5.4(4)两角和与差公式应用

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三角(4)两角和与差二倍角公式(二)

三角函数式的求值【知识点精讲】三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形三角函数式的求值的类型一般可分为:(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。

仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。

找出已知角与所求角之间的某种关系求解（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。

（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。

将已知式或所求式进行化简，再求之三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次注意点：灵活角的变形和公式的变形重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论【例题选讲】例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。

【分析】将切函数化成弦函数，3转化成特殊角的三角函数，再利用两角和与差的三角函数即可求解。

解：原式=)60cos 60sin 10cos 10sin (40sin 00000- =000060cos 10cos 50sin 40sin -⋅ =160cos 10cos 280sin 000-=⋅-[点评] “给角求值” 观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系注意特殊值象1、3等，有时需将其转化成某个角的三角函数，这种技巧在化简求值中经常用到。

练习:（全国高考）tan20°+4sin20°解：tan20°+4sin20°=00020cos 40sin 220sin +=000020cos 40sin 10cos 30sin 2+=0020cos 40sin 80sin + =320cos 20cos 60sin 2000= 例2、(上海高考)已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值解：法一：由已知21tan ,3tan 1tan 1=⇒=-+θθθ sin2θ-2cos 2θ=θθθθ222cos sin 2cos -sin2+=54tan 12tan 22-=+-θθ 法二：sin2θ-2cos 2θ=sin2θ-cos2θ-1=-cos(θπ22+)-sin(θπ22+)-1=541)4(tan 1)4tan(2)4(tan 1)4(tan 1222-=-+++-+++--θθπθθπ [点评] “给值求值” 法一,由tan θ的值，利用齐次式求值。

两角和与差的三角公式应用版

6
5
的值是_________
3
4
A. 5
B. 3
5
C. 3
2
D. 3
5
2.已知函数 f (x) 3 sin2 x sin x cos x 3 (x R)
（1）若
x
0,
2
求 f (x) 的最大值。
2
1
（2）在△ABC中，A<B，
f (A)
f (B) 2
求A，B，C的值。
x已∈知函4数，f2(x).=求2sfi(nx2)的4最大x 值和3最c小os值2x．，
考点二、两角和与差公式的应用
1.已知 tan( ) 2, tan 1
4
2
（1）求tan 2的值；
（2）求sin( ) 2sin cos 的值。 2sin sin cos( )
1
且(a3、)已b均知为ta锐n 角a=，7求a+，2btan b=
1 3
，并
1.已知sin( ) cos 4 3 则 sin( )
-7
3.
(教材改编题)已知cos
，则sin a的值为(
2a=
)
1 2
，其中a∈
4
0
A. 1
2
B. - 1
2
C. 3
2
D. - 3
2
4. f(x)=2sin x-2cos x的值域是________．
本节收获：
二、二倍角公式
sin2α＝ 2sinαcosα ；
cos2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝
；
tan2α＝
2tanα 1－tan2α .
其公式变形为：

5.4 两角和与差、二倍角的三角函数公式

高考总复习数学高考总复习数学
�
高考总复习数学高考总复习数学
1 + cos 2 x 1 + sin 2 x 解: f ( x) = 2 2
2 2 2 1 = ( sin 2 x + cos 2 x) + 2 2 2 2 2 π 1 = sin(2 x + ) + 2 4 2
3π 2 1 1 (I) f ( ) = sin π + = 8 2 2 2
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若角a在第一象限且
3 cos α = 5
,求 f (α )
高考总复习数学高考总复习数学
π sin x + ≠ 0 解:(Ⅰ) 由 2 π x ≠ kπ ( k ∈ Z ) 即
π 得 x ≠ + kπ , 2
2
π 故 f ( x) 的定义域为 x ∈ R | x ≠ kπ ,k ∈ Z 2
1 + cos 2α + sin 2α 2 cos 2 α + 2sin α cos α = = cos α cos α
14 = 2(cos α + sin α ) = 5
高考总复习数学高考总复习数学【点评与感悟点评与感悟】求值,化简,证明是三角函数中最常见的题型, 点评与感悟其解题一般思路为 "五遇六想"即:遇到切,想化弦;遇多元, 想消元;遇差异,想联系;遇高次,想降次;遇特角,想求值; 想消元,引辅角. "五遇六想"作为解题经验的总结和概括,操作简便,十分有效.其中蕴含了一个变换思想(找差异,抓联系,促进转化),两种数学思想(转化思想和方程思想),三个追求目标(化为特殊角的三角函数值,使之出现相消项或相约项),三种变换方法(切化弦法,消元降次法,辅助元素法).

