2012北京初三二模数学代几何综合

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2012年北京各区县二模试题分类几何综合解析版

2012年北京各区县二模试题分类几何综合解析版2012年北京市中考数学二模分类汇编——几何综合与中点有关的问题1.(昌平24) 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 别是CE 、CF 的中点. （1）求证：△DMN 是等边三角形；（2）连接EF ，Q 是EF 中点，CP ⊥EF 于点P .求证：DP ＝DQ . 同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.24. 证明：（1）取AC 的中点G ，连接NG 、DG .NME F C∴DG ＝21BC ，DG ∥BC ；△NGC 是等边三角形.∴NG = NC CM . …………………2分 ∵∠1 + ∠2 = 180º，∴∠NGD + ∠2 = 240º.∵∠2 + ∠3 = 240º，∴∠NGD =∠3.∴△NGD≌△NCM . ……………………3分 ∴ND = NM ，∠GND =∠CNM .∴∠DNM =∠GNC = 60º.∴△DMN 是等边三角形.………………………………4分（2）连接QN 、PM .∴QN=21CE= PM . ……………………5分Rt △CPE 中，PM =EM ，∴∠4= ∠5.∵MN ∥EF ，∴∠5= ∠6，∠7=∠8.67854P Q N M E C C 321G NM E F∵NQ ∥CE ，∴∠7= ∠4.∴∠6= ∠8.∴∠QND = ∠PMD . ………………………6分∴△QND ≌△PMD .∴DQ = DP . ……………………7分2.（丰台24）在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当AB AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1图224．解：（1）DE =DF ．……1分A E F PB DC E B A DF P（2）DE =DF 不发生改变． (2)分理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ．∵D 为BC 的中点，∴BP DN BP DN //,21=．……3分∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 21==． ∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠．…4分同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠．∴四边形MDNP 为平行四边形．……5分∴67∠=∠ ∵,41∠=∠∴35∠=∠． ∴EMD DNF ∠=∠．……6分∴△EMD ≌△DNF ． ∴DE =DF ．……7分3.(海淀25.)在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BM CE 的值, 并证明你的结论;（2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合,7654321N M C D B P F E ABN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立,若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.图 1 图 2 图325. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM 2 证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ，∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°．∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°．……………1分∵ E 为CF , F A ( M ) D N D A C E N M B F E C BF N M E C B∴ GF =DG =11.22DF CD = ∴ 1.2GE CD = ∵ N 为MD (AD )的中点，∴ AN =ND =11.22AD CD = ∴ GE =AN ,NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ………2分∴ △NGE ≌△BAN ．∴ ∠1=∠2.∵ ∠2+∠3=90°，∴ ∠1+∠3=90°．∴ ∠BNE =90°.∴ BN ⊥NE ． ……………………………3分∵ ∠CDF =90°, CD =DF ,可得 ∠F =∠FCD =45°， 2.CF CD =. 于是122CF CE CE CE BM BA CD CD ==== …………4分（2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ，交CD 于点H ．H B C E M∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CG．∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN.∵N为MD的中点，∴MN=DN．∴△BMN≌△GDN．∴MB=DG，BN=GN.∵BN=NE，∴BN=NE=GN.∴∠BEG=90°． (5)分∵EH⊥CE，∴∠CEH =90°．∴∠BEG=∠CEH．∴∠BEC=∠GEH．由（1）得∠DCF =45°．∴∠CHE=∠HCE =45°．∴EC=EH,∠EHG =135°．∵∠ECB=∠DCB+∠HCE =135°，∴∠ECB =∠EHG．∴△ECB≌△EHG．∴EB=EG，CB=HG．∵BN=NG，∴BN⊥NE. ……………………6分∵BM =DG= HG-HD= BC-HD =CD-2CE，∴2. ……………………7分CEBM不一定等于（3）BN⊥NE；CEBM2. ……………………8分密云25．已知菱形ABCD的边长为1，60ADC∠=o，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P．①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA 边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11DM DN+的值．25．（本小题满分8分）证明：（1）如图1：分别连结OE 、OF ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD DC CB ==，AC BD ⊥，DO BO =，且112302ADC ∠=∠=∠=o ． ∴在Rt △AOD 中，有12AO AD =．又 E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，∴1122EO CB DC OF ===．∴AO EO FO ==．∴点O 即为等边△AEF 的外心． ------------------------- 3分（2）①猜想：△AEF 的外心P 落在对角线DB 所在的直线上．证明：如图2：分别连结PE 、PA ，作PQ DC ⊥于Q ，PH AD⊥于H ．则90PQE PHD ∠=∠=o∵60ADC ∠=o， ∴在四边形QDHP 中，120QPH ∠=o．又 ∵点P 是等边△AEF 的外心，60EFA ∠=o，∴PE PA =，2260120EPA EFA ∠=∠=⨯=oo． ∴αβ∠=∠．∴△PQE ≌△PHA （AAS ）．∴PQ=PH ． ∴点P 在ADC ∠的角平分线上．∵菱形ABCD 的对角线DB 平分ADC ∠， ∴ 点P 落在对角线DB 所在直线上--- 6分 ②112DM DN+=． ---------------------- 8分旋转变换在几何证明应用延庆24. （1）如图1：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=60°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系，请直接写出结果；（2）如图2：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=45°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系并证明你的结论；（3）如图3：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB 与BD+CD 数量关系(用含β的式子表示)。

2012北京中考二模数学简单几何分类

门头沟2012.63. 下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是昌平2012.62．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是AB C D朝阳2012.64．如图，直线m ∥n ，直角三角板ABC 的顶点A 在直线m 上，则∠α等于A. 19°B. 38°C. 42°D. 52°平谷2012.63．如图，□ABCD 的一个外角∠DCE =70°, 则∠A 的度数是 A ．110° B ．70° C ．60° D ．120°房山2012.65．如图所示，直线a ∥b ，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A 、点B ，AM ⊥b ，垂足为点M ，若∠1=58°，则∠2的度数是（）．A .22B .30C .32D .42Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．mn BE第5题图2a bc MB A 1平谷2012.65．正八边形的每个内角为A．120°B．135°C．140°D．144°门头沟2012.64. 五边形的内角和是A.360°B.540°C.720°D.900°石景山2012.66．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8西城2012.67．若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为A . 4 B. 6 C. 8 D. 10东城2012.65. 如果一个多边形的内角和是其外角和的2倍，那么这个多边形是A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形房山2012.63．若一个正多边形的每个内角都为135°，则这个正多边形的边数是（）.A.9B.8C.7D.6昌平2012.66．如图，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10，则零件的内孔直径AB长为A．30 B．20 C．10 D．5大兴2012.64．如图，在△ABC中，D、Ｅ分别是AB、AC的中点，若DE=5，则BC为A．2.5 B．10 C．12 D．25丰台2012.6EDCBA 3．如图，在△ABC 中， DE ∥BC ，如果AD =1， BD =2，那么DEBC的值为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．19西城2012.64．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DE ∥BC 交AC 于点E 若35AD DB =，AE =6，则EC 的长为 A . 8 B. 10 C. 12 D. 16门头沟2012.610. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，若32=BD AD ，AE =3，则AC = .东城2012.67. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，DEF △的周长为1，则BCF △的周长为A ．1B ．2C ．3D ．4顺义2012.610．如图，□ABCD 中，E 是边BC 上一点，AE 交BD 于F ，若2BE =，3EC =，则BF DF的值为．昌平2012.6 11．已知一个菱形的周长是20，两条对角线的长的比是4∶3，则这个菱形的面积是．西城2012.610．若菱形ABCD 的周长为8，∠BAD =60°，则BD = ．石景山2012.63．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120︒ 的F EDCBAEDCBA菱形，剪口与折痕所成的角α 的度数应为（）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒大兴7．中，AB ∥DC ，AD=DC=CB ，若∠ABD ＝25°，则∠BAD 的大小是A ．30°B ．50°C ．45°D ．60°平谷2012.619．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A =150°∠D =90°，AD =4，AB =6，CD =34．求四边形ABCD 的周长．延庆2012.6 17．（本题满分5分）已知：如图，在四边形A B C D 中，60=∠C ，135=∠DAB ,8=BC ，62=AB求DC 的长．石景山2012.619．如图，梯形纸片ABCD 中，AD //BC ，∠B =30º．折叠纸片使BC 经过点A ，点B 落在点B ’处，EF 是折痕，且BE =EF =4，AF ∥CD ．（1）求∠BAF 的度数；（2）当梯形的上底AD 多长时，线段DF 恰为该梯形的高？解：顺义2012.619．如图，在矩形ABCD 中，E 是边CB 延长DCBA AB DE B '第3题图 FED CBA线上的点，且EB=AB ，DE 与AB 相交于点F ， AD=2，CD=1，求AE 及DF 的长．燕山2012.619. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=CD=BC ，AC ⊥BC ， AB=6cm ，求AC 的长.东城2012.620．如图，在平行四边形ABCD 中，5AB =，8BC =，AE BC ⊥于点E ，53cos =B ，求tan CDE ∠的值．门头沟2012.619.已知：如图，四边形ABCD 中，BC =CD =DB ，∠ADB =90°，sin ∠ABD =54，S △BCD =39. 求四边形ABCD 的周长.丰台2012.619．已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AB 于点M ，交CB的延长线于点F ．如果FB 的长是2，求菱形ABCD 的周长．西城2012.617. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是 AB ，CD 的中点.(1)求证：四边形AEFD 是平行四边形； (2)若∠A =60°，AB =2AD =4，求BD 的长.通州2012.619．已知相邻的两根电线杆AB 与CD 高度相同，且相距BC =50m ．小王为测量电线杆的高度，在两根电线杆之间某一处E 架起测角仪，如图所示，分别测得两根电线杆顶端的仰角为45°、23°，已知测角仪EF 高1.5m ，请你帮他算出电线杆的高度．（精确到0.1m ，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.43）显示解析DCBA MEBCDA大兴2012.619．甲、乙两人同时从某地A 出发，甲以60米/分钟的速度沿北偏东30°方向行走，乙沿北偏西45° 方向行走，10分钟后甲到达B 点，乙正好到达甲的正西方向的C 点，此时甲、乙两人之间的距离是多少米？密云2012.620．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE AB ⊥于E ．设CD ＝CBAD ＝9，AB ＝15．求B ∠的余弦值及AC 的长．房山2012.619．如图1，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形． ⑴求证：四边形ABCD 是菱形；⑵如图2，若2AED EAD ∠=∠，AC =6．求DE 的长．AB A图1 图2 证明：⑴ ⑵17．如图，某场馆门前台阶的总高度CB 为0.9m ，为了方便残疾人行走，该场馆决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角A ∠为8°，请计算从斜坡起点A 到台阶最高点D 的距离（即斜坡AD 的长）.（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 8°≈0.139,cos 8°≈0.990,tan 8°≈0.141）C ABD解：朝阳2012.621．如图，港口B 在港口A 的东北方向，上午9时，一艘轮船从港口A 出发，以16海里/时的速度向正东方向航行，同时一艘快艇从港口B 出发也向正东方向航行．上午11时轮船到达C 处，同时快艇到达D 处，测得D 处在C 处的北偏东60°的方向上，且C 、D 两地相距80海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里/时，参考数据：414.12≈，732.13≈，236.25≈）朝阳2012.618．如图，四边形ABCD 是矩形，AB =3，BC =4，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点F 处，连接DF ，CF 与AD 相交于点E ，求DE 的长和△ACE 的面积.昌平2012.619．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =4．过点A 作A E ⊥AB 且AB =AE ，过点E 分别作E F⊥AC ，ED ⊥BC ，分别交AC 和BC 的延长线与点F ，D ．若FC =5，求四边形ABDE 的周长．E FDA BC19．如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60︒方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30︒方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行2000米到达C处，此时测得M小区位于北偏西60︒方向．现要在主输气管道AC 上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短．(1)问：MN与AC满足什么位置关系时，从N到M小区铺设的管道最短？(2)求∠AMC的度数和AN的长.。

北京2012年中考二模试题分类汇编：代几综合题

北京2012年中考二模试题分类汇编：代几综合题2012年北京市中考数学二模分类汇编――代几综合题图像信息+几何最值 1. （延庆）已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A、C两点的坐标分别为A(4,2)，C(n,-2)（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O―A―B―C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m= ；（2）求B、C两点的坐标及图2中OF 的长；（3）若OM是∠AOB的角平分线,且点G与点H分别是线段AO 与射线OM上的两个动点，直接写出HG+AH的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由。

图3 25. （1）m= …………..1分（2）∵四边形ODEF是等腰梯形∴可知四边形OABC是平行四边形……..2分由已知可得：S△AOC=8,连接AC交x轴于R点又∵A(4,2)，C(n,-2) ∴S△AOC=S△AOR+S△ROC=0.5×RO×2+0.5×RO×2=2RO=8∴OR=4…………….……….3分∴OB=2RO=8，AR⊥OB ∴B(8,0) ,C(4，-2)且四边形OABC是菱形………….4分∴OF=3AO= …………..5分(3) 如图3，在OB上找一点N使ON=OG, 连接NH ………….6分∵OM 平分∠AOB ∴∠AOM=∠BOM ∵OH=OH ∴△GOH≌△NOH∴GH=NH………….………….7分∴GH+AH=AH+HN 根据垂线度最短可知，当AN是点A到OB的垂线段时，且H点是AN与OM的交点∴GH+AH 的最小值=A N=2………….8分动点+面积问题 1. （门头沟）如图，在直角坐标系中，梯形ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的端点D 在y轴上.直线CB的表达式为，点A、D的坐标分别为（－4，0），（0，4）. 动点P从A点出发，在AB边上匀速运动. 动点Q从点B 出发，在折线BCD上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点P运动t（秒）时，△OPQ的面积为S（不能构成△OPQ的动点除外）. （1）求出点C的坐标；（2）求S随t变化的函数关系式；（3）当t为何值时，S 有最大值？并求出这个最大值.25. 解：（1）把y＝4代入y＝－ x＋，得x＝1. ∴C点的坐标为（1，4）. ……………………………………….1分（2）当y＝0时，－x＋＝0，∴x＝4.∴点B坐标为（4，0）. 过点C作CM⊥AB于M，则CM＝4，BM＝3. ∴BC＝＝＝5. ∴sin∠ABC＝＝. ① 0＜t＜4时，过Q作QN⊥OB于N，则QN＝BQ•sin∠ABC＝t. ∴S＝OP•QN＝（4－t）× t ＝－ t2＋ t（0＜t＜4）..........2分②当4＜t≤5时，连接QO，QP，过点Q作QN⊥OB于N. 同理可得QN＝t. ∴S＝OP•QN＝×（t－4）× t. ＝ t2－ t（4＜t≤5）. (3)分③当5＜t≤6时，连接QO，QP. S＝×OP×OD＝（t－4）×4. ＝2t－8（5＜t≤6）....................4分 S随t变化的函数关系式是 . （3）①当0＜t＜4时，∵－ <0 当t＝＝2时， S最大＝＝. (5)分②当4＜t≤5时， S＝ t2－ t，对称轴为t＝－＝2，∵ >0∴在4＜t≤5时，S随t的增大而增大. ∴当t＝5时，S最大＝×52－×5＝2. …………………………..6分③当5＜t≤6时，在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S随t的增大而增大. ∴当t＝6时，S最大＝2×6－8＝4………7分∴综合三种情况，当t＝6时，S取得最大值，最大值是4.………8分动点+面积+特殊四边形问题 2.（昌平24）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4， )．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找到点M，使得M到D、B的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）如果点P由点A出发沿线段AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿线段BC以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）．①求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；②当S= 时，在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形, 求出点R的坐标．24．解：（1）据题意，A(0，2)，B(2，2)， C(2，0) ．∵ 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4， )，∴ ∴ ∴ ．…………………… 2分（2）点B关于抛物线的对称轴x=1的对称点为A．连接AD，与对称轴的交点即为M．∵ A（0，2）、 D（4，），∴ 直线AD的解析式为：．当x=1时，，∴ M （1，）．………………………………… 4分（3）① AP=2t, PB=2-2t, BQ=t．在Rt△PBQ中,∠B=90°，∴ ．∴ ．∴ ,（0≤t≤1）．②当，．∴ , ＞1（舍）．∴ P（1，2），Q（2，）．∴ PB = 1．根据分析，以点P、B、Q、R为顶点的平行四边形只能是□PQRB．∴ R （3，）．此时，点R（3，）在抛物线上．……… 8分动点+直角三角形 3．（石景山）已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线y＝ x交于点B、C（B在右、C在左）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2 个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y＝－x2＋2x＋m-2有公共点，求t的取值范围．解：25.解：（1）点A（0，2m-7）代入y＝－x2＋2x＋m-2，得m=5 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3 ………………………2分（2）由得，∴B（），C（） B（）关于抛物线对称轴的对称点为可得直线的解析式为，由，可得∴ ………………………5分（3）当在抛物线上时，可得，，当在抛物线上时，可得，，舍去负值，所以t的取值范围是．………………8分等腰+动点与图形面积 4.（平谷25）如图，抛物线与x轴交于点A(－2，0)和B(4，0)、与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；(3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行．当点M 到达原点时，点Q立刻掉头并以每秒 3 2个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P．求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式．25．解：（1）∵抛物线过点A(－2，0)和B(4，0) ∴ 解得∴ 抛物线的解析式为…………1分（2）抛物线的对称轴为令x=0，得y=4，∴ 设T点的坐标为，对称轴交x轴于点D，过C作CE⊥TD于点E 在Rt△ATD中，∵TD=h，AD=3∴ ………………………………………………………………2分在Rt△CET中，∵E ∴ET= ，CE=1 ∴ ∵AT=CT ∴ ， (3)分解得 .∴ . ...............….………………………………………………………………………4分（3）当时，AM=BQ=t，∴AQ= ∵PQ⊥AQ ∴△APM∽△ACO ∴ ∴PM=2t ∴ ………………6分当时，AM=t ∴BM= .由OC=OB=4，可证BM=PM= . ∵BQ= ∴AQ= ∴ ．…………..8分综上所述，抛物线与图形面积 5.（大兴25）已知抛物线y = x2 + bx ，且在x 轴的正半轴上截得的线段长为4，对称轴为直线x = c．过点A的直线绕点A (c ，0 ) 旋转，交抛物线于点B ( x ，y )，交y轴负半轴于点C，过点C且平行于x轴的直线与直线x = c交于点D，设△AOB 的面积为S1，△ABD的面积为S2． (1) 求这条抛物线的顶点的坐标；(2) 判断S1与S2的大小关系，并说明理由． 25．解：（1）∵ 抛物线y=x2+bx，在x轴的正半轴上截得的线段的长为4，∴ A(2，0)，图象与x轴的另一个交点E的坐标为 (4，0)，对称轴为直线x=2．∴ 抛物线为 y = x2 +b x经过点E (4，0) ．∴ b= -4，∴ y = x2 -4x ．∴ 顶点坐标为（2，－4）．………… 2分 (2) S1与S2的大小关系是：S1 = S2 ………… 3分理由如下：设经过点A（2，0）的直线为y=kx+b (k≠0)．∴ 0 =2k+b．∴ k = b．∴ y= ．∴ 点B 的坐标为（x1 ，），点B 的坐标为（x2 ，）．当交点为B1时，，．．……………………………………… 5分当交点为B2时， = ．∴ S1 = S2．综上所述，S1 = S2．……………… 8分6.（通州24）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P′使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 24. 解：（1）将B、C两点的坐标代入得…….(1分) 解得：…………….(2分)所以二次函数的表达式为：……….(3分) （2）存在点P，使四边形POP C为菱形．设P点坐标为（x，）， PP 交CO于E 若四边形POP C是菱形，则有PC＝PO．连结PP 则PE⊥CO于E，…………………….(4分) ∴OE=EC= ∴ = 解得 = ， = （不合题意，舍去）∴P点的坐标为（，）……………….(5分) （3）过点P作轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F….(6分) 设P （x，），易得，直线BC的解析式为则Q点的坐标为（x，x－3）. 当时，四边形ABPC的面积最大= 此时P点的坐标为，四边形ABPC 的面积．抛物线+图形变换+几何最值 7.（丰台25）如图，将矩形OABC置于平面直角坐标系xOy中，A（，0），C（0，2）． (1) 抛物线经过点B、C，求该抛物线的解析式；（2）将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度（0°< <90°），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标；（3）如图（2），将矩形OABC绕原点顺时针旋转一个角度（0°< <180°），将得到矩形OA’B’C’，设A’C’的中点为点E，联结CE，当°时，线段CE的长度最大，最大值为．25．解：（1）∵矩形OABC，A（，0），C（0，2），∴B（，2）．∴抛物线的对称轴为x= ．∴b= ．……1分∴二次函数的解析式为：．……2分(2)①当顶点A落在对称轴上时，设点A的对应点为点A’，联结OA’，设对称轴x= 与x轴交于点D，∴OD= ．∴OA’ = OA= ．在Rt△OA’D中，根据勾股定理A’D =3．∴A’( ，-3) ．……4分②当顶点落C对称轴上时(图略)，设点C的对应点为点C’，联结OC’，在Rt△OC’D中，根据勾股定理C’D=1．∴C’( ，1)．……6分(3) 120°，4．……8分抛物线+特殊四边形 8.（顺义25）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．（1）求二次函数的解析式；（2）设D为线段OC上的一点，若，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在y轴上，要使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形，这样的点M、N是否存在，若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．25．解：（1）将点A（-3，6），B（-1，0）代入中，得解得∴二次函数的解析式为．…………………………… 2分（2）令，得，解得，．∴点C的坐标为（3，0）．∵ ，∴顶点P的坐标为（1，-2）．…………………………………………… 3分过点A作AE⊥x 轴，过点P作PF⊥x轴，垂足分别为E，F．易得．，．又，∴△ACB∽△PCD．…………………… 4分∴ ．∵ ，∴ ．∴ ．∴点D的坐标为．………… 5分（3）当BD为一边时，由于，∴点M的坐标为或…………… 7分当BD为对角线时，点M的坐标为…………… 8分 9.（海淀24）如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x轴负半轴交于点A, 顶点为B, 且对称轴与x轴交于点C. （1）求点B的坐标 (用含m的代数式表示)；（2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上， Q在直线 BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标.备用图 24.解：（1）∵ ，∴抛物线的顶点B的坐标为. (1)分（2）令，解得, . ∵ 抛物线与x轴负半轴交于点A，∴ A (m, 0), 且m<0. ........................2分过点D作轴于F. 由 D为BO中点，DF//BC, 可得CF=FO= ∴ DF = 由抛物线的对称性得 AC = OC. ∴ AF : AO=3 : 4. ∵ DF //EO, ∴ △AFD∽△AOE. ∴ 由E (0, 2)，B ，得OE=2, DF= . ∴∴ m = -6. ∴ 抛物线的解析式为 (3)分（3）依题意，得A（-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为 , 直线BC为 . 作点C关于直线BO的对称点，3)，连接交BO 于M，则M即为所求. 由A（-6，0），，可得直线的解析式为 . 由解得∴ 点M的坐标为(-2,2). ……………4分由点P在抛物线上，设P (t， ). (��)当AM为所求平行四边形的一边时如右图，过M作轴于G, 过P1作于H, 则xG= xM =-2, xH= xB =-3. 由四边形AM P1Q1为平行四边形，可证△AMG≌△P1Q1H . 可得P1H= AG=4. ∴ t-(-3)=4. ∴ t=1. ∴ .………………5分如右图，同方法可得P2H=AG=4. ∴ -3- t =4. ∴ t=-7. ∴ . …………6分 (��)当AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M作于H, 过P3作轴于G, 则xH= xB =-3，xG= =t. 由四边形AP3MQ3为平行四边形，可证△A P3G≌△MQ3H . 可得AG= MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t=-5. ∴ . …………………7分综上，点P的坐标为、、 . 抛物线+圆+特殊四边形 10.（密云24）如图，在直角坐标系中，以轴为对称轴的抛物线经过直线与轴的交点和点 ( ，0)．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；（2）将这条抛物线沿轴向右平移，使其经过坐标原点．①在题目所给的直角坐标系中，画出平移后的抛物线的示意图；②设平移后的抛物线的对称轴与直线（B是直线与轴的交点）相交于点，判断以为圆心、为半径的圆与直线的位置关系，并说明理由；（3）点是平移后的抛物线的对称轴上的点，求点的坐标，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形． 24．（本小题满分7分）（1）设，则． A（0,2）．设这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：．∵过点 ( ，0)，有．解得．所求抛物线解析式为 -----2分（2）①平移后的抛物线如图所示: --------------------------3分②相切．理由：由题意和平移性质可知，平移后的抛物线的对称轴为直线．∵ 点是对称轴与直线的相交，易求得点的坐标为（，）．由勾股定理，可求得．设原点O到直线AB的距离为d，则有．∵点A为（0，2），点B为（，0），．．．这说明，圆心O到直线AB的距离d与⊙O的半径OC相等．以为圆心、为半径的圆与直线相切． -------------------5分（3）设点的坐标为（，p）．∵抛物线的对称轴与轴互相平行，即AO∥PC．只需，即可使以，，，为顶点的四边形是平行四边形．由（2）知，点的坐标为（，），．．解得，．点的坐标为（，）或（，）．-----------7分因特殊情况产生相似 11.（朝阳25）在平面直角坐标系中，抛物线经过A（－3,0）、B（4,0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动. （1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.25. 解：（1）∵抛物线经过A（－3,0），B（4,0）两点，∴ 解得∴所求抛物线的解析式为. .................................2分（2）如图，依题意知AP＝t，连接DQ，由A（－3,0），B（4,0），C（0,4），可得AC＝5，BC＝，AB＝7. ∵BD＝BC，∴ . (3)分∵CD垂直平分PQ，∴QD＝DP，∠CDQ= ∠CDP. ∵BD＝BC，∴∠ DCB= ∠CDB. ∴∠CDQ= ∠DCB. ∴DQ∥BC. ∴△ADQ∽△ABC. ∴ . ∴ . ∴ . 解得.…………………4分∴ .…………………………5分∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为 .（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点E. 点A、B关于对称轴对称，连接BQ交该对称轴于点M. 则，即. …………6分当BQ⊥AC 时，BQ最小. ………………7分此时，∠EBM= ∠ACO. ∴ . ∴ .∴ ，解得. ∴M（，）. ………………………8分即在抛物线的对称轴上存在一点M（，），使得 MQ＋MA的值最小.抛物线+等分面积 12.（东城区25）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于A、B两点，点B的坐标为（1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△ 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标.25．解：（1）由题意，得：解得：所以，所求二次函数的解析式为：……2分顶点D的坐标为（-1，4）.……3分（2）易求四边形ACDB的面积为9. 可得直线BD的解析式为y=2x+6 设直线OM与直线BD 交于点E，则△OBE的面积可以为3或6. ① 当时，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE的解析式为y=-x. 设M 点坐标（x，-x），∴ ……4分② 当时，同理可得M点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）……5分（3）连接，设P点的坐标为，因为点P在抛物线上，所以，所以……6分……7分因为，所以当时，. △ 的面积有最大值……8分所以当点P的坐标为时，△ 的面积有最大值，且最大值为抛物线+几何定值 13.（房山25）如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．25．解：解：⑴把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，------------------------1分再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；-----------------------------------------------3分⑵不变．当x=1时，y=1-t，故M（1，1-t），∵tan∠AMP=1，∴∠AMP=45°-----------------------------------------------5分⑶ ＜t＜．-----------------------------------------------7分抛物线+相似 14.（怀柔25）如图，已知抛物线过点D(0， )，且在x 轴上截得线段AB长为6，若顶点C的横坐标为4. (1) 求二次函数的解析式； (2) 在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； (3) 在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．25．解：(1) ∵抛物线对称轴为x=4，且在x轴上截得的线段长为6，∴ A( 1 , 0 )、B( 7 , 0 ); .........1分设抛物线解析式为：y=a(x －h)2+k，∵顶点C的横坐标为4，且过点D(0， )，∴ 解得，， . ∴ 二次函数的解析式为：y= (x-4)2－，或y= x －x+ (2)分（2）∵点A、B关于直线x=4对称，∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB，∴当点P在线段DB上时，PA+PD取得最小值，……………3分∴DB 与对称轴的交点即为所求点P. 设直线x=4与x轴交于点M，∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴ ，∴ ，∴点P的坐标为(4，)………………………4分（3）由⑴可知，C(4， )，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM= ，∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o ① 当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o，∴QN=3 ，BN=3，ON=10，此时点Q(10， )，…………………………………………………5分如果AB=AQ，由对称性可知Q(－2，)………………………6分② 当点Q 在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4， )，………………………………………7分经检验，点(10， )与(－2， )都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为(10， )或(－2， )或(4， )．…………………………8分。

