因式分解-公式法(1)

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《公式法》因式分解

《公式法》因式分解
汇报人： 2023-12-26
目录
• 公式法因式分解简介 • 公式法因式分解的基本步骤 • 公式法因式分解的常见类型 • 公式法因式分解的实例解析 • 公式法因式分解的注意事项
01
公式法因式分解简介
因式分解的定义
01
02
03
因式分解的定义
将一个多项式表示为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。
在化简过程中，需要注意消除项和合并同类项。
简化多项式可以使其更容易理解和计算。
03
公式法因式分解的常见类型
二次多项式的因式分解
01
02
03
04
总结词
利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解
公式法
$ax^2+2abx+b^2=(ax+b) ^2$
公式法
$ax^2-b^2=(ax+b)(ax-b)$
二次多项式的实例解析
总结词
二次多项式是多项式中最简单的一类，其因式分解方法相对固定，公式法是其中最常用的方法之一。
VS
详细描述
对于形如ax^2+bx+c的二次多项式，我们可以使用公式法进行因式分解。首先计算判别式b^2-4ac的值，然后根据判别式的值选择合适的公式进行因式分解。当判别式大于0时，二次多项式有两个实根，可以使用公式法分解为两个一次多项式的乘积；当判别式等于0时，二次多项式有一个重根，可以分解为一个一次多项式的平方；当判别式小于0时，二次多项式没有实根，无法使用公式法进行因式分解。
因式分解的步骤
提取公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法等。
因式分解的作用

231.因式分解公式法(一)学案(试题+参考答案)

公式法（一）【目标导航】能说出平方差公式的特征，并熟练地利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解．【复习导入】把下列各式分解因式：1．－4m3＋16m2－26m；2．(x－3)2＋(3x－9)；3．－m2n(x－y)n＋mn2(x－y)n＋1；4（2011福建福州）分解因式：225x-=. 5．y2－25【合作探究】1．由练习中4、5说出分解依据及多项式的特点：2．由乘法中的平方差公式反过来，得到因式分解中的平方差公式：【合作探究】练习：下列各多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？(1) x2＋y2；(2) x2－y2；(3)－x2＋y2；(4)－x2－y2；(5) 14a2b2－1；(6) x4－y4.例1 把下列多项式分解因式(1) 4x2－9；(2) (x＋p)2－(x＋q)2；(3) 16－125m2；(4)－(x＋2)2＋16(x－1)2．例2 把下列多项式分解因式(1) x4－y4；(2) （2011贵州安顺）因式分解：x3－9x= ．(3)－14xy3＋0.09xy；(4)a2－b2＋a－b；(5)(p－4)(p＋1)＋3p.练习：把下列多项式分解因式(1) a2－125b2；(2) 9a2－4b2；(3) （2011广西南宁）把多项式x3-4x分解因式所得的结果是（）(A) x (x2－4) (B) x（x+4）（x－4）(C) x（x+2）（x－2）(D)（x+2）（x－2）(4)－a4＋16；(5) m4(m－2)＋4(2－m)例3 在实数范围内分解因式(1) x2－2；(2) 5x2－3.例4(1) 计算：9972－9(2)设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．(3) 已知x、y为正整数，且4x2－9y2=31，你能求出x、y的值吗？【课堂操练】1．9a2－ =(3a＋b)(3a－b).2．分解因式:4x2－9y2= ；3x2－27y2= ；a2b－b3= ；2x4－2y4= .3．下列各式中，能用平方差公式分解的是（）A. x2＋y2B. x2＋y4C. x2－y4D. x2－2x4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，这个多项式是（）A. 4a2－b2B.4a2＋b2C. －4a2－b2D. －4a2＋b25．分解因式：(1)9a2－14b2；(2)2x3－8x；(3)(m＋a)2－(n－b)2.【课后巩固】1.把下列各式分解因式：(1) 9(m＋n)2－(m－n)2(2) p4－16(3) －(x＋2y)2＋(2x＋3y)2(4)22 ()() 44a b a b +--(5) 36a4x10－49b6y8(6) b2－(a－b＋c)2(7) (3x＋y－1)2－(3x－y＋1)2(8) 4(x＋y＋z)2－(x－y－z)2(9) (21135)2－(8635)2(10) 9×1.22－16×1.42(11) －12a2m＋1b m＋2＋20a m＋1b2m＋4(12) (x－2y)(2x＋3y)－2(2y－x)(5x－y)(13) －4a2＋(2x－3y)2(14) 2(x＋1)(x＋2)－x(x＋6)－8(15) （2011山东临沂）分解因式：9a－ab2＝．(16) (a－b)2－(b－a)4(17) (2x－1)3－8x＋4(18) 4x2－9y2－(2x＋3y)(19) －(x2－y2)(x＋y)－(y－x)3(20) （2011广西梧州）因式分解x2y－4y的正确结果是（）A．y（x＋2）（x－2）B．y（x＋4）（x－4）C．y（x2－4）D．y（x－2）2(21) a4－81b4(22) a3(a－b)2－a(a＋b)2(23) (x2－y2)＋(x－y)(24) (a－b)(3a＋b)2＋(a＋3b)2(b－a)(25) a n＋1－a n－1b4（26）（2011山东枣庄）若622=-nm，且2m n-=，则=+nm．2.求证：两个连续奇数的平方差是8的倍数．3.设n是任一正整数，代入代数式n3－n中计算时，四名同学算出如下四个结果，其中正确的结果只可能是（）A.388947B.388944C.388953D.3889494.已知：m2=n＋2，n2=m＋2(m≠n)求：m3－2mn＋n3的值．公式法（一）参考答案【复习导入】把下列各式分解因式：1．解：原式=－2m(m²－8m+13)2．解：原式=(x－3)2＋3(x－3)=（x－3）(x－6)3．解：原式=－mn(x－y)n(m－nx＋ny)4.答案:(x＋5)(x－5) .5．解：原式==(y+5)(y－5)【合作探究】1式子是两项，能写成两个式子的平方差的形式，即两项的符号一定是相反的。

