11-12学年高中数学 1.3.3 函数的最值与导数同步练习 新人教A版选修2-2
-12学年高中数学122基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习新人教A版选修2-2
-12学年高中数学122基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习新人教A版选修2-2高中数学中的基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
对于这些函数，我们可以利用导数公式和导数运算法则求出它们的导数。
一、常数函数的导数公式和导数运算法则：常数函数的导数恒为零，即对于常数c，有f(x)=c，f’(x)=0。
导数运算法则：常数函数与其他函数进行加减乘除运算时，可以直接将常数提到导数的外面。
二、幂函数的导数公式和导数运算法则：幂函数的导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，f’(x)=n*x^(n-1)。
导数运算法则：1.对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，可以将n视为常数，然后按照常数倍法则进行求导。
2.若幂函数中的指数为常数，则其导数也是幂函数。
三、指数函数的导数公式和导数运算法则：指数函数的导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，f’(x)=a^x*lna。
导数运算法则：1.对于指数函数f(x)=a^x，可以将指数函数转化为自然指数函数进行求导。
2.若指数函数中的底数为常数，则其导数是指数函数乘以底数的自然对数。
四、对数函数的导数公式和导数运算法则：对数函数的导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，f’(x)=1/(x*lna)。
导数运算法则：1. 对于对数函数f(x)=log_a(x)，可以将对数函数转化为自然对数函数进行求导。
2.若对数函数中的底数为常数，则其导数是常数除以自变量的乘积再乘以底数的自然对数的相反数。
五、三角函数的导数公式和导数运算法则：1. sin函数的导数公式：(sinx)’=cosx。
2. cos函数的导数公式：(cosx)’=-sinx。
3. tan函数的导数公式：(tanx)’=sec^2(x)。
4. cot函数的导数公式：(cotx)’=-csc^2(x)。
11-12学年高中数学 1.3.3 函数的最值与导数同步练习 新人教A版选修2-2
选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数一、选择题1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0D ．以上都有可能[答案] A[解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数 ∴f ′(x )＝0，故应选A.2．设f (x )＝14x 4＋13x 3＋12x 2在[－1,1]上的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－1D.1312[答案] A[解析] y ′＝x 3＋x 2＋x ＝x (x 2＋x ＋1) 令y ′＝0，解得x ＝0.∴f (－1)＝512，f (0)＝0，f (1)＝1312∴f (x )在[－1,1]上最小值为0.故应选A.3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.2227B ．2C ．－1D ．－4[答案] C[解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝13或x ＝－1当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2； 当x ＝13时，y ＝2227；当x ＝1时，y ＝2.所以函数的最小值为－1，故应选C.4．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A ．最大值为13，最小值为34B ．最大值为1，最小值为4C ．最大值为13，最小值为1D ．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A[解析] ∵y ＝x 2－x ＋1，∴y ′＝2x －1，令y ′＝0，∴x ＝12，f (－3)＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，f (0)＝1.5．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B ．1 C ．0D ．不存在[答案] A[解析] y ′＝12x －121－x ＝12·1－x －xx ·1－x由y ′＝0得x ＝12，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上y ′>0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上 y ′<0.∴x ＝12时y 极大＝2，又x ∈(0,1)，∴y max ＝ 2.6．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．既无最大值，也无最小值 [答案] D[解析] f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1) ∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.7．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A ．5，－15B ．5,4C ．－4，－15D ．5，－16[答案] A[解析] y ′＝6x 2－6x －12＝6(x －2)(x ＋1)， 令y ′＝0，得x ＝2或x ＝－1(舍)． ∵f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4， ∴y max ＝5，y min ＝－15，故选A.8．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32B.12 C ．－12D.12或－32[答案] C[解析] y ′＝－2x －2，令y ′＝0得x ＝－1. 当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意． 当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减， 最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．9．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3B ．－3<k <－1或1<k <3C ．－2<k <2D ．不存在这样的实数 [答案] B[解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.10．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立 又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3 ∴a ≥－3，故应选B. 二、填空题11．函数y ＝x 32＋(1－x )32，0≤x ≤1的最小值为______．[答案]22由y ′>0得x >12，由y ′<0得x <12.此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为增函数，∴最小值在x ＝12时取得，y min ＝22.12．函数f (x )＝5－36x ＋3x 2＋4x 3在区间[－2，＋∞)上的最大值________，最小值为________．[答案] 不存在；－2834[解析] f ′(x )＝－36＋6x ＋12x 2，令f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝32；当x >32时，函数为增函数，当－2≤x ≤32时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f (－2)＝57，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2834，所以最小值为－2834.13．若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________． [答案]3－1[解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝－a (舍去) 当x >a 时，f ′(x )<0；当0<x <a 时，f ′(x )>0； 当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1.14．f (x )＝x 3－12x ＋8在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝________. [答案] 32[解析] f ′(x )＝3x 2－12 由f ′(x )>0得x >2或x <－2， 由f ′(x )<0得－2<x <2.∴f (x )在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增． 又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，∴最大值M ＝24，最小值m ＝－8， ∴M －m ＝32. 三、解答题15．求下列函数的最值：(1)f (x )＝sin2x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x ≤π2；(2)f (x )＝x ＋1－x 2.[解析] (1)f ′(x )＝2cos2x －1. 令f ′(x )＝0，得cos2x ＝12.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴2x ∈[－π，π]， ∴2x ＝±π3，∴x ＝±π6.∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的两个极值分别为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32＋π6. 又f (x )在区间端点的取值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2. 比较以上函数值可得f (x )max ＝π2，f (x )min ＝－π2.(2)∵函数f (x )有意义，∴必须满足1－x 2≥0，即－1≤x ≤1， ∴函数f (x )的定义域为[－1,1]．f ′(x )＝1＋12(1－x 2)－12·(1－x 2)′＝1－x 1－x2. 令f ′(x )＝0，得x ＝22. ∴f (x )在[－1,1]上的极值为f ⎝⎛⎭⎪⎫22＝22＋1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝ 2. 又f (x )在区间端点的函数值为f (1)＝1，f (－1)＝－1，比较以上函数值可得f (x )max ＝2，f (x )min ＝－1.16．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值和最小值．[解析] f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞. f ′(x )＝2x ＋22x ＋3＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.当－32<x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <－12时，f ′(x )<0；当x >－12时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最小值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ln2＋14.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 499<0， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 72＋116.17．(2010·安徽理，17)设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间及极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x>x 2－2ax ＋1.[分析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．[解析] (1)解：由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x－2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减单调递增故f (x )(ln2，＋∞)，f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln 2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )．(2)证明：设g (x )＝e x－x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln2－1时，g ′(x )最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1. 18．已知函数f (x )＝4x 2－72－x ，x ∈[0,1]．(1)求f (x )的单调区间和值域；(2)设a ≥1，函数g (x )＝x 3－3a 2x －2a ，x ∈[0,1]．若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，求a 的取值范围．[解析] (1)对函数f (x )求导，得f ′(x )＝－4x 2＋16x －7(2－x )2＝－(2x －1)(2x －7)(2－x )2令f ′(x )＝0解得x ＝12或x ＝72.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，当x ∈(0，2)时，f (x )是减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f (x )是增函数． 当x ∈[0,1]时，f (x )的值域为[－4，－3]． (2)g ′(x )＝3(x 2－a 2)．因为a ≥1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0.因此当x ∈(0,1)时，g (x )为减函数，从而当x ∈[0,1]时有g (x )∈[g (1)，g (0)]． 又g (1)＝1－2a －3a 2，g (0)＝－2a ，即x ∈[0,1]时有g (x )∈[1－2a －3a 2，－2a ]． 任给x 1∈[0,1]，f (x 1)∈[－4，－3]，存在x 0∈[0,1]使得g (x 0)＝f (x 1)成立， 则[1－2a －3a 2，－2a ]⊇[－4，－3]．即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a －3a 2≤－4，①－2a ≥－3.②解①式得a ≥1或a ≤－53；解②式得a ≤32.又a ≥1，故a 的取值范围为1≤a ≤32.。
人教新课标版(A)高二选修1-1 3.3.3函数的最值同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 3.3.3 函数的最值同步练习题【基础演练】题型一：极值与最值的区别与联系 极值是一个局部概念，最值可以看作整体概念，一般情况下，二者有区别，极值不一定是最值，最值也不一定是极值；但如果在连续开区间上只有一极值，则极大值为最大值，极小值为最小值，请根据以上知识解决以下1~3题。