2012北京西城区初三数学二模试卷及答案(WORD版)

北京市西城区2012年初三一模试卷数学答案及评分标准2012. 5三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=32133321++⨯- …………………………………………………………4分 =323+．…………………………………………………………………… 5分14．解：由①得2->x ．……………………………………………………………………1分由②得x ≤37． ……………………………………………………………………3分∴ 原不等式组的解集是-2< x ≤37．………………………………………………4分∴ 它的非负整数解为0，1，2．………………………………………………… 5分 15.（1）证明：如图1.∵ ∠ABC=90º，D 为AB 延长线上一点，∴ ∠ABE=∠CBD=90º . …………………………………………………1分在△ABE 和△CBD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,BD BE CBD ABE CB AB∴ △ABE ≌△CBD. …………………… 2分（2）解：∵ AB=CB ，∠ABC=90º，∴ ∠CAB =45°. …….…………………… 3分又∵ ∠CAE=30º，∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分①② ⎪⎩⎪⎨⎧-+<-215)1(3x x x ，≥2x -4，∵ △ABE ≌△CBD ，∴ ∠BCD =∠BAE =15°. ……………………………………………………5分16. 解：原式=()()()()2a ab a b a b b a a b ++-⋅- =()22b b a +. ..….….….….….……………………3分 ∵ 2a +b =0，∴ a b 2-=. ……………………………………………………………………… 4分∴ 原式=22224)2()(a a a a =--.∵ a 不为0，∴ 原式=41. ..….….….….……………………………………………………… 5分17. 解：（1）∵ 反比例函数的图象经过点),2(m A ， ∴ 2m k =，且m ＞0.∵ AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1，∴1212m ⋅⋅=. 解得 1=m . ……………………………………………………………… 1分∴ 点A 的坐标为)1,2(. ………………………………………………… 2分 ∴ 22k m ==. …………………………………………………………… 3分（2）点C 的坐标为(0,3)或(0,-1). ……………………………………………… 5分 18．解：设甲工厂每天能加工x 件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x 件新产品.依题意得 105.112001200+=x x . ……………………………………………………2分解得40=x . …………………………………………………………………… 3分经检验，40=x 是原方程的解，并且符合题意． …………………………… 4分∴ 605.1=x .答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：（1）2，50；…………………………………2分（2）5040%20⨯=，C 组的户数为20. … 3分补图见图2． …………………………4分（3）∵ 500(28%8%)180⨯+=，∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是180．……………………………… 5分)0(>=k xk y捐款户数分组统计图120．解：（1）∵ 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90A ∠=︒，60C ∠=︒，∴ 90ABC ∠=︒，180120ADC C ∠=︒-∠=︒．在Rt △ABD 中，∵90A ∠=︒，15ABD ∠=︒， ∴ 75ADB ∠=︒．∴ 45BDC ADC ADB ∠=∠-∠=︒．…… 2分（2）作BE CD ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．（如图3）在Rt △BCE 中，∵ BC=2，60C ∠=︒， ∴sin BE BC C =⋅cos 1CE BC C =⋅=． ∵ 45BDC ∠=︒， ∴DE BE =∴1CD DE CE =+．…………………………………………… 3分 ∵ BC DF CD BE ⋅=⋅， ∴(31)333CD BE DF BC ⋅+⋅+==． …………………………… 4分 ∵ AD ∥BC ，90A ∠=︒，DF BC ⊥，∴ 33AB DF +==…………………………………………………… 5分 21．解：（1）作OF BD ⊥于点F ，连结OD ．（如图4） ∵ ∠BAD=60°，∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分又∵OB =OD ，∴ 30OBD ∠=︒．……………………… 2分∵ AC 为⊙O 的直径，AC=4， ∴ OB= OD= 2．在Rt △BOF 中，∵∠OFB =90°， OB=2，︒=∠30OBF ， ∴ 130sin 2sin =︒=∠⋅=OBF OB OF ，即点O 到BD 的距离等于1. ………………………………………… 3分（2）∵ OB= OD ，OF BD ⊥于点F ，∴ BF=DF ．由DE=2BE ，设BE=2x ，则DE=4x ，BD=6x ，EF=x ，BF=3x ． ∵ cos30BF OB =⋅︒=∴ x =．在Rt △OEF 中，90OFE ∠=︒，图3FB图4AC∵ tan OFOED EF∠=∴ 60OED ∠=︒，1cos 2OED ∠=． …………………………………… 4分 ∴ 30BOE OED OBD ∠=∠-∠=︒． ∴ 90DOC DOB BOE ∠=∠-∠=︒． ∴ 45C ∠=︒．∴ CD ==． ………………………………………………… 5分 22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分（2）120°；………………………………………………………………………… 3分． ……………………………………………………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2 10x px q +++=的一个实数根为 2，∴ 22 210p q +++=．…………………………………………………… 1分整理，得 25q p =--． …………………………………………………… 2分（2）∵ 222244(25)820(4)4p q p p p p p ∆=-=++=++=++，无论p 取任何实数，都有2(4)p +≥0，∴ 无论p 取任何实数，都有 2(4)40p ++>．∴ 0∆>． ………………………………………………………………… 3分∴ 抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点．………………………… 4分（3）∵ 抛物线21y x px q =++与抛物线221y x px q =+++的对称轴相同，都为直线2px =-抛物线221y x px q =+++可由抛物线21y x =沿y 轴方向向上平移一个单位得到，（如图5所示，省略了x 轴、y 轴） ∴ EF ∥MN ，EF =MN =1．∴ 四边形FEMN 是平行四边形． ………………由题意得 22FEMN pS EF =⨯-=四边形．解得4p =±．………………………………………724．证明：（1）如图6．∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，直线DE 交直线CH 于点F ，∴ BF=DF ，DH=BH ．…………………1分21∴ ∠1=∠2．又∵ ∠EDA =∠A ，∠EDA =∠1， ∴ ∠A ＝∠2．∴ BF ∥AC ．……………………………………………………………… 2分（2）取FD 的中点N ，连结HM 、HN . ∵ H 是BD 的中点，N 是FD 的中点，∴ HN ∥BF ．由（1）得BF ∥AC ， ∴ HN ∥AC ，即HN ∥EM ． ∵ 在Rt △ACH 中，∠AHC =90°， AC 边的中点为M ， ∴ 12HM AC AM ==．∴ ∠A ＝∠3． ∴ ∠EDA =∠3． ∴ NE ∥HM ．∴ 四边形ENHM 是平行四边形．……………………………………… 3分 ∴ HN=EM ．∵ 在Rt △DFH 中，∠DHF =90°，DF 的中点为N ， ∴ 12HN DF =，即2DF HN =．∴ 2DF EM =． ………………………………………………………… 4分（3）当AB =BC 时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE 相等的线段是EF 和CE ．（只猜想结论不给分）证明：连结CD ．（如图8）∵ 点B 关于直线CH 的对称点为D ，CH ⊥AB 于点H ，∴ BC=CD ，∠ABC ＝∠5． ∵ AB ＝BC ，∴ 1802ABC A ∠=︒-∠， AB ＝CD ．① ∵ ∠EDA =∠A ，∴ 61802A ∠=︒-∠，AE =DE ．② ∴ ∠ABC ＝∠6=∠5． ∵ ∠BDE 是△ADE 的外角， ∴ 6BDE A ∠=∠+∠．∵ 45BDE ∠=∠+∠， ∴ ∠A ＝∠4．③由①，②，③得 △ABE ≌△DCE ．………………………………………5分 ∴ BE = CE ． ……………………………………………………………… 6分由（1）中BF=DF 得 ∠CFE=∠BFC ．由（1）中所得BF ∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF ． ∴ ∠CFE=∠ECF ． ∴ EF=CE ．∴ BE=EF ． ……………………………………………………………… 7分 ∴ BE =EF =CE ．（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE =EF 或BE =CE 只得2分）25．解：（1）∵ 2244(2)y ax ax a c a x c =-++=-+，∴ 抛物线的对称轴为直线2x =．∵ 抛物线244y ax ax a c =-++与x 轴交于点A 、点B ，点A 的坐标为(1,0)，∴ 点B 的坐标为(3,0)，OB ＝3．…………… 1分可得该抛物线的解析式为(1)(3)y a x x =--． ∵ OB =OC ，抛物线与y 轴的正半轴交于点C ， ∴ OC =3，点C 的坐标为(0,3)．将点C 的坐标代入该解析式，解得a =1．……2分∴ 此抛物线的解析式为243y x x =-+．（如图9）（2）作△ABC 的外接圆☉E ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F ，设☉E 与抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P ，点1P 关于x 轴的对称点为点2P ，点1P 、点2P 均为所求点.（如图10）可知圆心E 必在AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线2x =上．∵ 1APB ∠、ACB ∠都是弧AB 所对的圆周角， ∴ ACB B AP ∠=∠1，且射线FE 上的其它点P 都不满足ACB APB ∠=∠．由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E 也在BC 边的垂直平分线即直线y x =上．∴ 点E 的坐标为(2,2)E ．………………………………………………… 4分∴ 由勾股定理得 EA ∴ 1EP EA =∴ 点1P 的坐标为1(2,2P +．…………………………………………… 5分由对称性得点2P 的坐标为2(2,2P -．……………………………… 6分∴符合题意的点P 的坐标为1(2,2P 、2(2,2P -. （3）∵ 点B 、D 的坐标分别为(3,0)B 、(2,1)D -，可得直线BD 的解析式为3y x =-，直线BD 与x 轴所夹的锐角为45°． ∵ 点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，（如图11）若设AA '与∠AQB 的平分线的交点为M ，则有 QA QA '=，AM A M '=，AA QM '⊥，Q ，B ，A '三点在一条直线上． ∵ QA QB -=∴ .2''=-=-=QB QA QB QA BA 作A N '⊥x 轴于点N ．∵ 点Q 在线段BD 上， Q ，B ，A '三点在一条直线上， ∴ sin 451A N BA ''=⋅︒=，cos 451BN BA '=⋅︒=． ∴ 点A '的坐标为(4,1)A '． ∵ 点Q 在线段BD 上，∴ 设点Q 的坐标为(,3)Q x x -，其中23x <<． ∵ QA QA '=，∴ 由勾股定理得 2222(1)(3)(4)(31)x x x x -+-=-+--．解得114x =．经检验，114x =在23x <<的范围内．∴ 点Q 的坐标为111(,)44Q -． …………………………………………… 7分此时1115()2(1)2244QAA A AB QAB A Q S S S AB y y '''∆∆∆=+=⋅⋅+=⨯⨯+=．… 8分图11。

北京2012年中考数学二模试题分类汇编：代数综合题

北京2012年中考数学二模试题分类汇编：代数综合题2012年北京市中考数学二模分类汇编――代数综合题整数根、系数是整数问题 1.（昌平23．）已知m为整数，方程 =0的两个根都大于-1且小于，当方程的两个根均为有理数时，求m的值． 23．解：设．....................................1分∵ 的两根都在和之间，∴ 当时，，即：．............2分当时，，即：． (3)分∴ ．…………………4分∵ 为整数，∴ ．..............................5分① 当时，方程，∴ 此时方程的根为无理数，不合题意．② 当时，方程，符合题意．③ 当时，方程，，不符合题意．综合①②③可知，． (6)分 2.（房山）23．）已知：关于x的方程mx2－3(m－1)x＋2m－3=0.⑴当m取何整数值时，关于x的方程mx2－3(m－1)x＋2m－3=0的根都是整数；⑵若抛物线向左平移一个单位后，过反比例函数上的一点（-1,3），①求抛物线的解析式；②利用函数图象求不等式的解集. 解：⑴⑵① ②23．解：⑴当m=0时，x=1----------------------------1分当m≠0，可解得x1=1，x2= -----------------2分∴ 时，x均有整数根--------------------------------------3分综上可得时，x均有整数根⑵①抛物线向左平移一个单位后得到y= m(x＋1)2－3(m－1)(x＋1)＋2m－3-------------4分过点（-1,3）代入解得m=3 ∴抛物线解析式为y= 3x2－6x＋3----------5分②k=－1×3=－3-----------------------6分∴x>1或－1<x<0-----------------------7分3.（平谷23）已知抛物线．（1）求证此抛物线与轴有两个不同的交点；（2）若是整数，抛物线与轴交于整数点，求的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为，抛物线与轴的两个交点中右侧交点为．若为坐标轴上一点，且，求点的坐标． 23．解：（1）证明：令，则．因为， 1分所以此抛物线与轴有两个不同的交点． 2分（2）因为关于的方程的根为，由为整数，当为完全平方数时，此抛物线与轴才有可能交于整数点．设（其中为整数）， 3分所以．因为与的奇偶性相同，所以或解得．经检验，当时，关于的方程有整数根．所以 ...................................5分（3）当时，此二次函数解析式为，则顶点的坐标为（）．抛物线与轴的交点为、．设抛物线的对称轴与轴交于，则．在直角三角形中，由勾股定理，得，由抛物线的对称性可得，．又，即．所以△ 为等腰直角三角形．且．所以为所求的点． 6分若满足条件的点在轴上时，设坐标为．过作轴于，连结、．则．由勾股定理，有；．即．解得．所以为所求的点． 7分综上所述满足条件的点的坐标为（）或（）． 4.（门头沟23）已知抛物线y＝ax2＋x＋2. (1)当a＝－1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)若代数式－x2＋x＋2的值为正整数，求x的值； (3)若a是负数时，当a＝a1时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点M(m，0)；当a＝a2时，抛物线y＝ax2＋x＋2与x轴的正半轴相交于点N(n，0). 若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小.23. 当a=-1时，y=-x2+x+2，∴a=-1,b=1,c=2. ∴抛物线的顶点坐标为( ， )，对称轴为直线x= .……2分(2)∵代数式-x2+x+2的值为正整数，∴函数y=-x2+x+2的值为正整数. 又因为函数的最大值为，∴y的正整数值只能为1或2. 当y=1时，-x2+x+2＝1，解得，…………3分当y=2时，-x2+x+2＝2，解得x3=0,x4=1.……………4分∴x的值为，，0或1. （3）当a＜0时，即a1＜0，a2＜0. 经过点M的抛物线y=a1x2+x+2的对称轴为 , 经过点N的抛物线y=a2x2+x+2的对称轴为 (5)分∵点M在点N的左边，且抛物线经过点(0,2) ∴直线在直线的左侧……………6分∴ ＜. ∴a1＜a2.…………………………………7分 5．（怀柔23）已知抛物线 (m为常数) ．（1）若抛物线与轴交于两个不同的整数点，求m的整数值；（2）在（1）问条件下，若抛物线顶点在第三象限，试确定抛物线的解析式；（3）若点M(x1，y1)与点N(x1＋k，y2)在（2）中抛物线上 (点M、N不重合), 且y1=y2. 求代数式的值. 23．解：（1）由题意可知，△= =5－4m＞0，.…………………1分又抛物线与轴交于两个不同的整数点，∴5－4m为平方数，设k2 =5－4m，则满足要求的m值为1，－1，－5，－11，－19…… ∴满足题意的m 整数值的代数式为 (n为正整数). …………………………3分（2）∵抛物线顶点在第三象限，∴只有m=1符合题意，抛物线的解析式为.…………………4分（3）∵点M 与N 在抛物线上，∴ ，∵ ∴ 整理，得∵点M、N不重合，∴k≠0. ∴2x1 =－k－1.……………………………………6分∴ = =6.………7分6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为M，直线，点为轴上的一个动点，过点P作轴的垂线分别交抛物线和直线于点A，点B. ⑴直接写出A，B两点的坐标（用含的代数式表示）；⑵设线段AB的长为，求关于的函数关系式及的最小值，并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系； (3)已知二次函数（，，为整数且），对一切实数恒有≤ ≤ ，求，，的值. 25．解：(1) ， .�l�l�l�l�l�l�l�l�l2分(2) =AB= = . ∴ == .�l�l3分∴ 当时，取得最小值 . �l�l 4分当取最小值时，线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM. (如图10) �l�l�l�l�l 5分(3) ∵ 对一切实数恒有≤ ≤ ，∴ 对一切实数，≤ ≤ 都成立. ( ) ① 当时，①式化为0≤ ≤ . ∴ 整数的值为0.�l�l�l�l�l 6分此时，对一切实数，≤ ≤ 都成立.( ) 即对一切实数均成立. 由②得≥0 ( ) 对一切实数均成立. ∴ 由⑤得整数的值为1.�l�l�l�l�l�l�l�l�l7分此时由③式得，≤ 对一切实数均成立. ( ) 即≥0对一切实数均成立. ( ) 当a=2时，此不等式化为≥0，不满足对一切实数均成立. 当a≠2时，∵ ≥0对一切实数均成立，( ) ∴ ∴ 由④，⑥，⑦得0 < ≤1. ∴ 整数的值为1.�l�l�l�l�l�l�l�l�l�l8分∴ 整数，，的值分别为，， . 利用数形结合研究交点、方程的根 1.（东城23.）已知关于的方程．（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）若正整数满足，设二次函数的图象与轴交于两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象恰好有三个公共点时，求出的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）． 23.解：（1）．......2分由题意得，＞0且．∴ 符合题意的m的取值范围是的一切实数．......3分（2）∵ 正整数满足，∴ m可取的值为1和2 ．又∵ 二次函数，∴ =2． (4)分∴ 二次函数为．∴ A点、B点的坐标分别为（-1,0）、（3,0）．依题意翻折后的图象如图所示．由图象可知符合题意的直线经过点A、B．可求出此时k的值分别为3或-1．……7分注：若学生利用直线与抛物线相切求出k=2也是符合题意的答案． 2.（海淀23）已知抛物线与x轴交于A、B两点．（1）求m的取值范围；（2）若m>1, 且点A在点B的左侧，OA : OB=1 : 3, 试确定抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线与y轴的交点为C，过点C作直线l //x轴, 将抛物线在y轴左侧的部分沿直线 l翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线与新图象只有一个公共点P(x0, y0)且时, 求b的取值范围.23. 解：（1）∵ 抛物线与x轴交于A、B两点，∴ 由①得，由②得，∴ m的取值范围是且．…………2分（2）∵ 点A、B 是抛物线与x轴的交点，∴ 令，即．解得，．∵ ，∴ ∵ 点A在点B左侧，∴ 点A的坐标为，点B的坐标为. …………………………3分∴ OA=1，OB= ．∵ OA : OB=1 : 3，∴ . ∴ ．∴ 抛物线的解析式为．………………………………………4分（3）∵ 点C是抛物线与y轴的交点，∴ 点C的坐标为 . 依题意翻折后的图象如图所示．令，即．解得 , ．∴ 新图象经过点D . 当直线经过D点时，可得 . 当直线经过C点时，可得．当直线与函数的图象仅有一个公共点P(x0, y0)时，得 . 整理得由，得．结合图象可知，符合题意的b的取值范围为或．……………7分通州22．已知关于的方程（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根. （2）若关于的二次函数的图象经过坐标原点（0,0），求抛物线的解析式. （3）在直角坐标系中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线与（2）中的函数图象只有两个交点时，求的取值范围. 22. . 解：（1）分两种情况讨论. ① 当时，方程为，方程有实数根,………………………………………….(1分) ②当，则一元二次方程的根的判别式＝不论为何实数，成立，方程恒有实数根………………………………………….(2分) 综合①、②可知取任何实数，方程恒有实数根………………….(3分) （2）二次函数的图象与经过（0,0）………………………………………….(4分) 二次函数解析式为：………………………….(5分) （3）在（2）条件下，直线与二次函数图象只有两个交点，结合图象可知当时，得由得………………………….(6分) 综上所述可知：当时，直线与（2）中的图象有两个交点. ………….(7分)23.（延庆）已知:关于x的一元二次方程 (1)若此方程有实根,求m 的取值范围; (2)在(1)的条件下,且m取最小的整数,求此时方程的两个根; (3)在(2)的前提下,二次函数与x轴有两个交点,连接这两点间的线段,并以这条线段为直径在x轴的上方作半圆P,设直线l的解析式为y=x+b,若直线l与半圆P只有两个交点时,求出b的取值范围.23. （1）解：∵关于x的一元二次方程有实根∴m≠0，且△≥0 (1)分∴△=（2m+2）2-4m（m-1）=12m+4≥0 解得m≥ ∴当m≥ ，且m≠0时此方程有实根,……..2分（2）解：∵在(1)的条件下,当m取最小的整数, ∴m=1…………..3分∴原方程化为：x2-4x=0 x（x-4）=0 x1=0，x2=4 ………….. …………..4分（3）解：如图所示：①当直线l经过原点O时与半圆P有两个交点，即b=0………5分②当直线l与半圆P相切于D点时有一个交点，如图由题意可得Rt△EDP、Rt△ECO是等腰直角三角形，∵DP=2 ∴EP= ………….6分∴OC= 即b= ∴当0≤b＜时，直线l与半圆P只有两个交点。

2012北京模拟几何综合(24题汇编)压轴题

．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，直线MN 经过点O ，设锐角∠DOC =∠ ，将△DOC 以直线MN 为对称轴翻折得到△D ’OC ’，直线A D ’、B C ’相交于点P ．（1）当四边形ABCD 是矩形时，如图1，请猜想A D ’、B C ’的数量关系以及∠APB 与∠α的大小关系；（2）当四边形ABCD 是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？（3）当四边形ABCD 是等腰梯形时，如图3，∠APB 与∠α有怎样的等量关系？请证明．图3图2图1D BANC'OMPD'D CBAN C'O MPD'D'PMOC'N A BCD24．现场学习：我们知道，若锐角α的三角函数值为sin α = m ，则可通过计算器得到角α的大小，这时我们用arc sin m 来表示α，记作：α=arc sin m ；若cos α = m ，则记α = arc cos m ；若tan α = m ，则记α = arc tan m ．解决问题：如图，已知正方形ABCD ，点E 是边AB 上一动点，点F 在AB 边或其延长线上，点G 在边AD 上．连结ED ，FG ，交点为H ．（1）如图1，若AE =BF =GD ，请直接写出∠EHF = °；（2）如图2，若EF =25CD ，GD =25AE ，设∠EHF =α．请判断当点E 在AB 上运动时， ∠EHF 的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出α．图1HFG ED CB A 图2A B CD EG FH3．（1）如图1，BP 为ABC ∆的角平分线，PM AB ⊥于M ，PN BC ⊥于N ，30,23AB BC ==，请补全图形，并求ABP ∆与BPC ∆的面积的比值；（2）如图2，分别以ABC ∆的边AB 、AC 为边向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，CD 与BE 相交于点O ，判断AOD ∠与AOE ∠的数量关系，并证明；（3）在四边形ABCD 中，已知BC DC =，且AB AD ≠，对角线AC 平分BAD ∠，请直接写出B ∠和D ∠的数量关系.OABC图1图2PCM EBAD4、已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.2，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写（1）如图1，若AB=3出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；2，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的函数关（3）若AB=3系式．5、在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．6、问题：如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，点D 是射线CB 上任意一点，△ADE 是等边三角形，且点D 在ACB ∠的内部，连接BE ．探究线段BE 与DE 之间的数量关系．请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当点D 与点C 重合时（如图2），请你补全图形．由BAC ∠的度数为，点E 落在，容易得出BE 与DE 之间的数量关系为；（2）当点D 在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE 与DE 之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．DB CAABC (D )图3图2、7已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．(1) 求证：BF∥AC；(2) 若AC边的中点为M，求证：2；DF EM(3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．图1 图28、25．在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P.（1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；（2）若AC，CD，求∠APE的度数.9、．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C 运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P 同时出发，当点E到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．（1）当t＝2时，PH= cm，DG = cm；（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．10、已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ ,连结QE 并延长交BP 于点F .（1）如图1，若AB =32，点A 、E 、P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想EF 与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB =32，设BP =x ，以QF 为边的等边三角形的面积y ，求y 关于x 的函数关系式．11、.在ABCD 中，A DBC ∠=∠，过点D 作DE DF =，且E D FA B D =∠，连接EF ，EC ，N 、P 分别为EC ，BC 的中点，连接NP .（1）如图1，若点E 在DP 上，EF 与DC 交于点M ，试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及ABD ∠与MNP ∠满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点M 在线段EF 上，当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论.图1图212、．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC=6，BC =8．动点P 从点A 开始沿折线AC －CBABCDEFNPPNMFE DCBA－BA运动，点P在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保持l∥AC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．(1)当t = 5秒时，点P走过的路径长为；当t = 秒时，点P与点E重合；(2)当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在EF上，点F的对应点记为点N，当EN⊥AB时，求t的值；(3)当点P在折线AC－CB－BA上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q．在点P与直线l运动的过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t的值．13、已知四边形ABCD，点E是射线BC上的一个动点（点E不与B、C两点重合），线段BE的垂直平分线交射线AC于点P，联结DP，PE.（1）若四边形ABCD是正方形，猜想PD与PE的关系，并证明你的结论.（2）若四边形ABCD是矩形，（1）中的PD与PE的关系还成立吗？（填：成立或不成立）.（3）若四边形ABCD是矩形，AB=6，cos∠ACD=35，设AP=x，△PCE的面积为y,当AP>12AC时，求y与x之间的函数关系式.14、已知：如图，D为线段AB上一点（不与点A、B重合），CD⊥AB，且CD=AB，AE⊥AB，BF⊥AB，且AE=BD，BF=AD．（1）如图1，当点D 恰是AB 的中点时，请你猜想并证明∠ACE 与∠BCF 的数量关系；（2）如图2，当点D 不是AB 的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；（3）若∠ACB=α，直接写出∠ECF 的度数（用含α的式子表示）．图1 图215、（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判FED CBAFE D C B A断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..16、. 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 分别是CE 、CF的中点.（1）求证：△DMN是等边三角形；（2）连接EF，Q是EF中点，CP⊥EF于点P.求证：DP＝DQ.同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.。

