华师大附中：高一《数学》第一学期期中考试与答案
(整理版)师大附中高一上学期期中考试试题(数学)
师大附中— 度高一上学期期中考试试题〔数学〕本试卷分第一卷、第二卷．本试卷共4页．第一卷和第二卷总分值150分，考试时间120分钟．考前须知：将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共100分一、选择题：本大题有10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1、全集{1,2,3,4,5}U =，{3,4,5}A =,{1,3}B =，那么()U A C B ⋂等于A.{4,5}B.{2,4,5}C.{1}D.{3} 2、以下函数与函数||y x =为相等函数的是A．2y = B．y C ．{,(0),(0)x x y x x >=-< D ．log a xy a=3、集合{1,2}A =,{3,4}B =，那么从A 到B 的映射共有A.1个B.2个C.3个D.4个 4、函数()log (43)a f x x =-过定点A.〔1，0〕B.〔3,04〕C.〔1，1〕D.〔3,14〕5、设全集U 是实数集R ，{|2}M x x =>，{|13}N x x =<<，那么图中阴影局部所表示的集合是 A ．{|23}x x << B ．{|3}x x < C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x ≤6、幂函数()y f x =的图像经过点(4,2)，那么(9)f 的值为A. 3B. 3±C. 81D.81± 7、以下大小关系正确的选项是A. 30.440.43log 0.3＜＜B. 30.440.4log 0.33＜＜ C. 30.44log 0.30.43＜＜ D. 0.434log 0.330.4＜＜8、函数)(log 3)(2x x f x--=的零点所在区间是A.)2,25(--B.)1,2(--C.〔1,2〕D.25,2(9、设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，假设当(0,)x ∈+∞时，()ln f x x =，那么满足()0f x <的x 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(0,1)C ．(,1)-∞D ．(,1)(0,1)-∞-⋃h 和时间t 之间的关系，其中正确的有B.2个二、填空题：本大题有3小题，每题4分，共12分，把答案填在答卷的相应位置.11、函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域是 *** ；12、．计算：52log 232851ln log 16e ⨯+= *** ；13、设函数22 1 (0)()+1 (02)3 1 (2)x x f x x x x x +≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，假设()3f x =，那么x = *** .三、解答题：本大题有3题，共38分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14、〔本小题总分值12分〕设2{|560}A x x x =-+=，}01|{=-=ax x B . 〔I 〕假设13a =，试判定集合A 与B 的关系；〔II 〕假设A B ⊆，求实数a 的取值组成的集合C .15、〔本小题总分值12分〕函数112)(++=x x x f .〔I 〕用定义证明函数在区间[)+∞,1是增函数； 〔II 〕求该函数在区间[]2,4上的最大值与最小值.16、〔本小题14分〕()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()log (1)f x x =-+．〔I 〕求(0)f ，(1)f ； 〔II 〕求函数()f x 的解析式；〔Ⅲ〕假设(1)1f a -<-，求实数a 的取值范围．第II 卷 共50分一、填空题：本大题有2小题，每题4分，共8分，把答案填在答卷的相应位置.17、如果函数()22f x x ax =-+在区间11[,]24-上是单调函数，那么实数a 的取值范围是 *** ; 18、设函数22)(k x x x f --=，以下判断：①存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有一个零点； ②存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有两个零点； ③存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有三个零点； ④存在实数k ，使得函数()f x 有且仅有四个零点．其中正确的选项是 *** 〔填相应的序号〕．二、选择题：本大题有2小题，每题4分，共8分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.||()xx a f x =(01)a <<A ．B ．C ．D ． 20、假设函数()log (1)a f x ax =+在区间(3,2)--上单调递减，那么实数a 的取值范围是A ．1(0,)3 B ．1(0,]3 C ．1(0,]2 D ．(0,1)三、解答题：本大题有3题，共34分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.21、(本小题总分值10分)函数1()4226x x f x +=-⋅-，其中[0,3]x ∈. 〔I 〕求函数()f x 的最大值和最小值；〔II 〕假设实数a 满足：()0f x a -≥恒成立，求a 的取值范围.22、(本小题总分值12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的本钱为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．〔I 〕设一次订购量为x 件，服装的实际出厂单价为P 元，写出函数P=f 〔x 〕的表达式； 〔II 〕当销售商一次订购多少件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是多少元？ 〔服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-本钱〕 23、〔本小题总分值12分〕设二次函数()()R c b a c bx ax x f ∈++=,,2满足以下条件：①当R x ∈时，)(x f 的最小值为0，且图像关于直线1-=x 对称；②当()5,0∈x 时，()112+-≤≤x x f x 恒成立．〔I 〕求()1f 的值； 〔II 〕求()x f 的解析式；〔Ⅲ〕假设()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤，求实数m 的取值范围.附加题：本大题有2小题，每题5分，共10分，把答案填在答卷的相应位置. 说明：得分计入总分，超过150分， 总分计为150分.1、设函数()f x x x a =-，假设对于任意21,x x 21),,3[x x ≠+∞∈，不等式)()(2121>--x x x f x f恒成立，那么实数a 的取值范围是 *** . 2、函数)(x f y =定义域为D ，假设满足:①()f x 在D 内是单调函数； ②存在[]D n m ⊆,使()f x 在[]n m ,上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2n m ，那么就称)(x f y =为“减半函数〞.假设函数)0,1,0)((log )(≥≠>+=t a a t a x f xa 是“减半函数〞，那么t 的取值范围为 *** .参考答案 第I 卷11、()()1,22,⋃+∞ 12、83-13三、解答题: 14、〔本小题总分值12分〕 解：A ＝{2,3}〔I 〕假设13a =,那么B={3}，∴B ⊆A〔II 〕∵B ⊆A ， ∴B =Φ或{2}B =或{3}B =∴0a =或12a =或13a = ∴11{0,,}32C =15、〔本小题总分值12分〕〔I 〕证明：任取[)+∞∈,1,21x x ，且12x x <，112112)()(221121++-++=-x x x x x f x f )1)(1()(2121++-=x x x x∵120x x -<，()()12110x x ++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <,∴函数()f x 在[)+∞,1上是增函数.〔II 〕由〔I 〕知函数()f x 在[]2,4上是增函数.∴max 2419[()](4)415f x f ⨯+===+, min[()]f x =2215(2)213f ⨯+==+. 16、〔本小题总分值14分〕 解：〔I 〕()00f = (1)(1)1f f =-=-〔II 〕令0x >，那么0x -<12()log (1)()f x x f x -=+=∴0x >时，12()log (1)f x x =+∴1212log (1),(0)()log (1),(0)x x f x x x +>⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩〔Ⅲ〕∵12()log (1)f x x =-+在(,0]-∞上为增函数，∴()f x 在(0,)+∞上为减函数 ∵(1)1(1)f a f -<-= ∴11a -> ∴2a >或0a <第II 卷 共50分 一、填空题：17、(,2][1,)-∞-⋃+∞ 18、 ②③. 二、选择题：三、解答题：19 20 DB21、(本小题总分值10分) 解：〔I 〕 2()(2)426(03)x x f x x =-⋅-≤≤令2xt =，03x ≤≤，18t ∴≤≤∴22()46(2)10h t t t t =--=--〔18t ≤≤〕∴当[1,2]t ∈时，()h t 是减函数；当(2,8]t ∈时，()h t 是增函数；min ()(2)10f x h ∴==-，max ()(8)26f x h ==〔II 〕()0f x a -≥恒成立，即()a f x ≤恒成立，∴min ()10a f x ≤=-∴a 的取值范围为(,10]-∞- 22、(本小题总分值12分) 解：〔I 〕当0＜x≤100时，P=60当100＜x≤500时，600.02(100)6250xP x =--=-∴**60,0100,62,100500,50x x N P x x x N ⎧<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩〔II 〕设销售商的一次订购量为x 件时，工厂获得的利润为L 元，那么*2*(40)20,0100,22,100500,50P x x x x N L x x x x N ⎧-=<≤∈⎪=⎨-+<≤∈⎪⎩当0＜x≤100时，L 单调递增，此时当x=100时，Lmax=当100＜x≤500时，L 单调递增, 此时当x=500时，Lmax=6000 综上所述，当x=500时，Lmax=6000答：当销售商一次订购500件时，该服装厂获得的利润最大，最大利润是6000元. 23、〔本小题总分值12分〕 解：〔I 〕在②中令1=x ，有()111≤≤f ，故()11=f ．〔II 〕当R x ∈时，)(x f 的最小值为0且二次函数关于直线1-=x 对称， 故设此二次函数为()()()012>+=a x a x f ．∵()11=f ，∴41=a ．∴()()2141+=x x f ．〔Ⅲ〕()()222111144424x x f x x x -=+-=+， 由()214x f x -≤即11||124x +≤，得5322x -≤≤∵()x f 在区间[]m m ,1-上恒有()214x f x -≤∴只须51232m m ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得3322m -≤≤∴实数m 的取值范围为33[,]22-．附加题：每题5分，共10分 1、3a ≤ 2、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0。
湖北省华中师范大学第一附属中学高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
华中师大一附中2019-2020学年度上学期高一期中检测数学试题时限：120分钟 满分：150分 Ⅰ卷（共16小题，满分80分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1. 函数()lg 1x f x +=的定义域为（ ）A . ()1,0-B . ()0,1C . ()1,-+∞D . ()0,+∞2. 与函数24log 2x y -=为同一函数的是（ ）A . y x =B . 1y x=C . 1y x=D . 1y x=-3. 已知集合{}0,2,A a =，{}21,B a =，若{}0,1,2,4,16A B =，则a 的值为（ ）A . 0B . 1C . 2D . 44. 已知实数2log 3a =，213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，131log 10c =，则它们的大小关系为（ ）A . a c b >>B . c a b >>C . a b c >>D . b c a >>5. 拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费（单位：元）由()()1.060.51f m m =⨯⨯+给出，其中0m >，m 是大于或等于m 的最小整数（如33=，3.74=，3.14=）.则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为（ ）A . 3.71B . 3.97C . 4.24D . 4.776. 函数()12f x ⎛= ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A . (],2-∞-B . 12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C . 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D . 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭7. 已知函数()()13,ln ,a x a x ef x x x e-+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩（e 为自然对数的底数）的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A . ,13e e ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦B . ,13ee ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C . 1,13e e -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D . 1,13ee -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭8. 给出下列四个说法：①已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()()1f x x x =+，则当0x >时，()2f x x x =-；②若函数()1y f x =-的定义域为()1,2，则函数()2y f x =定义域为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；③若3log 15a<，则a 的取值范围为3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭； ④函数()log 322a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象必过定点()1,0. 其中正确说法的个数是（ ）A . 1B . 2C . 3D . 49. 函数()()23ln f x x x =-+的图象大致为（ ）A .B .C .D .10. 若对任意的,x y R ∈，有()()()3f x f y f x y +-+=，函数()()21xg x f x x =++，则()()22g g +-的值为（ ）A . 0B . 4C . 6D . 911. 已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其中函数()f x 满足()()f x f x -=且在[)0,+∞上单调递减，函数()g x 满足()()11g x g x -=+且在()1,+∞上单调递减，设函数()()()()()12F x f x g x f x g x ⎡⎤=++-⎣⎦，则对任意x R ∈，均有（ ） A . ()()11F x F x -≥+ B . ()()11F x F x -≤+ C . ()()2211F xF x -≥+D . ()()2211F xF x -≤+12. 设函数()22,0,0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩，()g x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()225g x x x =--，若()()2f g a ≤，则实数a 的取值范围是（ ）A . (],10,221⎡⎤-∞--⎣⎦B . 1⎡⎤-⎣⎦C . (](,10,221⎤-∞--⎦D. 11⎡⎤--⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把结果填在答题纸上的相应位置.）13. 12log 311lg 26100+=______. 14. 已知幂函数()()()22321n n f x m xn Z -++=-∈为偶函数，且满足()()35f f <，则m n +=______.15. 已知0a >，且1a ≠，若函数()()2l n 23x x f x a-+=有最大值，则关于x 的不等式()2log 570a x x -+>的解集为______.16. 已知0a >且1a ≠，b 为实数，函数()22,01,0x x x x f x a x -⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()220f x af x b +-<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的取值范围为______. Ⅱ卷（共6小题，满分70分）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.）17. 已知全集U R =，集合5|02x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，(){}22|210B x x ax a =-+-<. （Ⅰ）当2a =时，求()()U U C A C B ；（Ⅱ）若AB A =，求实数a 的取值范围.18. 已知()311log 1xf x x-=++.（1）求1120192019f f ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()y f x =的最大值. 19. 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次品.根据经验知道，次品数P （万件）与日产量x （万件）之间满足函数关系：2,146325,412x x P x x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩.已知每生产1万件合格元件可盈利20万元，但每生产1万件次品将亏损10万元.（利润=盈利额-亏损额）（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润T （万元）表示为日产量x （万件）的函数； （2）当工厂将该元件的日产量x （万件）定为多少时获得的日利润最大，最大日利润为多少万元？20. 对于函数()f x ，若在定义域D 内存在实数0x 满足()()002f x f x -=-，则称函数()y f x =为“类对称函数”.（1）判断函数()221g x x x =-+是否为“类对称函数”？若是，求出所有满足条件的0x 的值；若不是，请说明理由；（2）若函数()3xh x t =+为定义在[)1,3-上的“类对称函数”，求实数t 的取值范围.21. 定义在()(),00,-∞+∞上的函数()f x 满足：①对任意()(),,00,x y ∈-∞+∞恒有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时，()0f x <，且()21f =-.（1）判断()f x 的奇偶性和单调性，并加以证明； （2）求关于x 的不等式()()3240f x f x -++≥的解集. 22. 已知函数()()2f x x mx m R =-∈，()lng x x =-.（1）若存在实数x ，使得()()22xxf f -=-成立，试求m 的最小值；（2）若对任意的[]12,1,1x x ∈-，都有()()122f x f x -≤恒成立，试求m 的取值范围； （3）用{}min ,m n 表示m ，n 中的最小者，设函数()()()()1min ,04h x f x g x x ⎧⎫=+>⎨⎬⎩⎭，讨论关于x 的方程()0h x =的实数解的个数.。
高三试卷数学-湖北华中师范大学第一附属中学2024届高三上学期11月期中数学试卷及参考答案
华中师大一附中2023-2024学年度上学期高三期中检测数学试题试卷满分：150分考试时间：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 2z z +=，则i z +的模为（）A.1B.2C.5D.2.已知集合{}{}224,Z log 3xA xB x x =>=∈<∣∣，则()R A B ⋂=ð（）A.()0,2 B.(]0,2 C.{}1,2 D.(]1,23.在ABC 中，“π6A >”是“1sin 2A >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象的一部分如图1，则图2中的函数图像对应的函数是（）A.122y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.122x y f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.12x y f ⎛⎫=-⎪⎝⎭D.()21y f x =-5.在边长为2的正六边形ABCDEF 中，AC BF ⋅=（）A.6B.-6C.3D.-36.在声学中，音量被定义为：020lgp pL p =，其中p L 是音量（单位为dB ），0P 是基准声压为5210Pa -⨯，P 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（）A.音量同为20dB 的声音，30~100Hz 的低频比1000~10000Hz 的高频更容易被人们听到.B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa .D.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍.7.若实数,,a b c 满足ln sin1a e a b b c +=+==，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b <<B.a b c <<C.c a b<< D.b a c<<8.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个极值点，且ππ062f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的值可以是（）A.6B.7C.8D.9二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 及其导函数()f x '的部分图象如图所示，设函数()()xf xg x =e，则()g x （）A.在区间(),a b 上是减函数B.在区间(),a b 上是增函数C.在x a =时取极小值D.在x b =时取极小值10.已知0,0,a b a b >>≠，且2a b +=，则（）A.112a b+> B.22112a b +>C.222a b +> D.22log log 2a b +>11.若函数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是（）A.2022B.2023C.2024D.202512.已知定义在R 上的函数()y f x =图象上任意一点(),x y 均满足20132013sin sin e e e e y x x x y x----=-，且对任意()0,x ∈+∞，都有()()21e ln 0xf x a f x x --+<恒成立，则下列说法正确的是（）A.()2023sin f x x x =- B.()f x 是奇函数C.()f x 是增函数D.1e>a 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13.若直线y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则a b +=__________.14.杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的13，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，则该扇面的面积为__________.15.