1. 设()x f 在[]b ,a 上的函数，则下述命题正确的是A. 若()x f 在[]b ,a 上连续，则()x f 在[]b ,a 上存在最大值和最小值B. 若()x f 在[]b ,a 上有极大值，则极大值一定是[]b ,a 上的最大值C. 若()x f 在[]b ,a 上有极小值，则极小值一定是[]b ,a 上的最小值D. 若()x f 在[]b ,a 上有极大值和极小值，则极大值必大于极小值2. 下列说法正确的是 A. 函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B. 闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C. 若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值则一定是最值D. 若函数在给定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值3. 函数|1x |y -=，下列结论中正确的是A. y 有极小值0，且0也是最小值B. y 有最小值0，但0不是极小值C. y 有极小值0，但0不是最小值D. 因为y 在1x =处不可导，所以0既非最小也非极值题型二：求函数的最值一般地，求()x f 在[]b ,a 上的最大值与最小值的步骤如下：①求()x f 在()b ,a 内的极值；②将()x f '的各极值与端点值()a f ，()b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值，请根据以上知识解决以下4~7题。
4. 给出下面四个命题：①函数4x 5x y 2+-=（1x 1≤≤-）的最大值为10，最小值为49-； ②函数()4x 21x 4x 2y 2<<-+-=的最大值为17，最小值为-1； ③函数()3x 3x 12x y 3<<--=的最大值为16，最小值为-16； ④函数()2x 2x 12x y 3<<--=既无最大值，也无最小值其中正确命题的个数是A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知()m x 6x 2x f 23+-=（m 为常数），在[]2,2-上有最大值3，那么此函数在[]2,2-上的最小值为 A. –37B. –29C. –5D. –116. 函数()2x x 4y 2-=在[]2,2x -∈上的最大值为_________，最小值为________。
11-12学年高中数学 第一章 导数及其应用 综合检测 新人教A版选修2-2
导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为( )A．v＝2sin t＋2t cos t＋1B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin tD．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )A．4B．5C．6D．7[答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x ＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D.4．函数y＝x|x(x－3)|＋1( )A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3[答案] B[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3)∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋＋－＋f (x )无极值极大值5极小值1f x 极大f f x 极小f 故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3 [答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式． ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴f (2－x )＝2f (x )－x 2－4x ＋4， ∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1. 6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， ∵f (x )在x ＝－3时取得极值， ∴x ＝－3是方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根， ∴a ＝5，故选D.7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x ＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xdx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图 过A ⎝⎛⎭⎪⎫－6，－32得z 最大， 最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C [解析] 令F (x )＝f (x )g (x )则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数∴F (x )在R 上为递减函数， 当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13.⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝________.[答案]772[解析] 取F (x )＝－110(5x ＋11)2，从而F ′(x )＝1(11＋5x )3则⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝F (－1)－F (－2)＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772. 14．若函数f (x )＝ax 2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，x ＝n n ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1， ∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x ，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x .因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ，所以S ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2⎪⎪⎪2＝4.19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点． 当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．[分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值； (2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1.(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. ①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤ta n θ≤a 23.②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a －3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，arctan a 23， 当a >3时，θ∈[0，arctan(2a －3)]．(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点．。
高中数学第一章 1.3.3函数的最大小值与导数课时作业含解析新人教A版选修2
第一章 1.3 1.3.3请同学们认真完成练案[8]A 级 基础巩固一、选择题1．(2019·潍坊高二检测)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x ＞0时，f (x )( D )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值 [解析] ∵函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x， ∴[x 2f (x )]′＝e xx， 令F (x )＝x 2f (x )，则F ′(x )＝e xx，F (2)＝4·f (2)＝e 22.由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝ex x ，得f ′(x )＝e x －2F (x )x 3，令φ(x )＝e x－2F (x )，则φ′(x )＝e x－2F ′(x )＝e x (x －2)x.∴φ(x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )的最小值为φ(2)＝e 2－2F (2)＝0.∴φ(x )≥0. 又x ＞0，∴f ′(x )≥0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴f (x )既无极大值也无极小值．故选D ．2．使函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π2]上取最大值的x 是( B )A ．0B ．π6C ．π3D ．π2[解析] ∵f ′(x )＝1－2sin x ＝0，x ∈[0，π2]时，sin x ＝12，x ＝π6，∴当x ∈[0，π6)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．当x ∈(π6，π2]时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，即x ＝π6，f (x )取最大值，故选B ．3．函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是( B ) A ．0 B ．1eC ．4e4D ．2e2[解析] y ′＝e －x －x ·e －x ＝e －x (1－x )，令y ′＝0， ∴x ＝1.∵f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ，∴f (1)为最大值．故选B ．4．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( A )A ．－37B ．－29C ．－5D ．－11[解析] ∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或2. ∵f (0)＝m ，f (2)＝－8＋m ，f (－2)＝－40＋m ， 显然f (0)>f (2)>f (－2)， ∴m ＝3，最小值为f (－2)＝－37.5．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( B ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1 C ．－1<a <1D ．0<a <12[解析] ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2. 又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1，故选B ．6．(2020·新课标卷Ⅱ)设函数f (x )＝x 3－1x 3，则( A )A ．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增B ．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减C ．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减[解析] 因为函数f (x )＝x 3－1x3定义域为{x |x ≠0}，其关于原点对称，而f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．又因为函数y ＝x 3在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递增， 而y ＝1x 3＝x －3在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减，所以函数f (x )＝x 3－1x 3在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递增．故选A ． 二、填空题7．若F (x )＝x －2ln x ＋2a ，则F (x )在(0，＋∞)上的最小值是__2－2ln2＋2a __. [解析] 令F ′(x )＝1－2x ＝x －2x ＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴当x ＝2时F (x )mi n ＝F (2)＝2－2ln2＋2a .8．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是__[e ，＋∞)__.[解析] f (x )≥2即a ≥2x 2－2x 2ln x . 令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ，x >0， 则g ′(x )＝2x (1－2ln x )． 由g ′(x )＝0得x ＝e 12，且0<x <e 12时，g ′(x )>0；当x >e 12时g ′(x )<0，∴x ＝e 12时，g (x )取最大值g (e 12)＝e ，∴a ≥e. 三、解答题9．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数． (1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． [解析] (1)∵f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0.因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，∴g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2(舍去)，x 2＝2， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.10．已知函数f (x )＝ln x ＋ax.(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．[解析] 函数f (x )＝ln x ＋ax 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增． (2)x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾；③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e.④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾；⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋ae >2，仍与最小值是32相矛盾； 综上所述，a 的值为 e.B 级 素养提升一、选择题1．(多选题)已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，下列结论正确的是( AC ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )的最大值为2C ．当f (x )取到最小值时，对应的x ＝0D ．f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减 [解析] ∵函数f (x )＝e x ＋e －x ，x ∈R ，∴f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，∴函数f (x )是R 上的偶函数，故A 正确， ∵f ′(x )＝e x －e －x ＝e x －1e x ＝(e x )2－1e x ，令f ′(x )＝0得，e x ＝1，x ＝0，∴当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，且f (0)＝2，画出函数f (x )的大致图象， 如图所示：∴函数f (x )的最小值为2，故B 错误，C 正确，D 错误， 故选AC ．2．(多选题)已知实数a ≠0，则函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋1a 的图象可能是( BCD ) A ． B ．C ．D ．[解析] ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋1a ∴f ′(x )＝a cos ⎝⎛⎭⎫ax ＋1a∴f ′(0)＝a cos 1a，观察各选项的图象，判断f ′(0)的正负情况，得： 观察A 选项的图象，得f (0)＝sin 1a ＞0，3＜T ＜4，故3＜2π|a |＜4，∴π2＜a ＜2π3，32π＜1a ＜2π，f ′(0)＝a cos 1a ＞0 故A 选项的图象不符合观察B 选项的图象，得f (0)＝sin 1a ，6＜T ＜9，故6＜2π|a |＜9∴2π9＜a ＜π3，3π＜1a ＜92π，f ′(0)＝a cos 1a ＞0 故B 选项的图象符合．