山东省枣庄市2018届高三第二次模拟考试数学理
2019(秋季版)届高三数学第二次模拟考试试题 理
山东省枣庄市2018届高三数学第二次模拟考试试题 理第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≥，则R C A =（ ）A ．(1,2)-B ．[1,2]-C ．(2,1)-D ．[2,1]- 2.已知复数1iz i=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．1 B ．12C．2 D3.已知123a -=，31log 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．a b c >> D ．c b a >> 4.下图给出的是计算11112462018+++⋅⋅⋅+值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（ ）A ．2016?i >B ．2018?i >C ．2016?i ≤D ．2018?i ≤ 5.若2101()()x a x x-+的展开式中6x 的系数为30，则a =（ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．2 6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．316 B ．38 C ．14 D ．187.已知tan()44πα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．79C ．19-D ．198.函数()ln(1)f x x x =-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，则满足(21)(2)f x f +>成立的x 取值范围是（ ）A ．31(,)22-B ．31(,)(,)22-∞-+∞ C ．1(,)2-∞ D ．1(,)2+∞10.某多面体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形.该多面体的各个面中有若干个是等腰三角形，这些等腰三角形的面积之和为（ ）A ．4+．4+．．4+11.设1F 、2F 是椭圆C ：2212x y m +=的两个焦点，若C 上存在点M 满足12120F MF ∠=，则m 的取值范围是（ ）A ．1(0,][8,)2+∞B ．(0,1][8,)+∞C ．1(0,][4,)2+∞ D ．(0,1][4,)+∞12.已知函数2()(12)()f x x x ax b =+++(,)a b R ∈的图象关于点(1,0)对称，则()f x 在[1,1]-上的值域为（ ）A．[8,2- B．[7,2- C．[8,2- D．[7,2- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则22(1)x y ++的最大值为 ．14.在平行四边形ABCD 中，4AB =，3CP PD =，若1AB BP ⋅=-，则AB AD ⋅= ．15.已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，圆心在直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为 ．16.已知()sin cos f x x x ωω=-2()3ω>，若函数()f x 图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是 ．（结果用区间表示） 三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2364n n n a a S +=+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.在四棱锥S ABCD -中，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若底面ABCD 为矩形，23SA AD AB ==，F 为SC 的中点，23BE BC =，求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值.19.随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：根据一周内平均每天学习数学的时间t ，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m 甲（精确到0.01）； （Ⅱ）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X 甲与X 乙及方差2S 甲与2S 乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的X 甲、2S 甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）记事件A ：“甲高中学生对数学的喜好等级高于乙高中学生对数学的喜好等级”.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求A 的概率. 20.已知抛物线C ：212y x =，不过坐标原点O 的直线l 交于A ，B 两点. （Ⅰ）若OA OB ⊥，证明：直线l 过定点；（Ⅱ）设过A 且与C 相切的直线为1l ，过B 且与C 相切的直线为2l .当1l 与2l 交于点(1,2)-时，求l 的方程.21.已知2()1ln ()f x x a x a R =--∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =与x 轴有唯一公共点A ，求a 的取值范围； （Ⅱ）若不等式12()1x f x ex x -≤+--对任意的1x ≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为121x t y t a =-⎧⎨=--⎩（t 为参数）. （Ⅰ）若1a =，求直线l 被曲线C 截得的线段的长度；（Ⅱ）若11a =，在曲线C 上求一点M ，使得点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x a =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()3f x <的解集；（Ⅱ）设函数()1g x x =+.当x R ∈时，()()1f x g x +>恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: ACBDD 6-10: CBABB 11、12：AD 二、填空题13. 4 14. 11 15. 22(2)2x y +-= 16. 711[,]812三、解答题17.（Ⅰ）当1n =时，有2111364a a a +=+，即11(4)(1)0a a -+=.因为10a >，所以110a +>.从而140a -=，即14a =.由2364n n n a a S +=+，知2111364n n n a a S ++++=+. 两式相减，得22111336464n n n n n n a a a a S S ++++--=+--. 即22111336n n n n n a a a a a ++++--=，即2211330n n n n a a a a ++---=，即11()(3)0n n n n a a a a +++--=.因为0n a >，所以130n n a a +--=，即13n n a a +-=. 所以，数列{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列. 所以43(1)31n a n n =+-=+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3(31)(34)n b n n =++113134n n =-++. 数列{}n b 的前n 项和为1111()()47710n T =-+-+⋅⋅⋅+1111()()32313134n n n n -+--+++11434n =-+. 18.（Ⅰ）证法1：在平面ABCD 内过点C 作两条直线1l ，2l ， 使得1l AB ⊥，2l AD ⊥. 因为ABAD A =，所以1l ，2l 为两条相交直线.因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB平面ABCD AB =，1l ⊂平面ABCD ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面SAB . 所以1l SA ⊥. 同理可证2l SA ⊥.又因为1l ⊂平面ABCD ，2l ⊂平面ABCD ，12l l C =，所以SA ⊥平面ABCD .证法2：在平面SAB 内过点S 作1l AB ⊥，在平面SAD 内过点S 作2l AD ⊥. 因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB 平面ABCD AB =，1l ⊂平面SAB ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面ABCD . 同理可证2l ⊥平面ABCD .而过点S 作平面ABCD 的垂线有且仅有一条， 所以1l 与2l 重合.所以1l ⊂平面SAD . 所以，直线1l 为平面SAB 与平面SAD 的交线. 所以，直线1l 与直线SA 重合.所以SA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）如图，分别以AB 、AD 、AS 所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -.设6SA =，则2AB =，3AD =，(2,0,0)B ，(2,3,0)C ，(0,3,0)D ，(0,0,6)S . 由F 为SC 的中点，得3(1,,3)2F ；由23BE BC =，得(2,2,0)E . 所以1(1,,3)2EF =--，(2,3,6)SC =-，(2,0,0)DC =.设平面SCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n SC n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即236020x y z x +-=⎧⎨=⎩.取1z =，则2y =，0x =. 所以(0,2,1)n =.所以cos ,EF n <>EF n EF n⋅=⋅1(1)0()231-⨯+-⨯+⨯==.所以，直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值为205. 19.解：（Ⅰ）0.5(0.10.2)200.3m -+=+甲1026.67⨯≈；（Ⅱ）X X <甲乙；22S S >甲乙；50.1150.2250.3X =⨯+⨯+⨯甲350.2450.15550.0527.5+⨯+⨯+⨯=；222(527.5)0.1(1527.5)0.2S =-⨯+-⨯甲22(2527.5)0.3(3527.5)0.2+-⨯+-⨯22(4527.5)0.15(5527.5)0.05+-⨯+-⨯178.75=.（Ⅲ）由题意，甲高中学生对数学的喜好程度为“一般”、“爱好”、“痴迷”的概率分别为0.05、0.8、0.15.()0.650.050.05(0.050.8)P A =⨯+⨯+0.075=.20.设11(,)A x y ，22(,)B x y .（Ⅰ）解：显然直线l 的斜率存在，设为k ，直线的方程为y kx m =+.由题意，0m ≠.由212y kx m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2220x kx m --=.由题意，该方程的判别式24(2)0k m ∆=+>，即220()k m +>★. 则122x x k +=，122x x m =-.因为OA OB ⊥，所以OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，即21212(1)()k x x km x x +++20m +=.所以2222(1)20m k k m m -+++=.所以220m m -=.解得0m =（舍去），或2m =. 当2m =时，220k m +>，满足()★式. 所以直线l 的方程为2y kx =+. 直线l 过定点(0,2).（Ⅱ）解法一：过点(1,2)-且与C ：212y x =相切的直线的斜率必存在，设其斜率为k ，则其方程为(2)(1)y k x --=-，即(1)2y k x =--.由2(1)22y k x x y=--⎧⎨=⎩消去y 并整理得222(2)0x kx k -++=. 由判别式2(2)8(2)0k k ∆=--+=，解得1k =±不妨设1l的斜率11k =2l的斜率21k =由韦达定理，得1212x x k +=，即111x k ==111(1)2y k x =--(123=+=+所以(1A ++.同理可得(1B .直线l的方程为(3y -+=[(1x -，即直线l 的方程为2y x =+.解法二：2'1'()2y x x ==，所以过A 且与C 相切的直线1l 的斜率为1x . 同理，2l 的斜率为2x .1l ：21111()2y x x x x -=-，即1l ：21112y x x x =-.同理2l ：22212y x x x =-. 因为1l 与2l 的交点(1,2)-的坐标为方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的解，所以211122x x -=-，且222122x x -=-. 所以方程2122x x -=-，即21202x x -++=的两个实根是1x ，2x .由21202x x -++=，解得11x =21x =.又点A ，B 在C ：212y x =上，可得(1A +，(1B --.直线l的方程为(3y -+=[(1x -，即直线l 的方程为2y x =+.解法三：2'1'()2y x x ==，所以过A 且与C 相切的直线1l 的斜率为1x .同理，2l 的斜率为2x .所以，切线1l ：111()y y x x x -=-，即2111y y x x x -=-.又11(,)x y 是抛物线212y x =上的点，所以21112y x =，即2112x y =. 故切线1l 的方程为11y x x y =-. 同理切线2l 的方程为22y x x y =-.又切线1l 与切线2l 均过点(1,2)-，故112x y -=-，222x y -=-. 所以切点11(,)A x y 、22(,)B x y 的坐标适合方程2x y -=-. 所以l 的方程为2y x =+.21.（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞.(1)0f =. 由题意，函数()f x 有唯一零点1.'()2a f x x x=-. （1）若0a ≤，则0a -≥.显然'()0f x >恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. 又(1)0f =，所以0a ≤符合题意.（2）若0a >，22'()x af x x -=.'()0f x x >⇔>'()00f x x <⇔<<. 所以()f x在上是减函数，在)+∞上是增函数.所以min ()f x f =1ln 222a a a =--. 由题意，必有0f ≤（若0f >，则()0f x >恒成立，()f x 无零点，不符合题意）.①若0f <，则1ln 0222a a a--<. 令()1ln (0)222a a a g a a =-->，则11'()ln 2222a a g a =--111ln 2222a a ⨯⨯=-. '()002g a a >⇔<<；'()02g a a <⇔>.所以函数()g a 在(0,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数. 所以max ()(2)0g a g ==.所以()0g a ≤，当且仅当2a =时取等号.所以，00f a <⇔>，且2a ≠.取正数1}a b e -<，则2()1ln 1ln f b b a b a b =-->--11()0a a>--⨯-=；取正数1c a >+，显然c >>.而2()1ln f c c a c =--， 令()ln h x x x =-，则1'()1h x x =-.当1x >时，显然1'()10h x x=-<. 所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x >时，()ln (1)10h x x x h =-<=-<，所以ln x x <.因为1c >，所以2()1ln f c c a c =--21()1c ac c c a >--=--110c >⨯->.又()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数.则由零点存在性定理，()f x 在、)+∞上各有一个零点. 可见，02a <<，或2a >不符合题意.注：0a >时，若利用00lim ()x f x →+=+∞，0f <，lim ()x f x →+∞=+∞，说明()f x 在、)+∞上各有一个零点.②若0f =1=，即2a =.符合题意. 综上，实数a 的取值范围为{|0,2}a a a ≤=或. （Ⅱ）12()1x f x ex x -≤+--1ln 0x x a x e -⇔--≤.令1()ln x g x x a x e -=--，则()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.（1）当0a =时，1()x g x x e -=-.当1x >时，10'()110x g x ee -=-<-=，所以()g x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x ≥时，()g(1)0g x ≤=.可见，0a =符合题意. （2）若0a <，显然1'()1x a g x e x--=+-在[1,)+∞上是减函数. 取实数1m a >-+，显然1m >.则1'()(1)m a g m em -=-+-[1(1)1]am m≤-+-+-（利用11(1)x e x -≥+-） (1)m m a m-+=-(1)(11)a a am-+-+-+<-20a m =-<. 又'(1)0g a =->，'()g x 在[1,)+∞上是减函数， 由零点存在定点，存在唯一的0(1,)x m ∈使得0'()0g x =.于是，当0(1,)x x ∈时，'()0g x >，函数()g x 在0(1,)x 上是增函数. 所以，当0(1,)x x ∈时，()(1)0g x g >=.可见，0a <不符合题意. 当0a >时，分如下三种解法：解法一：（3）若01a <≤，1'()1x a g x e x-=--，212''()x a x e g x x --=. 令21()x h x a x e-=-，显然21()x h x a x e-=-在[1,)+∞上是减函数，所以，当1x ≥时，()(1)10h x h a ≤=-≤，当且仅当1a =时取等号. 所以，当1x ≥时，2()''()0h x g x x =≤，1'()1x a g x e x-=--在[1,)+∞上是减函数. 所以，当1x ≥时，'()'(1)0g x g a ≤=-<. 所以，()g x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≤=.可见，01a <≤符合题意.（4）若1a >，1'()1x a g x e x-=--，212''()x a x e g x x --=. 令21()x h x a x e-=-，显然()h x 在[1,)+∞上是减函数，且(1)10h a =->，21()a h a a a e -=-10(1)0a a ae a e -<-<-=，所以，存在唯一的0(1,)x a ∈，使得0()0h x =，即12()a x aaex -=★. 于是，当(1,)a x x ∈时，()0h x >；当(,)a x x ∈+∞时，()0h x <.所以，当(1,)a x x ∈时，''()0g x >；当(,)a x x ∈+∞时，''()0g x <. 所以，'()g x 在(1,)a x 上是增函数，在(,)a x +∞上是减函数. 所以，'()g x 在[1,)+∞上的最大值max '()'()a g x g x =11a x aae x -=--. 将()★式代入上式，得max 2'()1a a a a g x x x =--2210a aa a aa x x <--=-<. 所以，当1x ≥时，'()0g x <，所以()g x 在[1,)+∞上是减函数. 所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≤=.可见，1a >符合题意. 综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.解法二：（3）若0a >，()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立1ln x e x a x -⇔-≥-对任意的1x ≥恒成立. 令1()x p x ex -=-，()ln q x a x =-.1'()1x p x e -=-，当1x >时，1'()1x p x e -=-1110e ->-=，所以()p x 在[1,)+∞上是增函数.所以min ()(1)0p x p ==. 显然()ln q x a x =-在[1,)+∞上是减函数，max ()(1)0q x q ==. 所以，当1x ≥时，()()p x q x ≥，即1ln x e x a x --≥-对任意的1x ≥恒成立.所以0a >符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞. 解法三：（3）若0a >，1()ln 0x g x x e a x -=--≤对任意的1x ≥恒成立.令1()x p x x e-=-，()ln q x a x =-.1'()1x p x e -=-，当1x >时，1'()1x p x e -=-1110e -<-=，所以()p x 在[1,)+∞上是减函数.所以min ()(1)0p x p ==. 所以，当1x ≥时，()0p x ≤.当0a >，1x ≥时，()ln 0q x a x =-≤.所以，当0a >，1x ≥时，()()()0g x p x q x =+≤恒成立. 所以0a >符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞. 解法四：12()1x f x e x x -=+--1ln 0x e a x x -⇔+-≥.令1()ln x g x ea x x -=+-，则()0g x ≥对任意的1x ≥恒成立.1'()1x ag x ex-=+-1x xe x a x --+=. 令1()x h x xex a -=-+，当1x >时，1'()(1)1x h x x e -=+-11(11)10e ->+->，所以()h x 在[1,)+∞上是增函数.（1）若0a ≥，则1x >时，()(1)0h x h a >=≥，()'()0h x g x x=>， 所以()g x 在[1,)+∞上是增函数.所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≥=.可见，0a ≥符合题意. （2）若0a <，(1)0h a =<，(1)(1)12a h a a e a --=--+2(1)[1()]210a a a a >-+-+-=>.（这里利用了0x >时，1xe x >+）又()h x 在[1,)+∞上是增函数，由零点存在性定理， 知存在唯一的(1,1)a x a ∈-，使得()0a h x =. 于是，当(1,)a x x ∈时，()0h x <，()'()0h x g x x=<， 所以，()g x 在(1,)a x 上是减函数.所以，当(1,)a x x ∈时，()(1)0g x g <=.可见，0a <不符合题意. 综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.注：利用(1)0h a =<，lim ()x h x →+∞=+∞，说明()h x 在(1,)+∞上有零点.解法五：12()1x f x ex x -≤+--1ln 0x x a x e -⇔--≤.令1()ln x g x x a x e-=--，则()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.（1）先寻求使结论成立的充分条件.由(1)0g =，要使()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.只需要()g x 在[1,)+∞上是减函数，即'()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立. 而1'()10x a g x e x-=--≤1(1)x a x e -⇔≥-， 所以，只需要1(1)x a x e -≥-对任意的1x ≥恒成立.令1()(1)x h x x e-=-，11'()1x x h x e xe --=--11(1)x x e -=-+.显然'()h x 在[1,)+∞上是减函数， 所以，当1x ≥时，11'()'(1)1(11)10h x h e -≤=-+=-<.所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以()h x 在[1,)+∞上的最大值max ()(1)0h x h ==. 则只需要max ()(1)a h x x ≥≥.可见，当0a ≥时，()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立. （2）当0a <时，'(1)0g a =->，(1)1'(1)11a ag a e a---=--- 121aa e a --=-- 12[1()]1a a a-<-+--（0x >时，1x e x >+） 212(1)1a a a ---=-201a a=-<-.又0a <时，1'()1x a g x e x--=+-在[1,)+∞上是减函数， 由零点存在定理，存在唯一的(1,1)a x a ∈-，使得'()0a g x =. 于是，当(1,)a x x ∈时，'()'()0a g x g x >=， 所以()g x 在(1,)a x 上是增函数.所以，当(1,)a x x ∈时，()(1)0g x g >=. 可见，0a <不符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.注：0a <时，用'(1)0g a =->，lim '()a x g x →+∞=-∞，说明()h x 在(1,)+∞上有零点.22.选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22194x y +=. 当1a =时，直线l 的普通方程为2y x =.由222194y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩.解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 直线l 被曲线C=. （Ⅱ）解法一：11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.由点到直线的距离公式，椭圆3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点(3cos ,2sin )M θθ到直线l ：2100x y --=的距离为d ===，其中0θ满足0cos θ=，0sin θ=. 由三角函数性质知，当00θθ+=时，d取最小值此时，03cos 3cos()θθ=-=，02sin 2sin()θθ=-=. 因此，当点M位于时，点M 到l的距离取最小值解法二：当11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.设与l 平行，且与椭圆22194x y +=相切的直线m 的方程为20x y t -+=. 由2220194x y t x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得2240369360x tx t ++-=.由判别式22(36)440(936)0t t ∆=-⨯⨯-=，解得t =±所以，直线m的方程为20x y -+=，或20x y --=.要使两平行直线l 与m 间的距离最小，则直线m的方程为20x y --=. 这时，l 与m间的距离d==. 此时点M的坐标为方程组2220194x y x y⎧--=⎪⎨+=⎪⎩的解5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 因此，当点M位于(105-时，点M 到直线l的距离取最小值23.选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）当4a =时，()34f x x =-. 由343x -<，解得1733x <<. 所以，不等式()3f x <的解集为17{|}33x x <<. （Ⅱ）()()31f x g x x a x +=-++3()13ax x =-++2133a ax x x =-+-++ 13a x x ≥-++（当且仅当3ax =时取等号） ()(1)3a x x ≥--+（当且仅当()(1)03ax x -+≤时取等号）13a=+. 综上，当3ax =时，()()f x g x +有最小值13a +.故由题意得113a+>，解得6a <-，或0a >. 所以，实数a 的取值范围为(,6)(0,)-∞-+∞.。
平衡力--三角形或相似三角形法
平衡力--三角形或相似三角形法学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．如图所示，将质量为m的小球用橡皮筋悬挂在竖直墙的O点，小球静止在M点，N为O点正下方一点，ON间的距离等于橡皮筋原长，在N点固定一铁钉，铁钉位于橡皮筋右侧。
现对小球施加拉力F，使小球沿以MN为直径的圆弧缓慢向N运动，P为圆弧上的点，角PNM为60°。
