高考数学复习第五单元专题集训四数列的综合问题练习理新人教A版

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【绿色通道】高考数学总复习 5-4数列的综合应用新人教A版

第5模块第4节[知能演练]一、选择题1．一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于( )A ．0 B.π12 C.π6D.π4解析：因A 、B 、C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则B ＝π3，b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b22ac ＝12，可推出a ＝c ＝b . 答案：A2．在如下图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( )A.1 C ．3D ．4解析：a ＝2·(12)2＝12，b ＝52·(12)3＝516，c ＝3·(12)4＝316， a ＋b ＋c ＝12＋516＋316＝1.答案：A3．已知a n ＝32n －11(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：构造函数f (x )＝32x －11，此函数关于点P (112，0)对称，故f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝0，即S 10＝0.当n ≥11时，f (n )>0，∴a 11＝f (11)>0，∴S 11>0.此题应该选择B.答案：B4．设M (cos π3x ＋cos π4x ，sin π3x ＋sin π4x )(x ∈R )为坐标平面上一点，记f (x )＝|OM →|2－2，且f (x )的图象与射线y ＝0(x ≥0)交点的横坐标由小到大依次组成数列{a n }，则|a n ＋3－a n |＝( )A ．24πB ．36πC ．24D ．36解析：f (x )＝|OM →|2－2＝[(cos π3x ＋cos π4x )2＋(sin π3x ＋sin π4x )2]－2＝2cos π12x ，令f (x )＝2cos π12x ＝0，∴π12x ＝k π＋π2，x ＝12k ＋6(k ∈N *)． ∴a n ＝12n ＋6(n ∈N *)．∴|a n ＋3－a n |＝|12(n ＋3)＋6－(12n ＋6)|＝36. 答案：D 二、填空题5．设x ，y 为正数，且x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则a 1＋a 2 2b 1b 2的最小值是________．解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＝x ＋y ；由等比数列的性质知b 1b 2＝xy ，所以 a 1＋a 2 2b 1b 2＝ x ＋y 2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝2＋x 2＋y 2xy ≥2＋2xy xy＝4，当且仅当x ＝y 时取等号．答案：46．家用电器一件2000元，实行分期付款，每期付相同款数，每期一个月，购买后一个月付款一次，再过一个月又付款一次，共付12次即购买一年后付清．若按月利率1%，每月复利一次计算，则每期应付款________．(精确到0.1元)解析：把2000元存入银行12个月，月利1%，按复利计算，则本利和为2000×(1＋1%)12.每月存入银行a 元，月利1%，按复利计算，则本利和为a ＋a (1＋1%)＋…＋a (1＋1%)11＝a ·1－ 1＋1% 121－ 1＋1% ＝100a ·[(1＋1%)12－1]．由题意知2000(1＋1%)12＝100a ·[(1＋1%)12－1]⇒a ＝2000 1＋1%12100[ 1＋1% 12－1]≈177.7(元)．答案：177.7元三、解答题7．某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门预算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入T n 与时间n (以月为单位)的关系为T n ＝an ＋b ，且入世第一个月时收入为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．解：该公司入世后经过n 个月，改革后的累计纯收入为T n －300－n ，不改革时的累计纯收入为70n －[3n ＋n n －12·2]，又⎩⎪⎨⎪⎧90＝a ＋b170＝2a ＋b，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝80b ＝10.由题意建立不等式80n ＋10－300－n >70n －3n －n (n －1)，即n 2＋11n －290>0，得n >12.4. ∵n ∈N *，∴取n ＝13.答：入世后经过13个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入． 8．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求数列{S n }的通项公式．(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S nn <k 对∀n ∈N *恒对立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由．解：(1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又a n >0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2，∴a 3a 5＝4.而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1， ∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×(12)n －1＝25－n.(2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴b n ＋1－b n ＝－1，b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n 9－n2.(3)由(2)知S n ＝n 9－n2，∴S n n ＝9－n2.当n ≤8时，S nn>0；当n ＝9时，S n n＝0；当n >9时，S n n<0. ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn＝18最大．故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S nn<k 对∀n ∈N *恒成立，k 的最小值为19. [高考·模拟·预测]1．(2009·江西高考题)数列{a n }的通项a n ＝n 2(cos 2n π3－sin2n π3)，其前n 项和为S n ，则S 30为( )A ．470B ．490C ．495D ．