高数期末试题

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高数期末考试题及答案解析

高数期末考试题及答案解析一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 $ f(x) = \sin x + 2x^2 $ 在区间 $ [0,\frac{\pi}{2}] $ 上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案解析：首先求导数 $ f'(x) = \cos x + 4x $。

在区间$ [0, \frac{\pi}{2}] $ 上，$ \cos x $ 始终大于等于0，而$ 4x $ 也是非负的，因此 $ f'(x) \geq 0 $，说明函数 $ f(x) $ 在该区间上单调递增。

所以答案是 A。

2. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，则下列哪个选项是正确的？A. $ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 $B. $ \lim_{x \to 0} g(x) = 0 $C. $ \lim_{x \to 0} f(x) = 1 $D. $ \lim_{x \to 0} g(x) = 1 $答案解析：根据极限的性质，如果 $ \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 $，则 $ g(x) $ 不能趋向于0，否则分母为0，极限不存在。

同时，$ f(x) $ 趋向于0。

因此，选项 A 是正确的。

3. 曲线 $ y = x^3 - 3x $ 在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率是：A. 0B. 2C. -2D. 4答案解析：求导数 $ y' = 3x^2 - 3 $，将 $ x = 1 $ 代入得到 $ y' = 0 $。

因此，曲线在点 $ (1, -2) $ 处的切线斜率为 0，答案是 A。

4. 若 $ \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} $，则$ \int_{0}^{1} x^3 dx $ 的值是：A. $ \frac{1}{4} $B. $ \frac{1}{3} $C. $ \frac{1}{2} $D. $ \frac{2}{3} $答案解析：根据积分的基本公式，$ \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C $，所以 $ \int_{0}^{1} x^3 dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} $。

数学高数期末试题及答案

数学高数期末试题及答案第一部分：选择题1. 设函数 $f(x) = e^x + \ln x$，则 $f'(1) =$ ( )A. $e$B. $e+1$C. $1$D. $0$2. 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，则 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 在该点的值为 ( )A. $f_x(1,2)$B. $f_y(1,2)$C. $0$D. $f(1,2)$3. 设平面$2x+y+z=2$，直线$L$ 过点$(1,1,1)$，且与该平面平行，则直线 $L$ 的方程为 ( )A. $x=y=z$B. $2x+y+z=4$C. $x=y=z=1$D. $x+y+z=3$第二部分: 简答题1. 解释什么是极限？极限是一个函数在某一点或者无穷远处的值或趋近于的值。

对于一个给定的函数，当自变量趋近某一特定值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。

2. 什么是导数？导数是函数在某一点的切线斜率。

在数学中，导数表示函数在给定点的变化率。

第三部分: 解答题1. 计算函数 $f(x) = \sin(x) - \cos(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值和最小值。

首先，我们求解导数 $f'(x)$，然后令其等于零，解得$x=\frac{\pi}{4}$。

此时，我们可以计算得到 $f(\frac{\pi}{4}) =\sqrt{2}-1$。

另外，我们可以计算 $f(0) = 1$ 和 $f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}-1$。

所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值为 $1$，最小值为 $\sqrt{2}-1$。

2. 计算二重积分 $\iint_D x^2 y \,dA$，其中 $D$ 是由直线 $x=0$，$y=0$ 和 $x+y=1$ 所围成的区域。

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

高数期末考试试题

四、1、a g ( 0 ) ； x[ g ( x ) sin x ] [ g ( x ) cos x ] ,x 0 2 x 2、 f ( x ) . 1 ( g ( 0) 1), x 0 2 (n) f (1) ( 1) n 2 ( n 2 )! . 五、六、2.09. 20 8.16 (公里/小时). 七、 6
三、证明 x e t sin t ， y e t cos t 满足方程 d2y dy 2 ( x y) 2( x y) . 2 dx dx g ( x ) cos x ,x 0 四、已知 f ( x ) 其中g ( x ) 有二阶连 x a , x 0 续导数，且 g ( 0) 1 ， 1、确定 a 的值，使 f ( x ) 在x 0 点连续； 2、求 f ( x ) y x ln x , 求 f ( n ) (1) . 五、设 3 六、计算 9.02 的近似值 .
6、已知函数 f ( x ) 具有任意阶导数，且 2 f ( x ) f ( x ) ,则当n 为大于 2 的正整数时， f ( x ) 的 n 阶导数 f ( n ) ( x ) 是（） n1 n1 （A）n![ f ( x )] ；（B） n[ f ( x )] ； [ f ( x )] 2 n ； n![ f ( x )] 2 n . （C）（D） t 7、若函数 x x (t ) , y y (t ) 对可导且x ( t ) 0 ,又 x x (t ) 的反函数存在且可导，则 dy =（） dx y ( t ) y ( t ) （A）；（B）； x( t ) x ( t ) y ( t ) y( t ) （C）；（D） . x ( t ) x ( t )