观察C 选项的图象，得f (0)＝sin 1a ＞0,2＜T ＜4，故2＜2π|a |＜4∴π2＜a ＜π，1π＜1a ＜2π，f ′(0)＝a cos 1a ＞0 故C 选项的图象符合观察D 选项的图象，得f (0)＝sin 1a ＞0,2＜T ＜4，故2＜2π|a |＜4∴π2＜a ＜π，1π＜1a ＜2π，f ′(0)＝a cos 1a ＞0 故D 选项的图象符合 故选BCD ． 二、填空题3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－ax ，x ≤02x 3－ax 2＋1，x ＞0，若f (x )＞0恒成立，则实数a 的取值范围是__[0,3)__.[解析] f (x )＞0恒成立，所以f (1)＞0,2－a ＋1＞0，a ＜3(1)x ≤0时，f (x )＝2－ax 必须是有最小值，所以a ≥0，此时f (x )mi n ＝f (0)＝2＞0 (2)x ＞0，f (x )＝2x 3－ax 2＋1，f ′(x )＝6x 2－2ax f ′(x )＝6x 2－2ax ＝0 x 1＝0，x 2＝a 3a ＞0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，a3，f ′(x )＜0，f (x )递减， x ∈⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞，f ′(x )＞0，f (x )递增 ∴f (x )mi n ＝f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a327＋1＞0 所以a ＜3综合(1)、(2)有0≤a ＜3， 故答案为：[0,3)4．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )．若f ′(－1)＝0，函数f (x )在[－2,2]上的值域是__⎣⎡⎦⎤－5027，92__. [解析] 由原式可得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4. 由f ′(－1)＝0得a ＝12，此时f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝43.又f (－1)＝92，f ⎝⎛⎭⎫43＝－5027，f (－2)＝f (2)＝0，所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值为92，最小值为－5027，故值域为⎣⎡⎦⎤－5027，92. 三、解答题5．设函数f (x )＝e x －k2x 2－x .(1)若k ＝0，求f (x )的最小值； (2)若k ＝1，讨论函数f (x )的单调性．[解析] (1)k ＝0时，f (x )＝e x －x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故f (x )的最小值为f (0)＝1.(2)若k ＝1，则f (x )＝e x －12x 2－x ，定义域为R .∴f ′(x )＝e x －x －1，令g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1， 由g ′(x )≥0得x ≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )<0得x <0，所以g (x )在(－∞，0)上单调递减，∴g (x )mi n ＝g (0)＝0，即f ′(x )mi n ＝0，故f ′(x )≥0. 所以f (x )在R 上单调递增．6．(2020·新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x －a (x ＋2)． (1)当a ＝1时，讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝e x －(x ＋2)， f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )<0，解得x <0，令f ′(x )>0，解得x >0， 所以f (x )的减区间为(－∞，0)，增区间为(0，＋∞)； (2)若f (x )有两个零点，即e x －a (x ＋2)＝0有两个解， 从方程可知，x ＝－2不成立，即a ＝e xx ＋2有两个解，令h (x )＝e xx ＋2(x ≠－2)，则有h ′(x )＝e x (x ＋2)－e x (x ＋2)2＝e x (x ＋1)(x ＋2)2，令h ′(x )>0，解得x >－1，令h ′(x )<0，解得x <－2或－2<x <－1，所以函数h (x )在(－∞，－2)和(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增， 且当x <－2时，h (x )<0，而x →－2＋时，h (x )→＋∞，当x →＋∞时，h (x )→＋∞， 所以当a ＝e xx ＋2有两个解时，有a >h (－1)＝1e ，所以满足条件的a 的取值范围是(1e，＋∞)．。
11-12学年高中数学 1.1.3 导数的几何意义同步练习 新人教A版选修2-2
导数的几何意义一、选择题1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在 [答案] B[解析] 切线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，即f ′(x 0)＝－12＜0.故应选B. 2．曲线y ＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的倾斜角为( ) A ．1B.π4C.54π D ．－π4 [答案] B[解析] ∵y ′＝li m Δx →0 [12(x ＋Δx )2－2]－(12x 2－2)Δx＝li m Δx →0 (x ＋12Δx )＝x ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1.∴切线的倾斜角为π4，故应选B. 3．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 [答案] D [解析] 易求y ′＝2x ，设在点P (x 0，x 20)处切线的倾斜角为π4，则2x 0＝1，∴x 0＝12，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 4．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －4B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5[答案] B[解析] y ′＝3x 2－6x ，∴y ′|x ＝1＝－3.由点斜式有y ＋1＝－3(x －1)．即y ＝－3x ＋2.5．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2[答案] B[解析] lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x ＝lim x →0 f (1－2x )－f(1)－2x＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1，故选B.6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交[答案] B[解析] 由导数的几何意义知B 正确，故应选B.7．已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)及f ′(5)分别为( )A ．3,3B ．3，－1C ．－1,3D ．－1，－1[答案] B[解析] 由题意易得：f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1，故应选B.8．曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1,0)或(－1，－4)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(1,4)[答案] A[解析] ∵f (x )＝x 3＋x －2，设x P ＝x 0，∴Δy ＝3x 20·Δx ＋3x 0·(Δx )2＋(Δx )3＋Δx ，∴ΔyΔx ＝3x 20＋1＋3x 0(Δx )＋(Δx )2，∴f ′(x 0)＝3x 20＋1，又k ＝4，∴3x 20＋1＝4，x 20＝1.∴x 0＝±1，故P (1,0)或(－1，－4)，故应选A.9．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，πD.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，56π[答案] A[解析] 设P (x 0，y 0)，∵f ′(x )＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )＋23－x 3＋3x －23Δx＝3x 2－3，∴切线的斜率k ＝3x 20－3，∴tan α＝3x 20－3≥－ 3. ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π.故应选A. 10．(2010·福州高二期末)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P 横坐标的取值范围为( ) A ．[－1，－12] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[12，1] [答案] A[解析] 考查导数的几何意义．∵y ′＝2x ＋2，且切线倾斜角θ∈[0，π4]， ∴切线的斜率k 满足0≤k ≤1，即0≤2x ＋2≤1，∴－1≤x ≤－12. 二、填空题11．已知函数f (x )＝x 2＋3，则f (x )在(2，f (2))处的切线方程为________．[答案] 4x －y －1＝0[解析] ∵f (x )＝x 2＋3，x 0＝2∴f (2)＝7，Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝4·Δx ＋(Δx )2∴Δy Δx ＝4＋Δx .∴li m Δx →0 Δy Δx ＝4.即f ′(2)＝4. 又切线过(2,7)点，所以f (x )在(2，f (2))处的切线方程为y －7＝4(x －2)即4x －y －1＝0.12．若函数f (x )＝x －1x，则它与x 轴交点处的切线的方程为________． [答案] y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)[解析] 由f (x )＝x －1x＝0得x ＝±1，即与x 轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．∵f ′(x )＝li m Δx →0 (x ＋Δx )－1x ＋Δx －x ＋1x Δx ＝li m Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1x (x ＋Δx )＝1＋1x 2. ∴切线的斜率k ＝1＋11＝2. ∴切线的方程为y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)． 13．曲线C 在点P (x 0，y 0)处有切线l ，则直线l 与曲线C 的公共点有________个．[答案] 至少一[解析] 由切线的定义，直线l 与曲线在P (x 0，y 0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．14．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________．[答案] 3x －y －11＝0[解析] 设切点P (x 0，y 0)，则过P (x 0，y 0)的切线斜率为，它是x 0的函数，求出其最小值． 设切点为P (x 0，y 0)，过点P 的切线斜率k ＝＝3x 20＋6x 0＋6＝3(x 0＋1)2＋3.当x 0＝－1时k 有最小值3，此时P 的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x －y －11＝0.三、解答题 15．求曲线y ＝1x －x 上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程． [解析] ∴y ′＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋Δx －1x －(x ＋Δx －x )Δx＝lim Δx →0 －Δx x (x ＋Δx )－Δx x ＋Δx ＋x Δx＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x (x ＋Δx )－1x ＋Δx ＋x ＝－1x 2－12x . ∴y ′|x ＝4＝－116－14＝－516， ∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，－74处的切线方程为： y ＋74＝－516(x －4)．即5x ＋16y ＋8＝0.16．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .(1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程；(2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g (x )．[解析] (1)y ′＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )－3x 3＋3x Δx＝3x 2－3. 则过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率 k 1＝f ′(1)＝0，∴所求直线方程为y ＝－2.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)，则直线l 的斜率k 2＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)又直线l 过点P (1，－2)，∴－2－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴x 30－3x 0＋2＝(3x 20－3)(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12. 故所求直线斜率k ＝3x 20－3＝－94， 于是：y －(－2)＝－94(x －1)，即y ＝－94x ＋14. 17．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1. [解析] y ′＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋Δx ＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x Δx ＝li m Δx →0x ·Δx (x ＋Δx )－Δx (x ＋Δx )·x ·Δx ＝li m Δx →0 (x ＋Δx )x －1(x ＋Δx )x＝x 2－1x 2＝1－1x 2＜1， ∴y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1. 18．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积．[解析] (1)y ′|x ＝1＝li m Δx →0 (1＋Δx )2＋(1＋Δx )－2－(12＋1－2)Δx＝3， 所以l 1的方程为：y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，y ′|x ＝b ＝li m Δx →0 (b ＋Δx )2＋(b ＋Δx )－2－(b 2＋b －2)Δx＝2b ＋1，所以l 2的方程为：y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)·(x －b )，即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，所以3×(2b ＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以l 2的方程为：y ＝－13x －229. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝16，y ＝－52，即l 1与l 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52. 又l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0. 所以所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512.。