510 解析：由于{cos2n π3－sin2n π3}以3为周期，故S 30＝(－12＋222＋32)＋(－42＋522＋62)＋…＋(－282＋2922＋302)＝∑k ＝110⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ 3k －2 2＋ 3k －1 22＋ 3k 2 ＝∑k ＝110⎣⎢⎡⎦⎥⎤9k －52＝9×10×112－25＝470，故选A.答案： A2．(2009·潍坊一检)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年解析：由题知第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n－1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2(n ∈N *)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52⇒1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．答案：C3．(2009·上海高考)已知函数f (x )＝sin x ＋tan x ，项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈(－π2，π2)，且公差d ≠0，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k 等于________时，f (a k )＝0.解析：由于f (x )＝tan x ＋sin x ，显然该函数为奇函数．若a n ∈(－π2，π2)，且f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，可以得出等差数列{a n }的这27项在0的两侧对称分布，所以处在中间位置的a 14＝0⇒f (a 14)＝0.答案：144．(2009·苏锡常镇一调)已知数列{a n }(n ∈N *)满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －t ，a n ≥tt ＋2－a n ，a n <t，且t <a 1<t＋1，其中t >2，若a n ＋k ＝a n (k ∈N *)，则k 的最小值为________．解析：∵t <a 1<t ＋1，且t >2，∴a 2＝a 1－t ，∴a 2∈(0,1)，即a 2<t . 又∵a 3＝t ＋2－a 2＝t ＋2－(a 1－t )＝2t ＋2－a 1>t ；∴a 4＝a 3－t ＝(2t ＋2－a 1)－t ＝t ＋2－a 1<t (∵t －a 1<0，∴2＋t －a 1<2<t )，∴a 5＝t ＋2－a 4＝t ＋2－(t ＋2－a 1)＝a 1；同理可得，a 6＝a 2，a 7＝a 3，故要使a n ＋k ＝a n (k ∈Z *)，则k 的最小值为4.答案：45．(2009·江南十校测试)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos2n π2)a n ＋sin2n π2，n ＝1,2,3，….(1)求a 3，a 4的值，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n －1a 2n，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n . 解：(1)当n ＝1时，a 3＝(1＋cos 2π2)a 1＋sin 2π2＝a 1＋1＝2；当n ＝2时，a 4＝(1＋cos 22π2)a 2＋sin 22π2＝2a 2＝4. ∵当n 为奇数时，cos2n π2＝0，sin2n π2＝1，当n 为偶数时，cos2n π2＝1，sin2n π2＝0.∴当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝1，∵a 1＝1，∴a 2n －1＝n .∴当n 为偶数时，a n ＋2＝2a n . ∵a 2＝2，∴a 2n ＝2n， ∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12n ＋12n 为奇数 2n2 n 为偶数.(2)由(1)可知b n ＝n2n ，∴S n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，①12S n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得：(1－12)S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，∴12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1， ∴S n ＝2－n ＋22n.[备选精题]6．(2009·佛山一检)已知O 为A 、B 、C 三点所在直线外一点，且OA →＝λOB →＋μOC →.数列{a n }，{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝λa n －1＋μb n －1＋1b n ＝μa n －1＋λb n －1＋1(n ≥2)．(1)求λ＋μ的值；(2)令c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的通项公式； (3)当λ－μ＝12时，求数列{a n }的通项公式．解：(1)由A 、B 、C 三点共线，设AB →＝mBC →，则AB →＝OB →－OA →＝mBC →＝m (OC →－OB →)，化简得：OA →＝(m ＋1)OB →－mOC →，所以λ＝m ＋1，μ＝－m ，所以λ＋μ＝1.(2)由题设得a n ＋b n ＝(λ＋μ)(a n －1＋b n －1)＋2＝a n －1＋b n －1＋2(n ≥2)，即c n ＝c n －1＋2(n ≥2)，所以{c n }是首项为a 1＋b 1＝3，公差为2的等差数列，通项公式为c n ＝2n ＋1.(3)由题设得a n －b n ＝(λ－μ)(a n －1－b n －1)＝12(a n －1－b n －1)(n ≥2)，令d n ＝a n －b n ，则d n ＝12d n －1(n ≥2)．所以{d n }是首项为a 1－b 1＝1，公比为12的等比数列，通项公式为d n ＝12n －1.由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋b n ＝2n ＋1a n －b n ＝12n －1，解得a n ＝12n ＋n ＋12.。

高考数学一轮复习讲解与练习 5.5数列的综合问题理新人教A版.pdf

