一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布

本讲研究一元二次方程根的分布问题。研究“一元二次方程根的分布”与“方程系数满足的条件”这两者之间的关系。重点探究，如何由根的分布得到系数应满足的条件。

对一元二次方程根的分布，主要考查下列两类问题： 第一类问题：方程的根与确定的实数k 的大小关系问题。

（1）方程一根比k 大，另一根比k 小；（2）方程两根都比k 大；（3）方程两根都比k 小。 第二类问题：在给定区间（或范围）内方程解的个数问题。

（1）方程在区间()m n ，内有两个不同的实根；（2）方程在区间()m n ，内恰有一个实根（含两根相等）；（3）方程在区间()m n ，与()n p ，内各有一个实根。

处理一元二次方程根的分布问题，常见的方法有三种： （1）韦达定理法。利用一元二次方程根与系数的关系式。

（2）图像法。借助于函数图象与方程根之间的关系，并利用下列基本结论：

对于二次函数c bx ax x f ++=2)(，若0)()(

数0x ，使得0)(0=x f ，即方程0)(=x f 在m 与n 之间必有一个实根0x （在区间()m n ，内有解）。

（3）解不等式法。利用求根公式求出方程的两个根后再解不等组。 例1 已知关于x 的方程230x ax -+=。当a 取值时： （1）方程两根一根比1-大，另一根比1-小？ （2）方程两根都比1-大？ （3）方程两根都比1-小？

方法一（图像法）：设2()3f x x ax =-+

（1）方程两根一根比1-大，另一根比1-小(1)130f a ⇔-=++<。 解得，4a <-。

因此，当4a <-时，方程两根一根比1-大，另一根比1-小。

（2）方程两根都比1-大2120

12(1)130

a a

f a ⎧=-≥⎪

⎪⇔>-⎨⎪-=++>⎪⎩△

。解得24

a a a a ⎧≤-≥⎪>-⎨⎪>-⎩。

所以，a ≥

因此，当a ≥1-大。

（3）方程两根都比1-小2120

12(1)130

a a

f a ⎧=-≥⎪

⎪⇔<-⎨⎪-=++>⎪⎩△

。解得24

a a a a ⎧≤-≥⎪<-⎨⎪>-⎩。

所以，4a -<≤-

因此，当4a -<≤-1-小。

方法二（韦达定理法）：设1x ，2x 为方程230x ax -+=的两根，则12x x a +=，123x x =。

（1）方程两根一根比1-大，另一根比1-小212120

(1)(1)0

a x x ⎧=->⇔⎨++<⎩△。

所以，121212(1)(1)()1310

a a x x x x x x a ⎧<->⎪⎨++=+++=++<⎪⎩。

解得，4a <-。

因此，当4a <-时，方程两根一根比1-大，另一根比1-小。

（2）方程两根都比1-大2121

2120

(1)(1)0(1)(1)0

a x x x x ⎧=-≥⎪

⇔++>⎨⎪+++>⎩△。

所以，1212121212(1)(1)()1310(1)(1)()220

a a x x x x x x a x x x x a ⎧≤-≥⎪

++=+++=++>⎨⎪+++=++=+>⎩。

解得，a ≥

因此，当a ≥1-大。

（3）方程两根都比1-小2121

2120

(1)(1)0(1)(1)0

a x x x x ⎧=-≥⎪

⇔++>⎨⎪+++<⎩△。

所以，1212121212(1)(1)()1310(1)(1)()220

a a x x x x x x a x x x x a ⎧≤-≥⎪

++=+++=++>⎨⎪+++=++=+<⎩。

解得，4a -<≤-

因此，当4a -<≤-1-小。 【归纳整理】第一类问题的解法可以归纳如下：

其中c bx ax x f ++=2)(（这里约定0a >），请同学们作出其相应的图象。

例2 已知关于x 的方程230x ax -+=。当a 取值时：

（1）方程在区间(12)-，内有两个不同的实根；

（2

）方程在区间(12)-，内有且仅有一个实根（含方程两根相等）

； （3）方程在区间(12)

-，和(24)，内各有一个实根。

【解答】设2()3f x x ax =-+

（1）方程在区间(11)-，内有两个不同的实根⇔2120

12

2

(1)40(2)720a a f a f a ⎧=->⎪

⎪-<<⎪⎨⎪-=+>⎪=->⎪⎩△。 解得，7

2

a <<

。 因此，当7

2

a <<

时，方程在区间(11)-，

内有两个不同的实根。 （2）方程在区间(1

2)-，内有且仅有一个实根（含方程两根相等）⇔2120122

a a

⎧=-=⎪

⎨-<<⎪⎩△或(1)(2)(4

)(72)0f f a a -=+-<或(1)012122f a -=⎧⎪⎨-+-<<⎪⎩或(2)0

12222

f a

=⎧⎪

⎨-+<<⎪⎩。 分别解得，a =，4a <-或72a >，a 不存在，7

2

a =。 因此，当a =或4a <-或7

2

a ≥时，方程在区间(11)-，

内有且仅有一个实根（含方程两根相等）。

注：对后两种情形，也可以求出a 的值后，代入求方程的另一根，再判断是否符合要求。

（3）方程在区间(12)-，

和(24)，内各有一个实根⇔(1)40

(2)720(4)1940f a f a f a -=+>⎧⎪

=-<⎨⎪=->⎩

。 解得，

71924a <<。因此，当719

24

a <<时，方程在区间(12)-，和(24)，内各有一个实根。 【归纳整理】第二类问题的解法可以归纳如下：

其中c bx ax x f ++=2)(（这里约定0a >），请同学们作出其相应的图象。