数学物理方法课件：04第四章 解析函数的幂级数表示 (1)

例1：(1)
n0
z2n 2n ,
zn (2) ,
n1 n
(3)
zn1 的收敛半径
n1 n(n 1)
对级数 (1)，不存在极限 lim | cn |,
c n n1
1
R
lim
n
sup
n
|
cn
|
1/
2
lim
n
|
cn
|1/
n
另解：
wn
n0 2n
(w z2 ) 收敛半径为 2 R
2
级数 (2), (3) 收敛半径都为 1。 在收敛圆上：
fn(z) 收敛 (一致收敛) 的充分必要条件：
n0
对zE 及 0，存在 N( , z) 0, p m N( , z)
p
时 | fn (z) | .
N ( ) 0
N ( )
nm
推论：绝对收敛的级数必为收敛级数
魏尔斯特拉斯 M-判别法：若在 E 上 | fn(z) | Mn，
Mn为收敛的正项级数 (称为 fn(z) 的强级数)，
上连续， fn(z) 在 C 上一致收敛于 f(z)， n0
则 f (z) 在 C 上可积，C f (z)dz C fn(z)dz n0
3.魏尔斯特拉斯定理
若 fn(z), n=0,1,2,…在区域 D 上解析，在包含于 D
的任意闭圆盘上 fn(z) 一致收敛于 f(z)，则： n0
(1) 和函数 f(z) 在 D 上解析；
(2) 在 D 内级数可逐项求导至任意阶，且
f
( n
p)(z)
在包含于
D
上的任意闭圆盘上一致
n0
收敛于 f ( p)(z)
§4.2 幂级数与解析函数
1.幂级数的收敛圆
以 a 为中心的幂级数：
cn(z a)n c0 c1(z a) c2(z a)2 ...
n0
存在 0 R ∞，使得 cn(z a)n 在|z-a|<R 时收敛， n0
在 E 上一致收敛于 f(z)。
• 若 | fn(z) | 收敛，则称 fn(z) 绝对收敛
n0
n0
➢几何级数
z n 1 z z 2 ...
n0
在 |z|≥1 时发散；在 |z|≤ρ<1 内一致收敛；
在 |z|<1 内绝对收敛，但不是一致收敛
m zn 1 zm1 1 (| z | 1) 收敛有快有慢
级数 (1) 处处发散，级数 (3) 处处绝对收敛；
级数 (2) 在 z=1 处发散，在其余点处收敛。
魏尔斯特拉斯定理 + 阿贝尔定理
➢ 幂级数的和函数在收敛圆内解析
幂级数 cn (z a)n 的和函数 f(z) 在收敛圆 |z-a|=R n0
的内部解析，可逐项求导、逐项积分：
z
f ( )d
•a
在 上该级数有强级数
M | z a |n
n0 n
此级数在圆 上一致收敛，可逐项积分：
n0
1 z m 1 z
m
对 0<ε<1/2，不等式 | zn (1 z)1 | n0
的解为 m N (z, ) 1, N (z, ) ln( |1 z |)
ln | z |
若 |z|≤ρ，则N (z, ) ln[ (1 )]; lim N(z, )
ln
z 1
➢ 柯西收敛准则
n0
n0
则在 E 上 fn(z) 绝对收敛且一致收敛
n0
2.一致收敛级数的连续性和逐项积分
(1) 设 fn(z), n=0,1,2,… 在平面点集 E 上连续，
fn(z) 在 E 上一致收敛于 f(z)。
n0
则和函数 f(z) 在 E 上连续；
(2) 若 fn(z), n=0,1,2,…在逐段光滑的曲线 C
泰勒展开对比：f
(
x)
Leabharlann Baidu
0,
, x0
f (n)(0) 0
证明：对 zD 作圆 : | a | , | z a |
出发点：柯西公式
f (z)
1
2 i
f ( )d z
f ( )
f ( ) (z a)n
( a) (z a) a n 0 ( a)n ,
• z•
则在此圆盘上 f(z) 能展开为幂级数 (泰勒展开)
f (z) cn (z a)n,
n0
f (n)(a) cn n!
(展开方式唯一)
收敛半径 = min{ |b-a|：b为 f(z) 的奇点或 ∞ }
• f(z) 在 a 处有泰勒展开
f(z) 在 a 处解析
• 与实变函数的
exp( x2 ), x 0
在 |z-a|>R 时发散。|z-a|=R 称为幂级数的收敛圆， R 称为幂级数的收敛半径
阿贝尔定理：若幂级数 cn (z a)n 在 z = z0 收敛， n0
则对 0<ρ < |z0-a|，该幂级数在闭圆盘 |z-a|≤ρ 内
绝对收敛且一致收敛。
证明： cn (z0 a)n 收敛时，存在 M > 0, | cn (z0 a)n | M n0
cn (z a)n1, | z a | R
a
n0 n 1
f ( p)(z) n(n 1)...( n p 1) cn (z a)n p
n p
, cp
f ( p)(a) p!
若 0<R<∞，则收敛圆 |z-a|=R 上必有 f(z) 的奇点
2.解析函数的泰勒(Taylor)展开
泰勒定理：若函数 f(z) 在圆盘 D：|z-a|< δ 上解析，
若 |z-a|ρ，则| cn (z a)n | M q n,
q
1
| z0 a |
(发散点)
z1
M qn 收敛
n0
cn (z a)n
n0
z• •a
在 |z-a|ρ 内绝对收敛且一致收敛
•z0
柯西-阿达玛公式：若存在极限 lim | cn | 或
c n n1
lim
n
|
cn
|1/ n ,
则极限值为
cn (z a)n 的收敛半径。
n0
普适公式：1
R
lim sup
n
n
|
cn
|
(上极限)
上极限：对实数序列 {xn} ，若去掉前 n 项后的
子序列最小上界为 pn，则
lim sup
n
xn
lim
n
pn
•对
zn ,
lim
1/ n!
lim n n! , 收敛半径为 ∞
n0 n! n 1 /(n 1)! n
§4.1 函数项级数的基本性质
1.函数项级数 fn(z) (1) n0 • 称函数项级数 (1) 在点集 E 上收敛于函数 f(z)，
若对每点 zE 及任意ε>0，存在正数 N ( , z),
m
对每个 m N ( , z)，有 | fn(z) f (z) | . n0
• 当 N( , z)可不依赖于 zE 时，称此函数项级数