2.1.4 两条直线的交点
2020-2021学年数学2课时分层作业2.1.4 两条直线的交点含解析
2020-2021学年北师大版数学必修2课时分层作业：2.1.4 两条直线的交点含解析课时分层作业（十七）两条直线的交点(建议用时：40分钟)一、选择题1．A＝{（x，y）｜x＋y－4＝0},B＝｛(x，y）｜2x－y－5＝0｝,则集合A∩B等于()A．{1,3｝B．{（1,3)｝C．{(3，1)}D．∅C［由｛x＋y－4＝0，2x－y－5＝0得错误!故A∩B＝{(3,1)}．] 2．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是()A．平行B．重合C．相交D．不确定C[∵k1＝错误!，k2＝－错误!，∴k1≠k2，∴两直线相交．］3．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线（)A．恒过定点（－2,3)B．恒过定点（2，3）C．恒过点（－2，3）和点（2,3)D．都是平行直线A[(a－1)x－y＋2a＋1＝0化为ax－x－y＋2a＋1＝0，因此－x－y＋1＋a(x＋2）＝0.由错误!得错误!故选A。
］4．直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直,则这两条直线的交点坐标为（)A．（1，－4）B．(0，－2)C．（－1,0) D。
错误!C［由两条直线互相垂直得，（－2)·错误!＝－1，a＝－2，解方程组错误!得错误!所以两直线的交点为(－1，0)．]5．若两条直线2x－my＋4＝0和2mx＋3y－6＝0的交点位于第二象限，则m的取值范围是(）A。
错误!B．(0,2）C.错误!D。
错误!A[联立错误!得错误!所以错误!所以－错误!<m<2。
］二、填空题6．已知l1过P1(0，－1）,P2（2，0)，l2:x＋y－1＝0,则l1与l2的交点坐标为________．错误
2.1.4 两条直线的交点1．掌握两直线交点的求法；2．理解二元一次方程组的解与两条直线的位置之间的关系．教材分析及教材内容的定位：本节内容研究相交情形下两直线交点的求解，以及用方程组的解，判定两条直线的位置关系，充分体现数形结合思想，内容比较基础，但所体现的思想比较重要．教学重点：判定两条直线是否相交，求交点坐标．教学难点：两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系．教学过程：一、问题情境1．复习回顾：如何判定两条直线的平行或垂直？2．情境问题：直线x＋y－2＝0与直线x－y＝0的位置关系是什么？——垂直——垂足的坐标能否求出？如何求？二、学生活动1．思考并回答：（1）已知一条直线的方程如何判断一个点是否在直线上？（2）已知l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0，在同一坐标系中画出两直线，并判断下列各点分别在哪条直线上？A(1，－ 4)，B(2，1)，C(5，－1)（3）由题(2)可以看出点B与直线l1，l2有什么关系？（4）请试着总结求两条直线交点的一般方法.2．总结归纳：求两条直线的交点就是求解联立的方程组；3．讨论总结：两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系（若有一组，则两条直线相交；若无解，则两条直线平行；若有无数多组，则两条直线重合）．也可以直接通过两条直线的斜率来判断位置关系：若斜率不等，则两条直线相交，若斜率相等，且直线不重合，则两条直线平行讨论如何判断两条直线的关系；三、建构数学1．两条直线的交点坐标即为两条直线的方程所联立的方程组的解；2．指导讨论总结两条直线的位置与二元一次方程组的解的关系；3．归纳总结解题过程中的运用的思想方法（数形结合）．四、数学运用1．例题．例1 分别在同一坐标系中画出每一方程组中的两条直线，判断它们的位置关系．如相交，求出它们的交点：（1）l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0；（2）l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0；（3）l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3例2 已知三条直线l1：3x－y＋2＝0，l2：2x＋y＋3＝0，l3：mx＋y＝0不能构成三角形，求实数m的取值范围．例3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程．例4．某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足下列关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20．当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量．（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？2．练习．（1）经过两直线3x＋y－5＝0与2x－3y＋4＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_____________（2）已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m为何值时，两条直线:(1)相交；(2)平行；(3)重合．（3）求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．（4）在例4中，若每件商品需纳税3元，求新的平衡价格．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．两直线交点的求法；2．二元一次方程组的解与两条直线的位置之间的关系；3．交点系方程的应用；4．数形结合思想的应用．。
两条直线的交点坐标与距离公式
返回目录
【评析】 这类题一般有三种情况：被两已知平行直 线截得的线段的定长为a的直线，当a小于两平行线间距 离时无解.当a=d时有唯一解 ； 当a＞d时有且只有两解. 本题解法一采用通法通解.解法二采用设而不求，先设交 点坐标，利用整体思想求解.
