北京交大附中2021届初三10月月考练习数学试卷 ( PDF版)
交大附中2021届初三第一学期10月月考
交大附中2021届初三第一学期10月月考数学试卷一、选择题(本题共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 以下是“回收”、“绿色包装”、“节水”、“低碳”四个标志，其中是中心对称图形的是( )2.抛物线()212y x =-+的顶点坐标为( )A. (-1，2)B. (1，2)C. (1，-2)D. (2，1)3.抛物线223y x x =+-的对称轴是直线( )A. x =-2B. x =2C. x =-1D. x =14.已知2是关于x 的方程2320x a -=的一个解，则a 的值是( )A.3B.4C.5D.65.将抛物线22y x =向下平移3个单位，得到的抛物线为( )A. 223y x =+B. 223y x =-C. ()223y x =+D. ()223y x =-6. 平面直角坐标系内一点P (-2，3)关于原点对称的点的坐标是( )A. (2，-3)B. (2，3)C. (-2，-3)D. (3，-2)7.风力发电机可以在风力作用下发电.如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是( )A.45B.60C.90D.1208.已知一次函数1)0(y kx m k =+≠和二次函数22)0(y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表：当21时，自变量x 的取值范围是( ) A. -1<x <2B. 4<x <5C. x <-1或x >5D. x <-1或x >4二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9.方程2280x x +-=的根是.10.已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是. 11.请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为(0，2)的抛物线的表达式：.12. 若二次函数()213y x =-+的图象上有两点A (0，a )，B (5，b )，则ab .(填“>”，“=”或“<”)13.二次函数26y x x m =-+(m 是常数)的图象与x 轴的一个交点为(-1，0)，则关于x 的一元二次方程260x x m -+=的根是 .14.如右图所示，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3.矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转一定角度得到矩形AB’C’D’.若点B 的对应点B'落在边CD 上，则B’C 的长为 .15.若二次函数22y x x c =++的最小值是7，则它的图象与y 轴的交点坐标是.16.地铁某换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是.三、解答题(本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.01()1π--18.解方程：223x x -=19.已知二次函数的图象经过点(0，1)，且顶点坐标为(2，5)，求此二次函数的解析式.20.关于x 的一元二次方程22220x kx k k -++-=有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，求k 的值及此时方程的根.21.若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：(2)画出此函数图象(不用列表).(3)结合函数图象，当-4<x ≤1时，写出y 的取值范围.22.已知如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，且AB >CE .连接BG 、DE .求证：BG =DE .23.图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m 时，水面宽8m.水面上升3米，水面宽度减少多少?24.如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A (3，3)，B (4，0)，C (0，-1).(1)以点C 为旋转中心，把△ABC 逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'B'C ； (2)在(1)的条件下，①点A 经过的路径'AA 的长度为(结果保留π)；②点B'的坐标为.25.探究函数2y x x =-的图象与性质.小娜根据学习函数的经验，对函数2y x x =-的图象与性质进行了探究. 下面是小娜的探究过程，请补充完整： (1)下表是x 与y 的几组对应值.m=，n=.(2)如图，小娜在平面直角坐标系x O y 中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，解决问题：若方程2x x a -=有三个不同的解，记为123x x x ，，，且123x x x <<.请直接写出123x x x ++的取值范围26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与直线y =x +1交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上.(1)用含有b 的代数式表示c ；(2)①若点B 在第一象限，且AB =②若AB ≥b 的取值范围.27.在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，AE =AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点G ，使得∠EGB =∠EAB ，连接AG .(1)如图1，当EF 与AB 相交时，当∠EAB =60°时， ①请直接写出∠C 度数为；②求证：EG =AG +BG ；(2)如图2，当EF 与CD 相交时，且∠EAB =90°，请你写出线段EG ，AG ，BG 之间的数量关系，并证明你的结论.28.定义：对于平面直角坐标系xOy 上的点P (a ，b )和抛物线2y x ax b =++，我们称P (a ，b )是抛物线2y x ax b =++的相伴点，抛物线2y x ax b =++是点P (a ，b )的相伴抛物线. 如图，已知点A (-2，-2)，B (4，-2)，C (1，4). (1)点A 的相伴抛物线的解析式为 ；过A ，B 两点的抛物线2y x ax b =++的相伴点坐标为；(2)设点P (a ，b )在直线AC 上运动：①点P (a ，b )的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式. ②当点P (a ，b )的相伴抛物线的顶点落在△ABC 内部时，请直接写出a 的取值范围.参考答案一、选择题(本题共16分，每小题2分)9.1224x x ==-， 10.111.22y x =-+(答案不唯一) 12.<13.1217x x =-=， 14.1 15.(0，8) 16.D三、解答题(本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分)17.解：原式2=......5分 18.解：1231x x ==-，19.解：设解析式为()225y a x =-+. ......2分代入x =0，y =1，得1=4a +5......3分 a =-1. ....4分所以解析式为()225y x =--+或241y x x =-++. .....5分20.解：(1)根据题意知()()2224120k k k =--⨯⨯+->， 即-4k +8>0， 解得k <2；(2)∵k <2且k 为正整数， ∴k =1， ∴220x x -=， 解得x =0或x =2.21.解：(1)由表知，抛物线的顶点坐标为(-1，4)，设()214y a x =++，把(0，3)代入得()20143a ++=，解得a=-1，∴抛物线的解析式为()214y x =-++，即223y x x =--+；(2)函数图象如图所示，(3)当-4<x ≤1时，-5<y ≤4.22.证：∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是为正方形，∴DC =BC ，GC =EC ，∠BCD =∠GCE =90°....1分 ∴∠BCG =∠DCE ....2分 在△BCG 和△DCE 中DC BC BCD GCE GC EC =∠=⎪∠⎧⎪⎨⎩= ∴△BCG ≌△DCE .........4分 ∴BG =DE .............5分23.解：建立如图所示坐标系............. 1分则可得过点(4，-4) ...........…2分 设解析式为2y ax =...........…3分 代入(4，-4)得14a =-........…4分所以解析式为214y x =-把y =-1代入，得x =±2..........…5分 则水面的宽减少了8-4=4(米) ..........……6分 24.解：(1)画图正确；.........……3分 (2)①52π；.........……4分 ②(-1,3) .........……5分 25.解：(1)m =1，n =0；........……2分 (2)如图：.........……4分(3)12343x x x <++<....6分 26.解：(1)由题意直线y =x +1与x 轴交于点A可得点A 坐标为(-1，0). .......…….1分 又因抛物线2y x bx c =++经过点A所以将点A 坐标(-1，0)代入抛物线解析式可得 1-b +c =0，即c =b -1.........…….2分 (2)①设y =x +1与y 轴交于点C ，可得 A (-1，0)，C (0，1).可知OA =OC =1. 又因∠AOC =90°， 所以△OAC =45°.如图，已知AB =B 作BD ⊥x 轴于点D ，已知∠ADB =90°.又因∠BAD =45°，AB = 所以AD =BD =3.所以点B 的坐标为(2，3)........….3分将点B 的坐标(2，3)代入抛物线2y x bx c =++的解析式可得2b +c =-1. 并与(1)中得到的c =b -1联立方程组可得：211.b c c b +=-⎧⎨=-⎩，解得01.b c ⎧⎨⎩==-，得抛物线的解析式为21y x =-.........….4分 ②b ≤0或b ≥6.........…..6分 27.(1)①60°….......…1分②在GE 上取H ，使GH =GB ，连接HB ，EB . ∵∠EGB =∠EAB =60°，∴△HGB ，△EAB 是等边三角形， ∴BE =BA ，BH =BG ，∵∠HBE =∠GBA ， ∴△HBE ≌△GBA ，….......……2分∴HE =GA ，∴GE =GH +HE =BG +AG . ….......….3分(2)结论：EG BG +=. ….......….4分证明：将△AGE 绕A 顺时针旋转90°至△AHB 处，∴HB =GE ，AH =AG .∵在四边形ABGE 中，∠ABG +∠AEG =180°，∴∠ABH +∠ABG =180°，即H ，B ，G 三点共线. .........5分 ∵AH =AG ，∴△AHG 是等腰直角三角形，........6分∴HG =∵HG =HB +BG =EG +BG ，∴.EG BG +=…7分28.(1)a =b =-2，故抛物线的表达式为：222y x x =--.故答案为：222y x x =--；将点A 、B 坐标代入2y x ax b =++得：4-221642a b a b +=-⎧⎨++=-⎩解得：a =-2，b =-10. 故答案为：(-2，-10)；(2)①由点A 、C 的坐标得：直线AC 的表达式为：y =2x +2， 设点P (m ，2m +2)，则抛物线的表达式为：222y x mx m =+++， 顶点为：211(,22)24m m m --++ 令12x m =-，则m =-2x ， 则22122424y m m x x =-++=--+， 即抛物线Ω的解析式为：242y x x =--+；②如图所示，Ω抛物线落在△ABC 内部为EF 段，抛物线与直线AC 的交点为点E (0，2)；当y =-2时，即2422y x x =--+=-，解得：2x =-±故点)22(F -+-；故02x <<-+a =m =-2x ，故：40a -<<.。
2021届交大附中初三第一学期10月月考数学试卷及答案
2021届交大附中初三第一学期10月月考数学试卷及答案一、选择题(本题共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 以下是“回收”、“绿色包装”、“节水”、“低碳”四个标志，其中是中心对称图形的是( )2.抛物线()212y x =-+的顶点坐标为( )A. (-1，2)B. (1，2)C. (1，-2)D. (2，1)3.抛物线223y x x =+-的对称轴是直线( )A. x =-2B. x =2C. x =-1D. x =14.已知2是关于x 的方程2320x a -=的一个解，则a 的值是( )A.3B.4C.5D.65.将抛物线22y x =向下平移3个单位，得到的抛物线为( )A. 223y x =+B. 223y x =- C. ()223y x =+D. ()223y x =-6. 平面直角坐标系内一点P (-2，3)关于原点对称的点的坐标是( )A. (2，-3)B. (2，3)C. (-2，-3)D. (3，-2)7.风力发电机可以在风力作用下发电.如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是( )A.45B.60C.90D.1208.已知一次函数1)0(y kx m k =+≠和二次函数22)0(y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值 如表：当21时，自变量x 的取值范围是( ) A. -1<x <2B. 4<x <5C. x <-1或x >5D. x <-1或x >4二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9.方程2280x x +-=的根是.10.已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是. 11.请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为(0，2)的抛物线的表达式：.12. 若二次函数()213y x =-+的图象上有两点A (0，a )，B (5，b )，则a b .(填“>”，“=”或“<”)13.二次函数26y x x m =-+(m 是常数)的图象与x 轴的一个交点为(-1，0)，则关于x 的一元二次方程260x x m -+=的根是.14.如右图所示，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3.矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转一定角度得到矩形AB’C’D’.若点B 的对应点B'落在边CD 上，则B’C 的长为 .15.若二次函数22y x x c =++的最小值是7，则它的图象与y 轴的交点坐标是.16.地铁某换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是.三、解答题(本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.01()1π--18.解方程：223x x -=19.已知二次函数的图象经过点(0，1)，且顶点坐标为(2，5)，求此二次函数的解析式.20.关于x 的一元二次方程22220x kx k k -++-=有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，求k 的值及此时方程的根.21.若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：(2)画出此函数图象(不用列表).(3)结合函数图象，当-4<x ≤1时，写出y 的取值范围.22.已知如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB>CE.连接BG、DE.求证：BG=DE.23.图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m时，水面宽8m.水面上升3米，水面宽度减少多少?24.如图，在平面直角坐标系x O y中，点A(3，3)，B(4，0)，C(0，-1).(1)以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的△A'B'C；(2)在(1)的条件下，AA的长度为(结果保留π)；①点A经过的路径'②点B'的坐标为.25.探究函数2y x x =-的图象与性质.小娜根据学习函数的经验，对函数2y x x =-的图象与性质进行了探究. 下面是小娜的探究过程，请补充完整： (1)下表是x 与y 的几组对应值.m=，n=.(2)如图，小娜在平面直角坐标系x O y 中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，解决问题：若方程2x x a -=有三个不同的解，记为123x x x ，，，且123x x x <<.请直接写出123x x x ++的取值范围26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与直线y =x +1交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上.(1)用含有b 的代数式表示c ；(2)①若点B 在第一象限，且AB =②若AB ≥b 的取值范围.27.在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，AE =AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点G ，使得∠EGB =∠EAB ，连接AG .(1)如图1，当EF 与AB 相交时，当∠EAB =60°时， ①请直接写出∠C 度数为；②求证：EG =AG +BG ；(2)如图2，当EF 与CD 相交时，且∠EAB =90°，请你写出线段EG ，AG ，BG 之间的数量关系，并证明你的结论.28.定义：对于平面直角坐标系xOy 上的点P (a ，b )和抛物线2y x ax b =++，我们称P (a ，b )是抛物线2y x ax b =++的相伴点，抛物线2y x ax b =++是点P (a ，b )的相伴抛物线. 如图，已知点A (-2，-2)，B (4，-2)，C (1，4).(1)点A 的相伴抛物线的解析式为 ；过A ，B 两点的抛物线2y x ax b =++的相伴点坐标为 ； (2)设点P (a ，b )在直线AC 上运动：①点P (a ，b )的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式. ②当点P (a ，b )的相伴抛物线的顶点落在△ABC 内部时，请直接写出a 的取值范围.参考答案一、选择题(本题共16分，每小题2分)9.1224x x ==-， 10.111.22y x =-+(答案不唯一) 12.<13.1217x x =-=， 14.1 15.(0，8) 16.D三、解答题(本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分)17.解：原式2=......5分 18.解：1231x x ==-，19.解：设解析式为()225y a x =-+. ......2分代入x =0，y =1，得1=4a +5......3分 a =-1. ....4分所以解析式为()225y x =--+或241y x x =-++. .....5分20.解：(1)根据题意知()()2224120k k k =--⨯⨯+->， 即-4k +8>0， 解得k <2；(2)∵k <2且k 为正整数， ∴k =1， ∴220x x -=，解得x =0或x =2.21.解：(1)由表知，抛物线的顶点坐标为(-1，4)，设()214y a x =++，把(0，3)代入得()20143a ++=，解得a=-1，∴抛物线的解析式为()214y x =-++，即223y x x =--+； (2)函数图象如图所示，(3)当-4<x ≤1时，-5<y ≤4.22.证：∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是为正方形，∴DC =BC ，GC =EC ，∠BCD =∠GCE =90°....1分∴∠BCG =∠DCE ....2分在△BCG 和△DCE 中DC BC BCD GCE GC EC =∠=⎪∠⎧⎪⎨⎩=∴△BCG ≌△DCE .........4分∴BG =DE .............5分23.解：建立如图所示坐标系............. 1分则可得过点(4，-4) ...........…2分设解析式为2y ax =...........…3分代入(4，-4)得14a =-........…4分 所以解析式为214y x =-把y =-1代入，得x =±2..........…5分则水面的宽减少了8-4=4(米) ..........……6分24.解：(1)画图正确；.........……3分(2)①52π；.........……4分 ②(-1,3) .........……5分25.解：(1)m =1，n =0；........……2分(2)如图：.........……4分(3)12343x x x <++<....6分26.解：(1)由题意直线y =x +1与x 轴交于点A可得点A 坐标为(-1，0). .......…….1分又因抛物线2y x bx c =++经过点A所以将点A 坐标(-1，0)代入抛物线解析式可得1-b +c =0，即c =b -1.........…….2分(2)①设y =x +1与y 轴交于点C ，可得A (-1，0)，C (0，1).可知OA =OC =1.又因∠AOC =90°，所以△OAC =45°.如图，已知AB =B 作BD ⊥x 轴于点D ，已知∠ADB =90°.又因∠BAD =45°，AB =所以AD =BD =3.所以点B 的坐标为(2，3)........….3分将点B 的坐标(2，3)代入抛物线2y x bx c =++的解析式可得2b +c =-1. 并与(1)中得到的c =b -1联立方程组可得： 211.b c c b +=-⎧⎨=-⎩， 解得01.b c ⎧⎨⎩==-， 得抛物线的解析式为21y x =-.........….4分②b ≤0或b ≥6.........…..6分27.(1)①60°….......…1分②在GE 上取H ，使GH =GB ，连接HB ，EB .∵∠EGB =∠EAB =60°，∴△HGB ，△EAB 是等边三角形，∴BE =BA ，BH =BG ，∵∠HBE =∠GBA ，∴△HBE ≌△GBA ，….......……2分∴HE =GA ，∴GE =GH +HE =BG +AG . ….......….3分(2)结论：EG BG +=. ….......….4分证明：将△AGE 绕A 顺时针旋转90°至△AHB 处，∴HB =GE ，AH =AG .∵在四边形ABGE 中，∠ABG +∠AEG =180°，∴∠ABH +∠ABG =180°，即H ，B ，G 三点共线. .........5分 ∵AH =AG ，∴△AHG 是等腰直角三角形，........6分∴HG =∵HG =HB +BG =EG +BG ，∴.EG BG +=…7分28.(1)a =b =-2，故抛物线的表达式为：222y x x =--.故答案为：222y x x =--； 将点A 、B 坐标代入2y x ax b =++得：4-221642a b a b +=-⎧⎨++=-⎩解得：a =-2，b =-10. 故答案为：(-2，-10)；(2)①由点A 、C 的坐标得：直线AC 的表达式为：y =2x +2，设点P (m ，2m +2)，则抛物线的表达式为：222y x mx m =+++， 顶点为：211(,22)24m m m --++ 令12x m =-，则m =-2x ， 则22122424y m m x x =-++=--+， 即抛物线Ω的解析式为：242y x x =--+；②如图所示，Ω抛物线落在△ABC 内部为EF 段，抛物线与直线AC 的交点为点E (0，2)；当y =-2时，即2422y x x =--+=-，解得：2x =-±故点)22(F -+-；故02x <<-+a =m =-2x ，故：40a -<<.。
