模糊数值直觉模糊群的性质
直觉模糊多属性决策方法综述
直觉模糊多属性决策方法综述一、本文概述随着信息时代的到来,决策问题变得越来越复杂,多属性决策问题在各个领域中都得到了广泛的研究和应用。
在多属性决策中,决策者常常面临属性值模糊、不完全或不确定的情况,这使得决策过程更加困难。
为了解决这些问题,直觉模糊多属性决策方法应运而生,它结合了直觉模糊集理论和多属性决策方法,为处理模糊信息提供了一种有效的工具。
本文旨在综述直觉模糊多属性决策方法的研究现状和发展趋势,分析不同方法的优缺点,为决策者提供更为全面和深入的理论支持和实践指导。
本文将对直觉模糊多属性决策方法进行概述,介绍直觉模糊集的基本概念和性质,以及其在多属性决策中的应用。
然后,将重点综述现有的直觉模糊多属性决策方法,包括基于直觉模糊集的权重确定方法、属性约简方法、决策规则等。
通过对这些方法的分析和比较,揭示各种方法的特点和适用范围。
本文将探讨直觉模糊多属性决策方法在实际应用中的挑战和解决方案。
针对决策过程中可能出现的模糊信息、不确定性等问题,提出相应的处理策略和方法,以提高决策的准确性和有效性。
本文将展望直觉模糊多属性决策方法的发展前景和趋势。
随着、大数据等技术的快速发展,直觉模糊多属性决策方法将在更广泛的领域得到应用,同时也将面临新的挑战和机遇。
因此,本文将分析未来的研究方向和发展趋势,为相关领域的研究和实践提供参考和借鉴。
本文将对直觉模糊多属性决策方法进行全面的综述和分析,旨在为决策者提供更为科学、有效的决策方法和工具,推动多属性决策理论和方法的发展和应用。
二、直觉模糊集理论直觉模糊集(Intuitionistic Fuzzy Sets, IFSs)是Zadeh模糊集理论的一种扩展,由Atanassov在1986年提出。
直觉模糊集不仅考虑了元素对模糊集合的隶属度,还考虑了元素对模糊集合的非隶属度和犹豫度,从而提供了更丰富的信息描述方式。
在直觉模糊集中,每个元素x在一个直觉模糊集A中的隶属度用μ_A(x)表示,非隶属度用ν_A(x)表示,而犹豫度π_A(x)则为1 - μ_A(x) - ν_A(x)。
直觉模糊集数据标准化处理的方法-概述说明以及解释
直觉模糊集数据标准化处理的方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述直觉模糊集是一种在模糊集合理论中具有重要意义的概念,它是在传统模糊集的基础上引入了直觉性因素,更符合人类认知过程。
直觉模糊集可以更好地描述人类对事物的认知过程,从而提高模糊集在实际问题中的应用效果。
数据标准化是数据处理的重要环节,它可以将不同尺度的数据转化为统一的标准尺度,从而更好地进行比较和分析。
对于直觉模糊集数据的处理,数据标准化更具有挑战性,因为直觉模糊集中融合了模糊性和直觉性,使得标准化处理更加复杂。
本文旨在探讨直觉模糊集数据标准化处理的方法,通过对直觉模糊集和数据标准化的概念进行简要介绍,分析直觉模糊集数据标准化处理的现有方法和存在的问题,进而提出一种更有效的处理方法,从而为直觉模糊集数据的应用提供更可靠的支持。
1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分,将对直觉模糊集数据标准化处理的方法进行概述,介绍文章的结构和目的。
在正文部分,将分别介绍直觉模糊集的基本概念、数据标准化的概念以及直觉模糊集数据标准化处理方法。
在结论部分,将总结直觉模糊集数据标准化处理方法的重要性,讨论方法的优势和局限性,并展望未来研究方向。
通过以上内容的阐述,读者将能够全面了解直觉模糊集数据标准化处理方法的理论基础、实际应用以及未来发展方向。
1.3 目的本文旨在探讨直觉模糊集数据标准化处理的方法,通过对直觉模糊集和数据标准化概念进行介绍,引入直觉模糊集数据标准化处理方法,从而帮助读者更深入地了解该领域的技术和方法。
通过本文的研究,我们旨在为数据处理领域的相关研究和实践提供新的思路和方法,提升数据处理的效率和精度。
同时,通过总结和讨论直觉模糊集数据标准化处理方法的重要性、优势和局限性,以及对未来研究方向的展望,为该领域的进一步发展提供参考和指导。
希望本文能够为相关研究人员和数据处理领域的从业者提供有益的信息和启发,推动该领域的进步和创新。
模糊数学基础知识
1 1A1 = u3 0.8 0.8 0.8A0.8 = + u3 u4 0.5 0.5 0.5 0.5A0.5 = + + u2 u3 u4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4A0.4 = + + + u1 u2 u3 u4 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2A0.2 = + + + + u1 u2 u3 u4 u5
200669中科院寒旱所遥感室51976年传入我国1980年成立中国模糊数学与模糊系统学会1981年创办模糊数学杂志1987年创办模糊系统与数学杂志我国已成为全球四大模糊数学研究中心之一美国西欧日本中国200669中科院寒旱所遥感室6集合是现代数学的基础概念模糊集合是集合的发展是模糊数学的基础经典集合论任意元素和任意一个集合之间的关系是属于和不属于的
交流学习
模糊数学基础
王建宏
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
1
提
纲
模糊集概念 隶属函数确定 模糊关系 模糊综合评判 实例介绍
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
2
1、模糊集
模糊集理论 美国加州大学 控制专家 L.A. Zadeh 1965年开创
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
3
1、模糊集
L-模糊集 L-直觉模糊集
