福建省福州市高考数学下学期3月适应性测试试题理
福建省高三适应性考试数学试题(解析版)
一、单选题1．设集合，，则（ ） {}*2N 4A x x x =∈≤{B x y ==R A B = ðA ．B ．C ．D ．[]0,3[]1,3{}1,2{}1,2,3【答案】C 【分析】求出两个集合，再根据集合的交集、补集运算即可.【详解】由题意可得：，所以，故. {}[)1,2,3,43A ,B ,==+∞()R 3B ,=-∞ð{}R 1,2A B =I ð故选：C2．设复数z 满足（i 是虚数单位），则（ ）(1i)2i z +=-+z =A B ． C ． D 5452【答案】A【分析】利用复数运算求得，进而求得.z z 【详解】依题意，， (1i)2i z +=-+， ()()()()2i 1i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 222z -+--+-+====-+++-=故选：A3．在数列中，“数列是等比数列”是“”的（ ）{}n a {}n a 2213a a a =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】利用等比数列的性质及充分不必要条件的定义即可判断，【详解】数列是等比数列，得，{}n a 2213a a a =若数列中，则数列不一定是等比数列，如数列， {}n a 2213a a a ={}n a 12468101214，，，，，，，， 所以反之不成立，则“数列是等比数列”是“”的充分不必要条件．{}n a 2213a a a =故选：A.4．已知平面向量，，且（ ） ()1,3a = 2b = a b -= ()()2a b a b +⋅-=A ．1B ．14C D【答案】B 【分析】根据向量的模长公式以及数量积的运算律即可求解.【详解】因为，，所以，所以222210a b a a b b -=-⋅+= 2b = 2a b ⋅= . ()()2222204214a b a b a b a b +⋅-=--⋅=--= 故选：B5．某兴趣小组研究光照时长x （h ）和向日葵种子发芽数量y （颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（ ）()10,2DA ．相关系数r 变小B ．决定系数变小 2RC ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强【答案】D 【分析】从图中分析得到去掉后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和()10,2D 和相关性的概念和性质作出判断即可．【详解】从图中可以看出较其他点，偏离直线远，故去掉后，回归效果更好， ()10,2D ()10,2D 对于A ，相关系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，相关系数r 变大，故r ()10,2D A 错误；对于B ，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，决定系数变大，故2R ()10,2D 2R B 错误；对于C ，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉后，残差平方和变小，故C 错()10,2D 误； 对于D ，若去掉后，解释变量x 与预报变量y 的相关性变强，且是正相关，故D 正确． ()10,2D 故选：D ．6．已知，，且，则ab 的最小值为（ ）1a >1b >log log 4=bA ．4B ．8C ．16D ．32【答案】C 【分析】运用对数运算及换底公式可得，运用基本不等式可求得的最小值.22log log 4a b ⋅=ab 【详解】∵，2log log 4=b ∴，即： 21log log 42=b a 2222log 4log log =a b ∴，22log log 4a b ⋅=∵，，1a >1b >∴，，2log 0a >2log 0b >∴，当且仅当即时取等号，222log ()log log 4ab a b =+≥=22log log a b =a b =即：，当且仅当时取等号，4216ab ≥=a b =故的最小值为16.ab 故选：C.7．如图，点、、、、为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线A B C M N 平面的是（ ）//MN ABC A ． B．C ．D ．【答案】D【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理、面面平行的性质可确定正确选项.【详解】对于A 选项，如下图所示，在正方体中，且， DMEF GPQT -//QT EF QT EF =因为、分别为、的中点，则且，B C QT EF //BQ EC BQ EC =所以，四边形为平行四边形，所以，，BCEQ //BC EQ因为平面，平面，所以，平面，BC ⊄EMPQ EQ ⊂EMPQ //BC EMPQ 同理可证平面，//AB EMPQ 因为，、平面，所以，平面平面，AB BC B ⋂=AB BC ⊂ABC //EMPQ ABC 因为平面，故平面，A 满足；MN ⊂EMPQ //MN ABC 对于B 选项，如下图所示，连接，PT 在正方体中，且，DECF GPQT -//PE FT PE FT =因为、分别为、的中点，则且，A B PE FT //PA BT PA BT =所以，四边形为平行四边形，故，PABT //AB PT 因为、分别为、的中点，则，所以，，M N GP GT //MN PT //MN AB 因为平面，平面，所以，平面，B 满足；MN ⊄ABC //AB ABC //MN ABC 对于C 选项，如下图所示，在正方体中，取的中点，DMKN GPQT -GT F 连接、、，AF BF PT因为且，、分别为、的中点，//PG KN PG KN =A C PG KN 所以，且，故四边形为平行四边形，则，//AG CN AG CN =ACNG //AC GN 因为、分别为、的中点，所以，，则，F B GT TN //BF GN //BF AC 所以，、、、四点共面，A B C F 因为且，则四边形为平行四边形，所以，，//PM NT PM NT =PMNT //PT MN因为、分别为、的中点，则，所以，，A F PG GT //AF PT //MN AF 因为平面，平面，所以，平面，C 满足；MN ⊄ABC AF ⊂ABC //MN ABC 对于D 选项，如下图所示，在正方体中，取的中点，DEKF GPQT -EK H 连接、、、、、，BH HM CN PT EF BN因为且，、分别为、的中点，则且，//PE FT PE FT =B N PE FT //PB TN PB TN =所以，四边形为平行四边形，则，PBNT //BN PT 因为、分别为、的中点，所以，，故，A C GP GT //AC PT //AC BN 所以，、、、四点共面，A B C N 同理可证，故，同理可得，，//MH BN //AC MH //AB MN //BH CN 反设平面，因为，且平面，则平面，MN ⊄ABC //MN AB AB ⊂ABC //MN ABC 但与平面有公共点，这与平面矛盾，故平面，D 不满足. MN ABC M //MN ABC MN ⊂ABC 故选：D.8．已知满足，且在上单调，则的最大()sin()f x x ωφ=+(0)>ω()14f π=503f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 5,46ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ω值为（ ）A ．B ．C ．D ． 12718176173017【答案】B【分析】通过对称轴与对称点得出的式子，再通过单调得出的范围，即可得出答案.ωω【详解】满足，， ()sin()f x x ωφ=+ (0)>ω(14f π=503f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即， 53442T nT ππ∴-=+()1736T n nπ=∈+N ， ()61217n n ω+∴=∈N 在上单调， ()f x 5,46ππ⎛⎫⎪⎝⎭，即， 572641222T ππππω∴-=≤=127ω≤当时最大，最大值为， ∴1n =ω1817故选：B.二、多选题9．若直线与圆C ：相交于A ，B 两点，则的长度可能等于（ ） 1y kx =+()2229x y -+=AB A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】CD【分析】首先找到直线所过定点，根据直线所截圆的弦长公式求出弦长的取值范围，进()0,1P AB 而求出的长度可能的取值.AB 【详解】已知直线恒过点，圆的圆心坐标为，半径. 1y kx =+()0,1P ()22:29C x y -+=()2,0C 3r =当直线经过圆心时，所得弦长最大，；AB max 26AB r ==当直线与所在直线垂直时，所得弦长最小，，PC AB min 4AB ==因此可得：，故的长度可能等于4或5.46AB ≤≤AB 故选：CD10．已知函数（）是奇函数，且，是的导函数，则()f x x ∈R ()()2f x f x +=-()12f =()f x '()f x （ ）A ．B ．的一个周期是4C ．是偶函数D ．()20232f =()f x '()f x '()11f '=【答案】BC【分析】根据函数奇偶性与可得，根据导数的运算可得(2)()f x f x +=-(4)()f x f x +=从而可判断B 项，根据周期性与奇偶性可判断A 项，根据奇偶性与导数运算可得(4)()f x f x ''+=，从而可判断C 项，在中，令代入计算可判断D 项.()()f x f x ''-=(2)()f x f x ''+=--=1x -【详解】因为函数是奇函数，，()f x (2)()f x f x +=-所以，(2)()()f x f x f x +=-=-所以，即：，故的周期为4，(4)(2)()f x f x f x +=-+=(4)()f x f x +=()f x 所以，故的一个周期为4，故B 项正确；(4)()f x f x ''+=()f x '，故A 项错误；(2023)(45053)(3)(1)(1)2f f f f f =⨯+==-=-=-因为函数是奇函数，()f x所以，()()f x f x -=-所以，即：，()()f x f x ''--=-()()f x f x ''-=所以为偶函数，故C 项正确；()f x '因为，(2)()f x f x +=-所以，(2)()f x f x ''+=--令，可得，解得：，故D 项错误.=1x -(1)(1)f f ''=-()01f '=故选：BC.11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（ ）A ．事件，为互斥事件B ．事件B ，C 为独立事件 1A 2A C ．D ． ()25P B =()234P C A =【答案】ACD【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB ，由组合知识求得判断C ，根据条件概率的()P B 定义求得判断D ．2(|)P C A 【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A 正确； 由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，B ，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B 错； 2325223225C C ()3()C C ()4C P BC P C P B ===+B ()1P C =,B C ，C 正确； 223225C C 2()C 5P B +==事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以2A C ，D 正确． 23(|)4P C A =故选：ACD ．12．如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆1O 2O 心，O 为球心，EF 为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ）1O 2r =A ．球与圆柱的体积之比为2:3B ．四面体CDEF 的体积的取值范围为(]0,32C ．平面DEF 截得球的截面面积最小值为 45πD ．若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为PE PF +2⎡+⎣【答案】AD【分析】根据给定的条件，利用球、圆柱的体积公式计算判断A ；利用建立函数关12CDEF E O CD V V -=系判断B ；求出球心O 到平面DEF 距离的最大值判断C ；令点P 在圆柱下底面圆所在平面上的投影点为Q ，设，利用勾股定理建立函数关系，求出值域作答.QFE ∠θ=【详解】对于A ，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体34π32π33r V ==2π(2)16πV r r '=⨯=积之比为，A 正确；2:3对于B ，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点，d E BCD 0d r <≤BCD EF 1O 四面体CDEF 的体积，B 错误； 11221163224433233C DEF E O DC O DC d V V S d d --==⋅=⨯⨯⨯⨯=≤ 对于C ，过作于，如图，而，则， O 1OH DO ⊥H 122O O DO ⊥21211sin DO OH DO O OO DO ∠==又，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为1DO ==OH =1r O DEF 1d，则 1d ≤又DEF 截球的截面圆面积，C 错误； 1r =≥=2116ππ5S r =≥对于D ，令经过点P 的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q ，连接，,QE QF 当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上Q ,E F QFE ∠θ=4cos ,4sin QF QE θθ==Q ,E F 式也成立，因此，， 4cos ,4sin QF QE θθ==[0,)2πθ∈则，PE PF +==令，即， t =+26t =+02πθ≤<0sin 21θ≤≤因此，解得的取值范围为，D 正确. 2612t +≤≤1t ≤≤PE PF +[2+故选：AD【点睛】思路点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.三、填空题13．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为nx ⎛ ⎝2x ___________【答案】70【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可.n 2x 【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：.8n =∴通项公式， ()3882188C 1C r r r r rr r T x x --+⎛==- ⎝令，解得. 3822r -=4r =∴展开式中含项的系数为. 2x ()4481C =70-故答案为：.7014．已知，，则______．sin cos 2sin θθα+=2sin cos sin θθβ=224cos 2cos 2αβ-=【答案】0【分析】将平方，结合可得， sin cos 2sin θθα+=2sin cos sin θθβ=22124sin 0sin βα+=-利用二倍角余弦公式将化简求值，可得答案.224cos 2cos 2αβ-【详解】将平方得，sin cos 2sin θθα+=212sin cos 4sin θθα+=结合可得，即，2sin cos sin θθβ=221i s n 2i 4s n αβ+=22124sin 0sin βα+=-则224cos 2cos 2(2cos 2cos 2)(2cos 2cos 2)αβαβαβ-=-+，()()2214sin 2sin 2cos 2cos 20αβαβ=-++=故答案为：015．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（，为焦点）上一点，点P 处的切线平分．已知双曲线C ：1F 2F 12F PF ∠，O 为坐标原点，l 是点处的切线，过左焦点作l 的垂线，垂足为M ，则22142x y -=P ⎛ ⎝1F ______．OM =【答案】2【分析】延长交延长线于点，结合题意得点为的中点，，从而得到2PF 1F M N M 1F N 1PN PF =，再结合双曲线的定义即可求解． 212OM F N =【详解】如图，延长交延长线于点，2PF 1F M N 因为点是的角平分线上的一点，且，M 12F PF ∠1F M MP ⊥所以点为的中点，所以，M 1F N 1PN PF =又点为的中点，且，O 12F F 1224PF PF a -==所以． ()()22111142222OM F N PN PF PN PF ==-=-+=故答案为：2．16．已知函数在点处的切线方程为l ：，若对任意2()e 2e 2x x f x x =-+()()00,P x f x ()y g x =x ∈R ，都有成立，则______．