参数)10我们都使用过蚊香,蚊香是由一圈螺旋线组成的.为了兼顾美观和燃烧的效果,通常在设计时,有以下几种方案:方案一:等速螺线,如图2-4-6中图(1).图中画出了关于点O 对称的两支蚊香是沿这两支曲线剪开的平面部分(以下同).图2-4-6方案二:圆的渐开线,如图2-4-6(2).图中曲线是圆弧,曲线是圆的渐开线(以下同).受方案二的启示,可得.方案三:正方形的渐开线,如图2-4-6(3).请根据图(2)和图(3)写出图(2)和图(3)对应曲线的方程. 思路分析：本探究目的在于探讨数学的美在实际问题中的体现.要写出相应曲线的方程,可以根据曲线满足的条件,可以使用参数方程,普通方程或者极坐标方程写出,关键在于对知识的灵活掌握和应用.首先要明白渐开线的含义,可以根据课本中圆的渐开线的定义和求解的方法进行类比.建立适当的坐标系,根据条件写出坐标满足的关系式. 解：在方案二中,建立如题图中图(2)所示的直角坐标系,圆弧的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ϕϕcos sin ,sin cos l y l x (取基圆的半径r=1,22π-≤φ＜1). 曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin ,sin cos y x (φ为参数,且φ≥1).在方案三中,曲线是由圆弧与圆弧内连结的,建立如题图中图(3)所示的直角坐标系,设OA=OC=1,则曲线的各段由下列方程构成(式中n∈N ,以下同):(x-21)2+(y-21)2=21(0≤x<1,221-≤y<0);x 2+(y-1)2=2(4n-3)2,〔4n －3≤x＜2(4n-3),-4n+4≤y＜4n-2〕;(x+1)2+y 2=2(4n-2)2〔-4n+1≤x＜4n-3,4n-2≤y＜2(4n-2)〕;x 2+(y+1)2=2(4n-1)2〔-2(4n-1)≤x＜-4n+1,-4n≤y＜4n-2〕;(x-1)2+y 2=2(4n)2〔-4n+1≤x ＜4n+1,-42n≤y＜-4n 〕.11已知一个参数方程是⎩⎨⎧+=+=,sin 2,cos 2ααt y t x 如果把t 当成参数,它表示的图形是直线l(设斜率存在);如果把α当成参数(t>0)时表示半径为t 的圆.(1)请写出直线和圆的普通方程;(2)如果把圆平移到圆心在原点,求出圆对应的摆线的参数方程; (3)求该摆线和直线y=t 的交点(t>0). 思路分析：要求出直线和圆对应的普通方程只需把参数方程看作一个方程组联立消去其中的参数即可.把圆平移到圆心在原点只需变化圆心,把圆心平移到原点,把半径代入摆线的参数方程即得摆线方程.求摆线和直线y=t 的交点只需把y=t 代入参数方程,求出参数φ,代入参数方程,再求出x 即可. 解：(1)如果把t 看成参数,可得直线的普通方程为y-2=tanα(x -2),即y=xtanα-2tanα+2.如果把α看成参数且t>0时,它表示半径为t 的圆,其普通方程为(x-2)2+(y-2)2=t 2. (2)由于圆的半径为t,所以对应的摆线参数方程为⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕt y t x (φ为参数). (3)令y=t 得t,(1-cosφ)=t,得cosφ=0,则φ=2kπ+2π,代入x 的参数方程得x=t(2kπ+2π-1)(k∈Z ), 即摆线和直线y=t 的交点坐标为(t(2kπ+2π-1),t)(k∈Z ). 12某地工人为了用起重机吊起两条半径分别为10 cm 和30 cm 的钢管,需要先用钢丝绳把这两条钢管捆绑扎紧.问扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要多长?(打结部分不计,结果化简后可用π和根式表示)思路分析：本题综合应用圆与圆的有关知识.求公切线的长、弧长等知识.实际上,要想把钢管全部扎紧就是要求出钢管对应的圆的渐开线的长度.解：设大、小管的轮廓线分别为⊙O 1和⊙O 2,如图所示.依题意,两圆外切,设切点为P.两圆的外公切线与⊙O 1和⊙O 2分别切于A,B,E,F.连结O 1A,O 2B,作O 2C⊥O 1A 于点C,则O 1C=O 1A-CA=O 1A-O 2B=20,O 1O 2=30+10=40. 在Rt△O 1O 2C 中,O 2C=32020402221221=-=-C O O O∴AB=320. 又214020211==O O C O , ∴∠AO 1O 2=60°,∠AO 1E=120°. ∴的长=18030240••π=40π.的长=32018010120ππ=••. ∴钢丝的长=2AB+的长+的长=2×320＋40π+320π=340+3140π. ∴扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要340+3140π（cm ）.。
高中数学 渐开线与摆线学案 新人教A版选修44
【自主学习】任务1：阅读教材P40—42，理解下列问题：1. 渐开线把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线.这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？我们先分析动点(笔尖)所满足的几何条件.如图，设开始时绳子外端(笔尖)位于点A ，当外端展开到点M 时，因为绳子对圆心角ϕ(单位是弧度)的一段弧AB ，展开后成为切线BM ，所以切线BM 的长就是AB 的长，这是动点(笔尖)满足的几何条件.我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆.根据动点满足的几何条件: 我们以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系(图).设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ,y ).显然，点M 由角ϕ惟一确定.:圆的渐开线的参数方程)()cos (sin )sin (cos 是参数ϕϕϕϕϕϕϕ⎩⎨⎧-=+=r y r x 任务2：完成下列问题：摆线如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么当自行车在笔直的道路上行驶时，白色印记会画出什么样的曲线？上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？如图，假设B 为圆心，圆周上的定点为M ，开始时位于O 处.圆在直线上滚动时，点M 绕圆心作圆周运动，转过ϕ(弧度)角后，圆与直线相切于A ，线段OA 的长等于MA 的长，即OA =r ϕ.这就是圆周长上的定点M 在圆B 沿直线滚动过程中满足的几何条件.我们把点M 的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线.ABBM =摆线的参数方程是因此,)()cos 1()sin (是参数ϕϕϕϕ⎩⎨⎧-=-=r y r x【合作探究】在摆线的参数方程中，参数ϕ的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是多少？【目标检测】 求摆线)20()cos 1(2)sin (2π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y t t x 与直线 y =2的交点的直角坐标.【学习反思】：本节课我学到了什么？我的学习效率如何？还有哪些没学懂。
