南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题12：圆锥曲线

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2018届高三数学二轮复习课件：第三讲圆锥曲线的综合应用

��2 的方程为 8
��2 + =1. 4
考点1
考点2
考点3
考点4
(2)设直线 l:y=kx+b(k≠0, b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 故 xM=
��1+��2 2 1 2 ��2 y=kx+b 代入 8
+
��2 =1, 4
=
-2��
2
2�� +1
,yM=k· xM+b=
��
��
2
于是直线 OM 的斜率 kOM= 即 kOM· k=- .
=- ,
1 2��
2�� +1
.
所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.
�� 2
1 4
1 2
设 A(x0,y0),则直线 MA 的方程为 y-y0=MA 上, 所以-2-y0=- × 联立
1 2 1 2 1 (-x0). ��0
1 (x-x0),因为点 2 ��0
M(0,-2)在直线
��0 = -2- ×
2 ��0
��0 ,
追求卓越，崇尚一流。主编：齐继鹏
1.理解数形结合的思想.
2.了解圆锥曲线的简单应用.
1.解答圆锥曲线的综合问题时应根据曲线的几何特征,熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系(如方程、函数等),再结合代数、三角知识解答,要重视函数与方程思想、等价转化思想的应用. 对于求曲线方程中参数的取值范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质(曲线的范围、对称性、位置关系等)构造参数满足的不等式,通过不等式(组)求得参数的取值范围,或建立关于参数的目标函数,转化为对函数值域的求解.

2018届高考数学(全国通用)二轮复习压轴大题精品讲义第2讲圆锥曲线的热点问题

第2讲圆锥曲线的热点问题[明考情]圆锥曲线的热点问题作为直线与圆锥曲线的位置关系的延伸与深化，是高考的必考点，高考中常选取其中一个热点问题作为圆锥曲线的压轴题目. [知考向]1.范围与最值问题.2.定值、定点问题.3.探索性问题.考点一范围与最值问题方法技巧圆锥曲线的最值和范围问题解题常见思路 (1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立相关关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围. (5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围.1.已知点A (1，0)，点M 是圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的任意一点，线段MA 的垂直平分线与直线CM 交于点E . (1)求点E 的轨迹方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围.解 (1)由题意知|EM |＝|EA |，|CE |＋|EM |＝22，所以|CE |＋|EA |＝22＞2＝|CA |，所以点E 的轨迹是以点C ，A 为焦点的椭圆，其轨迹方程为x 22＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则将直线与椭圆的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝2，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， Δ＞0，m 2＜2k 2＋1.①x 1＋x 2＝－4km2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1.因为点O 在以PQ 为直径的圆的内部，故OP →·OQ →＜0，即x 1x 2＋y 1y 2＜0，而y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－2k 22k 2＋1，故由x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1＜0，得m 2＜2k 2＋23，且满足①式，所以m 2＜23，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－63，63. 2.如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称.(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点). 解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b mx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0.①则x 1x 2＝b 2－112＋1m 2＝2m 2(b 2－1)m 2＋2， x 1＋x 2＝2b m 12＋1m 2＝4mbm 2＋2，y 1＋y 2＝－1m (x 1＋x 2)＋2b ＝－1m ×4mb m 2＋2＋2b ＝2bm 2m 2＋2.设M 为AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2，代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，②由①②，得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且点O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立.故△AOB 面积的最大值为22. 3.已知抛物线y 2＝4x ，直线l ：y ＝－12x ＋b 与抛物线交于A ，B 两点.(1)若x 轴与以AB 为直径的圆相切，求该圆的方程；(2)若直线l 与y 轴负半轴相交，求△AOB (O 为坐标原点)面积的最大值. 解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x ，化简得y 2＋8y －8b ＝0.由Δ＝64＋32b ＞0，解得b ＞－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8b . 设圆心Q (x 0，y 0)，则有x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－4， r ＝|y 0|＝4，|AB |＝1＋(－2)2|y 1－y 2|＝5(64＋32b )＝2r ＝8，解得b ＝－85.所以x 0＝2b ＋8＝245，圆心Q ⎝⎛⎭⎫245，－4，故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －2452＋(y ＋4)2＝16. (2)因为直线与y 轴负半轴相交，所以b ＜0. 又直线与抛物线交于两点，由(1)知b ＞－2，所以－2＜b ＜0，直线l 的方程为y ＝－12x ＋b ，整理得x ＋2y －2b ＝0，点O 到直线l 的距离d ＝|－2b |5＝－2b5，所以S △AOB ＝12|AB |d ＝－42b ·2＋b ＝42·b 3＋2b 2.令g (b )＝b 3＋2b 2，－2＜b ＜0，g ′(b )＝3b 2＋4b ＝3b ⎝⎛⎭⎫b ＋43，当b 变化时，g ′(b )，g (b )的变化情况如下表：由上表可得g (b )的最大值为g ⎝⎛⎭⎫－43＝3227. 所以当b ＝－43时，△AOB 的面积取得最大值3239.4.(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，焦距为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝k 1x －32交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为k 2，且k 1k 2＝24.M 是线段OC 延长线上一点，且|MC |∶|AB |＝2∶3，⊙M 的半径为|MC |，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S ，T .求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.解 (1)由题意知e ＝c a ＝22，2c ＝2，所以c ＝1，a ＝2，则b ＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k 1x －32，得(4k 21＋2)x 2－43k 1x －1＝0，由题意知Δ＞0，且x 1＋x 2＝23k 12k 21＋1，x 1x 2＝－12(2k 21＋1)，所以|AB |＝1＋k 21|x 1－x 2|＝21＋k 211＋8k 211＋2k 21.由题意可知圆M 的半径r 为r ＝23|AB |＝2231＋k 211＋8k 211＋2k 21.由题设知k 1k 2＝24，所以k 2＝24k 1，因此直线OC 的方程为y ＝24k 1x ，联立方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24k 1x ，得x 2＝8k 211＋4k 21，y 2＝11＋4k 21，因此|OC |＝x 2＋y 2＝1＋8k 211＋4k 21.由题意可知，sin ∠SOT 2＝r r ＋|OC |＝11＋|OC |r.而|OC |r＝1＋8k 211＋4k 212231＋k 211＋8k 211＋2k 21＝3241＋2k 211＋4k 211＋k 21，令t ＝1＋2k 21，则t ＞1，1t ∈(0，1)，因此|OC |r ＝32·t2t 2＋t －1＝32·12＋1t －1t 2＝32·1－⎝⎛⎭⎫1t －122＋94≥1，当且仅当1t ＝12，即t ＝2时等号成立，此时k 1＝±22，所以sin∠SOT 2≤12，因此∠SOT 2≤π6，所以∠SOT 的最大值为π3.综上所述，∠SOT 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为k 1＝±22.考点二定值、定点问题方法技巧 (1)定点问题的常见解法①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点； ②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意. (2)定值问题的常见解法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.5.(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. (1)解不能出现AC ⊥BC 的情况.理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又点C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.6.已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，其图象关于y 轴对称且经过点M (2，1). (1)求抛物线C 的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点M 作抛物线C 的两条弦MA ，MB ，设MA ，MB 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，当k 1＋k 2＝－2时，试证明直线AB 的斜率为定值，并求出该定值. 解 (1)设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，由点M (2，1)在抛物线C 上，得4＝2p ，则p ＝2，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设该等边三角形OPQ 的顶点P ，Q 在抛物线上，且P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，则x 2P ＝4y P ，x 2Q ＝4y Q ，由|OP |＝|OQ |，得x 2P ＋y 2P ＝x 2Q ＋y 2Q ，即(y P －y Q )(y P ＋y Q ＋4)＝0.又y P >0，y Q >0，则y P ＝y Q ，|x P |＝|x Q |，即线段PQ 关于y 轴对称. ∴∠POy ＝30°，y P ＝3|x P |，代入x 2P ＝4y P ，得x P ＝±43， ∴该等边三角形边长为83，S △POQ ＝48 3. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝14x 21－1x 1－2＋14x 22－1x 2－2＝14(x 1＋2＋x 2＋2)＝－2.∴x 1＋x 2＝－12，∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝14x 22－14x 21x 2－x 1＝14(x 1＋x 2)＝－3.7.(2017·全国Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.(1)解由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点. 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b2知，椭圆C 不经过点P 1，所以点P 2在椭圆C 上.因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，4－t 22，⎝⎛⎭⎪⎫t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设. 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1). 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0，即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0，解得k ＝－m ＋12.当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1).8.已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E 的离心率为12，椭圆E 的一个焦点和抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，过直线l ：x ＝4上一点M 引椭圆E 的两条切线，切点分别是A ，B . (1)求椭圆E 的方程；(2)若在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点(x 0，y 0)处的切线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，求证：直线AB 恒过定点C ，并求出定点C 的坐标.(1)解设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为抛物线y 2＝－4x 的焦点是(－1，0)，所以c ＝1. 又c a ＝12，所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝3，所以所求椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明设切点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 上一点M 的坐标为(4，t )，则切线方程分别为x 1x 4＋y 1y 3＝1，x 2x 4＋y 2y3＝1.又两切线均过点M ，即x 1＋t 3y 1＝1，x 2＋t3y 2＝1，即点A ，B 的坐标都适合方程x ＋t3y ＝1.又两点确定唯一的一条直线，故直线AB 的方程是x ＋t3y ＝1，显然对任意实数t ，点(1，0)都适合这个方程，故直线AB 恒过定点C (1，0). 考点三探索性问题方法技巧探索性问题的求解方法(1)处理这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出与已知、定理或公理相符的结论，则存在性得到肯定；若导致矛盾，则否定存在性.若证明某结论不存在，也可以采用反证法.(2)采用特殊化思想求解，即根据题目中的一些特殊关系，归纳出一般结论，然后进行证明，得出结论.9.(2017·湖南东部五校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为F (c ，0)且a ＞b ＞c ＞0，设短轴的一个端点D ，原点O 到直线DF 的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4. (1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2，1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP →2＝4P A →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆的对称性知，|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4， ∴a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32， ∴bc a ＝32，∴bc ＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a ＞b ＞c ＞0， ∴b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件.故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0， ∴x 1＋x 2＝8k (2k －1)3＋4k2， x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，Δ＝32(6k ＋3)＞0，∴k ＞－12.∵OP 2＝4P A →·PB →，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]＝5， ∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5，即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，∴4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k (2k －1)3＋4k 2＋4(1＋k 2) ＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去，∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .10.(2016·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ).代入y 2＝2px ，得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点.11.在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. 解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，理由如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a .当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.12.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ≥1)的离心率e ＝22，其右焦点到直线2ax ＋by －2＝0的距离为23. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的中点不在圆x 2＋y 2＝1内，求实数m 的取值范围.(3)过点P ⎝⎛⎭⎫0，－13的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在定点Q ，使以AB 为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意知e ＝c a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2，可得a ＝2b ，c ＝b .因为右焦点(c ，0)到直线2ax ＋by －2＝0的距离为23，所以|2ac －2|4a 2＋b 2＝23，又c ＝b ，a ＝2b ，a ＞b ≥1，解得b ＝1，所以a 2＝2，c ＝1. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 22＋y 2＝1，消去y 可得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，则Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＞0⇒－3＜m ＜ 3.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝－4m 3＋2m ＝2m3，所以线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－2m 3，m3. 因为MN 的中点不在圆x 2＋y 2＝1内，所以⎝⎛⎭⎫－2m 32＋⎝⎛⎭⎫m 32≥1⇒m ≥355或m ≤－355. 综上可知，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－3，－355∪⎣⎡⎭⎫355，3.(3)假设存在定点Q ，使以AB 为直径的圆恒过该定点. 当AB ⊥x 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1；当AB ⊥y 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝169. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋132＝169，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，那么这个定点Q 的坐标为(0，1).当直线l 的斜率存在且不为零时，设直线l 的方程为y ＝kx －13(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，可得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0.设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝4k3(2k 2＋1)，x 3x 4＝－169(2k 2＋1)，则QA →＝(x 3，y 3－1)，QB →＝(x 4，y 4－1)，从而QA →·QB →＝x 3x 4＋(y 3－1)(y 4－1)＝x 3x 4＋⎝⎛⎭⎫kx 3－43⎝⎛⎭⎫kx 4－43 ＝(1＋k 2)x 3x 4－43k (x 3＋x 4)＋169＝(1＋k 2)·－169(2k 2＋1)－43k ·4k 3(2k 2＋1)＋169＝0，故QA →⊥QB →，即点Q (0，1)在以AB 为直径的圆上.综上，存在定点Q (0，1)，使以AB 为直径的圆恒过这个定点.例 (12分)已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝⎛⎭⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由. 审题路线图(1)联立直线方程与椭圆方程―→一元二次方程―→中点坐标―→求出斜率乘积 (2)先假定四边形OAPB 能为平行四边形―→找几何关系：平行四边形的对角线互相平分 ―→转化成代数关系：x P ＝2x M ―→求k 规范解答·评分标准(1)证明设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ).……………………………………………………………………2分将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.……………………………………………4分于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.………………………………………6分 (2)解四边形OAPB 能为平行四边形.…………………………………………………7分因为直线l 过点⎝⎛⎭⎫m3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x .设点P 的横坐标为x P ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9 .………………………………9分将点⎝⎛⎭⎫m3，m 的坐标代入l 的方程，得b ＝m (3－k )3，因此x M ＝k (k －3)m3(k 2＋9).………………………………………………………………………10分四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km3k 2＋9＝2×k (k －3)m3(k 2＋9)，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7. 因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1，2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形.………………12分构建答题模板[第一步] 先假定：假设结论成立.[第二步] 再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解.[第三步] 下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设. [第四步] 再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.1.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，D ，E分别是椭圆的上顶点与右顶点，且2DEF S △＝1－32. (1)求椭圆C 1的方程；(2)在椭圆C 1落在第一象限的图象上任取一点作C 1的切线l ，求l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小值.解 (1)由题意知e ＝c a ＝32，故c ＝32a ，b ＝12a .∵2DEF S △＝12(a －c )×b ＝12⎝⎛⎭⎫a －32a ×a 2＝14⎝⎛⎭⎫1－32a 2＝1－32.故a 2＝4，即a ＝2，b ＝12a ＝1，c ＝3，∴椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵l 与椭圆C 1相切于第一象限内的一点， ∴直线l 的斜率必存在且为负. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ＜0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 整理可得⎝⎛⎭⎫k 2＋14x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0.①根据题意可得方程①有两相等实根，∴Δ＝(2km )2－4⎝⎛⎭⎫k 2＋14(m 2－1)＝0，整理可得m 2＝4k 2＋1.②∵直线l 与两坐标轴的交点分别为⎝⎛⎭⎫－mk ，0，(0，m )且k ＜0，∴l 与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12·m 2－k ，③②代入③，可得S ＝(－2k )＋1－2k≥2(当且仅当k ＝－12时取等号)，∴l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为2.2.(2017·全国Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .(1)解设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)， NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0). 由NP →＝2NM →，得x 0＝x ，y 0＝22y ，因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明由题意知F (－1，0).设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )， OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n ). 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0，所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →，又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .3.(2016·北京)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值.(1)解由已知c a ＝32，12ab ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明由(1)知，A (2，0)，B (0，1). 设椭圆上一点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1. 当x 0≠0时，直线P A 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2.从而|BM |＝|1－y M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2. 直线PB 方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1.令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1. ∴|AN |＝|2－x N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1.∴|AN |·|BM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋x 0y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2y 0x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2y 0－1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2y 0－2x 0－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0y 0－4x 0－8y 0＋8x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝4.当x 0＝0时，y 0＝－1，|BM |＝2，|AN |＝2， ∴|AN |·|BM |＝4.故|AN |·|BM |为定值.4.如图所示，已知椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点构成边长为5的菱形，原点O 到直线AB 的距离为125，其中A (0，a )，B (－b ，0).直线l ：x ＝my ＋n 与椭圆M 相交于C ，D 两点，。