()()0()()0x x f x g x --≥0x =【答案】/2ln -12ln 【分析】根据条件表示出，再令，求导分类研究函数单调性，进而求出()y g x =()()()h x f x g x =-结果.【详解】因为，2()e 2e 2x x f x x =-+所以，，2()2e 2e 2x x f x '=-+00200()e 2e 2x xf x x =-+所以，()()()00002200=2e 2e 2e 2e 2x x x xg x x x x -+-+-+令，()()()h x f x g x =-则， ()()000022200()e 2e 22e 2e 2e 2e 2x x x x x xh x x x x x ⎡⎤=-+--+-+-+⎣⎦则，0()0h x =，()0022()2e 2e 2e 2e x x x x h x =---'令，则， 2()2e 2e x x x ϕ=-2()4e 2e x x x ϕ=-'令，得，()0x ϕ'=ln 2x =-所以时，，单调递减，(),ln 2x ∈-∞-()0x ϕ'<()ϕx 时，，单调递增， ()ln 2,x ∈-+∞()0x ϕ'>()ϕx 当，时，， ()0ln 2,x ∞∈-+0x x ≥0()()x x ϕϕ>则，单调递增，()()0()0h x x x ϕϕ'=->()h x ，即，0()()0h x h x ≥=()()f x g x ≥所以当，时，成立， ()0ln 2,x ∞∈-+0x x ≥()()0()()0x x f x g x --≥当，时，， ()0,ln 2x ∞∈--0x x <0()()x x ϕϕ>则，单调递增，()()0()0h x x x ϕϕ'=->()h x ，即，0()()0h x h x <=()()f x g x <所以当，时，成立， ()0,ln 2x ∞∈--0x x <()()0()()0x x f x g x -->综上所述. 0ln 2x =-故答案为：.ln 2-【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四、解答题17．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且． ABC cos sin 02A CB ++=(1)求角B 的大小；(2)若，且AC ，求的周长． :3:5a c =ABC 【答案】(1) 2π3(2)15【分析】（1）利用三角形内角和及诱导公式得到，再利用余弦的倍角公式得到sin cos 22A C B+=，解得，从而得到； 22cos cos 1022B B +-=1cos 22B =2π3B =（2）由比例引入常数，利用三角形面积相等得到，从而利用余弦定理得到关于的,a c m 27b m =m 方程，解之即可得到，由此得解. ,,a b c 【详解】（1）因为， ππsin sin sin cos 22222AC B B B +-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭所以由得， cos sin 02A CB ++=cos cos 02B B +=所以，解得或， 22coscos 1022B B +-=1cos 22B =cos 12B =-因为，所以，则，故，0πB <<π022B <<cos 02B >1cos 22B =则，故．π23B =2π3B =（2）因为，令，则，:5:3c a =()50c m m =>3a m =由三角形面积公式可得，故，11sin 22ac B b =2157715b ac m ==⨯27b m =由余弦定理可得，则，解得，2222cos b a c ac B =+-424949m m =1m =从而，，，故的周长为．3a =5c =7b =ABC 15a b c ++=18．设公差不为0的等差数列的前n 项和为，，．{}n a n S 520S =2325a a a =(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若数列满足，，求数列的前n 项和． {}n b 11b=1n a n n b b ++={}2n b n S 【答案】(1)，22n a n =-N n +∈(2) 24133n n ⎛⎫-⨯-⎪⎝⎭【分析】（1）根据等差数列性质设出公差和首项，代入题中式子求解即可；（2）列出通项公式，根据通项求出的前n 项和，再根据通项求出的前2n {}1n n b b ++{}1n n b b ++{}n b 项和，两式相减解得的通项公式，最后分组求和求出数列的前n 项和. {}2n b {}2n b n S 【详解】（1），设公差为d ，首项为5335204S a a ==⇒=1a ，因为公差不为0，所以解得，()()223233352322a d a a a a a d a d d =-+=+-=2d =，数列的通项公式为，. 311240a a d a =+=⇒={}n a 22n a n =-N n +∈（2）12212n a n n n n b b -+-==+= ①()()()()123456212n n b b b b b b b b -++++++⋅⋅⋅++ 024222222n -=+++⋅⋅⋅+()11414n⨯-=-4133n=- ②()()()()122334212n n b b b b b b b b -++++++⋅⋅⋅++12222222n -=+++⋅⋅⋅+()2111212n -⨯-=-2121n -=-得，解得2⨯①-②211241=22133n n n b b -⎛⎫+⨯--+ ⎪⎝⎭21222=4233n n n b -⨯-- ()()81421428414122413214143333333nn n n n n n n S n --⎛⎫---=--=⨯-⨯-=⨯- ⎪--⎝⎭19．在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.S ABC -ABC 90SAB SCB ABC ∠=∠=∠=︒(1)求证：；AC SB ⊥(2)若与平面夹角的余弦值. 2,AB SC ==SAC SBC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据题意，可证，即，从而证得面，即可得到结SCB SAB ≅ SA SC =AC ⊥SBE 果；（2）根据题意，过S 作面，垂足为D ，连接，以D 为原点，分别SD ⊥ABC ,AD CD ,,DA DC DS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算以及二面角的计算公式，即可D xyz -得到结果.【详解】（1）证明：取的中点为E ，连结， AC ,SE BE ∵，∴，AB BC =BE AC ⊥在和中， SCB SAB △90,,SAB SCB AB BC SB SB ∠=∠=︒==∴，∴， SCB SAB ≅ SA SC =∵的中点为E ，∴， AC SE AC ⊥∵，∴面， SE BE E =∩AC ⊥SBE ∵面，∴SB ⊂SBE AC SB ⊥（2）过S 作面，垂足为D ，连接，∴ SD ⊥ABC ,AD CD SD AB ⊥∵，平面 ,,AB SA AB SD SA AD A ⊥⊥= AB ⊥SAD ∴，同理，AB AD ⊥BC CD ⊥∵底面为等腰直角三角形，ABC 2,AB SC ==∴四边形为正方形且边长为2.ABCD 以D 为原点，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则,,DA DC DS D xyz -()()()()2,0,0,0,0,2,0,2,0,2,2,0A S C B ，()()()0,2,2,2,2,0,2,0,0SC AC BC ∴=-=-=-设平面的法向量，则，解得，SAC ()111,,x n y z = 1111220220n SC y z n AC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ x y z ==取，则，∴，11x =111,1==y z (1,1,1)n =设平面的法向量，则，解得，SBC ()222,,m x y z = 22222020m SC y z m BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 0x y z =⎧⎨=⎩取，则，∴， 21y =110,1x z ==()0,1,1m =设平面与平面夹角为SAC SBC θcos cos ,m θ∴=<= 故平面与平面. SAC SBC 20．某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱．并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；(2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率．【答案】(1)样本均值为1.2，样本方差为0.76 (2) 613【分析】（1）首先求分层抽取的两个班的人数，再根据两个班抽取人数的平均数和方差，结合总体平均数和方差公式，代入求值；（2）根据全概率公式和条件概率公式，即可求解. 【详解】（1）一班抽取人，二班抽取人，45201275⨯=3020875⨯=一班样本平均数为，样本方差为；二班样本的平均数为，样本方差为1x =211s = 1.5y =220.25s =；总样本的平均数为．1218 1.51.2128ω⨯+⨯==+记总样本的样本方差为， 2s 则．222121(1 1.2)80.25(1.5 1.2)0.7620s ⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-⎣⎦⎣⎦==所以，这20人答对题目的样本均值为1.2，样本方差为0.76． （2）设事件A 为“李明同学从乙箱中抽出的第1个题是选择题”， 事件为“王刚同学从甲箱中取出2个题都是选择题”， 1B 事件为“王刚同学从甲箱中取出1个选择题1个填空题"， 2B 事件为“王刚同学从甲箱中取出2个题都是填空题”， 3B 则、、，彼此互斥，且，1B 2B 3B 123B B B ⋃⋃=Ω，，， ()24126C 2C 5P B ==()1142226C C 8C 15P B ==()2236C 1C 15P B ==，，，()158P A B =()212P A B =()338P A B =()()()()()()()112233P A P B P A B P B P A B P B P A B =⨯+⨯+⨯ 258113135815215824=⨯+⨯+⨯=所求概率即是A 发生的条件下发生的概率：1B ．()()()()()()111125658131324P B P A B P B A P B A P A P A ⨯====21．已知椭圆，左、右顶点分别为、，点、为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>A B P Q 上异于、的两点，面积的最大值为． A B PAB 2(1)求椭圆的方程；C (2)设直线、的斜率分别为、，且． AP BQ 1k 2k 1235k k =①求证：直线经过定点．PQ ②设和的面积分别为、，求的最大值．PQB △PQA△1S 2S 12S S -【答案】(1)2214x y +=(2)①证明见解析；【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方a b c C 程；（2）①分析可知直线不与轴垂直，设直线的方程为，可知，设点PQ y PQ x ty n =+2n ≠±、.将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求()11,P x y ()22,Q x y PQ C 1253k k =出的值，即可得出直线所过定点的坐标；n PQ ②写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值. 12S S -t 12S S -【详解】（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值， P CPAB 且最大值为， 112222AB b ab ab ⋅=⨯==由题意可得，解得，2222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以，椭圆的标准方程为.C 2214x y +=（2）解：①设点、.()11,P x y ()22,Q x y 若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意. PQ P Q y 12k k =-设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，PQ x ty n =+PQ C 2n ≠±联立可得， 2244x ty n x y =+⎧⎨+=⎩()2224240t y tny n +++-=，可得，()()()22222244441640t n t n t n ∆=-+-=+->224n t <+由韦达定理可得，，则，12224tn y y t +=-+212244n y y t -=+()2121242n ty y y y n -=+所以， ()()()()()()()()212121121112221212122122422222422222n y y n y ty n y ty y n y k y x n n k x y ty n y ty y n y y y n yn -++-+-+--=⋅===-++++++++，解得， ()()()()1211222222522223n y y ny n n n n y y ny n ++---=⋅==+-+++12n =-即直线的方程为，故直线过定点.PQ 12x ty =-PQ 1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭②由韦达定理可得，，1224t y y t +=+()1221541y y t =-+所以，12121·2S S AM BM y y -=--=====20t≥因为函数在， ()1f x x x =+)+∞≥=所以，时，等号成立， 1S -=0=t 因此，的最大值为12S S -【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证()00,x y ()00y y k x x -=-y kx b =+明.22．已知函数．()e (R)xa f x a x =-∈(1)讨论函数零点个数；()f x (2)若恒成立，求a 的取值范围． ()ln f x a x a >-【答案】(1)答案见解析； (2). e 1(e ,)+∞-【分析】（1）将零点问题转化为函数图象交点问题，设，求出函数的导数，判断()f x ()e xh x x =单调性，作出其大致图象，数形结合，即可求得答案.（2）分三种情况分类讨论，利用导数判断函数的单调性，结合不等式恒成立考虑0,0,0a a a =<>函数最值情况或利用单调性求解不等式，从而求得参数范围.【详解】（1）由，得, ()e 0xaf x x=-=e ,(0)x x a x =≠设，则，()e xh x x =()()1e xh x x '=+当时，，当时，，1x <-()0h x '<10,0x x -<<>()0h x '>所以在上单调递增；在上单调递减，()e xh x x =(1,0),(0,)-+∞(,1)-∞-所以，min 1()(1)eh x h =-=-据此可画出大致图象如图，()e xh x x =所以（i ）当或时，无零点：1e <-a 0a =()f x （ii ）当或时，有一个零点；1a e =-0a >()f x （iii)当时，有两个零点；10ea -<<()f x （2）①当时，即恒成立，符合题意；0a =()ln f x a x a >-e 0x >②当时，由可得，则， 0a <()ln f x a x a >-0x >e 0xax->则，即，e ln x a a x a x->-1(ln e 1)x x a x >+-设，则， 1()ln 1m x x x =+-22111()x m x x x x-'=-+=当时，，当时，， 01x <<()0m x '<1x >()0m x '>所以在上单调递减，在上单调递增， ()m x (0,1)(1,+)∞所以，()()10m x m ≥=所以，当时，，0a <1e 0(ln 1)xx a x >≥+-即恒成立，即符合题意；()ln f x a x a >-0a <③当时，由（1）可知，，在上单调递增．0a >()e x h x a x a -=-(0,)+∞又，，()00h a a -=-<()e (0)1ah a a a -=->所以，使.0(0,)x a ∃∈000()e 0xh x a x a -=-=i ）当时，，即，0(0,)x x ∈e 0x x a -<e 0xa x-<设， ()e ln 0xa g x a x a x=--+>则，所以在上单调递减， 2()e 0x a ag x x x'=---<()g x 0(0,)x 所以时，；0(0,)x x ∈()()00ln g x g x a x a >=-+ii ）当时，，即， 0(,)x x ∈+∞e 0x x a ->e 0xax->设， ()e ln 0xat x a x a x=--+>因为，222e ()e x xa a x a axt x x x x +-'=+-=令，则，20()e ,,()xp x x a a x x x =+-+∈∞2()(2)e x p x x x a '=+-第 21 页 共 21 页又令，20()(2)e (),,x n x x x a x x =+∈+∞-则，得在上单调递增，2()(42)e 0x n x x x '=++>()n x 0(),x +∞有，020000()()()(2)e 0x p x n x n x x x a ax a '=≥=+-=+>得在上单调递增，有，()p x 0(),x +∞02000e ()()0x p x p x x a ax a =+-=>≥则，得在上单调递增， 2()()0p x t x x '=>()t x 0(,)x +∞则时，，0(,)x x ∈+∞()()00ln t x t x a x a ≥=-+又时，，0(0,)x x ∈()()00ln g x g x a x a >=-+得当时，时，，0a >()ln f x a x a >-00ln 00e a x a x -+>⇒<<由上可知，在上单调递增，则此时， 00e x a x =()e x h x x =(0,)+∞e+10e a <<综上可知，a 的范围是.e 1(e ,)+∞-【点睛】难点点睛：第二问解答不等式恒成立求解参数范围时，需要讨论a 的正负，看能否保证不等式恒成立，特别是当时，要结合函数的零点情况，反复构造函数，判断函数单调性，由此0a >求得参数a 的范围，计算过程十分复杂，计算量较大，难度很大.。