2020-2021学年高中数学人教A版选修4-4习题：2.4渐开线与摆线
四 渐开线与摆线课后篇巩固探究A 组1.下列说法正确的是( )①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有( )A.②③B.②C.③D.①③2.下列各点中,在圆的摆线{x =φ-sinφ,y =1-cosφ(φ为参数)上的是( )A .(π,0)B .(π,1)C .(2π,2)D .(2π,0).3.当φ=2π时,圆的渐开线{x =6(cosφ+φsinφ),y =6(sinφ-φcosφ)(φ为参数)上对应的点是( )A.(6,0)B.(6,6π)C.(6,-12π)D.(-π,12π)φ=2π时,将其代入圆的渐开线的参数方程,得{x =6(cos2π+2π·sin2π)=6,y =6(sin2π-2π·cos2π)=-12π,即所求的坐标为(6,-12π).4.当φ=3π2时,圆的摆线{x =4φ-4sinφ,y =4-4cosφ(φ为参数)上对应的点的坐标是 .π+4,4)5.如果半径为3的圆的摆线上某点对应的参数φ=π3,那么该点的坐标为 .r=3,所以圆的摆线的参数方程为{x =3φ-3sinφ,y =3-3cosφ(φ为参数).把φ=π3代入得x=π-3√32,y=3-32=32.故该点的坐标为(π-3√32,32).-3√32,32) 6.已知一个圆的摆线方程是{x =4φ-4sinφ,y =4-4cosφ(φ为参数),求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.4,所以面积是16π,该圆对应的渐开线的参数方程是{x =4cosφ+4φsinφ,y =4sinφ-4φcosφ(φ为参数).7.已知圆C 的参数方程是{x =1+6cosα,y =-2+6sinα(α为参数),直线l 的普通方程是x-y-6√2=0.(1)如果把圆心平移到原点O ,请问平移后圆和直线有什么位置关系? (2)写出平移后的圆的渐开线的参数方程.圆C 平移后的圆心为O (0,0),它到直线x-y-6√2=0的距离为d=√2√2=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的. (2)由于圆的半径是6,所以可得平移后圆的渐开线的参数方程是{x =6cosφ+6φsinφ,y =6sinφ-6φcosφ(φ为参数).8.导学号73574057当φ=3π2,π时,求出渐开线{x =cosφ+φsinφ,y =sinφ-φcosφ(φ为参数)上的对应点A ,B ,并求出A ,B 两点间的距离.φ=3π2代入{x =cosφ+φsinφ,y =sinφ-φcosφ, 得{x =cos3π2+3π2sin 3π2=-3π2,y =sin 3π2-3π2cos 3π2=-1,所以A (-3π2,-1).将φ=π代入{x =cosφ+φsinφ,y =sinφ-φcosφ,得{x =cosπ+πsinπ=-1,y =sinπ-πcosπ=π,所以B (-1,π).故A ,B 两点间的距离为|AB|=√(3π2-1)2+(1+π)2=√134π2-π+2.9.已知圆的半径为r ,圆沿x 轴正向滚动,开始时圆与x 轴相切于原点O ,圆上点M 从起始处(点O 处)沿顺时针已偏转φ角.试求点M 的轨迹的参数方程.x M =r ·φ-r ·cos (φ-π2)=r (φ-sin φ),y M =r+r ·sin (φ-π2)=r (1-cos φ).故点M 的轨迹的参数方程为{x =r (φ-sinφ),y =r (1-cosφ)(φ为参数).B 组1.我们知道图象关于直线y=x 对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线{x =r (φ-sinφ),y =r (1-cosφ)(φ为参数)关于直线y=x 对称的曲线的参数方程为( ) A.{x =r (φ-sinφ),y =r (1-cosφ)(φ为参数) B.{x =r (1-cosφ),y =r (φ-sinφ)(φ为参数) C.{x =rsinφ,y =r (1-cosφ)(φ为参数) D.{x =r (1-cos φ),y =rsinφ(φ为参数)y=x 对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换.所以要写出摆线关于直线y=x 对称的曲线方程,只需把其中的x 与y 互换.2.已知一个圆的参数方程为{x =3cosθ,y =3sinθ(θ为参数),则圆的摆线的参数方程中与φ=π2对应的点A 与点B (3π2,2)之间的距离为( ) A.π2-1 B.√2C.√10D.√3π2-1,圆的半径为3,则它的摆线的参数方程为{x =3(φ-sinφ),y =3(1-cosφ)(φ为参数),把φ=π2代入参数方程中可得{x =3(π2-1),y =3,即A (3π2-3,3),所以|AB|=√(3π2-3-3π2)2+(3-2)2=√10.3.导学号73574058如图,ABCD 是边长为1的正方形,曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”,其中AE⏜,EF ⏜,FG ⏜,GH ⏜,…的圆心依次按B ,C ,D ,A 循环,则曲线段AEFGH 的长是( )A.3πB.4πC.5πD.6π,AE⏜是半径为1的14圆周长,长度为π2;EF ⏜是半径为2的14圆周长,长度为π;FG ⏜是半径为3的4圆周长,长度为3π2;GH ⏜是半径为4的14圆周长,长度为2π.所以曲线段AEFGH 的长是5π.4.已知渐开线{x =7(cosφ+φsinφ),y =7(sinφ-φcosφ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点,若把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),则得到的曲线的焦点坐标为 .r=7,其方程为x 2+y 2=49,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线方程为(12x)2+y 2=49,整理可得x 2196+y 249=1,这是一个焦点在x 轴上的椭圆.c=√a 2-b 2=√196-49=√147=7√3.故焦点坐标为(7√3,0)和(-7√3,0).√3,0)和(-7√3,0) 5.导学号73574059已知一个圆的摆线经过定点(2,0),请写出该圆半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应圆的渐开线的参数方程.y=0,可得r (1-cos φ)=0,由于r>0,即得cos φ=1,所以φ=2k π(k ∈Z ).将其代入x=r (φ-sin φ),得x=r (2k π-sin2k π)(k ∈Z ).又因为x=2,所以r (2k π-sin2k π)=2,即得r=1kπ(k ∈Z ).又由实际可知r>0,所以r=1kπ(k ∈N *).易知,当k=1时,r 取最大值1π.故所求圆的摆线的参数方程为{x =1π(φ-sinφ),y =1π(1-cosφ)(φ为参数);所求圆的渐开线的参数方程为{x =1π(cosφ+φsinφ),y =1π(sinφ-φcosφ)(φ为参数). 6.设圆的半径为4,圆沿x 轴正向滚动,开始时圆与x 轴相切于原点O ,记圆上动点为M ,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时点M 的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上纵坐标y 的最大值.M 的轨迹是摆线,其参数方程为{x =4(φ-sinφ),y =4(1-cosφ)(φ为参数,且0≤φ≤2π).其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π),如图所示.易知,当x=4π时,y 有最大值8,故该曲线上纵坐标y 的最大值为8.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