两角和与差的三角函数公式知识点

两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。

在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。

本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。

一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。

我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。

同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。

5.4(4)两角和与差的余弦、正弦和正切

sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan( ) ?
能否用 tan , tan 表示 tan( )?
一、两角和与差的正切
sin cos cos sin sin( ) tan( ) cos( ) cos cos sin sin

1 1 证： tan , tan ，且 , (0, ) 2 2 3 tan tan tan( ) 1 1 tan tan , (0, ) (0, ) 2 在区间 (0, )内，正切值为1的角只有一个，证毕即 tan 1 ，因此 4 4
tan17 tan 43 (1) tan 75 (2) 1 tan17 tan 43 解: (1) tan 75 tan(45 30 ) 3 1 tan 45 tan 30 3 2 3 1 tan 45 tan 30 3 1 3 (2)原式= tan(17 43 ) tan 60 3
4

tan 5 cot 50 1 tan 75 (3) (1) tan15 (2) 1 tan 5 cot 50 1 tan 75 2.已知 tan( ) 2, tan 3 ，求 tan
3.在 ABC 中，若 tan A, tan B 是方程
课堂练习： 1. 求下列各式的精确值：
解毕
例2.已知 tan(
3 tan 3 2 解： tan( ) 6 3 1 tan 3 解得 tan 8 5 3
解法二：tan tan[(

两角和差公式

12
观察会发现α
+
5π 6
=
α
+
π 12
+ 3π
4
sin
α + 5π
6
= sin [
α+ π
12
+
3π 4
]
= sin
α
+
π 12
cos
3π 4
+
cos
α
+
π 12
sin
3π 4
至=此，−该2题2 等⋅ 2价55于+已知22 csoins ((αα++1π21π2)的) 值求
cos (α
+
π 12
A. − 3
B. 3
C. − 1
D. 1
2
2
2
2
解析：角的数量多于两个，先化角；其次，第一部分
系数为负，还需化负为正.
cos160° = cos 180° − 20° =− cos20°
原式=− sin20°cos10° − cos20°sin10°
=− (sin20°cos10° + cos20°sin10°)
【例
2】已知α，β均为锐角，且
sinα
=
3，
5
tan (α
−
β)
=−
1，则
3
cosβ
=__________.
组视为两个角，进而应用两角和差公式；
解析：已知的两角α与α − β可表示所求的角β，即：
从形式看，公式要求两角相加或相减；理论上，只要是两角相加或相减的形式，均可采用和差公式；实际操作中，往往要求两个角中至少有一个为特殊角或是已知的角，否则应用两角和差公式的意义不大.

三角函数两角和与差公式

三角函数两角和与差公式三角函数两角和与差公式_高中数学学好数学的关键是公式的掌握，数学能让我们思考任何问题的时候都比较缜密，而不至于思绪紊乱。

还能使我们的脑子反映灵活，对突发事件的处理手段也更理性。

下面是小编为大家整理的三角函数两角和与差公式，希望能帮助到大家!三角函数两角和与差公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)高三数学学习方法1、变介绍方法为选择方法高三学生的头脑中已经储存了很多解题方法和规律，如何提取运用是第二轮数学复习的关键。