定义:设A∈F(U), λ∈[0,1] 则: (1)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) ≥ λ}
模糊数学原理及应用
模糊数学原理及应用
模糊数学是一门拟现实主义的数学,它提供了一种方法来处理含有不确定性和模糊性的信息,为变量的描述提供了一种更加灵活的方式。
模糊数学的基本原理是通过将变量的值划分为多个等级来实现。
模糊数学在众多领域有着广泛的应用,如智能控制、机器学习、信息处理、模式识别、知识表示、系统建模等。
模糊数学原理的核心是模糊集合理论,它基于不确定性和模糊性的概念,将变量的值划分为多个不同等级,即模糊集合中的元素分层次,从而实现模糊数学原理的应用。
模糊集合的每个元素都有一个权值,表示其变量的程度。
这些元素的权值可以是实数,也可以是逻辑值,这取决于变量的类型。
模糊数学在智能控制领域有着广泛的应用。
智能控制是一种利用计算机程序来控制复杂系统的技术,它可以用来解决有关非线性系统的控制问题。
模糊控制是一种智能控制的方法,它可以将模糊数学的概念用于控制问题的解决,使得控制系统表现得更加准确、灵活和精确。
模糊数学也可以用于机器学习,它可以使机器“学习”和“记忆”,使机器能够像人类一样识别和处理信息。
它可以用来处理不确定性和模糊性的信息,让机器“学习”和“记忆”,有效地提高机器学习的效率。
模糊数学还可以用于信息处理,它可以将不确定性和模糊性的信息转换为有用的信息,有效地改善信息处理的效率。
此外,模糊数学还可以用于模式识别、知识表示、系统建模等领域,以提高系统的效率和准确性。
模糊数学原理及其应用的日益广泛,可以说模糊数学是一门融合不确定性和模糊性的数学,它可以提供更加灵活的方式来处理含有不确定性和模糊性的信息,在众多领域有着广泛的应用。
模糊数学总结
集合与特征函数在运算上的关系
A B CA (u) CB (u), u U A B CA (u) CB (u), u U
(1)包含 (2)相等 (3)并集
(4)交集
(5)补集
CAB (u) max CA (u), CB (u) CA (u) CB (u) CAB (u) min CA (u), CB (u) CA (u) CB (u) CAC (u) 1 CA (u)
不要把上式右端当做分式求和。“+”号不表 示求和,而是表示将各项汇总,表示集合概念。
ui 项可省略。
1 0.7 0.4 0 1 0.7 0.4 A “圆块”模糊子集: a b c d a b c
普通集合与模糊子集的区别与联系
明确外延:经典数学
外延不明确:模糊数学
C
1 1 1 C A A U, A A u1 u2 un
C
普通集合与模糊子集的区别与联系
运算性质对比 (u ) B (u ), u U A B C A (u ) CB (u ), u U A B A A B C A (u ) CB (u ), u U A B A (u ) B (u ), u U A B (u ) A (u ) B (u ) C A B (u ) C A (u ) CB (u)
U
a =1 b =0.7
d =0 c =0.4
“d”和“a”具有很大的差异, 但从“d”到“a”不是具有 突变的差异,而是采取了 一个又一个中间过渡状态 “b”和“c”。处于中间过 渡的差异“b”和“c” ,便 具有了“亦此亦彼”性。
直觉模糊微积分
直觉模糊微积分引言微积分是数学中的一门重要学科,涉及到函数、极限、导数和积分等概念。
微积分的发展与应用已经深入到各个领域,包括物理学、工程学、经济学等等。
然而,传统的微积分理论在处理模糊问题时存在局限性。
直觉模糊微积分(Intuitionistic Fuzzy Calculus)是一种新兴的数学工具,能够有效地处理模糊问题。
本文将介绍直觉模糊微积分的基本概念、运算规则以及应用领域。
直觉模糊集在介绍直觉模糊微积分之前,我们先来了解直觉模糊集的基本概念。
直觉模糊集是一种扩展的模糊集,它的隶属度函数不仅可以表示模糊程度,还可以表示不确定度。
直觉模糊集的隶属度函数是一个三元组,包括模糊度、确定度以及不确定度三个维度,分别用数值表示。
直觉模糊集可以用来描述人类的直觉认知,更符合人类对不确定性问题的处理方式。
直觉模糊微积分的基本概念直觉模糊微积分通过引入直觉模糊数和直觉模糊函数的概念,将传统微积分理论推广到模糊环境中。
直觉模糊数是一个具有隶属度函数的数值,可以用来表示直觉模糊集合。
直觉模糊函数是一个从直觉模糊集到直觉模糊集的映射,可以看作是一种模糊函数关系。
在直觉模糊微积分中,我们定义了直觉模糊导数和直觉模糊积分的运算规则。
直觉模糊导数可以看作是直觉模糊函数的斜率,它表征了函数在某一点上的变化情况。
直觉模糊积分是直觉模糊函数在某一区间上的累积效应,可以用来计算函数曲线下的面积。
直觉模糊微积分的运算规则直觉模糊微积分的运算规则包括直觉模糊导数和直觉模糊积分的运算性质。
直觉模糊导数具有线性性、乘法性以及链式法则等性质,使得我们可以像传统微积分一样对直觉模糊函数进行求导。
直觉模糊积分具有线性性、区间性以及换元法则等性质,使得我们可以像传统微积分一样对直觉模糊函数进行积分。
直觉模糊微积分的应用领域直觉模糊微积分在多个领域具有广泛的应用。
在工程学中,直觉模糊微积分可以用于模糊控制系统的设计与优化。
在经济学中,直觉模糊微积分可以用于风险分析与决策制定。
直觉模糊集的性质及应用
直觉模糊集的性质及应用[摘要]:美国学者L.A.Zadeh于1965年提出模糊集合的概念以来,大量处理不确定性的理论陆续开始提出,其中多数是对Zadeh的模糊集合理论的推广。
学者K.T.Atanassov在1984年推广了这一理论,提出了直觉模糊集和区间值直觉模糊集两个概念,接着于1999年又给出了格上的直觉模糊集理论。
本文以直觉模糊集为研究对象,对广义区间值直觉模糊集的相关概念和性质进行了研究,推广了熵和子集度的概念,讨论了熵、子集度以及相似度三者之间的关系。