返回目录
＊对应演练＊
求过点P（-1，2）且与点A（2，3）和B（-4，5）距离 相等的直线l的方程. 解法一:设直线l的方程为y-2=k(x+1),
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离
|P1P2|=
(x 2 - x1 )2 + (y 2 - y 1 )2 .
2.点到直线的距离 平面上一点P(x1,y1)到一条直线l:Ax+By+C=0的距离 | Ax + By + C |
0 0
d=
A2 + B2
. 返回目录
3.两平行线的距离 若l1,l2是平行线，求l1,l2距离的方法：
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-3）+1，
分别与直线l1，l2的方程联立, 由 由
{ {
y=k(x-3)+1 x+y+1=0, y=k(x-3)+1
解得
3k - 2 1 - 4k , A( ). k +1 k +1 3k - 7 1 - 9k , B( ) k +1 k +1
解得
【分析】转化为点关于直线的对称,利用方程组求解.
返回目录
【解析】解法一:由
{
y=2x+3 y=x+1
得直线l1与l2的交点坐标为
(-2,-1),在l1上任取一点A(0,3),则A关于直线l的对称点 B(x1,y1)一定在l2上,由 即B(2,1).
两条直线三条直线四条直线相交交点个数规律
两条直线三条直线四条直线相交交点个数规律1. 引言1.1 概述本文将探讨关于两条直线、三条直线和四条直线相交时的交点个数规律。
在几何学中，我们经常会遇到不同数量直线相交的情况，了解并掌握它们之间的规律对于解决各种几何问题具有重要意义。
通过研究这些规律，我们能够更好地理解和运用几何学知识，并且在实际问题中应用它们。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、两条直线相交的情况、三条直线相交的情况、四条直线相交的情况以及结论与总结。
在每个部分中，我们将详细阐述不同数量直线相交时的特点和规律，并通过实例分析来帮助读者更好地理解和应用这些概念。
1.3 目的本文旨在介绍不同数量直线相交时所形成的交点个数规律，并通过实例分析展示其应用价值。
通过深入研究这些规律，读者将能够从多个角度思考并解决涉及多条直线相交问题时可能遇到的挑战，并且为进一步研究和应用几何学提供启示。
以上是文章“1. 引言”部分的详细内容。
2. 两条直线相交的情况2.1 两条直线相交的示意图在平面上，两条直线可以有三种不同的相交关系：互相垂直、互相平行或者互相交叉。
首先，我们来分析两条直线互相垂直的情况。
当两条直线垂直时，它们的斜率乘积为-1。
假设其中一条直线的斜率为k1，那么另一条直线的斜率为-1/k1。
由于两个不等式之间只有一个解，所以这种情况下，两条直线只有一个交点。
其次，让我们考虑两条直线平行的情况。
当两条直线平行时，它们具有相同的斜率但截距不同。
由于平行直线没有交点，所以在这种情况下交点个数为零。
最后，让我们研究两条非垂直且非平行的直线相交的情况。
假设其中一条直线的方程为y = k1x + b1，另一条直线的方程为y = k2x + b2。
我们可以通过求解这两个方程组来确定它们是否有公共解（即交点）。
通过将这两个方程中x和y 变量进行等式化，并整理得到一个一元二次方程。
这个一元二次方程的解的个数将决定两条直线相交的交点个数。
2.2 两条直线相交的交点个数规律根据二次方程解的定理，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（其中a、b和c是实数）有以下三种情况：- 当判别式D=b^2-4ac大于零时，方程有两个不同实数解，即直线相交于两个点。
两直线交点坐标怎么求
两直线交点坐标怎么求引言在几何学中，直线是一种基本的图形元素，往往与其他直线或者曲线相交。
当两条直线相交时，我们往往希望能够求得它们的交点坐标，因为交点的坐标可以帮助我们解决很多与直线相关的问题。
本文将介绍两种常见的方法来求解两直线的交点坐标。
方法一：解方程法步骤1.确定两条直线的方程：通过确定直线上的两个点或者直线的斜率和截距，我们可以得到两条直线的方程。
2.将两条直线的方程联立：将两条直线的方程联立，构成一个方程组。
3.解方程组：通过解方程组，求解出交点的坐标。
示例假设有直线L1和直线L2，它们的方程分别为：L1: 2x + 3y = 8 L2: -4x + y = 5将这两条直线的方程联立，得到方程组：2x + 3y = 8 -4x + y = 5我们可以通过消元或代入等方法解方程组，求解出交点的坐标。
结果通过解方程组，我们可以求解出交点的坐标为(1,2)。
方法二：向量叉积法步骤1.确定两条直线上的两个点：分别从每条直线上选取两个点，记为A、B和C、D。
2.计算向量：根据选取的点，计算向量AB和向量CD。
3.计算向量叉积：计算向量AB和向量CD的叉积，得到向量E。
4.计算交点坐标：利用向量叉积的性质，可以得到交点的坐标。