北京交通大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
北京交通大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．各学科的图形都蒀含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180︒后得到的图案（）A ．B ．C ．D ．3．下列事件中，属于必然事件的是（）A ．在一个只装有黑球的箱子里摸到白球B ．蒙上眼睛射击正中靶心C ．打开电视机，正在播放综艺节目D ．在1个标准大气压下，水加热到100摄氏度沸腾4．已知关于x 的一元二次方程20ax x c -+=，其中a c ，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程根的情况是()A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定5．如图所示，AB 是O 的直径，C ，D 是圆上两点，且30DCB ∠=︒，则BOD ∠=A．60︒6．如图，AB为O则ACD∠的度数为（A．30︒B7．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色后放回，过程，多次试验后，得到表中的数据：摸球的次数n100摸到白球的次数m70摸到白球的频率mn0.70并得出了四个结论，其中正确的是（A．试验1500次摸到白球的频率一定比试验B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率约为C．当试验次数n为2000D．这个盒子中的白球定有8．如图，过点A作OD作O的切线，交ABA ．2二、填空题9．若点()1,2M 、10．二次函数1y =2ax bx c mx ++>+12．如图，在O 中，等于.13．关于x 的一元二次方程为14．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的坐标15．如图，在平面直角坐标系心.16．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有的盒子，盒子容量和单价如下表所示：盒子型号A B C盒子容量/升234盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金料需要存放且每个盒子要装满材料．（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过盒子的个数分别为．三、解答题17．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：摸球的次数s150作法：①作射线PO ，交②以P 为圆心，PO 为半径作MN 的长为半径画弧交 ③连接PA ，OA ，OA 交④作直线PB ．所以直线PB 为O 的切线．(1)使用直尺和圆规进行尺规作图，依作法补全图形(2)完成下面的证明．证明：OA MN = ，OB ∴12OB OA =．PO PA = ，PB OA ∴⊥．()(填推理的依据∴半径OB BP ⊥．∴直线PB 为O 的切线．19．已知二次函数2y x=(1)二次函数243y x x =-+图象与x 轴的交点坐标是点坐标是；(2)在平面直角坐标系xOy 中，画出二次函数(3)当14x <<时，结合函数图象，直接写出20．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图1，其数学模型为如图1AB =米，D 为圆上一点，DC AB ⊥于点少？【分析】过O 作ON ⊥AB 于N ，过D 作DM 1________2AN BN AB ===(米)，再证四边形______MN CD ==米，DM CN BC BN ==+然后由题意列出方程或方程组，解方程(组)可得21．如图，在正方形ABCD 中有一点P ，连接(1)若正方形的边长是10，4PB =．则阴影部分面积为___________；(2)若4,7,135PB PA APB ==∠=︒，求PC 的长．22．如图，AB 是半径为5的O 的直径，点C 、D 是O 上的点，且∥OD BC ，AC 分别与BD 、OD 相交于点E 、F ．(1)求证：点D 为 AC 的中点；(2)若4CB =，求DF 的长；23．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A ，B ，C ，D 四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．A ．决策类人工智能B ．人工智能机器人C ．语音类人工智能D ．视觉类人工智能(1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；(2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．24．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，P 是⊙O 外一点，AC ⊥PD 于点E ，AD 平分∠BAC ．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若DE=3，，∠BAC=60°25．中新社上海3月21日电（记者缪璐）女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系动路线可以看作抛物线的一部分，与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离(1)求(b 用含a 的式子表示)；(2)抛物线过点()2,M m -，()1,N n ，(3,P ①证明：()()110m n --<；②若M ，N ，P 恰有两个点在x 轴上方，求27．在正方形ABCD 中，点E 在射线BC 上绕点E 逆时针旋转90︒得到EF ，连接BF(1)如图1，点E 在BC 边上．①依题意补全图1；②若6AB =，2EC =，求BF 的长；(2)如图2，点E 在BC 边的延长线上，用等式表示线段BD ，BE ，BF 之间的数量关系．28．定义：对于一次函数12y ax b y cx d =+=+、，我们称函数()()(0)y m ax b n cx d ma nc =++++≠为函数12y y 、的“组合函数”.(1)若m =3，n =1，试判断函数52y x =+是否为函数121,21y x y x =+=-的“组合函数”，并说明理由;(2)设函数12y x p =--与23y x p =-+的图像相交于点P .①若1m n +>，点P 在函数12y y 、的“组合函数”图像的上方，求p 的取值范围；②若p ≠1，函数12y y 、的“组合函数”图像经过点P .是否存在大小确定的m 值，对于不等于1的任意实数p ，都有“组合函数”图像与x 轴交点Q 的位置不变?若存在，请求出m 的值及此时点Q 的坐标;若不存在，请说明理由.。
北京师范大学附属中学2023—2024学年上学期10月月考九年级数学试卷及答案
2023-2024学年北京师大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题。
（共20分，每题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项均只有一个。
1．（2分）抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣3，1）B．（3，1）C．（﹣3，﹣1）D．（3，﹣1）2．（2分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+4＝0，配方正确的是（）A．（x+3）2＝13B．（x+3）2＝5C．（x﹣3）2＝13D．（x﹣3）2＝53．（2分）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣24．（2分）如图，平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，3），点P为线段AB的中点（）A．B．2C．D．55．（2分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1+x2﹣x1•x2的值是（）A．1B．3C．﹣1D．﹣36．（2分）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠57．（2分）已知点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3）在抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y28．（2分）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣10123…y…830﹣10…则当y＞8时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜5B．0＜x＜3C．x＜﹣1或x＞5D．x＜0或x＞39．（2分）二次函数y＝x2﹣bx+b的图象可能是（）A．B．C．D．10．（2分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝m（x﹣3）2+k与x轴交于（a，0），（b，0）两点，其中a＜b．将此抛物线向上平移（c，0），（d，0）两点，其中c＜d（）A．当m＞0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣cB．当m＞0时，a+b＞c+d，b﹣a＝d﹣cC．当m＜0时，a+b＝c+d，b﹣a＞d﹣cD．当m＜0时，a+b＞c+d，b﹣a＜d﹣c二、填空题。
2024北京交大附中初三上学期10月月考数学试题及答案
2024北京交大附中初三10月月考数 学一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 下列四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，中心对称图形是（ ）A. B. C. D.2. 抛物线22()1y x =−+的顶点坐标是（ ） A. ()2,1B. ()2,1−C. ()2,1−D. ()2,1−−3. 将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移5个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. y ＝2（x ＋1）2＋5 B. y ＝2（x ＋1）2－5 C. y ＝2（x －1）2＋5 D. y ＝2（x －1）2－54. 如图，将ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''．若40,110A B ∠=∠='︒︒，则BCA '∠的度数是（ ）A. 90︒B. 80︒C. 50︒D. 30︒5. 在平面直角坐标系中，把点P （-3,2）绕原点O 顺时针旋转180°，所得到的对应点P 的坐标为（ ） A. （3，-2）B. （2，-3）C. （-3，-2）D. （3,2）6. 用配方法解一元二次方程245x x −=时，此方程可变形为（ ） A. ()221x +=B. ()221x −=C. ()229x +=D. ()229x −=7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x =经过平移得到抛物线2122y x x =−，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为A. 2B. 4C. 8D. 168. 如图，动点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），分别以AB AP BP ，，为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y ，线段AP 的长为x ．当点P 从点A 移动到点B 时，y 随x 的变化而变化，则表示y 与x 之间关系的图象大致是（ ）A. B. C. D.二、填空题（共16分，每题2分）9. 请写出一个开口向上且顶点坐标为()0,1的抛物线的解析式_______________．10. 二次函数2y x bx a =++的图像的顶点在x 轴上，写出一组满足条件的实数a 、b 的数值a =________，b =________． 11. 点()13,A y −，()22,By 在抛物线25y xx =−上，则1y ________2y ．（填“>”，“<”或“=”）12. 二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线1x =−，与x 轴的一个交点为(1,0)，与y 轴的交点为(0,3)，则方程()200ax bx c a ++=≠的解为________．13. 已知关于x 的一元二次方程()221210m x x m −++−=有一个根是0，则m 的值是________．14. 如图，二次函数21(0)y ax bx c a =++>与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点(2,4)A −，(8,2)B ，则使12y y >成立的x 的取值范围是_______________．15. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x 元后，每星期售出商品的总销售额为y 元，则y 与x 的关系式为_______．16. 二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：（2）抛物线顶点坐标为（1，5）；（3）3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x ＜3时，ax 2+（b ﹣1）x+c ＞0．其中正确的序号为___________________.三、解答题（共868分，第17、18、19题每题4分，第20-26题、每题6分，第27-28题每题77分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 计算：()031−π+−． 18. 解方程：243x x =−19. 已知：如图，ABC 绕某点按一定方向旋转一定角度后得到111A B C ，点A ，B ，C 分别对应点1A ，1B ，1C ．（1）根据点1A 和1B 的位置确定旋转中心是点 ． （2）请在图中画出111A B C ．20. 如图，D 是等边三角形ABC 内一点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60°，得到线段AE ，连接CD ，BE ．（1）求证：△AEB ≌△ADC ；（2）连接DE ，若∠ADC ＝105°，求∠BED 的度数．21. 已知关于x 的一元二次方程()21220m x x −++=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 取满足条件的最大整数时，求方程的根．22. 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标； （2）求出该函数图象与x 轴的交点坐标，并画出此二次函数的图象．（3）结合图象，当0y >时，x 的取值范围是 ． （4）结合图象，当21x −≤≤时，y 的取值范围是 ． 23. 如图，在ABC 中，D 是AB 上一点，AD DC =，DE 平分∠ADC 交AC 于点E ，DF 平分∠BDC 交BC 于点F ，90DFC ∠=︒．（1）求证：四边形CEDF 是矩形；（2）若30B ∠=︒，2AD =，连接BE ，求BE 的长．24. 2021年12月《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》正式发布，跳绳成为新增的体育中考选考项目．某校体育组为了解八年级学生跳绳的基本情况，从八年级男、女生中各随机抽取了20名学生1分钟跳绳次数，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．学生1分钟跳绳次数频数分布直方图如下（数据分成9组：90100x ≤<，100110x ≤<，…，170180x ≤<）：b ．男生1分钟跳绳次数在140150x ≤<这一组的是：140，141，142，143，144，145，145，147c ．1分钟跳绳次数的平均数、中位数、优秀率如下表：级女生1分钟跳绳次数大于或等于130个，成绩为优秀． 根据以上信息，回答下列问题：（1）将女生1分钟跳绳次数频数分布直方图补充完整； （2）写出表中m ，n 的值；（3）此次测试中，某学生的1分钟跳绳次数为140个，这名学生的成绩排名超过同组一半的学生，判断该生属于______（填“男生”或“女生”）组；（4）如果全年级男生人数为100人，女生人数为120人，请估计该年级跳绳成绩优秀的总人数． 25. 篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，从出手到球进篮筐的过程中，篮球的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系()()20y a x h k a =−+<．（1）某球员一次投篮时，记录了篮球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：（2）小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况，已经求得第一次的投篮轨迹近似满足函数关系式：()25 2.4 4.512y x =−−+，请回答下列问题： ①小明同学第一次投篮的出手点高度为__________m ；②已知篮筐中心位置在水平距离4.2m ，竖直高度3m 处．当篮球的竖直高度为3m 时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m 以内，篮球可以进入篮筐．若小明第二次的投篮轨迹近似满足函数关系式：()25 2.1412y x =−−+，已知两次投篮只有一次投中，则__________投中（填写“第一次”或“第二次”）．26. 已知抛物线22y x ax b =−+经过点()11，．（1）用含a 的式子表示b 及抛物线的顶点坐标；（2）若对于任意12a x a −≤≤+，都有1y ≤，求a 的取值范围．27. 如图，ACB △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，点P 在AC 的延长线上，连接DP ，点B 与点E 关于直线DP 对称，连接AE ．（1）依题意补全图形； （2）求证：AE DP ∥；（3）当=AE CP 时，连接CE ，PE ，用等式表示线段AE ，CE ，PE 之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 与图形W 给出如下定义：如果存在以点P 为端点的一条射线与图形W 有且只有2个公共点，那么称点P 是图形W 的“相关点”．已知点(),2A m ，()2,0B m −，()2,0C m +．（1）当0m =时，①在点()11,0P −，()21,1P ，()34,0P ，()43,1P −中，是折线BA AC −的“相关点”的是______； ②点M 是直线24y x =+上一点，如果点M 是折线BA AC −的“相关点”，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）正方形DEFG 的各边都平行于坐标轴，对角线的交点N 的坐标是()24,0m −．如果正方形的边长是2，正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”，请直接写出m 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 【答案】D【分析】根据中心对称图形的定义∶把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可．