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必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3 实习作业小结复习参考题第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3．4 基本不等式小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4．1 流程图4．2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质思考题二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告选修4-9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告。
-12学年高中数学133函数的最值与导数同步练习新人教A版选修2-2
-12学年高中数学133函数的最值与导数同步练习新人教A版选修2-2高中数学133函数的最值与导数同步练习在高中数学的学习中，函数的最值与导数是重要的概念和方法。
在选修2-2中，我们学习了函数的最值与导数的关系，并进行了相关的练习和应用。
本文将结合新人教A版选修2-2的课本内容，进行函数的最值与导数的同步练习。
函数的最值是指在定义域上取得最大值或最小值的函数值。
导数则是衡量函数变化趋势的工具，通过导数可以研究函数的增减性、最值等性质。
因此，函数的最值与导数之间有着密切的关系。
首先，我们回顾一下函数的最值的概念。
对于一个定义在区间[a,b]上的函数f(x)，如果存在一个x0∈[a,b]，使得对于任意的x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，那么f(x0)就是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值。
同样地，如果存在一个x1∈[a,b]，使得对于任意的x∈[a,b]，都有f(x)≥f(x1)，那么f(x1)就是函数f(x)在区间[a,b]上的最小值。
接下来，我们来研究函数的最值与导数的关系。
根据函数的性质，一个函数在一些点处取得最值的充分条件是导数在该点处等于0，或者导数在该点处不存在。
这一概念被称为极值第一定理。
换句话说，如果一个函数在一些点取得最值，那么该点一定是函数的驻点。
通过导数可以判断函数在驻点处的最值类型。
根据导数的符号表，如果一个驻点的左侧导数小于0，右侧导数大于0，那么该驻点是函数的极小值点；反之，如果一个驻点的左侧导数大于0，右侧导数小于0，那么该驻点是函数的极大值点。
此外，对于闭区间[a,b]上的函数，最大值和最小值一定取自于驻点、端点的值，这一定理被称为最值存在定理。
在进行函数的最值与导数的同步练习时，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，根据给定函数，求出它的导函数和驻点。
2.然后，在定义域上划分区间，并将驻点和端点带入函数中进行比较，找出函数的最值。
3.最后，通过导函数的符号表，判断驻点的最值类型。
11-12学年高中数学 1.3.3 函数的最值与导数同步练习 新人教A版选修2-2
选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数一、选择题1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0D ．以上都有可能[答案] A[解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数 ∴f ′(x )＝0，故应选A.2．设f (x )＝14x 4＋13x 3＋12x 2在[－1,1]上的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－1D.1312[答案] A[解析] y ′＝x 3＋x 2＋x ＝x (x 2＋x ＋1) 令y ′＝0，解得x ＝0.∴f (－1)＝512，f (0)＝0，f (1)＝1312∴f (x )在[－1,1]上最小值为0.故应选A.3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.2227B ．2C ．－1D ．－4[答案] C[解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝13或x ＝－1当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2； 当x ＝13时，y ＝2227；当x ＝1时，y ＝2.所以函数的最小值为－1，故应选C.4．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A ．最大值为13，最小值为34B ．最大值为1，最小值为4C ．最大值为13，最小值为1D ．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A[解析] ∵y ＝x 2－x ＋1，∴y ′＝2x －1，令y ′＝0，∴x ＝12，f (－3)＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，f (0)＝1.5．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B ．1 C ．0D ．不存在[答案] A[解析] y ′＝12x －121－x ＝12·1－x －xx ·1－x由y ′＝0得x ＝12，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上y ′>0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上 y ′<0.∴x ＝12时y 极大＝2，又x ∈(0,1)，∴y max ＝ 2.6．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．既无最大值，也无最小值 [答案] D[解析] f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1) ∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.7．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A ．5，－15B ．5,4C ．－4，－15D ．5，－16[答案] A[解析] y ′＝6x 2－6x －12＝6(x －2)(x ＋1)， 令y ′＝0，得x ＝2或x ＝－1(舍)． ∵f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4， ∴y max ＝5，y min ＝－15，故选A.8．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32B.12 C ．－12D.12或－32[答案] C[解析] y ′＝－2x －2，令y ′＝0得x ＝－1. 当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意． 当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减， 最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．9．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3B ．－3<k <－1或1<k <3C ．－2<k <2D ．不存在这样的实数 [答案] B[解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.10．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立 又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3 ∴a ≥－3，故应选B. 二、填空题11．函数y ＝x 32＋(1－x )32，0≤x ≤1的最小值为______．[答案]22由y ′>0得x >12，由y ′<0得x <12.此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为增函数，∴最小值在x ＝12时取得，y min ＝22.12．函数f (x )＝5－36x ＋3x 2＋4x 3在区间[－2，＋∞)上的最大值________，最小值为________．[答案] 不存在；－2834[解析] f ′(x )＝－36＋6x ＋12x 2，令f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝32；当x >32时，函数为增函数，当－2≤x ≤32时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f (－2)＝57，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2834，所以最小值为－2834.13．若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________． [答案]3－1[解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝－a (舍去) 当x >a 时，f ′(x )<0；当0<x <a 时，f ′(x )>0； 当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1.14．f (x )＝x 3－12x ＋8在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝________. [答案] 32[解析] f ′(x )＝3x 2－12 由f ′(x )>0得x >2或x <－2， 由f ′(x )<0得－2<x <2.∴f (x )在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增． 又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，∴最大值M ＝24，最小值m ＝－8， ∴M －m ＝32. 三、解答题15．求下列函数的最值：(1)f (x )＝sin2x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x ≤π2；(2)f (x )＝x ＋1－x 2.[解析] (1)f ′(x )＝2cos2x －1. 令f ′(x )＝0，得cos2x ＝12.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴2x ∈[－π，π]， ∴2x ＝±π3，∴x ＝±π6.∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的两个极值分别为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32＋π6. 又f (x )在区间端点的取值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2. 比较以上函数值可得f (x )max ＝π2，f (x )min ＝－π2.(2)∵函数f (x )有意义，∴必须满足1－x 2≥0，即－1≤x ≤1， ∴函数f (x )的定义域为[－1,1]．f ′(x )＝1＋12(1－x 2)－12·(1－x 2)′＝1－x 1－x2. 令f ′(x )＝0，得x ＝22. ∴f (x )在[－1,1]上的极值为f ⎝⎛⎭⎪⎫22＝22＋1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝ 2. 又f (x )在区间端点的函数值为f (1)＝1，f (－1)＝－1，比较以上函数值可得f (x )max ＝2，f (x )min ＝－1.16．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值和最小值．[解析] f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞. f ′(x )＝2x ＋22x ＋3＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.当－32<x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <－12时，f ′(x )<0；当x >－12时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最小值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ln2＋14.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 499<0， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 72＋116.17．(2010·安徽理，17)设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间及极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x>x 2－2ax ＋1.[分析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．[解析] (1)解：由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x－2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减单调递增故f (x )(ln2，＋∞)，f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln 2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )．(2)证明：设g (x )＝e x－x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln2－1时，g ′(x )最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1. 18．已知函数f (x )＝4x 2－72－x ，x ∈[0,1]．(1)求f (x )的单调区间和值域；(2)设a ≥1，函数g (x )＝x 3－3a 2x －2a ，x ∈[0,1]．若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，求a 的取值范围．[解析] (1)对函数f (x )求导，得f ′(x )＝－4x 2＋16x －7(2－x )2＝－(2x －1)(2x －7)(2－x )2令f ′(x )＝0解得x ＝12或x ＝72.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，当x ∈(0，2)时，f (x )是减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f (x )是增函数． 当x ∈[0,1]时，f (x )的值域为[－4，－3]． (2)g ′(x )＝3(x 2－a 2)．因为a ≥1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0.因此当x ∈(0,1)时，g (x )为减函数，从而当x ∈[0,1]时有g (x )∈[g (1)，g (0)]． 又g (1)＝1－2a －3a 2，g (0)＝－2a ，即x ∈[0,1]时有g (x )∈[1－2a －3a 2，－2a ]． 任给x 1∈[0,1]，f (x 1)∈[－4，－3]，存在x 0∈[0,1]使得g (x 0)＝f (x 1)成立， 则[1－2a －3a 2，－2a ]⊇[－4，－3]．即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a －3a 2≤－4，①－2a ≥－3.②解①式得a ≥1或a ≤－53；解②式得a ≤32.又a ≥1，故a 的取值范围为1≤a ≤32.。
2022高中数学1.3.3函数的最值与导数同步练习新人教A版选修2-2
