点到直线的距离 练习题
初中数学《点到直线的距离》练习题 (43)
初中数学《点到直线的距离》练习题
1．如图，是李晓松同学在运动会跳远比赛中最好的一跳，甲、乙、丙三名同学分别测得P A ＝5.52米，PB＝5.37米，MA＝5.60米，那么他的跳远成绩应该为 5.37米．
【分析】测量跳远成绩，应从踏板前沿至运动员在沙坑里留下的痕迹的最近点的距离，为运动员的跳远成绩，所以李晓松的跳远成绩为点P到踏板的距离，即点P到踏板所在的直线的垂线段的长度，据此判断出他的跳远成绩应该为多少米即可．
【解答】解：根据跳远规则，李晓松的跳远成绩为点P到踏板的距离，
∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，
∴他的跳远成绩应该为线段PB的长度，
∵PB＝5.37米，
∴他的跳远成绩应该为5.37米．
故答案为：5.37．
【点评】此题主要考查了点到直线的距离的含义以及特征，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是要明确：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，特别注意是“垂线段的长度”．
1。
四年级数学上册《点到直线的距离》作业练习题课件
3．在下面的一组平行线之间画三条垂直于平行线的线段，量一量，你发 现了什么？
我发现：与两条平行线互相垂直的线段的长度都( 相等 )。
4．小明从家去果园走哪条路最近？为什么？
5．小马要从A点过河，怎样走最近？请你把最近的线路画出来。
6．下图中，两条线段表示两幢新建的大楼，现在要从A处将煤气送往两 幢大楼，并要使煤气管道的长度最短。请你在图中画出管道的位置。
A．AB
B．AC
C．AD
D．AE
(2)将一张长方形纸沿长边对折一次，再沿短边对折一次，两
条折痕( B )。
A．互相平行
B．互相垂直
C．无法确定
(3)两条平行线间可以画( C )条垂直线段。
A．1
B．2
C．无数
(4)如图，如果直线l1平行于l2，那么线段AB和CD 的关系是( B )。 A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD
第3课时 点到直线的距离
1．我会填。
(1)从直线外一点到这条直线所画的(垂直线段 )最短，它的长度叫做这 点到直线的( 距离 )。 (2)有两条直线和同一条直线垂直，这两条直线互相( 平行 )。 (3)直角三角形的直角的两条边互相( 垂直 )。
2．我会选。(段是( C )。
点到直线的距离150题及解析
【解析】解：∵OQ⊥PR，
∴点O到PR所在直线的距离是线段OQ的长．
故选：C．
根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离，结合图形判断即可．
本题考查了点到直线的距离，熟记概念并准确识图是解题的关键．
9.下列日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩；④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙．其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是（ ）
故选：A．
根据点到直线的距离，直线的性质，线段的性质，可得答案．
本题考查了线段的性质，熟记性质并能灵活过应用是解题关键．
10. 如图，点A到线段BC所在直线的距离是线段（ ）
A.AC的长度
B.AD的长度
C.AE的长度
D.AB的长度
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了点到直线的距离有关知识，根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案.
D、在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直符合垂直的性质，故本选项正确．
故选：D．
根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是点到直线的距离，熟知从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离是解答此题的关键．
14.下列说法正确的是（ ）
A.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
12.下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故选：D．
根据点到直线的距离是指垂线段的长度，即可解答．
高中数学点到直线的距离总结练习含答案解析S
2.1.6 点到直线的距离点到直线的距离1.点P0(x,y)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式为d=①.2.两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0(A、B不同时为0,且C1≠C2)的距离为d=②.利用点到直线的距离公式求最值1.(2014江苏常州中学单元训练,★☆☆)在过点A(2,1)的所有直线中,距离原点最远的直线方程为.思路点拨把握距离本质,数形结合解决问题.2.(2013宁夏银川期末,★☆☆)求与直线2x+2y-3=0垂直,并且与原点的距离是5的直线的方程.3.(2015无锡一中检测,★★☆)已知直线l:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0及点P(3,4).(1)证明:直线l过定点,并求出该定点的坐标;(2)当点P到直线l的距离最大时,求直线l的方程.一、填空题1.点(3,4)到直线y=2的距离d= .2.已知点(3,√3)到直线x+my-4=0的距离等于1,则m= .3.x轴上一点A(a,0)到第一、三象限的角平分线的距离是.4.过点P(-1,2),且与原点的距离等于√22的直线方程是.5.已知平行四边形两条对角线的交点为(1,1),一条边所在直线的方程为3x-4y=12,则这条边的对边所在的直线方程为.6.两平行线y=kx+b1与y=kx+b2(b1≠b2)之间的距离是.7.已知平行线2x+3y-3=0与2x+3y-9=0,与它们等距离的平行线的方程为.8.曲线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是.9.经过直线x+2y-3=0与2x-y-1=0的交点且和点(0,1)的距离等于1的直线方程为.二、解答题10.若动点P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在直线l1:x-y-5=0,l2:x-y-15=0上移动,求P1P2的中点P到原点的距离的最小值.知识清单①00√A2+B2②12√A2+B2链接高考1.答案2x+y-5=0解析当所求直线与OA垂直时,原点到直线的距离最大,∵kOA =12,∴k=-2.∴方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.2.解析由题意得所求直线的斜率为1,则可设直线的方程为y=x+b,即x-y+b=0,由原点到直线的距离是5得√12+(-1)=5,∴|b|=5√2,∴b=±5√2,∴所求直线的方程为x-y+5√2=0或x-y-5√2=0.3.解析(1)将直线l的方程化为a(2x+y+1)+b(x+y-1)=0,∴无论a,b如何变化,直线l都恒过直线2x+y+1=0与直线x+y-1=0的交点.由{2x+y+1=0,x+y-1=0得{x=-2,y=3,∴直线l过定点(-2,3).(2)设该定点为Q,当l⊥PQ时,点P到直线l的距离最大, 此时直线l的斜率为-5,∴直线l的方程为y-3=-5(x+2),即5x+y+7=0.基础过关一、填空题1.答案 2解析d=|4-2|=2.2.答案√3或0解析由题意得√3m√12+m2=1,∴m=√3或m=0.3.答案√22|a|解析 平面直角坐标系中,第一、三象限的角平分线即为直线y=x,A(a,0)到直线y=x 的距离为d=√12+(-1)=√2=√22|a|. 4.答案 x+y-1=0或7x+y+5=0解析 当直线斜率不存在时,方程为x=-1,不合题意;当直线斜率存在时,设直线方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由题意得√k 2+1=√22,解得k=-1或k=-7,所以所求的直线方程为x+y-1=0或7x+y+5=0.5.答案 3x-4y+14=0解析 设所求直线方程为3x-4y+m=0(m≠-12),由题意可得√32+(-4)=√32+(-4),解得m=14或m=-12(舍),所以所求的直线方程为3x-4y+14=0. 6.答案12√1+k 2解析 化为一般式为kx-y+b 1=0,kx-y+b 2=0.因为两直线平行,所以根据两平行线间的距离公式得所求距离为d=12√1+k 2. 7.答案 2x+3y-6=0解析 设所求直线方程为2x+3y+m=0,由题意可得√22+32=√22+32,解得m=-6.所以所求的直线方程为2x+3y-6=0. 8.答案 43解析 设曲线上一点P(x 0,-x 02),点P 到直线4x+3y-8=0的距离为d=002√42+32=15|3x 02-4x 0+8|=15[3(x 0-23)2+203]≥43. 故曲线y=-x 2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值等于点(23,-49)到直线4x+3y-8=0的距离,即43. 9.答案 x-1=0解析 设所求直线方程为(x+2y-3)+λ(2x -y-1)=0, 即(1+2λ)x+(2-λ)y -3-λ=0. 由于点(0,1)到该直线的距离为1, ∴1=√(1+2λ)+(2-λ)=√5λ2+5.∴|2λ+1|=√5λ2+5,两边平方得λ2-4λ+4=0,∴λ1=λ2=2. 因此所求直线方程为(x+2y-3)+2(2x-y-1)=0,即x-1=0. 又点(0,1)到直线2x-y-1=0的距离d=√22+(-1)=25√5≠1,∴此直线不符合题意,故所求直线方程为x-1=0. 二、解答题10.解析 设直线l 为与直线l 1、l 2平行且和l 1、l 2的距离相等的直线,且直线方程为l:x-y-c=0,则5<c<15,且|c -5|√2=|c -15|√2,∴c -5=15-c,解得c=10,∴l 的方程为x-y-10=0.由题设知P 1P 2的中点P 在直线l 上,点P 到原点的最小距离就是原点到直线l 的距离d=√2=5√2.∴点P 到原点的距离的最小值为5√2.。
人教A版点到直线的距离精选课时练习(含答案)8
40．已知直线 过点 和点 .