最新整理高中数学人教A版选修4-4自我小测：第二讲四 渐开线与摆线 Word版含解析.doc
自我小测1．下列各点中，在圆的平摆线sin ,1cos x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)上的是( ) A ．(π，0) B ．(π，1)C ．(2π，2)D ．(2π，0)2．已知一个圆的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，那么圆的摆线的参数方程中与φ＝π2对应的点A 与点B 3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭之间的距离为( ) A ．π2－1 B ． 2 C ．10 D ．3π2－1 3．如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH ，…的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线段AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π4．当φ＝π2时，圆的平摆线44sin ,44cos x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)上对应的点的坐标是__________． 5．若圆的渐开线方程是5(co s s i n ),5(s i n co s )x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)，则该圆的面积是__________．6．已知渐开线6(cos sin ),6(sin cos )x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)的基圆的圆心在原点，若把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，则得到的曲线的焦点坐标为________．7．已知圆的渐开线的参数方程是cos sin ,sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________． 8．已知圆C 的参数方程是16cos ,26sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么位置关系？(2)写出平移后圆的渐开线方程．9．已知平摆线的基圆的直径为80 mm ，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．参考答案1．答案：D2．解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为3(sin ),3(1cos )x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得π31,23,x y ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩即3π3,32A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以223π3π3(32)1022AB ⎛⎫=--+-= ⎪⎝⎭. 答案：C3．解析：根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2；EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线段AEFGH 的长是5π.答案：C4． 答案：(2π－4,4)5．答案：25π6． 解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为212x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．答案：(63，0)和(－63，0)7． 解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8， 由此可得对应的点的坐标为22π22π,2828⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭.答案：2 22π22π,2828⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭ 8． 解：(1)圆C 平移后的圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得平移后圆的渐开线方程是6cos 6sin ,6sin 6cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)．9．解：因为平摆线的基圆的半径r ＝40 mm ，所以此平摆线的参数方程为40(sin ),40(1cos )x t t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，它一拱的拱宽为2πr ＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r ＝2×40＝80(mm)．。
人教版数学高二选修4-4课后练_2.4_渐开线与摆线_课末