高数二期末考试题及答案

高数二期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. $ f(x) = x^2 $B. $ f(x) = x^3 $C. $ f(x) = \sin(x) $D. $ f(x) = \cos(x) $答案：C2. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} $ 的值是多少？A. 0B. 1C. $ \frac{1}{2} $D. $ \infty $答案：B3. 微分方程 $ y'' + y = 0 $ 的通解是？A. $ y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x $B. $ y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) $C. $ y = C_1 x + C_2 $D. $ y = C_1 \ln(x) + C_2 $答案：B4. 定积分 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $ 的值是多少？A. $ \frac{1}{3} $B. $ \frac{1}{2} $C. $ 1 $D. $ 2 $答案：A5. 曲线 $ y = x^3 $ 在点 $ (1,1) $ 处的切线斜率是？A. 3B. 1C. 0D. $ \frac{1}{3} $答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 $ f(x) = x^2 - 6x + 8 $ 的最小值是 ________。

答案：22. 函数 $ f(x) = e^x $ 的导数是 ________。

答案：$ e^x $3. 函数 $ y = \ln(x) $ 的定义域是 ________。

答案：$ (0, +\infty) $4. 函数 $ y = \frac{1}{x} $ 的图像关于 ________ 对称。

答案：原点三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数 $ y = x^3 - 3x^2 + 4 $ 在 $ x = 2 $ 处的导数。

高数期末考试题大题及答案

高数期末考试题大题及答案一、极限题目1：求函数 $ f(x) = \frac{3x^2 - x}{x^2 + 2} $ 在 $ x \to \infty $ 时的极限。

解答：首先，我们可以通过分子分母同时除以 $ x^2 $ 来简化函数：\[ f(x) = \frac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x^2}} \]当 $ x \to \infty $ 时，$ \frac{1}{x} $ 和$ \frac{2}{x^2} $ 都趋向于 0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3 \]二、导数与微分题目2：求函数 $ g(x) = x^3 - 2x^2 + x $ 的导数。

解答：使用幂函数的导数规则，我们有：\[ g'(x) = 3x^2 - 4x + 1 \]三、积分题目3：计算定积分 $ \int_{0}^{1} x^2 dx $。

解答：首先，我们需要找到 $ x^2 $ 的原函数，即：\[ F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \]然后，我们可以计算定积分：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1^3}{3} -\frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]四、无穷级数题目4：判断级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} $ 的收敛性。

解答：该级数可以重写为：\[ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}\right) \]这是一个交错级数，我们可以通过比较测试来判断其收敛性。

由于每一项都是正的且递减，我们可以得出结论，该级数是收敛的。

高数期末考试题及答案复旦

停车场停车券活动方案一. 活动目标本次停车场停车券活动的目标是吸引更多的用户使用停车场服务，增加停车场的收入。

通过发行停车券，提供优惠价位的停车服务，提高用户的体验及满意度，同时提升停车场的知名度和竞争力。

二. 活动时间活动时间为2022年1月1日至2022年3月31日，共计三个月。

三. 活动内容1. 停车券发行在活动期间，停车场将发行特定面额的停车券，用户可以在购买时获得相应的折扣或免费停车时间。

停车券的发行方式包括：•定期会员赠送：停车场会定期向会员赠送停车券，以奖励他们的忠诚度和支持。

•社交媒体活动：通过停车场的社交媒体平台，开展相关活动，让用户有机会赢得免费停车券。

•合作伙伴赞助：与合作伙伴合作，通过赞助方式提供免费或折扣停车券，吸引更多用户关注和使用停车场服务。

2. 会员特权为增加用户粘性和提高会员参与度，停车场将为定期会员提供特殊服务和特权，例如：•优先停车位：为会员提供专门的VIP停车区域或优先选择的停车位，方便会员快速进出停车场。