福建省福州市届高三下学期3月综合质量检测文科数学试题Word版含答案
2017年福州市普通高中毕业班综合质量检测文科数学能力测试★祝考试顺利★第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知集合A={x|x 2-4x+3<0 ,B={ x|1<2x ≤ 4,x ∈N}，则A（A ）（B ）(1,2]（C ）{2 } （D ）{1,2}(2) 已知复数z=2+i ，则（A ）34-i 55 （B ）—34i55（C ）54-i 33 （D ）54-+i 33(3) 已知双曲线C: （a>0,b>0）的离心率为2，则C 的渐近线方程为（A ）y=±x （B ）y=± （C ）y=±2x （D ）y=(4) 在检测一批相同规格共500kg 航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为（A ）2.8kg （B ）8.9kg （C ）10kg （D ）28kg(5) 要得到函数f(x)=sin2x 的图象，只需将函数g(x)=cos2x 的图象 （A ）向左平移12个周期 （B ）向右平移12个周期（C ）向左平移14个周期 （D ）向右平移14个周期(6) 已知，则（A ）a<b<c （B ）a<c<b（C ）c<a<b （D ）c<b<a(7) 如右上图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何 体的三视图，则此几何体各面中直角三角形的个数是 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5(8) 执行右面的程序框图，如果输入的m=168,n=112，则输出 的km 的值分别为 （A ）4,7 （B ）4,56 （C ）3,7 （D ）3,56(9) 已知球O 的半径为R ，A,B,C 三点在球O 的球面上，球心O,到平面ABC ， （A ）163π （B ）16π （C ）643π （D ）64π(10) 已知m=，若sin2（α+γ）=3sin2β，则（A ）32 （B ）34 （C ）32（D ）2 (11) 已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．若射线y=（2 x-1）（x ≤ 1）与C,l 分别交于P,Q 两点，则（A （B ）2 （C （D ）5 (12) 已知函数f （x ）= 若方程f （-x ）=f （x ）有五个不同的根，则实数a 的取值范围为（A ）（-∞,- e ）（B ）（-∞,- 1）（C ）（1,+ ∞）（D ）（e,+∞）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
福建省福州市2024届高三下学期4月末三模试题 地理 Word版含答案
（在此卷上答题无效）2023-2024学年福州市高三年级4月末质量检测地理试题（完卷时间75分钟；满分100分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位、越界答题!一、单选题（共16小题，每题3分，共48分）近年来，浙江省仙居县加快特色农业发展，创建地域专属品牌，构建收购、包装、定价、销售为一体的全链式管理体系，形成了以“供应链中心+线下实体店+线上直播间”为发展模式的农产品服务体系，有效破解山区农产品“难被人知晓、难卖好价格”困境。
据此完成1-3题。
1.发展地域专属品牌的特色农业，有利于（）A.提高产品竞争能力B.降低农业生产成本C.快速开拓异地市场D.减少广告宣传投入2.供应链中心的作用是（）A.确保农产品高产稳产B.抬高商品销售价格C.压低农产品收购价格D.保障商品品质稳定3.为了保障农产品顺利外销，目前该县相关企业首要任务是（）A.积极接洽物流配送企业B.积极研发网络销售平台C.加强网络基础设施建设D.大力兴建道路交通设施位于粤东北的林寨四角楼是典型的客家围屋（见图1）。
建造过程中先用石块砌筑起墙基，接着用掺以小石子和糯米汁的生土夯筑而成，并在建筑的四个角加建高出房屋一至二层的瞭望阁楼。
据此完成4-6题。
4.该建筑反映出当地自然环境特点是（）A.光照充足，草场广布B.降水丰沛，土质黏重C.地形平坦，土壤肥沃D.河流宽阔，流速缓慢5.林寨四角楼最佳选址是（）A.朝东陡坡B.朝西陡坡C.朝北缓坡D.朝南缓坡6.客家围屋体现的地域文化主要是（）A.重农轻商B.社会公平C.人地和谐D.御外凝内干旱程度异常快速发展的现象称为突发性干旱。
不同的植被因其特性对干旱的反应有所不同。
黄土高原植被对突发性干旱反应迅速，而秦岭植被对突发性干旱反应则滞后1个月。
据此完成7-9题。
7.黄土高原最容易受到突发性干旱影响的土地利用类型是（）A.林地B.草地C.建设用地D.未利用土地8.秦岭植被对突发性干旱反应滞后的原因是（）A.大气降水多B.空气湿度大C.土壤湿度大D.蒸腾作用强9.当突发性干旱发生时，采取的措施主要有（）①加强水源管理调度②改种耐旱作物品种③加强旱情监测预警④制定灾害应急预案A.①②B.①③C.②④D.③④为了满足用水需求，我国台湾省近年来陆续增设海水淡化厂。
2022届福建省福州市长乐高中、城关中学高三适应性调研考试数学试题含解析
2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u = lny ，v =(x -4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．e B ．e 2 C ．ln 2 D ．2ln 22．如果0b a <<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．22log log b a <B ．1122b a ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33b a >D ．2ab b <3．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，22()2x x x f x e +=-，设(ln 2a fb fc f ===，则（ ）A ．b a c >>B ．b a c >=C ．a c b =>D ．c a b >> 4．已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是原点，则OA OB ⋅=（ ）A ．－2B ．－4C ．3D ．－35．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ） A ．32 B ．1 C ．-1 D ．06．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1 B ．23- C ．13- D ．34- 7．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( )A ．sin y x =π.B ．|1|y x =-C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+8．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题：①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为213；③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．函数()1sin f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(x ππ-≤≤且0)x ≠的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．10．下列函数中，既是奇函数，又在(0,1)上是增函数的是（ ）．A ．()ln f x x x =B ．()x x f x e e -=-C ．()sin 2f x x =D ．3()f x x x =-11．如图网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的所有棱中最长棱的长度为（ ）A ．2B ．22C ．3D ．112．函数2()1cos 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届福建福州市高三3月学情调研数学试题试卷
2025届福建福州市高三3月学情调研数学试题试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．632．已知函数()2ln e x f x x =，若关于x 的方程21[()]()08f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3(0,)4B ．2(0,)2C ．23(,)24D ．2(,1)23．已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x （x +3）≤0}，则M ∩N ＝（ ） A ．[﹣3，2）B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0）4．已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,7,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（ ）A ．332B ．3C ．33D ．235．已知,a R b R ∈∈，则“直线210ax y +-=与直线(1)210a x ay +-+=垂直”是“3a =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 7．若，则（ ） A ．B ．C ．D ．8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ）A ．32B ．12C ．78 D ．9810．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i +B ．23i -C ． 23i -+D ． 23i --12．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2212x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A ．65,⎛- ⎝⎭B ．665,,53⎛⎛ ⎝⎭⎝C ．652⎛⎝ D ．665,,522⎛⎛-⎝⎭⎝二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省泉州市2020届高三数学下学期3月适应性线上测试题理【含答案】
福建省泉州市2020届高三数学下学期3月适应性线上测试题 理 本试卷共23题，满分150分，共5页。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2.选择题请按本校老师规定的方式作答.非选择题及使用钉钉平台阅卷的多项选择题，请自行打印答题卡，按照题号顺序在各题目的答题区域内(黑色线框)作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.没有条件自行打印的，请在空白纸上模仿答题卡自行画定答题区域，标明题号，并在相应区域内答题，超出答题区域书写的答案无效。
3.答题完毕，请按学校布置的要求，用手机拍照答案并上传到指定的地方，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍。
一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2－3x<0}，B ＝{x|x －2≥0}，则()R A B =I ð A.{x|0<x ≤2} B.{x|0<x<2} C.{x|2≤x<3} D.{x|0<x<3}2.设复数2(1)12i z i+=-，则|z|＝A.5B.25C.5D.433.下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度(mg/ml)的变化情况，其中点A i 的横坐标表示服用第i 种药后血药浓度达峰(最高浓度)时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点A i 的纵坐标表示第i 种药的血药浓度的峰值(i ＝1，2，3)。
记V i 为服用第i 种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，记T i 为服用第i 种药后血药浓度从峰值首次降到峰值的一半所用的时间，则V 1，V 2，V 3中最小的，T 1，T 2，T 3中最大的分别是A.V 2，T 3B.V 2，T 2C.V 1，T 3D.V 1，T 24.已知{a n }是公差为3的等差数列。
福建省福州市高二数学下学期3月月考试卷理(含解析)
福建省福州市高二数学下学期3月月考试卷理（含解析）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒2．若f'（x）=3，则等于（）A．3 B．C．﹣1 D．13．若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣24．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C． D．ln25．下列积分不正确的是（）A．B．C． D．6．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极值，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞27．设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]8．若函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）9．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣210．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8=0的最短距离是（）A．B．2 C．3 D．011．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）12．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x，有的最小值为（）A．2 B．C．3 D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为．14．已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）= ．15．由y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为．16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．x ﹣1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．三、解答题：共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足a3=6，a4+a6=20（1）求通项a n；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．18．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcosC=（2a﹣c）cosB （Ⅰ）求∠B的大小（Ⅱ）若、a+c=4，求三角形ABC的面积．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，﹣2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．（1）求椭圆的方程；（2）求△CDF2的面积．20．设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f′（x）的图象经过点，如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．22．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年福建省福州市文博中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒【考点】62：导数的几何意义．