公式法分解因式(一)教案

3.例题讲解
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16x2;
（2）9a2－ b2.
解：（1）25－16x2=52－（4x）2
=（5+4x）（5－4x）;
（2）9a2－ b2=（3a）2－（ b）2
=（3a+ b）（3a－ b）.
［师］那么这两道题中a2、b2分别对应着谁？
确定多项式中的a、b是利用平方差公式分解因式的关键。
课题：运用公式法（1）
*******
班级：三年四班
教学目标
（一）教学知识点
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.
（二）能力训练要求
1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.
［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解.
［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.从右向左可以看作是整式乘法中的平方差公式，从左向右可以看作是因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
［师］请大家观察式子a2－b2,找出它的特点.
［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，两项的符号相反，整体来看是两个整式的平方差.
确定多项式中的a、b是利用平方差公式分解因式的关键。
【设计意图】：帮助学生意识到平方差公式中的a、b既可以表示单项式也可以表示多项式。通过分解到每个因式不能再ห้องสมุดไป่ตู้解为止来培养学生数学思维的严谨性。
Ⅲ.课堂练习
（一）随堂练习
1.判断正误
解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;（×）
（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;（√）

人教版数学八年级上册《因式分解公式法》(一)课件

（3）0.16x2-0.09y2z2 （4）16(x-1)2-9(x+2)2
（5）–16x4＋81y4 （6）3x3y–12xy
(a+b)(a-b)=a2-b2 （整式乘法）
a2-b2 =(a+b)(a-b)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ因式分解）
想一想
（1）下列多项式中，他们有什么共同特征？
①x2-25 ②9x2-y2
□2 －△2
（2）尝试将它们分别写成两个因式的乘积,并与同伴交流.
①x2-25=(x+5)(x-5)
②9x2-y2=(3x+y)(3x-y)
□2－△2＝(□＋△)(□－△)
议一议
平方差公式有哪些特点？
a2−b2= (a+b)(a−b)
左边：有两项；每一项都是平方项；两项符号相反右边：两数的和与差的积
关键：确定公式中的a和b
火眼金睛
下列多项式可不可以用平方差公式因式分解？
①x2+y2
②-x2+y2
③-x2-y2
④x2-(-y)2
例题讲解
公式法因式分解（1）
回顾与思考
1、把下列各式分解因式：
（1）3a3b2-12ab3 关键：确定公因式 =3ab2(a2-4b)
（2）a(m-2)+b(2-m) =(m-2)(a-b)
一看系数二看字母三看指数
最大公约数相同字母最低次幂
回顾与思考
2、填空： ①25x2＝(__5_x__)2
名言警句
严谨性之于数学犹如道德之于人
自我检测
1、判断正误：
（1）x2+y2=（x+y）(x–y) （2）–x2+y2=–（x+y）(x–y) （3）x2–y2=（x+y）(x–y) （4）–x2–y2=–（x+y）(x–y)