一只钟表的时针OA 与分针OB 长度分别为3和4，设0点为0时刻，则OAB 的面积S 关于时间t （单位：时）的函数解析式为__________，一昼夜内（即[]0,24t ∈时），S 取得最大值的次数为__________.16.如图，在四边形ABCD 中，,4,2120AD CD BD ADC ABC ∠∠==== ，则ABC 面积的最大值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知()π2sin sin 3f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的单调递增区间与对称中心；（2）当[]0,x a ∈时，()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.18.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π2sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭b c a C .（1）求A 的值；（2）若BAC ∠的平分线与BC 交于点,D AD =ABC 面积的最小值.19.已知函数()3log (0a f x x x a =->且1)a ≠，（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有最大值122log 333a -，求实数a 的值.20.某城市平面示意图为四边形ABCD （如图所示），其中ACD 内的区域为居民区，ABC 内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB 和线段AD 上分别选一处位置，分别记为点E 和点F ，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF ，线段EF 与线段AC 交于点G ，EG 段和GF 段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG 长2公里，线段AB 和线段AD 长均为6公里，π,6∠⊥=AB AC CAD ，设AEG θ∠=.（1）求修建道路的总费用y （单位：万元）与θ的关系式（不用求θ的范围）；（2）求修建道路的总费用y 的最小值.21.已知函数()[]e sin sin ,π,0xf x x x x x =+-∈-（1）求()f x 的零点个数；（2）若()40k f x -≤恒成立，求整数k 的最大值.22.已知函数()2e 2ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭有三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<.（1）求实数k 的取值范围；（2）若2是()f x 的一个极大值点，证明：()()23131ef x f x k k x x -<--.华中师大一附中2023-2024学年度上学期高三期中检测数学试题试卷满分：150分考试时间：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 2z z +=，则i z +的模为（）A.1B.2C.5D.【答案】D 【解析】【分析】先化简求出z ,再根据共轭复数定义求出i z +,最后根据模长公式求解即可.【详解】()()()()()221i 21i 2i 21+i 2,1i 1+i 1i 1i 1i z z z z --+=∴=∴====--+- ，,=1i i=1+i+i=1+2i z z +∴+ ，,i =12i z ++.故选:D.2.已知集合{}{}224,Z log 3xA xB x x =>=∈<∣∣，则()R A B ⋂=ð（）A.()0,2 B.(]0,2 C.{}1,2 D.(]1,2【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数单调性求解集合A ，从而求解R A ð，利用对数函数单调性结合整数概念求解集合B ，最后利用交集运算即可求解.【详解】因为集合{}{}242xA x x x =>=>，所以{}R 2A x x =≤ð，又{}{}{}32Z log 3Z 021,2,3,4,5,6,7B x x x x =∈<=∈<<=，所以()R A B ⋂=ð{}1,2.故选：C3.在ABC 中，“π6A >”是“1sin 2A >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】结合正弦函数的性质由1sin 2A >，可得π5π66A <<，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】在ABC 中，()0,πA ∈，由1sin 2A >，可得π5π66A <<，所以“π6A >”是“1sin 2A >”的必要不充分条件.故选：B .4.已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象的一部分如图1，则图2中的函数图像对应的函数是（）A.122y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.122x y f ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.12x y f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.()21y f x =-【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的平移伸缩可以得出函数关系.【详解】()sin (0)f x x ωω=>过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭得1sin =π2ωω=∴,()sinπf x x ∴=,由图1和图2可知：函数的周期减半，就是()()2f x f x →,图1→图2说明图象向右平移12单位，得到()21y f x =-的图象．故选:D.5.在边长为2的正六边形ABCDEF 中，AC BF ⋅=（）A.6B.-6C.3D.-3【答案】B 【解析】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，设出,,,A C B F 的坐标，求出AC BF ⋅即可得出答案．【详解】正六边形ABCDEF 中，每个内角都是120 ，30FEA FAE ∠=∠= ，有EA AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，AE 为y 轴，，建立平面直角坐标系，如图所示：因为2==AB AF ，1cos1202=-，3sin1202= ，则有(F -，所以(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，AC =，(BF =- ，由平面向量数量积的运算可得()33936AC BF ⋅=⨯-+-+=-.故选：B ．6.在声学中，音量被定义为：020lgp pL p =，其中p L 是音量（单位为dB ），0P 是基准声压为5210Pa -⨯，P 是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（）A.音量同为20dB 的声音，30~100Hz 的低频比1000~10000Hz 的高频更容易被人们听到.B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.C.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa .D.240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍.【答案】D 【解析】【分析】对于选项A 、B ，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C 、D ，通过所给函数关系020lgp pL p =代入听觉下限阈值计算即可判断.【详解】对于A ，30~100Hz 的低频对应图像的听觉下限阈值高于20dB ，1000~10000Hz 的高频对应的听觉下限阈值低于20dB ，所以对比高频更容易被听到，故A 错误；对于B ，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B 错误；对于C ，240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，50210Pa P -=⨯，令020lg20p pL p ==，此时0100.0002p p ===Pa ，故C 错误；对于D ，1000Hz 的听觉下限阈值为0dB ，令020lg0p pL p ==，此时0p p =，所以240Hz 的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz 的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D 正确.故选：D .7.若实数,,a b c 满足ln sin1a e a b b c +=+==，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b <<B.a b c <<C.c a b<< D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】由切线放缩可求a ，根据对数函数性质和正弦值域可判断b ，由不等式的关系可判断b c >.【详解】因为0sin1<1<，当0x >时，设()e 1xf x x =--，则()e 1xf x '=-，易知当0x =时，()00e 10f =-='，当0x >时，()f x 单调递增，所以e 1x x ≥+；()0x >所以sin1=e 10a a a a a +≥++⇒<；由已知可得0b >，因为0sin1<1<，所以01b <<；ln 0b <，所以sin1ln b b =-；00c ≥⇒≥，所以sin1c b =-<；故a c b <<；故选：A8.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个极值点，且ππ062f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ω的值可以是（）A.6 B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】先根据辅助角公式计算化简函数，再结合选项得出矛盾判断A,B,D 选项，再计算说明C 选项正确即可.【详解】()πsin =2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫=+⎪⎝⎭,当=6ω时,()π2sin 63f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ππππ=2sin π+2sin 3π06233f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,A选项错误;当=7ω时,()π2sin 73f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()ππ7ππ7ππ=2sin +2sin 210626323f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,B 选项错误;当=9ω时,()π2sin 93f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ9ππ9ππ=2sin +2sin 110626323f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,πππ11π29π,,9,62366x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,()π2sin 93f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭恰有三个极值点，D 选项错误;当=8ω时,()π2sin 83f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ8ππ8ππ=2sin +2sin 0626323f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,πππ5π13π,,8,62333x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,()π2sin 83f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，C 选项正确;故选:C.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 及其导函数()f x '的部分图象如图所示，设函数()()xf xg x =e，则()g x （）A.在区间(),a b 上是减函数B.在区间(),a b 上是增函数C.在x a =时取极小值D.在x b =时取极小值【答案】BC 【解析】【详解】根据图象得到()()f x f x -'的符号，即可得到()g x '的符号，进而得到()g x 的单调性和极值.【分析】结合图像可知，当x a <时()()0f x f x '->，当a x b <<时，()()0f x f x '-<，当x b >时，()()0f x f x '->，()()()exf x f xg x '-'=，因e 0x>，故当x a <时，()()()0xf x f xg x e'-'=<，()g x 在区间(),a -∞上单调递减，当a x b <<时，()()()0exf x f xg x '-'=>，()g x 在区间(),a b 上单调递增，当x b >时，()()()0xf x f xg x e'-'=<，()g x 在区间(),b ∞+上单调递减，故()g x 在x a =处取得极小值，在x b =处取得极大值，故选：BC10.已知0,0,a b a b >>≠，且2a b +=，则（）A.112a b +> B.22112a b +>C.222a b +> D.22log log 2a b +>【答案】ABC 【解析】【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.【详解】()1111111222222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当b a a b =，即a b =时取等号，由于a b ¹，所以112a b+>，A 正确，由于212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，221122a b ab+≥=≥，当且仅当2211a b =且a b =时，即a b =时取等号，由于a b ¹，所以22112a b +>，B 正确，由2a b +=以及0,0,a b a b >>≠可得224a b +≥=，当且仅当22a b =，即a b =时取等号，由于a b ¹，所以2242a b +>>，故C 正确，2222log log log log 10a b ab +=≤=，当且仅当b a a b=，即a b =时取等号，由于a b ¹，22log log 0a b +<所以D 错误，故选：ABC11.若函数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是（）A.2022B.2023C.2024D.2025【答案】BCD 【解析】【分析】令()()sin cos tan 0=+=f x x a x ，则()sin cos tan =-x a x ，将函数零点转化为两个函数()y g x =与tan =-y a x 的交点，结合函数性质以及函数图象分析判断.【详解】令()()sin cos tan 0=+=f x x a x ，则()sin cos tan =-x a x ，对于函数()()sin cos g x x =，由[]cos 1,1x ∈-，可知()()[]sin cos sin1,sin1=∈-g x x ，因为()()()()2πsin cos 2πsin cos ⎡⎤+=+==⎣⎦g x x x g x ，且()()()()2πsin cos 2πsin cos ⎡⎤-=-==⎣⎦g x x x g x ，()g x 的周期为2π，且关于直线πx =对称，又因为()()cos cos sin '=-⋅g x x x ，当[]0,πx ∈，则[][]cos 1,1,sin 0,1∈-∈x x ，且()cos cos 0>x ，可知()()cos cos sin 0'=-⋅≤g x x x ，则()g x 在[]0,π上单调递减，可知()g x 在[]π,2π上单调递增，若0a =时，因为tan y x =的定义域为π|π,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则cos 0x ≠，可知()()sin cos 0=≠f x x ，无零点，不合题意，若0a <时，0a ->，结合图象可知：()y g x =与tan =-y a x 在ππ0,,,π22轹骣麋ê麋麋êë内各有一个交点，在3π3ππ,,,2π22⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦内没有交点，所以()()sin cos tan f x x a x =+在()0,π内有2个零点，在()π,2π内没有零点（区间端点均不是零点），因为()y g x =与tan =-y a x 的周期均为2π，则()f x 周期为2π，结合周期可知：若数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是2023或2024，若0a >时，0a -<，结合图象可知：()y g x =与tan =-y a x 在ππ0,,,π22轹骣麋ê麋麋êë内没有交点，在3π3ππ,,,2π22⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦内各有一个交点，所以()()sin cos tan f x x a x =+在()0,π内没有零点，在()π,2π内有2个零点（区间端点均不是零点），结合周期可知：若数()()sin cos tan f x x a x =+在区间()0,πn 有2024个零点，则整数n 可以是2024或2025；综上所述：整数n 可以是2023或2024或2025.故选：BCD.【点睛】关键点睛：将函数()f x 转为两个函数：()y g x =与tan =-y a x 的零点，结合函数性质分析判断，并注意讨论a 的符号.12.已知定义在R 上的函数()y f x =图象上任意一点(),x y 均满足20132013sin sin e e e e y x x x y x----=-，且对任意()0,x ∈+∞，都有()()21e ln 0xf x a f x x --+<恒成立，则下列说法正确的是（）A.()2023sin f x x x =- B.()f x 是奇函数C.()f x 是增函数 D.1e>a 【答案】BCD 【解析】【分析】利用函数()=e e xxg x --的单调性可求()2013sin f x x x=+判断A ，根据奇函数的定义判断B ，根据导数符号判断函数的单调性判断C ，根据奇函数和单调性把不等式化为21ln ex x x xa -+>在()0,∞+上恒成立，构造函数求解最值即可判断D.【详解】20132013sin sin e e eey x xx yx ----=-，有()20132013sin sin e e =e ey x y x xx ------，记()=e e xxg x --，则()=e e0xxg x -+>'，所以()=e e x x g x --在R 上单调递增，所以2013sin y x x -=，所以()2013sin f x x x =+，故选项A 错误；因为()()()()()20132013sin sin f x x x x x f x -=-+-=-+=-且定义域R 关于原点对称，所以()f x 是奇函数，故选项B 正确；记()()2012cos 2013h x f x x x=+'=，[)0,x ∈+∞，则()2011sin 20132012h x x x=-+⨯'，[)0,x ∈+∞，对[)0,x ∈+∞，因为sin y x x =-，则cos 10y x '=-≤，即函数sin y x x =-在[)0,∞+单调递减，又0x =时，0y =，则sin 0x x -<，即sin x x <，根据幂函数性质知201120132012x x ⨯>，所以()2011sin 20132012sin 0h x x xx x =-+⨯>-≥'，所以函数()()2012cos 2013h x f x x x=+'=在[)0,∞+上单调递增，所以()()010f x f '='≥>，所以函数()2013sin f x x x=+在[)0,∞+上单调递增，又()f x 是奇函数，由奇函数性质知()f x 是增函数，故选项C 正确；因为对任意()0,x ∈+∞，都有()()21e ln 0xf x a f x x --+<恒成立，所以()()()21eln ln x f x a f x x f x x --<-=-在()0,∞+上恒成立，所以21e ln x x a x x --<-即21ln ex x x xa -+>在()0,∞+上恒成立，记()1ln m x x x =--，()0,x ∈+∞，则1()1m x x=-'，当()0m x '=时，1x =，当()0m x '>时，1x >，当()0m x '<时，01x <<，所以()1ln m x x x =--在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以()1ln (1)0m x x x m =--≥=，所以1ln x x ≥+，所以22121ln e e x x x x x x --+≤，()0,x ∈+∞，记()221e x x n x -=，()0,x ∈+∞，则()()2121ex x x n x --'=，当()0n x '=时，1x =，当()0n x '>时，01x <<，当()0n x '<时，1x >，所以()221ex x n x -=在()1,+∞上单调递减，在()0,1上单调递增，所以()()22111e ex x n x n -=≤=，所以21ln 1e x x x x -+≤，当且仅当1x =时等号成立，所以1e>a ，故选项D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13.若直线y x a =+与曲线1e 1x y b -=-+相切，则a b +=__________.【答案】1【解析】【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解.【详解】因为1e 1x y b -=-+，则1e x y -'=，设切点坐标为()00,x y ，则00110e 1e 1x x b x a--⎧=⎪⎨-+=+⎪⎩，解得011x a b =⎧⎨+=⎩.故答案为：1.14.杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的13，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，则该扇面的面积为__________.【答案】π【解析】【分析】根据题意求出内环圆弧所对的圆心角，并求出外环圆弧所在圆的半径，利用扇形的面积公式可求得该扇面的面积.【详解】设内环圆弧所对的圆心角为α，因为内环弧长是所在圆周长的13，且内环所在圆的半径为1，所以，112π13α⨯=⨯⨯，可得2π3α=，因为径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，所以，外环圆弧所在圆的半径为112+=，因此，该扇面的面积为()2212π21π23⨯⨯-=.故答案为：π.15.一只钟表的时针OA 与分针OB 长度分别为3和4，设0点为0时刻，则OAB 的面积S 关于时间t （单位：时）的函数解析式为__________，一昼夜内（即[]0,24t ∈时），S 取得最大值的次数为__________.【答案】①.11π6|sin|6S t =（0t ≥，且6,N 11nt n ≠∈）②.44【解析】【分析】根据给定条件，求出AOB ∠，再利用三角形面积公式列式即得；探求面积函数的周期即可计算得解.【详解】OA 旋转的角速度为πrad/h 6-，OB 旋转的角速度为2πrad/h -，11π2π6AOB t k ∠=-或112ππ2π6AOB t k ∠=-+，Z k ∈，111π34|sin |6|sin |26S AOB t =⨯⨯∠=，而当6,N 11n t n =∈时，不能构成三角形，所以11π6|sin |6S t =（0t ≥，且6,N 11nt n ≠∈）；显然函数11π6|sin|6S t =的周期为611且每个周期仅出现一次最大值，而6244411=⨯，所以S 取得最大值的次数为44.故答案为：11π6|sin|6S t =（0t ≥，且6,N 11nt n ≠∈）；4416.如图，在四边形ABCD 中，,4,2120AD CD BD ADC ABC ∠∠==== ，则ABC 面积的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】通过证明ABC 是等边三角形并得出边长，即可求出三角形面积的最大值.