初中几何证明知识
几何定理拓展知识点总结
几何定理拓展知识点总结首先，我们来看一些重要的几何定理。
1. 直角三角形的勾股定理直角三角形的勾股定理是几何学中最著名的定理之一。
它表明在一个直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边平方和。
具体而言，如果我们用a、b、c分别表示直角三角形的三条边，其中c为斜边，a和b为直角边，那么有a² + b² = c²。
这个定理有许多应用，其中最常见的是用来求解三角形的边长或角度。
此外，勾股定理也可以用来证明其他几何定理，比如勾股数的存在性以及勾股数的性质。
2. 圆的性质定理圆的性质定理包括了一系列关于圆的基本性质和定理。
其中最重要的是圆的直径定理和圆心角定理。
圆的直径定理表明，如果一条直线经过圆的圆心并与圆相交，则这条直线一定等于圆的直径。
这个定理非常有用，可以用来证明一些三角形的性质，比如圆锥相似定理。
此外，圆的直径定理也有重要的物理应用，比如在光学中用来解释光的反射和折射现象。
圆心角定理表明，如果一个角的顶点在圆的圆心上，那么这个角的度数一定等于所对的圆弧的度数。
圆心角定理可以用来解决一些与圆弧度数相关的问题，比如用来证明三角形的内切圆性质。
3. 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但不一定相同大小的三角形。
相似三角形的性质定理包括了许多与相似三角形相关的定理，比如AAA相似定理、AA相似定理、SAS相似定理等等。
其中最重要的是AAA相似定理。
AAA相似定理指出，如果两个三角形的对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
利用相似三角形的性质，我们可以解决各种与比例相关的问题，比如用相似三角形证明勾股定理。
以上是一些重要的几何定理和其相关的应用。
接下来，我们将探讨几何定理的证明方法和拓展知识点。
证明几何定理的方法证明几何定理是几何学中的重要问题。
几何定理的证明通常需要使用数学推理和逻辑推导，并且可能涉及到一些几何图形的性质和定理。
在证明几何定理时，可以使用几何学的基本公设，比如点、直线、面、平行公设、垂直公设等。
初中数学几何证明方法整理
初中数学几何证明方法整理数学几何是初中数学的重要内容之一，通过几何证明方法，可以帮助我们理解和掌握几何概念、定理，培养逻辑思维和推理能力。
本文旨在整理初中数学几何证明方法，帮助学生更好地学习和掌握几何知识。
一、直接证明法直接证明法是最常用的证明方法之一，也是最直接的证明方式。
通过直接给出准确的步骤和推理过程，证明所给命题的正确性。
举例来说，对于一个直角三角形，我们可以使用直接证明法证明勾股定理。
首先，假设三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。
然后，利用勾股定理的表达式c²=a²+b²，逐步展开推理过程，最终得到等式两边相等，从而证明了勾股定理的正确性。
二、间接证明法间接证明法是通过反证法来证明所给命题的正确性。
假设所给命题不成立，然后找出与之矛盾的其他命题，通过推理来推导出矛盾，从而证明所给命题是正确的。
例如，对于平行线的性质，我们可以使用间接证明法来证明同位角相等的定理。
首先，假设两条平行线上的同位角不相等，然后通过推理和几何定理，得出两组角的和不等于180度的结论，与平行线的性质相矛盾，因此可以得出同位角相等的结论，证明了该定理的正确性。
三、全等三角形的证明全等三角形的证明是几何证明中常见且重要的一种方法。
当两个三角形的对应的边和角都相等时，可以得出两个三角形全等的结论。
以证明两条直线平行为例，我们可以使用全等三角形的证明方法。
首先，选择直线上的两个点和一个与直线上一点不共线的点，通过构造与直线平行的辅助线段，形成两个共有一点的全等三角形。
然后，通过全等三角形的性质和相等的边、角，可以得出所给直线平行的结论。
四、相似三角形的证明相似三角形的证明也是几何证明中常用的一种方法。
当两个三角形的对应角相等，对应边成比例时，可以得出两个三角形相似的结论。
以证明等腰三角形的性质为例，我们可以使用相似三角形的证明方法。
假设等腰三角形的两个底角相等，通过构造等腰三角形的辅助线段，形成两个共有一个顶点的相似三角形。
初中数学知识归纳几何证明的常见题型
初中数学知识归纳几何证明的常见题型数学是一门基础学科，几何证明作为数学的重要组成部分，对于学生的思维能力和逻辑思维起着重要的培养作用。
初中数学中，几何证明是一个重要的内容，它涉及到许多常见的题型。
本文将对初中数学中常见的几何证明题型进行归纳总结。
一、等腰三角形的性质证明等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
在等腰三角形的证明中，常见的题型有：1. 等腰三角形的顶角相等；2. 等腰三角形的底角相等；3. 一条边上的高是另一条边上的高。
在证明等腰三角形的性质时，可以利用等角或等边的性质进行推导和证明。
例如，对于第一个题型，我们可以先证明两边相等，再利用两边同角或同边同角的性质推导出顶角相等。
二、全等三角形的证明全等三角形是指三角形的对应边和对应角相等。
在全等三角形的证明中，常见的题型有：1. 全等三角形的三边相等；2. 全等三角形的两角相等；3. 全等三角形的对应边和对应角相等。
对于全等三角形的证明，常用的方法有SAS、ASA、SSS等。
例如，对于第一个题型，我们可以利用SAS法则，先证明两边相等，再证明夹角相等。
三、垂直证明垂直是指两条直线或线段相交成90度的关系。
在垂直证明中，常见的题型有：1. 两条直线相互垂直；2. 直线和平面垂直；3. 线段和平面垂直。
对于垂直的证明，可以利用垂直两边、垂直性质和垂直线段的性质进行推导。
例如，对于第一个题型，我们可以利用垂直两边的性质，证明两条直线相互垂直。
四、平行证明平行是指两条直线在同一个平面上没有交点的关系。
在平行证明中，常见的题型有：1. 两条直线相互平行；2. 直线和平面平行；3. 平行线段和平面平行。
对于平行的证明，可以利用平行线内或外错和平行线夹角的性质进行推导。
例如，对于第一个题型，我们可以利用平行线内错角的性质，证明两条直线相互平行。
五、比例证明比例是指两个数或者两个量之间的大小关系。
在比例证明中，常见的题型有：1. 三角形的边比例；2. 三角形的面积比例；3. 线段的比例。
初中数学知识归纳立体几何中的证明与推理
初中数学知识归纳立体几何中的证明与推理初中数学知识归纳——立体几何中的证明与推理立体几何是数学中的重要分支，主要研究三维空间中的形状、位置、度量等问题。
在立体几何的学习过程中，证明和推理是不可或缺的内容，也是培养学生逻辑思维和分析问题能力的有效手段。
本文将对初中数学中立体几何中的证明与推理进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、平行与垂直的证明与推理在立体几何中，平行和垂直是常见的关系。
平行线之间具有特殊的性质，如有且仅有一条直线平行于给定的线段等。
垂直线之间也有各自的性质，如直角和垂足等。
在证明和推理过程中，我们常常需要运用这些性质来得出结论。
例如，对于两个平行线之间的夹角问题，我们可以利用同位角的性质来证明，如AB和CD是两条平行线，角A和角C是同位角。
如果我们能够证明角A等于角C，那么这就是两个平行线之间的夹角。
同样地，我们在证明垂直线之间的关系时，也需要利用到一些性质。
比如，证明两条垂直线的交点是直角。
可以通过利用相交直线的垂直对应角的性质来证明。
如果我们能够证明两个垂直对应角是等于90度的，那么我们就能够得出结论，两条线相交的交点是直角。
这样的推理过程帮助我们建立了数学概念之间的逻辑联系。
二、面积和体积的证明与推理在立体几何中，我们经常需要计算物体的面积和体积。
