山西省运城市高一上学期期末数学试卷
山西省运城市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)
运城市2021～2022学年高一1月份期末调研测试数学一，选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 下面各角中,与角1560°终边相同地角是（ ）A. 180° B. -240°C. -120°D. 60°【结果】B 【思路】【思路】终边相同地角,相差360°地整数倍,据此即可求解.【详解】与1560°终边相同地角为1560360k β=︒+︒,k ∈Z ,当5k =-时,156********β=︒-︒⨯=-︒.故选：B .2. 已知集合{}2,1,2,3A =-,{}12B x x =-<≤,则()A B =R ð（ ）A. ∅ B. {}1,2 C. {}2,3- D. {}2,1,2-【结果】C 【思路】【思路】依据集合地交集和补集运算法则计算即可.【详解】{R 1B x x =≤-ð或}2x >,∴(){}R 2,3A B ⋂=-ð.故选：C.3. 设x ∈R ,则“220x x -<”是“12x -<”（ ）A. 充分不必要款件 B. 必要不充分款件C. 充要款件 D. 既不充分也不必要款件【结果】A 【思路】【思路】解不等式,再判断不等式解集地包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈,由12x -<得()1,3x ∈-,故“220x x -<”是“12x -<”地充分不必要款件.的故选：A.4. 假如,,a b c ∈R ,且0abc ≠,那么下面命题中正确地是（ ）A. 若11a b<,则a b > B. 若ac bc >,则a b >C. 若33a b >,则11a b<D. 若a b >,则22a b>【结果】D 【思路】【思路】依据不等式地性质逐项思路判断即可.【详解】对于A ,若1a =-,1b =,满足11a b<,但a b >不成立,错误。
山西省运城市2021届高一数学上学期期末考试试题
山西省运城市2021届高一数学上学期期末考试试题一、选择题1．已知θ为第Ⅱ象限角，225sin sin 240,θθ+-=则cos 2θ的值为（）A ．35- B ．35±C．2D ．45±2．设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,且6C π=，12a b +=，面积的最大值为（）A ．6B ．8C ．7D ．93．已知函数的值域为，且图像在同一周期内过两点，则的值分别为（ ）A. B.C.D.4．已知数列}{n a满足11a ==，则10a =（ ） A.10B.20C.100D.2005．已知函数12log (2),1()1122,1x x x f x x x +<-⎧⎪=-≤≤->⎪⎩，若函数()()g x f x x m =--有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A.(]1,1-B.C.D.)+∞6．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．2B ．3C ．10D ．157．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A ．B ．C ．D ．28．若点1(,)M a b 和1(,)N b c 都在直线:1l x y +=上，又点1(.)P c a 和点1(,)Q b c，则（ ） A.点P 和Q 都不在直线l 上 B.点P 和Q 都在直线l 上C.点P 在直线l 上且Q 不在直线l 上D.点P 不在直线l 上且Q 在直线l 上 9．两灯塔与海洋观察站的距离都等于，灯塔在北偏东，在南偏东，则之间的距离为A ．B ．C ．D ．10．设a ＞0，b ＞0是3a 和3b 的等比中项，则14a b+的最小值为（ ）A ．6B ．C ．8D ．911．在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点.若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为60，则四边形EFGH 的面积为（ ）A 2B ．2C 2D ．212．已知2()sin ()4f x x π=+，若1(lg5),(lg )5a f b f ==，则（ ）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．1a b +=D ．1a b -=二、填空题 13．已知函数的图象上两个点的坐标分别为，，则满足条件的一组，的值依次为______，______．14．设1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e 的夹角为23π，若12a e e =+，122b e e =-，则12e e ⋅=____；a 在b 方向上的投影为____. 15．若幂函数y ＝(m 2＋3m ＋3)的图象不过原点，且关于原点对称，则m ＝________.16．已知点(2,5)A ，(3,2)B -，则向量AB=uu u r______，与向量AB 同向的单位向量为_______. 三、解答题17．已知函数()214sin 2x f x x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第一象限角，且1tan 2α=，求()f α的值. 18．如图，边长为4的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，且1BE BF ==.现将ADE ∆，DCF ∆分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点P.（1）求证：平面PDF ⊥平面PEF ； （2）求E 到平面PDF 的距离.19．设集合{}|122A x m x m =-≤≤+，{}|02B x x =≤≤. （1）若1m =，求()R A C B ⋂；（2）若A B B ⋂=，求实数m 的取值范围.20．高二数学期中测试中，为了了解学生的考试情况，从中抽取了n 个学生的成绩（满分为100分）进行统计.按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在[50,60), [90,100]的数据）.(1)求样本容量n 和频率分布直方图中,x y 的值；(2)在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名参加志愿者活动，所抽取的3名同学中至少有一名成绩在[90,100]内的概率。
2023-2024学年山西省运城市盐湖区高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年山西省运城市盐湖区高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}|0=∈>A x Z x ，集合{}2|560=∈--<B x R x x 则A B = （）A ．()0,6B ．{}1,2,3,4,5C ．{}1,2D ．{}1,2,3【正确答案】B【分析】求出集合B 再由集合的交集运算可得答案.【详解】集合{}|0=∈>A x Z x ，集合{}{}2|560|16=∈--<=-<<B x R x x x x ，则A B = {}1,2,3,4,5故选：B ．2．已知函数()()2231mm f x m m x+-=--是幂函数，且()0,x ∈+∞时，()f x 单调递减，则m 的值为（）A ．1-B ．1C ．2或1-D ．2【正确答案】A【分析】利用幂函数的定义及性质列式计算并判断.【详解】∵()()2231mm f x m m x+-=--是幂函数，∴211m m --=，即()()210m m -+=，解得2m =，或1m =-，又当()0,x ∈+∞时，()f x 单调递减，∴230m m +-<，当2m =时，2330m m +-=>，不合题意，舍去；当1m =-，2330m m +-=-<，符合题意，故1m =-．故选：A ．3．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（）A ．cos y x =B ．sin y x=C ．cos2x y =D ．tan y x=【正确答案】B【分析】利用最小正周期为π排除选项AC ；利用在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减排除选项D ；选项B 以π为最小正周期，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，判断正确.【详解】选项A ：cos y x =最小正周期为2π.判断错误；选项B ：sin y x =最小正周期为π，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.判断正确；选项C ：cos 2xy =最小正周期为4π.判断错误；选项D ：tan y x =在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.判断错误.故选：B4．已知函数()2,212,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的值域为[]0,4B ．若()2f x =，则xC ．()()11f f -=D ．()1f x <的解集为()1,1-【正确答案】C【分析】分段计算得到()f x 的值域为(],4∞-，A 错误，分段计算得到x =B 错误，代入计算得到C 正确，分段解不等式得到D 错误，得到答案.【详解】当21x -£<时，()2f x x =，()[]0,4f x ∈；当1x ≥时，()2f x x =-+，()(],1f x ∈-∞，故()f x 的值域为(],4∞-，A 错误；当21x -£<时，()22f x x ==，解得x =；当1x ≥时，()22f x x =-+=，无解，B 错误；()()()111f f f -==，C 正确；当21x -£<时，()21f x x =<，解得11x -<<；当1x ≥时，()21f x x =-+<，解得1x >，故解集为()()1,11,-+∞ ，D 错误；故选：C5．已知0.821.8,log 5,sin1cos1a b c ===-，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．b c a>>【正确答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的性质，三角函数的性质比较大小即可【详解】∵0.81.8 1.8a =<，0.801.8 1.81a =>=，∴()1,1.8a ∈；∵22log 5log 42b =>=，∴2b >；∵1,43ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin1cos1>，∴sin1cos10->，又()sin10,1∈，()cos10,1∈，∴sin1cos11-<，∴()0,1c ∈．综上可知b a c >>．故选：B ．6．地震里氏震级是对地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E （单位：J ）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能力分别为1E 和2E ，则12E E 的值所在的区间为（）．A ．()3,4B ．()4,5C ．()5,6D ．()6,7【正确答案】C【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数运算及幂函数的单调性即可求解.【详解】因为lg 4.8 1.5E M =+，所以1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，解得16.8110E =，2lg 4.8 1.57.516.05E =+⨯=，解得16.05210E =，所以16.80.75116.052101010E E ==,因为0.750.75 1.5109335>==>，且3110.754441010100012966==<=，所以12E E 的值所在的区间为()5,6.故选：C.7．函数()31ln x f x x=+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】分析函数()f x 的定义域、奇偶性及其在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数()f x ，有01ln 0x x ≠⎧⎨+≠⎩，解得0x ≠且1e x ≠±，所以，函数()f x 的定义域为1111,,00,,e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()()()331ln 1ln x x f x f x x x--==-=-+-+，函数()f x 为奇函数，排除CD 选项，当10ex <<时，1ln 0x +<，则()301ln x f x x =<+，排除B 选项.故选：A.8．已知函数()2cos 4f x x πω⎛⎫=+ ⎝⎭，对于x ∀∈R ，()()f x f π≤，且()f x 在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值是（）A ．14-B ．74C ．154D ．274【正确答案】C由x π=时，函数取得最大值，可求得ω的表达式．由单调性可得ω的范围，从而得最大值．【详解】由题意：()f x 在x π=时取得最大值，则12244k k πωππω+=⇒=-+，Z k ∈，又()f x 在区间0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则0ω>，且64ωπππ+≤，902ω<≤，所以2k =，得154ω=，所以ω的最大值为154，故选：C ．二、多选题9．下列选项中，正确的是（）A ．函数1()2x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(1,2)-B ．若不等式230ax bx ++>的解集为{|13}x x -<<，则2a b +=C ．若:p n N ∃∈，22n n >，则:p n N ⌝∀∈，22n n ≤D ．函数()ln 2f x x x =+-恰有1个零点．【正确答案】CD【分析】对A ：根据指数函数的图象与性质即可求解；对B ：根据一元二次不等式的解法即可求解；对C ：由特称命题的否定为全称命题即可求解；对D ：由函数零点存在定理即可求解.【详解】解：对A ：函数1()2x f x a -=-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(1,1)-，故选项A 错误；对B ：若不等式230ax bx ++>的解集为{|13}x x -<<，则a<0，且1-和3是方程230ax bx ++=的两根，所以13313ba a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得1,2a b =-=，所以1a b +=，故选项B 错误；对C ：若:p n N ∃∈，22n n >，则:p n N ⌝∀∈，22n n ≤，故选项C 正确；对D ：易知函数()ln 2f x x x =+-在()0,∞+上单调递增，又(1)ln11210f =+-=-<，(2)ln 222ln 20f =+-=>，所以由函数零点存在定理可得存在唯一()01,2x ∈，使0()0f x =，所以选项D 正确.故选：CD.10．已知实数a ，b 满足22log log 0a b >>，则下列关系中恒成立的是（）．A ．11a b a b+>+B ．1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎝⎭⎝⎭C ．log 1b a >D ．()()sin cos sin cos a bθθθθ+>+，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【正确答案】ACD【分析】根据双勾函数1()f x x x =+性质判断A ，根据指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭判断B ，根据对数函数性质判断C ，根据三角函数性质判断D.【详解】因为22log log 0a b >>，所以222log log log 1a b >>，所以1a b >>，对于A ，双勾函数1()f x x x=+在()1,+∞单调递增，所以()()f a f b >，即11a b a b+>+，A 正确；对于B ，指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，log log 1b b a b >=，C 正确；对于D ，πsin cos )4θθθ+=+，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444，(π4θ+∈，所以()()sin cos sin cos a bθθθθ+>+，D 正确，故选:ACD.11．已知函数()tan πf x x =，将函数()y f x =的图象向左平移13个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列描述中正确的是（）．A ．函数()g x 的图象关于点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称B ．函数()g x 的最小正周期为2C ．函数()g x 的单调增区间为51,33k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZD ．函数()g x 的图象没有对称轴【正确答案】ABD【分析】根据图象的平移变换可得()ππtan()23x g x =+，根据正切函数的对称中心可求A ，根据周期公式可求B ，利用正切函数的单调性可求C ，根据正切函数不是轴对称图形可求D.【详解】将函数()y f x =的图象向左平移13个单位长度可得函数πtan(π3y x =+，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()ππtan()23x g x =+，令πππ,Z 232k x k +=∈解得2,Z 3x k k =-+∈，当0k =时23x =-，所以函数()g x 的图象关于点2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，A 正确；函数()g x 的最小正周期为π2π2T ==，B 正确；令ππππππ,Z 2232k x k k -+<+<+∈解得5122,Z 33k x k k -+<<+∈，所以函数()g x 的单调增区间为512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，C 错误；正切函数不是轴对称图形，D 正确，故选:ABD.12．已知函数24(1),0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则有（）A ．122x x +=-B ．341x x =C ．(0,1)a ∈D ．4122341()x x x x x ++的最小值为314-【正确答案】ABD【分析】先画出图像，结合图像即可判断AC 选项，再通过4344log log x x -=判断B 选项，最后结合单调性判断D 选项.【详解】由题意，当0x ≤时，()()21f x x =+：当0<1x <时，()4log f x x =-：当1x ≥时，()4log f x x =，作出函数f (x )的图象，如图所示，易知f (x )与直线1y =有四个交点，分别为（-2，1），（0，1），（14，1），（4，1），因为()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x 且123x x x <<<4x ，所以01a <≤，故C 错误；12210x x -≤<-<≤且122x x +=-，A 正确；341144x x ≤<<≤，又()()343444log log f x x a f x x a =-===，，所以4344log log x x -=，即341x x =，B 正确；所以4124234411()2x x x x x x x ++=-+，且414x <≤，构造函数()12g x x x=-+，且14x <≤，可知g (x )在（1，4]上单调递减，且()3144g =-，所以()4122341x x x x x ++的最小值为—314．D 正确．故选：ABD ．三、填空题13．已知0a >，0b >，且2a b +=，则lg lg a b +的最大值是__________．【正确答案】0【分析】利用基本不等式及对数的运算，结合对数函数的单调性即可求解.【详解】因为0a >，0b >，且2a b +=，所以212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，所以lg lg lg a b ab +=.由对数函数可知，lg y x =在()0,∞+上单调递增，因为01ab <≤，所以lg lg10ab ≤=，所以lg lg a b +的最大值为0.故答案为.014．已知函数())sin 1f x x x =-++，则()()f a f a +-=____________.【正确答案】2【分析】构造一个奇函数，利用奇函数的性质求解．【详解】设()()1)sin g x f x x x =-=-+，则())sin()lnsin ln()sin ()g x x x x x x g x -=+-=-=--=-，()g x 为奇函数，所以()()0g a g a +-=．所以()()()1()10g a g a f a f a +-=-+--=，()()2f a f a +-=．故2．15．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：()()4f x f x +=-，对1x ∀，2[0,2]x ∈，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，且()10f =，则不等式()0f x >在[2019,2023]上的解集为______．【正确答案】(2019,2021)先分析得到函数()f x 在[0,2]上单调递减，周期4T =，再得到当(1,1)x ∈-时，()0f x >，即得解.【详解】因为对1x ∀，2[0,2]x ∈，当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在[0,2]上单调递减，而()10f =，由偶函数得当(1,1)x ∈-时，()0f x >；又()()()4f x f x f x +=-=可得周期4T =，因为[2019,2023]x ∈，所以当(2019,2021)x ∈时，()0f x >；于是()0f x >的解集为(2019,2021)．故(2019,2021)方法点睛：对于函数的问题的研究，一般从函数的单调性、奇偶性和周期性入手，再研究求解.16．关于函数()sin sin f x x x =+有下述结论：①()f x 是偶函数；②函数()f x 是周期函数，且最小正周期为2π；③函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；④函数()f x 在[]π,π-有3个零点；⑤函数()f x 的最大值为2．其中所有正确结论的编号是__________．【正确答案】①③④⑤【分析】利用函数奇偶性的概念即可判断①；由π3π22f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断②；由π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，去掉绝对值，得()2sin f x x =，再根据正弦函数的单调性可判断③；由函数()f x 是偶函数，则只需要考虑[]0,π上的零点个数，()2sin f x x =，再根据正弦函数的零点即可判断④；由函数()f x 是偶函数，则考虑0x ≥的情况即可，写出分段函数解析式即可判断⑤．【详解】解：①函数的定义域为R ，又()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()f x 是偶函数，故①正确；②当π2x =-时，π22f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3π2x =时，3π3π3πsin sin 0222f⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故最小正周期不为2π，故②错误；③当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin sin 2sin f x x x x =+=，在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故③正确；④∵函数()f x 是偶函数，∴只需要考虑[]0,π上的零点个数，此时()sin sin 2sin f x x x x =+=，在[]0,π上有2个零点，为0,πx x ==，∴()f x 在[]π,π-有3个零点，为0,π,πx x x ===-，故④正确；⑤∵函数()f x 是偶函数，∴考虑0x ≥的情况即可，当0x ≥时，()[)[)()2sin ,2π,π2πsin sin sin sin N 0,π2π2π2πx x k k f x x x x x k x k k ⎧∈+⎪=+=+=∈⎨∈++⎪⎩，，∴()f x 的最大值为2，故⑤正确．故①③④⑤四、解答题17．计算下列各式的值(1)()14ln 25log 22lg 4lg π1e 8++--+；【正确答案】(1)32(2)4【分析】（1）利用指数幂的运算性质及对数的运算性质即可求解；（2）利用同角三角函数的商数关系及二倍角的正弦公式，结合两角差的正弦公式的逆用即可求解.【详解】（1）原式2222515log 2lg 4lg 12log 2lg 161828-⎛⎫=++-+=-+⨯+ ⎪⎝⎭113lg10111222=-++=-++=.（2）原式sin101cos10sin10︒︒==︒()12cos10sin10222sin 30cos10cos30sin10112sin10cos10sin 2022⎛⎫⨯⋅︒-︒ ⎪⨯︒⋅︒-︒⋅︒⎝⎭==⨯⨯︒⨯︒⨯︒()2sin 30102sin 20411sin 20sin 2022⨯︒-︒⨯︒===⨯︒⨯︒.18．