橡皮筋始终在弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度为g，则A. 在P点橡皮筋弹力大小为B. 在P点时拉力F大小为C. 小球在M向N运动的过程中拉力F的方向始终跟橡皮筋垂直D. 小球在M向N运动的过程中拉力F先变大后变小【来源】山东省潍坊市2018届高三第三次高考模拟考试理综物理试题【答案】AC【解析】A、设圆的半径为R，则，ON为橡皮筋的原长，设劲度系数为k，开始时小球二力平衡有；当小球到达P点时，由几何知识可得，则橡皮筋的弹力为，联立解得，故A正确。
B、小球缓慢移动，即运动到任意位置均平衡，小球所受三个力平衡满足相似三角形，即，，因，可得,故B错误。
C、同理在缓慢运动过程中由相似三角形原理可知，则拉力F始终垂直于橡皮筋的弹力，C正确。
D、在两相似三角形中，代表F大小的边MP的长度一直增大，故F一直增大，故D错误。
则选AC。
【点睛】三力平衡可以运用合成法、作用效果分解法和正交分解法，而三力的动态平衡就要用图解法或相似三角形法，若有直角的还可以选择正交分解法。
2．如图所示，有一个固定的1/4圆弧形阻挡墙PQ，其半径OP水平、OQ竖直．在PQ墙和斜面体A之间卡着一个表面光滑的重球B，斜面体A放在光滑的地面上并用一水平向左的力F推着，整个装置处于静止状态．现改变推力F的大小，推动斜面体A沿着水平地面向左缓慢运动，使球B沿斜面上升一很小高度．在球B缓慢上升的过程中，下列说法中正确的是A. 斜面体A与球B之间的弹力逐渐减小B. 阻挡墙PQ与球B之间的弹力逐渐减小C. 水平推力F逐渐增大D. 水平地面对斜面体A的弹力不变【来源】江西省赣州市赣州中学2018届高三下学期4月模拟考试（B）物理试题【答案】AB【解析】小球B 处于平衡状态，对B 受力分析，如图所示：当球B 沿斜面上升一很小高度时，圆弧阻挡墙对B 的压力方向与水平方向的夹角减小，根据图象可知，斜面体A 与球B 之间的弹力2N 逐渐减小，阻挡墙PQ 与球B 之间的弹力1N 逐渐减小，故AB 正确；以斜面体为研究对象，则有上述解析可知球B 对斜面A 的弹力减小，则可以将该力分解为水平方向和竖直方向，该力与水平竖直所成夹角不变，所以竖直与水平分力都减小，而F 等于其水平分力，故F 减小，地面对A 的支持力等于A 的重力加上该力的竖直分力，故地面对A 的支持力也减小，故CD 错误。
山东省枣庄第八中学南校区2017-2018学年高三2月教学质量调研考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若(1)2z i i +=+（i 是虚数单位），则z =( ) A ．322i + B ．322i - C ．322i -- D ．322i-+ 【答案】B考点：复数的四则运算.2. 设集合{}|13,A x x x R =+<∈，{}0,1,2B =，则AB =（ ）A ．{}|02x x <<B ．{}|42x x -<<C ．{}0,1,2D ．{}0,1 【答案】D 【解析】 试题分析：{}{}|13,|42,A x x x R x x x R =+<∈=-<<∈，{}0,1A B ∴=I .考点：集合的交集运算.3. 在ABC ∆中，“060A ∠=”是“sin A =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：若060A ∠=，则s i n s i n 602A=︒=；若s i n 2A =，则60360,A k k z ∠=︒+⋅︒∈；故“060A ∠=”是“sin A =”的充分不必要条件.考点：充分、必要条件的判断.【方法点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法： ①充分不必要条件：如果p q ⇒，且p q ⇐/，则说p 是q 的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果p q ⇒/，且p q ⇐，则说p 是q 的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果p q ⇒/，且p q ⇐/，则说p 是q 的既不充分也不必要条件. 4. 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位B ．向右平移3π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位 【答案】D考点：三角函数图像的平移.5. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A ．6π B ．3π C ．2πD ．π 【答案】A 【解析】试题分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其底面面积21212S ππ=⨯⨯=，高1h =，故半圆锥的体积136V Sh π==，故选：D. 考点：由三视图求面积、体积．6. 已知,x y 满足约束条件40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 【答案】D考点：简单的线性规划.7. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 D 【答案】A 【解析】 试题分析：∵OM PF⊥，且F M P =,∴OP OF=，∴45OFP ∠=︒,∴sin 45OM OF =⋅︒，即2a c =⋅,∴c e a ==故选A.考点：双曲线的简单性质．8. 已知向量,a b 的夹角为60°，且2,1a b ==，当a xb -取得最小值时，实数x 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-1 【答案】C考点：平面向量数量积的运算．9. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201620170,0S S ><，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为（ ）A ．1006B ．1007C ．1008D ．1009 【答案】D 【解析】 试题分析：由等差数列的求和公式和性质可得1201620161008192016100802()()a aS a a+==+>， ∴100810090a a +>，同理由20170S <可得100920170a <，可得10090a <，∴1008100900a a ><，，且10081009a a >∵对任意正整数n ，都有n k a a ≥，∴k 的值为1008，故选C ．考点：等差数列的性质．【思路点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，得出数列的最小项是解决问题的关键，由等差数列的求和公式和性质可得20161008100910080()S a a =+>和100920170a <，可得1008100900a a ><，，且10081009a a >，由题意易得结论．10. 已知R 上的奇函数()f x 满足()2f x '>-，则不等式2(1)(32ln )3(12)f x x x x -<-+-的解集是（ ）A ．1(0,)eB ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(,)e +∞ 【答案】B考点：1.导数在最大值、最小值问题中的应用；2.函数的单调性与导数的关系．【思路点睛】本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．构造函数()()()()2132ln 312g x f x xx x =-----，求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，满分25分．11. 某高校为了了解教研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[)35,40，[)40,45，[)45,50，[)50,55，[)55,60，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的教师有________人．【答案】48 【解析】试题分析：这80名教师中年龄小于45岁的教师频率为：()0.040.0850.6+⨯=，这80名教师中年龄小于45岁的教师人数为：0.68048⨯=． 考点：频率分布直方图．12. 执行右图的程序框图，则输出的S =________．【答案】2512考点：循环结构.13.二项式6(ax +的展开式中5x 20a x dx =⎰_________．【答案】13考点：1.二项式定理的应用；2.定积分．14.已知,M N 是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，则BMN ∆的面积为________． 【答案】32【解析】试题分析：由题意可知，联立222220240x y x x y x y ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩，可得直线MN 的方程为：0x y -=，所以()1,2B -到直线MN 的距离为2=，线段MN 的长度为=BMN ∆的面积为1322=. 考点：直线与圆的位置关系.【思路点睛】根据点,M N 是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，将其方程联立可得直线MN 的方程；再根据点到直线的距离公式求出圆心B 到直线MN 的距离，根据勾股定理可求得线段MN 的值，然后再根据面积公式即可求出BMN ∆的面积.15. 对于函数[]sin ,0,2()1(2)(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列5个结论：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有12()()2f x f x -≤；②函数()y f x =在区间[]4,5上单调递增；③()2(2)()f x kf x k k N +=+∈，对一切[)0,x ∈+∞恒成立； ④函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；⑤若关于x 的方程()(0)f x m m =<有且只有两个不同实根12,x x ，则123x x +=．则其中所有正确结论的序号是_________．（请写出全部正确结论的序号） 【答案】①④⑤显然有三个零点，所以④正确；根据题意画出()y f x =和2y x=的图像可知④正确;由下图可知，⑤正确.综上正确的序号是：①④⑤.考点：1.分段函数的最值；2.数形结合思想.【思路点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、等比数列的性质、分段函数的性质、函数的零点，考查了推理能力与计算能力；对于含参数的函数在区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数()f x ，利用函数的最值即可求出结果. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos ),m x x n x x x R ==∈，设()f x m n =． （1）求函数()f x 的解析式及单调增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且1,2,()1a b c f A =+==，求ABC ∆的面积．【答案】（1）,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,Z k ∈；（2考点：1.余弦定理；2.三角函数中的恒等变换应用． 17. （本小题满分12分）ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，其中//AB CD ，AB BC ⊥，112CD BC AB ===，点M 在线段EC 上． （1）证明:平面BDM ⊥平面ADEF ；（2）若2EM MC =，求平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的大小．π【答案】（1）详见解析；（2）3DN⊥（Ⅱ）在面DAB内过点D作AB,⊥∴,⊥又//面,DNABCDDNED∴EDCDAB⊥CD以D为坐标原点，DN所在的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立直角坐标系则)0,0,1(),2,0,0(),0,1,0(),0,1,1(N E C B )32,32,0(M …………5分设平面BMD 的法向量为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∴⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙∴=00323200),,,(111y x z y n n z y x n考点：1.面面垂直的判定定理以及性质定理；2.空间向量在立体几何中的应用.【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为θ)0(πθ≤≤，设12,n n 分别为平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量12,n n 的夹角为ω，则有πωθ=+（图1）或 ωθ=（图2）其中cos 2121=ωω θ βlαn 2n 1图1 图218. （本小题满分12分）某卫视的大型娱乐节目现场，所有参加的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否通过进入下一轮，甲、乙、丙三名老师都有“通过”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率均为13，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“通过”票，则该节目获得“通过”，否则该节目不能获得“通过”． （1）求某节目的投票结果获“通过”的概率；（2）记某节目投票结果中所含“通过”和“待定”票票数之和为X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）727；（2）2（2）所含 “通过”和“待定”票票数之和X 的所有取值为0，1，2，3，()303110327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21321613327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()223211223327P x C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333283327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，………… 8分 ∴X 的分布列为：01232279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………… 12分 考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.离散型随机变量及其分布列． 19. （本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且542622,332a S a a -=+=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12242nn na a a T =+++，n N +∈，求n T ． 【答案】（1）13-=n a n ；（2）3+552nn -【解析】考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前n 项和公式；3.错位相减法.【方法点睛】针对数列{}n n a b ⋅（其中数列{}{},n n a b 分别是等差数列和等比数列（公比1q ≠）），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤是:1.112233...n n n S a b a b a b a b =++++…①；2.等式112233...n n n S a b a b a b a b =++++两边同时乘以等比数列{}n b 的公比，得到 112233...n n n qS a b q a b q a b q a b q =++++…②；3.最后①-②，化简即可求出结果.20. （本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点3(1,)2．若点00(,)M x y 在椭圆C上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭点”． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，且,A B 两点的“椭点”分别为,P Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【答案】（1）22143y x +=；（2）S ∆=考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系. 21. （本小题满分14分） 已知函数21()ln (1)()2f x x ax a x a R =+-+∈． （1）当1a =时，求函数()y f x =的零点个数；（2）当0a >时，若函数()y f x =在区间[]1,e 上的最小值为-2，求a 的值； （3）若关于x 的方程21()2f x ax =有两个不同实根12,x x ，求实数a 的取值范围并证明：212x x e ⋅> .【答案】（1）函数()y f x =有且只有一个零点；（2）2a =；（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）根据函数的单调性和函数零点的判定定理即可得到结果；（2）函数21()ln (1)2f x x ax a x =+-+的定义域是），（∞+0，对0>a ，110≤<a ，e a <<11，和e a ≥1进行分类讨论即可求出结果；（3）根据题意和函数的单调性，结合函数的图像可知，当111a e -<<-时()212f x ax =有两个不同实根12,x x ，满足()11ln 1x a x =+，()22ln 1x a x =+，两式相加得：()()1212ln 1x x a x x =++，两式相减地()()2211ln1x a x x x =+-，可得12122211ln ln x x x x x x x x +=-．不妨设12x x <，利用分析证明法和换元法即可证明结果.而1e ()112h e=-+<，1(1)12h =<，不合题意； …………7分 当e a ≥1即10a e <≤时，)(x f 在[]1,e 上单调递减，所以)(x f 在[]1,e 上的最小值是21()1e (1)e 22f e a a =+-+=-，解得262e 02e e a -=<-， 不合题意 综上可得2a =． …………8分设()211x t t x =>，令()()214ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++，………………………12分则()()()()2'22114011t F t t t t t -=-=>+-，∴函数()F t 在()1,+∞上单调递增，而()10F =． ∴()0F t >，即()21221ln .1t t x x e t->∴⋅>+．………………………14分 考点：1.导数在函数单调性中的应用；2.导数在不等式证明中的应用.。
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷(理科)
2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（理科）一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A=(−∞, −1]∪[1, +∞)，B={y|y=log2x,x∈[12,4brack}，则A∩B=()A.[−1, 2]B.[1, 2]C.{−1}∪[1, 2]D.[−1, 1]∪{2}【答案】C【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】B=[−1, 2]；∵A=(−∞, −1]∪[1, +∞)；∴A∩B={−1}∪[1, 2]．2. 已知复数z满足|z|=√2,z+z=2，（z为z的共轭复数）．下列选项（选项中的i为虚数单位）中z=()A.1+iB.1−iC.1+i或1−iD.−1+i或−1−i【答案】C【考点】复数的运算【解析】设z=a+bi(a, b∈R)，则z=a−bi，根据复数z满足|z|=√2,z+z=2，可得{a2+b2=22a=2，解出即可得出．【解答】设z=a+bi(a, b∈R)，则z=a−bi，∵复数z满足|z|=√2,z+z=2，∴{a2+b2=22a=2，得{a=1b=±1，∴z=1+i或z=1−i．3. 正项等比数列{a n}中，a3，a4的等比中项为∫e1e 1xdx，令Tn=a1⋅a2⋅a3⋯a n，则T6=( )A.6B.16C.32D.64【答案】D【考点】等比中项微积分基本定理【解析】由∫e1 e 1xdx=lnx|1ee=lne−ln1e=2，又a3，a4的等比中项为∫e1e1xdx，可得a3a4=4，又a1a6=a2a5=a3a4=4，即可得出．【解答】解：∵∫e1 e 1xdx=lnx|1ee=lne−ln1e=2，又a3，a4的等比中项为∫e1e 1x dx，∴a3a4=4，又a1a6=a2a5=a3a4=4，∴T6=a1⋅a2⋯⋯a6=(a3a4)3=43=64．故选D.4. 一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形．则这个几何体的体积为（）A.1 3B.53C.54D.2【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】利用三视图判断几何体的形状，然后求解几何体的体积即可．【解答】依题意几何体是长方体截去了一个三棱锥部分而成．长方体的体积为1×1×2=2，三棱锥的体积为13×12×1×1×2=13，所以几何体的体积为2−13=53．5. 已知如图所示的程序框图中输出的结果为a，则二项式(x−ax)6展开式中的常数项为（）A.15B.−15C.20D.−20【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】由程序框图运算求得a，然后写出二项展开式的通项，由x得指数为0求得r，则答案可求．【解答】由a=11−a赋值运算，a输入值为−1，则第1次运算结果为12，第2次结果为2，第3次结果为−1，结果数字以3为周期循环出现，要运算12次，此时输出的数为−(1)这样二项式(x−ax )6的展开通项为T k+1=C6k x6−k(1x)k=C6k∗x6−2k，当k=3时为常数项，∴常数项为C63=20．故选：C．6. 函数f(x)=sinx+|sinx|x的部分图象为（）A.B.C.D.【答案】A【考点】函数的图象与图象的变换【解析】当x∈[−π, 0)时，f(x)=0，所以排除C，D；当x∈(−2π, −π)时sinx>0，f(x)=2sinxx<0．即可【解答】当x∈(−2π, −π)时sinx>0，f(x)=2sinxx<0．故选A．故选：A．7. 一个圆形电子石英钟由于缺电，指针刚好停留在8:20整，三个指针（时针、分针、秒针）在射线将时钟所在圆分成了三个扇形，一只小蚊子（可看成是一个质点）随机地飞落在圆面上，则恰好落在时针与分针所夹扇形内的概率为（）A.11 36B.13C.1336D.718【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由题意求出分针与时针之间的扇形的圆心角，结合同圆中扇形面积比等于其圆心角的度数的比得答案． 【解答】观察时钟所在圆被12个刻度十二等分，指针转过一等分就旋转30∘，时针转过一等分就是1小时，分针转过一等分就是5分钟，∴ 8:20的时候秒针指向12，分针指向4，时针的指向是从刻度8再转过一等分的三分之一即10∘．这样分针与时针之间的扇形的圆心角为4×30∘+10∘=130∘． 又同圆中扇形面积比等于其圆心角的度数的比， ∴ P =130∘360∘=1336．8. 在△ABC 中，CA ⊥CB ，CA =CB =1，D 为AB 的中点，将向量CD →绕点C 按逆时针方向旋转90∘得向量CM →，则向量CM →在向量CA →方向上的投影为（ ） A.−1B.1C.−12D.12【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图，以CA ，CB 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 则CA →=(1,0)，CB →=(0,1)，CD →=(12,12)，且CM →=(−12,12)，所以向量CM →在向量CA →方向上的投影为CA →⋅CM →|CA 1→=−12+01=−12．故选C ．9. 在三棱锥S −ABC 中，AB ⊥AC ，AB =AC =SA ，SA ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，则异面直线AB 与SD 所成角的余弦值为（ ） A.√55B.√66C.√306D.以上结论都不对【答案】B【考点】异面直线及其所成的角【解析】取AC中点为E，连结DE，SE，则DE // AB，∠SDE就是异面直线AB与SD所成角，由此能求出异面直线AB与SD所成角的余弦值．【解答】如图，取AC中点为E，连结DE，SE，∵D，E分别为BC，AC的中点，所以DE // AB，∴∠SDE就是异面直线AB与SD所成角，令AB=AC=SA=2，由勾股定理得SE=√5，又DE=(1)∴BA⊥平面SAC，∴DE⊥平面SAC，∴DE⊥SE，∴SD=√6．在Rt△SDE中，cos∠SDE=DESD =√6=√66．∴异面直线AB与SD所成角的余弦值为√66．故选：B．10. 下面有四个命题：①设X~N(1,1)，若P(−1≤X≤3)=0.9544，则P(X≥3)=0.0228．②已知a=lg2，则a<a a<a a a．③将y=2tan(x+π6)的图象向右平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标不变纵坐标缩短到原来的12，可得到y=tan x的图象．④设0<a<3，则函数f(x)=x3−ax(0<x<1)由最小值无最大值．其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：①∵ X~N(1,1)，P(−1≤X≤3)=0.9544，∴ P(X≥3)=0.5−0.95442=0.0228，命题正确．②可知0<a<1，∴a0>a a>a1，即1>a a>a，∴a1<a a a<a a，命题错误．③将y =2tan(x +π6)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y =2tan[(x −π6)+π6]=2tan x 的图象，两将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12，可得到y =tan x 的图象，命题正确．④∵ 0<x <1，∴ 由f ′(x)=3x 2−a =0得x =√a3．又∵ 0<a <3，∴ 0<√a 3<1，可知f(x)在(0,√a 3)上单调递减，在(√a3,1)上单调递增，则函数f(x)=x 3−ax(0<x <1)有最小值无最大值，命题正确．综上，正确命题的个数为3． 故选C ．11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右顶点分别为A 、 B.√3 A.√2C.2D.√5【答案】 A【考点】双曲线的特性【解析】设M(c, m)，求出cos∠APB 关于m 的函数式，根据不等式的性质和M 点位置得出a ，b 的关系，从而可得离心率． 【解答】A(−a, 0)，B(a, 0)，F(c, 0)，直线l 的方程为x =c ， 把x =c 代入双曲线方程得：y =±b 2a ，设P(c, m)，则PA →=(−a −c, −m)，PB →=(a −c, −m)， ∴ cos∠APB =PA →∗PB→|PA →|∗|PB →|=222√a 2+c 2+2ac+m 2√a 2+c 2−2ac+m 2=222222222=22√(b 2+m 2)2+4a 2m 2，令b 2+m 2=t(t ≥b)，则cos∠APB =222=√1+4a 2t−4a 2b 2t 2=√−(2ab t−a b)2+a 2b 2+1，∴ 当2ab t=ab 即t =2b 2时，cos∠APB 取得最小值，即∠APB 最大．此时，m 2=t −b 2=b 2=b 4a2，即a 2=b 2．∴ 双曲线的离心率为√2．12. 已知函数f(x)={mx −lnx,x >0mx +ln(−x),x <0 ．若函数f(x)有两个极值点x 1，x 2，记过点A（x 1, f(x 1)）和B （x 2, f(x 2)）的直线斜率为k ，若0<k ≤2e ，则实数m 的取值范围为（ ） A.(1e,2] B.(1e,e] C.(e, 2e] D.(2,e +1e]【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】当x >0时，函数f(x)=mx −lnx 的导函数为f′(x)=m −1x=mx−1x，不妨设x 2=−x 1>0，则有x 2=1m ，∴ B(1m ,1+lnm)可得：A(−1m ,−(1+lnm))． 由直线的斜率公式得k =f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1=m(1+lnm)，m >0，又k >0，可得1+lnm >0，m >1e ，令k =ℎ(m)=m(1+lnm),m >1e ，得ℎ′(m)=2+lnm =1+(1+lnm)>0，得：ℎ(1e )<ℎ(m)≤ℎ(e)，所以1e <m ≤e ． 【解答】当x >0时，函数f(x)=mx −lnx 的导函数为f′(x)=m −1x =mx−1x，由函数f(x)有两个极值点得m >0，又f(x)为奇函数，不妨设x 2=−x 1>0， 则有x 2=1m ，∴ B(1m ,1+lnm)可得：A(−1m ,−(1+lnm))． 