2012届北京市海淀区初三二模数学考试试题

海淀区九年级第二学期期末练习数学试卷答案及评分参考 2012. 6一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. B2. C3. A4. C5. B6. D7. D8. C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.23x ≥10. 5 11. 12 12．8; 21n n +- （每空各 2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13115()3tan604---+︒=54-+ …………………………………………………4分=1. …………………………………………………5分14．解：去分母，得 ()()()()63223x x x x x ++-=-+． ………………………………2分2261826x x x x x ++-=+-. ……………………………………………………3分整理，得 324x =-．解得 8x =-． ………………………………………………………………4分经检验，8x =-是原方程的解．所以原方程的解是8x =-． ……………………………………………………5分15．证明：∵ AC //EG ，∴ C CPG ∠=∠． …………1分 ∵ BC //EF ，∴ CPG FEG ∠=∠．∴ C FEG ∠=∠． …………………………………………2分在△ABC 和△GFE 中，,,,AC GE C FEG BC FE =⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩ ∴ △ABC ≌△GFE ． …………………………………………………4分∴A G ∠=∠． …………………………………………………5分16. 解：原式=()()()21111111a a a a a +-⋅-+-- ……………………………………………2分 =()21111a a a +--- …………………………………………………3分 =22.(1)a -- …………………………………………………4分由2220a a --=，得 2(1)3a -=.∴ 原式=23-. …………………………………………………5分17．解：（1）依题意设一次函数解析式为2y kx =+. …………………………………1分GFEDC B AP∵ 点A (2,0-)在一次函数图象上，∴022k =-+. ∴ k =1. ……………………………………………………2分 ∴ 一次函数的解析式为2y x =+. …………………………………3分（2）ABC ∠的度数为15︒或105︒．（每解各1分） ……………………5分18．解: ∵∠ADB =∠CBD =90︒，∴ DE ∥CB . ∵ BE ∥CD ， ∴ 四边形BEDC 是平行四边形. ………1分 ∴ BC=DE .在Rt △ABD 中，由勾股定理得8AD ==. ………2分设DE x =，则8EA x =-． ∴8EB EA x ==-．在Rt △BDE 中，由勾股定理得 222DE BD EB +=.∴ 22248x x +=-（）． ……………………………………………………3分 ∴ 3x =．∴ 3BC DE ==． ……………………………………………………4分∴1116622.22ABD BDC ABCD S S S BD AD BD BC ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形 ………… 5分四、解答题（本题共20分，第19题、第20题各5分，第21题6分, 第22题4分） 19．解：（1）甲图文社收费s （元）与印制数t （张）的函数关系式为0.11s t =. ……1分（2）设在甲、乙两家图文社各印制了x 张、y 张宣传单，依题意得{1500,0.110.13179.x y x y +=+= ………………………………………… 2分解得800,700.x y =⎧⎨=⎩……………………………………………… 3分答：在甲、乙两家图文社各印制了800张、700张宣传单. ………………4分（3）乙 . ……………………………………………………… 5分20.（1）证明：连结OC .∴ ∠DOC =2∠A . …………1分 ∵∠D = 90°2A -∠， ∴∠D +∠DOC =90°. ∴ ∠OCD =90°.∵ OC 是⊙O 的半径，∴ 直线CD 是⊙O 的切线. ………………………………………………2分（2）解: 过点O 作OE ⊥BC 于E , 则∠OEC =90︒.∵ BC =4,∴ CE =12BC =2.∵ BC //AO ,∴ ∠OCE =∠DOC .∵∠COE +∠OCE =90︒, ∠D +∠DOC =90︒,D ECA∴ ∠COE =∠D . ……………………………………………………3分 ∵tan D =12, ∴tan COE ∠=12. ∵∠OEC =90︒, CE =2,∴4tan CEOE COE==∠.在Rt △OEC 中, 由勾股定理可得OC ==在Rt △ODC 中, 由1tan 2OC D CD ==，得CD =, ……………………4分由勾股定理可得 10.OD =∴10.AD OA OD OC OD =+=+= …………………………………5分 21．解：（1）(64)50%20+÷=. 所以李老师一共调查了20名学生. …………………1分（2）C 类女生有 3 名，D 类男生有 1 名；补充条形统计图略.说明：其中每空1分，条形统计图1分. ……………………………………4分（3）解法一：由题意画树形图如下：………………………5分从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=3162=. ………………6分解法二：由题意列表如下：………………………5分由上表得出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=3162=. ………………6分 22.解：（1）画图如下：(答案不唯一) …………………………………2分图3从D 类中选取从A 类中选取女女男男女女男女男（2）图3中△FGH 的面积为7a. …………………………………4分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）∵ 抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点，∴210,(2)4(1)0.m m m ì-?ïïíïD =-+->ïî由①得1m ¹，由②得0m ¹，∴ m 的取值范围是0m ¹且1m ¹． ……………………………………………2分（2）∵ 点A 、B 是抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴的交点，∴ 令0y =，即 2(1)(2)10m x m x -+--=．解得 11x =-，211x m =-． ∵1m >，∴10 1.1m >>-- ∵ 点A 在点B 左侧，∴ 点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为1(,0)1m -. …………………………3分 ∴ OA=1，OB =11m -． ∵ OA : OB =1 : 3，∴ 131m =-.∴ 43m =．∴ 抛物线的解析式为212133y x x =--． ………………………………………4分（3）∵ 点C 是抛物线212133y x x =--与y 轴的交点，∴ 点C 的坐标为(0,1)-.依题意翻折后的图象如图所示．令7y =，即2121733x x --=．解得16x =, 24x =-．∴ 新图象经过点D (6,7). 当直线13y x b =+经过D 点时，可得5b =.① ② …………………………………………1分当直线13y x b =+经过C 点时，可得1b =-．当直线1(1)3y x b b =+<-与函数2121(33y x x x =-->的图象仅有一个公共点P (x 0, y 0)时，得20001121333x b x x +=--.整理得 203330.x x b ---= 由2(3)4(33)12210b b D =----=+=，得74b =-结合图象可知，符合题意的b 的取值范围为15b -<≤或4b <-． ……………7分说明：15b -<≤ （2分），每边不等式正确各1分；74b <-（1分） 24.解：（1）∵22222221212112()()4422y x x x mx m m x m m m m m m =-=-+-⋅=--，∴抛物线的顶点B 的坐标为11(,)22m m -. ……………………………1分（2）令2220x x m-=，解得10x =, 2x m =.∵ 抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A ，∴ A (m , 0), 且m <0. …………………………………………………2分过点D 作DF ⊥x 轴于F .由 D 为BO 中点，DF //BC , 可得CF =FO =1.2CO ∴ DF =1.2BC由抛物线的对称性得 AC = OC . ∴ AF : AO =3 : 4. ∵ DF //EO ,∴ △AFD ∽△AOE .∴ .FD AF OE AO=由E (0, 2)，B 11(,)22m m -，得OE =2, DF =14m -.∴134.24m-=∴ m = -6.∴ 抛物线的解析式为2123y x x =--. ………………………………………3分（3）依题意，得A （-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为x y -=,直线BC 为3x =-. 作点C 关于直线BO 的对称点C '(0，3)，连接AC '交BO 于M ，则M 即为所求. 由A （-6，0），C ' (0, 3)，可得直线AC '的解析式为321+=x y .由13,2y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩ ∴ 点M 的坐标为(-2, 2). ……………4分由点P 在抛物线2123y x x =--上，设P (t ，213t - (ⅰ)当AM 为所求平行四边形的一边时. 如右图，过M 作MG ⊥ x 轴于G ,过P 1作P1H ⊥ BC 于H , 则x G = x M =-2, x H = x B =-3.由四边形AM P 1Q 1为平行四边形，可证△AMG ≌△P 1Q 1H . 可得P 1H = AG =4. ∴ t -(-3)=4. ∴ t =1.∴17(1,)3P -. ……………………5分如右图，同方法可得 P 2H=AG =4. ∴ -3- t =4. ∴ t =-7.∴27(7,)3P --. ……………………6分(ⅱ)当AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M 作MH ⊥BC 于H , 过P 3作P 3G ⊥ x 轴于G ,则x H = x B =-3，x G =3P x =t . 由四边形AP 3MQ 3为平行四边形，可证△A P 3G ≌△MQ 3H . 可得AG = MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t =-5. ∴35(5,)3P -. ……………………………………………………7分综上，点P 的坐标为17(1,)3P -、27(7,)3P --、35(5,)3P -.25. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM.证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ， ∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°． ∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°． ………………………………1分 ∵ E 为CF 的中点，EG//CD ,∴ GF =DG =11.22DF CD =∴ 1.2GE CD =∵ N 为MD (AD )的中点， ∴ AN =ND =11.22AD CD = ∴ GE =AN , NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ……………………………2分 ∴ △NGE ≌△BAN ． ∴ ∠1=∠2. ∵ ∠2+∠3=90°， ∴ ∠1+∠3=90°． ∴ ∠BNE =90°. ∴ BN ⊥NE ． ……………………………………………………………3分 ∵ ∠CDF =90°, CD =DF , 可得 ∠F =∠FCD =45°，CFCD= .于是12CFCE CE CE BM BA CD CD ==== ……………………………………4分（2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ，交CD 于点H ．∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ∥CG ．∴ ∠MBN =∠DGN ，∠BMN =∠GDN . ∵ N 为MD 的中点，∴ MN =DN ．∴ △BMN ≌△GDN ．∴ MB =DG ，BN =GN . ∵ BN =NE ，∴ BN =NE =GN . ∴ ∠BEG =90°． ……………………………………………5分 ∵ EH ⊥CE ， ∴ ∠CEH =90°． ∴ ∠BEG =∠CEH ．HGA BC DEM N F 321GFEA (M )CD NB∴ ∠BEC =∠GEH ．由（1）得∠DCF =45°． ∴ ∠CHE =∠HCE =45°． ∴ EC=EH , ∠EHG =135°．∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°， ∴ ∠ECB =∠EHG ． ∴ △ECB ≌△EHG ． ∴ EB =EG ，CB =HG ． ∵ BN =NG ，∴ BN ⊥NE. ……………………………………………6分∵ BM =DG= HG -HD= BC -HD =CD -CE ，∴CE BM. ……………………………………………7分（3）BN ⊥NE ；CEBM.………………………………………………8分。

2012年北京市西城初三数学二模试题

北京市西城区2012年初三二模试卷数学 2012. 6考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级和姓名。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．的倒数是A.8B.C.D.2．在2012年4月25日至5月2日举办的2012（第十二届）北京国际汽车展览会上，约有800 000名观众到场参观，盛况空前．800 000用科学记数法表示应为A.B.C.D.3．若⊙与⊙内切，它们的半径分别为3和8，则以下关于这两圆的圆心距的结论正确的是A.=5 B.=11 C.＞11 D. 5＜＜114．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E，若，AE=6，则EC的长为[来源:]A . 8 B. 10 C. 12 D. 165．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是环，方差分别是，，，，则射击成绩波动最小的是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若OB长为10，，则AB的长是A . 20 B. 16 C. 12 D. 87．若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为A . 4 B. 6 C. 8 D. 108．如图，在矩形ABCD中，，BC=1. 现将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形，则AD边扫过的面积(阴影部分)为A .π B.π C.π D.π二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．将代数式化为的形式（其中m，n为常数），结果为．10．若菱形ABCD的周长为8，∠BAD=60°，则BD= ．11．如图，把一个半径为12cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径等于 cm．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，…都在y轴上，对应的纵坐标分别为1，2，3，…．直线，，，…分别经过点，，，…，且都平行于x轴．以点O为圆心，半径为2的圆与直线在第一象限交于点，以点O为圆心，半径为3的圆与直线在第一象限交于点，…，依此规律得到一系列点（n为正整数），则点的坐标为，点的坐标为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：．14．已知，求代数式的值．15．如图，点F，G分别在△ADE的AD，DE边上，C，B依次为GF延长线上两点，AB=AD，∠BAF=∠CAE，∠B=∠D.(1)求证：BC=DE；(2)若∠B=35°，∠AFB=78°，直接写出∠DGB 的度数．16．已知关于x的一元二次方程 (m +1)x2 + 2mx + m 3 = 0 有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围；(2)当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根.17. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点.(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)若∠A=60°，AB=2AD=4，求BD的长.18. 吸烟有害健康！你知道吗，即使被动吸烟也大大危害健康．为配合“禁烟”行动，某校组织同学们在某社区开展了“你支持哪种戒烟方式”的问卷调查，征求市民的意见，并将调查结果整理后制成了如下两个统计图：（图中信息不完整）请根据以上信息回答下面问题：(1) 同学们一共随机调查了人；(2) 如果在该社区随机咨询一位市民，那么该市民支持“强制戒烟”方式的概率是；(3) 如果该社区有5 000人，估计该社区支持“警示戒烟”方式的市民约有人．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿 A小区的北偏东60方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30方向，测绘员从A处出发，沿主输气管道步行2000米到达C处，此时测得M小区位于北偏西60方向．现要在主输气管道AC上选择一个支管道连接点N，使从N处到M小区铺设的管道最短．(1)问：MN与AC满足什么位置关系时，从N到M小区铺设的管道最短？(2)求∠AMC的度数和AN的长.20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与轴，轴分别交于点A，点B，点D在轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在轴正半轴上的点C处.(1)求AB的长和点C的坐标；(2)求直线CD的解析式．21．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA 的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P.(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)若OC=CP，AB=，求CD的长.22. 阅读下列材料小华在学习中发现如下结论：如图1，点A，A1，A2在直线l上，当直线l∥BC时，.请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：(1)如图2，已知△ABC，画出一个等腰△DBC，使其面积与△ABC面积相等；(2)如图3，已知△ABC，画出两个Rt△DBC，使其面积与△ABC面积相等(要求：所画的两个三角形不全等)；(3)如图4，已知等腰△ABC中，AB=AC，画出一个四边形ABDE，使其面积与△ABC面积相等，且一组对边DE=AB，另一组对边BD≠AE，对角∠E=∠B.[来源:学。

(王云松)北京市2012年中考数学二模代数几何综合题分类汇2

北京市2012年中考数学二模代数几何综合题分类汇编整理北京市二十中学王云松2012-6-7代几综合题，往往是在二次函数背景下的对动点、动直线的位置及数量关系以及常见几何图形的存在性的研究，对学生的思维水平提出了更高的要求，要求学生具有较强的运算能力、作图能力、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等综合能力。

其掌握程度的高低直接决定学生能否达优。

【海淀】24. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C .（1）求点B 的坐标 (用含m 的代数式表示)；（2）D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标.备用图【参考答案】24.解：（1）∵22222221212112()()4422y x x x mx m m x m m m m m m =-=-+-⋅=--，∴抛物线的顶点B 的坐标为11(,)22m m -. ……………………………1分（2）令2220x x m-=，解得10x =, 2x m =. ∵ 抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A ，∴ A (m , 0), 且m <0. …………………………………………………2分过点D 作DF ⊥x 轴于F .由 D 为BO 中点，DF //BC , 可得CF =FO =1.2CO∴ DF =1.2BC由抛物线的对称性得 AC = OC . ∴ AF : AO =3 : 4. ∵ DF //EO , ∴ △AFD ∽△AOE . ∴.FD AFOE AO= 由E (0, 2)，B 11(,)22m m -，得OE =2, DF =14m -.∴134.24m-=∴ m = -6.∴ 抛物线的解析式为2123y x x =--. ………………………………………3分（3）依题意，得A （-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为x y -=,直线BC 为3x =-. 作点C 关于直线BO 的对称点C '(0，3)，连接AC '交BO 于M ，则M 即为所求. 由A （-6，0），C ' (0, 3)，可得直线AC '的解析式为321+=x y . 由13,2y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩ ∴ 点M 的坐标为(-2, 2). ……………4分由点P 在抛物线2123y x x =--上，设P (t ，213t - (ⅰ)当AM 为所求平行四边形的一边时. 如右图，过M 作MG ⊥ x 轴于G , 过P 1作P1H ⊥ BC 于H , 则x G = x M =-2, x H = x B =-3.由四边形AM P 1Q 1为平行四边形，可证△AMG ≌△P 1Q 1H . 可得P 1H = AG =4. ∴ t -(-3)=4. ∴ t =1.∴17(1,)3P -. ……………………5分如右图，同方法可得 P 2H=AG =4. ∴ -3- t =4. ∴ t =-7.∴27(7,)3P --. ……………………6分 (ⅱ)当AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M 作MH ⊥BC 于H , 过P 3作P 3G ⊥ x 轴于G , 则x H = x B =-3，x G =3P x =t . 由四边形AP 3MQ 3为平行四边形，可证△A P 3G ≌△MQ 3H . 可得AG = MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t =-5. ∴35(5,)3P -. ……………………………………………………7分综上，点P 的坐标为17(1,)3P -、27(7,)3P --、35(5,)3P-.[注]在确定平行四边形时，如果知一边的两点坐标，可以用平移的方法，得到其对边的点的坐标，可使解答简捷。