•免费车辆清洗：定期会员在停车期间，停车场将提供免费的车辆清洗服务，提升会员的停车体验。

3. 推荐奖励通过推荐活动，停车场将为用户提供额外的停车券作为奖励。

当用户成功推荐朋友或家人使用停车场服务时，推荐者将获得相应面额的停车券作为奖励。

4. 良性竞争在活动期间，停车场将与周边的其他停车场进行良性竞争。

通过提供更好的服务和更有竞争力的价格，吸引更多用户选择停车场停车券，并增加停车场的使用率。

四. 活动宣传为确保活动的成功，停车场将进行全方位的宣传推广。

宣传渠道和方式包括但不限于：•广告投放：通过户外广告牌、公交车身广告等方式进行线下宣传；•线上宣传：通过停车场官方网站、社交媒体平台、电子邮件等进行线上宣传；•合作推广：与相关合作伙伴进行合作推广，如APP推广、OTA平台推广等。

五. 活动效果评估活动结束后，停车场将根据以下指标对活动的效果进行评估：•停车场的总收入增长情况；•会员数量的增加情况；•用户对停车场服务的评价及满意度提升情况。

高数期末考试题及答案同济

高数期末考试题及答案同济一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数$ f(x) = x^2 $在区间[-1, 1]上的最大值是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：D2. 曲线$ y = x^3 $在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 4答案：C3. 若$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $，则$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} $为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B4. 函数$ f(x) = \frac{1}{x} $在区间(0, +∞)上的连续性是：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 有界答案：A5. 定积分$ \int_{0}^{1} x^2 dx $的值是：A. $ \frac{1}{3} $B. $ \frac{1}{2} $C. $ \frac{1}{4} $D. $ \frac{1}{6} $答案：D6. 微分方程$ y'' - y' - 6y = 0 $的特征方程是：A. $ r^2 - r - 6 = 0 $B. $ r^2 + r - 6 = 0 $C. $ r^2 - r + 6 = 0 $D. $ r^2 + r + 6 = 0 $答案：A7. 若$ \lim_{x \to \infty} f(x) = L $，则$ \lim_{x \to \infty} f(2x) $为：A. $ \frac{L}{2} $B. $ 2L $C. $ L $D. 不存在答案：C8. 函数$ f(x) = \ln(x) $的原函数是：A. $ x $B. $ x^2 $C. $ e^x $D. $ x \ln(x) - x $答案：D9. 函数$ f(x) = e^x $的泰勒展开式是：A. $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots $B. $ 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \ldots $C. $ 1 + x - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} - \ldots $D. $ 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots $答案：A10. 若$ \int_{a}^{b} f(x) dx = 0 $，则$ f(x) $在区间[a, b]上：A. 恒为0B. 有界C. 单调递增D. 至少有一个零点答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 若$ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $，则$ f'(x) = $______。

