极大似然估计的教学设计之我见
优化教学设计之我见
［］ ３ 小学语 文教 师． 上海教育 出版社 ，０ ２ （ ８） ２ ０ ，７— ． ［］ ４ 教育部． 日制义务教育语文课程标准（ 全 实验稿 ） 北京师 范大学 出 ．
版 社 ，０ １ ２０ ．
例如 ， 在讲《 月光曲》 一课时 ， 以引导学生首先对课题进行质疑 ， 样 可 这 既有利于对文章内容的理解 ， 能培养 学生 的质疑 能力。出示课 题后 ， 又 可 以问学生看到课题后你 想知道什 么？ 学生 回答之 后， 引导学生 质疑 ， 又 同
造力的形成 。因此 ， 一节课 当中， 巧妙设 计导语 ， 能激发 学生 的学 习兴 趣 ， 例如 ， 在结束《 跳水》 一课后 ， 可以设计这样的问题 ： 当孩子被救上来 以 使 学 生 产生 强 烈的 好 奇 心 和 求 知 欲 。 后 ， 同 学 们 想 一 想船 长 、 手 会 对 孩 子 说 些 什 么 ？ 孩 子 会 对 船 长 、 手 说 请 水 水 例 如， 在教学《 燕子》 一课 时， 以这样设计 导语 ： 同学 们 ， 可 “ 春天来 了 ， 些 什 么 ？ 学 生 们怀 着极 大 的兴 趣 展 开 想 象 的 翅 膀 ， 象 着 孩子 被 救 以后 的 想 自然界 中有很 多景物都来争着报 春， 谁来 说说 ， 都知道 有哪些 景物都 来 场面 ：１ 船长会说 ：你 为了逞强 完全不顾 后果 ， 你 （） “ 差一 点失去 了生命 ， 你应 ”（ 】 “ 争着报春？ “ ” 小河开化 ” 小草发芽” 杨柳泛青” 等等 ， “ “ ， 一个个答案呼之欲 该吸取 这次 的教训 。 ２ 水手会说 ： 幸亏你爸爸出来的及时才挽救 了你 的 出， 正在 同学们兴趣来潮时 ， 紧接 着再问 ： 还有 一位从南 方远道 而来的好 生命 ， “ 要不后果真不敢想象。 （ ） ” ３ 孩子会对船长说 ： 爸爸， “ 这次经历太惊险
极大似然估计方法
极大似然估计方法极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）方法是一种用于估计参数的统计方法，它基于观测到的样本数据，通过选择最大化观测数据出现的概率的参数值来估计未知参数。
极大似然估计是概率论和统计学中最重要的方法之一，广泛应用于各个领域的数据分析与建模中。
极大似然估计方法的核心思想是基于某一参数下观测数据出现的概率，选择使得这个概率最大的参数值。
具体而言，给定一个观测数据集合X，其来自于一个具有参数θ的概率分布，我们要估计未知参数θ的值。
极大似然估计的目标是找到一个参数值θ^，使得给定θ^条件下观测数据集合X出现的概率最大。
数学上，极大似然估计可以通过最大化似然函数来求解。
似然函数是一个参数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的定义如下：L(θ|X) = P(X|θ)数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
极大似然估计的目标是寻找一个参数θ^，使得似然函数最大化，即：θ^ = arg max L(θ|X)为了方便计算，通常将似然函数转化为其对数形式，即对数似然函数：l(θ|X) = log L(θ|X)本文将主要介绍如何利用极大似然估计来估计参数。
具体而言，将分为两个部分：首先是介绍极大似然估计的理论基础，包括似然函数和对数似然函数的定义，以及如何通过最大化似然函数来估计参数；其次是通过一个实际的例子，展示如何使用极大似然估计来求解参数。
理论基础似然函数是极大似然估计的核心概念之一。
似然函数是一个参数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的定义如下：L(θ|X) = P(X|θ)数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。
似然函数的值越大，则表示给定参数θ的取值越可能产生观测数据X。
对数似然函数是似然函数的对数变换，通常在实际计算中会更加方便。
它的定义如下：l(θ|X) = log L(θ|X)对数似然函数和似然函数存在着一一对应关系，因此在求解参数时，两者等价。
极大似然估计的原理和思想
极大似然估计的原理和思想
极大似然估计是统计学上常用的参数估计方法之一，其原理和思想可以概括为以下两点：
1. 最大化似然函数：似然函数表示了观察到某一样本所取得的结果出现的概率。
极大似然估计的思想是通过调整参数的取值，使得观察到的样本的似然函数达到最大化。
换句话说，极大似然估计希望通过选择最合适的参数取值，使得观察到的结果出现的概率最大化。
2. 假设样本独立同分布：极大似然估计的原理基于多个独立同分布的样本。
换句话说，极大似然估计假设每个样本的出现都是独立的，且每个样本的生成过程都是相互独立的。
通过将多个样本的似然函数进行乘积，可以得到所有样本的似然函数。
然后，通过最大化整体样本集的似然函数，来估计参数的取值。
总的来说，极大似然估计的原理和思想是通过选择合适的参数取值，使得观察到的样本出现的概率最大化。
通过对样本的独立同分布假设，并最大化样本集的似然函数，可以得到最优的参数估计值。
极大似然估计-教学设计
《概率论与数理统计极大似然估计法》教案教学内容： 极大似然估计法教学目的：通过本节内容的教学，使学生：1、明确极大似然估计法是在总体分布类型已知的情况下的一种常用的参数估计方法；2、理解极大似然思想；3、掌握求极大似然估计值的一般步骤，会求常见分布参数的极大似然估计值． 教学重点：1、对极大似然思想阐述；2、极大似然估计值的求解．教学难点：对不能通过求导方法获得极大似然估计的值的确定． 教学时数：２学时． 教学过程：引例：某位同学与一位猎人一起外出打猎，一只野兔从前方窜过．只听一声枪响，野兔应声到下，如果要你推测，这一发命中的子弹是谁打的？你就会想，只发一枪便打中，由于猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率，看来这一枪是猎人射中的．这个例子所作的推断就体现了极大似然法的基本思想．一、极大似然思想一般地说，事件A 与参数Θ∈θ有关，θ取值不同，则)(A P 也不同．若A 发生了，则认为此时的θ值就是θ的估计值．这就是极大似然思想．看一例子：例１、设袋中装有许多黑、白球，不同颜色球的数量比为3:1，试设计一种方法，估计任取一球为黑球的概率P ．分析：易知P 的值无非是1/4或3/4．为估计P 的值，现从袋中有放回地任取3只球，用X 表示其中的黑球数，则),3(~P b X ．按极大似然估计思想，对P 的取值进行估计．解：对P 的不同取值，X 取3,2,1,0=k 的概率可列表如下:X ０ １ ２ ３41=P 6427 6427 649 64143=P64164964276427故根据极大似然思想即知：⎪⎩⎪⎨⎧===3,2,431,0,41ˆk k P ． 在上面的例子中，P 是分布中的参数，它只能取两个值：1/4或3/4，需要通过抽样来决定分布中参数究竟是1/4还是3/4．在给定了样本观测值后去计算该样本出现的概率，这一概率依赖于P 的值，为此需要用1/4、3/4分别去计算此概率，在相对比较之下，哪个概率大，则P 就最象那个．二、似然函数与极大似然估计1、离散分布场合：设总体X 是离散型随机变量，其概率函数为);(θx p ，其中θ是未知参数．设n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本．n X X X ,,,21 的联合概率函数为∏=ni i X p 1);(θ，这里，θ是常量，n X X X ,,,21 是变量．若我们已知样本取的值是n x x x ,,,21 ，则事件},,,{2211n n x X x X x X === 发生的概率为∏=ni i x p 1);(θ．这一概率随θ的值而变化．从直观上来看，既然样本值n x x x ,,,21 出现了，它们出现的概率相对来说应比较大，应使∏=ni i x p 1);(θ取比较大的值．换句话说，θ应使样本值n x x x ,,,21 的出现具有最大的概率．将上式看作θ的函数，并用)(θL 表示，就有：∏===ni i n x p x x x L L 121);();,,,()(θθθ （１）称)(θL 为似然函数．极大似然估计法就是在参数θ的可能取值范围Θ内，选取使)(θL 达到最大的参数值θˆ，作为参数θ的估计值．即取θ，使);,,,(max )ˆ;,,,()(2121θθθθnn x x x L x x x L L Θ∈== （２） 因此，求总体参数θ的极大似然估计值的问题就是求似然函数)(θL 的最大值问题．这可通过解下面的方程0)(=θθd dL （３） 来解决．因为L ln 是L 的增函数，所以L ln 与L 在θ的同一值处取得最大值．我们称)(ln )(θθL l =为对数似然函数．因此，常将方程（３）写成：0)(ln =θθd L d （４） 方程（４）称为似然方程．解方程（３）或（４）得到的θˆ就是参数θ的极大似然估计值．如果方程（４）有唯一解，又能验证它是一个极大值点，则它必是所求的极大似然估计值．有时，直接用（４）式行不通，这时必须回到原始定义（２）进行求解．２、连续分布场合：设总体X 是连续离散型随机变量，其概率密度函数为);(θx f ，若取得样本观察值为n x x x ,,,21 ，则因为随机点),,,(21n X X X 取值为),,,(21n x x x 时联合密度函数值为∏=ni i x f 1);(θ．所以，按极大似然法，应选择θ的值使此概率达到最大．我们取似然函数为∏==ni i x f L 1);()(θθ，再按前述方法求参数θ的极大似然估计值．三、求极大似然估计的方法1、可通过求导获得极大似然估计：当函数关于参数可导时，常可通过求导方法来获得似然函数极大值对应的参数值．例２、设某工序生产的产品的不合格率为p ，抽n 个产品作检验，发现有T 个不合格，试求p 的极大似然估计．分析：设X 是抽查一个产品时的不合格品个数，则X 服从参数为p 的二点分布),1(p b ．抽查n 个产品，则得样本n X X X ,,,21 ，其观察值为n x x x ,,,21 ，假如样本有T 个不合格，即表示n x x x ,,,21 中有T 个取值为１，T n -个取值为０．按离散分布场合方法，求p 的极大似然估计．解：（１）写出似然函数：∏=--=ni x x i i P p p L 11)1()(（２）对)(p L 取对数，得对数似然函数)(p l ：∑∑==--+-=--+=ni i ni i i p p x p n p x p x p l 11)]1ln([ln )1ln()]1ln()1(ln [)(（３）由于)(p l 对p 的导数存在，故将)(p l 对p 求导，令其为０，得似然方程：0)1(11)111(1)(11=-+--=-++--=∑∑==ni i n i i x p p p n p p x p n dp p dl （４）解似然方程得：x x n pni i ==∑=11ˆ （５）经验证，在x p =ˆ时，0)(22<dpp l d ，这表明x p =ˆ可使似然函数达到最大（６）上述过程对任一样本观测值都成立，故用样本代替观察值便得p 的极大似然估计为：X p=ˆ 将观察值代入，可得p 的极大似然估计值为：nTx p==ˆ，其中∑==ni i x T 1．若总体X 的分布中含有多个未知参数k θθθ,,,21 时，似然函数L 是这些参数的多元函数),,(1k L θθ ．代替方程（３），我们有方程组),,2,1(0)(ln k i L i==∂∂θ，由这个方程组解得kθθθˆ,,ˆ,ˆ21 分别是参数k θθθ,,,21 的极大似然估计值．例３、设某机床加工的轴的直径与图纸规定的中心尺寸的偏差服从),(2σμN ，其中2,σμ未知．