2012年北京西城区中考二模数学试卷及答案

北京市西城区2012年初三二模试卷数学 2011. 6下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的倒数是A ．3B ．13-C ．3-D ．132．2010年，我国国内生产总值（GDP ）为58 786亿美元，超过日本，成为世界第二大经济体．58 786用科学记数法表示为 A ．45.878610⨯ B ．55.878610⨯ C ．358.78610⨯ D ．50.5878610⨯ 3．⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为5cm ，若圆心距O 1O 2=2 cm ，则这两圆的位置关系是 A ．内含 B ．外切 C ．相交 D ．内切 4．若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是 A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．八边形 5．某鞋店试销一种新款女鞋，销售情况如下表所示：鞋店经理最关心的是哪种型号的鞋销量最大．对他来说，下列统计量中最重要的是A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差6．小明的爷爷每天坚持体育锻炼，一天他步行到离家较远的公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面的四个函数图象中，能大致反映当天小明的爷爷离家的距离y 与时间x 的函数关系的是7．下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在由直线3+-=x y ，直线4y =和直线1x =所围成的区域内或其边界上，点Q 在x 轴上，若点R 的坐标为(2,2)R ，则QP QR +的最小值为A B ．25+ C ． D ．4 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式 m 3 – 4m = . 10．函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是． 11．如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 与小圆相切，切点为P ．若两圆的半径分别为2和1，则弦长AB =；若用阴影部分围成一个圆锥（OA 与OB 重合），则该圆锥的底面半径长为 . 12．对于每个正整数n ，抛物线2211(1)(1)n n n n n y x x +++=-+与x 轴交于A n ，B n 两点，若n n A B 表示这两点间的距离，则n n A B = （用含n 的代数式表示）；11222011A B A B A B +++的值为．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2273181---⎪⎭⎫ ⎝⎛--- ．14．已知：如图，直线AB 同侧两点C ，D 满足CAD DBC ∠=∠， AC =BD ，BC 与AD 相交于点E ．求证：AE =BE ．15．已知：关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）当k 取最大整数值时，用公式法求该方程的解.16．已知 122=+xy x ，215xy y +=，求代数式()22()x y y x y +-+的值．17．如图，一次函数y kx b =+()0≠k 的图象与反比例函数my x=()0≠m 的图象交于(3,1)A -，(2,)B n 两点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB 的面积．18．今年3月12日，某校九年级部分学生参加植树节活动，以下是根据本次植树活动的有关数据制作的统计图的一部分．请根据统计图所提供的有关信息，完成下列问题：（1）参加植树的学生共有人；（2）请将该条形统计图补充完整；（3）参加植树的学生平均每人植树棵．（保留整数）四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购车总费用为y （万元）．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．20．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==，10AB =，4CD =，连结并延长BD 到E ，使DE BD =，作EF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ．（1）求tan ABD ∠的值；（2）求AF 的长．21．已知：如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是劣弧BC 的中点， AD 交BC 于点E ，连结AB . （1）求证：2AB AE AD =⋅；（2）过点D 作⊙O 的切线，与BC 的延长线交于点F ，若AE =2，ED =4，求EF 的长．22．如图1，若将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°得到△COD ，则△AOB ≌△COD ．此时，我们称△AOB与△COD 为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC 是锐角三角形且AC ＞AB ， E 为AC 的中点，F 为BC 上一点且BF ≠FC （F 不与B ，C 重合），沿EF 将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC 重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形．（1）在图3中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形；（2）在图4中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形；（3）在图5中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的一块为钝角三角形．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．阅读下列材料：若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=()0≠a 的两个实数根分别为x 1，x 2，则12bx x a +=-，12c x x a⋅=．解决下列问题：已知：a ，b ，c 均为非零实数，且a ＞b ＞c ，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，其中一根为2．（1）填空：42a b c ++ 0，a 0，c 0；（填“＞”，“＜”或“＝”）（2）利用阅读材料中的结论直接写出方程20ax bx c ++=的另一个实数根（用含a ，c 的代数式表示）；（3）若实数m 使代数式2am bm c ++的值小于0，问：当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是否为正数？写出你的结论并说明理由．24．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E到达点C时，△DEF 和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．（1）当t＝2时，PH= cm，DG = cm；（2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形？请说明理由；（3）t为多少秒时点P与点G重合？写出计算过程；（4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）．25．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，以y 轴正半轴上一点(0,)A m （m 为非零常数）为端点，作与y 轴正方向夹角为60°的射线l ，在l 上取点B ，使AB =4k (k 为正整数)，并在l 下方作∠ABC =120°，BC=2OA ，线段AB ，OC 的中点分别为D ，E ．（1）当m =4，k =1时，直接写出B ，C 两点的坐标；（2）若抛物线212y x m k =-++的顶点恰好为D 点，且DE=及此时cos ∠ODE 的值；（3）当k =1时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 1，E 1；当k =3时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 3，E 3，求直线13E E 的解析式及四边形1331D D E E 的面积（用含m 的代数式表示）．北京市西城区2011年初三二模试卷数学答案及评分标准 2011.6二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式=112- ……………………………………………………………4分 =32． ……………………………………………………………………5分 14．证明：如图1．在△ACE 和△BDE 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,BD AC BED AEC DBE CAE ………………………………3分∴ △ACE ≌△BDE ． ……………………………………………………………4分 ∴ AE =BE ．………………………………………………………………………5分 15．解：（1）∵ 关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个不相等的实数根，∴ 16420k ∆=-⨯>． ………………………………………………………1分解得2k <． ……………………………………………………………………2分（2）∵2k <，∴ 符合条件的最大整数1k =，此时方程为2420x x ++=． ……………3分∴ 142a b c ===，，． ∴ 22444128b ac -=-⨯⨯=．………………………………………………4分代入求根公式x =，得2x ==-±．…………5分 ∴ 1222x x =-+=-16．解：原式=222222x xy y xy y ++--=22x y -．………………………………………2分 ∵ 122=+xy x ①，152=+y xy ②，∴ ①-②，得223x y -=-． ………………………………………………………4分 ∴ 原式=3-． ………………………………………………………………………5分17．解：（1）∵ 反比例数my x=()0≠m 的图象经过(3,1)A -，(2,)B n 两点，（如图2） ∴ 313m =-⨯=-，322m n ==-．∴ 反比例函数解析式为3y x=-．………………………1分点B 的坐标为3(2)2B -，．……………………………2分∵ 一次函数y kx b =+()0≠k 的图象经过(3,1)A -，3(2)2B -，两点，∴ 31,32.2k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩解得 1,21.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 一次函数的解析式为1122y x =--．……………………………………3分（2）设一次函数1122y x =--的图象与x 轴的交点为C ，则点C 的坐标为(1,0)C -．∴ =AOB ACO COB S S S ∆∆∆+113=11+1222⨯⨯⨯⨯5=4． …………………………5分18．解：（1）50；………………………………………………………………………………1分（2）………………………………………………………………………………3分（3）3．………………………………………………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）因为购买大型客车x 辆，所以购买中型客车(20)x -辆． ()62402022800y x x x =+-=+．…………………………………………2分（2）依题意得x -20< x .解得x >10．……………………………………………………………………3分∵ 22800y x =+，y 随着x 的增大而增大，x 为整数，∴ 当x=11时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． …………4分此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．……………………………5分答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1 042万元． 20．解：（1）作DM ⊥AB 于点M ，CN ⊥AB 于点N ．（如图3） ∵ AB ∥DC ，DM ⊥AB ，CN ⊥AB ， ∴ ∠DMN =∠CNM =∠MDC =90︒． ∴ 四边形MNCD 是矩形. ∵4CD =， ∴ MN =CD = 4．∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，5AD BC ==， ∴ ∠DAB =∠CBA ，DM=CN ． ∴ △ADM ≌△BCN ．又∵10AB =， ∴ AM =BN =()11(104)322AB MN -=⨯-=． ∴ MB =BN +MN =7．……………………………………………………………2分 ∵ 在Rt △AMD 中，∠AMD =90︒，AD =5，AM =3， ∴4DM =． ∴ 4tan 7DM ABD BM ∠==．……………………………………………………3分（2）∵ EF AB ⊥， ∴ ∠F =90︒．∵∠DMN =90︒， ∴ ∠F =∠DMN . ∴ DM ∥EF ．∴ △BDM ∽△BEF ． ∵ DE BD =， ∴12BM BD BF BE ==． ∴ BF =2BM =14． ……………………………………………………………4分 ∴ AF =BF -AB =14-10=4． …………………………………………………5分 21．（1）证明：如图4．∵ 点A 是劣弧BC 的中点，∴ ∠ABC ＝∠ADB ．………………………1分又∵ ∠BAD ＝∠EAB ，∴ △ABE ∽△ADB ．………………………2分 ∴AB ADAE AB=． ∴ 2AB AE AD =⋅．………………………………………………………3分（2）解：∵ AE =2，ED =4，∴()22612AB AE AD AE AE ED =⋅=+=⨯=．∴AB =．………………………………………………………4分 ∵ BD 为⊙O 的直径， ∴ ∠A =90︒．又∵ DF 是⊙O 的切线， ∴ DF ⊥BD.∴ ∠BDF =90︒．在Rt △ABD 中，tan AB ADB AD ∠===， ∴ ∠ADB =30︒．∴ ∠ABC =∠ADB =30︒. ∴∠DEF=∠AEB=60︒，903060EDF BDF ADB ∠=∠-∠=︒-︒=︒． ∴ ∠F =18060DEF EDF ︒-∠-∠=︒．∴ △DEF 是等边三角形．∴ EF = DE 5分22．解：（1）……………………………………………………1分（2）……………………………………………………3分（3）……………………………………………………5分 23．解：（1）＝，＞，＜．……………………………………………………………………3分（2）2ca．……………………………………………………………………………4分（3）答：当x =5m +时，代数式2y ax bx c =++的值是正数．理由如下：设抛物线2y ax bx c =++（a ≠0），则由题意可知，它经过A (,0)2ca，B (2,0) 两点． ∵ a ＞0，c ＜0，∴ 抛物线2y ax bx c =++开口向上，且2ca＜0＜2，即点A 在点B 左侧．………………………5分设点M 的坐标为2(,)M m am bm c ++，点N 的坐标为(5,)N m y +． ∵ 代数式2am bm c ++的值小于0，∴ 点M 在抛物线2y ax bx c =++上，且点M 的纵坐标为负数． ∴ 点M 在x 轴下方的抛物线上．（如图5）∴ A M B x x x <<，即22cm a<<． ∴ 5572c m a +<+<，即572N c x a+<<．以下判断52ca+与B x 的大小关系：∵ 42a b c ++＝0，a ＞b ，a ＞0， ∴ 66(42)(5)(5)202222B c c a c a a b a b x a a a a a+-+-+-=+-===>． ∴B x ac>+52． ∴ 52N B cx x a>+>．…………………………………………………………6分 ∵ B ，N 两点都在抛物线的对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大， ∴B N y y >，即0y >.∴ 当x =5m +时，代数式2ax bx c ++的值是正数． ………………………7分 24．解：（1）52，265．………………………………………………………………………2分（2）只有点P 在DF 边上运动时，△PDE 才能成为等腰三角形，且PD=PE ．（如图6）……………3分∵ BF=t ，PF=2t ，DF ＝8， ∴ 82PD DF PF t =-=-．在Rt △PEF 中，2222436PE PF EF t =+=+=2PD ．即()2228364t t -=+．解得 78t =．…………………………………4分 ∴ t 为78时△PDE 为等腰三角形．（3）设当△DEF 和点P 运动的时间是t 时，点P 与点G 重合，此时点P 一定在DE 边上，DP= DG ．由已知可得93tan 124AC B BC ===，63tan 84EF D DF ===． ∴.D B ∠=∠∴.90︒=∠=∠BFH DGH ∴ 3tan 4FH BF B t =⋅=，384D H D F F H t=-=-， .5325354438cos +-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=t t D DH DG∵ 2DP DF t +=， ∴ 28DP t =-．由DP=DG 得3322855t t -=-+．解得 7213t =． …………………………………………………………………5分检验：724613<<，此时点P 在DE 边上. ∴ t 的值为7213时，点P 与点G 重合．（4）当0＜t ≤4时，点P 在DF 边上运动（如图6），ta n 2PFPBF BF∠==． …………………………………………………………………………………6分当4< t ≤6时，点P 在DE 边上运动（如图7），作PS ⊥BC 于S ，则tan PS PBF BS∠=．可得10(28)182PE DE DP t t =-=--=-．此时()5725821854cos cos +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE PS ， ()5545621853sin sin +-=-=⋅=∠⋅=t t D PE EPS PE ES ． 524511554566-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=-+=t t t ES EF BF BS ．∴ 728tan 1124PS tPBF BS t -∠==-．………………………………………………7分综上所述， 2 (04),tan 728 (46).1124t PBF t t t <≤⎧⎪∠=-⎨<≤⎪-⎩（以上时间单位均为s ，线段长度单位均为cm ）25．解：（1）B，………………………………………………………1分 C点的坐标为．………………………………………………………3分（2）当AB =4k ，(0,)A m 时，OA =m ，与（1）同理可得B点的坐标为,2)B k m +， C点的坐标为,2)C k ．如图8，过点B 作y 轴的垂线，垂足为F ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为G ，两条垂线的交点为H ，作DM ⊥FH 于点M ，EN ⊥OG 于点N ．由三角形中位线的性质可得点D的坐标为,)D k m +，点E的坐标为)E k ．由勾股定理得DE ． ∵DE=∴ m=4． ……………………………4分 ∵ D恰为抛物线212y x m k =-++的顶点，它的顶点横坐标为， ∴=．解得k=1．此时抛物线的解析式2143y x x =-+． …………………………………5分此时D ，E两点的坐标分别为D，E ． ∴OD =OE = ∴ OD=OE=DE ．∴ 此时△ODE 为等边三角形，cos ∠ODE= cos60°=12．……………………6分（3）E 1，E 3点的坐标分别为1E ，E3．设直线13E E 的解析式为y ax b =+（a ≠0）．则1,3.a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得.2a m b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 直线13E E的解析式为2my =-． ……………………………………7分可得直线13E E 与y 轴正方向的夹角为60°.∵ 直线13D D ，13E E 与y 轴正方向的夹角都等于60°， ∴ 13D D ∥13E E ．∵ D 1，D 3两点的坐标分别为11)D m +，33)D m +，由勾股定理得13D D =4，13E E =4． ∴ 1313D D E E =．∴ 四边形1331D D E E 为平行四边形．设直线13E E 与y 轴的交点为P ，作AQ ⊥13E E 于Q ．（如图9）可得点P 的坐标为.23,2,0m AP m P =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴.43360sin sin m AP OPQ AP AQ =︒⋅=∠⋅=∴ 1331134D D E E S D D AQ =⨯==四边形．…………………………8分。

2012年北京各区县初三数学二模(共六套)

海淀区九年级第二学期期末练习数学 2012. 6一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. -5的倒数是A ．15B ．15- C ．5- D ．52. 2012年4月22日是第43个世界地球日，中国国土资源报社联合腾讯网发起“世界地球日”微话题，共有18 891 511人次参与了这次活动，将18 891 511用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为 A. 18.9⨯106 B. 0.189⨯108 C. 1.89⨯107 D. 18.8⨯1063. 把2x 2 − 4x + 2分解因式，结果正确的是A ．2(x − 1)2B ．2x (x − 2)C ．2(x 2 − 2x + 1)D ．(2x −2)24. 右图是由七个相同的小正方体堆砌而成的几何体，则这个几何体的俯视图是A BCD 5．从1, -2, 3这三个数中,随机抽取两个数相乘,积为正数的概率是A ．0B ．13C ．23D ．16. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =3，D ，E 分别在 AB 、AC 上，将△ADE 沿DE 翻折后，点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为 A. 21B. 3C. 2D. 1A'ED ABCC. 中位数是51.5D. 众数是588．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ,∠ABC =60°，AB = DC =2, AD =1， R 、P 分别是BC 、CD 边上的动点（点R 、B 不重合, 点P 、C 不重合），E 、F 分别是AP 、RP 的中点，设BR=x ，EF=y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是A B C D二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 若二次根式23-x 有意义，则 x 的取值范围是 .10．若一个多边形的内角和等于540︒，则这个多边形的边数是 .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 、B 、C 在双曲线xy 6=上，BD ⊥x 轴于D , CE ⊥ y 轴于E ,点F 在x 轴上，且AO =AF , 则图中阴影部分的面积之和为 .12．小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：按表中规律，当所得分数为71分时，则挪动的珠子数为颗; 当挪动n 颗珠子时（n 为大于1的整数）, 所得分数为（用含n 的代数式表示）.FE R P B C D A班级三、解答题（本题共30分，每小题5分） 1311|5|()3tan604---+︒．14．解方程：6123x x x +=-+.15. 如图，AC //EG , BC //EF , 直线GE 分别交BC 、BA 于P 、D ，且AC=GE , BC=FE . 求证：∠A =∠G .16．已知2220a a --=，求代数式221111121a a a a a --÷--++的值．17. 如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于点A (-2, 0)、B (0, 2). （1）求一次函数的解析式;（2）若点C 在x 轴上，且OC =23, 请直接写出∠ABC 的度数.18. 如图，在四边形ABCD 中，∠ADB =∠CBD =90︒，BE//CD 交AD 于E , 且EA=EB ．若AB=54，DB =4, 求四边形ABCD 的面积．GF E D CA P EDCA四、解答题（本题共20分，第19题、第20题各5分，第21题6分，第22题4分） 19. 某街道办事处需印制主题为“做文明有礼的北京人，垃圾减量垃圾分类从我做起”的宣传单. 街道办事处附近的甲、乙两家图文社印制此种宣传单的收费标准如下：甲图文社收费s （元）与印制数t (张)的函数关系如下表：乙图文社的收费方式为：印制2 000张以内（含2 000张），按每张0.13元收费；超过 2 000张，均按每张0.09元收费.（1）根据表中给出的对应规律，写出甲图文社收费s （元）与印制数t (张)的函数关系式；（2）由于马上要用宣传单，街道办事处同时在甲、乙两家图文社共印制了1 500张宣传单，印制费共179元，问街道办事处在甲、乙两家图文社各印制了多少张宣传单？（3）若在下周的宣传活动中，街道办事处还需要加印5 000张宣传单，在甲、乙两家图文社中选择图文社更省钱.20．如图，AC 、BC 是⊙O 的弦, BC //AO , AO 的延长线与过点C 的射线交于点D , 且∠D =90︒-2∠A .（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线；（2）若BC=4，1tan 2D =，求CD 和AD 的长．21. 李老师为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ：较差.并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）李老师一共调查了多少名同学？（2）C 类女生有名，D 类男生有名，将上面条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A 类和D 类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.类别50%25%15%D C B A22．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α (0︒ <α <360︒) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角形就是一个旋转角为120︒的旋转对称图形. 如图1，点O 是等边三角形△ABC 的中心, D 、E 、F 分别为AB 、BC 、 CA 的中点, 请你将△ABC 分割并拼补成一个与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.图1小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题：如图3，在等边△ABC 中, E 1、E 2、E 3分别为AB 、 BC 、CA 的中点，P 1、P 2, M 1、M 2, N 1、N 2分别为 AB 、BC 、CA 的三等分点. （1）在图3中画出一个和△ABC 面积相等的新的旋转对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；（2）若△ABC 的面积为a ，则图3中△FGH 的面积为．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线 2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点．（1）求m 的取值范围；（2）若m >1, 且点A 在点B 的左侧，OA : OB =1 : 3, 试确定抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x 轴, 将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折, 抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答: 当直线13y x b =+与新图象只有一个公共点P (x 0, y 0)且 y 0≤7时, 求b 的取值范围.E 3 E 1 E 2P 1 P 2 N 1N 22 1 B A图3 GFH24. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C .（1）求点B 的坐标 (用含m 的代数式表示)；（2）D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标.备用图25. 在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论; （2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.图1 图2 图3A N DA C E D NM B F E C B F N M E C B海淀区九年级第二学期期末练习数学试卷答案及评分参考 2012. 6说明: 与参考答案不同, 但解答正确相应给分. 一、选择题（本题共32分，每小题4分）1. B2. C3. A4. C5. B6. D7. D8. C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.23x ≥10. 5 11. 12 12．8; 21n n +- （每空各 2分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13115()3tan604---+︒=54-+ …………………………………………………4分=1. …………………………………………………5分14．解：去分母，得 ()()()()63223x x x x x ++-=-+． ………………………………2分2261826x x x x x ++-=+-. ……………………………………………………3分整理，得 324x =-．解得 8x =-． ………………………………………………………………4分经检验，8x =-是原方程的解．所以原方程的解是8x =-． ……………………………………………………5分15．证明：∵ AC //EG ，∴ C CPG ∠=∠． …………1分 ∵ BC //EF ，∴ CPG FEG ∠=∠．∴ C FEG ∠=∠． …………………………………………2分在△ABC 和△GFE 中，,,,AC GE C FEG BC FE =⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩ ∴ △ABC ≌△GFE ． …………………………………………………4分∴A G ∠=∠． …………………………………………………5分16. 解：原式=()()()21111111a a a a a +-⋅-+-- ……………………………………………2分 =()21111a a a +--- …………………………………………………3分 =22.(1)a -- …………………………………………………4分由2220a a --=，得 2(1)3a -=.∴ 原式=23-. …………………………………………………5分 GFEDC AP17．解：（1）依题意设一次函数解析式为2y kx =+. …………………………………1分∵ 点A (2,0-)在一次函数图象上， ∴022k =-+. ∴ k =1. ……………………………………………………2分 ∴ 一次函数的解析式为2y x =+. …………………………………3分（2）ABC ∠的度数为15︒或105︒．（每解各1分） ……………………5分18．解: ∵∠ADB =∠CBD =90︒，∴ DE ∥CB . ∵ BE ∥CD ， ∴ 四边形BEDC 是平行四边形. ………1分 ∴ BC=DE .在Rt △ABD 中，由勾股定理得8AD =. ………2分设DE x =，则8EA x =-． ∴8EB EA x ==-．在Rt △BDE 中，由勾股定理得 222DE BD EB +=.∴ 22248x x +=-（）． ……………………………………………………3分 ∴ 3x =．∴ 3BC DE ==． ……………………………………………………4分 ∴1116622.22ABD BDC ABCD S S S BD AD BD BC ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形 ………… 5分四、解答题（本题共20分，第19题、第20题各5分，第21题6分, 第22题4分）19．解：（1）甲图文社收费s （元）与印制数t （张）的函数关系式为0.11s t =. ……1分（2）设在甲、乙两家图文社各印制了x 张、y 张宣传单，依题意得 {1500,0.110.13179.x y x y +=+= ………………………………………… 2分解得800,700.x y =⎧⎨=⎩……………………………………………… 3分答：在甲、乙两家图文社各印制了800张、700张宣传单. ………………4分（3）乙 . ……………………………………………………… 5分20.（1）证明：连结OC .∴ ∠DOC =2∠A . …………1分 ∵∠D = 90°2A -∠， ∴∠D +∠DOC =90°. ∴ ∠OCD =90°.∵ OC 是⊙O 的半径，∴ 直线CD 是⊙O 的切线. ………………………………………………2分（2）解: 过点O 作OE ⊥BC 于E , 则∠OEC =90︒.∵ BC =4,∴ CE =12BC =2.∵ BC //AO , ∴ ∠OCE =∠DOC .D EC BA∵∠COE +∠OCE =90︒, ∠D +∠DOC =90︒,∴ ∠COE =∠D . ……………………………………………………3分 ∵tan D =12, ∴tan COE ∠=12. ∵∠OEC =90︒, CE =2,∴4tan CEOE COE==∠.在Rt △OEC 中, 由勾股定理可得OC ==在Rt △ODC 中, 由1tan 2OC D CD ==，得CD =, ……………………4分由勾股定理可得 10.OD =∴10.AD OA OD OC OD =+=+= …………………………………5分 21．解：（1）(64)50%20+÷=. 所以李老师一共调查了20名学生. …………………1分（2）C 类女生有 3 名，D 类男生有 1 名；补充条形统计图略.说明：其中每空1分，条形统计图1分. ……………………………………4分（3）解法一：由题意画树形图如下：………………………5分从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=3162=. ………………6分解法二：由题意列表如下：………………………5分由上表得出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种. 所以P (所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学)=3162=. ………………6分 22.