【详解】由题意，在四边形ABCD 中，4,2120BD ADC ABC ∠∠=== ，∴60,180ABC ABC ADC ∠=︒∠+∠=︒,∴四边形ABCD 四点共圆，在ACD 中，AD CD =，120ADC ∠= ,∴ACD 是等腰三角形，30ACD CAD ∠=∠=︒，在ABC 中，2120ABC ∠= ∴60ABC ∠=︒，()22133sin 248S AB BC ABC AB BC AB BC =⋅∠=⋅≤+,当且仅当AB BC =时，等号成立，∵当AB BC =时，BD 垂直平分AC ,∴AC BD ⊥,ABC 是等边三角形，2AC AE =，∴1302ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒,1602ADE CDE ADC ∠=∠=∠=︒∴180306090BAD BCD ∠=∠=︒-︒-︒=︒,∴,3AE BE DE ===,∵44BD BE DE DE =+==,∴1,2DE AE AC AE ====∴ABC 面积的最大值为(22max 44S AC ==⨯=,故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知()π2sin sin 3f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的单调递增区间与对称中心；（2）当[]0,x a ∈时，()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()πππ,π+Z 63k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()ππ1,Z 2122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2）π2π,33⎡⎤⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换将函数表达式化简，然后根据正弦的单调递增区间与对称中心的定义计算即可得解.（2）画出函数图象分析可知当且仅当12x a x ≤≤时，其中()13min 0|2x x f x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，(){}2min 0|0x x f x =>=，满足题意，从而计算即可得解.【小问1详解】由题意()π12sin sin 2sin sin cos 322f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2311π1sin cos 22sin 222262x x x x x x ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，令()πππ2π22π+Z 262k x k k -≤-≤∈,解得()ππππ+Z 63k x k k -≤≤∈，令()ππZ 62k k x -=∈，解得()ππZ 212k x k =+∈，所以()f x 的单调递增区间与对称中心分别为()πππ,π+Z 63k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，()ππ1,Z 2122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.【小问2详解】()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的函数图象如图所示，由题意当[]0,x a ∈时，()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故当且仅当12x a x ≤≤，其中()13min 0|2x x f x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，(){}2min 0|0x x f x =>=，令()π13sin 2622f x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，得πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()ππ22πZ 62x k k -=+∈，解得()ππZ 3x k k =+∈，所以()13min 0|min 3|πππZ 2,30x x f x x k x k ⎧⎫⎧⎫==>==>=⎨⎬⎨⎩∈⎬⎩⎭⎭+，令()π1sin 2062f x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，得π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()ππ22πZ 66x k k -=-+∈或()π7π22πZ 66x k k -=+∈，解得()πZ x k k =∈或()2ππZ 3x k k =+∈，所以()132π2πmin 0|min 0|ππ,Z 233x x f x x x k x k k ⎧⎫⎧⎫=>==>==+∈=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭或，综上所述：满足题意的实数a 的取值范围为π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π2sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭b c a C .（1）求A 的值；（2）若BAC ∠的平分线与BC 交于点,D AD =ABC 面积的最小值.【答案】（1）π3A =（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换化简得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再结合正弦函数的性质分析求解；（2）根据题意得BAD CAD ∠=∠，结合ABC ABD ACD S S S =+ ，得到()2bc b c =+，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】因为π2sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭b c a C ，由正弦定理可得πsin sin 2sin sin 6⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B C A C ，则()sin sin sin sin sin cos cos sin sin +=++=++B C A C C A C A C C ，π312sin sin 2sin sin sin sin cos622⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A C A C C A C A C ，即sin cos cos sin sin sin sin cos A C A C C A C A C ++=+，sin cos sin sin A C A C C -=，因为()0,πC ∈，则sin 0C ≠cos 1A A -=，整理得π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又因为()0,πA ∈，则ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得ππ66A -=，所以π3A =.【小问2详解】因为AD 平分BAC ∠且AD =π6BAD CAD ∠=∠=，由ABC ABD ACD S S S =+ ，可得131111222222⨯=⨯+⨯bc c ，整理得()2bc b c =+≥，则16bc ≥，当且仅当b c =时，等号成立，故ABC 面积的最小值为11622⨯⨯=．19.已知函数()3log (0a f x x x a =->且1)a ≠，（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有最大值122log 333a -，求实数a 的值.【答案】（1）答案见解析（2【解析】【分析】（1）首先对()f x 求导，然后分01a <<和1a >讨论导函数的符号，从而即可得解.（2）结合（1）中分析可知，当且仅当1111,log 33ln 122log 3333ln a a a a a ⎛⎫>-=⎪⎝-⎭，通过构造函数()1log 3a g x x x =-，说明()max23g x g ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭即可得解.【小问1详解】由题意()()2l ,013n f x x x ax =->'，分以下两种情形来讨论函数()f x 的单调区间，情形一：当01a <<时，()()201ln 0,3l 0,n a f x x x ax '<<->=，所以()f x 的单调递减区间为()0,∞+，没有单调递增区间.情形二：当1a >时，令()3201l 1n 0,n 3ln ln 3l a f x x x a x ax a -'>=-==，解得0x =>，当x ⎛∈ ⎝时，()313ln 0ln f x x a x a '-=>，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()313ln 0ln f x x a x a '-=<，所以()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭.综上所述：当01a <<时，()f x 的单调递减区间为()0,∞+，没有单调递增区间；当1a >时，()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭.【小问2详解】由题意若函数()f x 有最大值122log 333a -，则由（1）可知当且仅当1a >时，()f x 有最大值()maxf x f =⎡⎤⎣⎦，因此3111log 122log l 33ln 33l og 33n a a a f a a ⎛⎫==---=⎭ ⎪⎝，不妨令()1log 3a g x x x =-，求导得()()113ln 1,0,13ln 3ln x ag x x a x a x a -'=-=>>，令()13ln 03ln x a g x x a -'==，解得103ln x a=>，当10,3ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()13ln 03ln x a g x x a -'=>，当1,3ln x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()13ln 03ln x a g x x a -'=<，所以()1log 3a g x x x =-在10,3ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,3ln a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()max 111log 333l 122l l o n 3g 33n a a g x a a ⎛⎫=-=⎡⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭，故只能13ln 23a =，解得1ln ,12a a ==>符合题意；综上所述，满足题意的实数a.20.某城市平面示意图为四边形ABCD （如图所示），其中ACD 内的区域为居民区，ABC 内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB 和线段AD 上分别选一处位置，分别记为点E 和点F ，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF ，线段EF 与线段AC 交于点G ，EG 段和GF 段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG 长2公里，线段AB 和线段AD 长均为6公里，π,6∠⊥=AB AC CAD ，设AEG θ∠=.（1）求修建道路的总费用y （单位：万元）与θ的关系式（不用求θ的范围）；（2）求修建道路的总费用y 的最小值.【答案】（1）2020πsin sin 3θθ=+⎛⎫- ⎪⎝⎭y （2）80万元【解析】【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得2sin θ=EG ，1πsin 3θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭GF ，进而可得解析式；（2）利用三角恒等变换整理可得2π80sin 3π4sin 33θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭y，换元令πsin 32θ⎛⎤⎛⎫=+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦t ，结合函数单调性求最值.【小问1详解】在Rt AEG △中，因为sin ∠=AG AEG EG ，可得2sin sin θ==∠AG EG AEG ，在AFG 中，可知π3θ∠=-AFG ，由正弦定理sin sin =∠∠GF AGGAF AFG，可得sin 1πsin sin 3θ⋅∠==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭AG GAFGF AFG，所以20201020πsin sin 3θθ=+=+⎛⎫- ⎪⎝⎭y EG GF .【小问2详解】由（1）可知：202020πsin sin sin 3θθθ=+=+⎛⎫- ⎪⎝⎭y2ππ80sin 80sin 332ππ2cos 214sin 333θθθθ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π03θ<<，则ππ2π,333θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令π3sin 32θ⎛⎤⎛⎫=+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦t ，则280803434==--t y t t t，且34,==-y t y t 在3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递增，可知34y t t =-在3,12⎛⎤⎥ ⎝⎦上单调递增，所以280803434==--t y t t t 在3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，当1t =，即π6θ=时，修建道路的总费用y 取到最小值80万元.21.已知函数()[]e sin sin ,π,0xf x x x x x =+-∈-（1）求()f x 的零点个数；（2）若()40k f x -≤恒成立，求整数k 的最大值.【答案】（1）2个（2）1-【解析】【分析】（1）令()e sin sin 0xf x x x x =+-=可得e sin 1x x x =-，利用导数判断出函数()e 1x g x x =-在[]π,0x ∈-上的单调性，利用函数与方程的思想画出函数()e 1xg x x =-与sin y x =在[]π,0-内的图象，根据交点个数即可求得()f x 的零点个数；（2）易知()e 1xx ≥+，sin x x ≥在[]π,0x ∈-上恒成立，则可得()()()e 1sin 11xf x x x x x x =+-≥++-，求出221y x x =-++在[]π,0x ∈-上的最小值即可得2π2π14k -++≤，便可知整数k 的最大值为1-.【小问1详解】根据由题意可知，令()e sin sin 0xf x x x x =+-=，又[]π,0x ∈-，整理可得e sin 1xx x =-；令()[]e,π,01xg x x x ∈=--，则()()()()()22e e 112e 1x xx x x x g x x =-----'=，显然当[]π,0x ∈-时，()()()2e 012x x g x x -=-'<恒成立，所以可得()e 1x g x x =-在[]π,0-上单调递减，且()e 01xx g x =-<在[]π,0x ∈-上恒成立，易知函数sin y x =在ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；且()()πe sin π0ππ1g ---=-=+>，()πsin 1,sin 00120g ⎛⎫-=-=- ⎪⎝=⎭>画出函数()[]e ,π,01xg x x x ∈=--和函数[]sin ,π,0y x x =∈-在同一坐标系下的图象如下图所示：由图可知函数()e 1xg x x =-与sin y x =在区间[]π,0-上有两个交点，即可得函数()[]e sin sin ,π,0xf x x x x x =+-∈-有两个零点；【小问2详解】若()40k f x -≤恒成立，可得()4f x k ≤，令()[]π,0sin ,h x x x x -∈-=，则()1cos 0h x x '=-≥在[]π,0-上恒成立，即可得()sin h x x x =-在[]π,0-上单调递增，所以()()sin 00h x x x h =-≤=，所以sin 0x x -≤在[]π,0-上恒成立，即sin x x ≥；令()()[]0e 1,π,xx x x ϕ∈-=-+，则()e 10xx ϕ'=-≤在[]π,0-上恒成立，即()()e 1xx x ϕ=-+在[]π,0-上单调递减，即()()()e 100xx x ϕϕ=-+≥=，所以()e 1xx ≥+在[]π,0-上恒成立，可得()()()2e sin sin e 1sin 1121xxf x x x x x x x x x x x =+-=+-≥++-=-++；易知函数221y x x =-++在[]π,0x ∈-上单调递增，因此2min π2π1y =-++，即只需2minπ2π14y k =-++≥即可得2π2π14k -++≤，易知()2π2π1 2.57961,044-++-≈∈-，所以1k ≤-；注意到，由（1）可知，由()f x 有两个零点可知，必存在[]0π,0x ∈-，使得()00f x <，所以当0k ≥时，()()0040k f x f x -≥->，故()40k f x -≤不恒成立；综上，整数k 的最大值为1-.22.已知函数()2e 2ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭有三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<.（1）求实数k 的取值范围；（2）若2是()f x 的一个极大值点，证明：()()23131ef x f x k k x x -<--.【答案】（1）22e e e,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）利用函数极值点个数可得()()32e x xf x k x x --⋅'=在()0,∞+上至少有三个实数根，即可知e x k x =在()0,∞+有两个不等于2的不相等的实数根；利用导数求出()()e ,0,xg x x x=∈+∞的单调性并在同一坐标系下画出函数()g x 与函数y k =的图象即可求得实数k 的取值范围；（2）根据（1）中的结论可得22x =，将要证明的不等式化为131ekx x <，利用分析法可得需证明311e x x -<，由()g x 的单调性可知()()()3113ex g x g g x -=<，化简可得313e 01ln x x---<，构造函数()1e ,11ln x h x x x -=-->即可得出证明.【小问1详解】根据题意可知，函数()f x 的定义域为()0,∞+，则()()()224332e e e 222221e xx x x x f x k k x x x x x x kx x x x x -⎛⎫'⎭-⋅-⋅--=--+=-⋅=⎪⋅ ⎝，由函数()f x 有三个极值点123,,x x x 可知()()3e 02x xf x xk x -'-⋅==在()0,∞+上至少有三个实数根；显然()20f '=，则需方程3e 0x kx x-=，也即e 0xkx -=有两个不等于2的不相等的实数根；由e 0xkx -=可得e xk x=，()0,x ∈+∞，令()()e ,0,xg x x x =∈+∞，则()()()2e 1,0,x x g x x x-'=∈+∞，显然当()0,1x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 在()1,+∞上单调递增；所以()()1e g x g ≥=，画出函数()()e ,0,xg x x x=∈+∞与函数y k =在同一坐标系下的图象如下图所示：由图可得e k >且2e 2k ≠时，e xk x=在()0,∞+上有两个不等于2的相异的实数根，经检验可知当22e e e,,22k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，导函数()()32e x xf x k x x --⋅'=在123,,x x x 左右符号不同，即123,,x x x 均是()0f x '=的变号零点，满足题意；因此实数k 的取值范围时22e e e,,22⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】根据题意结合（1）中的图象，由123x x x <<可知12x ≠，若2是()f x 的一个极大值点，易知函数()f x 在()10,x 上单调递减，可知22x =；因此13,x x 是方程e x kx =的两个不相等的实数根，即3113,e ex xkx kx ==所以()33333233333e 22ln ln l 1n x k k f x k x k x k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得()111ln 1f x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()()333313333131313113111111ln l 11n ln ln 1l 1n x x x k x k x k x x k f x f x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-+---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-===----由3113,e e x x kx kx ==可知3331111331e e ln ln ln lne e ex x x x x x x k x x x k-====-,所以()()13131111331313331313131n 1l x x x x x k k x x f x f x x x x x x k x x x x x x x x --⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===⎝--⎭-又22e e e,,22k ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要证()()23131e f x f x k k x x -<--，即证21311ek k k x x -<⎛⎫⎪⎭-⎝，也即13111e k x x -<-，所以131e k x x <；只需证13e kx x <，即31e e x x <⋅可得311e x x -<；由（1）可得1301,1x x <<>，所以可得310e 1x -<<，且根据（1）中结论可知函数()e xg x x=在()0,1上单调递减；所以要证证311e x x -<，即证()()311ex g g x -<，又3131e e x x k x x ==，即()()13g x g x =，即证()()313e x g g x -<，即1333e13e e e x x x x --<，可得13e 3e e x x -<，即3131e ln x x --<，可得313e 01ln x x ---<，令()1e ,11ln xh x x x -=-->，则()11e 1e 1x x x h x x x --=-+-'=，令()1e 1,1x x x x u --=>，则()()1e 01x u x x -'=-<，所以()u x 在()1,+∞上单调递减，即()()10u x u <=，所以()0h x '<，即()h x 在()1,+∞上单调递减；因此()()10h x h <=，即可得证.【点睛】方法点睛：在处理函数极值点问题时，是将极值点转化成导函数的变号零点，利用函数与方程的思想转化为图像交点个数的问题；双变量问题一般是通过已有的等量关系或者构造函数转化为单变量问题，利用单调性求解即可.。
华南师大附中高一数学第一学期期中考试及其答案
华南师大附中 高一数学第一学期期中考试一、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1. 已知全集：二丨幕：， -，则（）.A.B. ： IC. ：l J:D.【答案】B【解析】 由题意二 1::二，又.■- - {- ■ _，故选 B.2. 若函数的一个正数零点的附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:那么方程x'' - \ ' \ '■ ：i 的一个近似根（精确到■■: f ）为（ ）. A. B. C. V D. I -【答案】C【解析】试题分析：由二分法知，：X = J : ＞的零点在区间芒严；，所以精确到 时，方程的近似根为 ；，故答案为 ；.考点：函数的零点A. B. I - IC. |D. :「1厲【答案】D【解析】对于函数 ，则、,；肯"，且 ，]解得 ，故定义域为 ，故选.4.设集合 ，集合，下列对应关系中是从集合到集合 的映射的是（3. 1函数、的定义域为（). ).A.| ■ B. ：------- C. (x- iy【答案】CC.在区间；「I 内有零点，在区间 -内无零点D.在区间 内无零点，在区间 -内有零点【答案】Dr【解析】由题得■' ?■'=,，令2：:;得 ：，3x 令「：厂|；得 厶「*：:;得 ：，所以函数在区间上为减函数，在区间'为增函数,【解析】 因为-<■',而 匸|.;,集合 中的元素 在集合 中没有像，故选项 对于选项，集合 中的元素 在集合 中没有像，故选项 不是映射.对于选项，集合 中的所有元素在集合 中都有唯一的像和它对应，故选项 对于选项，由于函数的定义域不是 ，故选项 不是映射，故选.5.若抹一,「上込―；；=1咨二，算=匕;；、，则，，，的大小关系是A. .■卜....B. ■ ■ I ： ■ .： ■ "C. .. ■.卜D. ■■ < ■;：. <-不是映射.是映射. ).【答案】A【解析】由于函数在十庁；上是减函数，故有：'I-- 再由 ，―小’:二1，可得■'I"- ■- ■■：，故选.6.设函数 若 是奇函数，则-的值是().tg(xXx<QI 1A. B. ■'! C.D.斗4【解析】由 是奇函数得；；一 ，当 时，,_x 1：.・：：•：时，U ,2X11即:=.一，，故选.24A.在区间；丨i , ■ J •二-内均有零点 -内均无零点B.在区间在点弋处有极小值：，所以在区间丄二内无零点，在区间：I.「内有零点，故选 .e8. 已知函数：： = /■与函数' n.i的图象关于直线■/-.：：对称，则不等式ii I ■的解集为（）.A. .. IB. .. IC. ■- . I ■- | ■-D. J 1【答案】B【解析】因为中函数有定义，则，即;]-则排除，，，故选.io.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.j _或【答案】C【解析】因为函数-与函数p—仁的图象关于直线n对称,9.)_ ^,即I i ，二1 -函数侶：一「科-广T的大致图象是（).2••一,点睛：分段函数的单调性问题，要分别单调和整体单调同时满足。