(完整版)因式分解——公式法教案

因式分解——公式法（1）一．教课内容人教版八年级上册数学十四章因式分解——公式法第一课时二．教材剖析分解因式与数系中分解质因数近似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。

在后边的学习过程中应用宽泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。

所以分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。

同时，在因式分解中表现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。

所以，因式分解的学习是数学学习的重要内容。

依据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完好平方公式）。

所以公式法是分解因式的重要方法之一，是现阶段的学习要点。

三．教课目的知识与技术：理解和掌握平方差公式的构造特色，会运用平方差公式分解因式过程与方法： 1. 培育学生自主研究、合作沟通的能力2.培育学生察看、剖析和创新能力，深入学生逆向思想能力和数学应企图识，浸透整体思想感情、态度与价值观：让学生在合作学习的过程中体验成功的愉悦，进而加强学好数学的梦想和信心四．教课重难点要点：会运用平方差公式分解因式难点：正确理解和掌握公式的构造特色，并擅长运用平方差公式分解因式易错点：分解因式不完全五．教课方案（一）温故知新1.什么是因式分解？以下变形过程中，哪个是因式分解？为何？22（1）（ 2x - 1） = 4 x- 4x + 1;(2)3x2 + 9xy - 3x = 3x( x+ 3y + 1);(3)x2 - 4+ 2x = ( x + 2)( x - 2) + 2x.2.我们已经学过的因式分解的方法是什么？将以下多项式分解因式。

（1） a3b3 - 2a2 b - ab ;( 2) - 9 x2 y + 3xy2 - 6 xy.【设计企图】经过复习因式分解的定义和方法，为持续学习公式法作好铺垫。

3.依据乘法公式进行计算：（1）（ x + 1）(x -1)；（2）（ x + 2 y）(x - 2 y).4.依据上题结果分解因式：（1） x2 - 1；（2） x 2 - 4 y 2 .由以上 3、 4 两题，你发现了什么？【设计企图】经过整式乘法中的平方差公式引出公式法因式分解进而引出课题。

公式法因式分解(1)

例4 如图，求圆环形绿地的面积.
解： π352 - π152 = π(35 -15 ) = (35 +15)(35-15)π 20 π = 50 · = 1000 π (m2)
2 2
答：圆环形绿地的面积是 1000 π m2
——说说本节课你的收获
问题：
记住平方差公式了吗？它有什么特点？运用平方差公式要分几个步骤？在使用过程中我们该注意什么？
x2-25
第⑴、⑵两式从左到右是什么变形？第⑶、⑷两式从左到右是什么变形？
(a b)(a b) a b
2
2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
a b (a b)(a b)
2 2
两个数的平方差，等于这两个数的和与
这两个数的差的积。
下列各式中，能用平方差公式分解因式的有:
——运用公ห้องสมุดไป่ตู้法
授课人：程辛贤
课前提问
1、什么叫因式分解？我们已学过什么因式分解的方法？
2、因式分解与整式乘法有什么关系？
在横线上填上适当的式子，使等号成立：
1、(x+5) (x-5) = _____ 2-b2 a 2、(a+b) (a-b) = _____ 3、x2-25 = （ _____ x+5） (x-5) (a-b) 4、a2-b2 = (a+b)_____
练习：用平方差公式分解因式：
(1) -0.01+9a2 (2) -36y2+25x2
例 3 分解因式
x4 - y4
解：原式= (x2)2 - (y2)2 = ( x2+ y2) ( x2-y2) = ( x2+ y2) (x+y)(x-y) 练习 :（1）81x4