[关键词]:直觉模糊集;区间值;熵;子集度;相似度Properties and Applications ofIntuitionistic Fuzzy Sets[Abstract]: Since L.A.Zadeh introduced fuzzy sets in 1965, a lot of new theories treating imprecision and uncertainty have been introduced. Some of them are extensions of fuzzy set theory. K.T.Atanassov extended this theory, proposed the definition of intuitionistic fuzzy sets and interval-valued intuitionistic fuzzy sets (IVIFS, for short). And then, in the year 1999, Atanassov defined a Lattice-intuitionistic fuzzy set.This dissertation focuses on intuitionistic fuzzy sets, which covers conception and properties of VIFS, extends entropy and subsethood onto VIFS and discusses the relation among entropy, subsethood and similarity. [Keywords]: Intutionistic fuzzy sets;Interval valued ;Entropy;Subsethood;Similarity1、引 言在十九世纪末,德国数学家Cantor 创立了集合论[1]。
最新最全模糊数学方法综合整理
模糊数学方法模糊数学是从量的角度研究和处理模糊现象的科学.这里模糊性是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦比”性.比如用某种方法治疗某病的疗效“显效”与“好转”、某医院管理工作“达标”与“基本达标”、某篇学术论文水平“很高”与“较高”等等.从一个等级到另一个等级间没有一个明确的分界,中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程,这个现象叫中介过渡.由这种中介过渡引起的划分上的“亦此亦比”性就是模糊性.在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。
这里所谓的模糊性,主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性,如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”;灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”,等等。
这些通常是本来就属于模糊的概念,为处理分析这些“模糊”概念的数据,便产生了模糊集合论。
根据集合论的要求,一个对象对应于一个集合,要么属于,要么不属于,二者必居其一,且仅居其一。
这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。
为处理这些模糊概念而进行的种种努力,催生了模糊数学。
模糊数学的理论基础是模糊集。
模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的,近10多年来发展很快。
模糊集合论的提出虽然较晚,但目前在各个领域的应用十分广泛。
实践证明,模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面,在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。
从该学科的发展趋势来看,它具有极其强大的生命力和渗透力。
在侧重于应用的模糊数学分析中,经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。
在DPS系统中,我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来,列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领,供用户参考和使用。
关于模糊关系与模糊子群的注记
关于模糊关系与模糊子群的注记模糊关系和模糊子群是模糊数学中的两个重要概念,它们在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将对这两个概念进行详细讨论,并介绍其相关的性质和应用。
一、模糊关系模糊关系是指一种不确定性的关系,它通常用来描述两个或多个对象之间的某种程度的关联性。
在模糊关系中,每个对象都被赋予了一个模糊度,表示其与其他对象的关系的不确定程度。
例如,在描述人与人之间的关系时,我们可以使用模糊关系来表示两个人之间的亲密程度、朋友关系等。
在模糊关系中,我们通常使用模糊矩阵来表示。
模糊矩阵是一个n×n的矩阵,其中每个元素都是一个[0,1]之间的实数,表示两个对象之间的模糊关系的强度。
如果两个对象之间的模糊关系越强,那么它们之间的模糊矩阵元素就越接近于1;反之,如果它们之间的关系越弱,那么元素就越接近于0。
模糊关系的应用非常广泛,例如在社交网络分析、人际关系建立、图像处理等领域都有着重要的应用。
在社交网络分析中,我们可以使用模糊关系来描述人与人之间的社交关系,从而分析社交网络的结构和特征。
在图像处理中,我们可以使用模糊关系来进行图像分割和图像识别等工作。