（1）求直线 的方程；
（2）设点 ，求三角形 的面积.
41．已知△ABC的内角平分线CD的方程为 ，两个顶点为A(1，2)，B(﹣1，﹣1)．
（1）求点A到直线CD的距离；
（2）求点C的坐标．
42．已知两直线 ： ， ： ．
求直线 与 的交点P的坐标；
设 ，若直线l过点P，且点A到直线l的距离等于1，求直线l的方程．
A． B． C． D．
8．点（0，0）到直线x+y–1=0的距离是( )
A． B． C．1D．
9．直线 分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P在圆 上，则 面积的取值范围是（）
A．[10，30]B．[10，15]C．[5，15]D．[5，10]
10．圆x2+y2=4上的点到直线4x-3y+25=0的距离的最大值是（ ）
（2）求 的面积.
50．（1）求过点 且与两坐标轴截距相等的直线 的方程；
（2）已知正方形 的中心为直线 和直线 的交点，且 边所在直线方程为 ，求 边所在直线的方程.
参考答案
1．A
2．A
3．C
4．B
5．D
6．A
7．A
8．A
9．C
10．C
11．B
12．A
13．C
14．C
15．D
16．C
17．C
18．B
14．已知长方形的四个顶点 .一质点从 的中点 沿与 夹角为 的方向射到 上的点 后，依次反射到 上的点 （入射角等于反射角）.设 的坐标为 .若 ，则 的取值范围是（）.
A． B． C． D．
15．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
点到直线的距离练习题
点到直线的距离一、 选择题1、点（0，5）到直线y=2x 的距离是（ ）A 、52B 、32D 2、点p （x ，y ）在直线x=Y-4=0上，O 是原点，则op 的最小值是（ ）A 、 D 、23、p 点在直线3x+y-5=0上，且p 到直线x-y-1=0，则点p 坐标为（ ）A 、（1，2）B 、（2，1）C 、（1，2）或（2，-1）D 、（2，1）或（-1，2）4、点p （m-n ，－m ）到直线1x y m n+=的距离等于（ ）A D6、过点P(1,2)引直线，使A(2,3),B(4,-5)两点到它的距离相等，则这条直线的方程是（ ）A 、4x+y-6=0B 、x+4y-6=0C 、2x+3y-7=0或x=4-6=0D 、3+2y-7=0或4x+y-6=07、两直线3x+4y-2=0与6x+8y-5=0的距离等于（ ）A 、3B 、7C 、110 D 、12二、填空题8、点A （m+2，n+2），B （n －4，m －6）关于直线4x+3y －11=0对称，则m=-----------------，n=----------------。
9、已知点（a,2）(0)a >到直线l:x-y+3=0的距离为1，则a=（ ） 10、已知直线l 与两直线122302-y-1=0l x y l x -+=：和：的距离相等，则l 的方程为______. 11、已知实数x,y 满足关系式x+y-4=0,则22x y +的最小值是___________.三、解答题12、求点P ()00,y x 到直线L ：0=++C By Ax 的距离13、求点P （2，3）到直线0243=++y x 的距离。
15、求过点)0,1(-A ，且与原点的距离等于22的直线方程。
答案：一、选择题1、B ；2、B ；3、C ；4、A ；5、D ；6、D ；7、C二、填空题 8、4；2 91 10、2x-y+1=0 11、8三、解答题12、解：过P 作直线L 的垂线PQ 交直线L 于Q ，设Q ),(b a ，PQ 的方程为：01=+-C Ay Bx ，因为 PPQ ，所以 =1C 00Bx Ay -，PQ ：000=-+-Bx Ay Ay Bx ，即 PQ ：0)()(00=---y y A x x B ，由 0)()(00=---y y A x x B0=++C By Ax得 0)()(00=---y y A x x B0)()()(0000=+++-+-C By Ax y y B x x A有 =-0x x 2200)(B A C By Ax A +++- =-0y y 2200)(BA C By AxB +++-， 故 PQ ＝20202020)()()()(y y x x y b x a -+-=-+- 22220022222002)()()()(B A C By Ax B B A C By Ax A +++++++= 2200B A C By Ax +++=13、4 14、设动点),(y x P 到两条平行线的距离相等，根据点到直线的距离公式得 22224634623623+-+=+-+y x y x 。
初中数学《点到直线的距离》练习题 (10)
初中数学《点到直线的距离》练习题
1．下列说法正确的是（）
A．有且只有一条直线垂直于已知直线
B．互相垂直的直线一定相交
C．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
D．直线L外一点P与直线L上各点连接而成的线段中最短线段的长度是3cm，则点P 到直线L的距离是3cm．
【分析】根据垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；同一平面内的直线的位置关系；点到直线的距离定义；垂线段最短进行分析即可．
【解答】解：A、在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原题说法错误；
B、互相垂直的直线一定相交，说法错误，应为同一平面内，互相垂直的直线一定相交；
C、从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，说法错误，应为从直线外一
点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；
D、直线L外一点P与直线L上各点连接而成的线段中最短线段的长度是3cm，则点P
到直线L的距离是3cm．说法正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了点到直线的距离，同一平面内的直线的位置关系，垂线的性质，垂线段的性质，关键是掌握点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
1。
人教版高中数学必修二考点练习：有关距离的计算
有关距离的计算一、点到直线的距离1. 求点P0(－1,2)到下列直线的距离：(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.2. 已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a=______．3. 已知点A（a，6）到直线3x-4y=0的距离为4，则a=______．4. 求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．5. 已知直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程．6. 已知点P(2，－1)，求过P点且与原点距离为2的直线l的方程．7. 点P在直线3x+y-5=0上，且点P到直线x-y-1=0的距离为2，则P点坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，2）或（2，-1）D．（2，1）或（-2，1）8. 已知点，求△的面积。
9. ABC ∆中，()()()3,32,27,1,A B C --、、求A ∠平分线AD 所在直线的方程．10. 已知点()()0,2,2,0A B ，若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．111. 已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，1212. 已知直线121010l :x y ,l :x y ++=+-=，则l 1与l 2之间的距离为________________.13. 已知直线12102230l :x y ,l :x y +-=+-=，则l 1与l 2之间的距离为_______________.14. 求与直线3x －4y －2＝0平行且距离为2的直线方程．15. 到直线210l :x y ++=的距离为55的点的轨迹方程是________________.16. 直线l 1过点A(0,1)，l 2过点B(5,0)，如果l 1∥l 2且l 1与l 2的距离为5，求直线l 1与l 2的方程．二、最值问题 1. 已知51260x y +=，求()224x y -+的最小值.2. 函数的最小值为( )A. B. C. D.3. 求函数f (x )＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．4. 过点P （1，2）且与原点O 距离最大的直线方程是____________________.5. 已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)若点A(5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A(5,0)到l 的距离的最大值．6. 若点P （x,y ）在直线l ：x+2y-3=0上运动，则22x y +的最小值为__________________.7. 