由直线的斜率公式得k =f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1=m(1+lnm)，m >0，又k >0，∴ 1+lnm >0，∴ m >1e ，（当0<m ≤1e 时，k ≤0，不合题意） 令k =ℎ(m)=m(1+lnm),m >1e 得ℎ′(m)=2+lnm =1+(1+lnm)>0， ∴ ℎ(m)在(1e ,+∞)上单调递增，又ℎ(1e )=0,ℎ(e)=2e ， 由0<k ≤2e 得：ℎ(1e )<ℎ(m)≤ℎ(e)，所以1e <m ≤e ． 二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.已知抛物线y 2=2px 的准线方程为x =−2，点P 为抛物线上的一点，则点P 到直线y =x +3的距离的最小值为________． 【答案】 √22【考点】 抛物线的求解 【解析】根据题意，由抛物线的准线方程分析可得−p2=−2，解可得p =4，即可得抛物线的方程，设P 点坐标为P(x, y)，结合点到直线的距离公式可得d =28√2，由二次函数的性质分析可得答案．【解答】根据题意，抛物线y 2=2px 的准线方程为x =−2，则有−p2=−2，解可得p =4， 则抛物线方程为y 2=8x ，设P 点坐标为P(x, y)， 则点P 到直线y =x +3的距离为d =2=82=282=282≥√22， 当y =4时取最小值√22．我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？”请你计算出海岛高度为________步．（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”） 【答案】 1255 【考点】 解三角形 【解析】作出示意图，根据相似三角形列比例式，即可求出岛高． 【解答】如图，设岛高x 步，与前标杆相距y 步，则有{5x=123123+y 5x =127127+1000+y，解得：x =1255步．若实数x ，y 满足{y ≥x +a,y ≤−3|x|+3,z =x +y 的最小值为−7，则a =________．【答案】 −2【考点】简单线性规划 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：作出可行域如图所示，由目标函数的几何意义可知当直线y =−x +z 过点C 时， z 取最小值． 由{y =3x +3,y =x +a 得C (a−32,3a−32)，则a−32+3a−32=−7，解得a=−2．故答案为：−2．已知数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，且满足S n+S n+1=2n2+n，若对∀n∈N∗，a n<a n+1恒成立，则首项a1的取值范围是________．【答案】(−14,3 4)【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为S n+S n+1=2n2+n，所以S n−1+S n=2(n−1)2+n−1(n≥2)，两式作差得a n+a n+1=4n−1(n≥2)①，所以a n−1+a n=4n−5(n≥3)②，①②两式作差得a n+1−a n−1=4(n≥3)，可得数列{a n}的偶数项是以4为公差的等差数列，从a3起奇数项也是以4为公差的等差数列．若对∀n∈N∗，a n<a n+1恒成立，当且仅当a1<a2<a3<a4．又a1+S2=3，∴a2=3−2a1，∴a3=7−a2=4+2a1，a4=11−a3=7−2a1，所以a1<3−2a1<4+2a1<7−2a1，解得−14<a1<34．即首项a1的取值范围是(−14,34 )．故答案为：(−14,34 )．三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知△ABC中，AB=BC=CA=2，P为△ABC内一点，且∠BPC=90∘．(1)当BP=√2时，求AP的长；(2)若∠APC=150∘，令∠PCB=θ，求tanθ的值．【答案】解：(1)如图，∵AB=BC=CA，∴△ABC为等边三角形．在△PBC中，∠BPC=90∘，BP=√2,BC=2，∴∠PBC=45∘．∴∠ABP=15∘，cos15∘=cos(45∘−30∘)=√6+√24．由余弦定理得：AP2=BA2+BP2−2BA⋅BP⋅cos15∘=4+2−4√2×√6+√24=4−2√3，∴AP=√3−1．(2)∵∠PCB=θ,∠ACP=60∘−θ,∠APC=150∘，由内角和定理得∠PAC=θ−30∘．在直角△PBC中，PC=BC⋅cosθ=2cosθ，在△APC中，由正弦定理得，AC sin∠APC =PCsin∠PAC即2sin150∘=2cosθsin(θ−30∘)，即4=√32sinθ−12cosθ，整理可得2√3sinθ=4cosθ，解得tanθ=2√33．【考点】解三角形【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)如图，∵AB=BC=CA，∴△ABC为等边三角形．在△PBC中，∠BPC=90∘，BP=√2,BC=2，∴∠PBC=45∘．∴∠ABP=15∘，cos15∘=cos(45∘−30∘)=√6+√24．由余弦定理得：AP2=BA2+BP2−2BA⋅BP⋅cos15∘=4+2−4√2×√6+√24=4−2√3，∴AP=√3−1．(2)∵∠PCB=θ,∠ACP=60∘−θ,∠APC=150∘，由内角和定理得∠PAC=θ−30∘．在直角△PBC中，PC=BC⋅cosθ=2cosθ，在△APC中，由正弦定理得，AC sin∠APC =PCsin∠PAC即2sin150∘=2cosθsin(θ−30∘)，即4=√32sinθ−12cosθ，整理可得2√3sinθ=4cosθ，解得tanθ=2√33．如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．(Ⅰ)当AB=√2时，证明：平面SAB⊥平面SCD；(Ⅱ)若AB＝1，求平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值．【答案】证明：(Ⅰ)作SO⊥AD，垂足为O，依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD，又AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，AB⊥SA，AB⊥SD．……………2分利用勾股定理得SA=√SB2−AB2=√4−2=√2，同理可得SD=√2．在△SAD中，AD=2,SA=SD=√2，∴SA⊥SD……………4分∴SD⊥平面SAB，又SD⊂平面SCD，所以平面SAB⊥平面SCD．……………5分（2）连结BO，CO，∵SB＝SC，∴Rt△SOB≅Rt△SOC，BO＝CO，又四边形ABCD为长方形，∴Rt△AOB≅Rt△DOC，∴OA＝OD．取BC中点为E，得OE // AB，连结SE，∴SE=√3，其中OE＝1，OA＝OD＝1，OS=√3−12=√2⋯⋯⋯⋯⋯7分由以上证明可知OS，OE，AD互相垂直，不妨以OA，OE，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵OE＝1，∴OS=√2，∴DC→=(0,1,0),SC→=(−1,1,−√2),BC→=(−2,0,0)，……………8分 设m →=(x 1,y 1,z 1)是平面SCD 的法向量， 则有{m →⋅DC →=0m →⋅SC →=0 即{y 1=0−x 1+y 1−√2z 1=0 ， 令z 1＝1得m →=(−√2,0,1)．……………9分 设n →=(x 2,y 2,z 2)是平面SBC 的法向量， 则有{n →⋅BC →=0n →⋅SC →=0 即{−2x 2=0−x 2+y 2−√2z 2=0 令z 1＝1得n →=(0,√2,1)．……………10分 则|cos⟨m →,n →>|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3√3=13⋯⋯⋯⋯⋯11分所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13．……………12分【考点】二面角的平面角及求法 【解析】(Ⅰ)作SO ⊥AD ，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，从而SO ⊥AB ，SO ⊥CD ，进而AB ⊥平面SAD ，AB ⊥SA ，AB ⊥SD ，推导出SA ⊥SD ，从而SD ⊥平面SAB ，由此能证明平面SAB ⊥平面SCD ．(Ⅱ)连结BO ，CO ，以OA ，OE ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值． 【解答】证明：(Ⅰ)作SO ⊥AD ，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ， ∴ SO ⊥AB ，SO ⊥CD ，又AB ⊥AD ，∴ AB ⊥平面SAD ，AB ⊥SA ，AB ⊥SD ．……………2分 利用勾股定理得SA =√SB 2−AB 2=√4−2=√2， 同理可得SD =√2．在△SAD 中，AD =2,SA =SD =√2，∴ SA ⊥SD ……………4分 ∴ SD ⊥平面SAB ，又SD ⊂平面SCD ， 所以平面SAB ⊥平面SCD ．……………5分 （2）连结BO ，CO ，∵ SB ＝SC ， ∴ Rt △SOB ≅Rt △SOC ，BO ＝CO ，又四边形ABCD 为长方形，∴ Rt △AOB ≅Rt △DOC ，∴ OA ＝OD ． 取BC 中点为E ，得OE // AB ，连结SE ，∴ SE =√3，其中OE ＝1，OA ＝OD ＝1，OS =2=√2⋯⋯⋯⋯⋯7分由以上证明可知OS ，OE ，AD 互相垂直，不妨以OA ，OE ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵ OE ＝1，∴ OS =√2，∴ DC →=(0,1,0),SC →=(−1,1,−√2),BC →=(−2,0,0)，……………8分 设m →=(x 1,y 1,z 1)是平面SCD 的法向量， 则有{m →⋅DC →=0m →⋅SC →=0 即{y 1=0−x 1+y 1−√2z 1=0 ， 令z 1＝1得m →=(−√2,0,1)．……………9分 设n →=(x 2,y 2,z 2)是平面SBC 的法向量， 则有{n →⋅BC →=0n →⋅SC →=0 即{−2x 2=0−x 2+y 2−√2z 2=0 令z 1＝1得n →=(0,√2,1)．……………10分 则|cos⟨m →,n →>|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3√3=13⋯⋯⋯⋯⋯11分所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13．……………12分我校为了更好地管理学生用手机问题，根据学生每月用手机时间（每月用手机时间总和）的长短将学生分为三类：第一类的时间区间在(0, 30]，第二类的时间区间在(30, 60]，第三类的时间区间在(60, 720]（单位：小时），并规定属于第三类的学生要进入“思想政治学习班”进行思想和心理的辅导．现对我校二年级1014名学生进行调查，恰有14人属于第三类，这14名学生被学校带去政治学习．由剩下的1000名学生用手机时间情况，得到如图所示频率分布直方图． ( I)求这1000名学生每月用手机时间的平均数；( II)利用分层抽样的方法从1000名选出10位学生代表，若从该10名学生代表中任选两名学生，求这两名学生用手机时间属于不同类型的概率；( III)若二年级学生长期保持着这一用手机的现状，学校为了鼓励学生少用手机，连续10个月，每个月从这1000名学生中随机抽取1名，若取到的是第一类学生，则发放奖品一份，设X 为获奖学生人数，求X 的数学期望E(X)与方差D(X)．【答案】(Ⅰ) 平均数为：5×0.010×10+15×0.030×10+25×0.040×10+35×0.010×10+45×0.006×10+55×0.004×10=23.4（小时）．(Ⅱ) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10名学生， 其中8名为第一类学生，2名为第二类学生，从该10名学生代表中抽取2名学生且这两名学生不属于同一类的概率为C 81C 21C 102=1645．(Ⅲ) 由题可知，这1000名学生中第一类学生80%，则每月从1000名学生中随机抽取1名学生，是第一类学生的概率为0.8， 则连续10个月抽取，获奖人数X ∼B(10, 0.8)， 其数学期望E(X)=10×0.8=8（小时）， 方差D(X)=10×0.8×0.2=1.(6) 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】（I ）以组中值代替各小组数据，利用加权平均数计算；(II)根据各组的频率比得出抽取的各类学生的人数，再利用组合数公式计算； (III)根据二项分布的性质计算． 【解答】(Ⅰ) 平均数为：5×0.010×10+15×0.030×10+25×0.040×10+35×0.010×10+45×0.006×10+55×0.004×10=23.4（小时）．(Ⅱ) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10名学生， 其中8名为第一类学生，2名为第二类学生，从该10名学生代表中抽取2名学生且这两名学生不属于同一类的概率为C 81C 21C 102=1645．(Ⅲ) 由题可知，这1000名学生中第一类学生80%，则每月从1000名学生中随机抽取1名学生，是第一类学生的概率为0.8， 则连续10个月抽取，获奖人数X ∼B(10, 0.8)， 其数学期望E(X)=10×0.8=8（小时）， 方差D(X)=10×0.8×0.2=1.(6)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√32，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，△F 1PF 2面积的最大值为√3．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点A(4, 0)作关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2分别交椭圆于M(x 1, y 1)与N(x 2, y 2)，且x 1≠x 2，证明直线MN 过定点，并求△AMN 的面积S 的取值范围． 【答案】（1）根据题意，椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，则c a =√32，设P(x, y)，则S △F 1PF 2=c|y|，∵ |y|≤b ∴ S △F 1PF 2≤bc =√3． 解得{a =2b =1 ． 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）设MN 方程为x ＝ny +m ，(n ≠0)，联立{x =ny +mx 2+4y 2−4=0 ， 得(n 2+4)y 2+2nmy +m 2−4＝0，∴ y 1+y 2=−2nm n 2+4,y 1y 2=m 2−4n 2+4，因为关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2的斜率之和为0 即y 1x1−4+y 2x 2−4=0，即y 1ny 1+m−4+y 2ny2+m−4=0，得2ny 1y 2+m(y 1+y 2)−4(y 1+y 2)＝0， 即2n(m 2−4)n 2+4−2nm 2n 2+4+8nm n 2+4=0．解得：m ＝1．直线MN 方程为：x ＝ny +1，所以直线MN 过定点B(1, 0)． 又|y 1−y 2|=√(−2n n 2+4)2−4⋅(−3)n 2+4=4√n 2+3(n 2+4)2=4√1n 2+4−1(n 2+4)2令1n 2+4=t ，∴ t ∈(0,14)∴ |y 1−y 2|=4√−t 2+t ∈(0,√3) 又S =12|AB||y 1−y 2|=32|y 1−y 2|∈(0,3√32)． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】(Ⅰ)根据题意，由椭圆的离心率公式可得c a=√32，结合椭圆的几何性质可得bc =√3，解可得a 、b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；(Ⅱ)设MN 方程为x ＝ny +m ，与椭圆的方程联立可得(n 2+4)y 2+2nmy +m 2−4＝0，结合根与系数的关系分析可得即2n(m 2−4)n 2+4−2nm 2n 2+4+8nmn 2+4=0，解可得m 的值，分析可得直线过定点，结合三角形面积公式分析可得答案． 【解答】（1）根据题意，椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，则c a =√32， 设P(x, y)，则S △F 1PF 2=c|y|，∵ |y|≤b ∴ S △F 1PF 2≤bc =√3． 解得{a =2b =1 ． 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）设MN 方程为x ＝ny +m ，(n ≠0)，联立{x =ny +mx 2+4y 2−4=0，得(n 2+4)y 2+2nmy +m 2−4＝0，∴ y 1+y 2=−2nm n 2+4,y 1y 2=m 2−4n 2+4，因为关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2的斜率之和为0 即y 1x 1−4+y 2x 2−4=0，即y 1ny 1+m−4+y 2ny 2+m−4=0， 得2ny 1y 2+m(y 1+y 2)−4(y 1+y 2)＝0， 即2n(m 2−4)n 2+4−2nm 2n 2+4+8nm n 2+4=0．解得：m ＝1．直线MN 方程为：x ＝ny +1，所以直线MN 过定点B(1, 0)． 又|y 1−y 2|=√(−2n n 2+4)2−4⋅(−3)n 2+4=4√n 2+3(n 2+4)2=4√1n 2+4−1(n 2+4)2令1n 2+4=t ，∴ t ∈(0,14)∴ |y 1−y 2|=4√−t 2+t ∈(0,√3) 又S =12|AB||y 1−y 2|=32|y 1−y 2|∈(0,3√32)．已知函数f(x)=ln(ax)−a ，a >0．(Ⅰ)若函数ℎ(x)=e x f(x)为单调函数，求a 的取值范围； (Ⅱ)当a =1时，证明：e x +f(x)sinx >0． 【答案】（1）∵ ℎ(x)=e x (lnax −a)，x >0，∴ ℎ′(x)=e x (lnax +1x −a)， ℎ(x)为单调函数等价为ℎ′(x)≥0恒成立或ℎ′(x)≤0恒成立， 令φ(x)=lnax +1x −a 得φ′(x)=1x −1x 2=x−1x 2，所以φ(x)在(0, 1)单调递减，在(1, +∞)单调递增，……………………2分 又φ(1a )=0，当0<a ≤1时1a ≥1，∴ x ∈(1a ,+∞)时，φ(x)>φ(1a )=0； 当a >1时1a <1，∴ x ∈(0,1a )时，φ(x)>φ(1a )=0；∴ ℎ′(x)≤0不可能恒成立，归纳得ℎ′(x)≥0恒成立．……………………3分 又φ(x)min =φ(1)=lna −a +1， 所以lna −a +1≥(0)令p(a)=lna −a +1，a >0，p ′(a)=1a −1，得p(a)在(0, 1)单调递增，在(1, +∞)单调递减，p(a)≤p(1)=0，即lna −a +1≤0，……………………5分 所以lna −a +1=0，即a =(1)……………………6分 证明：(Ⅱ)令F(x)=e x +(lnx −1)sinx ， （1）当x ≥e 时，sinx ≥−1，所以F(x)=e x +(lnx −1)sinx ≥e x −lnx +1，x >(0)……………………7分因为[e x −(x +1)]′=e x −1≥0，所以e x −(x +1)>e 0−(0+1)=0即e x >x +1； 因为[(x −1)−lnx]′=1−1x ，可知函数(x −1)−lnx 在x =1处取最小值即(x −1)−lnx ≥0，即−lnx≥1−x．由不等式的性质得e x−lnx+1>(x+1)+(1−x)+1=3>0，所以F(x)=e x+(lnx−1)sinx>(0)……………………9分（2）当0<x<e时，F(x)=e x+(lnx−1)sinx>1+(lnx−1)sinx，因为(x−sinx)′=1−cosx≥0，所以x−sinx>0−sin0=0，即sinx<x，∵lnx−1<0，∴(lnx−1)sinx>(lnx−1)x，即F(x)>1+x(lnx−1)=x(lnx+1x−1)由(Ⅱ)证明可知lnx+1x−1≥0，所以F(x)>(0)……………………11分由（1）（2）得e x+f(x)sinx>(0)……………………12分【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)ℎ′(x)=e x(lnax+1x−a)，ℎ(x)为单调函数等价为ℎ′(x)≥0恒成立或ℎ′(x)≤0恒成立，令φ(x)=lnax+1x −a，得φ′(x)=1x−1x2=x−1x2，由此利用导数性质能求出结果．(Ⅱ)令F(x)=e x+(lnx−1)sinx，当x≥e时，sinx≥−1，F(x)=e x+(lnx−1)sinx≥e x−lnx+1，x>0，函数(x−1)−lnx在x=1处取最小值，从而F(x)=e x+(lnx−1)sinx>0；当0<x<e时，F(x)=e x+(lnx−1)sinx>1+(lnx−1)sinx，由此能证明e x+f(x)sinx>(0)【解答】（1）∵ℎ(x)=e x(lnax−a)，x>0，∴ℎ′(x)=e x(lnax+1x−a)，ℎ(x)为单调函数等价为ℎ′(x)≥0恒成立或ℎ′(x)≤0恒成立，令φ(x)=lnax+1x −a得φ′(x)=1x−1x=x−1x，所以φ(x)在(0, 1)单调递减，在(1, +∞)单调递增，……………………2分又φ(1a)=0，当0<a≤1时1a ≥1，∴x∈(1a,+∞)时，φ(x)>φ(1a)=0；当a>1时1a <1，∴x∈(0,1a)时，φ(x)>φ(1a)=0；∴ℎ′(x)≤0不可能恒成立，归纳得ℎ′(x)≥0恒成立．……………………3分又φ(x)min=φ(1)=lna−a+1，所以lna−a+1≥(0)令p(a)=lna−a+1，a>0，p′(a)=1a−1，得p(a)在(0, 1)单调递增，在(1, +∞)单调递减，p(a)≤p(1)=0，即lna−a+1≤0，……………………5分所以lna−a+1=0，即a=(1)……………………6分证明：(Ⅱ)令F(x)=e x+(lnx−1)sinx，（1）当x≥e时，sinx≥−1，所以F(x)=e x+(lnx−1)sinx≥e x−lnx+1，x>(0)……………………7分因为[e x −(x +1)]′=e x −1≥0，所以e x −(x +1)>e 0−(0+1)=0即e x >x +1； 因为[(x −1)−lnx]′=1−1x，可知函数(x −1)−lnx 在x =1处取最小值即(x −1)−lnx ≥0，即−lnx ≥1−x ．由不等式的性质得e x −lnx +1>(x +1)+(1−x)+1=3>0， 所以F(x)=e x +(lnx −1)sinx >(0)……………………9分（2）当0<x <e 时，F(x)=e x +(lnx −1)sinx >1+(lnx −1)sinx ，因为(x −sinx)′=1−cosx ≥0，所以x −sinx >0−sin0=0，即sinx <x ，∵ lnx −1<0，∴ (lnx −1)sinx >(lnx −1)x ，即F(x)>1+x(lnx −1)=x(lnx +1x −1) 由(Ⅱ)证明可知lnx +1x −1≥0，所以F(x)>(0)……………………11分由（1）（2）得e x +f(x)sinx >(0)……………………12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =5+tcosαy =tsinα ，(t 为参数，0≤α<π)．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ．(Ⅰ)当α=45∘时，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点C 的直角坐标为C(2, 0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，当△ABC 面积最大时，求直线l 的普通方程． 【答案】(Ⅰ)当α=45∘时，直线l 的参数方程为{x =5+√22t y =√22t，消去t 得直线l 的普通方程为x −y −5=(0)曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，两边乘以ρ为ρ2=4ρcosθ， 由{x =ρcosθy =ρsinθ得：x 2+y 2−4x =0， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =(0) (Ⅱ)曲线C 是以C(2, 0)为圆心，2为半径的圆， S △ABC =12|CA||CB|sin∠ACB =2sin∠ACB ．当∠ACB =90∘时面积最大．此时点C 到直线l:y =k(x −5)的距离为√2， 所以√2=√k 2+1，解得：k =±√147，所以直线l 的普通方程为y =±√147(x −5)．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (Ⅱ)利用三角形的面积的最大值求出直线的方程． 【解答】(Ⅰ)当α=45∘时，直线l 的参数方程为{x =5+√22t y =√22t，消去t 得直线l 的普通方程为x −y −5=(0)曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，两边乘以ρ为ρ2=4ρcosθ， 由{x =ρcosθy =ρsinθ得：x 2+y 2−4x =0， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =(0) (Ⅱ)曲线C 是以C(2, 0)为圆心，2为半径的圆， S △ABC =12|CA||CB|sin∠ACB =2sin∠ACB ． 当∠ACB =90∘时面积最大．此时点C 到直线l:y =k(x −5)的距离为√2， 所以√2=√k 2+1，解得：k =±√147，所以直线l 的普通方程为y =±√147(x −5)．[选修4-5：不等式选讲]设f(x)=a|x −1|+|x +3|． (Ⅰ)当a =1时，求f(x)的最小值；(Ⅱ)若g(x)为奇函数，且g(2−x)=g(x)，当x ∈[0, 1]时，g(x)=5x ．若ℎ(x)=f(x)−g(x)有无数多个零点，作出g(x)图象并根据图象写出a 的值（不要求证明）．【答案】（1）当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|≥|(x −1)−(x +3)|=4，当且仅当(x −1)(x +3)≤0，即−3≤x ≤1时等号成立．∴ f(x)的最小值为（4）……………………4分（2）g(x)为奇函数，且g(2−x)=g(x)，当x ∈[0, 1]时，g(x)=5x ．则g(x)的图象是夹在y =−5与y =5之间的周期为4的折线，如图，…………6分试卷第21页，总21页又f(x)={−(a +1)x +a −3,x ≤−3(1−a)x +a +3,−3<x <1(a +1)x −a +3,x ≥1，f(x)的图象是两条射线与中间一段线段组成．……………………8分若ℎ(x)=f(x)−g(x)有无数多个零点，则f(x)的图象的两条射线中至少有一条是平行于x 轴的，所以−(a +1)=0或(a +1)=0得a =−(1)此时f(x)={−4,x ≤−32x +2,−3<x <14,x ≥1，经验证符合题意，∴ a =−1……………………10分 【考点】函数的最值及其几何意义函数的零点与方程根的关系【解析】(Ⅰ)当a =1时，化简f(x)的表达式，利用绝对值的几何意义求解函数的最小值；(Ⅱ)画出函数的图象，求解函数的解析式，利用函数的零点个数，转化求解即可．【解答】（1）当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|≥|(x −1)−(x +3)|=4，当且仅当(x −1)(x +3)≤0，即−3≤x ≤1时等号成立．∴ f(x)的最小值为（4）……………………4分（2）g(x)为奇函数，且g(2−x)=g(x)，当x ∈[0, 1]时，g(x)=5x ．则g(x)的图象是夹在y =−5与y =5之间的周期为4的折线，如图，…………6分又f(x)={−(a +1)x +a −3,x ≤−3(1−a)x +a +3,−3<x <1(a +1)x −a +3,x ≥1，f(x)的图象是两条射线与中间一段线段组成．……………………8分若ℎ(x)=f(x)−g(x)有无数多个零点，则f(x)的图象的两条射线中至少有一条是平行于x 轴的，所以−(a +1)=0或(a +1)=0得a =−(1)此时f(x)={−4,x ≤−32x +2,−3<x <14,x ≥1，经验证符合题意，∴ a =−1……………………10分。
2023-2024学年山东省枣庄市高三第二次模拟考试数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数是( )A. B.C.D. 2.已知集合，，则2023-2024学年山东省枣庄市高三第二次模拟考试数学试题( )A.，B.，C.，D.，3.指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是( )A. B. C. D.4.5.已知，，是同一平面内两两不共线的单位向量，下列结论可能成立的是( )A. B.C. 存在不全为0的实数，，使D. 若，则6.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X 近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为( )参考数据：，，A. 455B. 2718C. 6346D. 95457.如图，在棱长为1的正方体中，M 是的中点，点P 是侧面上的动点，且平面，则线段MP 长度的取值范围为( )A. B. C. D.8.已知，，曲线上存在点，使得，则a 的范围是( )A.B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知曲线：，：，则( ) A.的长轴长为 B. 的渐近线方程为C.与的离心率互为倒数 D. 与的焦点相同10.已知为等差数列，前n 项和为，，公差，则( )A.B. 当戓6时，取得最小值为30C. 数列的前10项和为50D. 当时，与数列共有671项互为相反数11.已知函数的图象过点和，的最小正周期为T ，则( ) A. T 可能取 B.在上至少有3个零点C. 直线可能是曲线的一条对称轴D. 若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则12.已知函数，则下列结论正确的是( )A. 当时，若有三个零点，则b的取值范围为B. 若满足，则C. 若过点可作出曲线的三条切线，则D. 若存在极值点，且，其中，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018届山东省枣庄市枣庄一中高三2月月考理科数学试题及答案 精品