示例假设有直线L1和直线L2，它们通过如下两个点确定：L1: A(1,2) B(3,4) L2: C(5,6) D(7,8)通过计算向量AB和向量CD的叉积，得到向量E的数值为(-4,4)。
根据向量叉积的性质，我们可以得到交点的坐标为(1,2)。
结果通过计算向量叉积，我们可以求解出交点的坐标为(1,2)。
总结本文介绍了两种常见的方法来求解两直线的交点坐标：解方程法和向量叉积法。
解方程法通过联立方程组，通过求解方程组的方法来求得交点的坐标。
向量叉积法则是通过计算向量的叉积，并利用叉积的性质来求得交点的坐标。
两种方法都可以有效地求解两直线的交点，选择哪种方法取决于问题的具体情况。
两条直线的交点
注意上面得到的等式 ( A1B2 － A2B1 ) x + B2C1 － B1C2 = 0 (2) 当 A1B2 －A2B1 = 0， B1C2 －B2C1 ≠ 0时，
方程组无解，直线 l1 和 l2 没有交点，也就是说，直线 l1∥l2 .
(3) 当 A1B2－A2B1= 0 , B1C2－B2C1= 0 时，方 程有无数组解，这两条直线重合.
•
• •
（三）小结：
设两条直线的方程为 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 .
A1 B1 (1) 当 A1 B2 A2 B1 0 ， 即 ( x , y系 A2 B2 数不 成比例） ， 也就是 k1 k 2时， 两条直线相交.
3. 两条直线的交点
•
（一）两条直线的交点与方程组的解的关系
设两条直线的方程为 l1: A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2: A2 x + B2 y + C2 = 0 . 如果这两条直线相交，交点的坐标一定是这 两个方程的唯一的公共解；反过来，如果这两个 二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为 坐标的点一定是这两条直线的交点.
方程组无解 方程组有无数组解
（二）对方程组解的讨论
我们解方程组 A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0 (1) (2)
• • •
解：(1)×B2 得 A1B2 x + B1B2 y + B2C1 = 0， (2)×B1 得 A2B1 x + B1B2 y + B1C2 = 0 (3)－(4) 得 ( A1B2 － A2B1 ) x + B2C1 － B1C2 = 0．
两条直线相交的充要条件
两条直线相交的充要条件1. 引言大家好，今天咱们聊聊数学中的一个小话题——两条直线相交的充要条件。
别急，听起来好像很复杂，其实就像喝茶一样，慢慢品味就能发现其中的乐趣。
直线就像是生活中的朋友，时不时需要相聚一下，而相交的条件就好比是两人聚会的原因，懂了吗？所以，咱们从头开始，慢慢聊。
2. 直线的基本知识2.1 什么是直线？首先，咱们得知道，直线是什么。
想象一下，直线就像你从家到超市的路，笔直得不行，根本不绕弯儿。
它在平面上延伸，永不停歇，像是永远不会累的跑者。
数学上，直线用一个方程来表示，比如说 (y = mx + b)，其中 (m) 是斜率，(b) 是截距。
听起来是不是有点专业？别担心，咱们不深挖这些，让我们专注于它们是如何相交的。
2.2 直线的相交说到直线相交，首先得明确一个小知识点：两条直线如果相交，咱们就能画出一个交点，嘿，就是那种感觉“有缘千里来相会”的浪漫。
相交的直线可以是同一条线——这就是所谓的重合，也可以是两条不同的直线。
好吧，这里不废话，重点是它们能否相交，得看它们的斜率。
3. 充要条件的理解3.1 斜率的作用现在，咱们来聊聊斜率。
简单来说，斜率就是直线的倾斜程度。
就像你爬山，越陡的地方越累。
两条直线如果有相同的斜率，但不同的截距，那它们就像是两条永远不交的平行线。
就像两个同学，一个在A班，一个在B班，虽然都是好朋友，却永远不在同一个课堂上。
这种情况咱们就说它们“不相交”。
所以，斜率可是个大关键，懂了吗？3.2 直线相交的条件那么，直线相交的条件是什么呢？简单来说，就是两条直线的斜率必须不同。
你可以想象成，两条直线就像两个人在一场舞会上，想要共舞，就得找到一个契合的节拍。
如果它们的节拍相同，嘿，那就不容易相遇了。
但如果不同，嘿嘿，那可就热闹了。
这就是充要条件，直线相交的必要条件也是充分条件，简单粗暴明了！。
4. 总结好了，咱们总结一下。
直线相交其实并不复杂，关键就是看它们的斜率。
高一数学必修二2.1-4两条直线的焦点