“给出方法解题目”不可取，必须“给出习题选方法”。

选法是思维活动，只要在如何选上做文章，才能解决好学生自做不会，老师一讲就通的问题。

2、变全面覆盖为重点讲练第二轮数学复习仅有两个半月的时间，从面面俱到从头来过一遍是根本做不到。

要做到紧紧围绕重点方法，重要的知识点，重要的数学思想和方法以及近几年的重点题型，狠抓过关。

3、变以量为主为以质取胜高三数学复习中一切的讲练都是要围绕学生展开的，贪多嚼不烂，学生如果消化不了，那么，讲再多也没有用。

只有重质减量，才能有利于学生更好的掌握知识，减少练习量，不是指不做或是少做，而是要在精选上下功夫，要做到非重点的就少做甚至是不做。

4、变以“补弱”为主为“扬长补弱”并举虽然影响学生的数学成绩的因素很多，但是学习兴趣和爱好与成绩绝对是相辅相成的。

所以一味的强调“补弱”是不科学的，要因人而异，因成绩而异。

一般，成绩居中上游的学生，应以“扬长”为主，居下游的学生，应以补弱为主。

处理好扬长、补弱的关系，才是正确的做法。

高考数学应试技巧1、拓实基础，强化通性通法高考对基础知识的考查既全面又突出重点。

两角和与差的正切公式及应用

两角和与差的正切公式及应用
一、两角和与差的正切公式
首先，我将介绍两角和的正切公式：
tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A * tan B)
其中A和B表示两个角。

这个公式表示了两个角的正切之和与差之间的关系。

接下来，我将介绍两角差的正切公式：
tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A * tan B)
同样，A和B表示两个角。

这个公式表示了两个角的正切之差与和之间的关系。

这两个公式在解决复杂的三角函数问题时非常有用。

二、两角和与差的正切公式的应用
1.确定特定角度的正切值：
通过两角和与差的正切公式，我们可以确定一些特定角度的正切值，从而解决各种问题。

例如，如果我们知道tanA和tanB的值，以及A和B 的关系，我们就可以使用公式来计算tan(A + B)或tan(A - B)的值。

2.化简复杂的三角函数表达式：
3.解决三角方程：
4.几何问题的解决：
5.物理学问题的求解：
总结：
两角和与差的正切公式是三角函数的重要性质之一，它广泛应用于各种三角函数问题的解决中。

通过这个公式，我们可以确定一个特定角度的正切值，化简复杂的三角函数表达式，解决三角方程，解决几何问题，以及求解物理学问题。

所以，掌握两角和与差的正切公式对于解决各种三角函数问题非常重要。

两角和与差的三角函数公式应用

两角和与差的三角函数公式应用首先，我们来介绍两角和的公式：1. 正弦两角和公式：sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的正弦的和。

例如，求解sin(π/6 + π/4)的值。

根据公式，sin(π/6 + π/4) = sin(π/6) * cos(π/4) +cos(π/6) * sin(π/4) = (1/2) * (√2/2) + (√3/2) * (√2/2) = (√2 + √6)/42. 余弦两角和公式：cos(x + y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的余弦的和。

例如，求解cos(π/3 + π/6)的值。

根据公式，cos(π/3 + π/6) = cos(π/3) * cos(π/6) -sin(π/3) * sin(π/6) = (√3/2) * (√3/2) - (1/2) * (1/2) = 3/43. 正切两角和公式：tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y))这个公式可以用来求解两个角的正切的和。

例如，求解tan(π/4 + π/6)的值。

根据公式，tan(π/4 + π/6) = (tan(π/4) + tan(π/6)) / (1 - tan(π/4) * tan(π/6)) = (1 + (1/√3)) / (1 - 1/√3) = (√3 + 1) / (√3 - 1)接下来，我们来介绍两角差的公式：1. 正弦两角差公式：sin(x - y) = sin(x) * cos(y) - cos(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的正弦的差。

例如，求解sin(π/3 - π/6)的值。

根据公式，sin(π/3 - π/6) = sin(π/3) * cos(π/6) -cos(π/3) * sin(π/6) = (√3/2) * (√3/2) - (1/2) * (1/2) = (√3 - 1) / 22. 余弦两角差公式：cos(x - y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的余弦的差。