选修函数的最值与导数一、选择题1．函数＝f在区间 [ a，b] 上的最大值是M，最小值是m，若 M＝ m，则 f ′A．等于0B．大于0C．小于0D．以上都有可能[ 答案]A[ 分析 ]∵M＝m，∴＝f是常数函数∴f ′＝0，故应选A2．设f＝错误 ! 4＋错误 ! 3＋错误 ! 2在 [ － 1,1] 上的最小值为A．0B．－ 2C．－ 1[ 答案]A[ 分析]′＝ 3＋ 2＋＝ 2＋＋1令′＝ 0，解得＝ 0∴f－1＝错误!， f 0＝0，f 1＝错误!∴f在[－1,1]323．函数＝＋－＋1在区间[－2,1]上的最小值为C．－ 1D．－ 4[ 答案]C[ 分析]′＝ 32＋ 2－ 1＝3－ 1＋ 1令′＝ 0 解得＝错误 ! 或＝－ 1当＝－ 2 时，＝－ 1；当＝－ 1 时，＝ 2；当＝错误 !时，＝错误! ；当＝ 1 时，＝ 2所以函数的最小值为－1，故应选C4．函数f＝2－＋ 1 在区间 [ － 3,0] 上的最值为A．最大值为13，最小值为错误 !B．最大值为1，最小值为4C．最大值为13，最小值为1D．最大值为－ 1，最小值为－7[答案]A[ 分析 ]∵＝2－＋1，∴′＝2－1，令′＝ 0，∴＝错误 ! ，f－ 3＝ 13，f错误 ! ＝错误 ! ，f 0＝15．函数＝错误 ! ＋错误 ! 在0,1上的最大值为B． 1C．0D．不存在[ 答案]A[ 分析]′＝错误!－错误!＝错误!·错误!由′＝ 0 得＝错误 ! ，在错误 ! 上′>0，在错误 ! 上′0得函数的增区间是－∞，－2和2，＋∞，由′0 得 >错误 ! ，由′ 错误 ! 时，函数为增函数，当－ 2≤≤错误 ! 时，函数为减函数，所以无最大值，又由于 f －2＝57， f 错误!＝－ 28错误 ! ，所以最小值为－28错误 !13．若函数f ＝错误 !>0 在 [1 ，＋∞上的最大值为错误!，则a的值为 ________．a[答案]错误!－1[ 分析 ] f ′＝错误!＝错误!令 f ′＝0，解得＝错误!或＝－错误!舍去当>错误 ! 时，f′ 0；当＝错误 ! 时，f＝错误 ! ＝错误 ! ，错误 ! ＝错误 ! 0 得>2 或 0；当－ 1－错误 ! 时，f′>0，所以 f 在错误!上的最小值为f错误 ! ＝ n2＋错误 !又 f 错误!－ f 错误!＝n错误!＋错误!－n错误!－错误!＝n错误!＋错误!＝错误!错误! 2a n2－1 且 >0 时，e>2－ 2a＋ 1[ 剖析 ]此题考察导数的运算，利用导数研究函数的单一区间，求函数的极值和证明函数不等式，考察运算能力、综合剖析和解决问题的能力．解题思路是： 1 利用导数的符号判断函数的单一性，从而求出函数的极值． 2 将不等式转化结构函数，再利用函数的单一性证明．[ 分析] 1 解：由 f ＝e－2＋2a，∈R知 f ′＝e－2，∈R令 f ′＝0，得＝变化时， f ′， f的变化状况以下表：－∞，n2n2n2，＋∞f ′－0＋f单一递减21－ n2＋a单一递加故 f的单一递减区间是－∞，n2，单一递加区间是n2，＋∞，f在＝ n2处获得极小值，极小值为 f n2＝e n2－2n2＋2a＝21－n2＋a．2证明：设 g＝e－2＋2a－1，∈R，于是 g′＝e－2＋2a，∈R由 1 知当a>n2－ 1 时，g′最小值为g′n2＝ 21－ n2＋a>0 于是对随意∈ R，都有g′>0，所以g在 R 内单一递加．于是当 a>n2－1时，对随意∈0，＋∞，都有 g>g0．而 g0＝0，从而对随意∈0，＋∞， g>0即 e－2＋ 2a－ 1>0，故 e>2－ 2a＋ 118．已知函数f＝错误 ! ，∈ [0,1] ．1 求f的单一区间和值域；2 设a ≥1，函数g＝3－ 3 2－2，∈ [0,1] ．若关于随意 1 ∈[0,1]，总存在0∈[0,1]，使得a ag0＝ f 1建立，求 a 的取值范围．[ 分析 ] 1 对函数f求导，得f ′＝错误!＝－错误!令 f ′＝0解得＝错误!或＝错误!当变化时， f ′， f 的变化状况以下表：00，错误 !错误 !错误!，11f ′－0＋－－ 4－ 3f错误 !所以，当∈ 0，错误 ! 时，f是减函数；当∈ 错误 ! 时，f是增函数．当∈ [0,1] 时，f的值域为 [ － 4，－ 3] ．2g′＝ 32－a2．由于 a≥1，当∈0,1时，g′<0所以当∈ 0,1时，g为减函数，从而当∈ [0,1]时有g∈[g1， g0]．22又 g1＝1－2a－3a ， g0＝－2a，即∈[0,1]时有g∈[1－2a－3a ，－2a]．则[1 － 2a－3a2，－ 2a] ? [ － 4，－ 3] ．即错误 !解①式得 a≥1或 a≤－错误!；解②式得a≤错误!又 a≥1，故 a 的取值范围为1≤a≤错误 !。
人教版高中数学全套试题11-12学年高中数学 1.3.2 函数的极值与导数同步练习 新人教A版选修2-2
选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数一、选择题1．已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是( )A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值[答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x ＝0不是f(x)的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2．函数y＝1＋3x－x3有( )A．极小值－2，极大值2B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1D．极小值－1，极大值3[答案] D[解析] y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)令y′＝0，解得x1＝－1，x2＝1当x<－1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－1<x<1时，y′>0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，当x>1时，y′<0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3．设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0[答案] C[解析] 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f′(0)不存在．4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异是这一点为极值的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异才是充要条件． 5．对于函数f (x )＝x 3－3x 2，给出命题： ①f (x )是增函数，无极值； ②f (x )是减函数，无极值；③f (x )的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)； ④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值． 其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[答案] B[解析] f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )>0，得x >2或x <0，令f ′(x )<0，得0<x <2，∴①②错误．6．函数f (x )＝x ＋1x的极值情况是( )A ．当x ＝1时，极小值为2，但无极大值B ．当x ＝－1时，极大值为－2，但无极小值C ．当x ＝－1时，极小值为－2；当x ＝1时，极大值为2D ．当x ＝－1时，极大值为－2；当x ＝1时，极小值为2 [答案] D[解析] f ′(x )＝1－1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，函数f (x )在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减， ∴当x ＝－1时，取极大值－2，当x ＝1时，取极小值2.7．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] A[解析] 由f ′(x )的图象可知，函数f (x )在区间(a ，b )内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极小值点．8．已知函数y ＝x －ln(1＋x 2)，则函数y 的极值情况是( ) A ．有极小值 B ．有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．无极值 [答案] D [解析] ∵y ′＝1－11＋x2(x 2＋1)′ ＝1－2x x 2＋1＝(x －1)2x 2＋1令y ′＝0得x ＝1，当x >1时，y ′>0， 当x <1时，y ′>0， ∴函数无极值，故应选D.9．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则函数f (x )的极值是( ) A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值为0[答案] A[解析] 由题意得，f (1)＝0，∴p ＋q ＝1①f ′(1)＝0，∴2p ＋q ＝3②由①②得p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1 ＝(3x －1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427，极小值f (1)＝0.10．下列函数中，x ＝0是极值点的是( ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝cos 2xC ．y ＝tan x －xD ．y ＝1x[答案] B[解析] y ＝cos 2x ＝1＋cos2x 2，y ′＝－sin2x ，x ＝0是y ′＝0的根且在x ＝0附近，y ′左正右负，∴x ＝0是函数的极大值点． 二、填空题 11．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为______，极小值为______． [答案] 1 －1[解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2， 令y ′>0得－1<x <1，令y ′<0得x >1或x <－1， ∴当x ＝－1时，取极小值－1，当x ＝1时，取极大值1.12．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为____________，极小值为____________． [答案] a ＋4 2 a －4 2[解析] y ′＝3x 2－6＝3(x ＋2)(x －2)， 令y ′>0，得x >2或x <－2， 令y ′<0，得－2<x <2， ∴当x ＝－2时取极大值a ＋42， 当x ＝2时取极小值a －4 2.13．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝______，b ＝________.[答案] －3 －9[解析] y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，方程y ′＝0有根－1及3，由韦达定理应有14．已知函数f (x )＝x 3－3x 的图象与直线y ＝a 有相异三个公共点，则a 的取值范围是________．[答案] (－2,2)[解析] 令f ′(x )＝3x 2－3＝0得x ＝±1， 可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，y ＝f (x )的大致图象如图观察图象得－2<a <2时恰有三个不同的公共点． 三、解答题15．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11. (1)写出函数f (x )的递减区间；(2)讨论函数f (x )的极大值或极小值，如有试写出极值． [解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.x 变化时，f ′(x )的符变化情况及f (x )的增减性如下表所示：(1)(2)由表可得，当x ＝－1时，函数有极大值为f (－1)＝16；当x ＝3时，函数有极小值为f (3)＝－16.16．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1和x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求a 、b 、c 的值，并求出相应的极值．[解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∵x ＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f ′(x )＝0的根，即有又f (1)＝－1，则有a ＋b ＋c ＝－1，此时函数的表达式为f (x )＝12x 3－32x .∴f ′(x )＝32x 2－32.令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：17．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值． (1)讨论f (1)和f (－1)是函数f (x )的极大值还是极小值； (2)过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线，求此切线方程． [解析] (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即解得a ＝1，b ＝0. ∴f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.若x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，－1)上是增函数， f (x )在(1，＋∞)上是增函数．若x ∈(－1,1)，则f ′(x )＜0，故f (x )在(－1,1)上是减函数．∴f (－1)＝2是极大值；f (1)＝－2是极小值． (2)曲线方程为y ＝x 3－3x .点A (0,16)不在曲线上． 设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0. ∵f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线的方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)．注意到点A (0,16)在切线上，有 16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)． 化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2. ∴切点为M (－2，－2)， 切线方程为9x －y ＋16＝0.18．(2010·北京文，18)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围． [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用． 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根为1,4.(1)当a ＝3时，由(*)式得，解得b ＝－3，c ＝12.又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又∵Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)解得a ∈[1,9]，即a 的取值范围[1,9]．。
2021-2022年高中数学专题1.3.3函数的最大小值与导数试题新人教A版选修