2018年高考数学(理)二轮复习讲练测专题2.11圆锥曲线中的综合问题(讲)含解析

2018年高考数学（理）二轮复习讲练测热点十一圆锥曲线的综合问题纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1.求轨迹方程求轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等.（1）求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法.（2）讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的取值范围.例1【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P 满足。

(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且。

证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

【答案】(1) 。

(2)证明略。

【解析】（2）由题意知。

设,则，。

由得，又由（1）知，故。

所以，即。

又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.例2【2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】如图，一张坐标纸上一已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）若直线与轨迹交于两个不同的点，且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围.【答案】 (1) ；(2) .试题解析：（1）折痕为的垂直平分线，则，由题意知圆的半径为，∴，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，∴，∴的轨迹的方程为.（2）与以为直径的圆相切，则到即直线的距离：，即，由，消去，得，∵直线与椭圆交于两个不同点，∴，，设，，则，，，又，∴，∴，设，则，∴，，∵关于在单调递增，∴，∴的面积的取值范围是.2. 圆锥曲线与圆相结合的问题处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如直径对的圆心角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形.利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.例3【2017课标3，理20】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.【答案】(1)证明略；(2)直线的方程为，圆的方程为 .或直线的方程为，圆的方程为 .【解析】所以，解得或 .当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为 .3.定值定点问题（1）求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.（2）证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.例4【2018届河北省唐山市高三上学期期末】已知抛物线：的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线交于不同的两点，直线交于不同的两点，记直线的斜率为.(1)求的取值范围；(2)设线段的中点分别为点，证明：直线过定点.【答案】(1) {k|k＜－2或0＜k＜} (2)见解析【解析】试题分析：（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立方程组，利用判别式求出的一个范围，另外直线的方程为与抛物线方程联立同样又得出的一个范围，两者求交集即得；（2）设，利用韦达定理可得即点坐标，用代替可得点坐标，计算出，得证结论．试题解析：（1）由题设可知k≠0，所以直线m的方程为y＝kx＋2，与y2＝4x联立，整理得ky2－4y＋8＝0，①由Δ1＝16－32k＞0，解得k＜．直线n的方程为y＝－x＋2，与y2＝4x联立，整理得y2＋4ky－8k＝0，由Δ2＝16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2．所以故k的取值范围为{k|k＜－2或0＜k＜}．（2）设A(x 1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．由①得，y1＋y2＝，则y0＝，x0＝－，则M(－，)．同理可得N(2k2＋2k，－2k)．直线MQ的斜率k MQ＝＝，直线NQ的斜率k NQ＝＝＝k MQ，所以直线MN过定点Q(2，0)．例5【2018届河南省商丘市高三上学期期末】在平面直角坐标系中，已知两点，，动点满足，线段的中垂线交线段于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹相交于两点，设点，直线的斜率分别为，问是否为定值？并证明你的结论.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）利用椭圆定义求出点的轨迹的方程；（2）讨论直线的斜率，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程得，利用根与系数关系表示，即可得到定值.试题解析：（Ⅰ）以题意可得：,，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，且所以，所以轨迹的方程为.（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，由，解得，设，.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将代入整理化简，得，依题意，直线与轨迹必相交于两点，设，则，，又，，所以综上得：为定值2.（说明：若假设直线为，按相应步骤给分）4.最值、范围问题求解范围、最值问题的基本解题思想是建立求解目标与其他变量的关系(不等关系、函数关系等),通过其他变量表达求解目标,然后通过解不等式、求函数值域(最值)等方法确定求解目标的取值范围和最值.在解题时要注意其他约束条件对求解目标的影响,如直线与曲线交于不同两点时对直线方程中参数的约束、圆锥曲线上点的坐标范围等.例6【2018届吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联考】已知椭圆的短轴长为，离心率为，点，是上的动点，为的左焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .试题解析：（Ⅰ）依题意得解得∴椭圆的方程是（Ⅱ）设设线段中点为∵∴中点，直线斜率为由是以为底边的等腰三角形∴∴直线的垂直平分线方程为令得∵∴由∴四边形面积当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为.5.探索性问题解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,往往是先假设所求的元素存在,然后再推理论证,检验说明假设是否正确. 其解题步骤为:(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在;若无解则不存在.(3)得出结论.例7【2018届河北省石家庄市高三上学期期末】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点.（1）若以为直径的动圆内切于圆，求椭圆的长轴长；（2）当时，问在轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（1）设的中点为，可得 ,当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即，所以，椭圆长轴长为；（2）先求得椭圆方程为，设直线AB方程为：，联立可得，设根据韦达定理及平面向量数量积公式可得，当即时为定值.试题解析：（Ⅰ）设的中点为M，在三角形中，由中位线得：当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即所以，椭圆长轴长为6.（Ⅱ）由已知，，所以椭圆方程为当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：设由得恒成立设当即时为定值当直线AB斜率不存在时，不妨设当时，为定值综上：在X轴上存在定点，使得为定值【反思提升】1.高考涉及考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不在重复）确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”.在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件式；③转化化归.2.涉及求取值范围的问题时,首先要找到产生范围的几个因素:(1)直线与曲线相交(判别式);(2)曲线上点的坐标的范围;(3)题目中给出的限制条件.其次要建立结论中的量与这些范围中的因素的关系;最后利用函数或不等式求变量的取值范围.3.解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法.几何法是根据已知的几何量之间的相互关系,通过平面几何和解析几何的知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等);代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数,通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决.4.存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.注意以下几点:(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.。