已知两条互相平行的动直线l1，l2,分别过A（-1，-2），B（2，2），则l1，l2之间的距离最大值为_____________,当l1，l2之间的距离最大值时，直线l1，l2的方程分别为______________,__________________.8. 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d. 求出d的取值范围？当d取最大值时，请求出两条直线的方程．9. 在△ABC中，A(1,0)，B(0，－2)，点C在抛物线y＝x2上，求△ABC面积的最小值．10. 已知△ABC的顶点坐标为A(1,1)、B(m，m)、C(4,2)，1<m<4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？三、应用1. 已知四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(－7,0)，B(2，－3)，C(5,6)，D(－4,9)，判断这个四边形是哪种四边形．2. 已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，(1)求BC边上的中线A M的长；(2)证明△ABC为等腰直角三角形．参考答案 有关距离的计算一、点到直线的距离1. 【解析】(1)由点到直线的距离公式，知d ＝()22|21210|21⨯-+-+＝105＝25.(2)解法一：把直线方程化为一般式为x －2＝0. 由点到直线的距离公式， 得d ＝22|1022|10-+⨯-+＝3.解法二：∵直线x ＝2与y 轴平行，∴由图知d ＝|－1－2|＝3.(3)解法一：由点到直线的距离公式，得d ＝22|1021|01-⨯+-+＝1.解法二：∵直线y －1＝0与x 轴平行，∴由图知d ＝|2－1|＝1.2.3.4. 解法一：由于点A(1,1)与B(－3,1)到y 轴的距离不相等，所以直线l 的斜率存在，设为k ，又因为直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0.由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l 的距离相等，得2|12|1k k -++＝()2|312|1k k ⨯--++，解得k＝0或k ＝1.故直线l 的方程是y ＝2或x －y ＋2＝0.解法二：当直线l 过AB 的中点时，直线l 与点A ，B 等距离，∵AB 的中点是(－1,1)，又直线l 过点P (0,2)，∴直线l 的方程是x －y ＋2＝0； 当直线l ∥AB 时，直线l 与点A ，B 等距离，∵直线AB 的斜率为0，∴直线l 的斜率为0. 故方程为y ＝2. 综上所述，满足条件的直线l 的方程是x －y ＋2＝0或y ＝2.5. 【解析】当直线l 过点A(1,2)且斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，原点到直线l 的距离为1，满足题意． 当直线l 过点A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.因为原点到直线l 的距离为1， 所以2|2|1k k -++＝1，解得k ＝34. 所以所求直线l 的方程为y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0. 综上所述，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y ＋5＝0.6. 【解析】过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件．此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0. 由已知，得21k +＝2，解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0. 综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.7.8. 【解析】设边上的高为，则。
小学数学四年级第五单元点到直线的距离小练习
四上第五单元小练习3：点到直线的距离
班级 姓名
例题：
①在作业纸上，用线段把大树和每个动物的起跑点连接起来。
②测量出每条线段的长度。
③用量角器测量出每条线段与起跑线所形成的较小的那个角的度数。
从直线外一点到这条直线所画的（ ）最短，它的长度叫做这点到直线的（ ）。
上图中，a ∥b 。
在a 上任选3个点，分别向b 画垂直的线段。
量一量这些线段的长度，你发现了什么？
端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直的所有线段的长度都（ ）。
变式练习：
一、选择。
1. 如图，如果直线a 平行于直线b ，
2. 如图，最短的一条线段是（ ）。
那么线段AB 和线段CD 的大小关系是（ ）。
a b
3.从商场到另一条马路，走第（ ）
4.两条平行线间可以画出（ ） 条路线最近。
条垂直线段。
A.1
B.2
C.无数
二、右图中，小明如果从A 点过马路，怎样走
路线最短？为什么？把最短的路线画出来。
三、请用在例题中发现的规律，检验下面各组直线a 、b 是否互相平行。
四、要从幸福镇修一条通往公路的水泥路。
怎样修路最近呢？
每日一思
大街的两边都有自来水管，小小家、笑笑家、红红家分别在大街的两边建了房子。
她们每家的自来水管怎样接最合理？你能在纸上画出来吗？
笑笑家 红红家 小小家 · · · 大
街。
点到直线的距离专项练习解析版
点到直线的距离1、两点间距离平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y -+-。
2、点到直线的距离点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为：0022d A B=+3、两条平行线间的距离利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式：1222d A B =+题型一 两点间距离例1.在平面直角坐标xOy 中，已知(4,3)A ，(5,2)B ，(1,0)C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为 ．【解答】解：设点(,)P x y ，由PA PB PC ==， 得22222222(4)(3)(5)(2)(4)(3)(1)x y x y x y x y ⎧-+-=-+-⎨-+-=-+⎩， 化简得24x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(3,1)． 故答案为：(3,1)．练习1.已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，则这个三角形是()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【解答】解：ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，22||(53)(24)22AB ∴-+-， 22||(51)(24)62BC +++， 22||(31)(44)45AC +++=，222AC BC AB ∴=+， ABC ∴∆是直角三角形．故选：B ．题型二 点到直线距离例1.若直线l 过点3)，倾斜角为120︒，则点(1,3)-到直线l 的距离为( ) A 3B 3C 33D 53【解答】解：直线l 过点3)，倾斜角为120︒，故直线的斜率为tan1203︒=- 故直线l 的方程为33(2)y x =-3330x y +-． 则点(1,3)-到直线l |3333|3331--+， 故选：C ．练习1.点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( ) A ．1B 2C 3D ．2【解答】解：因为点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离22222121111k k k d k k k ++===++++要求距离的最大值，故需0k >； 可得2122kdk+=1k =时等号成立； 故选：B ．例2.已知点(2,1)-到直线(2)50ax a y +-+=2，则a 的值为( )A ．3B ．1C ．13-D ．1或13-【解答】222(2)a a =+-，即23210a a --=， 解得1a =或13a =-，故选：D ．练习1.已知点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1，则实数m 等于( ) A ．34B ．43 C ．43-D ．34-【解答】解：根据题意，点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1， 则有211d m =+，解可得34m =-；故选：D例3．已知在ABC ∆的顶点(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -． （1）求ABC ∆的面积；（2）A ∠的平分线AD 所在直线的方程． 【解答】解：（1）1(2)1723BC k --==---，∴直线BC 的方程为12(3)3y x -=--，化为370x y +-=， ∴点A 到直线BC 的距离1010d =． 