【分析】求导数，把t=3代入求得导数值即可．【解答】解：∵s=1﹣t+t2，∴s′=﹣1+2t，把t=3代入上式可得s′=﹣1+2×3=5由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒，故选C2．若f'（x）=3，则等于（）A．3 B．C．﹣1 D．1【考点】6F：极限及其运算．【分析】由=﹣=﹣×f'（x0），由题意，即可求得答案．【解答】解：=﹣=﹣×f'（x0）=﹣×3=﹣1，故选C．3．若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由y=x2+ax+b，知y′=2x+a，再由曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x ﹣y+1=0，求出a和b．【解答】解：∵y=x2+ax+b，∴y′=2x+a，∵y′|x=1=2+a，∴曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b=（2+a）（x﹣1），∵曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，∴a=﹣1，b=2．故选B．4．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C． D．ln2【考点】65：导数的乘法与除法法则．【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx∴∵f′（x0）=2∴lnx0+1=2∴x0=e，故选B．5．下列积分不正确的是（）A．B．C． D．【考点】68：微积分基本定理．【分析】利用微积分基本定理即可得出．【解答】解：A. = =ln3，因此正确；B．∵=2．故B不正确．==，因此正确；D. = = =．因此正确．综上可知：只有B不正确．故选B．6．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极值，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，利用导数有两个不相等的实数根，通过△＞0，即可求出a的范围．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以函数f′（x）=3x2+2ax+（a+6），因为函数有极值，所以导函数有两个不相等的实数根，即△＞0，（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，解得：a＜﹣3或a＞6，故选：C．7．设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]【考点】62：导数的几何意义．【分析】根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．【解答】解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y′=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴．故选：A．8．若函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知，f′（x）=3x2≥0在[1，+∞）上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a的取值范围．【解答】解：f′（x）=3x2+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥﹣3x2，恒成立，只需a大于﹣3x2的最大值即可，而﹣3x2在[1，+∞）上的最大值为﹣3，所以a≥﹣3．即数a的取值范围是[﹣3，+∞）．故选A．9．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣2【考点】62：导数的几何意义．【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．10．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8=0的最短距离是（）A．B．2 C．3 D．0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3H：函数的最值及其几何意义；IT：点到直线的距离公式．【分析】在曲线y=ln（2x﹣1）上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线2x﹣y+8=0的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解．【解答】解：设曲线y=ln（2x﹣1）上的一点是P（ m，n），则过P的切线必与直线2x﹣y+8=0平行．由，所以切线的斜率．解得m=1，n=ln（2﹣1）=0．即P（1，0）到直线的最短距离是d=．故选B．11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．【解答】解：设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）•g （x）=﹣F（x）．故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故选D12．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x，有的最小值为（）A．2 B．C．3 D．【考点】63：导数的运算；3R：函数恒成立问题；7F：基本不等式．【分析】由对于任意实数x，f（x）≥0成立求出a的范围及a，b c的关系，求出f（1）及f′（0），作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵f（x）≥0，知，∴c．又f′（x）=2ax+b，∴f′（0）=b＞0，f（1）=a+b+c．∴≥1+=≥1+=2．当且仅当4a2=b2时，“=”成立．故选A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1] ．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y′=x﹣=，令其导数小于等于0，可得≤0，结合函数的定义域，解可得答案．【解答】解：对于函数，易得其定义域为{x|x＞0}，y′=x﹣=，令≤0，又由x＞0，则≤0⇔x2﹣1≤0，且x＞0；解可得0＜x≤1，即函数的单调递减区间为（0，1]，故答案为（0，1]14．已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）= 0 ．【考点】63：导数的运算．【分析】求函数的导数，先求出f′（）的值即可得到结论．【解答】解：函数的导数为f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，令x=，得f′（）=f′（）cos﹣sin=﹣1，则f（x）=﹣sinx+cosx，则f（）=﹣sin+cos=，故答案为：0．15．由y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为9 ．【考点】67：定积分．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线yy2=4x与直线y=2x﹣4所围成的封闭图形的面积，即可求得结论【解答】解：联立方程组，解得或，∴曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=（y+2﹣y2）dy=（y2+2y﹣）|=9，故答案为：916．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．x ﹣1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是①②⑤．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由导数图象可知，函数的单调性，从而可得函数的极值，故可得①，②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，即可求得结论．【解答】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤．故答案为：①②⑤．三、解答题：共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足a3=6，a4+a6=20（1）求通项a n；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由已知条件，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出等差数列的通项公式．（2）由a n=2n，{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，利用等比数列的通项公式，能求出数列{b n}的通项公式，再利用分组求和法能求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}满足a3=6，a4+a6=20，∴，解得，∴．（2）∵a n=2n，{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴，∴，∴．18．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcosC=（2a﹣c）cosB （Ⅰ）求∠B的大小（Ⅱ）若、a+c=4，求三角形ABC的面积．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理得： ===2R解出a、b、c代入到已知条件中，利用两角和的正弦函数的公式及三角形的内角和定理化简，得到cosB的值，然后利用特殊角的三角函数值求出B即可；（Ⅱ）要求三角形的面积，由三角形的面积公式S=acsinB知道就是要求ac的积及sinB，由前一问的cosA的值利用同角三角函数间的基本关系求出sinA，可根据余弦定理及、a+c=4可得到ac的值，即可求出三角形的面积．【解答】解（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sinBcosC=2sinAcosB﹣cosBsinC∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）又在三角形ABC中，sin（B+C）=sinA≠0∴2sinAcosB=sinA，即，得（Ⅱ）∵b2=7=a2+c2﹣2accosB∴7=a2+c2﹣ac又∵（a+c）2=16=a2+c2+2ac∴ac=3∴即19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，﹣2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．（1）求椭圆的方程；（2）求△CDF2的面积．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于a、b、c的方程，解出a=，b=c=1，从而得到椭圆的方程；（2）求出F1B直线的斜率得直线F1B的方程为y=﹣2x﹣2，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出|x1﹣x2|=，结合弦长公式可得|CD|=，最后利用点到直线的距离公式求出F2到直线BF1的距离d，即可得到△CDF2的面积．【解答】解：（1）∵椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，∴b==1，且=，解之得a=，c=1可得椭圆的方程为；…（2）∵左焦点F1（﹣1，0），B（0，﹣2），得F1B直线的斜率为﹣2∴直线F1B的方程为y=﹣2x﹣2由，化简得9x2+16x+6=0．∵△=162﹣4×9×6=40＞0，∴直线与椭圆有两个公共点，设为C（x1，y1），D（x2，y2），则∴|CD|=|x1﹣x2|=•=•=又∵点F2到直线BF1的距离d==，∴△CDF2的面积为S=|CD|×d=×=．20．设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f′（x）的图象经过点，如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；36：函数解析式的求解及常用方法；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）求出y=f'（x），因为导函数图象经过（﹣2，0）和（，0），代入即可求出a、b、c之间的关系式，再根据图象可知函数的单调性，而f（x）极小值为﹣8可得f（﹣2）=﹣8，解出即可得到a、b、c的值；（2）根据函数增减性求出函数在区间[﹣3，3]的最小值大于等于m2﹣14m，即可求出m的范围．【解答】解：（1）∵f'（x）=3ax2+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（﹣2，0），，∴∴f（x）=ax3+2ax2﹣4ax，由图象可知函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由f（x）极小值=f（﹣2）=a（﹣2）3+2a（﹣2）2﹣4a（﹣2）=﹣8，解得a=﹣1∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x（2）要使对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，只需f（x）min≥m2﹣14m即可．由（1）可知函数y=f（x）在[﹣3，﹣2）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减且f（﹣2）=﹣8，f（3）=﹣33﹣2×32+4×3=﹣33＜﹣8∴f（x）min=f（3）=﹣33﹣33≥m2﹣14m⇒3≤m≤11故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．21．已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）对函数求导，令f′（1）=0，即可解出a值．（Ⅱ）f′（x）＞0，对a的取值范围进行讨论，分类解出单调区间．a≥2时，在区间（0，+∞）上是增函数，（Ⅲ）由（2）的结论根据单调性确定出最小值，当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1，恒成立；当0＜a＜2时，判断知最小值小于1，此时a无解．当0＜a＜2时，（x）的单调减区间为，单调增区间为【解答】解：（Ⅰ），∵f′（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0即 a+a﹣2=0，解得 a=1（Ⅱ），∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0①当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）＞0．∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0解得由∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为（Ⅲ）当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1当0＜a＜2时，由（II）②知，处取得最小值，综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）22．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a＞0，可得，再检验即可；（2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．结合当x∈[1，e]时及可知[g（x）]max=g（e）=e+1．利用，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三种情况讨论即可．【解答】解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．。
2022年福建省福州市高考数学质检试卷(3月份)+答案解析(附后)
