2018届中考数学复习专题20与二次函数有关实际生活应用试题(A卷,含解析)

与二次函数有关实际生活应用

二、填空题

2. (浙江台州，16，5分)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t ＝ ．

【答案】1.6

【逐步提示】这一题，首先根据题意构造二次函数图象，可得小军在A 处抛出小球，1秒后在B 处抛出小球，C ．D 处达到最高位置，第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，这个位置是P 点，由对称性可解得答案．

【解析】 如图，AB ＝1，假设C(1.1，h)，则D(2.1，h)，

由对称性可得P 点的横坐标为1.1 2.1 1.62

+=，故答案为1.6 . 【解后反思】本题是构造二次函数图象，由对称性求解答案，对学生的理解能力、及构图能力要求较高.

【关键词】 二次函数的图象；轴对称；实际问题；

三、解答题

1. （ 山东青岛，20，8分）如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.

按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y =ax 2+bx ( a ≠0 )表示.已知抛物线上B ，

C 两点到地面的距离均为34m ，到墙边OA 的距离分别为

12m ，32

m . (1 )求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；

(2 )若该墙的长度为10m ，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？

【逐步提示】（1）将B ，C 的坐标代入到y =ax 2+bx 求出a ，b 的值，即可得到抛物线的表达式，进而求出抛物线

的顶点坐标，图案最高点到地面的距离就是顶点的纵坐标；（2）求出抛物线与x 轴两个交点之间的距离，墙的长

度包含几个这样的距离，就可以最多绘制几个这样的拋物线型图案.

【详细解答】解：（1）将B （12，34），（32，34）分别代入y =ax 2+bx ，得113,424933,424

a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1,2,a b =-⎧⎨=⎩∴拋物线的函数关系式为y =﹣x 2

+2x .

∵y =﹣（x -1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1,1），即图案最高点到地面的距离为1.

（2）当y =0即﹣x 2+2x =0时，x 1=0，x 2=2.

∴D （2,0）,OD =2(如图所示).

∵墙长10m ，∴最多可以连续绘制拋物线型图案的数量为：10÷

2=5.

【解后反思】（1）求函数解析式时往往会用到待定系数法；（2）在解决与函数图像有关的实际问题时，实现点的坐标和线段的长度（或两点之间的距离）的转化是解题的关键.

【关键词】 二次函数的图像；二次函数的表达式；待定系数法；二次函数的图像与x 轴的交点坐标；二次函数的顶点坐标

2. （ 山东潍坊，23，10分）旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x （元）是5的倍数.发现每天的运营规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元．

（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入－管理费）

（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？

【逐步提示】本题是一道不等式与函数的综合题，综合考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是根据题目给出的条件列出符合题意的不等式或函数关系，利用函数的性质求最值.

（1）由于观光车能全部租出，故0＜x ≤100，再根据每天的净收入为正根据“净收入=租车收入－管理费”列出关于x 的不等式求解，然后再取5的倍数的最小值即可；（2）分两种情况进行讨论，设每天的净收入为y 元，①当0＜x ≤100时，y 是x 的一次函数，根据增减性，得出y 的最大值；②当x ＞100时，先用x 的代数式表示出租出去的观光车的数量，然后列出y 与x 的函数关系式，得到一个二次函数，然后求出二次函数的最大值；综合①②两种情况，得出净收入最多的情况.

【详细解答】解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x ≤100，

由50x －1100＞0，

解得x ＞22，

又因为x 是5的倍数， 所以，每辆车的日租金至少应为25元.

（2）设每天的净收入为y 元，

当0＜x ≤100时，y 1=50x －1100，

因为y 1随x 的增大而增大，

所以，当x =100时，y 1的最大值为50×100－1100=3900．

当x ＞100时，

2100(50)11005

x y x -=-- 2211701100(175)502555

x x x =-+-=--+. 当x =175时， y 2的最大值是5025，因为5025＞3900.

所以，当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元.

【解后反思】1．分段函数问题一般需要根据题目给出的条件，找出临界状态，确定分类标准，针对自变量的取值分类讨论，列出对应函数关系式．

2．本题需用到的知识点：一次函数b kx y +=中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小；二次函数可用配方法化成抛物线的顶点式来求函数的最大值，也可以用公式法来求．二次函数

c bx ax y ++=2

(a ≠0)中，顶点坐标为24(,)24b ac b a a --．故当2b x a =-时，244ac b y a -=最值． 【关键词】一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二次函数的应用；分段函数；分类讨论思想

3. (淅江丽水，23，10分)如图，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线y=110x 2-45x+3的绳子．

(1)求绳子最低点离地面的距离；

(2)因实际需要要，在离AB 为3米的位置处用一根立柱MN 撑起绳子(如图2),使左边抛物线F 1的最低点距MN 为1米，离地面1.8米，求MN 的长；

(3)将立柱MN 的长度提升为3米，通过调整MN 的位置，使抛物线F 2对应函数的二次项系数始终为

14

，设MN 离AB 的距离为m,抛物线F 2的顶点离地面距离为k,当2≤k ≤2.5时，求m 的取值范围．

【逐步提示】(1)由二次函数的顶点式求得；

(2)根据题意确定顶点的坐标，用顶式式设出二次函数的解析式，由A 点坐标求得解析式，再根据N 点横坐标求得MN 的长；

(3)抛物线的二次项系数始终为

14，说明二次函数的形状不变，要过同一点C 时，只能是顶点的位置发生变化，顶点位置满足坐标(

12m+4,k),从而得到二次函数的解析式，然后根据k 的取值范围确定出m 的取值范围． 【解析】(1)∵a=110

>0,∴抛物线顶点为最低点． ∵y=110x 2-45x+3=110(x-4)2+75．∴绳子最低点离地面的距离为75

米． (2)由(1)可知,BD=8,令x=0得y=3, ∴A(0,3),C(8,3)

由题意得:抛物线F 1的解析式为y=a(x-2)2+1.8.

将(0,3)代入,得:4a+1.8=3,解得:a=0.3, ∴抛物线F 1的解析式为y=0.3(x-2)2+1.8.

当x=3时,y=0.3×1+1.8=2.1,所以MN 的长度为2.1米.

(3)∵MN=CD=3,∴根据抛物线的对称性可知抛物线F 2的顶点在ND 的垂直平分线上,

∴抛物线F 2的顶点坐标为(12m+4,k), ∴抛物线F 2的解析式为:y=14(x-12

m-4)2+k