南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题12：圆锥曲线

专题12：圆锥曲线问题归类篇类型一：方程的标准形式一、前测回顾1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是．2.双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是．3.若a ≠0，则抛物线y ＝4ax 2 的焦点坐标为．答案：1.3或5；2.(－12,0)；3.(0,116a)．二、方法联想方程的标准形式涉及方程标准形式时，必须先设(或化)为方程的标准形式，注意椭圆和双曲线区分(或讨论)焦点在哪轴上，抛物线要注意开口方向．三、归类巩固*1.以y ＝±2x 为渐近线的双曲线的离心率是．答案：3或62(已知双曲线的渐近线，讨论焦点的位置，确定基本量的关系) *2.以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以y ＝±x 为渐近线的双曲线的标准方程为．答案：x 212－y 212＝1 (已知两个圆锥曲线，判断焦点的位置，确定基本量的的关系)类型二：圆锥曲线定义及几何性质的应用一、前测回顾1. 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2．若△PF 1F 2的面积为9，则b 的值为__________．2.已知定点A (3，2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上的动点，当P A ＋PF 最小时，点P 的坐标为．3. 点F 为椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点，过点F 且倾斜角为π3的直线交椭圆于A ,B 两点(AF <BF )，则AFBF ＝．答案： 1.3；2.(2，2); 3.35．二、方法联想1.涉及焦半径问题时，优先用定义(第一、二定义)，注意焦半径范围．2.焦点三角形问题从椭圆的性质和三角形的性质两个方面考虑，常用结论（以焦点在x 轴的方程为例）：3.若点P 为椭圆或双曲线上任意一点，A,B 两点关于原点对称，且直线PA,直线PB 斜率存在，则k PA ·k PB＝e 2－1 .三、归类巩固*1.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．答案：2(几何图形与圆锥曲线联系，利用几何性质求解)**2.已知椭圆C ：x 225＋y 29＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别是A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN ＋BN ＝________．答案：16(利用中位线性质，转化成椭圆的定义)*3．已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点．答案：(1，0) (考查抛物线的定义，直线与圆相切，定点问题)**4．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为．答案：x ±2y ＝0 (考查椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线方程)**5.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线22(p 0)x py =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .答案:2y x =±（考查抛物线的定义及抛物线与双曲线的几何性质.） **6．如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2．若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ．则菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝．答案：2＋52(何图形的面积计算)**7．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为．答案：43(考查抛物线的方程及其几何性质，直线与抛物线相切问题)**8．过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案：22(考查离心率的计算，点差法，中点坐标公式,或常用结论)类型三：离心率或范围的计算一、前测回顾1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 到过顶点A (－a ， 0)， B (0， b )的直线的距离等于b 7，则椭圆的离心率为．2. 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1、F 2，连接点F 1，F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为．3. 已知椭圆E :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ,B两点．若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是．4.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，在椭圆上存在一点M 满足MF 1→·MF 2→＝0，则椭圆离心率的取值范围是．5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为．答案：1.12； 2.3－1；3. (0，32]；4.[22，1)；5.(1，3]．二、方法联想椭圆离心率范围为(0，1)．双曲线离心率范围为(1，＋∞)．求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量a ，b ，c 的一个齐次关系，从而求出离心率；求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，①题中给出的是关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系；②题中给出的是关于基本量a ，b ，c 与某一变化的量之间的一个等量关系，即f (P )＝g (a ，b ，c )，根据g (a ，b ，c )在f (P )的值域内，可得关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系．三、归类巩固*1.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．答案：π4（已知离心率，求渐近线的倾斜角）*2.已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为 .答案（已知双曲线渐近线与圆的位置关系，求离心率） *3.双曲线x 24－y 2k＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是．答案： (0，12)；(已知离心率的范围，求参数取值范围)*4．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为．答案：(1，2) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)*5．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为．答案：(1，2) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)**6．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为．答案：13 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)**7.已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左右焦点分别是F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若PF 1＝10，椭圆和双曲线的离心率分别是e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是．答案：(13,＋∞)(已知有联系的两个圆锥曲线，求离心率的取值范围)**8.设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________．答案：3＋12(三角形与圆锥曲线相结合，求离心率的取值范围)类型四：直线与圆锥曲线的综合问题一、前测回顾1．(1)点A 是椭圆x 236＋y 220＝1的左顶点，点F 是右焦点，若点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，满足P A ⊥PF ，则点P 的坐标为．(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为．答案：(1)(32，523)．(2)6．2．(1)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P在椭圆C 上，且OP ⊥AF ，延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，则椭圆C 的离心率为．(2)已知椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，与右焦点F 相应的准线l 与x 轴相交于点A ，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点．设→AP ＝λ→AQ (λ＞1)，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明：→FM ＝λ→QF ．(3) 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案：(1)22 ；(2)略；(3) 22． 3． (1)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是．(2)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4，O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，则线段AB 长度的最小值为．答案：（1）62；（2）22．二、方法联想1．椭圆上一个点问题方法1：设点. ①设点(x 0,y 0)代入方程、列式、消元；②设点(a cos θ,b sin θ)方法2：求点. 代入方程、列式、求解．注意考虑x 0(或y 0)的取值范围．变式：如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF .求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP .答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明) 2．直线与椭圆相交于两点问题①已知其中一点坐标(x 0,y 0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根；②两点均未知方法1 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－B A ，x 1x 2＝CA ，代入已知条件所得式子消去x 1，x 2(其中y 1，y 2通过直线方程化为x 1，x 2)．有时也可以直接求出两交点.注意：(1)设直线方程时讨论垂直于x 轴情况；(2)通过△判断交点个数；(3)根据需要也可消去x 得关于y 的方程．结论：弦长公式｜AB ｜＝1＋k 2｜x 1－x 2｜＝1＋1k2｜y 1－y 2｜．方法2 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，通过已知条件建立x 1、y 1与x 2、y 2的关系，消去x 2、y 2解关于x 1、y 1的方程组（或方程）．方法3 点差法设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2×x 1＋x 2y 1＋y 2，即k AB ＝－b 2a 2×x 0y 0，其中AB 中点M 为(x 0，y 0)．注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题． 3. 圆锥曲线的最值与范围问题(1)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理．(2)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．三、归类巩固*1.由椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点作倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点．则OA →·OB →．答案：－13 (考查直线与椭圆的交点问题，向量的数量积)2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，长轴长为4.过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q .*①若直线l 的斜率为12，求APAQ的值；**②若PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围．答案：①56；②（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)**3.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB→＋AD →·CB →＝8，求k 的值．答案： 863. (已知直线与椭圆交于两点及这两点的坐标的关系，求直线斜率)**4.已知椭圆C ：x 26＋y 22＝1设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．答案： T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)． (求取最值时的条件)综合应用篇一、例题分析例1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →．*（1）若点P 的坐标为 (1，32)，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程；**（2）若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈[12，22]，求实数λ的取值范围．解：（1）因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ．由题意，得4a ＝8，解得a ＝2．因为点P 的坐标为 (1，32)，所以1a 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．（2）方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2a).因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝(－2c ，－b 2a )，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，（第18题）xOyPF 1F 2Q解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ，所以Q (－λ＋2λc ，－b 2λa ).因为点Q 在椭圆上，所以(λ＋2λ)2e 2＋b 2λ2a 2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1，因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3．因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]．方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2a)．因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 22ac (x ＋c )．由⎩⎨⎧y ＝b 22ac(x ＋c )，x 2a 2＋y2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0．因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P (c ，b 2a )．设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c4c 2＋b 2．因为PF 1→＝λF 1Q →，所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3．因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]．〖教学建议〗（1）问题归类与方法：本题离心率与参数值有等量关系，求参数范围本质上等价于求离心率范围.求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，①题中给出的是关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系；②题中给出的是关于基本量a ，b ，c 与某一变化的量之间的一个等量关系，即f (P )＝g (a ，b ，c )，根据g (a ，b ，c )在f (P )的值域内，可得关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系．（2）方法选择与优化：本题既可以从向量式选择坐标形式代入椭圆方程求函数关系式，也可以从P 点坐标已知选择联立椭圆的方法求另一点，再求函数关系；最后也可以用λ表示离心率e ，解不等式求出λ的范围. 例2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EF A 的面积为b 22. *（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝32c ，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . **（i ）求直线FP 的斜率； ***（ii ）求椭圆的方程.解：(1)设椭圆的离心率为e .由已知，可得12(c ＋a )c ＝b 22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0.又因为0＜e ＜1，解得e ＝12.所以，椭圆的离心率为12.（2）（ⅰ）方法一：依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m ＞0)，则直线FP 的斜率为1m.由（Ⅰ）知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋yc ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可解得x＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3c m ＋2，即点Q 的坐标为((2m －2)c m ＋2，3cm ＋2). 由已知|FQ |=3c 2，有[(2m －2)c m ＋2＋c ]2＋(3c m ＋2)2＝(3c 2)2，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43，即直线FP 的斜率为34.方法二：由（Ⅰ）知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋y c ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，又|FQ |＝32c设Q (x 0，y 0) ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2y 0－2c ＝0(x 0＋c )2＋y 02＝94c 2 消y 0 得5x 20＋4cx 0－c 2＝0， x 0＝－c （舍）或c 5 ，所以Q (c 5，910c ) ，直线FP 的斜率为34.（ii ）方法一：由（i ）得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0 ，与椭圆x 24c 2＋y 23c 2＝1 联立得7x 2＋6cx －13c 2＝0，x ＝－137c （舍）或c ，所以P (c ，32c ) 由（i ）得Q (c 5，910c )，由题直线QN,直线PM 的斜率一定存在，设为k 0 , 设PM ：k 0x －y －k 0c ＋32c ＝0 ，QN ：k 0x －y －k 05c ＋910c ＝0，两平行线距离为|－k 0c ＋32c ＋k 0c 5－910c |k 02＋1＝c ，解得k 0＝－43 ，所以M (178c ，0)，N (78c ，0) ，四边形PQNM 的面积为S ΔPFM －S ΔFQN ＝12(178c ＋c )×32c－12(78c ＋c )×910c ＝3c ，解得c ＝2 ，所以椭圆的方程为 x 216＋y 212＝1 . 方法二：同方法一求出k 0＝－43，所以FP ⊥QN ，FP ⊥PM , 又P (c ，32c )，Q (c 5，910c )，直线FP 的斜率为34.即tan ∠PFM ＝34 ，|FQ |＝32c ，|FP |＝52c ，所以四边形PQNM 的面积为 12(QN ＋PM )·c ＝12(34×32c ＋34×52c )·c＝3c ，解得c ＝2 ，所以椭圆的方程为 x 216＋y 212＝1 .方法三：可利用|F Q |＝32c ，|FP |＝52c 得FP －FQ ＝c 即直线PM 与直线QN 间的距离，直接得FP ⊥QN ，FP ⊥PM ，避免求k 0的值简化运算过程.〖教学建议〗（1）问题归类与方法：1.求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量a ，b ，c 的一个齐次关系，从而求出离心率； 2．直线与椭圆相交于两点问题①已知其中一点坐标(x 0,y 0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根；②两点均未知方法1 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－B A ，x 1x 2＝CA ，代入已知条件所得式子消去x 1，x 2(其中y 1，y 2通过直线方程化为x 1，x 2)．有时也可以直接求出两交点.（2）方法选择与优化：本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用a,b,c,e 的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形PQNM 的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大.二、反馈巩固*1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为．答案：x 23＋y 22＝1 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)*2.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．答案：22(利用双曲线与渐近线的几何性质求解)*3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ,C两点，且∠BFC ＝90°,则该椭圆的离心率是 .答案:63(考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程) *4．已知方程x 2m 2+n －y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 .答案：(–1,3) (考查双曲线的标准方程及几何性质)*5．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围为[－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是．答案：[38，34] (考查椭圆的几何性质，定值问题，函数的值域)**6．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AF 1＝3F 1B ，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案：x 2＋32y 2＝1 (考查用待定系数法求椭圆方程，利用向量法研究点坐标之间的关系)***7．点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若ΔPQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是．答案：(0，6－22) (考查直线与圆相切，圆的几何性质，椭圆的方程及离心率的计算) **8．如图，点A 是椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的下顶点．过A 作斜率为1的直线交椭圆于另一点P ，点B 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9，若B 点坐标为(0，1)，则椭圆方程是．答案：x 212＋y 24＝1 (**9．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 212P 有________个．答案：6 (考查椭圆的几何性质，焦点三角形)**10．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是．答案：(13，12)∪(12，1) (考查椭圆的定义，焦点三角形，标准方程和简单几何性质)**11．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x ＞0)图象上一动点,若点P A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为_______. 答案：－1或10 (考查两点距离，函数的最值问题)12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C ．*(1)若点C 的坐标为(43，13)，且BF 2＝2，求椭圆的方程；** (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．答案：(1) x 22＋y 2＝1；(2)55．(考查求椭圆的标准方程，离心率问题)13. 已知椭圆C ： x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为22，且椭圆C 与圆M ： (x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为2.*(1)求椭圆C 的方程.**(2)经过原点作直线l （不与坐标轴重合）交椭圆于A ， B 两点， AD ⊥x 轴于点D ，点E 在椭圆C 上，且(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝0，求证： B ， D ， E 三点共线.. 解：（1）由题意得2a ＝22，则a ＝2.由椭圆C 与圆M ： (x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为2，其长度等于圆M 的直径，可得椭圆C 经过点(1，±22)，所以12＋12b 2＝1，解得b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.（2）证明：设A (x 1，y 1)， E (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)， D (x 1，0).因为点A ， E 都在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋ 2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x22(y 1＋y 2).又(AB →－EB →)·(DB →＋AD →) ＝AE →·AB →＝0，所以k AB ·k AE ＝－1，即y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝－1，所以y 1x 1·x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝1所以y 1x 1＝2(y 1＋y 2)x 1＋x 2又k BE －k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 12x 1＝ y 1＋y 2x 1＋x 2－y 1＋y2x 1＋x 2＝0，所以k BE ＝k BD ，所以B ， D ， E 三点共线. （记住常见的结论可以更快获取思路，避免联立方法的繁琐计算）14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(3，0),离心率为e .*(1)若e ＝32，求椭圆的方程； **(2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且22＜e ≤32，求k 的取值范围. 答案：（1）x 212＋y 23＝1 ；（2）(－∞，－24]∪[24，＋∞) .(本题可以利用平面几何知识得F 2A ⊥F 2B 简化运算，考查函数值域问题)15.如图，已知动直线:l y kx m =+与椭圆2214x y +=交于,A B 两个不同点. *(1)若动直线:l y kx m =+又与圆22(y 2)1x +-=相切，求m 的取值范围.**(2)若动直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，满足2PB AP =，点O 为坐标原点.求AOB ∆面积的最大值，并指出此时k 的值.解：把y kx m =+代入椭圆方程22440x y +-=得： 222(41)8440,(1)k x k m x m +++-= （Ⅰ）222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->即22410(2)k m -+>直线l 与圆22(2)1x y +-=相切，221,43(3)k m m =∴=-+把（3）代入（2）得：2316130m m -+>解得：133m >或1m < （Ⅱ）(0,),P m 设 1122(,),(,)A x y B x y ，122,20PB AP x x =∴+=由（1）式得：121122288,()4141km kmx x x x x k k -+=∴=-+=++ 又1x 是方程（1）的根，2222222226464(41)440(41)41k m k m k m k k ∴+++-=++ 22241361k m k +∴=+，依题意得0≠k ，显然满足222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-> 1212243,41kmx x x k -==+2122212121,241361AOB m k k S x x m k k ∆∴=-==++31194k k=≤+∴当且仅当194k k=即1.6k =±（符合题意），∴当16k =±时，AOB ∆的面积取最大值为1.(考查直线与圆位置关系，直线与椭圆的位置关系，函数最值问题)16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1、F 2分别作倾斜角都为α(α≠0)的两条直线AB 、DC ，分别交椭圆E 于点A 、B 和D 、C .当α＝π4时，点B 坐标为(0，1)． *(1) 求椭圆E 的方程；** (2) 当α变化时，讨论线段AD 与BC 长度之间的关系，并给出证明； *** (3) 当α变化时，求四边形ABCD 面积的最大值及对应的α值．答案：(1) x 22＋y 2＝1；(2) AD ＝BC ；(3)α＝π2.(考查椭圆方程，直线被椭圆截得弦长及四边形面积的范围、最值)第15题17.如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)相切于点M (0，1)．*⑴求椭圆T 与圆O 的方程;⑵过点M 引两条互相垂直的两直线l 1，l 2与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合).**①若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1，d 2，求d 21＋d 22的最大值； ***②若3MA →·MC →＝4MB →·MD →，求l 1与l 2的方程．解: (1)x 24＋y 2＝1，x 2＋y 2＝1．(2)①163，此时P (±423，－13)．②l 1：y ＝2x ＋1，l 2：y ＝－22x ＋1 或l 1：y ＝－2x ＋1，l 2：y ＝22(考查椭圆的基本量计算，椭圆上点的坐标的设法及范围，直线与圆锥曲线相交，已知其中一个交点，求另一交点的坐标，利用相似比减少解析几何中的运算量.问题2中，d 21＋d 22实际上就是矩形的对角线的平方，即PM 2．问题3中，求出A ，C 点坐标后，直接用－1k 替换k ，得到B ，D 点坐标．或将3MA →·MC →＝4MB →·MD→转化为3(k 2＋1)x A x C ＝4(1k2＋1)x B x D ．)18.如图，已知抛物线x 2＝y ，点A (－12，14),B (32，94)，抛物线上的点P (x ，y )(－12＜x ＜32)．过点B 作直线AP的垂线，垂足为Q ．*（1）求直线AP 斜率的取值范围； ***（2）求|PA |·|PQ |的最大值．答案：（1）(－1，1)；（2）2716(试题分析：（1）由两点求斜率公式可得AP 的斜率为x －12，由－12＜x ＜32，得AP 斜率的取值范围；（2）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而表达|P A |与|PQ |的长度，通过函数f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3求解|P A |·|PQ |的最大值．也可以利用向量的数量积的投影法: |PA |·|PQ |＝PA →·PB →减少了求Q 点坐标问题达到简化运算的目的.)。