大学高数期末考试题与答案

第一学期高等数学期末考试试卷答案一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分），1．求极限lim1 cos x x2 x．3 x 0 si n x解：1 cosx x x x2 1 1 c o xs 1cosx x 2x21 2lim lim lim si n 3 x x 3 x 3 x 0 x 0 x 0x ln 1 cosx x ln 1 c oxs 1 cosx ln 1 cosxe 2 1 e 2 1 xln 2 2 lim lim limlimx 3 1 cosx x 3 x 2x 0 x 0 x 0 x 0xln 2l i m s inx 1 ．x 0 1 c o sx 2x 4与 x 2 3x2．设 x 0 时，fx 是等价无穷小， f t dt 与 Ax k等价无穷小，求常数 k 与 A ．2 0 解：3 x3 x f t dt由于当 x 0 时， f t dt 与 Ax k等价无穷小，所以 lim 0 k 1 ．而0 x 0 Ax3 x21 x 31f t dt f 3 x 2 23 3 x 2f 3 x 2 3 3 x 2x 3 x 31lim 0 lim li m li mlimAx kxx 0 Akx k 1 x 0 2Akx k 1 x 0 6Akx k 1 x 0 6Akx k 1x 32所以， lim11．因此， k 1, A 1． x 0 6 Akx k 163 x 2ax b dx 中不含有对数函数，求常数 a 与b应满足的条件．2 ．如果不定积分x 1 1x 2解：x 2ax b 化为部分分式，有将2 1 x 2x 1x 2ax bA B CxD ，x 1 2 1 x 2x 1 x 1 21 x 2因此不定积分x 2ax bdx 中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数x 1 2 x 21A C 0 ．即x 2ax bB D B 1 x 2D x 1 22 22 2 ．1 x 2x 1 1 x 2x 1 x 1 1 x所以，有x 2ax b B 1 x 2 D x 1 2 B D x 2 2DxB D ．比较上式两端的系数，有 1 B D , a 2D , b B D ．所以，得 b 1．525．计算定积分 min 1, x 2 dx ． 0解：m i n1, x 2 x 2x 2 11 x2 1 1 x 12 x 1 x 2x 2 2 x ．31x35521 2 2 13 所以， min 1, x 2 dx 1dx 2 x dx x 2 dx ．0 0 1 2 85．设曲线 C 的极坐标方程为 r a sin 3，求曲线 C 的全长． 3解：曲线 r a sin 3一周的定义域为 0 3 ，即 03 ．因此曲线 C 的全长为 3 3 2 2 3 3 3 s r r d 2 6 a 24 2 2aa s i n s i n c o s d a s i n d ．0 0 3 3 3 0 3 2二．（本题满分 45 分，共有 5 道小题，每道小题 9 分），6．求出函数f x sin x lim 2n 的所有间断点，并指出这些间断点的类型． n 1 2 x解：sin x x1 21sin x x 1 2 2f x lim 2n．1 1 n12 x x 2 20 x 1 2因此 x 1 1 1 是函数 f x与 x 2 2 的间断点． 2l i m f x l i m 0 0 ， lim f x lim si nx 1 ，因此 x 1x 的第一类可是函数 f 1 x 1 x 1 1 2x 2 2 x2 2去型间断点．li mf x lim s i n x1 ，limf x lim 0 0 1 是函数 f x 的第一类可去型，因此 x 1 x 1x 1 x 1 2 x2 2 2 2 间断点．7．设是函数 f x arcsin x 在区间 0, b 上使用 Lagrange （拉格朗日）中值定理中的 “中值 ”，求极限 lim ．b 0 b 解：f x ar c s ixn 在区间0, b 上应用 Lagrange 中值定理，知存在 0, b ，使得arcsinb arcsin0 1 b 0 ．1 2b 2所以， 21．因此，arcsinbb 22 12 2arcsinblim lim a r c s bin bb 2 2 lim2b 0 b 0 bb 0 b 2a r c sbin令t arcsinb，则有2lim t 2 2limt2 2lim sin t s i n tb 0b 2t 0t2 sin 2tt0 t 4lim 2t sin 2t lim 22cos2t 1 lim 1 cos2t1 lim2 s in2t 1 t 0 4t 3t 0 12t 26 t 0 t 2 6 t 0 2t 3所以， lim 1 ．b 0 b31 x 18．设 fx e y 2 y dy ，求f x dx ．0 0解：111f x dx xf xf x dxx 00 01 x在方程f x e y 2ydy 中，令x 1 ，得1 1 0f 1 e y 2 y dy e y 2 y dy 0 ．0 0再在方程1 因此，1 xf xe1 x2f x e y 2y dy 两端对 x 求导，得，011 1f x dx xfx xf x dx xf x dx 00 0 01 11 11 x 2x 2e x2xe dx e xe dx e0 0 2 0 1e 1 ．29．研究方程 e x a x2 a 0 在区间, 内实根的个数．解：设函数f x ax2 e x1， f x 2axe x ax2e x ax 2 x e x．令f x 0 ，得函数 f x 的驻点 x10, x2 2 ．由于 a 0 ，所以lim fx lim ax2e x 1 ，x xlim f x lim 2ex1 a limx21 a lim2x1 a lim21 1．axe xexexx x x x x因此，得函数 f x 的性态x , 0 0 0, 2 2 2,f x 0 0f x 1 4ae 21 1⑴若 4ae 2 1 0，即 a e2时，函数f x ax2 e x1在, 0、0, 2、2, 内4各有一个零点，即方程e x a x2在, 内有 3 个实根．⑵若 4ae 2 1 0 ，即 a e2时，函数f x ax2 e x1在, 0、0, 内各有一个零4点，即方程 e x a x2在, 内有 2 个实根．⑶若 4ae 2 1 0 ，即 a e2时，函数f x ax 2e x 1 在, 0 有一个零点，即方程4e xa x 2在, 内有 1 个实根．10．设函数 f x 可导，且满足f x x f x 1 ， f 0 0 ．试求函数 f x 的极值．解：在方程 f x xf x 1 中令 tx ，得f t t f t 1 ，即f x x f x 1 ．f x xf x x 中消去f x ，得在方程组xf x f x xf x x x2．1 x2x t 2积分，注意 f 0 0 ，得 f x f 0 t 0 1t 2 dt ．即x t t 2 1 ln 1 x 2f x 2 dt x arctan x ．0 1t 2由 f x x x 2f x 的驻点 x10, x21 ．而f 1 2 x x 21 x 2得函数 x 1 x 22 ．所以，f 0 1 0 ， f1 1 0 ．21ln 2所以， f0 0 是函数f x 极小值； f 1 1 是函数 f x 极大值．2 4三．应用题与证明题（本题满分20 分，共有 2 道小题，每道小题 10 分），11．求曲线 y x 的一条切线，使得该曲线与切线 l 及直线 x 0 和 x 2 所围成的图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积为最小．解：设切点坐标为 t, t 1 ，可知曲线 y x 在 t , t 处的切线方程为，由 y 2 t yt11x t ．x t ，或 y2 t2 t因此所求旋转体的体积为 2V1 2 82x tx dx 4 2t2 t4 3t所以， dV8 2 0 ．得驻点 t2 ，舍去 t2 ．由于 dt 4 3t 233d 2V16 0 ，因而函数 V 在 t 2 dt 24 3t 2 处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切 t 2 t 3233 线方程为 y 3 x 1 ．4 212．设函数 f x 在闭区间0， 1 上连续，在开区间0， 1 内可导，且2e f xarctan xdx 1， f 1 0 ．2 证明：至少存在一点 0， 1 ，使得 f1．1 2arctan 解：因为 f x 在闭区间 0, 1 上连续，所以由积分中值定理，知存在20,，使得2e fx arctanxdx 2 e f arctan ．0 2由于 e fx arctan xdx 1，所以， 2 e farctan 1 ．再由 f 1 0 ，得 022e farctan e f1 arctan 1．4作函数 g xe f x arctan x ，则函数在区间 , 1 0, 1 上连续，在区间 , 1 内可导．所以由 Rolle 中值定理，存在, 1 0, 1 ，使得 g 0 ．而 g x e fx f e fx 2 ．x a r c t axnx1所以存在, 10, 1 ，使得e ff a r c t a ne f20 ．1由于 e f0 ，所以 farctan 1 2 0，即 f11．12 arctan一个处处像别人表明自己优秀的，恰恰证明了他（她）并不优秀，或者说缺什么，便炫耀什么。