求值：(1)已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 7α=，()11cos 14αβ+=-，求β的值；(2)已知0πθ≤≤，1sin cos 5θθ-=，求πsin 24θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【正确答案】(1)π3β=(2)πsin 2450θ⎛⎫-=⎪⎝⎭【分析】（1）求出()cos αβ+、cos α，利用平方关系可得()sin αβ+、sin α，由()cos cos βαβα=+-⎡⎤⎣⎦利用两角差的余弦展开式可得答案；（2）由1sin cos 5θθ-=两边平方可得242sin cos 025θθ=>，求出2θ的范围，由平方关系求出cos 2θ，再利用πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444θθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭计算可得答案..【详解】（1）因为π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,παβ+∈，因为()11cos 14αβ+=-，1cos 7α=，所以()sin 14αβ+==，sin 7α==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++⎡⎤⎣⎦11111472=-⨯=，因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3β=；（2）因为0πθ≤≤，1sin cos 5θθ-=，所以242sin cos 025θθ=>，所以π02θ<<，又由22sin cos 1θθ+=，解得3cos 5θ=，或4cos 5θ=-舍去，所以4sin 5θ=，所以229167cos 2cos sin 252525θθθ=-=-=-，则πππ247sin 2sin 2cos cos 2sin 44425225250θθθ⎛⎫-=-=⨯+⨯= ⎪⎝⎭.19．已知函数()2sin()1(0)6f x x a πωω=+++>图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求a 和ω的值；（2）求函数()f x 在[0，]π上的单调递减区间.【正确答案】（1）1a =-，2ω=；（2）单调递减区间为[6π，23π.【分析】（1）由最高点坐标求得a ，由周期求得ω；（2）利用正弦函数的单调性求减区间．【详解】解：（1） 函数()2sin(1(0)6f x x a πωω=+++>图象上最高点的纵坐标为2，10a ∴+=，1a =-.且图象上相邻两个最高点的距离为2ππω=，2ω∴=，()2sin(2)6f x x π=+.（2）对于()2sin(26f x x π=+，令3222262k x k πππππ+++，求得263k x k ππππ++，故函数的单调减区间为[6k ππ+，23k ππ+，Z k ∈，再结合[0x ∈，]π，可得函数()f x 在[0，]π上的单调递减区间为[6π，2]3π.20．已知函数1()log (02af x a x =>+且1)a ≠.（1）试判断函数()f x 的奇偶性；（2）当2a =时，求函数()f x 的值域；（3）若对任意x R ∈，()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）偶函数；（2）(]1-∞-，；（3）112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.（1）先求得函数的定义域为R ，再由()()f x f x -=，可判断函数()f x 是奇偶性；（2）由110022x x ≥<≤+，，所以2211()log log 122f x x =≤=-+，以及对数函数的单调性可得函数()f x 的值域；（3）对任意x R ∈，()1f x ≥恒成立，等价于[]min ()1f x ≥，分01a <<，和>1a ，分别求得函数的最值，可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）因为1()log (02a f x a x =>+且1)a ≠，所以其定义域为R ，又11()log log ()||2||2aa f x f x x x -===-++，所以函数()f x 是偶函数；（2）当2a =时，21()log ||2f x x =+，因为110022x x ≥<≤+，，所以2211()log log 122f x x =≤=-+，所以函数()f x 的值域为(]1-∞-，；（3）对任意x R ∈，()1f x ≥恒成立，等价于[]min ()1f x ≥，当01a <<，因为110022x x ≥<≤+，，所以11()log log 22a a f x x =≥+，所以1log 12a ≥，解得112a ≤<，当>1a ，因为110022x x ≥<≤+，，所以11()log log 22a a f x x =≤+，所以函数()f x 无最小值，所以此时实数a 不存在，综上得：实数a 的取值范围为112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.21．如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，2AB =，1AD =，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG ，其底边EF AB ⊥，点E 在半圆上.（1）设6EOC π∠=，求三角形木块EFG 面积；（2）设EOC θ∠=，试用θ表示三角形木块EFG 的面积S ，并求S 的最大值.【正确答案】（1）EFG S ∆=（2）1sin cos sin cos 2S θθθθ+++=,EFG ∆的面积最大值为34+【分析】（1）构造垂线，将EF 、GH 的长度进行转化，EF 的长度即为EM MF +的值，GH 的长度即为DO OM +的值，从而求解出EFG S ∆；（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出EFG S ∆的表达式，然后将sin cos θθ+看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值.【详解】解：（1）过点G 作GH EF ⊥交EF 于点H ，设EF 交CD 于点M ，所以11·cos 162GH DM DO OM π==+=+=+,311·sin 62EF EM MF π=+=+=，所以113222EFG S EF GH ∆=⨯⨯=⨯⨯；（2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以可只分析[0,]2πθ∈时的情况，11·cos 1cos GH DM DO OM θθ==+=+=+，11·sin 1sin EF EM MF θθ=+=+=+，所以11(1cos )(1sin )22EFG S EF GH θθ∆=⨯⨯=⨯+⨯+1sin cos sin cos 2θθθθ+++=，令sin cos t θθ+=，[0,]2πθ∈，故21sin cos 2t θθ-=，sin cos )4t πθθθ=+=+，[0,]2πθ∈ 3[,444πππθ∴+∈，sin()4πθ∴+∈，t ∴∈，221121224EFGt t t t S ∆-++++==，函数2214t t y ++=在单调递增，所以当t =时，EFG ∆的面积最大，最大值为34+.本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中sin cos θθ±与sin cos θθ 的联系等等，考查了学生综合应用能力.22．已知奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()3sin e e x xg x x f x -+=++．(1)求()f x 和()g x 的解析式；(2)存在1x ，[)20,x ∈+∞，使得()()()2211e xf x a xg --=-成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)()3sin f x x =，()e ex xg x -=+(2)9,4a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用奇偶性得到方程组，求解()f x 和()g x 的解析式；（2）在第一问的基础上，问题转化为[]22ee 3,3x x a -+∈-在[)20,x ∈+∞上有解，分类讨论，结合对勾函数单调性求解出()e e x x h x a -=+的最值，进而求出实数a 的取值范围.【详解】（1）因为奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()3sin e e x xg x x f x -+=++①，所以()()()()3sin e e x x f g x f x g x x x -+-=-+=-++-②；联立①②得：()3sin f x x =，()e e x x g x -=+；（2）()()()2211e x f x a x g --=-变形为221e e 3sin x xa x -+=，因为[)10,x ∈+∞，所以[]13sin 3,3x ∈-，所以[]22e e 3,3x x a -+∈-，当0a =时，[]2e 3,3x∈-在[)20,x ∈+∞上有解，符合要求；令()e e x x h x a -=+，由对勾函数可知，当1a >时，()e e x xh x a -=+在ln 0,2a x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递减，在ln ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()min ln 2a h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭()[]e e 3,3x xh x a -=+∈-上有解，只需()min 3h x =≤，解得：94a ≤，所以91,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；若1a ≤且0a ≠，()e e x x h x a -=+在[)0,x ∈+∞上单调递增，要想()[]e e 3,3x xh x a -=+∈-上有解，只需()()min 013h x h a ==+≤，解得：2a ≤，所以()(],00,1a ∈-∞ ；综上：实数a 的取值范围为9,4a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.。
山西省运城市高一上学期数学期末考试试卷
山西省运城市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·集宁月考) 函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上为增函数．若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是（）A . a≤2B . a≥－2C . －2≤a≤2D . a≤－2或a≥22. （2分）已知函数f（x）=x﹣﹣1，g（x）=x+2x ， h（x）=x+lnx，零点分别为x1 ， x2 ， x3 ，则（）A . x1＜x2＜x3B . x2＜x1＜x3C . x3＜x1＜x2D . x2＜x3＜x13. （2分）的值为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一上·林口期中) 下列表述正确的是（）A . ∅={0}B . ∅⊆{0}C . ∅⊇{0}D . ∅∈{0}5. （2分） (2018高一上·滁州期中) 若函数满足关系式，则（）A .B .C .D .6. （2分）下列式子中成立的是（）A . log0.44<log0.46B . 1.013.4>1.013.5C . 3.50.3<3.40.3D . log76<log677. （2分） (2018高一上·兰州月考) 设2a＝5b＝m ，且，则m等于（）A .B . 10C . 20D . 1008. （2分）已知a=，则a，b，c的大小关系（）A . c＜a＜bB . c＜b＜aC . a＜b＜cD . b＜a＜c9. （2分） (2019高一上·阜阳月考) 下列四个图象中，表示函数的图象的是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·衡水月考) 已知圆与轴正半轴的交点为，点沿圆顺时针运动弧长达到点，以轴的正半轴为始边，为终边的角即为，则（）A .B .C .D .11. （2分）已知是R上的减函数，则a的范围是（）A . （0，1）B .C .D .12. （2分） (2018高三上·贵阳月考) 已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·海珠期末) 计算 ________.14. （1分） (2020高三上·静安期末) 设我们可以证明对数的运算性质如下：.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明（其中）的“关键步骤”为________.15. （1分） (2017高二上·南通开学考) 设g（x）= 则g =________．16. （1分） (2016高一上·青海期中) 关于下列命题：①若函数y=2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}；②若函数y= 的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是{y|y≤ }；③若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}；④若函数y=log2x的值域是{y|y≤3}，则它的定义域是{x|0＜x≤8}．其中不正确的命题的序号是________．（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高一上·芒市期中) 设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}．（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．18. （15分） (2019高一上·鄞州期中) 已知函数（）．（1）若，求函数在上的值域；（2）若，解关于的不等式；（3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．19. （10分） (2017高一上·乌鲁木齐期中)（1）已知角终边上一点，求：的值；（2）已知，计算：① ；② .20. （10分） (2018高一下·桂林期中) 已知，求（1）（2）21. （5分）已知二次函数f（x）＝ax2＋4ax＋1在区间[－4，3]上的最大值为5，求a的值．22. （10分） (2019高一上·杭州期中) 已知函数，（1）判断函数的奇偶性，并求函数的值域；（2）若实数满足，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
2024届运城市高三数学第一学期期末调研测试卷附答案解析
2024届运城市高三数学第一学期期末调研测试卷考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数i 12i z =-，则z 等于（）A．1C．2D．2．设x ∈R ，则“03x ≤≤”是“02xx ≤-”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知e ()1e xax f x =-是奇函数，则=a （）A．2-B．1-C．2D．14．第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A，B，C 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A．150种B．300种C．720种D．1008种5．设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a，b，c 的大小关系为（）A．a b c>>B．b a c >>C．c a b >>D．b c a>>6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）B．D．37．已知等差数列{}n a 中，97π12a =，设函数44()cos sin cos 1f x x x x x =---，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为（）A．51-B．48-C．17-D．08．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3PA PB ==，45PAC ∠=，则直线PD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（）A．B．C．D．23二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．关于下列命题中，说法正确的是（）A．若事件A、B 相互独立，则()()P A B P A =B．数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78C．已知()0.65P A =，()0.32P AB =，则()0.33P AB =D．已知~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≤=，则()1102P p ξ-≤≤=-10．已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A．()f x 的一个周期为2B．()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C．()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D．()f x 在区间[]1,2上单调递增11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A．1C PB．PB PC +的最小值为C．三棱锥1B ACP -的体积为83D．以点B为球心，为半径的球面与面1AB C在正方体内的交线长为312．已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且6AF =，点M 是抛物线上BA 间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的是（）A．抛物线焦点F 的坐标为()0,3B．过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为33,24⎛⎫± ⎪⎝⎭C．在FMN 中，若MN t MF=，t ∈R ，则tD．2TF AF BF=⋅三、填空题：本题共4小题.13．已知向量(2,1)a =- ，(1,)b λ=，若()a a b⊥- ，则λ=.14．512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为.15．过原点的动直线l 与圆22410x y x +-+=交于不同的两点A，B.记线段AB 的中点为P，则当直线l绕原点转动时，动点P 的轨迹长度为.16．设12,x x 是函数21()e 1,()2x f x ax a =-+∈R 的两个极值点，若213x x ≥，则a 的范围为.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且2cos 2b C a c =-.(1)求角B 的大小；(2)若b =，D 为AC 边上的一点，3BD =，且______________，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.18．已知递增的等比数列{}n a 满足22a=，且1a ，2a ，31a -成等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()112n n n a n b a n ⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前20项和.19．如图，在圆柱体1OO 中，1OA =，12O O =，劣弧11A B 的长为π6，AB 为圆O的直径．(1)在弧AB 上是否存在点C（C，1B 在平面11OAA O 同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求二面角111A OB B --的余弦值．20．某学校进行趣味投篮比赛，设置了A，B 两种投篮方案.方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A 投中的概率都为()0001p p <<，选择方案B 投中的概率都为13，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.(1)若甲选择方案A 投篮，乙选择方案B 投篮，记他们的得分之和为X，()334P X ≤=，求X 的分布列；(2)若甲、乙两位员工都选择方案A 或都选择方案B 投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为12,A A ，上顶点为B，且1tan 2A BO ∠=．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过2A 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 在第一象限相交于点Q，与直线1A B相交于点P，与y 轴相交于点M，且223PA MQ QA MP=．求k 的值．22．已知函数2()ln xf x e a x =-，函数ln ()m xg x n x +=+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）若0a ≤，且()f x 在[),e +∞上的最小值为2ee ，证明：当0x >时，()()f xg x ≥.1．D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后直接利用复数模的公式求解即可.【详解】结合题意可得：()()()i 12i i 2i 2i 12i 12i 12i 555z +-+-====+--+，所以5z =.故选：D.2．B【分析】解分式不等式，求出解集，根据真子集关系得到答案.【详解】()200220x x xx x ⎧-≤≤⇒⎨--≠⎩，解得02x ≤<，由于02x ≤<是03x ≤≤的真子集，故03x ≤≤是02xx ≤-的必要不充分条件.故选：B 3．C【分析】根据()()f x f x -=-得到方程，求出2a =.【详解】由题意得()()f x f x -=-，即e e 1e 1e x xax ax --=---，所以e e e 11e ax x xaxax -=---，故e e ax x x -=，所以ax x x -=，解得2a =.故选：C 4．A【分析】分3,1,1和2,2,1两种情况，结合排列组合知识进行求解.【详解】若三个场地分别承担3,1,1个项目，则有3113521322C C C A 60A ⋅=种安排，若三个场地分别承担2,2,1个项目，则有2213531322C C C A 90A ⋅=种安排，综上，不同的安排方法有6090150+=种.故选：A 5．D【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系.【详解】1.61122a ⎛⎫=<⎪⎝⎭，即102a <<，0.3log 0.21b =>，即1b >，因为20.40.3<，所以20.30.3log 0.4log 0.31>=，即0.31log 0.42>，且0.30.3log 0.4log 0.31<=，则112c <<，所以b c a >>.故选：D 6．C【分析】联立圆与渐近线方程，得到()(),,,P a b Q a b --，进而得到π4OAQ ∠=，利用直线斜率得到方程，求出2b a =，得到离心率.【详解】由题意得，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，(),0A a ，渐近线方程为by x a =±，联立222x y c b y xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x a =±，不妨令()(),,,P a b Q a b --，故π2OAP ∠=，因为3π4PAQ ∠=，所以3πππ424OAQ ∠=-=，所以0tan 1π4AQb k a a --===--，解得2b a =，故离心率c e a ==.故选：C7．C【分析】根据三角恒等变换化简()f x 的表达式，判断其图象关于点7π(,1)12-成中心对称，结合等差数列性质可得11721697π2212a a a a a +=+===⨯，从而得117216810()()()()()()2f a f a f a f a f a f a +=+==+=- ，由此即可求得答案.【详解】由题意知44()cos sin cos 1f x x x x x =---()()2222cos sin cos sin sin 21x x x x x =+--πcos 2sin 212cos 213x x x ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，当7π12x =时，7ππ2cos 20123⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即()f x 关于点7π(,1)12-成中心对称，由于等差数列{}n a 中，97π12a =，故11721697π2212a a a a a +=+===⨯，故117216810()()()()()()2(1)2f a f a f a f a f a f a +=+==+=⨯-=- ，97ππ()2cos 211123f a ⎛⎫=⨯+-=- ⎪⎝⎭，故数列{}n y 的前17项和为1217()()()f a f a f a +++ [][][]1172168109()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a =+++++++ 8(2)117=⨯--=-，故选：C8．B【分析】首先求AC ，再作出PO ⊥平面ABCD ，根据垂直关系，以及等面积转化，确定垂足点O 的位置，以及PO ，再求线面角的正弦值.