2022年福建省福州市高考数学质检试卷（3月份）1.若复数z 满足，则z 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知，，，则外接圆的方程为( )A. B.C.D.3.中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等，如图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：则下列结论中不正确的是( )A. 这一星期内甲的日步数的中位数为11600B. 乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上C. 这一星期内甲的日步数的平均值大于乙D. 这一星期内甲的日步数的方差大于乙4.“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知P 是半径为3cm 的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向做圆周运动，角速度为如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy ，若，则点P 的纵坐标y 关于时间单位：的函数关系式为( )A. B.C. D.6.从集合的非空子集中任取两个不同的集合A 和B ，若，则不同的取法共有( )A. 42种B. 36种C. 30种D. 15种7.已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最大值为( )A.B.C. 1D.8.折纸是我国民间的一种传统手工艺术．现有一张长10cm 、宽8cm 的长方形的纸片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕线段将纸片分成两部分，面积分别为，若：：3，则折痕长的最大值为( )A.B. 10cmC.D.9.已知椭圆C ：的左、右焦点分别为，，P 为C 上一点，则( )A. C 的离心率为B. 的周长为5C.D.10.已知等差数列的前n 项和为，公差若，则( )A. B.C.D.11.设函数的定义域为R ，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是( )A. B. 为奇函数C.在上为减函数D. 方程仅有6个实数解12.已知正四面体ABCD 的棱长为3，其外接球的球心为点E 满足，过点E 作平面平行于AC 和BD ，设分别与该正四面体的棱BC ，CD ，DA 相交于点F ，G ，H ，则( )A. 四边形EFGH 的周长为定值B. 当时，四边形EFGH 为正方形C. 当时，截球O 所得截面的周长为D. 四棱锥的体积的最大值为13.已知函数在处取得极值，则实数______.14.如图，一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为10cm ，高为20cm ，则这个茶叶盒的表面积约为______精确到，15.写出一个使等式成立的的值为______.16.已知抛物线C：的焦点为F，过F的动直线l交C于A，B两点，过A，B分别作C的切线，，与交于点经探究可知点P必在一条定直线上，其方程为______；记，与y轴的交点分别为M，N，若l的倾斜角为，则四边形PMFN的面积为______.17.已知数列的前n项和为，，，且求；求证：…18.记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知求c；在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断该三角形是否存在？若存在，求出三角形的面积；若不存在，说明理由．①BC边上的中线长为；②AB边上的中线长为；③三角形的周长为19.如图，在直三棱柱中，点E为AB的中点，点F在BC上，且证明：平面平面；若，，且三棱锥的体积为，求CE与平面所成角的正弦值．20.某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加且次抽奖，每次中奖的概率为，不中奖的概率为，且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个：方案①：若中奖则得30分，否则得0分；方案②：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分．第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束．如果，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由．记顾客甲第i次获得的分数为…，，并且选择方案②．请直接写出与的递推关系式，并求的值．精确到参考数据：21.平面直角坐标系xOy中，双曲线C：的右焦点为F，T为直线l：上一点，过F作TF 的垂线分别交C的左、右支于P，Q两点，交l于点证明：直线OT平分线段PQ；若，求的值．22.已知函数的图象与x轴相切于原点．求b，c的值；若在上有唯一零点，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，在复平面内对应的点位于第二象限．故选：根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查圆的方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．由题意可得所求外接圆的圆心在y轴上，由圆的半径的定义解方程可得圆心和半径，进而得到所求圆的方程．【解答】解：由，，可得外接圆的圆心在y轴上，设圆心为，由，可得，解得，则外接圆的半径为，可得外接圆的方程为，故选：3.【答案】B【解析】解：对于A，甲的频数从小于大为：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800，中位数是11600，故A正确；对于B，乙的暑期三步数7030，星期四12970，，没有增加1倍以上，故B错误；对于C，，，，故C正确；对于D，，，故D正确．故选：利用中位数的定义判断A；乙的暑期三步数7030，星期四12970，没有增加1倍以上，判断B；由平均数定义判断C；由方差定义判断本题考查命题真假的判断，考查折线统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：，，，①若““，则，即，所以具有充分性；②若，则，不一定可以推到，如，，，但，所以不具有必要性；故选：将化简成，由此来判断a，b的大小关系，即可求解．本题考查了条件的充分性与必要性，考查学生的分析能力，计算能力，是基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题给出实际应用问题，求点P的纵坐标y关于时间单位：的函数关系式，着重考查了三角函数的定义和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．设点P的纵坐标y关于时间单位：的函数关系式为，求出A的值，时，射线OP 可视为角的终边，结合三角函数的定义可得出函数解析式．【解答】解：设点P的纵坐标y关于时间单位：的函数关系式为，由题意可得，，时，射线OP可视为角的终边，则故选：6.【答案】C【解析】解：根据题意，集合A中最少1个元素，最多3个元素，分3种情况讨论：①集合A中有1个元素，集合A有3种选法，集合B的选法有种选法，此时有种取法，②集合A中有2个元素，集合A有种选法，集合B的选法有种选法，此时有种取法，③集合A中有3个元素，集合A有1种选法，集合B不是空集和全集即可，有种选法，此时有种取法，则有种取法，故选：根据题意，按集合A中元素的数目分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：，，，，，的最大值为故选：利用和向量数量积的运算律可求得，并将所求式子化为，由可求得结果．本题考查了平面向量数量积的运算以及最大值问题，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：由题意得：长方形纸片的面积为，又：：3，，①当折痕如下图所示时，设，，则，解得：，，②当折痕如下图所示时，设，，则，解得：，在上单调递减，在上单调递增，又，，，③当折痕如下图所示时，设，，则，解得：，，令，则在上单调递减，在上单调递增，又，，，，；综上所述：折痕长的取值范围为；折痕长的最大值为故选：由已知可确定，分别在三种折叠方式下利用面积建立关于折痕的函数关系式，根据二次函数和对勾函数的单调性可求得最值，由此可得结果．本题考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题．9.【答案】CD【解析】解：对于选项A：由题意可知，，离心率，故选项A错误，对于选项B：由椭圆的定义，，的周长为，故选项B错误，对于选项C：当点P为椭圆短轴端点时，，又，，即，，故选项C正确，对于选项D：由椭圆的几何性质可知，，故选项D正确，故选：由椭圆方程可求出a，c，根据离心率，焦点三角形周长为，可判断A，B的正误，当点P为椭圆短轴端点时最大，由此可得的最大值为，可知C正确，根据可知D正确．本题主要考查了椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，属于基础题．10.【答案】BD【解析】解：由题意，等差数列是首项为正数的递减数列，则，，故选项A错，选项B对；当时，有，则，故选项C错误；当时，，则，所以，故选项D正确．故选：由题意，等差数列是首项为正数的递减数列，从而对选项进行逐项判断即可．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．11.【答案】ABD【解析】【分析】解：为奇函数，，即，则函数关于对称，为偶函数，，即为，则函数关于对称，则，当时，由，得，得，得，即，同时，即是周期为8的周期函数，则，故A正确，，则是奇函数，故B正确，函数的周期是8，在的单调性和的单调性相同，由图象知，在上为增函数，则在上增函数，故C错误，由得，作出函数和的图象如图：由图象知两个函数有6个交点，即有6个不同的根，故D正确，故选：【解答】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件判断函数的周期性，利用函数与方程的关系进行转化是解决本题的关键，是中档题．根据函数的奇偶性，判断函数的对称性和周期性，作出函数的图像，利用函数奇偶性和周期性进行转化求解即可．12.【答案】ABD【解析】解：平面，平面平面，平面平面，则，，所以，又平面，平面平面，平面平面，则，，所以，所以四边形EFGH为平行四边形．由，可得AE：，则HE：，EF：，又正四面体ABCD的棱长为3，则，，选项A：四边形EFGH的周长为故A正确；选项B：当时，，则平行四边形EFGH为菱形，又正四面体ABCD中，对棱，则，则菱形EFGH为正方形，故B正确；分别取BD、BC、AC 的中点M、N、Q，连接DN、CM、MQ，设DN、CM交于K，连接AK，则AK为正四面体的高，正四面体ABCD的棱长为3，其外接球的球心为O，则O在AK上，连接CO，，设球O半径为R，则，即，解得，由，，可得，同理有，则MQ为异面直线BD、AC之间的距离，，则点K到AC的距离为，球心O到AC的距离为，选项C：当时，设与MC交于T，则到AC的距离为，球心O到平面EFGH的距离为，则平面截球O所得截面半径为，则平面截球O所得截面的周长为，故C错误；选项D：由，可得点A到平面EFGH的距离为，又平行四边形EFGH为矩形，则四棱锥的体积，令，则，由得，由得，则在单调递增，在单调递减，所以在时，取最大值，即的最大值为，故四棱锥的体积的最大值为故D正确．故选：求得四边形EFGH的周长判断选项A；依据正方形判定标准判断选项B；求得平面截球O所得截面的周长判断选项C；求得四棱锥的体积的最大值判断选项本题考查了立体几何的综合，属于难题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数极值问题，属于中档题．求出导函数，由求得a值，并检验此时是极值点.【解答】，，则，，当时，，时时，，所以时，取得极值，所以实数故答案为：14.【答案】【解析】解：因为正六棱柱底面边长为10cm，所以正六棱柱的底面积为又因为高为20cm，所以这个正六棱柱的表面积为，即这个茶叶盒的表面积约为故答案为：由正六棱柱底面边长求出底面积，再计算棱柱的表面积．本题考查了正六棱柱表面积计算问题，求出底面积是解题的关键，是基础题．15.【答案】答案不唯一，，任取一个值均可【解析】解：，，，解得：，当时，，故使得等式成立的一个的值为答案不唯一故答案为：答案不唯一，只要满足即可利用二倍角和两角和差正弦公式化简已知等式得到，由正弦函数性质可确定，由此可解得结果．本题考查了二倍角公式，两角和差正弦公式以及三角函数的求值问题，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由抛物线方程知：，设l：，，，由，得：，，，当时，由得：，，，又，；当时，由得：，，，，又，，点P必在定直线上；由，方程可求得，；当l倾斜角为时，l的方程为：，，，解得：，四边形PMFN的面积设l：，与抛物线方程联立可得韦达定理形式，结合导数知识可求得，方程，由此可求得P 点横坐标恒为，由此可得定直线；由，方程可求得M，N坐标，结合韦达定理可求得，由可求得结果．本题考查了直线与抛物线的综合，属于中档题．17.【答案】解：数列的前n项和为，，，且，整理得；故；所以当时，，所以数列是以1为首项，4为公比的等比数列；所以；当时，同理可得：；所以证明：，所以【解析】直接利用数列的递推关系求出数列的通项公式；利用放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】解：因为，所以，由正弦定理知，，所以，所以选择条件①：设D为BC的中点，则，因为，所以，即，所以，化简得，无解，所以不存在．选择条件②：设点E为AB的中点，则，，在中，由余弦定理知，，所以，解得或，所以的面积选择条件③：因为三角形的周长为6，且，所以，在中，由余弦定理知，，所以，即，解得，所以的面积【解析】由，知，，结合两角和的正弦公式，诱导公式，可推出，再由正弦定理，得解；条件①：设D为BC的中点，由，将其两边平方后，化简可得，无解；条件②：设点E为AB的中点，在中，利用余弦定理求出b的值，再由，得解；条件③：易知，再在中，由余弦定理知，求出b的值，再由，得解．本题主要考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，两角和的正弦公式，平面向量的混合运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：在直三棱柱中，平面，平面，，点E为AB的中点，且，，，，，CE，平面，平面，平面，平面平面；，为正三角形，设，则，由可得，平面，依题意得，故点F到平面的距离为，，，三棱锥的体积为，，，以E为坐标原点，EC，EB，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即令，得，，与平面所成角的正弦值为【解析】易证，，可证平面，进而可证平面平面；设，求得，，可求，以E为坐标原点，EC，EB，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的法向量与CE的方向向量，可求CE与平面所成角的正弦值．本题考查空间直线与直线，直线与平面的位置关系，直线与平面的夹角等基础知识，考查推理论证能力，属中档题．20.【答案】解：若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为40，35，10，，，，，所以若甲第2次抽奖选方案②，两次抽奖累计积分为，则的可能取值为30，15，10，则，因为，所以应选择方案①．依题意得，的可能取值为10，5，其分布列为105P所以，则，由，得，所以为等比数列，其中首项为，公比为所以，故【解析】分别求得两个方案的累计积分的期望值即可进行选择；依据题给条件即可求得的值．本题考查了离散型随机变量的期望以及概率中的决策问题，属于中档题．21.【答案】解：证明：依题意，，即，设，则直线PQ的方程为，由，得，设，，则，故，，，，又直线PQ分别交C的左、右支于P，Q两点，，故，的中点为，，，故O，T，N三点共线，即直线OT平分线段PQ；依题意，由，得，即，，①，②①②得，，解得或舍去，此时，【解析】设直线PQ的方程为，联立方程得，设，，可得PQ的中点为，证明，可证直线OT平分线段PQ；依题意，由，得，可得，求解即可．本题考查双曲线的图象和性质，直线和双曲线的位置关系等基础知识，推理论证能力，运算求解能力，属难题．22.【答案】解：，依题意，，即，解得，；由得，，记，则，①当时，若，，单调递增，又，，存在唯一实数，使得若则，由上可知，时，，单调递减；时，，单调递增．，，存在唯一的实数，使得，当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增．，，存在唯一的实数，使得，即在上有唯一零点，符合题意；②当时，，记，，，，为增函数，，为增函数，，则时，，在上没有零点，不合题意，舍去．综上，a的取值范围是第21页，共21页【解析】，依题意，，可得关于b 、c 的方程组，求解得答案；由得，，记，则，可得然后分和两类，利用导数分析单调性，结合函数零点的判定得结论．本题考查导数的几何意义、函数的零点、导数的应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，综合性强，难度大．。
福建省福州市高三数学适应性练习卷 理(含解析)
连接 ，则 ，∴ .
在 中，取 的中点为 ，连接 ，
则 ， ，
所以 .在 中， ，
由题意得到当截面与直线 垂直时，截面面积最小，
设此时截面圆的半径为 ，
则 ，
所以最小截面圆的面积为 ，
当截面过球心时，截面面积最大为 ，
所以 ， ，
球的表面积为 .
故选:C.
【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，球体与截面等基础知识，确定球心是解题的关键，属于中档题.
【详解】因为 ，所以直线 与
直线 平行，所以 .
故选:C.
【点睛】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，属于基础题.
3.已知两个单位向量 ，若 ，则 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可求出 ，再由向量夹角公式，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 .