【详解】解：A ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； B ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； C ．不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故错误； D ．符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键． 2. 【答案】A【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数()2,(,y a x h k a b c =−+为常数，0)a ≠，顶点坐标是()h k ,，据此求解即可．【详解】解：抛物线22()1y x =−+的顶点坐标是()2,1， 故选：A ． 3. 【答案】C【详解】∵平移不改变抛物线的二次项系数，∴将抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向上平移5个单位， 平移后的抛物线的解析式为y ＝2－1）2＋5， 故选C.【点睛】本题考查了抛物线的平移变换．关键是将抛物线的平移转化为顶点的平移，平移的规律是左加右减，上加下减，根据规律结合顶点式即求平移后抛物线的解析式． 4. 【答案】B【分析】先利用旋转的性质得到50110ACA B B ''∠=︒==︒，∠∠，再利用三角形内角和计算出30ACB ∠=︒，然后计算BCA ACA '∠+∠即可．【详解】解：ABC 绕着点C 顺时针旋转50︒后得到A B C '''，50110ACA B B ''∴∠=︒==︒，∠∠，40A ∠=︒，18030ACB A B ∴∠=︒−︒−=∠∠，305080BCA BCA ACA ''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键：旋转图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．5. 【答案】D【详解】根据题意得，点P 关于原点的对称点是点P ′， ∵P 点坐标为（-3，2）， ∴点P ′的坐标（3，-2）． 故选：D ．【点睛】考点：坐标与图形变化-旋转． 6. 【答案】D 【详解】245x x −=24454x x −+=+()229x −=故选：D ． 7. 【答案】B【详解】解：过点C 作CA ⊥y 轴于点A ，根据抛物线的对称性得：OBD 的面积等于CAO 的面积， ∴阴影部分的面积等于矩形ACBO 的面积．∵22112(2)222y x x x =−=−−， ∴顶点坐标为C （2，－2）．∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4． 故选B ． 8. 【答案】C【分析】假设1AB =，则1BP x =−，然后根据AB AP BP y S S S =−−半圆半圆半圆求出y 关于x 的函数关系式即可得到答案．【详解】解：假设1AB =，则1BP AB AP x =−=−， ∴AB AP BP y S S S =−−半圆半圆半圆22211222222x x πππ−⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯−⨯−⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2221888x x x πππ−+=−−244x x ππ=−+，故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出y 关于x 的函数关系式是解题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】21y x =+（答案不唯一）【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．已知顶点坐标，可用抛物线的顶点式表示解析式，已知开口向上，只要二次项系数为正数即可． 【详解】解：由题意可设该抛物线解析式为21y ax =+． ∵开口向上， ∴0a >即可．令1a =，则抛物线的解析式为21y x =+． 故答案为：21y x =+（答案不唯一）． 10.【答案】 ①.14（答案不唯一）． ②. 1（答案不唯一）． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，求出顶点坐标是解答本题的关键．先化为顶点式，求出顶点坐标，再利用顶点纵坐标等于0列式求解即可．【详解】解：22224b b y x bx a x a ⎛⎫=++=++− ⎪⎝⎭， ∴该二次函数的顶点坐标为2,24b b a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭．∵该二次函数的顶点在x 轴上，∴204b a −=，∴24a b =． 当1b =时，14a =． 故答案为：14，1（答案不唯一）． 11. 【答案】>【分析】将A ，B 两点代入抛物线，求出对应的y 值即可．【详解】当3x =−时，21524y x x =−=；当2x =时，2256y x x =−=−；∵246>−，∴12y y >．故答案为：>．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握知识点是解题关键．12. 【答案】13x =−，21x =【分析】本题考查二次函数图象的对称性，二次函数与相关一元二次方程的关系．掌握二次函数图象关于其对称轴对称，二次函数图象与x 轴交点的横坐标即为其相关一元二次方程的解是解题关键．根据二次函数图象的对称性可求出另一交点坐标为()3,0−，即得出其相关一元二次方程的的解为13x =−，21x =．【详解】解：∵该二次函数对称轴为直线1x =−，与x 轴的一个交点为()1,0，∴该二次函数与x 轴的另一个交点为()3,0−，∴方程()200ax bx c a ++=≠的解为13x =−，21x =．故答案为：13x =−，21x =．13. 【答案】1−【分析】把x =0代入方程进行计算，结合一元二次方程的二次项系数不为0，即可得到答案．【详解】解：把0x =代入方程，得：210m −=，∴1m =±，∵10m −≠，∴1m ≠，∴1m =−；故答案为：1−.【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，利用方程的解正确求出参数.14. 【答案】2x <−或8x >【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求解．根据抛物线与直线交点坐标，结合图象求解． 【详解】解：抛物线与直线交点坐标为(2,4)A −，(8,2)B ，2x ∴<−或8x >时，抛物线在直线上方，∴使12y y >成立的x 的取值范围是2x <−或8x >．故答案为：2x <−或8x >15. 【答案】y ＝（60﹣x ）（300+20x ）【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，本题得以解决.【详解】由题意可得，()()6030020=−+y x x .故答案为：()()6030020=−+y x x .【点睛】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式. 16. 【答案】（1）、（3）、（4）【分析】根据表格可得到函数的对称轴，再判断出函数的开口方向，与y 轴的交点、顶点坐标，再根据函数的图像与性质即可一一判断.【详解】（1）函数的对称轴为：x ＝12（0＋3）＝32， 对称轴左侧y 随x 的增大而增大，故a ＜0，x ＝0，y ＝3＝c ＞0，故（1）正确，符合题意；（2）函数的对称轴为x ＝32，故（2）错误，不符合题意； （3）ax 2＋（b−1）x ＋c ＝0，则ax 2＋bx ＋c ＝x ，当x ＝3时，ax 2＋bx ＋c ＝3，故（3）正确，符合题意；（4）由（3）知，3是方程ax 2＋（b−1）x ＋c ＝0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1， 故当−1＜x ＜3时，ax 2＋（b−1）x ＋c ＞0，故（4）正确，符合题意；故答案为：（1）、（3）、（4）．，主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．三、解答题（共868分，第17、18、19题每题4分，第20-26题、每题6分，第27-28题每题77分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及零指数幂，化最简二次根式，化简绝对值，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．先计算零指数幂，化最简二次根式，化简绝对值，再进行加减运算即可．【详解】解：()031π−+11=+=18. 【答案】121,3x x ==【分析】先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程【详解】解：243x x =−，2430x x −+=，()()130x x −−=，即10x −=或30x −=，解得121,3x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．19. 【答案】（1）1O（2）见解析【分析】（1）分别作1AA 、1BB 的中垂线m 、n ，两者的交点即为所求；（2）作出点C 绕点1O 顺时针旋转90°所得对应点，再首尾顺次连接即可得；【小问1详解】解：如图，根据点1A 和1B 的位置确定旋转中心是点1O ，【小问2详解】如图所示，111A B C 即为所求．【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．20. 【答案】（1）见解析；（2）45°【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得60BAC ︒∠=，AB AC =，再由旋转的性质，可得60DAE ︒∠=，AE AD =，从而得到EAB DAC ∠=∠，再证EAB ≌()DAC SAS 即可；（2）根据题意可得EAD 为等边三角形．可得60AED ︒∠=，根据三角形全等可得105AEB ADC ︒∠=∠=，然后利用两角之差即可求解．【详解】（1）证明：ABC 是等边三角形，60BAC ︒∴∠=，AB AC =．线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒，得到线段AE ，60DAE ︒∴∠=，AE AD =．BAD EAB BAD DAC ∴∠+∠=∠+∠．EAB DAC ∴∠=∠．在△EAB 和△DAC 中，AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EAB ∴≌()DAC SAS ．()2解： 60DAE ︒∠=，AE AD =，EAD ∴为等边三角形．60AED ︒∴∠=， EAB ≌DAC △．105AEB ADC ︒∴∠=∠=．∴∠BED =∠AEB -∠AED =105°-60°=45°，45BED ︒∴∠=．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．21. 【答案】（1）32m <且1m ≠；（2）11x =，21x =− 【分析】（1）由Δ＞0，得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知m ＝0，可得方程2220x x −++=，利用因式分解法求解可得．【详解】．解：（1）关于x 的一元二次方程()21220m x x −++=有两个不相等的实数根， 10m ∴−≠，即1m ≠．又128m ∆=−，0∴∆>，即1280m −>． 解得32m <． m ∴的取值范围是32m <且1m ≠． （2）在32m <且1m ≠的范围内，最大整数m 为0． 此时，方程化为2220x x −++=．∴方程的根为11x =+，21x =【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．22. 【答案】（1）223y x x =+−，顶点坐标(1,4)−−（2）与x 轴的交点坐标分别为()3,0−，()1,0，画图象见解析（3）3x <−或1x >（4）40y −≤≤【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，求二次函数与坐标轴的交点坐标．利用待定系数法求二次函数解析式并正确画出图象是解题关键．（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，再将其改为顶点式即得出顶点坐标；（2）令0y =，求出x 的值，即得出该函数图象与x 轴的交点坐标，再描点连线画出此二次函数的图象即可；（3）求当0y >时，x 的取值范围，即求函数图象在x 轴上方时，x 的取值范围，结合图象可直接得出结果；（4）结合图象可直接得出结果．【小问1详解】解：将 ()2,3−−，()1,4−−，()0,3−代入()20y ax bx c a =++≠， 得：34243a b c a b c c −=−+⎧⎪−=−+⎨⎪−=⎩，解得：123a b c =⎧⎪=⎨⎪=−⎩，∴该二次函数的表达式为()222314y x x x =+−=+−，∴这个二次函数图象的顶点坐标为(1,4)−−；【小问2详解】解：对于223y x x =+−，令0y =，则2230x x +−=，解得：13x =−，21x =，∴该函数图象与x 轴的交点坐标分别为()3,0−，(1,0)．画出此二次函数的图象如下： 【小问3详解】解：由图可知，当0y >时，x 的取值范围是3x <−或1x >；【小问4详解】解：由图可知，当21x −≤≤时，y 的取值范围是40y −≤≤．23. 【答案】（1）见解析 （2【分析】（1）证∠EDF =90°，∠CED =90°，再由∠DFC =90°，即可得出结论；（2）证△ACD 是等边三角形，得∠ACD =60°，AC =AD =2，则AE =CE =1，再由勾股定理得DE ，然后由三角形中位线定理得BC =2DE =【小问1详解】解：证明：∵DE 平分∠ADC ，DF 平分∠BDC ，∴∠ADE =∠CDE =12∠ADC ，∠CDF =12∠BDC ， ∴∠CDE +∠CDF =12（∠ADC +∠BDC ）=12×180°=90°， 即∠EDF =90°，∵AD =DC ，∴∠DCA =∠DAC ，∴∠CED =∠AED =12×180°=90°， 又∵∠DFC =90°，∴四边形CEDF 是矩形；【小问2详解】解：由（1）可知，四边形CEDF 是矩形，∴∠CED =∠ECF =90°，∴∠A =90°-∠B =90°-30°=60°，DE ⊥AC ，∵AD =DC ，∴CE =AE ，△ACD 是等边三角形，∴∠ACD =60°，AC =AD =2，∴AE =CE =1，∴DE =∠DCB =∠ECF -∠ACD =90°-60°=30°，∴∠DCB =∠B ，∴DB =DC =AD ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC =2DE =，在Rt △BCE 中，由勾股定理得：BE =，即BE【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．24. 【答案】（1）见解析 （2）141.5m =，70%n =（3）“女生” （4）149人【分析】（1）利用抽取女生的总人数和女生跳绳次数频数分布直方图中的数据，求出成绩在130140x ≤<之间的人数即可；（2）利用中位数的定义求m ，利用八年级女生1分钟跳绳次数大于或等于130个的人数除以女生总人数求n ；（3）将这名学生的成绩与男生、女生成绩的中位数比较即可；（4）利用样本估计总体的方法解决．【小问1详解】解：女生成绩在130140x ≤<之间的人数为：20112261115−−−−−−−−=，补全后的频数分布直方图如下图所示：【小问2详解】解：由男生1分钟跳绳次数频数分布直方图和140150x ≤<这一组的数据可知，20名男生中，成绩从低到高排序，第10位和第11位的成绩分别是141，142， 因此男生组的中位数：141142141.52m +==； 女生1分钟跳绳次数大于或等于130个的人数为：5611114++++=， 因此女生组的优秀率：14100%70%20n =⨯=， 故141.5m =，70%n =；【小问3详解】解：这名学生的成绩140小于男生组的中位数141.5，大于女生组的中位数138，因此该生属于“女生”，故答案为：“女生”；【小问4详解】解：由已知和（2）的结论知男生组的优秀率为65%，女生组的优秀率为70%，10065%12070%6584149⨯+⨯=+=（人）， 因此估计该年级跳绳成绩优秀的总人数为149人．【点睛】本题考查统计相关知识，掌握频数分布直方图、中位数的定义和应用，以及利用样本估计总体的方法是解题的关键．25. 【答案】（1）()2.54，，()28 2.5425y x =−−+ （2）①2.1；②第一次 【分析】（1）由表格中的数据可得篮球飞行轨迹的最高点坐标为()2.54，，设此函数满足的函数解析式为：()22.54y a x =−+，将()02，代入函数解析式，求出a 的值即可得到答案； （2）①令0x =，求出y 的值即可得到答案；②分别令3y =，计算出x 的值，进行估算，并进行比较即可得到答案．【小问1详解】解：由表格中的数据可得：篮球飞行轨迹的最高点坐标为()2.54，， 设此函数满足的函数解析式为：()22.54y a x =−+， 将()02，代入函数解析式得：()20 2.542a ⨯−+=， 解得：825a =−， ∴篮球飞行轨迹满足的函数解析式为：()28 2.5425y x =−−+； 【小问2详解】解：①根据题意得：当0x =时，()250 2.4 4.5 2.112y =−⨯−+=， ∴小明同学第一次投篮的出手点高度为2.1m ，故答案为：2.1； ②在()25 2.4 4.512y x =−−+中，令3y =，则()25 2.4 4.5312x −−+=，解得：1 2.45x =−，2 2.45x =+，在()25 2.1412y x =−−+中，令3y =，则()25 2.14312x −−+=，解得：1 2.15x =−，2 2.15x =+，310 2.4 4.35+≈，2.1 3.65+≈，且当篮球的竖直高度为3m 时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差0.1m 以内，篮球可以进入篮筐，篮筐中心位置在水平距离4.2m ，∴第一次投中，故答案为：第一次．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．26. 【答案】（1）2b a =，抛物线的顶点坐标为()22a a a −，；（2）3a ≥或1a ≤−． 【分析】（1）把点()11，代入22y x ax b =−+计算可求得含a 的式子表示b 的代数式，配方成顶点式，即可求解；（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x a =，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，则当2x a =+时，代入计算，解不等式即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线22y x ax b =−+经过点()11，，∴112a b =−+，∴2b a =，∵()22222y x ax b x a a a =−+=−+−， ∴抛物线的顶点坐标为()22a a a −，；【小问2详解】 解：∵()22222y x ax b x a a a =−+=−+−，∴抛物线的对称轴为直线x a =，又∵抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，且12a x a −≤≤+，∴当2x a =+时，()22222421y a a a a a a =+−+−=+−≤最大，即2230a a −−≥，∴()()310a a −+≥， ∴3010a a −≥⎧⎨+≥⎩或3010a a −≤⎧⎨+≤⎩， 解得3a ≥或1a ≤−．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，函数的增减性，在本题的解答中，除了必要的理论依据外，还需要学生具有比较强的解不等式的能力．27. 【答案】（1）补图见解析（2）证明见解析 （3）2222CE AE EP +=，证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．（1）根据题意画图即可；（2）设BE 与DP 交于点M ，分别证明M 、D 为BE 、AB 中点，利用中位线可证；（3）过点C 作CN CE ⊥交BE 于点N ，连接BP ，设AC 与BE 交于点T ，BE 与DP 交于点M ，BC 与DP 交于点Q ，先证CBN CAE △≌△，得CN CE =，推出45CEN ∠=︒，再证CPD EAC △≌△，推出CD EC =，推出BC ==，再证EP BP =，最后在Rt CBP △中，利用222BC CP BP +=求证．【小问1详解】解：补全图形如图：【小问2详解】解：如图，设BE 与DP 交于点M∵点B 与点E 关于直线DP 对称，∴DP BE ⊥，BM EM =，∵AC BC =，CD AB ⊥，∴AD BD =，∴M ，D 分别为,BE AB 的中点∴DM AE ∥，即：AE DP ∥；【小问3详解】解：2222CE AE EP +=，证明如下：如图，过点C 作CN CE ⊥交BE 于点N ，连接BP ，设AC 与BE 交于点T ，BE 与DP 交于点M ，BC 与DP 交于点Q ，∵90ACB ∠=︒，∴90ACN BCN ACN ACE ∠+∠=∠+∠=︒，∴BCN ACE ∠=∠，∵90CBN CTB CAE ATE ∠+∠=∠+∠=︒，CTB ATE ∠=∠，∴CBN CAE ∠=∠，又∵CB CA =，∴()ASA CBN CAE ≌，∴CN CE =，∴45CEN CNE ∠=∠=︒，∴135AEC AEB CEN ∠=∠+∠=︒，∵AC BC =，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，∴45BCD CBD ∠=∠=︒，AD ，∴BC =，135PCD PCB BCD ∠=∠+∠=︒，∴AEC PCD ∠=∠，∵90PCQ BMQ ∠=∠=︒，∴90CPD CQP NBC BQM ∠+∠=∠+∠=︒，∵CQP BQM ∠=∠，∴CPD NBC ∠=∠，∴CPD CAE ∠=∠，又∵CP AE =，∴()ASA CPD EAC ≌，∴CD EC =，∴BC =，∵DP BE ⊥，BMEM =，∴EP BP =，在Rt CBP △中，222BC CP BP +=，即：)222AE EP +=，即：2222CE AE EP +=．