解：（1）画图如下：(答案不唯一) …………………………………2分图3从D 类中选取从A 类中选取女女男男女女男女男（2）图3中△FGH 的面积为7a. …………………………………4分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）∵ 抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点，∴210,(2)4(1)0.m m m ì- ïïíïD =-+->ïî由①得1m ¹，由②得0m ¹，∴ m 的取值范围是0m ¹且1m ¹． ……………………………………………2分（2）∵ 点A 、B 是抛物线2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴的交点，∴ 令0y =，即 2(1)(2)10m x m x -+--=．解得 11x =-，211x m =-． ∵1m >， ∴10 1.1m >>-- ∵ 点A 在点B 左侧，∴ 点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为1(,0)1m -. …………………………3分 ∴ OA=1，OB =11m -． ∵ OA : OB =1 : 3，∴131m =-. ∴ 43m =．∴ 抛物线的解析式为212133y x x =--． ………………………………………4分（3）∵ 点C 是抛物线212133y x x =--与y 轴的交点，∴ 点C 的坐标为(0,1)-.依题意翻折后的图象如图所示．令7y =，即2121733x x --=．解得16x =, 24x =-．∴ 新图象经过点D (6,7). 当直线13y x b =+经过D 点时，可得5b =.① ② …………………………………………1分当直线13y x b =+经过C 点时，可得1b =-．当直线1(1)3y x b b =+<-与函数2121(33y x x x =-->的图象仅有一个公共点P (x 0, y 0)时，得20001121333x b x x +=--.整理得 2003330.x x b ---=由2(3)4(33)12210b b D =----=+=，得74b =-结合图象可知，符合题意的b 的取值范围为15b -<≤或4b <-． ……………7分 24.解：（1）∵22222221212112()()4422y x x x mx m m x m m m m m m =-=-+-⋅=--，∴抛物线的顶点B 的坐标为11(,)22m m -. ……………………………1分（2）令2220x x m-=，解得10x =, 2x m =.∵ 抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A ， ∴ A (m , 0), 且m <0. …………………………………………………2分过点D 作DF ⊥x 轴于F . 由 D 为BO 中点，DF //BC , 可得CF =FO =1.2CO ∴ DF =1.2BC由抛物线的对称性得 AC = OC . ∴ AF : AO =3 : 4. ∵ DF //EO ,∴ △AFD ∽△AOE . ∴.FD AFOE AO= 由E (0, 2)，B 11(,)22m m -，得OE =2, DF =14m -.∴134.24m-=∴ m = -6.∴ 抛物线的解析式为2123y x x =--. ………………………………………3分（3）依题意，得A （-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为x y -=,直线BC 为3x =-. 作点C 关于直线BO 的对称点C '(0，3)，连接AC '交BO于M ，则M 即为所求. 由A （-6，0），C ' (0, 3)，可得直线AC '的解析式为321+=x y .由13,2y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩ ∴ 点M 的坐标为(-2, 2). ……………4分由点P 在抛物线2123y x x =--上，设P (t ，213t - (ⅰ)当AM 为所求平行四边形的一边时. 如右图，过M 作MG ⊥ x 轴于G ,过P 1作P 1H ⊥ BC 于H , 则x G = x M =-2, x H = x B =-3.由四边形AM P 1Q 1为平行四边形，可证△AMG ≌△P 1Q 1H . 可得P 1H = AG =4. ∴ t -(-3)=4. ∴ t =1.∴17(1,)3P -. ……………………5分如右图，同方法可得 P 2H=AG =4. ∴ -3- t =4. ∴ t =-7.∴27(7,)3P --. ……………………6分 (ⅱ)当AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M 作MH ⊥BC 于H , 过P 3作P 3G ⊥ x 轴于G , 则x H = x B =-3，x G =3P x =t . 由四边形AP 3MQ 3为平行四边形，可证△A P 3G ≌△MQ 3H . 可得AG = MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t =-5. ∴35(5,)3P -. ……………………………………………………7分综上，点P 的坐标为17(1,)3P -、27(7,)3P --、35(5,)3P-. 25. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ， ∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°． ∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°． ………………………………1分 ∵ E 为CF 的中点，EG//CD ,∴ GF =DG =11.22DF CD =∴ 1.2GE CD =∵ N 为MD (AD )的中点， ∴ AN =ND =11.22AD CD = ∴ GE =AN , NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ……………………………2分 ∴ △NGE ≌△BAN ． ∴ ∠1=∠2. ∵ ∠2+∠3=90°， ∴ ∠1+∠3=90°． ∴ ∠BNE =90°. ∴ BN ⊥NE ． ……………………………………………………………3分 ∵ ∠CDF =90°, CD =DF , 可得 ∠F =∠FCD =45°，CFCD= .于是12CFCE CE CE BM BA CD CD ==== ……………………………………4分（2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ，交CD 于点H ．∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ∥CG ．∴ ∠MBN =∠DGN ，∠BMN =∠GDN . ∵ N 为MD 的中点，∴ MN =DN ．∴ △BMN ≌△GDN ．∴ MB =DG ，BN =GN . ∵ BN =NE ，∴ BN =NE =GN . ∴ ∠BEG =90°． ……………………………………………5分 ∵ EH ⊥CE ， ∴ ∠CEH =90°． ∴ ∠BEG =∠CEH ． ∴ ∠BEC =∠GEH ．由（1）得∠DCF =45°． ∴ ∠CHE =∠HCE =45°．HGA BC DEM N F 321GFEA (M )CD NB∴ EC=EH , ∠EHG =135°．∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°， ∴ ∠ECB =∠EHG ． ∴ △ECB ≌△EHG ． ∴ EB =EG ，CB =HG ． ∵ BN =NG ，∴ BN ⊥NE. ……………………………………………6分∵ BM =DG= HG -HD= BC -HD =CD -，∴CE BM. ……………………………………………7分（3）BN ⊥NE ；CEBM.………………………………………………8分丰台区2012年初三统一练习（二）数学试卷学校姓名准考证号一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2-的绝对值是A ．12-B ．12C ．2D ．2-2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002 5米，把0.000 002 5用科学记数法表示为A ．62.510⨯ B ．50.2510-⨯ C ． 62.510-⨯ D ．72510-⨯ 3．如图，在△ABC 中， DE ∥BC ，如果AD =1， BD =2，那么DEBC的值为 A ．12 B ．13 C ．14 D ．194．在4张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、矩形、菱形和圆，在看不见图形的情况下随机抽取1张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是 A ．14B ．12C ．34D ．1 5．若20x +=则 y x 的值为A ．－8B ．－6C ．6D ．8 6．下列运算正确的是 A ．222()a b a b +=+B ．235a b ab +=C ．632a a a ÷=D ．325a a a ⋅=EDCBA7．小张每天骑自行车或步行上学，他上学的路程为2 800米，骑自行车的平均速度是步行的平均速度的4倍，骑自行车上学比步行上学少用30分钟．设步行的平均速度为x 米/分．根据题意，下面列出的方程正确的是A ．30428002800=-xx B ．30280042800=-x xC ．30528002800=-x xD ．30280052800=-xx8．如图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上．．一面的字是 A ．北 B ．京C ．精D ．神二、填空题（本题共16分，每小题4分）9有意义，则x 的取值范围是． 10．分解因式：=+-b ab b a 25102．11．如图, ⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ，如果1OD =，那么BAC ∠=________︒． 12．符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算如下：2(1)11f =+，2(2)12f =+，2(3)13f =+，2(4)14f =+，…，利用以上运算的规律写出()f n = (n 为正整数) ；(1)(2)(3)(100)f f f f ⋅⋅⋅= ．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：()︒⎪⎭⎫⎝⎛+45sin 4-211-3-272-03．14．已知2230a a --=，求代数式2(1)(2)(2)a a a a --+-的值．DOCBA15．解分式方程：21124x x x -=--．16．如图，在△ABC 与△ABD 中， BC 与AD 相交于点O ，∠1=∠2，CO = DO ．求证：∠C =∠D ．17．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =-x 的图象与反比例函数ky x=的图象交于A 、B 两点．（1）求k 的值；（2）如果点P 在y 轴上，且满足以点A 、B 、P 为顶点的三角形是直角三角形，直接写出点P 的坐标．18．为了增强居民的节约用电意识，某市拟出台居民阶梯电价政策：每户每月用电量不超过230千瓦时的部分为第一档，按每千瓦时0.49元收费；超过230千瓦时且不超过400千瓦时的部分为第二档，超过的部分按每千瓦时0.54元收费；超过400千瓦时的部分为第三档，超过的部分按每千瓦时0.79元收费．（1）将按阶梯电价计算得以下各家4月份应交的电费填入下表:（2）设一户家庭某月用电量为x 千瓦时，写出该户此月应缴电费y （元）与用电量x （千瓦时）之间的函数关系式．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AB 于点M ，交CB的延长线于点F ．如果FB 的长是2，求菱形ABCD 的周长．20．已知：如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，联结AB 交O C 于点D ，AC =CD ．（1）求证：OC ⊥OB ；B21DOCBAMFEBCDA（2）如果OD=1，tan∠OCA=2，求AC的长．22．小杰遇到这样一个问题：如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF，△AEF的三条高线交于点H，如果AC=4，EF=3，求AH的长．小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将△AEH平移至△GCF的位置(如图2)，可以解决这个问题．请你参考小杰同学的思路回答：（1）图2中AH的长等于．（2）如果AC=a，EF=b，那么AH的长等于．B A DCEFHGHFEDAB图1 图2五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的一元二次方程242(1)0x x k -+-=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果抛物线242(1)y x x k =-+-与x 轴的两个交点的横坐标为整数，求正整数k 的值；（3）直线y =x 与（2）中的抛物线在第一象限内的交点为点C ，点P 是射线OC 上的一个动点（点P 不与点O 、点C 重合），过点P 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于点M ，点Q 在直线PC 上，距离点PP 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．24．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当AB ≠AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1 图2AEFPB D CCE AD F P25．如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系xOy 中，A （32，0），C （0，2）． (1) 抛物线2y x bx c =-++经过点B 、C ，求该抛物线的解析式；（2）将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度α（0°<α<90°），在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1）中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标；（3）如图（2），将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°<θ<180°），将得到矩形OA’B’C’，设A’C’的中点为点E ，联结CE ，当θ= °时，线段CE 的长度最大，最大值为．北京市丰台区2011_2012学年第二学期初三综合练习（二）参考答案二、填空题（本题共16分，每小题4分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=3-1+4-422⨯……4分 =6-22….5分14．解：2(1)(2)(2)a a a a --+-=22224a a a --+……1分. =224a a -+． ……2分2230a a --= ， ∴223a a -=． (3)分∴原式=224347a a -+=+=．….….5分 15．21124x x x -=-- 解：2(2)(4)1x x x +--=．……1分 22241x x x +-+=．……2分23x =-．…… 3分32x =-．…….4分检验：经检验，32x =-是原方程的解．∴原方程的解是32x =-．……5分16．证明： ∠1=∠2， ∴OA=OB ．…1分在△COA 和△DOB 中， OA=OB ，∠AOC =∠BOD ， CO=DO ．∴△COA ≌△DOB ．……….4分 ∴∠C =∠D ． …………….5分17．解：（1）反比例函数ky x= 的图象经过点A (-1，1) ，∴-11-1k =⨯=．…………1分（2）P 1(0、 P 2(0，、P 3(0，2)、 P 4(0，-2) ……5分18．解：（1）……2分（2）当0230x ≤≤时，0.49y x =；……3分当230400x <≤时，0.54-11.5y x =；……4分当400x >时，0.79-111.5y x =．……5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：联结BD ． ∵在菱形ABCD 中，∴AD ∥BC ，AC ⊥BD ．……1分又∵EF ⊥AC ， ∴BD ∥EF ． ∴四边形EFBD 为平行四边形．……2分∴FB = ED =2．……3分 ∵E 是AD 的中点． ∴AD =2ED =4．……4分 ∴菱形ABCD 的周长为4416⨯=．……5分（2）700⨯（1-0.04）=672．……5分答：这所学校每学期参加社会实践活动的时间不少于23．解：（1）由题意得△>0． ∴△=2(4)4[2(1)]8240k k ---=-+>．……1分 ∴解得3<k ．……2分（2）∵3<k 且k 为正整数，∴1=k 或2．……3分当1=k 时，x x y 42-=，与x 轴交于点（0，0）、（4，0），符合题意；当2=k 时，242+-=x x y ，与x 轴的交点不是整数点，故舍去．综上所述，1=k ．……4分（3）∵2,4y x y x x =⎧⎨=-⎩，∴点C 的坐标是（5，5）．∴OC 与x 轴的夹角为45°．过点Q 作QN ⊥PM 于点N ，（注：点Q 在射线PC 上时，结果一样，所以只写一种情况即可）∴∠NQP =45°，NQ PM S ⋅=21． ∵PQNQ =1．∵P （t t ,），则M （t t t 4,2-），∴PM =t t t t t 5)4(22+-=--．……5分∴t t S 5212+-=． ∴当50<<t 时，t t S 25212+-=；……6分当5>t 时，t t S 25212-=．……7分24．解：（1）DE =DF ．……1分（2）DE =DF 不发生改变．……2分理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ．∵D 为BC 的中点，∴BP DN BP DN //,21=．……3分∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 21==．∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠．…4分同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠． ∴四边形MDNP 为平行四边形．……5分∴67∠=∠．∵,41∠=∠∴35∠=∠． ∴EMD DNF ∠=∠．……6分 ∴△EMD ≌△DNF ． ∴DE =DF ．……7分25．解：（1）∵矩形OABC ，A （32，0），C （0，2），∴B （32，2）．∴抛物线的对称轴为x =3．∴b =3．……1分 ∴二次函数的解析式为：22y x =-++．……2分(2)①当顶点A 落在对称轴上时，设点A 的对应点为点A ’，联结OA ’，设对称轴x =3与x 轴交于点D ，∴OD =3．∴OA ’ = OA =32．在Rt △OA ’D 中，根据勾股定理A ’D =3． ∴A ’(3，-3) ． ……4分 ②当顶点落C 对称轴上时(图略)，设点C 的对应点为点C ’，联结OC ’，在Rt △OC ’D 中，根据勾股定理C ’D =1．7654321NMCD BPFEA∴C ’(3，1)．……6分 (3) 120°，4．……8分2012年门头沟区初三年级第二次统一练习数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的. 1. 4-的倒数是 A.4-B.4C. D. 2. 在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.000 0963贝克/立方米．将 0.000 0963用科学记数法表示为A. 51063.9⨯ B. 51063.9-⨯ C. 41063.9-⨯ D. 31063.9-⨯ 3. 下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是4. 五边形的内角和是A.360°B.540°C.720°D.900° 5. 为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动，九（1）班40名同学积极参与．现将捐书数量绘制成频数分布直方图如图所示，则捐书数量在5.5～6.5组别的频率是A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.46. 某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公41-41Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．EDCB A顷产量的两组数据，两组数据的平均数相同，其方差分别为s 甲2＝0.002、s 乙2＝0.03，则下列说法正确的是 A ．甲比乙的产量稳定B ．乙比甲的产量稳定C ．甲、乙的产量一样稳定D ．无法确定哪一品种的产量更稳定7.关于x 的一元二次方程032=-+m x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 A. B. C. D.8. 如图，已知MN 是圆柱底面直径，NP 是圆柱的高.在圆柱的侧面上，过点M 、P 嵌有一圈路径最短的金属丝.现将圆柱侧面沿NP 剪开，所得的侧面展开图是A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 分解因式：22344xy y x x +-= . 10. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，若32=BD AD ，AE =3，则AC = . 11.一商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元. 该商场为促销决定：买1支毛笔就赠送1本书法练习本. 某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种练习本x （10≥x ）本，则付款金额y （元）与练习本个数x （本）之间的函数关系式是 .12. 一组按规律排列的式子：22b a ，432b a -，843b a ，1654b a -，…，其中第6个式子是，第n 个式子是（n 为正整数）．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.计算：4)3(45sin 80-+-+︒-π14.解不等式组：()⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+321234xx x x15.已知：3=x ，求2212-÷-x x x x 的值.PNM P /N /PN M P /N /P N M P /N /P N M M /P /N/PNM 121>m 121<m 121->m 121-<m16. 已知：如图，点E 、F 分别为□ABCD 的BC 、AD 边上的点，且∠1=∠2. 求证：AE =FC .17. 如图，已知反比例函数y =x6(x ＞0)的图象与一次函数y =kx +b 的图象交于点A （1，m ），B （n ，2）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）结合图象回答：反比例函数的值大于一次函数的值时x 的取值范围.18. 列方程或方程组解应用题某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天修的桌凳套数是甲小组的1.5倍．求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套？四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分）19.已知：如图，四边形ABCD 中，BC =CD =DB ，∠ADB =90°，sin ∠ABD =54，S △BCD =39. 求四边形ABCD 的周长.20. 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径．点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D .(1)求证：CD 为⊙O 的切线；(2)若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长.21.甲学校到丙学校要经过乙学校. 从甲学校到乙学校有A 1、A 2、A 3三条线路，从乙学校到丙学校有B 1、B 2二条线路．（1）利用树状图或列表的方法表示从甲学校到丙学校的线路中所有可能出现的结果；（2）小张任意走了一条从甲学校到丙学校的线路，求小张恰好经过了B 1线路的概率是多21F EDCBA DC BA少？23. 已知抛物线y ＝ax 2＋x ＋2.(1)当a ＝－1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴； (2)若代数式－x 2＋x ＋2的值为正整数，求x 的值；(3)若a 是负数时，当a ＝a 1时，抛物线y ＝ax 2＋x ＋2与x 轴的正半轴相交于点M (m ，0)；当a ＝a 2时，抛物线y ＝ax 2＋x ＋2与x 轴的正半轴相交于点N (n ，0). 若点M 在点N 的左边，试比较a 1与a 2的大小.24. 有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连结BD 、MF ，此时他测得BD ＝8cm ，∠ADB ＝30°．（1）在图1中，请你判断直线FM 和BD 是否垂直？并证明你的结论；（2）小红同学用剪刀将△BCD 与△MEF 剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB 1D 1，AD 1交FM 于点K （如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；（3）若将△AFM 沿AB 方向平移得到△A 2F 2M 2（如图3），F 2M 2与AD 交于点P ，A 2M 2与BD 交于点N ，当NP ∥AB 时，求平移的距离是多少.25. 如图，在直角坐标系中，梯形ABCD 的底边AB 在x 轴上，底边CD 的端点D 在y 轴上.直线CB 的表达式为，点A 、D 的坐标分别为（－4，0），（0，4）. 动点P 从A 点出发，在AB 边上匀速运动. 动点Q 从点B 出发，在折线BCD 上匀速运动，速度均为每秒1个单位长度. 当其中一个动点到达终点时，另一动点也停止运动. 设点P 运动t （秒）时，△OPQ 的面积为S （不能构成△OPQ 的动点除外）. （1）求出点C 的坐标；（2）求S 随t 变化的函数关系式；（3）当t 为何值时，S 有最大值？并求出这个最大值.C D MB FE图1D M B图3N 2P 2M 2 D MBFD 1图2B 1K31634+-=x y2012年门头沟数学二模评标一、选择题1.C2.B3.D4.B5.B6.A7.C8.A 二、填空题9.2)2(y x x - 10.215 11. 2005+=x y 12. 6476b a -，n n n n b a 2)1(11++- 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13.解：原式=412222++-……………………………………4分 =5223+ ………………………………………….5分 14. ()⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+)2(321)1(234 xx x x解：由（1）得，1-≥x …………………………………….2分由（2）得，x<3 ………………………………………4分不等式组的解集是31<≤-x ………………………5分 15.解：2212-÷-x xx x =xx x x x )1(2)1)(1(-⋅-+ ………………………..3分 =12+x ……………………………………..4分当x=3时，原式=12+x =132+=21…………………………5分16.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∠B=∠D. ………………………….2分 ∵∠1=∠2，……………………………………….3分△ABE ≌△CDF. ………………………………4分 AE=CF. ………………………………………5分17.解：（1）由题意得，m=6，n=3.∴A （1,6），B （3,2）. …………………………2分由题意得，⎩⎨⎧=+=+236b k b k解得，⎩⎨⎧=-=82b k∴一次函数解析式为y=-2x+8. ……………………3分21FEDC B A（2）反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围是0<x<1或x>3. …..5分 18.解：设甲组每天修桌凳x 套，则乙组每天修桌凳为1.5x 套. …………………………..1分由题意得，205.1960960+=xx …………………………………………….3分解得，x=16 ………………………………………………………………………4分经检验，x=16是原方程的解，且符合实际意义.1.5x=1.5⨯16=24 …………………………………………………………..5分答：甲组每天修桌凳16套，乙组每天修桌凳为24套. 19.解：过C 作CE ⊥BD 于E. ∵∠ADB =90°，sin ∠ABD =54， ∴AD=4x,AB=5x. ………………………..1分 ∴DB=3x∵BC =CD =DB ，∴DE=x 23，∠CDB=60°. ………………………2分 ∴tan ∠CDB=DECE∴CE=x 233. ……………………………3分 ∵S △BCD =39, ∴3921=⋅⋅CE BD ∴ x=2. ………………………………………….4分 ∴AD=8,AB=10,CD=CB=6.∴四边形ABCD 的周长=AD+AB+CD+CB=30. ……………………………..5分 20.(1)证明：连接OC, ∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC. ∵CD ⊥PA ， ∴∠CDA=90°，∴∠CAD+∠DCA=90°， ∵AC 平分∠PAE ，∴∠DAC=∠CAO. ………………………1分∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°. ∴CD 为⊙O 的切线． …………………………2分 (2)解：过O 作OF ⊥AB ，垂足为F ， ∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF 为矩形， ∴OC=FD ，OF=CD.∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ， ……………………3分EDCBA∵⊙O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x ，在Rt △AOF 中，由勾股定理得222AF +OF =OA . 即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：211180x x -+=解得2x =或9x =（舍）. ………………………4分 ∴AD=2, AF=5-2=3. ∵OF ⊥AB ，AB=2AF=6. ………………………..5分 21.(1)………………………………..2分结果：（A 1，B 1）,（A 1，B 2）,（A 2，B 1）,（A 2，B 2）,（A 3，B 1）,（A 3，B 2） ………….4分（2）小张恰好经过了B 1线路的概率是21………………………………………….6分22.（1）正确 ……………………………….2分（一个1分）（2）正确 ………………………………..4分 23. 当a=-1时，y=-x 2+x+2，∴a=-1,b=1,c=2. ∴抛物线的顶点坐标为(21，49)，对称轴为直线x=21.……2分 (2)∵代数式-x 2+x+2的值为正整数，∴函数y=-x 2+x+2的值为正整数.又因为函数的最大值为49，∴y 的正整数值只能为1或2. 当y=1时，-x 2+x+2＝1，解得2511+=x ，2512-=x …………3分当y=2时，-x 2+x+2＝2，解得x 3=0,x 4=1.……………4分∴x 的值为2511+=x ，2512-=x ，0或1. （3）当a ＜0时，即a 1＜0，a 2＜0.B 2B 2B 1B 1B 2B 1A 3A 2A 1经过点M 的抛物线y=a 1x 2+x+2的对称轴为121a x -=, 经过点N 的抛物线y=a 2x 2+x+2的对称轴为221a x -=.…………5分∵点M 在点N 的左边，且抛物线经过点(0,2)∴直线121a x -=在直线221a x -=的左侧……………6分∴121a -＜221a -. ∴a 1＜a 2.…………………………………………………………7分24. 解：（1）垂直. …………………………1分证明：延长FM 交BD 于N.如图1，由题意得：△BAD ≌△MAF ．∴∠ADB ＝∠AFM ．又∵∠DMN ＝∠AMF ， ∴∠ADB ＋∠DMN ＝∠AFM ＋∠AMF ＝90°．∴∠DNM ＝90°，∴BD ⊥MF ． ······································································· 2分（2）β的度数为60°或15°（答对一个得1分） ····················································· 4分（3）如图2，由题意知四边形PNA 2A 为矩形，设A 2A ＝x ，则PN ＝x ．在Rt △A 2M 2F 2中，∵M 2F 2＝MF ＝BD ＝8，∠A 2F 2M 2＝∠AFM ＝∠ADB ＝30°． ∴M 2A 2＝4，A 2F 2＝34. …………………………..5分 ∴AF 2＝34－x ．在Rt △P AF 2中，∵∠PF 2A ＝30°． ∴AP ＝AF 2tan ·30°＝(34－x )·33＝4－33x ． ∴PD ＝AD －AP ＝34－4＋33x ． ……………..6分D M A BF图2NF 2P A 2M 2 C DMB FE图1N∵NP ∥AB ，∴ABPN ＝DA DP ．∴4x＝3433434x ＋－，解得x ＝6－32．即平移的距离是(6－32)cm ． (7)分25. 解：（1）把y ＝4代入y ＝－43x ＋163，得x ＝1. ∴C 点的坐标为（1，4）. ……………………………………….1分（2）当y ＝0时，－43x ＋163＝0，∴x ＝4.∴点B 坐标为（4，0）.过点C 作CM ⊥AB 于M ，则CM ＝4，BM ＝3. ∴BC5.∴sin ∠ABC ＝CMBC＝45.① 0＜t ＜4时，过Q 作QN ⊥OB 于N ，则QN ＝BQ ·sin ∠ABC ＝45t.∴S ＝12OP ·QN ＝12（4－t ）×45t ＝－25t 2＋85t （0＜t ＜4）. ……………2分②当4＜t ≤5时，连接QO ，QP ，过点Q 作QN ⊥OB 于N .同理可得QN ＝45t .∴S ＝12OP ·QN ＝12×（t －4）×45t .＝25t 2－85t （4＜t ≤5）. …………………………….3分③当5＜t ≤6时，连接QO ，QP . S ＝12×OP ×OD ＝12（t －4）×4.＝2t －8（5＜t ≤6）. ……………………………….4分S 随t 变化的函数关系式是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-<<+-)65(82)54(5852)40(585222t t t t t t t t .（3）①当0＜t ＜4时，∵－25<0当t ＝8522()5⨯-＝2时，S 最大＝28()54()5-⨯-＝85. ……………………………5分 ②当4＜t ≤5时， S ＝25t 2－85t ，对称轴为t ＝－85225-⨯＝2，∵25>0 ∴在4＜t ≤5时，S 随t 的增大而增大.∴当t ＝5时，S 最大＝25×52－85×5＝2. …………………………..6分③当5＜t ≤6时，在S ＝2t －8中，∵2＞0，∴S 随t 的增大而增大.∴当t ＝6时，S 最大＝2×6－8＝4. …………………………………………7分∴综合三种情况，当t ＝6时，S 取得最大值，最大值是4. ………………………8分顺义区2012届初三第二次统一练习数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．9的平方根是A ．3B ．-3C ．3±D ．132．据人民网报道，“十一五”我国铁路营业里程达9.1万公里．请把9.1万用科学记数法表示应为A ．59.110⨯ B ．49.110⨯ C ．49110⨯ D ． 39.110⨯ 3．如图，下列选项中不是．．正六棱柱三视图的是（）A B C D4．把2416a bb -分解因式，结果正确的是A ．2(24)b a - B ． (22)(22)b a a +-。