【详解】如图，由题意可知，AC =PAC △中，根据余弦定理可知2293223172PC =+-⨯⨯⨯=，则PC =过点P 作PO ⊥平面ABCD ，OM AB ⊥，连结PM ，ON BC ⊥，连结PN，因为PO ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PO AB⊥OM PO O = ，且,OM PO ⊂平面POM所以AB ⊥平面POM ，PM ⊂平面POM ，所以AB PM ⊥，又因为3PA PB ==，所以2MA MB ==，同理PN BC ⊥，PBC中，916171cos2343PBC+-∠==⨯⨯，则sin3PBC∠=，根据等面积公式，1221344232PN⨯⨯⨯=⨯⨯，所以PN=3NC===，OD==又2ON MB==，所以2PO==，则PD==直线PD与平面ABCD夹角的夹角为PDO∠，sinPOPDOPD∠==.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定垂足O的位置，以及垂直关系的转化.9．AC【分析】根据独立事件的乘法公式以及条件概率的概率公式可判断A；根据百分位数的定义求出第45百分位数判断B；根据对立事件的概率公式以及条件概率的概率公式可判断C；根据正态分布的对称性可判断D.【详解】对于A，若事件A、B相互独立，则()()()P AB P A P B=,而()()()()()()()P AB P A P BP A B P AP B P B===，A正确；对于B，数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95已为从小到大排列，共10个数，又45%10 4.5⨯=，故第45百分位数为第5个数74，B错误；对于C，由于()0.65P A=，()0.32P AB=，故()03232()()06565P BA.P B|AP A.===，则3233()1()16565P B|A P B|A=-=-=，故()()33(|)()0.650.3365P B A P AP AB P BA====⨯，C正确；对于D，由于~(0,1)Nξ，(1)P pξ≤=，故(1)1P pξ>=-，故(1)(1)1P P pξξ<-=>=-，故()11(1)(1)221102P p pPξξ<-=--≤≤==---，D错误，故选：AC10．ACD【分析】利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】对于A，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知其最小正周期π2π2T ==，故A 正确；对于B，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知πππ1π2,Z2422x k x k k +≠+⇒≠+∈，故B 错误；对于C，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知1πππ2242x x =⇒+=，此时()f x 的图象关于点1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知[]ππ3π5π1,2,2444x x ⎡⎤∈⇒+∈⎢⎣⎦，又tan y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，显然3π5π,44⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦π3π,22⎡⎤⎢⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11．ABD【分析】对于选项A，即求正三角形的高，判断为正确；对于选项B，将空间问题平面化即可判定为正确；对于选项C，去一个特殊点，计算其体积，判断为错误；对于选项D，先求出球与平面的交线，然后判断有多少在正方体内，求出其长度即可.【详解】对于A，11C A D为边长为的等边三角形，1C P的最小值即该等边三角形的高，为3cos302= A正确；对于B，如图，将等边1A BD绕1A D旋转到与平面11A DCB 共面，显然()min PB PC BC +=====，故B 正确；对于C，当P 在D 上时，1111148223333B ACP B ACD ACD V V S BB --==⋅⋅=⨯⨯=≠，故C 错误；对于D，设点B 到平面1AB C 的距离为d,11B AB C B ABCV V --= ，111133AB C ABC S d S BB ∴⋅=⋅ ，131222222d ∴⨯=⨯⨯⨯，233d =，以点B 为球心，为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线是以1AB C V 中心为圆心，以=为半径的圆，如图，圆有一部分在正方体外，3OM =，由A 得133OH h ==，2cos 2OH MOH OM ∠==，所以45MOH ∠= ，90MON ∠= ，所以有36090313604-⨯=圆周在正方体内部，其长度为12332ππ433⨯⨯，故D 对.故选：ABD.12．CD【分析】设点,2p D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得出点A 的坐标，利用抛物线的定义可求得p 的值，可判断A 选项；设切线方程为32y kx =-，将切线方程与抛物线方程联立，由判别式为零求出k 的值，可求得切点的坐标，可判断B 选项；利用抛物线的定义结合B 选项可判断C 选项；证明出AT BT ⊥，FT AB ⊥，结合直角三角形的几何性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线()220x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p y =-，设点,2p D t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为F 为线段AD 的中点，则3,2p A t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由抛物线的定义可得32622p p AF p =+==，解得3p =，则30,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 错；对于B 选项，由A 选项可知，抛物线的方程为26x y =，点30,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若切线的斜率不存在，则该直线与抛物线26x y =相交，且只有一个交点，不合乎题意，所以，切线的斜率存在，设切线的方程为32y kx =-，联立2326y kx x y⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得2690x kx -+=，则236360k ∆=-=，解得1k =±，所以，切点横坐标为33k =±，纵坐标为()2393662k ==，故切点坐标为33,2⎛⎫± ⎪⎝⎭，B 错；对于C 选项，过点M 作ME 与直线32y =-垂直，垂足点为点E ，由抛物线的定义可得FM ME=，1cos MN MN t MFMEMNE===∠，由图可知，当直线MN 与抛物线26x y =相切时，锐角MNE ∠取最大值，此时，t取最大值，由B 选项可知，锐角MNE ∠的最大值为π4，故t的最大值为1πcos4，C 对；对于D 选项，设点()11,A x y 、()22,B x y ，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 与抛物线26x y =只有一个交点，不合乎题意，所以，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为32y kx =+，联立2632x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2690x kx --=，236360k '∆=+>，由韦达定理可得126x x k +=，129x x =-，对函数26x y =求导得3xy '=，所以，直线AT 的方程为()1113x y y x x -=-，即21136x x x y =-，同理可知，直线BT 的方程为22236x x x y =-，因为1219AT BT x x k k ==-，则AT BT ⊥，联立2112223636x x x y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得121232362x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即点33,2T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()3,3FT k =-，而()()()21212121,,AB x x y y x x k x x =--=--，所以，()()2121330FT AB k x x k x x ⋅=---=，则FT AB ⊥，所以，90TBF BTF ATF ∠=-∠=∠，由tan tan TBF ATF ∠=∠可得TFAF BFTF=，所以，2TF AF BF=⋅，D 对.故选：CD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．13．7【分析】运用平面向量垂直及减法、数乘、数量积坐标运算即可.【详解】因为(2,1)a =- ，(1,)b λ= ，所以(3,1)a b λ-=-- ，因为()a a b ⊥- ，所以()()()()23110a a b λ⋅-=-⨯-+⨯-= ，解得7λ=.故答案为：7.14．80-【解析】根据通项公式中x 的指数为3，列方程解得1r =，从而可得展开式中3x 的系数.【详解】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()5521512rr r r r T C x --+=-⋅⋅(0,1,2,3,4,5)r =，令523-=r ，得1r =，所以展开式中3x 的系数为5115(1)2C --⋅⋅=80-.故答案为：80-【点睛】本题考查了根据通项公式求项的系数，属于基础题.15．4π3【分析】根据垂径定理结合圆的定义及动直线过定点两圆位置关系确定P 的轨迹为圆弧计算即可.【详解】由题意可知圆22410x y x +-+=的圆心为()2,0C ，半径为3r =，根据圆的性质可知CP l ⊥，则OCP △为直角三角形，即P 在以OC 为直径的圆上，设OC 中点为E，该圆半径为R ，易知1R EC ==，又线段AB 的中点为P，则P 在圆22410x y x +-+=的内部，如图所示其轨迹即 FCG .因为33CF r CE===，易得120FEC ∠=，则120GEC ∠=，所以 FCG 的弧长为21204π2π3603R ⨯⨯⨯= .故答案为：4π316．⎫+∞⎪⎪⎣⎭【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与e xy x =有两个不同交点；利用导数可求得单调性，并由此得到()e xg x x =的图象；采用数形结合的方式可确定1201,x x <<<且e a >；假设213x x t ==，由()()12g x g x =可确定t =，进而得到()()12g x g x ==的值，结合图象可确定a 的取值范围.【详解】由21()e 1,()2x f x ax a =-+∈R ，可得()x f x ax e '=-，因为12,x x 是函数()f x 的两个极值点，所以12,x x 是e 0xax -=的两根，当0x =时，方程不成立，故12,x x 是e x a x =的两根，即y a =与e x y x =的图象有两个交点，令()e ,xg x x =则()()21e xx g x x -'=，当()(),00,1x ∈-∞ 时，()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，所以()e xg x x =在()(),0,0,1-∞单调递减；在()1,+∞上单调递增.则()e xg x x =图象如下图所示，由图象可知：1201,x x <<<且ea >因为213x x ≥，所以213x x ≥，当213x x =时，不妨令213x x t==，则13e e 3t tt t =，即13e 3e t t =，化简得13e t =t =，当213x x =时，()()12g x g x ==，若213x x ≥，则23ln 3a ≥，即a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎣⎭.故答案为：,ln 3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．(1)π3B =(2)选①或选②均为【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，然后利用sin A sin()B C =+进行代换，求出1cos 2B =，即可得出答案；（2）若选①：由等面积法得到)ac a c =+，由余弦定理得到2212a c ac +-=，联立求解即可得出答案；若选②：得()12BD BA BC =+，两边平法化简得2236a c ac ++=，由余弦定理得到2212a c ac +-=，联立求解即可得出答案.【详解】（1）由正弦定理知，2sin cos 2sin sin B C A C =-，sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ ，代入上式得2cos sin sin 0B C C -=，(0,π)C ∈ ，sin 0C ∴>，1cos 2B ∴=，(0,π)B ∈ ，π3B ∴=.（2）若选①：由BD 平分ABC ∠得：ABC ABD BCDS S S =+△△△，111sin 3sin 3sin 232626πππac a c ∴=⨯+⨯，即)ac a c =+.在ABC 中，由余弦定理得222π2cos3b a c ac =+-，2212a c ac ∴+-=，联立)2212ac a c a c ac ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，得2()936ac ac -=，解得12ac =，11sin 12222ABC S ac B ∴==⨯⨯△若选②：得()12BD BA BC=+ ，()()222211244BD BA BC BA BA BC BC=+=+⋅+ ，得2236a c ac ++=，在ABC 中，由余弦定理得222π2cos3b a c ac =+-，2212a c ac ∴+-=，联立22223612a c ac a c ac ⎧++=⎨+-=⎩，得12ac =，11sin 12222ABC S ac B ∴==⨯⨯△18．(1)12n n a -=(2)212323-【分析】（1）根据等差中项的性质得到13212a a a +-=，然后根据等比数列的通项公式列方程求解即可；（2）利用分组求和的方法计算即可.【详解】（1）设公比为()1q q >，因为1a ，2a ，31a -成等差数列，所以1314a a +-=，所以2250q q +-=，解得2q =或12q =（舍去），所以12n n a -=.（2）根据题意得()1234192013519246201102b b b b b b a a a a a a a a ++++++=++++-+++++ ()()02418024182222102222=++++-+++++ 101421014-=⨯--212323-=.19．(1)存在，1B C 为圆柱1OO的母线(2)【分析】（1）1B C为圆柱1OO 的母线时，证明BC ⊥平面1AB C ，从而得出1BC AB ⊥；（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得二面角111A OB B --的余弦值.【详解】（1）存在，当1B C为圆柱1OO 的母线时，1BC AB ⊥．证明如下：连接BC，AC，1B C，因为1B C为圆柱1OO 的母线，所以1B C ⊥平面ABC，又因为BC ⊂平面ABC，所以1B C BC⊥．因为AB 为圆O 的直径，所以BC AC ⊥．又1AC B C C ⋂=，1,AC B C ⊂平面1AB C ，所以BC ⊥平面1AB C ，因为1AB ⊂平面1AB C ，所以1BC AB ⊥．（2）以O 为原点，OA，1OO 分别为y，z 轴，垂直于y，z 轴的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,1,2)A ，1(0,0,2)O ，(0,1,0)B -，因为劣弧11A B 的长为π6，所以111π6AO B ∠=，11,,222B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1(0,1,2)O B =-- ，1113,22O B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ．设平面11O BB 的法向量(,,)m x y z = ，则1112013022O B m y z O B m x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3x =-，解得y =，z =，所以2m ⎛=- ⎝⎭ ．因为x 轴垂直平面11A O B，所以平面11A O B的一个法向量(1,0,0)n =．所以cos ,17m n 〈〉==-，又二面角111A OB B --的平面角为锐角，故二面角111A OB B --的余弦值为17．20．(1)分布列见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据()334P X ≤=得到方程，求出034p =，求出X 的所有可能值及对应的概率，得到分布列；（2）设甲、乙都选择方案A 投篮，投中次数为1Y，都选择方案B 投篮，投中次数为2Y ，则()10~2,Y B p ，21~2,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算出两种情况下的均值，由不等式，得到相应的结论.【详解】（1）依题意，甲投中的概率为0p ，乙投中的概率为13，于是得013(3)1(5)134P X P X p ≤=-==-=，解得034p =，X 的所有可能值为0，2，3，5，311(0)11436P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，311(2)1432P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，131(3)13412P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，311(5)434P X ==⨯=，所以X 的分布列为：X0235P161211214（2）设甲、乙都选择方案A 投篮，投中次数为1Y ，都选择方案B 投篮，投中次数为2Y ，则()10~2,Y B p ，21~2,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则两人都选择方案A 投篮得分和的均值为()12E Y ，都选择方案B 投篮得分和的均值为()23E Y ，则()()100142222E E Y p p Y ==⨯=，()()221333322E Y Y E ==⨯⨯=，若()()1223E Y E Y >，即042p >，解得0112p <<；若()()1223E Y E Y =，即042p =，解得012p =；若()()1223E Y E Y <，即042p <，解得0102p <<.所以当0112p <<时，甲、乙两位同学都选择方案A 投篮，得分之和的均值较大；当012p =时，甲、乙两位同学都选择方案A 或都选择方案B 投篮，得分之和的均值相等；当0102p <<时，甲、乙两位同学都选择方案B 投篮，得分之和的均值较大.21．(1)2214x y +=(2)1-【分析】（1）根据焦距和角的正切值得到方程，求出21b =，24a =，得到椭圆方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，得到228214Q k x k -=+，再与直线1A B 方程联立，得到2421Pk x k +=-，根据题干条件得到方程30P Q Q P x x x x +-=，代入求出答案，舍去不合要求的解.【详解】（1）由题意得2c =c =又1,AO a OB b ==，故1tan 2aA BO b ∠==，即2a b =，又222a b c =+，解得21b =，24a =，故椭圆方程为2214x y +=；（2）直线l 的方程为()2y k x =-，0k <，与2214x y +=联立得()222214161640k x k x k +-+-=，设(),Q Q Q x y ，则22164214Q k x k -=+，解得228214Q k x k -=+，因为点Q 在第一象限，所以2282014Q k x k -=>+，解得214k >，直线1A B 方程为112y x =+，与()2y k x =-联立得2421k x k +=-，故2421P kx k +=-，()2y k x =-中，令0x =得2y k =-，故()0,2M k -，因为223PA MQ QA MP =，所以()()()()20320P Q Q P x x x x --=--，整理得30P Q Q P x x x x +-=，即2222248282243021141421k k k kk k k k +--+⋅+-⋅=-++-，化简得22310k k ++=，解得12k =-或1-，其中12k =-不满足214k >，舍去，1k =-满足要求，故1k =-.22．（1）当0a >时，()f x '存在唯一零点，当0a ≤时，()f x '无零点.（2）证明见解析【解析】（1）由题意得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2x af x e x '=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论即可（2）先由条件求出1ln ()2xg x x +=+，然后要证()()f x g x ≥，即证()22ln 1x x e x --≥，令()2()2ln x h x x e x =--，然后利用导数得出min ()1h x =即可【详解】（1）由题意，得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2x af x e x '=-.显然当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x '无零点.当0a >时，取2()()2x at x f x e x '==-，则22()40x at x e x '=+>，即()f x '单调递增，又()0f a '>，2202a aa e a a f e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以导函数()f x '存在唯一零点.故当0a >时，()f x '存在唯一零点，当0a ≤时，()f x '无零点.（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 单调递增，所以22min ()()e e f x f e e a e ==-=，所以0a =.因为21ln ()m xg x x --'=，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=，所以1(1)01mg -'==，所以1m =.又1ln1(1)31g n +=+=，所以2n =，所以1ln ()2xg x x +=+.根据题意，要证()()f x g x ≥，即证2ln 12x x e x +≤-，只需证()22ln 1x x e x --≥.令()2()2ln x h x x e x =--，则22121()(21)(21)x xx h x x e x e x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭.令21()(0)x F x e x x =->，则221()20x F x e x '=+>，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.又1404F ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，1202F e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()F x 有唯一的零点,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭01142.当()00,x x ∈时，()0<F x ，即()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()02min 000()2ln x h x h x x e x ==--.又因为()00F x =，所以0201e x x =，所以()0000020112ln 1221x h x x x x x e ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()f x g x ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点个数，利用导数证明不等式，属于较难题.。
山西省运城市盐湖五中2023-2024学年数学高一上期末综合测试试题含解析
【解析】根据函数式的性质可得
4 x
x0 1 0
，即可得定义域；
【详解】根据 f x 4 x 的解析式，有：
x 1
4 x 0
x
1
0
解之得：
x
4
且
x
1
；
故选：D
【点睛】本题考查了具体函数定义域的求法，属于简单题；
8、D
【解析】
9、D
【解析】由题意得函数 f x 1 ln x a 图象的对称轴为 x a
【详解】 ① 中，取 k 2 时， 的终边在 x 轴上，故 ① 错误；
② 中，当 x 3 时， y 2 cos(3 ) 2 cos 0 ，故 ② 正确；
4
44
2
③ 中，第一象限角的集合为{x | 2k x 2k , k Z} ，显然在该范围内函数 y sinx 不单调； 2
cos2
x
4
0
的最小正周期为
（1）求 f x 图象的对称轴方程；
（2）将
f
x 的图象向左平移
6
个单位长度后，得到函数
g x 的图象，求函数
g
x在
0,
2
上的值域
20．在 ABC 中，设角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 cos2 A sin2 B cos2 C sin Asin B . （1）求角 C 的大小； （2）若 c 3 ，求 ABC 周长的取值范围. 21．已知向量 a (m, cos 2x) ， b (sin 2x,1) ，函数 f (x) a b ，且 y f (x) 的图像过点 ( , 3) .
