(1)第一篇 数理逻辑1-1&1-2

一个命题标识符如表示确定的命题，称为命题常量（或 命题常量（ 命题常量 命题常项、命题常元） 命题常项、命题常元） 一个命题标识符如只是任意命题的位置标志，称为命题 命题 变元（或命题变量、命题变项） 变元（或命题变量、命题变项）。它可以表示任意命题， 真值不能确定，故不是命题。 当命题变元只代表原子命题时，该变元称为原子变元。
亦菲和我看了电影《建国大业》。（可取完 整意义或分开意义）
1-2 联接词
自然语言中，常常使用“或”、“与”、“但是” 等一些联结词，但对它们的使用缺乏严格的定义， 有时不够确切。 数理逻辑中，联接词是复合命题的重要组成部 分，通常通过下列“联结词”来构成复合命题： 方式一： 是有理数是不对的”是 方式一： 例1.2中“ “ 是有理数”的否定。
0 0 1 1 Q 0 1 0 1 P ∨Q 0 1 1 1
P∨Q读作“P或者 、“P或Q”。 ∨ 读作 读作“ 或者 或者Q”、 或 。
1-2 联接词-析取
例：P：小李爱听音乐。 Q：小李爱唱歌。 P ∨Q：小李爱听音乐或爱唱歌。
注意： 1.按定义1-2.3在P∨Q中，若P，Q都为真，则P∨Q为真。 “或”还有另外一种用法：当P，Q都为真时，析取起来为 假。前者称为可兼或 相容或），后者称为排斥或(排异 可兼或（相容或 排斥或( 可兼或 相容或） 排斥或 或)。 析取指的是可兼或。
定义1 定义1-2.1 设P为一命题，P的命否定为一个新
的命题，记作┐P，符号┐称作否定联结词 否定联结词。并规定 否定联结词 ┐P为真当且仅当P为假。
1-2 联接词-否定
否定词“┐”的意义： 表1-2.1 P 1 0
┐P读作“并非P”或“非P”。 读作“并非 或 读作 。
┐P
0 1
例：P：昨天下雨 。 ┐P：昨天没下雨。 还可表示： ┐P：昨天不可能下雨。
1-2 联接词-析取
可以使用多个联结词，将（3）符号化为 (T∧┐U)∨(┐T∧U) 此复合命题为真当且仅当T，U中一个为真，一个 为假，它准确地表达了(3)的要求。当T为真U为假 时，张晓静得到202房间，T为假U为真时，张晓 静得到203房间，其它情况下，她得不到任何房间。 可见，相斥或可由相容或表示出来。
思考：相容或能否由相斥或表示出来？
1-2 联接词-条件
方式四： 方式四 例1.2中“如果2是素数，则3也是素数”为“2
是素数”与“3是素数”通过“如果……,则……”复合而 成的。
1-1 命题及其表示法
因为命题标识符即可以表示命题常量，又可 以表示命题变元，因此一般需要由上下文确 定它们表示的是常量还是变元。 当命题变元P用一个特定命题取代时，P的 真值才能确定，这时称对P进行指派(或赋 值)。对原子变元只能使用原子命题对其进 行指派。 注意：有些命题的原子性是相对的，例如：
第一篇 数理逻辑 数理逻辑（mathematical logic）
用数学的方法来研究人类推理过程的一门数学学科。 其显著特征是符号化和形式化，即把逻辑所涉及的 “概念、判断、推理”用符号来表示，用公理体 系来刻划, 并基于符号串形式的演算来描述推理过 程的一般规律。 *数理逻辑又称为符号逻辑、现代逻辑。 *逻辑演算四个分支： 公理化集合论、证明论、模型论和递归函数论。 *本课介绍数理逻辑的最基本内容：命题逻辑和谓词 逻辑
第一章 命题逻辑-问题引入
先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题： 一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商， 有两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把 两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌 子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在， 我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人 每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快 说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人将 电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人 将余下的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。这时，那两 个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便 喊道：“我戴的是黑帽子。” 请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
1-1 命题及其表示法
