高中数学竞赛第一讲集合与容斥原理

第一讲集合与容斥原理

李宁

本讲主要内容有：集合的有关概念、运算和容斥原理。学习这一讲，要注意深刻理解集合的概念，掌握集合的思想方法和容斥原理，善于运用集合的语言和方法表示数量关系，并会用集合分拆、容斥原理等方面的知识和方法解决有关的数学问题

1集合

1.1集合与集合的关系

若A中元素都是B中元素，则称A为B的子集，记作A⊆B，若A⊆B，且B 中至少有一元素b/∈A，则称A为B的真子集，记作A B

若A⊆B，且B⊆A，则A=B

集合与集合的关系，有如下性质：

1.ϕ⊆A，特别地，若A=ϕ，则ϕ A

2.A⊆B,B⊆C，则A⊆C

3.A∪B=B⇔A⊆B;A∩B=A⇔A⊆B

4.若A中元素有n个，则A的子集共有2n个，真子集有2n−1个

1.2集合的运算

A∩B={x|x∈A且x∈B}

A∪B={x|x∈A或x∈B}

C S A={x|x∈S且x/∈A}

关于集合运算有以下常用结论：

1.等幂律：A∩A=A,A∪A=A

2.同一律：A∩U=A,A∪U=U,A∩ϕ=ϕ,A∪ϕ=A

3.交换律：A∩B=B∩A,A∪B=B∪A

4.结合律：A∩(B∩C)=(A∩B)∩C，A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

5.分配率：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

A B

A B

C

图1-1:文氏图

2容斥原理

若记有限集合A中的元素个数为|A|，则由图(1-1)可知：

|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|,

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|A∩C|+|A∩B∩C|

(1)一般地，对于n个有限集合S1,S2,···,S n，则有

|S1∪S2∪···∪S n|=

∑

1 i n |S i|−

∑

1 i j n

|S i∩S j|+

∑

1 i j k n

|S i∩S j∩S k|

−···+(−1)k−1

∑

1 i1

k

|

+···+(−1)n−1|S1∩S2∩···∩S n|

(2)

其中符号

∑

1 i1

k

|表示S1,···,S n中任取k个集合的交的元

素个数的总和。

我们称上述公式为容斥原理

1.已知集合M={直线}，N={抛物线}，则M∩N中元素个数为

A.0

B.1

C.2

D.不存在

2.已知全集I={1,2,3,4,5}，A∩B={2},C I A∩B={1,4}，则C I B=

A.{3}

B.{5}

C.{1,2,4}

D.{3,5}

3.已知A n={x|2n

A.1089

B.990

C.891

D.792

4.已知集合A={x|x2+(P+2)x+1=0}，且A∩R+=ϕ,则实数P的范围

A.P −2

B.P 0

C.−4

D.P>−4

5.已知集合M={x,xy,lg(xy)},N={0,|x|,y}，并且M=N，那么(

x+

1

y

)

+

(

x2+1

y2

)

+

(

x3+

1

y3

)

+···+

(

x2003+

1

y2003

)

的值等于多少？