16、6
【解析】利用函数是偶函数， f 2 f 2 ，代入求值.
山西省运城市西交口中学高一数学理上学期期末试卷含解析
山西省运城市西交口中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若奇函数在上为增函数，且有最小值7，则它在上（）A.是减函数，有最小值-7B.是增函数，有最小值-7C.是减函数，有最大值-7D.是增函数，有最大值-7参考答案：D略2. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是 ( )参考答案：A3. 设集合，其中，则下列关系中正确的是（）A．M B． C．D．参考答案：D4. 假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为0.4，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖两次都命中靶心的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，3，5，7表示命中靶心，1，4，6，8，9，0表示未命中靶心，再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：93 28 12 45 85 69 68 34 31 2573 93 02 75 56 48 87 30 11 35据此估计，该运动员两次投掷飞镖都正中靶心的概率为（）A．0.16 B．0.20 C．0.35 D．0.40参考答案：B【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】在20组随机数中，打出表示该运动员两次投掷飞镖都正中靶心的个数，据此估计，能求出该运动员两次投掷飞镖都正中靶心的概率．【解答】解：20组随机数中，表示该运动员两次投掷飞镖都正中靶心的有：25，73，75，35，共4个，∴据此估计，该运动员两次投掷飞镖都正中靶心的概率为：p==0.2．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，则基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．5. 方程组的解集是（）A、B、C、D、参考答案：C略6. 设集合A= [0,)，B= [,1]，函数f(x)=若x0∈A，且f(f(x0))∈A，则x0的取值范围是（）．（A）(0,] （B）[0,]（C）(,] （D）(,)参考答案：D7. 对于无穷数列{a n}，给出下列命题：①若数列{a n}既是等差数列，又是等比数列，则数列{a n}是常数列.②若等差数列{a n}满足，则数列{a n}是常数列.③若等比数列{a n}满足，则数列{a n}是常数列.④若各项为正数的等比数列{a n}满足，则数列{a n}是常数列.其中正确的命题个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：C【分析】按公差、公比的值分类讨论.【详解】既是等差数列也是等比数列的数列是非零常数列，所以①正确；设等差数列{a n}的公差为，若，当无限大时，则无限大，；若，当无限大时，则无限小，；所以，只需即有②正确若等比数列{a n}的公比为，，也满足，所以③错误.设各项为正数的等比数列{a n}公比为，若，当，当无限大时，则无限大，不满足；若，当增大时，则趋于零，不满足；综上得，所以④正确.故选C.【点睛】本题考查等差等比数列的性质和函数单调性.8. 如下图所示，已知棱长为的正方体（左图），沿阴影面将它切割成两块，拼成右图所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为A、 B、 C、 D、参考答案：D9. 下列赋值语句中错误的是()A. N=N+1B. K=K*KC. C=A(B+D)D. C=A/B参考答案：CN=N+1中，符合赋值语句的表示，故A正确；K=K*K中，符合赋值语句的表示，故B正确；C=A（B+D）中，右边的表达式中，省略了运算符号“*”，故C错误；C=A/B中，符合赋值语句的表示，故D正确．故选：C．点睛：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。
山西省运城市薛辽中学高一数学理上学期期末试卷含解析
山西省运城市薛辽中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 式子的符号为A、正B、负C、零D、不能确定参考答案：B因为1，2，4分别表示第一、二、三象限的角，所以，，，故选B.2. 已知方程的解为，则下列说法正确的是( )A. B.C. D.参考答案：B3. 已知=1，= , ,点在内，且，，则等于（）A．B．3C．D．参考答案：B4. 定义在R上的偶函数满足，且在[-1，0]上单调递增，设，，，则大小关系是（）A． B． C． D．参考答案：D5. 设向量若，则的最小值为（）A、B、1 C、D、参考答案：C略6. 集合,中的角所表示的范围（阴影部分）是参考答案：C略7. 某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98,二级品的概率是0.21，则出现一级品与三级品的概率分别是（）A. B. C. D.参考答案：D8. 的值为（）A． B． C． D．1参考答案：B9. 等于（）A．B．C．D．参考答案：A.10. 已知集合，则M的元素个数为（）A．4 B．3 C．7 D．8参考答案：B由题意得：故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 有以下四个命题：① 在中，“”是“”的充要条件；② “”是“成等比数列”的必要非充分条件；③ 在无限增大的变化过程中，如果无穷数列中的项越来越接近于某个常数，那么称是数列的极限；④函数的反函数叫做反余弦函数，记作。
其中正确命题的序号为__________________。
参考答案：略12. 定义在上的函数，如果存在函数为常数），使得≥对一切实数都成立，则称为的一个承托函数.现有如下命题：①对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能无数个；②=2为函数的一个承托函数；③定义域和值域都是的函数不存在承托函数；其中正确命题的序号是____________.参考答案：①13. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，面积，则______________．参考答案：14. 已知，且是第二象限角，则；参考答案：略15. 直线，和交于一点，则的值是 .参考答案：16. 在四面体ABCD中，，二面角的大小为150°，则四面体ABCD外接球的半径为__________．参考答案：画出图象如下图所示,其中为等边三角形边的中点,为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方,也在点的正上方.依题意知,在中,所以外接圆半径.17. 已知，则的最小值是__________．参考答案：分析：利用题设中的等式，把的表达式转化成，展开后，利用基本不等式求得y的最小值.详解：因为，所以，所以（当且仅当时等号成立），则的最小值是，总上所述，答案为.点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2022-2023学年山西省运城市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年山西省运城市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知U =R ，集合{1,1}A =-，2{|9}B x x =<，则下列关系正确的是（）A ．AB A ⋃=B ．A B ⋂=∅C ．A B A =D ．UUA B⊆【答案】C【分析】解不等式得B ，由集合的运算与关系对选项逐一判断，【详解】由29x <得33x -<<，(3,3)B =-，A B ⊆，对于A ，A B B ⋃=，故A 错误，对于B ，C ，A B A = ，故B 错误，C 正确，对于D ，UUB A ⊆，故D 错误，故选：C2．函数()212x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在的零点所在区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【分析】根据零点存在性定理即可求解.【详解】因为函数212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭和y x =-在[)0,∞+上都是单调递减，所以()212x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[)0,∞+上单调递减，又()040f =>，()110f =>，()2120f =-<，()13302f =-<，()7404f =-<，故()()120f f ⋅<，所以函数()f x 的零点所在区间是()1,2.故选：B.3．设R α∈，则“1sin 2α=”是“6πα=”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由1sin 2α=，可知522k Z 66k k ππαππ=++∈或，．∴“1sin 2α=”是“6πα=”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的性质是解决本题的关键，比较基础．4．我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转3π弧度，飞过的路程约为（ 3.14π=）（）A ．1069千米B ．1119千米C ．2138千米D ．2238千米【答案】D【分析】利用弧长公式直接求解.【详解】嫦娥五号绕月飞行半径为400+1738=2138，所以嫦娥五号绕月每旋转3π弧度，飞过的路程约为 3.1421382138223833l r πα==⨯=⨯≈（千米）.故选：D5．已知 1.12a =，65b =，ln 5c =，则（）A ．c b a <<B ．c<a<bC ．a c b<<D ．b<c<a【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小可得答案.【详解】 1.122a =>，2ln 5ln e 2c =<=，所以a c >，由65b =，得ln 6ln 5b =，得ln 5ln 5ln 6b c =<=，综上所述：b<c<a .故选：D6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．()21x f x x=-B ．()221x f x x =+C ．()221xf x x =-D ．()2211x f x x +=-【答案】C【分析】根据图象函数为奇函数，排除D ；再根据函数定义域排除B ；再根据1x >时函数值为正排除A ；即可得出结果.【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D 中的函数为偶函数，故排除D ；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B ；对于A ，当1x >时，0y <，不满足图象；对于C ，当1x >时，0y >，满足图象.故排除A ，选C.故选：C7．已知θ为第二象限角，且()25cos π5θ-=，则1cos 1cos π3π1sin 1sin 22θθθθ+--⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（）A ．4-B ．4C ．14D ．14-【答案】A【分析】利用诱导公式可得出cos θ的值，利用同角三角函数的基本关系可求得sin θ的值，再利用诱导公式化简所求代数式，代值计算即可得出所求代数式的值.【详解】因为()25cos πcos 5θθ-=-=，则25cos 5θ=-，又因为θ为第二象限角，则22255sin 1cos 155θθ⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭，因此，1cos 1cos 1cos 1cos π3π1cos 1cos 1sin 1sin 22θθθθθθθθ+-+--=--+⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()()22221cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1cos θθθθθθθθθθ+-+---=-=--+-+()()()()2sin 1cos sin 1cos sin sin 2sin cos 2cos 1cos 1cos 1cos 1cos sin sin θθθθθθθθθθθθθθθ+--=-===-+-+2525455⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-.故选：A.8．函数11y x =-的图像与函数()2sin π24y x x =-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（）A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】C【分析】由题意可得，两个函数有公共对称轴1x =，分别做出两个函数图像，结合图像即可得到结果.【详解】函数11y x =-的图像与函数2sin πy x =的图像有公共对称轴1x =，分别做出两个函数的图像如图所示，由图像可知，两个函数共有12个交点，且关于直线1x =对称，则所有交点的横坐标之和为6212⨯=.故选：C二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．函数21y x =-的定义域是(1,1)-B ．函数1y x=在其定义域上单调递减C ．函数12x y -=的值域是(0,)+∞D ．函数log (1)2(01)a y x a a =-+>≠且的图象过定点()2,2【答案】CD【分析】选项A.求出函数的定义域可判断；选项B.函数1y x=在其定义域上不是单调函数可判断；选项C.由指数函数的性质可判断；选项D.由2x =时，log (21)0a -=可判断.【详解】选项A.函数21y x =-的定义域是[]1,1-,故不正确.选项B.函数1y x=在其定义域上不是单调函数，故不正确.选项C.函数12x y -=的值域是(0,)+∞，故正确.选项D.当2x =时，log (21)0a -=，则log (1)2a y x =-+过()2,2，故正确.故选：CD10．下列说法正确的是（）A ．函数1sin sin y x x=+的最小值为2B ．若正实数a ，b 满足1a b +=，则122a b +的最小值为92C ．关于x 的不等式210ax bx ++<的解集是()1,2，则1a b +=-D ．函数()()2log 1a f x x mx =++（0a >且1a ≠）的定义域为R ，则实数m 的取值范围是()(),22,∞∞--⋃+【答案】BC【分析】A 由三角函数的性质，结合特殊情况判断；B 应用基本不等式“1”的代换求最值；C 由一元二次不等式的解集求参数a 、b ，即可判断；D 由对数函数、二次函数的性质有240m ∆=-<即可判断.【详解】A ：当1sin 0x -<<时，显然1sin 0sin y x x=+<，故错误；B ：由121252529()()22222222b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⋅=，当且仅当223b a ==时等号成立，正确；C ：根据不等式的解集可知1,2是方程210ax bx ++=的根，所以0312a b a a⎧⎪>⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，可得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则1a b +=-，正确；D ：由题意，210x mx ++>在R 上恒成立，则240m ∆=-<，解得22m -<<，错误.故选：BC11．已知函数()sin cos f x x x =+，则（）A ．2π为函数()f x 的一个周期B ．对于任意的x ∈R ，函数()f x 都满足()()ππf x f x +=-C ．函数()f x 在[]0,π上单调递减D ．()f x 的值域为1,2⎡⎤-⎣⎦【答案】ABD【分析】计算()()2πf x f x +=，可判定选项A ；根据三角函数的诱导公式进行化简运算，可判定选项B ；化简函数()π2sin()4f x x =+，结合三角函数的性质，可判定选项C ；根据sin 0x ≥，且1cos 1x -≤≤，结合选项A 、B 及函数的单调性，可判定选项D.【详解】对于A ，由()()()()2πsin 2πcos 2πsin cos f x x x x x f x+=+++=+=，所以2π为()f x 的周期，故A 正确；对于B ，由()πsin(π)cos(π)sin cos f x x x x x +=+++=-，()πsin(π)cos(π)sin cos f x x x x x -=-+-=-，所以()()ππf x f x +=-，故B 正确；对于C ，由[]0,πx ∈，则ππ5π,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，且()πsin cos 2sin()4f x x x x =+=+，根据正弦函数的性质，可得函数()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，函数()sin cos f x x x =+，由sin 0x ≥，且1cos 1x -≤≤，所以函数()f x 的最小值为1-；由[]0,πx ∈时，函数()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当π4x =时，函数()π2sin()4f x x =+的最大值为2；由B 选项知函数()f x 关于πx =对称，又2π为()f x 的周期，()f x 的值域为1,2⎡⎤-⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.12．已知函数()2e 1,44,x x mf x x x x m ⎧-≥=⎨---<⎩（m ∈R ，e 为自然对数的底数），则（）A ．函数()f x 至多有2个零点B ．当3m <-时，12x x ∀≠，总有()()12120f x f x x x ->-成立C ．函数()f x 至少有1个零点D ．当0m =时，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有4个不同实数根【答案】ABCD【分析】分别解方程e 10x -=、2440x x ---=，取20m -<≤，可判断A 选项；利用分段函数的单调性可判断B 选项；对实数m 的取值进行分类讨论，确定函数()f x 在m 不同的取值下，()f x 的零点个数，可判断C 选项；当0m =时，解方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，令e 10x -=可得0x =，由2440x x ---=得2440x x ++=，可得2x =-.故当20m -<≤时，函数()f x 有两个零点，所以，函数()f x 至多有2个零点，A 对；对于B 选项，当3m <-时，函数e 1x y =-在[),+∞m 上单调递增，函数244y x x =---在(),m -∞上单调递增，且()221e 1m m -+<-<-，所以，故当3m <-时，函数()f x 在R 上为增函数，故当3m <-时，12x x ∀≠，不妨设12x x <，则()()12f x f x <，则()()12120f x f x x x ->-，B 对；对于C 选项，当2m ≤-时，函数()f x 在(),m -∞上无零点，在[),+∞m 上有唯一零点0x =；当20m -<≤时，函数()f x 有两个零点；当0m >时，函数()f x 在(),m -∞上有唯一零点2x =-，在[),+∞m 上无零点，综上所述，函数()f x 至少有一个零点，C 对；对于D 选项，当0m =时，()2e 1,044,0x x f x x x x ⎧-≥=⎨---<⎩.令()u f x =，则方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦为()0f u =.当0u <时，由()0f u =可得()220u -+=，解得2u =-；当0u ≥时，由()0f u =可得e 10u -=，解得0u =.当0x <时，由2u =-可得2442x x ---=-，即2420x x ++=，解得22x =-±，由0u =可得2440x x ---=，即()220x +=，解得2x =-；当0x ≥时，由2u =-可得e 12x -=-，即e 1x =-，该方程无解，由0u =可得e 10x -=，解得0x =.综上所述，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦的解集为{}22,22,2,0---+-，所以，当0m =时，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有4个不同实数根，D 对.故选：ABCD.三、填空题13．命题“0x ∃<，2210x x +->”的否定是.【答案】0x ∀<，2210x x +-≤【分析】由存在量词命题的否定可得出结论.【详解】命题“0x ∃<，2210x x +->”为存在量词命题，该命题的否定为“0x ∀<，2210x x +-≤”.故答案为：0x ∀<，2210x x +-≤.14．已知点()2,1A -在角θ的终边上，则sin cos sin cos θθθθ-=+.【答案】3-【分析】首先求tan θ，再由齐次式化简求值.【详解】由题意可知1tan 2θ=-，∴sin cos tan 13sin cos tan 1θθθθθθ--==-++.故答案为：3-.15．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()4f x f x =-，当(]0,2x ∈时，()24f x x =-，则()2023f =.【答案】3【分析】推导出函数()f x 是周期为8的周期函数，再结合函数()f x 的周期性和奇偶性可求得()2023f 的值.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()4f x f x =-，则()()()44f x f x f x =-=--，所以，()()()44f x f x f x +=-=-，即()()8f x f x +=，所以，函数()f x 是周期为8的周期函数，且当(]0,2x ∈时，()24f x x =-，则()()()()()220232538111143f f f f =⨯-=-=-=--=.