2018届山东省枣庄市枣庄一中高三2月月考数学试题（理）试题分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分。
满分150 分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共l0个小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．设集合3.022},032|{=≤-=m x x x P ，则下列关系中正确的是A ．P m ⊆B ．P m ∉C ．P m ∈}{D ．}{m ≠⊂P2．已知复数2z i =-，则z z ⋅的值为（ ） A ．5 B C ．3D3．已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a ⋅<，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于 A ．20 B ．17 C ．19D ．214．若随机变量ξ的分布列如下：那么()54E ξ+等于ξ1 2 4 P0.40.30.3A ．15B ．11C ．2.2D ．2.35．设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若βα⊥, ,α⊂m ,β⊂n 则n m ⊥B ．若α⊥m ，m ∥n ，n ∥β ，则βα⊥C ．若n m ⊥，,α⊂m ,β⊂n 则βα⊥D ．若,//ββα⊂m,αm ,β⊂n 则n m // 6．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为 A ．10 B ．20 C ．30D ．407．为了得到函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin 2πx x f 的图象，只要将2sin y x =的图象上所有的点A ．向右平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向右平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变8．已知四棱锥ABCD P -的三视图如图，则四棱锥ABCD P -的全面积为A ．53+B ．52+C ．5D ．49．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果是A ．7B ．9C ．10D ．1110．定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，23||2,[0,1),()1(),[1,2),2x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩若当[4,2)x ∈--时，函数21()42t f x t ≥-+恒成立，则实数t 的取值范围为A ．23t ≤≤B ．13t ≤≤C ．14t ≤≤D ．24t ≤≤第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知函数,0,)21(0,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x f x则=-)]4([f f ________． 12．在区间[]1,2-上随机取一个实数x ，则事件“122x ≤≤”发生的概率为________．13．若某一离散型随机变量ξ的概率分布如下表，且() 1.5E ξ=，则a b -的值为________．14．已知n⎛ ⎝展开式的第4项为常数项，则=n ________．15．()f x 是定义在D 上的函数，若存在区间[]m n D ⊆，，使函数()f x 在[]mn ，上的值域恰为[]km kn ，，则称函数()f x 是k 型函数。
山东省枣庄市2018届高三数学第二次模拟考试试题文
山东省枣庄市届高三数学第二次模拟考试试题 文第Ⅰ卷（选择题 共分）一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..已知集合2{|20}A x x x =--≥，则R C A =（ ）．(1,2)- ．[1,2]- ．(2,1)- ．[2,1]- .已知复数1iz i=+（i 是虚数单位），则z =（ ）．1 ．12．2.已知123a -=，31log 2b =，2log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） ．a c b >> ．c a b >> ．a b c >> ．c b a >> .下图给出的是计算11112462018+++⋅⋅⋅+值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（ ）．2016?i > ．2018?i > ．2016?i ≤ ．2018?i ≤.已知2()log (41)xf x ax =-+是偶函数，则a =（ ）．1 ．1- ．2 ．2- .已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()(sin sin )a b A B +-()sin c b C =-，则A =（ ）．6π ．3π．56π ．23π.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）．316 ．38 ．14 ．18.已知1sin()43πα-=，则sin 2α=（ ）．79- ．79 ．19- ．19.函数()ln(1)f x x x =-+的大致图象为（ ）． ． ． ．.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）．32 ．643 ．163 ．323.设1F 、2F 是椭圆C ：2212x y m +=的两个焦点，若C 上存在点M 满足12120F MF ∠=，则m的取值范围是（ ）．1(0,][8,)2+∞ ．(0,1][8,)+∞．1(0,][4,)2+∞ ．(0,1][4,)+∞.已知函数2()(12)()f x x x ax b =+++(,)a b R ∈的图象关于点(1,0)对称，则()f x 在[1,1]-上的最大值为（ ）．2．．2第Ⅱ卷（共分）二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分.已知实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩的最大值为 ．.在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，则AC BD ⋅= ．.已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，圆心在直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为 ．.已知()sin cos f x x x ωω=-2()3ω>，若函数()f x 图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(,2)ππ，则ω的取值范围是 ．（结果用区间表示） 三、解答题：本大题共小题，共分..已知数列{}n a 的前n 项和2352n n nS +=.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和. .在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD ，且23SA AD AB ==.（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为SC 的中点，三棱锥E BCD -的体积为89，求四棱锥S ABCD -外接球的表面积..随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：根据一周内平均每天学习数学的时间t ，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m 甲（精确到0.01）； （Ⅱ）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X 甲与X 乙及方差2S 甲与2S 乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的X 甲、2S 甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）从甲高中与乙高中随机抽取的80名同学中数学喜好程度为“痴迷”的学生中随机抽取2人，求选出的2人中甲高中与乙高中各有1人的概率..已知抛物线C ：22(01)y px p =<<上的点(,1)P m 到其焦点F 的距离为54. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）已知直线l 不过点P 且与C 相交于A ，B 两点，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：l 过定点..已知曲线2()1ln ()y f x x a x a R ==--∈与x 轴有唯一公共点A . （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为27a a --.若两个不相等的正实数1x ，2x 满足12()()f x f x =，求证：121x x <.请考生在、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号. .选修：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为121x t y t a =-⎧⎨=--⎩（t 为参数）. （Ⅰ）若1a =，求直线l 被曲线C 截得的线段的长度；（Ⅱ）若11a =，在曲线C 上求一点M ，使得点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离. .选修：不等式选讲 已知函数()3f x x a =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()3f x <的解集；（Ⅱ）设函数()1g x x =+.当x R ∈时，()()1f x g x +>恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题 : : 、： 二、填空题. 2 . 3 . 22(2)2x y +-= . 37[,]48三、解答题.（Ⅰ）解：114a S ==. 当2n ≥时，1n n n a S S -=-22353(1)5(1)22n n n n +-+-=-.又14a =符合2n ≥时n a 的形式，所以{}n a 的通项公式为31n a n =+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3(31)(34)n b n n =++113134n n =-++. 数列{}n b 的前n 项和为121111()()47710n b b b ++⋅⋅⋅+=-+-1111()()32313134n n n n +⋅⋅⋅+-+--+++11434n =-+. .（Ⅰ）证明：由底面ABCD 为矩形，得BC AB ⊥. 又平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB 平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面SAB .所以BC SA ⊥. 同理可得CD SA ⊥. 又BCCD C =，BC ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以SA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）解：设6SA a =，则2AB a =，3AD a =.13E BCD BCD V S h -∆=⨯⨯111()()322BC CD SA =⨯⨯⨯⨯ 311(23)(3)332a a a a =⨯⨯⨯⨯=. 又89E BCD V -=，所以3839a =.解得23a =.四棱锥S ABCD -的外接球是以AB 、AD 、AS 为棱的长方体的外接球，设半径为R .则2R 1473a ==，即73R =. 所以，四棱锥S ABCD -的外接球的表面积为219649R ππ=.. 解：（Ⅰ）由样本估计总体的思想，甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数0.5(0.10.2)200.3m -+=+甲1026.67⨯≈；（Ⅱ）X X <甲乙；22S S >甲乙；50.1150.2250.3X =⨯+⨯+⨯甲350.2450.15550.0527.5+⨯+⨯+⨯=； 221[(527.5)(400.1)40S =⨯-⨯⨯甲2(1527.5)(400.2)+-⨯⨯2(2527.5)(400.3)+-⨯⨯ 2(3527.5)(400.2)+-⨯⨯2(4527.5)(400.15)+-⨯⨯2(5527.5)(400.05)]+-⨯⨯178.75=.（Ⅲ）甲高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40(0.00510)2⨯⨯=人，记为1A ，2A ；乙高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40(0.01510)6⨯⨯=人，记为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B .随机选出2人有以下28种可能：12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，15(,)A B ，16(,)A B ， 21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，25(,)A B ，26(,)A B ，12(,)B B ， 13(,)B B ，14(,)B B ，15(,)B B ，16(,)B B ，23(,)B B ，24(,)B B ，25(,)B B ， 26(,)B B ，34(,)B B ，35(,)B B ，36(,)B B ，45(,)B B ，46(,)B B ，56(,)B B ，甲、乙两所高中各有1人，有以下12种可能：11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，15(,)A B ，16(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，25(,)A B ，26(,)A B .所以，从甲、乙两所高中数学喜好程度为“痴迷”的同学中随机选出2人，选出的2人中甲、乙两所高中各有1人的概率为123287=. .解：（Ⅰ）由题意，得21pm =，即12m p=. 由抛物线的定义，得1()222p pPF m p =--=+. 由题意，15224p p +=.解得12p =，或2p =（舍去）. 所以C 的方程为2y x =.（Ⅱ）证法一：设直线PA 的斜率为k （显然0k ≠），则直线PA 的方程为1(1)y k x -=-，则1y kx k =+-.由21y kx k y x=+-⎧⎨=⎩消去y 并整理得22[2(1)1]k x k k x +--2(1)0k +-=. 设11(,)A x y ，由韦达定理，得212(1)1k x k -⨯=，即212(1)k x k -=. 2112(1)11k y kx k k k k -=+-=⋅+-11k=-+.所以22(1)1(,1)k A k k --+. 由题意，直线PB 的斜率为1k. 同理可得221(1)1(,1)11()k B k k--+，即22((1),1)B k k --. 若直线l 的斜率不存在，则222(1)(1)k k k-=-.解得1k =，或1k =-. 当1k =时，直线PA 与直线PB 的斜率均为1，A ，B 两点重合，与题意不符； 当1k =-时，直线PA 与直线PB 的斜率均为1-，A ，B 两点重合，与题意不符. 所以，直线l 的斜率必存在.直线l 的方程为2(1)(1)k y k k --=-2[(1)]x k --，即21(1)k y x k =--. 所以直线l 过定点(0,1)-. 证法二：由（），得(1,1)P . 若l 的斜率不存在，则l 与x 轴垂直.设11(,)A x y ，则11(,)B x y -，211y x =.则11111111PA PBy y k k x x ---=⋅--211221111(1)(1)y x x x --==--111x =-. （110x -≠，否则，11x =，则(1,1)A ，或(1,1)B ，直线l 过点P ，与题设条件矛盾） 由题意，1111x =-，所以10x =.这时A ，B 两点重合，与题意不符. 所以l 的斜率必存在.设l 的斜率为k ，显然0k ≠，设l ：y kx t =+， 由直线l 不过点(1,1)P ，所以1k t +≠.由2y x y kx t⎧=⎨=+⎩消去y 并整理得222(21)0k x kt x t +-+=. 由判别式140kt ∆=->，得14kt <. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12212ktx x k -+=①，2122t x x k =②，则12121111PA PBy y k k x x --=⋅--12121111kx t kx t x x +-+-=⋅--2212121212(1)()(1)()1k x x k t x x t x x x x +-++-=-++. 由题意，2212121212(1)()(1)1()1k x x k t x x t x x x x +-++-=-++.故212(1)(1)k x x kt k -+-+212()20x x t t ++-=③将①②代入③式并化简整理得2210t kt kk---=，即210t kt k ---=. 即(1)(1)(1)0t t k t +--+=，即(1)(1)0t t k +--=.又1k t +≠，即10t k --≠，所以10t +=，即1t =-. 所以l ：1y kx =-.显然l 过定点(0,1)-. 证法三：由（），得(1,1)P .设l ：x ny t =+，由直线l 不过点(1,1)P ，所以1n t +≠.由2y x x ny t⎧=⎨=+⎩消去x 并整理得20y ny t --=. 由题意，判别式240n t ∆=+>.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12y y n +=①，12y y t =-② 则12121111PA PB y y k k x x --=⋅--1222121111y y y y --=⋅--12121()1y y y y =+++. 由题意，1212()11y y y y +++=，即1212()0y y y y ++=③ 将①②代入③式得0t n -+=，即t n =. 所以l ：(1)x n y =+.显然l 过定点(0,1)-..（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞.(1)0f =. 由题意，函数()f x 有唯一零点1.'()2a f x x x=-. （）若0a ≤，则0a -≥.显然'()0f x >恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. 又(1)0f =，所以0a ≤符合题意.（）若0a >，22'()x af x x-=.'()0f x x >⇔>'()00f x x <⇔<<. 所以()f x在上是减函数，在)+∞上是增函数.所以min ()f x f =1ln 222a a a =--.由题意，必有0f ≤（若0f >，则()0f x >恒成立，()f x 无零点，不符合题意）①若0f <，则1ln 0222a a a --<. 令()1ln (0)222a a a g a a =-->，则11'()ln 222a g a =-111ln 22222a a a -⨯⨯=-. '()002g a a >⇔<<；'()02g a a <⇔>.所以函数()g a 在(0,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数.所以max ()(2)0g a g ==.所以()0g a ≤，当且仅当2a =时取等号.所以，00f a <⇔>，且2a ≠.取正数1}a b e -<，则2()1ln 1ln f b b a b a b =-->--11()0a a>--⨯-=； 取正数1c a >+，显然c >>.而2()1ln f c c a x =--， 令()ln h x x x =-，则1'()1h x x =-.当1x >时，显然1'()10h x x=-<. 所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x >时，()ln h x x x =-(1)10h <=-<，所以ln x x <.因为1c >，所以2()1ln f c c a c =--21()1c ac c c a >--=--110c >⨯->. 又()f x在上是减函数，在)+∞上是增函数， 则由零点存在性定理，()f x在、)+∞上各有一个零点. 可见，02a <<，或2a >不符合题意.注：0a >时，若利用00lim ()x f x →+=+∞，0f <，lim ()x f x →+∞=+∞，说明()f x在、)+∞上各有一个零点.②若0f =1=，即2a =.符合题意. 综上，实数a 的取值范围为{|0,2}a a a ≤=或.（Ⅱ）由题意，2'(1)27f a a a =-=--.所以29a =，即3a =±. 由（Ⅰ）的结论，得3a =-.2()13ln f x x x =-+，()f x 在(0,)+∞上是增函数.()001f x x <⇔<<；()01f x x >⇔>. 由12()()f x f x =，不妨设12x x <，则1201x x <<<.从而有12()()f x f x -=，即221122(13ln )13ln x x x x --+=-+.所以2212123ln 20x x x x ++-=121223ln 2x x x x >+-.令()23ln 2p t t t =+-，显然()p t 在(0,)+∞上是增函数，且(1)0p =. 所以()001p t t <⇔<<.从而由121223ln 20x x x x +-<，得121x x <..选修：坐标系与参数方程解：（）曲线C 的普通方程为22194x y +=. 当1a =时，直线l 的普通方程为2y x =. 由222194y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩.解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 直线l 被曲线C=. （）解法一：11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.由点到直线的距离公式，椭圆3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点(3cos ,2sin )M θθ到直线l ：2100x y --=的距离为d ===， 其中0θ满足0cos θ=，0sin θ=. 由三角函数性质知，当00θθ+=时，d取最小值此时，03cos 3cos()θθ=-=，02sin 2sin()θθ=-=. 因此，当点M位于时，点M 到l的距离取最小值解法二：当11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.设与l 平行，且与椭圆22194x y +=相切的直线m 的方程为20x y t -+=. 由2220194x y t x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得2240369360x tx t ++-=. 由判别式22(36)440(936)0t t ∆=-⨯⨯-=，解得t =±所以，直线m的方程为20x y -+=，或20x y --=.要使两平行直线l 与m 间的距离最小，则直线m的方程为20x y --=. 这时，l 与m间的距离d==. 此时点的坐标为方程组的解.因此，当点位于时，点到直线的距离取最小值..选修：不等式选讲解：（）当时，.由，解得.所以，不等式的解集为. （）（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）.综上，当时，有最小值. 故由题意得，解得，或. 所以，实数的取值范围为.。
山东高三模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析