28. 【答案】（1）①23,P P ；②223M x −≤<−（2）0m <或8m >【分析】（1）①根据所给坐标画出图像，根据定义进行判断即可求解；②根据题意画出24y x =+，结合定义可知当M 与点B 重合时M x 取得最小值，与直线AC 相交时，M x 取得最大值，进而即可求解；（2）根据题意求得直线AB 的解析式为2y x m =−+，直线AC 的解析式为2y x m =−++，正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC −所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外），当正方形有一点在AB 或AC 上时，根据点N 的坐标以及正方形的性质求得点F 的坐标，分别代入直线,AB AC 的解析式即可求得点F 的坐标，结合函数图像即可求解．【小问1详解】当0m =时，()()()0,2,2,0,2,0A B C −，①如图，在平面直角坐标系中描出点()()()0,2,2,0,2,0A B C −，()11,0P −，()21,1P ，()34,0P ，()43,1P −连接,AB AC ，由图像可知，23,P P 为折线BA AC −的“相关点”；②如图，点M 是直线24y x =+上一点，根据定义可知：点M 为折线BA AC −的“相关点”当M 与点()2,0B −重合时，此时M x 取得最小值，为2−，当M 在直线AC 上时，M x 取得最大值，设直线AC 解析式为y kx b =+()()0,2,2,0A C则202k b b +=⎧⎨=⎩解得12k b =−⎧⎨=⎩∴直线AC 解析式为2y x =−+联立224y x y x =−+⎧⎨=+⎩解得2383x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即M x 的最大值为23− 223M x ∴−≤<− 【小问2详解】点(),2A m ，()2,0B m −，()2,0C m +．设直线AB 的解析式为y cx d =+，AC 解析式为y ex f =+,则()220mc d m c d +=⎧⎨−+=⎩，()220me f m e f +=⎧⎨++=⎩， 解得12c d m =⎧⎨=−+⎩，12e f m =−⎧⎨=+⎩ ∴直线AB 的解析式为2y x m =−+，直线AC 的解析式为2y x m =−++，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”；∴正方形DEFG 上的任意一点都不在BA AC −所围成的锐角之内以及边上（除线段AB ,AC 外）， 当正方形有一点在AB 或AC 上时，如图，当点F 在AB 上时，()24,0N m −，正方形的边长为2，则()23,1F m −−， 代入直线AB 解析式，可得()1232m m −=−−+，解得0m =；当点F 在AC 上时，()24,0N m −，正方形的边长为2，则()25,1F m −−，代入直线AC 解析式，可得()1252m m −=−−++，解得8m =，结合图像可知，当正方形DEFG 上的任意一点都是折线BA AC −的“相关点”，0m <或8m >．【点睛】本题考查了新定义问题，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，坐标与图形，两直线交点问题，理解新定义是解题的关键．。
北京交大附中 2021届初三 10月考及答案
北京交大附中2021届初三10月月考练习数学试卷出题人：邹宏运 审题人：丁红班级： 姓名：一、选择题 （本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．以下是“回收”、“绿色包装”、“节水”、“低碳”四个标志，其中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2. 抛物线2(1)2y x =−+的顶点坐标为（ ）A ．(1,2)−B ． (1,2)C ．(1,2)−D ．(2,1)3. 抛物线223y x x =+−的对称轴是直线（ ）A. 2x =−B. 2x =C. 1x =−D. 1x =4. 已知2是关于x 的方程2320x a −=的一个解，则a 的值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 65． 将抛物线22y x =向下平移3个单位，得到的抛物线为 （ ） A ．223y x =+B ．223y x =−C ．()223y x =+D ． ()223y x =−6．平面直角坐标系内一点P （﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．（2，﹣3） B ．（2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（3，﹣2）7. 风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是（ ）A ．45B ．60C ．90D ．120A ．-1＜x ＜2B ．4＜x ＜5C ．x ＜-1或x ＞5D ．x ＜-1或x ＞4二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 方程2280x x +−=的根是 .10.已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是 .11．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，2）的抛物线的表达式： ． 12. 若二次函数2(1)3y x =−+的图象上有两点(0,),(5,)A a B b , 则a b .（填“>”，“=”或“<”） 13. 二次函数26y x x m =−+（m 是常数）的图象与x 轴的一个交点为(1)−，0，则关于x 的一元二次方程260x x m −+=的根是 ．14. 如右图所示，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3．矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转一定角度得到矩形'''AB C D ．若点B 的对应点'B 落在边CD 上，则'B C 的长为 ．15．若二次函数22y x x c =++的最小值是7，则它的图象与y 轴的交点坐标是 ．16．地铁某换乘站设有编号为 A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 ．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算√(−2)2+(π−1)0−√12+|√3−1| 18. 解方程：x 2−2x =319. 已知二次函数的图象经过点(0,1)，且顶点坐标为(2,5)，求此二次函数的解析式．20．关于x 的一元二次方程22220x kx k k −++−=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，求k 的值及此时方程的根．21.若二次函数y =ax 2+bx +c 的x 与y 的部分对应值如下表：…－4－3－2－1…… －5 0 3 4 3 …（1）求此二次函数的表达式； （2）画出此函数图象(不用列表).（3）结合函数图象，当－4＜x ≤1时,写出y 的取值范围.22. 已知如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，且AB>CE ． 连接BG 、DE ．求证：BG = DE .23．图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m 时， 水面宽8m. 水面上升3米，水面宽度减少多少？24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，3），B （4，0），C （0，1−）．（1）以点C 为旋转中心，把△ABC 逆时针旋转90°，画出旋转后的△''A B C ； （2）在（1）的条件下，① 点A 经过的路径AA ′⏜的长度为 （结果保留π）； ② 点'B 的坐标为 ．25. 探究函数2y x x =−的图象与性质．小娜根据学习函数的经验，对函数2y x x =−的图象与性质进行了探究． 下面是小娜的探究过程，请补充完整： （1）下表是x 与y 的几组对应值．请直接写出：m = ，n = ； （2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中已经给出的各组对应值为 坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程2x x a −=有三个不同的解，记为x 1, x 2, x 3，且x 1< x 2<x 3. 请直接写出x 1+ x 2+x 3的取值范围.xyO ABC26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与直线1y x =+交于A , B 两点，其中点A 在x 轴上.（1）用含有b 的代数式表示c ；（2）① 若点B在第一象限，且AB =的解析式；②若AB ≥b 的 取值范围.27. 在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，AE=AB ，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点G ，使得∠EGB=∠EAB ，连接AG ．(1) 如图1，当EF 与AB 相交时，当60EAB ∠=︒时， ①请直接写出∠C 度数为 ； ②求证：EG=AG+BG ；(2) 如图2，当EF 与CD 相交时，且90EAB ∠=︒，请你写出线段EG ，AG ，BG 之间的数量关系，并证明你的结论．图 1 图 228. 定义: 对于平面直角坐标系xOy 上的点P (a , b ) 和抛物线2y x ax b =++, 我们称P (a , b )是抛物线2y x ax b =++的相伴点, 抛物线2y x ax b =++是点P (a , b ) 的相伴抛物线．如图，已知点A (-2, -2)，B (4, -2)，C (1, 4)．(1) 点A 的相伴抛物线的解析式为 ；过A, B 两点的抛物线2y x ax b =++的相伴点坐标为 ；(2) 设点P (a , b ) 在直线AC 上运动:①点P (a , b )的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上, 求抛物线Ω的解析式． ②当点P (a , b )的相伴抛物线的顶点落在△ABC 内部时, 请直接写出 a 的取值范围．2021届初三10月月考练习数学评分标准及参考答案一、 选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. x 1=2,x 2=−4 10. 111. y =−x 2+2 （答案不唯一） 12.<13. x 1=−1,x 2=7 14. 1 15. (0,8) 16. D三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分）17. 解：原式=2–√3；……5分 18.解：x 1=3,x 2=−119. 解: 设解析式为()225y a x =−+……………………………2分代入x=0，y=1，得 1=4a+5………………………………………3分a= -1………………………….....……………4分所以解析式为()225y x =−−+或241y x x =−++………………………………5分20.解：（1）根据题意知△22(2)41(2)0k k k =−−⨯⨯+−>，即480k −+>，解得2k <；（2）2k <且k 为正整数，1k ∴=，220x x ∴−=，解得0x =或2x =．21. 解：(1)由表知,抛物线的顶点坐标为(−1,4),设y =a (x +1)2+4，把(0,3)代入得a (0+1)2+4=3，解得a =−1，∴抛物线的解析式为y =−(x +1)2+4,即y =−x 2−2x +3； (2) 函数图象如图所示，(3)当−4<x ⩽1时，−5<y ⩽4.22. 证：∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是为正方形，∴DC=BC,GC=EC,∠BCD=∠GCE=90°, ……………………………1分 ∴∠BCG=∠DCE ……………….....................................……………2分 在∆BCG 和∆DCE 中 DC=BC∠BCD=∠GCE GC=EC∴∆BCG ≅∆DCE ………………........................……………………4分 ∴BG=DE ……….....................................…………………………5分23. 解 ：建立如图所示坐标系 …………………………1分则可得过点（4，-4） …………………………………2分设解析式为2y ax = …………………………………………3分 代入（4，-4）得14a =− ……………………………4分 所以解析式为214y x =−把y=1-代入，得x=±2 ……………………………5分 则水面的宽减少了8-4=4（米）……………………………………6分24. 解：（1）画图正确；…………………………………3分（2）① 52π；……………………………………4分② （-1，3）. ……………………………5分25. 解：（1）m =1，n =0； ……………………………………………………………………………2分（2）如图：…………………………………………………………………………………………………4分 （3）12343x x x <++<……………………………………………………………6分26．解：（1）由题意直线y =x +1与x 轴交于点A可得点A 坐标为(-1,0) ……………………………………………………………1分又因抛物线y =x 2+bx +c 经过点A所以将点A 坐标(-1,0)代入抛物线解析式可得1-b +c =0，即c =b -1. ……………………………………………………………2分（2）①设y =x +1与y 轴交于点C ，可得A (-1,0)，C (0,1). 可知OA =OC =1. 又因∠AOC =90º, 所以∠OAC =45º.如图，已知ABB 作BD ⊥x 轴于点D , 易知∠ADB =90º.又因∠BAD =45º，AB所以AD =BD =3.所以点B 的坐标为(2,3) .……………………………………………………………3分将点B 的坐标(2,3)代入抛物线y =x 2+bx +c 的解析式可得2b +c =-1.并与（1）中得到的c =b -1联立方程组可得：21,1.b c c b +=−⎧⎨=−⎩ 解得0,1.b c =⎧⎨=−⎩得抛物线的解析式为21y x =−.……………………………………………………………4分②0b≤或6b≥. ………………………………………………………………………6分27. (1)①60°…………………………………………………………………………………1分②在GE上取H，使GH =GB,连接HB，EB．∵∠EGB=∠EAB=60°，∴△HGB，△EAB是等边三角形，∴BE=BA，BH=BG，∵∠HBE=∠GBA，∴△HBE≌△GBA，………………………………………………………………………2分∴HE=GA，∴GE=GH+HE=BG+AG．…………………………………………………………………3分(2)结论：EG + BG．……………………………………………………………4分证明：将△AGE绕A顺时针旋转90°至△AHB处，∴HB=GE，AH=AG．∵在四边形ABGE中，∠ABG+∠AEG =180°，∴∠ABH+∠ABG =180°，即H，B，G三点共线．……………………………………5分∵AH =AG，∴△AHG是等腰直角三角形，………………………………………………………… 6分∴HG=∵HG=HB+BG=EG+BG，∴EG+BG．………………………………………………………………………7分（本题解法不唯一，证明过程正确即可）28.（1）a=b=﹣2，故抛物线的表达式为：y=x2﹣2x﹣2．故答案为：y=x2﹣2x﹣2；将点A、B坐标代入y=x2+ax+b得：4221642a ba b−+=−⎧⎨++=−⎩，解得：a=﹣2，b=﹣10．故答案为：(﹣2，﹣10)；（2）①由点A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y=2x+2，设点P(m，2m+2)，则抛物线的表达式为：y=x2+mx+2m+2，顶点为：(12−m，14−m2+2m+2)，令x12=−m，则m=﹣2x，则y14=−m2+2m+2=﹣x2﹣4x+2，即抛物线Ω的解析式为：y=﹣x2﹣4x+2；②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，抛物线与直线AC的交点为点E(0，2)；当y=﹣2时，即y=﹣x2﹣4x+2=﹣2，解得：x=﹣2±故点F(﹣2+2)；故0＜x＜﹣a=m=﹣2x，故：4﹣a＜0．5。
北京市北京师范大学附属中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题
北京市北京师范大学附属中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食物和药物，得到广泛的使用，经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg ，将0.00000201用科学记数法表示为（ ）A ．2.01×10﹣8B ．0.201×10﹣8C ．2.01×10﹣6D ．20.1×10﹣52．若反比例函数y ＝k x的图象经过点(2，－1)，则该反比例函数的图象在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限 3．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，3）与点B 关于原点对称，则点B 的坐标为（ ）A ．（﹣4，﹣3）B ．（4，3）C ．（4，﹣3）D ．（﹣4，3） 4．二次函数y ＝（x +1）2﹣2的对称轴是（ ）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝2D ．x ＝﹣2 5．实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．2a >-B ．a b >C ．0a b +>D ．0b a -<6．已知x ＝2是一元二次方程（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0的一个根，则m 的值为（ ） A ．2 B ．0或2 C ．0或4 D ．0 7．函数y ＝ax 2﹣a 与y ＝ax ﹣a （a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．C．D．8．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（）A．y1B．y2C．y3D．y4二、填空题9x的取值范围是_______________．10．在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y＝（x﹣1）2+4的图象平移，使图象的最低点与坐标原点重合，请写出一种平移方法____．11．如图，A、B两点在双曲线y＝4x上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝_____．12．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是_____．13．如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点(3,6)A --，(1,2)B -，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为_______________ .14．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论：∠abc ＜0；∠3a +c ＜0；∠b 2﹣4ac ＞0；∠16a +4b +c ＞0．其中正确结论的个数是：___．15．如图1，在△ABC 中，AB >AC ，D 是边BC 上的动点．设B ，D 两点之间的距离为x ，A ，D 两点之间的距离为y ， 表示 y 与x 的函数关系的图象如图2所示．线段AC 的长为_________________，线段AB 的长为____________．三、解答题16．如图，在正方形网格中，将格点∠ABC 绕某点顺时针旋转α（0＜α＜180°）得到格点∠A 1B 1C 1，点A 与A 1，点B 与B 1，点C 与C 1是对应点．（1）请通过画图找出旋转中心M ．（2）直接写出旋转角α的度数为____．17．计算：101|1())3-+-π． 18．解不等式组5(1)711234x x x x +>-⎧⎪--⎨>⎪⎩并求它的整数解． 19．已知：如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点F 是边DC 的中点，连接AF ，并将线段AF 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AE ，连接EF 并确定中点G ，连接GC ． （1）请根据题意补全图形；（2）求线段GC 的长．20．已知二次函数y ＝x 2+2x -3．（1）求抛物线的顶点坐标，并将其化为y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式；（2）求图象与两坐标轴的交点坐标；（3）利用五点描点法，画出函数图象；（4）求顶点及图象与x轴两交点围成的三角形面积；（5）结合图象，完成填空．当y随x的增大而减小时，x的取值范围是；若y＞0，则x的取值范围是；若y≤0，则x的取值范围是；当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是；二次函数y＝x2+2x-3关于y轴对称的图象解析式为；二次函数y＝x2+2x-3关于原点对称的图象解析式为．21．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与双曲线y＝kx（k≠0）交于A，B两点，点A，点B的横坐标xA，xB满足xA＞xB，直线y＝x+b与x轴交点为C（3，0），与y 轴的交点为D．（1）求b的值；（2）若xA＝2，求k的值；（3）当AD≥2BD时，直接写出k的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．（1）若a＝1．∠当m＝b时，求x1，x2的值；∠将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c，使得x1≤c﹣1，且x2≥c+7成立，则m的取值范围是_______．23．正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M，作CE∠AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接CN．（1）如图，当0°＜α＜45°时：∠依题意补全图；∠用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系：___________；（2）当45°＜α＜90°时，探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明；（3）当0°＜α＜90°时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值．答案第1页，共1页 参考答案：1．C2．D3．C4．B5．B6．C7．D8．A9．7x ≥10．向左平移1个单位，再向下平移4个单位．11．6．12．65°13．x1＝﹣3，x 2＝114．315．16．（1）见解析；（2）90°17．318．23x -<<；整数解为1-，0，1，219．（1）见解析； （220．（1）顶点坐标为（-1，-4），y =（x +1）2-4；（2）图象与x 坐标轴的交点坐标为（-3，0），（1，0），与y 坐标轴的交点坐标为（0，-3）；（3）见解析；（4）8；（5）x <-1，x <-3或x >1，-3≤x ≤1，-4＜x ＜21，y ＝x 2-2x -3，y =-x 2+2x +3．21．（1）3-；（2）2-；（3）018k <≤或605k -≤< 22．（1）∠x 1＝0，x 2＝2；②将原抛物线向下平移4个单位；（2）m≥16．23．（1）∠补图见解析；∠∠NCE ＝2∠BAM ；（2）12∠NCE +∠BAM ＝90°，证明见解析；（3）．。