江苏省南京市高三数学二轮专题复习(第一层次)专题12圆锥曲线的综合问题 Word版含答案

专题12：圆锥曲线的综合问题(两课时)班级姓名．一、前测训练1．(1)点A 是椭圆x 236＋y 220＝1的左顶点，点F 是右焦点，若点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，满足PA ⊥PF ，则点P 的坐标为．(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为．答案：(1)(32，523)．(2)6．2．(1)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P在椭圆C 上，且OP ⊥AF ，延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，则椭圆C 的离心率为．(2)已知椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，与右焦点F 相应的准线l 与x 轴相交于点A ，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点．设→AP ＝λ→AQ (λ＞1)，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明：→FM ＝λ→QF ．(3)过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案：(1)22；(2)略；(3)22．3．(1)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是．(2)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4，O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，则线段AB 长度的最小值为．答案：（1）62；（2）22．二、方法联想1．椭圆上一个点问题方法1：设点. ①设点(x 0,y 0)代入方程、列式、消元；②设点(a cos θ,b sin θ) 方法2：求点. 代入方程、列式、求解．注意考虑x 0(或y 0)的取值范围．变式：如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF .求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP .答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明) 2．直线与椭圆相交于两点问题①已知其中一点坐标(x 0,y 0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根；②两点均未知方法1 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝，代入已知条件所得式子消去x 1，x 2(其中y 1，y 2通过直线方程化为x 1，x 2)．注意：(1)设直线方程时讨论垂直于x 轴情况；(2)通过△判断交点个数；(3)根据需要也可消去x 得关于y 的方程．结论：弦长公式｜AB ｜＝｜x 1－x 2｜＝k 2))｜y 1－y 2｜．方法2 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，通过已知条件建立x 1、y 1与x 2、y 2的关系，消去x 2、y 2解关于x 1、y 1的方程组（或方程）．方法3 点差法设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－×x 1＋x 2y 1＋y 2，即k AB ＝－×x 0y 0，其中AB 中点M 为(x 0，y 0)．注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题．变式：(1)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，长轴长为4.过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q .①若直线l 的斜率为12，求APAQ的值；②若PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围．答案：①56；②（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)(2)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．答案：863. (已知直线与椭圆交于两点及这两点的坐标的关系，求直线斜率)3.圆锥曲线的最值与范围问题(1)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理．(2)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．变式：已知椭圆C ：x 26＋y 22＝1设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．答案： T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)． (求取最值时的条件) 4.定值问题方法1 从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．方法2 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5．定点问题方法1假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；方法2从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．三、例题分析例1：椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，P 为椭圆C 上任意一点．已知PF 1→•PF 2→的最大值为3，最小值为2． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于点M ，N 两点（M ，N 不是左、右顶点），且AM→•AN →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．答案：（1）椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．（2）直线l 过定点（27，0）．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．与椭圆上动点有关的最值问题，动点的坐标满足方程，且该点的横、纵坐标有范围． 2．建立目标函数，研究给定定义域的二次函数的值域． 3．解二元二次方程组，二次函数的零点式．4．以已知两点为直径的圆的方程（渗透求圆方程的另一种方法）． 5．向量数量积的应用，定义法、坐标法和基底法．6．研究动直线过定点的方法，待定系数法探求和特殊化探究证明．二、方法选择与优化建议：1．直角坐标系下研究向量问题，往往坐标形式比较简单．2．由于直接求M ，N 两点的坐标比较困难（求也可以，由于方程中字母较多，运算较为复杂），所以将条件AM →•AN →＝0理解成点A 在以MN 为直径的圆上，从而找到m 与k 的关系．例2：在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆C 的左、右焦点分别为F 1、F 2，右准线l ：x ＝m ＋1与x 轴的交点为B ，BF 2＝m .(1) 已知点⎝⎛⎭⎫62，1在椭圆C 上，求实数m 的值；(2) 已知定点A (－2，0)．①若椭圆C 上存在点T ，使得TATF 1＝2，求椭圆C 的离心率的取值范围；②当m ＝1时，记M 为椭圆C 上的动点，直线AM 、BM 分别与椭圆C 交于另一点P 、Q ，若AM →＝λAP →，BM →＝μBQ →，求证：λ＋μ为定值．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．求椭圆方程，椭圆的几何性质．2．轨迹方程，圆的第二定义(阿波罗尼斯圆)． 3．离心率取值范围． 4．向量的运算．5．直线与椭圆的位置关系． 6．定值问题．二、方法选择与优化建议：①根据第(1)问可知 c ＝1，且椭圆方程为x 2m ＋1＋y 2m ＝1，为此，求离心率的取值范围只要求出m 的范围则可．由A ，F 1是两个定点，且TATF 1＝2，可知点T 是圆上的点，再根据点T 在椭圆上，可求出点T 的坐标，根据椭圆中x ，y 的范围，可得到m 的范围，进而求出离心率的取值范围．②分析1：由向量条件AM →＝λAP →，BM →＝μBQ →，联想到向量的坐标表示，将点M ，P ，Q 的坐标设出来，利用点M ，P ，Q 在椭圆上，可得到点M ，P ，Q 的坐标与λ，μ的关系，通过点M 来联系点P ，Q ，就可得到λ＋μ的值．分析2：设点M 的坐标，以此作为“已知量”，由直线AM 与椭圆方程联立成方程组，解出点P 的坐标，再根据AM →＝λAP →，将λ表示为点M 的坐标形式，同理，将μ表示为点M 的坐标形式，这样λ＋μ就可表示为M 的坐标形式，利用点M 在椭圆上来化简得到答案．例3：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率e ＝32，A 1，A 2分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆A 2的半径为a ，过点A 1作圆A 2的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ． (1)求直线OP 的方程； (2)求PQQA 1的值；(3)设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于E 点B ，C ，分别交圆A 2于点M ，N ，记△OBC 和△OMN 的面积分别为S 1，S 2，求S 1·S 2的最大值．答案：(1)直线OP 的方程为y ＝3x ．(2)PQ QA 1＝34．(3)S 1·S 2的最大值为a45．一、主要问题归类与方法：1．椭圆的基本量及基本概念．2．圆的切线的平面几何性质，解直角三角形．3．求两直线的交点，直线与椭圆的交点，直线与圆的交点，已知一个交点的情况下求另一个交点．4．同一直线上的两条线段之比转化为相关点的某一坐标之比． 5．基本不等式求最值的函数类型，并会用基本不等式求最值．二、方法选择与优化建议：1．解析几何特别是与圆有关的研究结合平面几何的相关性质，往往可以简化运算过程． 2．将同一直线上的两条线段之比转化为相关点的某一坐标之比． 3．理性思考计算中的一些技巧，避免重复计算． 4．掌握基本不等式求最值的函数类型的本质特征．四、反馈练习1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为．答案：43(考查抛物线的方程及其几何性质，直线与抛物线相切问题)2．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为．答案：x ±2y ＝0 (考查椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线方程)3．由椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点作倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点．则OA →·OB →．答案：－13(考查直线与椭圆的交点问题，向量的数量积)4．已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点．答案：(1，0)(考查抛物线的定义，直线与圆相切，定点问题)5．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为．答案：(1，2)(考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)6．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围为[－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是．答案：[38，34] (考查椭圆的几何性质，定值问题，函数的值域)7．已知点A (0，2)，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 做l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝_________．答案：2(考查平面图形的几何性质，抛物线的定义、方程)8．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则ba ＝______答案：1＋2(考查抛物线的几何性质，抛物线的定义、方程)9．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x ＞0)图象上一动点,若点PA之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为答案：－1或10(考查两点距离，函数的最值问题)10．如图，双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2．若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ．则菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝．答案：2＋52(考查双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义，以及一般平面几何图形的面积计算)11．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交l 于点A ，交⊙M 于另一点B ，且AO ＝OB ＝2．（1）求⊙M 和抛物线C 的方程；（2）若P 为抛物线C 上的动点，求PM →·PF →的最小值；（3）过l 上的动点Q 向⊙M 作切线，切点为S ，T ．求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．答案：(1)⊙M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，抛物线C 的方程为y 2＝4x ； (2)PM →·PF →的最小值为2；(3)定点坐标为(23，0)．(考查求圆与抛物线的方程，最值与曲线过定点问题)12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，直线l ：y＝12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB ＝25，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N ，连结MN .(1) 求a ，b 的值；(2) 求证：直线MN 的斜率为定值．答案：(1) 6，3;(2)－1(考查求直线与椭圆的位置关系，定值问题)13．设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A ，已知1OA ＋1OF ＝3eFA ，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围.答案：（1）x 24＋y 23＝1 ; （2）(－∞,－64]∪ [64,＋∞) (考查) (考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，取值范围问题)14．如图，在平面直角坐标系xOy 中椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c ，已知点(1,e )和(e ,32)都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率。

2018年高考数学—圆锥曲线(解答+答案)

2018年高考数学——圆锥曲线解答1.（18北京理（19）（本小题14分））已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值．2.（18江苏18．（本小题满分16分））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26，求直线l 的方程．3.（18全国二理19．（12分））设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．4.（18全国三理20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．5.18全国一理19．（12分）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.6.（18天津理(19)(本小题满分14分)）设椭圆22221x x a b+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .A的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值.7.（18浙江21．（本题满分15分））如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．8.（18北京文（20）（本小题14分））已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为22.斜率为k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)42Q - 共线，求k .9.（18全国三文20．（12分））已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ．10.（18全国一文20．（12分））设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．参考答案：1.解：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2），所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y xy kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=．依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1．又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3．所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =．直线PA 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--．同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由=QM QO λuuu r uuu r ，=QN QO μuuu r uuu r得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------．所以11λμ+为定值．2.解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+．由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以002,1x y ==．因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为26，所以21 26AB OP ⋅=，从而427AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)．综上，直线l 的方程为532y x =-+．学*科网3.解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=.216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去），1k =. 因此l 的方程为1y x =-.（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+.设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.4.解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x ym ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r .于是1||22x FA ===-u u u r .同理2||22xFB =-u u u r .所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r .故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列.设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r .②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||28d =.所以该数列的公差为28或28-.5解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-.所以AM 的方程为y x =+y x =.（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.6.（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=，可得ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由AQ AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2．由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =．所以，k 的值为111228或．7.（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△．因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是．8.【解析】（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又3c e a ==，所以a =2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=，则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||2AB x x =-==，易得当20m =时，max ||AB ，故||AB．（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+，由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=，则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-u u u r ，4471(,)44QD x y =+-u u u r ，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 9..解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-．由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则 331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA ==-uu r ．同理2||=22xFB -uu r ．所以1214()32FA FB x x +=-+=uu r uu r ．故2||=||+||FP FA FB uu r uu r uu r ．10．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--．（2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM=∠ABN．。

2018年高考数学理科江苏专版二轮专题复习与策略专题限

专题限时集训(十八) 圆锥曲线的定义、方程与性质(建议用时：4 5分钟)1．设抛物线C 1的方程为y ＝120x 2，它的焦点F 关于原点的对称点为E .若曲线C 2上的点到E ，F 的距离之差的绝对值等于6，则曲线C 2的标准方程为________．【解析】方程y ＝120x 2可化为x 2＝20y ，它的焦点为F (0,5)，所以点E 的坐标为(0，－5)，根据题意，知曲线C 2是焦点在y 轴上的双曲线，设方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＝6，a ＝3，又c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，所以曲线C 2的标准方程为y 29－x 216＝1. 【答案】 y 29－x 216＝12．(2016·常州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点P (1，－2)，则该双曲线的离心率为________．【导学号：19592052】5 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x . 由点P (1，－2)在其直线上，得ba ＝2. ∴离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋4＝ 5.] 3．(2016·苏北四市摸底)已知双曲线x 2－y 2m 2＝1(m >0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝________.33 [双曲线x 2－y 2m 2＝1(m >0)的渐近线方程为y ＝±mx (m >0)．由题意可知m＝33.]4．(2016·南京盐城一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P (1,3)，则其焦点到准线的距离为________．92[由题意，可设曲线C 的方程为y 2＝2px (p >0)．由于点P (1,3)满足y 2＝2px ，即9＝2p ，∴p ＝92. 故焦点到准线的距离为92.]5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________．x 23＋y 22＝1 [由e ＝33得c a ＝33①.又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.]6．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________.12 [∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎨⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0.∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212.由于AB ＝x A ＋x B ＋p ，∴AB ＝212＋32＝12.]7．(2016·南通三模)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2＝1与抛物线y 2＝－12x 有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．y ＝±24x [抛物线y 2＝－12x 的焦点为(－3,0)，故双曲线x 2a 2－y 2＝1满足a 2＋1＝9，∴a 2＝8. ∴a ＝±2 2.∴双曲线的渐近线方程y ＝±x a ＝±24x .]8．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若AB →·AF 2→＝0，且|AB →|＝|AF 2→|，则椭圆的圆心率为________．6－3 [在Rt △ABF 2中，设AF 2＝m ，则BF 2＝2m ，所以4a ＝(2＋2)m ，又在Rt △AF 1F 2中，AF 1＝2a －m ＝22m ， F 1F 2＝2c ，所以(2c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22m 2＋m 2＝32m 2，即2c ＝62m ，所以e ＝c a ＝2c2a ＝62m ⎝⎛⎭⎪⎫1＋22m＝6－ 3.] 9．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB (O 为原点)，则该椭圆的离心率是________．【导学号：19592053】图17－222 [把x ＝－c 代入椭圆方程，得y ＝±b 2a ，∴PF ＝b 2a . ∵OP ∥AB ，PF ∥OB ，∴△PFO ∽△BOA ， ∴PF OF ＝OB OA ，即b 2a c ＝b a ，得b ＝c ，e ＝22.]10．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则抛物线的方程是________．y 2＝3x [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，作AM ，BN 垂直准线于点M ，N (图略)，则BN ＝BF ，又BC ＝2BF ，得BC ＝2BN ，所以∠NCB ＝30°，有AC ＝2AM ＝6，设BF ＝x ，则2x ＋x ＋3＝6⇒x ＝1，又x 1＋p 2＝3，x 2＋p 2＝1，且x 1x 2＝p 24，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－p 2＝p 24，解得p ＝32，从而抛物线方程为y 2＝3x .]11．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是________．(2，＋∞) [∵x 2＝8y ，∴焦点F 的坐标为(0,2)，准线方程为y ＝－2.由抛物线的定义知MF ＝y 0＋2.以F 为圆心、FM 为半径的圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝(y 0＋2)2.由于以F 为圆心、FM 为半径的圆与准线相交，又圆心F 到准线的距离为4，故4<y 0＋2，∴y 0>2.]12．如图17－3，已知直线l ：y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线C 的准线上的射影分别是M ，N ，若AM ＝2BN ，则k ＝________.图17－3223 [设直线l 与曲线C 的准线的交点为E ，因为AM ＝2BN ，所以BE ＝BA ，即B 为AE 的中点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得2x 2＝x 1－1，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以x 2·x 1＝1，即x 1－12·x 1＝1，得x 1＝2，y 1＝22，x 2＝12，y 2＝2，k ＝223.]13．(2013·辽宁高考)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．44 [由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5. ∴PQ ＝4b ＝16>2a .又∵A (5,0)在线段PQ 上，∴P ，Q 在双曲线的一支上，且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知⎩⎨⎧PF －P A ＝2a ＝6，QF －QA ＝2a ＝6，∴PF ＋QF ＝28.∴△PQF 的周长是PF ＋QF ＋PQ ＝28＋16＝44.]14．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．3－1 [已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且斜率为3， ∴倾斜角∠MF 1F 2＝60°. ∵∠MF 2F 1＝12∠MF 1F 2＝30°，∴∠F 1MF 2＝90°，∴MF 1＝c ，MF 2＝3c . 由椭圆定义知MF 1＋MF 2＝c ＋3c ＝2a ， ∴离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.]15．(2016·宿迁模拟)已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值为________．3 [由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动， ∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连结P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2＝|P A →|2－1，∵|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2， ∴|PM →|min ＝ 3.]16．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [当点P 位于椭圆的两个短轴端点时，△F 1F 2P 为等腰三角形，此时有2个．若点不在短轴的端点时，要使△F 1F 2P 为等腰三角形，则有PF 1＝F 1F 2＝2c 或PF 2＝F 1F 2＝2c .此时PF 2＝2a －2c .所以有PF 1＋F 1F 2>PF 2，即2c ＋2c >2a －2c ，所以3c >a ，即c a >13，又当点P 不在短轴上，所以PF 1≠BF 1，即2c ≠a ，所以c a ≠12.13<e<1且e≠12，即⎝⎛⎭⎪⎫13，12∪⎝⎛⎭⎪⎫12，1.]所以椭圆的离心率满足。

最新-江苏省2018年高考数学真题分类汇编：圆锥曲线精品

圆锥曲线1（江苏2004年5分）若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，则双曲线离心率为【】(A)2 (B)22 (C) 4 (D)24 【答案】A 。

【考点】双曲线的性质，抛物线的性质。

【分析】根据抛物线方程可求得抛物线的准线方程即双曲线的准线方程，从而求得c ，最后根据离心率公式求得答案：由抛物线x y 82=，可知p=4，∴准线方程为x =－2。

对于双曲线准线方程为22a x c=-=-，∴228c a ==，4c =。

∴双曲线离心率c e a ===A 。

2.（江苏2018年5分）抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是【】A ．1617 B ．1615 C ．87D ．0 【答案】B 。

【考点】抛物线的性质。

【分析】根据点M 到焦点的距离为1利用抛物线的定义可推断出M 到准线距离也为1，利用抛物线的方程求得准线方程，从而可求得M 的纵坐标。

根据抛物线的定义可知M 到焦点的距离为1，则其到准线距离也为1。

又∵抛物线的准线为116y =-，∴M 点的纵坐标为11511616-=。

故选B 。

3.（江苏2018年5分）点P(3,1)-在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为(2, 5)a =-的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【】A ．33 B ．31 C ．22 D ．21【答案】A 。

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的性质。

【分析】根据过点P 且方向为(2, 5)a =-求得PQ 的斜率，进而可得直线PQ 的方程，把2-=y 代入可求得Q 的坐标，根据光线反射的对称性知直线QF 1的斜率从而得直线QF 1的方程，把0y =代入即可求得焦点坐标，求得c ，根据点P （－3，1）在椭圆的左准线上，求得a 和c 的关系求得a ，则椭圆的离心率可得：如图，过点P （－3，1）的方向(2, 5)a =-， ∴PQ 52k =-，则PQ 的方程为()5132y x+-=-，即52130x+y+=。