为估计2,σμ，从中随机抽取100=n 根轴，测得其偏差为10021,,,x x x ．试求2,σμ的极大似然估计．分析：显然，该问题是求解含有多个（两个）未知参数的极大似然估计问题．通过建立关于未知参数2,σμ的似然方程组，从而进行求解．解：（１）写出似然函数：212222)(2212)(2)2(21),(σμσμπσσπσμ∑===---=--∏ni i i x n ni x ee L（２）写出对数似然函数：21222)(21)2ln(2),(∑=---=n i i x n l μσπσσμ（３）将),(2σμl 分别对2σμ、求偏导，并令它们都为０，得似然方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=∂∂=-=∂∂∑∑==0)(212),(0)(1),(1242221222ni i ni i x n l x l μσσσσμμσμσμ （４）解似然方程组得：x =μˆ，∑=-=ni i x x n 122)(1ˆσ （５）经验证2ˆ,ˆσμ使),(2σμl 达到极大， （６）上述过程对一切样本观察值成立，故用样本代替观察值，便得2,σμ的极大似然估计分别为：X =μˆ，2122)(1ˆn n i i S X X n =-=∑=σ．２、不可通过求导方法获得极大似然估计：当似然函数的非零区域与未知参数有关时，通常无法通过解似然方程来获得参数的极大似然估计，这时可从定义（２）出发直接求)(θL 的极大值点．例4、设总体X 服从均匀分布),0(θU ，从中获得容量为n 的样本n X X X ,,,21 ，其观测值为n x x x ,,,21 ，试求θ的极大似然估计．分析：当写出其似然函数)(θL 时，我们会发现)(θL 的非零区域与θ有关，因而无法用求导方法来获得θ的极大似然估计，从而转向定义（２）直接求)(θL 的极大值．解：写出似然函数：⎩⎨⎧≤≤≤=-其它场合,00,)()()1(θθθn n x x L为使)(θL 达到极大，就必须使θ尽可能小，但是θ不能小于)(n x ，因而θ取)(n x 时使)(θL 达到极大，故θ的极大似然估计为：)(ˆn X =θ． 进一步，可讨论估计θˆ的无偏性：由于总体),0(~θU X ，其密度函数与分布函数分别为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,00,1)(θθx x p ，⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=θθθx x x x x F ,10,0,0)(，从而)(ˆn X =θ的概率密度函数为：θθθ<<==--y ny y p y F n p nn n 0,)()]([11ˆ θθθθθθθ≠+====⎰⎰1)()()ˆ(0ˆ)(n ndy ny dy y yp X E E nnn 这说明θ的极大似然估计)(ˆn X =θ不是θ的无偏估计，但对θˆ作一修正可得θ的无偏估计为：)(11ˆn X nn +=θ． 通过修正获得未知参数的无偏估计，这是一种常用的方法．在二次世界大战中，从战场上缴获的纳粹德国的枪支上都有一个编号，对最大编号作一修正便获得了德国生产能力的无偏估计．综上，可得求极大似然估计值的一般步骤．四、求极大似然估计的一般步骤1、由总体分布导出样本的联合概率函数（或联合密度）；2、把样本联合概率函数（或联合密度）中自变量看成已知常数，而把参数θ看作自变量，得到似然函数)(θL ；3、求似然函数)(θL 的最大值点（常转化为求对数似然函数)(θl 的最大值点）；4、在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的极大似然估计值．五、极大似然估计的不变性求未知参数θ的某种函数)(θg 的极大似然估计可用极大似然估计的不变原则，证明从略．定理（不变原则）设θˆ是θ的极大似然估计，)(θg 是θ的连续函数，则)(θg 的极大似然估计为)ˆ(θg ． 例5、设某元件失效时间服从参数为λ的指数分布，其密度函数为0,);(≥=-x e x f x λλλ，λ未知．现从中抽取了n 个元件测得其失效时间为n x x x ,,,21 ，试求λ及平均寿命的极大似然估计．分析：可先求λ的极大似然估计，由于元件的平均寿命即为X 的期望值，在指数分布场合，有λ1)(=X E ，它是λ的函数，故可用极大似然估计的不变原则，求其极大似然估计．解：（１）写出似然函数：∑===-=-∏ni iix nni x eeL 11)(λλλλλ（２）取对数得对数似然函数：∑=-=ni i x n l 1ln )(λλλ（３）将)(λl 对λ求导得似然方程为：0)(1=-=∑=ni i x n d dl λλλ （４）解似然方程得：xxnni i1ˆ1==∑=λ经验证，λˆ能使)(λl 达到最大，由于上述过程对一切样本观察值成立，故λ的极大似然估计为：X1ˆ=λ； 根据极大似然估计的不变原则，元件的平均寿命的极大似然估计为：X X E ==λˆ1)(． 五、小结1、极大似然估计的思想；2、求解未知参数极大似然估计的一般步骤；3、极大似然估计的不变原则．五、作业见参考文献1的第278页第4，5，6页．参考文献：1、苏均和主编：概率论与数理统计，上海财经大学出版社．1999年1版．2、茆诗松等编著：概率论与数理统计，中国统计出版社．1999年1版．3、魏振军编：概率论与数理统计三十三讲，中国统计出版社．2000年1版．4、唐生强主编：概率论与数理统计复习指导，科学出版社．1999年1版．。
,,新课程下的语文教学之我见
安徽省合肥市肥西县官亭学区中心学校安徽合肥摘要：本文通过自身在新课程背景下备课，在课堂教学中各种任务的驱动完成中出现的一些问题进行研究，探讨出新课程背景下语文教师备课、课堂教学问题的点滴收获：深深地“挖”掘文本，然后再浅浅地“捧”给学生，利用各种多媒体，优化教学坡度，达到事倍功半的教学效果。
关键词：新课改文本“挖”与“捧”跨学科任务群多媒体前言2022年的石榴红了的季节，我又参加了新一轮的小学语文课堂教育教学的新课程理念的学习机会。
面对2022年版新课标、新教材和新的评价体系，作为一名语文教师，这既是一种机遇，更是一种挑战。
叶圣陶老先生说：“教材无非是个例子”。
如何利用好教材教学，如何沿着新课程标准去高效地备课，提高课堂教学效率，很多教师茫茫若失，不知所措。
本文就新课标的精神，结合自己二十多年的教育教学经验，作一点点专门探讨。
（一）新课程下的语文教师备课新课程背景下，教师要在落实学生主体学习地位上下功夫，在落实每一个学生自主学习上下功夫，在充分调动学生学习积极性上下功夫，在防止学生的一个个学习任务驱动流于形式上下功夫。
因此，教师备课已升华为教学研究的一个重要内容。
1、准确定位自己，客观评价学生2022年版《义务教育语文课程标准》的实施，为语文教学再次拨开重云，现出青天。
语文再一次更正不在姓“书”、姓“政”、姓“试”，名正言顺地姓“语”了。
语文课程是一门学习国家通用语言文字的运用的综合性、实践性课程。
以实践为中心的语文课程改革，作为语文教师，培养学生的读书兴趣和习惯是头等大事。
面对新课标、新教材和新的评价体系，语文教师应该自觉转变教学观念产，对自己的角色有一个新的认识，完成角色转化，要努力成为：学生语文学习的组织者、指导者、参与者和评价者。
要知道丰富学生语言经验是学习语文的基础，强化语言表达实践是语文学习的重点，教师要引导学生在实践中领悟语文知识和方法策略。
要知道，落后保守终会被淘汰，要与时俱进地更新自己的教育理念。
极大似然估计的原理和方法1
ˆ. 4）解似然方程得到 的极大似然估计值
说明：若似然方程（组）无解，或似然函数不可导，此法失 效，改用其它方法.
例1 设
X
服 从 参 数 ( 0) 的 泊 松 分 布 ，
x1 , x2 , , xn 是来自于 X 的一个样本值， 求 的极大
答 极有可能黑极大似然估计法
(Method of Maximum Likelihood Estimation -- MLE )
极大似然估计法的依据就是 : 概率最大的事件最可能发生.
一次试验就出现的事件（应该）有较大的概率.
二
极大似然原理
(一)极大似然估计法简史
ˆ ( x1 , x2 ,, xn ) ， 参数 的极大似然估计值.
极大似然法求估计值的步骤：(一般情况下)
1) 构造似然函数L( ) :
n
n
L( ) p( xi ; ) (离散型） , L( ) f ( xi ; )（连续性）；
i 1
i 1
2) 取对数： ln L( );
X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的样本,
若
x1 , x2 , , xn 为相应于 X 1 , X 2 , , X n
n i 1
的样本值，
L( ) L( x1 , x2 , , xn ; ) f ( xi ; ),
L( )称为样本的似然函数.
ˆ ) max L( x1 , x2 ,, xn ; ). 若 L( x1 , x2 ,, xn ;
似然估计值.
解
因为 X 的分布律为
P{ X x }
x
x!
极大似然估计法
《概率论与数理统计》典型教案教学内容：极大似然估计法 教学目的：通过本节内容的教学，使学生： 1、明确极大似然估计法是在总体分布类型已知的情况下的一种常用的参数估计方法；2、理解极大似然思想；3、掌握求极大似然估计值的一般步骤，会求常见分布参数的极大似然估计值． 教学重点：1、对极大似然思想阐述；2、极大似然估计值的求解． 教学难点：对不能通过求导方法获得极大似然估计的值的确定． 教学时数：２学时． 教学过程：引例：某位同学与一位猎人一起外出打猎，一只野兔从前方窜过．只听一声枪响，野兔应声到下，如果要你推测，这一发命中的子弹是谁打的？你就会想，只发一枪便打中，由于猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率，看来这一枪是猎人射中的．这个例子所作的推断就体现了极大似然法的基本思想．一、极大似然思想一般地说，事件A 与参数Θ∈θ有关，θ取值不同，则)(A P 也不同．若A 发生了，则认为此时的θ值就是θ的估计值．这就是极大似然思想．看一例子：例１、设袋中装有许多黑、白球，不同颜色球的数量比为3:1，试设计一种方法，估计任取一球为黑球的概率P ．分析：易知P 的值无非是1/4或3/4．为估计P 的值，现从袋中有放回地任取3只球，用X 表示其中的黑球数，则),3(~P b X ．按极大似然估计思想，对P 的取值进行估计．解：对P 的不同取值，X 取3,2,1,0=k 的概率可列表如下:X ０ １ ２ ３41=P 6427 6427 649 64143=P641 64964276427故根据极大似然思想即知：⎪⎩⎪⎨⎧===3,2,431,0,41ˆk k P ．在上面的例子中，P 是分布中的参数，它只能取两个值：1/4或3/4，需要通过抽样来决定分布中参数究竟是1/4还是3/4．在给定了样本观测值后去计算该样本出现的概率，这一概率依赖于P 的值，为此需要用1/4、3/4分别去计算此概率，在相对比较之下，哪个概率大，则P 就最象那个．二、似然函数与极大似然估计1、离散分布场合：设总体X 是离散型随机变量，其概率函数为);(θx p ，其中θ是未知参数．设n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本．n X X X ,,,21 的联合概率函数为∏=ni i X p 1);(θ，这里，θ是常量，n X X X ,,,21 是变量．若我们已知样本取的值是n x x x ,,,21 ，则事件},,,{2211n n x X x X x X === 发生的概率为∏=ni i x p 1);(θ．这一概率随θ的值而变化．从直观上来看，既然样本值n x x x ,,,21 出现了，它们出现的概率相对来说应比较大，应使∏=ni i x p 1);(θ取比较大的值．