因式分解公式法1——平方差公式

19y
2
4x
2
21 25x
2
9 2 2 3 m 16 n 25
把 x y x y 因式分解．
2 2
因式分解：
1x y y x
2
2
216a b
2
9a b
2
把
x y
4
4
因式分解．
将下列多项式因式分解：
分解因式注意事项：
1、有公因式可提的要先提公因式，再用公式法。
2、分解之后要看每一项是否分解彻底。
3、答案要写成最简形式。
作业
课作：习题3.3A组第1题家作：基训P28 1至9题
分解因式
你会做了吗？
x 25
2
解：原式=
x 5 x 5x 5
2 2
3.3 因式分解—— 公式法1 平方差公式
一、回顾旧知
2-b2 a 1、（a+b)(a-b)=_________. 平方差公式。这个公式叫____________
整式乘法从左边到右边的这个过程叫___________ 。（a+b)(a-b) 2、反过来，a2-b2=__________. 因式分解从左边到右边的这个过程叫___________ 。 3、因此，a2-b2= （a+b)(a-b)是因式分解中的一个公式。
1x
4
16
29x4 36y 2
把 x y x
3 2
5
因式分解．
将下列多项式因式分解：
13x
3
12x
2a
3
ab
2
交流与探讨：归纳:因式分解的一般步骤： 1）提公因式 2）运用公式注意：分解必须彻底。

因式分解公式法(一)教案

平方差公式因式分解乌市第53中学马琴[教学目标]1.知识与技能：掌握并熟练使用平方差公式进行因式分解的方法，还能整合提公因式法一起进行因式分解;2.过程与方法：通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；3.情感态度价值观：遇到不同于本节课形式的题目，学会自己探索，锻炼学生的观察能力和归纳总结的能力.[教学重点]掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能结合提公因式法和平方差公式分解因式.[教学难点]使学生能把多项式转换成符合平方差公式的形式进行因式分解. [教学过程]一、复习旧知引入新知1.因式分解的定义是什么？2.小练笔：分解因式ax-ay,4a(x-7)-3(x-7).（小结：这是上节课学习的利用提公因式法来分解因式）3.计算：（x+2）（x+2）=________,依据是___________,平方差公式用字母表示为______________.那么假如把这两个式子倒过来它就变成为因式分解.这种因式分解的的依据是___________.这就是我们这节课要学习的利用平方差公式分解因式.二、新课讲解1.公式形式：（两个数的平方差：等于这两个数的和与这两个数的差的积.）2.公式使用须知：（1）两项都是平方的形式；（2）两项之间是差的形式.3.动动笔，热热身：（1）（2）4.例1：（小结：首先是满足平方的形式，若不是则还原到平方的形式）5.例2：（小结：此时将（x-1）看做是一个整体作为a,它是一个式子） 6.练习一：分解因式（1）（2）（3） (小结：使题目先符合平方的差的形式，找到a,b 然后使用公式)7.例3：（小结：多项式中的每一项若含有公因式，则先提公因式.）8.练习二：分解因式（1）（2）（小结：先提公因式，在使用公式法因式分解）三、能力提升 ()()b a b a b a -+=-22162-x 252-y 942-x ()912--x 22251b a -2249ba -()()22q x p x +-+ab ba -3822-a ()()x b x -+-1121.探究:（小结：分解因式的最终目标是不能分解为止.）2.练习三：（1）（2）（小结：分解因式时若有公因式先提公因式，然后再使用公式法，最后分解到不能分解为止.）四、总结本节课都学习了什么内容？通过本节课的学习你对于因式分解有怎么样的感想？[课后作业]1、书上第119页复习巩固第2题；2、课时练本节习题.[教学反思]1、本节课的程序设置较好，但是就是在讲解的时候小结的太少，导致环环相扣的时候出现很多问题，所以以后的讲课中应当多注意及时的小结与提升；2、本节课的教学模式过于单一，整个课堂仅仅就是师问生答的模式，虽然作为一名新教师，但是我的方法太过于陈旧，没有创新.所以在以后的课程当中，应当有较多的教学模式相互结合，并且多多创新，创造出属于新时代学生的新方法.3、 44y x -164+-x 3224-x。