精品解析：北京交大附中2020-2021学年九年级上学期10月月考数学试题(解析版)
北京交大附中2021届初三10月月考练习数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是【 】A. B. C. D.【答案】B 【解析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，只有选项B 符合条件．故选B ．2. 抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标为（ ）A. （-1，2）B. （1，2）C. （1，-2）D. （2，1）【答案】B 【解析】 【分析】直接利用抛物线顶点式的特点可写出顶点坐标．【详解】∵顶点式y=a （x-h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ）， ∴抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标是（1，2）． 故选B ．【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键． 3. 抛物线223y x x =+-的对称轴是直线( ) A. 2x =- B. 2x =C. 1x =-D. 1x =【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线的解析式得出a 、b 、c 的值，再根据抛物线的对称轴方程进行解答即可． 【详解】∵抛物线y=x 2+2x−3中，a=1，b=2，c=−3，∴抛物线的对称轴x=−2ba=−1. 故选C.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其性质.4. 已知2是关于x 的方程3x 2﹣2a ＝0的一个解，则a 的值是（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程解的定义，把x ＝2代入方程3x 2﹣2a ＝0得12﹣2a ＝0，然后解关于a 的方程即可． 【详解】解：把x ＝2代入方程3x 2﹣2a ＝0得3×4﹣2a ＝0，解得a ＝6． 故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．5. 将抛物线22y x =向下平移3个单位，得到的抛物线为（ ） A. 223y x =+ B. 223y x =-C. ()223y x =+D. ()223y x =-【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象平移的性质即可得出结论．【详解】根据“上加下减，左加右减”的法则可知，抛物线y=2x 2向下平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为y=2x 2-3． 故选B.【点睛】本题考查是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．6. 平面直角坐标系内一点()2, 3P -关于原点对称点的坐标是（ ） A. ()3,2- B. ()2,3C. ()2,3--D. ()2,3-【答案】D【解析】 【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点A （-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）, 故选D ．【点睛】本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征. 7. 风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是（ ）A. 45B. 60C. 90D. 120【答案】D 【解析】 【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合， 故n 的最小值为120． 故选：D ．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．8. 已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如表： x … -1 0 2 4 5 … y 1…1356…当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是 A. -1＜x ＜2 B. 4＜x ＜5C. x ＜-1或x ＞5D. x ＜-1或x ＞4【答案】D 【解析】 【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x ＜4时，y 1＞y 2，从而得到当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围．【详解】∵当x=0时，y 1=y 2=0；当x=4时，y 1=y 2=5； ∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5）， 而-1＜x ＜4时，y 1＞y 2，∴当y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围是x ＜-1或x ＞4． 故选D ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9. 方程2 280x x +-=的根是______． 【答案】12x =，24x =- 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程，即可得到答案． 【详解】解：2 280x x +-=， ∴(4)(2)0x x +-=， ∴12x =，24x =-； 故答案为：12x =，24x =-；【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题． 10. 已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是______．【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， 可得判别式0=， ∴440k -=， 解得：1k =． 故答案为：1.【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键． 11. 请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为(0,2)的抛物线的表达式：_____________． 【答案】22y x =-+(答案不唯一) 【解析】 【分析】把（0,2）作为抛物线的顶点，令a=-1，然后利用顶点式写出满足条件的抛物线解析式． 【详解】解：因为抛物线的开口向下， 则可设a=-1，又因为抛物线与y 轴的交点坐标为（0,2）， 则可设顶点为（0,2），所以此时抛物线的解析式为y=-x 2+2． 故答案为y=-x 2+2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式.12. 若二次函数2(1)3y x =-+的图象上有两点(0,),(5,)A a B b , 则a _____b .（填“>”，“=”或“<”）【答案】< 【解析】 【分析】直接把点A 和点B 的坐标代入二次函数解析式，求出a 和b ，然后比较大小即可． 【详解】当x=0时，a=（0-1）2+3=4； 当x=-5时，b=（5-1）2+3=19，【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．13. 二次函数26y x x m =-+（m 是常数）的图象与x 轴的一个交点为(-1，0)，则关于x 的一元二次方程260x x m -+=的根是______．【答案】11x =-，27x = 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到二次函数26y x x m =-+（m 是常数）的图象与x 轴的另一个交点为（7，0），然后根据抛物线与x 轴的交点问题得到关于x 的一元二次方程260x x m -+=的根．【详解】∵二次函数26y x x m =-+（m 是常数）的图象的对称轴为直线6321x -=-=⨯， 而点（-1，0）关于直线x=3的对称点为（7，0），∴二次函数26y x x m =-+（m 是常数）的图象与x 轴的另一个交点为（7，0）， ∴则关于x 的一元二次方程260x x m -+=的根为1217x x =-=，．故答案为：1217x x =-=，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．14. 如图所示，在矩形ABCD 中，5AB =，3AD =．矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转一定角度得到矩形AB C D '''．若点B 的对应点B '落在边CD 上，则 B C '的长为______．【答案】1 【解析】 【分析】B′C=5-B′D ，在直角△AB′D 中，利用勾股定理求得B′D 的长度即可．【详解】由旋转的性质得到AB=AB′=5，在Rt△AB′D中，∠D=90°，AD=3，AB′=AB=5，所以4=，所以B′C=5-B′D=1．故答案是：1．【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质．解题时，根据旋转的性质得到AB=AB′=5是解题的关键．15. 若二次函数2y x2x c=++的最小值是7，则它的图象与y轴的交点坐标是________．【答案】()0,8【解析】【分析】根据二次函数最大（小）值的求法，利用公式法直接求得c的值，即可求得图象与y轴的交点坐标．【详解】∵二次函数y＝x2＋2x＋c的最小值是7，∴244ac ba-＝444c-＝7，解得c＝8，∴图象与y轴的交点坐标是（0，8），故答案为（0，8）．【点睛】本题考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．16. 地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是______．【答案】D【解析】【分析】利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果．【详解】同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放D 、E 两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s ， 得到D 疏散乘客比A 快；同时开放A 、E 两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s ， 同时开放A 、B 两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s ， 得到A 疏散乘客比E 快；同时开放A 、B 两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s ， 同时开放B 、C 两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s ， 得到A 疏散乘客比C 快；同时开放B 、C 两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s ， 同时开放C 、D 两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s ， 得到D 疏散乘客比B 快．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D ． 故答案为：D ．【点睛】本题考查推理能力，进行简单的合情推理为解题关键．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题6分，第27～28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. ()011π-【答案】2 【解析】 【分析】1>()0-1π=1，合并同类项，合并同类二次根式即可．()-13-1π【点睛】本题考查二次根式的加减混合运算，掌握绝对值定义，二次根式的性质，零次幂的性质是解题关键．18. 解方程：223x x -= 【答案】13x =，21x =- 【解析】 【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案． 【详解】解：∵223x x -=， ∴223=0x x --， ∴(3)(1)0x x -+=， ∴13x =，21x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法进行解题． 19. 已知二次函数的图象过点()0,1且顶点坐标为()2,5，求此二次函数的解析式. 【答案】241y x x =-++ 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y=a （x-2）2+5，再把（0，1）代入，求出a 的值，即可得出二次函数的解析式．【详解】解：设解析式为()225y a x =-+ 代入0x =，1y =，得145a =+ 1a ∴=-.所解析式为()225y x =--+，即241y x x =-++.【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式，解题关键在于利用待定系数法求解. 20. 关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +k 2+k ﹣2＝0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，求k 的值及此时方程的根． 【答案】（1）k ＜2；（2）k ＝1，x ＝0或x ＝2． 【解析】 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根得出其判别式的值大于0，据此列出关于k 的不等式，解之可得； （2）再所求k 的范围内取值代入方程，再进一步解方程可得答案． 【详解】解：（1）根据题意知△＝（﹣2k ）2﹣4×1×（k 2+k ﹣2）＞0， 即﹣4k +8＞0，解得k ＜2；（2）∵k ＜2且k 为正整数， ∴k ＝1， ∴x 2﹣2x ＝0， 解得x ＝0或x ＝2．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的解法，当一元二次方程方程有两个不相等的实数根其判别式的值大于0.21. 若二次函数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表：x … -4 -3 -2 -1 0 … y…-5343…（1）求此二次函数的表达式； （2）画出此函数图象（不用列表）．（3）结合函数图象，当41x -<≤时，写出y 的取值范围．【答案】（1）2 23y x x =--+；（2）见解析；（3）54y -<≤【解析】 【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到抛物线的顶点坐标为（-1，4），则可设顶点式()214y a x =++，然后把（0，3）代入求出a的值即可；（2）利用描点法画二次函数图象；（3）观察函数函数图象，当-4＜x ≤1时，函数的最大值为4，于是可得到y 的取值范围为-5＜y ≤4．【详解】解：（1）由表知，抛物线的顶点坐标为()14-，，设()214y a x =++， 把()03，代入得()20143a ++=，解得1a =-， ∴抛物线的解析式为()214y x =-++，即223y x x =--+；（2）函数图象如图所示，（3）当41x -<≤时，54y -<≤．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．22. 已知如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，且AB CE >连接BG 、DE .求证：BG DE =.【答案】见解析【解析】【分析】先证∠BCG=∠DCE ，再证明△BCG ≌△DCE ，即可得出结论．【详解】证明：四边形ABCD 和四边形CEFG 都是为正方形，CD BC ∴=，GC EC =，90BCD GCE ∠=∠=︒，BCG DCE ∴∠=∠在BCG ∆和DCE ∆中DC BC BCG DCE GC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCG DCE ∴∆≅∆BG DE ∴=【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题关键在于掌握判定定理.23. 图中所示的物线形批桥，当找顶离水面4m 时，水面宽8m ，水面上升3米，水面宽度减少多少?【答案】4米【解析】【分析】根据已知得出直角坐标系，再设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．【详解】解：建立如图所示坐标系.则可得过点()4,4-设解析式为2y ax = 代入()4,4-得14a =-. 所以解析式为214y x =-. 把1y =代入，得2x =±，则水面的宽减少844-=米【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式，解题关键在于画出坐标系.24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()A 3,3，()B 4,0，()C 0,1-．()1以点C 为旋转中心，把ABC 逆时针旋转90，画出旋转后的△A B C '' ；()2在()1的条件下， ①点A 经过的路径'AA 的长度为______(结果保留π)；②点'B 的坐标为______．【答案】（1）见解析；（2）①5π2；②()1,3-. 【解析】【分析】（1）根据旋转的定义作出点A 、B 绕点C 逆时针旋转90得到的对应点，再顺次连接可得；（2）①根据弧长公式列式计算即可；②根据（1）中所作图形可得点'B 的坐标．【详解】解：（1）如图所示，A'B'C 即为所求；（2）①AC 35==，ACA'90∠=，∴点A 经过的路径的长为90π55π1802⨯⨯=， 故答案为5π2； ②由图知点'B 的坐标为()1,3-，故答案为()1,3-．故答案为（1）见解析；（2）①5π2；②()1,3-. 【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是根据旋转角度、旋转方向、旋转中心作出对应点． 25. 探究函数2y x x =-的图象与性质．小娜根据学习函数的经验，对函数2y x x =-的图象与性质进行了探究．下面是小娜的探究过程，请补充完整：（1）下表是x 与y 的几组对应值．x … 2- 1- 0 1 2 12+ 3 …y… 8- 3- 0 m n 1 3 …请直接写出：m= ，n= ；（2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中已经给出的各组对应值为坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程2x x a -=有三个不同的解，记为x 1, x 2, x 3，且x 1< x 2<x 3. 请直接写出x 1+ x 2+x 3的取值范围.