2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代数综合题试题与答案

新世纪教育网精选资料版权全部 @新世纪教育网2012 年北京市中考数学二模分类汇编——代数综合题整数根、系数是整数1.（昌平23．）已知 m 整数，方程 2x2mx 1 =0 的两个根都大于 -1 且小于3，当方程2的两个根均有理数，求m 的．23．解：y2 x 2 mx1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∵ 2x2mx 1 0 的两根都在 1和3之，2∴ 当 x1 ， y0 ，即： 2 m 1 0 ．⋯⋯⋯⋯ 2 分当 x3 ， y0 ，即： 9 3 m 1 0 ．⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分2212 2∴m 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分3∵ m 整数，∴ m2， 1，0 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分① 当 m2 ，方程 2x 22x1 0，48 12 ，∴ 此方程的根无理数，不合意．② 当 m1 ，方程 2x2x 10， x 11， x 21，切合意．2③ 当 m0 ，方程 2x 2 10 ， x2 ，不切合意．2合①②③可知，m1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分2.（房山） 23．）已知：对于2x 的方程 mx － 3( m － 1) x ＋2m －3=0.⑴当 m 取何整数，对于 x 的方程 mx 2－ 3( m －1) x ＋ 2m － 3=0 的根都是整数；⑵若抛物ymx 23( m 1)xm 3 向左平移一个位后，反比率函数2yk(k 0) 上的一点（ -1,3 ），x①求抛物 ymx 2 3(m 1) x 2m 3 的分析式；②利用函数象求不等式k kx 0的解集 .xy 解：⑴43 ⑵①2- 4②23．解：⑴当 m=0 时， x=1---------------------------- 1 分当 m ≠ 0，可解得 x 1=1， x 2=2m323-----------------2 分m m∴ m 1， 3 时， x 均有整数根 --------------------------------------3分综上可得 m 0， 1， 3 时， x 均有整数根⑵①抛物线向左平移一个单位后获得 y= m( x ＋ 1) 2－ 3( m － 1)( x ＋ 1) ＋ 2m － 3 -------------4 分过点（ -1,3 ）代入解得 m= 3y∴抛物线分析式为2----------5 分4y= 3x － 6x ＋ 3②k=－ 1× 3=－ 3-----------------------6 分3 ∴x>1 或－ 1<x<0----------------------- 7分21x-4-3-2 -1O1234- 1- 2 - 3 - 43.（平谷 23）已知抛物线 y x 2 mx m 2 ．（1）求证此抛物线与 x 轴有两个不一样的交点；（2）若m 是整数，抛物线 yx2mx m 2 与 x轴交于整数点，求 m3 2的值；（）在（）的条件下，设抛物线极点为 A ，抛物线与 x 轴的两个交点中右边交点为B ．若 M 为坐标轴上一点，且 MAMB ，求点 M 的坐标．23．解：（ 1）证明：令 y0，则 x 2 mx m 2 0 ．由于m 2 4m 8 ( m 2)2 4 0 ， ·············1 分因此此抛物线与x 轴有两个不一样的交点．··············2 分（ 2）由于对于 x 的方程 x 2 mxm 20 的根为 x m( m 2)24 ，由 m 为整数，当 (m 2)2 4 为完整平方数时，此抛物线与2x 轴才有可能交于整数点．设 (m2) 2 4 n 2 （此中 n 为整数）， ··························3 分因此 [ n (m 2)][ n ( m 2)] 4 ．由于n (m 2) 与 n (m 2) 的奇偶性同样，n m 2 ，n m 2，因此2 或2；解得 m 2 ．，当 m 2 ，关于x的方程x2mx m 20 有整数根．所以m 2 ...................................5分（3）当m 2，此二次函数分析式y x2 2 x(x 1)21，点 A 的坐（1，1）．抛物与 x 的交点O(0， 0)、 B(2，0)．抛物的称与x 交于M1，M 1(10)，．在直角三角形AM 1O 中，由勾股定理，得AO 2 ，由抛物的称性可得，AB AO2．又( 2)2( 2)222222，即OAAB O B．因此△ ABO 等腰直角三角形．且M 1A M1B ．因此M1(1，0) 所求的点．····························6分若足条件的点M 2在y上， M 2坐(0，y)．A 作 AN ⊥ y 于 N ，AM2、BM2．M2A M2B．由勾股定理，有M2A2M 2N2AN 2； M2B2M 2O2OB2．即( y 1)2 12y 222．解得y 1．因此 M 2 (0，1) 所求的点．·······················7 分上所述足条件的M 点的坐（ 1，0）或（0，1）．4.（沟 23）已知抛物y＝ ax2＋ x＋ 2.(1)当 a＝－1 ，求此抛物的点坐和称；(2) 若代数式－ x2＋ x＋2 的正整数，求x 的；(3) 若 a 是数，当 a＝ a1，抛物 y＝ax2＋ x＋ 2 与 x 的正半订交于点M(m ，0)；当a＝ a2，抛物 y＝ ax2＋x＋ 2 与 x 的正半订交于点N(n， 0). 若点 M 在点 N 的左，比 a1与 a2的大小 .y 4 3 2 123. 当 a=-1 ， y=-x 2+x+2 ，∴ a=-1,b=1,c=2.-4-3-2-1O 1 2 3 4 x-1-2( 1 ， 9)，称直 x=1-3∴抛物的点坐. ⋯⋯2分2 42-4 (2) ∵代数式 -x2+x+2 的正整数，∴函数y=-x 2+x+2的正整数 .又因函数的最大9，∴ y 的正整数只好1或2. 4当 y=1 ， -x2+x+2 ＝1，解得x115， x215⋯⋯⋯⋯3 分22当 y=2 ， -x 2+x+2 ＝2，解得 x 3=0,x 4=1. ⋯⋯⋯⋯⋯4 分1515∴ x 的 x 1， x 2，0或 1.22（3）当 a ＜ 0 ，即 a 1＜ 0， a 2＜ 0.点 M 的抛物 y=a 1x 2+x+2 的称 x1 ,2a 1点 N 的抛物 y=a 2x 2+x+2 的称 x1 . ⋯⋯⋯⋯5分2a 2∵点 M 在点 N 的左，且抛物点 (0,2)1 在直 x1 ∴直 x的左 ⋯⋯⋯⋯⋯6 分2a 1 2a 21 1∴＜. ∴ a 1＜ a 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分2a 12a 25．（柔 23）已知抛物yx 2(2m 1)x m 2 1 (m 常数 ) ．（ 1）若抛物y x2(2m 1)x m 2 1 x交于两个不一样的整数点，求 m 的整数；与（ 2）在（ 1）条件下，若抛物点在第三象限，确立抛物的分析式；（ 3）若点 M(x 1，y 1)与点 N(x 1＋k ，y 2)在（ 2）中抛物上 (点 M 、N 不重合 ), 且 y 1=y 2. 求代数式 x 1216+6 x 1 +5-k 的 .k+1223．解：（ 1）由意可知， △ = 2m-1-4( m 2 -1)=5 － 4m ＞ 0， . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分又抛物与 x 交于两个不一样的整数点，∴ 5－ 4m 平方数，k 2 =5 － 4m ，足要求的 m1，－ 1，－ 5，－ 11，－ 19⋯⋯ ∴ 足意的 m 整数的代数式 -n 2 +n+1 (n 正整数 ). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（ 2）∵抛物点在第三象限，∴只有 m=1 切合意，抛物的分析式y=x 2 +x . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（ 3）∵点 Mx 1,y 1 与 N x 1 k,y 2 在抛物 y=x 2 +x 上，∴ y 1 =x 12 +x 1 ， y 2 =(x 1 +k)2 +x 1 +k ∵ y 1y 2 ,∴ x 12 2+x 1 = x 1 +k +x 1 +k.整理，得 k 2 x 1 +k +1 =0∵点 M 、 N 不重合，∴ k ≠ 0.∴ 2x 1 =－ k － 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2∴ x 1216+6 x 1 +5-k =k +116-3(k+1)+5-k =6. ⋯⋯⋯ 7 分4k +1k +16 ．在平面直角坐系xOy中，抛物 21的点 M ，直y 2x ，点 P n ，04x 上的一个点，点P 作 x 的垂分交抛物 y 1 2x21和直 y 2x 于点4A ，点 B.⑴直接写出 A ， B 两点的坐（用含n 的代数式表示）；⑵ 段 AB 的 d ，求 d 对于 n 的函数关系式及 d 的最小，并直接写出此段OB 与段 PM 的地点关系和数目关系；(3) 已知二次函数 y ax 2bxc （ a ， b ， c 整数且 a0 ），全部数x 恒有x ≤y ≤2x21，求 a ， b ， c 的 .425．解： (1) A(n ，2n 21) ， B( n ，n) .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2 分4(2) d =AB= y Ay B = 2n 2n 1 .y41∴ d = 2(n1 )2 1 = 2( n 1 )2 1.﹍﹍3 分4 8 4 8 A∴ 当 n 1， d 获得最小1.﹍﹍ 4分M B481 O P1x当 d 取最小，段 OB 与段 PM 的地点10关系和数目关系是 OB ⊥PM 且 OB=PM. (如 10)﹍﹍﹍﹍﹍ 5 分(3) ∵ 全部数 x 恒有x ≤ y ≤ 2x 2 1 ，4∴ 全部数 x ， x ≤ ax2bxc ≤ 2x 21都建立 . ( a0 )①4 当 x0 ，①式化0≤ c ≤1.4∴整数 c的0.﹍﹍﹍﹍﹍6分此，全部数 x ， x ≤ ax2bx ≤ 2x21都建立 .( a0 )4x ax 2bx,②即bx 2 x21 . ③对一确实数x 均建立 .ax24由②得 ax 2b 1 x ≥ 0( a 0 ) 对一确实数 x 均建立 . a 0,④ ∴b20.⑤11由⑤得整数 b 的值为 1.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 7 分此时由③式得， ax2x ≤ 2x21对一确实数 x 均建立 . ( a 0 )4即 (2 a)x2x1≥ 0 对一确实数 x 均建立 . ( a0 )4当 a=2 时，此不等式化为x1≥ 0，不知足对一确实数x 均建立 .4当 a ≠2时，∵ (2 a) x2x1≥ 0 对一确实数 x 均建立， ( a0 )42 a 0,⑥ ∴( 1)24 (2 a)1 ⑦20.4∴ 由④，⑥，⑦得 0 < a ≤1.∴ 整数 a 的值为 1.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8 分∴ 整数 a ， b ， c 的值分别为 a 1 ， b 1， c0 .利用数形联合研究交点、方程的根1.（东城 23.）已知对于 x 的方程 (1m) x 2 (4 m) x3 0 ．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（ 2）若正整数 m 知足 8 2m 2，设二次函数 y (1 m) x 2(4 m) x 3 的图象与 x 轴交于 A 、B 两点，将此图象在 x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其他部分保持不变，获得一个新的图象．请你联合这个新的图象回答：当直线 y kx3 与此图象恰巧有三个公共点时，求出 k 的值（只要要求出两个知足题意的k 值即可）．23.解：（ 1）(4 m) 212(1m)(m 2分2 )．⋯⋯2由意得， (m2)2＞0且1 m 0．∴符合意的m的取范是m2且 m 1的全部数．⋯⋯ 3分（2）∵ 正整数m足8 2m 2，∴ m 可取的 1 和 2 ．又∵ 二次函数 y (1 m) x2(4 m) x 3 ，∴m =2．⋯⋯4分∴二次函数y - x22x 3．∴ A 点、 B 点的坐分（ -1,0）、（ 3,0）．依意翻折后的象如所示．由象可知切合意的直y kx 3 点A、B．可求出此k 的分 3 或 -1．⋯⋯ 7 分注：若学生利用直与抛物相切求出k=2 也是切合意的答案．2.（海淀23）已知抛物y (m1)x2(m2) x 1 与x交于A、 B 两点．（1）求 m 的取范；（2）若 m>1, 且点 A 在点 B 的左， OA : OB=1 : 3, 确立抛物的分析式；（3）（ 2）中抛物与y 的交点C，点 C 作直 l //x ,将抛物在y 左的部分沿直l 翻折 , 抛物的其他部分保持不，获得一个新象. 你合新象回答: 1b 与新象只有一个公共点P( x0, y0)且 y07 ,求 b 的取范 .当直yx3y87654321-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 x23. 解：（ 1）∵ 抛物y(m1)x 2( m2) x1 与x交于A、B两点，ì①?m - 1 ? 0,?⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴ í2②??D = ( m - 2) + 4( m- 1) > 0.由①得 m 11 ，由②得 m 10 ，∴ m 的取范是m 10且 m 1 1 ．⋯⋯⋯⋯ 2 分（ 2）∵ 点 A、 B 是抛物y(m1)x2(m2) x 1 与x的交点，∴令 y 0 ，即 (m 1)x2( m 2) x 1 0 ．解得x1 1 ， x21．m 1∵ m1，∴10 1. m 1∵点 A在点 B左，∴点 A的坐(1,0) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分1,0) ，点B的坐 (m1∴ OA= 1，OB=1．m 1∵OA : OB=1 : 3，∴1 3 .m1∴m= 4 ．3∴ 抛物的分析式y1x22x 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分33（ 3）∵ 点 C 是抛物y 1 x2 2 x 1 与y的交点，3 3∴点 C 的坐(0,- 1).依意翻折后的象如所示．令 y 7 ，即1x22x 1 7 ．33解得 x1 6 , x24．∴新象点 D(6,7) .当直y1 D 点，可得 b 5 .x b3当直 y1x b C 点，可得 b1y．837D1 x 1 x2 2 x6当直y b(b1)与函数 y1(x0)533343的象有一个公共点P(x0, y0)，得21121B2Axb 1 .-4 -3 -2 -1O 1 234567x0x0x0-1C l 333-2整理得 x023x03b30.-3-4 -5由D=(-3)2- 4(- 3b - 3) = 12b+ 21 = 07-6，得 b-7．4-8合象可知，切合意的 b 的取范1b 5或b < -7．⋯⋯⋯⋯⋯7 分4通州 22．已知对于x的方程mx2(3m 1)x2m 20（ 1）求：无m取任何数，方程恒有数根.（ 2）若对于x的二次函数y mx2(3m 1)x2m 2 的象坐原点（0,0），求抛物的分析式 .（ 3）在直角坐系xoy 中，画出（2）中的函数象，合象回答：当直 y x b 与（ 2）中的函数象只有两个交点，求 b 的取范.22. .解：（ 1）分两种状况 .①当 m0 ，方程x20x 2 ，方程有数根,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(1 分)②当 m0 ，一元二次方程的根的判式3m 129m26m 18m28m m22m 1 4m 2m 2＝ m2≥ 0 不m何数，≥ 01建立，方程恒有数根⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(2 分)合①、②可知m 取任何数，方程 mx23m 1 x2m20 恒有数根⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(3 分)（2）二次函数y mx2(3m1)x2m 2的象与（ 0,0）2m20m1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(4 分)二次函数分析式：y x22x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.(5 分)（3）在（ 2）条件下，直y x b 与二次函数象只有两个交点，合象可知y x22x1当 y1y ，y x b得 x2 3x b 0由9 4b 0得 b 9⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .(6 分) 49上所述可知：当b，4直 y x b 与（2）中的象有两个交点. ⋯⋯⋯⋯ .(7 分 )23. （延）已知 :对于 x 的一元二次方程mx2 - 2m 2 x m - 1 0（）(1)若此方程有根 ,求 m 的取范 ;(2)在 (1)的条件下 ,且 m 取最小的整数 ,求此方程的两个根 ;(3) 在 (2)的前提下 ,二次函数y mx2（-2m2）x m - 1 与x有两个交点,接两点的段 ,并以条段直径在x 的上方作半P,直l的分析式y=x+b,若直l 与半 P 只有两个交点 ,求出 b 的取范 .23. （ 1）解：∵对于 x 的一元二次方程有根∴ m≠ 0，且△≥ 0⋯..1 分∴△ =（ 2m+2）2-4m（ m-1）=12m+4≥ 0解得 m≥-132D1∴当 m≥-，且 m≠ 0 此方程有根 ,⋯⋯ ..2 分C3E（ 2）解：∵在 (1)的条件下 ,当 m 取最小的整数 ,AO P5∴ m=1⋯⋯⋯⋯ ..3 分∴原方程化： x2-4x=0x（ x-4 ） =0x1=0，x2=4 ⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯⋯⋯ ..4 分2（ 3）解：如所示：①当直l 原点O与半P有两个交点，即b=0 ⋯⋯⋯ 5 分②当直 l 与半P相切于D点有一个交点，如由意可得Rt △ EDP、Rt △ ECO是等腰直角三角形，4∵DP=2∴EP= 2 2 ⋯⋯⋯⋯.6分∴OC= 2 2-2即 b= 2 2 - 2∴当 0≤ b＜2 2 - 2 ，直l与半P只有两个交点。

2012北京市中考数学二模几何综合题及答案

2012北京市中考数学二模几何综合题及答案一、海淀25题：在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论; （2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论.图1 图2 图3【参考答案】25. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ， ∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°．∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°． ………………………………1分 ∵ E 为CF 的中点，EG//CD ,∴ GF =DG =11.22DF CD =∴ 1.2GE CD =∵ N 为MD (AD )的中点， ∴ AN =ND =11.22AD CD = ∴ GE =AN , NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ……………………………2分F A ( M ) D N D C E N MB FEC B F N M E C B A 321FEA (M )CD NB∴△NGE≌△BAN．∴∠1=∠2.∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°．∴∠BNE =90°.∴BN⊥NE．……………………………………………………………3分∵∠CDF =90°, CD=DF,可得∠F =∠FCD =45°，CFCD=.于是12CFCE CE CEBM BA CD CD====……………………………………4分（2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN交CD的延长线于点G，连结BE、GE，过E作EH⊥CE，交CD于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CG．∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN.∵N为MD的中点，∴MN=DN．∴△BMN≌△GDN．∴MB=DG，BN=GN.∵BN=NE，∴BN=NE=GN.∴∠BEG=90°．……………………………………………5分∵EH⊥CE，∴∠CEH =90°．∴∠BEG=∠CEH．∴∠BEC=∠GEH．由（1）得∠DCF =45°．∴∠CHE=∠HCE =45°．∴EC=EH,∠EHG =135°．∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°，∴∠ECB =∠EHG．∴△ECB≌△EHG．∴EB=EG，CB=HG．∵BN=NG，∴BN⊥NE. ……………………………………………6分∵BM =DG= HG-HD= BC-HD =CD-，∴CEBM. ……………………………………………7分（3）BN⊥NE；CEBM………………………………………………8分HGAB CDEMNF二、西城24题：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC=6，BC =8．动点P 从点A 开始沿折线AC －CB －BA 运动，点P 在AC ，CB ， BA 边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位．直线l 从与AC 重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB 方向平行移动，即移动过程中保持l ∥AC ，且分别与CB ，AB 边交于E ，F 两点，点P 与直线l 同时出发，设运动的时间为t 秒，当点P 第一次回到点A 时，点P 和直线l 同时停止运动． (1)当t = 5秒时，点P 走过的路径长为；当t = 秒时，点P 与点E 重合；(2)当点P 在AC 边上运动时，将△PEF 绕点E 逆时针旋转，使得点P 的对应点M 落在EF 上，点F 的对应点记为点N ，当EN ⊥AB 时，求t 的值；(3)当点P 在折线AC －CB －BA 上运动时，作点P 关于直线EF 的对称点，记为点Q ．在点P 与直线l 运动的过程中，若形成的四边形PEQF 为菱形，请直接写出t 的值．【参考答案】解:(1) 当t =5秒时，点P 走过的路径长为 19 ；当t = 3 秒时，点P 与点E 重合．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分(2) 如图9，由点P 的对应点M 落在EF 上，点F 的对应点为点N ，可知∠PEF =∠MEN ，都等于△PEF绕点E 旋转的旋转角，记为α．设AP =3t （0< t <2），则CP =63t -，43CE t =． ∵ EF ∥AC ，∠C =90°，∴ ∠BEF =90°，∠CPE =∠PEF =α． ∵ EN ⊥AB ， ∴ ∠B=∠MEN=α．∴ CPE B ∠=∠．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分 ∵ tan CE CPE CP ∠=，3tan 4AC B BC ==， ∴ 43CP CE =． ∴ 446333t t -=⨯．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分解得5443t =．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分 (3) t 的值为65（秒）或307（秒）．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 7分AA三、东城24题：已知：等边ABC ∆中，点O 是边AC,BC 的垂直平分线的交点，M,N 分别在直线AC , BC 上，且60MON ∠= ．(1) 如图1，当CM=CN 时， M 、N 分别在边AC 、BC 上时，请写出AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系；（2）如图2，当CM ≠CN 时，M 、N 分别在边AC 、BC 上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3) 如图3，当点M在边AC 上，点N 在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系．【参考答案】24. 解： (1) AM CN MN =+……2分（2）AM CN MN =+……3分证明：过点O 作,,OD AC OE BC ⊥⊥易得,120,OD OE DOE =∠=在边AC 上截得DN’=NE ,连结ON ’, ∵ DN ’=NE , OD =OE , ∠ODN ’=∠OEN'.DON EON ∴∆≅∆……4分 ∴ON’=OE. ∠DON ’=∠NOE . 120,DOE ∠=60,MON ∠=∴∠MOD +∠NOE=600. ∴∠MOD +∠DON ’=600.易证'MON MON ∆≅∆.……5分∴MN’=MN.'.,,()(),.MN MD DN MD NE MD AM AD AM CE NE CE CN MN AM CE CE CN AM CN AM CN MN ∴=+=+=-=-=-∴=-+-=-∴=+(3) .MN CN AM =+……7分四、朝阳24题：正方形ABCD 的边长为4，点P 是BC 边上的动点，点E 在AB 边上，且∠EPB =60°，沿PE 翻折△EBP 得到△P EB '. F 是CD 边上一点，沿PF 翻折△FCP 得到△P FC '，使点'C 落在射线'PB 上．（1）如图，当BP =1时，四边形''FC EB 的面积为；（2）若BP =m ，则四边形''FC EB 的面积为（要求：用含m 的代数式表示，并写出m 的取值范围）．备用图【参考答案】24. 证明：（1）取AC 的中点G ，连接NG 、DG .∴DG ＝21BC ，DG ∥BC ；△NGC 是等边三角形. ∴NG = NC ，DG = CM . …………………2分 ∵∠1 + ∠2 = 180º， ∴∠NGD + ∠2 = 240º. ∵∠2 + ∠3 = 240º， ∴∠NGD =∠3.∴△NGD ≌△NCM . ……………………3分 ∴ND = NM ，∠GND =∠CNM . ∴∠DNM =∠GNC = 60º.∴△DMN 是等边三角形. …………………………………………………4分（2）连接QN 、PM .∴QN =21CE= PM . …………………………………………………………5分 Rt △CPE 中，PM =EM ，∴∠4= ∠5. ∵MN ∥EF ，∴∠5= ∠6，∠7= ∠8. ∵NQ ∥CE ，∴∠7= ∠4. ∴∠6= ∠8.E∴∠QND = ∠PMD . ………………………6分 ∴△QND ≌△PMD .∴DQ = DP . …………………………………………………………………7分五、石景山24题：在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2． (1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论；（3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.【参考答案】24.解：（1）DC DB 2= (2) DC DB 2=证明：过点C 作CF ∥BE 交AD 的延长线于点F , 在 AD 上取点G 使得CF CG =∴76∠=∠=∠F ∵︒=∠=∠=∠602BAC CED BED ∴︒=∠=∠606F ,︒=∠30CED ∴41205∠=︒=∠ ∵︒=∠+∠=∠=∠+∠6021713 ∴23∠=∠ ∵AC AB = ∴△ABE ≌△CAG∴AG BE AE CG ==, ∵︒=∠-∠=∠306CED GCE ∴EG CG = ∴BE AG CG CF 2121=== 由△DBE ∽△DCF 得2==FCBEDC BD ∴DC DB 2= (3) 结论：DC DB 2=. A B C D E AEB C D 图1 图2 7654321AEBCG FD 图(1)F图(2)六、延庆24题：（1）如图1：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=60°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系，请直接写出结果；（2）如图2：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=45°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系并证明你的结论；（3）如图3：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB 与BD+CD数量关系(用含β的式子表示)。

2012年北京中考二模数学试题分类汇编——代几综合题试题与答案

2012年北京市中考数学二模分类汇编——函数中档题1.(平谷17)已知：正比例函数111(0)y k x k =≠和反比例函数222(0)k y k x=≠图象都经过点A （13，）.（1）求满足条件的正比例函数和反比例函数的解析式；（2）设点P 是反比例函数图象上的点，且点P 到x 轴和正比例函数图象的距离相等，求点P 的坐标.17．解：(1) 因为111(0)y k x k =≠和222(0)k y k x=≠的图象都经过点A （13，）.所以 123,3k k ==. 所以 1233y x y x==，. ........................................2分 (2) 依题意（如图所示），可知，点P 在∠AOx 的平分线上. 作PB ⊥x 轴，由A （13，）可求得∠AOB=60°，所以 ∠POB=30°. 设(,)P x y ，可得3tan 303y x =︒=. 所以直线'PP 的解析式为 33y x =................................................3分把33y x =代入3y x=，解得3x =±. 所以 (3,1)'(3,1)P P --和.（'P 点的坐标也可由双曲线的对称性得到..........5分 2.(门头沟17)如图，已知反比例函数y =x6(x ＞0)的图象与一次函数y =kx +b的图象交于点A （1，m ），B （n ，2）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）结合图象回答：反比例函数的值大于一次函数的值时x 的取值范围.17.解：（1）由题意得，m=6，n=3.∴A （1,6），B （3,2）. …………………………2分由题意得，⎩⎨⎧=+=+236b k b k 解得，⎩⎨⎧=-=82b k∴一次函数解析式为y=-2x+8. ……………………3分（2）反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围是0<x<1或x>3. …..5分3.（密云17）．如图，A 、B 两点在反比例函数ky x=（x ＞0）的图象上．（1）求该反比例函数的解析式；（2）连结AO 、BO 和AB ，请直接写出△AOB 的面积．17．（本小题满分5分）解：（1）∵点A （1，6）在反比例函数(0)my x x=>的图象上，∴166m xy ==⨯= ．∴反比例函数解析式为6(0)y x x= --------2分（2）△AOB 的面积是352． --------------------5分 4.(房山18)如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点A （2，0），与y 轴交于点B ，点D 在直线AB 上．⑴求直线AB 的解析式；⑵将直线AB 绕点A 逆时针旋转30°，求旋转后直线解析式．18．解： ⑴依题意可知，⎩⎨⎧=+=+302b k b k ⎪⎩⎪⎨⎧=-=323b k 解得所以，直线AB 的解析式为323+-=x y -------------------------2分 ⑵ A （2，0）B ()32,032,2==∴OB OA 可求得060=∠BAO 当直线AB 绕点A 逆时针旋转30°交y 轴于点C ，可得030=∠CAO 在Rt ∆AOC 中OC =o30tan OA =332yx31DBO A)332,0(C ∴ --------------------3分设所得直线为1y =mx+332, A （2，0）33220+=∴m解得33-=m，----------------4分所以y 1=－33x + 332 ---------------------------------------5分 5.(通州17)如图，点C 在反比例函数xky =的图象上，过点C 作CD ⊥y 轴，交y 轴负半轴于点D ，且△ODC 的面积是3．（1）求反比例函数xky =的解析式；（2）若CD =1，求直线OC 的解析式．17. 答案：解：（1）∵△ODC 的面积是3， ∴6=⋅DC OD∵点C 在xky =的图象上， ∴x y=k . ∴(－ y) x = 6.∴ k = x y = －6. ………………………………..(1分) ∴所求反比例函数解析式为x6y -=. ………………..(2分) （2）∵ CD =1，即点C ( 1, y )，把x =1代入6y x=-，得y =－6．∴ C (1，－6) ．………………..(3分) 把C (1，－6)代入解析式：x k y 1=∴61-=k …………………..(4分)∴正比例函数的解析式为：x y 6-= ………………..(5分) 6.（延庆18.）已知：如图，直线13y x =与双曲线ky x=交于A 、B 两点，且点A 的坐标y为（6,m ）．（1）求双曲线ky x=的解析式；（2）点C （,4n ）在双曲线ky x=上，求△AOC 的面积；（3）在（2）的条件下，在x 轴上找出一点P, 使△AOC 的面积等于△AOP 的面积的三倍。

北京2012年东城区初三数学二模试题word版(含答案)

北京市东城区2011--2012学年第二学期初三综合练习〔二〕数学试卷考生须知1.本试卷共5页，共五道大题，25道小题，总分值120分.考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、和准考证号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回. 一、选择题〔此题共32分，每题4分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1. 9的算术平方根是A ．-9B ．9C ．3D ．±3 2. 如图，由几个小正方体组成的立体图形的俯视图是3. 以下运算正确的选项是A ．532a a a =+B ．532a a a =⋅C ．3332)(b a ab =D ．5210a a a =÷4. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为奇数的概率为 A ．16B ．14C ．13D ．125. 如果一个多边形的内角和是其外角和的2倍，那么这个多边形是 A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形6. 在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的香蕉价格进行调查．四个城市5个月香蕉价格的平均值均为元，方差分别为2S 甲＝，2S 乙＝，2S 丙＝，2S 丁＝．一至五月份香蕉价格最稳定的城市是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，DEF △的周长为1，则BCF △的周长为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．48. 如右图，正方形ABCD 的顶点2(0,)2A ，2(,0)2B ，顶点CD 、位于第一象限，直线:(02)l x t t =≤≤将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致是二、填空题〔此题共16分，每题4分〕9. 41x -x 的取值范围是．10. 一个扇形的圆心角为120°，半径为1，则这个扇形的弧长为． 11. 观察以下等式： 1=1，2+3+4=9， 3+4+5+6+7=25， 4+5+6+7+8+9+10=49，……照此规律，第5个等式为． 12. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以圆心O 为顶点作 ∠MON ，使∠MON ＝90°，OM 、ON 分别与⊙O 交于点E 、F ，与正方形ABCD 的边交于点G 、H , 则由OE 、OF 、EF ⌒及正方形ABCD 的边围成的图形(阴影部分)的面积S= ．三、解答题〔此题共30分，每题5分〕 13. 027(4)6cos302-π-+-．14. 解方程组212x y x y +=⎧⎨-=⎩，．15. 已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB 的平分线．求证：AB=DC．16. 先化简，再求值：2212111x xx x-+⎛⎫-÷⎪-⎝⎭，其中2x=-．17.列方程或方程组解应用题：小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园〔图中阴影部分〕，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的x值．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与反比例函数kyx=的图像交于点A(-3,4),AC⊥x轴于点C.(1)求此反比例函数的解析式；(2)当直线AB绕着点A转动时,与x轴的交点为B(a,0),并与反比例函数kyx=图象的另一支还有一个交点的情形下,求△ABC的面积S与a之间的函数关系式. 并写出自变量a的取值范围．BCEA D 四、解答题〔此题共20分，每题5分〕19．在母亲节来临之际，某校团委组织了以“学会生存，感恩父母”为主题的教育活动，在学校随机调查了假设干名同学平均每周在家做家务的时间，统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图：根据上述信息答复以下问题：〔1〕a= ，b= ;〔2〕在扇形统计图中，B 组所占圆心角的度数为 ;〔3〕全校共有1000名学生，估计该校平均每周做家务时间不少于4小时的学生约有多少人？20．如图，在平行四边形ABCD 中，5AB =，8BC =，AE BC ⊥于点E ，53cos =B ，求tan CDE ∠的值．21．如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 长为半径的O ⊙与AD ，AC 分别交于点E ，F ，∠ACB =∠DCE ．〔1〕请判断直线CE 与O ⊙的位置关系，并证明你的结论；〔2〕假设 DE:EC=12 2BC =，求⊙O 的半径．组别做家务的时间频数频率 A 1≤t ＜2 3 0．06 B 2≤t ＜4 20 c C 4≤t ＜6 a 0．30 D 6≤t ＜8 8 b Et ≥840．0822. 阅读并答复以下问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x =±i ，从而x =±i 是方程21x =-的两个根．据此可知：(1) i 可以运算，例如：i 3=i 2·i =-1×i =-i ，则i 4= ， i 2011=______________，i 2012=__________________；(2)方程2220x x -+=的两根为〔根用i 表示〕．五．解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕 23. 已知关于x 的方程2(1)(4)30m x m x -+-+=．〔1〕假设方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；〔2〕假设正整数m 满足822m ->，设二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+的图象与x 轴交于A B 、两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象答复：当直线3y kx =+与此图象恰好有三个公共点时，求出k 的值〔只需要求出两个满足题意的k 值即可〕．24. 已知：等边ABC ∆中，点O 是边AC,BC 的垂直平分线的交点，M,N 分别在直线AC , BC上，且60MON ∠=．(1) 如图1，当CM=CN 时， M 、N 分别在边AC 、BC 上时，请写出AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系；〔2〕如图2，当CM ≠CN 时，M 、N 分别在边AC 、BC 上时，〔1〕中的结论是否仍然成立？假设成立，请你加以证明；假设不成立，请说明理由；(3) 如图3，当点M 在边AC 上，点N 在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图像与y 轴交于点(0,3)C ，与x轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0) 〔1〕求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；〔2〕点M 是第二象限内抛物线上的一动点，假设直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；〔3〕点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.北京市东城区2011--2012学年第二学期初三综合练习〔二〕数学试卷参考答案一、选择题〔此题共32分，每题4分〕二、填空题〔此题共16分，每题4分〕三、解答题：〔此题共30分，每题5分〕13.解：原式=164-分=1……5分14. 解：+①②得：23x x+=1x=．……2分将1x=代入②得：12y-=，1y=……4分11xy=⎧∴⎨=-⎩……5分15. 证明：∵AC平分BCD BC∠，平分ABC∠，∴ACB DBC=∠∠……2分在ABC△与DCB△中，ABC DCBACB DBCBC BC=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ABC∴△DCB≌△……4分AB DC∴=．……5分16. 解：原式=()()()()()()22111111111x x x x x x x x x x x x -+---+÷==+--·……3分当2x =-时，原式=211.22-+=-……5分 17. 解：据题意，得1(8)(6)862x x --=⨯⨯．解得12122x x ==，．1x 不合题意，舍去．2x ∴=．18．解: (1)∵4=3k- 12k =- ∴12y x-=……2分(2)∵BC =a -(-3)=a +3 AC =4, ∴14(3)2ACB S a ∆=⨯⨯+ ……4分=2a +6 (a >-3)……5分四、解答题〔此题共20分，每题5分〕 19．解：〔1〕 15，0.16；……2分〔2〕144︒；……3分〔3〕271000[(1584)50]100054050⨯++÷=⨯=〔人〕……5分答：该校平均每周做家务时间不少于4小时的学生约有540人 20．解：在△ABE 中，AE BC ⊥，5AB =，53cos =B ∴BE=3,AE=4.∴EC=BC-BE =8-3=5. ∵平行四边形ABCD, ∴CD=AB=5.∴△CED 为等腰三角形.……2分∴∠CDE =∠CED ． ∵ AD//BC, ∴∠ADE =∠CED ． ∴∠CDE =∠ADE ．在Rt △ADE 中,AE =4,AD=BC =8,41tan .82CDE ∴∠== 21．解：〔1〕直线CE 与O ⊙相切证明：∵矩形ABCD ， ∴BC//AD ,∠ACB =∠DAC ． ∵,ACB DCE ∠=∠ ∴.DAC DCE ∠=∠……1分连接OE,则.DAC AEO DCE ∠=∠=∠90,90.90.2DCE DEC AEO DEC OEC ∠+∠=∴∠+∠=∴∠=分∴直线CE 与O ⊙相切．22222 AB 2(2)tan 2,2tan 2, 6.3,2tan D 2tan D 1., 3.4 ,CO 66-r)3, 54ACB BC BC AB BC ACB AC ACB DCE CE DE DC CE Rt CDE CE O Rt CE O CE EO r r ∠===∴=⋅∠==∠=∠∴∠=∴=⋅∠=∆=∆=+=+=分在中分设⊙的半径为r, 则在中即解得分22．解：(1)4i =1，2011i=-i 20121i =……3分(2)方程2220x x -+=的两根为 1+i 和 1-i ……5分OED BC AM N N'五．解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕 23.解：〔1〕2(4)12(1)m m ∆=---2(2)m =+．……2分由题意得，2(2)m +＞0且10m -≠ ．∴ 符合题意的m 的取值范围是 21m m ≠-≠且的一切实数． ……3分〔2〕∵ 正整数m 满足822m ->， ∴ m 可取的值为1和2 ．又∵ 二次函数2(1)(4)3y m x m x =-+-+，∴ m =2．……4分∴ 二次函数为2-23y x x =++．∴ A 点、B 点的坐标分别为〔-1,0〕、〔3,0〕．依题意翻折后的图象如下图．由图象可知符合题意的直线3y kx =+经过点A 、B ．可求出此时k 的值分别为3或-1．……7分注：假设学生利用直线与抛物线相切求出k =2也是符合题意的答案． 24. 解： (1) AM CN MN =+……2分〔2〕AM CN MN =+……3分证明：过点O 作,,OD AC OE BC ⊥⊥易得,120,OD OE DOE =∠= 在边AC 上截得DN’=NE ,连结ON ’, ∵ DN ’=NE , OD =OE , ∠ODN ’=∠OEN'.DON EON ∴∆≅∆……4分 ∴ON’=OE. ∠DON ’=∠NOE .120,DOE ∠=60,MON ∠=∴∠MOD +∠NOE=600. ∴∠MOD +∠DON ’=600.易证'MON MON ∆≅∆.……5分 ∴MN’=MN.'.,,()(),.MN MD DN MD NE MD AM AD AM CE NE CE CN MN AM CE CE CN AM CN AM CN MN ∴=+=+=-=-=-∴=-+-=-∴=+(3) .MN CN AM =+……7分 25．解：〔1〕由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩…解得：-1,3.a c =⎧⎨=⎩所以，所求二次函数的解析式为：2--23y x x =+……2分顶点D 的坐标为〔-1，4〕.……3分〔2〕易求四边形ACDB 的面积为9. 可得直线BD 的解析式为y=2x+6设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6. ① 当1=9=33OBE S ∆⨯时，易得E 点坐标〔-2，-2〕，直线OE 的解析式为y=-x .设M 点坐标〔x ，-x 〕，212---2 3.x x x x x =+==∴M ……4分② 当1=9=63OBE S ∆⨯时，同理可得M 点坐标． ∴ M 点坐标为〔-1，4〕……5分〔3〕连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ，因为点P 在抛物线上，所以232n m m =-+-，所以PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C ……6分111()222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭ ……7分因为3<0m -<，所以当32m =-时，154n =. △CPB 的面积有最大值27.8 ……8分所以当点P 的坐标为315(,)24-时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8。