换句话说，θ应使样本值n x x x ,,,21 的出现具有最大的概率．将上式看作θ的函数，并用)(θL 表示，就有：∏===ni i n x p x x x L L 121);();,,,()(θθθ （１）称)(θL 为似然函数．极大似然估计法就是在参数θ的可能取值范围Θ内，选取使)(θL 达到最大的参数值θˆ，作为参数θ的估计值．即取θ，使);,,,(max )ˆ;,,,()(2121θθθθnn x x x L x x x L L Θ∈== （２） 因此，求总体参数θ的极大似然估计值的问题就是求似然函数)(θL 的最大值问题．这可通过解下面的方程0)(=θθd dL （３） 来解决．因为L ln 是L 的增函数，所以L ln 与L 在θ的同一值处取得最大值．我们称)(ln )(θθL l =为对数似然函数．因此，常将方程（３）写成：0)(ln =θθd L d （４） 方程（４）称为似然方程．解方程（３）或（４）得到的θˆ就是参数θ的极大似然估计值．如果方程（４）有唯一解，又能验证它是一个极大值点，则它必是所求的极大似然估计值．有时，直接用（４）式行不通，这时必须回到原始定义（２）进行求解．２、连续分布场合：设总体X 是连续离散型随机变量，其概率密度函数为);(θx f ，若取得样本观察值为n x x x ,,,21 ，则因为随机点),,,(21n X X X 取值为),,,(21n x x x 时联合密度函数值为∏=ni i x f 1);(θ．所以，按极大似然法，应选择θ的值使此概率达到最大．我们取似然函数为∏==ni i x f L 1);()(θθ，再按前述方法求参数θ的极大似然估计值．三、求极大似然估计的方法1、可通过求导获得极大似然估计：当函数关于参数可导时，常可通过求导方法来获得似然函数极大值对应的参数值．例２、设某工序生产的产品的不合格率为p ，抽n 个产品作检验，发现有T 个不合格，试求p 的极大似然估计．分析：设X 是抽查一个产品时的不合格品个数，则X 服从参数为p 的二点分布),1(p b ．抽查n 个产品，则得样本n X X X ,,,21 ，其观察值为n x x x ,,,21 ，假如样本有T 个不合格，即表示n x x x ,,,21 中有T 个取值为１，T n -个取值为０．按离散分布场合方法，求p 的极大似然估计．解：（１）写出似然函数：∏=--=ni x x i i P p p L 11)1()(（２）对)(p L 取对数，得对数似然函数)(p l ：∑∑==--+-=--+=ni i ni i i p p x p n p x p x p l 11)]1ln([ln )1ln()]1ln()1(ln [)(（３）由于)(p l 对p 的导数存在，故将)(p l 对p 求导，令其为０，得似然方程：0)1(11)111(1)(11=-+--=-++--=∑∑==ni i n i i x p p p n p p x p n dp p dl （４）解似然方程得：x x n pni i ==∑=11ˆ （５）经验证，在x p=ˆ时，0)(22<dp p l d ，这表明x p =ˆ可使似然函数达到最大（６）上述过程对任一样本观测值都成立，故用样本代替观察值便得p 的极大似然估计为：X p=ˆ 将观察值代入，可得p 的极大似然估计值为：nTx p==ˆ，其中∑==ni i x T 1．若总体X 的分布中含有多个未知参数k θθθ,,,21 时，似然函数L 是这些参数的多元函数),,(1k L θθ ．代替方程（３），我们有方程组),,2,1(0)(ln k i L i==∂∂θ，由这个方程组解得kθθθˆ,,ˆ,ˆ21 分别是参数k θθθ,,,21 的极大似然估计值．例３、设某机床加工的轴的直径与图纸规定的中心尺寸的偏差服从),(2σμN ，其中2,σμ未知．为估计2,σμ，从中随机抽取100=n 根轴，测得其偏差为10021,,,x x x ．试求2,σμ的极大似然估计．分析：显然，该问题是求解含有多个（两个）未知参数的极大似然估计问题．通过建立关于未知参数2,σμ的似然方程组，从而进行求解．解：（１）写出似然函数：212222)(2212)(2)2(21),(σμσμπσσπσμ∑===---=--∏ni i i x n ni x ee L（２）写出对数似然函数：21222)(21)2ln(2),(∑=---=n i i x n l μσπσσμ（３）将),(2σμl 分别对2σμ、求偏导，并令它们都为０，得似然方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=∂∂=-=∂∂∑∑==0)(212),(0)(1),(1242221222ni i n i i x n l x l μσσσσμμσμσμ （４）解似然方程组得：x =μˆ，∑=-=ni i x x n 122)(1ˆσ （５）经验证2ˆ,ˆσμ使),(2σμl 达到极大， （６）上述过程对一切样本观察值成立，故用样本代替观察值，便得2,σμ的极大似然估计分别为：X =μˆ，2122)(1ˆn n i i S X X n =-=∑=σ．２、不可通过求导方法获得极大似然估计：当似然函数的非零区域与未知参数有关时，通常无法通过解似然方程来获得参数的极大似然估计，这时可从定义（２）出发直接求)(θL 的极大值点．例4、设总体X 服从均匀分布),0(θU ，从中获得容量为n 的样本n X X X ,,,21 ，其观测值为n x x x ,,,21 ，试求θ的极大似然估计．分析：当写出其似然函数)(θL 时，我们会发现)(θL 的非零区域与θ有关，因而无法用求导方法来获得θ的极大似然估计，从而转向定义（２）直接求)(θL 的极大值．解：写出似然函数：⎩⎨⎧≤≤≤=-其它场合,00,)()()1(θθθn n x x L为使)(θL 达到极大，就必须使θ尽可能小，但是θ不能小于)(n x ，因而θ取)(n x 时使)(θL 达到极大，故θ的极大似然估计为：)(ˆn X =θ． 进一步，可讨论估计θˆ的无偏性： 由于总体),0(~θU X ，其密度函数与分布函数分别为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,00,1)(θθx x p ，⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=θθθx x x x x F ,10,0,0)(，从而)(ˆn X =θ的概率密度函数为：θθθ<<==--y ny y p y F n p nn n 0,)()]([11ˆ θθθθθθθ≠+====⎰⎰1)()()ˆ(0ˆ)(n ndy ny dy y yp X E E nnn 这说明θ的极大似然估计)(ˆn X =θ不是θ的无偏估计，但对θˆ作一修正可得θ的无偏估计为：)(11ˆn X nn +=θ． 通过修正获得未知参数的无偏估计，这是一种常用的方法．在二次世界大战中，从战场上缴获的纳粹德国的枪支上都有一个编号，对最大编号作一修正便获得了德国生产能力的无偏估计．综上，可得求极大似然估计值的一般步骤．四、求极大似然估计的一般步骤1、由总体分布导出样本的联合概率函数（或联合密度）；2、把样本联合概率函数（或联合密度）中自变量看成已知常数，而把参数θ看作自变量，得到似然函数)(θL ；3、求似然函数)(θL 的最大值点（常转化为求对数似然函数)(θl 的最大值点）；4、在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的极大似然估计值．五、极大似然估计的不变性求未知参数θ的某种函数)(θg 的极大似然估计可用极大似然估计的不变原则，证明从略．定理（不变原则）设θˆ是θ的极大似然估计，)(θg 是θ的连续函数，则)(θg 的极大似然估计为)ˆ(θg ． 例5、设某元件失效时间服从参数为λ的指数分布，其密度函数为0,);(≥=-x e x f x λλλ，λ未知．现从中抽取了n 个元件测得其失效时间为n x x x ,,,21 ，试求λ及平均寿命的极大似然估计．分析：可先求λ的极大似然估计，由于元件的平均寿命即为X 的期望值，在指数分布场合，有λ1)(=X E ，它是λ的函数，故可用极大似然估计的不变原则，求其极大似然估计．解：（１）写出似然函数：∑===-=-∏ni iix nni x eeL 11)(λλλλλ（２）取对数得对数似然函数：∑=-=ni i x n l 1ln )(λλλ（３）将)(λl 对λ求导得似然方程为：0)(1=-=∑=ni i x n d dl λλλ （４）解似然方程得：xxnni i1ˆ1==∑=λ经验证，λˆ能使)(λl 达到最大，由于上述过程对一切样本观察值成立，故λ的极大似然估计为：X1ˆ=λ； 根据极大似然估计的不变原则，元件的平均寿命的极大似然估计为：X X E ==λˆ1)(． 五、小结1、极大似然估计的思想；2、求解未知参数极大似然估计的一般步骤；3、极大似然估计的不变原则．五、作业见参考文献1的第278页第4，5，6页．参考文献：1、苏均和主编：概率论与数理统计，上海财经大学出版社．1999年1版．2、茆诗松等编著：概率论与数理统计，中国统计出版社．1999年1版．3、魏振军编：概率论与数理统计三十三讲，中国统计出版社．2000年1版．4、唐生强主编：概率论与数理统计复习指导，科学出版社．1999年1版．。
对最大似然估计法教学的探讨
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第 １卷 ９
第７ 期
牡 丹江 大 学学报
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２ １ 年 ７月 ００
文章编号：１０ ．７ ７（ ００ ７０ １－３ ０ ８８ １ ２ １ ）０ ．１６０
子 中有 １ 白球 和 ９ 只黑 球 ， 从 两个 盒 子 中任 取 一 盒 ， 只 ９ 现
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某种推断 的，这里 “ 最像 ”就是 “ 最大似然”之意．其
极大似然估计概念的微课程教学设计
极大似然估计概念的微课程教学设计陈永娟(莆田学院数学与金融学院，福建莆田351100)[摘要]极大似然估计法是概率统计中一种重要的、应用广泛的方法，同时也是学生较难理解的概率统计概念。
本 文给出一节极大似然估计的微课程教学设计。
通过案例教学法，由浅人深地讲解极大似然估计的基本思想、原则和解题 步骤，并在其中融人基本的统计思想，让学生能够进一步理解这个概念。
[关键词]微课;极大似然估计；教学设计[中图分类号]G420 [文献标识码]A[文章编号]1671 -5330(2019)02 - 0147 - 03〇引言概率论与数理统计是一门基础课程，在高校 中不仅是理工科各专业要学习它，管理类各专业、农、林、医、人文等专业也要学习它。
但是由于它 特有的一些思想方法，使得不少学生掌握起来比 较困难。
近年来很多概率统计教师，将微课应用 于该课程的教学改革中，通常会通过一节十到二 十分钟的微课讲清一个概念。
如何进行教学设计 把一个概念讲清讲透呢？本文给出一节极大似然 估计的微课程教学设计，为概率统计微课程的教 学设计起到一个抛砖引玉的作用。
1教学背景概率论与数理统计中，极大似然估计法的概 念方法是在学生已经学习了点估计、矩法估计等 概念之后学习的知识点。
它是概率论与数理统计 的重要概念之一。
极大似然估计法应用非常广 泛，在以往的教学中发现学生往往只会套模式做 相关练习，而对极大似然估计的基本思想和估计 参数的原则理解不透彻。
一个很重要的原因是教 师对这个方法的统计思想阐述得不够透彻。
下面 通过一节十多分钟的微课程教学设计，让学生能 进一步理解极大似然估计的基本思想和概念。