因式分解的七种常见方法

因式分解的七种常见方法因式分解是代数学中非常重要的一个基本概念，可以帮我们优化计算过程，得到简化的式子。

在因式分解的过程中，需要运用不同的方法来将一个给定的式子分解为若干个简单的乘积，本文将会介绍七种常见的因式分解方法。

1. 公式法公式法是一种较为常见的因式分解方法，它可以应用于一些特定的式子。

公式法常用的公式有两个：（1）$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$该公式被称为"a二次减b二次"公式。

它告诉我们，一个平方数减另一个平方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差。

例如：$16-9=7\times5=(4+3)\times(4-3)$（2）$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$该公式被称为"a立方加b立方"公式。

它告诉我们一个立方数加另一个立方数的结果可以表示为两个因子的乘积，并分别是它们的和与差减去它们的积。

例如：$8^3+1^3=513=(8+1)\times(8^2-8+1)$2. 提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法。

它的主要思想是将式子中的公因式先提出来，再对剩下的部分进行因式分解。

例如：$ax^2+bx=a(x^2+\frac{b}{a}x)$在上述式子中，$a$是公因式，$(x^2+\frac{b}{a}x)$是剩余部分的因式分解。

这样我们就把原始式子分解成了两个因子的乘积。

3. 十字相乘法十字相乘法主要用于二次三项式的因式分解。

该方法基于以下思想：将二次三项式分解为两个一次三项式的乘积，其中每个一次三项式的首项系数积等于原始式子的二次项系数，常数项积等于原始式子的常数项。

例如：$ax^2+bx+c$，首先将它分解为两个一次三项式$(px+q)(rx+s)$，然后进行十字相乘运算$(px+q)(rx+s)=px\times rx+px\times s+qrx+qs$，其中最后两项括号里的$c$是常数项。

3.3因式分解--公式法

1．下列运用平方差公式分解因式中，正确的是( A．x2＋y2＝(x＋y)(x－y) B．x2－y2＝(x＋y)(x－y) C．－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
B )
D．－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)
2．下列代数式中，是完全平方式的有( A ) ①a2－4a＋4； ④6x2＋3x＋1； A．①③ ②9a2＋16b2－20ab； ⑤x2＋4xy＋2y2. C．③④ D．①⑤ ③4y2－4y＋1；
(2)36m2a－9m2a2－36m2＝－9m2(a2－4a＋4)＝－9m2(a－2)2.
【规律总结】因式分解一般按下列步骤进行：
(1)一提．若有公因式，应先提取公因式． (2)二套．即套用公式，如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解．若为二项式，考虑用平方差公式；若为
三项式，考虑用完全平方公式．
B．②④
3．把代数式 ax2－4ax＋4a 分解因式，下列结果中正确的是 ( A ) A．a(x－2)2 C．a(x－4)2 B．a(x＋2)2 D．a(x＋2)(x－2)
4 ．把多项式 2mx2 － 4mxy ＋ 2my2分解因式的结果是 2m(x－y)2 ． ____________
因式分解的一般步骤
例 3：分解因式： (1)x3－4x；
(2)36m2a－9m2a2－36m2. 思路导引：(1)中有公因式 x，先提公因式，剩下 x2－4 可用
平方差公式分解．(2)中有公因式－9m2，提出后剩下 a2－4a＋4，可用完全平方公式进行分解．
解：(1)x3－4x＝x(x2－4)＝x(x＋2)(x－2)．
1. 计算：（1）
(x-1) 2
(2) (2y+3)2