2012年北京市各区二模试题汇编--立体几何

12012年北京市各区二模试题汇编--立体几何一填空选择（2012年东城二模文理科）（6）已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β 的是（A ）⊥αβ，且m ⊂α （B ）m ∥n ，且n ⊥β （C ）⊥αβ，且m ∥α （D ）m ⊥n ，且n ∥β（2012年东城二模文科）(14) 已知四棱柱1111ABC D A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面,12AA =，底面A B C D 的边长均大于2，且45DAB ∠=，点P 在底面A B C D 内运动且在,AB AD 上的射影分别为M ，N ，若2PA =，则三棱锥1P D M N -体积的最大值为____.（2012年东城二模理科）（4）若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为（A（B ）（C ）（D）（2012年西城二模文科）4．设m ，n 是不同的直线，α，β则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件（2012年西城二模文理科）13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．（2012年海淀二模文科）5、已知平面,αβ和直线m ，且m Ìα，则“α∥β”是“m ∥β”的（A ）充要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分不必要条件（D ）既不充分也不必要条（2012年海淀二模文理科）7、某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是24左俯视图主视图2（A ）203（B ）43（C ）6 （D ）4（2012年朝阳二模文科）6. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1A．61 B ．23C．324+D ．322+（2012年朝阳二模理科）8.有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是A. 1B.2C.D. （2012年丰台二模文科）4．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中不．正确的结论是 (A) ① (B) ② (C) ③(D) ④（2012年丰台二模理科）2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为(A) (B)(C) 2(D) 4（2012年顺义二模文理科）7.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.60 B.80 C.100 D.120正视图俯视图侧视图P1A 俯视图俯视图左视图正（主）视图82323443（2012年昌平二模文科）4. 已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.34 B. 38C. 4D. 8（2012年昌平二模文科）7. 四面体的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，记其中最大的面积为S ，则SSi i341∑=的取值范围是A. ]231(, B. ]231[, C. (3432,] D. [3432,] （2012年昌平二模理科）5.已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3 个（2012年昌平二模理科）7．如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为11D A 的中点，Q 为11B A 上任意一点，F E 、为CD 上任意两点，且EF 的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是 A. 点P 到平面QEF 的距离B . 直线PQ 与平面PEF 所成的角 C. 三棱锥QEF P -的体积 D.二面角Q EF P --的大小左视图左视图1A 1C4俯视图侧（左）视图主（正）视图（2012年怀柔二模文理科）4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是 A． B ． C ．D ．（2012年怀柔二模理科）7．将图中的正方体标上字母, 使其成为正方体, 不同的标字母方式共有A ．24种B ．48种C ．72种D ．144种（2012年房山二模文科）4. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的侧面积为（）（A ）（B ）24 （C ）（D ）（2012年房山二模理科）11．某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为 .2112321111ABC D A B C D -24+38主视图俯视图5二解答题（2012年东城二模文科）（17）（本小题共13分）如图，矩形A M N D 所在的平面与直角梯形M B C N 所在的平面互相垂直，M B ∥N C ,M N M B ⊥．（Ⅰ）求证：平面AM B ∥平面；（Ⅱ）若，求证B C A C ⊥. （17）（共13分）证明：（Ⅰ）因为M B //N C ，M B 平面D N C ，N C 平面D N C ，所以M B //平面D N C ． ……………2分因为A M N D 是矩形，所以M A //D N ．又M A 平面D N C ，D N 平面D N C ，所以M A //平面D N C ． ……………4分又MA MB M = ，且M A ，M B ⊂平面AM B ，所以平面AM B //平面D N C ． ……………6分（Ⅱ）因为A M N D 是矩形，所以A M M N ⊥.因为AMND MBCN ⊥平面平面，且AMND MBCN =MN 平面平面，所以AM MBCN ⊥平面. 因为BC MBCN ⊂平面，所以A M B C ⊥. ………………10分因为,MC BC MC AM M ⊥= ，所以BC AMC ⊥平面. ………………12分因为AC AMC ⊂平面,所以B C A C ⊥. ………………13分（2012年东城二模理科）（17）（本小题共13分）如图,矩形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，∥,，且，，，．（Ⅰ）求证：平面；D N C M C C B ⊥⊄⊂⊄⊂A M N D M B C N M B N C M N M B ⊥M C C B ⊥2B C =4M B =3D N =//A B D N C6（Ⅱ）求二面角的余弦值.（17）（共13分）（Ⅰ）证明：因为//，平面，平面所以//平面． ……………2分因为为矩形，所以//．又平面，平面，所以//平面． ……………4分又，且，平面，所以平面//平面． ……………5分又平面，所以平面． ……………6分（Ⅱ）解：由已知平面平面，且平面平面，，所以平面，又，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系. ……………7分由已知得，易得，．则，，．，． ……………8分设平面的法向量，则即令，则，．所以． …………10分又是平面的一个法向量，所以．D B C N --M B N C M B ⊄D N C N C ⊂D N C M B D N C A M N D M A D N M A ⊄D N C D N ⊂D N C M A D N C MA MB M = M A M B ⊂AM B AM B D N C A B ⊂AM B //A B D N C AM N D ⊥M B C N AMND M B C N M N =D N M N⊥D N ⊥M B C N M N N C ⊥N N xyz-30M C M C N =∠=M N =3N C =(0,0,3)D (0,3,0)C 4,0)B (0,3,3)D C =- 0)C B =D B C 1(,,)x y z =n 110,0.D CC B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 330,0.y z y -=⎧⎪+=1x =-y =z=1(=-n2n (0,0,1)=NBC 122112cos ,7⋅===n n n n n n7C故所求二面角的余弦值为． …13分（2012年西城二模文科）17．（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD E -中，EA EB =，A B ∥C D ，BC AB ⊥，CD AB 2=．（Ⅰ）求证：ED AB ⊥；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使D F // 平面BC E ？若存在，求出E F E A；若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为 EA EB =，所以 AB EO ⊥． ……………2分因为 A B ∥C D ，CD AB 2=，所以 BO ∥C D ，CD BO =．又因为 BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为矩形，所以 DO AB ⊥． …………4分因为 O DO EO = ，所以 ⊥AB 平面EOD ． ……5分所以 ED AB ⊥． ………………6分（Ⅱ）解：点F 满足12E F E A=，即F 为EA 中点时，有DF // 平面BCE ．……………7分证明如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ． ………………8分因为F 为EA 中点，所以F G ∥A B ，AB FG 21=．因为A B ∥C D ，AB CD 21=，所以F G ∥C D ，CD FG =．所以四边形CDFG 是平行四边形，所以 D F ∥C G ． ………………11分因为 ⊄DF 平面BCE ，⊂CG 平面BCE ， ………………12分所以 DF // 平面BCE ． ………………13分 1（2012年西城二模理科）6．（本小题满分14分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．A B ∥C D ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥．（Ⅰ）求证：AB D E ⊥；（Ⅱ）求直线EC 与平面A B E 所成角的正弦值；D B C N --78（Ⅲ）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求出E F E A；若不存在，说明理由．16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥． ………………1分因为四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥．……………2分所以⊥AB 平面EOD ． ………………3分所以 ED AB ⊥． ………………4分（Ⅱ）解：因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥，所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥．由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． …………5分因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -．所以 )1,1,1(-=EC ，平面A B E 的一个法向量为(0,1,0)O D =． ………………7分设直线EC 与平面A B E 所成的角为θ，所以||sin |cos ,|3||||EC O D EC O D EC O D θ⋅=〈〉==，即直线EC 与平面A B E所成角的正弦值为3． ………………9分（Ⅲ）解：存在点F ，且13E F E A=时，有EC // 平面FBD ． ………………10分证明如下：由 )31,0,31(31--==EA EF ，)32,0,31(-F ，所以)32,0,34(-=FB ．设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，则有0,0.B D F B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩v v 所以 0,420.33a b a z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取1=a ，得)2,1,1(=v ． ………………12分因为 ⋅EC v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC 平面FBD ，所以 EC // 平面FBD ．9即点F 满足13E F E A=时，有EC // 平面FBD ． ………………14分（2012年海淀二模文科）17、（本小题满分14分）在正方体''''ABC D A B C D -中, 棱,','',''AB BB B C C D 的中点分别是,,,E F G H , 如图所示．（Ⅰ）求证：'AD ∥平面E F G ；（Ⅱ）求证：'A C ^平面E F G ；（Ⅲ）判断点,',,A D H F 是否共面? 并说明理由.17、（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接'BC .在正方体''''A B C D A B C D -中，''AB C D =，AB ∥'C D 所以四边形''ABC D 是平行四边形.所以 'A D ∥'BC .因为 ,F G 分别是',''BB B C 的中点，所以 F G ∥'BC .所以 F G ∥'A D . ………2分因为 ,'EF AD 是异面直线，所以 'AD Ë平面EFG .因为 F G Ì平面EFG ，所以 'AD ∥平面E F G .………4分（Ⅱ）证明：连接'B C .在正方体''''A B C D A B C D -中，''A B ^平面''B C C B ，'B C Ì平面''B C C B ，所以 '''A B B C ⊥.在正方形''B C C B 中，''B C B C ⊥，因为 ''A B Ì平面''A B C ，'B C Ì平面''A B C ，''''A B B C B = ，所以 'B C ⊥平面''A B C . …………………6分因为 'A C Ì平面''A B C ，所以 ''B C A C ⊥.…………7分因为 F G ∥'BC ，所以 'A C F G ⊥. 同理可证：'A C E F ⊥.因为 E F Ì平面EFG ，F G Ì平面EFG ，EF FG F = ，所以 'A C ^平面E F G . ……9分（Ⅲ）点,',,A D H F 不共面. 理由如下： ………10分假设,',,A D H F 共面. 连接',,C F AF HF . 由（Ⅰ）知，'A D ∥'BC ，因为 'B C Ì平面''B C C B ，'AD Ë平面''B C C B .C'CAHG FED'C'B'A'D C BAHG FED'C'B'A'DCB A10所以 'AD ∥平面''B C C B . …………12分因为 ''C D H Î，所以平面'AD HF 平面'''B C C B C F =. 因为 'A D Ì平面'A D H F ，所以 'AD ∥'C F . 所以 'C F ∥'BC ，而'C F 与'BC 相交，矛盾.所以点,',,A D H F 不共面. …………………14分（2012年海淀二模理科）(16)（本小题满分14分）如图所示，PA ^平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，30C B A? ，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在 AB 上，且O M ∥A C ．（Ⅰ）求证：平面M O E ∥平面PAC ；（Ⅱ）求证：平面PAC ^平面P C B ；（Ⅲ）设二面角M B P C --的大小为θ，求cos θ的值．(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段A B 的中点，所以 O E ∥P A . ……………………………………1分因为 P A Ì平面PAC ，OE Ë平面PAC ，所以 O E ∥平面PAC . ……………………………………2分因为 O M ∥A C ，因为 A C Ì平面PAC ，OM Ë平面PAC ，所以 O M ∥平面PAC . ……………………………………3分因为 O E Ì平面M O E ，O M Ì平面M O E ，OE OM O = ，所以平面M O E ∥平面PAC . ………………………………………5分（Ⅱ）证明：因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以 90A C B? ，即B C A C ⊥.因为 PA ^平面ABC ，B C Ì平面ABC ，所以 P A B C ⊥. ……………7分因为 A C Ì平面PAC ，P A Ì平面PAC ，PA AC A = ，所以 B C ^平面PAC . 因为 B C Ì平面PBC ，所以平面PAC ^平面P C B . …………………………9分（Ⅲ）解：如图，以C 为原点，C A 所在的直线为x 轴，C B 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -．ME BOCAP因为 30C B A ? ，2PA AB ==，所以2cos 30C B =?1A C =.延长M O 交C B 于点D . 因为 O M ∥A C ，所以131, 1,2222M D C B M D C D C B ^=+===.所以 (1,0,2)P ，(0,0,0)C，0)B，3(0)22M .所以 (1,0,2)C P =，0)C B =. 设平面P C B 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.C P C B ìï?ïíï?ïîm m所以(,,)(1,0,2)0,(,,)0)0,x y z x y z ì?ïïíï?ïî即20,0.x z ì+=ïïíï=ïî令1z =，则2,0x y =-=.所以 (2,0,1)=-m . ……………………………………12分同理可求平面P M B 的一个法向量n ()=.……………………………………13分所以 1cos ,5⋅==-⋅m n m n m n.所以 1cos 5θ=. ………………………………………14分（2012年朝阳二模文科）17. （本小题满分13分）如图，四边形ABC D 为正方形，⊥EA 平面ABC D ，//EF AB ，=4,=2,=1A B A E E F . （Ⅰ）求证：⊥BC AF ；（Ⅱ）若点M 在线段A C 上，且满足14C M C A =,求证：//EM 平面F B C ；（Ⅲ）试判断直线A F 与平面E B C 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由 17、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为E F //A B ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，因为⊥EA 平面ABC D ，所以⊥E A B C . ………2分B由已知得⊥AB BC 且= EA AB A ，所以⊥B C 平面EABF . ………3分又AF ⊂平面EABF ,所以⊥BC AF . ………4分（Ⅱ）过M 作M N B C ⊥,垂足为N ，连结F N ,则M N //A B . .………5分又14C M AC =,所以14M N A B =.又E F //A B 且14E F A B =,所以E F //M N .………6分且E F M N =,所以四边形E F N M 为平行四边形. ……7分所以E M //F N .又F N ⊂平面FBC ,E M ⊄平面FBC , 所以//E M 平面FBC . ………9分（Ⅲ）直线A F 垂直于平面E B C . ………10分证明如下：由（Ⅰ）可知，AF BC ⊥.在四边形ABFE 中，=4,=2,=1A B A E E F ，90BAE AEF ∠=∠= ，所以1tan tan 2E B AF A E ∠=∠=，则EBA FAE ∠=∠.设AF BE P = ,因为90PAE PAB ∠+∠= ,故90PBA PAB ∠+∠= 则90APB ∠= ,即⊥EB AF . ………12分又因为= EB BC B ，所以⊥AF 平面E B C . ………13分（2012年朝阳二模理科）17. （本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，， .（Ⅰ）若点M 在线段A C 上，且满足14C M C A =, 求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值. 17. （本小题满分14分）证明：（Ⅰ）过M 作M N B C ⊥于N ，连结F N ，则M N //A B ，又14C M A C =，所以14M N A B =.又E F //A B 且14E F A B =，所以E F //M N ，且E F M N =，所以四边形E F N M 为平行四边形，ABC D ⊥EA ABC D //EF AB =4,=2,=1A B A E E F //EM F B C ⊥AF E B C --A FB DE CBDMA F E DCMAFNQPBACD所以E M //F N .又F N ⊂平面FBC ，E M ⊄平面FBC ，所以平面. ……4分（Ⅱ）因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得.显然.则，所以.即，故平面.（Ⅲ）因为E F //A B ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，由已知得，，. ……9分因为平面，所以. 由已知可得且，所以平面ABF ，故是平面ABF 的一个法向量.设平面D FB 的一个法向量是()n =x,y,z .由0,0,n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ BD FB 得440,320,-+=⎧⎨-=⎩x y x z 即32=⎧⎪⎨=⎪⎩y x,z x,令2=x ，则(2,2,n =.所以7c o s <17,n n n⋅>==⋅BC BC BC 由题意知二面角锐角，故二面角17. ……14分（2012年丰台二模文科）17.（本小题共14分）如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，Q 是棱上的动点．（Ⅰ）若Q 是PA 的中点，求证：PC //平面BDQ ；（Ⅱ）若PB =PD ，求证：BD ⊥CQ ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若PA =PC ，PB =3，∠ABC =60º，求四棱锥P -ABCD 的体积．17．证明：（Ⅰ）连结AC ，交BD 于O ．因为底面ABCD 为菱形，所以 O 为AC 中点．因为 Q 是PA 的中点，所以 OQ // PC ，//EM F B C ⊥EA ABC D ⊥AB AD A -A xyz (0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),A B C D (0,0,2),(1,0,2)E F =(1,0,2),=(0,4,0),=(4,0,-2)AF BC EB =0,=0⋅⋅ AF BC AF EB ,⊥⊥ AF BC AF EB ,⊥⊥A F B C A F E B ⊥AF E B C =(0,4,0),=(3,0,-2) BC FB =(4,4,0)-BD ⊥EA ABC D ⊥E A B C ⊥AB BC = EA AB A ⊥B CBC A -FB -D A -FB -D PAOQPBACD因为OQ ⊂平面BDQ ，PC ⊄平面BDQ ，所以PC //平面BDQ ． ……………………5分（Ⅱ）因为底面ABCD 为菱形，所以 AC ⊥BD ，O 为BD 中点．因为 PB =PD ，所以 PO ⊥BD ．因为 PO ∩BD =O ，所以 BD ⊥平面PAC ．因为 CQ ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥CQ ． ……………10分（Ⅲ）因为 PA =PC ，所以 △PAC 为等腰三角形．因为 O 为AC 中点，所以 PO ⊥AC ．由（Ⅱ）知 PO ⊥BD ，且AC ∩BD =O ，所以 PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P -ABCD 的高．因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC =60º，所以所以所以13P A B C D V -=⨯=P ABCD V -= ………14分（2012年丰台二模理科）17.（本小题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（Ⅰ）若P 是DF 的中点，(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP ；(ⅱ) 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（Ⅱ）若二面角D -AP -C3，求PF 的长度．17．（Ⅰ）(ⅰ)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接OP ．因为P 是DF 中点，O 为矩形ABCD 对角线的交点，所以OP 为三角形BDF 中位线，PFEDCABOBACDEFPx 所以BF // OP ，因为BF ⊄平面ACP ，OP ⊂平面ACP ，所以BF // 平面ACP ． ……………………4分 (ⅱ)因为∠BAF =90º，所以AF ⊥AB ，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD = AB ，所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -．所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,C 所以 1(,0,1)2B E =-，1(1,1,)2C P =--，所以cos ,15||||BE C P BE C P BE C P ⋅<>==⋅，即异面直线BE 与CP 所成角的余弦值为15．……………………9分（Ⅱ）解：因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)A P t t =- ，(1,2,0)A C =，所以平面APC 的法向量为222(2,1,)t n t-=- ，所以 121212||cos ,3||||n n n n n n ⋅<>===⋅，解得23t =，或2t =（舍）．此时||3PF =． ……………14分ADCFPB（2012年顺义二模文科）16. （本小题共13分）如图四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是平行四边形，090ACB ∠=，P A ⊥平面A B C D ，1P A B C ==，AB =，F 是B C 的中点.(Ⅰ)求证：D A ⊥平面PAC ；(Ⅱ)试在线段PD 上确定一点G ，使C G ∥平面P A F ，并求三棱锥A -C D G 的体积. 16. （本小题共13分）解：(Ⅰ)证明：Q 四边形是平行四边形，∴90ACB DAC ∠=∠=，Q P A ⊥平面A B C D ∴P A D A ⊥，又A C D A ⊥，AC PA A =I ，∴D A ⊥平面PAC . __________4分(Ⅱ)设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作G H PA⊥于H ，则G H 平行且等于12A D ，连接F H ，则四边形F C G H 为平行四边形，__________8分∴G C ∥F H ，Q F H ⊂平面P A E ，C G ⊄平面P A E ，∴C G ∥平面P A E ，∴G 为PD 中点时，C G ∥平面P A E .__________10分设S 为A D 的中点，连结G S ，则G S 平行且等于1122P A =，Q P A ⊥平面A B C D ，∴G S ⊥平面A B C D ，∴11312A C D G G A C D A C D V V S G S --===V .__________13分（2012年顺义二模文理科）16. （本小题共13分）如图：四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是平行四边形，090ACB ∠=，P A ⊥平面A B C D ，1P A B C ==，AB =，F是B C 的中点.(Ⅰ) 求证：D A ⊥平面PAC ；(Ⅱ)试在线段PD 上确定一点G ，使C G ∥平面P A F ；（Ⅲ）求平面P A F 与平面PC D 所成锐二面角的余弦值16. （本小题共13分）解：分别以,,AC AD AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(1,,0),(0,0,1)2A CB D F P --.__________（建系正确，ADCFPBADCFPB坐标写对给3分）(Ⅰ) 证明方法一：：Q 四边形是平行四边形，∴090ACB DAC ∠=∠=， Q P A ⊥平面A B C D ∴P A D A ⊥，又AC D A ⊥，AC PA A =I ，∴D A ⊥平面PAC . __________4分方法二：易证DA uu u r是平面平面PAC 的一个法向量，∴D A ⊥平面PAC .______4分(Ⅱ)方法一：设PD 的中点为G ，在平面PAD 内作G H PA ⊥于H ，则G H 平行且等于12A D ，连接F H ，则四边形F C G H 为平行四边形，_____6分∴G C ∥F H ，Q F H ⊂平面P A E ，C G ⊄平面P A E ，∴C G ∥平面P A E ，∴G 为PD 中点时，C G ∥平面P A E .__________8分方法二：设G 为P D 上一点，使C G ∥平面P A E ，令(0,,),(0PG PD λλλλ==-≤≤uuu r uuu r ，(1,,1)GC PC PG λλ=-=--+uuu r uuu r uuu r可求得平面P A E 法向量(1,2,0)m =u r，要C G ∥平面P A E ，∴0m G C ⋅=u r uuu r ，解得12λ=.∴G 为PD 中点时，C G ∥平面P A E .（Ⅲ）可求得平面PC D 法向量(1,1,1)n =r，__________10分||cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==u r ru r r u r r∴5分（2012年昌平二模文科）17.（本小题满分13分）在正四棱柱1111ABC D A B C D -中，E 为A D 中点, F 为11B C 中点.（Ⅰ）求证:1//A F 平面1EC C ；（Ⅱ）在C D 上是否存在一点G ,使B G ⊥平面1EC C ?若存在，请确定点G 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：在正四棱柱1111ABC D A B C D -中，取B C 中点M ,连结F ED 1C 1B 1A 1DCBA,.AM FM11//B F BM B F BM ∴=且.∴四边形1B FM B 是平行四边形. 11//FM B B FM B B ∴=且.………2分 11//FM A A FM A A = 且，∴四边形1AA FM 是平行四边形. 1//FA AM ∴. E 为A D 中点，//AE M C AE M C ∴=且.∴四边形A M C E 是平行四边形. ………4分 //C E A M ∴.1//C E A F ∴.11ECC F A 平面⊄ ,1EC EC C ⊂平面，11//A F EC C ∴平面. ……… 6分（Ⅱ）证明：在C D 上存在一点G ,使B G ⊥平面1EC C ，取C D 中点G ，连结B G ………7分在正方形A B C D 中, ,,,D E G C C D BC AD C BC D ==∠=∠C D E B C G ∴∆≅∆. E C D G B C ∴∠=∠. ………9分90C G B G B C ∠+∠=︒ . 90C G B D C E ∴∠+∠=︒.B G E C ∴⊥. ………11分ABCD CC 平面⊥1 ,ABCD BG 平面⊂ 1C C B G ∴⊥,1EC C C C = . B G ∴⊥平面1EC C . 故在CD 上存在中点G ,使得B G ⊥平面1EC C . ………13分（2012年昌平二模理科）17.（本小题满分14分）在正四棱柱1111ABC D A B C D -中, 122AA AB ==,E 为A D 中点,F 为1C C 中点.（Ⅰ）求证:1AD D F ⊥；（Ⅱ）求证://C E 平面1AD F ；(Ⅲ) 求平面1AD F 与底面A B C D 所成二面角的余弦值.GMF E D 1C 1B 1A 1DCBA17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在正四棱柱1111ABC D A B C D -中四边形A B C D 是正方形, A D C D ∴⊥1D D ABC D AD ABC D ⊥⊂ 平面，平面1AD DD ∴⊥ 1D D C D D = 11AD CD D C ∴⊥平面 111D F C D D C ⊂ 平面 1A D D F ∴⊥……… 4分（Ⅱ）证明：在正四棱柱1111ABC D A B C D -中,连结1A D ,交1AD 于点M ,连结,ME MF .M ∴为1AD 中点.E 为A D 中点，F 为1C C 中点. 111//2M E D D M E D D ∴=且……… 6分又1121DD CF DD //CF =且∴四边形CEMF 是平行四边形. MF //CE ∴ ……… 8分C E ⊄ 平面1AD F ,M F ⊂平面1AD F .//C E ∴平面1AD F . ………9分(Ⅲ)解：以D 为坐标原点，分别以1,,D A D C D D 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图. 则1(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C D F ……… 10分 ∴平面A B C D 的法向量为1(0,0,2)DD =………11分设平面1AD F 的法向量为(,,)x y z =n . 1(1,1,1),(1,0,2)AF AD =-=-，分则有10,0.A F A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 0,20.x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩取1z =，得(2,1,1)=n .111cos ,6D D D D D D ⋅〈〉==n n n . ………13分平面F AD 1与平面所成二面角为锐角.所以平面1A D F 与底面A B C D 所成二面角的余弦6.……… 14分（2012年怀柔二模文科）16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与为侧棱上一点．（Ⅰ）当为侧棱的中点时，求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面． 16．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）连接，由条件可得∥. 因为平面，平面，所以∥平面（Ⅱ）证明：由已知可得，,是中点，所以，又因为四边形是正方形，所以. 因为，所以.又因为，所以平面平面.-----------14分（2012年怀柔二模理科）16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点．（Ⅰ）当为侧棱的中点时，求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）当二面角的大小为时，试判断点在上的位置，并说明理由．S A B C D -A B C D A C BD E S C E S C S A BD E BD E ⊥SA C O E S A O E SA ËBD E O E ÌBD E S A BD E SB SD =O BD BD SO ^A B C D B D A C ^AC SO O = BD SAC ⊥面BD BDE ⊂面BD E ⊥SA C S A B C D -A B C D A C BD O E S C E S C S A BD E BD E ⊥SA C E B D C --45︒E S C16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接，由条件可得∥. 因为平面，平面，所以∥平面.-----------------------------------------4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，.建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥的底面边长为2，则，，，，，.所以，.设（），由已知可求得.所以，.设平面法向量为，则即令，得.易知是平面的法向量.因为，所以，所以平面平面.-------------------------------------9分（Ⅲ）解：设（），由（Ⅱ）可知，平面法向量为.因为，所以是平面的一个法向量.由已知二面角的大小为.所以，所以，解得.O E S A O E SA ËBD E O E ÌBD E S A BD E SO ABCD ⊥面A C B D ⊥S A B C D -(0, 0, 0)O (0, 0,S )0, 0A()0, 0B () 0, 0C()0, 0D-() 0, 0AC =-()0, 0BD =-C E a =02a <<45E C O ∠=︒(, 0,)22E a a(,)22BE a a =-B D E (, , )x y z =n 0,0B D B E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ nn 0, ()0.22y a x az =⎧⎪⎨+-+=⎪⎩1z =(, 0, 1)2a a=-n ()0, 0BD =-SAC (, 0, 1)(0, 0)02aB D a⋅=⋅-=- n BD ⊥n BD E ⊥SA C C E a =02a <<B D E (, 0, 1)2a a=-n SO ABCD ⊥底面(0, 0, 2)O S =SA C E B DC --45︒cos , cos 452O S 〈〉=︒=n 2=1a =所以点是的中点.-----------------------------------------------------------------14分（2012年房山二模文科）17.如图，直四棱柱中，底面是菱形，且，为棱的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面.17．证明：（Ⅰ）连接，交与,连接由已知四边形是矩形，所以为的中点，又为的中点. 所以为的中位线. 所以因为平面,平面，所以平面. ………………6分（Ⅱ）由已知，又,平面，平面 ∴平面∵平面,∴ ………………10分∵底面是菱形，且，为棱的中点.∴又,平面，平面E S C 1111ABC D A B C D -A B C D o 60ABC ∠=E C D 1//A C 1AED 1AED ⊥1CDD 1A D 1ADF EF 11AD D A F 1AD E C D EF 1ΔAED 1//A C EF 1A C ⊄1AED E F ⊂1AED 1//A C 1AED 11,D D AD D D BD ⊥⊥AD BD D ⋂=AD ⊂A B C D C D ⊂A B C D 1D D ⊥A B C D A E ⊂A B C D 1AE D D ⊥A B C D o60ABC ∠=E C D AE C D ⊥1C D D D D ⋂=C D ⊂1CDD 1D D ⊂1CDD∴平面 ………………12分 ∵平面∴平面平面. ………………14分（2012年房山二模理科）17．如图，四边形为正方形，，∥，．（I ）证明：平面；（II ）求异面直线与所成角的余弦值; （III ）求直线与平面所成角的正弦值．17．(I)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∵，∥ ∴ ∵ ∴∵A E ⊥11C D D C A E ⊂1AED 1AED ⊥1CDD ABCD ABCD BE 平面⊥EB FA EB AB FA 21==B AF AFD 平面⊥ED CF EC BCFAB AD ⊥ABCD BE 平面⊥EB FA ABCD FA 平面⊥ABCD AD 平面⊂AD FA ⊥A FA AFB ，FB FA AB =⊂ 平面,∴ ∵∴平面 ……………………………………5分（II ）以为原点，建立如]图所示的空间直角坐标系，设，则，故，，，，∴直线的方向向量为，直线的方向向量为设直线与所成的角为，则……………………………………10分（III ）直线的方向向量为，，设平面的法向量为，则，故，，设直线与平面所成的角为，则……………………………………14分集所能集，不足之处敬请见谅！AFB AD 平面⊥AFD AD 平面⊂B AF AFD 平面⊥B 2=EB 1==AB AF ()0,0,2E ()1,1,0D ()1,0,0C ()0,1,1F ()0,0,0B ED ()1,1,2-=ED CF ()1,1,1-=CF ED CFθ33cos ==θEC ()1,0,2-=EC ()01,0=BC ()0,1,1=BF BCF ()z y x n ,,=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n BF n BC ⎩⎨⎧=+=00y x z ⎪⎩⎪⎨⎧=-==011z y x ()0,1,1-=n EC BCFα510sin ==α。