2教学方法和过程根据思维习惯由直观到抽象的特点，首先给 出一个简单的例子先让学生从直观上去估计参 数，这样对于接下来较抽象的理论有较好的引导 作用。
例1一个盒子中装有若干个白色和黄色的 乒乓球，不同颜色球的数量比为3:1，但不知哪种 颜色的球比较多。
浅谈如何讲授极大似然估计
浅谈如何讲授极大似然估计极大似然估计是概率论与数理统计这门课程的重难点，在讲解这一知识点时，可以通过启发式教学，理论与实际问题相结合，循序渐进地进行讲解。
标签：似然方程；极大似然估计；参数估计极大似然估计是概率论与数理统计这门课程的重难点，也是求估计时使用最多的参数估计方法。
德国著名数学家高斯在1821年最早提出了这一概念，在1922年费希尔再次提出这种想法，并对它的一些性质给出证明，这才使极大似然法得到了广泛的应用，对极大似然估计的讲解。
在教学中往往存在教师对于这一复杂的原理难以讲解，学生不易理解的情况，从而无法灵活地运用这一统计方法来解决问题，本文笔者将结合自己的教学实践浅谈一些体会。
一、通过生活中实例引出极大似然估计原理直接讲述抽象复杂的概念，学生理解起来较为困难，通过日常生活中的实例增强学生的直观感知。
例1，老猎人和某位同学外出打猎，二人同时各开一枪，其中一人打中一只野兔，如果要你推断是谁打中的呢？根据常识判断老猎人命中的概率一般大于学生命中的概率，这枪极有可能是老猎人命中的，这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想。
例2，设有外形相同的两个盒子，甲盒中有99个白球和1个黑球，乙盒中有99个黑球1个白球，今随机地抽取一盒，并从中随机抽取一球，结果取得白球，问这个球是从哪个盒子取出？不管是哪个盒子任取一个球都有两个可能结果：白球或者黑球，甲盒取出白球发生的概率为0.99，乙盒子取出白球发生的概率为0.01，甲盒取出白球发生的概率大，从而推断这球是从甲盒中取出。
由此我们引出极大似然原理：随机试验有若干个可能的结果A、B、C……，现进行一次实验，结果A发生了，则认为实验条件对结果A出现最有利，即实验的条件应该使得结果A出现的概率为最大。
我们将这种想法用于参数估计，设总体X的分布为F（X；θ），θ∈Θ（θ为未知参数；Θ为参数空间）X1，X2，…，Xn为来自总体的样本，x1，x2，…，xn为一组样本值，在θ的一切可能取值中选取一个作为θ的估计。
极大似然估计课程设计
极大似然估计课程设计一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握极大似然估计的基本概念、原理和方法，能够运用极大似然估计解决实际问题。
具体分为以下三个部分：1.知识目标：使学生了解极大似然估计的定义、原理和计算方法，理解极大似然估计在统计推断中的应用。
2.技能目标：通过实例分析，培养学生运用极大似然估计解决问题的能力，使学生能够独立完成极大似然估计的计算和分析。
3.情感态度价值观目标：培养学生对统计学的兴趣和热情，使学生认识极大似然估计在科学研究和实际应用中的重要性，培养学生的科学精神和创新意识。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括极大似然估计的基本概念、原理和方法。
具体安排如下：1.第一课时：介绍极大似然估计的定义和原理，讲解极大似然估计的计算方法。
2.第二课时：通过实例分析，展示极大似然估计在统计推断中的应用，引导学生学会运用极大似然估计解决问题。
3.第三课时：讲解极大似然估计的性质和局限性，使学生了解极大似然估计的适用范围和注意事项。
4.第四课时：通过练习题，巩固学生对极大似然估计的理解和应用能力。
三、教学方法为了提高教学效果，本课程将采用多种教学方法相结合的方式进行教学：1.讲授法：讲解极大似然估计的基本概念、原理和方法，使学生掌握基础知识。
2.讨论法：通过分组讨论，引导学生深入理解极大似然估计的原理和应用，培养学生的思考和交流能力。
3.案例分析法：通过实例分析，使学生学会运用极大似然估计解决实际问题，提高学生的实践能力。
4.实验法：安排课后实验，让学生独立完成极大似然估计的计算和分析，巩固所学知识。
四、教学资源为了支持本课程的教学，我们将准备以下教学资源：1.教材：《统计学原理》等相关教材，为学生提供基础知识。
2.参考书：《极大似然估计的应用》等参考书籍，为学生提供更多的学习资料。
3.多媒体资料：制作课件、视频等多媒体资料，丰富教学手段，提高学生的学习兴趣。
4.实验设备：为学生提供计算机、统计软件等实验设备，方便学生进行课后实验。
大学数理统计教学中有关极大似然估计方法的课堂讲授
大学数理统计教学中有关极大似然估计方法的课堂讲授摘要极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是统计学中应用广泛的一个参数估计方法。
在大学数理统计教学中，极大似然估计方法通常是数理统计学课程的一部分，也是应用统计学和数理方法课程的一个重要内容。
本文通过对数理统计学课堂讲授中有关极大似然估计方法的介绍和阐述，对学生有关这一主题的问题进行了解答，并深入分析了这一方法的具体应用。
引言极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是统计学中应用广泛的一个参数估计方法，成为了现代统计学的重要组成部分。
极大似然估计方法的核心思想是利用已知的样本数据，通过对概率分布函数进行研究，得到最优的估计参数值。
在数理统计学课程中，极大似然估计方法通常是一个重要的内容点，也是应用统计学和数理方法课程中的一个重要主题。
本文针对大学数理统计教学中有关极大似然估计方法的课堂讲授进行介绍和阐述，旨在帮助读者更加深入地理解这一方法的原理和应用。
极大似然估计方法的介绍极大似然估计方法的思路是给定一个概率模型，根据观测数据来估计其中的未知参数值。
其核心思想是找到一组参数，使得样本观测出现的概率最大。
因此，极大似然估计方法也被称为最大似然估计方法。
在数理统计学课程中，通常会详细介绍极大似然估计方法的理论基础，并通过一些典型的问题来解释其应用。
比如，在二项分布中有两个参数需要确定，一个是成功的概率（p），一个是试验次数（n）。
在数理统计学课程中，我们通常需要根据一些试验数据，利用极大似然估计方法来求解这些参数的值。
具体操作是对所有试验的结果进行统计，然后找到一个成功率最高的n和p的组合，使得该组合的似然值最大。
极大似然估计方法通常需要满足以下的条件： 1. 样本独立：每个观测值之间相互独立。
2. 可重复性：样本中每个观测值可以重复出现。
3. 概率模型具有可调参数：给定的概率分布函数具有一个或多个未知参数需要估计。
启发式教学在最大似然估计法教学中的应用研究
㊀㊀㊀㊀㊀㊀启发式教学在最大似然估计法教学中的应用研究启发式教学在最大似然估计法教学中的应用研究Һ续焕英㊀齐海涛㊀（山东大学（威海）数学与统计学院，山东㊀威海㊀２６４２０９）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文在启发式教学思想的引领下，针对最大似然估计法给出具体的教学设计思路，遵循学生的认知规律，充分调动学生学习的主观能动性，践行 以学生为中心 的教学理念，将学生学习的主动权最大限度地还给学生，以期优化传统的教学模式，提高教学效率．ʌ关键词ɔ启发式教学，最大似然估计法，似然函数，教学模式ʌ基金项目ɔ山东大学（威海）校级教育教学改革研究项目，项目名称：慕课滋养下‘概率论与数理统计“课程多元化教学改革研究，项目编号：Ｙ２０１９０５７‘教育部关于进一步深化本科教学改革全面提高教学质量的若干意见“中指出，要大力推进教学方法的改革，提倡启发式教学，注重因材施教．一㊁启发式教学简介启发式教学是教师根据教学目标，针对教学内容，从学生的实际出发，采用多种教学方法，引导学生积极主动地学习，从而促进学生全面发展的一种教学指导思想．这种教学模式是相对传统教学提出的一种新的教学方法，重在引导学生积极主动地学习新知识，让学生在探索和发现中获得相应的知识内容，有助于培养学生主动思考和分析问题的能力．教师将启发式教学思想融入课堂，有助于发挥学生的主体地位，充分激发学生学习的兴趣，调动学生学习的积极性．教师在概率统计课程的教学过程中应用启发式教学方法，不仅可以使学生学会主动学习和独立思考，提升思维能力，而且可以提高学生学习的效率，培养其创新意识，提高其创新能力，真正实现素质教育．中国最早提出启发式教学的是大教育家孔子，他主张 不愤不启，不悱不发 ，意为先鼓励学生积极独立的思考，再进行适时启发和开导．这种教育理念符合教学基本规律，对当前教育仍具有重要的借鉴价值．二㊁教学案例分析最大似然估计法（简称ＭＬＥ）是在总体分布类型已知条件下使用的一种重要而普遍的参数估计方法，具有许多良好的统计性质，其充分利用了总体分布提供的信息，克服了矩估计法在这方面的缺陷．这种参数估计方法具有深刻的统计思想内涵，是各种数理统计方法的基础，教学目标要求学生熟练掌握这种参数估计的方法．但由于这种参数估计法计算繁杂，原理抽象，因此学生学习起来有一定难度，这就需要教师在教学方法上多下功夫，精心设计教学过程，充分启发学生的积极思维，遵循学生的认知规律，将复杂抽象的问题简单㊁直观化．笔者根据教学目标的要求，将启发式教学思想融入教学环节，设计教学过程如下．１．历史由来．好的开始是成功的一半 ．下面介绍最大似然估计法的历史演变过程．这种参数估计方法最早是由德国数学家高斯在１８２１年提出，后来英国统计学家费歇于１９２２年在其一篇文章中重新提出了这一方法，并首次研究了这种方法的一些性质，自此这种参数估计的方法得到了广泛的应用，因此最大似然估计法常归功于费歇， 最大似然估计 这一名称也是由费歇给出的．作为知识的延伸，教师可以给学生分享两位数学家在学术方面的巨大贡献和对科学的敬业精神，启发学生锲而不舍㊁追求真理㊁勇于探索的科学精神，增强学生勇攀科学高峰的责任感和使命感，激发学生科技报国的家国情怀和使命担当．此外，为活跃课堂气氛，增加课堂的趣味性，教师可将历史人物的传奇小故事纳入课堂．比如享有 数学王子 美誉的高斯，他小时候就已经展现出了与众不同的数学才能，教师介绍他与小学数学老师的故事，可以启发学生善于思考，勤于动脑，向学生传递正能量．２．问题引入．作为一种重要的参数估计方法，最大似然估计法具有广泛的实际应用，但因其复杂的计算过程和抽象的理论知识，学生学起来有一定的难度．抽象的理论知识并非无源之水，无根之木，它其实源于丰富多彩的现实生活．为便于学生理解，教师引入如下简单的生活实例，把复杂抽象的理论知识简单㊁具体化，让学生在实际问题中感悟，给学生一种直观的印象，帮助学生理解最大似然估计法的基本思想方法．引例㊀设袋子中有黑白两种颜色的球，比例为９ʒ１，但是不知道哪种颜色的球多．现在做一个随机试验：有放回地抽取３次，每次取１个．假设在一次试验中，取到２个白球，１个黑球，用随机事件Ａ表示这个结果，试判断哪种颜色的球多．若用参数θ表示袋子中白球的概率，则问题转化为判断θ＝０．１还是θ＝０．９的问题．绝大部分学生都会回答白球多，即θ＝０．９，这一判断过程实际上已经用到了最大似然估计法的基本思想．教师要充分肯定学生的回答，并将这一过程系统化．通过进一步分析可以发现，所求问题就是在θ所有可能的取值中选择θ的一个值，使得已经发生的事件即 取到２个白球，１个黑球 具有最大的概率．这种选择一个参数使得试验结果具有最大概率的思想就是最大似然估计法的基本思想．解㊀设袋子中白球的概率为θ，Ｘｉ表示第ｉ次取球的情况（ｉ＝１，２，３），则Ｘｉ＝１，第ｉ次取到白球，０，第ｉ次取到黑球．{设第一㊁三次取到白球，第二次取到黑球，则Ｐ（Ｘ１＝１，Ｘ２＝０，Ｘ３＝１）＝θ２（１－θ）．若θ＝０．１，则Ｐ（Ｘ１＝１，Ｘ２＝０，Ｘ３＝１）＝０．００９；若θ＝０．９，则Ｐ（Ｘ１＝１，Ｘ２＝０，Ｘ３＝１）＝０．０８１＞０．００９．可见，当θ＝０．９时，事件（Ｘ１＝１，Ｘ２＝０，Ｘ３＝１）发生的概率最大，即最支持试验结果的发生，所以判断白球多．