第5章 土中应力计算

[例5-2]如图所示，求A、E、O、F 和G点下，Z=1.0m处的σz
解：① 计算σZA L/B=2.0/1.0=2.0, z/B=1.0/1.0=1.0,查表5-2
αS=0.1999
σZA= αSp=0.1999×100≈20kPa
[例5-2]如图所示，求A、E、O、F 和G点下，Z=1.0m处的σz
x
y z
说明： 1)、此式不适用于集中力作用点及附近。 2)、集中力作用点附近应力很大。
讨论：
o
P
3
3 Pz P z 2 5 2R z
2、当Z=∞时，σz=0
r x
R M’
y z
M
x
y z
说明： 集中力对土中附加应力的影响有一定的深度界限。
附加应力σz分布的几点结论：
结论一 P作用线上，σz的分布：随着深度的增加而递减
为了对建筑物地基基础进行沉降（变形）、强
度与稳定性分析，必须掌握修建建筑前后土中应力
的分布和变化情况。 目前土中应力计算主要采用弹性理论求解，实 践证明，当基底压力在一定范围内，弹性理论的计 算结果能满足实际工程的要求。
土中应力按其产生的原因和作用效果分为自重 应力和附加应力。 土的自重应力是指建造建筑物之前，由于土体 本身受重力作用而引起的应力； 附加应力则是指建造建筑物后，由于建筑物荷 载作用在地基中产生的应力，它是引起地基沉降的 主要原因。 在计算由建筑物引起的附加应力时，基础底面 的压力分布是不可缺少的条件。
练习：
求中点A下30m深度范围 内的附加应力分布。
第五节
建筑物基础下地基应力的计算
一、基础底面的附加压力
1、基础位于地面上
P0 = P
2、基础位于地面下
P0 = P - γh
二、地基中的附加应力
1、建筑物基础位于地面上，直接用第四节的公式
2、建筑物基础位于地面下，若埋臵深度不太大时，也
可应用第四节的公式 当基础底面为矩形时，在均布荷载p的作用下，基础底 面中心下深为z处的附加应力为： σz = 4αsP0 = 4αs（P – γh）
e e M′ Ⅱ
L z 根据 m ， n 可查表得到 s B B
σzM′=（ αsⅠ+αsⅡ +αsⅢ+αsⅣ）p
f Ⅳ
g
d
角点法：
2、计算矩形面积外任意点M′下深度为z的附加应力
b h c j e M′
a
d
g
σzM′=（ αsagm′h+αsbem′h -αscem′j-αsdgm′j）p
地基中原有的自重应力
荷载在地基中产生的应力
第三节
基础底面压力分布与计算
基础底面的压力分布取决于下列因素：
1、地基与基础的相对刚度 2、荷载的大小与分布情况 3、基础的埋深 4、地基土的性质
一、刚性基础底面的压力分布
刚性基础：基础本身刚度远远超过地基土的刚
度，在受力后基础产生的挠曲变形很小（可以忽略
为了减小地基应力不均匀而引起过大的不均 匀沉降，通常要求：
pmax pmin
≤1.5～3.0
粘性土≤1.5，无粘性土≤3.0
三、柔性基础和有限刚性基础底面的压力分布
(a) 理想柔性基础
(b) 堤坝下基底压力
（1）柔性基础（如土坝、路基及油罐薄板）的刚度很 小，在垂直荷载作用下没有抵抗弯曲变形的能力，基础随 着地基一起变形，因此柔性基础基底接触压力分布与其上 部荷载分布情况相同，在中心受压时，为均匀分布。
结论二 在r>0的竖直线上，σz的分布： 随着z的增加，σz从零开始逐 渐增大，至一定深度后达到最大值；再随着z的增加而逐渐变小
结论三 在z=常数的水平面上,σz=在集中力作用线上最大，并随着r的 增大而逐渐减小；随着z的增加而逐渐变小
P
0.1P
P
r
0.05P
0.02P 0.01P
应力 泡
二、矩形面积上竖向均布荷载作用下的附加应力计算
三、矩形面积上竖向三角形荷载作用下的附加应力计算
1、荷载强度为零的角点o下
σz=αtpt
L x z u 根据 m ， n 可查表得到 αt B B （1）计算点应落在三角形分布荷 注 载强度为零的一点垂线上。
B
意 （2）B点始终指荷载变化方向矩
形基底的长度。 2、基底范围内（或外）任意点下 可以利用“角点法”和叠加原理进行计算。
②计算边点E下的σZE ,作IE辅助线，分成两相等的小矩形 在小矩形中：L/B=1.0,z/B=1.0,查表得αS=0.1752 σZE= 2αSp=2×0.1752×100≈35kPa
[例5-2]如图所示，求A、E、O、F 和G点下，Z=1.0m处的σz
③计算边点O下的σZO ,作辅助线，划分成四个相等的小矩形 在小矩形中： L/B=1.0/0.5=2.0, z/B=1.0/0.5=2.0,查表得αS=0.1202 σZO= 4αSp=4×0.1202×100≈48.1kPa
讨论：
pmax N 6e 1 pmin ab b
（1）当e < b/6 时，pmax>0，pmin>0，基底压力呈 梯形分布。
N e pmin pmax
讨论：
pmax N 6e 1 pmin ab b
（2）当e = b/6 时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三 角形分布。
p
y
x
B
L
z
M
z
F
M
角点法：