大学高数期末考试题与答案

因为懂得，人生的风景，最终是回归到心灵的本源。和谐共生，平等友爱，才是对生命的尊重和对自己的珍视。
解：
设切点坐标为 t,
t ，由 y 1 ，可知曲线 y 2t
x 在 t , t 处的切线方程为
y t 1 x t ，或 y 1 x t ．
2t
2t
因此所求旋转体的体积为
2
2
V
1 xt
0 2t
2
x dx
8 4 2t
4 3t
dV
所以，
dt 4
8 3t 2
2
0 ．得驻点 t
2 ，舍去 t
3
2
．由于
3
d 2V
10．设函数 f x 可导，且满足
f x x f x 1 ， f 0 0．
试求函数 f x 的极值．
解：
在方程 f x x f x 1 中令 t x ，得 f t
t f t 1 ，即
f x x f x 1．
f x xf x x
在方程组
中消去 f
xf x f x x
x ，得
x x2 f x 1 x2 ．
dt 2 t 2
3
16
4 3t 2 t 2
3
0 ，因而函数 V 在 t
2
处达到极小值，而且也是最小值．因此所求切
3
线方程为 y
31 x．
42
12．设函数 f x 在闭区间 0， 1 上连续，在开区间 0， 1 内可导，且
证明：至少存在一点解：
2
e f x arctan xdx 1 ， f 1 0 ．
f
ef
ef
arct an
2 0．
1
由于 e f

高职高数期末考试题及答案

高职高数期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是偶函数？A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^2 - 2xC. f(x) = x^2 + 1D. f(x) = |x|答案：D2. 函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在区间[-2, 1]上的最大值是：A. 5B. 11C. 13D. 15答案：B3. 若f(x) = ln(x)，则f'(x)等于：A. 1/xB. x^(-1)C. x^(-2)D. x答案：A4. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x在x = 3处的切线斜率是：A. 0C. 6D. 9答案：A5. 极限lim (x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. π/2D. 不存在答案：B6. 函数y = x^2 - 4x + 4的最小值出现在x =：A. -2B. 0C. 2D. 4答案：C7. 微分dy = 2x dx表示的函数是：A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x^2 - CD. y = 2x^2 + C答案：A8. 积分∫x^2 dx的结果是：B. x^3/3C. x^4/4D. x^4答案：B9. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：B10. 级数∑(1/n^2)从n=1到无穷的和是：A. π^2/6B. eC. ln(n)D. 不收敛答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极小值点是 _ 。