【答案】（1）m=1，n=0；（2）见解析；（3）123342x x x <++<+ 【解析】 【分析】（1）把x=1代入，可求出m 的值；把x=2代入，可求出n 的值（2）先描点，再连接即可；（3）y=a 与2y x x =-函数图象的交点横坐标即是x 1、x 2、x 3的值，且x 1< x 2<x 3, 由图观察可得0<x 1<1, 1<x 2<2, 2<x 3<1+2,所以123342x x x <++<+【详解】解：（1）m=1，n=0；（2）如图：（3）∵y=a 与2y x x =-函数图象的交点横坐标即是x 1、x 2、x 3的值，且x 1< x 2<x 3.由图观察可得0<x 1<1, 1<x 2<2, 2<x 32 ,∴123342x x x <++<【点睛】本题考查了函数的描点作图，代入求值及数形结合的思想，难度稍大.26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与直线1y x =+交于A, B 两点，其中点A 在x 轴上.（1）用含有b 的代数式表示c ；（2）① 若点B 在第一象限，且32AB =，求抛物线的解析式；② 若32AB ≥，结合函数图象，直接写出b 的取值范围.【答案】（1）c=b-1；（2）①抛物线的解析式为21y x =-；② 0b ≤或6b ≥.【解析】【分析】(1)由题意直线y=x+1与x 轴交于点A ，可得出点A 坐标 ，又因抛物线y=x 2+bx+c 经过点A ，所以将点A 坐标代入抛物线解析式可解得.（2）①由y=x+1可推得∠OAC=45º. 如图，已知AB=32，Rt △ABD 中,利用勾股定理可解出AD=BD=3,所以点B 的坐标为(2,3) .将点B 的坐标(2,3)代入抛物线y=x 2+bx+c 的解析式可得2b+c=-1.并与（1）中得到的c=b-1联立方程组并解出方程组可得b,c 的值,带入得到抛物线的解析式.②因为32AB ≥b 的取值范围.0b ≤或6b ≥.【详解】解：（1）由题意直线y=x+1与x 轴交于点A可得点A 坐标为(-1,0)又因抛物线y=x 2+bx+c 经过点A所以将点A 坐标(-1,0)代入抛物线解析式可得1-b+c=0，即c=b-1.（2）①设y=x+1与y 轴交于点C ，可得A (-1,0)，C (0,1).可知OA=OC=1.又因∠AOC=90º,所以∠OAC=45º.如图，已知AB=32，过B 作BD ⊥x 轴于点D,易知∠ADB=90º.又因∠BAD=45º，2所以AD=BD=3.所以点B 的坐标为(2,3) .将点B 的坐标(2,3)代入抛物线y=x 2+bx+c 的解析式可得2b+c=-1.并与（1）中得到的c=b-1联立方程组可得：21,1.b c c b +=-⎧⎨=-⎩ 解得0,1.b c =⎧⎨=-⎩ 得抛物线的解析式为21y x =-.②因为32AB ≥1）得， 对称轴02b -≥ 即b≤0. 由函数图象（2）得， 对称轴32b -≤- 即b≥6. 所以可得出b 的取值范围0b ≤或6b ≥.【点睛】本题考查了二次函数与一次函数图象结合，待定系数法求二次函数解析式,要结合函数图象及相应的数量关系才能完成,难度较大，属于压轴题.27. 在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，AE AB =，过点E 作直线EF ，在EF 上取一点G ，使得EGB EAB ∠=∠，连接AG ．（1）如图1，当EF 与AB 相交时，当60EAB ∠=︒时，①请直接写出C ∠度数为______；②求证：EG AG BG =+；（2）如图2，当EF 与CD 相交时，且90EAB ∠=︒，请你写出线段EG ，AG ，BG 之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）①60；②证明见解析；（2）2EG BG +=，证明见解析【解析】【分析】 （1）①根据平行四边形的性质，推导出EAB C ∠=∠，即可完成求解；②在GE 上取H ，使GH GB =，通过证明HGB △、EAB 是等边三角形，再推导得HBE GBA ≌△△，从而完成证明；（2）连接AG ，将AGE 绕A 顺时针旋转90°至AHB 处，结合题意，可得180ABH ABG ∠+∠=，再通过证明AHG 是等腰直角三角形，得2HG AG =，从而完成求解．【详解】（1）①平行四边形ABCD 中∴//AD BC ,//AB CD ∴180EAB ABC ∠+∠= , 180C ABC ∠+∠= ∴EAB C ∠=∠∵60EAB ∠=∴60C ∠=故答案为：60②在GE 上取H ，使GH GB =，连接HB 、EB∵60EGB EAB ∠=∠=，AE AB =∴HGB △、EAB 是等边三角形∴BE BA =，BH BG =，60GBA ABH ∠+∠=，60HBE ABH ∠+∠=∴HBE GBA ∠=∠∴HBE GBA ≌△△∴HE GA =∴GE GH HE BG AG =+=+；（2） 连接AG ，将AGE 绕A 顺时针旋转90°至AHB 处∴HB GE =，AH AG =∵90EGB EAB ∠=∠=∵在四边形ABGE 中，180ABG AEG ∠+∠=∴180ABH ABG ∠+∠=，即H ，B ，G 三点共线∵90EAG BAG ∠+∠=∴90HAB BAG ∠+∠=，即90HAG ∠=∵AH AG =∴AHG 是等腰直角三角形 ∴2HG =∵HG HB BG EG BG =+=+ ∴2EG BG +=．【点睛】本题考查了等腰直角三角形、勾股定理、平行四边形、矩形、等边三角形、旋转、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、平行四边形、矩形、等边三角形、全等三角形、直角等腰三角形的性质，从而完成求解．28. 定义：对于平面直角坐标系xOy 上的点(),P a b 和抛物线2y x ax b =++，我们称(),P a b 是抛物线2y x ax b =++的相伴点，抛物线2y x ax b =++是点(),P a b 的相伴抛物线．如图，已知点()2,2A --，()4,2B -，()1,4C ．（1）点A 相伴抛物线的解析式为______；过A ，B 两点的抛物线2y x ax b =++的相伴点坐标为______； （2）设点 (),P a b 在直线AC 上运动：①点(),P a b 的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式．②当点(),P a b 相伴抛物线的顶点落在ABC 内部时，请直接写出a 的取值范围．【答案】（1）222y x x -=-，(21)0--，；（2）①抛物线 Ω的解析式为：242y x x =--+；②4420a -<<【解析】【分析】（1）a=b=-2，故抛物线的表达式为：y=x 2-2x-2，故答案为：y=x 2-2x-2；将点A 、B 坐标代入y=x 2+ax+b 并解得：a=-2，b=-10；（2）①直线AC 的表达式为：y=2x+2，设点P （m ，2m+2），则抛物线的表达式为：y=x 2+mx+2m+2，顶点为：（12-m ，14-m 2+2m+2），即可求解； ②如图所示，Ω抛物线落在△ABC 内部为EF 段，即可求解．【详解】解：（1）2a b ==﹣，故抛物线的表达式为：222y x x -=-．故答案为：222y x x -=-；将点A 、B 坐标代入2y x ax b =++得： 4221642a b a b -+=-⎧⎨++=-⎩， 解得：2a =-，10b =-．故答案为：(21)0--，； （2）①由点A 、C 的坐标得：直线AC 的表达式为：22y x =+，设点()22P m m +，，则抛物线的表达式为：222y x mx m =+++， 顶点为：211,2224m m m ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭， 令12x m =-，则2m x =-， 则22122424y m m x x =-++=--+ 即抛物线Ω的解析式为：242y x x =--+；②如图所示，Ω抛物线落在ABC 内部为EF 段，抛物线与直线AC 的交点为点()0,2E； 当2y =-时，即2422y x x =--+=-，解得：222x =-±故点()222,2F -+-；故0222x <<-+2a m x ==-，故：4420a -<．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解．。
2021-2022学年-有答案-北京市某校九年级(上)月考数学试卷(10月份)
2021-2022学年北京市某校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题3分）1. 如图，将一张矩形的纸对折，旋转90∘后再对折，然后沿着右图中的虚线剪下，则剪下的纸片打开后的形状一定为（）A.三角形B.菱形C.矩形D.正方形2. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100∘，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A.30∘B.40∘C.50∘D.60∘3. 抛物线y=(x+1)2+2可由y=x2如何平移得到（）A.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度B.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度4. 若关于x的方程(m+1)x|m|+1−2x＝3是关于x的一元二次方程，则m的取值为（）A.m＝1B.m＝−1C.m＝±1D.m≠−15. ⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC平分∠BAD，则正确结论是（）A.AB＝ADB.BC＝CDC.＝D.∠BCA＝∠DCA6. 已知函数y=−x2+bx+c，其中b>0，c<0，此函数的图象可以是( )A. B.C. D.7. 小明和小亮组成团队参加某科学比赛．该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛得分满60则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利．为了在比赛中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了九次测试，如图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合理的是（）①小亮测试成绩的平均数比小明的高②小亮测试成绩比小明的稳定③小亮测试成绩的中位数比小明的高④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．A.①③B.①④C.②③D.②④8. 两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（）A.小红的运动路程比小兰的长B.两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C.当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点DD.在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径二、填空（18题4分，其余每题2分）方程x2−2x=0的根是________．已知菱形ABCD中，∠B＝60∘，AB＝2，则菱形ABCD的面积是________．请写出一个开口向下，并且过坐标原点的抛物线的表达式，y＝________．如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：________．关于x的二次函数y＝ax2−2ax+a−1(a>0)的图象与x轴的公共点有________个．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB ＝4，则⊙O的半径是________．阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O表示数0，点A表示数1，点B表示数5，以AB为直径作半圆（如图）；第二步：以B点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C（如图）；第三步：以A点为圆心，AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M．请你在下面的数轴中完成第三步的画图（保留作图痕迹，不写画法），并写出点M表示的数为________．如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B(4, 0)，抛物线的对称轴交x轴于点D，CE // AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a>0；②b>0；③4a+2b+c<0；④AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是________．三、解答解下列一元二次方程：（1）3(1+x)2＝15；（2）3x2−4x−2＝0．已知一元二次方程x2−(2m−1)x+m2−m＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若抛物线y＝x2−(2m−1)x+m2−m经过原点，求m的值．已知二次函数y＝x2−2x−3．（1）将y＝x2−2x−3化成y＝a(x−ℎ)2+k的形式为________；（2）此函数与x轴的交点坐标为________；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（不用列表）（4）直接写出当−2<x<3时，y的取值范围．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE // AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连接AE，交OD于点F，连接CF，若CF＝CE＝1，求AC长．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．小明根据学习函数的经验，对函数y＝x4−5x2+4的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：其中m＝________；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质________；（4）进一步探究函数图象发现：①方程x4−5x2+4＝0有4个互不相等的实数根；②有两个点(x1, y1)和(x2, y2)在此函数图象上，当x2>x1>2时，比较y1和y2的大小关系为：y1<y2（填“>”、“<”或“＝”）；③若关于x的方程x4−5x2+4＝a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是________．已知二次函数y＝ax2−4ax+3a．（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝________；（2）若该二次函数的图象开口向下，当1≤x≤4时，y的最大值是2，求抛物线的解析式；（3）若对于该抛物线上的两点P(x1, y1)，Q(x2, y2)，当t≤x1≤t+1，x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．在等腰△ABC中，AB＝AC，将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P．（1）依题意补全图形；（2）若∠BAC＝2α，求∠BDA的大小（用含α的式子表示）；（3）小明作了点D关于直线BC的对称点点E，从而用等式表示线段DP与BC之间的数量关系．请你用小明的思路补全图形并证明线段DP与BC之间的数量关系．对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≥d2，则称d1为点P的最大距离；若d1<d2，则称d2为点P的最大距离．例如：点P(−3, 4)到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3<4，所以点P的最大距离为4．（1）①点A(2, −5)的最大距离为________；②若点B(a, 2)的最大距离为5，则a的值为________；（2）若点C在直线y＝−x−2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围．参考答案与试题解析2021-2022学年北京市某校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题3分）1.【答案】B【考点】剪纸问题【解析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．根据对角线互相垂直平分的四边形的菱形即可判断．【解答】将一张矩形的纸对折，旋转90∘后再对折，那么剪下的纸片打开后的形状，是对角线互相垂直平分的四边形，故是菱形．2.【答案】B【考点】旋转的性质【解析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100∘，再根据等腰三角形的性质可求出∠B 的度数，此题得解．【解答】根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100∘，×(180∘−100∘)＝40∘．∴∠B＝∠ADB=123.【答案】D【考点】二次函数图象与几何变换【解析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．【解答】解：∵抛物线y=(x+1)2+2的顶点坐标为(−1, 2)，抛物线y=x2的顶点坐标为(0, 0)，∴将抛物线y=x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y=(x+1)2+2．故选D.4.【答案】A【考点】一元二次方程的定义绝对值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】圆心角、弧、弦的关系角平分线的性质圆周角定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】二次函数图象与几何变换二次函数图象与系数的关系【解析】根据已知条件“a<0、b>0、c<0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【解答】解：∵a=−1<0，b>0，>0.∴该函数图象的开口向下，对称轴是x=−b2a∵ c<0，∴ 图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.故选D.7.【答案】D【考点】折线统计图算术平均数中位数方差【解析】结合折线统计图，利用数据逐一分析解答即可．【解答】①由折线统计图知小明的成绩有5次高于小亮的成绩，有1次和小亮相等，故小明的测试成绩的平均数比小亮的高，故①错误；②由折线统计图知小亮测试成绩波动小，故小亮测试成绩比小明的稳定，故②正确；③∵小亮测试成绩的中位数大约是69，小明测试成绩的中位数大约是90，故③错误；④∵小亮测试成绩比小明的稳定，小明的测试成绩比小亮高，∴小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．故④正确；8.【答案】D【考点】动点问题【解析】利用图象信息一一判断即可解决问题．【解答】A、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；B、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C距离相等，故本选项不符合题意；C、当小红运动到点D的时候，小兰还没有经过了点D，故本选项不符合题意；=4.84，D、当小红运动到点O的时候，两人的距离正好等于⊙O的半径，此时t=9.682故本选项正确；二、填空（18题4分，其余每题2分）【答案】x1=0，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】因为x2−2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．【解答】解：因式分解得x(x−2)=0，解得x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2.【答案】2√3【考点】菱形的性质【解析】过点A作AH⊥BC于H，在直角三角形ABH中求出AH的长，再根据菱形的面积公式计算即可．【解答】如图，过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝2，∠B＝60∘，=√3，∴AH＝AB⋅sinB＝2×√32∴菱形ABCD的面积＝BC⋅AH＝2×√3=2√3．【答案】−x2+2x（答案不唯一）【考点】二次函数的性质二次函数的图象二次函数图象与几何变换【解析】直接利用二次函数的性质分析其a，c的值进而得出答案．【解答】∵开口向下，∴a<0，∵抛物线过坐标原点，∴c＝0，∴答案不唯一，如y＝−x2+2x．【答案】△ABC绕C点逆时针旋转90∘，并向左平移2个单位得到△DEF【考点】坐标与图形变化-平移几何变换的类型坐标与图形变化-旋转【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】2【考点】抛物线与x轴的交点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】52【考点】垂径定理【解析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，由勾股定理可得出OA的长．【解答】连接OA，∵C是AB的中点，AB＝2，OC⊥AB，∴AC=12∴OA2＝OC2+AC2，即OA2＝(OA−1)2+22，，解得，OA=52【答案】√15+1【考点】在数轴上表示实数作图—复杂作图【解析】按照要求作图即可得点M，连接AC、BC，由题意知AB=4、BC=1、∠ACB=90∘，从而可得AM=AC=√AB2−BC2=√15，继而可得答案．【解答】如图，点M即为所求，连接AC、BC，由题意知，AB=4、BC=1，∵AB为圆的直径，∴∠ACB=90∘，则AM=AC=√AB2−BC2=√42−12=√15，∴点M表示的数为√15+1，【答案】②④【考点】二次函数图象与系数的关系抛物线与x轴的交点【解析】根据图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，判断即可．