浙江省高三数学专题复习攻略 第二部分第三讲 填空题的

《优化方案》高三专题复习攻略（新课标）数学浙江理科第二部
分第三讲 填空题的解法考前优化训练
1．若f (x )＝
1log 1
2
2x ＋1，则f (x )的定义域为__________．
解析：要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)＞0＝log 1
2
1，
∴0＜2x ＋1＜1，∴－1
2
＜x ＜0.
答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 2．(2011年高考大纲全国卷)已知α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，
sin α＝55，则tan 2α＝__________. 解析：∵sin α＝
55，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，
∴cos α＝－1－sin 2
α＝－255
.
∴tan α＝sin αcos α＝－1
2，
∴tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝－11－14
＝－4
3
. 答案：－4
3
3．(2011年高考浙江卷)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.
解析：∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，∴12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－2m ＝－1，∴m ＝
1.
答案：1
4.若一个圆锥的正视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积为________．
解析：由正视图知该圆锥的底面半径r ＝1，母线长l ＝3， ∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×1×3＝3π. 答案：3π
5．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
x 2＋4y 2的最小值为________．
解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2
＝12时“＝”成立．
答案：9 6.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示) 解析：二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x 18－r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13x r
＝()－1r ⎝ ⎛⎭⎪⎫13r C r 18x 18－
3r 2.
令18－3r
2
＝15，解得r ＝2.
∴含x 15的项的系数为()－12⎝ ⎛⎭
⎪⎫132C 2
18＝17.
答案：17
7．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形
的面积为1
2
，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
解析：由题意知S ＝|α||β|sin θ＝1
2
≤sin θ，∵θ∈[0，π]，
∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6
，5π6.
答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6
，5π6
8．(2011年高考课标全国卷)△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．
解析：由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2
－2AB ·BC cos 120°，
即49＝25＋BC 2
＋5BC ，解得BC ＝3.
故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝12×5×3×32＝153
4
.
答案：153
4
9．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝23，则棱锥O ­ABCD 的体积为__________．
解析：依题意棱锥O ­ABCD 的四条侧棱长相等且均为球O 的半径，
如图连接AC ，取AC 中点O ′，连接OO ′.易知AC ＝AB 2＋BC 2
＝43，故AO ′＝23，
在Rt △OAO ′中，OA ＝4，从而OO ′＝42
－12＝2.
所以V O ­ABCD ＝1
3×2×6×23＝8 3.
答案：8 3
10．已知抛物线y 2
＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么|FA →|＋|FB →
|＝__________.
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
＝4x 2x ＋y －4＝0
，消去y ，得x 2
－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点
的横坐标，故x 1＋x 2＝5.因为抛物线y 2
＝4x 的焦点为F (1,0)，所以|FA →|＋|FB →|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝7.
答案：7
11．(2011年高考天津卷)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ∈R |x ＝4t ＋1
t
－6，t ∈0，＋∞，则集合A ∩B ＝________.
解析：|x ＋3|＋|x －4|≤9，
当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3； 当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立； 当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5. 综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．
又∵x ＝4t ＋1
t
－6，t ∈(0，＋∞)，
∴x ≥2
4t ·1t －6＝－2，当t ＝1
2
时取等号．
∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}． 答案：{x |－2≤x ≤5} 12．若变量x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪
⎧
3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为__________．
解析：作出不等式表示的可行域如图(阴影部分)．
易知直线z ＝x ＋2y 过点B 时，z 有最小值．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＝9，2x ＋y ＝3，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
y ＝－5.
所以z min ＝4＋2×()－5＝－6.
答案：－6
13．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －a )·f ′(x )≥0，则f (x )与f (a )的大小关系是__________．
解析：由(x －a )·f ′(x )≥0得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≥a ，f ′
x ≥0
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ≤a ，f ′
x ≤0.
即函数f (x )在[a ，
＋∞)上为增函数，在(－∞，a ]上为减函数． ∴函数f (x )在x ＝a 时取得最小值， 即对任意x 恒有f (x )≥f (a )成立． 答案：f (x )≥f (a )
14．椭圆x 29＋y 2
4
＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P
横坐标的取值范围是__________．
解析：设P (x ，y )，则当∠F 1PF 2＝90°时，点P 的轨迹方程为x 2＋y 2
＝5，由此可得点P
的横坐标x ＝±3
5
，又当点P 在x 轴上时，∠F 1PF 2＝0；点P 在y 轴上时，∠F 1PF 2为钝角，
由此可得点P 横坐标的取值范围是－35<x <3
5
.
答案：－35<x <3
5
15．函数f (x )＝2sin
x ＋
π4
＋2x 2
＋x 2x 2
＋cos x
的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__________.
解析：根据分子和分母同次的特点，将分子展开，得到部分分式，f (x )＝1＋x ＋sin x
2x 2＋cos x
，
f (x )－1为奇函数，
则m －1＝－(M －1)，∴M ＋m ＝2. 答案：2
16．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.
父亲身高 173 170 176 儿子身高 170 176 182
设回归直线方程y ^
＝a ^
＋b ^
x ，由表中的三组数据可求得b ^
＝1，故a ^
＝y －b ^
x ＝176－173
＝3，故回归直线方程为y ^
＝3＋x ，将x ＝182代入得孙子的身高为185 cm.
答案：185。