在证明和推理的过程中，我们也会遇到一些和面积和体积相关的问题。
例如，对于三棱柱和三棱锥的体积问题，我们需要通过概念的推理和逻辑结构的分析来解决。
首先，我们可以将三棱柱和三棱锥分解成更简单的几何体，如长方体、正方体、圆柱体等。
然后，我们通过加减运算和推理结构，一步步得出最终的结论。
这样的证明过程既考验了学生的逻辑思维能力，同时也深化了对体积概念的理解。
在计算面积时，我们也需要依靠一些证明和推理。
例如，对于三角形的面积计算，我们可以利用平行线切割三角形的方法来进行证明。
通过切割并重新组合三角形，我们能够得到更简单的形状，如矩形和直角梯形等。
初中数学几何知识点总结
初中数学几何知识点总结一、几何基础知识1. 点、线、面- 点：没有大小，只有位置。
- 线：由无数个点组成，有长度，没有宽度。
- 面：由无数个线组成，有长度和宽度，没有厚度。
2. 直线、射线、线段- 直线：无限延伸的线，没有端点。
- 射线：有一个端点，另一端无限延伸。
- 线段：有两个端点，长度有限。
3. 角- 邻角：有共同顶点和边的两个角。
- 对顶角：由两条相交线形成的相对的两个角。
- 平角：两条射线的夹角为180度。
- 周角：两条射线重合，夹角为360度。
二、几何图形的性质1. 三角形- 内角和：三角形的内角和为180度。
- 三边关系：任意两边之和大于第三边。
- 海伦公式：计算三角形面积的公式，需要知道三边长度。
2. 四边形- 矩形：对边平行且相等，四个角都是直角。
- 平行四边形：对边平行。
- 菱形：四边相等，对角线互相垂直且平分。
- 梯形：有一组对边平行。
3. 圆- 圆心：圆的中心点。
- 半径：圆心到圆上任意一点的距离。
- 直径：通过圆心的最长线段，等于半径的两倍。
- 圆周率π：圆的周长与直径的比值。
三、几何图形的计算1. 面积- 三角形面积：基础公式、海伦公式。
- 四边形面积：长乘宽（矩形）、平行四边形的面积公式。
- 圆的面积：π乘以半径的平方。
2. 体积- 长方体：长乘宽乘高。
- 立方体：边长的三次方。
- 圆柱体：底面积乘以高。
- 圆锥体：底面积乘以高再乘以1/3。
3. 周长- 三角形周长：三边之和。
- 四边形周长：四边之和。
- 圆的周长：2π乘以半径。
四、几何图形的变换1. 平移- 描述：图形在平面上沿着某一方向移动一定距离。
- 影响：位置变化，形状和大小不变。
2. 旋转- 描述：图形绕一点或一轴旋转一定角度。
- 影响：位置变化，形状和大小不变。
3. 轴对称- 描述：图形关于某一直线（对称轴）对称。
- 影响：图形的一半可以通过折叠与另一半完全重合。
五、几何证明1. 证明方法- 直接证明：通过已知条件直接得出结论。
第19章《几何证明(一)-证明》知识讲练(学生版)
2023-2024学年沪教版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：几何证明1．命题和证明（1）命题定义：判断一件事情的句子.判断为正确的命题，叫做真命题；判断为错误的命题，叫做假命题.（2）演绎证明（简称证明）从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程.易错点拨：命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论.2.公理和定理（1）公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据.（2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.3.逆命题与逆定理（1）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，则这两个命题叫互逆命题. 其中一个命题叫原命题；另一个命题叫它的逆命题.（2）如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，则这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理.4.证明真命题的一般步骤（1）理解题意，分清命题的条件（已知）、结论（求证）（2）根据题意，画出图形，并在图中标出必要的字母或符号（3）结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”（4）分析题意，探索证明思路（由“因”导“果”，执“果”索“因”）（5）依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰的写出证明过程（6）检查表达过程是否正确、完善易错点拨：（1）一个命题（定理）的逆命题（逆定理）并不是唯一的，这是因为一个命题的题设中可能有两个或多个条件，结论也可能不止一个；（2）逆命题的真假与原命题的真假没有关系.知识点02：线段的垂直平分线和角的平分线1.线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的定义垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.（2）线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.如图：∵MN垂直平分线段AB∴PA=PBMN BAP（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.易错点拨：线段的垂直平分线定理与逆定理往往与边相等、角相等的证明密切相关，它提供了证明边、角相等的又一种重要的方法，在以后的学习中还会与直角三角形、角平分线、勾股定理等连在一起综合应用.2.角的平分线（1）角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.（2）角的平分线有下面的性质定理：①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.如图：∵OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD=PE.3.垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.易错点拨：（1）当题目中的条件涉及到角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，利用角的平分线性质可直接得到垂线段相等，而不必用全等三角形来证，但是在书写过程中，不要漏掉垂直关系；（2）已知角的平分线，有两种常用的添加辅助线的方法：一是把角沿着角平分线翻折，在这个角的两边截取相等线段，从而创设两个全等的三角形；二是过角平分线上的点向角两边做垂线段，利用角平分线的性质定理及其逆定理来解题.知识点03：轨迹1.轨迹的定义把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.易错点拨：轨迹定义包含以下两层含义：其一、轨迹图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件（也称图形的AB O D E P纯粹性）；其二、轨迹图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上（也称图形的完备性）；所谓轨迹问题的证明就是用论证的方法证明得到的轨迹符合上述两层含义.2.三条基本轨迹轨迹1：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；轨迹2：到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；轨迹3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、以定长为半径的圆.3.