高一数学必修二2.1.4 两条直线的交点学习目标1. 会求两直线的交点；2. 理解两条直线的三种位置关系与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.学习过程一 学生活动问题： 两条直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：是否有交点？若有交点如何来求解？ 二 建构知识设两条直线的方程分别是0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：：方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A一组 无数组 无解 直线211,l 的公共点个数 直线211,l 的位置关系三 知识运用 例题直线l 经过原点，且经过另两条直线010832=--=++y x y x ，的交点，求直线l 的方程．（1）已知直线l 经过两条直线020332=++=--y x y x ，的交点，且与直线013=-+y x 平行，求直线l 的方程．（2）已知直线l 经过两条直线024301022=-+ =+-y x y x ，的交点，且垂直于直线0423=+-y x ，求直线l 的方程．例1 例2例3 某商品的市场需求量1y （万件），市场供应量2y （万件）与市场价格x （元/件）分别近似地满足下列关系：701+-=x y ，2022-=x y ．当21y y =时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？巩固练习1．与直线032=--y x 相交的直线的方程是（ ） A ．0624=--y x B ．x y 2= C ．52+=x y D ．32+-=x y 2．若三条直线010832=--=++y x y x ，和021=+++k ky x 相交于一点， 则k 的值为_______________． 3．（1）两条直线0=-y x 和02=++y x 的交点，且与直线013=-+y x 平行的直线 方程为_______________．（2）过直线042=+-y x 与直线05=++y x 的交点，且与直线02=-y x 垂直的 直线方程是_______________．4．已知直线1l 的方程为03=++C y Ax ，直线2l 的方程为0432=+-y x ，若1l ，2l 的交点在y 轴上，则C 的值为（ ） A ．4 B ．4- C ．4± D ．与A 有关 四 回顾小结会求两直线的交点，以及两直线方程联立方程组的解的个数与直线位置关系的联系 五 学习评价 双基训练1.直线1:2312l x y +=与2:240l x y --=的交点坐标为2.如果两条直线230x y m +-=和120x my -+=的交点在y 轴上，则m 的值为3.若三条直线2380,10,0x y x y x ky ++=--=+=相交于一点，则实数k 的值等于14.若直线l 经过两条直线210,2390x y x y -+=++=的交点，且与直线3420x y +-=垂直，则直线l 的方程为5.直线420ax y +-=与直线250x y c -+=垂直并且相交于点（1，m ），则a = ，c = ，m =6.若直线21y kx k =++与直线122y x =-+的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为 .7.已知P 是直线l 上的一点，将直线l 绕P 点逆时针方向旋转角(0)2παα<<所得直线的1l 的方程为3x-y-4=0.若继续绕P 点逆时针旋转2πα-，则得直线2l 的方程为210x y ++=.求直线l 的方程.拓展延伸8.若三条直线440,10,10x y mx y x y ++=++=-+=不能围成三角形，求实数m 的值.9.(1)当λ变化时，方程21(239)0x y x y λ-++++=表示什么图形？图形有何特点？ （2）求经过直线210x y -+=和2390x y ++=的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程.2.1.4 两条直线的交点1.36477⎛⎫⎪⎝⎭，；2.6或-6；3.12-；4.4390x y -+=；5.10，-12，-2；61162k -<<；7.230x y --=;8.m=4，或m=-1，或m=1；9.（1）表示经过210x y -+=和2390x y ++=的交点（-3,-1）的直线（不包括直线2390x y ++=）；（2）30,40x y x y -=++=。
8-(教学案)2.1.4两条直线的交点
2.1.4两条直线的交点
编号
8
学习目标
1、会求两直线的交点
2、理解两条直线的三种位置关系（平行、相交、重合）与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解（无解、有唯一解、有无数个解）的对应关系
教学重点、难点
教学重点两条直线交点的求法
教学难点两条直线所对应的二元一次方程组的解的个数与它们的公点个数的关系
（1）如果直线 的方程联立方程组有唯一解，那么
（2）如果直线 的方程联立方程组有无穷多解，那么
（3）如果直线 的方程联立方程组无解，那么
典例探究
例1、分别判断下列直线是否相交，若相交，求出交点。
（1）
（2）
（3）
例2：求经过原点，且经过两条直线
交点的直线.