2022-2022学年师大附中高一上学期期中数学试题(解析版)
2022-2022学年师大附中高一上学期期中数学试题（解析版）2022-2022学年师大附中高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合,则为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】根据条件解出集合，再根据交集的概念即可求出.【详解】解：集合，又集合所以.故选：C.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】根据初等函数的性质逐个分析选项即可得出答案.【详解】解：A.在上单调递减，在上单调递减，但是在定义域内不是减函数.B.在定义域内为减函数，但不是奇函数.C.是偶函数，也不单调递减.D.是奇函数，且在定义域内单调递减，复合题意.故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，解题的关键是熟练掌握初等函数的性质，属于基础题.3．函数与的图象只可能是下图中的（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】观察选项AC，均单调递增，则，则直线所过定点在1的上方，选项BD，单调递减，则，则直线所过的定点在1的下方且在y轴正半轴上，由此可以判断选项.【详解】解：选项AC中，单调递增，则，过定点在（0,1）点上方，所以A、C不正确.选项BD中，单调递减，则，过定点在（0,1）点下方，所以B正确，D不正确.故选：B.【点睛】本题考查指数函数和一次函数的图像，考查指数函数的性质，属于基础题.4．已知函数的定义域为，若存在闭区间，使得满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍增区间”，下列函数存在“倍增区间”的是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，函数存在“倍增区间”，若函数单调递增，则，若函数单调递减，则，根据条件逐个分析选项，求解即可.【详解】解：对于A.：在上单调递增，则根据题意有有两个不同的解，不成立，所以A不正确.对于B：在上单调递增，根据题意有在上有两个不同的解，解得：，符合题意，所以B正确.对于C：，若，函数在单增，则有有两个解，即在上有两个解，不符合，若，仍然无解，所以C不正确.对于D：在上单调递增，则有两个解，不成立，所以D不正确.故选：B.【点睛】本题考查函数新定义题型，考查函数的单调性以及构造函数求解问题，属于中档题.二、填空题5．若幂函数为常数）的图象过点，则的值为_____.【答案】【解析】根据函数所过定点，可以求出函数的解析式，只需代入即可求得的值.【详解】解：因为幂函数为常数）的图象过点，所以，解得：，所以，则.故答案为：.【点睛】本题考查根据图像所过点求幂函数的解析式问题，考查具体函数求值问题，属于基础题.6．设，,则按从小到大排列的顺序是_______.【答案】【解析】因为，，，所以根据函数值的范围即可比较出大小顺序.【详解】解：，，，所以按从小到大排列的顺序是.故答案为：.【点睛】本题考查指对幂大小的比较，中间值法是常用的方法，属于基础图.7．已知集合若则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】由得，则可根据子集的定义列出不等式求解即可.【详解】解：则，所以，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查子集的定义和运算，考查不等式的解法，属于基础题.8．函数的定义域是__________．【答案】【解析】由，得，所以，所以原函数定义域为，故答案为.9．已知函数，则的值是______.【答案】1【解析】根据条件，先代入，求得的值，再根据函数值代入相应的解析式计算，则可求出结果.【详解】解：函数，所以，则.故答案为：1【点睛】本题考查分段函数求值，比较范围，逐步代入解析式是解题的关键，属于基础题.10．若，则______【答案】1【解析】由求得，，利用对数的运算法则化简即可.【详解】因为，所以，则，故答案为1.【点睛】本题主要考查对数的运算与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.11．函数的最小值是______.【答案】2【解析】令，对函数进行换元，则原式等价于求的最小值.对二次函数配方即可求函数的最小值.【详解】解：令，则原式等价于求的最小值.，函数图像开口向上，对称轴为，所以当时，y有最小值为2.故答案为：2.【点睛】本题考查求复合型二次函数的最小值，解题的关键是换元后注意范围的变化，属于基础题.12．已知函数是上的偶函数，且在区间上是单调增函数，若，则满足的实数的取值范围是______.【答案】【解析】函数是上的偶函数，且在区间上是单调增函数，可以得出在区间上是单调减函数，又，所以，结合单调性即可求出的解，将整体代入，即可求出某的范围.【详解】解：函数是上的偶函数，且在区间上是单调增函数，所以在区间上是单调减函数，又，所以.的解为：，则的解为：，即.故答案为：.【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数奇偶性单调性的综合应用，考查整体代换和转化的思想，解题的关键是时刻注意函数的定义域，属于基础题.13．若函数在区间上有，则的单调减区间是_______.【答案】【解析】由题意当时，，又，得.则根据复合函数的单调性即可求出的单调减区间.【详解】解：因为，所以，又，所以.根据复合函数单调性法则：的单调减区间为的单调增区间，又，所以的单调减区间为.故答案为：.【点睛】本题考查对数函数的取值范围，考查求复合函数的单调区间，解题的关键是注意函数的定义域，属于基础题.14．设函数，则使得成立的实数的取值范围是_______.【答案】或.【解析】观察函数，可知函数为偶函数，且在区间上单调递增，则根据函数的奇偶性和单调性，若成立，则，求解即可得出的取值范围.【详解】解：函数为偶函数，且在区间上单调递增，所以若成立，则，变形为：解得：或.故答案为：或.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题.三、解答题15．计算（1）（2）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据指数的运算性质化简即可.（2）根据对数的运算性质化简即可求出答案.【详解】解：（1）=.（2）=.【点睛】本题考查指数函数，对数函数的运算性质，解题的关键是牢记公式并且灵活运用，属于基础题.16．已知全集，集合（1）求；（2）设实数，集合,若求a的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）求出集合B，根据并集的定义和运算求出即可.（2），又，所以，则根据交接为空集列出不等关系求解即可.【详解】解：（1）=，又集合，所以.（2）集合，又，所以.，，则或，解得：或.【点睛】本题考查并集的概念和运算，考查根据交集为空求解，涉及到指数函数的运算，属于基础题.17．已知函数（1）求函数的定义域（2）求不等式成立时，实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)函数的定义域为和定义域的交集，求出函数和的定义域，再求交集即可求出结果.(2)等价于，解不等式，再结合定义域即可求出实数的取值范围.【详解】解：（1）的定义域为，的定义域为.所以函数的定义域为.（2）不等式，等价于，即：，解得：.又定义域为，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查求函数定义域的方法，考查求解对数不等式，属于基础题.18．已知定义在上的函数的图像关于原点对称（1）求实数的值;（2）求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）定义在上的函数的图像关于原点对称，所以为奇函数，代入即可求出m的值.（2）由（1）可求，结合指数函数的性质即可求值域.【详解】解：（1）定义在上的函数的图像关于原点对称，所以为奇函数，则有，所以.证明，当时，，关于原点对称，所以成立.（2），由于，所以，所以.所以的值域为.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，同时考查了指数函数值域的求解，属于中档题.19．某城市的街道是相互垂直或平行的，如果按照街道垂直和平行的方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：.如图，学校在点处，商店在点,小明家在点处，某日放学后，小明沿道路从学校匀速步行到商店，已知小明的速度是每分钟1个单位长度，设步行分钟时，小明与家的距离为个单位长度.（1）求关于的解析式;（2）做出中函数的图象，并求小明离家的距离不大于7个单位长度的总时长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，从A到B直线行走，起始点的横坐标为1，所以步行分钟后，横坐标为，不变，则根据距离的新定义可求出关于的解析式.（2）根据解析式做出图像，由图像解方程即可求出结果.【详解】解：（1）步行分钟时，小明仍在AB之间，所以小明的坐标为，则小明与家的距离为.所以关于的解析式为：.（2）图像如图：.当故当小明离家的距离不大于7个单位长度时，.【点睛】本题考查函数与解析式新定义题型，考查根据解析式做出函数图像，解题的关键是对新定义一定要理解深刻，属于中档题.20．设M为满足下列条件的函数构成的集合，存在实数，使得.（1）判断是否为M中的元素，并说明理由；（2）设，求实数a的取值范围；（3）已知的图象与的图象交于点，,证明：是中的元素，并求出此时的值（用表示）.【答案】（1）是；（2）[3﹣，3+]；（3）某0＝，证明见解析【解析】根据集合M的定义，可根据函数的解析式f（某0+1）＝f（某0）+f（1）构造方程，若方程有根，说明函数符合集合M的定义，若方程无根，说明函数不符合集合M的定义；（2）设h（某）＝∈M，则存在实数某，使h（某+1）＝h（某）+h （1）成立，解出a的取值范围即可；（3）利用f（某0+1）＝f（某0）+f（1）和y＝2e某（某＞）的图象与y＝为图象有交点，即对应方程有根，与求出的值进行比较即可解出某0．【详解】解：（1）设g（某）为M中的元素，则存在实数某0，使得f（某0+1）＝f（某0）+f（1）；即（某+1）2＝某2+1，∴某＝0，故g（某）＝某2是M中的元素．（2）设h（某）＝∈M，则存在实数某，使h（某+1）＝h（某）+h （1）成立；即lg＝lg+lg；∴＝；∴（a﹣2）某2+2a某+2a﹣2＝0，当a＝2时，某＝﹣；当a≠2时，则△＝4a2﹣4（a﹣2）（2a﹣2）≥0；解得a2﹣6a+4≤0，∴3﹣≤a≤3+且a≠2；∴实数a的取值范围为：[3﹣，3+]．（3）设m（某）＝ln（3某﹣1）﹣某2∈M，则m（某0+1）＝m（某0）+m（1）；∴ln[3（某0+1）﹣1]﹣（某0+1）2＝ln（3某0﹣1）﹣某02+ln2﹣1；∴ln＝2某0；∴＝；∴＝2；由于y＝2e某（某＞）的图象与y＝为图象交于点（t，2et），所以2et＝；令t＝2某0，则2＝＝；即存在某0＝，使得则m（某0+1）＝m（某0）+m（1）；故m（某）＝ln（3某﹣1）﹣某2是M中的元素，此时某0＝．【点睛】本题主要利用元素满足恒等式进行求解，根据指数和对数的性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析解决问题的能力，属于中档题．。
2019-2020学年广东省华南师大附中高一上学期期中数学试题及答案解析版
2019-2020学年广东省华南师大附中高一上学期期中数学试题及答案解析版一、单选题1．已知全集{}{}{}U=0,1,2,3,0,1,2,0,2,3A B ==集合集合，则U A C B 等于A ．{}1B ．{}2,3C ．{}0,1,2D ．Φ 【答案】A 【解析】解：因为{}{}{}{}U=0,1,2,3,0,1,2,0,2,31==∴=集合集合U A B C B故U AC B ={}12．函数211y x =+的值域是（ ） A ．[1,)+∞B ．(0,1]C ．(,1]-∞D ．(0,)+∞【答案】B【解析】根据倒数性质求值域. 【详解】因为211x +≥，所以21011x <≤+,选B. 【点睛】本题考查函数值域，考查基本分析求解能力，属基本题. 3．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A ．x y e -=B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x =【答案】B【解析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论. 【详解】 对于A ，1xxy e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是R 上的减函数，不合题意；对于B ，3y x =是定义域是R 且为增函数，符合题意； 对于C ，ln y x =，定义域是()0,∞+，不合题意；对于D ，y x =，定义域是R ，但在R 上不是单调函数，不合题，故选B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题. 4．下列各不等式中成立的是（ ）A ． 2.531.9 1.9>B ．0.10.20.60.6-->C ．0.3 3.11?.60.9> D ．2 log 1.010< 【答案】C【解析】本题考查指数函数，对数函数的单调性及应用. 函数 1.9x y =是增函数， 2.531.9 1.9;<函数0.6x y =是减函数，0.10.20.60.6;--<函数 1.6x y =是增函数，0.31.61;>函数0.9x y =是减函数， 3.10.91;<所以0.3 3.11.60.9>；函数2log y x =是增函数，2log 1.010;>故选C5．函数()()3log 320,1a y x a a =+->≠的图象过定点（ ）A ．110,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,0C ．()1,3D ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据对数函数log a y x =恒过()1,0,令321x -=计算即可. 【详解】令321x -=有1x =.代入1x =得()3log 323a y =+-=. 故函数()()3log 320,1a y x a a =+->≠的图象过定点()1,3. 故选：C 【点睛】本题主要考查了对数函数过定点的问题,属于基础题型. 6．已知函数2log ,(0)(){3,(0)x x x f x x >=≤，则[(1)]f f =（ ）A ．0B ．1C ．3D ．13【答案】B 【解析】【详解】 因为2log ,(0)(){3,(0)x x x f x x >=≤，所以[(1)](0)1f f f ==. 故选：B. 7．函数212()log (4)f x x =-的单调递增区间为( )A ．()0,?+∞B ．(),0-∞C ．()2,+∞D ．(),2-∞-【答案】D【解析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解即可． 【详解】由240x ->可得2x <-或2x >，∴函数()f x 的定义域为()(),22,∞-∞-⋃+．设()24t x x =-，则()t x 在(),2-∞-上单调递减，又函数12log y t=为减函数， ∴函数()()212log 4f x x =-在(),2-∞-上单调递增，∴函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-． 故选D ． 【点睛】（1）复合函数的单调性满足“同增异减”的结论，即对于函数()()y f g x =来讲，它的单调性依赖于函数()y f t =和函数()t g x =的单调性，当两个函数的单调性相同时，则函数()()y f g x =为增函数；否则函数()()y f g x =为减函数．（2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为(),0-∞．8．设()f x 在R 上的奇函数，()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则()5.5f 等于（）A ．5.5B ．0.5C ．0.5-D ． 5.5-【答案】B【解析】利用奇偶性与()()2f x f x +=-将()5.5f 中的自变量变换到01x ≤≤中再求解即可. 【详解】由()()2f x f x +=-得()5.5(3.5)(1.5)(0.5)f f f f =-==--. 又()f x 为奇函数故(0.5)(0.5)0.5f f --==. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解函数值的问题,需要根据题意将自变量根据性质变换到已知解析式的定义域内.属于中等题型.9．已知实数0a >且1a ≠，则在同一直角坐标系中，函数()()0a f x x x =>，()log a g x x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据幂函数与对数函数的图像分情况判断即可. 【详解】由题,当01a <<时, ()()0af x x x =>为增函数且图像往上凸,()log a g x x =为减函数且过()1,0.易得D 满足条件.当1a >时,()()0af x x x =>为增函数且图像往下凸,()log a g x x =为增函数且过()1,0.无对应选项.故选：D 【点睛】本题主要考查了对数函数与幂函数的图像,属于基础题型.10．f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为()A．4 B．5C．8 D．10【答案】B【解析】由题意得函数()f x的周期为2，再结合函数为偶函数可画出函数()f x的图象，然后根据函数()f x的图象和函数5=的图象的公共点的个数进行判断即可．y log x【详解】∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数()f x的周期为2．由题意可得()5=，f x log x在同一坐标系内画出函数()=的图象，如下y log x=和5y f x图，由图象得，两函数图象有5个交点，所以函数y＝f(x)－|log5x|共有5个零点．故选B．【点睛】本题考查函数的性质和函数零点的综合，解题的关键是将问题转化为函数图象公共点的个数问题出处理，画图时要结合函数的性质求解，不要忘了函数的奇偶性和周期性的应用．11．对于函数()f x 和()g x ，设(){|0}x f x α∈=，(){|0}x g x β∈=，若存在α，β，使得1αβ-，则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”．若函数()12x f x ex -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,4 B ．72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．7,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]2,3【答案】D【解析】先得出函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2的零点为x ＝1．再设g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3的零点为β，根据函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2与g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3互为“零点关联函数”，利用新定义的零点关联函数，有|1﹣β|≤1，从而得出g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可． 【详解】函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2的零点为x ＝1． 设g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3的零点为β，若函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2与g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a +3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1， ∴0≤β≤2，如图由于g（x）＝x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），故要使其零点在区间[0，2]上，则()()0020022gga⎧>⎪>⎪⎪⎨∆≥⎪⎪≤≤⎪⎩或()()020g g⋅≤，解得2≤a≤3，故选D【点睛】本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用二、填空题12．如果奇函数f（x）在[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f（x）在[-7,-3]上是_________.①减函数且最小值是-5；②减函数且最大值是-5；③增函数且最小值是-5；④增函数且最大值是-5【答案】④【解析】由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即可求得最终结果． 【详解】奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称，则若奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5， 那么f （x ）在区间[﹣7，﹣3]上是增函数且最大值为﹣5． 故答案为：④． 【点睛】本题考查了奇函数的性质，函数的对称性及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题． 13．已知幂函数()f x 的图像经过点(，则()4f 的值等于______. 【答案】2 【解析】设幂函数()af x x =,再代入点(进而求得a 与()4f 即可. 【详解】设幂函数()af x x =,132aa =⇒=.故()12f x x =.所以()12442f ==.故答案为：2 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式与求值,属于基础题型. 14．已知()2122f x x x +=++，则()f x =_____【答案】21x +【解析】令1t x =+得1x t =-，可得()()()2212121f t t t t =-+-+=+，从而可得到所求的函数解析式. 【详解】由题意1t x =+，得1x t =-， 因为()2122f x x x +=++，则()()()2212121f t t t t =-+-+=+，()21f x x ∴=+，故答案为21x +.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.15．函数()()lg 1f x x +的定义域是__________．【答案】{}2x x ≥【解析】根据函数解析式的特征得到关于自变量x 的不等式组，解不等式组可得结果． 【详解】要使函数有意义，需满足2010x x -≥⎧⎨+>⎩，解得2x ≥，所以函数的定义域为{}2x x ≥． 故答案为{}2x x ≥． 【点睛】求函数的定义域时，要根据函数解析式的特点得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后即可得到所求的定义域，特别注意要把定义域写成集合或区间的形式． 