答案：22. 函数y = e^x的反函数是 _ 。

答案：ln(y)3. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的最小值是 _ 。

答案：04. 函数y = sin(x)的图像关于 _ 对称。

答案：y轴5. 函数f(x) = √x的值域是 _ 。

山东高数期末考试题及答案

山东高数期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. $ y = \sin x $B. $ y = e^x $C. $ y = \cos x $D. $ y = \tan x $答案：B2. 函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $ 的零点是：A. 1B. 2C. 3D. 1和3答案：D3. 微分方程 $ \frac{dy}{dx} + 2y = 6x $ 的解是：A. $ y = 3x^2 - x + C $B. $ y = 3x^2 + C $C. $ y = 3x^2 - 2x + C $D. $ y = 3x^2 + 2x + C $答案：A4. 若 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $，则$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = $：B. 2C. 4D. 8答案：B5. 曲线 $ y = x^3 - 2x^2 + x $ 在 $ x = 1 $ 处的切线斜率为：A. -2B. 0B. 2D. 4答案：A6. 若 $ \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 $，且 $ f(x) = 3x^2 +1 $，则 $ \int_{0}^{1} x f(x) \, dx = $：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C7. 函数 $ f(x) = \ln(x + 1) $ 的导数是：A. $ \frac{1}{x} $B. $ \frac{1}{x+1} $C. $ \frac{1}{x-1} $D. $ \frac{1}{x} - 1 $8. 函数 $ y = \sin x + \cos x $ 的最大值是：A. 1B. $ \sqrt{2} $C. 2D. $ \sqrt{3} $答案：B9. 曲线 $ y = x^3 $ 在 $ x = 1 $ 处的切线方程是：A. $ y = 3x - 2 $B. $ y = 3x - 1 $C. $ y = 3x + 1 $D. $ y = 3x - 3 $答案：B10. 若 $ \lim_{n \to \infty} a_n = L $，且 $ a_n =\frac{1}{n} $，则 $ L = $：A. 0B. 1C. $ \frac{1}{2} $D. $ \frac{1}{\sqrt{n}} $答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数 $ y = \ln x $ 的导数是 $ \frac{1}{x} $。

高等数学期末复习题库

高等数学期末复习题库一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x-2在区间[-5, 4]上的最大值是：A. 0B. 2C. 10D. 162. 曲线y=x^3-6x^2+9x+1在点(2,5)处的切线斜率是：A. 1B. -1C. 3D. -33. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 14. 幂级数Σ(n=1 to ∞) x^n/n 收敛的区间是：A. (-1, 1)B. (-∞, ∞)C. [1, ∞)D. [0, 1]5. 函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. π/2D. π/4二、填空题6. 函数f(x)=x^3-2x^2+x-3在x=______处取得极小值。

7. 若f(x)=e^x，g(x)=ln(x)，则f(g(x))=______。

8. 函数y=x^2-4x+3的图像与x轴的交点坐标是(1, 0)和(______, 0)。

9. 若定积分∫(a,b) f(x) dx = 5，且a=1，f(x)=x^2，则b=______。

10. 利用泰勒公式展开e^x在x=0处的前三项是______。

三、解答题11. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1, 3]上的最大值和最小值。

12. 证明：对于任意的正整数n，有1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。

13. 解微分方程dy/dx + 2y = x^2，初始条件为y(0)=1。

14. 求定积分∫(0,π/2) sin(x) dx。

15. 利用傅里叶级数展开函数f(x)=x^2在区间[-π, π]上的周期延拓。

四、证明题16. 证明函数f(x)=x^3在R上是严格递增的。

17. 证明定积分∫(0,1) x ln(x) dx = -1/4。

18. 证明级数Σ(n=1 to ∞) (1/n^2)是收敛的。

五、应用题19. 一个物体从静止开始，以初速度为0，加速度为常数a=2m/s^2，求物体在t=3秒时的位置。

2021-2022学年高等数学期末考试卷(含答案)

2021-2022学年高等数学期末考试一、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）1．极限(,)lim y x y →= 。

2．已知函数22ln(1)z x y =-+，则(1,2)|dz = 。

3．设:L 22(1)4x y -+=，则ds y x x L )2(22+-⎰= 。

4．判断级数21(1)1nn n +∞=-+∑ 。

（填绝对收敛，条件收敛，发散）5．点)3,1,2(-M 到平面 0332=+--z y x 的距离为。

二、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）6．函数(,)z f x y =在点),(00y x 处连续是它在该点偏导数存在的（）（A ）必要而非充分条件；（B ）充分而非必要条件；（C ）充分必要条件；（D ）非充分又非必要条件。