变：求经过两条直线 交点,且与直线 垂直的直线.
例3：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标，并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x－3y－5=0）.
变式练习：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程.
思想方法总结
教学方法
学习要点及自主学习导引
ห้องสมุดไป่ตู้学习心得
1、掌握求两条直线交点的方法.
（1）当两条直线相交时，其交点的坐标是两个方程的公共解；
（2）以两直线的方程联立方程组的解为坐标的点就是两直线的交点.
2、理解两条直线的三种位置关系（平行、相交、重合）与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解(无解、有唯一解、有无数个解)的对应关系
课堂练习
1、直线 经过两条直线 的交点，且与直线 平行，求直线 的方程。
两条直线的交点-PPT课件
2．1.4 两条直线的交点
1
课标点击
栏 目 链
接
2
1．了解直线上的点的坐标和直线方程方向的关 系． 2．掌握用代数方法求两条直线的交点坐标．
3
典例剖析 栏 目 链 接 4
两条直线的交点问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的
栏
交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方
方程组
1＋2x0－2×4＋2y0＝0， x0＝159，
xy00－－41×12＝－1，得 y0来自－85.栏 目 链 接
同理可求得点 A 关于直线 x＋y－1＝0 的对称点 A″的坐标为(－3，
0)．
13
由于点 A′159，－58，点 A″(－3，0)均在 BC 所在的直线上，
∴直线 BC 的方程为－y－85－00＝15x9＋＋33，
6
方法二 ∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，
∴可设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0.
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
栏 目
链
∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2λ－－1 3，得 λ＝121.
接
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
栏 目 链 接
即 4x＋17y＋12＝0.
∴BC 所在直线的方程为 4x＋17y＋12＝0.
14
规律总结：点关于点对称问题是最基本的对称
栏
问题，用中点坐标公式及垂直的条件求解，它
目 链
接
是解答其他对称问题的基础．
15
►变式训练 2．一条光线从点A(3，2)出发，经x轴反射，通过点B( －1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
2.1.4 两条直线的交点 课件(北师大必修2)
当方程组无解时，说明l1与l2 平行 ．
[小问题·大思维]
1．已知平面上A、B、C三点的坐标，能否用解方程
组的办法来解决三点是否共线的问题？
提示：能．联立直线AB、BC的方程，若方程组有 唯一解，则A、B、C三点不共线；若方程组有无 数个解，则A、B、C三点共线．
2．如何判断直线与直线、直线与其它图像的交点个数？ 提示：法一：列出方程组，看有几组解，有几组解就 有几个交点．当方程组易解时此法才有效． 法二：当列出的方程组不易解时，可分别画出图像，
2x＋3y－7＝0， (1)解方程组 5x－y－9＝0，
x＝2， 得 y＝1.
所以交点坐标为(2,1)，所以 l1 与 l2 相交．
2x－3y＋5＝0， (2)解方程组 4x－6y＋10＝0，
① ②
①× 得 4x－6y＋10＝0. 2 因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线， l1 与 l2 重合．
m－5都恒过一个定点．
证明：法一：取 m＝1，直线为 y＝－4； 1 再取 m＝ ， 直线为 x＝9. 2 两直线的交点为 P(9，－4)． 将点 P 的坐标代入原方程左端得 (m－1)x＋(2m－1)y＝(m－1)× 9－(2m－1)× 4＝m－5. 故不论 m 为何实数，点 P(9，－4)总在直线(m－1)x ＋(2m－1)y＝m－5 上，即此直线过定点(9，－4)．
因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组 解，所以两直线重合． 2x－6y＝0， (3)解方程组 1 1 y＝3x＋2， ②× 6－①得3＝0，矛盾， 方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行. ① ②
[研一题] [例2] 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋
初中数学知识归纳相交线与相交线的特性
初中数学知识归纳相交线与相交线的特性相交线在初中数学中是一个重要的概念，它涉及到几何图形的相交关系以及相应的特性。
在本文中，我们将对相交线以及相交线的一些重要特性进行归纳和总结。
接下来，我们将从理论和实际问题两个方面来深入探讨。
1. 相交线的定义和性质相交线是指在平面上两条线段或直线遇到时所形成的交点线段或交点直线。