4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

迁移提升
1 13 π 已知 cos α＝，cos(α－β)＝，且 0<β<α< ， 7 14 2
(1)求tanα的值； (2)求β.
分析：本题中 β＝α－(α－β). 1 π 解析：(1)∵cos α＝，0<β<α< ， 7 2 4 3 ∴sin α＝， 7 sin α ∴tan α＝＝ 4 3； cos α
a sin x b cos x a b sin(x )
2 2
练习1：化简下列各式： 1 3 ( 1 ) cos x sin x ; 2 2
( 2 ) 3 sin x cos x .
(3) 2(sin x cos x); (4) 2 cos x 6 sin x.
练习与提升练习2：把下列各式化为一个角的三角函数形式：
cos( ) cos cos cos cos
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1 - tanαtanβ
2.求函数y 3sin x 4cos x的值域 5,5;
2 2

y 3 4 sin(x ) 5 sin(x )
a b sin(x )
2 2
3.求函数y (1 3 tan x)cos x的最小正周期.
tan(α-β)=
变形：
tanα- tanβ 1+ tanαtanβ
tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ) tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)

两角和与差公式的综合运用

两角和与差公式的综合运用首先，我们来回顾一下两角和与差公式的表达形式：1.两角和公式：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinBcos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)2.两角差公式：sin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinBcos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)了解了两角和与差公式的表达形式后，我们可以通过一些实例来具体应用这些公式。

【实例一】已知 sinA = 4/5，cosB = 3/5，求 sin(A + B) 和 cos(A - B) 的值。

解析：根据两角和公式和两角差公式，我们有：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinBcos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinB代入已知条件，可得：sin(A + B) = (4/5) * (3/5) + (sqrt(1 - (4/5)^2)) * (sqrt(1 - (3/5)^2))= 12/25 + sqrt(1 - 16/25) * sqrt(1 - 9/25)= 12/25 + sqrt(9/25) * sqrt(16/25)=12/25+3/5*4/5=12/25+12/25=24/25cos(A - B) = (sqrt(1 - (4/5)^2)) * (3/5) + (4/5) * (sqrt(1 - (3/5)^2))= (sqrt(9/25)) * (3/5) + (4/5) * (sqrt(16/25))=3/5*3/5+4/5*4/5=9/25+16/25=25/25=1所以，sin(A + B) = 24/25，cos(A - B) = 1【实例二】已知 tanA = 1/2，tanB = 1，求 tan(A - B) 的值。

两角和与差公式的应用

两角和与差公式的应用1.角的平分问题在三角函数的学习中，我们经常会遇到需要求解平分角的问题。

假设有一个未知角度为θ，我们需要求解它的正弦值sin(θ/2)和余弦值cos(θ/2)。

根据两角和与差公式，可以利用已知角的三角函数值来求解。

首先，我们设一个已知角α（α≠0），令θ=2α。

根据两角和与差公式，可以得到sin(2α) = 2sinαcosαcos(2α) = cos²α - sin²α由此推导出sinα和cosα的表达式：sinα = √[(1 - cos(2α))/2]cosα =√[(1 + cos(2α))/2]通过求解已知角α的三角函数值，我们可以得到未知角θ的平分角（θ/2）的三角函数值。

2.图形的旋转问题在几何学中，我们经常需要对图形进行旋转，而旋转角度往往是未知的。

在这种情况下，可以利用两角和与差公式来计算旋转后的图形的坐标。

以坐标平面上的点P(x,y)为例，如果我们对该点进行逆时针旋转一个角度θ，顺时针旋转一个角度-θ，分别记为P'(x',y')和P''(x'',y'')，则有如下公式：x' = xcosθ - ysinθy' = xsinθ + ycosθx'' = xcos(-θ) - ysin(-θ) = xcosθ + ysinθy'' = xsin(-θ) + ycos(-θ) = -xsinθ + ycosθ通过这种旋转变换，我们可以简化对图形的分析和计算。

3.三角函数的递推关系sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβcos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ通过这些递推公式，可以快速计算出任意两个角度之和的正弦和余弦值，从而简化复杂的计算过程。