以上解题过程可以严谨地表述如下：设总体Ｘ含有待估参数θ＝（θ１，θ２， ，θｎ），参数空间为Θ，在Θ中选取一个θ＾，使得当θ＝θ＾时样本观测结果即事件（Ｘ１＝ｘ１，Ｘ２＝ｘ２， ，Ｘｎ＝ｘｎ）出现的概率Ｌ（θ）达到最大值，则称θ＾为θ的最大似然估计，Ｌ（θ）称为样本的似然函数．在一次随机试验中，若某一个具体的试验结果发生了，则认为当时的条件最有利于该结果的发生，即一次试验就㊀㊀㊀㊀㊀出现的事件有较大的概率．既然事件 取到２个白球，１个黑球 已经发生，则此事件具有最大的概率，而当θ＝０．９时，此事件的概率最大，所以认为袋子中白球多．这种统计思想即待估参数的值应使抽到的样本观测值出现的可能性最大，正是最大似然估计法的理论依据，称之为最大似然原理．３．理论分析．通过以上实例的介绍，学生已经知道什么是参数的最大似然估计．那么如何求解参数的最大似然估计呢？对于这个问题的解决，教师应采用问题创设的教学方法，按照循序渐进的原则设计问题．在课堂教学活动中，问题创设是最常见的一种启发式教学方法，因其具有易于操作和便于把控等特点，被高校教师所青睐．这种教学方法有助于促进师生之间的互动交流，有利于对学生数学思维的培养．下面设计了三个问题：（１）如何建立样本的似然函数？若总体Ｘ是离散型的，已知其分布概率为Ｐ（Ｘ＝ａｉ）＝ｐ（ａｉ；θ），ｉ＝１，２， ，θɪΘ，则Ｌ（θ）＝Ｐ（Ｘ１＝ｘ１，Ｘ２＝ｘ２， ，Ｘｎ＝ｘｎ）＝ᵑｎｉ＝１ｐ（ｘｉ；θ）．若总体Ｘ是连续型的，已知其概率密度函数为ｆ（ｘ；θ），则Ｌ（θ）＝ᵑｎｉ＝１ｆ（ｘｉ；θ）．教师要引导学生注意区分两类总体中样本似然函数在形式上的差异性，即一类是样本分布律的连乘积，另一类是样本概率密度的连乘积，但从本质上讲两类似然函数都是样本观测值和总体分布参数的函数，都是样本的联合分布．（２）如何求解似然函数Ｌ（θ）的最大值点？为获取似然函数Ｌ（θ）的最大值点，通常需要求导数，而似然函数一般都是连乘积的形式，为便于求导，首先对似然函数求对数得ｌｎＬ（θ），称之为对数似然函数．由于对数函数特有的性质，Ｌ（θ）和ｌｎＬ（θ）在同一点θ＝θ＾处达到最大值，即极大化似然函数和极大化对数似然函数是等价的．此时教师可引导学生回顾高等数学中函数求最值的一般方法，θ的最大似然估计θ＾可由方程（组）∂ｌｎＬ（θ）∂θｉ＝０，ｉ＝１，２， ，ｎ获得，称以上方程（组）为对数似然方程（组）．（３）求解总体未知参数最大似然估计值的一般步骤是什么？综上，让学生归纳总结求未知参数最大似然估计值的一般步骤：首先求出似然函数Ｌ（θ）的表达式，其次求似然函数的极值点．这一教学过程能够让学生开动脑筋思考，既锻炼了学生独立思考问题的能力，又发展了逻辑思维的能力．教师应以以上一系列问题为主线对重要知识点展开深入讲解，并穿插课堂提问，以提高学生的课堂专注力，比如，对于连乘积形式的似然函数有没有简单的求导途径呢？问题由浅入深，层层递进，逐步开启学生的积极思维．４．例题详解．例题讲解是数学课程必不可少的一个教学环节，是教师教会学生独立思考问题，进而解决问题的重要过程．例题讲解的主要作用在于帮助学生理解巩固理论知识，让学生更好地掌握重点知识，实现对新授知识的初步理解和应用．例１㊀设总体Ｘ服从正态分布ｆ（ｘ）＝１２πσｅ－（ｘ－μ）２２σ２，其中σ２是已知参数，μ是未知参数，ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ为样本的一组观测值，求参数μ的最大似然估计值．解㊀似然函数为Ｌ（μ）＝ᵑｎｉ＝１１２πσｅ－（ｘｉ－μ）２２σ２＝（２πσ２）－ｎ２ｅ－１２σ２ðｎｉ＝１（ｘｉ－μ）２，取对数得对数似然函数为ｌｎＬ（μ）＝－ｎ２ｌｎ（２πσ２）－１２σ２ðｎｉ＝１（ｘｉ－μ）２，所以对数似然方程为ｄｌｎＬ（μ）ｄμ＝１σ２ðｎｉ＝１（ｘｉ－μ）＝０，解得μ＾＝１ｎðｎｉ＝１ｘｉ＝ｘ－，由ｄ２ｌｎＬ（μ）ｄμ２＝－ｎσ２＜０知μ＾＝ｘ－是对数似然函数的最大值点，因而ｘ－是μ的最大似然估计值．教师通过对例题１的详细讲解，带领学生熟悉求解最大似然估计值的一般步骤，加深对新知识的理解．这一教学环节开发了学生的数学智慧，培养了学生的课堂参与意识和创新意识．５．实战演练．课堂练习是课堂教学活动的一个重要环节，以学生演练为主，教师讲解为辅，教师将学习主动权最大限度地还给学生，充分发挥学生的主体地位．学生通过动手练习可以更深入地理解理论知识，切身体会数学的思想方法，体会学习知识的快乐，从而提高学习效率．教育理论家曾明确指出， 最有效的学习方法就是让学生在体验和创造的过程中学习 ．对于最大似然估计法的演练教学部分，教师从例题１出发，将问题延伸到两个未知参数的最大似然估计值（例２），启发学生通过类比的思想亲自动手演练，体会其中的异同．例２㊀设总体Ｘ服从正态分布ｆ（ｘ）＝１２πσｅ－（ｘ－μ）２２σ２，其中μ，σ２是未知参数，ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ为样本的一组观测值，求参数μ，σ２的最大似然估计值．解㊀似然函数为Ｌ（μ，σ２）＝ᵑｎｉ＝１１２πσｅ－（ｘｉ－μ）２２σ２＝（２πσ２）－ｎ２ｅ－１２σ２ðｎｉ＝１（ｘｉ－μ）２，取对数得对数似然函数为ｌｎＬ（μ，σ２）＝－ｎ２ｌｎ（２πσ２）－１２σ２ðｎｉ＝１（ｘｉ－μ）２，所以对数似然方程组为∂ｌｎＬ（μ，σ２）∂μ＝ðｎｉ＝１（ｘｉ－μ）σ２＝０，∂ｌｎＬ（μ，σ２）∂σ２＝－ｎ２σ２＋ðｎｉ＝１（ｘｉ－μ）２２σ４＝０，ìîíïïïïïï解得μ＾＝１ｎðｎｉ＝１ｘｉ＝ｘ－，σ＾２＝１ｎðｎｉ＝１（ｘｉ－ｘ－）２．㊀㊀㊀㊀㊀㊀学生通过动手演练，体会到了单参数和多参数最大似然估计的异同，不仅锻炼了学生独立思考的能力，还锤炼了学生的总结概括能力．上面例题解决了单参数和多参数的最大似然估计问题，那么未知参数函数的最大似然估计值又如何求解呢？给出如下例题：例３㊀设总体Ｘ服从正态分布ｆ（ｘ）＝１２πσｅ－（ｘ－μ）２２σ２，其中σ是已知参数，μ是未知参数，ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ为样本的一组观测值，求参数μ的函数ｇ（μ）＝１μ的最大似然估计值．教师先鼓励学生根据例题１的结果猜想本题的答案，学生一般都能给出结果，但不知道是否正确，教师可以给出如下最大似然估计的性质：最大似然估计的不变性㊀设参数θ的函数ｕ＝ｕ（θ），θɪΘ具有单值反函数，又假设θ＾是总体Ｘ的概率分布中参数θ的最大似然估计，则ｕ＾＝ｕ（θ＾）是ｕ（θ）的最大似然估计．解㊀由例１知，参数μ的最大似然估计值为μ＾＝ｘ－，根据最大似然估计的不变性，ｇ（μ）＝１μ的最大似然估计值为ｇ（μ＾）＝１μ＾＝１ｘ－．由单个未知参数最大似然估计的求解，类比到两个未知参数最大似然估计的求解，再进一步延伸到涉及最大似然估计不变性的未知参数函数的估计问题，以问题为导向，在层层递进的演练中，引导学生的创新思维，使学生更加深刻地理解理论知识．这一教学过程让学生亲自动手演练，锻炼了学生独立解决问题的能力，巩固了课堂教学效果，提高了教学效率．６．提高升华．为更好地理解新授知识，在教学活动的最后，教师应提出几个富有启发性的问题，引导学生探索新知，更深层次地启发学生的求知欲．关于最大似然估计法，教师可设计如下几个思考题：（１）如果似然函数没有驻点或者不可导，如何求解未知参数的最大似然估计值？（２）未知参数的极大似然估计值一定存在吗？（３）当总体未知参数的极大似然估计值存在时，是否唯一？学生有了一定的知识积累后，教师可启发学生积极主动地独立思考以上问题，争取自己给出结论．最后，教师结合学生的课堂反馈情况借助ＰＰＴ进一步解释其中的缘由，加深对最大似然原理的理解，分别给出如下两个例题．例４㊀设某种灯泡的使用寿命Ｘ的概率密度函数为ｆ（ｘ）＝２ｅ－２（ｘ－θ），ｘȡθ，０，ｘ＜θ，{其中θ＞０为未知参数，ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ为样本的一组观测值，求参数θ的最大似然估计值．解㊀似然函数为Ｌ（θ）＝２ｎｅ－２ðｎｉ＝１（ｘｉ－θ），ｘｉȡθ（ｉ＝１，２， ，ｎ），０，其他，{当ｘｉȡθ时，Ｌ（θ）＞０，取对数得对数似然函数为ｌｎＬ（θ）＝ｎｌｎ２－２ðｎｉ＝１（ｘｉ－θ），因为ｄｌｎＬ（θ）ｄθ＝２ｎ＞０，所以似然函数Ｌ（θ）关于参数θ是单调递增的函数，根据最大似然原理，当参数θ取到最大值时，似然函数Ｌ（θ）达到最大，而θ必须满足θɤｘｉ（ｉ＝１，２， ，ｎ），因此当θ取ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ中的最小值时，Ｌ（θ）取最大值，由此知θ的最大似然估计值为θ＾＝ｍｉｎ（ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ）．本题出现了对数似然函数无驻点的情况，ｄｌｎＬ（θ）ｄθ＝２ｎ＞０，教师要引导学生注意本题的特殊性，强调当似然函数无驻点时应用极大似然原理解决，对似然函数或对数似然函数求导数只是寻求最大似然估计值的一种策略，而不是必须的步骤．例５㊀设总体Ｘ的概率密度函数为ｆ（ｘ）＝１，θ－１２ɤｘɤθ＋１２，０，其他，{其中θ是未知参数，ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ是一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值．解㊀似然函数为Ｌ（θ）＝１，θ－１２ɤｘｉɤθ＋１２（ｉ＝１，２， ，ｎ），０，其他，{根据最大似然原理，当θ－１２ɤｘｉɤθ＋１２（ｉ＝１，２， ，ｎ），即ｘ（ｎ）－１２ɤθɤｘ（１）＋１２时(这里ｘ（１）＝ｍｉｎ（ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ），ｘ（ｎ）＝ｍａｘ（ｘ１，ｘ２， ，ｘｎ）)，似然函数最大为１，所以所有满足不等式ｘ（ｎ）－１２ɤθɤｘ（１）＋１２的估计值θ＾都可以作为θ的最大似然估计值．而当ｘ（ｎ）－１２＞ｘ（１）＋１２时，参数θ的最大似然估计值不存在．此例题说明总体未知参数的最大似然估计值不总是存在．教师在这一教学环节中引导学生开拓了思路，留给了学生充分的独立思考空间，体现了启发式教学的主动性．整个课堂教学始终贯彻启发式教学的思想，这种启发式教学模式既保留了传统教学中知识讲解的系统性，又贯彻了 以学生为中心 的教学理念，充分发掘了学生的积极思维，把课堂还给学生．三㊁结㊀论最大似然估计法具有一定的抽象性，因此教师为提高教学效果，应将启发式教学思想融入课堂活动的始终，充分调动学生学习的主动性，启发学生的积极思维，让学生亲自动手演练，真正参与课堂．这种教学设计不仅锻炼了学生独立思考问题的能力，而且培养了学生独立解决问题的能力，有助于学生的全面发展．ʌ参考文献ɔ［１］安军龙．试论启发式教学方法在离散数学教学中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（２０）：４．［２］高玲玲．启发式教学在数学教学的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（０３）：９８．［３］王新春，米翠兰，寒冰．启发式教学在概率统计课程中的贯彻［Ｊ］．数学学习与研究，２０１７（１４）：３．。
格致方法 定量研究系列 最大似然估计法 逻辑与实践
格致方法定量研究系列最大似然估计法逻辑与实践格致方法：深度与广度兼具的思辨方式在日常生活和学术研究中，我们经常会遇到各种问题，需要进行相关的分析和研究。
为了更好地解决这些问题，人们提出了各种不同的思维方法和研究手段，其中格致方法就是其中之一。
格致方法，作为一种深度和广度兼具的思辨方式，对于解决复杂问题、探讨学术主题等方面有着重要的意义。
1. 格致方法的概念和特点格致方法，最早由中国古代学者王阳明提出，是一种通过观察、比较、总结和思考的方式来深刻理解事物内在规律和本质特征的思辨方法。