相交线有以下几个重要的性质：1.1 交点存在性：两条不平行的线段或直线必定相交，即它们至少有一个交点。
1.2 交点唯一性：两条线段或直线如果相交，它们的交点是唯一的，也就是说，两个不同的线段或直线最多只能有一个公共交点。
1.3 线段交点：如果两条线段相交，且交点处于两条线段之间，那么交点所形成的线段称为线段的交点。
1.4 直线交点：如果两条直线相交，交点可以看作是两条直线的公共点。
2. 相交线的分类相交线可以根据相交形状的不同进行分类。
以下是几种常见的相交线分类：2.1 垂直交线：两条直线相交成直角时，称其为垂直交线。
垂直交线是直角的基础，产生了很多直角相关的定理和公式。
2.2 平行交线：两条直线平行时，它们没有公共交点，称这两条直线为平行交线。
平行交线也有很多相关的特性和定理。
2.3 倾斜交线：两条直线既不垂直也不平行时，它们称为倾斜交线。
倾斜交线的特性要通过其夹角以及斜率来分析。
3. 相交线的应用相交线及其特性在解决实际问题中起到了重要的作用。
以下是几个常见的应用场景：3.1 几何图形的判定：通过相交线的特性，我们可以判定两个几何图形是否相交。
这在解决几何题目和证明问题时非常有用。
3.2 角的关系：相交线所形成的角具有一些重要的关系，如相对角、内错角、同旁内角等。
通过角的关系，我们可以推导出许多重要的几何定理。
3.3 坐标系的运用：在坐标系中，相交线的特性可以通过斜率和截距来求解。
这对于线性方程的解和图形的绘制非常重要。
4. 相交线的延伸与相交线相关的概念还有很多，比如垂线、平分线、对称轴等。
【数学】2.1.4 两条直线的交点 课件(北师大必修2)
o
(3)
直线L1,L2
唯一解
解方程组 无穷多解
L1,L2相交
L1,L2重合
L1,L2平行
无解
问题二：如何根据两直线的方程系 数之间的关系来判定两直线的位置 关系？
观察刚刚解过的三组方程对应系数比的特点：
3x+2y-7=0 2x-3y+4=0 3x+2y-6=0 6x+4y-15=0 3x-2y-7=0 6x-4y-14=0
在同一坐标系中分别作出下列各组的直线： 并观察它们的位置关系 ⑴3x+2y－7＝0和2x－3y+4＝0 ⑵3x+2y－6＝0和6x+4y－15＝0 ⑶3x－2y－7＝0和6x－4y－14＝0
y
2x-3y+4=0
y 6x+4y-15=0
o
o x 3x+2y-7=0 3x+2y-6=0
x
(1)
y
(2) 3x-2y-7=0 6x-4y-14=0 x
M
O X
例2：求经过原点且经过以下两条直线的交点的 直线方程；L1：x－2y+2=0，L2：2=0 y=2 2x－y－2=0 ∴L1与L2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为
y= x
练习
1 1 2 2
L1,L2重合
1 2
A B C A B C
L1,L2平行
练习1：判定下列各组直线的 位置关系。
(1) 重合 L1: 7x+2y-1=0 L2: 14x+4y-2=0 L ( 3 2)x y 7 ( x ( 3 2 ) y 6 0 平行 2 L 1:
2.1.4 两条直线的交点
A1 = A2 A1 = A2
B1 C1 B2 C2 B1 C1 = B2 C2
相交 K1≠K2
A1 B ¹ 1 A2 B2
垂直 K1k2=-1
A1 A2 + B1 B2 = 0
我们知道， 我们知道，平面内任意一条直线都会与一个二元一次 方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解，反之亦 方程对应，即直线上的点的坐标是这个方程的解， 成立． 成立．那么两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成 的方程组是否有解有没有关系，如果有，是什么关系？ 的方程组是否有解有没有关系，如果有，是什么关系？
所以， l1 与 l2 的交点是 ( 所以，
- 1 2+ k 3+ k (k ? 2+ k
2)
- 1 3+ k , ) 2+ k 2+ k
又因为 l1 , l2 , l3 交于一点，即 交点坐标满足直线 l3 的方程， 交于一点， 的方程，
- 1 3+ k - (k + 1) - 5= 0 2+ k 2+ k
判断两条直线的位置关系有以下结论： 判断两条直线的位置关系有以下结论：
L1:y=k1x+b1 L2:y=k2x+b2 均存在） （k1,k2均存在） 平行 K1=K2且b1≠b2 L1:A1x+B1y+C1=0 L2:A2x+B2y+C2=0 ≠0） （A1B1C1 ≠0 ,A2B2C2≠0）
重合 K1=K2且b1=b2
l
2
:- x + 2y + 2 = 0
解:
ì x + 2y + 1= 0 ï 解方程组 ï í ï- x+ 2y+ 2 = 0 ï î
高中数学第二章解析几何初步2.1.4两条直线的交点课件北师大版必修2
① ②
可知，方程②能化为方程①，所以此方程组有无数多个解，
所以这两条直线重合．
(4)l2 的方程即 x－3y＋6＝0，
2x－6y＋1＝0 解方程组x－3y＋6＝0 ，可知方程组无解，
所以这两条直线平行．
1 1．k 为何值时，直线 y＝x＋3k－2 与直线 y＝－4x＋1 的交点在第一象限．
[强化拓展] 方程组Байду номын сангаас解的组数与两直线的位置关系如下表：
A1x＋B1y＋C1＝0， 方程组A2x＋B2y＋C2＝0
的解
一组
无数组
无解
直线 l1 和 l2 的公共点个数
一个 无数个 零个
直线 l1 和 l2 的位置关系
相交 重合 平行
[自主练习]
1．直线 3x＋5y－1＝0 与 4x＋3y－5＝0 的交点是( )
2 ，解得－3＜k＜1.