故答案为：3.16．已知函数()()π2sin 0,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示，且()f x 在[]0,π上恰有一个最大值和一个最小值，则ω的取值范围是.【答案】47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由(0)1f =，推出π6ϕ=，从而知()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由[]0,πx ∈，求得π6x ω+的取值范围，并结合正弦函数的图象与性质，即可得解．【详解】由图知(0)1f =，所以1sin 2ϕ=，因为2π0,ϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π6ϕ=，即()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[]0,πx ∈，知,πππ66π6x ωω⎡⎤⎢⎥+∈+⎣⎦，因为()f x 在[]0,π上恰有一个最大值和一个最小值，所以π3π5ππ,622ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得47,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．故答案为：47,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭．四、解答题17．设集合{}2230A x x x =+-<，集合1222x aB x +⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.(1)若3a =，求A B ⋃；(2)设条件:p x A ∈，条件:q x B ∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()4,1-(2)[]0,2【分析】（1）解不等式化简,A B ，根据并集的概念可求出结果；（2）将p 是q 成立的必要条件，转化为B A ⊆，根据子集关系列式可求出结果.【详解】（1）由2230x x +-<，解得31x -<<，可得：()3,1A =-，当3a =时，由31222x +<<解得42x -<<-，∴()4,2B =--，∴()4,1A B =- .（2）由1222x a +<<，解得11a x a --<<-，∴{}11B x a x a =--<<-.∵p 是q 成立的必要条件，∴B A ⊆，由于B ≠∅，所以有：1311a a --≥-⎧⎨-≤⎩，解得：02a ≤≤.∴实数a 的取值范围是[]0,2.18．已知函数()2cos cos 13πf x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的单调递增区间；(2)设π7126f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求7πsin 26α⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】(1)()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)223【分析】（1）利用三角恒等变换化简()f x ，根据正弦函数的性质求得答案；（2）根据π7126f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭求得π1sin 233α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，结合π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求得22cos 233πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得答案.【详解】（1）()2132cos sin cos 1cos 3sin cos 122f x x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭1cos 233sin 21sin 22262πx x x +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭∵πππ2π22π262k x k -+≤+≤+，∴ππππ36k x k -+≤≤+，所以()f x 的递增区间为()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由πππ37sin 21212626f αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴π1sin 233α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∵π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4π2π33π,3α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又∵sin 203πα⎛⎫+< ⎪⎝⎭，∴4π23ππ,3α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴22cos 233πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，于是7π3πππ22sin 2sin 2cos 262333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.19．已知函数()()π3sin 03,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，现有下列3个条件：①相邻两个对称中心的距离是π2；②π312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)请选择其中两个条件，求出满足这两个条件的函数()f x 的解析式；(2)将（1）中函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度，再把横坐标缩小为原来的23（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，请写出函数()g x 的解析式，并求其在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】(1)选择见解析，()π3sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()π3sin 36g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据题意，结合周期公式，选择相应的条件，代入函数解析式即可求解；（2）根据图象变换规则即可得到函数()g x 的解析式，结合正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）选①②，因为相邻两个对称中心的距离为2T ，所以π22T =，得πT =，由2πT ω=，得2ω=.由π312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得ππ22π122k ϕ⨯+=+，Z k ∈，则π2π3k ϕ=+，Z k ∈，因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选①③，因为相邻两个对称中心的距离为2T ，所以π22T =，得πT =，由2πT ω=，得2ω=．由06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得π2π6k ϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，Z k ∈，则ππ3k ϕ=+，Z k ∈，因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选②③，由题意ππ12π1264n ω⎛⎫⎛⎫--=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()ππ32πZ 1264n n ω⎛⎫⎛⎫--=+⨯∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即π12π44n ω⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭或()π32πZ 44n n ω⎛⎫=+⨯∈ ⎪⎝⎭，得82n ω=+或()86Z n n ω=+∈.因为03ω<<，所以2ω=.由06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得π2π6k ϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，Z k ∈，则ππ3k ϕ=+，Z k ∈，因为π2ϕ<，所以π3ϕ=，所以()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）将函数()f x 的图象向右平移π4个单位长度，可得π3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将横坐标缩小为原来的23（纵坐标不变），得到函数()π3sin 36g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.∵π03x ≤≤，∴ππ5π3666x -≤-≤，∴π1sin 3,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()332g x -≤≤，即函数()g x 的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.20．某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量y （单位：微克）与时间t （单位：小时）之间的关系满足如图所示的曲线，当[]0,1.5t ∈时，曲线是二次函数图象的一部分，当[]1.5,6t ∈时，曲线是函数()()log 2.550,1a y t a a =++>≠图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于2微克时，治疗有效.(1)试求服药后6小时内每毫升血液中含药量y 与时间t 之间的函数关系式；(2)问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0.1）（参考数据2 1.414≈）【答案】(1)2124(1)4,0 1.5log ( 2.5)5,1.56t t y t t ⎧--+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩(2)0.3小时后，5.2小时【分析】（1）当0 1.5t ≤<时，设2(1)4y k t =-+，再将(0,0)代入即可求出k 的值，当1.56t ≤≤时，将点(1.5,3)的坐标代入函数表达式()log 2.55a y t =++即可求出a 的值，则可写出答案；（2）分段求出2y ≥时，对应的x 的取值范围，即可写出答案.【详解】（1）当0 1.5t ≤<时，由图象可设()214y k t =-+，将点()0,0的坐标代入函数表达式，解得4k =-，即当0 1.5t ≤<时，()2414y t =--+，当1.56t ≤≤时，将点()1.5,3的坐标代入函数()log 2.55a y t =++，得3log 45a =+，解得12a =，所以12log ( 2.5)5y t =++，故2124(1)4,0 1.5log ( 2.5)5,1.56t t y t t ⎧--+≤<⎪=⎨++≤≤⎪⎩.（2）当0 1.5t ≤<时，24(1)4y t =--+，令2y ≥，即()24142t --+≥，解得221122t -≤≤+，即0.3 1.7t ≤<，又0 1.5t ≤<，∴0.3 1.5t ≤≤，故服药0.3小时之后开始有治疗效果，当1.56t ≤≤时，12log ( 2.5)5y t =++，令2y ≥，即()12log 2.552t ++≥，解得 2.5 5.5t -≤≤，又1.56t ≤≤，∴1.5 5.5t ≤≤，综上，0.3 5.5t ≤≤，所以服药后的治疗效果能持续5.2小时.21．已知定义在R 上的函数()122x x b f x a+-+=+是奇函数.(1)求实数a ，b 的值；(2)判断()f x 在R 上的单调性并用定义证明；(3)若对任意的π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式()()2cos 2sin 0f k f θθ+->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】(1)1b =，2a =(2)单调递减，证明见解析(3)(],1-∞-【分析】（1）由(0)0f =，(1)(1)f f -=-求出,a b ，再验证()f x 是奇函数；（2）函数()f x 在R 上是减函数，设12x x <，按照作差21()()f x f x -、变形、判断符号、下结论这几个步骤证明即可；（3）利用奇偶性转化为()()22sin cos f k f θθ>-，根据单调性化为()222sin cos sin 12k θθθ<-=+-对任意的π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，再根据正弦函数值域以及二次函数知识可求出结果.【详解】（1）由题意，定义域为R 的函数()122x x b f x a+-+=+是奇函数，得()1002b f a -==+，()()1221114b b f f a a ---==-=-++，∴1b =，2a =，经检验知，()11222xx f x +-=+是奇函数.故2,1a b ==.（2）由（1）知，112()2xx f x 2+-=+，函数()f x 在R 上是减函数.证明如下：设12x x <，则()()21f x f x -21211112122222x x x x ++--=-++()()()()()()2112121111122212222222x x x x x x ++++-+--+=++()()1212114(22)2222x x x x ++-=++()()2211222121x x x x =++-，∵12x x <，∴12220x x -<，又12(21)(21)0x x ++>，所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <.∴函数()f x 在R 上是减函数.（3）由()()2cos 2sin 0f k f θθ+->，且()f x 是奇函数，得()()()22cos 2sin 2sin cos f k f f θθθθ>--=-，∵()f x 在R 上是减函数，所以22sin cos k θθ<-对任意的π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，即()222sin cos sin 12k θθθ<-=+-对任意的π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()sin 0,1θ∈，∴()()2sin 121,2θ+-∈-，所以1k ≤-，故得实数k 的取值范围(],1-∞-.22．已知函数()()2log 41x f x x =+-.(1)若函数()()221f x x x g x m +=+⋅-，[]20,log 3x ∈，求函数()g x 的最小值；(2)设()()()2log 20x h x a a a =⋅+≠，若函数()f x 与()h x 图象有2个公共点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)()2min 39,6,6241,2m m m g x m m m +≤-⎧⎪⎪=--<<-⎨⎪+≥-⎪⎩(2)()222,1-【分析】（1）求得()42=+⋅x x g x m ，令2x t =，则[]1,3t ∈，可得出()2g x t mt =+，对实数m 的取值进行分类讨论，利用二次函数的单调性可得出函数()g x 在m 的不同取值下的()g x 的最小值，综合可得出结论；（2）设20x t =>，由()()f x g x =可得出()2110a t at -+-=，分析可知，关于t 的方程()2110a t at -+-=有两个不等的正根，且0a >，根据二次方程根的分布可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）解：因为()()2log 41x f x x =+-，则()()22142f x x x x x g x m m +=+⋅-=+⋅，[]20,log 3x ∈，设2x t =，则[]1,3t ∈，则()2g x t mt =+，则二次函数2y t mt =+的对称轴方程为2m t =-.当12m -≤时，即当2m ≥-时，函数2y t mt =+在[]1,3上单调递增，故当1t =时，min 1y m =+；当32m -≥时，即当6m ≤-时，函数2y t mt =+在[]1,3上单调递减，故当3t =时，min 93y m =+；当132m <-<时，即当62m -<<-时，2y t mt =+在1,2m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,32m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故当2m t =-时，2min 4m y =-.综上：()2min 39,6,6241,2m m m g x m m m +≤-⎧⎪⎪=--<<-⎨⎪+≥-⎪⎩.（2）解：()()2241log 41log 2x x x f x x +=+-=，因为函数()f x 与()h x 图象有2个公共点，由()()f x h x =可得4112222x xx x x a a +⋅+==+且20x a a ⋅+>，由()210x a +>，可得0a >，设20x t =>，则1at a t t+=+，即()2110a t at -+-=，又因为函数2x t =在R 上单调递增，所以方程()()21100a t at a -+-=>有两个不等的正根，所以，()210Δ410010101a a a a a a a -≠⎧⎪=+->⎪⎪>⎪⎨->⎪-⎪⎪->⎪-⎩，解得2221a -<<，因此，实数a 的取值范围为()222,1-.。
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山西省运城市2021-2022高一数学上学期期末调研测试试题2021.1 本试题满分150分，考试时间120分钟。
答案一律写在答题卡上。
注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M＝{x∈Z|12<2x<8}，N＝{x|－1≤x≤4}，则M∩N中元素个数为A.1B.3C.6.D.无数个2.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品的销售情况，需要从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。
则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是A.分层抽样，系统抽样B.分层抽样，简单随机抽样C.系统抽样，分层抽样D.简单随机抽样，分层抽样3.设函数f(x)＝lg(1－x)，则函数f[f(x)]的定义域为A.(－9，＋∞)B.(－9，1)C.[－9，＋∞)D.[－9，1)4.已知某运动员每次投篮命中的概率为80%。
现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4，5，6，7，8表示命中，9，0表示未命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。
经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，该运动员三次投篮均命中的概率为A.0.40B.0.45.C.0.50D.0.555.函数321xyx=-的图象大致是6.已知函数f(x)＝log2x－61x+－2。
山西省运城市2023-2024学年高一上册期末数学学情检测模拟试卷合集2套(含答案)
