解析几何中的基本公式

解析几何中的基本公式

解析几何学（analytic geometry ）是借助坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，亦叫坐标几何。由法国数学家笛卡儿和费马等人创建，其思想来源可上溯到公元前两千年。

两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则2

12212)()(y y x x AB -+-=

平行线间距离：若0C By Ax :l ,

0C By Ax :l 2211=++=++

则：2221B A C C d +-=

注意点：x ，y 对应项系数应相等。 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++οο

则P 到l 的距离为：

2

2B A C

By Ax d +++=

οο

直线与圆锥曲线相交的弦长公式：⎩

⎨

⎧=+=0)y ,x (F b

kx y

消y ：02

=++c bx ax ，务必注意.0>∆ 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：

2

122))(1(x x k AB -+=

若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ，

则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

+=+=222121y y y x x x 变形后：

y

y y y x x x x --=λ--=

λ21

21或

若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则l1到l2的角为),0(,π∈αα

适用范围：k1，k2都存在且k1k2≠－1 ，

21121tan k k k k +-=

α

若l1与l2的夹角为θ，则=θtan 2

12

11k k k k +-，]2,0(π∈θ

注意：（1）l1到l2的角，指从l1按逆时针方向旋转到l2所成的角，范围),0(π l1到l2的夹角：指 l1、l2相交所成的锐角或直角。

（2）l1⊥l2时，夹角、到角=2π

。

（3）当l1与l2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

（1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→

→，，夹角b a ；

（3）直线l 与平面

]

20[π

∈ββα，，的夹角； （4）l1与l2的夹角为θ，∈

θ]

20[π

，，其中l1//l2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l1到l2的角)0(π∈θθ，， 直线的倾斜角α与斜率k 的关系

每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。 若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α。 直线l1与直线l2的的平行与垂直

（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2⇔ k1=k2 ②l1⊥l2⇔ k1k2=－1

（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l

若A1、A2、B1、B2都不为零

l1//l2⇔21

212

1C C B B A A ≠=； l1⊥l2⇔ A1A2+B1B2=0；

l1与l2相交⇔2

121B B

A A ≠ l1与l2重合⇔21

2121C C B B A A ==；

注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与≠0的情况。

名称 方程 注意点

斜截式： y=kx+b 应分①斜率不存在 ②斜率存在

点斜式： )(οοx x k y y -=- （1）斜率不存在：οx x =

（2）斜率存在时为)(οοx x k y y -=-

两点式： 1

21

121x x x x y y y y --=

--

截距式： 1=+b y a x 其中l 交x 轴于)0,(a ，交y 轴于)

,0(b 当直线l 在坐标轴上，截距相等时应分：

（1）截距=0 设y=kx

（2）截距=0≠a 设1

=+a y a x 即x+y=a

一般式： 0=++C By Ax （其中A 、B 不同时为零）

10、确定圆需三个独立的条件

圆的方程（1）标准方程：

2

2

2)

(

)

(r

b

y

a

x=

-

+

-，半径

圆心，-

-

-

-r

b

a)

,

(

。

（2）一般方程：

2

2=

+

+

+

+F

Ey

Dx

y

x，（)0

4

2

2>

-

+F

E

D

,

)

2

,

2

(圆心

-

-

-

-

E

D

2

4

2

2F

E

D

r

-

+

=

11、直线

=

+

+C

By

Ax与圆2

2

2)

(

)

(r

b

y

a

x =

-

+

-的位置关系有三种若

2

2B

A

C

Bb

Aa

d

+

+

+

=

，

<

∆

⇔

⇔

>相离

r

d

=

∆

⇔

⇔

=相切

r

d

>

∆

⇔

⇔

<相交

r

d

12、两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，

d

O

O=

2

1

条公切线

外离4

2

1

⇔

⇔

+

>r

r

d

条公切线

外切3

2

1

⇔

⇔

+

=r

r

d

条公切线

相交2

2

1

2

1

⇔

⇔

+

<

<

-r

r

d

r

r

条公切线

内切1

2

1

⇔

⇔

-

=r

r

d

无公切线

内含⇔

⇔

-

<

<

2

1

0r

r

d

外离外切