【解答】①该函数图象的开口向下，a<0，错误；>0，∴b>0，正确；②∵a<0，−b2a③把x＝2代入解析式可得4a+2b+c>0，错误；④∵AD＝DB，CE＝OD，∴AD+OD＝DB+OD＝OB＝4，可得：AD+CE＝4，正确．三、解答【答案】3(1+x)7＝15，两边都除以3得，(1+x)8＝5，∴1+x＝±，∴x1＝−1+，x2＝−1−；3x2−4x−2＝0，∵a＝3，b＝−4，△＝b2−4ac＝16+24＝40，∴x＝＝＝，∴x3＝，x6＝．【考点】解一元二次方程-公式法解一元二次方程-直接开平方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】由题意有△＝[−(2m−1)]7−4(m2−m)＝7>0．∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；抛物线过原点，则m2−m＝4，解得m＝0或1．【考点】二次函数的性质抛物线与x轴的交点根的判别式二次函数图象上点的坐标特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】y＝(x−1)2−4(−1, 0)、(3, 0)根据（1）、（2）的数据描点连线大致画出函数的图象如下：从函数图象看，当−2<x<3时，当x＝−4时，y＝x2−2x−7＝1，函数的顶点坐标为(1, −2)，故y的取值范围为−4<y<1．【考点】二次函数的性质抛物线与x轴的交点二次函数的三种形式二次函数图象上点的坐标特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝，∴∠DOC＝90∘，∵DE // AC，DE＝，∴OC＝DE，∴四边形OCED为平行四边形，又∵∠DOC＝90∘，∴四边形OCED是矩形；由（1）得：四边形OCED是矩形，∴OD // CE，∠OCE＝90∘，∵O是AC中点，∴F为AE中点，∴CF＝AF＝EF，∵CF＝CE＝1，∴CF＝3，∴AE＝2，∴AC＝＝＝．【考点】菱形的性质矩形的判定与性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝4，∵OC＝4，∴OM＝＝2；连接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90∘，∴∠MOC＝∠MCO＝45∘，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45∘，∴∠AOC＝90∘，∴∠B＝45∘，∵∠D+∠B＝180∘，∴∠D＝135∘．【考点】圆心角、弧、弦的关系垂径定理圆周角定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：函数图象关于y轴对称−2.2<a<4【考点】二次函数的性质二次函数的图象二次函数图象上点的坐标特征【解析】（1）观察对应数值表即可得出；（2）用平滑的曲线依次连接图中所描的点即可；（3）观察函数图象，即可求得．【解答】观察对应数值表可知：m＝0，用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：观察函数图象，发现该函数图象关于y轴对称，（答案不唯一），故答案为：函数图象关于y轴对称；①∵函数的图象与x轴有4个交点，∴方程x4−5x2+4＝0有4互不相等的实数根，故答案为4；②函数图象可知，当x2>x1>2时，y1<y2；故答案为<；③观察函数图象，结合对应数值表可知：−2.2<a<4，故答案为：−2.2<a<4．【答案】2∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线x＝2，∴当x＝3时，y取到在1≤x≤4上的最大值为7．∴4a−8a+5a＝2．解得a＝−2，∴二次函数为y＝−2x2+8x−5，∵当t≤x1≤t+1，x4≥5时，均满足y1≥y3，∴当抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，∴t≥−1，t+1≤8，∴−1≤t≤4．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数的性质二次函数的图象二次函数的最值二次函数图象上点的坐标特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】如图：∵∠BAC＝2α，∠AHB＝90∘，∴∠ABH＝90∘−2α，∵BA＝BD，∴∠BDA＝45∘+α；补全图形，如图：证明过程如下：∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，∴DE⊥BP，DG＝GE，∠DBP＝∠EBP，BD＝BE，∵AB＝AC，∠BAC＝2α，∴∠ABC＝90∘−α，由（2）知∠ABH＝90∘−2α，∠DBP＝90∘−α−(90∘−2α)＝α，∴∠DBP＝∠EBP＝α，∴∠BDE＝2α，∵AB＝BD，∴△ABC≅△BDE，∴BC＝DE，∴∠DPB＝∠ADB−∠DBP＝45∘+α−α＝45∘，∴DGDP =1√2，∴DEDP=√2，∴BCDP=√2，∴BC=√2DP．【考点】作图-轴对称变换作图-相似变换全等三角形的性质与判定作图-旋转变换作图-位似变换【解析】（1）依据将线段BA绕点B顺时针旋转到BD，使BD⊥AC于H，连结AD并延长交BC的延长线于点P，进行作图；（2）依据∠BAC＝2α，∠AHB＝90∘，可得∠ABH＝90∘−2α，依据BA＝BD，即可得到∠BDA＝45∘+α；（3）依据D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，可得DE⊥BP，DG＝GE，∠DBP ＝∠EBP，BD＝BE，再判定△ABC≅△BDE，可得BC＝DE，进而得到∠DPB＝∠ADB−∠DBP＝45∘+α−α＝45∘，据此可得BC=√2DP．【解答】如图：∵∠BAC＝2α，∠AHB＝90∘，∴∠ABH＝90∘−2α，∵BA＝BD，∴∠BDA＝45∘+α；补全图形，如图：证明过程如下：∵D关于BC的对称点为E，且DE交BP于G，∴DE⊥BP，DG＝GE，∠DBP＝∠EBP，BD＝BE，∵AB＝AC，∠BAC＝2α，∴∠ABC＝90∘−α，由（2）知∠ABH＝90∘−2α，∠DBP＝90∘−α−(90∘−2α)＝α，∴∠DBP＝∠EBP＝α，∴∠BDE＝2α，∵AB＝BD，∴△ABC≅△BDE，∴BC＝DE，∴∠DPB＝∠ADB−∠DBP＝45∘+α−α＝45∘，∴DGDP =1√2，∴DEDP=√2，∴BCDP=√2，∴BC=√2DP．【答案】5,±5设点C的坐标(x, y)，∵点C的“最大距离”为2，∴x＝±5或y＝±5，当x＝7时，y＝−7，当x＝−5时，y＝8，当y＝5时，x＝−7，当y＝−4时，x＝3，∴点C(−5, 7)或(3．如图，观察图象可知：当⊙O于直线x＝5，直线y＝2，⊙O上存在点M，∴．【考点】一次函数的综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答试卷第21页，总21页。
北京XX中学2021届九年级10月月考数学试题
北京XX 中学2021届九年级10月月考数学试题初三数学第I 卷（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．下列图形是中心对称图形的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】绕一点旋转180︒后与自身能重合的图形是中心对称图形．2．将抛物线25y x =先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ）． A ．25(2)3y x =++ B ．25(2)3y x =-+C ．25(2)3y x =--D ．25(2)3y x =+-【答案】A【解析】平移：左+右——（用于x ），上+下——（用于y ）．3．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，CO 的延长线交AB 于点D ，50A ∠=︒，30B ∠=︒，则ADC ∠的度数为（ ）．ODCBAA ．70︒B ．90︒C ．110︒D ．120︒【答案】C【解析】∵50A ∠=︒， ∴100BOC ∠=︒，∵BOC DBO BDO ∠=∠+∠，30DBO ∠=︒， ∴10030BDO ︒=︒+∠， ∴70BDO ∠=︒，∴180********ADC BDO ∠=-∠=︒-︒=︒．4．代数式245x x -+的最小值是（ ）． A ．1- B ．1C ．2D ．5【答案】A【解析】2(2)11y x =-+≥．5．已知圆锥的母线长是3，底面半径是1，则那个圆锥侧面展开图圆心角的度数为（ ）． A ．90︒ B ．120︒C ．150︒D ．180︒【答案】B【解析】设母线为R ，底面半径为r ，圆锥侧面展开图圆心角为n ，则360r n R =︒，因此13360n=︒，120n =︒．6．如图，ABC △是等边三角形，D 是BC 的中点，以D 为旋转中心，把ABC △顺时针旋转60︒后，所成的图形是（ ）．A． B．C． D．【答案】D 【解析】C'B'A'DCBA7．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是通过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）． A ．10x =，24x = B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x =【答案】D【解析】∵2y x bx =+结称轴过点(2,0)，∴22b-=4b =-，∴24y x x =-，∴25x bx +=即为2450x x --=，(5)(1)0x x -+=，15x =，21x =-．8．已知⊙O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为d ，若抛物线22y x x d =-+与x 轴有两个不同的交点，则点P （ ）． A ．在⊙O 的内部 B ．在⊙O 的外部C ．在⊙O 上D ．无法确定【答案】A【解析】∵22y x x d =-+与x 轴有两个不同交点， ∴0∆>， ∴440d ∆=->，1d <，∵1R =，∴点P 在⊙O 内部．9．小刚在实践课上要做一个如图1所示的折扇，折扇扇面的宽度AB 是骨柄长OA 的34，折扇张开的角度为120︒．小刚现要在如图2所示的矩形布料上剪下扇面，且扇面不能拼接，已知矩形布料长为，宽为21cm ．小刚通过画图、运算，在矩形布料上裁剪下了最大的扇面，若不计裁剪和粘贴的损耗，现在扇面的宽度AB 为（ ）．图2图1宽：O AA ．21cmB ．20cmC ．19cmD ．18cm【答案】B 【解析】120°123123243cmA'ABO∵120A OB'∠=︒，AA '= ∴24AO =，324184AB =⨯=．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题： 尺规作图：过圆外一点作圆的切线． 已知：P 为⊙O 外一点． 求作：通过点P 的⊙O 的切线．P小敏的作法如下： 如图，（1）连接OP ，作线段OP 的垂直平分线MN 交OP 于点C ． （2）以点C 为圆心，CO 的长为半径作圆，交⊙O 于A ，B 两点． （3）作直线PA ，PB ．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA ，OB 后，可证90OAP OBP ∠=∠=︒，其依据是____________________；由此可证明直线PA ，PB 差不多上⊙O 的切线，其依据是________________________________________．【答案】见解析．【解析】①直径所对的圆周角是直角．②通过半径的外端并用垂直于半径的直线是圆的切线．10．【答案】D【解析】∵22282(2)8y x x m x m =-+=-+-， ∴对称轴2x =，将67x <<关于对称轴2x =对称，得32x -<<-，则现在图象位于x 轴上方， ∵21x -<<-时图象位于x 轴下方， ∴可知，图象过(2,0)-， ∴0816m =++24m =-．二、填空题 11．【答案】>【解析】3x =-时，21(3)5391524y x =---=+=，2x =时，222524106y =-⨯=-=-，∴12y y >．12．【答案】1k <且0k ≠【解析】∵221y kx x =-+图象与x 轴有两个不同交点， ∴0∆>且0k ≠， ∵2(2)4k ∆=--44k =-，∴440k ->， ∴1k <， ∴1k <且0k ≠．13．【答案】16π 【解析】C如图：130∠=︒，6AB =， ∴Rt ABO △中，2BO =， S S S =+全面积侧面积底面积2ππAB BO BO =⋅+⋅ 2π62π2=⨯⨯+⨯12π4π=+ 16π=．14．【答案】2-1【解析】∵20ax bx c --=， 可化为2ax bx c =+，即方程的解为函数2y ax =，y bx c =+， 图象交点的横坐标，又∵交点为(2,4)A -，(1,1)B ， ∴x 为2-，1．15．【答案】110 13【解析】OCDBA如图：1AB =，10CD =，由垂径定理可知：152CA CD ==，设半径为r ，在Rt ACO △中，222AO CA CO +=， ∴222(1)5r r -+=13r =．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分）解承诺写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．解一元二次方程：2420x x -+=【答案】12x =+22x = 【解析】2420x x -+= 2442x x -+= 2(2)2x -=2x -=12x =+22x =18．已知2310x x +-=，求224(2)(1)3(1)x x x x ++---的值．【答案】6．【解析】原式222482133x x x x x =++-+-+ 2264x x =++ 22(3)4x x =++，当2310x x +-=，即231x x +=时， 原式2146=⨯+=．19．如图，ABC △内接于⊙O ，120BAC ∠=︒，AB AC =，BD 为⊙O 的直径，10AD =，求弦AC 的长．【解析】∵⊙O 中BD 是直径， ∴90DAB ∠=︒，∵ABC △中，120BAC ∠=︒，AB AC =， ∴30C ∠=︒， ∴30D ∠=︒，在Rt ABD △中，10AD =，30D ∠=︒，90DAB ∠=︒，∴AB =，∴AC =20．如图，在ABC △中，75ABC ∠=︒，在同一平面内，将ABC △绕点B 旋转到DBE △的位置，使得DA BC ∥，求EBC ∠的度数．ABCDE【答案】30︒．【解析】∵AD BC ∥，75ABC ∠=︒， ∴75DAB ABC ∠=∠=︒， ∵BA BD =，∴75BDA BAD ∠=∠=︒， ∴118075230∠=︒-︒⨯=︒， ∴由旋转性质可知，2130∠=∠=︒．21ABCDE21．已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC △三个顶点的坐标分别为(0,0)A ，(1,0)B ，(2,2)C ．以A 为旋转中心，把ABC △逆时针旋转90︒，得到ABC ''△．（1）画出AB C ''△．（2）点B '的坐标为______________________________． （3）求点C 旋转到C '所通过的路线长．x【答案】（1）见解析；（2）(0,1)；（3． 【解析】（3）如图，C 走过的路线为弧CC '， ∵(2,2)C ，∴AC = ∵90CAC '∠=︒，∴902π360CC ︒'=⋅⋅︒=．x22．已知：关于x 的一元二次方程220x x m --=有实数根． （1）求m 的取值范畴．（2）若a ，b 是此方程的两个根，且满足22131(2451)22a a b b ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，求m 的值．【答案】（1）1m -≥；（2）1m =． 【解析】（1）∵ 220x x m --=有实根， ∴0∆≥， ∵44m ∆=+， ∴440m +≥， ∴1m -≥．（2）22131(241)22a a b b ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，2213(22)222a a b b ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭，∵a 、b 为方程220x x m --=的两根， ∴220a a m --=，220b b m --=， ∴22a a m -=，22b b m -=，∴13(1)22m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，2132122m m m +--=235022m m +-=22350m m +-= (25)(1)0m m +-=152m =-（舍）1m =，∴1m =．23．已知：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x 和y 满足下表：（1）可求得m 的值为__________． （2）求出那个二次函数的解析式．（3）当03x <<时，则y 的取值范畴为______________________________．【答案】（1）3；（2）2(2)1y x =--；（3）13y -<<． 【解析】（1）由表可知0x =，4x =，关于对称轴对称， ∴3m =．（2）设顶点式2(2)1y a x =--， ∵过(1,0)， ∴20(12)1a =--1a =，∴2(2)1y x =--．（3）∵抛物线开口向上，对称轴2x =， ∴03x <<时，当0x =时，y 有最大值3，2x =时，y 有最小值1-，∴13y -<<．24．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价x 元，则可卖出(32010)x -件．假如商店打算要获利400元，则每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？【答案】22100【解析】设每件商品的售价定为x 元， (18)(32010)400x x -⋅-=，128x =，222x =，18(125%)22.5x +=，∵1822.5x <≤， ∴22x =，320103*********x -=-⨯=（件）， 答：售价定为22时，卖出100件．25．已知：如图，ABC △内接于⊙O ，OH AC ⊥于H ，30B ∠=︒，过A 点的直线与OC 的延长线交于点D ，30CAD ∠=︒，AD = （1）求证：AD 是⊙O 的切线．（2）若E 为⊙O 上一动点，连接AE 交直线OD 于点P ，问：是否存在点P ，使得PA PH +的值最小，若存在求PA PH +的最小值，若不存在，说明理由．H ODCBA【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）连结AO ， ∵30B ∠=︒，∴260AOC β∠=∠=︒， 又∵AO CO =，∴AOC △为等边三角形， ∴60OAC ∠=︒， 又∵30CAD ∠=︒， ∴90OAD ∠=︒， ∴OA AD ⊥， 又∵OA 为半径， ∴AD 为⊙O 切线．PA BCDOH（2）将点A 关于直线OD 对称到点A '， 由垂径定理可知A '在⊙O 上， ∴PA PA '=，∴min min ()()PA PH PA PH '+=+， ∵60AOC ∠=︒， ∴60A OC '∠=︒， ∴120AOA '∠=︒，又∵1302AOH AOC ∠=∠=︒，∴1203090A OH '∠=︒-︒=︒，∵Rt AOD △中90OAD ∠=︒，60AOD ∠=︒，AD = ∴10AO =， ∴10A O '=，在Rt AOH △中，OH =∴在Rt OHA '△中，222OA OH A H ''+=，∴22210A H '+=，∴A H '=∴PA PH +最小值为26．有如此一个问题：探究函数262x y x -=-的图象与性质．小慧依照学习函数的体会，对函数262x y x -=-的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成： （1）函数262x y x -=-的自变量x 的取值范畴是__________． （2）列出y 与x 的几组对应值．请直截了当写出m 的值，m =__________．（3）请在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． （4）结合函数的图象，写出该函数的两条性质．①__________________________________________________． ②__________________________________________________．x【答案】（1）2x ≠；（2）3m =；（3）图象只是第三象限，与直线2x =没有交点；（4）见解析． 【解析】（1）分母不为0，则20x -≠，2x ≠． （2）令0y =，则2602x x -=-， ∴3x =．（3）从交点个数，增减性，过象限等角度来写．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21212y ax x a =+-+与y 轴交于C 点，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），且点A 的横坐标为1-． （1）求a 的值．（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为P '，求点P '的坐标．（3）将抛物线在A ，B 两点之间的部分（包括A ，B 两点），先向下平移3个单位，再向左平移(0)m m >个单位，平移后的图象记为图象G ，若图象G 与直线PP '无交点，求m 的取值范畴．x【答案】（1）2a =-；（2）(1,4)--；（3）见解析． 【解析】（1）∵图象过(1,0)A -，∴210(1)2(1)12a a =-+⨯--+10212a a =--+2a =-．（2）223y x x =-++ 2(1)4x =--+，顶点(1,4)P +，P 与P '关于原点对称，∴(1,4)P '--．