2021-2022年高中数学专题1.3.3函数的最大小值与导数试题新人教A版选修1．函数的最值与导数一般地，如果在区间上函数的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．2．求函数最值的步骤求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数在内的________；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．K知识参考答案：1．连续不断2．极值求函数的最值求函数最值的步骤是：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．其中准确求出函数的极值是解题的关键．需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论．已知函数，其中，为自然对数的底数．设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值．【答案】见解析．【解析】由，有()()e 2xg x f x ax b '==--，所以． 因此，当时，．当时，，所以在区间上单调递增．因此在上的最小值是； 当时，令，得．所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． 于是，在上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a a b =--．综上所述，当时，在上的最小值是；当时，在上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a a b =--；当时，在上的最小值是．【名师点睛】（1）若所给区间是开区间，则函数不一定有最大值和最小值；（2）函数的最大（小）值最多只能有一个，而最大（小）值点却可以有多个． 函数最值的应用由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值． 已知函数．（1）求函数的单调递减区间； （2）当时，的最小值是，求实数的值． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1），， 当时，在上恒成立， 则的单调递减区间为；当时，令，得，则的单调递减区间为．当时，在上单调递减，在上单调递增，则min 11()()ln0f x f a aa a==+=，解得，舍去．综上，得．【名师点睛】本题中的参数对函数的单调性有影响，从而影响函数的最值，因此需要对进行分类讨论．恒成立问题利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最大值，只要，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式在区间上恒成立，可先在区间上求出函数的最小值，只要，则不等式恒成立．已知函数．（1）求的极小值；（2）对恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）极小值为；（2）．【解析】（1），令，得．当变化时，与的变化情况如下表：则的极小值为．（2）当时，恒成立．令，则，令，得．当变化时，与的变化情况如下表：则，故实数的取值范围是．【名师点睛】对于由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成或的形式，然后利用导数求出函数的最值，则由或即可求出参数的取值范围． 因未验根而致误已知3223()f x ax bx a x =+++在时有极值0，求常数a ，b 的值． 【错解】因为在时有极值0且， 所以，即，解得或．【错因分析】解出a ，b 的值后，未验证两侧函数的单调性而导致产生增根． 【正解】因为在时有极值0，且． 所以，即， 解得或．当，时，22()3630(1)3f x x x x '=++=+≥， 所以在上为增函数，无极值，故舍去．当，时，2312931(()()3)f x x x x x =++=++'． 当时，为增函数； 当时，为减函数； 当时，为增函数． 所以在时取得极小值， 因此，．【名师点睛】可导函数在处的导数为0是该函数在处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由求出的参数需要检验，以免出错．1．定义在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)有唯一的极值点x＝x0，且y极小值＝f(x0)，则下列说法正确的是A．函数f(x)有最小值f(x0) B．函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0) C．函数f(x)的最大值也可能是f(x0) D．函数f(x)不一定有最小值2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值3．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1]上的最大值，最小值分别是A．12，－8 B．1，－8C．12，－15 D．5，－164．已知f(x)＝x2－cos x，x∈[－1，1]，则其导函数是A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值又有最小值的奇函数5．已知（m为常数）在区间上有最大值3，那么此函数在上的最小值为A．B．C．D．6．函数在上的最小值是______________．7．函数在[0，1]上的最大值为______________．8．函数在上的最小值为______________．9．已知函数，．若的图象在处与直线相切．（1）求的值；（2）求在上的最大值．10．函数.)(223m x a ax x x f +-+=（1）若函数在内没有极值点，求实数的取值范围； （2）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．11．已知函数，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是A ．20B ．18C ．3D ．012．若函数，则A ．最大值为，最小值为B ．最大值为，无最小值C ．最小值为，无最大值D ．既无最大值也无最小值13．函数32231(0)()e (0)ax x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩在上的最大值为2，则a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．14．已知在[1，5]上有最小值为0，则函数在[1，5]上的最大值为______________． 15．函数的最大值为______________．16．已知2()(1),()e xf x x mg x x =--+=，若，使得成立，则实数的取值范围是______________． 17．已知函数()ln (,0)f x ax a x x =-∈>R ．（1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，求函数在上的最小值．18．（xx 新课标全国III 理）已知函数211()2(ee )x xf x x x a --+=-++有唯一零点，则A ．B ．C ．D ．119．（xx 新课标全国III 节选）已知函数2ln )1(()2x ax f x a x =+++，当a ﹤0时，证明．20．（xx 新课标全国I ）已知函数．（1）讨论的单调性； （2）若，求a 的取值范围．21．（xx北京）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．22．（xx新课标全国II理）已知函数，且．（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且．1．【答案】A【解析】函数f (x )在闭区间[a ，b ]上一定存在最大值和最小值，又f (x )有唯一的极小值f (x 0)，则f (x 0)一定是最小值．故选A ．3．【答案】A【解析】y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．当x ＝－2时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝12；当x ＝1时，y ＝－8．∴y max ＝12，y min ＝－8．故选A ． 4．【答案】D【解析】求导可得f ′(x )＝x ＋sin x ，显然f ′(x )是奇函数，令h (x )＝f ′(x )， 则h (x )＝x ＋sin x ，求导得h ′(x )＝1＋cos x ，当x ∈[－1，1]时，h ′(x )>0， 所以h (x )在[－1，1]上单调递增，有最大值和最小值． 所以f ′(x )是既有最大值又有最小值的奇函数．故选D ． 5．【答案】D【解析】令2()6126(2)0f x x x x x '=-=-=，得或，当时，，当时，，所以最大值在处取得，即，又，所以最小值为．故选D ． 6．【答案】【解析】，()00,()00f x x f x x ''>⇒><⇒<，所以在上单调递减，在上单调递增，从而函数在上的最小值是． 7．【答案】【解析】由题知，则，可得在区间上，，为增函数，在上，，为减函数，故在处取得最大值． 8．【答案】 【解析】4232()25,()444(1)f x x x f x x x x x '=--∴=-=-，令，得或或．列表如下：(0，1)1(1，2)20 + 0 0 +增减增3由表可知，函数的最小值为． 9．【答案】（1）（2）最大值为．（2）由（1）得，其定义域为，所以， 令，解得，令，得．所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为． 10．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知，，当时，恒成立，在定义域上没有极值，符合题意； 当时，因为，所以，解得或． 综上，实数的取值范围为．（2）由题可得22()323()()3a f x x ax a x x a '=+-=-+，因为，所以函数的递增区间为，递减区间为． 当时，，，所以在上的最大值等于中最大的一个，而0416)2()2(2<-=--a f f ，所以m a a f x f +++-=-=2max 248)2()(，因为在上恒成立，所以，即在上恒成立，所以． 故实数的取值范围为．12．【答案】D【解析】2()333(1)f x x x x x '=-=-，令，得或，令，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在时，函数取得极大值，在时，函数取得极小值，但是函数在上，既无最大值也无最小值，故选D ． 13．【答案】D【解析】当时，，令得，令，得，则在上的最大值为．欲使得函数在上的最大值为2，则当时，的值必须小于或等于2，即，解得，故选D ． 14．【答案】【解析】令2()3123(4)0f x x x x x '=-=-=，得或，当时，，当时，，所以在处取得最小值，即，所以，又，，所以函数在[1，5]上的最大值为． 15．【答案】【解析】，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，． 16．【答案】【解析】易知的最大值为，()e e e (1)xxxg x x x '=+=+，当时，，减函数，当时，，为增函数，所以的最小值为．，使得成立，只需．故实数的取值范围是．17．【答案】（1）单调递增区间为，单调减区间为；（2）当时，；当时，．（2）由得，令得，令得，在上单调递增，在上单调递减．①当，即时，函数在区间[1，2]上是减函数，∴的最小值是．②当，即时，函数在区间[1，2]上是增函数，∴的最小值是．③当，即时，函数在上是增函数，在是减函数．又，∴当时，最小值是；当时，最小值为．综上，当时，；当时，．18．【答案】C当时，函数取得最小值，为．设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数与函数有一个交点，即，解得．故选C．19．【答案】见解析．【思路分析】证明，即证，而，所以需证，设，利用导数易得，即得证．【解析】函数的定义域为，故(21)(1)()(0) 1221ax xf x a'xa xxx=++++>+=．若，则当时，；当时，．故函数在上单调递增，在上单调递减．所以在处取得最大值，最大值为．所以等价于，即．设g （x ）=ln x -x +1，则．当x ∈（0,1）时，；当x ∈（1，+）时，， 所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减．故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0，所以当x ＞0时，g （x ）≤0． 从而当a ＜0时，，即． 20．【答案】（1）见解析；（2）．【思路分析】（1）分，，分别讨论函数的单调性；（2）分，，分别解，从而确定a 的取值范围．③若，则由得． 当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增． （2）①若，则，所以．②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为． 从而当且仅当，即时，．③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242aa f a -=--． 从而当且仅当，即时． 综上，的取值范围为．【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值． 21．【答案】（1）；（2）最大值为1；最小值为．【思路分析】（1）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（2）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值．（2）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x xh x x x x x x '=---=-． 当时，，所以在区间上单调递减．所以对任意有，即，所以函数在区间上单调递减． 因此在区间上的最大值为，最小值为．【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果． 22．【答案】（1）；（2）见解析．【思路分析】（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数，结合的单调性和的解析式即可证得题中的不等式成立． 【解析】（1）的定义域为．当时，，单调递增，所以是的极小值点，故． 综上，．（2）由（1）知 ，． 设，则．当 时， ；当 时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1， 且当时，；当时，，当时，． 因为，所以是的唯一极大值点． 由得，故． 由可得．因为是在（0，1）的最大值点，由，得，所以．【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．L30383 76AF 皯21007 520F 刏L34402 8662 虢Sa33786 83FA 菺39229 993D 餽26811 68BB 梻30661 77C5 矅 c38251 956B 镫22262 56F6 囶。
2021年高中数学 1.3.3函数的最大(小)值与导数课后习题 新人教A版选修2-2
1.函数f(x)=x3-2x2在区间[-1,5]上()A.有最大值0,无最小值B.有最大值0,最小值-C.有最小值-,无最大值D.既无最大值也无最小值解析:f'(x)=x2-4x=x(x-4).令f'(x)=0,得x=0或x=4,∴f(0)=0,f(4)=-,f(-1)=-,f(5)=-,∴f(x)max =f(0)=0,f(x)min=f(4)=-.答案:B2.函数y=x e-x,x∈[0,4]的最大值是()A.0B.C.D.解析:y'=e-x-x·e-x=e-x(1-x),令y'=0,∴x=1,∴f(0)=0,f(4)=,f(1)=e-1=,∴f(1)为最大值.答案:B3.函数f(x)=x·2x,则下列结论正确的是()A.当x=时,f(x)取最大值B.当x=时,f(x)取最小值C.当x=-时,f(x)取最大值D.当x=-时,f(x)取最小值解析:f'(x)=2x+x·(2x)'=2x+x·2x·ln 2.令f'(x)=0,得x=-.当x∈时,f'(x)<0;当x∈时,f'(x)>0,故函数在x=-处取极小值,也是最小值.答案:D4.对于R上可导的任意函数f(x),若满足x≠1时(x-1)·f'(x)>0,则必有()A.f(0)+f(2)>2f(1)B.f(0)+f(2)<2f(1)C.f(0)+f(2)≥2f(1)D.f(0)+f(2)≤2f(1)解析:当x>1时,f'(x)>0,函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;当x<1时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,1)上是减函数,故f(x)在x=1处取得最小值,即有f(0)>f(1),f(2)>f(1),得f(0)+f(2)>2f(1).答案:A5.若对任意的x>0,恒有ln x≤px-1(p>0),则p的取值范围是()A.(0,1]B.(1,+∞)C.(0,1)D.[1,+∞)解析:原不等式可化为ln x-px+1≤0,令f(x)=ln x-px+1,故只需f(x)max≤0,由=f=-ln p,即-ln p≤0,解得p f'(x)=-p知f(x)在上单调递增;在上单调递减.故f(x)max≥1.答案:D6.函数f(x)=e x(x2-4x+3)在[0,1]上的最小值是.解析:f'(x)=e x(x2-4x+3)+e x(2x-4)=e x(x2-2x-1)=e x[(x-1)2-2],当x∈[0,1]时,f'(x)<0,=f(1)=0.f(x)在[0,1]上是减函数,f(x)min答案:07.已知函数f(x)=e x-2x+a有零点,则a的取值范围是.解析:函数f(x)=e x-2x+a有零点,即方程e x-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-e x,y=a有交点,而g'(x)=2-e x,易知函数g(x)=2x-e x在(-∞,ln 2)上递增,在(ln 2,+∞)上递减,因而g(x)=2x-e x的值域为(-∞,2ln 2-2],所以要使函数g(x)=2x-e x,y=a有交点,只需a≤2ln 2-2即可.答案:(-∞,2ln 2-2]8.试求函数y=4x2+在(0,+∞)上的最值.解:y'=8x-,令y'=0,解得x=.