又22||(27)(21)310BC ++-- 111015310222S BC d ==⨯=； （2）解：设A ∠平分线AD 上的任意一点(,)P x y ， 又ABC ∆顶点(3,3)A 、(2,2)B -、(7,1)C -，∴直线AB 方程为：5120x y --=，直线AC 的方程为：5120x y -+=，∴点P 到直线AC 距离等于点P 到直线AB 2626，解得60x y +-=（舍去）或0x y -=．∴角平分线AD 所在直线方程为：0x y -=．练习1.在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,2)A -，(4,3)B ，(1,2)C --．（1）在ABC ∆中，求BC 边上的高线所在的直线方程； （2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）直线BC 的斜率32141BC k +==+． BC ∴边上的高线斜率1k =-，BC ∴边上的高线方程为：2(3)y x -=-+， BC ∴边上的高线所在的直线方程为10x y ++=．（2）(4,3)B ，(1,2)C --，22||(23)(14)52BC ∴--+--=由(4,3)B ，(1,2)C --得直线BC 的方程为：10x y --=．A ∴到直线BC 的距离322d =，ABC ∴∆的面积15232152S =⨯．题型三 平行直线间的距离例1.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离为 【解答】解：直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行， 则1(1)10a --=，解得1a =-， 直线2:30l x y -+=； 则1l 与2l 之间的距离为2221(1)d ==+-故答案为：1-2练习1已知直线:(3)10l a x y ++-=，直线:5(1)320m x a y a +-+-=，若直线//l m ，则直线l 与直线m 之间的距离是( ) A ．65B 26C ．325D 326【解答】解：由:(3)10l a x y ++-=，直线:5(1)320m x a y a +-+-=，且//l m ， 得3115132a a a+-=≠--，解得：4a =-． ∴直线:(3)10l a x y ++-=化为：10x y -+=．又直线:5(1)320m x a y a +-+-=，即 2.20x y -+=．∴直线l 与直线m 之间的距离是322d ==． 故选：C ．练习2.与直线230x y +-=5的直线方程是( ) A ．220x y ++=B ．280x y +-=C ．220x y ++=或280x y +-=D ．220x y +-=或280x y ++=【解答】解：与直线230x y +-=平行的直线设为20x y t ++=，(3)t ≠-， 541=+解得2t =或8-，则所求直线的方程为220x y ++=或280x y +-=．例2.已知两条平行直线3460x y +-=和340x y a ++=之间的距离等于2，则实数a 的值为() A ．1-B ．4C ．4或16-D ．16-【解答】22234=+，解得4a =，或16-．故选：C ．练习1．若两条平行直线210Ax y --=与640x y C -+=13C 的值为( )A ．11或15-B ．92或172- C ．12或14- D ．112或152-【解答】解：两条平行直线210Ax y ---与640x y C -+=， 可得3A =，即两直线6420x y --=，640x y C -+=， 13221364=+， 解得11C =或15-， 故选：A ．。
人教A版(2019)选择性必修第一册《点到直线的距离公式》提升训练(含解析)
人教A版（2019）选择性必修第一册《2.3.3 点到直线的距离公式》提升训练一、单选题（本大题共13小题，共65分）1.（5分）直线x+√3y−5=0的倾斜角是()A、π6B、π3C、2π3D、5π6A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62.（5分）已知△ABC的顶点A(5,5)，AB边上的中线所在直线方程为x−5y+6=0，AC边上的高所在直线方程为3x+2y−7=0，则BC所在直线的方程为()A、x+2y+1=0B、x−2y+3=0C、x−2y−5=0D、x+2y−1=0A. x+2y+1=0B. x−2y+3=0C. x−2y−5=0D. x+2y−1=03.（5分）已知两不同直线m，n与三不同平面α，β，γ，下列条件能推出α//β的是()A. α⊥γ且β⊥γB. m⊂α，n⊂β，m//nC. m⊥α且m⊥βD. m⊂α，n⊂α，m//β，n//β4.（5分）如图，四边形ABCD为矩形，下底面宽AD=3丈，长AB=4丈，上棱EF=2丈，EF与平面ABCD平行．EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是()A. 4立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 8立方丈5.（5分）在直线2x−3y+5=0上求点P，使点P到A(2,3)的距离为√13，则点P的坐标是()A. (5,5)B. (−1,1)C. (5,5)或(−1,1)D. (5,5)或(1,−1)6.（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为()A. 6B. 9C. 92D. 37.（5分）在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，若异面直线BC 1与AC 所成的余弦值为14，则三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积为()A. 6B. 3C. 2D. 18.（5分）如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，则图中直角三角形的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49.（5分）由直线 上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )A. B. C. D.10.（5分）直线y =kx +3被圆(x −2)2+(y −3)2=4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为( )A. π6或5π6B. −π3或π3C. −π6或π6D. π611.（5分）设关于x 的方程4x −2x+1−b =0(b ∈R)，若该方程有两个不相等的实数解，则b 的取值范围是（ ）A. [-1，0]B. [-1，0）C. （-1，0）D. （0，1）12.（5分）在空间直角坐标系O -xyz 中，A(0,0,1)，B(m 2,0,0)，C(0,1,0)，D(1,2,1)，若四面体OABC 的外接球的表面积为6π，则异面直线OD 与AB 所成角的余弦值为A. √3030B. √510C. 16D. √2413.（5分）三棱锥P -ABC 中，ΔABC 为等边三角形，PA=PB=PC=1，PA⊥PB ，三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为( )A. 12πB. 3πC. π6D. 2π二 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）若直线l ：xa+yb =1(a >0,b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴的截距之和的最小值是______．15.（5分）利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论中，正确的是________(填序号).16.（5分）如图，已知在三角形ABC 中，∠A =60°，∠C =90°，AB =4cm ，质点P 1从点A 出发沿A →B →C 方向，同时质点P 2也从点A 出发沿A →C →B 方向在该三角形上运动，直至它们首次相遇为止．若质点P 1的速度为2cm s ⁄，质点P 2的速度为1cm s ⁄，则AP 1→⋅AP 2→的最大值为 ______.17.（5分）已知三棱锥P −ABC 中，O 为AB 中点，PO ⊥平面ABC ，∠APB =90°，PA =PB =2，则下列说法中正确的序号为 ______. ①若O 为ΔABC 的外心，则PC =2； ②若ΔABC 为等边三角形，则AP ⊥BC ；③当∠ACB =90°时，PC 与平面PAB 所成角的范围为(0,π4]；④当PC =4时，M 为平面PBC 内动点，若OM//平面PAC ，则M 在ΔPBC 内的轨迹长度为2.18.（5分）在数列{a n }中，a 1=6，a n+1a n=n+3n，那么{a n }的通项公式是 ______ ．三 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 在BC 上(异于点B)，F 、G 分别为PD 、PA 的中点．(1)证明：B、E、F、G四点共面；(2)证明：平面PAB⊥平面BEFG.20.