2012年郑州市一模数学理

郑州市2012年高中毕业年级第一次质量预测
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试时间120分钟，满分150分。

考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个正确答案 1．(2012年郑州一模，理)如果复数212bi
i
－＋（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于 A ．－
23 B ．2
3
C
D ．2 2．(2012年郑州一模，理)函数f （x ）＝
221
log x x
的定义域为 A ．（0，＋∞） B ．（1，＋∞） C ．（0，1） D ．（0，1）∪（1，＋∞） 3．(2012年郑州一模，理)在二项式2
1()n
x x
－的展开式中，所有二项式系数的和是32, 则展开式中各项系数的和为
A ．32
B ．－32
C ．0
D ．1 4．(2012年郑州一模，理)已知点F 、A 分别为双曲线
222
1x a b 2
y －＝，
（a ＞0，b ＞0）的左焦点、右顶点，点B （0，b ），满足FB ·AB
＝0，则双曲线的离心率为
A
B
C
．
12 D
．12
5．(2012年郑州一模，理)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为 A ．6
B ．6＋
C ．8
D ．8＋
6．(2012年郑州一模，理)若实数x ，y 满足0,0,0,x y x x ⎧⎪⎨⎪⎩
－＋1≥＋y ≥≤则z ＝23x y
＋的最小值是
A ．0
B ．1 C
D ．9
7．(2012年郑州一模，理)给出30个数：1，2，4，7，11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入
A ．i ≤30?和p ＝p ＋i －1
B ．i ≤31?和p ＝p ＋i ＋1
C ．i ≤31?和p ＝p ＋i
D ．i ≤30?和p ＝p ＋i
8．(2012年郑州一模，理)已知曲线y ＝2sin （x ＋4
π）cos （
4
π
－x ）与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点
自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则｜15P P
｜等于
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
9．(2012年郑州一模，理)如图所示，在一个边长 为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝2
x 和曲线y
＝
（阴影部分），向正方形AOBC
内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是
A ．
12 B ．16
C ．14
D ．1
3
10．(2012年郑州一模，理)若a ＞b ＞0，则代数式a 2＋
1
()
b a b -的最小值为
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11．(2012年郑州一模，理)如图，过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的直线l 交抛物线于点
A 、
B ，交其准线于点
C ，若｜BC ｜＝2｜BF ｜，且｜AF ｜＝3，则此抛物线的方程为 A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x
C ．y 2＝3x
D ．y 212．(2012年郑州一模，理)定义在（－1，1）上的函数f （x ）满足：f （x ）－f （y ）＝f （
1x y
xy
--）；当x ∈（－1，0）时，有f （x ）＞0．若P ＝f （
15）＋f （111），Q ＝f （12
），R ＝f （0）；则P ，Q ，R 的大小关系为
A ．R ＞Q ＞P
B ．R ＞P ＞Q
C ．P ＞R ＞Q
D ．Q ＞P ＞R
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．(2012年郑州一模，理)若直线l 1：ax ＋2y ＝0和l 2：3x ＋（a ＋1）y ＋1＝平行，则实数a 的值为____________．
14．(2012年郑州一模，理)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，S
为△ABC 的面积．若向量p ＝（4，a 2＋b 2－c 2），q S ）满足p ∥q ，则∠C ＝___________．
15．(2012年郑州一模，理)定义在R 上偶函数f （x ）在[0，＋∞）是增函数，则方程f （x ）
＝f （2x －3）的所有实数根的和为_________________．
16．(2012年郑州一模，理)在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，
则该三棱锥的外接球的表面积为________________．
三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） (2012年郑州一模，理)已知等差数列{n a }满足：a 5＝9，a 2＋a 6＝14． （Ⅰ）求{n a }的通项公式；
（Ⅱ）若n b ＝n a ＋n a
q （q ＞0），求数列{n b }的前n 项和n S ．
18．（本小题满分12分）
(2012年郑州一模，理)第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图
（单位：cm ）：
若身高在180cm 以上（包括180cm ）定义为“高个子”，身高在180cm 以下（不包括180cm ）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中
选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?