例1.1 判断下列句子是否为命题。（陈述句、唯一真值） 真值为真） 中国人民是伟大的。 （1）中国人民是伟大的。 （是，真值为真） 雪是黑的。 真值为假） （2）雪是黑的。 （是，真值为假） 大于Y 不是。是陈述句，但根据x,y x,y的不同取值情况它可真 （3）X大于Y。 （不是。是陈述句，但根据x,y的不同取值情况它可真 可假，即无唯一的真值，因而不是命题。） 可假，即无唯一的真值，因而不是命题。） 月球上有冰。 真值客观存在且唯一，将来总会知道） （4）月球上有冰。（是。真值客观存在且唯一，将来总会知道） 2100年元旦是晴天 年元旦是晴天。 真值客观存在且唯一，将来总会知道） （5）2100年元旦是晴天。（是。真值客观存在且唯一，将来总会知道） 全体立正！ 不是。不是陈述句，是祈使句） （6）全体立正！ （不是。不是陈述句，是祈使句） 明天是否会开大会？ 不是。不是陈述句，是疑问句） （7）明天是否会开大会？（不是。不是陈述句，是疑问句） 这朵花真美丽啊！ 不是。不是陈述句，是感叹句） （8）这朵花真美丽啊！（不是。不是陈述句，是感叹句） 1+101=110。 不是。其真值需上下文判断） （9）1+101=110。（不是。其真值需上下文判断） 10）我正在说假话。 不是。是悖论） （10）我正在说假话。（不是。是悖论） (10)这样由真推出假 又由假推出真的陈述句称为悖论 这样由真推出假， 悖论。 像(10)这样由真推出假，又由假推出真的陈述句称为悖论。凡是悖论 都不是命题。 都不是命题。
1-1 命题及其表示法
二、命题种类
各种论述和推理中，出现的命题多数比例1.1中的命题更 加复杂。 例1.2 是有理数是不对的； 是偶素数； 是素数； 是有理数是不对的； 2是偶素数； 2或4是素数； 如果2是素数， 也是素数； 是素数当且仅当3 如果2是素数，则3也是素数； 2是素数当且仅当3也是素 全是命题。 数。 全是命题。
1-2 联接词-析取
方式三：例1.2中“2或4是素数”为“2是素数” 方式三 与“4是素数”通过“或”复合而成。
定义1-2.3 两个命题的析取是一个复合命题，记 定义
作P∨Q，∨称作析取联结词 析取联结词。并规定P∨Q为假当 析取联结词 且仅当P与Q同时为假。 析取词“∨”的意义： P 表1-2.3
1-1 命题及其表示法
一、命题逻辑的概念 问题引入”中的例子就是要对“ “问题引入”中的例子就是要对“我戴的是黑帽 子”进行判断。这样可表达判断的陈述句称为命 进行判断。这样表达判断的陈述句称为命 题。
作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值 真值， 真值 真值只取两个值：真（True,用T或1表示）或假（False， T 1 用F或0表示）。真值为真的命题称为真命题 真命题，真值为假 F 0 真命题 的命题称为假命题 假命题。真命题表达的判断正确，假命题表 假命题 达的判断错误。任何命题的真值都是唯一的 任何命题的真值都是唯一的。 任何命题的真值都是唯一的 *判断一个给定句子是否为命题，应该分两步：首先判 定它是否为陈述句 陈述句，其次判断它是否有唯一的真值 唯一的真值。 陈述句 唯一的真值
1-1 命题及其表示法
例1.1 判断下列句子是否为命题。（陈述句、唯一真值） 中国人民是伟大的。 （1）中国人民是伟大的。 雪是黑的。 （2）雪是黑的。 大于Y （3）X大于Y。 月球上有冰。 （4）月球上有冰。 2100年元旦是晴天 年元旦是晴天。 （5）2100年元旦是晴天。 全体立正！ （6）全体立正！ 明天是否会开大会？ （7）明天是否会开大会？ 这朵花真美丽啊！ （8）这朵花真美丽啊！ 1+101=110。 （9）1+101=110。 10）我正在说假话。 （10）我正在说假话。
1-1 命题及其表示法
一、命题逻辑的概念 使用日常的自然语言表达概念，陈述理论和规则， 使用日常的自然语言表达概念，陈述理论和规则， 不够确切，易产生二义性 二义性。 不够确切，易产生二义性。 在数理逻辑中引入了一种目标语言，这些目标语 在数理逻辑中引入了一种目标语言， 言和一些公式符号形成了数理逻辑的形式符号体 系。 目标语言就是表达判断的一些语言的汇集， 目标语言就是表达判断的一些语言的汇集，而判 断就是对事物肯定或否定的一种思维形式。 断就是对事物肯定或否定的一种思维形式。
？ ┐P：昨天天晴。
1-2 联接词-合取
方式二：例1.2中“2是偶素数”是“2是偶数”且 方式二 “2是素数”的复合。
定义1 定义1-2.2 两个命题P和Q的合取是一个复合命题，
记作P∧Q，∧称作合取联结词 合取联结词。并规定P∧Q为真 合取联结词 当且仅当P与Q同时为真。 合取词“∧”的意义： P Q P ∧Q 表1-2.2
0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1
P∧Q读作“P并且 或“P且Q” ∧ 读作 读作“ 并且 并且Q”或 且
1-2 联接词-合取
例：P：今天下雨。 Q：明天下雨。 P∧Q：今天下雨而且明天下雨。 P∧Q：今天与明天都下雨。 P∧Q： 这两天都下雨。 注意： 1.合取的概念与自然语言中的“与”意义相似，但 并不完全相同。自然语言中合取的命题之间一般 有内在联系，否则没有意义。而数理逻辑中的合 取无此要求。只要命题P、Q分别取真值后， P∧Q的真值也必确定，例： P：小李人很好。 Q：小布什发动伊拉克战争。 P∧Q：小李人很好，而且小布什发动伊拉克战争。
第一章 命题逻辑-问题引入
要回答这样的问题，实际上就是看由一些诸如 “商人戴的是红帽子”这样的前提能否推出“猜 出答案的应试者戴的是黑帽子”这样的结论来。 这又需要经历如下过程： (1) 什么是前提？有哪些前提？ (2) 结论是什么？ (3) 根据什么进行推理？ (4) 怎么进行推理？ *1-1~1.5小节将回答第（1）个问题 *1-8小节将回答（2）（3）两个问题