第二讲 2.41．半径为2的圆的渐开线的参数方程是( D )A ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(cos φ－φsin φ)，y ＝2(sin φ＋φcos φ)(φ为参数) B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ＋φcos φ)(φ为参数) C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(cos φ＋φcos φ)，y ＝2(sin φ＋φsin φ)(φ为参数) D ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数) 解析：∵r ＝2，∴半径为r 的圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)，可知选D ． 2．已知摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(φ－sin φ)，y ＝2(1－cos φ)(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度和高度分别是( D ) A ．2π，2B ．2π，4C ．4π，2D ．4π，4解析：由摆线的参数方程可知，产生摆线的圆的半径r ＝2，又由摆线的产生过程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr ＝4π，摆线的拱高等于圆的直径为4，故选D ．3．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(φ－sin φ)，y ＝4(1－cos φ)(φ为参数，0≤φ<2π)与直线y ＝4的交点的直角坐标为 (2π－4,4)或(6π＋4,4)．解析：由题设得4＝4(1－cos φ)，∴cos φ＝0，∵φ∈[0,2π)，∴φ 1＝π2，φ 2＝3π2，对应的交点坐标为⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝4⎝⎛⎭⎫π2－1＝2π－4，y 1＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝4⎝⎛⎭⎫3π2＋1＝6π＋4，y 2＝4，即(2π－4,4)或(6π＋4,4)． 4．当φ＝π2，φ＝3π2时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)上对应的点A ，B ，并求出A ，B 两点间的距离．解析：将φ＝π2，φ＝3π2分别代入参数方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3π2，y ＝－1.所以A ⎝⎛⎭⎫π2，1，B ⎝⎛⎭⎫－3π2，－1. 因此|AB |＝⎝⎛⎭⎫π2＋3π22＋(1＋1)2＝2π2＋1.故A，B两点间的距离为2π2＋1.。
2019-2020人教A版数学选修4-4 课时分层作业9 渐开线与摆线
课时分层作业(九)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π[解析] 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B.[答案] B2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①③④[解析] ①错，②正确，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，故③正确，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．故④错误，故选C.[答案] C3．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)y ＝6(sin φ－φcos φ)上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)[解析] 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程．∴x ＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6， y ＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π. [答案] C4．已知一个圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10D.3π2－1[解析] 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－3，3，∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－3－3π22＋(3－2)2＝10. [答案] C5．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12k π(φ－sin φ)y ＝12k π(1－cos φ) B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1k π(φ－sin φ)y ＝1k π(1－cos φ)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k π(φ－sin φ)y ＝12k π(1＋cos φ)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k π(φ－sin φ)y ＝1k π(1＋cos φ)[解析] 圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r (φ－sin φ)y ＝r (1－cos φ)令r (1－cos φ)＝0，得：φ＝2k π，代入x ＝r (φ－sin φ) 得：x ＝r (2k π－sin 2k π)，又过(1,0)．∴r (2k π－sin 2k π)＝1，∴r ＝12k π. 又r ＞0，∴k ∈N ＋. [答案] A 二、填空题6．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐标为________．[解析] 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)． 当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2)．[答案] (π，2)7．已知平摆线的方程为⎩⎨⎧x ＝α－sin α，y ＝1－cos α(α为参数)，则该平摆线的拱高是________，周期是________．[解析] 由已知方程可化为 ⎩⎨⎧x ＝1·(α－sin α)，y ＝1·(1－cos α)，知基圆半径为r ＝1， ∴拱高为2r ＝2，周期为2π. [答案] 2 2π8．渐开线⎩⎨⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．[解析] 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．[答案] (63，0)和(－63，0) 三、解答题9．已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么位置关系？ (2)写出平移后圆的渐开线方程．[解] (1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的． (2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是⎩⎨⎧x ＝6cos φ＋6φsin φ，y ＝6sin φ－6φcos φ(φ为参数)．10．