七年级数学下册第3章因式分解公式法(第1课时)课件(新版)湘教版

【学霸提醒】提公因式法与平方差公式综合应用的一般步骤
“一提”“二套”“三查”. 一提:将一个多项式分解因式时,第一要视察被分解的多项式是否有公因式,若有,就要先提公因式;
二套:再视察另一个因式特点,进而发现其能否用公式法继续分解; 三查:因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
【题组训练】
2.下列各式应用平方差公式进行因式分解: ①32-y2=9-y2;②a2-9b2=(a+9b)(a-9b); ③4x4-1=(2x2+1)(2x2-1);
④m2n2- 1 = (mn 1 )(mn 1 ) ;⑤-a2-b2=(-a+b)(-a-b).
9
3
3
其中正确的有 ( B )
A.1个
B.2个
【学霸提醒】能应用平方差公式因式分解的多项式特点等号左边: ①是二项式; ②每一项都可以表示成平方的情势;
③两项的符号相反. 等号右边是等号左边两底数的和与两底数的差的积.
【题组训练】 1.下列多项式不能用平方差公式因式分解的是( A ) A.-m2-n2 B.-16x2+y2 C.b2-a2 D.4a2-49n2
C.(-x)2+y2
D.x2+(-y)2
(B)
2.多项式n2-4m2因式分解的结果为 ___(_n_+_2_m_)_(_n_-_2_m_)___. 3.因式分解:(a-2b)2-b2.
解:(a-2b)2-b2 =(a-2b+b)(a-2b-b) =(a-b)(a-3b).
知识点一用平方差公式进行因式分解(P63-64例1,2,
3拓展)
【典例1】因式分解:
16- m21.
25
81y4-16x4.

因式分解公式法

因式分解公式法因式分解是数学中一项重要的基础概念和运算技巧之一，广泛运用于各个领域的数学问题解决中。

因式分解公式法（一）是指根据不同的因式形式来进行分解，通过寻找公式来简化和改写一元多项式的表示形式。

本文将详细介绍因式分解公式法（一）的原理和应用方法。

一、原理根据因式分解公式法（一），我们将一元多项式表示为两个因子的乘积形式，其中一个因子通常是一个特殊的多项式形式或者常数。

通过这种形式，我们可以更容易地对多项式进行化简、提取公因子、寻找根以及解决相关的问题。

二、应用方法1.完全平方公式完全平方公式是因式分解公式法（一）中一种常见的应用方法。

当多项式具有形如x^2 + 2ax + a^2或者x^2 - 2ax + a^2的形式时，我们可以将其分解为(x + a)^2或者(x - a)^2例如，对于多项式x^2+6x+9，我们可以将其根据完全平方公式分解为(x+3)^2、同样地，对于多项式x^2-8x+16，我们可以分解为(x-4)^22.平方差公式平方差公式是因式分解公式法（一）中另一种常见的应用方法。

当多项式具有形如x^2-a^2的形式时，我们可以将其分解为(x+a)(x-a)。

例如，对于多项式x^2-16，我们可以根据平方差公式得到(x+4)(x-4)。

3.a^3±b^3的因式分解当多项式具有形如a^3±b^3的形式时，我们可以利用立方和差公式进行因式分解。

立方和差公式的表达式如下：a^3 ± b^3 = (a ± b)(a^2 ∓ ab + b^2)例如，对于多项式x^3+8，我们可以利用立方和差公式分解为(x+2)(x^2-2x+4)。

同样地，对于多项式x^3-27，我们可以分解为(x-3)(x^2+3x+9)。

4.完全立方公式完全立方公式是因式分解公式法（一）中又一种常见的应用方法。

当多项式具有形如a^3 ± 3a^2b + 3ab^2 ± b^3的形式时，我们可以将其分解为(a ± b)^3例如，对于多项式x^3+3x^2+3x+1，我们可以根据完全立方公式分解为(x+1)^35.其他应用除了上述常见的应用方法，因式分解公式法（一）还可以应用于其他情况。