山东高三模拟考试(理)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}2324x A x -=> {}5B x x =≤，则A B =（ ）．A ．752x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．552x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．52x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D ．{}5x x ≤2．当a<0时，则关于x 的不等式22430x ax a -+<的解集是()12,x x ，则1212ab x x x x =++取得最值的充分条件是（ ）A ．有最大值 1b ≤-B ．有最小值b ≥-C ．有最大值 5b ≤-D ．有最小值b ≤3．已知扇形的半径为2 圆心角为45，则扇形的弧长是（ ） A ．45B ．π4C ．2π D ．904．在极坐标中点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭到圆4cos ρθ=的圆心的距离为（ ）A ．3πBC ．2D5．设0.33a = 30.3b = 0.3log 3c =，则a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．设2012(12)n n n x a a x a x a x +=++++ 若78a a =，则n =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．117．已知直线y =双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>相交于不同的两点A 和B F 为双曲线C 的左焦点且满足AF BF ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）AB ．2 C1 D8．已知函数||||12e sin 432e 2x x x f x ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，则122022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．404 B ．4044 C ．2022D ．2024二、多选题9．已知复数0z 、z 其中02i 3z =-，则下列结论正确的是（ ） A ．0z 的虚部为2iB ．0z 的共轭复数02i 3z =--C ．0z 是关于x 的方程26130x x ++=的一个根D ．若03z z -=，则z 在复平面内对应的点的集合是以()3,2-为圆心 3为半径的圆 10．已知函数31()423f x x x =-+ 下列说法中正确的有（ ） A ．函数()f x 的极大值为223 极小值为103- B ．当[]3,4x ∈时，则函数()f x 的最大值为223 最小值为103- C ．函数()f x 的单调减区间为[]22-,D ．曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为42y x =-+11．已知线段BC 的长度为4 线段AB 的长度为m 点D ,G 满足AD DC = 0DG AC ⋅= 且G 点在直线AB 上 若以BC 所在直线为x 轴 BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则（ ） A ．当4m =时，则点G 的轨迹为圆B ．当68m ≤≤时，则点G 的轨迹为椭圆 且椭圆的离心率取值范围为12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．当2m =时，则点G 的轨迹为双曲线 且该双曲线的渐近线方程为y =D ．当5m =时，则BCG 面积的最大值为312．我国有着丰富悠久的“印章文化” 古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成 本是官员或私人签署文件时代表身份的信物 后因其独特的文化内涵 也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件 除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2 已知正四棱柱和正四棱锥的高相等 且底面边长均为2 若该几何体的所有顶点都在球O 的表面上，则（ ）A ．正四棱柱和正四棱锥的高均为12B ．正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为12+C ．球O 的表面积为9πD ．正四棱锥的侧面、侧棱与其底面所成的角分别为α、π2βα⎛⎫< ⎪⎝⎭，则αβ<三、填空题 13．若tan 2α=，则2sin cos cos sin cos ααααα++-=__________.14．设{}n a 是等差数列 且13a = 2414a a += 若37m a =，则m =___________.15．一批电池(一节)用于无线麦克风时，则其寿命服从均值为34.3小时，则标准差为4.3小时的正态分布 随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不少于30小时的概率为______.(参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+= ()220.9545P X μσμσ-<≤+=)16．已知函数()()e 1xf x x =+ ()()1lng x x x =+ 若()()()121f x g x m m ==>，则112ln x x x m+的最小值为______．四、解答题17．如图 在ABC 中2BC = AC =π4A = 点M ､N 是边AB 上的两点 π6MCN ∠=.(1)求ABC 的面积；(2)当BN =求MN 的长.18．已知正项等比数列{}n a 前n 项和为12,n S a = 且324,2,a S a 成等差数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记2log n n b a = 其前n 项和为n T 求数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n H ．19．盲盒 是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子 具有随机性．因其独有的新鲜性 刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱．已知M 系列盲盒共有12个款式 为调查M 系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱 向00前、00后人群各随机发放了50份问卷 并全部收回．经统计 有45%的人未购买该系列育盒 在这些未购买者当中00后占23．(1)请根据以上信息填表 并分析是否有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关？(2)一批盲盒中每个盲盒随机装有一个款式 甲同学已经买到3个不同款 乙、丙同学分别已经买到m 个不同款 已知三个同学各自新购买一个盲盒 且相互之间无影响 他们同时买到各自的不同款的概率为13．①求m ；②设X 表示三个同学中各买到自己不同款的总人数 求X 的分布列和数学期望．20．已知直线,a b 平面,αβ 且a α⊂ b β⊂ //αβ．判断直线,a b 的位置关系 并说明理由． 21．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边 222cos cos 1cos A C B +=+且1b = (1)求B ； (2)若12AB AC ⋅<求11a c +的取值范围.22．已知函数32()1f x x ax bx =+++在点(1,(1))P f 处的切线方程为420x y --=． (1)求函数()f x 的单调区间(2)若函数()()g x f x m =-有三个零点 求实数m 的取值范围．参考答案与解析1．B【分析】解指数不等式求得集合A 根据集合的交集运算可得答案. 【详解】解不等式2324x -> 即232522232,2,x x x ->->∴>∴ 故{}235242x A x x x -⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭ 故552A B x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭故选：B 2．C【解析】计算得到124x x a += 2123x x a =计算b ≤根据充分条件的定义得到答案.【详解】不等式22430x ax a -+<的解集是()12,x x 故124x x a += 2123x x a =.1212114433a b x x a a x x a a ⎛⎫=++=+=--+≤-= ⎪-⎝⎭当143a a -=-即a =时等号成立 根据充分条件的定义知C 满足. 故选：C .【点睛】本题考查了充分条件 不等式的解 均值不等式 意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．C【分析】由弧长公式求解即可.【详解】因为圆心角的弧度数为π4 所以扇形的弧长是ππ242⨯=.故选：C 4．C【分析】先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程 再求点到圆心的距离得解.【详解】由题得ππ2cos 1,2sin 33x y =⨯==⨯=所以点的坐标为因为4cos ρθ= 所以24cos ρρθ= 所以2240x y x +-= 即22(2)4x y -+= 所以圆心的坐标为(2,0)2=故选：C. 5．C【分析】根据对数函数、指数函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为0.30331>= 300.3100.3<=< 0.30.3log 3log 10<= 所以c b a << 故选：C 6．D【分析】根据二项展开式分别求出78,a a 的表达式 解方程即可求得结果.【详解】由题可知 ()77777777C 122C n n n a x x x -=⨯⨯= 所以7772C n a =； 同理可得8882C n a =；由78a a =可得77882C 2C n n = 即78C 2C n n =所以(1)(2)(6)(1)(2)(7)212371238n n n n n n n n --⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯ 即7218n -⨯= 解得11n =. 故选：D 7．C【分析】由题意设A B 的坐标 代入直线和双曲线的方程可得A B 的坐标 再由AF BF ⊥ 可得数量积0FA FB →→⋅= 可得a c 的关系 进而求出离心率. 【详解】设()()0000,,,,(,0)A x y B x y F c ---则2200221x y a b-=① 因为AF BF ⊥ 所以0FA FB →→⋅=即()()0000,,0x c y x c y +⋅-+-=可得22200c x y -=②因为AB 在直线y 上 所以0y x = 由①②③得42840e e -+=解得24e =+所以1e 故选：C【点睛】本题考查双曲线的性质 及直线的垂直用数量积为0表示 属于中档题. 8．B【分析】利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】||||||12e sin 4sin 322e 2e 2x x x x x f x ++⎛⎫+==+ ⎪++⎝⎭ ()||||sin 1sin 3222e 2e 2x x x x f x --⎛⎫-+=+=- ⎪++⎝⎭所以1133422f x f x ⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以12x -替换3x 得()()1111142222f x fx f x f x ⎛⎫⎛⎫-++-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令122022202320232023f f f S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=则202220211202320232023f f S f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=两式相加得220224,4044S S =⨯=. 故选：B 9．BCD【分析】利用复数的概念可判断A 选项的正误；利用共轭复数的定义可判断B 选项的正误；解方程26130x x ++=可判断C 选项的正误；利用复数的几何意义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项 复数0z 的虚部为2- A 错； 对于B 选项 02i 3z =-- B 对；对于C 选项 解方程26130x x ++= 即()()22342i x +=-=± 可得32i x +=± 解得32i x =-± C 对；对于D 选项 设()i ,z x y x y R =+∈，则()()032i z z x y -=++-所以 03z z -== 即()()22329x y ++-=故z 在复平面内对应的点的集合是以()3,2-为圆心 3为半径的圆 D 对. 故选：BCD. 10．ACD【分析】利用导数研究函数()f x 的极值、最值、单调性 利用导数的几何意义可求得曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程 根据计算结果可得答案. 【详解】因为31()423f x x x =-+ 所以2()4f x x =-'由()0f x '> 得<2x -或2x > 由()0f x '< 得22x -<<所以函数()f x 在(,2)-∞-上递增 在[]22-,上递减 在(2,)+∞上递增 故选项C 正确 所以当2x =-时，则()f x 取得极大值3122(2)(2)4(2)233f -=⨯--⨯-+=在2x =时，则()f x 取得极小值3110(2)242233f =⨯-⨯+=- 故选项A 正确当[]3,4x ∈时，则()f x 为单调递增函数 所以当3x =时，则()f x 取得最小值31(3)343213f =⨯-⨯+=-当4x =时，则()f x 取得最大值3122(4)444233f =⨯-⨯+= 故选项B 不正确因为(0)4f '=- 所以曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为24(0)y x -=-- 即42y x =-+ 故选项D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调区间 考查了导数的几何意义 属于基础题.11．BCD【分析】根据题意可知：点A 的轨迹为以B 为圆心 半径为m 的圆B 点D 为线段AB 的中点 点G 为线段AC 的中垂线与直线AB 的交点，则GA GC = 利用图形结合圆锥曲线定义理解分析．【详解】根据题意可知：点A 的轨迹为以B 为圆心 半径为m 的圆B 点D 为线段AB 的中点 点G 为线段AC 的中垂线与直线AB 的交点，则GA GC =当4m =时，则线段AC 为圆B 的弦，则AC 的中垂线过圆心B 点G 即点B A 错误； 当68m ≤≤时，则如图1 点G 在线段AB 上 连接GC 则GC GB GA GB AB m +=+==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的椭圆 即,22m a c则椭圆的离心率412,23c eamB 正确； 当G 为椭圆短轴顶点时，则BCG 面积的最大 若5m =时，则则2253,2,22ac b a c 最大面积为3bc = D 正确； 当2m =时，则过点C 作圆B 的切线 切点为,M N若点A 在劣弧MN （不包括端点,M N ）上 如图2 点G 在BA 的延长线上 连接GC 则2GB GC GB GA AB -=-==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的双曲线的左半支若点A 在优弧MN （不包括端点,M N ）上 如图3 点G 在AB 的延长线上 连接GC 则2GC GB GA GB AB -=-==∴点G 的轨迹为以B C 为焦点 长轴长为m 的双曲线的右半支 则点G 的轨迹为双曲线∴1,2,a c b ===渐近线方程为by x a=±= C 正确； 故选：BCD ．12．BC【分析】根据正四棱柱和正四棱锥的几何的性质结合球的对称性、球的表面积公式、线面角、二面角的定义逐一判断即可.【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高为h球O的半径为r根据正四棱柱和球的对称性可知：该几何体的外接球的球心为正四棱柱的中心球的直径2r 即为正四棱柱的体对角线 且正四棱柱的体心到正四棱锥的顶点的距离32h r = 根据正四棱柱的体对角线公式得2222224348(22292)r h r r r ⇒=+⇒+==+ 因此1h = 所求球的表面积为294π4π9π4r =⋅= 故选项A 不正确 C 正确； 在直角三角形EFG中EG ==所以正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为：14222421122⨯⨯⨯+⨯⨯=+所以选项B 正确 如图所示：1tan tan 11EGFα1tan tan 12FHE β=∠==显然有tan tan αβαβ>⇒>所以选项D 不正确 故选：BC13．【详解】222221tan 2,sin 2cos ,sin 4cos 1cos 4cos cos 5αααααααα=∴=∴=⇒-=⇒= 2sin cos 116cos 3sin cos 55ααααα++=+=- 14．18【分析】根据等差数列的通项公式 结合代入法进行求解即可.【详解】设该等差数列的公差为d 因为13a =所以由2414333142a a d d d +=⇒+++=⇒=由373(1)23718m a m m =⇒+-⋅=⇒=故答案为：1815．0.84135【分析】由题知()2~34.3,4.3X N 故()()30P X P X μσ≥=≥- 再结合正态分布3σ原则求解即可得答案.【详解】解：由题意知 ()2~34.3,4.3X N所以()()()3034.3 4.3P X P X P X μσ≥=≥-=≥-故()()1110.68270.841352P X μσ≥-=--=. 所以这节电池可持续使用不少于30小时的概率为0.84135.故答案为：0.8413516．e【分析】利用函数同构及函数单调性得到12ln x x = 问题转化为求()ln x h x x =（1x >）的最小值 利用导函数 研究其单调性 求出最小值.【详解】()()()()ln 1ln e 1ln ln x g x x x x f x =+=+=，则 ()()()12ln 1f x f x m m ==> 因为()()111e 11x f x x =+> 故1>0x 又当0x >时，则()()1e 10x f x x '=++>恒成立 即()()e 1x f x x =+单调递增 所以12ln x x =，则112l l n n x x x m m m=+ 令()ln x h x x =（1x >） ()()2ln 1ln x h x x -'= 当()1,e x ∈时，则()0h x '< 当()e,+x ∈∞时，则()0h x '> 所以()h x 在e x =处取得最小值 ()e e e ln e h == 112ln x x x m +的最小值为e .故答案为：e17．【分析】（1）利用正弦定理sin sin BC AC A B = 可求得1π6B = 根据()sin sinC A B =+结合面积公式求解；（2）在BCN △中利用余弦定理求1CN = 在直角CMN 中根据tan MN MCN CN=∠求解．【详解】（1）在ABC 中BC AC >，则A B >由正弦定理得：sin sin BC AC A B = 2sin 4π=，则1sin 2B = 因为(0,π)B ∈，则1π6B =或5π6B =（不合题意 舍去）则()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=ABC 的面积为1sin 2ABC S CB CA C =⋅⋅⋅=△（2）在BCN △中2BC = BN =π6B =由余弦定理可得1CN == 则有222BC BN CN =+ 所以CN AB ⊥在直角CMN 中1CN = π6MCN ∠=πtan 6MN CN ==MN =18．(1)2n n a =； (2)21n n +.【分析】（1）设{}n a 的公比为q 列方程求得q 后可得通项公式；（2）由题可得n b n T 然后利用裂项相消法即得．【详解】（1）设{}n a 的公比为q (0q >)因为12a = 且324,2,a S a 成等差数列所以()3421244a a S a a +==+所以23224(22)q q q +=+ 即()214(1)q q q +=+ 又0q > 所以2q所以2n n a =；（2）由题可知2log n n b a n ==所以n T ()1122n n n +=+++=()1211211⎛⎫==- ⎪++⎝⎭n T n n n n 所以11111122121223111n n H n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 19．(1)有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关(2)① 4；②见解析【分析】（1）列出列联表 计算出2K 然后判断.（2）①利用概率的乘法公式计算；②分析X 的取值后 由概率的加法公式和乘法公式计算 得到分布列 然后计算期望.【详解】（1）由题意可得则()22100353015201009.091 6.6355050455511K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 所以有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关. （2）①由题意三个同学同时买到各自的不同款的概率为9121211212123m m 解得20m =或4 因为012m <≤ 所以4m =.②由题X 的所有可能取值为0 1 2 33441012121236P X； 94438471212121212121236P X； 9843884221212121212129P X ； ()133P X == 其分布列为所以数学期望()174125012336369312E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．它们是平行直线或异面直线；答案见解析．【分析】利用反证法 根据两条直线交点的个数 可判断其位置关系；【详解】直线,a b 的位置关系是平行直线或异面直线；理由如下：由//αβ 直线,a b 分别在平面α β内可知直线,a b 没有公共点．因为若,a b 有公共点 那么这个点也是平面α β的公共点这与是平面α β平行矛盾．因此直线,a b 不相交 它们是平行直线或异面直线．21．(1)π2(2)()+∞【分析】（1）利用三角函数的基本关系式与正弦定理可得；（2）由12AB AC ⋅<推得0c << 再由221a c +=设πsin ,cos ,0,4c a θθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭ 将11a c +转化为sin cossin cos θθθθ+ 再引入(sin cos ,t t θθ=+∈ 得(2112,1t t a c t +=∈- 最后利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为222cos cos 1cos A C B +=+，则2221sin 1sin 11sin A C B -+-=+-所以222sin sin sin A C B +=，则222a c b += 所以ABC 为直角三角形所以π2B =（2）221cos 2AB AC AB AC A AB c ⋅=⋅⋅==< 所以0c < 而221a c += 所以设πsin ,cos ,0,4c a θθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭所以1111sin cos sin cos sin cos a c θθθθθθ++=+=令(πsin cos ,4t t θθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭又因为22(sin cos )12sin cos t θθθθ=+=+ 所以21sin cos 2t θθ-=所以(2112,1t t a c t +=∈-令(222,11t y t t t t ==∈-- 因为1t t -在(t ∈上单调递增 所以21y t t =-在(t ∈上单调递减所以21y >=所以11a c +的取值范围为()+∞. 22．(1)单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ (2)22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意 列出方程组求得()321f x x x x =+-+ 得到()2321f x x x '=+- 进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到()321g x x x x m =+-+- 结合条件列出不等式组 即得.（1）由题可得2()32f x x ax b '=++由题意得(1)22(1)324f a b f a b =++=⎧⎨=++='⎩ 解得1,1a b ==-所以322()1,()321f x x x x f x x x =+-+=+-'由()0f x '>得1x <-或13x > 由()0f x '<得113x -<< 所以()f x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭； （2）因为322()()1,()()321g x f x m x x x m g x f x x x =-=+-+='-=+-'由（1）可知 ()g x 在=1x -处取得极大值 在13x =处取得极小值()g x 的单调递减区间是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ 单调递增区间是1(,1),,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 依题意 要使()g x 有三个零点，则(1)0103g g ->⎧⎪⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩ 即()1201220327g m g m ⎧-=->⎪⎨⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得22227m << 经检验 (2)10,(2)110g m g m -=-<=+> 根据零点存在定理 可以确定函数有三个零点所以m 的取值范围为22,227⎛⎫ ⎪⎝⎭．。
枣庄市高三第二次模拟考试数学理
2
D．
5
10．已知直线， l 平面 ，直线 m 平面 ，给出下列四个命题：
① //
lm
②
l //m
③ l / /m
④l m
//
其中正确的命题是个数为
A． 1
B．2
C． 3
11．“ a 3 ”是函数 f ( x) ax 3在[ 1,2] 上存在零点”的
D． 4
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
1) ，直线 x 是 f (x) 图 3
（ 1）试求 的值：
（ 2）已知函数 y=g（ x）的图象是由 y= f ( x) 图象上的各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，
然后再向左平移 2 个单位长度得到，若 g (2 3
6 ), 35
(0, ), 求 sin 的值。 2
18．（本题满分 12 分） 如图，在三棱柱 ABC–A1B1C1 中，底面 ABC为正三角形，侧面均是边长为
D．有的三角形可能是等腰三角形
3．已知 200 辆汽车通过某一段公路时的时速
的频率分布直方图如右图所示，则时速
在 [60,70）内的汽车大约有（
）辆．
A． 20
B．40
C． 60
D． 80
4．圆 C1 : x2 y2 2y 0,C2 : x2 y2 2 3x 6 0 的位置关系为
A．外离
B．外切
C．相交
（用数字作
根据上述分解规律，若 m3 (m N *) 的分角中最小的数是 91，则 m 的值为
。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出必要的文字说明：证明过程或演算步 骤．
17．（本题满分 12 分）
山东省枣庄市数学高三理数第二次模拟考试试卷
山东省枣庄市数学高三理数第二次模拟考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018 高二下·盘锦期末) 设全集 U=R， 集合，，则(C B) A=（ ）A.B.C.D. 2. （2 分） (2017·吉安模拟) 已知 i 为虚数单位，a∈R，若（a+1）（a﹣1+i）是纯虚数，则 a 的值为（ ） A . ﹣1 或 1 B.1 C . ﹣1 D.33. （2 分） (2020 高一上·铜陵期末) 已知 A. B. C. D.4. （2 分） 已知向量 mx+ny+1=0 的斜率为（ ），当向量与向量第 1 页 共 22 页，则（ ） 共线，（m，n≠0），则直线A.B.C.D.5. （2 分） (2019 高二下·深圳期末) 将函数 y＝sin x 的图像向左平移 图像，则下列说法正确的是（ ）个单位，得到函数 y＝f（x）的A . y＝f（x）是奇函数B . y＝f（x）的周期为 πC . y＝f（x）的图像关于直线 x＝ 对称D . y＝f（x）的图像关于点对称6. （2 分） 两位同学一起参加某单位的招聘面试，单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘 3 人， 假设每位参加面试的人被招聘的概率相等，你们俩同时被招聘的概率是 ”．根据这位负责人的话可以推断出这 次参加该单位招聘面试的人有（ ）A . 44 人B . 42 人C . 22 人D . 21 人7. （2 分） (2016 高三上·上海模拟) 若 D′是平面 α 外一点，则下列命题正确的是（ ）A . 过 D′只能作一条直线与平面 α 相交B . 过 D′可作无数条直线与平面 α 垂直C . 过 D′只能作一条直线与平面 α 平行第 2 页 共 22 页D . 过 D′可作无数条直线与平面 α 平行 8. （2 分） (2015 高三上·荣昌期中) 执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为（ ）A.B.C.D. 9. （2 分） (2016 高二下·仙游期末) 已知集合 A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆ B“的（ ） A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件10. （2 分） 若 A.2 B . －2，等于 （ ）第 3 页 共 22 页C.D.11. （2 分） 将离心率为 的双曲线 的实半轴长 和虚半轴长 心率为 的双曲线 ， 则（ ）A . 对任意的B . 当 时，；当 时，C . 对任意的D . 当 时，；当 时，同时增加个单位长度，得到离12. （2 分） (2018 高二上·牡丹江期中) 双曲线（）的左、右焦点分别为，过 作圆的切线交双曲线的左、右支分别于点 B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高二下·吉林期中) 甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数 及其标准差 s 如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是________.甲乙丙丁7887s2.5 2.5 2.8 314. （1 分） (2018 高一下·新乡期末) 在平行四边形中，，，，第 4 页 共 22 页点 ， 分别在边 ， 上（不与端点重合），且，则的取值范围为________．15. （1 分） (2016 高二下·南城期中) 对于函数 f（x）给出定义：设 f′（x）是函数 y=f（x）的导数，f″（x）是函数 f′（x）的导数，若方程 f″（x）=0 有实数解 x0 ， 则 称点（x0 ， f（x0））为函数 y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面探究结果，计算=________．16. （1 分） (2020·安阳模拟) 下图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成 的，且前后，左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为 2 的正方形，高为 4，且两个四棱柱的侧棱互相垂 直.则这个几何体的体积为________.三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17. （10 分） (2016 高一下·合肥期中) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ， a1=1，an+1=Sn ． 求证：（1） 数列{ }成等比； （2） Sn+1=4an ．18. （10 分） 有一道数学题，在半小时内，甲学生能解决它的概率是 ，乙学生能解决它的概率是 ， 两个人试图独立地在半小时内解决它，记解决此题的人数为 ξ：（1） 求 ξ 的期望； （2） 此题得到解决的概率． 19. （10 分） (2012·重庆理) 如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB=4，AC=BC=3，D 为 AB 的中点第 5 页 共 22 页（1） 求点 C 到平面 A1ABB1 的距离；（2） 若 AB1⊥A1C，求二面角 A1﹣CD﹣C1 的平面角的余弦值．20. （10 分） (2018·河北模拟) 在平面直角坐标系 相同的长度单位建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，取 .（1） 求曲线 的直角坐标方程；（2） 在平面直角坐标系中，将曲线 的纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍，得到曲线作直线 ，交曲线 于两点，若，求直线 的斜率.，过点21. （10 分） (2017 高三上·郫县期中) 设函数 f（x）= +c（e=2.71828…是自然对数的底数，c∈R）． （Ⅰ）求 f（x）的单调区间、最大值； （Ⅱ）讨论关于 x 的方程|lnx|=f（x）根的个数．22.（10 分）(2018·中山模拟) 在平面直角坐标系中,曲线 的参数方程为在以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 的极坐标方程为（1） 求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程;为参数); ．（2） 若射线 的取值范围．与曲线的交点分别为23. （10 分） (2017·延边模拟) 设 f（x）=|x﹣a|，a∈R （Ⅰ）当 a=5，解不等式 f（x）≤3；异于原点),当斜率时,求第 6 页 共 22 页（Ⅱ）当 a=1 时，若∃ x∈R，使得不等式 f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m 成立，求实数 m 的取值范围．第 7 页 共 22 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点：第 8 页 共 22 页解析： 答案：4-1、 考点：解析： 答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点： 解析：第 9 页 共 22 页答案：7-1、 考点： 解析：答案：8-1、 考点： 解析：第 10 页 共 22 页答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：。