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2−4x=0及点A(−1,0)，B(1,2).(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于D，E两点，且DE=AB，求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12成立？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由；(3)对于线段AC上的任意一点Q，若在以点B为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段QN的中点，求圆B的半径r的取值范围．21.（12分）如图正三棱柱ABC−A′B′C′的所有棱长均为2，E、F、G、H分别是棱AA′、AB、AC、B′C′的中点.(1)求证：B′C′//面EFG；(2)求三棱锥H−EFG的体积；(3)求二面角E−FG−H的余弦值.22.（12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA= AD=4，AB=2.以BD的中点O为球心，BD为直径的球面交PD于点M.(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；(2)求直线PC与平面ABM所成角的正切值；(3)求点O到平面ABM的距离．= 23.（12分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sin2B2bcos(C+B)−cos C sin B.c(1)求角A的大小;(2)若三角形ABC的面积为1，b+c=2+√2，求a.答案和解析1.【答案】null;【解析】解：x +√3y −5=0的斜率为−√33， 则所求倾斜角为56π. 故选：D.根据已知条件，结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解． 此题主要考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2.【答案】null;【解析】解：∵△ABC 的顶点A(5,5)，AC 边上的高所在直线方程为3x +2y −7=0， ∴AC 边所在直线的方程为2x −3y +5=0， ∵AB 边上的中线所在直线方程为x −5y +6=0，∴联立{2x −3y +5=0x −5y +6=0，解得x =−1，y =1，即C(−1,1)，设B(a,b)， 则线段AB 的中点M(a+52,b+52)，{a+52−5×b+52+6=03a +2b −7=0，解得{a =3b =−1，即B(3,−1)，∴k BC =1+1−1−3=−12，∴BC 所在直线的方程为y −1=−12(x +1)，即x +2y −1=0. 故选：D.先求出直线AC ，再结合AB 边上的中线所在直线方程，求出C(−1,1)，再结合中点坐标公式，求出B(3,−1)，即可求解．此题主要考查直线方程的求解，属于基础题．3.【答案】C;【解析】解：因为α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故A 不正确； α，β相交时，m ，n 都与交线平行，m//n ，满足条件，不能推出α//β，故B 不正确； 利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知结论正确，故C 正确；α，β相交时，m ，n 都与交线平行，m//n ，满足条件，不能推出α//β，故D 不正确， 故选：C.α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行； α，β相交时，m ，n 都与交线平行，m//n ，满足条件； 利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知结论正确； α，β相交时，m ，n 都与交线平行，m//n ，满足条件．此题主要考查面面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．4.【答案】B;【解析】解：过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ//AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN//BC，交AB于N，交CD于M，则它的体积：V=V E−AQPD+V EPQ−FMN+V F−NBCM=13×EG×S△AQPD+S△EPQ×NQ+13×FH×S NBCM=13×1×1×3+12×3×1×2+13×1×1×3=5(立方丈).故选：B.过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ//AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN//BC，交AB于N，交CD于M，则它的体积：V=V E−AQPD+V EPQ−FMN+V F−NBCM.此题主要考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．5.【答案】C;【解析】此题主要考查两点间的距离公式，属基础题.解：设点P(x,y)，则y=2x+53.由|PA|=√13，得(x−2)2+(2x+53−3)2=13，即(x−2)2=9，解得x=−1或x=5.当x=−1时，y=1;当x=5时，y=5，所以点P的坐标是(−1,1)或(5,5).6.【答案】D;【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图，该几何体由一个四棱锥体A−BCDE切去一个三棱锥体A−BCD.如图所示：故：V=V A−BCDE−V A−BCD=13×12×(2+3)×2×3−13×12×2×2×3=3.故选：D.首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用割补法的应用求出几何体的体积．此题主要考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．7.【答案】A;【解析】此题主要考查异面直线成角、三棱柱的体积，属于基础题.解：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC//A1C1，故∠BC1A1即为异面直线BC1与AC所成角或其补角，连接A1B，设BB1=ℎ在△A1BC1中，A1B=BC1=√4+ℎ2，∴cos∠BC1A1=A1C12+BC12−A1B22·A1C1·BC1=14，∴BC1=4，∴√4+ℎ2=4,ℎ=2√3，∴三棱柱ABC−A1B1C1的体积V=BB1·S△ABC=2√3·12·2·2·sin60°=6.8.【答案】D;【解析】解：由于AB⊥平面BCD，则AB⊥BC，AB⊥BD，AB⊥CD，又BC⊥CD，则CD⊥平面ABC，则CD⊥AC，故△ABC，△ACD，△ABD，△BCD均为直角三角形．故选D．9.【答案】C;【解析】该题考查直线与圆的方程的应用，考查学生数形结合思想的运用，属于中档题目．解：直线y=x+2上一点到圆心的距离为，切线长为，因此，当最小时，最小，=4√2，的最小值为圆心(4,−2)到直线y=x+2的距离|4+2+2|√12+12因此的最小值为．故选C．10.【答案】A;【解析】该题考查直线与圆的位置关系，考查直线的倾斜角，考查学生的计算能力，属于基础题．利用直线y =kx +3被圆(x −2)2+(y −3)2=4截得的弦长为2√3，得到圆心到直线的距离为d =√4−3=1=√1+k 2，求出k ，即可求出直线的倾斜角．解：由题知：圆心(2,3)，半径为2．因为直线y =kx +3被圆(x −2)2+(y −3)2=4截得的弦长为2√3， 所以圆心到直线的距离为d =√4−3=1=√1+k 2，∴k =±√33， 设直线倾斜角为α， 由k =tanα，且α∈[0,π), 得α=π6或5π6．故选：A ．11.【答案】C; 【解析】略12.【答案】A; 【解析】此题主要考查了利用空间向量求异面直线所成角，球的表面积和体积，属于基础题.由已知易知OA ，OB ，OC 两两垂直，由4π×12+12+m 44=6π，解得m 2=2，得到AB →=(2,0,1)，OD →=(1,2,1)，代入夹角公式，即可得结果.解：由已知易知OA ，OB ，OC 两两垂直， 则4π×12+12+m 44=6π，解得m 2=2，则AB →=(2,0,−1)，OD →=(1,2,1)， 则cos <AB →,OD →>=√5×6=√3030， 即异面直线OD 与AB 所成角的余弦值为√3030. 故选A.13.【答案】B;【解析】此题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于中档题.先证明PA⊥PC,PB⊥PC ，可得三棱锥P -ABC 外接球就是以PA,PB,PC 为棱的长方体的外接球，长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式可得结果.解：⊥三棱锥P -ABC 中，ΔABC 为等边三角形，PA=PB=PC=1， ∴ΔPAB ≅ΔPAC ≅ΔPBC ， ⊥PA⊥PB,⊥PA⊥PC,PB⊥PC ，以PA,PB,PC 为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球也是三棱锥P −ABC 外接球， ⊥长方体的对角线为√3， ⊥球直径为√3，半径为R =√32， 因此，三棱锥P -ABC 外接球的表面积是4πR 2=4π×(√32)2=3π，故选B.14.