总结起来，两角和与差公式是三角函数中的重要工具，广泛应用于数学和物理的各个领域。

两角和与差的三角公式应用剖析

两角和与差的三角公式应用剖析胡贵平(甘肃省白银市第一中学ꎬ甘肃白银７３０９００)摘㊀要:两角和与差的三角公式是三角变换的基础ꎬ在三角函数求值㊁化简㊁逆向或变形㊁辅助角公式及三角形中有广泛的应用.关键词:两角和与差ꎻ三角公式ꎻ应用剖析中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３４－００２５－０４收稿日期:２０２３－０９－０５作者简介:胡贵平(１９７８－)ꎬ男ꎬ甘肃省天水人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀两角和与差的三角公式ꎬ是高考中的重要知识点之一ꎬ主要涉及的是和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式ꎬ同时与之相关的是能应用公式进行给角求值㊁三角函数化简㊁三角恒等式的证明及三角问题的综合应用.１三角求值中的应用三角函数求值问题是常见的题型ꎬ主要是能寻求角与角之间的关系ꎬ利用变角㊁拆角㊁拼角等技巧结合和角公式和差角公式ꎬ将未知化为已知ꎬ则可以达到求解的目的.例１㊀已知π２<β<α<３π４ꎬｃｏｓα－β()＝５１３ꎬｓｉｎα＋β()＝－４５ꎬ求ｓｉｎ２α的值.分析㊀本题中将２α化为(α＋β)＋(α－β)ꎬ则可将问题转化为求α＋β和α－β的正弦ꎬ然后利用同角三角函数关系求出所需要的三角函数即可.㊀㊀解析㊀由于π２<β<α<３π４ꎬ则β<α.而ｃｏｓα－β()＝５１３ꎬｓｉｎ(α＋β)＝－４５ꎬ可知道０<α－β<π４ꎬπ<α＋β<３π２.所以ｓｉｎα－β()＝１－ｃｏｓ２α－β()＝１２１３ꎬｃｏｓα＋β()＝－１－ｓｉｎ２α＋β()＝－３５ꎬ所以ｓｉｎ２α＝ｓｉｎα＋β()＋α－β()[]＝ｓｉｎα＋β()ｃｏｓα－β()＋ｃｏｓα＋β()ｓｉｎα－β()＝(－４５)ˑ５１３＋(－４５)ˑ１２１３＝－５６６５.评注㊀观察题设中角之间的内在联系ꎬ充分利用条件和结论中的三角函数名称的变化规律ꎬ则可寻找出变换的切入点ꎬ同时需要注意角的范围ꎬ才能正确确定出三角函数值[１].２三角化简中的应用三角函数式化简的主要思路有:(１)观察角的特点ꎬ充分利用角之间的关系ꎬ利用已知角构建待求角ꎻ(２)观察函数的特点ꎬ如同名转化㊁弦切互化等ꎻ㊀(３)利用辅助角公式ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθ＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎθ＋φ()ｔａｎφ＝ｂａæèçöø÷转化为复角三角函数ꎻ(４)同时还可以观察角的特点ꎬ从整体出发ꎬ利用公式的变形则可以做到正用㊁逆用㊁转化使用的方式求解问题.例２㊀(２０２０年４月苏北七市高三调研测试)在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ已知向量ａ＝(ｃｏｓαꎬｓｉｎα)ꎬｂ＝ｃｏｓα＋π４æèçöø÷ꎬｓｉｎα＋π４æèçöø÷æèçöø÷ꎬ其中０<α<π２ꎬ(１)求ｂ－ａ() ａ的值ꎻ(２)若ｃ＝１ꎬ１()ꎬ且ｂ＋ｃ()ʊａꎬ求ａ的值.分析㊀本题中结合向量的加法㊁减法和数量积运算ꎬ将问题转化为两角差的正弦和余弦公式进行计算[２].解析㊀(１)由于ａ＝ｃｏｓαꎬｓｉｎα()ꎬｂ＝ｃｏｓα＋π４æèçöø÷ꎬｓｉｎα＋π４æèçöø÷æèçöø÷ꎬ则ｂ－ａ() ａ＝ｃｏｓαｃｏｓα＋π４æèçöø÷＋ｓｉｎαｓｉｎ α＋π４æèçöø÷－ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２α()＝ｃｏｓα＋π４－αæèçöø÷－１＝ｃｏｓπ４－１＝２２－１.