7．曲面2223z x y =+在点(1,2,14)处的切平面方程为（）（A ）41242x y z ++=；（B ）12144121x y z ---==-；（C ）41214x y z +-=；（D ）12144121x y z ---==。

8．幂级数11(21)n n x n ∞=+∑的收敛域为（）（A ）(1,1)-；（B ）[1,0)-；（C ）(1,0]-；（D ）[1,0]-。

9．直线 41112:1--==+z y x L 与 22221:2-=-+=z y x L 的夹角是（）。

（A ）2π；（B ）3π；（C ）4π；（D ）6π。

10．将函数()1f x x =+，[0,]x π∈展开为正弦级数1()sin n n f x b nx ∞==∑，则级数的系数4b =（）（A ） 12-；（B ）13；（C ）13-；（D ）12。

三、计算题(本题8分)11. 直线l 过点M(1,2,3)且与两平面02=-+z y x 和6432=+-z y x 都平行，求直线l 的方程。

高数上册期末考试试题及答案

高数上册期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+1在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 曲线y=x^3-2x在点(1,-1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：D3. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f'(x)为：A. cos(x)-sin(x)B. sin(x)+cos(x)C. sin(x)-cos(x)D. cos(x)+sin(x)答案：A4. 定积分∫(0,π)sin(x)dx的值是：A. 0B. 1C. 2D. π答案：C5. 函数f(x)=ln(x)的定义域是：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)答案：B6. 函数y=x^2-4x+4的最小值是：A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A7. 函数f(x)=x^3-6x^2+9x的拐点是：A. x=1B. x=3C. x=0D. x=2答案：D8. 函数y=e^x的导数是：A. e^xB. xC. 1D. 0答案：A9. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+6的极值点是：A. x=-1B. x=1C. x=-2D. x=2答案：D10. 函数y=ln(x)的泰勒展开式在x=0处的前三项是：A. x-x^2/2+x^3/3B. x+x^2/2+x^3/3C. x-x^2/2+x^3/6D. x+x^2/2-x^3/3答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-3x+2在x=2处的导数值是________。

答案：12. 微分方程dy/dx+2y=x^2的通解是y=________。

答案：(x^2-x+C)e^(-2x)3. 函数y=sin(x)的原函数是________。

答案：-cos(x)+C4. 函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的最大值是________。

高数下学期期末试题(含答案)3套

高等数学期末考试试卷1一、单项选择题（6×3分）1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )A.0B.C.D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（）A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件3、设函数，则等于（）A. B.C． D.4、二次积分交换次序后为（）A. B.C. D.5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解，若，则在处（）A.某邻域内单调减少B.取极小值C.某邻域内单调增加D.取极大值二、填空题（7×3分）1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝2、设，，那么3、D 为，时，4、设是球面，则＝5、函数展开为的幂级数为6、＝7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分)1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。

2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。

3、计算二重积分，其中4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。

25、求级数的和。

四、综合题(10分)曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。

五、证明题 (6分)设收敛，证明级数绝对收敛。

一、单项选择题（6×3分）1、 A2、 C3、 C4、 B5、 A6、 D二、填空题（7×3分）1、22、3、 4 、5、6、0 7、三、计算题(5×9分)1、解：令则，故2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为：3、解：＝＝＝4、解：令，则当，即在x 轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则＝＝＝5、解：令则，即令，则有＝四、综合题(10分)4解：设曲线上任一点为，则过的切线方程为：在轴上的截距为过的法线方程为：在轴上的截距为依题意有由的任意性，即，得到这是一阶齐次微分方程，变形为： (1)令则，代入（1）得：分离变量得：解得：即为所求的曲线方程。

高等数学期末考试试题(含答案)

（2017至2018学年第一学期）一、单项选择题（15分，每小题3分）1、当∞→x 时，下列函数为无穷小量的是（）（A ）x Cosx x - （B ）x Sinx（C ）121-x （D ）x x )11(+2．函数)(x f 在点0x 处连续是函数在该点可导的（）（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 3．设)(x f 在),(b a 内单增，则)(x f 在),(b a 内（）（A ）无驻点（B ）无拐点（C ）无极值点（D ）0)(>'x f4．设)(x f 在][b a ，内连续，且0)()(<⋅b f a f ，则至少存在一点），（b a ∈ξ使（）成立。