（3）令0y =，则2023x x =-++， (3)(1)0x x -+=，13x =，21x =-，∴(1,0)A -，(3,0)B ，将图象向下平移3个单位后，(1,3)A '--，(3,3)B '-， ∵(1,4)P ，(1,4)P '--，∴直线PP '解析为4y x =，令3y =-，则34x =-，∴3,34H ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由图可知，333344B H ⎛⎫'=--= ⎪⎝⎭，∴334m >时，图象G 与直线PP '无交点．28．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB BC =，80ABC ∠=︒，180A C ∠+∠=︒，点M 是AD 边上一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋转40︒，与CD 边交于点N ，请你补全图形，求MN ，AM ，CN 的数量关系．（2）如图2，在菱形ABCD 中，点M 是AD 边上任意一点，把射线BM 绕点B 顺时针旋12ABC ∠，与CD 边交于点N ，连结MN ，请你补全图形并画出辅助线，直截了当写出AM ，CN ，MN 的数量关系是__________．（3）如图3，正方形ABCD 的边长是1，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若DMN △的周长为2，则MBN △的面积最小值为____________________．图3图2图1A B CDM BCDA MDCBA解：（1）____________________． （2）____________________． （3）____________________．【答案】（1）MN AM NC =+；（2）MN AM NC =+；（31． 【解析】（1）连DC 延长线上截取CM AM '=， 连结BM '，∵1180A ∠+∠=︒，12180∠+∠=︒， ∴2A ∠=∠，在ABM △和CBM '△中， 2AB CB A AM CM ⎧=⎪⎪∠=∠⎨⎪'=⎪⎩， ∴ABM △≌CBM '△， ∴BM BM '=，34∠=∠， ∵80ABC ∠=︒，540∠=︒， ∴3640∠+∠=︒， ∴4640∠+∠=︒， ∴MBN M BN '∠=∠， 连结MN ，在MBN △和M BN '△中，5BM BM NBM BN BN ⎧'=⎪⎪'∠=∠⎨⎪=⎪⎩， ∴MBN △≌M BN '△， ∴MN NM '=，∵NM NC CM NC AM ''=+=+， ∴MN AM NC =+．N 'M '654321ABC DM（2）证明同（1）． （3）z y x NM LDC B A延长DC 至L ，使CL AM =， 连结BL ，∵90A BCL ∠=∠=︒，AB BC =， ∴ABM △≌CBL △（SAS ）， ∴BM BL =，∵2MD DN MN ++=，2AM MD DN NC +++=，∴MN AM NC =+， 又∵AM CL =， ∴CL CN NL MN +==， ∴BMN △≌BLN △（SSS ）， 设DN x =，DM y =，MN z =， 则222x y z +=， ∵2x y z ++=， ∴2x y z =--， ∴222(2)y z y z --+=，整理得：22(24)(44)0y z y z +-+-=， ∴2(24)42(44)0z z ∆=--⨯⨯-≥，即(220z z +-++≥， 又∵0z >， ∵BMN BNL S S =△△12NL BC =⋅⋅ 112z =⨯⨯ 12)2⨯≥，∴BMN S △ 1-29．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线l 上，以A 为圆心，OA 为半径的圆与y 轴的另一个交点为E ．给出如下定义：若线段OE ，⊙A 和直线l 上分别存在点B ，点C 和点D ，使得四边形ABCD 是矩形（点A ，B ，C ，D 顺时针排列），则称矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”． 例如，下图中的矩形ABCD 为直线l 的“理想矩形”．备用图x（1）若点(1,2)A -，四边形ABCD 为直线1x =-的“理想矩形”，则点D 的坐标为____________________．（2）若点(3,4)A ，求直线1(0)y kx k =+≠的“理想矩形”的面积．（3）若点(1,3)A -，直线l 的“理想矩形”面积的最大值为__________，现在点D 的坐标为________________________________________． 解：（1）____________________． （2）____________________．（3）______________________________，______________________________． 【答案】（1）(1,0)D -；（2）（3）5(1,1)D --(3,2)-．【解析】（1）四边形ABCD 中，A ，B ，C ，D 是顺时针排列， 且分别落在线段OE ，⊙A 和直线l 上， ∴(1,0)D -．x（2）连结AO ，过点A 作AF y ⊥轴于点F ， ∵(3,4)A 在1y kx =+上， ∴直线:1l y x =+， 设l 与y 轴交于点(0,1)H ， ∵(0,4)F ， ∴3HF =，在y 轴上截取3FB =，连结BA ，可知AB AH ==过点B 作BC AB ⊥交⊙A 于点C ，过点C 作CD l ⊥于点D ， 使得A ，B ，C ，D 顺时针排列， 连结AC ，∵5AC AO ==，AB =∴Rt ABC △中，222BC AC BA =-225=-7=，∴BC =，∴S AB BC =⋅==x（3）设“理想矩形”的一组邻边分别为x ，y ， 则222221310x y AO +==+=，∵222()21020x y x y xy xy -=+-=-≥， ∴5xy ≤， 5S xy =≤，∴当且仅当x y =时，xy 有最大值5，现在理想矩形为正方形．①当点D 在第四象限明，过点A 作AM y ⊥轴于点M ，交过点D 平行于y 轴的直线于点N ， 易证BMA △≌AND △， ∴(2,34)D H -+，即(3,2)-． ②当点D 在第三象限时，过点A 作x 轴的平分线，交y 轴于点N ，交过点D 平行于y 轴的直线于点M ，易证Rt ANB △≌Rt DMA △， 则有1DM AN ==，2AM BN ==， ∴(12,31)D --+即(1,2)--，综上：最大值为5，(3,2)D -或(1,2)--．。
北京市北京师范大学附属中学2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试卷(讲解版)
【答案】B
【分析】根据二次函数解析式求得顶点坐标为 ，即可求解．
【详解】解：根据二次函数解析式，可得顶点坐标为
由二次函数的性质可得对称轴为
故选B
【点睛】此题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键．
5.实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
14.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②3a+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④16a+4b+c＞0．其中正确结论的个数是：___．
【答案】3
【分析】根据二次函数图像的性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点以及特殊点的值），确定对应代数值的符号即可．
【详解】解：图像开口方向向上，所以 ，
15.如图，在正方形网格中，将格点△ABC绕某点顺时针旋转α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与A1，点B与B1，点C与C1是对应点．
（1）请通过画图找出旋转中心M．
（2）直接写出旋转角α的度数为____．
【答案】（1）见解析；（2）90°
【分析】（1）连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求；
对称轴为 ，
图像与 轴交点在 轴下方，∴
∴ ，①错误；
由图像可得，当 时， ，即 ，∴ ，②正确；
图像与 轴有两个交点，∴ ，③正确；
由图像可知，当 时， ，又因为 关于 对称的点为
∴当 时， ，即 ，④正确
所以正确的个数为3
故答案 3
【点睛】此题考查了二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是根据函数图像确定出对应代数值的符号．
北京交通大学附属中学第二分校2021-2022学年九年级下学期月考数学试题
北京交通大学附属中学第二分校2021-2022学年九年级下学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题12．在 ABC中，AB=AC可证明 ABD≌ ACD13．如果232+-=a a14．如图，在平面直角坐标系（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由15．如图所示的网格是正方形网格，的面积的大小关系为：已知：AOB ∠．求作：APC ∠，使得2APC AOB ∠=∠．作法：如图，①在射线OB 上任取一点C ；②作线段OC 的垂直平分线，交OA 于点P ，交OB 于点D ：③连接PC ；所以APC ∠即为所求作的角．根据小华设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）证明：∵DP 是线段OC 的垂直平分线，∴OP =_______________（___________）∴O PCO ∠=∠．∵APC O PCO ∠=∠+∠（______________）∴2APC AOB ∠=∠．20．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E(1)求证：四边形AEDF 是矩形；(2)连接BD ，若2AB AE ==，2tan 5FAD ∠=，求BD 的长．23．如图，在Rt △ABC 中，∠C OB 的所有点组成图形W ，图形W（1）判断图形W 与AE 所在直线的公共点个数，并证明．（2）若4BC =，1tan 2B =，求24．某校九年级共有学生450人，为了解该校九年级学生体育测试成绩的变化情况，从中随机抽取30名学生的本学期体育测试成绩，绩进行对比，小元对两次数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．小元在统计本学期体育测试成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：成绩（分）25x ≤25.526人数（人）2注：成绩只能为0.5的整数倍．b ．将体育测试成绩按四舍五入取整后，得出的频数分布折线图如下（数据分组：25,2526x x ≤<≤，2627,2728,2829,29x x x <≤<≤<≤26．已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 图象的顶点坐标为（1，16）．（1）求b ，c 的值；（2）是否存在实数m ，n （m ＜n ），使当m ≤x ≤n 时，二次函数的最小值是4m ，最大值是4n ．若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．27．在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上的一个动点（点D 不与点B ，C 重合），连接AD ，作等腰ADE ∆，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，点D ，E 在直线AC 两旁，连接CE ．(1)如图1，当90BAC ∠=︒时，直接写出BC 与CE 的位置关系；(2)如图2，当090BAC ︒<∠<︒时，过点A 作AF CE ⊥于点F ．①若点F 在线段CE 的延长线上时，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD ，CD ，EF 之间的数量关系，并证明．②若点F 在线段CE 上时，直接写出线段BD ，CD ，EF 之间的数量关系．28．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于线段AB ，给出如下定义：若线段AB 沿着某条直线l 对称可以得到O 的弦A B ''，则称线段AB 是O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，直线l 称为“反射轴”．(1)如图，线段CD，EF，GH中是O的以直线l为对称轴的“反射线段”有；(2)已知A点坐标为(0,2)，B点坐标为(1,1)，①若线段AB是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴坐标．②若将“反射线段”AB沿直线y x=的方向向上平移一段距离S，其反射轴点的纵坐标M y的取值范围为11326My≤≤，求S的取值范围．(3)己知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足1MN=，若MN是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴的区域的面积．。
2021年北京市交大附中九年级零模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列几何体中，是圆柱的为
A． B． C． D．
2．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A．a＞﹣2B．a＜﹣3C．a＞﹣bD．a＜﹣b
A． B． C． D．
二、填空题
9．若分式 的值是0，则x的值为_______．
10．在某一时刻，测得身高为1.8m的小明的影长为3m，同时测得一建筑物的影长为10m，那么这个建筑物的高度为______m．
11．袋子中有20个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程150次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是__．
3．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积．已知每个标准足球场的面积为 ，则FAST的反射面积总面积约为
A． B． C． D．
4．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线 ，直线 与直线 ， 分别交于点 ，点 ， 于点 ，交直线 于点 ．如果 ，那么 的度数为()
15．百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位 标示澳门回归日期，最后一行中间两位 标示澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和，每列10个数之和，每条对角线10个数之和均相等，则这个和为________________．
2021交大附中东校区初三上10月月考
2021北京交大附中东校区初三（上）10月月考数 学班级______________姓名______________成绩______________一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．一元二次方程2x 2+3x +5=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断2．把抛物线2y x =向上平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为（）A ．21y x =+B ．21y x =−C ．21y x =−+D ．21y x =−−3．在平面直角坐标系中有A (2，﹣1)、B (﹣1，﹣2)、C (2，1)、D (﹣2，1)四点，其中关于原点对称的两点为()A ．点A 和点BB ．点B 和点CC ．点C 和点DD ．点D 和点A4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（）A B C D5．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n °后能与原来的图案重合，那么n 的值可能是（ ） A ．45B ．60C ．90D ．1205题图 7题图8题图6．若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，则抛物线c bx ax y ++=2对称轴是直线（）A. x ＝－3B. x ＝－2C. x ＝－1D.x ＝17．如图，在4×4的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M 1N 1P 1．则其旋转中心一定是（ ）A ．点EB ．点FC ．点GD ．点H8．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄地点的一种方法．为了确定视频拍摄地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度l （单位：米）与时刻t （单位：时）的关系满足函数关系2l at bt c =++（a ，b ，c 是常数），如图记录了三个时刻的数据，根据上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t 是（ ） A ．12.75B ．13C ．13.33D ．13.5二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9． 一元二次方程x 2=3x 的根．10．写出一个图象开口向上，过点（0，0）的二次函数的表达式：_____ ___．11．点P （1−，2）关于原点的对称点的坐标为______ __．12．已知抛物线22y x x =+经过点1(4)y −，，2(1)y ，，则1y ________2y （填“＞”，“=”，或“＜”）． 13． 抛物线21y x x =−−与x 轴的公共点的个数是________．14．关于x 的一元二次方程(m +1)x 2+x +m 2−2m −3=0有一个根为0，则m 的值为 ．15．如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）近似满足函数关系式()216510h t =−−+，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 米．15题图16题图16．如图，在△ABC 中，AB >AC ,将△ABC 以点A 为中心顺时针旋转，得到△AED ，点D 在BC 上，DE 交AB 于点F ．如下结论中，①DA 平分∠EDC ；②△ABC ≌△AED ； ③∠BDF =∠CAD ；④EF=BD.所有．．正确结论的序号是________ __.三、解答题（本题共68分，第17~20题，每小题5分，第21~26题，每小题8分） 17．解方程：x (x −2)+x −2=018．已知m是方程x2−2x−5=0的一个根，求m3−2m2−5m−9的值．19．如图，已知△ABC与△ADE都是等腰三角形，且它们的顶角∠BAC＝∠DAE．求证：BD＝CE．20．如图，有一块矩形纸板，长为20cm，宽为14cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分沿虚线折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为160cm2，那么纸板各角应切去边长为多大的正方形？21．如图所示的正方形格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：(1)将△ABC沿x轴翻折后再沿x轴向右平移1个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1．(2)作△ABC关于坐标原点成中心对称的△A2B2C2．(3)写出B1的坐标C2的坐标．22.已知抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0)图像上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：（1）求此抛物线的解析式；（2）画出函数图象，结合图象直接写出当04x ≤≤时，y 的范围.23．已知关于x 的一元二次方程kx 2−4x +2=0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若△ABC 中，AB ＝AC ＝2，AB ，BC 的长是方程kx 2−4x +2=0的两根，求BC 的长．24．有若干个边长都为2的小正方形．若小正方形Ⅱ的一个顶点在小正方形I 的中心O 1，如图所示；类似地小正方形Ⅲ的一个顶点在小正方形Ⅱ的中心O 2，并且小正方形I 与小正方形Ⅲ不相重叠，如果若干个小正方形都按这种方法拼接，问需要几个小正方形能使拼接出的图形的阴影部分的面积等于一个小正方形的面积，并给出你的证明过程．25． 已知∠MON=α，P 为射线OM 上的点，OP=1．（1）如图1，︒=60α，A ，B 均为射线ON 上的点，OA=1，OB >OA ，△PBC 为等边三角形，且O ，C 两点位于直线PB 的异侧，连接AC ． ①依题意将图1补全；②判断直线AC 与OM 的位置关系并加以证明；（2）若︒=45α，Q 为射线ON 上一动点（Q 与O 不重合），以PQ 为斜边作等腰直角△PQR ，使O ，R 两点位于直线PQ 的异侧，连接OR ． 根据（1）的解答经验，直接写出△POR 的面积．图1 备用图26．如图，在平面直角坐标系中，A （4，0），B （4，4），C （0，4），点F 、D 分别在x 轴、y 轴上，正方形DEFO的边长为a （a ＜2），连接AC 、AE 、CF ．（1）求图中△AEC 的面积，请直接写出计算结果；（2）将图中正方形ODEF 绕点O 旋转一周，在旋转的过程中，S △AEC 是否存在最大值、最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，在备用图中画出相应位置的图形，并直接写出最大值、最小值；（3）将图1中正方形ODEF 绕点O 旋转，当点E 在第二象限时，设E （x ，y ），△AEC 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式．备用图xx。