【高三数学试题精选】2018高三数学(理)“二调”模拟考试题(枣庄市含答案)
2018高三数学（理）“二调”模拟考试题(枣庄市含答案)
5 c 全市“二调”模拟考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知为实数，为虚数单位，若，则
A． B．-1 c． D．1
2、已知集合，且，则集合B可能是
A． B． c． D．
3、传承传统化在掀热潮，在刚刚过去的新春假期中，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，下面的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中比赛得分，则下列说法正确的是A．甲的平均数大于乙的平均数
B．甲的中位数大于乙的中位数
c．甲的方差大于乙的方差
D．甲的平均数等于乙的中位数
4、下列说法正确的是
A．若，则
B．若命题，则为真命题
c．已知命题，“ 为真命题”是“ 为真命题”的充要条
D．若为R上的偶函数，则
5、某结合体的三视图（单位c）如图右图所示，其中侧视图是一个
边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是
A． B． c． D．
6、如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于。
山东省枣庄市2018届高三数学第二次模拟考试试题 理
山东省枣庄市2018届高三数学第二次模拟考试试题 理第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≥，则R C A =（ ）A ．(1,2)-B ．[1,2]-C ．(2,1)-D ．[2,1]- 2.已知复数1iz i=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．1 B ．12C．2 D3.已知123a -=，31log 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．a b c >> D ．c b a >> 4.下图给出的是计算11112462018+++⋅⋅⋅+值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（ ）A ．2016?i >B ．2018?i >C ．2016?i ≤D ．2018?i ≤ 5.若2101()()x a x x-+的展开式中6x 的系数为30，则a =（ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．2 6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．316 B ．38 C ．14 D ．187.已知tan()44πα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．79C ．19-D ．198.函数()ln(1)f x x x =-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，则满足(21)(2)f x f +>成立的x 取值范围是（ ）A ．31(,)22-B ．31(,)(,)22-∞-+∞ C ．1(,)2-∞ D ．1(,)2+∞10.某多面体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形.该多面体的各个面中有若干个是等腰三角形，这些等腰三角形的面积之和为（ ）A ．4+．4+．．4+11.设1F 、2F 是椭圆C ：2212x y m +=的两个焦点，若C 上存在点M 满足12120F MF ∠=，则m 的取值范围是（ ）A ．1(0,][8,)2+∞B ．(0,1][8,)+∞C ．1(0,][4,)2+∞ D ．(0,1][4,)+∞12.已知函数2()(12)()f x x x ax b =+++(,)a b R ∈的图象关于点(1,0)对称，则()f x 在[1,1]-上的值域为（ ）A．[8,2- B．[7,2- C．[8,2- D．[7,2- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则22(1)x y ++的最大值为 ．14.在平行四边形ABCD 中，4AB =，3CP PD =，若1AB BP ⋅=-，则AB AD ⋅= ．15.已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，圆心在直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为 ．16.已知()sin cos f x x x ωω=-2()3ω>，若函数()f x 图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是 ．（结果用区间表示） 三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2364n n n a a S +=+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.在四棱锥S ABCD -中，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若底面ABCD 为矩形，23SA AD AB ==，F 为SC 的中点，23BE BC =，求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值.19.随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：根据一周内平均每天学习数学的时间t ，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m 甲（精确到0.01）； （Ⅱ）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X 甲与X 乙及方差2S 甲与2S 乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的X 甲、2S 甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）记事件A ：“甲高中学生对数学的喜好等级高于乙高中学生对数学的喜好等级”.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求A 的概率. 20.已知抛物线C ：212y x =，不过坐标原点O 的直线l 交于A ，B 两点. （Ⅰ）若OA OB ⊥，证明：直线l 过定点；（Ⅱ）设过A 且与C 相切的直线为1l ，过B 且与C 相切的直线为2l .当1l 与2l 交于点(1,2)-时，求l 的方程.21.已知2()1ln ()f x x a x a R =--∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =与x 轴有唯一公共点A ，求a 的取值范围； （Ⅱ）若不等式12()1x f x ex x -≤+--对任意的1x ≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为121x t y t a =-⎧⎨=--⎩（t 为参数）. （Ⅰ）若1a =，求直线l 被曲线C 截得的线段的长度；（Ⅱ）若11a =，在曲线C 上求一点M ，使得点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x a =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()3f x <的解集；（Ⅱ）设函数()1g x x =+.当x R ∈时，()()1f x g x +>恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: ACBDD 6-10: CBABB 11、12：AD 二、填空题13. 4 14. 11 15. 22(2)2x y +-= 16. 711[,]812三、解答题17.（Ⅰ）当1n =时，有2111364a a a +=+，即11(4)(1)0a a -+=.因为10a >，所以110a +>.从而140a -=，即14a =.由2364n n n a a S +=+，知2111364n n n a a S ++++=+. 两式相减，得22111336464n n n n n n a a a a S S ++++--=+--. 即22111336n n n n n a a a a a ++++--=，即2211330n n n n a a a a ++---=，即11()(3)0n n n n a a a a +++--=.因为0n a >，所以130n n a a +--=，即13n n a a +-=. 所以，数列{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列. 所以43(1)31n a n n =+-=+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3(31)(34)n b n n =++113134n n =-++. 数列{}n b 的前n 项和为1111()()47710n T =-+-+⋅⋅⋅+1111()()32313134n n n n -+--+++11434n =-+. 18.（Ⅰ）证法1：在平面ABCD 内过点C 作两条直线1l ，2l ， 使得1l AB ⊥，2l AD ⊥. 因为ABAD A =，所以1l ，2l 为两条相交直线.因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB平面ABCD AB =，1l ⊂平面ABCD ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面SAB . 所以1l SA ⊥. 同理可证2l SA ⊥.又因为1l ⊂平面ABCD ，2l ⊂平面ABCD ，12l l C =，所以SA ⊥平面ABCD .证法2：在平面SAB 内过点S 作1l AB ⊥，在平面SAD 内过点S 作2l AD ⊥. 因为平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB 平面ABCD AB =，1l ⊂平面SAB ，1l AB ⊥，所以1l ⊥平面ABCD . 同理可证2l ⊥平面ABCD .而过点S 作平面ABCD 的垂线有且仅有一条， 所以1l 与2l 重合.所以1l ⊂平面SAD . 所以，直线1l 为平面SAB 与平面SAD 的交线. 所以，直线1l 与直线SA 重合.所以SA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）如图，分别以AB 、AD 、AS 所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -.设6SA =，则2AB =，3AD =，(2,0,0)B ，(2,3,0)C ，(0,3,0)D ，(0,0,6)S . 由F 为SC 的中点，得3(1,,3)2F ；由23BE BC =，得(2,2,0)E . 所以1(1,,3)2EF =--，(2,3,6)SC =-，(2,0,0)DC =.设平面SCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n SC n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即236020x y z x +-=⎧⎨=⎩.取1z =，则2y =，0x =. 所以(0,2,1)n =.所以cos ,EF n <>EF n EF n⋅=⋅1(1)0()231-⨯+-⨯+⨯==.所以，直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值为205. 19.解：（Ⅰ）0.5(0.10.2)200.3m -+=+甲1026.67⨯≈；（Ⅱ）X X <甲乙；22S S >甲乙；50.1150.2250.3X =⨯+⨯+⨯甲350.2450.15550.0527.5+⨯+⨯+⨯=；222(527.5)0.1(1527.5)0.2S =-⨯+-⨯甲22(2527.5)0.3(3527.5)0.2+-⨯+-⨯22(4527.5)0.15(5527.5)0.05+-⨯+-⨯178.75=.（Ⅲ）由题意，甲高中学生对数学的喜好程度为“一般”、“爱好”、“痴迷”的概率分别为0.05、0.8、0.15.()0.650.050.05(0.050.8)P A =⨯+⨯+0.075=.20.设11(,)A x y ，22(,)B x y .（Ⅰ）解：显然直线l 的斜率存在，设为k ，直线的方程为y kx m =+.由题意，0m ≠.由212y kx m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2220x kx m --=.由题意，该方程的判别式24(2)0k m ∆=+>，即220()k m +>★. 则122x x k +=，122x x m =-.因为OA OB ⊥，所以OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，即21212(1)()k x x km x x +++20m +=.所以2222(1)20m k k m m -+++=.所以220m m -=.解得0m =（舍去），或2m =. 当2m =时，220k m +>，满足()★式. 所以直线l 的方程为2y kx =+. 直线l 过定点(0,2).（Ⅱ）解法一：过点(1,2)-且与C ：212y x =相切的直线的斜率必存在，设其斜率为k ，则其方程为(2)(1)y k x --=-，即(1)2y k x =--.由2(1)22y k x x y=--⎧⎨=⎩消去y 并整理得222(2)0x kx k -++=. 由判别式2(2)8(2)0k k ∆=--+=，解得1k =±不妨设1l的斜率11k =2l的斜率21k =由韦达定理，得1212x x k +=，即111x k ==111(1)2y k x =--(123=+=+所以(1A ++.同理可得(1B .直线l的方程为(3y -+=[(1x -，即直线l 的方程为2y x =+.解法二：2'1'()2y x x ==，所以过A 且与C 相切的直线1l 的斜率为1x . 同理，2l 的斜率为2x .1l ：21111()2y x x x x -=-，即1l ：21112y x x x =-.同理2l ：22212y x x x =-. 因为1l 与2l 的交点(1,2)-的坐标为方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的解，所以211122x x -=-，且222122x x -=-. 所以方程2122x x -=-，即21202x x -++=的两个实根是1x ，2x .由21202x x -++=，解得11x =21x =.又点A ，B 在C ：212y x =上，可得(1A +，(1B --.直线l的方程为(3y -+=[(1x -，即直线l 的方程为2y x =+.解法三：2'1'()2y x x ==，所以过A 且与C 相切的直线1l 的斜率为1x .同理，2l 的斜率为2x .所以，切线1l ：111()y y x x x -=-，即2111y y x x x -=-.又11(,)x y 是抛物线212y x =上的点，所以21112y x =，即2112x y =. 故切线1l 的方程为11y x x y =-. 同理切线2l 的方程为22y x x y =-.又切线1l 与切线2l 均过点(1,2)-，故112x y -=-，222x y -=-. 所以切点11(,)A x y 、22(,)B x y 的坐标适合方程2x y -=-. 所以l 的方程为2y x =+.21.（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞.(1)0f =.由题意，函数()f x 有唯一零点1.'()2a f x x x=-. （1）若0a ≤，则0a -≥.显然'()0f x >恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数.又(1)0f =，所以0a ≤符合题意. （2）若0a >，22'()x a f x x-=. '()0f x x >⇔>'()00f x x <⇔<<. 所以()f x在上是减函数，在)+∞上是增函数.所以min ()f x f =1ln 222a a a =--. 由题意，必有0f ≤（若0f >，则()0f x >恒成立，()f x 无零点，不符合题意）.①若0f <，则1ln 0222a a a --<. 令()1ln (0)222a a a g a a =-->，则11'()ln 2222a a g a =--111ln 2222a a ⨯⨯=-. '()002g a a >⇔<<；'()02g a a <⇔>.所以函数()g a 在(0,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数.所以max ()(2)0g a g ==.所以()0g a ≤，当且仅当2a =时取等号.所以，00f a <⇔>，且2a ≠.取正数1}a b e -<，则2()1ln 1ln f b b a b a b =-->--11()0a a>--⨯-=；取正数1c a >+，显然c >>.而2()1ln f c c a c =--， 令()ln h x x x =-，则1'()1h x x =-.当1x >时，显然1'()10h x x=-<. 所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x >时，()ln (1)10h x x x h =-<=-<，所以ln x x <.因为1c >，所以2()1ln f c c a c =--21()1c ac c c a >--=--110c >⨯->.又()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数.则由零点存在性定理，()f x 在、)+∞上各有一个零点. 可见，02a <<，或2a >不符合题意.注：0a >时，若利用00lim ()x f x →+=+∞，0f <，lim ()x f x →+∞=+∞，说明()f x 在、)+∞上各有一个零点.②若0f =1=，即2a =.符合题意. 综上，实数a 的取值范围为{|0,2}a a a ≤=或.（Ⅱ）12()1x f x e x x -≤+--1ln 0x x a x e -⇔--≤.令1()ln x g x x a x e -=--，则()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.（1）当0a =时，1()x g x x e-=-. 当1x >时，10'()110x g x e e -=-<-=，所以()g x 在[1,)+∞上是减函数. 所以，当1x ≥时，()g(1)0g x ≤=.可见，0a =符合题意.（2）若0a <，显然1'()1x a g x e x--=+-在[1,)+∞上是减函数. 取实数1m a >-+，显然1m >.则1'()(1)m a g m e m -=-+-[1(1)1]a m m≤-+-+-（利用11(1)x e x -≥+-） (1)m m a m-+=- (1)(11)a a a m-+-+-+<-20a m =-<. 又'(1)0g a =->，'()g x 在[1,)+∞上是减函数，由零点存在定点，存在唯一的0(1,)x m ∈使得0'()0g x =.于是，当0(1,)x x ∈时，'()0g x >，函数()g x 在0(1,)x 上是增函数.所以，当0(1,)x x ∈时，()(1)0g x g >=.可见，0a <不符合题意.当0a >时，分如下三种解法：解法一：（3）若01a <≤，1'()1x a g x e x-=--，212''()x a x e g x x --=. 令21()x h x a x e -=-，显然21()x h x a x e -=-在[1,)+∞上是减函数，所以，当1x ≥时，()(1)10h x h a ≤=-≤，当且仅当1a =时取等号.所以，当1x ≥时，2()''()0h x g x x =≤，1'()1x a g x e x-=--在[1,)+∞上是减函数. 所以，当1x ≥时，'()'(1)0g x g a ≤=-<.所以，()g x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≤=.可见，01a <≤符合题意.（4）若1a >，1'()1x a g x e x-=--，212''()x a x e g x x --=. 令21()x h x a x e -=-，显然()h x 在[1,)+∞上是减函数，且(1)10h a =->， 21()a h a a a e -=-10(1)0a a ae a e -<-<-=，所以，存在唯一的0(1,)x a ∈，使得0()0h x =，即12()a x aa e x -=★. 于是，当(1,)a x x ∈时，()0h x >；当(,)a x x ∈+∞时，()0h x <.所以，当(1,)a x x ∈时，''()0g x >；当(,)a x x ∈+∞时，''()0g x <.所以，'()g x 在(1,)a x 上是增函数，在(,)a x +∞上是减函数.所以，'()g x 在[1,)+∞上的最大值max '()'()a g x g x =11a x aa e x -=--. 将()★式代入上式，得max 2'()1a a a a g x x x =--2210a aa a a a x x <--=-<. 所以，当1x ≥时，'()0g x <，所以()g x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≤=.可见，1a >符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.解法二：（3）若0a >，()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立1ln x ex a x -⇔-≥-对任意的1x ≥恒成立.令1()x p x e x -=-，()ln q x a x =-.1'()1x p x e -=-，当1x >时，1'()1x p x e -=-1110e ->-=，所以()p x 在[1,)+∞上是增函数.所以min ()(1)0p x p ==.显然()ln q x a x =-在[1,)+∞上是减函数，max ()(1)0q x q ==.所以，当1x ≥时，()()p x q x ≥，即1ln x ex a x --≥-对任意的1x ≥恒成立. 所以0a >符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.解法三：（3）若0a >，1()ln 0x g x x ea x -=--≤对任意的1x ≥恒成立. 令1()x p x x e -=-，()ln q x a x =-.1'()1x p x e -=-，当1x >时，1'()1x p x e -=-1110e -<-=，所以()p x 在[1,)+∞上是减函数.所以min ()(1)0p x p ==.所以，当1x ≥时，()0p x ≤.当0a >，1x ≥时，()ln 0q x a x =-≤.所以，当0a >，1x ≥时，()()()0g x p x q x =+≤恒成立.所以0a >符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.解法四：12()1x f x ex x -=+--1ln 0x e a x x -⇔+-≥. 令1()ln x g x e a x x -=+-，则()0g x ≥对任意的1x ≥恒成立.1'()1x a g x e x-=+-1x xe x a x --+=. 令1()x h x xe x a -=-+，当1x >时，1'()(1)1x h x x e -=+-11(11)10e ->+->，所以()h x 在[1,)+∞上是增函数.（1）若0a ≥，则1x >时，()(1)0h x h a >=≥，()'()0h x g x x=>， 所以()g x 在[1,)+∞上是增函数.所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≥=.可见，0a ≥符合题意.（2）若0a <，(1)0h a =<， (1)(1)12a h a a e a --=--+2(1)[1()]210a a a a >-+-+-=>.（这里利用了0x >时，1x e x >+）又()h x 在[1,)+∞上是增函数，由零点存在性定理，知存在唯一的(1,1)a x a ∈-，使得()0a h x =.于是，当(1,)a x x ∈时，()0h x <，()'()0h x g x x=<， 所以，()g x 在(1,)a x 上是减函数.所以，当(1,)a x x ∈时，()(1)0g x g <=.可见，0a <不符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.注：利用(1)0h a =<，lim ()x h x →+∞=+∞，说明()h x 在(1,)+∞上有零点. 解法五：12()1x f x e x x -≤+--1ln 0x x a x e -⇔--≤.令1()ln x g x x a x e -=--，则()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.（1）先寻求使结论成立的充分条件.由(1)0g =，要使()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.只需要()g x 在[1,)+∞上是减函数，即'()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立. 而1'()10x a g x e x-=--≤1(1)x a x e -⇔≥-， 所以，只需要1(1)x a x e-≥-对任意的1x ≥恒成立. 令1()(1)x h x x e -=-，11'()1x x h x e xe --=--11(1)x x e -=-+.显然'()h x 在[1,)+∞上是减函数，所以，当1x ≥时，11'()'(1)1(11)10h x h e-≤=-+=-<.所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以()h x 在[1,)+∞上的最大值max ()(1)0h x h ==.则只需要max ()(1)a h x x ≥≥.可见，当0a ≥时，()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.（2）当0a <时，'(1)0g a =->， (1)1'(1)11a a g a e a ---=--- 121a a e a--=-- 12[1()]1a a a-<-+--（0x >时，1x e x >+） 212(1)1a a a ---=-201a a=-<-. 又0a <时，1'()1x a g x e x--=+-在[1,)+∞上是减函数， 由零点存在定理，存在唯一的(1,1)a x a ∈-，使得'()0a g x =.于是，当(1,)a x x ∈时，'()'()0a g x g x >=，所以()g x 在(1,)a x 上是增函数.所以，当(1,)a x x ∈时，()(1)0g x g >=.可见，0a <不符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.注：0a <时，用'(1)0g a =->，lim '()a x g x →+∞=-∞，说明()h x 在(1,)+∞上有零点. 22.选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22194x y +=. 当1a =时，直线l 的普通方程为2y x =. 由222194y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩.解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 直线l 被曲线C=. （Ⅱ）解法一：11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.由点到直线的距离公式，椭圆3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩上的点(3cos ,2sin )M θθ到直线l ：2100x y --=的距离为d ===， 其中0θ满足0cos θ=，0sin θ=. 由三角函数性质知，当00θθ+=时，d取最小值此时，03cos 3cos()θθ=-=，02sin 2sin()θθ=-=. 因此，当点M位于时，点M 到l的距离取最小值解法二：当11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.设与l 平行，且与椭圆22194x y +=相切的直线m 的方程为20x y t -+=. 由2220194x y t x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得2240369360x tx t ++-=. 由判别式22(36)440(936)0t t ∆=-⨯⨯-=，解得t =±所以，直线m的方程为20x y -+=，或20x y --=.要使两平行直线l 与m 间的距离最小，则直线m的方程为20x y --=. 这时，l 与m间的距离d==. 此时点M的坐标为方程组2220194x y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩的解5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 因此，当点M位于(105-时，点M 到直线l的距离取最小值23.选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）当4a =时，()34f x x =-. 由343x -<，解得1733x <<. 所以，不等式()3f x <的解集为17{|}33x x <<. （Ⅱ）()()31f x g x x a x +=-++3()13ax x =-++2133a a x x x =-+-++ 13a x x ≥-++（当且仅当3a x =时取等号） ()(1)3a x x ≥--+（当且仅当()(1)03a x x -+≤时取等号） 13a =+. 综上，当3a x =时，()()f x g x +有最小值13a +. 故由题意得113a +>，解得6a <-，或0a >. 所以，实数a 的取值范围为(,6)(0,)-∞-+∞.。