福建省福州市2020届高三数学适应性练习卷 理（含解析）
评分说明：
1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
福建省福州第一中学2023届高三下学期适应性考试(三)数学试题 - 副本
福州一中2023届高三毕业班适应性考试（三）数 学 试 题（满分：150 分 考试时间：120 分钟）一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合 A = {x | x 2 −3x +2 ≤0, x ∈Z }，B = { 0,b }，若 A ∩B ≠ ∅ ，则实数b 的值为A ．1B ．0或1C ．2D ．1或22．厦门市博物馆由厦门博物馆主馆、郑成功纪念馆、厦门经济特区纪念馆、厦门市文化遗产保护中心、破狱斗争陈列馆、陈化成纪念馆、陈胜元故居七个馆区组成．甲、乙两名同学各自选取一个馆区参观且所选馆区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有A.22种B.20种C.12种D.10种3．已知3π(π)2α∈，，若1sin 221cos 2αα-=+，则cos 2α的值为A.45 B.45- C.0 D.45-或04．英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位．一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列．八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为12002的等比数列．已知音M 的频率为m ，音分值为k ，音N 的频率为n ，音分值为l ．若2m n =，则k l -=A.400B.500C.600D.8005．如图，在圆台1OO 中，13OO =，点C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，2AC =，点D 是BC 的中点，l 为平面1O AC 与平面1O OD 的交线，则交线l 与平面1O BC 所成角的大小为A .π2B .π3C .π6D .π46．在三棱锥P ABC -中，点O 为ABC △的重心，点D ，E ，F 分别为侧棱PA ，PB ，PC 的中点．若a AF =，b CE = ，c BD = ，则OP =A.111333a b c ++B.111333a b c---C.212333a b c--- D.222333a b c ++ 7．数列{}n a 中，*1(N )n n a >∈，点1(,)n n a a +在双曲线2221y x -=上．若211()n n n n a a a a λ+++->-恒成立，则实数λ的取值范围为A.12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭, B.1(+)2∞, C.22⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭, D.(1+)∞,8．已知12e 1a =-，1tan 2b =，58c =，则A ．c a b<<B ．b c a<<C ．b a c<<D ．c b a<<二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.在国家宪法日来临之际，某中学开展“学宪法、讲宪法”知识竞赛，一共设置了7道题目，其中5道是选择题，2道是简答题．现要求从中不放回地抽取2道题，则A.恰好抽到一道选择题、一道简答题的概率是37B.记抽到选择题的次数为X ，则10()7E X =C.在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到简答题的概率是521D.第二次抽到简答题的概率是2710．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122BC AA ==，AB AC ==，点P 是1A B 上的动点，点Q 是1CC 上的动点，则A .AC ∥平面1A BQB.11B C 与AP 不垂直C.存在点P 、Q ，使得1PQ A B ⊥D.PA PC +11.抛物线:C 26y x =，AB 是C 的焦点弦．A.点P 在C 的准线上，则PA PB ⋅的最小值为0B.以AB 为直径的所有圆中，圆面积的最小值为9πC.若AB的斜率k ，则ABO △的面积12S = D.存在一个半径为94的定圆与以AB 为直径的圆都内切12.定义在R 上的函数()f x ，()g x 的导函数为()f x '，()g x '，(1)y f x =+是偶函数．已知2(1)()8f x g x --=，2()(1)0f x g x ''--=，则A.()y f x '=是奇函数B.()y g x =图象的对称轴是直线2x = C.()30f '= D.20231πcos ()12n n g n =⎡⎤'⋅=⎢⎥⎣⎦∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知i 为虚数单位，复数1z ，2z 满足1i z =，|12z z -|=3，则|2z |的最大值为▲.14.已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x -+=+++++，则24a a +=▲.15.函数()tan()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，T 为()f x 的最小正周期．若00(()())(()())022T Tf x f f x f +--<，写出一个满足条件的正整数0x ▲.（第10题图）（第15题图）16．定义在R 上的函数321ln ,()1,62ax a x x a x f x x x x x a ⎧--≥⎪⎪=⎨⎪-+-<⎪⎩，若()0f x ≥的解集为[)1+∞，，则a 的取值范围为▲；若关于x 的不等式1()0ex f x +≥恒成立，则a 的最大值为▲．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()(1)n n S a n n =-+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足1(N 2)2nn n a b b n n *--=∈≥，且111a b -=，1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T ≤<．18．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin cos()sin AA C C a=+，=2c ．（1）求B ；（2）D 为AC 的中点，234BD BC =，求ABC △的面积．19．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，2PA =，1AB AC ==，将PAB △绕着PA 逆时针旋转π3到PAD △的位置，得到如图所示的组合体，M 为PD 的中点.（1）当BAC ∠为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；（2）当PC ∥平面MAB 时，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.20．（12分）厦门思明区沙坡尾某网红店推出A 、B 两种不同风味的饮品．为了研究消费者性别和饮品偏好的关联性，店主调查了首次到店的消费者，整理得到如下列联表：表1单位：人性别种类合计A 饮品B 饮品女性6040100男性4060100合计100100200（第19题图）（1）请画出列联表的等高堆积条形图，并依据小概率值0.01α=的独立性检验，判断首次到店消费者的性别与饮品风味偏好是否有关联．如果结论是性别与饮品风味偏好有关联，请解释它们之间如何相互影响．（第20题图）（2）店主进一步调查发现：女性消费者若前一次选择A 饮品，则下一次选择A 、B 两种饮品的概率分别为13、23；若前一次选择B 饮品，则下一次选择A 、B 两种饮品的概率分别为23、13；如此循环下去．求女性消费者前三次选择A 、B 两种饮品的数学期望，并解释其实际含义．附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++21．（12分）已知M 是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA 与直线y x =垂直，A 为垂足且位于第三象限；直线MB 与直线y x =-垂直，B 为垂足且位于第二象限．四边形OAMB （O 为原点）的面积为2，记动点M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）点(22,0)E ，直线PE ，QE 与C 分别交于P ，Q 两点，直线PE ，QE ，PQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ．若31211()6k k k +⋅=-，求PQE △周长的取值范围．22．（12分）已知函数21()ln (1)2f x x m x mx =-++．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数21()()2g x f x mx =-有两个零点1x ，2x ，且21e x x >，求证：212e 1x x >-（其中e 是自然对数的底数）．α0.0500.0100.001x α3.8416.63510.828。
2025届福州第三中学高考适应性考试数学试卷含解析
2025届福州第三中学高考适应性考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈ D ．1+,24x k k Z ππ=∈ 3．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( ) A ．3π B ．23π C ．2π D ．π4．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ）A ．54πB ．34πC ．2π D ．3π 5．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ） A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x >D ．{2x x <或}4x >6．如图是二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象，则函数()ln ()g x a x f x '=+的零点所在的区间是（ ）A ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)7．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=- B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z =D ．13122z i i =++ 8．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2kB ．4kC ．4D ．29．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9B ．12C ．15-D ．18-10．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为22，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ）A ．22B ．2C ．223D ．2311．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π1633B ．4π33C ．16343π3D ．43π163312．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届福建省福州市三校联盟高三适应性调研考试数学试题含解析
2025届福建省福州市三校联盟高三适应性调研考试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减2．若复数z 满足()134i z i +=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知集合{}2(,)|1A x y y x ==-，{}(,)|2B x y y x ==，则AB 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．04．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．325．在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈，设,n n A B 到直线()310x n n ++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点A 、B ，过点B 作x 轴的垂线，垂足恰为1F ，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．23D ．57．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤 8．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．39．在钝角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（ ） A ．2B ．98C ．1D ．7810．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()22125x y -+-=的圆心，则11m n+的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 11．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．212．已知{}n a 为等比数列，583a a +=-，4918a a =-，则211a a +=（ ） A ．9B ．－9C ．212D ．214-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省福州市2020届高考数学下学期3月适应性测试线上试题文2-含答案 师生通用
福建省福州市2020届高考数学下学期3月适应性测试（线上）试题文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页．满分150分．注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合(){},|24A x y x y =+=，(){},|10B x y x y =-+=，则A B =IA ．∅B ．{}2,1C ．(){}2,1D ．(){}1,22. 已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=，则z =A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+3. 已知12,e e 均为单位向量，若12-=e e ，则1e 与2e 的夹角为A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4. 函数()335x f x x =+-的零点所在的区间为A ．()0,1B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中随机抽取3个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为 A ．110 B ．15C ．310D ．256. 若()tan 2sin αα=-π，则cos2α=A ．14-B ．1C ．12-或0D ．12-或1 7. 已知平面α⊥平面β，直线,l m ααβ⊂=I ，则“m l ⊥”是“m β⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8. 已知过点()0,1的直线与抛物线24x y =交于()()1122,,,A x y B x y 两点，若1294y y +=，则AB = A ．254B ．174C ．134D ．949. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是 A ．丙有可能没有选素描 B ．丁有可能没有选素描 C ．乙丁可能两门课都相同D ．这四个人里恰有2个人选素描10. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当10x -≤＜时，()21x f x =-，则()2log 20f = A ．14 B ．15C ．15-D ．14-11. 已知函数()sin cos f x x x =+，将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象．若()()122g x g x =-，则12||x x -的最小值为 A ．π2B ．πC ．2πD ．4π12. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0,0a b ＞＞）的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 分别是C 的左、右顶点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ≤≤，则2k 的取值范围为 A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 若实数x ，y 满足约束条件2,220,10,y x y x y -⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤则2z x y =+的最大值为 ．14. ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos 2a B b A ac +=，则a = ． 15. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．16. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，则所得截面圆的面积的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. ··············································································································· （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和． 18. （本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，AC BD O =I ． （1）证明：1B C ∥平面1A BD ；1A 1B 1C 1D（2）设AB =12,AA =3BAD π∠=，若1A O ⊥平面ABCD ， 求三棱锥11B A BD -的体积．19. ··············································································································· （本小题满分12分）世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢．2019年10月20日至22日，第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了1 000名志愿者．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中100名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40,45)岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m ，n 的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；（2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查．这100位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？年龄/岁22参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20. ··············································································································· （本小题满分12分）已知()22ln 3f x x x x ax =+++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）若存在01,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x ≥成立，求a 的取值范围．21. ··············································································································· （本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b ＞＞)，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x ＞．已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形．若P 在直线MN 右下方，求m 的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3,x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos ρρθ=+．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为2C 上的任意一点，求P 到1C 距离的取值范围．23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=． （1）求2a b c ++的取值范围； （2）求证：14918a b c++≥． 福州市2020届高三毕业班适应性练习卷 数学（文科）详细解答及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2020年3月福建省福州市普通高中2020届高三毕业班(线上)高考适应性测试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前福建省福州市普通高中2020届高三毕业班下学期3月(线上)高考适应性测试数学(文)试题(解析版)2020年3月评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合(){},|24A x y x y =+=,(){},|10B x y x y =-+=,则A B =IA ．∅B ．{}2,1C ．(){}2,1D ．(){}1,2【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算等基础知识,意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．【答案】D ．【解答】由24,10x y x y +=⎧⎨-+=⎩得1,2,x y =⎧⎨=⎩所以A B =I (){}1,2． 2. 已知复数z 满足6,25z z z z +=⋅=,则z =A ．34i ±B ．34i ±+C ．43i ±D ．43i ±+【命题意图】本题主要考查复数的概念及其运算等基础知识,意在考查直观想象、数学运算等数学核心素养．【答案】A ．【解答】设i z a b =+（,a b ∈R ）,依题意得,2226,25a a b =+=,解得3,4a b ==±,所以z =34i ±．。
福建省2021届高三数学下学期3月适应性线上测试题文
高三数学下学期适应性线上测试题 文本试卷共23题，满分150分，共5页。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2.选择题请按本校老师规定的方式作答.非选择题及使用钉钉平台阅卷的多项选择题，请自行打印答题卡，按照题号顺序在各题目的答题区域内(黑色线框)作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.没有条件自行打印的，请在空白纸上模仿答题卡自行画定答题区域，标明题号，并在相应区域内答题，超出答题区域书写的答案无效。
3.答题完毕，请按学校布置的要求，用手机拍照答案并上传到指定的地方，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍。
一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z 满足z(1＋i)＝2i ，则z ＝A.－1－iB.－1＋iC.1＋iD.1－i2.已知集合A ＝{x|x 2－3x<0}，B ＝{x|x －2≥0}，则()R A B =A.{x|0<x ≤2}B.{x|0<x<2}C.{x|2≤x<3}D.{x|0<x<3}3.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和。
若a 3＋a 4＝16，S 5＝30，则a 1＝A.－2B.0C.2D.44.下图是某地区2010年至2019年污染天数y(单位：天)与年份x 的折线图。
根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型112233y b x a y b x a y b x a =+=+=+，，，则A.b1<b2<b3，a1<a2<a3B.b1<b3<b2，a1<a3<a2C.b2<b3<b1，a1<a3<a2D.b2<b3<b1，a3<a2<a15.已知1sin cos2αα=+，则cos(2)2πα+=A.－34B.34C.－74D.746.已知双曲线C：22221x ya b-=的一条渐近线经过点(12，9)，且其焦距为10，则C的方程为A.22134x y-= B.22143x y-= C.221916x y-= D.221169x y-=7.若实数x，y满足约束条件22085400yx yx y≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则x＋2y的最大值为A.9B.10C.313D.3738.已知函数2,2()32,0xx b xf xb x⎧++>⎪=⎨+≤⎪⎩，若f(x)在R上为增函数，则A.b<0B.b>0C.0≤b≤1D.b>19.已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的焦距为2c，F1，F2是E的两个焦点，点P是圆(x－c)2＋y2＝4c2与E的一个公共点。