高考数学南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题12：圆锥曲线

专题12：圆锥曲线问题归类篇类型一：方程的标准形式一、前测回顾1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是．2.双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是．3.若a ≠0，则抛物线y ＝4ax 2 的焦点坐标为．答案：1.3或5；2.(－12,0)；3.(0,116a)．二、方法联想方程的标准形式涉及方程标准形式时，必须先设(或化)为方程的标准形式，注意椭圆和双曲线区分(或讨论)焦点在哪轴上，抛物线要注意开口方向．三、归类巩固*1.以y ＝±2x 为渐近线的双曲线的离心率是．答案：3或62(已知双曲线的渐近线，讨论焦点的位置，确定基本量的关系) *2.以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以y ＝±x 为渐近线的双曲线的标准方程为．答案：x 212－y 212＝1 (已知两个圆锥曲线，判断焦点的位置，确定基本量的的关系)类型二：圆锥曲线定义及几何性质的应用一、前测回顾1. 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2．若△PF 1F 2的面积为9，则b 的值为__________．2.已知定点A (3，2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上的动点，当P A ＋PF 最小时，点P 的坐标为．3. 点F 为椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点，过点F 且倾斜角为π3的直线交椭圆于A ,B 两点(AF <BF )，则AFBF ＝．答案： 1.3；2.(2，2); 3.35．二、方法联想1.涉及焦半径问题时，优先用定义(第一、二定义)，注意焦半径范围．2.焦点三角形问题从椭圆的性质和三角形的性质两个方面考虑，常用结论（以焦点在x 轴的方程为例）：3.若点P 为椭圆或双曲线上任意一点，A,B 两点关于原点对称，且直线PA,直线PB 斜率存在，则k PA ·k PB＝e 2－1 .三、归类巩固*1.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．答案：2(几何图形与圆锥曲线联系，利用几何性质求解)**2.已知椭圆C ：x 225＋y 29＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别是A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN ＋BN ＝________．答案：16(利用中位线性质，转化成椭圆的定义)*3．已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点．答案：(1，0) (考查抛物线的定义，直线与圆相切，定点问题)**4．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为．答案：x ±2y ＝0 (考查椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线方程)**5.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线22(p 0)x py =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .答案:y x =（考查抛物线的定义及抛物线与双曲线的几何性质.） **6．如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2．若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ．则菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝．答案：2＋52(何图形的面积计算)**7．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为．答案：43(考查抛物线的方程及其几何性质，直线与抛物线相切问题)**8．过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案：22(考查离心率的计算，点差法，中点坐标公式,或常用结论)类型三：离心率或范围的计算一、前测回顾1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 到过顶点A (－a ， 0)， B (0， b )的直线的距离等于b 7，则椭圆的离心率为．2. 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1、F 2，连接点F 1，F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为．3. 已知椭圆E :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ,B两点．若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是．4.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，在椭圆上存在一点M 满足MF 1→·MF 2→＝0，则椭圆离心率的取值范围是．5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为．答案：1.12； 2.3－1；3. (0，32]；4.[22，1)；5.(1，3]．二、方法联想椭圆离心率范围为(0，1)．双曲线离心率范围为(1，＋∞)．求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量a ，b ，c 的一个齐次关系，从而求出离心率；求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，①题中给出的是关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系；②题中给出的是关于基本量a ，b ，c 与某一变化的量之间的一个等量关系，即f (P )＝g (a ，b ，c )，根据g (a ，b ，c )在f (P )的值域内，可得关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系．三、归类巩固*1.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．答案：π4（已知离心率，求渐近线的倾斜角）*2.已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为 .答案:3（已知双曲线渐近线与圆的位置关系，求离心率） *3.双曲线x 24－y 2k＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是．答案： (0，12)；(已知离心率的范围，求参数取值范围)*4．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为．答案：(1，2) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)*5．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为．答案：(1，2) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)**6．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为．答案：13 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)**7.已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左右焦点分别是F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若PF 1＝10，椭圆和双曲线的离心率分别是e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是．答案：(13,＋∞)(已知有联系的两个圆锥曲线，求离心率的取值范围)**8.设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________．答案：3＋12(三角形与圆锥曲线相结合，求离心率的取值范围)类型四：直线与圆锥曲线的综合问题一、前测回顾1．(1)点A 是椭圆x 236＋y 220＝1的左顶点，点F 是右焦点，若点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，满足P A ⊥PF ，则点P 的坐标为．(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为．答案：(1)(32，523)．(2)6．2．(1)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P在椭圆C 上，且OP ⊥AF ，延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，则椭圆C 的离心率为．(2)已知椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，与右焦点F 相应的准线l 与x 轴相交于点A ，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点．设→AP ＝λ→AQ (λ＞1)，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明：→FM ＝λ→QF ．(3) 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案：(1)22 ；(2)略；(3) 22． 3． (1)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是．(2)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4，O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，则线段AB 长度的最小值为．答案：（1）62；（2）22．二、方法联想1．椭圆上一个点问题方法1：设点. ①设点(x 0,y 0)代入方程、列式、消元；②设点(a cos θ,b sin θ)方法2：求点. 代入方程、列式、求解．注意考虑x 0(或y 0)的取值范围．变式：如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF .求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP .答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明) 2．直线与椭圆相交于两点问题①已知其中一点坐标(x 0,y 0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根；②两点均未知方法1 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－B A ，x 1x 2＝CA ，代入已知条件所得式子消去x 1，x 2(其中y 1，y 2通过直线方程化为x 1，x 2)．有时也可以直接求出两交点.注意：(1)设直线方程时讨论垂直于x 轴情况；(2)通过△判断交点个数；(3)根据需要也可消去x 得关于y 的方程．结论：弦长公式｜AB ｜＝1＋k 2｜x 1－x 2｜＝1＋1k2｜y 1－y 2｜．方法2 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，通过已知条件建立x 1、y 1与x 2、y 2的关系，消去x 2、y 2解关于x 1、y 1的方程组（或方程）．方法3 点差法设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2×x 1＋x 2y 1＋y 2，即k AB ＝－b 2a 2×x 0y 0，其中AB 中点M 为(x 0，y 0)．注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题． 3. 圆锥曲线的最值与范围问题(1)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理．(2)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．三、归类巩固*1.由椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点作倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点．则OA →·OB →．答案：－13 (考查直线与椭圆的交点问题，向量的数量积)2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，长轴长为4.过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q .*①若直线l 的斜率为12，求APAQ的值；**②若PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围．答案：①56；②（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)**3.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB→＋AD →·CB →＝8，求k 的值．答案： 863. (已知直线与椭圆交于两点及这两点的坐标的关系，求直线斜率)**4.已知椭圆C ：x 26＋y 22＝1设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．答案： T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)． (求取最值时的条件)综合应用篇一、例题分析例1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →．*（1）若点P 的坐标为 (1，32)，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程；**（2）若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈[12，22]，求实数λ的取值范围．解：（1）因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ．由题意，得4a ＝8，解得a ＝2．因为点P 的坐标为 (1，32)，所以1a 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．（2）方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2a).因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝(－2c ，－b 2a )，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，（第18题）解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ，所以Q (－λ＋2λc ，－b 2λa ).因为点Q 在椭圆上，所以(λ＋2λ)2e 2＋b 2λ2a 2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1，因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3．因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]．方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2a)．因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 22ac (x ＋c )．由⎩⎨⎧y ＝b 22ac(x ＋c )，x 2a 2＋y2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0．因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P (c ，b 2a )．设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c4c 2＋b 2．因为PF 1→＝λF 1Q →，所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3．因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]．〖教学建议〗（1）问题归类与方法：本题离心率与参数值有等量关系，求参数范围本质上等价于求离心率范围.求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，①题中给出的是关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系；②题中给出的是关于基本量a ，b ，c 与某一变化的量之间的一个等量关系，即f (P )＝g (a ，b ，c )，根据g (a ，b ，c )在f (P )的值域内，可得关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系．（2）方法选择与优化：本题既可以从向量式选择坐标形式代入椭圆方程求函数关系式，也可以从P 点坐标已知选择联立椭圆的方法求另一点，再求函数关系；最后也可以用λ表示离心率e ，解不等式求出λ的范围. 例2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EF A 的面积为b 22. *（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝32c ，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . **（i ）求直线FP 的斜率； ***（ii ）求椭圆的方程.解：(1)设椭圆的离心率为e .由已知，可得12(c ＋a )c ＝b 22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0.又因为0＜e ＜1，解得e ＝12.所以，椭圆的离心率为12.（2）（ⅰ）方法一：依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m ＞0)，则直线FP 的斜率为1m.由（Ⅰ）知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋yc ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可解得x＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3c m ＋2，即点Q 的坐标为((2m －2)c m ＋2，3cm ＋2). 由已知|FQ |=3c 2，有[(2m －2)c m ＋2＋c ]2＋(3c m ＋2)2＝(3c 2)2，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43，即直线FP 的斜率为34.方法二：由（Ⅰ）知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋y c ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，又|FQ |＝32c设Q (x 0，y 0) ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2y 0－2c ＝0(x 0＋c )2＋y 02＝94c 2 消y 0 得5x 20＋4cx 0－c 2＝0， x 0＝－c （舍）或c 5 ，所以Q (c 5，910c ) ，直线FP 的斜率为34.（ii ）方法一：由（i ）得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0 ，与椭圆x 24c 2＋y 23c 2＝1 联立得7x 2＋6cx －13c 2＝0，x ＝－137c （舍）或c ，所以P (c ，32c ) 由（i ）得Q (c 5，910c )，由题直线QN,直线PM 的斜率一定存在，设为k 0 , 设PM ：k 0x －y －k 0c ＋32c ＝0 ，QN ：k 0x －y －k 05c ＋910c ＝0，两平行线距离为|－k 0c ＋32c ＋k 0c 5－910c |k 02＋1＝c ，解得k 0＝－43 ，所以M (178c ，0)，N (78c ，0) ，四边形PQNM 的面积为S ΔPFM －S ΔFQN ＝12(178c ＋c )×32c－12(78c ＋c )×910c ＝3c ，解得c ＝2 ，所以椭圆的方程为 x 216＋y 212＝1 . 方法二：同方法一求出k 0＝－43，所以FP ⊥QN ，FP ⊥PM , 又P (c ，32c )，Q (c 5，910c )，直线FP 的斜率为34.即tan ∠PFM ＝34 ，|FQ |＝32c ，|FP |＝52c ，所以四边形PQNM 的面积为 12(QN ＋PM )·c ＝12(34×32c ＋34×52c )·c＝3c ，解得c ＝2 ，所以椭圆的方程为 x 216＋y 212＝1 .方法三：可利用|F Q |＝32c ，|FP |＝52c 得FP －FQ ＝c 即直线PM 与直线QN 间的距离，直接得FP ⊥QN ，FP ⊥PM ，避免求k 0的值简化运算过程.〖教学建议〗（1）问题归类与方法：1.求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量a ，b ，c 的一个齐次关系，从而求出离心率； 2．直线与椭圆相交于两点问题①已知其中一点坐标(x 0,y 0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根；②两点均未知方法1 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－B A ，x 1x 2＝CA ，代入已知条件所得式子消去x 1，x 2(其中y 1，y 2通过直线方程化为x 1，x 2)．有时也可以直接求出两交点.（2）方法选择与优化：本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用a,b,c,e 的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形PQNM 的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大.二、反馈巩固*1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为．答案：x 23＋y 22＝1 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)*2.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．答案：22(利用双曲线与渐近线的几何性质求解)*3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ,C两点，且∠BFC ＝90°,则该椭圆的离心率是 .答案:63(考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程) *4．已知方程x 2m 2+n －y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 .答案：(–1,3) (考查双曲线的标准方程及几何性质)*5．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围为[－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是．答案：[38，34] (考查椭圆的几何性质，定值问题，函数的值域)**6．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AF 1＝3F 1B ，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案：x 2＋32y 2＝1 (考查用待定系数法求椭圆方程，利用向量法研究点坐标之间的关系)***7．点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若ΔPQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是．答案：(0，6－22) (考查直线与圆相切，圆的几何性质，椭圆的方程及离心率的计算) **8．如图，点A 是椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的下顶点．过A 作斜率为1的直线交椭圆于另一点P ，点B 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9，若B 点坐标为(0，1)，则椭圆方程是．答案：x 212＋y 24＝1 (**9．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有________个．答案：6 (考查椭圆的几何性质，焦点三角形)**10．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是．答案：(13，12)∪(12，1) (考查椭圆的定义，焦点三角形，标准方程和简单几何性质)**11．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x ＞0)图象上一动点,若点P A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为_______. 答案：－1或10 (考查两点距离，函数的最值问题)12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C ．*(1)若点C 的坐标为(43，13)，且BF 2＝2，求椭圆的方程；** (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．答案：(1) x 22＋y 2＝1；(2)55．(考查求椭圆的标准方程，离心率问题)13. 已知椭圆C ： x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为22，且椭圆C 与圆M ： (x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为2.*(1)求椭圆C 的方程.**(2)经过原点作直线l （不与坐标轴重合）交椭圆于A ， B 两点， AD ⊥x 轴于点D ，点E 在椭圆C 上，且(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝0，求证： B ， D ， E 三点共线.. 解：（1）由题意得2a ＝22，则a ＝2.由椭圆C 与圆M ： (x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为2，其长度等于圆M 的直径，可得椭圆C 经过点(1，±22)，所以12＋12b 2＝1，解得b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.（2）证明：设A (x 1，y 1)， E (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)， D (x 1，0).因为点A ， E 都在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋ 2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2).又(AB →－EB →)·(DB →＋AD →) ＝AE →·AB →＝0，所以k AB ·k AE ＝－1，即y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝－1，所以y 1x 1·x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝1所以y 1x 1＝2(y 1＋y 2)x 1＋x 2又k BE －k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 12x 1＝ y 1＋y 2x 1＋x 2－y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，所以k BE ＝k BD ，所以B ， D ， E 三点共线. （记住常见的结论可以更快获取思路，避免联立方法的繁琐计算）14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(3，0),离心率为e .*(1)若e ＝32，求椭圆的方程； **(2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且22＜e ≤32，求k 的取值范围. 答案：（1）x 212＋y 23＝1 ；（2）(－∞，－24]∪[24，＋∞) .(本题可以利用平面几何知识得F 2A ⊥F 2B 简化运算，考查函数值域问题)15.如图，已知动直线:l y kx m =+与椭圆2214x y +=交于,A B 两个不同点. *(1)若动直线:l y kx m =+又与圆22(y 2)1x +-=相切，求m 的取值范围.**(2)若动直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，满足2PB AP =，点O 为坐标原点.求AOB ∆面积的最大值，并指出此时k 的值.解：把y kx m =+代入椭圆方程22440x y +-=得： 222(41)8440,(1)k x kmx m +++-=（Ⅰ）222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->即22410(2)k m -+>直线l 与圆22(2)1x y +-=相切，22221,43(3)1m k m m k -∴=∴=-++把（3）代入（2）得：2316130m m -+>解得：133m >或1m < （Ⅱ）(0,),P m 设 1122(,),(,)A x y B x y ，122,20PB AP x x =∴+=由（1）式得：121122288,()4141km kmx x x x x k k -+=∴=-+=++ 又1x 是方程（1）的根，2222222226464(41)440(41)41k m k m k m k k ∴+++-=++ 22241361k m k +∴=+，依题意得0≠k ，显然满足222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-> 1212243,41kmx x x k -==+2122212121,241361AOB m k k S x x m k k ∆∴=-==++31194k k=≤+ ∴当且仅当194k k =即1.6k =±（符合题意）， ∴当16k =±时，AOB ∆的面积取最大值为1.(考查直线与圆位置关系，直线与椭圆的位置关系，函数最值问题)16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1、F 2分别作倾斜角都为α(α≠0)的两条直线AB 、DC ，分别交椭圆E 于点A 、B 和D 、C .当α＝π4时，点B 坐标为(0，1)． *(1) 求椭圆E 的方程；** (2) 当α变化时，讨论线段AD 与BC 长度之间的关系，并给出证明； *** (3) 当α变化时，求四边形ABCD 面积的最大值及对应的α值．答案：(1) x 22＋y 2＝1；(2) AD ＝BC ；(3)α＝π2.(考查椭圆方程，直线被椭圆截得弦长及四边形面积的范围、最值)第15题17.如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)相切于点M (0，1)．*⑴求椭圆T 与圆O 的方程;⑵过点M 引两条互相垂直的两直线l 1，l 2与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合).**①若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1，d 2，求d 21＋d 22的最大值； ***②若3MA →·MC →＝4MB →·MD →，求l 1与l 2的方程．解: (1)x 24＋y 2＝1，x 2＋y 2＝1．(2)①163，此时P (±423，－13)．②l 1：y ＝2x ＋1，l 2：y ＝－22x ＋1 或l 1：y ＝－2x ＋1，l 2：y ＝22(考查椭圆的基本量计算，椭圆上点的坐标的设法及范围，直线与圆锥曲线相交，已知其中一个交点，求另一交点的坐标，利用相似比减少解析几何中的运算量.问题2中，d 21＋d 22实际上就是矩形的对角线的平方，即PM 2．问题3中，求出A ，C 点坐标后，直接用－1k 替换k ，得到B ，D 点坐标．或将3MA →·MC →＝4MB →·MD→转化为3(k 2＋1)x A x C ＝4(1k2＋1)x B x D ．)18.如图，已知抛物线x 2＝y ，点A (－12，14),B (32，94)，抛物线上的点P (x ，y )(－12＜x ＜32)．过点B 作直线AP的垂线，垂足为Q ．*（1）求直线AP 斜率的取值范围； ***（2）求|PA |·|PQ |的最大值．答案：（1）(－1，1)；（2）2716(试题分析：（1）由两点求斜率公式可得AP 的斜率为x －12，由－12＜x ＜32，得AP 斜率的取值范围；（2）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而表达|P A |与|PQ |的长度，通过函数f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3求解|P A |·|PQ |的最大值．也可以利用向量的数量积的投影法: |PA |·|PQ |＝PA →·PB →减少了求Q 点坐标问题达到简化运算的目的.)。