它通过对事物的深入研究，从而能够使我们更准确地认识现实世界和深度挖掘问题的解决方案。
在实际应用中，格致方法具有几个显著的特点。
它能够深入思考问题，抓住问题的本质和关键，从而能够更全面地分析和解决问题。
它能够将复杂的问题分解为更小的部分，这有利于我们更系统地理解和处理问题。
格致方法还能够通过横向和纵向的比较，进行广泛的知识积累和信息横向对比，从而有利于我们更全面地汲取智慧。
2. 定量研究系列在格致方法中的应用在各种研究方法中，定量研究系列是一种常用的研究方法，它通过收集、整理、分析和解释大量的数据来揭示事物的内在规律和变化趋势。
在格致方法中，定量研究系列具有重要的作用。
通过定量研究系列，我们能够更全面地了解问题的发展过程和变化规律。
它能够帮助我们更深入地挖掘问题的本质和关键因素。
通过定量研究系列，我们能够更准确地预测事物的未来发展趋势，并提出相应的应对策略。
3. 最大似然估计法的逻辑与实践最大似然估计法是一种常用的参数估计方法，它通过观察到的数据来估计未知参数的值，从而使得观察到的数据在某种意义下出现的概率最大化。
在格致方法中，最大似然估计法具有重要的意义。
它能够在一定程度上减少了估计参数的偏差，增加了估计的准确性。
最大似然估计法还能够帮助我们深入理解问题的随机性和不确定性，从而有利于我们更全面地把握问题的本质。
通过最大似然估计法，我们能够更准确地分析问题的变化趋势和未来的发展方向，为问题的解决提供有效的参考和指导。
概率统计17 极大似然估计法 教学设计
极大似然估计法教学设计【教学题目】§4.2 极大似然估计法【教学目的】根据《教学大纲》要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定以下教学目标：明确极大似然估计法是在总体分布类型已知的情况下的一种常用的参数估计方法；理解极大似然估计的思想；掌握求极大似然估计值的一般步骤，会求常见分布参数的极大似然估计量。
【教学思想】1、极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一种重要的统计推断方法，统计推断思想不同于逻辑推断，它所基于的最基本的思想仍然是来源于我们现实生活中的一些很常见的推断法则，常以人们的思维习惯和经验常识为依据，推断时必然伴随着一定的犯错误的概率。
因此从逻辑上认起死理来，统计推断似乎因为不太严谨而被排斥在“科学推断”之外了。
但是在实际生活中，如果都要按照逻辑推断来思考，那么将会给你的生活带来很大的麻烦。
在教学过程中，要让学生逐步体会统计推断思想的利与弊。
2、极大似然估计法的“极大似然”的原始含义就是“看起来最像”的意思，故极大似然原理指的是：概率最大的事件最可能发生，或一次实验中已发生事件的概率应该最大。
3、“以教师为主导、以学生为主体”引导学生主动学习、思考，并通过实际问题案例的分析及应用，达到教会学生使用极大似然估计法来解决实际问题的目的，体现“授人以渔”。
【教学分析】1、本次课主要包括以下内容：（1）分析引例，说明极大似然估计的原理；（2）求极大似然估计值的一般步骤；（3）极大似然估计法的简单应用。
2、重难点分析：极大似然估计法是在总体分布类型已知的情况下的一种常用的参数估计方法，其原理是根据“概率最大的事件最可能发生；反之，在一次实验中，若某事件已发生，则其概率应该最大”的统计推断思想去估计未知参数。
极大似然估计值的求解是本次课的重点。
全概率公式的难点在于对极大似然思想原理的阐述。
在教学中常出现以下难点：一是原理复杂，导致教师难于讲解，学生理解困难；二是学生对方法机械地记忆，忽略了统计思想的建立与统计方法的掌握。
极大似然估计方法的直观教学设计
极大似然估计方法的直观教学设计刘倩【摘要】极大似然估计是求解参数点估计的一个重要方法。
该方法具有很多优良的统计性质，因而在各个领域中得到广泛的应用。
针对该方法计算复杂，学生理解较为困难的问题，对极大似然估计的教学方案进行了设计。
通过引入简单实例，讨论了极大似然估计所使用的极大似然原理及其求解方法，让学生形成对新方法的直观理解，在教学中取得了良好的效果。
%Maximum likelihood estimation is an important way to solve point estimation about the parameter.This method has been widely used in various fields with excellent statistical properties.Because the method is more complicated and some students have more difficulty to understand,gave a plan of teaching design of maximum likelihood estimation.By introducing a simple example,discussed the maximum likelihood principle and calculation methods of maximum likelihood estimation.Thus,students could form the intuitive understanding of the new method and achieve good teaching effect.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2015(000)006【总页数】4页(P55-58)【关键词】极大似然估计;极大似然原理;教学设计【作者】刘倩【作者单位】西安电子科技大学数学与统计学院，陕西西安 710071【正文语种】中文【中图分类】O211;G642.0生活中处处蕴含着统计思想，相比参数的矩估计方法，极大似然估计方法较难掌握．本文对极大似然估计方法的教学设计给出新的尝试，通过引入简单实例，讲授极大似然估计的基本思想，让学生形成对新方法的直观理解，在教学中取得了良好的效果．设总体的分布函数的形式已知，但是它的一个或者多个参数未知，借助于总体的一个样本估计总体未知参数的问题称为参数的点估计．矩估计是参数的一种点估计方法，它的思想是利用同阶、同类的样本矩代替相应的总体矩．因此，矩估计是基于替换思想建立起来的一种估计方法．这种方法原理直观，但是存在几个主要的缺点：只用到了总体矩，如果总体矩不存在，则无法求解，如柯西分布；没有用到总体的分布形式，所以总体分布包含的参数信息没有加以利用，损失了一部分有用的信息；矩估计基于大数定律，所以在大样本时才有较好的效果．因此在很多场合下，矩估计显得粗糙，有必要引入其它的参数估计方法．引例设袋子中有白球、黑球共计4个，但是不知道白球、黑球的具体数目．现在做一个随机试验：有放回地取球3次，每次取1个．假设在一次试验中，取到2个白球，1个黑球，用随机事件表示这个结果，试估计白球的个数．这是一个未知参数的点估计问题，即根据在一次试验中获得结果，猜测最有可能的取值．这个问题简单直观，提问之后，大多数学生都会回答白球最有可能是3个，或者一部分学生会回答白球最有可能是2个或3个．此时学生在不自觉中已经使用了某种统计思想，即最有可能的事情最容易发生，或者概率最大的事情最容易发生．进一步分析得到结论，即袋子中白球个数将直接影响随机事件发生的机率，目的是引导学生将这个统计问题转化为优化问题．解设为取到白球的概率，那么根据二项分布的概率模型当时，，；当时，，；当时，，．可见，随着的数值不同而不同，不妨设．当袋子白球个数为3时，在一次试验中，随机事件发生的概率是最大的．概率最大的事件在一次试验中是最有可能发生的，反之，一个随机试验如果有若干个可能的结果，而在一次随机试验中，某个结果出现了，则一般认为该试验条件对结果出现有利，也就是说，发生的概率是最大的．在引例中，既然事件发生了，那么发生的概率就是最大的，认为此时的值就是的估计值．因此，选择使得在一次试验就出现的事件的概率达到最大的参数值作为估计值是合理的，推测，满足．这个估计值看起来最像参数的真值．事实上，从直观上看，取的理由也是十分充分的．设想当时，摸到2个白球，1个黑球的可能性要比或者时大．这里使用的统计思想就是参数估计的依据，称为极大似然原理．一次试验就出现的事件有最大的概率．生活中，人们经常使用极大似然原理．如某位学生与一位猎人一起外出打猎，一只野兔从前方窜出，只听一声枪响，野兔应声倒下．由于只发一枪便打中，而猎人命中的概率一般大于这位学生命中的概率，因此这一枪最有可能是猎人射中的．这个例子所作的推断就体现了极大似然的基本思想．应用极大似然的思想进行参数估计，这个想法非常自然．在看待任何一次随机试验结果时，都可以认为是最有可能的事情发生了．观测到某事件发生了，所提出的统计模型中参数应该使得观测到的事件发生的可能性达到最大，进而转化成为函数的极值问题．定义[1-2] 设总体的概率函数为，形式已知，未知，且．假设为样本的一组样本观测值，令称为样本的似然函数．若存在估计值，满足，则称为参数的极大似然估计值，相应的统计量称为的极大似然估计量，统称为极大似然估计．极大似然估计最早是由德国数学家高斯在1821年提出，1912年由现代数理统计奠基人之一的英国统计学家Fisher重新提出[3]，并且证明了这个方法的一些性质．极大似然估计这个名称也是由Fisher给出的．极大似然估计简记为MLE （Maximum Likelihood Estimation）．对样本的似然函数定义作出几点说明：（1）似然函数与联合概率函数的区别与联系．样本的似然函数与样本的联合概率函数实质是相同的，只是看法不同而已．将看作由变量和构成的二元函数，那么固定，视为自变量，就是已经学习过的样本联合概率函数；而固定，视为自变量，就是样本似然函数．在已知样本观测值时，似然函数中的自变量是未知参数，因此把似然函数记为．（2）似然函数的直观含义．是英文“Likelihood”的第一个字母．“似然”是对“Likelihood”的一种较为贴近文言文的翻译，通俗地讲，就是可能性、看起来像的意思．因此，似然函数的直观意义就是当样本的一组观测值得到之后，在许多待选的总体参数中，哪个与此数据最匹配．这个过程类似于贝叶斯公式的推理，把观测值看作结果，把待估参数看作导致这个结果的可能的原因．现在已经有了结果，反过来推算各种原因发生的概率，自然选择似然程度最高的作为待估参数的估计，此时，看来最像是参数的真值．（3）注重统计思想的建立．求解似然函数的极大值点，可以应用微积分中一些技巧．由于似然函数具有连乘的形式，常常转化为求对数似然函数的极大值点，这是因为函数和在的同一点处达到各自的极大值．当对数似然函数关于可微时，通常可以通过求解对数似然方程得到的极大似然估计．值得注意的是，这种方法求解极大似然估计有时行不通，此时必须回到极大似然估计的原始定义，改用其它函数极值的判断方法．极值问题不过是数学上的处理技巧，要求学生不应拘泥于具体的数学解法，而重在建立极大似然估计的统计思想．利用极大似然估计的原始定义，判断似然函数的极大值点时，比值法[4]是常用的一种方法．这种方法适用于待估参数是离散情形，当待估参数取相邻两数值时，用所得似然函数的比值确定其极大值点．例[5] 鱼池中有许多条鱼，从中捕得1 200条鱼，做了红色的记号之后再放回池中，经过适当的时间之后，再从池中捕得1 000条鱼，数出其中有红色记号的鱼的数目，共有100条，试估计池中有多少条鱼．解采用极大似然法估计鱼池中的鱼数．为了估计鱼池中鱼的数目，更一般地，假设第一次捕出条鱼，第二次捕出条鱼，结果发现这条鱼中有条标有记号．根据这个信息，如何估计鱼池中鱼的数目．第二次捕出有记号的鱼的数目是一个离散型随机变量，而且服从超几何分布按照极大似然原理，在一次试验中就出现的事件，其概率达到最大．这里的一次试验是指在第二次捕鱼中发现条有记号的鱼，既然这个随机事件发生了，有理由相信这个事件发生的概率达到最大．因此，求使得概率达到最大，并把这个数值作为池中鱼的数目的估计值．显然，所得样本的似然函数为．由于，因此，当时，，而当时，．即当时，似然函数关于单调递增；而当时，关于单调递减，所以当等于时，似然函数达到最大，这样就把作为鱼池中鱼总数的估计量．在本例子中．许多学生在应用统计理论处理实际问题时，常常不知道选择何种统计方法进行数据分析，对统计分析的结果不知道如何合理地解释，这些都源于对统计理论的思想和原理没有真正地理解．概率论与数理统计作为工科的公共基础课程，在平时的教学过程中，教师应该避免复杂的数学推导，而更注重统计思想的传授，尝试以日常生活经验为基础，建立学生的统计直觉，以统计思想为桥梁为学生提炼一般的统计方法．[1] 盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计[M]．4版．北京：高等教育出版社，2008[2] 韦博成．参数统计教程[M]．北京：高等教育出版社，2006[3] 魏宗舒．概率论与数理统计教程[M]．2版．北京：高等教育出版社，2008[4] 李时．应用统计学[M]．北京：清华大学出版社，2005[5] 李贤平．概率论基础[M]．3版．北京：高等教育出版社，2010。