福建省福州市2020届高三数学下学期质量检测3月试题理
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全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是 否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上 书写作答。
在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知复数 z 满足 (i + 1) z = -2 ，则在复平面内，z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限(2) 为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（A ）简单随机抽样 （B ）按性别分层抽样（C ）按年龄段分层抽样 （D ）系统抽样(3) 已知双曲线 E ： mx 2 - y 2 = 1 的两顶点间的距离为 4，则 E 的渐近线方程为 （A ）4x y =±（B ）2x y =±（C ）2y x =±（D ）y x =±(4) 若角α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边在直线34y x = 上，则cos 2α =（A ）2425（B ）725（C ）17（D ）7-25(5) 已知三棱锥 P - ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上， PA ⊥ 平面 ABC ， AB ⊥ BC ，且PA = 8 ．若平面 ABC 截球 O 所得截面的面积为 9π ，则球 O 的表面积为（A ）10π （B ） 25π （C ） 50π（D ）100π (6) 函数 f ( x ) = x 2 + ln (e - x ) l n (e + x ) 的图象大致为yy yy 1 -e O 1 e x -e O e x -e O 1 e x -e O e x（A ） （B ） （C ） （D ）(7) 右面程序框图是为了求出满足1+1 +1 + +1 < 1 000 的最大正整数n2 3 n的值，那么在和两个空白框中，可以分别填入（A）“S <1 000 ”和“输出i -1”（B）“S <1 000 ”和“输出i - 2 ”开始i = 1, S =0S =S +1ii =i +1（C）“S（D）“S1 000 ”和“输出i -1”否是1 000 ”和“输出i -2 ”(8) 福州西湖公园花展期间，安排6 位志愿者到4 个展区提供服务，要求结束甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有（A）90 种（B）180 种（C）270 种（D）360 种(9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（A）+6π（B）2+63π（C）+63π（D）+23π(10) 设函数f ( x) =00220x xxx-≤⎧⎨-⎩,则满足f (x2 -2)>f (x)的x 的取值范围是（A）(-∞, -1) (2, +∞)（B）(-∞, - 2 ) ( 2,+∞)（C）(-∞, - 2 ) (2, +∞)（D）(-∞, -1) ( 2,+∞)(11) 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C：y2 =2 px( p >0)的焦点为F ，准线为l ．过F 的直线交C 于A, B 两点，交l 于点E ，直线AO 交l 于点D .若BE = 2 BF ，且AF = 3 ，则BD =（A）1 （B）3 （C）3 或9 （D）1 或9 (12) 已知函数f (x)=sin 2x的图象与直线2kx -2y -k π= 0 (k>0)恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x1, x2, x3，则(x1 -x3 )tan (x2 -2x3 )=（A）-2（B）-1（C）0 （D）1⎨ ⎩ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
【适应】福建省福州市高三毕业班适应性测试理科数学试题参考答案
【关键字】适应福建省福州市高三毕业班适应性测试理科数学试题&参考答案本试题卷分共4页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第★卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合，则的子集个数为（A）1（B）2（C）3（D）4(2)已知是虚数单位，且（），则的虚部等于（A）（B）（C）（D）(3)已知命题，则为（A）（B）（C）（D）(4)某市组织了一次高三调研考试，考后统计的数学成绩，则下列说法中不正确的是（A）该市这次考试的数学平均成绩为80分（B）分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同（C）分数在110以上的人数与分数在50分以下的人数相同（D）该市这次考试的数学成绩的标准差为10(5)已知圆锥曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此圆锥曲线的离心率为（A）2（B）（C）（D）不能确定(6)某几何体的正（主）视图与侧（左）视图均为边长为1的正方形，则下列图形一定不是该几何体俯视图的是(7)执行右图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值是（A）（B）（C）（D）(8)若将函数的图象向右平移m个单位后恰好与函数的图象重合,则m的值可以为（A）（B）（C）（D）(9)我国古代数学名著《数学九章》中有“天池盆测雨”：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量约为（注：★平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；★一尺等于十寸，1寸约等于）（A）（B）（C）（D）(10)已知分别是的内角所对的边，点为的重心．若，则（A）（B）（C）（D）(11)过抛物线的焦点作直线与交于两点，它们到直线的距离之和等于7，则满足条件的（A）恰有一条（B）恰有两条（C）有无数多条（D）不存在(12)已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）第★卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020届福建省福州市高三下学期3月高考适应性测试 数学（理）
准考证号 姓名（在此卷上答题无效）绝密★启用前福州市2020届高三毕业班适应性练习卷理科数学试题（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页． 注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将答题卡交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数z 对应的点与1i +对应的点关于实轴对称，则iz = A ．i 1--B ．i 1-+C ．1i +D ．1i -2.已知集合(){},|20A x y x y =+=，(){},|10B x y x my =++=．若A B =∅，则实数m = A ．2-B ．12-C ．12D ．23.已知两个单位向量12,e e ，若()1212-⊥e e e ，则12,e e 的夹角为 A ．2π3B ．π3C ．π4D ．π64.一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是 A ．这组新数据的平均数为mB ．这组新数据的平均数为a m +C ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为5.已知平面α平面β，直线,l mααβ，则“m l ”是“m β”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.若()331231log e,2e ,a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>7.若tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π，则cos2α=A ．1-B ．79C ．0或79D ．1-或798.抛物线2:2C y x =的焦点为F ，点P 为C 上的动点，点M 为C 的准线上的动点，当FPM △为等边三角形时，其周长为 A ．2B ．2C ．32D ．69.在同一平面直角坐标系中，画出三个函数()sin 2cos2,f x x x =+5()sin 2g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，()co 7s h x x ⎛⎫=- ⎝π⎪⎭的部分图象如图所示，则A.a 为(),f x b 为(),g x c 为()h xB.a 为(),h x b 为(),f x c 为()g xC.a 为(),g x b 为(),f x c 为()h xD.a 为(),h x b 为(),g x c 为()f x10.射线测厚技术原理公式为0e tI I ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.11611.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 是C 上关于原点对称的两点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k ，则2k 的取值范围为A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.曲线()sin f x x x =在点(),0π处的切线方程为________． 14.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．15.已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若()cos sin cos cos ,A C C B -=2,a c ==C 大小为_____．16.已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数．[)12,1,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦,则不等式()()1215x f f +-+<的解集为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和．为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：40,50[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,[),100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计100参考公式及数据：2(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.()20P K k0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.8416.6357.87910.82819（本小题满分12分）在底面为菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，111,60,2,A B A D BAD AB AA =∠==︒=,A CO A BD O =⊥平面1A BD .（1）证明：1B C ∥平面1A BD ； （2）求二面角1B AA D --的正弦值.ODCC 1B 1A 1D 1已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b ＞＞)C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，若P 在直线MN 的右下方，求m 的值．21.（本小题满分12分） 已知函数()()e 4ln,,2x x a f x ax g x x-=-=（1）求函数()f x 的极值点；（2）当0a >时,当函数()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点,求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3,x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos ρρθ=+．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为2C 上的任意一点，求P 到1C 距离的取值范围．23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=． （1）求2a b c ++的取值范围； （2）求证：14918a b c++≥．福州市2020届高三毕业班适应性练习卷数学(理科)详细解答及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
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福建省福州市2020届高考数学下学期3月适应性测试（线上）试题理（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页． 注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将答题卡交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在复平面内，复数z 对应的点与1i +对应的点关于实轴对称，则iz = A ．i 1--B ．i 1-+C ．1i +D ．1i -2. 已知集合(){},|20A x y x y =+=，(){},|10B x y x my =++=．若A B =∅I ，则实数m =A ．2-B ．12-C ．12D ．23. 已知两个单位向量12,e e ，若()1212-⊥e e e ，则12,e e 的夹角为A ．2π3B ．π3C ．π4D ．π64. 一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是 A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m +C ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为5. 已知平面α^平面β，直线,l m ααβI =Ì，则“m l ^”是“m β^”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 若()331231log e,2e ,a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>7. 若tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π，则cos2α=A ．1-B ．79C ．0或79D ．1-或798. 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，点P 为C 上的动点，点M 为C 的准线上的动点，当FPM △为等边三角形时，其周长为 A ．2B ．2C ．32D ．69. 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数()sin 2cos2,f x x x =+5()sin 2g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，()co 7s h x x ⎛⎫=- ⎝π⎪⎭的部分图象如图所示，则 A.a 为(),f x b 为(),g x c 为()h x B.a 为(),h x b 为(),f x c 为()g x C.a 为(),g x b 为(),f x c 为()h xD.a 为(),h x b 为(),g x c 为()f x10. 射线测厚技术原理公式为0e t I I ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.11611. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 是C 上关于原点对称的两点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k „„，则2k 的取值范围为A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 曲线()sin f x x x =在点(),0π处的切线方程为________． 14. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．15. 已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若()cos sin cos cos ,A C C B -=2,a c ==C 大小为_____．16. 已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数．[)12,1,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦,则不等式()()1215x f f +-+<的解集为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和．18. （本小题满分12分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：40,50[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,[),100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计100参考公式及数据：2,()()()()K n a b c d a b c d a c b d ==+++++++.()20P K k …0.05 0.01 0.005 0.0010k3.8416.6357.879 10.82819. （本小题满分12分）在底面为菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，111,60,2,A B A D BAD AB AA =∠==︒=,A C O A BD O =⊥I 平面1A BD .（1）证明：1B C ∥平面1A BD ； （2）求二面角1B AA D --的正弦值.ODCC 1B 1A 1D 120. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0a b ＞＞)，以C 的短轴为直径的圆与直线:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，若P 在直线MN 的右下方，求m 的值．21. （本小题满分12分）已知函数()()e 4ln,,2x x a f x ax g x x-=-=（1）求函数()f x 的极值点；（2）当0a >时,当函数()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点,求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22. （本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3,x t y t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos ρρθ=+．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为2C 上的任意一点，求P 到1C 距离的取值范围．23. （本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=． （1）求2a b c ++的取值范围；（2）求证：14918a b c++≥．福州市2020届高三毕业班适应性练习卷 数学(理科)详细解答及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．24. 在复平面内，复数z 对应的点与1i +对应的点关于实轴对称，则iz=A ．i 1--B ．i 1-+C ．1i +D ．1i -【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及其几何意义等基础知识，意在考查直观想象、数学运算的数学核心素养． 【答案】A ．【解析】由题得1i z =-,所以1i i i 11i 1i z +==---=-.故选A. 25. 已知集合(){},|20A x y x y =+=，(){},|10B x y x my =++=．若A B =∅I ，则实数m =A ．2-B ．12-C ．12D ．2【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养． 【答案】C ．【解析】因为A B =∅I ，所以直线20x y +=与直线10x my ++=平行，所以12m =.故选C.26. 已知两个单位向量12,e e ，若()1212-⊥e e e ，则12,e e 的夹角为A ．2π3B ．π3C ．π4D ．π6【命题意图】本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，意在考查逻辑推理，数学运算，直观想象的数学核心素养． 【答案】B ．【解析】因为()1212-⊥e e e ，所以()12120-⋅=e e e ，所以11222=⋅e e e ， 所以12cos ,=e e 12，又因为[]12,0,∈πe e ，所以12,π3=e e ，故选B. 27. 一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是 A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m +C ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为【命题意图】本题主要考查统计和统计量的理解等基础知识，意在考查数据分析等数学核心素养． 【答案】D ．【解析】由题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为故选D ． 28. 已知平面α^平面β，直线,l m ααβI =Ì，则“m l ^”是“m β^”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及其相互转化等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学抽象的数学核心素养． 【答案】C ．【解析】若m l ^，则根据面面垂直的性质定理可得m β^；若m β^，则由l β⊂，可得m l ^.故选C. 29. 若)331231log e,e ,a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>【命题意图】本题主要考查指数、对数、幂的运算及性质等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算的数学核心素养． 【答案】B ． 【解析】()21332221a ==>=，1311331e 2e a c -⎛⎫==> ⎪⎭=⎝，所以1a c <<，33log e log 31b =<=，故c a b >>.故选B.30. 若tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π，则cos2α=A ．1-B ．79C ．0或79D ．1-或79【命题意图】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算的数学核心素养． 【答案】D ．【解析】由tan 3cos()2αα⎛⎫-=-π ⎪⎝⎭π得sin 23cos cos 2αααπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-π⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以cos 3cos sin ααα=-,所以cos 0α=或sin 31α=-,故2cos22cos 11αα=-=-或2cos21279sin αα=-=.故选D.31. 抛物线2:2C y x =的焦点为F ，点P 为C 上的动点，点M 为C 的准线上的动点，当FPM △为等边三角形时，其周长为A ．2B ．2C ．32D ．6【命题意图】本题主要考查抛物线的概念与性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养．【答案】D ．【解析】方法一、因为FPM △为等边三角形，所以PM 垂直C 的准线于M ，易知4PM OF =，因为12OF =，所以2PM =，所以FPM △的周长为326⨯=，故选D.方法二、因为FPM △为等边三角形，PF PM =，所以PM 垂直C 的准线于M ，设2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1,2M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2122m PM =+， 又因为102F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，且PM MF =，所以2221112222m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=++，解得23m =，所以2PM =，所以FPM △的周长为326⨯=，故选D.32. 