(２)因为ｃ＝１ꎬ１()ꎬ所以ｂ＋ｃ＝ｃｏｓα＋π４æèçöø÷＋１[]ｓｉｎα－ｓｉｎα＋π４æèçöø÷＋１[]ｃｏｓα＝０.则ｓｉｎα＋π４æèçöø÷ｃｏｓα－ｃｏｓα＋π４æèçöø÷ｓｉｎα＝ｓｉｎα－ｃｏｓα.因此ｓｉｎπ４＝２１２ｓｉｎα－１２ｃｏｓαæèçöø÷.得到２２＝２ｓｉｎα－π４æèçöø÷.又因为０<α<π２ꎬ则－π４<α－π４<π４.于是α－π４＝π６.即α＝５π１２.评注㊀灵活应用公式是解决本题的关键ꎬ特别是第(２)问中的ｓｉｎα－ｃｏｓα可转化为２１２ｓｉｎα－１２ｃｏｓαæèçöø÷ꎬ结合辅助角公式进行解决.３公式逆向或变形的应用对于和角公式和差角公式ꎬ不仅仅要能正向应用ꎬ还要会逆向和变形应用ꎬ如ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ＝ｓｉｎα－β()ꎬｔａｎα＋ｔａｎβ＝ｔａｎα＋β()１－ｔａｎαｔａｎβ().例３㊀(１)求值:ｓｉｎ３２ʎｃｏｓ２８ʎ＋ｓｉｎ５８ʎｃｏｓ６２ʎꎻ(２)求值:ｔａｎ１０ʎ＋ｔａｎ５０ʎ＋３ｔａｎ１０ʎｔａｎ５０ʎ.分析㊀本题是逆向应用两角和的正弦公式和变形应用两角和的正切公式ꎬ需要注意角度要化成一致.解析㊀(１)原式＝ｓｉｎ３２ʎｃｏｓ２８ʎ＋ｃｏｓ３２ʎｓｉｎ２８ʎ＝ｓｉｎ３２ʎ＋２８ʎ()＝ｓｉｎ６０ʎ＝３２.(２)由于ｔａｎ１０ʎ＋ｔａｎ５０ʎ＝ｔａｎ６０ʎ(１－ｔａｎ１０ʎｔａｎ５０ʎ)ꎬ则ｔａｎ１０ʎ＋ｔａｎ５０ʎ＋３ｔａｎ１０ʎｔａｎ５０ʎ＝ｔａｎ６０ʎ１－ｔａｎ１０ʎｔａｎ５０ʎ()＋３ｔａｎ１０ʎｔａｎ５０ʎ＝３－３ｔａｎ１０ʎｔａｎ５０ʎ＋３ｔａｎ１０ʎｔａｎ５０ʎ＝３.评注㊀第(１)小题要从整体出发ꎬ对局部进行三角变换ꎬ利用特殊的三角函数值进行求值ꎻ第(２)小题对于两角和的正切公式ꎬ在平时的学习中不仅仅要学会正用ꎬ还要学会逆用.４辅助角公式的应用对于形如ｙ＝ａｓｉｎωｘ＋ｂｃｏｓωｘꎬ可把该函数通过三角函数变换化为ａ２＋ｂ２(ａａ２＋ｂ２ｓｉｎωｘ＋ｂａ２＋ｂ２ｃｏｓωｘ)＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎωｘ＋φ()ꎬ然后转化为正弦型函数来研究其性质.例４㊀已知函数ｆｘ()＝ｃｏｓｘａｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ()－３ａɪＲ()ꎬ且ｆπ３æèçöø÷＝－３ꎬ(１)求实数ａ的值ꎻ(２)求ｆｘ()的单调增区间ꎻ(３)求函数ｆｘ()在０ꎬπ２[]上的最小值及对应ｘ的取值.分析㊀本题要先结合特殊角的三角函数值求出实数ａ的值ꎬ第(２)问中需要利用辅助角公式化为正弦型函数ꎬ则可确定出单调区间ꎻ第(３)问结合正弦函数的性质进行解决.解析㊀(１)因为ｆｘ()＝ｃｏｓｘａｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ()－３ａɪＲ()ꎬ且ｆπ３æèçöø÷＝－３ꎬ则ｆπ３æèçöø÷＝ｃｏｓπ３ａｃｏｓπ３－ｓｉｎπ３æèçöø÷－３＝－３.解得ａ＝３.(２)由(１)可以知道ｆｘ()＝ｃｏｓｘ３ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ()－３＝３ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ－３＝３１＋ｃｏｓ２ｘ２－１２ｓｉｎ２ｘ－３＝ｃｏｓ２ｘ＋π６æèçöø÷－３２ꎬ则可令２ｋπ＋πɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ＋２πꎬ得到函数ｆｘ()的单调增区间ｋπ＋５π１２ꎬｋπ＋１１π１２[]ꎬｋɪＺ.