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm ，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．[解] 因为基圆的直径为22 mm ，所以基圆的半径为11 mm ，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝11(cos φ＋φsin φ)，y ＝11(sin φ－φcos φ)(φ为参数)． [能力提升练]1．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π[解析] 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π，所以曲线AEFGH 的长是5π.[答案] C2．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎨⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________． [解析] 关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．[答案] ⎩⎨⎧x ＝r (1－cos φ)，y ＝r (φ－sin φ)(φ为参数)3．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．[解析] 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. [答案] 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8 4．如图，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝r 2或|AQ |＝3r2，请推出Q 的轨迹的参数方程．[解] 设Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，若A (rθ，r )， 则⎩⎨⎧x 0＝r (θ－sin θ)，y 0＝r (1－cos θ).当|AQ |＝r 2时， 有⎩⎨⎧ x 0＝2x －rθ，y 0＝2y －r ，代入⎩⎨⎧x 0＝r (θ－sin θ)，y 0＝r (1－cos θ)， ∴点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－12sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12cos θ(θ为参数)．当AQ ＝3r2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝rθ＋2x3，y 0＝r ＋2y3，代入⎩⎨⎧x 0＝r (θ－sin θ)，y 0＝r (1－cos θ)，∴点Q 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－32sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32cos θ(θ为参数)．。
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2019-2020学年高中数学 2.4渐开线与摆线练习 新人教A 版选修4-4►预习梳理1．以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为：________________________________________________________________________(其中r 为基圆的半径)．2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为：______________________________________________________． ►预习思考半径为8的圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos φ＋8φsin φ，y ＝8sin φ－8φcos φ(φ为参数)，摆线参数方程为______________．,预习梳理 1.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ为参数)2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数) 预习思考⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8φ－8sin φ，y ＝8－8cos φ(φ为参数)一层练习1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同1．C2．半径为1的圆的渐开线的参数方程为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ－sin θ，y ＝1－cos θ(θ为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－sin θ，y ＝θ－cos θ(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－θsin θ，y ＝sin θ＋θcos θ 2.C3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④ 3.C4．基圆半径为2的渐开线的参数方程是__________．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数) 二层练习5．如下图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫作“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH ，…的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π 5．C6．已知摆线的生成圆的直径为80 mm ，则摆线的参数方程为____________________________________，其一拱的宽为________，拱高为________．6.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40（φ－sin φ），y ＝40（1－cos φ）(φ为参数) 80π mm 80 mm7．已知参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，则该圆的渐开线参数方程为__________________________，摆线参数方程为____________________________．7.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（φ－sin φ），y ＝2（1－cos φ）(φ为参数) 8．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________________．