[备考方向要明了] 考什么怎么考　能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.1.以递推为背景，考查数列的通项公式与前n项和公式，如2012年新课标全国T16等．2.等差数列、等比数列综合考查数列的基本计算，如2012年江西T16，湖北T18等．3.考查数列与函数、不等式、解析几何的综合问题，且以解答题的形式出现，如2012年广东T19等. [归纳·知识整合] 1．数列综合应用题的解题步骤 (1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题． (2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等． (3)求解——分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得到整个问题的解答．具体解题步骤如下框图： 2．常见的数列模型 (1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题． (2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题． (3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解． [探究]　银行储蓄单利公式及复利公式分别是什么模型？提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差数列模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比数列模型． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为( ) A．－4 B．－6 C．－8 D．－10 解析：选B　由题意知：a＝a1a4. 则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得a2＝－6. 2．已知log2x，log2y,2成等差数列，则M(x，y)的轨迹的图象为( ) 解析：选A　由于log2x，log2y,2成等差数列，则有2log2y＝log2x＋2，所以y2＝4x.又y＞0，x＞0，故M的轨迹图象为A. 2412xyz3.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　由题意知，第三列各数成等比数列，故x＝1；第一行第五个数为6，第二行第五个数为3，故z＝；第一行第四个数为5，第二行第四个数为，故y＝，从而x＋y＋z＝3. 4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝________. 解析：设数列{an}的公比为q，4a2＝4a1＋a3，4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2. S4＝＝15. 答案：15 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意nN*都有Sn＝an－，若1＜Sk＜9(kN*)，则k的值为________．解析：由Sn＝an－得当n≥2时，Sn＝(Sn－Sn－1)－，即Sn＝－2Sn－1－1. 令Sn＋p＝－2(Sn－1＋p)得 Sn＝－2Sn－1－3p，可知p＝. 故数列是以－为首项，以－2为公比的等比数列．则Sn＋＝－×(－2)n－1，即Sn＝－×(－2)n－1－. 由1＜－×(－2)k－1－＜9，kN*得k＝4. 答案：4 等差数列、等比数列的综合问题 [例1]　在等比数列{an}(nN*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0. (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an. [自主解答]　(1)证明：bn＝log2an， bn＋1－bn＝log2＝log2q为常数，数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q. (2)b1＋b3＋b5＝6，b3＝2. a1>1，b1＝log2a1>0. b1b3b5＝0，b5＝0. 解得 Sn＝4n＋×(－1)＝. ∴ ∴an＝25－n(nN*)．在本例(2)的条件下，试比较an与Sn的大小．解：显然an＝25－n>0，当n≥9时，Sn＝≤0， n≥9时，an>Sn. a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1， a6＝，a7＝，a8＝， S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7， S8＝4，当n＝3，4，5，6，7，8时，anSn. ——————————————————— 解答数列综合问题的注意事项 (1)要重视审题，善于联系，将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来． (2)对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法． 1．(2013·青岛模拟)已知等差数列{an}的公差大于零，且a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根；各项均为正数的等比数列{bn}的前n项和为Sn，且满足b3＝a3，S3＝13. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＝求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q. 由x2－18x＋65＝0，解得x＝5或x＝13. 因为d>0，所以a20，解得b1＝1，q＝3. 所以bn＝3n－1. (2)当n≤5时，Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝n＋×4＝2n2－n；当n>5时，Tn＝T5＋(b6＋b7＋b8＋…bn) ＝(2×52－5)＋＝. 所以Tn＝数列与函数的综合应用 [例2]　(2012·安徽高考)设函数f(x)＝＋sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为. (1)求数列的通项公式； (2)设的前n项和为Sn，求sin Sn. [自主解答]　(1)令f′(x)＝＋cos x＝0，即cos x＝－，解得x＝2kπ±π(kZ)．由xn是f(x)的第n个正极小值点知， xn＝2nπ－π(nN*)． (2)由(1)可知，Sn＝2π(1＋2＋…＋n)－nπ＝n(n＋1)π－，所以sin Sn＝sin. 因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，n(n＋1)一定为偶数，所以sin Sn＝－sin . 当n＝3m－2(mN*)时， sin Sn＝－sin＝－；当n＝3m－1(mN*)时， sin Sn＝－sin＝；当n＝3m(mN*)时， sin Sn＝－sin 2mπ＝0. 综上所述，sin Sn＝ ——————————————————— 解决函数与数列的综合问题应该注意的事项 (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点； (2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题； (3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化． 2．已知函数f(x)＝x2＋x－1，α，β是方程f(x)＝0的两个根(α>β)，f′(x)是f(x)的导数，设a1＝1，an＋1＝an－(n＝1,2，…)． (1)求α，β的值； (2)已知对任意的正整数n，都有an>α，记bn＝ln(n＝1,2，…)，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)由方程x2＋x－1＝0解得方程的根为 x1＝，x2＝，又α，β是方程的两个实根，且α>β， α＝，β＝. (2)f′(x)＝2x＋1， an＋1＝an－＝an－＝. an>α>β(n＝1,2,3，…)，且a1＝1， b1＝ln＝ln＝4ln. 