（A ）0=）（ξf （B ）0='）（ξf（C ）0=''）（ξf （D ））（）（）（）（a b f a f b f -⋅'=-ξ 5．广义积分)0(>⎰∞+a dxax p当（）时收敛。

（A ）1>p (B)1<p (C)1≥p (D)1≤p二、填空题（15分，每小题3分）1、若当0→x 时，22~11x ax --，则=a ；2、设由方程22a xy =所确定的隐函数)(x y y =，则=dy ；3、函数)0(82>+=x xx y 在区间单减；在区间单增；4、若x xe x f λ-=)(在2=x 处取得极值，则=λ ；5、若dx x f dx x xf a ⎰⎰=10102)()(，则=a ；三、计算下列极限。

（12分，每小题6分）1、xx xx )1(lim +∞→ 2、 200)1(lim xdte xt x ⎰-→四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、241x y -=，求y ' 2、⎪⎩⎪⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2 ，求22dx y d五、计算下列积分（18分，每小题6分）1、dx xxx ⎰+++21arctan 1 2、dx x x ⎰--223cos cos ππ3、设dt ttx f x ⎰=21sin )(，计算dx x xf ⎰10)(六、讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=2,22,cos 2)(ππππx x x x x x f 的连续性，若有间断点，指出其类型。

高数期末考试题及答案

高数期末考试题及答案第一部分：选择题1. 下面哪个函数在整个实数域上都是偶函数？A. sin(x)B. x^3C. ln(x)D. cos(x)答案：D. cos(x)2. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1，求其极大值点的横坐标。

A. x = -1/3B. x = 1/3C. x = 2/3D. x = 1答案：B. x = 1/33. 已知函数f(x) = ln(x)，求f'(e)的值。

A. eB. 1C. 0D. -1答案：B. 14. 函数f(x) = e^x + 2x，求f''(0)的值。

A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A. 25. 已知函数f(x) = (x - 1)e^x，在区间[0, 1]上的最大值点为x = a，最小值点为x = b，求a + b的值。

A. 1B. 0C. -1D. e答案：B. 0第二部分：计算题1. 求不定积分∫(2x + 1)dx。

解：∫(2x + 1)dx = x^2 + x + C2. 求定积分∫[0, 1] (3x^2 - 2x + 1)dx。

解：∫[0, 1] (3x^2 - 2x + 1)dx = [x^3 - x^2 + x] |[0, 1] = 13. 求函数y = x^3在点x = 2处的切线方程。

解：首先求导，得到y' = 3x^2。

在x = 2处，斜率k = 3(2)^2 = 12。

切线方程为y - y1 = k(x - x1)，代入x = 2，y = 2^3 = 8，得到y - 8 = 12(x - 2)。

4. 求解方程sin(x) + cos(x) = 0的所有解。

解：sin(x) + cos(x) = 0sin(x) = -cos(x)tan(x) = -1x = π/4 + nπ，其中n为整数。

5. 计算θ = arctan(1) + arctan(2)的值。

解：利用反正切的加法公式，有θ = arctan((1 + 2)/(1 - 1*2)) = arctan(3/(-1)) = arctan(-3)。

高等数学上册期末考试卷

高等数学上册期末考试卷一、选择题（每题2分，共10分）1. 已知函数$ f(x) = 3x^2 - 2x + 1 $，求$ f(-1) $的值。

A. 4B. 2C. -2D. -42. 极限$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $的值是多少？A. 0B. 1C. $ \frac{\pi}{2} $D. 不存在3. 以下哪个函数是偶函数？A. $ f(x) = x^2 $B. $ f(x) = x^3 $C. $ f(x) = |x| $D. $ f(x) = \sin x $4. 以下哪个级数是收敛的？A. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $B. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $C. $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} $D. $ \sum_{n=1}^{\infty} n $5. 函数$ y = \ln(x) $的导数是：A. $ \frac{1}{x} $B. $ \frac{x}{1} $C. $ \frac{1}{x^2} $D. $ \frac{1}{x} + 1 $二、填空题（每空1分，共10分）1. 若$ \int_{0}^{1} f(x)dx = 2 $，则$ \int_{1}^{2} f(x)dx$的值是______。

2. 函数$ f(x) = \frac{1}{x} $在$ x = 0 $处的极限是______。

3. 若$ \lim_{x \to 2} (x^2 - 4x + 4) = a $，则$ a $的值是______。

4. 函数$ y = \ln(1 + x) $的二阶导数是______。

5. 级数$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} $的和是______。

高数期末试题

高数期末考试题及答案解析

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