交轨法作图利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法.如果要求作的点（图形）同时要满足两个条件时，我们通常先作出满足条件A的轨迹，然后再作出满足条件B的轨迹，两轨迹的交点则同时满足条件A和条件B.交轨法是常用的作图方法，我们在利用尺规作三角形、线段的垂直平分线、角平分线时，都运用了交轨法.易错点拨：“尺规作图”是指限用无刻度直尺和圆规来作几何图形，基本的尺规作图有如下几种：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）经过一点作已知直线的垂线；（5）作线段的垂直平分线.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•徐汇区期末）下列命题中，假命题是（ ）A．对顶角相等B．等角的补角相等C．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等2．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）在下列各原命题中，逆命题为假命题的是（ ）A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等D．关于某一条直线对称的两个三角形全等3．（2分）（2021秋•徐汇区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线DE交AB 于点D，交BC于点E，且AE平分∠BAC，下列关系式不成立的是（ ）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE4．（2分）（2022秋•黄浦区校级月考）如图所示，点H是△ABC内一点，要使点H到AB、AC的距离相等，且S△ABH ＝S△BCH，点H是（ ）A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点5．（2分）（2022秋•杨浦区期中）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，CE是AB边上的高，AD与CE交于点F，过点D作DG∥CE交边AB于点G，联结CG交AD于点H，则下列结论中，不一定成立的是（ ）A．CD＝DG B．CF＝DG C．FH＝DH D．EF＝EG6．（2分）（2021秋•奉贤区校级期末）下列说法错误的是（ ）A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线B．到点P距离等于1 cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆C．到直线l距离等于2 cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线D．等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线7．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）下列命题的逆命题中，真命题有（ ）①全等三角形的对应角相等；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③关于某一条直线对称的两个三角形全等；④等腰三角形的两个底角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2分）（2022秋•徐汇区校级期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）A．直角三角形的两个锐角互余B．两直线平行，内错角相等C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形D．若x＝y，则x2＝y29．（2分）（2022秋•黄浦区月考）下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）A．等边三角形的三个内角都等于60°B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等D．相等的两个角是对顶角10．（2分）（2022秋•黄浦区校级月考）如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长不可能是（ ）A．4B．5C．6D．7二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•宝山区期末）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，如果DE ＝1，△ABC的面积是6，则△ABC的周长是 ．12．（2分）（2022秋•徐汇区期末）到点P的距离等于4cm的点的轨迹是 ．13．（2分）（2022秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分角BAC，AB＝6，AC＝4，△ABD的面积为9，则△ADC的面积为 ．14．（2分）（2022秋•普陀区期中）把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式． ．15．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如图，点P是∠AOB的平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝8，则PD＝ ．16．（2分）（2022秋•黄浦区校级月考）如图，等边△ABC中，点E为高AD上的一动点；以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝ ．17．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，如果AD＝DE，且∠BDE＝2∠ABC，那么∠CDE的度数是 ．18．（2分）（2022秋•徐汇区校级期末）已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和BE的交点，AD ＝12，BC＝17，则线段BH的长为 ．19．（2分）（2022秋•杨浦区期末）如图，已知在等腰△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝40°，DE是AB的垂直平分线，那么∠DBC＝ 度．20．（2分）（2022秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC 的垂直平分线交边BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为 ．（用含α的代数式表示）三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•黄浦区月考）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF．22．（6分）（2022秋•黄浦区校级月考）如图，在△ABC中，PE垂直平分边BC，交BC于点E，AP平分∠BAC 的外角∠BAD，PG⊥AD，垂足为点G，PH⊥AB，垂足为点．（1）求证：∠PBH＝∠PCG；（2）如果∠BAC＝90°，求证：点E在AP的垂直平分线上．