当x变化时,y',y的变化情况如下表:所以由上表可知,函数在x=处取得最小值,最小值为3,无最大值.9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1时都取得极值.(1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间;(2)若对x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b,由f'a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,得a=-,b=-2.f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),令f'(x)>0,得x<-或x>1,令f'(x)<0,得-<x<1.∴函数f(x)的递增区间是和(1,+∞),递减区间是.(2)f(x)=x3-x2-2x+c,x∈[-1,2],由(1)知,当x=-时,f+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值,要使f(x)<c2,x∈[-1,2]恒成立,则只需要c2>f(2)=2+c,得c<-1或c>2.∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).B组1.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为()A.1B.C.D.解析:|MN|的最小值,即函数h(t)=t2-ln t的最小值,h'(t)=2t-,显然t=是函数h(t)在其定义域内唯一的极小值点,也是最小值点,故t=.答案:D2.已知函数f(x)=+2ln x,若当a>0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是.解析:由f(x)=+2ln x得f'(x)=,又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,令f'(x)=0,得x=-(舍去)或x=.当0<x<时,f'(x)<0;当x>时,f'(x)>0.故x=是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f()=ln a+1.要使f(x)≥2恒成立,需ln a+1≥2恒成立,则a≥e.答案:[e,+∞)3.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为.解析:∵f'(x)=3(x2-a),f(x)在(0,1)内有最小值,∴f'(0)<0且f'(1)>0.∴∴0<a<1.答案:0<a<14.若关于x的方程kx+1=ln x有解,则实数k的取值范围是. 解析:由题意,x∈(0,+∞),方程化为k=,方程kx+1=ln x有解⇔实数k在函数f(x)=的值域范围内有解.f'(x)=,令f'(x)=0得x=e2,当x∈(0,e2)时,f'(x)>0,f(x)递增,当x∈(e2,+∞)时,f'(x)<0,f(x)递减,=f(e2)=,即k≤.∴f(x)max答案:5.设函数f(x)=e x sin x.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)当x∈[0,π]时,求函数f(x)的最大值和最小值.解:(1)f'(x)=e x(sin x+cos x)=e x sin,f'(x)≥0,∴sin≥0.∴2kπ≤x+≤2kπ+π,即2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z.f(x)的单调增区间为,k∈Z.(2)由(1)知当x∈[0,π]时,是单调增区间,是单调减区间.f(0)=0,f(π)=0,f,f(x)=f(0)=f(π)=0.min6.已知函数f(x)=x2-ln x,(1)若a=1,证明f(x)没有零点;(2)若f(x)≥恒成立,求a的取值范围.(1)证明:a=1时,f(x)=x2-ln x(x>0),f'(x)=x-,由f'(x)=0,得x=1,可得f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(x)的最小值f(x)min=f(1)=>0,所以f(x)没有零点.(2)解:f'(x)=ax-.①若a>0,令f'(x)≥0,则x≥,故f(x)在上单调递减,在上单调递增,故f(x)在(0,+∞)上的最小值为f ln a,要使f(x)≥恒成立,只需ln a≥,得a≥1.②若a≤0,f'(x)<0恒成立,f(x)在(0,+∞)单调递减,f(1)=≤0,故不可能f(x)≥恒成立.综上所述,a≥1.7.设函数f(x)=2ax-+ln x,若f(x)在x=1,x=处取得极值,(1)求a,b的值;(2)在上存在x0使得不等式f(x0)-c≤0成立,求c的取值范围.解:(1)∵f(x)=2ax-+ln x,∵f(x)在x=1,x=处取得极值,∴f'(1)=0,f'=0.即解得∴所求a,b的值分别为-,-.(2)在上存在x0使得不等式f(x0)-c≤0成立,只需c≥f(x)min,由f'(x)=-=-=-,∴当x∈时,f'(x)<0,f(x)是减函数;当x∈时,f'(x)>0,f(x)是增函数;∴f是f(x)在上的最小值.而f+ln-ln 2,∴c≥-ln 2.∴c的取值范围为.>24161 5E61 幡22991 59CF 姏30412 76CC 盌*37726 935E 鍞27818 6CAA 沪34600 8728 蜨35940 8C64 豤32645 7F85 羅26840 68D8 棘[34154 856A 蕪。
高中数学 第三章 3.3.3函数的最大(小)值与导数基础过关训练 新人教A版选修11
3.3.3 函数的最大(小)值与导数一、基础过关1.函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是 ( )A.f (2)，f (3)B.f (3)，f (5)C.f (2)，f (5)D.f (5)，f (3)2.f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A.－2B.0C.2D.4 3.函数y ＝ln xx的最大值为( )A.e －1B.eC.e 2D.103 4.函数y ＝4xx 2＋1在定义域内( )A.有最大值2，无最小值B.无最大值，有最小值－2C.有最大值2，最小值－2D.无最值5.已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于 ( )A.－32B.12C.－12D.12或－326.函数f (x )＝x e x 的最小值为________.7.已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________. 二、能力提升8.设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A.1B.12C.52D.229.已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________.10.已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值.11.已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ).(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围. 12.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x ＋y ＝0平行. (1)求a ，b ；(2)求函数f(x)在[0，t] (t>0)内的最大值和最小值.三、探究与拓展13.已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.答案1.B2.C3.A4.C5.C6.－1e7.[－4，－2] 8.D 9.(－∞，2ln 2－2]10.解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x －2 (－2，0) 0 (0,2) 2f ′(x )＋ 0 － 0 f (x )－40＋a↗极大值a↘－8＋a∴当x ＝－2时，f (x )min ＝－40＋a ＝－37，得a ＝3. 当x ＝0时，f (x )最大值为3. 11.解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a －1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－6x －9.x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值c ＋5↘极小值c －27↗而f (－2)＝c －2，f (6)＝c ＋54，∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可， 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18.∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围.12.解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝0f ′1＝－3即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝02a ＋3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).f′(x)↗由f(x)＝f(0)，解得x＝0，或x＝3.因此根据f(x)图象，当0<t≤2时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(t)＝t3－3t2＋2；当2<t≤3时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(2)＝－2；当t>3时，f(x)的最大值为f(t)＝t3－3t2＋2，最小值为f(2)＝－2.13.解(1)f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1，f(x)与f′(x)↘所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1)上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.。
高中数学第三章.3函数的最大小值与导数课后提升训练含解析新人教A版选修1
函数的最大(小)值与导数(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·济南高二检测)函数f(x)=x2e x+1,x∈[-2,1]的最大值为( )A.4e-1B.1C.e2D.3e2【解析】选C.f′(x)=xe x+1(x+2),令f′(x)=0得x=-2或x=0,当f′(x)>0时,x<-2或x>0;当f′(x)<0时,-2<x<0,当x=-2时f(-2)=;当x=0时,f(0)=0;当x=1时,f(1)=e2,所以函数的最大值为e2.2.函数y=x-sinx,x∈的最大值是( )A.π-1B.-1C.πD.π+1【解析】选C.在上,y′=1-cosx≥0,所以y=x-sinx为增函数,所以当x=π时,y max=π.3.已知函数f(x)=ax-lnx,当x∈(0,e](e为自然常数),函数f(x)的最小值为3,则a的值为( )A.eB.e2C.2eD.2e2【解析】选B.由f(x)=ax-lnx得f′(x)=a-,因为x∈(0,e],所以当a≤时,f(x)在x∈(0,e]是减函数,最小值为f(e)=ae-1≤0,不满足题意,当a>,f(x)在是减函数,是增函数,所以最小值为f=1+lna=3⇒a=e2.【补偿训练】(2017·大庆高二检测)若函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值为,则m等于( )A.0B.1C.2D.【解题指南】先求出函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值,再依据题设条件可得到关于m的方程,解方程即得出m的值.【解析】选C.y′=′=3x2+3x=3x(x+1).由y′=0,得x=0或x=-1.因为f(0)=m,f(-1)=m+.f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2,所以f(1)=m+最大.所以m+=.所以m=2.4.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于( )A. B. C. D.1【解析】选D.因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当x∈(0,2)时,f′(x)=-a,令f′(x)=0得x=,又a>,所以0<<2.当0<x<时,f′(x)>0,f(x)在上单调递增;当2>x>时,f′(x)<0,f(x)在上单调递减,所以f(x)max=f=ln-a·=-1,解得a=1.5.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意的x∈(0,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围为( )A.a>4B.a≥4C.a<4D.a≤4【解析】选B.因为x∈(0,1],所以f(x)≥0,可化为a≥-,设g(x)=-,则g′(x)=.令g′(x)=0,得x=.当0<x<时,g′(x)>0;当<x≤1时,g′(x)<0.所以g(x)在(0,1]上有极大值g=4,它也是最大值,故a≥4.6.设函数f(x)=x3--2x+5,若对任意x∈[-1,2],都有f(x)>m,则实数m的取值范围是( )A.m<B.m<7C.m<D.m<【解析】选D. f′(x)=3x2-x-2=0,解得x=1或-,f(-1)=,f=,f(1)=,f(2)=7.所以m<.7.(2017·武汉高二检测)函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是( )A.20B.18C.3D.0【解析】选A.因为f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f′(x)=0,得x=±1,所以-1,1为函数的极值点.又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间[-3,2]上f(x)max=1,f(x)min=-19.又由题设知在区间[-3,2]上f(x)max-f(x)min≤t,从而t≥20,所以t的最小值是20.8.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)<g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为( )A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)【解析】选A.令u(x)=f(x)-g(x),则u′(x)=f′(x)-g′(x)<0,所以u(x)在[a,b]上为减函数,所以u(x)的最大值为u(a)=f(a)-g(a).二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·北京高二检测)函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值为.【解析】f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)令f′(x)=0得x=0或x=2(舍),当-1<x<0时,f′(x)>0;当0<x<1时,f′(x)<0,所以当x=0时,函数取得极大值即最大值.所以f(x)的最大值为2.答案:210.(2017·包头高二检测)设函数f(x)=x3-3x+1,x∈[-2,2]的最大值为M,最小值为m,则M+m= .【解析】由f(x)=x3-3x+1,得f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-2,-1)∪(1,2)时,f′(x)>0,当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以函数f(x)的单调递增区间为(-2,-1),(1,2),单调递减区间为(-1,1),所以当x=-1时,f(x)有极大值3,当x=1时,f(x)有极小值-1.又f(-2)=-1,f(2)=3,则M+m=3-1=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2017·长沙高二检测)已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.【解析】f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).(1)当a>0时,列表如下:由表可知,当x=0时,f(x)取极大值,也就是函数在[-1,2]上的最大值,所以f(0)=3,即b=3.