山西省运城市2023-2024学年高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．若集合{}0A x x =>，{}23B x x =-<<，则A B ⋃=（）A ．{}2x x >-B ．{}20x x -<<C ．{}03x x <<D ．{}0x x >【正确答案】A【分析】根据集合的并运算即可求解.【详解】{}{}{}0232A B x x x x x x ⋃=>⋃-<<=>-，故选：A2．如图是用斜二测画法画出的AOB ∠的直观图A O B '''∠，则AOB ∠是（）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．无法判断【正确答案】C【分析】根据斜二测画法规则，把直观图A O B '''∠还原为平面图，即可判断AOB ∠是钝角．【详解】解：根据斜二测画法规则知，把直观图A O B '''∠还原为平面图，如图所示：所以AOB ∠是钝角．故选：C ．3．下列说法正确的是（）A ．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台B ．棱柱的侧面可以是三角形C ．直棱柱的底面是正多边形D ．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【正确答案】D【分析】根据各类简单几何体结构特征作出判断即可.【详解】A.两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，A 错误；B.棱柱的侧面是平行四边形，B 错误；C.侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱，所以底面不一定是正多边形，比如直四棱柱底面可以是长方形，C 错误；D.正棱锥定义：正棱锥是指底面是正多边形，且从顶点到底面的垂线足是这个正多边形的中心的棱锥，因此正棱锥侧棱都相等，D 正确.故选：D4．函数lg(1)y x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C由对数函数lg y x =的图象向左平移一个单位可得结果.【详解】因为lg y x =过点()1,0，单调递增，将其向左平移一个单位可得lg(1)y x =+过点()0,0，单调递增，故选：C.5．下列条件中,能判断两个平面平行的是A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面【正确答案】D【详解】设,,//,//;l a a l a αβαβ⋂=⊂则所以A 错误；,////,//,//,b a b l a b αββ⊂则所以B 错误；α内有无数条与l 平行的平行直线，则这无数条直线平行;β所以C 错误；D 正确．是线面平行的概念．故选D6．若直线220ax y -+=与直线210x y ++=垂直，则垂足的坐标为（）A ．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】根据直线垂直关系可得1a =，联立两直线方程即可求解交点坐标.【详解】由于直线220ax y -+=与直线210x y ++=垂直，所以220a -=，解得1a =，联立220210x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得4535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故垂直坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：B7．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足5lg L V =+.已知某同学视力的小数记录法的数据为0.25，则其视力的五分记录法的数据约为（）()lg20.3≈A ．4.4B ．4.7C ．4.9D ．5.2【正确答案】A【分析】根据表达式5lg L V =+，代入0.25V =,根据对数运算即可求解【详解】根据表达式5lg L V =+，代入0.25V =，解得5lg 0.255lg 25232lg 552lg 2520.3 4.4L =+=+-=+=-≈-⨯=．故选：A8．设0.13a =，0.1log 2b =， 3.140.1c =，则（）A ．c a b>>B ．b a c>>C ．a c b >>D ．a b c>>【正确答案】C【分析】根据指数函数与对数函数的性质即可判断.【详解】因为0.10.1log 2log 10b =<=，0.10331a =>=，3.1400.1100.1c <<==，所以a c b >>，故选.C9．已知函数()328x f x x =+-的零点()01x m m ∈-，，则整数m 的值为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【正确答案】D【分析】利用函数零点的存在性定理分析求解即可．【详解】函数()328x f x x =+-，因为()121850f =+-=-<，()248840f =+-=>，又函数()f x 在R 上为单调递增函数，所以存在唯一的零点()012x ∈，，又零点()01,x m m ∈-，所以2m =．故选：D ．10．某几何体的主视图和左视图如图所示，则它的俯视图可能是（）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③【正确答案】D【分析】根据三视图判断即可.【详解】俯视图为①时，几何体为圆锥，满足要求；俯视图为②时，几何体为正四棱锥满足要求；俯视图为③时，几何体如下图，平面PAC ⊥平面ABC ，且点P 在底面的投影为AC 中点，AB BC =，AB BC ⊥，此时主视图和左视图满足要求；当俯视图为④时，几何体为四棱锥，但是主视图和左视图不是等腰三角形，不符合要求.故选：D.11．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数[]2,1,2y x x =∈与函数[]2,2,1y x x =∈--即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．3y x =C ．2log y x=D ．2log y x=【正确答案】D【分析】根据题意，只有在定义域内有不单调的函数才可能构造“同值函数”，即可求解.【详解】对于A,函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故A 错误；对于B ，函数3y x =在定义域上单调递增，所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故B 错误；对于C ，函数2log y x =在定义域上单调递增，所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故C 错误；对于D ，当定义域分别为[]1,1,1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，值域都为[]0,1，故D 正确.故选:D.12．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm ）.24h 降雨量的等级划分如下：等级24h 降雨量（精确到0.1）…………小雨0.1～9.9中雨10.0～24.9大雨25.0～49.9暴雨50.0～99.9…………在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm ，高为300mm 的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h 的雨水高度是150mm （如图所示），则这24h 降雨量的等级是（）A ．暴雨B ．大雨C ．中雨D ．小雨【正确答案】C【分析】首先求出水面的半径，然后求出容器中水的体积，从而可得出降雨量.【详解】因为圆锥的底面直径为200mm ，高为300mm ，雨水高度是150mm ，所以水面的半径为50mm r =，所以水的体积为21501501250003ππ⨯⨯⨯=，所以24h 降雨量的等级是212500012.5mm 100ππ=.故选：C.二、填空题13．函数()f x =______.【正确答案】()0,1【分析】根据对数的真数大于零和二次根式的被开方数非负，及分式的分母不为零列不等式组可求得结果.【详解】由题意得010x x >⎧⎨->⎩，得01x <<，所以函数的定义域为()0,1，故()0,114．已知直线1l ：3420x y ++=，2l ：3450x y ++=，则1l 与2l 之间的距离为______.【正确答案】35##0.6【分析】由两平行线间的距离公式即可求得.【详解】由题意可知1l 与2l平行，由平行间的距离公式可得35d =.故3515．已知直线30x y ++=和kx y k 0--=相交，且交点在第三象限，则实数k 的取值范围为______.【正确答案】()0,3【分析】根据两直线的交点解得交点坐标，再利用第三象限的符合特点解分式不等式即可.【详解】由已知直线30x y ++=和kx y k 0--=相交，所以1k ≠-联立方程30x y kx y k ++=⎧⎨--=⎩得4131k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以401301kk k k -⎧<⎪⎪+⎨-⎪<⎪+⎩解得03k <<故()0,316．已知函数()2log ,423,4x x f x ax x ≥⎧=⎨-<⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为__________．【正确答案】50,8⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据()f x 的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 在R 上递增，所以220243log 4a a >⎧⎨⨯-≤⎩，解得508a <≤，所以a 的取值范围是50,8⎛⎤⎝⎦.故50,8⎛⎤⎥⎝⎦三、解答题17．已知指数函数()f x 的图像过点()2,4.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求不等式()16f x >的解集.【正确答案】(1)()2xf x =(2)()4,+∞【分析】（1）根据待定系数法即可求解，（2）根据指数函数的单调性即可求解.【详解】（1）设指数函数()x f x a =（0a >且1a ≠），∵函数()f x 的图像过点()2,4，∴24a =，解得2a =或2a =-（舍）.∴()2x f x =.（2）由（Ⅰ）知不等式()16f x >等价于216x >.∴422x >，∴4x >.∴不等式()16f x >的解集为()4,+∞.18．已知三角形三个顶点分别是()()()2,3,1,2,1,4A B C ---.求：(1)经过点A ，倾斜角为60 的直线方程；(2)BC 边上的中线所在的直线方程.【正确答案】30y ---=(2)10x y ++=【分析】（1）根据倾斜角得到斜率，然后结合直线的点斜式方程，即可得到结果.（2）先得到BC 边中点的坐标，然后根据中线过点A ，结合直线的两点式即可得到结果.【详解】（1） 倾斜角为60 的直线的斜率tan60k = ())32y x ∴--=-.∴30y ---=.（2）()()1,2,1,4B C -- ，∴线段BC 的中点D 的坐标为()1124,0,122--⎛⎫=- ⎪⎝⎭.BC ∴边上的中线过点()()2,3,0,1A D --.∴所求直线方程为()()321302y x ---=----，即10x y ++=.19．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别为棱1DD ，1CC 的中点.(1)求证：1FD 平面EAC ；(2)求三棱锥F EAC -的体积.【正确答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）首先根据题意得到四边形1CED F 为平行四边形，从而得到1CE FD ∥，再根据线面平行的判定即可证明.（2）根据F EAC A EFC V V -==求解即可.【详解】（1）因为点,E F 分别为棱11,DD CC 的中点，且11DD CC ∥，所以1ED CF ∥，且1ED CF =，即四边形1CED F 为平行四边形.所以1CE FD ∥.因为1FD ⊄平面EAC ，CE ⊂平面EAC ，1CE FD ∥，所以1FD 平面EAC .（2）因为AD 是三棱锥A EFC -的底面EFC 上的高，又三角形EFC 的面积为12112⨯⨯=，121233F EAC A EFC V V --∴==⨯⨯=.20．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，点E 是PB 的中点.求证：(1)BC ⊥平面PAB ；(2)平面AEC ⊥平面PBC .【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线线垂直即可求证线面垂直，（2）根据线面垂直即可求证面面垂直.【详解】（1）∵底面ABCD 为矩形，∴BC AB ⊥.∵PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ∴PA BC ⊥.又∵AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB .（2）∵AE ⊂平面PAB ，BC ⊥平面PAB ，∴BC AE ⊥.∵PA AB =，E 是PB 的中点，∴AE PB ⊥.又∵PB BC B ⋂=，,PB BC ⊂平面PBC ，∴⊥AE 平面PBC .又∵AE ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PBC .21．已知函数2()21f x x ax =-++.(1)若函数()f x 在区间()0,1上具有单调性，求实数a 的取值范围；(2)若[]1,4x ∈，求函数()f x 的最小值()g a .【正确答案】(1)(][),01,-∞+∞ (2)52,2()5815,2a a g a a a ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩【分析】（1）由二次函数的对称轴与给定区间的关系分类讨论可得；（2）根据二次函数的对称轴与给定区间的关系分类讨论可得．【详解】（1）二次函数2()21f x x ax =-++图像的对称轴为直线x a =，又∵()f x 在区间()0,1上具有单调性，∴0a ≤或1a ≥.∴实数a 的取值范围为(][),01,-∞+∞ .（2）由（1）易知函数()f x 在(),a -∞上单调递增，在(),a +∞上单调递减，当14522a +==时，()(1)2g a f a ==；当52a >时，()(1)2g a f a ==；当52a <时，()(4)815g a f a ==-.∴52,2()5815,2a a g a a a ⎧≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩.22．渔场中鱼群的最大养殖量为()0m m >，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x 小于m ，以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y 和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为()0k k >.(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群年增长量达到最大值时，求k 的取值范围.【正确答案】(1)1x y kx m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,x m ∈；(2)max 4kmy =(3)()0,2.【分析】（1）根据题意求出空闲率，即可得到y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域.（2）利用配方法可得2124x k m km y kx x m m ⎛⎫⎛⎫=-=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，易分析出羊群年增量的最大值.（3）由题意得0x y m <+<，即024m km m <+<，结合0k >，进而即可得到结果.【详解】（1）由题意，空闲率为1m x x m m-=-，∴1x y kx m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,x m ∈；（2）∵2124x k m km y kx x m m ⎛⎫⎛⎫=-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵()0,,0x m k ∈>，得函数在(0,)2mx ∈为增函数，在(,)2m x m ∈为减函数，∴当2m x =时，max 4kmy =.（3）由题意有0x y m <+<，即024m km m <+<，∵0m >，∴2<<2k -，又0k >，∴k 的取值范围为()0,2.山西省运城市2023-2024学年高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}N |3B x x =∈<，那么集合A B ⋃等于（）A ．[1,3)-B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,1,2,3-【正确答案】C【分析】用列举法表示出集合B ，进而可得A B ⋃.【详解】因为{}{}N 30,1,2B x x =∈<=，又{}1,0,1,2A =-，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-.故选：C.2．使函数()sin(2)cos(2)f x x x θθ=++为奇函数，且在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（）A ．3π-B ．6π-C ．23πD ．56π【正确答案】C【分析】首先通过化简可得()2sin(23f x x πθ=++，又()f x 为奇函数，所以,3k k θπ=π-∈Z ，当23πθ=时()2sin 2f x x =-符合题意，即可得解.【详解】由()sin(2)cos(2)2sin(2)3f x x x x πθθθ=++=++为奇函数，所以,,33k k k Z ππθπθπ+==-∈，故A ，C 符合范围，当3πθ=-时，()2sin 2f x x =，不符题意，当23πθ=时，()2sin 2f x x =-，在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为减函数，符合题意，故选：C3．设1x >，则11x x +-的最小值是（）A ．2B ．3C ．D ．4【正确答案】B由基本不等式求得最小值．【详解】∵1x >，得10x ->，∴111131x x -++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立．故选：B.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．已知221304a c +-=，则2c a +的最大值是()A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】化简已知条件，利用三角代换，求解所求表达式的最值即可．【详解】解：221304a c +-=，可得22111312a c +=，令a α=，c α=．α∈R ，可得2)4c a πααα+=+=+则2c a +的最大值是：故选：B ．5．某人去上班，先跑步，后步行.如果y 表示该人离单位的距离，x 表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（）.A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据随时间的推移该人所走的距离的大小的变化快慢，从而即可获得问题的解答，即先利用0x =时的函数值排除两项，再利用曲线的斜率反映行进速度的特点选出正确结果【详解】解：由题意可知：0x =时所走的路程为0，离单位的距离为最大值，排除A 、C ，随着时间的增加，先跑步，开始时y 随x 的变化快，后步行，则y 随x 的变化慢，所以适合的图象为D ；故选：D6．函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞，4)上递减，则a 的取值范围是（）A ．[3,)-+∞B ．(,3]-∞-C ．(,5)-∞D ．[3,)+∞【正确答案】B【分析】利用二次函数的性质，比较对称轴和区间端点的大小，列不等式可得a 的取值范围．【详解】函数f (x )的对称轴是1x a =-，开口向上，则14a -≥，解得3a ≤-故选：B7．已知函数()()πsin R,04f x x x ωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（）A ．π2B ．3π8C ．π4D ．π8【正确答案】D【分析】利用最小正周期公式求出ω，再利用平移变换得到平移后的函数结合正弦函数图像和性质求解即可.【详解】因为()f x 最小正周期为π，所以2ππω=，解得2ω=，所以()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；将()y f x =图像向左平移ϕ个单位长度得()πsin 224f x x ϕϕ⎛⎫+=++ ⎝⎭，因为()f x ϕ+图像关于y 轴对称，所以()ππ2πZ 42k k ϕ+=+∈，解得()82k k Z ππϕ=+∈，则当0k =时，π8ϕ=，其他选项不满足题意，故选：D.8．已知函数22,01()1,0xx x f x x x⎧≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪⎩，若函数()()g x f x t =-有三个不同的零点()123123,,x x x x x x <<，则123111x x x -++的取值范围是（）A ．()3,+∞B ．()2,+¥C．)⎡+∞⎣D．()+∞【正确答案】A【分析】分析分段函数的性质，画出()f x 草图，易知()()g x f x t =-有三个不同的零点()123123,,x x x x x x <<，有01t <<，进而可得1231112t x x x t-++=+，即可求范围.【详解】由题设，当0x =时(0)0f =，当0x >时2()11f x x x=≤+，当且仅当1x =时等号成立，故()(0,1]f x ∈，且(0,1)上递增，(1,)+∞上递减，当0x <时()f x 单调递增，且()(0,)f x ∈+∞，综上可得，如下函数图象：∴要使()()g x f x t =-有三个不同的零点()123123,,x x x x x x <<，则01t <<，由图知：0x <有11t x -=，当0x >时令221x t x =+，则220tx x t -+=，有232x x t +=，231x x =，∴1231112t x x x t -++=+且01t <<，而2y t t=+在01t <<上递减，∴123111(3,)x x x -++∈+∞.故选：A关键点点睛：分析分段函数的性质并画出草图，将题设的零点问题转化为()f x 与y t =的交点问题，应用数形结合的思想，求出123111x x x -++关于t 的解析式，由单调性求范围.二、多选题9．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割(),M N ，下列选项中，可能成立的是（）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素【正确答案】ABD【分析】举特例根据定义分析判断，进而可得到结果．【详解】令{|10,}M x x x Q =<∈，{|10,}N x x x Q =≥∈，显然集合M 中没有最大元素，集合N 中有一个最小元素，即选项A 可能；令{|}M x x x Q =∈，{|}N x x x Q =≥∈，显然集合M 中没有最大元素，集合N 中也没有最小元素，即选项B 可能；假设答案C 可能，即集合M 、N 中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；令{|10,}M x x x Q =≤∈，{}10,N x x x Q =>∈，显然集合M 中有一个最大元素，集合N 中没有最小元素，即选项D 可能.