用极大似然法进行参数估计
北京工商大学《系统建模与辨识》课程上机实验报告（2016年秋季学期）专业名称：控制工程上机题目：用极大似然法进行参数估计专业班级：计研3班学生姓名：王瑶吴超学号：10011316259 10011316260 指导教师：刘翠玲2017 年 1 月一 实验目的通过实验掌握极大似然法在系统参数辨识中的原理和应用。
二 实验原理1 极大似然原理设有离散随机过程}{k V 与未知参数θ有关，假定已知概率分布密度)(θk V f 。
如果我们得到n 个独立的观测值,21,V V …n V ,，则可得分布密度)(1θV f ，)(2θV f ，…,)(θn V f 。
要求根据这些观测值来估计未知参数θ，估计的准则是观测值{}{k V }的出现概率为最大。
为此，定义一个似然函数)()()(),,,(2121θθθθn n V f V f V f V V V L = （1.1）上式的右边是n 个概率密度函数的连乘，似然函数L 是θ的函数。
如果L 达到极大值，}{k V 的出现概率为最大。
因此，极大似然法的实质就是求出使L 达到极大值的θ的估值∧θ。
为了便于求∧θ，对式（1.1）等号两边取对数，则把连乘变成连加，即 ∑==ni iV f L 1)(ln ln θ （1.2）由于对数函数是单调递增函数，当L 取极大值时，lnL 也同时取极大值。
求式（1.2）对θ的偏导数，令偏导数为0，可得ln =∂∂θL（1.3）解上式可得θ的极大似然估计ML ∧θ。
2 系统参数的极大似然估计Newton-Raphson 法实际上就是一种递推算法，可以用于在线辨识。
不过它是一种依每L 次观测数据递推一次的算法，现在我们讨论的是每观测一次数据就递推计算一次参数估计值得算法。
本质上说，它只是一种近似的极大似然法。
设系统的差分方程为)()()()()(11k k u z b k y z a ξ+=-- （2.1）式中111()1...nn a z a z a z ---=+++1101()...nn b z b b z b z---=+++因为)(k ξ是相关随机向量，故（2.1）可写成)()()()()()(111k z c k u z b k y z a ε---+= （2.2）式中)()()(1k k z c ξε=- （2.3）nn z c z c z c ---+++= 1111)( （2.4）)(k ε是均值为0的高斯分布白噪声序列。
极大似然估计法之欧阳数创编
《几率论与数理统计》典范教案教学内容：极年夜似然估计法教学目的：通过本节内容的教学，使学生：1、明确极年夜似然估计法是在总体散布类型已知的情况下的一种经常使用的参数估计办法；2、理解极年夜似然思想；3、掌握求极年夜似然估计值的一般步调，会求罕见散布参数的极年夜似然估计值．教学重点：1、对极年夜似然思想论述；2、极年夜似然估计值的求解．教学难点：对不克不及通过求导办法获得极年夜似然估计的值简直定．教学时数：２学时．教学过程：引例：某位同学与一位猎人一起外出狩猎，一只野兔畴前方窜过．只听一声枪响，野兔应声到下，如果要你推测，这一发命中的子弹是谁打的？你就会想，只发一枪便打中，由于猎人命中的几率一般年夜于这位同学命中的几率，看来这一枪是猎人射中的．这个例子所作的推断就体现了极年夜似然法的基本思想．一、极年夜似然思想一般地说，事件A与参数Θ∈θ有关，θ取值不合，则)(AP也不合．若A产生了，则认为此时的θ值就是θ的估计值．这就是极年夜似然思想．看一例子：例１、设袋中装有许多黑、白球，不合颜色球的数量比为3:1，试设计一种办法，估计任取一球为黑球的几率P．阐发：易知P的值无非是1/4或3/4．为估计P 的值，现从袋中有放回地任取3只球，用X 暗示其中的黑球数，则),3(~P b X ．按极年夜似然估计思想，对P 的取值进行估计．解：对P 的不合取值，X 取3,2,1,0=k 的几率可列表如下: X ０ １ ２ ３41=P 64276427649641 43=P 64164964276427故根据极年夜似然思想即知：⎪⎩⎪⎨⎧===3,2,431,0,41ˆk k P ． 在上面的例子中，P 是散布中的参数，它只能取两个值：1/4或3/4，需要通过抽样来决定散布中参数究竟是1/4还是3/4．在给定了样本观测值后去计算该样本呈现的几率，这一几率依赖于P 的值，为此需要用1/4、3/4辨别去计算此几率，在相比较较之下，哪个几率年夜，则P 就最象那个．二、似然函数与极年夜似然估计1、离散散布场合：设总体X 是离散型随机变量，其几率函数为);(θx p ，其中θ是未知参数．设n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本．n X X X ,,,21 的联合几率函数为∏=n i i X p 1);(θ，这里，θ是常量，n X X X ,,,21 是变量．若我们已知样本取的值是n x x x ,,,21 ，则事件},,,{2211n n x X x X x X === 产生的几率为∏=ni ix p 1);(θ．这一几率随θ的值而变更．从直观上来看，既然样本值n x x x ,,,21 呈现了，它们呈现的几率相对来说应比较年夜，应使∏=ni i x p 1);(θ取比较年夜的值．换句话说，θ应使样本值n x x x ,,,21 的呈现具有最年夜的几率．将上式看作θ的函数，并用)(θL 暗示，就有：∏===ni i n x p x x x L L 121);();,,,()(θθθ（１）称)(θL 为似然函数．极年夜似然估计法就是在参数θ的可能取值规模Θ内，选取使)(θL 达到最年夜的参数值θˆ，作为参数θ的估计值．即取θ，使);,,,(max )ˆ;,,,()(2121θθθθn n x x x L x x x L L Θ∈== （２） 因此，求总体参数θ的极年夜似然估计值的问题就是求似然函数)(θL 的最年夜值问题．这可通过解下面的方程0)(=θθd dL （３） 来解决．因为L ln 是L 的增函数，所以L ln 与L 在θ的同一值处取得最年夜值．我们称)(ln )(θθL l =为对数似然函数．因此，常将方程（３）写成： 0)(ln =θθd L d （４） 方程（４）称为似然方程．解方程（３）或（４）获得的θˆ就是参数θ的极年夜似然估计值．如果方程（４）有唯一解，又能验证它是一个极年夜值点，则它必是所求的极年夜似然估计值．有时，直接用（４）式行欠亨，这时必须回到原始界说（２）进行求解．２、连续散布场合：设总体X 是连续离散型随机变量，其几率密度函数为);(θx f ，若取得样本观察值为n x x x ,,,21 ，则因为随机点),,,(21n X X X 取值为),,,(21n x x x 时联合密度函数值为∏=ni i x f 1);(θ．所以，按极年夜似然法，应选择θ的值使此几率达到最年夜．我们取似然函数为∏==ni i x f L 1);()(θθ，再按前述办法求参数θ的极年夜似然估计值．三、求极年夜似然估计的办法1、可通过求导获得极年夜似然估计：当函数关于参数可导时，常可通过求导办法来获得似然函数极年夜值对应的参数值．例２、设某工序生产的产品的不合格率为p ，抽n 个产品作检验，发明有T 个不合格，试求p 的极年夜似然估计．阐发：设X 是抽查一个产品时的不合格品个数，则X 从命参数为p 的二点散布),1(p b ．抽查n 个产品，则得样本n X X X ,,,21 ，其观察值为n x x x ,,,21 ，假如样本有T 个不合格，即暗示n x x x ,,,21 中有T 个取值为１，T n -个取值为０．按离散散布场合办法，求p 的极年夜似然估计．解：（１）写出似然函数：∏=--=n i x x i i P p p L 11)1()(（２）对)(p L 取对数，得对数似然函数)(p l ： （３）由于)(p l 对p 的导数存在，故将)(p l 对p 求导，令其为０，得似然方程：0)1(11)111(1)(11=-+--=-++--=∑∑==n i i n i i x p p p n p p x p n dp p dl （４）解似然方程得：x x n p n i i ==∑=11ˆ （５）经验证，在x p =ˆ时，0)(22<dpp l d ，这标明x p=ˆ可使似然函数达到最年夜 （６）上述过程对任一样本观测值都成立，故用样本取代观察值便得p 的极年夜似然估计为：X p=ˆ 将观察值代入，可得p 的极年夜似然估计值为：n T x p ==ˆ，其中∑==ni i x T 1．若总体X 的散布中含有多个未知参数k θθθ,,,21 时，似然函数L 是这些参数的多元函数),,(1k L θθ ．取代方程（３），我们有方程组),,2,1(0)(ln k i L i==∂∂θ，由这个方程组解得k θθθˆ,,ˆ,ˆ21 辨别是参数k θθθ,,,21 的极年夜似然估计值．例３、设某机床加工的轴的直径与图纸规定的中心尺寸的偏差从命),(2σμN ，其中2,σμ未知．为估计2,σμ，从中随机抽取100=n 根轴，测得其偏差为10021,,,x x x ．试求2,σμ的极年夜似然估计．阐发：显然，该问题是求解含有多个（两个）未知参数的极年夜似然估计问题．通过建立关于未知参数2,σμ的似然方程组，从而进行求解．解：（１）写出似然函数：（２）写出对数似然函数：（３）将),(2σμl 辨别对2σμ、求偏导，并令它们都为０，得似然方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=∂∂=-=∂∂∑∑==0)(212),(0)(1),(1242221222n i i ni i x n l x l μσσσσμμσμσμ （４）解似然方程组得：x =μˆ，∑=-=n i i x x n 122)(1ˆσ （５）经验证2ˆ,ˆσμ使),(2σμl 达到极年夜， （６）上述过程对一切样本观察值成立，故用样本取代观察值，便得2,σμ的极年夜似然估计辨别为：X =μˆ，2122)(1ˆn n i i S X X n =-=∑=σ． ２、不成通过求导办法获得极年夜似然估计：当似然函数的非零区域与未知参数有关时，通常无法通过解似然方程来获得参数的极年夜似然估计，这时可从界说（２）出发直接求)(θL 的极年夜值点．例4、设总体X 从命均匀散布),0(θU ，从中获得容量为n 的样本n X X X ,,,21 ，其观测值为n x x x ,,,21 ，试求θ的极年夜似然估计．阐发：当写出其似然函数)(θL 时，我们会发明)(θL 的非零区域与θ有关，因而无法用求导办法来获得θ的极年夜似然估计，从而转向界说（２）直接求)(θL 的极年夜值．