高三数学二轮复习之选填专项训练圆锥曲线离心率

圆锥曲线--离心率离心率的计算，包括离心率的取值及取值范围的计算两种类型，在求解过程中的主要思路是：应用圆锥曲线的性质，得到一些线段之间的等量关系或者最值问题，进而确定出一个关于a 、b 、c 的齐次等式或不等式，确定出离心率。

1.若双曲线1-2222=by a x )0,0(>>b a 的左右焦点分别为1F 、2F ，离心率为e ，过点2F 的直线与双曲线的右支相交于A 、B 两点，若AB F 1Δ是以点A 为直角顶点的等腰三角形，则2e = （） A.22-5 B.225+ C.23-5 D.235+2.已知椭圆12222=+by a x )0,0(>>b a 的右焦点为1F ，左焦点为2F ，若椭圆上存在一点P ，满足线段1PF 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段1PF 的中点，则该椭圆的离心率为________.3.若双曲线1-2222=by a x )0,0(>>b a 的左右焦点分别为1F 、2F ，以线段21F F 为一边的等边三角形21F PF 与双曲线的两交点M,N 恰为等边三角形21F PF 两边的中点，则该双曲线的离心率e=_________4.若双曲线1-2222=by a x )0,0(>>b a 的左右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 且平行于双曲线渐近线的直线与抛物线cx y 42=交于P ，若P 在以21F F 为直径的圆上，则该双曲线的离心率为A.253+ B.5 C.21-5 D.215+5.若双曲线C:1-2222=by a x )0,0(>>b a 的左右焦点分别为1F 、2F ，且2F 恰为抛物线x y 42=的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若21F AF Δ是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为_______.6.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,3|)||(|2221ab b PF PF -=+则该双曲线的离心率为（） A.2 B.15 C.4 D.177. 设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于A 、B ，若)0,(m P 满足||||PB PA =，则双曲线的离心率是 .8.若双曲线C:1-2222=by a x )0,0(>>b a 的左右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线左支上的一点，若122PF PF 的最小值为a 8，则该双曲线的离心率的范围是（）A.[)+∞，3B.[]33，C.(]31，D.(]31， 9.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为1F 、2F ，这两条曲线在第一象限的交点为P ，21F PF Δ是以1PF 为底边的等腰三角形，若10PF 1=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则21e e 的取值范围是（）A.()+∞，0 B.()∞ 1/3+， C.()+∞， 1/5 D.()+∞， 1/9。

江苏省2018届高三数学二轮专题复习(第2层次)专题12圆锥曲线的综合问题

专题12：圆锥曲线的综合问题(两课时)班级姓名一、前测训练1．（1）点A 是椭圆x 236＋y 220＝1的左顶点，点F 是右焦点，若点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，满足PA ⊥PF ，则点P 的坐标为．（2）若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为．答案：(1)(32，523)．(2)6．2．如果椭圆x 240＋y 210＝1的弦被点A (4，－1)平分，则这条弦所在的直线方程是．答案：y ＝x －5．3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C .(1)若点C 的坐标为(43，13)，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.答案：（1）x 22＋y 2＝1；（2）e ＝12．二、方法联想1．椭圆上一个点问题（1）设点的坐标，寻找第二个方程联立方程组，通过解方程组获得解．（2）设点的坐标，利用点在曲线上可以消去一个未知数，从而转化为函数问题，消元后要注意曲线上点的坐标的范围．变式：如图，椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上,且OP ⊥AF .求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP .答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明)2．直线与椭圆相交于两点问题方法1 已知直线与椭圆两交点中的一个，直接求出另一个点坐标；方法2 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－B A ，x 1x 2＝CA ，代入已知条件所得式子消去x 1，x 2(其中y 1，y 2通过直线方程化为x 1，x 2)．注意：(1)设直线方程时要注意直线垂直于x 轴情况；(2)通过△判断交点个数；(3)根据需要也可消去x 得关于y 的方程．结论：弦长公式 AB ＝1＋k 2｜x 1－x 2｜＝1＋1k 2｜y 1－y 2｜．方法3 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，通过已知条件建立x 1、y 1与x 2、y 2的关系，消去x 2、y 2解关于x 1、y 1的方程组（或方程）．方法4 点差法设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2×x 1＋x 2y 1＋y 2，即k AB ＝－b 2a 2×x 0y 0，其中AB 中点M 为(x 0，y 0)．注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题．变式：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，长轴长为4.过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q .①若直线l 的斜率为12，求APAQ的值；②若PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围．答案：①56；②（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)三、例题分析例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P (0，1)，Q (0，2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上．答案：（1）椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1．（2）略．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：12．直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径． 3．两直线的交点．4．点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程．二、方法选择与优化建议：解法一：很自然地设出点M ，N 的坐标，利用两直线相交求出交点T 的坐标，看它是否满足椭圆方程．解法二：可先设出点T 的坐标（x ，y ），利用两条直线方程，把M 或N 点的坐标表示出来，再代入椭圆方程，得出关于x ，y 的方程．本题解法二的计算量相对小一点．例2 如图，A ，B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左右顶点，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，若椭圆C 的离心率为12，且右准线l 的方程为x ＝4．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线AM 交l 于点P ，以MP 为直径的圆交直线MB 于点Q ，试证明：直线PQ 与x 轴的交点R 为定点，并求出R 点的坐标．答案：（1）椭圆C 方程为x 24＋y 23＝1．（2）R 点的坐标为（－12，0）．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．椭圆标准方程，椭圆的右准线方程和离心率．2．k MA k MB ＝－b 2a 2．3．两点式直线方程，两直线的交点，点斜式直线方程．4．直径所对的圆周角是直角，互相垂直的两条直线斜率之间的关系．二、方法选择与优化建议：解析几何的解题要关注平面几何性质的运用，以简化运算．例3 如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相切于点M (0，1)．⑴求椭圆T 与圆O 的方程;⑵过点M 引两条互相垂直的两直线l 1，l 2与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合).①若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1，d 2，求d 21＋d 22的最大值； ②若3MA →·MC →＝4MB →·MD →，求l 1与l 2的方程．解: (1)x 24＋y 2＝1，x 2＋y 2＝1．(2)①163，此时P (±423，－13)． ②l 1：y ＝2x ＋1，l 2：y ＝－22x ＋1 或l 1：y ＝－2x ＋1，l 2：y ＝22x ＋1 〖教学建议〗1．主要问题归类与方法：（1）椭圆的基本量计算．（2）椭圆上点的坐标的设法及范围，直线与圆锥曲线相交，已知其中一个交点，求另一交点的坐标，利用相似比减少解析几何中的运算量 2．方法选择与优化建议：（1）问题2中，d 21＋d 22实际上就是矩形的对角线的平方，即PM 2．（2）问题3中，求出A ，C 点坐标后，直接用－1k 替换k ，得到B ，D 点坐标．或将3MA →·MC →＝4MB →·MD →转化为3(k 2＋1)x A x C ＝4(1k 2＋1)x B x D ．四、反馈练习1．过椭x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则弦AB ＝________. 答案：553（考查：直线被椭圆截得的弦长）2．已知点A (2，0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则FM ∶MN ＝ ________. 答案：1∶5（考查：抛物线定义，直线与抛物线的交点）3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率为________．答案：57（考查：椭圆离心率，椭圆的定义，解三角形）4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________. 答案：2（考查：双曲线的渐近线，双曲线与抛物线的关系）5．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则双曲线C 的方程是________. 答案：x 24－y 25＝1（考查：双曲线中的基本量的计算）6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是 ________.答案：32（考查内容：双曲线、抛物线中的基本量的计算）7．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为 ________. 答案：33（考查内容：椭圆离心率，椭圆的定义）8． O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF ＝42，则△POF 的面积为 ________. 答案：23（考查：圆与抛物线的交点，待定系数法）9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，B 是它的下顶点，F 是其右焦点，BF 的延长线与椭圆及其右准线分别交于P ，Q 两点，若点P 恰好是BQ 的中点，则此椭圆的离心率是___. 答案：33(考查：椭圆中基本量计算，椭圆的离心率)10．已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．答案：x 2－y 23＝1（考查内容：双曲线与抛物线中基本量之间的关系）11．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．答案：(1) y 216＋x 24＝1.(2) y ＝x 或y ＝－x .（考查：椭圆基本量的计算，待定系数法）12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b ．过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；（3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程．答案：（1）x 24＋3y 24＝1．（2）2．（3）x ＋y ＝0或x ＝－12．（考查：椭圆中的基本量计算，直线与椭圆的交点）13．已知椭圆x 24＋y 29＝1上任一点P ，由点P 向x 轴作垂线PQ ，垂足为Q ，设点M 在PQ 上，且PM →＝2MQ →，点M 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程；(2)过点D (0，－2)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，若OA ⊥OB ，求直线l 的方程．答案： (1)曲线C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)直线l 的方程为y ＝±2x －2.（考查：点的轨迹，直线与椭圆的交点，根与系数的关系．）14．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点(m3，m )，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。

2018年高三数学高考二轮复习：高考解答题赏析——圆锥曲线(解析版)