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数()sin 2cos2,f x x x =+5()sin 2g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，()co 7s h x x ⎛⎫=- ⎝π⎪⎭的部分图象如图所示，则 A.a 为(),f x b 为(),g x c 为()h x B.a 为(),h x b 为(),f x c 为()g x C.a 为(),g x b 为(),f x c 为()h xD.a 为(),h x b 为(),g x c 为()f x【命题意图】本题主要考查三角函数的图象和性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养． 【答案】A ．【解析】()2sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π，()g x ，()h x 的最大值分别为2，1，1，由于图象a的最大值最大，故a 为()f x ；()g x ，()h x 的最小正周期分别为π,2π，图象b 的最小正周期比c 小，故b 为()g x ，c 为()h x ，故选A.33. 射线测厚技术原理公式为0e t I I ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110B ．0.112C ．0.114D ．0.116【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质，在物理背景下考查学生的创新意识和应用意识，意在考查逻辑推理，数学运算，数学建模的数学核心素养． 【答案】C ． 【解析】依题意得7.60.81e 2μ-⨯=，所以ln 2 6.08μ=，所以ln 20.69310.1146.0860.8μ=≈≈，故选C.34. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，,A B 是C 上关于原点对称的两点，M 是C 上异于,A B 的动点，直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若112k „„，则2k 的取值范围为A ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．11,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题主要考查双曲线的概念与性质、直线和双曲线的位置关系等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养． 【答案】A ．【解析】∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为20x y -=，∴2a b =，则双曲线的方程为：22221(0)4x y b b b-=>,设()11,A x y ，()00,M x y ，则()11,B x y --,所以22112222002214,14x y b bx y b b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ()()()()()()()()1010101010102210101,44x x x x y y y y y y y y x x x x b b +-+-+-∴=∴=+-，即1214k k ⋅=，∵112k „„，∴211,84k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选A. 35. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为 A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，球体与截面等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养． 【答案】C ．【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的中心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =，连接1O A ，则15O A =，∴2225R x =+．在ABC △中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ，则1132O E AB ==，124DE AC ==，所以1O D =．在1Rt OO D △中，OD =由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=，所以最小截面圆的面积为12π，当截面过球心时，截面面积最大为2R π，所以21216R π-π=π，228R =，球的表面积为2112R 4π=π．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.36. 曲线()sin f x x x =在点(),0π处的切线方程为________．【命题意图】本题主要考查函数与导数和导数几何意义等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养． 【答案】20x y π+-π=．【解析】因为()sin cos f x x x x '=+，所以()sin cos f 'π=π+ππ=-π， 所以在点(),0π处的切线方程为()y x =-π-π，即20x y π+-π=.37. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．【命题意图】本题主要考查概率与几何概型、平面几何等基础知识，考查阅读能力与应用意识和创新能力，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理的数学核心素养． 【答案】19． 【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a ，则小勒洛三角形的面积为(21223262a a S π-π=⨯-=，因为大小两个勒洛三角形，它们所对ABC1O O EDP应的等边三角形的边长比为1:3，所以大勒洛三角形的面积为(()(2222392a a S ππ-==，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为1219S S P ==． 38. 已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若()cos sin cos cos ,A C C B -=2,a c =C 大小为_____．【命题意图】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象的数学核心素养． 【答案】6π． 【解析】因为()cos sin cos cos ,A C C B -=所以()()cos sin cos cos ,A C C A C -=-+ 所以cos sin sin sin ,A C A C =所以()sin cos sin 0,C A A -=因为()0,,sin 0C C ∈π∴≠，所以cos sin A A =，则tan 1A =，所以4A =π，又sin a A =1sin 2C =，因为c a <，所以04C <<π，故6C =π． 39. 已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数．[)12,1,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦,则不等式()()1215x f f +-+<的解集为________．【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质及其应用、解不等式等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算和直观想象的数学核心素养． 【答案】(),1-∞．【解析】因为函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，所以()1f x +关于y 轴对称， 由()y f x =向左平移1个单位得到()1f x +，所以()y f x =关于直线1x =对称. [)12,1,x x ∀∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦,所以()y f x =在[)1,+∞上单调递增，所以()y f x =在(),1-∞上单调递减，因为()()1215x f f +-+<，且()()153211,x f f +=--+<，所以1213x +-+>-，所以124x +<，解得1x <，所以原不等式的解集为(),1-∞.三、解答题：本大题共6小题，共70分． 40. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=． （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和．【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．满分12分．【解析】方法一：（1）因为nn a b n=且()()1121n n na n a n n +-+=+， 所以1121n nn n a a b b n n++-=-=+， ···················· 2分 又因为112b a ==， ························· 3分 所以{}n b 是以2为首项，以2为公差的等差数列． ··········· 4分 所以()2212n b n n =+-=． ····················· 6分 （2）由（1）及题设得，224n n n c n n =-=-， ············· 7分 所以数列{}n c 的前n 项和()()()1241424n n S n=-+-+⋅⋅⋅+-()()1244412n n =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ······ 9分()1444142n n n +-⨯=-- ··········· 11分 1244323n n n ++=--． ··········· 12分 方法二：（1）因为nn a b n=，所以n n a nb =， 又因为()()1121n n na n a n n +-+=+，所以()()()11121n n n n b n nb n n ++-+=+， ··············· 1分 即12n n b b +-=， ·························· 3分 又因为112b a ==， ························· 3分 所以{}n b 是以2为首项，以2为公差的等差数列． ··········· 4分所以()2212n b n n =+-=． ····················· 6分 （2）略，同方法一. 41. （本小题满分12分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：40,50[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,[),100]，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计100参考公式及数据：2(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.()20P K k …0.05 0.01 0.005 0.0010k3.8416.6357.879 10.828数学运算、数据分析的数学核心素养．满分12分．【解析】（1）由题可得()0.0050.0100.0200.0300.010101a +++++⨯=， ·· 2分 解得0.025a =． ·························· 3分 因为450.05550.1650.2750.3850.25950.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯74=，所以估计这100名学生的平均成绩为74. ··············· 5分 （2）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有()1000.250.11000.3535⨯+=⨯=人，由此可得完整的22⨯列联表：7分 ∵2K 的观测值()2100102525409009.890 6.6353565505091k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， ···· 10分 ∴有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”． ······· 12分 42. （本小题满分12分）在底面为菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，111,60,2,A B A D BAD AB AA =∠==︒=,A C O A BD O =⊥I 平面1A BD .（1）证明：1B C ∥平面1A BD ； （2）求二面角1B AA D --的正弦值.【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分12分．【解析】方法一：（1）依题意，11//,A B AB 且//,AB CD∴11//A B CD ， ··························· 1分 ∴四边形11A B CD 是平行四边形， ··················· 2分 ∴11B C A D ∥， ·························· 3分 ∵1B C ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ，∴1B C ∥平面1A BD ． ························ 4分 （2）∵AO ⊥平面1A BD ，∴1AO AO ⊥， ∵11A B A D =且O 为BD 的中点，∴1AO BD ⊥， ∵AO BD ⊂、平面ABCD 且AO BD O =I ，1∴1A O ⊥平面ABCD ， ······················· 5分 以O 为原点，分别以1,,OA OB OA u u u r u u u r u u u r为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则)A，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()10,0,1A ，∴()()()1,0,1,0,AB AA AD ===-u u u r u u u r u u u r设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =r，则1n AA n AB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u v v u u u v v，∴00z y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取1x =，则(n =r . ········ 7分 设平面1A AD 的法向量为()111,,m x y z =u r，则1n AA n AD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u v v u u u v v，∴00z y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取1x =，则(1,m =u r . ······· 9分∴1cos ,7m n m n m n⋅<>===⋅u r ru r r u r r ， ················ 11分 设二面角1B AA D --的平面角为α，则sin α= ∴二面角1B AA D --··············· 12分方法二：（1）证明：连接1AB 交1A B 于点Q ， 因为四边形11A B BA 为平行四边形，所以Q 为1AB 中点，又因为四边形ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点， ············ 2分 ∴在1AB C △中，1,OQ B C ∥且112OQ B C =， ··············· 3分 ∵OQ ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，∴1B C ∥平面1A BD . ························ 4分 （2）略，同方法一. 43. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b ＞＞)，以C 的短轴为直径的圆与直线1:3450l x y +-=相切．（1）求C 的方程；（2）直线y x m =+交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．已知l 上存在点P ，使得PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，若P 在直线MN 的右下方，求m 的值．【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算．满分12分.【解析】（1）依题意，1b ==， ··············· 2分因为离心率c e a ===，解得a = ·················· 4分 所以C 的标准方程为2213x y +=． ·················· 5分（2）因为直线y x m =+的倾斜角为45︒，且PMN △是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，P 在直线MN 的右下方，所以NP x ∥轴， ·························· 6分 过M 作NP 的垂线，垂足为Q ，则Q 为线段NP 的中点，所以()12,Q x y ，故()1222,P x x y -， ·················· 7分 所以()12232450x x y -+-=，即()()12232450x x x m -++-=，整理得126450x x m ++-=．①8分 由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得2246330x mx m ++-=. 所以223648480m m ∆=-+>，解得22m -<<， 9分所以1232x x m +=-，②()212314x x m =-，③ ························ 10分由①-②得，112mx =-，④ 将④代入②得21x m =--，⑤ ···················· 11分 将④⑤代入③得()()()3111124m m m m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，解得1m =-.综上，m 的值为1-. ························ 12分 44. （本小题满分12分）已知函数()()e 4ln,,2x x af x axg x x-=-= （1）求函数()f x 的极值点；（2）当0a >时,当函数()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点,求实数a 的取值范围.【命题意图】本题主要考查函数和导数及其应用、函数零点等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分12分.【解析】（1）因为()e ln,2x f x ax =-所以()ln 12xf x ax =-+， 所以()21112ax f x a a x x x -'=⨯-=-=()0x >, ·············· 1分当0a „时，()0f x '>,所以函数()f x 无极值点； ············ 2分 当0a >时,令()0f x '=，解得1x a=. 由()00f x x '⎧>⎪⎨>⎪⎩,解得10x a <<;由()00f x x '⎧<⎪⎨>⎪⎩,解得1x a >. 故函数()f x 有极大值点1a ，无极小值点. ··············· 4分综上，当0a „时，函数()f x 无极值点；当0a >时,函数()f x 有极大值点1a ，无极小值点. ··········· 5分（2）当0a >时,()()()()4ln 02x ah x f x g x ax x x=-=-+>，所以()()2221440a ax x a h x a x x x x-+-'=--=>,设()24k x ax x a =-+-，则21 16,a ∆=-当00a ∆⎧⎨>⎩„即14a …时,()0h x '„，所以()h x 在()0,+∞单调递减， 所以()h x 不可能有三个不同的零点； ················· 6分 当00a ∆>⎧⎨>⎩即104a <<时，()k x有两个零点1x =2x =,所以120,0.x x >>又因为()24k x ax x a =-+-开口向下，当10x x <<时,()0,0)(k x h x '<∴<,所以()h x 在()10,x 上单调递减； 当12x x x <<时,()()0,0k x h x '>∴>，所以()h x 在()12,x x 上单调递增；当2x x >时,()()0,0k x h x '<∴<，所以()h x 在2(,)x +∞上单调递减. ···· 7分 因为()42ln1202ah a =-+=，又124x x =，所以122x x <<， ()()()122.0h h h x x ∴<=< ······················ 8分 3222211141ln ln 22ln 4,12a h a a a a a a a a⎛⎫=-⋅+=---+ ⎪⎝⎭Q令()31ln 22ln 4,a a a m a =---+则()4222211221 12a a m a a a a a -+'=-++=. 令()412 21n a a a =-+，则()3482n a a ='-单调递增.当104a <<时，()315482044n a ⎛⎫'<⨯-=-< ⎪⎝⎭，所以()n a 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以()3135210,6444614n a n >=-⨯+=⎛⎪⎝⎭>⎫ 即()0m a '>，所以()m a 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()3ln 211113ln 22ln 404441644m a m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<==-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---+，即210h a ⎛⎫ ⎪⎭<⎝. 由零点存在性定理知，()h x 在区间221,x a ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的一个零点0x .···· 10分 ()0000000044ln ln 24404241,a x h x h aa a x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭-+⎝⋅⋅=⎭Q又()00h x =，所以040h x ⎛⎫=⎪⎝⎭. ···················· 11分 所以1040x x <<，所以()h x 在区间()10,x 上有唯一的一个零点04x , 故当104a <<时,()h x 存在三个不同的零点004,2,x x .故实数a 的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭. ···················· 12分（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 45. （本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3,x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos ρρθ=+．（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 为2C 上的任意一点，求P 到1C 距离的取值范围．【命题意图】本题主要考查直线的参数方程、曲线直角坐标方程、极坐标方程的互化，圆的极坐标方程等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分10分.【解析】（1）1C 的普通方程为3x y -=-，即30x y -+=． ······· 2分2C 的直角坐标方程为2212x y x +=+，即()2212x y -+=． ········ 5分（2）由（1）知，2C 是以()1,0为圆心，半径r = 圆心2C ()1,0到1C的距离d == ··········· 7分所以直线1C 与圆2C 相离，P 到1C距离的最小值为d r -==； · 8分最大值为d r +=·················· 9分所以P 到1C距离的取值范围为． ·············· 10分46. （本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知0,0,0a b c ＞＞＞，且2a b c ++=．21 （1）求2a b c ++的取值范围；（2）求证：14918a b c++≥． 【命题意图】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分10分.【解析】（1）依题意，20a b c -=+＞，故02a ＜＜． ········· 1分所以()22217224a b c a a a ⎛⎫++=+-=-+ ⎪⎝⎭， ·············· 3分 所以()22722244a b c +++-=≤＜，即2a b c ++的取值范围为7,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭． ·· 5分 （2）因为0,0,0a b c ＞＞＞，所以()149494914b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫++++=++++++ ⎪⎝⎭········ 7分14+≥， ···· 8分1436+= ········· 9分又因为2a b c ++=， 所以14918a b c++≥． ························ 10分。