解：写出似然函数： 为使)(θL 达到极年夜，就必须使θ尽可能小，可是θ不克不及小于)(n x ，因而θ取)(n x 时使)(θL 达到极年夜，故θ的极年夜似然估计为：)(ˆn X =θ． 进一步，可讨论估计θˆ的无偏性： 由于总体),0(~θU X ，其密度函数与散布函数辨别为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,00,1)(θθx x p ，⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=θθθx x x x x F ,10,0,0)(，从而)(ˆn X =θ的几率密度函数为：θθθ<<==--y ny y p y F n p n n n 0,)()]([11ˆ这说明θ的极年夜似然估计)(ˆn X =θ不是θ的无偏估计，但对θˆ作一修正可得θ的无偏估计为：)(11ˆn X nn +=θ． 通过修正获得未知参数的无偏估计，这是一种经常使用的办法．在二次世界年夜战中，从战场上缴获的纳粹德国的枪支上都有一个编号，对最年夜编号作一修正便获得了德国生产能力的无偏估计．综上，可得求极年夜似然估计值的一般步调．四、求极年夜似然估计的一般步调1、由总体散布导出样本的联合几率函数（或联合密度）；2、把样本联合几率函数（或联合密度）中自变量看成已知常数，而把参数θ看作自变量，获得似然函数)(θL ；3、求似然函数)(θL 的最年夜值点（常转化为求对数似然函数)(θl 的最年夜值点）；4、在最年夜值点的表达式中，用样本值代入就得参数的极年夜似然估计值．五、极年夜似然估计的不变性求未知参数θ的某种函数)(θg 的极年夜似然估计可用极年夜似然估计的不变原则，证明从略．定理（不变原则）设θˆ是θ的极年夜似然估计，)(θg 是θ的连续函数，则)(θg 的极年夜似然估计为)ˆ(θg ．例5、设某元件失效时间从命参数为λ的指数散布，其密度函数为0,);(≥=-x e x f x λλλ，λ未知．现从中抽取了n 个元件测得其失效时间为n x x x ,,,21 ，试求λ及平均寿命的极年夜似然估计．阐发：可先求λ的极年夜似然估计，由于元件的平均寿命即为X 的期望值，在指数散布场合，有λ1)(=X E ，它是λ的函数，故可用极年夜似然估计的不变原则，求其极年夜似然估计．解：（１）写出似然函数：∑===-=-∏n i i i x n n i x e eL 11)(λλλλλ（２）取对数得对数似然函数：∑=-=ni i x n l 1ln )(λλλ（３）将)(λl 对λ求导得似然方程为：0)(1=-=∑=ni i x n d dl λλλ （４）解似然方程得：xxnn i i 1ˆ1==∑=λ 经验证，λˆ能使)(λl 达到最年夜，由于上述过程对一切样本观察值成立，故λ的极年夜似然估计为：X 1ˆ=λ；根据极年夜似然估计的不变原则，元件的平均寿命的极年夜似然估计为：X X E ==λˆ1)(． 五、小结1、极年夜似然估计的思想；2、求解未知参数极年夜似然估计的一般步调；3、极年夜似然估计的不变原则．五、作业见参考文献1的第278页第4，5，6页．参考文献：1、苏均和主编：几率论与数理统计，上海财经年夜学出版社．1999年1版．2、茆诗松等编著：几率论与数理统计，中国统计出版社．1999年1版．3、魏振军编：几率论与数理统计三十三讲，中国统计出版社．2000年1版．4、唐生强主编：几率论与数理统计温习指导，科学出版社．1999年1版．。
极大似然估计的一点思考
极大似然估计的一点思考摘要：极大似然估计是《数理统计》中一种重要的估计方法，本文通过三个角度：极大似然估计的思想；离散状态的极大似然估计；连续状态的极大似然估计揭示极大似然估计的本质及其中隐含的人文和哲学思考。
关键词：极大似然估计;频率学派;贝叶斯学派极大似然估计是《数理统计》中最重要的一个估计方法，它由高斯在1821年提出，但在一个世纪后，英国统计学家费歇于1922年才把这个思想发表在《关于数理统计的数学基础》上，从而极大似然估计的思想方法才真正诞生。
要理解参数的极大似然估计方法，从三个角度入手就可以，一是极大似然估计的思想；二是离散状态的极大似然估计；三是连续状态的极大似然估计。
下面通过引例来介绍这种极大似然估计的思想。
引例1.某位同学与一位猎人一起外出打猎。
一只野兔从前方窜过，只听一声枪响, 野兔应声倒下。
如果让你推测是谁打中的, 你会如何想呢？一般会想:只一枪就打中了,而猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率，这一枪应是猎人射中的。
引例2设袋中有黑球和白球共4个,今有放回抽球3次, 结果得到两次白球, 试问如何估计袋中白球的个数?解：设袋中有白球数个，则抽到白球的概率为。
记为抽到的白球数，则。
针对袋子中不同的白球数量，可以计算抽到白球的概率见表一。
表一：实验结果抽到白球数针对有放回抽球3次, 结果得到两次白球的情况，袋中白球数估计是多少？由表一我们估计出来袋中白球数是3。
通过两个引例分析进行估计的想法：最有可能的事情最容易发生，或者说概率最大的事情最有可能发生，这就是极大似然估计法的基本思想。
人们在生活中自觉的运用了这种思想，所以说《数理统计》，更一般地，《统计学》与人类的行为有关 ,是模拟人类思维的行为方式的科学,这一点有别于其它的数学学科，这也是有些同学难于理解的地方。
进而谈到从极大似然思想的萌芽到成熟历经百年之久的，让学生认识到科学探索的道路的曲折性，任何发现、任何进步都需要坚持不懈的努力。
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中图分类号 ： Ｇ ６ ４ ２ ． ４
文献标识码 ： Ｃ
ＤＯＩ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ２ — ８ １ ８ １ ． ２ ０ １ ４ ． １ ９ ． １ ０ ９
Ｎｏ ． １ ０
Ｔ Ｉ Ｍ Ｅ Ｅ ＤＵ Ｃ Ａ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ
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极 大 似 然 估 计 的教 学 设 计 之 我 见
邹海雷 Байду номын сангаас成
摘要： 本 文按 照“ 将 学习的主动权还 给学生” 的指 导思想 ， 提 出极 大似然估计这 节课 的课 堂教 学过程设计 。
６ 解决疑 问， 实验 演 示 最后通 过板 书进行详 细推 导 ， 解决池 中鱼 的数 目的估计 问 题， 便 于学生理解 ， 在这个估计 问题 中， 关键是利用原 理找 出看起
来“ 最像” 的那个 数 目Ｎ ， 从而 做 出估计 ， 让学生深 刻体会 估计 的 思想 。最后 ， 通 过一个实验模 拟 ， 丰富课堂教学手段 ， 加深知识 的 直观 印象 ， 进 而达到课堂 内容前后呼应 的整体 效果 ， 使学生掌握
现在， 高校里 的大 学生经常上课不听 ， 一上课就开始刷微博 ， 玩微信 ， 看微 电影 等等 ， 而且这一 现象大有愈演愈烈之势 。对此 ， 很 多学校也 出台 了好 多的对策 ， 比如 ， 有 学校规定进 入教室 就上 交 手机 ， 有些规定课 堂不准看手机 ， 否则 老师就扣其平时成绩分 ， 等等诸 如此 类 的手段 ， 但 往往引起 学生反感 ， 而且 效果甚微 。其 实， 大学 的学 生变 成现在这样 ， 任课 老师也需 要担负责任 ， 好 多时 候， 老师们也 没把心思花在 课堂上 ， 上课是 来去匆 匆 ， 只是 应付 ， 而把更 多的精力都 花在 了看 的见成绩 的科 研上 ， 不是 写论文 ， 就 是 申请课题 ， 因为这才 是直接评价 高校教师 的尺度 ， 只有做 好了 科研， 才 能既有名 、 又有利 。而教学呢 ， 说实话 ， 真没人会关心你 ， 只要不 迟到 ， 不早退 ， 就可 以了 ， 至于课堂上 学生有没 反应 ， 有没 互动， 来 了几个 学生 ， 都在 干些 什么 ， 压根就没关 心过。这就是大 学里 的普遍 现象 。所以 ， 要让学生 用心学 习 ， 首先 是教师应 该用 心教学 ， 因此 ， 课前 的教学设计 就很重要 ， 而概 率论 与数理统计是 高校理工科专业 的一 门公 共基础课 ， 这 门课程 和其他数学分支有 着 明显 的不同 ， 有着独 具特色 的随机性思维 ， 因而学生在学 习和 理解上就会有很 大的困难 ， 这就要求教 师必须更好 的运用教学方 法， 让学生 能轻松地掌 握这 门课程 的学 习。下面 ， 以极 大似然估 计这一节为例 ， 来谈谈教学过程 的设计 。结合 教学班级的学情分 析， 将本 节课 的教学过程分 以下 ７ 个环节完成 。
方法 ， 学而有获 。 ７ 布置作业 。 联 系前沿
通过一段 自拍 的西湖景点“ 花港 观鱼 ” 的视频 画面 ， 吸引学生 的 眼球 ， 迅 速让学 生进入课堂 。然后再 自然地将 问题 抛给学 生 ， 这里到底有 多少 条鱼 呢？从而引起学生 的思考 ， 激发学生 的求知 欲 。引 出本 节课 的主题 ： 极大似然估 计。 ２ 背景介绍 ， 名人简介 交代方 法提 出的历 史背景 ， 中间巧妙插入 ３ 位伟 大数学家牛 顿、 阿基 米德 、 高斯 的介绍 ， 而极 大似然估 计正 是 由高斯 首先在 １ ８ ２ １ 年 的 时候提 出来 的。通过 这些 数学史 料 、 名人 趣事来 吸 引 学生 的注意 ， 引起 学生的兴趣 ， 避 免数学课 堂的枯燥乏 味 。从而 提高学生 的数学 素养。 ３ 创设情境 。 思考问题 介 绍估计 的思想 ， 学好统计 的关键 就是掌握 其思想 ， 通过一 个具体 的 日 常 生活 中的情境 ， 例如 ： 某位 同学 与一位猎 人一起外 出打猎 ， 一只野兔从前方窜 过．只听一声枪响 ， 野兔 应声倒下 ， 如 果要你推测 ， 这一发命 中的子弹是谁 打的？这里请一位学生来 回 答， 引起 学生 的独 立思考 ， 鼓励学 生给 出问题 的想法 。让学生 明 白统计 中的很多思想就是直接来源于我们 的生活实际 ， 非 常的简 单， 朴实 。 ４ 原理介绍 ， 游戏互动 在 课堂 中， 提倡“ 把学习 的主动权 还给学生 ”的指导 思想 ， 通 过 自主探究 ， 相互协作 ， 一起参与知识 的发 生 、 发展 、 形成的过程 ， 使学 生掌握知识 ， 发展思维能 力 。根据 这一思想 ， 和学 生一起做 个 小游戏 ： 拿 出两 袋糖 ， 甲袋 ９ ９ 红色 １ 绿色， 乙袋 １ 红色 ９ ９ 绿色 ， 随机取 出一 袋 ， 请一位 同学 上来 抽取一颗 ， 若 发现是红色 ， 请学 生 猜这 是哪个袋 子？然后 ， 再 向学生解释 ， 做 出这个估计 的依据就 是极大 似然估计的原理 。让学生初步 明白这个原理 的用法 ， 让 每
１ 布 疑激趣 。 引入 新 课
个学生都 参与其 中， 并运用诙谐幽 默的语句 （ １ ３ 网络热词 ） ， 结合 自己的表情 、 语气及 肢体语 言 ， 和学生形成互动 ， 进而创造 出活跃 的课堂气氛 ， 让欢快 的笑声充满数学课 堂。 ５ 推广 应用 ， 参数估计 下面我们将这方法用到未知参数 的点估计 中， 先看一个简单 的例 子 ： 例１ ： 假定一个 盒子里有 白球 、 红球 共 ３ 个， 但不知 白球 、 红球各有 几个 。如果 有放 回地从盒 子里抽 ３ 个球 ， 发现第 １ 个红 的， 第２ 个 白的 ， 第３ 个是 红的 。问： 如何估计盒 中红球所 占的 比 例？ 这 个问题请一位 学生来做 ， 逐层 引导 ， 关键之 处进行讲解点 拨， 增强课 堂互动 ， 培养学生独 立思考 问题 以及 大胆 回答 问题 的 能力 。对 于学生 的回答 ， 及时地给予评 价 ， 适时地鼓励学生 ， 让学 生深刻体会估计 的思想 ， 学会利用原理来找出看起来最像 的。