23．（8分）（2021秋•奉贤区校级期中）已知：如图，AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．过点C作直线DE，分别交AM、BN于D、E．（1）求证：△ABC是直角三角形．（2）求证：CD＝CE．24．（8分）（2022秋•青浦区校级期末）已知，如图在△ABC中，AD、BE分别是BC，AC边上的高，AD、BE 交于H，DA＝DB，BH＝AC，点F为BH的中点，DC＝DF．（1）求证：△ADC≌△BDH；（2）求证：∠ABE＝15°．25．（8分）（2020秋•浦东新区月考）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE＝ED．26．（8分）（2022秋•徐汇区校级期末）如图，△ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AD于F，BE＝CF．（1）求证：点D为BC的中点；（2）若BC＝2AC，求证：AF＝ED．27．（8分）（2021秋•普陀区期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM＝BN，连接MN交边AB于点P．（1）求证：MP＝NP；（2）若设AM＝x，BP＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△BPN是等腰三角形时，求AM的长．28．（8分）（2019秋•浦东新区校级月考）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点．（1）如图①，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么∠BPC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图②，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么∠BOC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图③，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边△ABC的内部，那么∠BPC和∠BOC有怎样的数量关系？请直接回答．。
初中几何证明常用定理
初中几何证明常用定理几何学是一门关于空间形状、大小、位置、变换等的数学学科。
在几何学中，证明常用定理是解决几何问题的关键步骤。
常用定理是几何学中的基本原理，它们通过逻辑推理和几何推理来证明，并且在解决各种几何问题中具有广泛的应用。
下面是几个常用的几何学定理及其证明。
1.直线的性质：定理1：两条垂直直线之间的夹角是90度。
证明：设直线AB和CD相交于点O，要证明∠AOB=90度。
首先，连接OC和OD，由于OC⊥AB且OD⊥AB，所以OC和OD是两条垂直直线。
其次，由∠COD=90度可知OC⊥OD。
因此，由垂直线与直线的性质可知∠AOB=90度。
定理2：两条直线垂直的充分必要条件是它们的斜率的乘积为-1证明：设直线AB的斜率为k1，直线CD的斜率为k2、若直线AB与直线CD垂直，则k1*k2=-1、反之，若k1*k2=-1，则可由直线的斜率公式得知，直线AB和CD的斜率互为相反数，即两条直线垂直。
2.三角形的性质：定理3：三角形内角和等于180度。
证明：设三角形ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C。
在边AC上延长一条线段AD，使AD=AB。
则∠ADB=∠ABC。
同时，在边AB上延长一条线段AE，使AE=AC。
则∠AEC=∠ACB。
由于平行线之间的对应角相等，可得∠BAC=∠BDA和∠ABC=∠CAE。
因此，∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠BDA+∠ABC+∠CAE=180度。
定理4：三角形的外角等于其不相邻内角之和。
证明：设三角形ABC的外角ACD的度数为x，内角A的度数为∠A，内角B的度数为∠B，内角C的度数为∠C。
由三角形内角和等于180度的性质可知∠A+∠B+∠C=180度。
又由平行线之间的对应角相等可得∠C=∠ACD。
因此，∠A+∠B+∠C+x=180度。
3.圆的性质：定理5：在一个圆上，圆心到圆上任意一点的距离都相等。
证明：设圆O的圆心为O，圆上一点为A。
连接OA，并假设圆上还有另一点B。
简单的几何证明方法知识点总结
简单的几何证明方法知识点总结几何证明是数学中一种重要的推理方法，通过逻辑推演和几何知识，可以证明或推导出一些几何定理和结论。
在几何证明中，有许多简单的证明方法，它们可以帮助我们更好地理解和掌握几何知识。
本文将对简单的几何证明方法进行知识点总结，以帮助读者更好地掌握几何证明技巧。
一、线段证明法线段证明法是几何证明中最基本的一种方法，适用于证明线段的性质和关系。
其基本步骤是：1. 给出待证明的线段和相关已知条件；2. 假设一个辅助点，通过辅助点构造其他几何图形；3. 利用几何关系和已知条件进行推导，得出结论。
例如，证明等腰三角形的两腰相等可以使用线段证明法。
假设三角形ABC为等腰三角形，即AB=AC，我们可以通过绘制辅助线段BD和CD，构造出等边三角形CBD，然后根据等边三角形的性质可得出结论BD=CD，进而得出结论AB=AC。
二、角度证明法角度证明法适用于证明角的性质和关系，包括等角、相似角等。
其基本步骤是：1. 给出待证明的角和相关已知条件；2. 利用已知条件和角的性质，通过推导得出结论。
例如，证明垂直角相等可以使用角度证明法。
假设∠ADC和∠BDC为垂直角，已知∠ADC=90°，我们可以根据垂直角定义可知∠BDC=90°，从而得出结论∠ADC=∠BDC。
三、三角形证明法三角形证明法适用于证明三角形的性质和关系，包括相似三角形、全等三角形等。
其基本步骤是：1. 给出待证明的三角形和相关已知条件；2. 构造辅助图形，利用已知条件和几何关系进行推导；3. 利用三角形的性质，得出结论。
例如，证明三角形的中位线等分三角形面积可以使用三角形证明法。
假设三角形ABC的中位线DE，我们可以通过底边相等和中位线性质，得出∠BDA=∠EDC，得出结论三角形ADE和三角形CDE的面积相等。
四、平行线证明法平行线证明法适用于证明平行线的性质和关系。
其基本步骤是：1. 给出待证明的平行线和相关已知条件；2. 根据已知条件构造几何图形，利用平行线交角的性质进行推导；3. 利用几何关系和已知条件，得出结论。
几何证明知识整理
第十九章 几何证明知识整理一、知识梳理：1、有关概念： 命题及逆命题定理及逆定理2、重要定理：M ★线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
P如图：∵ MN 垂直平分线段 AB∴ PA=PB逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上。
AB如图：∵ PA=PBN∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上A★角平分线定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
如图：∵ OP 平分∠ AOBDPPD ⊥ OA ， PE ⊥OB∴ PD=PEOEB逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
如图：∵ PD=PEPD ⊥ OA ， PE ⊥OB ∴ OP 平分∠ AOB★直角三角形的全等判定直角三角形的全等： 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等， 那么这两个直角三角形全等。