【答案】3+2√2;【解析】解：∵直线l ：xa+y b=1(a >0,b >0)经过点(1,2)∴1a +2b =1，∴a +b =(a +b)(1a +2b )=3+ba +2a b⩾3+2√2，当且仅当b =√2a 时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为3+2√2． 故答案为：3+2√2．把点(1,2)代入直线方程，得到1a +2b =1，然后利用a +b =(a +b)(1a +2b )，展开后利用基本不等式求最值．该题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．15.【答案】①②; 【解析】此题主要考查斜二测法画直观图与平面图形的联系. 根据斜二测画法的规则，逐个判断即可.解：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线， 相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半， 则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错. 故答案为①②.16.【答案】112;【解析】解：设运动时间为ts ，当P 1运动到点B 时，P 2恰运动到点C ，此时t =AB 2=2s ，当P 1和P 2首次相遇时，必在线段BC 上，此时(t −2)+2(t −2)=BC =2√3，解得t =(2√33+2)s ，若0<t ⩽2，则P 1和P 2分别在线段AB 和AC 上， 所以AP 1→⋅AP 2→=2t ⋅t ⋅cos60°=t 2⩽4； 若2<t ⩽2√33+2，则P 1和P 2均在线段BC 上，所以AP 1→⋅AP 2→=(AB →+BP 1→)⋅(AC →+CP 2→)=AB →⋅AC →+AB →⋅CP 2→+BP 1→⋅AC →+BP 1→⋅CP 2→=4×2×cos60°+4×(t −2)×cos30°+0+2(t −2)×(t −2)×(−1) =−2t 2+(2√3+8)t −4√3−4， 开口向下，对称轴为t =√3+42∈(2,2√33+2)，所以当t =√3+42时，AP 1→⋅AP 2→取得最大值为112>4，综上所述，AP 1→⋅AP 2→的最大值为112. 故答案为：112.设运动时间为ts ，分两种情况讨论：①当0<t ⩽2时，由平面向量数量积的运算法则直接计算AP 1→⋅AP 2→，即可；②当2<t ⩽2√33+2时，先将AP 1→⋅AP 2→表示成关于t 的二次函数，再由二次函数的图象与性质，得解．此题主要考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的数量积，二次函数的图象与性质是解答该题的关键，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】①③④;【解析】解：对于①，连接OC ，若O 为ΔABC 的外心，则OA =OB =OC ， 又∵PO ⊥平面ABC ，∴PA =PB =PC =2，故①正确， 对于②，假设AP ⊥BC ，∵PO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PO ⊥BC ，又∵AP ∩PO =P ，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥AB，这与ΔABC为等边三角形矛盾，故②错误，对于③，若∠ACB=90°，则OC=12AB=√2，且O为ΔABC的外心∴PC=2，过点C作CH⊥AB于H，连接PH，∵PO⊥平面ABC，PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC，又∵平面PAB∩平面ABC=AB，∴CH⊥平面PAB，则∠CPH即为PC与平面PAB所成的角，∴sin∠CPH=CHPC =CH2，∵CH⩽OC=√2，∴sin∠CPH=CH2∈(0,√22],∴∠CPH∈(0,π4],故③正确，对于④，分别取PB，BC的中点M1，M2，连接OM1，OM2，M1M2，∴OM1//PA，又∵OM1⫋平面PAC，PA⊂平面PAC，∴OM1//平面PAC，同理可证OM2//平面PAC，又∵OM1⊂平面OM1M2，OM2⊂平面OM1M2，OM1∩OM2=O，∴平面PAC//平面OM1M2，∴线段M1M2为M在ΔPBC内的轨迹，又M1M2=12PC=2，∴M在ΔPBC内的轨迹长度为2，故④正确，∴说法中正确的序号为①③④，故答案为：①③④．由三角形外心的性质可判断①正确，利用假设法结合线面垂直的判定定理可判断②错误，对于③，若∠ACB=90°，易求OC=√2，PC=2，过点C作CH⊥AB于H，连接PH，由PO⊥平面ABC，可证平面PAB⊥平面ABC，进而得到CH⊥平面PAB，则∠CPH 即为PC与平面PAB所成的角，再求出∠CPH的范围即可判断③正确，对于④，分别取PB，BC的中点M1，M2，连接OM1，OM2，M1M2，易证平面PAC//平面OM1M2，线段M1M2为M在ΔPBC内的轨迹，从而判断④正确．此题主要考查了三角形外心的性质，考查了线面垂直的判定，以及直线与平面所成的夹角，是中档题．18.【答案】a n=n（n+1）（n+2）;【解析】解：∵在数列{a n}中，a1=6，a n+1a n =n+3n，∴当n⩾4时，a n=a na n−1.a n−1a n−2.a n−2a n−3⋅….a4a3.a3a2.a2a1.a1=n+2n−1.n+1n−2.nn−3.n−1n−4⋅…⋅3+33.2+32.1+31×6=n(n+1)(n+2)，经验证当n=1，2，3时也成立，因此：a n=n(n+1)(n+2)．故答案为：a n=n(n+1)(n+2)．利用“累乘求积法”即可得出．该题考查了“累乘求积法”，属于基础题．19.【答案】证明：(1)连接EF、FG、GB，因为F、G分别为PD、PA的中点，所以FG//AD，又因为底面ABCD为矩形，点E在BC上，所以FG//EB，所以B、E、F、G四点共面；(2)因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD，又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AD，而PA∩AB=A，所以DA⊥平面PAB，由FG//AD，所以FG⊥平面PAB，又FG⊂平面BEFG，所以平面PAB⊥平面BEFG.;【解析】此题主要考查平面的基本性质及应用、面面垂直的判定、考查推理能力，属中档题.(1)证出FG//BE，即可证出结果；(2)证出FG⊥平面PAB，即可证出结果.20.【答案】解：（1）圆C的标准方程为（x-2）2+y2=4，所以圆心C（2，0），半径为2．因为l∥AB，A（-1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为2−01−(−1)=1，设直线l的方程为x-y+m=0，则圆心C到直线l的距离为d=√2．因为DE=AB=√22+22=2√2，而CE2=d2+（DE2）2，所以4=（√2）2+2，解得m=0或m=-4，故直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0．（2）假设圆C上存在点P，设P（x,y），则（x-2）2+y2=4，PA2+PB2=（x+1）2+（y-0）2+（x-1）2+（y-2）2=12，即x2+y2-2y-3=0，即x2+（y-1）2=4，因为|2-2|＜√(2−0)2+(0−1)2＜2+2，所以圆（x-2）2+y2=4与圆x2+（y-1）2=4相交，所以点P的个数为2．（3）线段OA的方程为：x+y=0，设Q（t,0），（-1≤t≤2），N（x,y），因为点M为QN的中点，所以M（x+t2，y2），又M，N都在半径为r的圆B上，所以{(x−1)2+(y−2)2=r2(x+t2−1)2+(y2−2)2=r2，即{(x−1)2+(y−2)2=r2(x+t−2)2+(y−4)2=(2r)2，根据两圆有公共点，可得（2r-r）2≤（t-1）2+4≤（2r+r）2，对于t∈[-1，2]恒成立，设f（m）=2m2+8m+40，（-2≤m≤0），又4≤（t-1）2+4≤8，所以r2≤4且9r2≥8，解得2√23≤r≤2，又Q在圆外，所以（t-1）2+4＞r2恒成立，所以r2＜4，∴0＜r＜2．综上所述：圆B的半径r的取值范围是[2√23，2）．;【解析】(1)求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程；(2)求出P的轨迹方程，利用两圆的位置关系，即可得出结论．(3)线段OA的方程为：x+y=0，设Q(t,0)，(−1⩽t⩽2)，N(x,y)，根据中点公式求得M的坐标，将M，N的坐标代入圆B的方程，得到两个圆的方程，根据两圆有公共点列式可得，再根据恒成立转化为最值可得．此题主要考查了直线与圆的方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．21.【答案】（1）证明：因为ABC-A'B'C'是三棱柱，所以B'C'∥BC，又AF=FB，AG=GC，所以BC∥FG，所以B'C'∥FG，FG⊂平面EFG，B'C'⊄面EFG，所以B'C'∥面EFG；（2）解：由（1）可得，V H-EFG=V B-EFG=V G=EFB，所以V G−EFB=13S△EFB.