二、模糊子群模糊子群是指在一个群中的一个子集,它具有一定的模糊性质。
在模糊子群中,每个元素都被赋予了一个模糊度,表示它与子群中的其他元素的关系的不确定程度。
例如,在描述一个人群中的子群时,我们可以使用模糊子群来表示某些人之间的某种程度的关联性。
在模糊子群中,我们通常使用模糊子群矩阵来表示。
模糊子群矩阵是一个n×n的矩阵,其中每个元素都是一个[0,1]之间的实数,表示子群中两个元素之间的模糊关系的强度。
如果两个元素之间的模糊关系越强,那么它们之间的模糊子群矩阵元素就越接近于1;反之,如果它们之间的关系越弱,那么元素就越接近于0。
模糊子群的应用也非常广泛,例如在人际关系建立、图像处理、数据挖掘等领域都有着重要的应用。
在人际关系建立中,我们可以使用模糊子群来描述某些人之间的某种程度的关联性,从而为社交网络分析提供基础。
模糊数学基本知识
一.模糊数学的基础知识1.模糊集、隶属函数及模糊集的运算。
普通集合A ,对x ∀,有A x ∈或A x ∉。
如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时,仅用特征函数就不够了。
模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0,1]闭区间内,取值的函数以度量这种程度的大小,这个函数(记为)(x E )称为集合E 的隶属函数。
即对于每一个元素x ,有[0,1]内的一个数)(x E 与之对应。
(1)模糊子集的定义:射给定论域U ,U 到[0,1]上的任一映射:))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→都确定了U 上的一个模糊集合,简称为模糊子集。
)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度。
映射所表示的函数称为隶属函数。
例如:设论域U=[0,100],U 上的老年人这个集合就是模糊集合:⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤=--10050,))550(1(50,0)(12u u u u A 若在集合U 上定义了一个隶属函数,则称E 为模糊集。
(2)模糊集合的表示:},.....,,{21n u u u U =,)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度;则模糊集可以表示为:nn u u A u u A u u A A )(....)()(2211+++=。
或 )}(),.....,(),({21n u A u A u A A =,))}(,()),.....,(,()),(,{(2211n n u A u u A u u A u A =,(3)模糊集合的运算:)}(),.....,(),({21n u A u A u A A =,)}(),.....,(),({21n u B u B u B B =,并集:)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∨∨∨=⋃,交集:)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∧∧∧=⋂,补集:)}(1),.....,(1),(1{21n c u A u A u A A ---=,包含:B A u B u A U u ⊂≤∈∀,则有有若)()(,,2.模糊集的截集已知U 上模糊子集))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→对]1,0[∈λ,则称})(,{λλ≥∈=u A U u u A 为模糊集A 的λ-截集; 称})(,{λλ>∈=u A U u u A s 为模糊集A 的λ-强截集;λ称为λA 、sA λ的置信水平或阀值。
数学建模模糊数学讲义
模糊数学经历了数十年的发展, 逐渐形成了完善的理论体系,并 在各个领域得到广泛应用。
当前模糊数学的研究热点包括模 糊逻辑、模糊推理、模糊系统优 化等方向。
模糊数学的应用前景与挑战
应用前景
模糊数学在人工智能、模式识别、决策分析等领域具有广阔的应用前景,为解决复杂问题 提供了新的思路和方法。
挑战与问题
数学建模模糊数学讲义
• 引言 • 模糊集合论基础 • 模糊逻辑与模糊推理 • 模糊聚类分析 • 模糊决策分析 • 模糊控制系统 • 总结与展望
01
引言
模糊数学简介
模糊数学是一门研究模糊现象和模糊事物的数学分支,它提供了一种处理 不确定性和不精确性的方法。
模糊数学通过引入模糊集合的概念,将经典集合论中的确定性界限扩展到 模糊性界限,从而能够更好地描述现实世界中的模糊现象。
尽管模糊数学取得了一定的成果,但仍面临一些挑战和问题,如模糊规则的制定、模糊推 理的精度和稳定性等。
未来发展方向
未来模糊数学的发展方向包括与其他数学分支的交叉融合、模糊系统与机器学习的结合等 ,以推动其在更多领域的应用和发展。
THANKS
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模糊逻辑运算
模糊逻辑运算是对传统逻辑运算的扩展,如并、 交、非等运算。
模糊逻辑的运算与推理
模糊集合的运算
包括模糊集合的交、并、补等基 本运算,以及更复杂的运算如模 糊化、去模糊化等。
模糊推理
基于模糊逻辑的推理方法,通过 建立模糊规则和模糊前提,得出 模糊结论。
模糊推理系统
一种基于模糊逻辑的控制系统, 通过建立模糊控制器和模糊规则 库来实现对系统的控制。
根据系统特性和要求,设计合适的模糊逻辑 和推理规则。
系统仿真与优化
直觉模糊集合分解定理的探究
[
0 ΦλΦαA ( x) θΕ βA ( x) > A x) θ <βA ( x)
∨
(λ∧A (λ,θ) ( x) ) ]