因式分解——公式法

（81）
分解因式： a 2 − 4a + 4 − b 2
（82）
分解因式： x 2 − y 2 − z 2 − 2 yz
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（83）分解因式： (2 x + 3)2 − 9( x − 1)2
（84）
（58）分解因式： y 4 − 81
（59）
分解因式： 9(m − n)2 − 4(m + n)2
（60）
分解因式： −2 x 2 +
1 2 y 2
（61）
分解因式： (3x − 2 y ) 2 − 16 y 2
（62）
分解因式： (a + x)4 − (a − x) 4
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（68）分解因式： ( x 2 + x)2 − 4( x 2 + x) + 4
（69）
分解因式： 4( x + y )2 + 5 − 20( x + y − 1)
（70）
分解因式： (m + n) 2 − 4(m 2 − n 2 ) + 4(m − n) 2
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（18）
计算： ( 2 + 1) ( 22 + 1)( 24 + 1) ( 232 + 1) + 1

沪科初中数学七下《《因式分解》公式法教案_1

8.4《因式分解》公式法教学目标（一）教学知识点用完全平方公式分解因式（二）能力训练要求1．理解完全平方公式的特点．2．能较熟悉地运用完全平方公式分解因式．3．会用提公因式、完全平方公式分解因式，•并能说出提公因式在这类因式分解中的作用．4．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．（三）情感与价值观要求通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．教学重点用完全平方公式分解因式．教学难点灵活应用公式分解因式．教学方法探究与讲练相结合的方法．教具准备投影片．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，•分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？问题2：把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2（2）a2-2ab+b2[生]将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．[师]能不能用语言叙述呢？[生]能．两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，•等于这两个数的和（或差）的平方．问题2其实就是完全平方公式的符号表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2（a-b）2．[师]今天我们就来研究用完全平方公式分解因式．Ⅱ．导入新课出示投影片下列各式是不是完全平方式？（1）a2-4a+4（2）x2+4x+4y2（3）4a2+2ab+14b2（4）a2-ab+b2（6）a2+a+0.25（放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）．结果：（1）a2-4a+4=a2-2×2·a+22=（a-2）2（3）4a2+2ab+14b2=（2a）2+2×2a·12b+（12b）2=（2a+12b）2（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2（2）、（4）、（5）都不是．方法总结：分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特征，就可以化成右边的两数和（或差）的平方．从而达到因式分解的目的．例题解析出示投影片[例1]分解因式：（1）16x2+24x+9 （2）-x2+4xy-4y2[例2]分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2（2）（a+b）2-12（a+b）+36学生有前一节学习公式法的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．[例1]（1）分析：在（1）中，16x2=（4x）2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+14x+9是一个完全平方式，即解：（1）16x2+24x+9=（4x）2+2·4x·3+32=（4x+3）2．（2）分析：在（2）中两个平方项前有负号，所以应考虑添括号法则将负号提出，然后再考虑完全平方公式，因为4y2=（2y）2，4xy=2·x·2y．所以：解：-x2+4xy-4y2=-（x2-4xy+4y2）=-[x2-2·x·2y+（2y）]2=-（x-2y）2．练一练：出示投影片把下列多项式分解因式：（1）6a-a2-9；（2）-8ab-16a2-b2；（4）4x2+20（x-x2）+25（1-x）2Ⅲ．随堂练习课本P76练习1、2．Ⅳ．课时小结学习因式分解内容后，你有什么收获，能将前后知识联系，做个总结吗？（引导学生回顾本大节内容，梳理知识，培养学生的总结归纳能力，最后出示投影片，给出分解因式的知识框架图，使学生对这部分知识有一个清晰的了解）Ⅴ．课后作业课本P78习题4(1)(2)5(3)(4)题．。

《因式分解公式法教案 (公开课获奖)2022华师大版1 (新版)华东师大版

因式分解公式法128 (2+有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。

2、通过实例，探究出有理数除法法则。

会把有理数除法转化为有理数乘法，培养学生的化归思想。

重点：有理数除法法则的运用及倒数的概念难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商，0不能作除数以及0没有倒数的理解。

教学过程：一、创设情景，导入新课1、有理数乘法法则两数相乘，同号得正,异号得负，并把绝对值相乘.几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