利用角点下的应力计算公式和力的叠加原理，求解地
基中任意点的附加应力的方法。
矩形面积内任意深度点 此种方法的应用分两种情况
矩形面积外任意深度点
角点法：
1、计算矩形面积内任意点M′下深度为z的附加应力
b M′ c
Ⅰ
Ⅱ
σzM′=（ αsⅠ+αsⅡ ）p
d c
a b Ⅰ h Ⅲ a
四、条形面积上竖向均布荷载作用下的附加应力计算
条形基础：截面延伸长度L与 宽度B之比，即L/B≥10
σz=αu p
x z 根据 m ， n 可查表得到 u B B
五、条形面积上三角形条形荷载作用下的附加应力计算
σz=αs p
x z 根据 m ， n 可查表得到 s B B
G—基础自重设计值和基础上 的土重标准值
2、偏心荷载作用下的基底压力
pmax N M N N e pmin A W A W
M—偏心荷载对基底形心的力矩
e a b W—基础底面的截面抵抗矩 对长为b、宽为a的矩形截面：
N e
pmin
pmax
pmax N 6e 1 pmin ab b
1 h1 + 2 h2
1 2
水位面
1 h1
h2
h3
2
1 h1 + 2h2 + 2h3 1 h1 + 2h3+ 2h2 + wh3
h4 不透水
3
1 h1 + 2h3+ 2h2 + wh3 + 3h4
地 基 沉 降 及 稳 定 性
地 基 中 的 附 加 应 力
i 1
n
2、有地下水的情况
天然地面
说明：
h1
1 2 2
水位面
1 h1
h2
1 h1 + 2 h2
地下水位以上土层采 用天然重度，地下水 位以下土层若为透水 性土，采用浮重度
h3
1 h1 + 2h2 + 2h3
2、有地下水的情况
天然地面
h1
说明： 地下水位以上土层采 用天然重度，地下水 位以下土层若为不透 水性土，分界面应加 入水的自重应力。
3
z
3 Pz P z 2 5 2R z
P—集中荷载（KN）； z—M点距弹性体表面的深度（m）； R—M点到力P的作用点O的距离（m）； α—应力系数，可由r/z值查表而得。
3
讨论：
o
P
3
3 Pz P z 2 5 2R z
1、当Z=0时，σz=∞
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r x
R M’
y z
M
第二节
一、计算假定
土中自重应力计算
假定土体为半无限体，即土体的表面尺寸（在 水平方向）和深度都是无限大。因此，当地基土 在自重应力作用下只能产生竖向变形，而无侧向 位移及剪切变形存在。
因此，在均匀土体中，土中某点的自重应力将 只与该点的深度有关。
二、计算方法 土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面 积上土柱的有效重量。
第五章 土体中的应力计算
本章学习要点
1、认识土中应力按其产生的原因和作用效果分为自重应力和 附加应力；
2、理解刚性基础地面压应力重分布现象的条件，掌握基底压 力的计算方法；
3、掌握自重应力和附加应力的计算方法。
基坑开挖
巫山长江大桥
长沙浏阳河洪山大桥
金门大桥
第一节
一、 土中应力分析
概
述
N
e
pmin=0 pmax
讨论：
pmax N 6e 1 pmin ab b
N e pmin<0
（3）当e>b/6 时，
pmax>0，pmin<0，基
底出现拉应力。
由于基底与地基之
间不能承受拉力，
此时基底与地基局 部脱开，致使基底 压力重新分布。
pmax
b′
基底压力 重分布
pmin=0
pmax
基底压力重新分布后，基底压力将会重新分布在（b′×a）上。 根据静力平衡条件有以下关系： N d e
1 N pmax ba 2
这里N应通过压力分布图三角形的形心
b′
pmin=0 pmax
b 3d 3 e 所以： b 2 1 b 于是：N pmax 3 e a 2 2 2N pmax b 3 e a 2
天然地面 0
σcz
M
z
cz
cx
cy
1
1
z
三、几种情况下的计算
1、多层土的情况
天然地面
说明：
h1
1 2
1 h 1
1 、2 —分别是第1、2层
土的容重； h1 、h2 —分别是第1、2层 土的厚度。
h2
1 h 1 + 2 h 2
由此可知，任意第i层底面的竖向自重应力为：
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
（2）有限刚性基础 （如钢筋砼连续基础、弹性地 基梁）
四、基础底面的附加压力
1、基础位于地面上
p0 p
四、基础底面的附加压力
h
未修建 筑物前
2、基础位于地面下
h
N
p0 p h
hh
h
第四节 土中附加应力计算
一、竖直集中力作用下的附加应力计算
P
o x
R
r
M’
y
x
y
M
z
3 Pz P z 2 5 2R z
不计）的基础。
马鞍形分布
抛物线分布 荷载加大 ， 局部剪裂 ， 应力向基础 中心转移
倒钟形分布 荷载很大、 接近地基 极限荷载
荷载较小 中心受压
二、刚性基础底面压力的计算方法
1、中心荷载作用下的基底压力
N p A
N
N—作用于基底中心上的竖向 荷载合力
p
F—上部结构传至基础顶面的 竖向力设计值