ℎ，其中h为点G到平面ABB'A'的距离，因为正三棱柱ABC-A'B'C'的所有棱长均为2，所以h=12×√22−12=√32，故V G−EFB =13S △EFB .ℎ=13×(2×2−1×2−12×1×1)×√32=√34， 所以三棱锥H-EFG 的体积为√34；（3）解：设二面角E-FG-A ，H-FG-B ，3-FG-H 的平面角分别为α，β，γ， 则γ=π-α-β，所以cosγ=cos （π-α-β）=-cos （α+β）=sinαsinβ-cosαcosβ， 过点A 作AR ⊥FG 于点R ，连结ER ，则∠ARE=α， 所以sinα=2√7，cosα=√3√7，同理可得，cosβ=√3√19，sinβ=4√19， 所以cosγ=sinαsinβ-cosαcosβ=2√7×4√19-√3√19×√3√7=5√133133， 故二面角E-FG-H 的余弦值为5√133133．;【解析】(1)利用棱柱的几何性质得到B′C′//FG ，然后由线面平行的判断定理证明即可； (2)利用线面平行，可得V H−EFG =V B−EFG =V G=EFB ，从而得到V G−EFB =13S ΔEFB .ℎ，求解即可得到答案；(3)二面角E −FG −A ，H −FG −B ，3−FG −H 的平面角分别为α，β，γ，则有cosγ=sinαsinβ−cosαcosβ，过点A 作AR ⊥FG 于点R ，连结ER ，则∠ARE =α，求出sinα，cosα，同理求出sinβ，cosβ，即可得到答案．此题主要考查了线面平行的判定定理的应用，锥体体积公式的应用以及二面角的平面角的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．22.【答案】方法(一)：(1)证明：依题设，M 在以BD 为直径的球面上，则BM ⊥PD 因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则PA ⊥AB ， 又AB ⊥AD ，PA ∩AD =A ，PA 、AD ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD ， 又PD ⊂平面PAD ，则AB ⊥PD ，因为AB ∩BM =B ，AB 、BM ⊂平面ABM ，因此有PD ⊥平面ABM ，又PD ⊂平面PCD ， 所以平面ABM ⊥平面PCD ； 解：(2)设平面ABM 与PC 交于点N ，因为AB//CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AB//平面PCD ，又平面ABNM ∩平面PCD =MN ，AB ⊂平面ABNM ， 则AB//MN//CD ，由(1)知，PD ⊥平面ABM ， 则MN 是PN 在平面ABM 上的射影， 所以∠PNM 就是PC 与平面ABM 所成的角， 且∠PNM =∠PCD ，又AB ⊂平面ABM ，所以PD ⊥AB ，所以PD ⊥CD ， 所以tan ∠PNM =tan ∠PCD =PD CD=2√2，所以直线PC 与平面ABM 所成的角的正切值为2√2. (3)因为O 是BD 的中点，则O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半， 由(1)知，PD ⊥平面ABM 于M ，则DM 就是D 点到平面ABM 距离， 因为在Rt ΔPAD 中，PA =AD =4，PD ⊥AM ， 所以M 为PD 中点，DM =2√2， 则O 点到平面ABM 的距离等于√2. 方法二：证明：(1)同方法一；解：(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，由(1)可知平面ABM 的一个法向量PD →=(0,4,−4)，且PC →=(2,4,−4)， 设直线PC 与平面ABM 所成角为α，则sinα=|PC →⋅PD →|PC →||PD →||=2√23， 所求角的正切值为2√2；(3)设所求距离为ℎ，由O(1,2,0),AO →=(1,2,0)， 得：ℎ=|AO →⋅PD →|PD →||=√2.;【解析】此题主要考查面面垂直的判定，线面角的求法，点到平面的距离，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.法一：(1)要证平面ABM ⊥平面PCD ，只需证明平面PCD 内的直线PD ，垂直平面ABM 内的两条相交直线BM 、AB 即可；(2)平面ABM 与PC 交于点N ，说明∠PNM 就是PC 与平面ABM 所成的角，然后解三角形，求直线PC 与平面ABM 所成的角；(3)O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半，说明|DM |就是D 点到平面ABM 距离，求解即可． 法二：(1)同方法一；(2)建立空间直角坐标系，求出平面ABM 的一个法向量PD →，求出PC →，然后求出sinα=|PC →⋅PD →|PC →||PD →||，再求出正切值即可．(3)利用向量的射影公式直接求ℎ=|AO →⋅PD →|PD →||即可.23.【答案】解：(1)因为sin2B 2b=cos (C+B)−cos C sin Bc，所以c sin B cos B +b cos A +b cos C sin B =0， 得b cos A +(c cos B +b cos C)sin B =0， 由正弦定理得：a =b cos C +c cos B ， ∴b cos A +a sin B =0，由正弦定理可得sin B cos A +sin A sin B =0，即sin B(cos A +sin A)=0， 因为0<B <π，所以sin B ≠0， 所以cos A +sin A =0，所以tan A =−1， 因为0<A <π，所以A =3π4；(2)由题意知12bcsin A =1，得bc =2√2， 又b +c =2+√2，所以由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccos A =b 2+c 2+√2bc =(b +c)2−(2−√2)bc =10， 所以a =√10.;【解析】此题主要考查了解三角形的运用，涉及正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换知识的综合运用，考查了分析和运用能力，属于中档题. (1)根据sin2B 2b=cos (C +B)-cos C sin Bc结合正弦定理，三角恒等变换知识化简得到sin B(cos A +sin A)=0，根据sin B ≠0，得到cos A +sin A =0，进而得到tan A =−1，再根据0<A<π即可求解；(2)根据三角形ABC的面积为1，得到bc=2√2，然后根据b+c=2+√2，结合余弦定理求解即可.。
高中数学必修一《点到直线的距离、两平行线间的距离》练习
点到直线的距离、两平行线间的距离层级一 学业水平达标1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3 B.53C ．1D.22解析：选B 点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×(－1)－2|02＋32＝53，选B.2．已知点M (1,4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B.34 C ．3D ．0或34解析：选D 点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m＝0或m ＝34，选D.3．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C 设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h .|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y－4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此，S △ABC ＝12×22×52＝5.4．已知点P (1＋t,1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(2,4) C ．(0，－2)或(2,4)D ．(1,1)解析：选C 直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2(1＋t )－(1＋3t )－1|22＋(－1)2＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P 的坐标为(2,4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)，故选C.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( ) A.423B.823C ．4 2D ．2 2解析：选B ∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)－3＝0，2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1.