(λ∧A (λ,θ) ( x) ) ] ∨ [λ α ∨ (
∨[
0 ΦλΦαA ( x) θ <βA ( x) > A x) θΕ βA ( x)
∨
(λ∧A (λ,θ) ( x) ) ]
(λ∧A (λ,θ) ( x) ) ] ∨ [λ α ∨ (
性质 , 关于 IFS截集的比较全面的性质可以参考文 献 [ 5 ]. ( 1 ) A (λ,θ) ・ < A (λ,θ) ; ( 2 ) A ( 0, 1 ) = X, A ( 1, 0 ) ・ ;
( 3 ) ( A ) (λ,θ) ・ < ( A (θ ) ; ,λ) ・
( 2 ) 当 λ1 Φ λ2 ,θ λ2 ,θ 1 Ε θ 2 时, 有 H ( 2 ) Α
H (λ1 ,θ 1 ) ) 为集合套 . 则称 H (λ,θ [2 - 3] 定义 5 对任意的 A, B ∈ IFS [ X ] 且具有
下面的形式 : α A = (α A ,β A ) ,B = ( B ,β B ) 规定直觉模糊集合的运算如下 : ( 1 ) A ∪ B = ( (α β A ∨α B ) , ( A ∧β B ) ); ( 2 ) A ∩ B = ( (α α ) ( β β , A ∨ B ) ); A ∧ B
1 相关定义
设在一个非空经典集合 X 上 , 具有 如下形式的集合 A = { ( x,α A ( x ) ,β A ( x) ) | x ∈ X } 称为 X 上的一个直觉模糊集 (简记为 IFS) . 其中函 数α X → [ 0, 1 ] 和 β X → [ 0, 1 ] 分别表示 X 上 A ∶ A ∶ 元素 x 属于 A 的隶属度和非隶属度 , 并且满足 0 Φ α A ( x ) +β A ( x ) Φ 1, Π x ∈ X. 由直觉集的定义可知 X 上的一个直觉模糊集 X X A = { ( x,α ×I A ( x ) ,β A ( x ) ) | x ∈ X } 实际上与 I 上的有序对 (α A ,β A ) 是一一对应的 , 因此我们可以 将任何一个直觉模糊集 A = { ( x,α A ( x ) ,β A ( x) ) | x ∈ X } 简记为一个有序对 A = (α A ,β A ). 注记 : 令 IFS [ X ] 表示 X 上的所有直觉模糊集 构成的集合 , P ( X ) 表示 X 的幂集 1 定义 2 设 X 是 一 个 非 空 经 典 集 合 , A ∈ IFS [ X ], 对任意的 λ ∈ [ 0, 1 ] 及 θ∈ [ 0, 1 ] 且 0 Φ λ +θΦ 1, 称 A (λ,θ) = { x | α ,β } A ( x) Ε λ A ( x) Φ θ ) 水平截集 . 为 A 的 (λ,θ 定义 3 设 X 是 一 个 非 空 经 典 集 合 , A ∈ IFS [ X ], 对任意的 λ ∈ [ 0, 1 ] 及 θ∈ [ 0, 1 ] 且 0 Φ λ +θΦ 1, 称 A (λ,θ) = { x | α ,β } A ( x ) >λ A ( x ) <θ ) 水平截集 . 为 A 的强 (λ,θ 定义 4 设集映 H ∶[ 0, 1 ] → P ( X ) , (λ,θ) → ) , 若 H 具有下列性质 : H (λ,θ ( 1 ) H ( 0, 1 ) = X
模糊数学概述
26
非典型三角形T= IcRc Ec,因而
T ( A, B, C ) 1 I ( A, B, C ) (1 R( A, B, C )) (1 E ( A, B, C ))
1 180 min[ 3( A B),3( B C ), ( A C ),2 | A 90 |].
则称如下的“序偶”组成的集合 A={(x | A(x))}, xX 为
X 上的模糊子集合,简称模糊集合。
10
称 A(x) 为 x 对 A 的隶属函数,对某个具体的 x 而言, A(x) 称为 x 对 A 的隶属度。 定义 2 设 X 是论域,映射
A(· ):X → [0, 1]
x︱→ A(x) 称为 X 的模糊子集(合) A ( Fuzzy Set ),简称 F 集(合) 。 对 x ∈X, A (x) 称为 x 对 A 的隶属度, A 称为F 集 的隶属函数。
tT tT
B At
tT
x X , B( x) At ( x), (3.1.18).
20
模糊集合的隶属度
模糊集是客观世界数量与质量的统一体,人
们刻画模糊集是通过模糊集的特有的性质,即隶
属度来表现的。隶属度是人们认识客观事物所赋
予的该元素隶属于该集合的程度,带有主观经验
17
由上述定义,易证下面的命题。 命题 1 F ( X ) 上的包含关系 “” 有以下性质: (1) AF ( X ), A X。 (2) 自反性: AF ( X ), A A。 (3) 反对称性: A、BF ( X ),若 A B 且 B A,则 A=B。 (4) 传递性: A、B、CF ( X ),若 A B 且 B C,则 A C 。
第一章模糊集合的一般概念
• 定义1.4 记 AB (A B) (B A)
{u | u A与u B二者有且仅有一成立} 称A与B的对称差。
A- B
AΘB
• 映射:记号f :U→V u |→ f (u)
表示f从U到V的一个映射。 U: f 的定义域,记
f (U ) {v | u U ,使v f (u)}
~ ~ Zadeh给出年轻 Y 和年老 O 两个模糊集的
隶属函数
O~
(u
)
0 [1
(u
50 5
)
2
]1
当0 u 50 当50 u 200
Y~ (u)
1 [1
(u
25) 5
2
]1
当0 u 25 当0 u 200
三、定义1.6 集合的运算(并、交、补)
C A B A B (u) max(A(u), B (u)) C A B A B (u) min(A(u), B(u)) C Ac Ac (u) 1 A(u)
Ac (u) 1 A (u)
§3 模糊子集的定义及运算