16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21x f x x -=+，若对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()10f t a f t +-->恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()(),30,-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：当0x >时，()()21111x f x f x x x -==-∴++在()0,+∞上单调递增，由()()10f t a f t +-->得，()()1f t a f t +>-又()f x 是定义在R 上的偶函数，()()1f t a f t +>-，则1t a t +>-，两边平方得()22210a t a ++->对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()10f t a f t +-->恒成立，∴对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()22210a t a ++->恒成立，则()()2222122100{{3243022210a a a a a o a a a a a ++->+>∴∴><-++>++->或，则实数a 的取值范围是．【考点】恒成立问题【思路点睛】利用奇偶性、单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（轴对称函数）与单调性综合街函数不等式和比较大小．本题中，函数为偶函数，且给出了当0x ≥时的解析式，从而可以判断出单调性，然后利用函数的偶函数的性质()()f x f x -=，即可得到一个不等式组，解不等式组即可得到所求答案．三、解答题17．计算：()513log 383353log 48π-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭【解析】根据指数幂以及对数的运算求解即可. 【详解】原式(2222131233333=--+=++--+=【点睛】本题主要考查了指数幂以及对数的运算.属于基础题型. 18．已知集合{}2120A x x x =--<，{}|211B x m x m =-≤≤+. （1）当3m =-时，求集合AB ；（2）当B A ⊆时，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}|32AB x x =-<≤-；（2）()1,-+∞【解析】(1)根据集合的基本运算求解即可. (2)分B =∅和B ≠∅两种情况讨论求解即可. 【详解】{}|34A x x =-<<（1）当3m =-时{}|72B x x =-≤≤-,{}|32A B x x =-<≤-（2）∵B A ⊆∴应分B =∅和B ≠∅两种情况讨论 当B =∅时,有211m m ->+,即2m >；当B ≠∅时,有211,213,14,m m m m -≤+⎧⎪->-⎨⎪+<⎩,即12m -<≤.综上所述,所求实数m 的取值范围是()1,-+∞. 【点睛】本题主要考查了集合间的基本运算,同时也考查了根据集合的关系求参数的问题,属于中等题型.19．已知定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，()1=+xf x x ； （1）求函数()f x 的表达式；（2）判断函数()f x 在[)0,+∞上的单调性，并用单调性定义证明. 【答案】（1）(),01,01xx x f x x x x ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩；（2）函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，理由见解析【解析】(1)根据偶函数的性质求解当0x <时的解析式即可. (2) 任取1x ,[)20,x ∈+∞,12x x >,再计算()()12f x f x -的正负即可. 【详解】（1）因为()f x 为R 上的偶函数,设0x <,则有0x ->, 故0x <时,有()()11x xf x f x x x -=-==-+-,故(),01,01xx x f x x x x ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩ （2）函数()f x 在[)0,+∞上单调递增, 证明：任取1x ,[)20,x ∈+∞,12x x >,∴()()()()12121212121111x x x x f x f x x x x x --=-=++++因为1x ,[)20,x ∈+∞,12x x >,所以120x x ->,()()12110x x ++>,∴()()12f x f x >∴函数()f x 在[)0,+∞上单调递增 【点睛】本题主要考查了根据奇偶性求解函数解析式的方法以及根据定义求解函数单调性的问题,属于中等题型. 20．某种树木栽种时高度为A 米(A 为常数)，记栽种x 年后的高度为()f x ，经研究发现，()f x 近似地满足()x9Af x a bt =+，(其中1t=a ，b为常数，x N)∈，已知()f 0A =，栽种三年后该树木的高度为栽种时高度的3倍． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求栽种多少年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍(参考数据：lg20.3010=，lg304771)=． 【答案】（Ⅰ）a 1=，b 8=；（Ⅱ）5年.【解析】(Ⅰ)由()f 0A =及()f 33A =联立解方程组可得；(Ⅱ)解不等式()f x 5A ≥，利用对数知识可得．【详解】(Ⅰ()x9A )f x a bt =+，()9Af 0A a b∴==+，a b 9∴+= ①， 又()f 33A =，即39A3A a t b =+，3a t b 3∴+=②， 联立①②解得a 1=，b 8=，(Ⅱ)由(Ⅰ)得()x9Af x 18t =+，由()f x 5A ≥得x 1t 10≤，1xlgt lg110≤=-， 1133x 4.981lgt lg40.6020lg43--∴≥===≈-．故栽种5年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍． 【点睛】本题考查了函数解析式的求解及对数的运算，考查了函数的实际应用问题，属于中档题．21．已知函数f(x)＝log 4(4x ＋1)＋kx(k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）k ＝－12.（2）{－3}∪(1，＋∞)．【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)， ∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx.log 44141x x －＋＋＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k＝－12.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 44•23x a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－有且只有一个实根，化简得方程2x＋12x＝a·2x－43a有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根．①a ＝1t ＝－34，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a ＝34或－3.若a ＝34t ＝－2，不合题意，若a ＝－3t ＝12；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即11a --<0a>1.综上，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．22．已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1.设()()g x f x x=（1）求,a b 的值（2）若不等式22(log )2log 0f x k x -≥在[]2,4x ∈上有解,求实数k 的取值范围; （3）若2(21)3021x x f kk -+-=-有三个不同的实数解,求实数k 的取值范围.【答案】（1）1,0a b ==.（2）(],1-∞（3）(0,)+∞【解析】(1)由函数2()(1)1,0g x a x b a a =-++->,所以()g x 在区间[2,3]上是增函数,故(2)1(3)4g g =⎧⎨=⎩,由此解得a b 、的值; (2)由(1)可得1()2f x x x=+-,所以()22log 2log 0f x k x -≥在[2,4]x ∈上有解,等价于2221log 22log log x k x x+-≥在[2,4]x ∈上有解, 即()2221221log log k xx ≤-+在[2,4]x ∈上有解, 令21log t x=,则2221k t t ≤-+,即可求得k 的取值范围;(3)原方程可化为221(32)21(21)0xx k k --+⋅-++=,令21xt -=则(0,)t ∈+∞,2(32)(21)0t k t k -+++=有两个不同的实数解12,t t ,其中1201,1t t <<>,或1201,1t t <<=,即可求得实数k 的取值范围.【详解】(1)函数2()(1)1g x a x b a =-++-,0a >,∴ ()g x 在区间[]2,3上是增函数,故:(2)1(3)4g g =⎧⎨=⎩,解得1,0a b ==. (2)由(1)可得1()2f x x x=+-, ∴ ()22log 2log 0f x k x -≥在[2,4]x ∈上有解等价于2221log 22log log x k x x+-≥在[2,4]x ∈上有解 即()2221221log log k x x ≤-+在[2,4]x ∈上有解 令21log t x=,则2221k t t ≤-+[2,4]x ∈,故1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦记2()21t t t ϕ=-+,112t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭max 1()4t ϕ∴=∴ k 的取值范围为1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(3)原方程可化为221(32)21(21)0xx k k --+⋅-++=令21xt -=则(0,)t ∈+∞2(32)(21)0t k t k -+++=有两个不同的实数解12,t t其中1201,1t t <<>,或1201,1t t <<= 记2()(32)(21)h t t k t k =-+++则210(1)0k h k +>⎧⎨=-<⎩——①,解得0k > 或210(1)032012k h k k ⎧⎪+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩——②,不等式组②无实数解.+∞.∴实数k的取值范围为(0,)【点睛】本题考查根据函数零点求参数取值范围,解题关键是掌握利用零点存在的判定定理构建不等式求解,分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解,如果涉及由几个零点时,还需考虑函数的图像与参数的交点个数,考查了分析能力和计算能力.。
2020-2021上海华东师大一附中实验中学高一数学上期中试卷(含答案)
2020-2021上海华东师大一附中实验中学高一数学上期中试卷(含答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =U IA ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．已知函数f (x )＝23,0{log ,0x x x x ≤>那么f 1(())8f 的值为( )A ．27B ．127C ．－27D ．－1273．若35225a b ==，则11a b+=（ ） A ．12B ．14C ．1D ．24．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 7．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A ．()212xx f x -= B ．()()21xf x x =-C ．()ln f x x =D ．()1xf x xe =-9．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<10．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭11．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞12．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅++的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题13．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 14．方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________.15．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___16．函数的定义域为______________．17．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．18．某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，则第x()x N*∈年的年产量为y=______.19．关于函数()24 11x xf xx-=--的性质描述，正确的是__________.①()f x的定义域为[)(]1,00,1-U；②()f x的值域为()1,1-；③()f x的图象关于原点对称；④()f x在定义域上是增函数.20．已知函数(12)(1)()4(1)xa xf x axx⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R∈，12x x≠时，都有()()1212f x f xx x->-，则a的取值范围是________三、解答题21．已知函数2()(2)3f x x a x=+--．（1）若函数()f x在[]2,4-上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）当5a=，[1,1]x∈-时，不等式()24f x m x>+-恒成立，求实数m的范围．22．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后，y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？23．已知定义域为R的函数12()22xxbf x+-+=+是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数()f x的单调性，并用定义证明；（3）当1,32x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(21)0f kx f x+->恒成立，求实数k的取值范围．24．已知二次函数()f x满足(0)2f=，且(1)()23f x f x x+-=+.（1）求()f x的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx=-，当[1,)x∈+∞时，求()h x的最小值；（3）设函数12()logg x x m=+，若对任意1[1,4]x∈，总存在2[1,4]x∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.25．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B I ，()R C A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.26．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，m ∈R ，x ∈R}． (1)若A ∩B ＝{x |0≤x ≤3}，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．B解析：B 【解析】 【分析】利用分段函数先求f （1)8）的值，然后在求出f 1(())8f 的值． 【详解】 f＝log 2＝log 22－3＝－3，f＝f (－3)＝3－3＝.【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，属基础题．3．A解析：A 【解析】 【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解. 【详解】由题意3225,5225a b==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b == 由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ==== 由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+ lg3lg52lg15+=lg1512lg152== 故选:A 【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.4．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .5．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A解析：A由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．7．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.9．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.10．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.11．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.12．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到ax +=.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin lnsin lnx ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,m m m m a b+=+==∴=【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.14．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于 解析：()(){}2,2,2,2--【解析】 【分析】解方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩，求出结果即可得答案.【详解】由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=， 解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩，所以方程组2040x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--，故答案为{}(2,2),(2,2)--. 【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.15．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式.根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.16．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx -1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x ∈-π3+2kππ3+2kπ 解析：【解析】 【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果. 【详解】 由题意得：，函数定义域为：【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.17．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性解析：-1 【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以， 则，所以．考点：函数的奇偶性．18．y ＝a （1+b ）x （x ∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量第二年产量…根据规律得到答案【详解】设年产量经过x 年增加到y 件第一年为y ＝a （1+b ）第二年为y ＝a （1+b ）（1+b ）＝a （1+解析：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【解析】 【分析】根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案. 【详解】设年产量经过x 年增加到y 件， 第一年为 y ＝a （1+b %）第二年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）2， 第三年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）3， …∴y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）． 故答案为：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *） 【点睛】本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.19．①②③【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为0解不等式可得f （x ）的定义域可判断①；化简f （x ）讨论0＜x≤1﹣1≤x ＜0分别求得f （x ）的范围求并集可得f （x ）的值域可判断②；由f （﹣1）＝f （解析：①②③ 【解析】 【分析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f （x ）的定义域，可判断①；化简f （x ），讨论0＜x ≤1，﹣1≤x ＜0，分别求得f （x ）的范围，求并集可得f （x ）的值域，可判断②；由f （﹣1）＝f （1）＝0，f(x)不是增函数，可判断④；由奇偶性的定义得f （x ）为奇函数，可判断③． 【详解】①，由240110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得﹣1≤x ≤1且x ≠0，可得函数()11f x x =--的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故①正确；②，由①可得f （x ，即f （x ，当0＜x ≤1可得f （x 1，0]；当﹣1≤x ＜0可得f （x [0，1）．可得f （x ）的值域为（﹣1，1），故②正确；③，由f （x 的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，关于原点对称，f （﹣x ＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数，即有f （x ）的图象关于原点对称，故③正确．④，由f （﹣1）＝f （1）＝0，则f （x ）在定义域上不是增函数，故④错误； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查函数的性质和应用，主要是定义域和值域的求法、单调性的判断和图象的特征，考查定义法和分类讨论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．20．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】 根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.三、解答题21．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】 【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ；（2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立，函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型.22．（1）0.8)4,015(,1t t t y t ≤≤⎧=⎨⋅>⎩n ； （2）服药一次后治疗有效的时间是5－＝小时.【解析】 【分析】（1）由函数图象的奥这是一个分段函数，第一段为正比例函数的一段，第二段是指数函数的一段，由于两端函数均过点(1,4)，代入点(1,4)的坐标，求出参数的值，即可得到函数的解析式；（2）由（1）的结论将函数值0.25代入函数的解析式，构造不等式，求出每毫升血液中函数不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，根据给定的函数的图象，可设函数的解析式为1)2,01(,1t a kt t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n ，又由函数的图象经过点(1,4)，则当1t =时，14k ⨯=，解得4k =， 又由1t =时，11()42a-=，解得3a =，所以函数的解析式为1)324,01(,1t t t y t -≤<⎧⎪=⎨⎪≥⎩n . （2）由题意，令0.25y ≥，即当01t ≤<时，40.25t ≥，解得116t ≥， 当1t ≥时，31()0.252t -≥，解得15t ≤≤，综上所述，可得实数t 的取值范围是1516t ≤≤， 所以服药一次后治疗有效的时间是17951616-=小时.