求过两直线交点的直线方程
求经过两直线 l1：3x＋4y－2＝0 和 l2：2x＋y＋2＝0 的交点且过坐 标原点的直线 l 的方程．
[思路探究] 思路一： 解方程组 ―→ 得交点 ―→ 求斜率 ―→ 写方程 ―→ 化成一般式
思路二： 设过交点直线方程 ―→ 代入原点坐标 ―→ 求得λ的值 ―→ 把λ的值代入所设方程化简
(1)若点 P(x0，y0)是 l1 与 l2 的交点，则__A__2x_0_＋__B_2_y_0＋__C__2＝__0_____.
A1x＋B1y＋C1＝0
x＝x0
(2)若两直线方程组成的方程组A2x＋B2y＋C2＝0 有唯一解y＝y0 ，则两条直
线 __相__交___ ， 交 点 坐 标 为 _(_x_0_，__y0_)__ ． 因 此 ， 求 两 条 直 线 的 交 点 ， 就 是 求 ____两__个__直__线__方__程__的__公__共__解_______．
2.1.4两条直线的交点
例2
直线 l 经过原点 且经过另两条直线 ,
2 x 3 y 8 0, x y 1 0 的交点 求直线 , l 的方程.
例3
某商品的市场需求量y1 万件 、市场
供应量 y2 万件 与市场价格 x元 / 件 分别 近似地满足下列关系 :
y1 x 70, y2 2 x 20.
已知直线l1 : A1 x B1 y C1 0 和直线 l2 : A2 x B2 y C2 0相交, 那 么方程 A1 x B1 y C1 ( A2 x B2 y C2 ) 0 为任意实数 表示的直线 有什么特点 ?
分层训练
• 必做题 • 选做题 • 作业 P87 练习 3 4 P87 习题6 P87 习题 4 8
为 x
际每 .依 题意
市场供应量
y2 y1
市场需求量
x t 元
70 10
x
得方程组
x 70 44 , 2 x t 20 44 ,
平衡价格
图 2 1 16
解得 x 26 , t 6 . 因此 , 政府对每件商品应给予 6 元的补贴 .
问题探究
当 y1 y2 时, 的市场价格称为平衡价 , 此时 格 的需求量称为平衡需求 , 量
1求平衡价格和平衡需求 ; 量 2若要使平衡需求量增加 万件, 政府对每 4
件商品应给予多少元补 ? 贴
y
70
平 衡 需 求 10 量 o
市场供应量
y2 y1
市场需求量
70 10
x
平衡价格
解
1 解方程组
的解
一组
一个 相交
无数组
过两条直线交点的直线系方程原理
过两条直线交点的直线系方程原理当我们讨论直线交点的那些个奇妙的数学原理时，不禁会想：直线交点难道真的是某种神秘的黑洞？别担心，今天我们就来揭开这个谜底，聊聊“过两条直线交点的直线系方程”到底是个啥玩意儿。
1. 直线的基本概念首先，咱们得搞清楚直线的基本概念。
直线这玩意儿，想必大家都不陌生。
它就是那种永远都不会弯曲的线条，不管你怎么拉，它都在那儿直溜溜的。
简单来说，直线可以用方程表示，比如说( ax + by + c = 0 )，这个方程里的( a )，( b )，和( c )是直线的系数，决定了直线的倾斜程度和位置。
如果你有了这样的方程，基本上可以把直线放到任何地方，就像是随意画在纸上的直尺一样，没什么难度。
1.1 直线交点的意义直线交点，就是两条直线相遇的地方。
比如说，你在草地上画两条直线，最后它们在某个点相交了，那么这个点就是它们的交点。
数学上，我们会把这个交点的坐标拿出来，好像是从草地上捡到了一块珍贵的宝石一样。
交点的坐标就是这些宝石的坐标，让我们知道直线之间究竟在什么地方“握手”了。
1.2 交点直线的概念好啦，咱们聊完了交点，接着要讲讲什么是“过两条直线交点的直线”。
这个概念其实不复杂。
假设你有两条直线，它们在某个点上相交。
然后，咱们要找到一条直线，这条直线经过刚才的交点。
这就像你在两条线的交点上找到了一条新线，这条新线会经过那个点。
数学上，我们就说这条新线是“过两条直线交点的直线”。
2. 直线系方程的原理好了，开始进入正题：如何写出“过两条直线交点的直线系方程”。
这个其实就像是拿着两个直线的“DNA”，拼凑出一条新直线的“DNA”一样。
听起来有点复杂，但实际上非常简单。
2.1 两条直线的方程假设咱们有两条直线，它们的方程分别是 (L_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0) 和 (L_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0)。
这两条直线在某个点上交，那么交点的坐标就可以通过解这两个方程来找到。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复习回顾