（ H.L ）（注意：必须先证明两个三角形都是 RT ⊿，才能应用本判定定理；以前所学的ASA 、AAS 、SAS 、 SSS 这四条判定定理对于直角三角形全等的判定仍然适用。
）★直角三角形的性质及判定定理 1：直角三角形的两个锐角互余。
A如图：∵∠ C=90°∴∠ A+ ∠ B=90 °C B定理 2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
A（直角、中点→想一半 ）如图： ∵∠ ACB=90°，D且点 D 是AB 的中点 ∴ CD 1AB2CBA推论 1：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
如图：∵∠ C=90°，∠ A=30° ∴ BC1AB2CB推论 2：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半一，那么这条直角边所对的角等于 30°。
如图：∵∠ C=90°， BC1AB2A∴∠ A=30°★勾股定理及逆定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和，等于斜边的平方。
初中几何知识点
初中几何知识点初中几何学是初中数学的一个重要分支，它主要研究图形的性质、变换以及测量等内容。
下面列举了初中几何学的知识点。
一、平面几何基础知识1.点、线、面、角的基本概念和性质。
2.直线、射线、线段的区别与性质。
3.垂直线、平行线及其性质。
4.一次对分线及其性质。
5.平面的定义、性质及常用表示方法。
6.圆的定义、性质及常用表示方法。
7.平面内的点、线、面的相互位置关系。
二、三角形的性质1.三角形的定义及其分类。
2.三角形内角和定理。
3.等腰三角形、等边三角形及其性质。
4.直角三角形、直角的性质、勾股定理及其应用。
5.同位角、内错角、同旁内角等相关概念及其性质。
6.三角形的重心、外心、内心和垂心的定义及其性质。
三、四边形的性质1.四边形的定义及其分类。
2.矩形、正方形、菱形、平行四边形、梯形的定义及其性质。
3.任意四边形的对角线性质。
4.四边形内角和定理及其应用。
5.周长和面积的计算。
四、圆的性质1.圆的定义及其要素。
2.圆心角、圆周角的概念及其性质。
3.弧长和扇形面积的计算。
4.切线和切点的概念及其性质。
五、相似与全等1.相似三角形的定义及判定方法。
2.相似三角形的性质：比例定理、角度比、边长比等。
3.全等三角形的定义及判定条件。
六、解题方法与技巧1.几何证明的基本方法与技巧。
2.几何问题的分析与解决思路。
3.利用特殊性质和对称性进行证明和解题。
4.利用平移、旋转、翻转变换解决几何问题。
以上是初中几何学的主要知识点，通过掌握这些知识，可以有效地解决与平面几何有关的各类问题。
初中数学证明题解题技巧知识点归纳
初中数学证明题解题技巧知识点归纳数学证明题是初中数学的重要内容之一，通过解题可以培养学生的逻辑思维能力和推理能力。
解决数学证明题的关键在于分析题目，运用合适的数学原理和方法，推导出正确的结论。
本文将从常见的证明题中归纳总结一些解题技巧和知识点。
1. 相似三角形的证明相似三角形的证明题常见于初中数学考试中。
在解决相似三角形的证明题时，需要用到相似三角形的性质和辅助线的构造。
常用的相似三角形的证明方法有以下几种：（1）边角对应相等法则：如果两个三角形的对应两边成比例，并且对应的角度相等，则两个三角形相似。
（2）全等三角形法则：如果两个三角形的三个角度相等，则两个三角形全等，也可以推出两个三角形相似。
（3）平行线截比法则：通过绘制平行线，形成一条与原线段成比例的线段，就可以判定出相似三角形。
2. 数列极限的证明数列极限的证明题是数列章节的重要内容。
在解决数列极限的证明题时，常用的技巧和知识点有：（1）数列有界性: 如果数列有上界（或下界），并且趋向于某个值，那么该值就是数列的极限。
（2）夹逼法则: 如果一个数列比另一个数列大，并且比另一个数列小，而这两个数列的极限相等，那么这两个数列的极限也相等。
（3）数列递推公式的应用: 如果数列递推公式的后一项只与前一项相关，并且这个数列的极限存在，那么可以通过归纳法证明数列的极限。
3. 整式因式分解的证明整式因式分解的证明题常见于初中数学的代数章节。
在解决整式因式分解的证明题时，需要掌握以下技巧和知识点：（1）公因式提取法：将多项式中的公因式提取出来，得到一个公因式和一个因式分解式。
（2）差平方公式：对差平方公式有足够的理解和掌握，通过将给定的多项式转化为差平方公式的形式，进而对多项式进行因式分解。
（3）分组分解法：将多项式中的项按照一定的规则进行分组，进而将多项式进行因式分解。
4. 平行线性质的证明平行线性质的证明题常见于初中数学的几何章节。
在解决平行线性质的证明题时，可以运用以下技巧和知识点：（1）平行线性质：两条平行线与同一直线相交，则交角相等。
初中数学知识归纳几何证明题的解题思路与方法
初中数学知识归纳几何证明题的解题思路与方法几何证明题在初中数学中占据着重要的位置，它既考察了学生对基本几何知识的理解，又培养了学生的逻辑思维和推理能力。
本文将对初中数学中归纳几何证明题的解题思路与方法进行归纳总结，帮助学生更好地应对这类题目。
解题思路一：利用基本图形性质归纳几何证明题中经常会涉及到基本图形性质的运用，例如利用三角形的性质、四边形的性质等。
在解题过程中，可以先观察题目中给出的图形，根据其中的线段、角等要素，运用基本图形性质进行推理。
举例说明：证明一个角是直角。
首先，可以观察该角所在的图形，是否能够应用直角三角形的性质进行推理。
如果能找到一个直角三角形，并且该角是该直角三角形的内角或外角，那么该角就是直角。
解题思路二：利用各种等式与平行线性质初中几何证明题还涉及到线段、角的等式，以及平行线性质的应用。
在解题过程中，可以根据题目条件，利用各种等式与平行线性质进行推导与证明。
举例说明：证明两条线段相等。
可以根据题目给出的条件，利用等式性质进行推导。
比如，如果给出了两个三角形的一边和该边对应的角相等，那么可以根据等式来证明两条线段相等。
解题思路三：利用三角形相似性质在初中数学中，三角形相似性质是一个重要的内容。
在解决几何证明题时，可以利用三角形相似性质进行推理与证明。
要注意观察题目中给出的图形，找到相似的三角形，并利用相似比例进行推导。
举例说明：证明两条线段成比例。
可以根据题目给出的条件，利用相似三角形性质进行推导。
如果题目给出了两个三角形中的两条边成比例，那么可以根据相似比例来证明两条线段成比例。
解题思路四：利用等腰三角形与等边三角形性质等腰三角形与等边三角形在初中数学中也是一个重要的内容，并且在几何证明题中经常会用到。
在解题过程中，可以根据题目给出的条件，利用等腰三角形与等边三角形的性质进行推导与证明。
举例说明：证明某个角是等腰三角形的顶角。
可以根据题目给出的条件，利用等腰三角形的性质进行推理。
初二数学几何知识点归纳总结
初二数学几何知识点归纳总结### 初二数学几何知识点归纳总结#### 一、平面几何基础1. 点、线、面：- 点是几何图形的最小单位，没有大小。
- 线是由无数个点组成的一维图形，具有长度但无宽度。
- 面是由无数条线组成的二维图形，具有长度和宽度。
2. 角：- 角是由两条射线从共同端点引出的图形，分为锐角、直角和钝角。
3. 平行线：- 平行线是永不相交的两条直线。
4. 相交线：- 相交线在一点相交，形成角。
5. 垂直线：- 垂直线是两条直线相交成直角。
#### 二、三角形1. 三角形的分类：- 按边分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。
- 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