本题主要考查了一次函数与指数函数模型的应用，解答中认真审题，合理设出函数的解析式，代入求解是解答的关键，同时应用指数函数模型应注意的问题：(1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决.(2)应用指数函数模型时的关键.关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型. 23．(1) 1b = (2) 减函数，证明见解析；(3) (,1)-∞-． 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质令(0)0f =，求解b 即可． （2）利用函数的单调性的定义证明即可．（3）利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可． 【详解】（1）∵()f x 在定义域R 上是奇函数， 所以(0)0f =，即102ba-+=+，∴1b =， 经检验，当1b =时，原函数是奇函数． （2）()f x 在R 上是减函数，证明如下：由（1）知11211()22221x x xf x +-==-+++， 任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++， ∵函数2xy =在R 上是增函数，且12x x <， ∴12220x x -<，又()()1221210xx++>， ∴()()210f x f x -<，即()()21f x f x <， ∴函数()f x 在R 上是减函数．（3）因()f x 是奇函数，从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)f kx f x >--，由（2）知()f x 在R 上是减函数，由上式推得212kx x <-， 即对任意1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有212xk x-<恒成立， 由2212112x x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，令1t x =，1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则可设2()2g t t t =-，1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴min ()(1)1g t g ==-，∴1k <-，即k 的取值范围为(,1)-∞-． 【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想，是中档题． 24．（1）2()22f x x x =++；（2）min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩„；（3）7m < 【解析】 【分析】(1) 根据二次函数()f x ,则可设2()(0)f x ax bx c a =++≠,再根据题中所给的条件列出对 应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的()f x 求得2()2(1)2h x x t x =+-+,再分析对称轴与区间[1,)+∞的位置关系进行分类讨论求解()h x 的最小值即可.(3)根据题意可知需求()f x 与()g x 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可. 【详解】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠. ①∵(0)2f =,∴(0)2f c ==, 又∵(1)()1f x f x x +-=+,∴22(1)(1)2223a x b x ax bx x ++++---=+,可得223ax a b x ++=+,∴21,3,a a b =⎧⎨+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩，，即2()22f x x x =++. (2)由题意知,2()2(1)2h x x t x =+-+,[1,)x ∈+∞,对称轴为1x t =-. ①当11t -„,即2t „时,函数h (x )在[1,)+∞上单调递增, 即min ()(1)52h x h t ==-；②当11t ->,即2t >时,函数h (x )在[1,1)t -上单调递减,在[1,)t -+∞上单调递增,即2min ()(1)21h x h t t t =-=-++.综上,min252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩„ (3)由题意可知min min ()()f x g x >,∵函数()f x 在[1,4]上单调递增,故最小值为min ()(1)5f x f ==, 函数()g x 在[1,4]上单调递减,故最小值为min ()(4)2g x g m ==-+, ∴52m >-+,解得7m <.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.25．(1) {|25}A B x x =≤<I (){|35}R C A B x x ⋃=-<< (2) 5(,1)(2,)2-∞-U 【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，分情况列出表达式即可. 解析：（1）{|25}A B x x ⋂=≤<{|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<<（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m <<综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭26．（1）2；（2）{|35}m m m -或 【解析】试题分析：（1）根据一元二次不等式的解法，对A ，B 集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合A ，B ，再根据A∩B=[0，3]，求出实数m 的值；（2）由（1）解出的集合A ，B ，因为A ⊆C R B ，根据子集的定义和补集的定义，列出等式进行求解．解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}， B={x|m ﹣2≤x≤m+2}． （1）∵A ∩B=[0，3] ∴∴，∴m=2；（2）C R B={x|x ＜m ﹣2，或x ＞m+2} ∵A ⊆C R B ，∴m ﹣2＞3，或m+2＜﹣1， ∴m ＞5，或m ＜﹣3．考点：交、并、补集的混合运算．。
华中师大一附中高一期中检测-数学答案
华中师大一附中2022—2023学年度下学期高一期中检测数 学 答 案一、二 选择题7．【解】在ABC ∆中取BC 的中点D ，AB 的中点E ，连接,CE DQ . 故()()()()22PB PC PD DBPD DC PD DBPD DB PD DB =++=+−=−，()()()()22QB QC QD DBQD DC QD DBQD DB QD DB =++=+−=−由PB PC QB QC ≥，得22PD QD ≥，故QD BC ⊥. 由D 为BC 的中点，E 为AB 的中点，且14QB AB =， 得CEDQ ，所以CE AB ⊥.又E 为AB 的中点，所以AC BC =， 故选：D.8．【解】对于式子cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=，两边同乘AB ， 可得()cos cos 2sin sin B CAB AB AC AB m AD DO AB mAB AB C B⋅+⋅=+⋅=⋅， 即22cos cos cos sin sin B C c bc A mc C B+⋅=， 由正弦定理化简可得22cos cos sin sin sin cos sin sin sin B CC B C A m C C B+⋅=， 由sin 0C ≠，两边同时除以sin C 得，cos cos cos sin B A C m C +=， ()cos cos cos cos cos cos sin sin A C A C B A C m C C −+++∴==cos cos sin sin cos cos sin sin 3A C A C A C A sin C π−++====， 故选：C.11．【解】对于A ，1sin 2ABO S OA OB AOB ∆=∠，而sin OA OB OA OB AOB ⨯=∠，故12ABO S OA OB ∆=⨯，正确； 对于B ，cos OA OB OA OB AOB =∠， 当0,2AOB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，tan AOB ∠有意义则tan sin OA OB AOB OA OB AOB OA OB ∠=∠=⨯，正确；对于C ，12,2,cos ,sin 22OA OB OA OB AOB AOB ===∠=∠=，23OA OB ⨯= 对于D ，OA OB ⨯的模长即为平行六面体底面C OAB 的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，()'OO OA OB ⨯就是'OO 在垂直于底面C OAB 的方向上的投影向量的模长（即为高）乘以底面的面积，即为体积，正确； 故选ABD.12．【解】由题意2=a ，1=c ，1−=−=a b b c ，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，如图，不妨设()10C ，，圆C 方程是22(1)1x y −+=.动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足1AB =，对于A ，当OB =OAB ∆为直角三角形，此时30AOB ∠=︒，即向量,a b 的夹角为6π，正确； 对于B ，当A 的坐标为()2,0时，向量,a c 共线，正确；对于C ，当B 在圆C 上运动时，由AB OB OA +≥，得1OB ≥，当且仅当,,O A B 三点共线时取等号，又由图易知2OB ≤，即12≤≤b ，错误； 对于D ，设(),B x y ，则()(),1,0x y x ⋅=⋅=b c ，由22221(1)1x y x y ⎧+=⎨−+=⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12B x ∴≥， 又2B x ≤，所以122x ≤≤.122，⎡⎤∴⋅∈⎢⎥⎣⎦b c ，正确.故选：ABD三 填空题13.−14. 15.9π16.5216．【解】设D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，如图所示，则()()22()PA PB PC PA PD PE EA PE ED ⋅+=⋅+=⋅+()()()2222PE EA PE EA PE EA =⋅−=−+，在正三角形ABC中，2AD ===，所以AE DE == 所以()2223228()PA PB PC PE EAPE +=⋅=−−，因为CE ===，所以min 114PE CE =−=−所以()PA PB PC ⋅+的最小值为：223352218482PE ⎛−=−−=− ⎝⎭四 解答题17．【答案】(2)1⎤⎦【解】（1）条件①：()()()()()220231133123*********i i i i i i iz i i i i i ++++++−+=====+−−−+，所以112i z =+ ………....5 条件②：由2250x x −+=得，()214x −=−，12x i −=±，所以12x i =±，又点1Z 位于第一象限，所以112z i =+，所以112i z =+= (5)条件③：因为4πθ=，所以)1cos sin 111222z i i θθ⎫=+⋅−=+−=+⎪⎪⎭，所以112i z =+ (5)（2）解法1：设 i z a b =+，,a b R ∈， 由（1）可得1 12i z =−，1(1,2)Z ，()()1222i z z a b −=−++，由121z z −=可得，()()22221a b −++=，因此曲线是复平面内以()02,4Z −圆心，半径为1的圆， (7)故0Z 与1Z =所以Z 与1Z 之间的最小距离为1，最大距离为1，故Z 与1Z 之间距离的取值范围是1⎤⎦. (10)解法2：由（1）可得1 12i z =−，1(1,2)Z ， 曲线121z z −=，即()24i 1z −−=，因此曲线是复平面内以()02,4Z −圆心，半径为1的圆， …………7 设()cos 2,sin 4Zθθ+−，[)0,2θπ∈，则()1cos 1,sin 6Z Z θθ=+−，()(1cos 1sin Z Z θ=++==，其中tan 6ϕ=，所以1371Z Z ⎡⎤∈⎣⎦，故Z 与1Z 之间距离的取值范围是1⎤⎦. (10)18．【答案】(1)()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，⎡−⎣；（2）263 【解】（1）由图可知2A =，212π436T ω⎛⎫=⨯−=⎪⎝⎭， ∴πω=，∴()()2sin πf x x ϕ=+，又点1,26⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 的图象上，∴π2sin 26ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ππ2π62k ϕ+=+，Z k ∈，即π2π3k ϕ=+，Z k ∈，π2ϕ<，∴π3ϕ=，∴()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (3)当[]1,0x ∈−时，π2πππ,333x ⎡⎤+∈−⎢⎥⎣⎦，所以π1sin π3x ⎛⎫−≤+≤ ⎪⎝⎭()f x ⎡∈−⎣.故函数()f x 在[]1,0x ∈−上的值域为：⎡−⎣. (6)（2）如图，由图得()f x 在[]0,4上的图象与直线12y =−有4个交点，则方程()12f x =−在[]0,4上有4个实数根， (8)设这4个实数根分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<， 由π3ππ2π32x k +=+，Z k ∈，得726x k =+，Z k ∈， 所以可知12,x x 关于直线76x =对称，∴1273x x += 34,x x 关于直线196x =对称，∴34193x x +=， ∴1234263x x x x =+++. (12)19．【答案】（1）2233OM OA OC =+；（2）3[0,]4. 【解】（1）依题意12CB OA =，23AM AB =，22221221()()33333333AM OB OA OC CB OA OC OA OA OC OA ∴=−=+−=+−=−，2122()3333OM OA AM OA OC OA OA OC ∴=+=+−=+； (5)（2）由已知12OB OC CB OC OA =+=+，因P 是线段BC 上动点，则令1(0)2CP xOA x =≤≤，()()()()OB CA OP OA OC OC CP x OA OC λμλμλμμλ=+=−++=++−，又,OC OA 不共线，则有1131222x x λμμλμλμ=−−=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎪+⎩⎩， ……………..8 1330111222x x μ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤， 211(1)()24λμμμμ⋅=−=−−在3[1,]2μ∈上递增，所以min max 331,()0,,()24μλμμλμ=⋅==⋅=，故λμ⋅的取值范围是3[0,]4. (12)20．【答案】（1）0.4；（2）3.9π【解】（1）由题意可知75B MN A NM ''∠=∠=，45A MN B NM ''∠=∠=60NA M '∴∠=，在A MN '中，由正弦定理sin sin MN A NNA M A MN'=''∠∠633,60MN A N '===又N 点观测A 时仰角的正切值为15，220.415AA '==答：该山的高度为0.4千米. ………...….5 （2）设A MB ''的外接圆为圆O ，A MB A NB ''''∠=∠，根据圆的有关性质，,,,A B M N ''四点共圆在A MN '中，由正弦定理，圆O 直径为6sin MNNA M='∠，在A MB '中，由正弦定理，6sin 3A B A MB ''''=∠= 延长A B ''与圆台交于C 点，由题意下底面圆半径为1.8km ，圆台的母线长BC 可在直角BB C '中由勾股定理得为0.5. 圆台的侧面积()2331.5 1.80.520km ππ=+=， ………...….8 圆台的上底面面积2291.54km ππ==， ...............10 答：该山被冰雪覆盖的面积为3.9π平方千米. . (12)21．【答案】（1）4π；（2）.【解】（1）由正弦定理可得222a b c =++，即222a b c −=+，所以222cos 222a b c C ab ab +−===， 因为()0C ，π∈，所以4C π=. (4)（2）由余弦定理可得222222cos 4c a b ab C a b =+−=+=， 又()12CD CA CB =+， 则()222211()244CD CA CB CA CB CA CB =+=++⋅()()221141442a b ab =+=+=+，由正弦定理可得sin sin sin a b c A B C===，所以a A =，32cos 2sin 4b B A A A π⎛⎫==−=+ ⎪⎝⎭，所以21cos2cos 2A ab A A A A −=+=+4sin 24A π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭ ……...….8 由题意得023042A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<−<⎪⎩，解得42A ππ<<，则32444A πππ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭，，所以sin 214A π⎤⎛⎫−∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，所以(ab ∈+，所以(253CD ∈+，，所以中线CD长的取值范围为.+ (12)22．【答案】（1）15；（2）（i ）3；（ii ）2[]96. 【解】（1）连接AG 并延长，交BC 于点F ，设AFmAG =，则255m mAF AB AC =+， 所以2155m m +=，53m =，故2133AF AB AC =+，则有13BF BC =， 所以13FAB ABC S BF S BC ∆∆==，又53AF AG =，所以35GAB FAB S AG S AF ∆∆==， 所以15GAB ABC S S ∆∆=. ……...….3 （2）（i ）连接AG 并延长，交BC 于点F ， 因为G 为重心，所以F 为BC 中点，所以()12AF AB AC =+， 所以22111111()332333AG AF AB AC AD AE AD AE λμλμ⎛⎫==⋅+=+=+ ⎪⎝⎭又D ，G ，E 三点共线，所以11133λμ+=，则113λμ+=. (6)（ii ）设ABC 的边长为1，则AD λ=，AE μ=，（(],0,1λμ∈） 在ADE 中，222222cos 60DE AD AE AD AE λμλμ=+−⨯⨯=+−，所以DE123c AD AE DE c ++==， 因为1133λμλμλμ+=⇒+=，()()2222292λμλμλμλμλμ+=+−=−，所以12c c ==， 因为tλμ=，所以()f t t == (9)因为01λ<≤，01μ<≤，所以11λ≥，11μ≥，又1132λμ=−≤，则有112λ≤≤，因为31λμλ=−，所以22211313113924λλμλλλλ===−⎛⎫−−−+ ⎪⎝⎭， 因为112λ≤≤，所以λμ的最小值为49，最大值为12，所以41,92t λμ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以241,38112t t ⎡⎤−∈⎢⎥⎣⎦，所以2)(9f t ⎡⎢⎣=⎦. (12)。
华师一附中2020-2021学年度上学期期中检测高一数学试卷
华中师大一附中2020～2021学年度上学期期中检测高一年级数学试题试卷总分150分 考试时间120分钟 命题人：张丹 审题人：黄进林一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1 ．已知{}3,0,1A =−，{}4,3,1B =−−，则A B 的真子集的个数为（ ）A ．3B ．7C ．15D ．31 2 ．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话中，“不便宜”是“好货”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3 ．已知函数()f x 的定义域为(1,1)−，函数()()21g x f x =−，则函数()g x 的定义域为（ ）A ．()1,1−B ．()0,1C ．()3,1−D ．()()()3,1f f −4 ．若正实数a ，b 满足1a b +=，则12a b+的最小值为（ ）A ．B ．6C ．D ．3+5 ．函数()f x 的单调递减区间是（ ）A ．(],2−∞B ．[)2,+∞C ．[]0,2D ．[]2,46 ．若关于x 的不等式()2121x x a a a −+−++∈R ≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10a −＜＜ B ．01a ＜＜ C ．12a ＜＜ D ．1a −＜7 ．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递减，()20f −=，则不等式()0xf x ＞的解集为（ ）A ．()(),20,2−∞−B ．()(),22,−∞−+∞C ．()()2,00,2−D ．(2,0)(2,)−+∞ 8 ．已知函数()22+1f x x x =−+，[]0,2x ∈，函数()1g x ax =−，[]1,1x ∈−，对于任意[]10,2x ∈，总存在[]21,1x ∈−，使得()()21g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],3−∞− B ．[)3,+∞ C ．(][),33,−∞−+∞ D ．()(),33,−∞−+∞二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9 ．已知a ，b ，c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c ＞＞ B ．c b a ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a c b ＞＞ 10．下列各结论中正确的是（ ）A ．“0ab ＞”是“0ab＞”的充要条件B ．函数y =+ 2C ．命题“1x ∀＞，20x x −＞”的否定是“01x ∃≤，2000x x −≤” D ．若函数21y x ax =−+有负值，则实数a 的取值范围是2a ＞或2a −＜11．定义域为R 的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且当0x ＞时，()0f x ＞．以下结论正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数12．设定义域为R 的函数()1, 11,1x x f x x x ⎧≠−⎪+=⎨⎪=−⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ++=⎡⎤⎣⎦有且仅有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且123x x x ＜＜．下列说法正确的是（ ）A ．2221235x x x ++= B ．10a b ++=C ．1322x x x +＞D ．132x x +=−三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知集合{}2,1A =−，{}2B x ax ==，若A B B =，则实数a 的取值集合为_______． 14．关于x 的一元二次方程2210x kx k ++−=在区间()1,2−内、外各有一个实数根，则实数k 的取值范围是_______．15．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则第_______种购物方式比较经济．16．已知函数()2=x ax af x x++在(]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围为_______．四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知集合{}12A x x =−≤，2614x B x x ⎧−⎫=⎨⎬−⎩⎭＜，定义{}A B x x A x B −=∈∉且.（1）求A B −；（2）求B A −． 18．（本题满分12分）已知非空集合()(){}2312310A x x a x a =−++−＜，集合(){}223220B x x a a x a a =−++++＜.命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.已知函数()21mx nf x x +=+是定义在[]1,1−上的奇函数，且()11f =.（1）求m ，n 的值；判断函数()f x 的单调性并用定义加以证明； （2）求使()()2110f a f a −+−＜成立的实数a 的取值范围． 20．（本题满分12分）已知函数()()21f x x a x =−++()a ∈R ．（1）若对于任意[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥成立，求实数a 的取值范围； （2）若2a ≥，求函数()f x 在区间[]0,2上的最大值()g a ．华师一附中为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为x 米()36x ≤≤． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价；（2）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为()18001a x x+元()0a ＞，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数a 的取值范围．22．（本题满分12分）若函数()y f x =自变量的取值区间为[],a b 时，函数值的取值区间恰为22,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，就称区间[],a b 为()y f x =的一个“和谐区间”．已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()3g x x =−+．（1）求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在()0,+∞内的“和谐区间”；（3）若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，是否存在实数m ，使集合()(){}(){}2,,x y y h x x y y xm ==+恰含有2个元素．若存在，求出实数m 的取值集合；若不存在，说明理由．。