• 定义1.5 :所谓给定了论域U上的一个模糊
子集~A ,是指对任意 u U ,都指定了一个
~ 数 映射 ~A
(u)
~A
[0,1] ,叫做u
~A :U
对A
[0,1]
的隶属程度。
u ~A(u)
叫做~A 的隶属函数。
• 模 的 函糊值 数子域。~A集={蜕完0,变全1成由}时一其。个隶普属~A 变通函成子数普集所通。刻集画合。的当特征~A
例:设U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,
10}, 则:
表~A示“接近5的整数”的模糊子集,
直觉模糊集合的基本定理
直觉模糊集合的基本定理
模糊集合论是一门有关精确度的分析学科,它引入了概念的类比思维,使得数
学和信息处理可以用概括的方式让计算机用来做决策,尤其是在不完全信息情况下,进行人机交互。
模糊集合理论是一种结合现实和数学数据处理技术,主要是研究由模糊语言组成的模糊集组成的理论,用于描述概念上有规律变化而不精确而不是可以被准确定义的客观事物,和这些客观事物的变化规律。
什么是模糊集合理论的基本定理?模糊集合理论的基本定理指的是模糊集合的
可分解性定理。
这一定理认为,任何一个模糊集合都可以被精确的方式分解为由不同的元素个体构成的子集,即模糊集的构成特征可以分解为几个独立的特征元素。
此外,它还认为,当一个模糊集拥有N个元素时,凡是在该集合中存在的任何三个子集都可以由N个元素组成,并且模糊集中的每个元素也可以由N个元素组成。
这一定理是模糊数学的基本定理,概括了它的基本原理。
在法律领域中,模糊集合论也有着重要的应用,特别是在审判过程中。
法官们
常用基于模糊集合理论的分析方法去找出最终的判决结果,而这些判决的结果的合理性往往取决于对定律如何解释的判断程度。
模糊集合论的基本定理可以提供给宗教界、政治界和法律界一种客观、系统性的分析方法,帮助他们在没有完全事实的前提下做出结论和决策。
另外,一般认为,模糊集合论的基本定理也可以被用于其他各个事物的定理分析,如经济方面的供求分析等,因此十分重要。
因此,在使用这一理论的实践应用中,首先必须要把握住这一理论的本质和的原理,从而能够做出正确的判断和决策。
四模糊集合的模糊程度模糊熵
11 基于凸多项式模糊熵的图象阈值方法 控制与决策 2000 03 12 基于模糊熵的多目标模糊优选模型及其应用 煤炭学报 2000 04 13 基于模糊熵的安全等级隶属度向量的离散化方法 中国有色金属学报 2000 04 14 一类Vague集模糊熵的构造方法 华中科技大学学报 2001 09 15 用模糊评价法和模糊熵确定拱桥洪水淹没深度 武汉城市建设学院学报 2001 01 16 关于Vague集的模糊熵及其构造 计算机应用与软件 2002 02 17 数据挖掘中决策树加权模糊熵算法 计算技术与自动化 2002 03 18 基于遗传算法的模糊熵图像分割算法 计算机仿真 2002 05 19 不确定性动态军事指挥决策的模糊熵分析 系统工程理论方法应用 2002 03 20 电力系统中长期负荷预测的最大模糊熵模型研究 电力自动化设备 2003 08
2.3 23
五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
(2)几何方法:
在图7.7中, 集合A或是位于F(2B)内, 或是在外头。直 觉上,当A接近F(2B)时, S(A,B)应接近于1,当A远离 F(2B)时, S(A,B)应该减小。 那么A与F(2B)之间的距离如何计算?
d ( A, F(2B )) inf{d ( A, B) : B F(2B)} d ( A, B*)
综上:
max(0, ai bi ) ai bi*
n
d ( A, B*) max(0, mA( xi ) mB ( xi ))
i 1
五、模糊集合间的包含关系——包含度定理
这种证明方法同样给出了优化子集B*的一个更重要 的性质: B* A B
因为如果有一个失配关系,那么 ai ,bi
以 min(a,i ,b其i ) 余bi的*
模糊数学 之 模糊集的基本概念
布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.
关系的合成
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系.
满足下列运算性质: 幂等律: a∨a = a , a∧a = a ; 交换律: a∨b = b∨a , a∧b = b∧a ; 结合律:( a∨b )∨c = a∨( b∨c ), ( a∧b )∧c = a∧( b∧c ) ; 吸收律:a∨( a∧b ) = a, a∧( a∨b ) = a.
则称L是一个格,记为(L ,∨,∧).
(R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }
关系合成的矩阵表示法
设 X = {x1, x2, … , xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z = {z1, z2, … , zn},且X 到Y 的关系
R1 = (aik)m×s, Y 到 Z 的关系
∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = rij .
综上所述 R2≤R.
设R2≤R,则对任意的 i , j , k,若有 rij =1, rjk = 1,
即(rij∧rjk) = 1,因此 ∨{(ris∧rsk) | 1≤s≤n}=1,
由R2≤R,得rik=1,所以R具有传递性.
集合上的等价关系
(3) 传递性:对于X上的任意三个元素x, y, z, 若x 与y 有关系R,y 与z 也有关系R 时,则x与z 也有关系R,即若R (x , y ) = 1,R ( y , z ) =1,则 R ( x , z ) = 1,那么称关系R具有传递性.