故选：ABD ．10．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()|cos |sin |f x x x =，则下列结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小正周期为2πC ．()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D ．()f x 的最小值为1【正确答案】AD【分析】由奇函数的定义即可判断A ；容易验证π是函数的周期，进而判断B ；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，用辅助角公式将函数()f x 化简，即可判断C ；先考虑[]0,x π∈时，再分0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦和,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦两种情况，求出函数的最小值，再根据函数的周期，即可求出函数在R 上的最小值.【详解】因为x ∈R ,()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，A 正确；()f x 显然是周期函数，因为()|cos()||sin()||cos |sin |()f x x x x x f x πππ+=++==，所以B 错误；因为当0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()|cos ||sin |cos sin 2sin 6f x x x x x x π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，C 错误；因为2sin ,0,,62()2sin ,,,62x x f x x x πππππ⎧⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦=⎨⎛⎫⎛⎤⎪-∈ ⎪ ⎥⎪⎝⎭⎝⎦⎩当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设6t x π=+，则2,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin ,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴min ()1f x =，同理：当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，min ()1f x =，由B 中解答知，π是()f x 的周期，所以()f x 的最小值为1，D 正确.故选：AD.11．已知函数()(1),()()()x f x a a g x f x f x =>=--，若12x x ≠，则（）A ．()()()1212f x f x f x x =+B ．()()()1212f x f x f x x +=C ．()()()()11221221x g x x g x x g x x g x +>+D ．()()121222g x g x x x g ++⎛⎫>⎪⎝⎭【正确答案】AC【分析】根据指数运算法则判断A ，B 选项，利用作差法结合函数的单调性与基本不等式可判断选项C ，D.【详解】A 选项：()()()12121212x x x xf x f x a a a f x x +===+成立，A 选项正确；B 选项：()()1212x x f x f x a a +=+，()121212x x x xf x x a a a =≠+，B 选项错误；C 选项：由()(1)x f x a a =>，故()()()x x g x f x f x a a -=--=-在R 上单调递增，假设12x x >，则()()12g x g x >，故()()()()()()()()11221221112212x g x x g x x g x x g x x g x g x x g x g x +-+=---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()12120x x g x g x =-->⎡⎤⎣⎦，即()()()()11221221x g x x g x x g x x g x +>+，C 选项正确；D 选项：()()()121211211212221222x x x x x x x x g x g x x x g aaa a a a++---++⎛⎫-=--+- ⎪⎝⎭12121212221222x x x x x x x x a a a a a a ++---⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-----⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1212211212122222221222x x x x x x x x x x x x a a a a aa +--+---⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-----⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦121212212222122x x x x x x x x a a a a ++---⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又12x x ≠，由基本不等式可知122122220x x x x aa----<-，且当120x x +>时1212220x x x x aa++-->，当120x x +<时1212220x x x x aa ++--<，故当120x x +>时，原式0<，即()()121222g x g x x x g ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，当120x x +<时，原式0>，即()()121222g x g x x x g ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，故D 选项错误；故选：AC.12．已知正实数x ，y ，z 满足425100==x y z ，则下列正确的选项有（）A ．xy z =B ．111x y z+=C ．x y z +=D ．xz yz xy+=【正确答案】BD【分析】设4251001x y z m ==>=，把指数式改写为对数式，利用对数的运算法则判断．【详解】设4251001x y z m ==>=，则4log x m =，25log y m =，100log z m =，所以111log 4log 25log 100m m m x y z+=+==．所以xy xz yz =+．故选：BD ．三、填空题13．设函数()f x m =a ､()b a b <，使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，则实数m 的取值范围是___________.【正确答案】13(,34]--【分析】由题设，将问题转化为y x m =-与y =在3x ≥-上有两个交点，进而构造22()(21)3g x x m x m =-++-，研究其在[3,)-+∞上有两个零点的情况下m 的取值范围即可.【详解】由题设，()f x 为增函数且定义域为[3,)-+∞，要使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，∴()()3f a m a f b m b b a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪>≥-⎪⎩，易知：a m b m =--，∴y x m =-与y =3x ≥-上有两个交点，即22(21)30x m x m -++-=在[3,)-+∞上有两个根且0x m -≥恒成立即3m ≤-，∴对于22()(21)3g x x m x m =-++-，有()()()222(21)43021{32363210m m m g m m ∆=+-->+>--≥+++≥，可得134m >-，∴综上，1334m -<≤-.故13(,34]--关键点点睛：将问题转化为两个函数在区间内有两个交点，进而构造二次函数研究其区间内有两个零点求参数范围.14．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos θθ-的值是______．【正确答案】725-【分析】由题可得每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，可得1cos sin 5θθ-=，由此可求出7cos sin 5θθ+=，即可求出22sin cos θθ-.【详解】 大正方形的面积是1，即大正方形的边长为1，则由题可得每个直角三角形的长直角边为cos θ，短直角边为sin θ，所以小正方形的边长为cos sin θθ-，小正方形的面积是125，()21cos sin 25θθ∴-=，1cos sin 5θθ∴-=，()21cos sin 12sin cos 25θθθθ-=-= ，则12sin cos 25θθ=，()249cos sin 12sin cos 25θθθθ∴+=+=，则7cos sin 5θθ+=，()()22177sin cos sin cos sin cos 5525θθθθθθ∴-=-+=-⨯=-.故答案为.725-关键点睛：本题考查同角三角函数的关系，解题的关键是根据图形得出1cos sin 5θθ-=，从而根据三角函数关系求出7cos sin 5θθ+=.15．已知函数()24222x a x x f x x x -⎧+≥⎪=⎨⎪<⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()21f x f x =，则实数a 的取值范围是______．【正确答案】04a ≤<【分析】由题意可得函数()f x 在[2，＋∞）时的值域包含于函数()f x 在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数()f x 在x ∈[2，＋∞）时的值域，当x ∈（−∞，2）时，对a 分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a 的取值范围．【详解】解：设函数()24,2x g x x x+=≥的值域为A ，函数()2,2x ah x x -=<的值域为B ，因为对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()21f x f x =，则A B ⊆，且B 中若有元素与A 中元素对应，则只有一个.当[)12,x ∈+∞时，()244x g x x x x+==+，因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，所以[)4,A =+∞，当()2,2x ∈-∞时，()2,2x ah x x -=<①当2a ≥时，()2,2a xh x x -=<，此时()22,a B -=+∞，224a -∴<，解得24a ≤<，②当2a <时，()2,2,2a x x a x ah x a x --⎧<=⎨≤<⎩，此时()h x 在(),a -∞上是减函数，取值范围是()1,+∞，()h x 在[),2a 上是增函数，取值范围是)21,2a-⎡⎣，224a -∴≤，解得02a ≤<，综合得04a ≤<.故04a ≤<关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.16．已知方程250x x a --=的解集为{}12,x x ，且123x x -=，则=a ______.【正确答案】-4【分析】根据韦达定理列出等式即可，注意考虑有解的条件.【详解】方程250x x a --=的解集为{}12,x x ，所以12125,x x x x a +==-，且2540a ∆=+>，解得254a >-12x x -=3，解得4a =-，故-4四、解答题17．设集合{}21,1,33A a a a =--+-，{}2210B x x x =-+=，(){}210C x x a x a =-++=.（1）讨论集合B 与C 的关系；（2）若a<0，且C A ⊆，求实数a 的值.【正确答案】（1）当1a =时，B C =；当1a ≠时，B 是C 的真子集；（2）3a =-或12a =-.【分析】（1）化简集合{}1,{|(1)()0}B C x x x a ==--=，分类讨论，利用子集的定义判断即可；（2）由C A ⊆，分两种情况讨论，分别列方程求解即可.【详解】（1）{}1,{|(1)()0}B C x x x a ==--=，当1a =时，{}1B C ==；当1a ≠时，{}1,,C a B =是C 的真子集.（2）当a<0时，因为C A ⊆，所以{}1,a A ⊆.当233a a a +-=时，解得1a =(舍去)或3a =-，此时{}1,3,2A =-，符合题意.当1a a --=时，解得12a =-，此时1171,,24A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭符合题意.综上，3a =-或12a =-.18．我们知道如果点(),P x y 是角α终边OP 上任意一点()0OP r =>，则根据三角比的定义：sin y r α=，cos xrα=，因此点P 的坐标也可以表示为()cos ,sin P r r αα．(1)将OP 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OP '，求点P '的坐标(),x y ''．（即分别把x '、y '用x 、y 表示出来）(2)将OP 绕坐标原点O 逆时针旋转ϕ角度至OP '，求点P '的坐标(),x y ''．（即分别把x '、y '用x 、y 、ϕ表示出来）．(3)把函数()10y x x =>的图象绕坐标原点逆时针旋转π4后，可以得到函数______的图象．（写出解析式和定义域）【正确答案】(1)122x x y '=-，122y x y '=+(2)cos sin x x y ϕϕ'=-；cos sin y y x ϕϕ'=+(3))y x ∈R 【分析】（1）结合三角恒等变换求得正确答案.（2）结合三角恒等变换求得正确答案.（3）由（2）的结论，利用赋值法求得正确答案.【详解】（1）OP OP r '==.π11cos cos sin 322x r r x x ααα⎛⎫''=+=-⇒=- ⎪⎝⎭；同理，π1sin 32y r y α⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭．（2）()cos cos cos sin sin x r r r αϕαϕαϕ'=+=-，故cos sin x x y ϕϕ'=-；同理，()sin cos sin y r y x αϕϕϕ'=+=+．（3）在（2）中令π4ϕ=得ππcos sin 44x x y '=-，可得)1x x y x x ⎫'=-=-⎪⎭．同理，1y x x ⎫'=+⎪⎭，两式平方相减得222y x ''-=，由于0'>y ，所以，函数为)y x ∈R ．19．已知0x >，0y >，24x y +=.(1)求12x y +的最小值并说明取得最小值时x ，y 满足的条件；(2)M ∈R ，234x x M x++≤恒成立，求M 的取值范围.【正确答案】(1)最小值94，当x ，y 满足43x y ==时取得最小值.(2)实数M 的取值范围是{}|7M M ≤.【分析】（1）将12x y +化为()12421x y x y ⎛⎫⨯+ ⎝+⎪⎭，展开后由基本不等式进行求解；（2）将234x x x++化为43x x ++，使用基本不等式求出最小值即可求解【详解】（1）∵24x y +=，∴()1211212221444x y x y x y y x x y ⎛⎫⎛⎫+=⨯+=⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎝+⎭⎭，∵0x >，0y >，∴20x y >，20yx>，∴由基本不等式，有224x y y x +≥==，当且仅当22x y y x =，即43x y ==时，等号成立，∴()121221914144444x y x y y x ⎛⎫+=⨯+++≥++= ⎪⎝⎭，即12x y +的最小值为94，当且仅当43x y ==时，取得最小值.（2）由已知，23443x x x x x++=++，当0x >时，由基本不等式，有44x x +≥==，当且仅当4x x=，即2x =时等号成立，∴23443437x x x x x++=++≥+=，即已知0x >，当且仅当2x =时，234x x x ++取最小值，i 2m n734x x x ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，又∵234x x M x++≤恒成立，∴min2734M x x x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭++，∴实数M 的取值范围是{}|7M M ≤.20．1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）满足关系式15y at =-（0a >，a 为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y （单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式21,45,1 4.t y t t ⎧<<⎪=⎨-≤≤⎪⎩现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．(1)若1a =，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；(2)若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a 的取值范围．【正确答案】(1)当2t =时血液中药物的浓度最高，最大值为6(2)504a <≤【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；（2）讨论01t <<和14t ≤≤两种情况，【详解】（1）当1a =时，药物在白鼠血液内的浓度y 与时间t的关系为125,01,410,1 4.t t y y y t t t ⎧-+<<⎪=+=⎨⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩①当01t <<时，251)66y t =-++=-+<．②当14t ≤≤时，因为44t t+≥（当且仅当2t =时，等号成立），所以max 1046y =-=．故当2t =时血液中药物的浓度最高，最大值为6．（2）由题意得5,01,410,1 4.at t y at t t ⎧-++<<⎪=⎨⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩①当01t <<时，1541at at a t-+≥⇒≤⇒≤，设u =，则()22211a u u u ≤+=+-，()1,u ∈+∞，则()()2113,u +-∈+∞，故3a ≤；②当14t ≤≤时，44410466at at at t t t ⎛⎫-+≥⇒+≤⇒≤- ⎪⎝⎭，由14t ≤≤，得246a t t≤-+，令1v t =，则223946444a v v v ⎛⎫≤-+=--+ ⎪⎝⎭，1,14v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则239594,4444v ⎛⎫⎡⎤--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故54a ≤．综上，504a <≤．21．如果函数()f x 满足在集合*N 上的值域仍是集合*N ，则把函数()f x 称为H 函数．例如：()f x x =就是H 函数．（1）下列函数：①2y x =，②21y x =-，③y =中，哪些是H 函数（只需写出判断结果）？（2）判断函数()[ln ]1g x x =+是否为H 函数，并证明你的结论．（3）证明：对于任意实数a ，b ，函数()xf x b a ⎡⎤=⋅⎣⎦都不是H 函数．（注：“[]x ”表示不超过x 的最大整数）【正确答案】（1）只有y =是H 函数；（2）函数()[ln ]1g x x =+是H 函数；证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）根据H 函数的定义可判断只有y =是H 函数．（2）任意*x ∈N ，*[]1lnx N +∈．设[]1lnx k +=，*k ∈N ，由[]1lnx k +=，可得11k k e x e -<．一定存在*x ∈N ，满足1k k e x e -<，由此能证明函数()[]1g x lnx =+是H 函数．（3）当0b 时，有f （2）2[]0ba =，函数()[]x f x ba =都不是H 函数；当0b >时，若0a ，有f （1）[]0ba =，函数()[]x f x ba =都不是H 函数．若01a <，由指数函数性质得x ba ba ，函数()[]x f x ba =都不是H 函数．若1a >，令12m m ba ba +->，则一定存在正整数k ，使得12k k ba ba +->，推导出函数()[]x f x ba =都不是H 函数．由此得到对于任意实数a ，b ，函数()[]x f x ba =都不是H 函数．【详解】（1）解：只有y =是H 函数（2）解：函数()[ln ]1g x x =+是H 函数．证明如下：显然，*x ∀∈N ，*()[ln ]1g x x =+∈N ．不妨设[ln ]1x k +=，*k ∈N ，由[ln ]1x k +=，可得1ln k x k -<，即111e e e k k k x --<，因为*k ∀∈N ，恒有11e e e (e 1)1k k k ---=->成立，所以一定存在*x ∈N ，满足1e e k k x -<，所以设*k ∀∈N ，总存在*x ∈N ，满足[ln ]1x k +=，所以函数()[ln ]1g x x =+是H 函数．（3）证明：当0b 时，有2(2)0f b a ⎡⎤=⋅⎣⎦，所以函数()xf x b a ⎡⎤=⋅⎣⎦都不是H 函数．当0b >时，①若0a ，有(1)[]0f b a =⋅，所以函数()x f x b a ⎡⎤=⋅⎣⎦都不是H 函数．②若01a <，得x b a b a ⋅⋅，所以*x ∀∈N ，都有 ()[]xf x b a b a ⎡⎤=⋅⋅⎣⎦，所以函数()xf x b a ⎡⎤=⋅⎣⎦都不是H 函数．③若1a >，令12m m b a b a +⋅-⋅>，则2log (1)am b a >⋅-，所以一定存在正整数k ，使得12k k b a b a +⋅-⋅>，所以1n ∃，*2n ∈N ，使得112k k b a n n b a +⋅<<<⋅，所以12 ()(1)f k n n f k <<+．又因为当x k <时，x k b a b a ⋅<⋅，所以()()f x f k ；当1x k >+时，1x k b a b a +⋅>⋅，所以()(1)f x f k +，所以*x ∀∈N ，都有{}*1()|n f x x ∉∈N ，所以函数()x f x b a ⎡⎤=⋅⎣⎦都不是H 函数．综上所述，对于任意实数a ，b ，函数()xf x b a ⎡⎤=⋅⎣⎦都不是H 函数．本题考查H 函数的判断与证明，考查函数性质、新定义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．22．已知函数()22tan 1,1,f x x x x θ⎡=+-∈-⎣，其中ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．(1)当π6θ=-时，求函数的最大值和最小值；(2)若函数()f x 在区间⎡-⎣上是单调函数，求θ的取值范围．【正确答案】(1)最小值43-(2)ππππ,,2342⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）求出函数的解析式，根据二次函数的性质即可求解；（2）将()f x 配方求出对称轴为tan x θ=-，解不等式tan 1θ-≤-或tan θ-.【详解】（1）当π6θ=-时，()2241333f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭，对称轴为x =因为x ⎡∈-⎣，所以当x =()f x 取得最小值43-，当=1x -时，()f x 取得最大值()()1111f -=---=43-.（2）()()22tan 1tan f x x θθ=+--是关于x 的二次函数，它的图象的对称轴为直线tan x θ=-．因为()y f x =在区间⎡-⎣上是单调函数，所以tan 1θ-≤-或tan θ-即tan 1θ≥或tan θ≤又ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以θ的取值范围是ππππ,,2342⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.。