高考解答题赏析——圆锥曲线精炼基础1．如图，分别过椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点F 1，F 2的动直线l 1，l 2相交于P 点，l 1，l 2与椭圆E 分别交于A ，B 与C ，D 且这四点两两不同，直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率k 1，k 2，k 3，k 4满足k 1＋k 2＝k 3＋k 4.已知当l 1与x 轴重合时，|AB|＝23，|CD|＝433.(1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在定点M ，N ，使|PM|＋|PN|为定值？若存在，求出M ，N 点坐标；若不存在，说明理由．解：(1)当l 1与x 轴重合时，由2a ＝|AB|＝23，得a 2＝3.又2b 2a ＝|CD|＝433，所以b 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)焦点F 1，F 2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，当直线l 1或l 2的斜率不存在时，P 点的坐标为(－1,0)或(1,0)．当斜率存在时，设直线l 1，l 2的斜率分别为m 1，m 2，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 23＋y 22＝1，y ＝m 1x ＋1得(2＋3m 21)x 2＋6m 21x ＋3m 21－6＝0，所以x 1＋x 2＝－6m 212＋3m 21，x 1x 2＝3m 21－62＋3m 21，所以k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝m 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1＋x 2＋1x 2 ＝m 1⎝⎛⎭⎪⎫2＋x 1＋x 2x 1x 2＝－4m 1m 21－2.同理k 3＋k 4＝－4m 2m 22－2.∵k 1＋k 2＝k 3＋k 4，∴－4m 1m 21－2＝－4m 2m 22－2，即(m 1m 2＋2)(m 2－m 1)＝0，由题意得m 1≠m 2，∴m 1m 2＋2＝0.设P(x ，y)，则yx ＋1·yx －1＋2＝0，即y 22＋x 2＝1(x≠±1)．当直线l 1或l 2的斜率不存在时，P 点坐标为(－1,0)或(1,0)也满足上式，所以P(x ，y)在椭圆y 22＋x 2＝1上．所以存在点M ，N ，其坐标分别为(0，－1)，(0,1)，使得|PM|＋|PN|为定值2 2.2．(2017·广州五校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22，且经过点(6，1)，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)圆O 是以椭圆E 的长轴为直径的圆，M 是直线x ＝－4在x 轴上方的一点，过M 作圆O 的两条切线，切点分别为P 、Q ，当∠PMQ ＝60°时，求直线PQ 的方程．解：(1)由题意可得e ＝c a ＝22，∵椭圆E 经过点(6，1)，∴6a 2＋1b 2＝1，又a 2－b 2＝c 2，解得a ＝22，b ＝2，∴椭圆E的标准方程为x28＋y24＝1.(2)连接OM，OP，OQ，OM与PQ交于点A，依题意可设M(－4，m)．由圆的切线性质及∠PMQ＝60°，可知△OPM为直角三角形且∠OMP＝30°，∵|OP|＝22，∴|OM|＝42，∴ －4 2＋m2＝42，又m>0，解得m＝4，∴M(－4,4)，∴直线OM的斜率k OM＝－1，由MP＝MQ，OP＝OQ可得OM⊥PQ，∴直线PQ的斜率k PQ＝1，设直线PQ的方程为y＝x＋n，∵∠OMP＝30°，∴∠POM＝60°，∴∠OPA＝30°，由|OP|＝22知|OA|＝2，即点O到直线PQ的距离为2，∴|n|12＋－1 2＝2，解得n＝±2(舍去负值)，∴直线PQ的方程为x－y＋2＝0.3．已知动点P到定点F(1,0)和直线l0：x＝2的距离之比为2 2，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx＋n与曲线E交于C，D两点，与线段AB 相交于一点(与A ，B 不重合)．(1)求曲线E 的方程；(2)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．解：(1)设点P(x ，y)，由题意可得x －1 2＋y 2|x －2|＝22，整理可得x 22＋y 2＝1，即曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由已知可得|AB|＝ 2.当m ＝0时，不合题意．当m≠0时，由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|n|m 2＋1＝1，即m 2＋1＝n 2.联立⎩⎨⎧y ＝mx ＋n ，x22＋y 2＝1，消去y得⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0.Δ＝4m 2n 2－4⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋12(n 2－1)＝2m 2>0，所以x 1＋x 2＝－4mn 2m 2＋1，x 1x 2＝2n 2－22m 2＋1，则S 四边形ABCD ＝12|AB||x 2－x 1|＝22m 2－n 2＋12m 2＋1＝2|m|2m 2＋1＝22|m|＋1|m|≤22，当且仅当2|m|＝1|m|，即m ＝±22时等号成立，此时n ＝±62.经检验可知，直线y ＝22x －62和直线y ＝－22x ＋62符合题意．链接高考1．(2017·石家庄一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝12，点A 为椭圆上一点，∠F 1AF 2＝60°，且S △F 1AF 2＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q.问：在x 轴上是否存在定点M ，使得以PQ为直径的圆恒过定点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由e ＝12可得a 2＝4c 2，①S △F 1AF 2＝12|AF 1||AF 2|sin60°＝3，可得|AF 1||AF 2|＝4，在△F 1AF 2中，由余弦定理可得|F 1A|2＋|F 2A|2－2|F 1A|·|F 2A|cos60°＝4c 2，又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，可得a 2－c 2＝3，② 联立①②得a 2＝4，c 2＝1，∴b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由题意知Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0，∴x 0＝－4km4k 2＋3＝－4k m ，y 0＝3m ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x ＝4得Q(4,4k ＋m)，假设存在点M ，坐标为(x 1,0)，则MP →＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km－x 1，3m ，MQ →＝(4－x 1,4k ＋m)．∵以PQ 为直径的圆恒过M 点，∴MP →·MQ →＝0，即－16k m ＋4kx 1m －4x 1＋x 21＋12km＋3＝0， ∴(4x 1－4)km＋x 21－4x 1＋3＝0对任意k ，m 都成立．则⎩⎨⎧4x 1－4＝0，x 21－4x 1＋3＝0，解得x 1＝1，故存在定点M(1,0)符合题意．2．(2017·贵阳监测)设点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a>1)的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1→·PF 2→的最小值为0.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，作F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l 分别交直线l 于M ，N 两点，求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．解：(1)设P(x ，y)，则PF 1→＝(－c －x ，－y)，PF 2→＝(c －x ，－y)，∴PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2＝a 2－1a 2x 2＋1－c 2，x ∈[－a ，a]，由题意得，1－c 2＝0，c ＝1，则a 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)将直线l 的方程l ：y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0，化简得：m 2＝2k 2＋1.设d1＝|F1M|＝|－k＋m| k2＋1，d2＝|F2N|＝|k＋m| k2＋1.①当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1－d2|＝|MN|·|tanθ|，∴|MN|＝1 |k|·|d1－d2|，∴S＝12·1|k|·|d1－d2|·(d1＋d2)＝2|m|k2＋1＝4|m|m2＋1＝4|m|＋1|m|，∵m2＝2k2＋1，∴当k≠0时，|m|>1，|m|＋1|m|>2，即S<2.②当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，此时S＝2.∴四边形F1MNF2面积S的最大值为2.。

专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳(精讲精练)(原卷版)

专题12 圆锥曲线压轴小题常见题型全归纳【命题规律】1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．【核心考点目录】核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线核心考点二：蒙日圆核心考点三：阿基米德三角形核心考点四：仿射变换问题核心考点五：圆锥曲线第二定义核心考点六：焦半径问题核心考点七：圆锥曲线第三定义核心考点八：定比点差法与点差法核心考点九：切线问题核心考点十：焦点三角形问题核心考点十一：焦点弦问题核心考点十二：圆锥曲线与张角问题核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题核心考点十四：圆锥曲线与通径问题核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题核心考点十六：圆锥曲线与四心问题【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（） A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=2．（2022·全国·统考高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．C ．3D ．3．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（） A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=4．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（） A ．C 的准线为1y =- B ．直线AB 与C 相切 C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>5．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒6．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________．7．（2022·全国·统考高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．8．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【方法技巧与总结】1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求122a F F >；在双曲线的定义中，要求2a <12F F ；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．【核心考点】核心考点一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）设双曲线222116x y b-=的左右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线上任意一点，过1F 的直线与12F PF ∠的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程________；M 在曲线E 上，点(8,0)A ，(5,6)B ，则12AM BM +的最小值________．例2．（2023·全国·高三专题练习）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,1A -，()2,4B -，点P 是满足12λ=的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点Q 为抛物线:E 24y x =上的动点，Q 在y 轴上的射影为H ，则PA PQ QH ++的最小值为______．例3．（2022春·江苏镇江·高二校考期中）在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当 0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>， 12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，A ，B 为双曲线虚轴的上､下端点，动点P 满足||2||PB PA =， PAB 面积的最大值为4．点M ，N 在双曲线上，且关于原点O 对称，Q 是双曲线上一点，直线QM 和QN 的斜率满足 3QM QN k k ⋅=，则双曲线方程是 ______________ ；过2F 的直线与双曲线右支交于C ，D 两点（其中C 点在第一象限），设点M ､N 分别为 12CF F △､12DF F △的内心，则MN 的范围是 ____________ ．核心考点二：蒙日圆【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆()22:102x y C a a a+=>+的蒙日圆为226x y +=，则=a （） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4例5．（2023·全国·高三专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C ：2211x y a a+=+(0)a >的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆方程为（） A ．229x y += B ．227x y += C ．225x y += D ．224x y +=例6．（2023春·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考期中）加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 22:154x y C +=的蒙日圆的半径为（）A ．3B ．4C ．5D ．6核心考点三：阿基米德三角形【典型例题】例7．（2023·高二课时练习）抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，称PAB 为“阿基米德三角形”，当线段AB 经过抛物线的焦点F 时，PAB 具有以下特征： ①P 点必在抛物线的准线上；②PF AB ⊥．若经过抛物线24y x =的焦点的一条弦为AB ，“阿基米德三角形”为PAB ，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（）A ．210x y --=B ．220x y +-=C ．210x y +-=D ．220x y --=例8．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（Archimedes ，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形．．．．．．．（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23（即右图中阴影部分面积等于PAB 面积的23）．若抛物线方程为22(0)y px p =>，且直线2p x =与抛物线围成封闭图形的面积为6，则p =（）A ．1B ．2C ．32D ．3例9．（2023·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家和天文学家．他研究抛物线的求积法得出著名的阿基米德定理，并享有“数学之神”的称号．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形．如图，PAB 为阿基米德三角形．抛物线22(0)x py p =>上有两个不同的点()()1122,,,A x y B x y ，以A ，B 为切点的抛物线的切线,PA PB 相交于P ．给出如下结论，其中正确的为（）（1）若弦AB 过焦点，则ABP 为直角三角形且90APB ︒∠=；（2）点P 的坐标是1212,22x x x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）PAB 的边AB 所在的直线方程为()121202x x py x x x --=+；（4）PAB 的边AB 上的中线与y 轴平行（或重合）．A ．（2）（3）（4）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（3）（4）核心考点四：仿射变换问题【典型例题】例10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 与椭圆22142x y +=交于M ，N 两点，当OM ON k k ⋅=______，MON △面积最大，并且最大值为______．记1122(,),(,)M x y N x y ，当MON △面积最大时，2212x x +=_____﹐2212y y +=_______．Р是椭圆上一点，OP OM ON λμ=+，当MON △面积最大时，22λμ+=______．例11．（2023·全国·高三专题练习）过椭圆22143x y +=的右焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，则AOB面积最大值为_______．例12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22:12x C y +=左顶点为A ，,P Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k 且1212k k =-，,AD DF AE EQ λμ==（,λμ是非零实数），求22λμ+=______________．核心考点五：圆锥曲线第二定义【典型例题】例13．（2023·全国·高三专题练习）设F 为抛物线2:6C y x =的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（）A B ．8 C ．12 D ．例14．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线24y x =焦点F 的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A ，B ，C ．若2AB BF =，则线段BC 的中点到准线的距离为（） A ．3B ．4C ．5D ．6例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且4AF =，则线段AB 的长为（）A ．5B ．6C ．163D ．203核心考点六：焦半径问题【典型例题】例16．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是双曲线22184x y -=上的动点，1F ，2F 为该双曲线的左右焦点，O 为坐标原点，则12||||||PF PF OP +的最大值为（）A ．B ．2C D例17．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线222:1(0)4x y C a α-=>的右支上的点0(P x ，0)y 满足121||3||(PF PF F =，2F 分别是双曲线的左右焦点），则00(cy c x +为双曲线C 的半焦距）的取值范围是（） A．)∞+ B ．[2，25)2C ．25)2D ．[2，例18．（2023·全国·高三专题练习）已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的动点，1F ，2F 是左、右焦点，O 是坐标原点，若12||PF PF OP +，则双曲线的离心率为（）AB C ．32D ．2核心考点八：圆锥曲线第三定义【典型例题】例19．（江苏省南京市中华中学2022-2023学年高二下学期初数学试题）椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线1PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线2PA 斜率的取值范围是（） A ．33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦例20．（2023·全国·高三专题练习）椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[3-，1]-，那么直线1PA 斜率的取值范围是（）A ．1[4，3]4B ．1[2，3]4C ．1[2，1]D ．3[4，1]例21．（2023·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，过点1F 且斜率为k 的直线与圆222x y a +=交于A ，B 两点（点B 在x 轴上方），线段1F B 与椭圆交于点M ，2MF 延长线与椭圆交于点N ，且122||,2AF MB MF F N ==，则椭圆的离心率为___________，直线1AF 的斜率为___________．例22．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个顶点分别为A 、B ，点C 为椭圆上不同于A 、B 的任一点，若将ABC ∆的三个内角记作A 、B 、C ，且满足3tan 3tan tan 0A B C ++=，则椭圆的离心率为（）A B ．13C D ．23核心考点八：定比点差法与点差法【典型例题】例23．（2023·全国·高三专题练习）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB的中点为(1,)M m （0m >），那么k 的取值范围是（）A ．12k <-B ．1122k -<<C ．12k >D ．12k <-，或12k >例24．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22:143x y C +=，过点()11P ，的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若点P 恰为弦AB 中点，则直线l 斜率是（） A ．3-B ．13-C ．34-D ．43-例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>内有一定点(1,1)P ，过点P 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆Γ交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP PC λ=，BP PD λ=，若λ变化时，直线CD 的斜率总为14-，则椭圆Γ的离心率为A B ．12C D 核心考点九：切线问题【典型例题】例26．（2023·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点(),o o P x y 的切线方程为001x x y y m n +=．过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（） A ．30x y --= B ．-20x y += C ．2330x y +-=D ．3100x y --=例27．（2023·全国·高三专题练习）已知点()1,0A -､()10B ,，若过A ､B 两点的动抛物线的准线始终与圆228x y +=相切，该抛物线焦点的轨迹是某圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线是（）A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．抛物线例28．（2023·全国·高三专题练习）设P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>在第一象限内的动点，O 为坐标原点，双曲线C 在P 点处的切线的斜率为m ，直线OP 的斜率为n ，则当1ln ln b a m n a b mn++++取得最小值时，双曲线C 的离心率为（）AB ．2CD核心考点十：焦点三角形问题【典型例题】例29．（2023春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若16PF =，则12PF F △的面积为（）A ．8B ．C ．16D ．例30．（2023·全国·高三专题练习）椭圆两焦点分别为()13,0F ，()23,0F -，动点P 在椭圆上，若12PF F △的面积的最大值为12，则此椭圆上使得12F PF ∠为直角的点P 有（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个例31．（2023·全国·高三专题练习）双曲线221169x y -=的左、右焦点分别1F 、2F ，P 为双曲线右支上的点，12PF F △的内切圆与x 轴相切于点C ，则圆心I 到y 轴的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．4例32．（2023·全国·高三专题练习）已知(P 在双曲线22214x y b-=上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，三角形12PF F 的内切圆切x 轴于点M ，则2MP MF ⋅的值为（）A ．1B ．1C ．2D ．核心考点十一：焦点弦问题【典型例题】例33．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若3AF BF =，则直线l 的方程是（）A 0y --=B ．40y --C ．390x y --=D ．330x y --=例34．（2023·全国·高三专题练习）抛物线24y x =的焦点弦被焦点分成长是m 和n 的两部分，则m 与n 的关系是（） A ．m ＋n ＝mnB ．m ＋n ＝4C ．mn ＝4D ．无法确定例35．（2023春·河南南阳·高二统考期中）如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22345AB BF AF =∶∶∶∶，则双曲线的离心率为（）A ．2BC D核心考点十二：圆锥曲线与张角问题【典型例题】例36．（2023·全国·高三专题练习）定义：点P 为曲线L 外的一点，,A B 为L 上的两个动点，则APB ∠取最大值时，APB ∠叫点P 对曲线L 的张角．已知点P 为抛物线2:4C y x =上的动点，设P 对圆22:(3)1M x y -+=的张角为θ，则cos θ的最小值为___________．例37．（2023春·山东·高二山东省实验中学校考阶段练习）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在C 上，直线PF 2与y 轴交于点Q ，点P 在线段2F Q 上，1QPF 的内切圆的圆心为I ，若12IF F △为正三角形，则12F PF ∠=___________，C 的离心率的取值范围是___________．核心考点十三：圆锥曲线与角平分线问题【典型例题】例38．（2022春·广东广州·高二校联考期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F P为C 上不与左､右顶点重合的一点，I 为12PF F △的内心，且12322IF IF PI +=，则C 的离心率为（）A ．13B ．25C D 例39．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期中）双曲线22221x y a b -=的左右焦点分别为1F 、2F ，P 是双曲线右支上一点，I 为12PF F △的内心，PI 交x 轴于Q 点，若12FQ PF =，且:2:1PI IQ =，则双曲线的离心率e 的值为（） A ．2B ．32C D ．53例40．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F 与短轴的两个端点1B ，2B 都在圆221x y +=上，P 是C 上除长轴端点外的任意一点，12F PF ∠的平分线交C 的长轴于点M ，则12MB MB +的取值范围是（）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．⎡⎣D ．2,⎡⎣核心考点十四：圆锥曲线与通径问题【典型例题】例41．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，以点()14,0F ，()28,9F 为焦点的动椭圆与双曲线221412x y -=的右支有公共点，则椭圆通径的最小值为______．例42．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点F 的直线与T 交于,A B 两点，且2AF FB =，T 的准线l 与x 轴交于C ，CBF 的面积为T 的通径长为___________．例43．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于22b a（a 、b 分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长）．已知双曲线222:1x C y a -=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，若点M 是双曲线C 上位于第四象限的任意一点，直线l 是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，MQ l ⊥于点Q ，且1MQ MF +的最小值为3，则双曲线C 的通径为__________．核心考点十五：圆锥曲线的光学性质问题【典型例题】例44．（2023·全国·高三专题练习）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（） A ．4aB ．2()a c -C ．2()a c +D ．以上答案均有可能例45．（2023·全国·高三专题练习）双曲线的光学性质为：从双曲线一个焦点发出的光，经过反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上，若双曲线E 的焦点分别为1F ，2F ，经过2F 且与1F 2F 垂直的光线经双曲线E 反射后，与1F 2F 成45°角，则双曲线E 的离心率为（）AB1 C．D．1例46．（2023·全国·高三专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2:4C y x =，一条平行于x 轴的光线1l 从点()8,4P 射入，经过C 上的点A 反射后，再经C 上另一点B 反射后，沿直线2l 射出，则AB =（） A ．7B ．174C ．214D ．254核心考点十六：圆锥曲线与四心问题【典型例题】例47．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆Γ：22143x y +=，过其左焦点1F 作直线l 交椭圆Γ于P ，A 两点，取P 点关于x 轴的对称点B ．若G 点为PAB 的外心，则1PAGF =（） A ．2B ．3C ．4D ．以上都不对例48．（2023·全国·高三专题练习）双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,A O B ，若抛物线2C 的焦点恰为AOB ∆的内心，则双曲线1C 的离心率为（）A ．32BC4D ．122例49．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P是双曲线右支上一点，且212PF F F ⊥，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则双曲线的离心率为（） AB ．2C ．3D ．4例50．（2023·全国·高三专题练习）记椭圆C ：2221x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 交椭圆于A ，B ，A ，B 处的切线交于点P ，设12F F P 的垂心为H ，则PH 的最小值是（）ABCD【新题速递】一、单选题1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）已知椭圆E ：221164x y +=的左右顶点分别为1A ，2A ，圆1O 的方程为()22114x y ⎛++= ⎝⎭，动点P 在曲线E 上运动，动点Q 在圆1O 上运动，若12A A P △的面积为PQ 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n +的值为（）AB ．C ．D ．2．（2023·河南郑州·高三阶段练习）公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等﹐则体积相等．更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理．已知将双曲线22:182x y C -=与直线2y =±围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体E ，则旋转体E 的体积是（）A ．32π3B ．64π3C ．80π3D ．160π33．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）设12F F 、是双曲线22:1810y C x -=的左、右两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且1212OP PF PF =-，则1PF O 的面积为（） A ．5B ．8C ．10D ．124．（2023·全国·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点()20M ，，()10N -，，动点()Q x y ，满足2QM QN =，过点()31-，的直线与动点Q 的轨迹交于A ，B 两点，记点Q 的轨迹的对称中心为C ，则当ABC 面积取最大值时，直线AB 的方程是（）A ．4y x =+B ．4y x =-+C ．24y x =+D ．24y x =-+5．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线22:C x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 围成的图形的面积是2π+； ②曲线C 上的任意两点间的距离不超过2；③若(),P m n 是曲线C 上任意一点，则3m n +-的最小值是1．其中正确结论的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知点P 为抛物线()220y px p =>上一动点，点Q 为圆22:(1)(4)1C x y ++-=上一动点，点F 为抛物线的焦点，点P 到y 轴的距离为d ，若PQ d +的最小值为2，则p =（） A ．12p =B ．1p =C ．2p =D ．4p =7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点，C 的右支上存在一点B 满足12BF BF ⊥，1BF 与C 的左支的交点A 满足221212sin sin BF AF F AF B F F ∠=∠，则双曲线C的离心率为（）A ．3B．CD8．（2023·北京·高三专题练习）在平面直角坐标系中，,A B 是直线x y m +=上的两点，且10AB =．若对于任意点()()cos ,sin 02πP θθθ≤<，存在,A B 使90APB ∠=成立，则m 的最大值为（） A．B．C．D．9．（2023·全国·高三专题练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切．给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大．其中，所有正确结论的序号是（） A ．①B ．②③C ．①②D ．①③10．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知圆22:4O x y +=和圆22:4210M x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，下列说法中错误的是（）． A ．圆O 与圆M 有两条公切线 B ．圆O 与圆M 关于直线AB 对称 C ．线段ABD ．E ，F 分别是圆O 和圆M 上的点，则EF的最大值为4二、多选题11．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知F 是抛物线2:2C x y =的焦点，,A B 是抛物线C 上的两点，O 为坐标原点，则（）A ．若AF y ⊥轴，则1AF =B ．若2AF =，则AOFC ．AB 长度的最小值为2D ．若AOB 90∠=，则8OA OB ⋅≥12．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，点)P在椭圆C 外，点Q 在椭圆C 上，则（）A ．椭圆C的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭B ．当椭圆C1QF的取值范围是2⎡⎣ C ．存在点Q 使得210QF QF ⋅=D ．1211QF QF +的最小值为2 13．（2023·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 为()1,0，过点()3,2M 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点P 为抛物线C 上的动点，则（） A ．PM PF +的最小值为B ．C 的准线方程为=1x -C ．4OA OB ⋅≥-D ．当PF l ∥时，点P 到直线l 的距离的最大值为14．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线22y x =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（） A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ=，则MN 的最小值为12 D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58三、填空题15．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知抛物线C ：y 2=2px （p >0）的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B ．设直线MA ，MB 的斜率分别为1212,,k k k k ⋅=则______16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的离心率2≥e ，直线1y x =-+交双曲线于点M ，N ，O 为坐标原点且OM ON ⊥，则双曲线实轴长的最小值是__________．17．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知圆221:4C x y +=与圆222:(1)(1)10C x y +++=相交于A ，B 两点，则||AB =________．18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：22y px =（0p >）的准线方程为2x =-，焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ､B 为抛物线C |2||BF AB =，则点F 到AB 的距离为______．19．（2023·全国·高三专题练习）已知实数x ，y 满足：22(2)(1)1x y ++-=，则 1 2 x y -+的取值范围是______．20．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知抛物线M ：24x y =，圆C ：22(3)4x y +-=，在抛物线M 上任取一点P ，向圆C 作两条切线PA 和PB ，切点分别为A ，B ，则CA CB ⋅的取值范围是______ ．。