有一个因数是0，积就为0.2、有理数乘法运算律：a×b = b×a (a×b)×c = a×(b×c). a×(b+c)=a×b + a×c3、计算（分组练习，然后交流）（见ppt）二、合作交流，解读探究1、（1）6个同样大小的苹果平均分给3个小孩，每个小孩分到几个苹果？（2）怎样计算下列各式？（－6）÷3 6÷（－3）（－6）÷（－3）学生：独立思考后，再将结果与同桌交流。

教师：引导学生回顾小学知识，根据除法是乘法的逆运算完成上例，要求6÷3即要求3×？＝6，由3×2＝6可知6÷3＝2。

同理（－6）÷3＝－2，6÷（－3）＝－2，（－6）÷（－3）＝2。

根据以上运算，你能发现什么规律？对于两个有理数a,b，其中b≠0，如果有一个有理数c 使得c×b=a，那么我们规定a÷b=c，称c叫做a除以b的商。

2、从有理数的除法是通过乘法来规定，引导学生对比乘法法则，自己总结有理数除法法则，经讨论后，板书有理数除法法则。

同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且把它们的绝对值相除。

因式分解公式法(一)

因式分解——公式法（一）一、教学目标：（一）知识与技能：1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；2.会用平方差公式进行因式分解；3.使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式．（二）过程与方法：1.发展学生的观察能力和逆向思维能力；2.培养学生对平方差公式的运用能力。

（三）情感与态度：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识。

二、教学重点和难点：1.教学重点：利用平方差公式分解因式．2.教学难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，•对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来．三、教学方法：采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维．四、教学用具：多媒体五、教学过程：一知识回顾：1什么叫多项式的分解因式？2分解因式和整式乘法有何关系?3我们学了什么方法进行因式分解？练习1：根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？1．(2x-1)2=4x2-4x+12. 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1)3．4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y)练习2把下列各式进行因式分解（1）.a3b3-a2b-ab（2）.-9x2y+3xy2-6xy二观察探讨，体验新知在横线内填上适当的式子，使等式成立：（1）（x+5)(x-5)= -(2)(a+b)(a-b)=（）（3）x2-25 =（4）a2-b2=知识探索平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）．评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．公式的结构特征：什么形式的多项式能用平方差公式进行分解下列多项式能转化成（）２－（）２的形式吗？如果能，请将其转化成（）２－（）２的形式。

(1)m2－1(2)4m2－9(3)4m2+9(4)x2－25y2(5)－x2－25y2(6)－x2+25y2抢答题（1）a2－82（2）16x2－y2(3)2+4x2(4)4k2－25m2n2三范例学习，应用所学例1：把下列各式分解因式：(1)4x2-9(2) 9(a+b)2-4(a-b)2在使用平方差公式分解因式时，要注意：先把要计算的式子与平方差公式对照,明确哪个相当于a,哪个相当于b.牛刀小试：把下列各式分解因式：（1）a22（2）(2a+b)2- (a+2b)2方法：先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式分解因式。

因式分解-公式法第一课时

练习
(3) x4-y4 (4) (2x+y)²-(x+2y)²
分析:x4－y4写成(x2)2 － (y2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了.
用你学过的方法分解因式：
a3b-ab
方法：先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式分解因式。
结论:多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
§14.3.2 公式法
根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ 1．(2x-1)2=4x2-4x+1 否
2. 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 3．4x2-1=(2x+1)(2x-1)
4. x2-4+2x=(x+2)(x-2)+2x
是是否
(小测题目）把下列各式进行因式分解 1. a3b3-a2b-ab ab(a2b2-a-1) 2. -9x2y+3xy2-6xy -3xy(3x-y+2)
1、下列多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？（1）x2+y2; (2)x2-y2 ; (3)-x2+y2 ; (4)-x2-y2 2、分解因式： 1 2 (1)a2- 25 b ; (2)9a2-4b2; (3)x2y-4y; (4)-a4+16
解决问题
把下列各式分解因式：
(1) (2) (3)
16a2-9b2 9(a+b)2-4(a-b)2 9xy2-36x3y²
在使用平方差公式分解因式时，要注意：先把要计算的式子与平方差公式对照, 明确哪个相当于 a , 哪个相当于 b.
牛刀小试
利用因式分解计算：
（1）2.882-1.882；