（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”
的人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望．
19．（本小题满分12分） (2012年郑州一模，理)如图，在四棱锥中S －ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD, CD ＝3AB ＝3，平面SAD ⊥平
面ABCD ，E 是线段AD 上一点，AE ＝ED ，SE
⊥AD ．
（Ⅰ）证明：平面SBE ⊥平面SEC
（Ⅱ）若SE ＝1，求直线CE 与平面SBC 所成角的
正弦值．
20．（本小题满分12分）
(2012年郑州一模，理)在△ABC 中，顶点A （－1，0），B （1，0），动点D ，E 满足：
①DA ＋DB ＋DC ＝0 ②｜EC EA EB ｜；③DE 与AB
共
线．
（Ⅰ）求△ABC 顶点C 的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与顶点C 的轨迹有两个不同交点M ，
N ，就一定有OM ·ON
＝0?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
(2012年郑州一模，理)设函数()ln (1),.f x x p x p R =--∈
（1）当p=1时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设函数2
()()(21)g x xf x p x x =+--,对任意1x ≥都有()0g x ≤成立，求p 的
取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 (2012年郑州一模，理)如图，锐角△ABC 的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为内切圆I 与边CA 的切点．
（Ⅰ）求证：四点A ，I ，H ，E 共圆; （Ⅱ）若∠C ＝50°，求∠IEH 的度数． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
(2012年郑州一模，理)在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为x a t
⎧⎪⎨
⎪⎩＝y ＝，（t 为
参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x
轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ＝4cos θ． （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；
（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
(2012年郑州一模，理)已知函数f （x ）＝｜x －a ｜－2｜x －1｜（a ∈R ）． （Ⅰ）当a ＝3时，求函数f （x ）的最大值； （Ⅱ）解关于x 的不等式f （x ）≥0．
2012年高中毕业年级第一次质量预测
理科数学 参考答案
一、选择题 1-12 ADCDD BDBDC CB 二、填空题 13. 2或3-； 14.3
π
； 15.4； 16.43π. 三、解答题
17.解：（I ）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由5269,14,a a a =+=
得11
49,2614,a d a d +=⎧⎨+=⎩ …………2分
解得11,
2,
a d =⎧⎨
=⎩
所以{}n a 的通项公式2 1.n a n =- …………5分
（II ）由21n a n =-得21
21n n b n q
-=-+. …………7分
① 当01q q >≠且时，[]()
13521
135(21)n n S n q q q q -=++++-+++++
()22
2
11n q q n q
-=+
-；…………10分
② 当1q =时，2n b n =，得n S =(1)n n +；
所以数列{}n b 的前n 项和()()22
2
(1),(1)1,011n n n n q S q q n q q q ⎧+=⎪⎪=⎨-+>≠⎪-⎪⎩
且…………12分 18.解：（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
51
204
=， 所以选中的“高个子”有1824⨯=人，“非高个子”有1
1234
⨯=人．…………3分
用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名“高
个子”被选中”， 则()P A =-1252
3C C 10
7
1031=-=．
因此，至少有一人是“高个子”的概率是
10
7
．…………6分 （Ⅱ）依题意，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X 的取值分别为0,1,2,3．
34381
(0)14C P X C ===， 12
443
83(1)7C C P X C ===， 2144383(2)7C C P X C ===， 34381
(3)14
C P X C ===．
因此，X 的分布列如下：
…………10分
所以X 的数学期望13313
0123.1477142
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯= (12)
分 19.解：（Ⅰ） 平面SAD ⊥平面ABCD ,平面SAD 平面ABCD AD =,
SE ⊂平面SAD ，SE AD ⊥，
SE ∴⊥平面ABCD , …………2分
BE ⊂ 平面,ABCD .SE BE ∴⊥
AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB ==3, AE =ED
30,60.
AEB CED ∴∠=∠= 所以90BEC ∠=
即.BE CE ⊥…………4分 结合SE CE E = 得BE ⊥平面SEC ，
BE ⊂平面SBE ，
∴平面SBE ⊥平面SEC. …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线ES,EB,EC 两两垂直.
如图，以EB 为x 轴, 以EC 为y 轴,以ES 为z 轴,建立空间直角坐标系.