∴l 1的方程为x －y ＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，∴l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪6－2312＋(－1)2＝823.6．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________． 解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1737．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：128．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0间的距离相等，则直线l 的方程是________．解析：由题意可设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c ＋1|22＋(－1)2，即|c －3|＝|c ＋1|.∴c ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝09．求过点P (0,2)且与点A (1,1)，B (－3,1)等距离的直线l 的方程．解：法一：∵点A (1,1)与B (－3,1)到y 轴的距离不相等，∴直线l 的斜率存在，设为k .又直线l 在y 轴上的截距为2，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0. 由点A (1,1)与B (－3,1)到直线l 的距离相等， 得|k －1＋2|k 2＋1＝|－3k －1＋2|k 2＋1，解得k ＝0或k ＝1. ∴直线l 的方程是y ＝2或x －y ＋2＝0.法二：当直线l 过线段AB 的中点时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵AB 的中点是(－1,1)，又直线l 过点P (0,2)， ∴直线l 的方程是x －y ＋2＝0；当直线l ∥AB 时，直线l 与点A ，B 的距离相等． ∵直线AB 的斜率为0，∴直线l 的斜率为0，∴直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足条件的直线l 的方程是x －y ＋2＝0或y ＝2. 10.如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l 2的方程．解：设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )．∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离， 故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形的面积公式得2＋2b 2×b －12＝4，∴b 2＝9，b ＝±3.又b >1，∴b ＝3.从而得直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.层级二 应试能力达标1．已知直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.1020C.104D.71020解析：选D ∵3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，∴m ＝2.直线6x ＋2y ＋1＝0可以化为3x ＋y ＋12＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d ＝⎪⎪⎪⎪12＋332＋12＝71020，选D.2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤3 B ．0＜d ≤5 C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．如果点P 到点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，3及直线x ＝－12的距离都相等，那么满足条件的点P 有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选B 因为点P 到点A ⎝⎛⎭⎫12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，3的距离相等，所以点P 在线段AB 的垂直平分线y ＝32上．直线AB 与直线x ＝－12平行，且两平行线间的距离为1.又1<|AB |2＝32，所以满足条件的点P 有1个．4．已知定点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3 B.10 C.14D ．215解析：选B 将(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ变形，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，所以l 是经过两直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0的交点的直线系．设两直线的交点为Q ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，得交点Q (1,1)，所以直线l 恒过定点Q (1,1)，于是点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝10，即点P 到直线l 的距离的最大值为10.5．已知5x ＋12y ＝60，则 x 2＋y 2的最小值是________．解析：x 2＋y 2表示直线5x ＋12y ＝60上的点到原点的距离，在所有这些点到原点距离中，过原点且垂直于直线5x ＋12y ＝60的垂线段的长最小，故最小值为d ＝6052＋122＝6013.答案：60136．在坐标平面内，与点A (1,2)距离为1，且与点B (3,1)距离为2的直线共有________条．解析：由题可知所求直线显然不与y 轴平行， ∴可设直线为y ＝kx ＋b ，即kx －y ＋b ＝0.∴d 1＝|k －2＋b |k 2＋1＝1，d 2＝|3k －1＋b |k 2＋1＝2，两式联立，解得b 1＝3，b 2＝53，∴k 1＝0，k 2＝－43.故所求直线共有两条．答案：27．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且点P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．解：由题意知，若截距为0， 可设直线l 的方程为y ＝kx . 由题意知|4k －3|k 2＋1＝32，解得k ＝－12±3142.若截距不为0，设所求直线l 的方程为x ＋y －a ＝0. 由题意知|4＋3－a |2＝32，解得a ＝1或a ＝13.故所求直线l 的方程为y ＝－12＋3142x ，y ＝－12－3142x ，x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0.8．已知点P (a ，b )在线段AB 上运动，其中A (1,0)，B (0,1)．试求(a ＋2)2＋(b ＋2)2的取值范围．解：由(a ＋2)2＋(b ＋2)2联想两点间的距离公式，设Q (－2，－2)，又P (a ，b )，则|PQ |＝(a ＋2)2＋(b ＋2)2，于是问题转化为求|PQ |2的最大值、最小值．如图所示，当P 与A 或B 重合时，|PQ |取得最大值，即(－2－1)2＋(－2－0)2＝13.当PQ ⊥AB 时，|PQ |取得最小值，此时|PQ |为Q 点到直线AB 的距离，由A ，B 两点坐标可得直线AB 的方程为x ＋y －1＝0.则Q 点到直线AB 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝52＝522，∴252≤(a ＋2)2＋(b ＋2)2≤13.。
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小学数学学习材料
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点到直线的距离
1、先画垂线，再量长度。
（1）A点到已知直线的距离大约是（）厘米。
. A
(2)B点到已知直线的距离大约是（）厘米
. B
2、在已知直线的下方，画一些到已知直线的距离1厘米的点，把这些点连起来，你能发现什么。
3、判断。
（1）小芳在纸上画了一条平行线。
（）
（2）永不相交的两条直线叫做平行线。
（）
（3）长方形相对的两条边互相平行。
（）
4、选择。
（1）正方形的相邻两边互相（）。
A、垂直
B、平行
C、重合
（2）右图中有（）组平行线
A、2
B、3 C. 4
5、画一画。
（1）一个村要从A地修筑一条小道通到公路，小道怎样修筑最短？画一画。
A .
（2）画出已知直线a的平行线b。
a
参考答案
1、（1）5厘米，画图略。
（2）3厘米，画图略。
2、画图略。
这些点连成一条直线后与已知直线平行。
3、（1）×（2）×（3）√
4、（1）A （2）B
5、画图略。
（1）从点A画到公路的垂直线段。