山东省枣庄市2018届高三数学11月月考试题 理(无答案)
山东省枣庄市2018届高三数学11月月考试题 理（无答案）注意事项：1. 本试题分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，时间120分钟。
2. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚。
3. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚4. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效5. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}|24x A x =≤，集合(){}|y lg 1B x x ==-，则A B 等于（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,2D ．[]1,2 2.在复平面内，复数2332ii-+对应的点的坐标为 （ ）A ．()0,1-B ．130,9⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．12,113⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1213,99⎛⎫-⎪⎝⎭ 3．在等差数列{}n a 中，37101a a a +-=-，11421a a -=，则数列{}n a 的前8项和8S = ( )A ． 50B 70 C. 120 D. 100 4．将函数π()2sin()3f x x =+图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，然后将所得函数图象再向右平移(0)m m >个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则m 的最小值为 （ ） A ．12π B ．3π C.125π D ．127π5．已知向量a →)3,cos 2(2x =，b →=)2sin ,1(x ．设()f x a b →→=∙，若],2[,2)3(ππαπα∈=-f ，则=-)62sin(πα A ．23- B ．21C ．21-D ．23( )6．两个单位向量， OB 的夹角为︒60，点C 在以O 圆心的圆弧AB 上移动，OB y OA x OC +=，则y x +的最大值为 . A ．1B ．362C ．3D ．332 ( )7．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x a a x a x x f ,,||3)(，若函数4)(-=x f y 有3个零点，则a 的值为 ( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 8．下列四个命题中，正确的个数是( )①命题“存在R x ∈，02>-x x”的否定是“对于任意的R x ∈，02<-x x ”；②若函数)(x f 在(2016, 2017)上有零点，则0)2017()2016(<⋅f f ；③在公差为d 的等差数列{}n a 中，11342,,,a a a a =成等比数列，则公差d 为21-； ④函数x x y 2cos 2sin +=在]2,0[π上的单调递增区间为]8,0[π;A ．0B ．1C ．2D ．39．若目标函数z ax by =+（0,0a b >>）满足约束条件260200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩且最大值为40，则51a b +的最小值为 A ．1 B ．94C ．4D ．256( ) 10．数列}{n a 满足n n a n na )1(21+=+，其前n 项和为n S ，若211=a ，则使得n n a S 562<-最小的n 值为 A. 8 B. 9 C. 11 D. 12 （ ） 11．定义在R 上的函数)(x f y =满足)2()(x f x f -=，0)1)(('>-x x f ，则对任意的21x x <，)()(21x f x f >是221<+x x 的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．已知函数32sin ,1,()925, 1.x x f x x x x a x <⎧=⎨-++≥⎩若函数()f x 的图象与直线y x =有四个不同的公共点，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．(16,)-+∞B ．(,20)-∞-C ．{}20,16--D ．(20,16)--第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分,请将答案填写在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，问原有的金箠的重量为__________.14．已知直线l ：(2)1()nx n y n ++=∈*N 与坐标轴围成的面积为n a ，则数列{n a }的前n 项和n S 为 ．15．已知不等式组1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ,若存在()00,x y D ∈,使得0011y k x +≥+,则实数k 的取值范围是 . 16．已知函数1)sin(2)(-+=ϕωx x f （0,||πωϕ><）的一个零点是3π=x ，其图象上一条对称轴方程为6π-=x ，则当ω取最小值时，下列说法正确的是 ．（填写所有正确说法的序号）①当]6,34[ππ--∈x 时，函数)(x f 单调递增； ②当]35,6[ππ-∈x 时，函数)(x f 单调递减； ③函数)(x f 的图象关于点)1,127(-π对称； ④函数)(x f 的图象关于直线34π-=x 对称．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()(2)(3)f x x m x m =--++（其中1m <-），()22xg x =-（1）若命题“2log ()1g x <”是真命题，求x 的取值范围；（2）设命题:(1,)p x ∀∈+∞，()0f x <或()0g x <；命题:(1,0)q x ∀∈-，()()0f x g x ∙<，若p q ∧是为真命题，求m 的取值范围.18.（本小题满分12分）△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ; （2）若6cos cos 1B C =,3a = ,求△ABC 的周长.19.（本小题满分12分）设等比数列{}()n a n ∈*N 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且324,3a S ==.（1）求,n n a S ；（2）是否存在常数c ，使得数列{}()nn a n S c∈+*N 是等差数列？若存在，求c 的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足cos cos 2a B b A +=，且()cos 1cos c A b C =-．（Ⅰ）求c 的值及判断ABC △的形状；（Ⅱ）若()3sin )x x x C x =-∈R ，求ABC △的面积．21.(本小题满分12分）已知函数()2()1e ()x f x mx x m =--∈R ． （1）当12m ≤时，讨论函数()f x 的单调性； （2）当()0,x ∈+∞，且10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求证：()()322210f x mx x m x '++--<．22.（本小题满分12分）设函数2()ln f x x bx a x =-+.（1）若2b =，函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求实数a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，证明：232ln 2()4f x +>-； （3）若对任意[1,2]b ∈，都存在(1,)x e ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围.。
山东省枣庄市高三理综第二次模拟考试试题
山东省枣庄市2018届高三理综第二次模拟考试试题一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“结构与功能相适应”是生物学的基本观点之一，下列有关叙述错误的是A.代谢旺盛的细胞内线粒体的数量较多B.蛋白质合成旺盛的细胞核孔多，有利于DNA和RNA进出C.内质网膜可与核膜、细胞膜相连，有利于细胞内物质的运输D.细胞中色素的种类导致红藻、褐藻和绿藻的吸收光谱有差异2.洋葱是常用的生物学实验材料，下列相关实验的叙述，错误的是A.洋葱鳞片叶内表皮细胞可用来观察DNA、RNA在细胞中的分布B.在洋葱细胞质壁分离和复原过程中，细胞液的渗透压先上升后下降C.观察洋葱根尖细胞有丝分裂的实验中，需要找到分生区细胞进行观察D.低温诱导洋葱染色体数目加倍的实验中，观察到染色体加倍的部分细胞内有联会现象3.下列关于细胞生命历程的说法，正确的是A.细胞的体积越大，其物质运输的效率就越低B.任何细胞在分裂前，都有核DNA复制的过程C.细胞癌变必然会导致癌症的发生D.衰老细胞内的水分减少，使细胞萎缩，细胞核体积变4.下列有关植物激素调节的叙述，正确的是A.生长素或抑制生长物质的不均匀分布都会引起植物的向光性生长B.某些植物激素可直接改变化学反应的速率来调控植物的生长发育C.植物激素之间可以调节彼此的生理作用，但不能调节彼此的含量D.植物生长调节剂在生产中控制用量即可避免安全问题5.某地沙丘生态恢复过程中，通过飞播沙蒿等适应沙地生境的先锋植物的种子，使植被覆盖率迅速增加，防止了沙丘面积的扩大。
下图是沙蒿播种后几年内的种群数量变化曲线，下列叙述正确的是A播种沙蒿等先锋植物治理沙丘的过程中发生了次生演替B.采用样方法调查种群密度时，应避开没有沙蒿生长的区域C.A至B年度沙蒿的生存压力小，该种群数量呈J型增长D.B至C年度可能是降水等因素导致种群数量在K值附近波动6.右图为某家系红绿色盲遗传系谱图，下列说法正确的是A.9号个体的色盲基因一定来自于2B.7号个体不携带色盲基因的概率为1/4C.10号个体的产生可能与父方减数第一次分裂同源染色体未分离有关D.7号与9号婚配生出男孩患病的概率为1/87．化学与生产、生活、科技等息息相关，下列说法正确的是A．二氧化硫作为编织物的漂白剂，是因为它具有氧化性B．食用油反复加热会产生大量稠环芳香烃等有害物质C．绿色化学的核心是在化学合成中将原子充分利用，转化为新的原子D．加酶洗衣粉不适合洗涤羊毛织品上的污渍8．我国古代著作中有很多涉及化学知识的记载，下列解读正确的是A.《抱朴子》中“丹砂( HgS)烧之成水银，……积变又成丹砂”的过程是可逆反应B.《汉书》中有“高奴，有清水，可燃”，这里的“洧水”指的是油脂C．《本草纲目》中“凡酸坏之酒，皆可蒸烧”所用的分离操作方法是蒸馏D．《天工开物》中“凡石灰经火焚炼为用”里“石灰”指的是Ca(OH)29．短周期主族元素A、B、C、D原子半径与原子序数的关系如图所示：A、D同族，C 的最高正价与最低负价之和为0，B的最高价氧化物对应的水化物分别能与盐酸、氢氧化钠溶液反应。
山东省枣庄市数学高三理数第二次模拟考试试卷
山东省枣庄市数学高三理数第二次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）三个数, , 的大小顺序为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·汕头期末) 已知复数，则下列结论正确的是（）A . 的虚部为iB .C . 为纯虚数D .3. （2分） (2019高三上·汕头期末) 设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）已知函数则在区间[0,]上的最大值与最小值分别是（）A . 1,-2B . 2,-1C . 1,-1D . 2,-25. （2分）(2017·安庆模拟) 已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2垂直于实轴的直线交双曲线于A、B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1 ，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D . 26. （2分） (2018高三上·辽宁期末) 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .7. （2分）若a≠b，数列a，x1 ， x2 ， b和数列a，y1 ， y2 ， y3 ， b都是等差数列，则 =（）A .B .C . 1D .8. （2分）在区间和分别取一个数,记为,则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·济南模拟) 执行如下框图所示算法，若实数a、b不相等，依次输入a+b，a，b，输出值依次记为f（a+b），f（a），f（b），则f（a+b）﹣f（a）﹣f（b）的值为（）A . 0B . 1或﹣1C . 0或±1D . 以上均不正确11. （2分）(2017·龙岩模拟) 已知函数f（x）的实义域为R，其图象关于点（﹣1，0）中心对称，其导函数为f′（x），当x＜﹣1时，（x+1）[f（x）+（x+1）f′（x）]＜0．则不等式xf（x﹣1）＞f（0）的解集为（）A . （1，+∞）B . （﹣∞，﹣1）C . （﹣1，1）D . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12. （2分） (2019高三上·朝阳月考) 在平面直角坐标系中，锐角的顶点与O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为．将角沿逆时针方向旋转角后，得到角，则（）A . 的最大值为，的最小值为B . 的最大值为，的最小值为C . 的最大值为，的最小值为D . 的最大值为，的最小值为二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知的展开式中所有项的系数之和为16，则展开式中含项的系数为________．(用数字作答).14. （1分）(2017·济南模拟) 以曲线与y=x为边的封闭图形的面积为________．15. （1分） (2017高一下·启东期末) 已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为________．16. （1分）(2020·安阳模拟) 2019年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是 .记观众甲第n次看到广告后不来此景区的概率为，若当时，恒成立，则M的最小值为________.三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积S=．（1）求角B的大小；（2）若a=2，且，求边c的取值范围．18. （10分） (2018高三上·沈阳期末) 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格（单位：人）.参考公式：，其中 .参考数据：0.150.100.050.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.635（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出了3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差.19. （10分）(2017·江西模拟) 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，四边形ACDF是菱形，∠FAC=60°，AB∥DE，BC∥EF，AB=BC=3，AF=2 ．（1）求证：平面ABC⊥平面ACDF；（2）求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值．20. （10分）(2018·南京模拟) 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点．当点运动到点处时，点的坐标为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程．21. （10分） (2015高二下·椒江期中) 已知a为正的常数，函数f（x）=|ax﹣x2|+lnx．（1）若a=2，求函数f（x）的单调递增区间；（2）设g（x）= ，求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（e≈2.71828为自然对数的底数）22. （10分） (2019高一下·石河子月考) 已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点，其中为坐标原点。
山东省枣庄市东沙河中心中学2018年高三数学理模拟试卷含解析
山东省枣庄市东沙河中心中学2018年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知关于的方程的两个实数根满足，，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A略2. 设集合,，则等于（）．．．．参考答案：C，，所以，选C.3. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位参考答案：4. 已知实数x∈[1，10]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不大于63的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】EF：程序框图．【分析】由框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件，计算输出x的值，根据框图的运算结果求出当输入x∈[1，10]时，输出x的集合，并确定数集的长度，再求出输出x不大于63的数集的长度，利用长度之比求概率．【解答】解：设实数x∈[1，10]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4此时输出x输出的值为8x+7，∴当输入x∈[1，10]时，输出x∈[15，87]，数集的长度为72；输出x不大于63，则x∈[15，63]，数集的长度为48．∴输出的x不大于63的概率为=．故选：D．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，考查了几何概型的概率计算，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，求得输出x所在数集的长度是关键，属于基础题．5. 是内的一点，，则的面积与的面积之比为A． B． C．D．参考答案：A6. 已知等差数列的前项和为,且满足当取得最大值时，数列的公差为（）A. 1B. 4C. 2D. 3参考答案：B略7. 已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），则“a=2”是“∥”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据向量平行的等价条件，以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若∥，则a（1﹣a）+2=0，即a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1，则“a=2”是“∥”的充分不必要条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量共线的坐标公式是解决本题的关键．8. 设M，N是直线x+y﹣2=0上的两点，若M（1，1），且|MN|=，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设N（x，y），根据M，N是直线x+y﹣2=0上的两点，M（1，1），且|MN|=，求出N的坐标，再根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：M，N是直线x+y﹣2=0上的两点，M（1，1），且|MN|=，设N（x，y），则，解得或，∴=（0，2）或（2，0），∴?=2，故选：B．【点评】本题考查了坐标的运算和向量的数量积公式，属于基础题．9. 已知向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），则|+2|=（）A．2B．2C．D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】利用向量的数量积运算即可得出．【解答】解：向量，满足||=1，||=2，﹣=（，），可得|﹣|2=5，即||2+||2﹣2?=5，解得?=0．|+2|2=||2+4||2﹣4?=1+16=17．|+2|=．故选：C．10. 设数列{a n}满足：a1=2，a n+1=1﹣，记数列{a n}的前n项之积为T n，则T2016的值为（）A．﹣B．﹣1 C．D．1参考答案：D【考点】数列的求和．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由数列递推式及首项求出数列前几项，可得数列{a n}是以3为周期的周期数列，由此求得T2016的值．【解答】解：由a1=2，a n+1=1﹣，得，，，…由上可知，数列{a n}是以3为周期的周期数列，又，且2016=3×672．∴T2016=（﹣1）672=1．故选：D．【点评】本题考查数列递推式，关键是对数列周期的发现，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为▲．参考答案：略12. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_____________.参考答案：略13. 已知“命题”是“命题”成立的必要不充分条件,则实数的取值范围为_________________.参考答案：14. 如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第行第3个数字是．参考答案：略15. 已知实数x，y满足约束条件则的最小值为___________.参考答案：－5【分析】先作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数所对应的直线，观察直线所在的位置求目标函数的最小值即可.【详解】解：由实数，满足约束条件，作出可行域如图所示，联立，解得，由简单的线性规划问题可得，当目标函数所对应的直线过点时，目标函数取最小值，即当时，目标函数取最小值，故答案为.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，A=60°，则sin B=_________________，c=___________________.参考答案：3由正弦定理，得，所以.由余弦定理，，得，所以.17. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则= ▲参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
山东省枣庄市市第四十六中学2018-2019学年高三数学理模拟试卷含解析