1．利用两直线的斜率关系判断两直线的位置关系. ①斜率存在， l1∥l2 k1＝k2，且截距不等；l1⊥l2 k1· k2 ＝－1， ②斜率不存在． 注：若用斜率判断，须对斜率的存在性加以分类讨论． 2．利用两直线的一般式方程判断两直线的平行关系. l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1∥l2 A1B2－B1A2＝0，且A1C2－C1A2≠0或B1C2－B2C1≠0． l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0．
的解的组数 .
(无数组解、惟一组解、无解)与两直线的 ( 重合、 相交、 平行)对应．
数学应用
例2．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点， 求直线l的方程．
数学应用
当实数取不同实数时，方程2x＋3y＋8＋(x－y－1)＝0表示什么图 形？它们有什么共同的特点？
小结：
知识与技能: （1）通过解方程组确定两直线交点坐标． （2）通过求交点坐标判断两直线的位置关系 ． （3）过定点的直线系方程的理解与应用． 思想与方法： 方程思想、坐标法 、数形结合思想．
作业
P96习题第3，4．
过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝ 0交点的直线系 方程为：(A1x＋B1y＋C1)＋(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2)．
求证：不论取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经 过一个定点，并求出这个定点的坐标．
数学应用
(1)经过两直线3x＋y－5＝0与2x－3y＋4＝0的交点，且在两坐标轴上的截 距相等的直线方程为_____________
O
O
x
3x＋2y－7＝0
重合！
相交！交点坐标为(3，－1) 想一想两直线的位置关系和方程组的解之间有什么联系？
y＝－2x＋3 4x＋2y＋4＝0 平行！
数学建构
两条直线的位置与相应方程组的解的个数之间的关系.
设两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0；
l2：A2x＋B2y＋C2＝0．
方程组
A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
(2)已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m为何值 时，两条直线:(1)相交；(2)平行；(3)重合．
数学应用
某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分 别近似地满足下列关系: y1＝－x＋70, y2＝2x－20. 当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量. (1)求平衡价格和平衡需求量. (2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴? (3)若每件商品需纳税3元，求新的平衡价格. y 平衡需求量 O 平衡价格 y1 P x y2
(3)由题(2)可以看出点B与直线l1，l2有什么关系？ (4)请试着总结求两条直线交点的一般方法.
数学建构
两条直线的交点 A1x＋B1y＋C1＝0
y． Leabharlann (x0，y0) O xP(x0，y0)
A2x＋B2y＋C2＝0 方程组的解就是两条直线的交点的坐标.
已知直线x＋y－2＝0与x－y＝0垂直，求垂足的坐标．
数学应用
例1．解下列方程组，并分别在同一坐标系中画出每一方程组中的两 条直线，观察它们的位置关系．
(1)
y
2x－y＝7 3x＋2y－7＝0 有且只有一个解 2x－y＝7 x
(2)
2x－6y＋4＝0 4x－12y＋8＝0 有无数多个解
(3)
4x＋2y＋4＝0 y＝－2x＋3 无解
y
y 1 －2－1 O x
问题情境
直线x＋y－2＝0与直线x－y＝0的位置关系是什么？ 垂足的坐标能否求出？如何求？ (1)已知一条直线的方程如何判断一个点是否在直线上？ (2)已知l1 :2x＋3y－7＝0，l2 :5x－y－9＝0，在同一坐标系中画出两直线， y 并判断下列各点分别在哪条直线上？ A(1，－ 4)，B(2，1)，C(5，－1) O B x