北京西城区初三数学二模试题含答案

2012年北京西城区初三数学二模试题(含答案)北京市西城区2012年初三二模试卷数学 2012. 6一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．8-的倒数是A.8B.8-C.18D.18- 2．在2012年4月25日至5月2日举办的2012（第十二届）北京国际汽车展览会上，约有800 000名观众到场参观，盛况空前．800 000用科学记数法表示应为A.3810⨯ B.48010⨯ C.5810⨯ D.60.810⨯3．若⊙1O 与⊙2O 内切，它们的半径分别为3和8，则以下关于这两圆的圆心距12O O 的结论正确的是 A.12O O =5 B.12O O =11 C.12O O ＞11 D. 5＜12O O ＜114．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，若35AD DB =，AE =6，则EC 的长为A . 8 B. 10 C. 12 D. 165．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是8.9环，方差分别是20.61S =甲，20.52S =乙，20.53S =丙，20.42S =丁，则射击成绩波动最小的是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁 6．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D若OB 长为10，3cos 5BOD ∠=，则AB 的长是A . 20 B. 16 C. D. 87．若某个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数为A . 4 B. 6 C. 8 D. 10 8．如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，BC=1. 现将矩形ABCD 绕点C 顺时针旋转90°得到矩形A B CD '''，则AD 边扫过的面积(阴影部分)为A . 21π B. 31π C.41π D. 51π二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．将代数式2610x x -+化为2()x m n -+的形式（其中m ，n 为常数），结果为． 10．若菱形ABCD 的周长为8，∠BAD =60°，则BD = ．11．如图，把一个半径为12cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），则圆锥底面半径等于 cm ．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1A ，2A ，3A ，…都在y 轴上，对应的纵坐标分别为1，2，3，…．直线1l ，2l ，3l ，…分别经过点1A ，2A ，3A ，…，且都平行于x 轴．以点O 为圆心，半径为2的圆与直线1l 在第一象限交于点1B ，以点O 为圆心，半径为3的圆与直线2l 在第一象限交于点2B ，…，依此规律得到一系列点n B （n 为正整数），则点1B 的坐标为，点nB 的坐标为．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：101()(π3)6cos4585---+︒14．已知2240x x +-=，求代数式22(2)(6)3x x x x ----的值．15．如图，点F，G分别在△ADE的AD，DE边上，C，B 依次为GF延长线上两点，AB=AD，∠BAF=∠CAE，∠B=∠D.(1)求证：BC=DE；(2)若∠B=35°，∠AFB=78°，直接写出∠DGB 的度数．16．已知关于x的一元二次方程 (m +1)x2 + 2mx + m3 = 0 有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围；(2)当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根.17. 如图，在平行四边形ABCD中，点EF分别是AB，CD的中点.(1)求证：四边形AEFD(2)若∠A=60°，AB=2AD=4，求BD的长.18. 吸烟有害健康！你知道吗，即使被动吸烟也大大危害健康．为配合“禁烟”行动，某校组织同学们在某社区开展了“你支持哪种戒烟方式”的问卷调查，征求市民的意见，并将调查结果整理后制成了如下两个统计图：（图中信息不完整）请根据以上信息回答下面问题：(1) 同学们一共随机调查了人；(2) 如果在该社区随机咨询一位市民，那么该市民支持“强制戒烟”方式的概率是；(3) 如果该社区有5 000人，估计该社区支持“警示戒烟”方式的市民约有人．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，某天然气公司的主输气管道途经A小区，继续沿A小区的北偏东60 方向往前铺设，测绘员在A处测得另一个需要安装天然气的M小区位于北偏东30︒方向，测绘员从A 处出发，沿主输气管道步行2000米到达C 处，此时测得M 小区位于北偏西60︒方向．现要在主输气管道AC 上选择一个支管道连接点N ，使从N 处到M 小区铺设的管道最短． (1)问：MN 与AC 满足什么位置关系时，从N 到M 小区铺设的管道最短？(2)求∠AMC 的度数和AN 的长.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线483y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处.(1)求AB 的长和点C 的坐标； (2)求直线CD 的解析式．21．如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，过点C作⊙O 的切线，交BA 的延长线于点D ，取CD 的中点E ，AE 的延长线与BC 的延长线交于点P . (1)求证：AP 是⊙O 的切线；(2)若OC =CP ，AB =33，求CD 的长.22. 阅读下列材料小华在学习中发现如下结论：如图1，点A ，A 1，A 2在直线l 上，当直线l ∥BC 时， BC A BC A ABC S S S 21∆∆∆==.请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：(1)如图2，已知△ABC ，画出一个．．等腰△DBC ，使其面积与△ABC 面积相等；(2)如图3，已知△ABC ，画出两个．．Rt △DBC ，使其面积与△ABC 面积相等(要求：所画的两个三角形不全等．．．)； (3)如图4，已知等腰△ABC ，画出图1一个．．四边形ABDE ，使其面积与△ABC 面积相等，且一组对边DE=AB ，另一组对边BD ≠AE ，对角∠E =∠B .图 2 图 3 图4五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为第一象限内的双曲线1k y x =（10k >）上一点，点A 的横坐标为1，过点A作平行于 y 轴的直线，与x 轴交于点B ，与双曲线2k y x =（20k <）交于点C . x 轴上一点(,0)D m 位于直线AC 右侧，AD 的中点为E . (1)当m=4时，求△ACD 的面积（用含1k ，2k 的代数式表示）；(2)若点E 恰好在双曲线1k y x =（10k >上，求m 的值；(3)设线段EB 的延长线与y 轴的负半轴交于点F ，当点D 的坐标为(2,0)D 时，若△BDF 的面积为1，且CF ∥AD ，求1k 的值，并直接写出线段CF 的长.24．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC=6，BC =8．动点P 从点A 开始沿折线AC －CB －BA 运动，点P 在AC ，CB ，BA 边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位．直线l 从与AC 重合的位置开始，以每秒43个单位的速度沿CB 方向平行移动，即移动过程中保持l ∥AC ，且分别与CB ，AB 边交于E ，F 两点，点P 与直线l 同时出发，设运动的时间为t 秒，当点P 第一次回到点A 时，点P 和直线l 同时停止运动． (1)当t = 5秒时，点P 走过的路径长为；当t = 秒时，点P 与点E 重合；(2)当点P 在AC 边上运动时，将△PEF 绕点E 逆时针旋转，使得点P 的对应点M 落在EF 上，点F 的对应点记为点N ，当EN ⊥AB 时，求t 的值；(3)当点P 在折线AC －CB －BA 上运动时，作点P 关于直线EF 的对称点，记为点Q ．在点P 与直线l 运动的过程中，若形成的四边形PEQF 为菱形，请直接写出t 的值．25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21124y x=+的顶点为M ，直线2yx=，点()0P n ，为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线21124y x =+和直线2y x =于点A ，点B .⑴直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系； (3)已知二次函数2y axbx c=++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤2124x +，求a ，b ，c 的值.北京市西城区2012年初三二模试卷数学答案及评分标准 2012. 6 一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A B D B C C二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号 9 10 11 12 答案 2(3)1x -+ 2 4 (3,1) (21,)n n + 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式=2516222-+⨯-…………………………………………………………4分=42+．…………………………………………………………………… 5分14．解：原式=22(44)(6)3x x x x x -+---=32324463x x x x x -+-+-=2243x x +-．………………………..….….….….….…………………… 3分∵ 2240x x +-=，∴224x x +=. ………………………………………………………………… 4分 ∴ 原式=22(2)35x x +-=. ….……………………………………………………5分 15.(1)证明：如图1. ∵ ∠BAF =∠CAE ，∴ BAF CAF CAE CAF ∠-∠=∠-∠. FG D C∴ BAC DAE ∠=∠. ………………… 1分在△ABC 和△ADE 中,,,,B D AB AD BAC DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ △A B C ≌△ADE. ………………………………………………………3分∴BC=DE. ………………………………………………………………… 4分 (2)∠D G B 的度数为67︒．……………………………………………………………… 5分 16．解：(1)∵关于x 的一元二次方程(m +1)x 2 + 2mx + m - 3 = 0 有两个不相等的实数根， ∴ 10m +≠且0∆>．∵ 2(2)4(1)(3)4(23)m m m m ∆=-+-=+，∴ 230m +>．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分解得 m >23-．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分∴ m 的取值范围是 m >23-且m ≠ -1．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 3分(2)在m >23-且m ≠ -1的范围内，最小奇数m 为1．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分此时，方程化为210x x +-=． ∵ 224141(1)5b ac ∆=-=-⨯⨯-=，∴ x ==． ∴ 方程的根为 1x =， 2x=．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分17. (1)证明：如图2. ∵ 四边形ABCD∴ AB ∥CD 且AB=CD . ﹍﹍﹍﹍1分 ∵ 点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，∴ CD DF AB AE 21,21==. ∴ AE=DF . ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2分∴ 四边形AEFD 是平行四边形. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分(2)解：过点D 作DG ⊥AB 于点G . ∵ AB =2AD =4，∴ AD =2. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分在Rt △AGD 中，∵90,60,AGD A ∠=︒∠=︒ AD =2， ∴ .360sin ,160cos =︒⋅==︒⋅=AD DG AD AG ∴ 3BG AB AG =-=.在Rt △DGB 中，∵90,3,3,DGB DG BG ∠=︒==∴.329322=+=+=BG DG DB ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分18．解：(1)300；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分 (2)52；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分 (3)1750 . ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：(1)当MN ⊥AC 时，从N 到M 小区铺设的管道最短.（如图3）﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1分(2) ∵ ∠MAC =60︒-30︒=30︒，∠ACM =30︒+30︒=60︒，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分∴ ∠AMC =180︒-30︒-60︒=90︒. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 3分在Rt △AMC 中，∵∠AMC =90︒，∠MAC =30︒，AC =2000，∴ 3cos 200010003AM AC MAC =⋅∠==米). ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分在Rt △AMN 中，∵ ∠ANM =90︒，cos30︒=AMAN，北南西东东60°60°30°NMAC∴ AN =AM ⋅cos30︒=10003⨯23=1500(米). (5)分答：∠AMC 等于90︒，AN 的长为1500米. 20. 解：(1)根据题意得(6,0)A ，(0,8)B .(如图4)在Rt △OAB 中，∠AOB =90︒，OA =6，OB =8， ∴ 226810AB =+=.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 1分∵ △DAB 沿直线AD 折叠后的对应三角形为△DAC ，∴ AC=AB=10.∴ 16OC OA AC OA AB =+=+=. ∵ 点C 在x 轴的正半轴上， ∴ 点C 的坐标为(16,0)C .﹍﹍﹍﹍﹍ 2分 (2)设点D 的坐标为(0,)D y .（y <0）由题意可知CD=BD ，22CD BD =.由勾股定理得22216(8)y y +=-. 解得12y =-.∴ 点D 的坐标为(0,12)D -.﹍﹍﹍﹍﹍3分可设直线CD 的解析式为 12y kx =-.（k ≠ 0）∵ 点(16,0)C 在直线12y kx =-上，∴ 16120k -=. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分解得34k =. ∴ 直线CD 的解析式为3124y x =-.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分21.(1)证明：连结AO ，AC .(如图5) ∵ BC 是⊙O 的直径， ∴ 90BAC CAD ∠=∠=︒.﹍﹍﹍﹍﹍1分 ∵ E 是CD 的中点，∴ AE DE CE ==. ∴ EAC ECA ∠=∠. ∵ OA =OC ， ∴ OCA OAC ∠=∠. ∵ CD 是⊙O 的切线，∴ CD ⊥OC . ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分图4 yx D BC O A 图ED A PO C BlD 5D 2D 4D 3D 1ACB∴ 90ECA OCA ∠+∠=︒.∴ 90EAC OAC ∠+∠=︒. ∴ OA ⊥AP .∵ A 是⊙O 上一点，∴ AP 是⊙O 的切线. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分(2) 解：由(1)知OA ⊥AP .在Rt △OAP 中，∵90OAP ∠=︒，OC=CP=OA ，即OP =2OA ，∴ sin P 21==OP OA . ∴ 30P ∠=︒. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分∴ 60AOP ∠=︒. ∵ OC=OA ， ∴ 60ACO ∠=︒.在Rt △BAC 中，∵90BAC ∠=︒，AB =33，60ACO ∠=︒，∴ 333tan AB AC ACO ===∠. 又∵ 在Rt △ACD 中，90CAD ∠=︒，9030ACD ACO ∠=︒-∠=︒，∴ 323cos cos30AC CD ACD ===∠︒. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分22.解：(1) 如图所示，答案不唯一. 画出△D 1BC ，△D 2BC ，△D 3BC ，△D 4BC ，△D 5BC 中的一个即可.（将BC 的平行线l 画在直线BC 下方对称位置所画出的三角形亦可)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2分(2) 如图所示，答案不唯一. （在直线D 1D 2上取其他D 1D 2B CANME B C A符合要求的点，或将BC 的平行线画在直线BC下方对称位置所画出的三角形亦可)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分(3) 如图所示(答案不唯一).﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 5分如上图所示的四边形ABDE 的画法说明：(1)在线段BC 上任取一点D （D 不为BC 的中点），连结AD ；(2)画出线段AD 的垂直平分线MN ；(3)画出点C 关于直线MN 的对称点E ，连结DE ，AE . 则四边形ABDE 即为所求.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：(1)由题意得A ，C 两点的坐标分别为1(1,)A k ，2(1,)C k ．（如图6）∵ 10k >，20k <，∴ 点A 在第一象限，点C 在第四象限，12AC k k =-．当m=4时，1213()2ACD S AC BD k k ∆=⋅=-．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分(2) 作EG ⊥x 轴于点G ．（如图7）∵ EG ∥AB ，AD 的中点为E ，∴ △DEG ∽△DAB ，12EG DG DE AB DB DA ===，G 为BD 的中点．图xyC （1,k 2）A （1,k 1）y=k2x y=k 1xD OB图xyC （1,k 2）A （1,k 1）y=k 2xy=k 1xG EDO B图xyC （1,k 2）A （1,k 1）y=k 2xy=k 1xFEDO B∵ A ，B ，D 三点的坐标分别为1(1,)A k ，(1,0)B ，(,0)D m ，∴ 122k AB EG ==，122BD m BG -==，12m OG OB BG +=+=． ∴ 点E 的坐标为11(,)22k m E +．∵ 点E 恰好在双曲线1k y x =上，∴ 11122k m k +⋅=．①﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分∵ 10k >，∴ 方程①可化为114m +=，解得3m =．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分当点D 的坐标为(2,0)D 时，由(2)可知点E 的坐标为E （如图8） ∵ 1BDFS ∆=，∴ 11122BDFS BD OF OF ∆=⋅==． ∴ 2OF =．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 5分设直线BE 的解析式为y ax b =+（a ≠0）．∵ 点B ，点E 的坐标分别为(1,0)B ，13(,)22kE ， ∴10,3.22a b k a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得 1a k =，1b k =-．∴ 直线BE 的解析式为11y k x k =-．∵ 线段EB 的延长线与y 轴的负半轴交于点F ，10k >，∴ 点F 的坐标为1(0,)F k -，1OF k =． ∴ 12k =．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 6分线段CF 的长为 7分24．解:(1) 当t =5秒时，点P 走过的路径长为 19 ；当t = 3 秒时，点P 与点E 重合．(2) 如图9，由点P 的对应点M 落在EF 上，点F 的对应点为点N ，可知∠PEF =∠MEN ，都等于△PEF 绕点E 旋转的旋转角，记为α．设AP =3t （0< t <2），则CP =63t -，43CE t =． ∵ EF ∥AC ，∠C =90°，∴ ∠BEF =90°，∠CPE =∠PEF =α． ∵ EN ⊥AB ，∴ ∠B=∠MEN=α．∴ CPE B ∠=∠．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分∵ tan CE CPE CP ∠=，3tan 4AC B BC ==， ∴ 43CP CE =． ∴ 446333t t -=⨯．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分解得5443t =．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分(3) t 的值为65（秒）或307（秒）．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 7分25．解：(1)21(2)4A n n +，，()B n n ，. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分(2) d =AB =AByy -=2124nn -+. ∴ d =2112()48n -+=2112()48n -+.∴ 当14n =时，d 当d 取最小值时，线段OBA关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB =PM . (如图10)﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 5分(3) ∵ 对一切实数x 恒有 x ≤y ≤2124x +， ∴ 对一切实数x ，x ≤2axbx c++≤2124x +都成立.(0a ≠) ①当0x =时，①式化为 0≤c ≤14. ∴ 整数c 的值为0. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 6分此时，对一切实数x ，x ≤2ax bx +≤2124x +都成立.(0a ≠) 即222,12.4x ax bx ax bx x ⎧≤+⎪⎨+≤+⎪⎩对一切实数x 均成立.由②得 ()21ax b x +-≥0 (0a ≠) 对一切实数x 均成立.∴ ()210,10.a b >⎧⎪⎨∆=-≤⎪⎩由⑤得整数b 的值为 1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分此时由③式得，2ax x +≤2124x +对一切实数x 均成立. (0a ≠) 即21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立. (0a ≠) 当a =2时，此不等式化为14x -+≥0，不满足对一切实数x 均成立.④ ②当a ≠2时，∵ 21(2)4a x x --+≥0对一切实数x 均成立，(0a ≠) ∴2220,1(1)4(2)0.4a a ->⎧⎪⎨∆=--⨯-⨯≤⎪⎩∴ 由④，⑥，⑦得 0 <a ≤1.∴ 整数a 的值为1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分∴ 整数a ，b ，c 的值分别为1a =，1b =，0c =.⑥。