2. 三角形的性质：- 三角形内角和为180度。
- 外角等于不相邻两内角的和。
3. 特殊三角形：- 等边三角形：三边相等。
- 等腰三角形：两边相等。
- 直角三角形：一个角为90度。
4. 三角形的面积：- 公式：\[ \text{面积} = \frac{1}{2} \times \text{底}\times \text{高} \]#### 三、四边形1. 四边形的分类：- 平行四边形、矩形、菱形、正方形。
2. 平行四边形的性质：- 对边平行且相等，对角相等。
3. 矩形的性质：- 所有角都是直角，对角线相等。
4. 菱形的性质：- 四边相等，对角线互相垂直。
5. 正方形：- 既是矩形也是菱形，四边相等，所有角都是直角。
6. 四边形的面积：- 对于平行四边形：\[ \text{面积} = \text{底} \times\text{高} \]- 对于三角形：\[ \text{面积} = \frac{1}{2} \times \text{底}\times \text{高} \]#### 四、圆1. 圆的基本元素：- 圆心、半径、直径。
2. 圆的性质：- 所有半径相等，所有直径相等。
3. 圆周角：- 圆周角等于它所对弧所对圆心角的一半。
初中几何证明常用定理
初中几何证明常用定理初中几何常用定理有很多，下面我将介绍一些常用的定理及其证明。
一、射影定理射影定理是初中数学中的基本定理之一，它是勾股定理的推广。
定理：在直角三角形中，斜边的垂直平分线过直角。
即若直角三角形ABC中，AC为斜边，D为AC上一点，垂直AD于BC，则BD=DC。
证明：由题意可知，直角三角形ABC中∠B=90°，由于AD⊥BC，所以∠ADB=90°，而直角三角形ADB中∠A=90°，所以线段AD的延长线AB与直角三角形BCD的直角边BD相交于点C。
我们要证明BD=DC。
由BD是CD的延长线，所以∠CDB是CDB的外角，根据三角形外角定理可知∠CDB=∠ADB=90°-∠BAC。
因为∠ACB是直角三角形ABC的一个内角，所以它的补角是90°，即∠ACB=90°-∠BAC。
综上所述，∠CDB=∠ACB，根据等角定理可知△CDB≌△ACB，因此BD=DC。
二、等腰三角形顶角定理定理：等腰三角形的顶角是其底角的两倍。
即若三角形ABC中∠B=∠C，则∠A=2∠B。
证明：由题意可知三角形ABC中∠B=∠C，假设∠A=2∠B需要证明。
根据等角定理，若两个角相等，则它们的对边也相等。
设点D为边BC上一点，使得∠ABD=∠ACD，满足BD=CD。
因为∠B=∠C，所以∠ABD=∠ACD，根据等角定理可知∠AB=∠AC。
因为BD=CD，所以线段AB与线段AC等长，即AB=AC。
综上所述，根据等边定理，得证∠A=2∠B。
三、相似三角形的基本定理相似三角形的基本定理是相似三角形的理论基础，它在几何证明中有着非常广泛的应用。
定理：在两个三角形中，如果三个角分别相等，则这两个三角形相似。
即若∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC∼△DEF。
证明：我们要证明△ABC∼△DEF。
根据题意，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，我们假设三角形ABC与三角形DEF不相似，即不满足△ABC∼△DEF。
几何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）
⼏何证明选讲知识点汇总与练习（内含答案）《⼏何证明选讲》知识点归纳与练习(含答案)⼀、相似三⾓形的判定及有关性质平⾏线等分线段定理平⾏线等分线段定理：如果⼀组平⾏线在⼀条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三⾓形⼀边的中点与另⼀边平⾏的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形⼀腰的中点，且与底边平⾏的直线平分另⼀腰。
平分线分线段成⽐例定理平分线分线段成⽐例定理：三条平⾏线截两条直线，所得的对应线段成⽐例。
推论：平⾏于三⾓形⼀边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例。
相似三⾓形的判定及性质相似三⾓形的判定：定义：对应⾓相等，对应边成⽐例的两个三⾓形叫做相似三⾓形。
相似三⾓形对应边的⽐值叫做相似⽐（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三⾓形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应⾓是否分别相等，三组对应边是否分别成⽐例，显然⽐较⿇烦。
所以我们曾经给出过如下⼏个判定两个三⾓形相似的简单⽅法：（1）两⾓对应相等，两三⾓形相似；（2）两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似；（3）三边对应成⽐例，两三⾓形相似。
预备定理：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三⾓形与三⾓形相似。
判定定理1：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似。
简述为：两⾓对应相等，两三⾓形相似。
判定定理2：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的两边和另⼀个三⾓形的两边对应成⽐例，并且夹⾓相等，那么这两个三⾓形相似。
简述为：两边对应成⽐例且夹⾓相等，两三⾓形相似。
判定定理3：对于任意两个三⾓形，如果⼀个三⾓形的三条边和另⼀个三⾓形的三条边对应成⽐例，那么这两个三⾓形相似。
简述为：三边对应成⽐例，两三⾓形相似。
引理：如果⼀条直线截三⾓形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成⽐例，那么这条直线平⾏于三⾓形的第三边。
定理：（1）如果两个直⾓三⾓形有⼀个锐⾓对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直⾓三⾓形的两条直⾓边对应成⽐例，那么它们相似。
初中几何证明的所有公理和定理
初中几何证明的所有公理和定理几何是研究空间形状和大小关系的一门学科，它依赖于一系列公理和定理来构建其理论体系。
下面是初中几何中一些常用的公理和定理，涵盖了线段、角、三角形、四边形和圆等几何概念。
公理1：通过任意两点，可以画一条唯一的直线。
公理2：一条由两点确定的线段可以延长成一条无限长的直线。
公理3：给定一条线段和一点，可以画出与这条线段等长的线段。
公理4：所有直角都相等。
公理5：如果两直线与第三条直线各自交于一个相同的角，则这两条直线是平行的。
公理6：如果两直线分别与第三条直线各自交于两个同位角相等的角，则这两条直线是平行的。
定理1：三角形内两角之和等于180度。
定理2：等腰三角形的两底角相等。
定理3：等边三角形的三个内角均为60度。
定理4：全等三角形的对应的边和对应角均相等。
定理5：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。
定理6：三角形的任一边大于另外两边之差，小于另一两边之和。
定理7：三角形两边之和大于第三边。
定理8：平行线上的对应角相等。
定理9：同位角互补。
定理10：同位角相等。
定理11：平行线截断同位线段成比例线段。
定理12：平行线截断角成等角。
定理13：如果两条直线被一条平行线截断，那么所得的内错角相等，同时所得的外错角也相等。