模糊集的基本概念
{}
P(P()) =
{,{}}
注意点: • 和 例题:A={a, {b}, c} 则a A, b A, c A
{a} A, {b}A, {c} A
• ,
• A= {},则有
A, A,{ }A, {} A
2. 集合的运算
(3) 结合律(associativity)
A (B C) (A B) C (A B) C A (B C)
(4) 吸收律(absorption laws)
A (A B) A
A (A B) A
3.集合运算的性质
(5) 分配律(distributivity)
为什么需要模糊理论
• 处理现实世界中的不精确信息 – 早期尝试:多值逻辑 一种非经典的逻辑系统。在经典逻辑中,每一个命题皆取真假二 值之一为值 ,每一命题或者真或者假。但实际上,一个命题可以 不是二值的。命题可以有三值,推而广之,还可以有四值,五值。 因此,对每一自然数n,有n值,以至于无穷多值。研究这类命题之 间逻辑关系的理论,即为多值逻辑。
一、集合
概念与集合
• 概念可以用集合来表示
• 我们讨论具体问题时,要有论域(议题限制在一
定范围内)
• 例如: – 在论域“人”上,讨论概念“男子”
一、集合
概念与集合 • 从集合“人”中挑出所有男子,构成一个子集
A • A是概念“男子”的 – 外延 – 是概念“男子”的集合表现
• 概念可以用集合来表示
n阶笛卡儿积 将两个集合的笛卡儿积推广到n个集合
二、关系
1. 直积(Descartes product)
则
1, x [2,8], max{xA ( x), xB ( x)} 0, x [2,8], 1, x [2,8] A B [2,8], xA B ( x) 0, x [2,8]
模糊集合及其运算讲解
1、模糊子集
定义:设U是论域,称映射
A : U [0,1],
U
~
x A( x) [0,1]
A
~
~
确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 A 称为 A 隶属函
~
~
~
数,A( x)
~
称为 x
对
A 的隶属程度,简称隶属度。
~
模糊子集 A 由隶属函数 A 唯一确定,故认为二者
~
~
是等同的。为简单见,通常用A来表示
模糊集合及其运算
确定性
—— 经典数学
量
随机性 —— 随机数学
不确定性
模糊性 —— 模糊数学
随机性:事件本身的状态是清楚的,但是否发生
不确定 。 (事件是否发生不确定)
明天有雨,掷一枚骰子出现6点
模糊性:事件本身的状态不很分明,不在于事件
发生与否。(事件本身的状态不确定)
青年人,高个子
模糊数学也是由于实践的需要而产生的,模糊概念 (或现象)处处存在。 有时使用模糊性比使用精确性还要好 。 例如,“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年 男人” 模糊数学决不是把数学变成模模糊糊的东西,它也 具有数学的共性:条理分明、一丝不苟。即使描述模 糊概念(或现象),也会描述得清清楚楚。 一般来说,随机性是一种外在因果的不确定性,
模糊矩阵的幂 A2 A A
例:
设A 0.4 0.1
0.5 0.2
0.6 , 0.3
B
0.1 0.3 0.5
0.2 0.4
, 则
0.6
A B 0.5 0.6 0.3 0.3
0.1 0.2 0.2 B A 0.3 0.3 0.3
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n≤ 1 O ,≤ ≤6 ≤6≤ 1 规定 序及运 算如 下 : ,
(i b=a ≤ b , ≤ 6 a ≤ 6 )n C ̄ a ,
(.)口一 6 n — b , 一 b a 一 b 1 ∞ a ,
(i ∞ ( , ^b , 还 是 模 糊 数 , 而 n nnb b a i)an6 n A6 a i a ^b) 从 , 2 b n
的一 些性 质 并 加 以证 明 。 随后 在 两 个 非 空有 限 经 典 群 同 态 意 义下 , 明 这 种 模 糊 数 值 直 觉模 糊 群 的像 仍 是 模 糊 数 证
值 直 觉模 糊 群 。
关 键 词 : 隶属 函数 ; 扩展 原 理 ; 模 糊 数 值 直 觉模 糊 集 ; 模 糊数 值 直 觉模 糊 群
第3 卷第 1 1 期
2 u 年 3月 O
辽
宁
石
油
பைடு நூலகம்
化
工
大
学
学
报
Vo1 .31
No.1
J 0URNAL 0F II ) NG A( NI SHl HU A UNI VERS TY l
M a .2 1 r O1
文 章 编 号 : 6 2 6 5 ( 0 1 0 一0 7 —0 17— 9221)l 06 3
nMB ) NA B ) NA )U NB ) V z, ∈G,一 方 面 MA B( ( , n( 一 ( ( , n ) 一M A( )nM B ) ( ( MA( z)n
M A ) n ( B ) ( ) M ( nM B ) 一 ( A ) ( ) ( ( ) M ( nA ) n MR( )n ( A( n B( ) MA B )n M a B ) M ) M ) 一 n( n( ;
n A, { 一 < ,n 一 ( ,U N ( > l ∈ E} M ) )
.