2018高考数学(文)二轮备考课件--专题13圆锥曲线

由①②可得 PF1＝(4－2 2)a，
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从而 PF2＝2a－PF1＝(2 2－2)a.
2 2 由 PF1⊥PF2，知 PF2 ＋ PF ＝ F F 1 2 1 2，
即(4－2 2)2a2＋(2 2－2)2a2＝4c2，
2 c 可得(9－6 2)a2＝c2，即 2＝9－6 2， a
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[ 解]
(1)由题意得 a＝2，b＝1， 3分 5分
x2 2 所以椭圆 C 的方程为 4 ＋y ＝1. 3 c 又 c＝ a －b ＝ 3，所以离心率 e＝a＝ 2 .
2 2 2 (2)证明：设 P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则 x2 ＋ 4 y 0 0＝4.
又 A(2,0)，B(0,1)， y0 所以直线 PA 的方程为 y＝ (x－2). x0－2 2y0 2y0 令 x＝0，得 yM＝－，从而 BM＝1－yM＝1＋ . x0－2 x0－2
2 x ＝4y， (2)由 y＝x－1，
6分 8分
x＝2，解得 y＝1，
所以点 A(2,1).
因为抛物线的准线方程为 y＝－1，所以圆的半径 r＝1－(－1)＝2，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. 14 分
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热点 2 圆锥曲线中的定点、定值问题
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x2 y2 如图 1，椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 PQ⊥PF1. (1)若 PF1＝2＋ 2，PF2＝2－ 2，求椭圆的标准方程； (2)若 PF1＝PQ，求椭圆的离心率 e. 【导学号：62172279】

2018届高中数学高考二轮复习圆锥曲线教案含答案(全国通用)

教学过程一、考纲解读通常设置一个小题与一个大题,约占20分．其规律是涉及圆锥曲线的图形、定义或简单几何性质一个小题,直线、圆与圆锥曲线(特别是椭圆)的综合问题一个大题．在解答题中,以“交汇型问题”、“参数问题”和“轨迹问题”为主要题型,需要重视与加强．复习中,要以椭圆的定义、标准方程与几何性质为突破口,通过类比与对比的方法把握双曲线与抛物线．从思想方法的高度把握圆锥曲线问题．其涉及的主要思想方法有：(1)待定系数法；(2)数形结合法；(3)分类讨论法；(4)函数与方程思想．二、复习预习圆锥曲线与方程①掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.③了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.④理解数形结合的思想.⑤了解圆锥曲线的简单应用.三、知识讲解考点1 椭圆椭圆的定义、几何图形、标准方程椭圆简单几何性质（范围、对称性、顶点、焦点、离心率、通径）.考点2 双曲线双曲线的定义、几何图形、标准方程双曲线简单几何性质（范围、对称性、顶点、焦点、离心率、渐近线、通径）考点3 抛物线抛物线的定义、几何图形、标准方程抛物线简单几何性质（范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径公式）考点4 直线与圆锥曲线位置关系1.解答题中侧重用代数方法解题，考查直线与圆锥曲线的位置关系(解答题中直线与双曲线位置关系几乎不考),有关轨迹问题、最值问题、参数范围问题、定值问题等.2.韦达定理在解决直线与圆锥曲线的位置关系的应用,应注意考虑这几个方面：（1）设交点坐标，设直线方程；（2）联立直线与椭圆方程，消去x或y，得到一个关于y或x一元二次方程，利用韦达定理；（3）利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题。

解答题以考查学生的运算求解能力、推理论证能力，常涉及函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等基本数学思想，用到待定系数法、代入法、消元法等。

江苏南京中山中学2018届高三数学专项复习练习(无答案)圆锥曲线

圆锥曲线一、选择题：1．0≠c 是方程 c y ax =+22 表示椭圆或双曲线的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件2．如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0） 3．直线y = x +1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是（）A ．(31, -32)B ．(-32, 31) C.(21, -31) D ．(-31,21 ) 4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（）A ．6mB ． 26mC ．4.5mD ．9m5. 已知椭圆15922=+y x 上的一点P 到左焦点的距离是34，那么点P 到椭圆的右准线的距离是（）A ．2B ．6C ．7D ．1436．曲线225x ＋29y =1与曲线225k x -＋29k y -=1(k ＜9 ）的（）A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等7．已知椭圆25x ＋2m y ＝1的离心率则m 的值为（） A ．3 B. 253或 3C.D.8．已知椭圆C 的中心在原点，左焦点F 1，右焦点F 2均在x 轴上，A 为椭圆的右顶点，B 为椭圆短轴的端点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，则此椭圆的离心率等于（）A ．12BC ．13 D9210.椭圆225x ＋29y =1上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是M 1F 的中点，，则2ON 等于（）A. 3 B . 4 C. 8 D.16二．填空题(每题4分，共16分)11.11422=-+-t y t x 表示双曲线，则实数t 的取值范围是． 12．双曲线42x －2y ＋64＝0上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，则点P 到另一个焦点的距离等于 .13．斜率为1的直线经过抛物线2y ＝4x 的焦点，且与抛物线相交于A,B 两点，则AB 等于 . 14. 设x,y ∈R,在直角坐标平面内，a （x,y+2）, b = (x,y －2)，且a ＋b ＝8，则点M （x ,y ）的轨迹方程是 . 三．解答题15．已知双曲线与椭圆1244922=+y x 共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线方程．(10分)16．椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）若0=⋅，求直线PQ 的方程；17．已知椭圆的中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线y = x +1与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆的方程．18．一炮弹在A 处的东偏北60°的某处爆炸，在A 处测到爆炸信号的时间比在B 处早4秒，已知A 在B 的正东方、相距6千米， P 为爆炸地点，（该信号的传播速度为每秒1千米）求A 、P 两地的距离．。

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