定理14：在一个给定圆上，取一点和另一点之间的每一对弦都是有相同长度的。
定理15：在一个给定圆上，两端在圆上，而与圆上一点相交的弦不等长。
定理16：在一个给定圆上，通过圆心的每一条弦都是直径。
定理17：在一个给定圆上，圆心角的度数是所对的弧所经过的圆心角的度数的两倍。
定理18：四边形的内角和等于360度。
定理19：矩形的两对边相等且两对角为直角。
定理20：平行四边形的对边相等且两对角分别相等。
定理21：菱形的四条边相等，且对角线相互平分。
定理22：四边形两对相对边的和相等。
这仅仅是初中几何中的一小部分公理和定理，通过这些公理和定理，我们可以建立起几何学中的基础知识和理论体系。
初中数学 几何证明题的知识点总结
几何证明题的知识点总结知识点：一、线段垂直平分线（中垂线）性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
MPA BN二、角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，定在这个角的平分线上。
三、相交线、平行线1、对顶角相等2、平行线的判定（1)同位角相等，两直线平行（2)内错角相等，两直线平行（3)同旁内角互补，两直线平行3、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行四、三角形 1、等腰三角形（1）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线 （2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形就是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 2、RT 的性质定理：（1）RT 的两个锐角互余。
（2）在RT 中，斜边上的中线等于斜边的一半。
推论：（1）在RT 中，如果一个锐角等于30度，那么这个角所对的边等于斜边的一半。
（2）在RT 中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度。
2、勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方即：c b a222=+3、三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三遍的一半。
4、全等三角形的判定定理（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) （2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) （3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) （4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（5）直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL) 5、全等三角形的性质（1）全等三角形的对应角相等（2）全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线相等五、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质定理：（1)平行四边形的对边相等（推论：夹在两条平行线间的平行线段相等、平行线间的距离处处相等） （2）平行四边形的对角相等（3）平行四边形的两条对角线互相平分（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 判定定理：(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．六、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 性质：（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等判定定理：（1）有三个内角是直角的四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形七、菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质：（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角判定定理：(1)四边都相等的四边形是菱形．(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．八、正方形定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形性质：（1)正方形的四个角都是直角，四条边都相等．(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．判定定理：(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．(2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形；②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)九、（等腰)梯形梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形等腰梯形性质：(1)等腰梯形两腰相等、两底平行．(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等．(3)等腰梯形的对角线相等．等腰梯形判定定理：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．(3)对角线相等的梯形是等腰梯形．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
初中数学中的几何证明方法有哪些？
初中数学中的几何证明方法有哪些？在初中数学的学习中，几何证明是一个重要的部分，它不仅能够锻炼我们的逻辑思维能力，还能帮助我们更好地理解和应用数学知识。
那么，初中数学中的几何证明方法都有哪些呢？让我们一起来探讨一下。
一、综合法综合法是从已知条件出发，通过一系列的推理和运算，最终得出所要证明的结论。
这是一种常见且基础的证明方法。
例如，要证明一个三角形是等腰三角形，已知两条边相等，我们可以根据等腰三角形的定义，直接得出结论。
综合法的优点是条理清晰，能够直观地展示推理过程。
但有时如果条件与结论之间的联系不太明显，可能会导致证明思路受阻。
二、分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步追溯到已知条件。
通过不断地反推，找到证明的途径。
比如，要证明一个角等于另一个角，我们先假设这个结论成立，然后分析如果这个结论成立，需要满足什么样的条件，再逐步追溯到已知条件。
分析法的优点是目标明确，容易找到证明的切入点。
但在实际书写证明过程时，通常需要将分析法倒过来，以综合法的形式呈现。
三、反证法反证法是先假设命题的结论不成立，然后通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立。
假设要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”。