U A,={ z 二 < ,U M n ( ,n N n( = ) )> f ∈ E} z
2 模 糊 数值 直 觉模 糊群 及 其 性质
定义 7 设 G是非空 有 限经典 群 ,G上 的一 个 模 糊数 值 直 觉模 糊 集 : A一{ < , ( ) N .) l ∈ M - , ( > z z
值直 觉模糊 集 , 规定 : 并
F ( 尘 { B) < , 7( ) ) F MB ( , ( )z N ( )> 1 ∈ E } . z
其 中 , ( ) ) { ( l ( 一 ; ( ) r 一{ ( l’ ) ) V F M ( = MA )f ) } F N。 C ) NA )/ ( 一y , E E 。
C re p n ig a to .Te.: 8 o rs o dn u h r 1 + 6— 4 3 6 6 2 5 - malfn h a qa g 2 @ y h o c m. n 1 — 8 6 2 ;e i:a c u n in 1 3 a o. o c
1 基 本 概 念
定义 1 一 [ 。 若 a n , , ∈F() I 0 1 其 中 O , , a为 一个 I 三角 模糊 一( a a ) , 一[ , ], ≤a≤。 ≤n ≤1 称 上
同 时 M ) Nj ) 1 EE。 ( + ( ≤ ,V2 ( 2
定义 4
设 E , 。 1 E 是两 个非 空有 限集 合 , 射 : 若 B一 { 映 E 一E , < , ( , ( ) 1 Me ) NB . > ∈ E2是 y }
E 上 的一个模 糊数 值直 觉模糊 集 , 由 f诱 导 的逆 映射 F 及 B 的前像 F ( 也 是 E 上 的一 个模 糊数 则 B)
中 图分 类 号 :CI5 19 文献 标 识 码 : A d i1 . 6 6 j is . 6 2 9 2 2 1 . 1 0 1 o : 0 3 9 /.s n 1 7 —6 5 . 0 1 0 . 2
Qu l y o z y Nu b rI t iinsi zy Gr u ai fFu z m e n uto iteFu z o p t
G) 如 果 满 足 : ,
(i)MA( ) MA( nMA ) NA z z) ( , (
(_ )M A _ (
) NA z)UNA( , ( ) Vz, ∈G。
) M A ) N A( 一 N A ) , ∈ G。 ( , ) ( V
FA N Chu n— q a g a in
( le eo ce cs Colg f S in e ,Lio ig S iu iest a n n h h a Un v riy,Fu h nLio in 1 0 1, R. ia s u a n a g 1 3 0 P. Chn )
s tw a s us e e sdic s d, t e s u e is om e r pe te a ga is r v . The n he e e of om o or him be we n t o h n t did t s p o ri s nd ve t p o e n i t s ns h m p s t e w n e p y lm ie l s ia ou on m t i t d c a sc lgr ps,i o d t tt m a e o hi i d off z m b ri uii itcf z y g ou lo i uz y tpr ve ha hei g ft sk n uz y nu e nt ton si u z r p as saf z n um be nt tonitc f z y gr p. ri uii s i u z ou Ke y wor : M e b r hi - f c i ds m e s p- un ton; Ex e son t e y; Fuz y num b r i u to s i e ;Fu z m b ri t tonitcgr p t n i h or z e nt iinitcs t z y nu e n uii s i ou
则称 A 为 G 上 的一个 模糊 数值 直觉模 糊群 。
为 了方 便 , TI s G 表 示群 G上所 有模 糊数 值直觉 模糊 群构 成 的集合 。 令 F[] 定理 1 设 G是非 空有 限经 典群 , A, 若 B∈TI S C F E 3, AnB∈TI S C 。 则 F E  ̄
7 7
数值 直觉模 糊集 。其 中 MA ) M z , ( , ( ) EF( ) N z 一 ( ( , ( ) N z ) ( 一( ( ) M ) M z ) 和 ( ) N ) N z , ( ) E
F( ) 两个 j o ] J是 —E ,1 上三 角模糊 数 , 且满 足 : ( , ( , ( , ( ) N - , 并 M ) M z)M ) N z , ( ) N ( E E , ] z z) o 1 ,
定义 5 设 E。 E , 是两个 非 空有 限集合 , 映射 厂 :E 一 E ,
A一 { < , ( ) NA )> l ∈ E1一 F ( MA z , ( } , A) 其中, f FrM A ( 一 ( ) )
~
{ < , , M A ( , s NA ( F ( ) ) F ( ) )> I ∈ Y }
数 , 隶属 函数 可表示 为 : 其
l — n 1 一 a 0
“
a ≤ 3 ≤ a 7 a ≤ ≤ a
< Z — a —
l 口Ⅲ 一 “
1 0
其 他
定义 2。 E
设 两个 一[ , ] O 1 上三 角模糊 数 a n , ,r , 一( b ,r EF( , 中 ,≤n≤口 ≤ 一( a a) b 6, b) D 其 O
U
M f ( ≠ 0 () ) E 1
【
f n
0
” l ̄ 。
f 一0 ()
NA f ( ≠ 0 () )
Fr NA ( ) ( ) v 一
~
【
0
f .=O () y
定义 4 定义 5是 将普通 映射 转化 为模 糊 数值 直 觉模 糊 集 之 间 的映 射 , 、 因此 , 它们 统 称 为模 糊 数值 直 觉 模 糊集 的扩展 原理 , 简称扩 展原 理l 。 7 定 义 6 。 设 E是 非空有 限集 合 , 为 E 上 的模 糊 数值 直觉模 糊集 , ∈-, E A J 厂 J为指标 集 。 若 A , < ., 一{ 2 MA( , 7 ) Nn( ) l E E} z > ,规定 : z
收 稿 日 期 :0 0 0 0 21— 9 3
作者简介 : 范传 强 ( 9 6 1 7 一), , 宁 大连 市 , 师 , 士 。 男 辽 讲 硕 基 金 项 目 : 宁省 教 育 厅 高校 科 研 项 目( 0 4 O ) 辽 2 0 F1 0 。
第 1 期
范传 强. 糊 数 值 直 觉模 糊 群 的 性 质 模
Re e v d pt m b r20 c i e 3 Se e e 10; r v s d 25 Oco e 01 e ie tb r 2 0;ac e e N o e b r 2 0 c pt d 5 v m e 01 Ab ta t src : Thef z uz y num be nt ton si u z r up wa e i d a d is s m eop r inst ou uz y nu b ri uiinitc ri uii itcf z y g o s d fne n t o e ato hr gh f z m e nt to si
证 明 : A= { 设 = < , ( , ( > I = MA ) N ) z∈G} B一 { , < , ( , ( > l , 模糊 数 值直 觉模 糊 M ) N ) EG) 按