2019-2020学年湖北省华中师范大学第一附属中学高一上学期期中考试数学试题
屠1 生琛A 光" 漏暮輕.2 — 2 ・A. (S-2]B. （\-a ）x + 3a,x <eIn x,x>e7. 已知函数/（x ） = Q 为自然对数的底数） D. 1 —,-HX) 2 的值域为则 A. B.D. 华中师大一附中2019-2020学年度上学期高一期中检测数学试题时限：120分钟满分:150分I 卷（共16小题，满分80分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选 中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.）1.函数/（0 = 雀巴的定义域为（） 丁1一2、A. （-1,0）B. （0,1）C. （一1,乜） 2.与函数y = 2%宀为同一函数的是（） 3. 已知集合 4 = {0,2m}. B = {ta 2}9 若 4UB = {0 丄 2416}.则"的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 4 4. 已知实数“ = log,3,c = log,l,则它们的大小关系为（） 13 丿 3 10 A. a>c>b B. oa>b C. a>b>cD ・ b>c> a 5. 拟定从甲地到乙地通话加分钟的电话费（单位：元）由f （m ） = 1.06x （0.5x （tn ） +1）给出，其中in > 0,〈〃»是大于或等于加的最小整数（如〈3〉= 3,（3.7）= 4,〈3・1〉= 4） •则从甲地到乙地通话时间为分钟的话费为（ ）A.B. C. D. 6.函数/（x ） = [lp '的单调递增区间为（ ） D. (0,+oc)A. y = xB. )，= + kl0. y =— X・3 — 3・8.给出下列四个说法：① 已知函数门尤)是定义在R 上的偶函数，当%<0时，/(x) = x(x+l),则当 x>0时，f(x) = x 2—x ； ② 若函数y = f(x-\)的定义域为(1,2),则函数y = f(2x)定义域为3 $ 3 、③ 若log -<1T 则"的取值范围为「1 ;10. 若对任意的x,ywR,有f(x)+f(y)-f(x+y) = 3,g(x) = £ + 4),则g (2)+ g(_2)的值为()X *1 1A. 0B. 4C. 6 11. 已知定义在人上的函数/(A ), g(X ),其中函数/(龙)满足/(-X )= /(X )且在 [0,乜)上单调递减，函数g(%)满足g(l-x) = g(l + x)且在(l,*o)上单调递减，设 函数 F (A-) = l[/(X )+ g(X )+ |/(X )-^(A-)|],则对任意心,均有()B. F (l-x)＜F(l+x)④函数y = log rt (3x-2) + 2 (°>0且心1)的图象必过定点(1,0)・ 其中正确说法的个数是() 1 B. 2 C. 函数/(x) = (-x 2+3)ln|x|的图象大致为(A. 9. D. 4 D.函数 D. 9A. F （l-x ）＞F （l+x ）C. F （1-X 2）＞F （1 + X 2）D. F （1-X 2）＜F （1+X 2）A.-4 — 4 -12. 设函数/（A-） = f7X ，A<0» 为定义在R 上的奇函数，且当XVO 时， -x\x>08（x ） = x 2-2x-5t 若/（g ⑷）52,则实数"的取值范围是（） A. （―°o,—1] LjF 0,2^2 — 1^B. —1,2-^^—1JC. （-°o,-1]D. — 1 — 2>/2,2>/2 — 1J二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分•谓把结果填在答题纸上的 相应位置•）I . 1 1 鞘 313. 化简：#（3小+石仗而+ 2 了 = ________ •14. 已知幕函数鮎 =（2加_1）严“eZ ）为偶函数，且满足/（3）</（5）,则 in+n= _______ •15. 已知6/>0,且。
高一数学-广东省广州市华南师大附中高一(上)期中数学试卷
2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大共8小，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（3分）函数f（x）=+1−1的定义域是（）A．R B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．[﹣1，0）∪（0，+∞）2．（3分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4，6}，集合B＝{1，5}，则A∩（∁U B）＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}3．（3分）已知函数op=2+1，≤0，−2，＞0，若f（x0）＝5，则x0的取值集合是（）A．{﹣2}B．{−52，2}C．{﹣2，2}D．{−2，2，−52} 4．（3分）函数f（x）为R上奇函数，且op=+1(＞0)，则当x＜0时，f（x）＝（）A．−+1B．−−−1C．−+1D．−−1 5．（3分）下列命题中为假命题的是（）A．∃x∈R，x2＜1B．a2＝b2是a＝b的必要不充分条件C．集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合D．设全集为R，若A⊆B，则（∁R B）⊆（∁R A）6．（3分）函数y＝x+−2的值域是（）A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[2，+∞）7．（3分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对任意实数a、b，“|a|＞|b|”是“f （a）＞f（b）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（3分）已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则2r3r（）A．有最大值176B．有最大值145C．有最小值176D．有最小值145二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．在每小题给出的四个项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分．（多选）9．（3分）下列函数中为奇函数的有（）A．f（x）＝x2+1B．op=1C．f（x）＝2x D．f（x）＝|x|（多选）10．（3分）小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b（a＜b），其全程的平均速度为v，则（）A．＜＜B B．=B C．B＜＜r2D．=2B r（多选）11．（3分）函数f（x）＝ax2+2x+1与函数g（x）＝x a在同一个坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．（多选）12．（3分）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（）A．对于任意集合A，都有A∈P（A）B．若n（A）﹣n（B）＝1，则n（P（A））＝2×n（P（B））C．若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝∅D．若A⊆B，则P（A）⊆P（B）三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．（3分）函数f（x）＝3﹣x2的单调减区间是．14．（3分）函数f（x）=2r2在区间[2，4]上的最小值为．15．（3分）已知幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则实数k的取值范围是．16．（3分）若区间[a，b]满足：①函数f（x）在[a，b]上有定义且单调；②函数f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的共鸣区间．请完成：（1）写出函数op=13的一个共鸣区间；（2）若函数op=2+1−存在共鸣区间，则实数k的取值范围是．四、解答题：本大共6小题，满分52分．解答应写出文字记明、证明过程或演算过程．17．（8分）（1）化简(214)12−(−9.6)0−(338)13；（2）若12+−12=6，求x2+x﹣2的值．18．（8分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，N＝{x|x﹣a＞0}．（1）当a＝2时，求M∩N，M∪N；（2）若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（8分）已知函数op=2+2．（1）求f（1），f（2）的值；（2）设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；（3）若关于x的不等式o−1)≥2(−1)+2K1+恒成立，求实数m的取值范围．20．（8分）已知二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若f（x）是偶函数，求m的值；（2）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的最大值．21．（10分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式：= 50，0＜≤2060−140−，20＜≤120(∈p．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围；（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y＝x⋅v，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．22．（10分）设函数y＝f（x）与函数y＝f（f（x））的定义域的交集为D，集合M是由所有具有性质：“对任意的x∈D，都有f（f（x））＝x”的函数f（x）组成的集合．（1）判断函数f（x）＝3x﹣2，g（x）=−1是不是集合M中的元素？并说明理由；（2）设函数h（x）＝kx+a（k≠1），φ（x）＝x+，且h（x）∈M，若对任意x1∈（﹣∞，1]，总存在x2∈[1，+∞），使12h（x1）＝φ（x2）成立，求实数a的取值范围．2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大共8小，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（3分）函数f（x）=+1−1的定义域是（）A．R B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．[﹣1，0）∪（0，+∞）【解答】解：函数f（x）=+1−1中，令+1≥0≠0，解得≥−1≠0，所以函数f（x）的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．故选：D．2．（3分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4，6}，集合B＝{1，5}，则A∩（∁U B）＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4，6}，集合B＝{1，5}，∴∁U B＝{2，3，4，6}，则A∩（∁U B）＝{2，4，6}．故选：B．3．（3分）已知函数op=2+1，≤0，−2，＞0，若f（x0）＝5，则x0的取值集合是（）A．{﹣2}B．{−52，2}C．{﹣2，2}D．{−2，2，−52}【解答】解：根据题意，函数op=2+1，≤0，−2，＞0，若f（x0）＝5，当x0≤0时，则f（x0）＝（x0）2+1＝5，解可得x0＝±2，又由x0≤0，则x0＝﹣2，当x0＞0时，则f（x0）＝﹣2x0＝5，解可得x0=−52，综合可得：x0＝﹣2，则x0的取值集合是{﹣2}；故选：A．4．（3分）函数f（x）为R上奇函数，且op=+1(＞0)，则当x＜0时，f（x）＝（）A．−+1B．−−−1C．−+1D．−−1【解答】解：函数f（x）为R上奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），又op=+1(＞0)，则当x＜0时，﹣x＞0，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（−+1）=−−−1．即x＜0时，f（x）=−−−1．故选：B．5．（3分）下列命题中为假命题的是（）A．∃x∈R，x2＜1B．a2＝b2是a＝b的必要不充分条件C．集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合D．设全集为R，若A⊆B，则（∁R B）⊆（∁R A）【解答】解：A．∃x∈R，取x=12，则x2=14＜1，因此是真命题；B．由a＝b⇒a2＝b2，反之不成立，例如取a＝1，b＝﹣1，满足a2＝b2，但是a≠b，因此a2＝b2是a＝b的必要不充分条件，因此是真命题；C．集合{（x，y）|y＝x2}表示点的集合，而集合{y|y＝x2}表示数的集合，它们不表示表示同一集合，因此是假命题；D．全集为R，若A⊆B，则（∁R B）⊆（∁R A），是真命题．故选：C．6．（3分）函数y＝x+−2的值域是（）A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：函数的定义域为[2，+∞），又函数为单调增函数，当x＝2时，取得最小值为2．∴值域是[2，+∞）．故选：B．7．（3分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对任意实数a、b，“|a|＞|b|”是“f （a）＞f（b）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对任意实数a、b，“|a|＞|b|”是“f（a）＞f（b）”的充要条件，故选：C．8．（3分）已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则2r3r（）A．有最大值176B．有最大值145C．有最小值176D．有最小值145【解答】解：由a2﹣b+4＝0，得b＝a2+4，则a+b＝a2+a+4，即=2+r4，又a＞0，所以2r3r=3−r=3−2+r4=3−1r4+1≥3=3−15=145，当且仅当a=4，即a＝2，b＝8时等号成立，所以2r3r有最小值145，无最大值，故选：D．二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．在每小题给出的四个项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分．（多选）9．（3分）下列函数中为奇函数的有（）A．f（x）＝x2+1B．op=1C．f（x）＝2x D．f（x）＝|x|【解答】解：由f（x）＝x2+1为偶函数，故A不符题意；由f（x）=1为奇函数，故B符合题意；由f（x）＝2x为奇函数，故C符合题意；由f（x）＝|x|为偶函数，故D不符题意．故选：BC．（多选）10．（3分）小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b（a＜b），其全程的平均速度为v，则（）A．＜＜B B．=B C．B＜＜r2D．=2B r 【解答】解：根据题意，设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为+，则全程的平均速度=2+=2B r，D正确，又由b＞a＞0，由基本不等式可得B＜r2，则=2B r 2B=B，同时=2B r＜2(r2)2r=r2，−=2B r−=B−2r＞2−2r=0，v＞a，则＜＜B，A正确，故选：AD．（多选）11．（3分）函数f（x）＝ax2+2x+1与函数g（x）＝x a在同一个坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A选项，函数y＝x a正确，可得出a＜0，此时二次函数图象开口向下，对称轴x=−12＞0，所给图象符合这一特征，故可能是A；不可能是B；对于选项C，函数y＝x a正确，可得出a＞0，此时二次函数图象开口向上，对称轴x=−12＜0，所给图象符合这一特征，故可能是C；对于选项D，函数y＝x a正确，可得出a＞0，此时二次函数图象开口向上，对称轴x=−12＜0，所给图象符合这一特征，故可能是D；故选：ACD．（多选）12．（3分）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（）A．对于任意集合A，都有A∈P（A）B．若n（A）﹣n（B）＝1，则n（P（A））＝2×n（P（B））C．若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝∅D．若A⊆B，则P（A）⊆P（B）【解答】解：由P（A）的定义可知A正确，D正确，若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝{∅}，故C错误，若n（A）﹣n（B）＝1，即A中元素比B中元素多1个，则n（P（A））＝2n（P（B）），故B正确，故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．（3分）函数f（x）＝3﹣x2的单调减区间是（0，+∞）．【解答】解：根据二次函数的性质可知，f（x）＝3﹣x2的单调减区间[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．14．（3分）函数f（x）=2r2在区间[2，4]上的最小值为1．【解答】解：∵f（x）=2r2=2(r2)−4r2=2−4r2，∴函数f（x）在[2，4]上单调递增，则函数f（x）在区间[2，4]上的最小值为f（2）=2×22+2=1．故答案为：1．15．（3分）已知幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则实数k的取值范围是（2，6）．【解答】解：∵幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），∴32m+1＝33，∴m＝1，幂函数f（x）＝x3，显然f（x）是奇函数，且在R上单调递增．若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则不等式即f（k2+3）＜f（8k﹣9），∴k2+3＜8k﹣9，∴2＜k＜6，故答案为：（2，6）．16．（3分）若区间[a，b]满足：①函数f（x）在[a，b]上有定义且单调；②函数f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的共鸣区间．请完成：（1）写出函数op=13的一个共鸣区间[0，1]；（2）若函数op=2+1−存在共鸣区间，则实数k的取值范围是[1，2）．【解答】解：（1）∵op=13，∴f（0）＝0，f（1）＝1，且函数f（x）在[0，1]上单调递增，故函数op=13的一个共鸣区间为[0，1]；（2）函数op=2+1−在其定义域[﹣1，+∞）是单调递增，∵函数op=2+1−存在共鸣区间，∴2+1−k＝x在[﹣1，+∞）有两个不同的解，即（+1−1）2＝2﹣k在[﹣1，+∞）有两个不同的解，故+1=1+2−或+1=1−2−，故0＜2−≤1，故1≤k＜2；故答案为：（1）[0，1]，（2）[1，2）．四、解答题：本大共6小题，满分52分．解答应写出文字记明、证明过程或演算过程．17．（8分）（1）化简(214)12−(−9.6)0−(338)13；（2）若12+−12=6，求x2+x﹣2的值．【解答】解：（1）原式=32−1−32=−1．（2）∵12+−12=6，∴(12+−12)2=x+2+x﹣1＝6，∴x+x﹣1＝4，∴（x+x﹣1）2＝x2+2+x﹣2＝16，∴x2+x﹣2＝14．18．（8分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，N＝{x|x﹣a＞0}．（1）当a＝2时，求M∩N，M∪N；（2）若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，N＝{x|x＞a}，（1）当a＝2时，N＝{x|x﹣2＞0}＝{x|x＞2}，则M∩N＝{x|2＜x＜3}，M∪N＝{x|x＞﹣2}；（2）因为x∈N是x∈M的必要不充分条件，所以M⫋N，则a≤﹣2．19．（8分）已知函数op=2+2．（1）求f（1），f（2）的值；（2）设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；（3）若关于x的不等式o−1)≥2(−1)+2K1+恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数op=2+2，所以f（1）＝1+2＝3，f（2）＝4+1＝5；（2）f（a）﹣f（b）=2+2−2−2=(+p(−p+2(Kp B=（a﹣b）（a+b−2B），因为a＞b＞1，则a﹣b＞0，a+b＞2，0＜2B＜2，所以+−2B＞0，则f（a）﹣f（b）＞0，所以f（a）＞f（b）；（3）因为f（x﹣1）=(−1)2+2K1，所以不等式o−1)≥2(−1)+2K1+恒成立，等价于(−1)2+2K1≥2(−1)+2K1+m恒成立，整理可得x2﹣4x+3﹣m≥0恒成立，所以Δ＝（﹣4）2﹣4（3﹣m）≤0，解得m≤﹣1，所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．20．（8分）已知二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若f（x）是偶函数，求m的值；（2）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的最大值．【解答】解：（1）二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R），若f（x）是偶函数，可得f（x）的对称轴为y轴，即有2=0，解得m ＝0；（2）f （x ）的对称轴为x =2，当2≤−1，即m ≤﹣2时，f （x ）在[﹣1，1]上递增，可得g （m ）＝f （﹣1）＝2m ；当﹣1＜2＜1，即﹣2＜m ＜2时，f （x ）的最小值为g （m ）＝f （2）＝m ﹣1−24；当2≥1，即m ≥2时，f （x ）在[﹣1，1]上递减，可得g （m ）＝f （1）＝0．所以g （m ）=2，≤−2−1−24，−2＜＜20，≥2，当m ≤﹣2时，g （m ）≤﹣4；当﹣2＜m ＜2时，g （m ）=−(K2)24∈（﹣4，0）；当m ≥2时，g （m ）＝0．综上可得，g （m ）的最大值为0．21．（10分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：=50，0＜≤2060−140−，20＜≤120(∈p ．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y ＝x ⋅v ，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．【解答】解：（1）由题意，当x ＝120（辆/千米）时，v ＝0（千米/小时），代入=60−140−，得0＝60−140−120，解得k ＝1200．∴=50，0＜≤2060−1200140−，20＜≤120，当0＜x ≤20时，v ＝50≥40，符合题意；当20＜x ≤120时，令60−1200140−≥40，解得x ≤80，∴20＜x≤80．综上，0＜x≤80．故车流速度v不小于40千米/小时，车流密度x的取值范围为（0，80]；（2）由题意得，=50，0＜≤2060−1200140−，20＜≤120，当0＜x≤20时，y＝50x为增函数，∴y≤20×50＝1000，等号当且仅当x＝20时成立；当20＜x≤120时，y=60−1200140−=60(−20140−)=60[+20(140−p−2800140−]=60(20+2800140−(140−p−2800140−]≤60(160−=60(160−407)≈3250．当且仅当140﹣x=2800140−，即x＝140﹣207≈87∈（20，120]时成立，综上，y的最大值约为3250，此时x约为87．故隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米．22．（10分）设函数y＝f（x）与函数y＝f（f（x））的定义域的交集为D，集合M是由所有具有性质：“对任意的x∈D，都有f（f（x））＝x”的函数f（x）组成的集合．（1）判断函数f（x）＝3x﹣2，g（x）=−1是不是集合M中的元素？并说明理由；（2）设函数h（x）＝kx+a（k≠1），φ（x）＝x+，且h（x）∈M，若对任意x1∈（﹣∞，1]，总存在x2∈[1，+∞），使12h（x1）＝φ（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）不是集合M的元素，g（x）是集合M的元素．理由如下：因为对任意的x∈R，f（f（x））＝3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8≠x，所以f（x）＝3x﹣2∉M；因为对于任意的x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（g（x））=−11−=，所以g（x）=−1∈M．（2）因为h（x）∈M，且h（x）＝kx+a（k≠1），则h（h（x））＝k（kx+a）+a＝x，即2=1B+=0，解得k＝1，a＝0（舍）或k＝﹣1，a∈R，故h（x）＝﹣x+a，当x≤1时，h（x）≥a﹣1，则12h（x）≥K12，则函数12h（x）的值域为[K12，+∞），因为对任意x1∈（﹣∞，1]，总存在x2∈[1，+∞），使12h（x1）＝φ（x2）成立，、则[K12，+∞）为φ（x）在[1，+∞）上值域的子集，φ（x）＝x+，当a≤1时，φ（x）在[1，+∞）上单调递增，所以φ（x）≥a+1，即φ（x）在[1，+∞）上的值域为[a+1，+∞），所以[K12，+∞）⊆[a+1，+∞），故1+≤K12≤1，解得a≤﹣3；当a＞1时，φ（x）在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，所以φ（x）≥φ（）＝2，则φ（x）在[1，+∞）上的值域为[2，+∞），所以[K12，+∞）⊆[2，+∞），故2≤K12＞1，解得≥9+45．综上所述，实数a的取值范围为(−∞，3]∪[9+45，+∞)．。