又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1),所以f(2)=-16a+3=-29,所以a=2.(2)当a<0时,同理可得,当x=0时,f(x)取极小值,也就是函数在[-1,2]上的最小值,所以f(0)=-29,即b=-29.又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),所以f(2)=-16a-29=3,所以a=-2.综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.【警示误区】分类讨论由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.12.设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f′(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值.(2)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)<对任意x>0恒成立.【解析】(1)由题设知f′(x)=,g(x)=lnx+,所以g′(x)=,令g′(x)=0得x=1.当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故g(x)的单调递减区间是(0,1);当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故g(x)的单调递增区间是(1,+∞).因此,x=1是g(x)在(0,+∞)上的惟一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g(1)=1.(2)由(1)知g(x)的最小值为1,所以,g(a)-g(x)<对任意x>0恒成立⇔g(a)-1<,即lna<1,从而得0<a<e.故实数a的取值范围为(0,e).【能力挑战题】(2017·黄山高二检测)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间.(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.【解题指南】(1)先求出函数f(x)的导函数f′(x),然后令f′(x)<0,解得的区间即为函数f(x)的单调递减区间.(2)先求出端点的函数值f(-2)与f(2),比较f(2)与f(-2)的大小,然后根据函数f(x)在[-1,2]上单调递增,在[-2,-1]上单调递减,得到f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,建立等式关系求出a,从而求出函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值.【解析】(1)f′(x)=-3x2+6x+9.令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)>f(-2).因为在(-1,3)上f′(x)>0,所以f(x)在[-1,2]上单调递增,又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.。
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选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数一、选择题1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0D ．以上都有可能[答案] A[解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数 ∴f ′(x )＝0，故应选A.2．设f (x )＝14x 4＋13x 3＋12x 2在[－1,1]上的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－1D.1312[答案] A[解析] y ′＝x 3＋x 2＋x ＝x (x 2＋x ＋1) 令y ′＝0，解得x ＝0.∴f (－1)＝512，f (0)＝0，f (1)＝1312∴f (x )在[－1,1]上最小值为0.故应选A.3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.2227B ．2C ．－1D ．－4[答案] C[解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝13或x ＝－1当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2； 当x ＝13时，y ＝2227；当x ＝1时，y ＝2.所以函数的最小值为－1，故应选C.4．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A ．最大值为13，最小值为34B ．最大值为1，最小值为4C ．最大值为13，最小值为1D ．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A[解析] ∵y ＝x 2－x ＋1，∴y ′＝2x －1，令y ′＝0，∴x ＝12，f (－3)＝13，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，f (0)＝1.5．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B ．1 C ．0D ．不存在[答案] A[解析] y ′＝12x －121－x ＝12·1－x －xx ·1－x由y ′＝0得x ＝12，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上y ′>0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上 y ′<0.∴x ＝12时y 极大＝2，又x ∈(0,1)，∴y max ＝ 2.6．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．既无最大值，也无最小值 [答案] D[解析] f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1) ∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.7．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A ．5，－15B ．5,4C ．－4，－15D ．5，－16[答案] A[解析] y ′＝6x 2－6x －12＝6(x －2)(x ＋1)， 令y ′＝0，得x ＝2或x ＝－1(舍)．∵f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4， ∴y max ＝5，y min ＝－15，故选A.8．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32B.12 C ．－12D.12或－32[答案] C[解析] y ′＝－2x －2，令y ′＝0得x ＝－1. 当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意． 当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减， 最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．9．若函数f (x )＝x 3－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3B ．－3<k <－1或1<k <3C ．－2<k <2D ．不存在这样的实数 [答案] B[解析] 因为y ′＝3x 2－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.10．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)[答案] B[解析] ∵f (x )＝x 3＋ax －2在[1，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立 又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)max ＝－3 ∴a ≥－3，故应选B.二、填空题11．函数y ＝x 32＋(1－x )32，0≤x ≤1的最小值为______．[答案]22由y ′>0得x >12，由y ′<0得x <12.此函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为增函数，∴最小值在x ＝12时取得，y min ＝22.12．函数f (x )＝5－36x ＋3x 2＋4x 3在区间[－2，＋∞)上的最大值________，最小值为________．[答案] 不存在；－2834[解析] f ′(x )＝－36＋6x ＋12x 2，令f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝32；当x >32时，函数为增函数，当－2≤x ≤32时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f (－2)＝57，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2834，所以最小值为－2834.13．若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为________． [答案]3－1[解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝－a (舍去) 当x >a 时，f ′(x )<0；当0<x <a 时，f ′(x )>0； 当x ＝a 时，f (x )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意． ∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1.14．f (x )＝x 3－12x ＋8在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝________. [答案] 32[解析] f ′(x )＝3x 2－12 由f ′(x )>0得x >2或x <－2， 由f ′(x )<0得－2<x <2.∴f (x )在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增． 又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，∴最大值M ＝24，最小值m ＝－8， ∴M －m ＝32. 三、解答题15．求下列函数的最值：(1)f (x )＝sin2x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x ≤π2；(2)f (x )＝x ＋1－x 2.[解析] (1)f ′(x )＝2cos2x －1. 令f ′(x )＝0，得cos2x ＝12.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴2x ∈[－π，π]， ∴2x ＝±π3，∴x ＝±π6.∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的两个极值分别为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32＋π6. 又f (x )在区间端点的取值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2. 比较以上函数值可得f (x )max ＝π2，f (x )min ＝－π2.(2)∵函数f (x )有意义，∴必须满足1－x 2≥0，即－1≤x ≤1， ∴函数f (x )的定义域为[－1,1]．f ′(x )＝1＋12(1－x 2)－12·(1－x 2)′＝1－x 1－x2. 令f ′(x )＝0，得x ＝22. ∴f (x )在[－1,1]上的极值为f ⎝⎛⎭⎪⎫22＝22＋1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝ 2.又f (x )在区间端点的函数值为f (1)＝1，f (－1)＝－1，比较以上函数值可得f (x )max ＝2，f (x )min ＝－1.16．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值和最小值．[解析] f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞. f ′(x )＝2x ＋22x ＋3＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.当－32<x <－1时，f ′(x )>0；当－1<x <－12时，f ′(x )<0；当x >－12时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最小值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ln2＋14.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 499<0， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14上的最大值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ln 72＋116.17．(2010·安徽理，17)设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间及极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x>x 2－2ax ＋1.[分析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．[解析] (1)解：由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x－2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝e ln 2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a )．(2)证明：设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知当a >ln2－1时，g ′(x )最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0. 即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1. 18．已知函数f (x )＝4x 2－72－x ，x ∈[0,1]．(1)求f (x )的单调区间和值域；(2)设a ≥1，函数g (x )＝x 3－3a 2x －2a ，x ∈[0,1]．若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，求a 的取值范围．[解析] (1)对函数f (x )求导，得f ′(x )＝－4x 2＋16x －7(2－x )2＝－(2x －1)(2x －7)(2－x )2令f ′(x )＝0解得x ＝12或x ＝72.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，当x ∈(0，2)时，f (x )是减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f (x )是增函数． 当x ∈[0,1]时，f (x )的值域为[－4，－3]． (2)g ′(x )＝3(x 2－a 2)．因为a ≥1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0.因此当x ∈(0,1)时，g (x )为减函数，从而当x ∈[0,1]时有g (x )∈[g (1)，g (0)]． 又g (1)＝1－2a －3a 2，g (0)＝－2a ，即x ∈[0,1]时有g (x )∈[1－2a －3a 2，－2a ]． 任给x 1∈[0,1]，f (x 1)∈[－4，－3]，存在x 0∈[0,1]使得g (x 0)＝f (x 1)成立，则[1－2a －3a 2，－2a ]⊇[－4，－3]．即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a －3a 2≤－4，①－2a ≥－3.②解①式得a ≥1或a ≤－53；解②式得a ≤32.又a ≥1，故a 的取值范围为1≤a ≤32.。