山西省运城市高一上学期数学期末测试卷
山西省运城市高一上学期数学期末测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共60分)1. （5分）集合A={x，1}，B={y，1，2}，其中x，y∈{1，2，…，8}且A⊆B，把满足上述条件的一对有序整数（x，y）作为一个点，这样的点的个数是（）A . 8B . 12C . 13D . 182. （5分）一个扇形的弧长与面积的数值都是4，这个扇形的中心角的弧度数为（）A . 4B . 3C . 2D . 13. （5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，4，5}，B＝{2，3，4}，则＝A . {4}，B . U＝{1，5}，C . U＝{1，5，6}，D . U＝{1，4，5，6}4. （5分） (2019高一上·大名月考) 函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .5. （5分） (2016高一上·武清期中) 函数f（x）=x2（x∈R）是（）A . 奇函数B . 偶函数C . 非奇非偶函数D . 奇函数同时也是偶函数6. （5分）(2017·东北三省模拟) 若方程在上有两个不相等的实数解x1 ，x2 ，则x1+x2=（）A .B .C .D .7. （5分） (2019高一上·宾阳月考) 设，则（）A . 3B . 1C . 0D .8. （5分） (2019高三上·瓦房店月考) 已知，且，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .9. （5分）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（）A .B .C .D .10. （5分）下列函数的图象关于y轴对称的共有（）个①y=②y=x2③y=2|x|④y=|lnx|A . 0B . 1C . 2D . 311. （5分）若关于x的方程（x﹣1）4+mx﹣m﹣2=0各个实根x1 ，x2…xk（k≤4，k∈N*）所对应的点（xi•），（i=1，2，3…k）均在直线y=x的同侧，则实数m的取值范围是（）A . （﹣1，7）B . （﹣∞，﹣7）U（﹣1，+∞）C . （﹣7，1）D . （﹣∞，1）U（7，+∞）12. （5分）已知为等边三角形，AB=2，设P,Q满足，若，则等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共20分)13. （5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（﹣1）=2，那么f（0）+f（1）=________．14. （5分）已知集合A={x|x2﹣16≤0，x∈R}，B={x||x﹣3|≤a，x∈R}，若B⊆A，则正实数a的取值范围是________15. （5分） sin（﹣）的值是116. （5分）(2020·安阳模拟) 已知向量，，，则 ________.三、解答题 (共6题；共71分)17. （10分）ABC中 D是BC上的点，AD评分BAC，BD=2DC（1）(I)求（2）（II）若=60,求B18. （12分） (2018高一下·吉林期中) 已知．（1）化简；（2）若，且是第二象限角，求的值．19. （15分） (2016高一上·邹平期中) 已知函数f（x）=loga（x+1），函数g（x）=loga（4﹣2x）（a＞0，且a≠1）．（1）求函数y=f（x）﹣g（x）的定义域；（2）求使函数y=f（x）﹣g（x）的值为正数的x的取值范围．20. （12分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．21. （10分） (2016高一下·大连期中) 已知向量=（2，﹣3），=（﹣5，4），=（1﹣λ，3λ+2）．（1）若△ABC为直角三角形，且∠B为直角，求实数λ的值；（2）若点A、B、C能构成三角形，求实数λ应满足的条件．22. （12分） (2019高一上·鸡泽月考) 已知函数（1）求方程f（x）＝3f（2）的解集；（2）讨论函数g（x）＝f（x）－a（a∈R）的零点的个数．参考答案一、单选题 (共12题；共60分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共20分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共71分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2023届山西省运城市数学高一上期末达标检测试题含解析
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
考点：圆锥的侧面展开图
16、①
【解析】由题意知 ，所以①正确；根据奇函数的定义，x是无理数时，显然不成立，故②错误；当x是有理数时，显然不符合周期函数的定义故③错误；函数 在区间 上是既不是增函数也不是减函数，故④错误；综上填①.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
B：设 ，因为 ，所以该函数是奇函数，因此本选项符合题意；
C：设 ，因为 ，所以该函数不是奇函数，因此本选项不符合题意；
D：因为当 时， ，所以该函数的图象不过原点，因此不是奇函数，不符合题意，
故选：B
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】由条件得到函数的对称性，从而得到结果
∴联立方程得 ，解得 ， .
， ， ，即 ，又 ， .
故选：C.
4、D
【解析】由同角三角函数的平方关系计算即可得出结果.
【详解】因为 ， ， , ,
所以 .
故选：D
5、C
【解析】
直接画出函数图像得到答案.
【详解】画出函数图像，如图所示：根据图像知 .
故选： .
【点睛】本题考查了解三角不等式，画出函数图像是解题的关键.
6、D
【解析】先求出两圆的圆心距，再比较圆心距和两个半径的关系得解.
山西省运城中学芮城中学2022-2023学年数学高一上期末统考试题含解析
A. B.
C. D.
12．图1是淘宝网某商户出售某种产品的数量 与收支差额 （销售额-投入的费用）的图象，销售初期商户为亏损状态，为了实现扭亏为盈，实行了某种措施，图2为实行措施后的图象，则关于两个图象的说法正确的是
A.实行的措施可能是减少广告费用B.实行的措施可能是提高商品售价
（1）求 的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
20．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地， 外的地方种草， 的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若 ， ，设 的面积为 ，正方形PQRS的面积为 .
（1）用a， 表示 和 ；
（2）当a为定值， 变化时，求 的最小值，及此时的 值.
故函数 有1个零点.
又 有三个不同的交点则有图像有 最大值为
.故 .
故答案为：(1).1 (2).
【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数与根据零点个数求参数范围的问题,属于中档题.
16、11
【解析】画出函数图像，利用对数运算及二次函数的对称性可得答案.
【详解】函数 的图像如图：
若方程 有四个不同的实根 ，满足 ，
点睛：有关函数图象识别问题，由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题
19、（1） ；（2）4千克，505元.
【解析】（1）用销售额减去成本投入得出利润 的解析式；
山西省运城市夏县中学2023届高一数学第一学期期末综合测试试题含解析
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知 x a x b 是关于 x 的一元二次不等式 nx2 2x 1 0的解集，则 4a 3b 的最小值为（）
A. 5 2 6 2
C. 7 2 3 2
19．已知
f
sin
2π
tan
π
sin
3π 2
sin
π 2
tan
3π
.
（1）若 0, 2π ，且 f 1 ，求 的值.
2
（2）若
f
f
3π 2
1 5
，且
π 2
,
3π 2
，求 tan
的值.
20．已知函数
f
x
a
2 4x 1
为奇函数
（1）求实数 a 的值，判断函数 f x 的单调性并用定义证明；
得到 的图象，且关于 的方程
在 上有解，求 的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.）
1、C
【解析】由题知 a
b
2 n
，
ab
1 n
，n
0 ，则可得
ab 2ab
1，则 4a
3b
15．已知球 O 的内接圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，则球 O 的表面积为________. 16．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三 角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、
2022年山西省运城市中学高一数学理上学期期末试题含解析
2022年山西省运城市中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率（）A．B． C． D． 1参考答案：C2. 巳知全集，集合和的关系的韦恩（Ｖenn）图如右图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A．３个Ｂ．２个Ｃ．１个Ｄ．无穷个参考答案：B3. 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋. 如图：是某港口在某季节每天的时间与水深在直角坐标系中画出的散点图（时间为横坐标,水深为纵坐标）下列函数中，能近似描述这个港口的水深与时间的函数关系的是（）A．B． C． D．参考答案：B4. 已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y3参考答案：D【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），可得x＞y，对于A．B．C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增，即可判断出正误．【解答】解：∵实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），∴x＞y，A．取x=2，y=﹣1，不成立；B．\取x=0，y=﹣1，不成立C．取x=π，y=﹣π，不成立；D．由于y=x3在R上单调递增，因此正确故选：D．5. 若，则( )A．B．C．D．参考答案：C6. （3分）函数y=+lnx2的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：B考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由x2≠0，可知x≠0，满足定义域关于原点对称，再利用函数的奇偶性，最后利用函数的单调性即可得到答案．解答：∵x2≠0，∴x≠0，∴函数y=lnx2的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又f（﹣x）=﹣+ln（﹣x）2，∴函数y=为非奇非偶函数，当x＞0时，函数y=1+2lnx，函数为增函数，当x＜0时，函数y=﹣1+2ln（﹣x）函数为减函数，故选：B点评：本题考查函数的图象，着重考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．7. 若，下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可.【详解】若，，则，错误；，则，错误；，，则，错误；，则等价于，成立，正确.本题正确选项：【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.8. 在右图的正方体中，分别为棱和棱的中点，则异面直线和所成的角为A． B． C． D．参考答案：B略9. 已知直线与直线平行，则实数的值是（）A．-1或2 B．0或1 C．-1 D．2参考答案：C10. 如图所示的韦恩图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，则（）A． B． C． D ．参考答案：D考点：集合的运算.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 关于函数f(x)＝cos＋cos，有下列命题：①y＝f(x)的最大值为；②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；③y＝f(x)在区间上单调递减；其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上) 参考答案：①②③.12. 幂函数图象过点，则其单调增区间为▲ .参考答案：13. 下列四个命题中正确的有①函数y=的定义域是{x|x≠0}；②lg=lg（x﹣2）的解集为{3}；②31﹣x﹣2=0的解集为{x|x=1﹣log32}；④lg（x﹣1）＜1的解集是{x|x＜11}．参考答案：②③【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；对数函数的单调性与特殊点．【专题】综合题．【分析】①函数可化为：y=，根据负数没有平方根得到x的范围，即可判断此命题正确与否；②根据对数函数的单调性，得到=x﹣2，两边平方得到一个一元二次方程，求出方程的解，又x ﹣2大于等于0，经判断得到满足题意的解，即可作出判断；③根据对数函数的定义即可得到方程的解，即可作出判断；④根据对数函数的底数10大于1，得到此对数函数为增函数，然后把“1”变为lg10，根据对数函数的增减性得到关于x的不等式，求出不等式的解集，同时考虑对数函数的定义域得x﹣1大于0，求出解集，求出两解集的交集即可得到原不等式的解集，即可作出判断．【解答】解：①函数中x的范围为：x＞0，所以定义域为{x|x＞0}，此选项错误；②由，得到=x﹣2，两边平方得：x﹣2=x2﹣4x+4，即x2﹣5x+6=0，即（x﹣2）（x﹣3）=0，解得x=2或x=3，经过检验x=2不合题意，舍去，所以x=3，此选项正确；③31﹣x﹣2=0可变为：1﹣x=log32，解得x=1﹣log32，此选项正确；④lg（x﹣1）＜1可变为：lg（x﹣1）＜lg10，由底数10＞1，得到对数函数为增函数，所以得到：0＜x﹣1＜10，解得：1＜x＜10，此选项错误，所以四个命题正确有：②③．故答案为：②③【点评】此题考查了幂函数的定义域，对数函数的定义域及单调性，以及考查了对数函数的定义，是一道综合题．14. 已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则= ▲．参考答案：15. 如图1，四面体P－ABC中，PA＝PB＝13cm，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，则PC＝_ _____。
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山西省运城市高一上学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共8题；共16分)
1. （2分） (2017高一上·新丰月考) 设，则
（）.
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2017高二下·长春期末) 函数的定义域是（）
A . [0， )
B . [0， ]
C . [1， )
D . [1， ]
3. （2分）设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）设,则a,b,c的大小关系是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）
A . y=sin x
B . y=sin(x-)
C . y=sin(x-)
D . y=sin(2x-)
6. （2分） (2017高一上·廊坊期末) 函数f（x）=loga（2x﹣3）﹣4（a＞0且a≠1）的图象恒过定点（）
A . （1，0）
B . （1，﹣4）
C . （2，0）
D . （2，﹣4）
7. （2分） (2015高一下·黑龙江开学考) 已知角α的终边上有一点P（1，3），则的值为（）
A . 1
B .
C . ﹣1
D . ﹣4
8. （2分）如图（1）四边形ABCD为直角梯形，动点P从B点出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，ΔABP面积为f(x).若函数y=f(x)的图象如图（2），则ΔABC的面积为（）
A . 10
B . 16
C . 18
D . 32
二、填空题 (共7题；共17分)
9. （10分）已知f（x）= •cos（π﹣x）．
（1）化简f（x）的表达式；
（2）若f（α）=﹣，求cosα，t anα的值．
10. （1分） (2017高一下·瓦房店期末) 三角形ABC中，，且，则三角形ABC面积最大值为________.
11. （1分） (2016高二上·潮阳期中) 设θ为第二象限角，若tan（θ+ ）= ，则sinθ+cosθ=________．
12. （2分） (2019高一上·温州期中) 定义其中表示中较大的数.对，设，，函数，则（1） ________；（2）若，则实数的取值范围是________.
13. （1分） (2016高一上·宝安期中) 若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（﹣2）=0，则使得f（x）＜0的x的取值范围________．
14. （1分）函数在区间上的最小值是________．
15. （1分）已知函数f（x）=，则f（2016）=________
三、解答题 (共5题；共55分)
16. （10分） (2017高一上·滑县期末) 已知集合A={x|﹣3≤x≤3}，B={x|x＞2}．
（1）求（∁RB）∩A；
（2）设集合M={x|x≤a+6}，且A⊆M，求实数a的取值范围．
17. （15分）如图所示，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化曲线是一个三角函数的图象．
（1）经过多少时间，小球往复振动一次？
（2）求这条曲线的函数解析式；
（3）小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
18. （15分）已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性．（直接写出答案，不用证明）；
（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．19. （10分） (2016高一上·虹口期末) 已知f（x）=|x|（2﹣x）
（1）作出函数f（x）的大致图象，并指出其单调区间；
（2）若函数f（x）=c恰有三个不同的解，试确定实数c的取值范围．
20. （5分） (2018高三上·丰台期末) 已知函数 .
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.
参考答案一、选择题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共7题；共17分)
9-1、
9-2、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共5题；共55分) 16-1、
16-2、
17-1、
17-2、
17-3、
18-1、
18-2、
18-3、
19-1、
19-2、
20、答案：略。