8．(63，0)和(－63，0)9．当φ＝π2，π时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)上的对应点A ，B ，并求出A ，B 间的距离．9．解析：将φ＝π2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ.得x ＝cos π2＋π2sin π2＝1，y ＝sin π2－π2cos π2＝1.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.将φ＝π代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π.∴B (－1，π)． 故A ，B 间的距离为|AB |＝（1－π）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12＝45π2－π＋2. 三层练习10．已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A ，B 对应的参数分别为π3和π2，求点A 、B 的直角坐标． 10．解析：根据题设条件可知圆的半径为1，所以对应的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)． 将φ＝π3代入得x ＝cos π3＋π3sin π3＝12＋36π， y ＝sin π3－π3cos π3＝32－π6. ∴A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6.当φ＝π2时，同理可求得B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.11．求摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（φ－sin φ），y ＝2（1－cos φ）(φ为参数且0≤φ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标．11．解析：当y ＝2时，有2(1－cos φ)＝2，∴cos φ＝0.又0≤φ≤2π， ∴φ＝π2或φ＝3π2.当φ＝π2时，x ＝π－2；当φ＝3π2时，x ＝3π＋2.∴摆线与直线y ＝2的交点为(π－2，2)，(3π＋2，2)．12．设圆的半径为4，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值．12．解析：依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（φ－sin φ），y ＝4（1－cos φ）(φ为参数)．且0≤φ≤2π.其曲线是摆线的第一拱(0≤φ≤2π)，如下图所示：易知，当x ＝4π时，y 有最大值8.13．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．13．分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4，易得圆的面积，再代入渐开线的参数方程的标准形式，即可得圆的渐开线的参数方程．解析：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．14．已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．14．分析：根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)，只需把点(2，0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．解析：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π. 又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N *)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π（φ－sin φ），y ＝1π（1－cos φ）(φ为参数)；圆的渐开线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π（cos φ＋φsin φ），y ＝1π（sin φ－φcos φ）(φ为参数)．1．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．2．渐开线上任一点M 的坐标由圆心角φ(以弧度为单位)唯一确定，而在圆的摆线中，圆周上定点M 的位置也可以由圆心角φ唯一确定．3．圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，既繁琐又没有实际意义． 4．有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程等问题，可进行如下思路解题：代入摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)，可求出φ，进一步求的r ，这样就可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程．【习题2.4】1．解析：因为基圆的直径是225 mm ，所以基圆的半径是112.5 mm ，齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝112.5（cos φ＋φsin φ），y ＝112.5（sin φ－φcos φ）(φ是参数)．2．解析：将φ＝π2，3π2分别代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得到A ，B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－1，由两点间的距离公式得|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋3π22＋（1＋1）2＝2π2＋1.3．解析：设轮子的圆心为B ，以BM 的延长线与直线轨道垂直时的一个垂足O 为原点，直线轨道为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．设圆滚动使点M 绕圆心B 转过φ角后点M 的坐标为(x ，y )，则x ＝OD ＝OA －DA ＝OA －MC ＝a φ－b sin φ，y ＝DM ＝AC ＝AB －CB ＝a －b cos φ，所以点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a φ－b sin φ，y ＝a －b cos φ(φ是参数)．4．解析：建立如下图所示的直角坐标系，设点M 的坐标为(x ，y )，此时∠BOA ＝φ.因为OB ＝4CB ，所以∠BCM ＝4φ，∠MCD ＝π2－3φ.由于x ＝OF ＝OE ＋EF ＝3r cos φ＋r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2。