我们先假设这个三角形中有两个或三个直角，然后会发现这与三角形内角和为 180 度相矛盾，从而证明原命题成立。
反证法在一些特定的证明中非常有效，但使用时需要注意假设的合理性和推理的严谨性。
四、同一法同一法是在符合同一法则的前提下，代替证明原命题而证明它的逆命题成立。
例如，要证明某个点是线段的中点，可以先证明通过这个点的另一条线段被这个点平分，从而得出这个点是原线段的中点。
同一法需要对几何图形的性质和定理有深入的理解和把握。
五、数学归纳法数学归纳法一般用于证明与自然数有关的命题。
先证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立，然后假设当 n ＝ k（k≥n0，k 为自然数）时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
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四边形（一）、平行四边形的定义、性质及判定．1：两组对边平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边相等且平行；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4·对称性：平行四边形是中心对称图形．（二）、矩形的定义、性质及判定．1-定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2·性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3．判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形：(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形．4·对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形．（三）、菱形的定义、性质及判定．1·定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(1)菱形的四条边都相等；。
(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形．(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：3．判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．4．对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形．（四）、正方形定义、性质及判定．'1．定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；(4)正方形的对角线与边的夹角是45。
；(5)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．3．判定：(1)先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等；(2)先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角．4．对称性：正方形是轴对称图形也是中心对称图形．(五)、梯形的定义、等腰梯形的性质及判定．1．定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯形．一腰垂直于底的梯形是直角梯形．2．等腰梯形的性质：等腰梯形的两腰相等；同一底上的两个角相等；两条对角线相等．3．等腰梯形的判定：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；两条对角线相等的梯形是等腰梯形．4．对称性：等腰梯形是轴对称图形．(六)、三角形的中位线平行于三角形的第三边并等于第三边的一半；梯形的中位线平行于梯形的两底并等于两底和的一半．(七)、线段的重心是线段的中点；平行四边形的重心是两对角线的交点；三角形的重心是三条中线的交点．．(八)、依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下面的性质定理：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
考点二、平行线1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补。
考点三、三角形1、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形 底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形。
2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
4、三角形的面积三角形的面积=21×底×高 考点四、全等三角形1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。
直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）3、全等变换只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
考点五、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
2、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
考点六、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=26、常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC考点七、锐角三角函数的概念 （3~8分）1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①ca sin =∠=斜边的对边A A ②cb cos =∠=斜边的邻边A A③b a tan =∠∠=的邻边的对边A A A ④a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 三角函数0° 30° 45° 60° 90° S inα 0 21 22 23 1 Cos α 1 23 22 21 0 Tan α 0 33 1 3 不存在 Cot α 不存在 3 1 33 0（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)，tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方关系：1cos sin 22=+A A（3）倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1（4）弦切关系：tanA=AA cos sin 考点八、相似三角形1、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”来表示2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。
3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似4、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。