上海 华东师范大学第一附属初级中学数学高一上期中阶段练习(提高培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：11821]若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅2．(0分)[ID ：11815]若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3．(0分)[ID ：11814]函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．(0分)[ID ：11809]不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5．(0分)[ID ：11802]设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 6．(0分)[ID ：11800]设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．87．(0分)[ID ：11758]已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞8．(0分)[ID ：11756]函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．9．(0分)[ID ：11787]已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-10．(0分)[ID ：11769]函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．(0分)[ID ：11737]已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．(0分)[ID ：11734]已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．613．(0分)[ID ：11731]已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-14．(0分)[ID ：11804]已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．215．(0分)[ID ：11781]函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题16．(0分)[ID ：11924]给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c ；（2）函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥；（4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______.17．(0分)[ID ：11900]若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．18．(0分)[ID ：11880]已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________.19．(0分)[ID ：11876]函数y =lg (x +1)+12−x 的定义域为___．20．(0分)[ID ：11873]函数y =√1−x 2+lg(2cosx −1)的定义域为______________． 21．(0分)[ID ：11853]若4log 3a =，则22a a -+= ．22．(0分)[ID ：11849]若函数|1|12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__________．23．(0分)[ID ：11835]甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(0)x x ≥的函数关系式分别为1()21x f x =-，22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当1x >时，甲走在最前面； ②当1x >时，乙走在最前面；③当01x <<时,丁走在最前面，当1x >时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为 （把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）． 24．(0分)[ID ：11916]函数()f x =________．25．(0分)[ID ：11864]已知函数()266,34,x x f x x ⎧-+=⎨+⎩ 00x x ≥<，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．三、解答题26．(0分)[ID ：12019]近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入(a 单位：万元)满足6P =，乙城市收益Q 与投入(b 单位：万元)满足124Q b =+，设甲城市的投入为(x 单位：万元)，两个城市的总收益为()(f x 单位：万元)．（1）写出两个城市的总收益()(f x 万元)关于甲城市的投入(x 万元)的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？ 27．(0分)[ID ：11984]已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若方程()0f x =两个根之和为4，两根之积为3，且过点(2,－1).求()0f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集为(2,1)-. （ⅰ）求解关于x 的不等式20cx bx a ++>（ⅱ）设函数2(1)(),(1)(1)b x cg x x a x +-=<-，求函数()g x 的最大值 28．(0分)[ID ：11964]已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；（3）设函数12()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.29．(0分)[ID ：11942]已知函数2()log (0,1)2axf x a a x-=>≠+. （Ⅰ）当a=3时，求函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域，并求函数2()()(24)4f x g x ax x a=--++的值域．（用a 表示）30．(0分)[ID ：11967]已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()f x =1()2x．①求函数()f x 的解析式；②画出函数的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．A4．C5．D6．C7．A8．B9．C10．C11．C12．C13．C14．D15．A二、填空题16．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确17．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数18．－5－2【解析】分析：求出函数的值域根据条件确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论详解：由题意得：在－22上f(x)的值域A为g(x)的值域B的子集易得A＝－33B＝m－18＋m从而解得－5≤m≤19．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域20．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx-1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x∈-π3+2kππ3+2kπ21．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算22．【解析】【分析】由可得出设函数将问题转化为函数与函数的图象有交点利用数形结合思想可求出实数的取值范围【详解】由可得出设函数则直线与函数的图象有交点作出函数与函数的图象如下图所示由图象可知则解得因此实23．③④⑤【解析】试题分析：分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢当x=1时甲乙丙丁四个物体又重合从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快当运动的时间足够长最前面的动物一定是按照指数型函数24．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题25．【解析】【分析】画出分段函数的图像由图像结合对称性即可得出【详解】函数的图像如下图所示不妨设则关于直线对称所以且满足则故的取值范围是【点睛】解决本题的关键是要会画分段函数的图像由图像结合对称性经过计三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试1．C 解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B .【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B ={}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2．D解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.3．A解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.5．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内6．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．7．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．8．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.9．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a af x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．10．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.12．C解析：C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.13．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。
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高一数学第一学期期中一、选择题：（本大题共10小题，共50分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 若{1,2,3,4},{1,2},{2,3}U M N ===，则()N M C U ⋃是 （ ）A. {1,2,3}B. {2}C. {1,3,4}D. {4}2. 集合{1,0,1}A =-，A 的子集中，含有元素0的子集共有（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个3. 下列函数中与||y x =图象相同的一个是（ ）A.()2y x =B.33y x = C. 2x y x= D. 2x y =4. 已知函数⎩⎨⎧<-≥+=)1(5)1(12)(x x x x x f ，则)(x f 的递减区间是( )A.),1[+∞B.)1,(-∞C.),0(+∞D.]1,(-∞5. 化简xx 3-的结果是（ ）A ．x -- B.x C ．x - D. x -6. 函数23y ax bx =++在(],1-∞-上是增函数，在[)1,-+∞上是减函数，则（ ）A ．0b >且0a < B. 20b a =< C. 20b a => D. ,a b 的符号不定 7.下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是（ ）x4 5 6 7 8 9 10 y15171921232527A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．指数函数模型D ．对数函数模型8.设实数1a >，满足1||log 0ax y-=，则y 关于x 的函数的图像形状大致是（ ）A B C D9.已知奇函数()f x 在区间[]0,5上是增函数，那么下列不等式中成立的是（ ）A ．()()()43f f f π>->B ．()()()43f f f π>>C ．()()()43f f fπ>> D ．()()()34f f f π->->-xy1 x0 y1xy 1x0 y110．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n Z =+∈，（ 4,3,2,1,0=k ），给出如下四个结论： A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 ①[]12011∈； ②[]33∈-； ③[]0=Z ∪[]1∪[]2∪[]3∪[]4；④若“整数a ，b 属于同一‘类’”,则“[]0∈-b a 一定成立. 其中，正确结论的个数是( )二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知幂函数)(x f y =的图象过点=)9(),2,2(f . 12．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，， 则((0))f f = . 13．()()4log 3log 2lg 2lg 25lg 3222⨯+-+= .14．函数()x x x f ln 73+-=的零点位于区间()1,+n n ()+∈N n 内，则=n . 15．若函数()f x 为奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(2)f 0=，则()()0f x f x x--<的解集为 .三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 设集合{}|14A x x =-<<，3|52B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|122C x a x a =-<<. （1）若C φ=，求实数a 的取值范围；（2）若C φ≠且()C A B ⊆⋂，求实数a 的取值范围.17.（1）已知函数()()231f x x m x n =+++的零点是1和2，求函数()log 2n y mx =+的零点；（2）已知函数()221,0()log 1,0xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩ ，如果()01f x <，求0x 取值的集合.2 BCAy x1 O 3 4 5 61 2 3 418 已知函数()223(0)f x ax ax b a =-+-≠在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.19. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是0T ，经过一定的时间t 后的温度是T ，则()ht a a T T T T ⎪⎭⎫⎝⎛∙-=-210，其中a T 表示环境温度，h 称为半衰期. 现有一杯用C o 88热水冲的速溶咖啡，放在C o 24的房间中，如果咖啡降温到C o 40需要20分钟，那么降温到C o32时，大概需要多少分钟？20. 已知函数()1f x x ax =++(a ∈R).（1）画出当a =2时的函数()f x 的图象；（2）若函数()f x 在R 上具有单调性，求a 的取值范围.21.已知集合M 是同时满足下列两个性质的函数()f x 的全体：① 函数()f x 在其定义域上是单调函数； ②()f x 定义域内存在区间[,]a b ，使得()f x 在[,]a b 上值域为[,22a b ]. 1）判断函数4()(0)f x x x x=+>是否属于M ，说明理由； 2）判断3()g x x =-是否属于M ，说明理由，若是，求出满足②的区间[,]a b ； 3）若()1h x x t M =-+∈，求实数t 的取值范围.四、附加题（本大题共2小题，共20分，本部分得分不记入总分）1.已知奇函数() (f x x ∈R ），满足(4)()(2)f x f x f +=+，且(1)2f =，则=+⋯+++)2011()3()2()1(f f f f2.已知二次函数),(2)(2R c b c bx x x f ∈++=满足0)1(=f 且方程0)(=++b x x f 的两个实数根分别在)1,0(),2,3(--内. （I ）求实数b 的取值范围；（II ）若函数)(log )(x f x F b =在区间)1,1(c c ---上具有单调性，求实数c 的取值范围.一、选择题：（本大题小共10题，每小题5分，共50分．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBDBABABDC二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11． 3 ； 12． 2 ； 13． 3 ； 14． 2 ； 15．； 三、解答题：（本大题共6小题，共75分）16. 解：（1）∵C φ= ∴122a a -≥ ∴14a ≤即实数a 的取值范围是1]4∞（-，. （2）∵C φ≠ ∴14a >∵312A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭ ， ()C A B ⊆ ∴12132214a a a ⎧⎪-≥-⎪⎪≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 可得 1344a <≤即实数a 的取值范围是13,]44（.()()2,00,2-17.解：（1）由题意知：方程()2310x m x n +++=的两根为1和2即有()311212m n ⎧-+=+⎨=⨯⎩解得22m n =-⎧⎨=⎩∴函数()2log 22y x =-+ ∴由()2log 220x -+= 解得12x =故函数的零点为12x = （2）由题意知：002110x x ⎧-<⎨≤⎩ 或()200log 110x x ⎧+<⎨>⎩ 可得00220x x ⎧<⎨≤⎩或()000120x x ⎧<+<⎨>⎩∴00x ≤或001x <<综上可知，0x 取值的集合为1)∞（-，. 18 解：由题意可得二次函数的对称轴方程为1x =（1）当0a >时，函数在[]3,1上为增函数 ∴()(1)23239635f a a b f a a b =-+-=⎧⎨=-+-=⎩得3414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 满足条件（2）当0a <时，函数在[]3,1上为减函数 ∴(1)235(3)9632f a a b f a a b =-+-=⎧⎨=-+-=⎩得3454a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 也满足条件 综上可知，3414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3454a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩19. 解：由题意知()h 202124882440⎪⎭⎫⎝⎛∙-=- 即 h202141⎪⎭⎫ ⎝⎛= 解之，得10=h ，故()1021248824tT ⎪⎭⎫ ⎝⎛∙-=- 当32=T 时，代入上式，得()102124882432t⎪⎭⎫⎝⎛∙-=- 即310218121⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫⎝⎛t 310=t ， 30=t 因此，大概需要30分钟可以降温到C o 32 20. （1）当2a =时31,1()121,1x x f x x x x x +≥-⎧=++=⎨-<-⎩ 图象如右图所示 （2）由已知可得 ()()11,1()11,1a x x f x a x x ++≥-⎧⎪=⎨--<-⎪⎩ …8分①当函数()f x 在R 上单调递增时， 由1010(1)1(1)1a a a a +>⎧⎪->⎨⎪-++≥---⎩可得1a >②当函数()f x 在R 上单调递减时， 由1010(1)1(1)1a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪-++≤---⎩可得1a <-综上可知，a 的取值范围是(,1)(1,)-∞-+∞21. （1）∵函数2()(0)f x x x x=+>(0,2),(2,)+∞在上递减在上递增 ∴2()(0)f x x x M x=+>不属于 （2）∵函数3(),g x x R =-在上递减 ∴3(),g x x M =-∈若则332,2ba ab ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 2222a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即 2222a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或（舍） 或 0a b =⎧⎨=⎩（舍） ∴满足②的区间为22[,]22-（3）∵()1h x x t M =-+∈且为增函数，则有12,12a a tb b t ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩成立即相当于方程12xx t -+=*()[1,)+∞在内有两个不等根∵102x x t -=-≥ ， [1,)x ∈+∞∴12t ≤ ① 又*()式可化为：224(1)440x t x t -+++=[1,)+∞方程在内有两不等根等价于2222[4(1)]44(1)04(1)1214(1)1440t t t t t ⎧∆=+-⨯+>⎪-+⎪->⎨⎪⎪-+⨯++≥⎩ 解得0.t > ②综合①②可得实数t 的取值范围是1(0,]2。