则(0,0,0),(0,0,1),(2,0,0)E C S B ，
(2,(0,CB CS ∴=-=-
. 设平面SBC 的法向量为(,,)n x y z =
，
则0,0,
n CB n CS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
解得一个法向量n =
，…………9分
设直线CE 与平面SBC 所成角为θ，
则1
sin .4n CE n CE
θ⋅==⋅
又(0,CE =-
所以直线CE 与平面SBC 所成角的正弦值1
.4
…………12分
20.解：(I)设C （x,y ）,由0DA DB DC ++= 得，动点D 的坐标为,33x y ⎛⎫
⎪⎝⎭
；
由EA EB = 得，动点E 在y 轴上，再结合DE 与AB
共线，
得，动点E 的坐标为0,
3y ⎛⎫
⎪⎝⎭
; …………2分
由EC =
=
整理得，22
1273
y x +=.
因为ABC ∆的三个顶点不共线，所以0y ≠，
故ABC ∆顶点C 的轨迹方程为22
1(0)273
y x y +=≠.…………5分
(II)假设存在这样的圆，其方程为222
(0)x y r r +=>，
当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆的方程， 得2
2
2
(9)2270k x kmx m +++-=， 设M ()11,x y ，N ()22,x y ，
则12x x =， 所以1222
122
2,927,9km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
(*)…………7分 由0OM ON ⋅=
，得1212x x y y +=0，
即2
2
12121212()()(1)()0x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=， 将式子(*)代入上式，得2
2
27(1)10
m k =
+.…………9分 又直线MN ：y kx m =+与圆222
x y r +=
相切知：r =
.
所以2
2710r =
，即存在圆22
2710
x y +=满足题意； 当直线MN 的斜率不存在时，
可得12x x ==
12y y =-=满足0OM ON ⋅= .
综上所述：存在圆2227
10
x y +=
满足题意. …………12分 21.解：（I ）当p =1时，()ln 1f x x x =-+，其定义域为()0,+∞.
所以1
()1f x x
'=-.…………2分 由1
()10f x x
'=
->得01x <<， 所以()f x 的单调增区间为()0,1；单调减区间为()1,+∞.…………5分
（II ）由函数2
2
()()(21)ln (1)g x xf x p x x x x p x =+--=+-,得()ln 12g x x px '=++.
由（I ）知，当p =1时，()(1)0f x f ≤=，
即不等式1ln -≤x x 成立. …………7分 ① 当1
2
p ≤-
时，()ln 12(1)12(12)0g x x px x px p x '=++≤-++=+≤， 即g(x)在[)+∞,1上单调递减，从而()(1)0g x g ≤=满足题意； …………9分 ② 当1
02p -
<<时，存在11,2x p ⎛⎫∈- ⎪⎝
⎭使得ln 0,120x px >+>，
从而()ln 120g x x px '=++>，即g(x)在11,2p ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
上单调递增， 从而存在011,2x p ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
使得0()(1)0g x g >=不满足题意； ③当0p ≥时，由1≥x 知2
()ln (1)0g x x x p x =+-≥恒成立，此时不满足题意. 综上所述，实数p 的取值范围为1
2
p ≤-
. …………12分
22.证明：（Ⅰ）由圆I 与边AC 相切于点E ， 得IE ⊥AE ; …………２分 结合IH ⊥AH ,得90.AEI AHI ∠=∠=
所以，四点A ,I ,H ,E 共圆. …………５分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知四点A ,I ,H ,E 共圆，得，
11 IEH HAI ∠=∠;…………７分
在
HIA ∆中,11111()(180)90.22222
HIA ABI BAI B A B A C C ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=-∠=-∠ 结合IH ⊥AH ,得1902
HAI HIA C ∠=-∠=∠ ； 所以12
IEH C ∠=∠. 由50C ∠= 得25.IEH ∠=
…………10分 23.解（Ⅰ）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，…………２分
结合极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨
=⎩得224x y x +=， 即22(2) 4.x y -+= …………５分
（Ⅱ）由直线l
的参数方程()x a t y t
⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程，
得，0x a -=. …………７分
结合圆C 与直线l
2=，
解得26a =-或. …………10分
24、解：（Ⅰ）当a =3时，
1,(3)()32135,(13)1,(1)x x f x x x x x x x --≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪+≤⎩
…………３分
所以，当x =1时，函数f (x )取得最大值2. …………５分
（Ⅱ）由()0f x >得21x a x -≥-，
两边平方得：()()2241x a x -≥-，
即2232(4)40x a x a +-+-≤， …………７分。