(３)又ｘɪ０ꎬπ２[]ꎬ则可得到２ｘ＋π６ɪπ６ꎬ７π６[].则当２ｘ＋π６＝πꎬ即ｘ＝５π１２时ꎬｆｘ()＝ｃｏｓ２ｘ＋π６æèçöø÷－３２取得最小值为－３２－１.评注㊀研究三角函数的性质时ꎬ常常是先对函数运用三角函数两角和差的公式和二倍角公式来进行变形ꎬ从而研究出函数的性质.５三角形中的应用对于三角形中的三角函数问题ꎬ其主要涉及的知识点是正弦定理㊁余弦定理㊁三角形的面积公式[３].一般来说ꎬ与面积有关的问题则要利用到边角之间的互化ꎬ正弦定理和余弦定理则比较多地应用边角互化.例５㊀(２０１９全国Ⅲ卷理科第１８题)әＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ已知ａｓｉｎＡ＋Ｃ２＝ｂｓｉｎＡ.(１)求Ｂꎻ(２)若әＡＢＣ为锐角三角形ꎬ且ｃ＝１ꎬ求әＡＢＣ面积的取值范围.分析㊀(１)利用正弦定理化简题中等式ꎬ得到关于Ｂ的三角方程ꎬ最后根据ＡꎬＢꎬＣ均为三角形内角解得Ｂ＝π３ꎻ(２)根据三角形面积公式ＳәＡＢＣ＝１２ａｃｓｉｎＢꎬ又根据正弦定理得到ＳәＡＢＣ关于Ｃ的函数ꎬ由于әＡＢＣ是锐角三角形ꎬ所以利用三个内角都小于π２来计算Ｃ的定义域ꎬ最后求解әＡＢＣ面积的取值范围.解析㊀(１)根据题意ａｓｉｎＡ＋Ｃ２＝ｂｓｉｎＡ.由正弦定理ꎬ得ｓｉｎＡｓｉｎＡ＋Ｃ２＝ｓｉｎＢｓｉｎＡ.因为０<Ａ<πꎬ故ｓｉｎＡ>０.消去ｓｉｎＡꎬ得ｓｉｎＡ＋Ｃ２＝ｓｉｎＢ.因为０<Ｂꎬ０<Ａ＋Ｃ２<πꎬ故Ａ＋Ｃ２＝Ｂ或者Ａ＋Ｃ２＋Ｂ＝π.根据题意Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝πꎬ故Ａ＋Ｃ２＋Ｂ＝π不成立.所以Ａ＋Ｃ２＝Ｂ.又因为Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝πꎬ代入得３Ｂ＝π.所以Ｂ＝π３.(２)因为әＡＢＣ是锐角三角形ꎬ又由前问Ｂ＝π３ꎬπ６<ＡꎬＣ<π２ꎬＡ＋Ｂ＋Ｃ＝π得到Ａ＋Ｃ＝２３π.故π６<Ｃ<π２.又应用正弦定理ａｓｉｎＡ＝ｃｓｉｎＣꎬ得ａｃ＝ｓｉｎＡｓｉｎＣ.由三角形面积公式有ＳәＡＢＣ＝１２ａｃｓｉｎＢ＝１２ｃ２ａｃｓｉｎＢ＝１２ｃ２ｓｉｎＡｓｉｎＣｓｉｎＢ＝３４ｓｉｎ２π/３－Ｃ()ｓｉｎＣ＝３４ｓｉｎ(２π/３)ｃｏｓＣ－ｃｏｓ(２π/３)ｓｉｎＣｓｉｎＣ＝３４ (ｓｉｎ２π３ｃｏｔＣ－ｃｏｓ２π３)＝３８ｃｏｔＣ＋３８.又因为π６<Ｃ<π２ꎬ则３８＝３８ｃｏｔπ２＋３８<ＳәＡＢＣ<３８ｃｏｔπ６＋３８＝３２.㊀因此３８<ＳәＡＢＣ<３２.故ＳәＡＢＣ的取值范围是(３８ꎬ３２).评注㊀本题研究了三角函数的基础知识ꎬ以及对正弦定理或者余弦定理的充分使用(本题也可以用余弦定理求解).三角函数是特殊的函数ꎬ对于和角公式与差角公式要把握变换技巧㊁角的变换特点㊁三角函数的求值等ꎬ选择适合的方法ꎬ则一定能打开和差角公式的大门.参考文献:[１]刘红昌.两角和与差三角公式的应用技巧[Ｊ].中学生数理化(高一数学)ꎬ２０１０(０６):１４－１５.[２]张晓东ꎬ王志和.两角和与差的三角函数[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１９(Ｚ１):８５－８８.[３]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]。