山东省枣庄市市第四十六中学2018-2019学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，该程序运行后输出的结果为（）A．7 B．11 C．25 D．36参考答案：B【考点】程序框图．【分析】经过观察为当型循环结构，按照循环结构进行执行，当不满足执行条件时跳出循环，输出结果即可．【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，S=0满足条件k≤10，S=1，k=3满足条件k≤10，S=4，k=7满足条件k≤10，S=11，k=15不满足条件k≤10，退出循环，输出S的值为11．故选：B．2. 设全集，，，则=( )A．{2} B．{1，2，3} C．{1，3} D．{0，1，2，3，4}参考答案：B3. 与曲线共焦点，且与曲线共渐近线的双曲线方程为( )（A）（B）（C）（D）参考答案：A略4.某年级200名学生的一次数学质量测验成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于70分的学生人数是（A）140 （B）14（C）36 （D）68参考答案：A5. 执行如图所示的程序框图，若的值为5，输出的结果是A．B．C．D．参考答案：D略6. 函数在区间[－1,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. (－∞,0] C. D.参考答案：D【分析】就分类讨论，后者需结合对称轴来讨论.【详解】若，则，在区间上是增函数，符合.若，因为在区间上是增函数，故，解得.综上，.故选：D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.7. “”是“函数在区间上为增函数”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件参考答案：B函数在区间上为增函数,则满足对称轴，即，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，选B.8. 已知等差数列的前项和为，若向量，且三点共线（该直线不过原点），则等于（）A. B. C. D.参考答案：A9. 若角θ终边上的点在抛物线的准线上，则cos2θ=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】求出抛物线的准线方程，可得a=1，再由任意角的三角函数的定义，即可求得结论．【解答】解：抛物线即x2=﹣4y的准线为y=1，即有a=1，点A（﹣，1），由任意角的三角函数的定义，可得sinθ=，cosθ=﹣，∴cos2θ==．故选A．10. 等差数列{}的前n项和为.若是方程的两个根，则的值( )A．44 B．－44 C．66 D．－66参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，尺，D为AB的中点，，寸，则圆柱底面的直径长是_________寸”．（注：l尺=10寸）参考答案：26【分析】由勾股定理，代入数据即可求得．详解】解：∵，，∵寸，∴寸，在中，∵，∴，∴寸，∴圆柱底面直径长是寸．故答案为：26．12. 设的内角所对边的长分别为.若，则则角_________.参考答案：13. 写出以下五个命题中所有正确命题的编号①点A(1,2)关于直线的对称点B的坐标为(3,0)；②椭圆的两个焦点坐标为；③已知正方体的棱长等于2, 那么正方体外接球的半径是；④下图所示的正方体中，异面直线与成的角；⑤下图所示的正方形是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形是矩形．参考答案：①④14. 为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为___________.参考答案：5略15. （5分）已知a，b∈R+，直线bx﹣ay﹣ab=0始终平分圆（x﹣1）2+（y+4）2=4，则a+b 的最小值为．参考答案：9圆（x﹣1）2+（y+4）2=4圆心为（1，﹣4），因为直线bx﹣ay﹣ab=0（a＞0，b＞0）始终平分圆（x﹣1）2+（y+4）2=4，所以直线经过圆的圆心，所以4a+b﹣ab=0，即=1，（a＞0，b＞0）∴a+b=（a+b）（）=5+≥5+2=9当且仅当，即a=3，b=6时，a+b的最小值为9故答案为：916. 函数的值域为．参考答案：17. 从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体（或平面图形）的4个顶点，这些几何体（或平面图形）是（写出所有正确的结论的编号）________①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．参考答案：①③④⑤三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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2018届山东省枣庄市高三第二次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≥，则R C A =（ ）A ．(1,2)-B ．[1,2]-C ．(2,1)-D ．[2,1]- 2.已知复数1i z i=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．12C．2D3.已知123a -=，31lo g 2b =，121lo g 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >> 4.下图给出的是计算11112462018+++⋅⋅⋅+值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（ ）A ．2016?i >B ．2018?i >C ．2016?i ≤D ．2018?i ≤ 5.若2101()()x a x x -+的展开式中6x 的系数为30，则a =（ ）A ．12-B ．2-C ．12D ．26.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．316B ．38C ．14D ．187.已知ta n ()44πα-=，则sin 2α=（ ）A ．79- B ．79C ．19-D ．198.函数()ln (1)f x x x =-+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，则满足(21)(2)f x f +>成立的x 取值范围是（ ）A ．31(,)22-B ．31(,)(,)22-∞-+∞C ．1(,)2-∞ D ．1(,)2+∞10.某多面体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形.该多面体的各个面中有若干个是等腰三角形，这些等腰三角形的面积之和为（ ）A．4+．4+．．4++11.设1F 、2F 是椭圆C ：2212xym+=的两个焦点，若C 上存在点M 满足12120F M F ∠=，则m 的取值范围是（ ） A ．1(0,][8,)2+∞ B ．(0,1][8,)+∞ C ．1(0,][4,)2+∞ D ．(0,1][4,)+∞12.已知函数2()(12)()f x x x a x b =+++(,)a b R ∈的图象关于点(1,0)对称，则()f x 在[1,1]-上的值域为（ ） A．[8,2- B．[7,2- C．[8,2- D．[72-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则22(1)x y ++的最大值为 ．14.在平行四边形A B C D 中，4A B =，3C P P D=，若1A B B P ⋅=-，则A B A D ⋅= ． 15.已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，圆心在直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为 ．16.已知()sin co s f x x x ωω=-2()3ω>，若函数()f x 图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是 ．（结果用区间表示）三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2364n n n a a S +=+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.在四棱锥S A B C D -中，平面S A B ⊥平面A B C D ，平面S A D ⊥平面A B C D.（Ⅰ）证明：S A ⊥平面A B C D ；（Ⅱ）若底面A B C D 为矩形，23SA A D A B ==，F 为S C 的中点，23B E BC =，求直线E F 与平面S C D 所成角的正弦值.19.随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：根据一周内平均每天学习数学的时间t ，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级：（Ⅰ）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m 甲（精确到0.01）；（Ⅱ）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X 甲与X 乙及方差2S 甲与2S 乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的X 甲、2S 甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）记事件A ：“甲高中学生对数学的喜好等级高于乙高中学生对数学的喜好等级”.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求A 的概率. 20.已知抛物线C ：212y x =，不过坐标原点O 的直线l 交于A ，B 两点.（Ⅰ）若O A O B ⊥，证明：直线l 过定点；（Ⅱ）设过A 且与C 相切的直线为1l ，过B 且与C 相切的直线为2l .当1l 与2l 交于点(1,2)-时，求l 的方程.21.已知2()1ln ()f x x a x a R =--∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =与x 轴有唯一公共点A ，求a 的取值范围；（Ⅱ）若不等式12()1x f x e x x -≤+--对任意的1x ≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为3c o s 2s in x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为121x t y t a =-⎧⎨=--⎩（t 为参数）. （Ⅰ）若1a =，求直线l 被曲线C 截得的线段的长度；（Ⅱ）若11a =，在曲线C 上求一点M ，使得点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x a =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()3f x <的解集；（Ⅱ）设函数()1g x x =+.当x R ∈时，()()1f x g x +>恒成立，求实数a 的取值范围.2018届高三模拟考试 数学（理科）参考答案一、选择题1-5: ACBDD 6-10: CBABB 11、12：AD二、填空题13. 4 14. 11 15. 22(2)2x y +-= 16. 711[,]812三、解答题17.（Ⅰ）当1n =时，有2111364a a a +=+，即11(4)(1)0a a -+=.因为10a >，所以110a +>.从而140a -=，即14a =.由2364n n n a a S +=+，知2111364n n n a a S ++++=+.两式相减，得22111336464n n n n n n a a a a S S ++++--=+--.即22111336n n n n n a a a a a ++++--=，即2211330n n n n a a a a ++---=，即11()(3)0n n n n a a a a +++--=.因为0n a >，所以130n n a a +--=，即13n n a a +-=. 所以，数列{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列. 所以43(1)31n a n n =+-=+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3(31)(34)n b n n =++113134n n =-++.数列{}n b 的前n 项和为1111()()47710n T =-+-+⋅⋅⋅+1111()()32313134n n n n -+--+++11434n =-+.18.（Ⅰ）证法1：在平面A B C D 内过点C 作两条直线1l ，2l ， 使得1l A B ⊥，2l A D ⊥.因为A BA D A =，所以1l ，2l 为两条相交直线.因为平面S A B ⊥平面A B C D ，平面S A B 平面A B C D A B =，1l ⊂平面A B C D ，1l A B ⊥，所以1l ⊥平面S A B . 所以1l S A ⊥. 同理可证2l S A ⊥.又因为1l ⊂平面A B C D ，2l ⊂平面A B C D ，12l l C =，所以S A ⊥平面A B C D .证法2：在平面S A B 内过点S 作1l A B ⊥，在平面S A D 内过点S 作2l A D ⊥. 因为平面S A B ⊥平面A B C D ，平面S A B 平面A B C D A B =，1l ⊂平面S A B ，1l A B ⊥，所以1l ⊥平面A B C D .同理可证2l ⊥平面A B C D .而过点S 作平面A B C D 的垂线有且仅有一条， 所以1l 与2l 重合.所以1l ⊂平面S A D . 所以，直线1l 为平面S A B 与平面S A D 的交线. 所以，直线1l 与直线S A 重合.所以S A ⊥平面A B C D .（Ⅱ）如图，分别以AB 、AD 、AS 所在方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A x y z -.设6S A =，则2A B =，3A D =，(2,0,0)B ，(2,3,0)C ，(0,3,0)D ，(0,0,6)S . 由F 为S C 的中点，得3(1,,3)2F ；由23B E BC =，得(2,2,0)E .所以1(1,,3)2E F =--，(2,3,6)S C =-，(2,0,0)D C=.设平面S C D 的一个法向量为(,,)n x y z=，则00n S C n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即236020x y z x +-=⎧⎨=⎩.取1z =，则2y =，0x =. 所以(0,2,1)n=.所以c o s ,E F n <>E F n E F n⋅=⋅1(1)0()231-⨯+-⨯+⨯=205=.所以，直线EF 与平面S C D 205.19.解：（Ⅰ）0.5(0.10.2)200.3m -+=+甲1026.67⨯≈；（Ⅱ）X X <甲乙；22S S >甲乙；50.1150.2250.3X =⨯+⨯+⨯甲350.2450.15550.0527.5+⨯+⨯+⨯=； 222(527.5)0.1(1527.5)0.2S =-⨯+-⨯甲22(2527.5)0.3(3527.5)0.2+-⨯+-⨯22(4527.5)0.15(5527.5)0.05+-⨯+-⨯178.75=.（Ⅲ）由题意，甲高中学生对数学的喜好程度为“一般”、“爱好”、“痴迷”的概率分别为0.05、0.8、0.15.()0.650.050.05(0.050.8)P A =⨯+⨯+0.075=.20.设11(,)A x y ，22(,)B x y .（Ⅰ）解：显然直线l 的斜率存在，设为k ，直线的方程为y k x m =+.由题意，0m ≠.由212y k x m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2220x kx m --=.由题意，该方程的判别式24(2)0k m ∆=+>，即220()k m +>★.则122x x k +=，122x x m =-.因为O A O B ⊥，所以O A O B⊥，所以12120x x y y +=，即1212()()0x x k x m k x m +++=，即21212(1)()k x x k m x x +++20m +=.所以2222(1)20m k k m m -+++=.所以220m m -=.解得0m =（舍去），或2m =. 当2m =时，220k m +>，满足()★式. 所以直线l 的方程为2y k x =+. 直线l 过定点(0,2).（Ⅱ）解法一：过点(1,2)-且与C ：212y x =相切的直线的斜率必存在，设其斜率为k ，则其方程为(2)(1)y k x --=-，即(1)2y k x =--.由2(1)22y k x x y=--⎧⎨=⎩消去y 并整理得222(2)0x k x k -++=. 由判别式2(2)8(2)0k k ∆=--+=，解得1k =±不妨设1l的斜率11k =+，则2l的斜率21k =-由韦达定理，得1212x x k +=，即111x k ==+111(1)2y k x =--(123=+⨯=+所以(13A ++.同理可得(13B --.直线l的方程为(3y -+(3(3+--=[(1x -+，即直线l 的方程为2y x =+. 解法二：2'1'()2y x x ==，所以过A 且与C 相切的直线1l 的斜率为1x .同理，2l 的斜率为2x .1l ：21111()2y x x x x -=-，即1l ：21112y x x x =-.同理2l ：22212y x x x =-.因为1l 与2l 的交点(1,2)-的坐标为方程组2112221212y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩的解，所以211122x x -=-，且222122x x -=-.所以方程2122x x-=-，即21202x x -++=的两个实根是1x ，2x .由21202x x -++=，解得11x =+，21x =-又点A ，B 在C ：212y x =上，可得(13A ++，(13B --.直线l的方程为(3y -+=[(1x -+，即直线l 的方程为2y x =+.解法三：2'1'()2y x x ==，所以过A 且与C 相切的直线1l 的斜率为1x .同理，2l 的斜率为2x .所以，切线1l ：111()y y x x x -=-，即2111y y x x x -=-.又11(,)x y 是抛物线212y x =上的点，所以21112y x =，即2112x y =.故切线1l 的方程为11y x x y =-. 同理切线2l 的方程为22y x x y =-.又切线1l 与切线2l 均过点(1,2)-，故112x y -=-，222x y -=-. 所以切点11(,)A x y 、22(,)B x y 的坐标适合方程2x y -=-. 所以l 的方程为2y x =+.21.（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞.(1)0f =. 由题意，函数()f x 有唯一零点1.'()2a f x x x=-.（1）若0a ≤，则0a -≥.显然'()0f x >恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. 又(1)0f =，所以0a ≤符合题意.（2）若0a >，22'()x af x x-=.'()0f x x >⇔>'()00f x x <⇔<<.所以()f x 在(0上是减函数，在)+∞上是增函数.所以m in ()f x f =1ln222a a a =--.由题意，必有0f ≤（若0f >，则()0f x >恒成立，()f x 无零点，不符合题意）.①若0f <，则1ln0222a a a --<.令()1ln(0)222a a a g a a =-->，则11'()ln 2222a a g a =--111ln2222a a ⨯⨯=-.'()002g a a >⇔<<；'()02g a a <⇔>.所以函数()g a 在(0,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数. 所以m a x ()(2)0g a g ==.所以()0g a ≤，当且仅当2a =时取等号.所以，00f a <⇔>，且2a ≠.取正数1m in }ab e -<，则2()1ln 1ln f b b a b a b =-->--11()0a a>--⨯-=；取正数1c a >+，显然c >>而2()1ln f c c a c =--，令()ln h x x x =-，则1'()1h x x=-.当1x >时，显然1'()10h x x=-<.所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x >时，()ln (1)10h x x x h =-<=-<，所以ln x x <.因为1c >，所以2()1ln f c c a c =--21()1c a c c c a >--=--110c >⨯->.又()f x在(0,上是减函数，在)+∞上是增函数.则由零点存在性定理，()f x在(0、)+∞上各有一个零点.可见，02a <<，或2a >不符合题意. 注：0a >时，若利用00lim ()x f x →+=+∞，0f <，lim ()x f x →+∞=+∞，说明()f x在(0,、)+∞上各有一个零点.②若0f =1=，即2a =.符合题意.综上，实数a 的取值范围为{|0,2}a a a ≤=或.（Ⅱ）12()1x f x e x x -≤+--1ln 0x x a x e -⇔--≤.令1()ln x g x x a x e -=--，则()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.（1）当0a =时，1()x g x x e -=-.当1x >时，10'()110x g x e e -=-<-=，所以()g x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x ≥时，()g (1)0g x ≤=.可见，0a =符合题意. （2）若0a <，显然1'()1x a g x ex --=+-在[1,)+∞上是减函数.取实数1m a >-+，显然1m >. 则1'()(1)m a g m e m-=-+-[1(1)1]a m m≤-+-+-（利用11(1)x ex -≥+-）(1)m m am-+=-(1)(11)a a am-+-+-+<-20am=-<.又'(1)0g a =->，'()g x 在[1,)+∞上是减函数， 由零点存在定点，存在唯一的0(1,)x m ∈使得0'()0g x =.于是，当0(1,)x x ∈时，'()0g x >，函数()g x 在0(1,)x 上是增函数. 所以，当0(1,)x x ∈时，()(1)0g x g >=.可见，0a <不符合题意. 当0a >时，分如下三种解法： 解法一：（3）若01a <≤，1'()1x a g x ex -=--，212''()x a x eg x x--=.令21()x h x a x e -=-，显然21()x h x a x e -=-在[1,)+∞上是减函数，所以，当1x ≥时，()(1)10h x h a ≤=-≤，当且仅当1a =时取等号. 所以，当1x ≥时，2()''()0h x g x x=≤，1'()1x a g x ex-=--在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x ≥时，'()'(1)0g x g a ≤=-<. 所以，()g x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≤=.可见，01a <≤符合题意.（4）若1a >，1'()1x a g x ex-=--，212''()x a x eg x x--=.令21()x h x a x e -=-，显然()h x 在[1,)+∞上是减函数，且(1)10h a =->，21()a h a a a e-=-1(1)0a a a ea e -<-<-=，所以，存在唯一的0(1,)x a ∈，使得0()0h x =，即12()a x aa ex -=★.于是，当(1,)a x x ∈时，()0h x >；当(,)a x x ∈+∞时，()0h x <. 所以，当(1,)a x x ∈时，''()0g x >；当(,)a x x ∈+∞时，''()0g x <. 所以，'()g x 在(1,)a x 上是增函数，在(,)a x +∞上是减函数. 所以，'()g x 在[1,)+∞上的最大值m a x '()'()a g x g x =11a x a a ex -=--.将()★式代入上式，得m a x 2'()1aaa a g x x x =--2210aaa a a ax x <--=-<.所以，当1x ≥时，'()0g x <，所以()g x 在[1,)+∞上是减函数. 所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≤=.可见，1a >符合题意. 综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.解法二：（3）若0a >，()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立1ln x ex a x -⇔-≥-对任意的1x ≥恒成立.令1()x p x e x -=-，()ln q x a x =-.1'()1x p x e-=-，当1x >时，1'()1x p x e-=-1110e->-=，所以()p x 在[1,)+∞上是增函数.所以m in ()(1)0p x p ==. 显然()ln q x a x =-在[1,)+∞上是减函数，m a x ()(1)0q x q ==.所以，当1x ≥时，()()p x q x ≥，即1ln x e x a x --≥-对任意的1x ≥恒成立. 所以0a >符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.解法三：（3）若0a >，1()ln 0x g x x e a x -=--≤对任意的1x ≥恒成立.令1()x p x x e -=-，()ln q x a x =-.1'()1x p x e-=-，当1x >时，1'()1x p x e -=-1110e -<-=，所以()p x 在[1,)+∞上是减函数.所以m in ()(1)0p x p ==. 所以，当1x ≥时，()0p x ≤.当0a >，1x ≥时，()ln 0q x a x =-≤.所以，当0a >，1x ≥时，()()()0g x p x q x =+≤恒成立. 所以0a >符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.解法四：12()1x f x e x x -=+--1ln 0x e a x x -⇔+-≥.令1()ln x g x e a x x -=+-，则()0g x ≥对任意的1x ≥恒成立.1'()1x a g x ex-=+-1x x ex a x--+=.令1()x h x x e x a -=-+，当1x >时，1'()(1)1x h x x e -=+-11(11)10e ->+->，所以()h x 在[1,)+∞上是增函数.（1）若0a ≥，则1x >时，()(1)0h x h a >=≥，()'()0h x g x x=>，所以()g x 在[1,)+∞上是增函数.所以，当1x ≥时，()(1)0g x g ≥=.可见，0a ≥符合题意. （2）若0a <，(1)0h a =<，(1)(1)12ah a a ea --=--+2(1)[1()]210a a a a>-+-+-=>.（这里利用了0x >时，1x e x >+）又()h x 在[1,)+∞上是增函数，由零点存在性定理， 知存在唯一的(1,1)a x a ∈-，使得()0a h x =. 于是，当(1,)a x x ∈时，()0h x <，()'()0h x g x x=<，所以，()g x 在(1,)a x 上是减函数.所以，当(1,)a x x ∈时，()(1)0g x g <=.可见，0a <不符合题意. 综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.注：利用(1)0h a =<，lim ()x h x →+∞=+∞，说明()h x 在(1,)+∞上有零点.解法五：12()1x f x e x x -≤+--1ln 0x x a x e -⇔--≤.令1()ln x g x x a x e -=--，则()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.（1）先寻求使结论成立的充分条件.由(1)0g =，要使()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立.只需要()g x 在[1,)+∞上是减函数，即'()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立. 而1'()10x a g x ex -=--≤1(1)x a x e-⇔≥-，所以，只需要1(1)x a x e -≥-对任意的1x ≥恒成立.令1()(1)x h x x e -=-，11'()1x x h x e x e --=--11(1)x x e -=-+.显然'()h x 在[1,)+∞上是减函数，所以，当1x ≥时，11'()'(1)1(11)10h x h e -≤=-+=-<.所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以()h x 在[1,)+∞上的最大值m a x ()(1)0h x h ==. 则只需要m a x ()(1)a h x x ≥≥.可见，当0a ≥时，()0g x ≤对任意的1x ≥恒成立. （2）当0a <时，'(1)0g a =->，(1)1'(1)11a a g a ea---=---121aa ea --=--12[1()]1a a a-<-+--（0x >时，1xex >+）212(1)1a a a---=-201aa =-<-.又0a <时，1'()1x a g x ex--=+-在[1,)+∞上是减函数，由零点存在定理，存在唯一的(1,1)a x a ∈-，使得'()0a g x =. 于是，当(1,)a x x ∈时，'()'()0a g x g x >=， 所以()g x 在(1,)a x 上是增函数.所以，当(1,)a x x ∈时，()(1)0g x g >=. 可见，0a <不符合题意.综上，所求a 的取值范围是[0,)+∞.注：0a <时，用'(1)0g a =->，lim '()a x g x →+∞=-∞，说明()h x 在(1,)+∞上有零点.22.选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为22194xy+=.当1a =时，直线l 的普通方程为2y x =.由222194y x x y=⎧⎪⎨+=⎪⎩.解得36x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或36x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，直线l 被曲线C=.（Ⅱ）解法一：11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.由点到直线的距离公式，椭圆3c o s 2s in x y θθ=⎧⎨=⎩上的点(3co s ,2sin )M θθ到直线l ：2100x y --=的距离为d ===其中0θ满足03c o s θ=01s in θ=由三角函数性质知，当00θθ+=时，d取最小值.此时，03c o s 3c o s ()10θθ=-=，02s in 2s in ()5θθ=-=-.因此，当点M位于(,)105-时，点M 到l的距离取最小值.解法二：当11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.设与l 平行，且与椭圆22194xy+=相切的直线m 的方程为20x y t -+=.由2220194x y t x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得2240369360x tx t ++-=.由判别式22(36)440(936)0t t ∆=-⨯⨯-=，解得t =±所以，直线m的方程为20x y -+=，或20x y --=.要使两平行直线l 与m 间的距离最小，则直线m的方程为20x y --=.这时，l 与m间的距离d==-.此时点M的坐标为方程组2220194x y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩的解105x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.因此，当点M位于(,)105-时，点M 到直线l的距离取最小值23.选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）当4a =时，()34f x x =-. 由343x -<，解得1733x <<.所以，不等式()3f x <的解集为17{|}33x x <<. （Ⅱ）()()31f x g x x a x +=-++3()13a x x =-++2133a a x x x =-+-++13a x x ≥-++（当且仅当3a x =时取等号）·21· ()(1)3ax x ≥--+（当且仅当()(1)03ax x -+≤时取等号）13a =+. 综上，当3ax =时，()()f x g x +有最小值13a+. 故由题意得113a+>，解得6a <-，或0a >.所以，实数a 的取值范围为(,6)(0,)-∞-+∞.。