5.4两角和与差的余弦、正弦和正切(4)教案

课题：5.4（4）两角和与差的余弦，正弦和正切（教案）教学目的：1.掌握两角和差的余弦，正弦和正切公式，并能运用这些公式解决三角式的求解，化解和证明问题；2.对两角和差的余弦，正弦和正切公式即会正用，逆用，又会变形用；3.掌握辅助角公式，能将sin cos (0)a b a b αα+、都不为化成sin()(0).A A αφ+>的形式教学重点：掌握辅助角公式，能将sin cos (0)a b a b αα+、都不为化成sin()(0).A A αφ+>的形式教学过程：（一）、引入一、复习：两角和与差的正弦公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-二、公式的灵活应用：正用，逆用。

有sin13cos17cos13sin17︒︒+︒︒=1302sin = （二）、新课一、（新课教学，注意情境设置）sin()(0)A A αφ+>例、把下列各式化为的形式：1cos sin cos cos sin sin 2666πππααααα⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭+；(2)sin 2sin 3πααα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 2.那么sin cos (0)a b a b αα+、都不为怎么办？二、概念或定理或公式教学（推导）)1.sin cos sin cos sin()cos sin sin cos cos sin )a b αααααφφφαφαφαφ⎫+=++⎪⎭==∴=+=+原式 2.辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a确定。

）由（通常取其中2222sin ,cos 20ba b b a a +=+=<≤ϕϕπϕϕ三、典型例题（3个，基础的或中等难度）例、把下列各式化成sin()(0).A A αφ+>的形式()()11sin cos sin 2262sin cos 2παααπααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭四、课堂练习（2个，基础的或中等难度）1.把下列各式化成sin().A αφ+的形式()()()1cos 2sin 6125212cos 5sin 13sin .sin ,cos 1313παααααϕαϕϕ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭-=-== 2.计算1.1sin15cos15+- ()2sin15cos152sin 15452-=-=-∴==原式（三）、小结（四）、作业课外作业：（6+2填空，3+1选择，3+1解答，其中+后面的题目可以难些用“*”注明）一、填空题1、13sin15cos152+=_________________；2、cos15sin15cos15sin15-+=_________________； 3、cos103sin10sin 20-=_____________； 4、已知3,,sin ,tan 254ππαπαα⎛⎫⎛⎫∈=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=_______________； 5、sinx-cosx 的最大值是a ，最小值是b ，则ab=__________；6、tan80tan 20tan80tan203m -+⋅=，则实数m 的值为__________； 7*、已知,αβ为钝角，且sin αβ==αβ+=___________；8*、已知()21tan ,tan ,tan 5444ππαββα⎛⎫⎛⎫+=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=_______________。