或b1＝ln＝ln＝ln＝2ln＝2ln2＝4ln bn＋1＝ln＝ln ＝ln＝ln＝2ln＝2bn. 即{bn}是以b1为首项，2为公比的等比数列．故数列{bn}的前n项和 Sn＝＝(2n－1)·4ln ＝(2n＋2－4)ln. 数列与不等式的综合应用 [例3]　(2012·广东高考)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，nN*，且a1，a2＋5，a3成等差数列． (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋1)．又a1＝1满足上式，故an＝3n－2n. (3)证明：＝＝·≤ ·＝3·，＋＋…＋≤3 ＝3×＝0成立的最小值n. 解：(1){an}是等比数列，设其公比为q，两式相除得，＝，q＝3或q＝， {an}为递增数列，q＝3，a1＝. an＝a1qn－1＝·3n－1＝2·3n－5， bn＝log3＝n－5，数列{bn}的前n项和Sn＝＝(n2－9n)． (2)Tn＝b1＋b2＋b22＋…b2n－1＝(1－5)＋(2－5)＋(22－5)＋…＋(2n－1－5)＝－5n>0，即2n>5n＋1. 245×5＋1，nmin＝5(只要给出正确结果，不要求严格证明).数列的实际应用 [例4]　(2012·湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元． (1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式； (2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)． [自主解答]　(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d， a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d. an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d. (2)由(1)得an＝an－1－d ＝－d ＝2an－2－d－d … ＝n－1a1－d. 整理得an＝n－1(3 000－d)－2d ＝n－1(3 000－3d)＋2d. 由题意，am＝4 000，即m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000. 解得d＝＝. 故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元． ——————————————————— 解决数列实际应用问题的方法解等差数列、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解．这其中体现了把实际问题数学化的能力，即数学建模能力． 4．某市2010年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底， (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比较首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59) 解：(1)设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n. 令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0，而n是正整数，解得n≥10.故到2019年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1. 由题意可知an>0.85bn，有250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85. 当n＝5时，a50.85b6，即满足上述不等式的最小正整数n为6. 故到2015年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 1个问题——分期付款问题等比数列中处理分期付款问题的注意事项： (1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系． 3个注意——递推、放缩与函数思想的考查 (1)数列与解析几何结合时注意递推． (2)数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩． (3)数列与函数相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性). 创新交汇——数列的新定义问题 1．数列题目中有时定义一个新数列，然后根据定义的新数列所具备的性质解决有关问题． 2．解决新情境、新定义数列问题，首先要根据新情境、新定义进行推理，从而明确考查的是哪些数列知识，然后熟练运用归纳、构造、正难则反、分类与整合等方法进行解题． [典例]　(2011·)若数列An：a1，a2，…，an(n≥2)满足|ak＋1－ak|＝1(k＝1,2，…，n－1)，则称An为E数列．记S(An)＝a1＋a2＋…＋an. (1)写出一个满足a1＝a5＝0，且S(A5)>0的E数列A5； (2)若a1＝12，n＝2 000.证明：E数列An是递增数列的充要条件是an＝2 011； (3)对任意给定的整数n(n≥2), 是否存在首项为0的E数列An，使得S(An)＝0？如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由． [解]　(1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E数列A5. (答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E数列A5) (2)必要性：因为E数列An是递增数列，所以ak＋1－ak＝1(k＝1,2，…，1 999)．所以An是首项为12，公差为1的等差数列．所以a2 000＝12＋(2000－1)×1＝2 011. 充分性：由于a2 000－a1 999≤1， a1 999－a1 998≤1， … a2－a1≤1，所以a2 000－a1≤1 999，即a2 000≤a1＋1 999. 又因为a1＝12，a2 000＝2 011，所以a2 000＝a1＋1 999. 故ak＋1－ak＝1＞0(k＝1,2，…，1 999)，即An是递增数列．综上，结论得证． (3)令ck＝ak＋1－ak(k＝1,2，…，n－1)，则ck＝±1. 因为a2＝a1＋c1， a3＝a1＋c1＋c2， … an＝a1＋c1＋c2＋…＋cn－1，所以S(An)＝na1＋(n－1)c1＋(n－2)c2＋(n－3)c3＋…＋cn－1＝(n－1)＋(n－2)＋…＋1－[(1－c1)(n－1)＋(1－c2)(n－2 )＋…＋(1－cn－1)]＝－[(1－c1)(n－1)＋(1－c2)(n－2)＋…＋(1－cn－1)]．因为ck＝±1，所以1－ck为偶数(k＝1，…，n－1)．所以(1－c1)(n－1)＋(1－c2)(n－2)＋…＋(1－cn－1)为偶数，所以要使S(An)＝0，必须使为偶数，即4整除n(n－1)，亦即n＝4m或n＝4m＋1(mN*)．当n＝4m(mN*)时，E数列An的项满足a4k－1＝a4k－3＝0，a4k－2＝－1，a4k＝1(k＝1,2，…，m)时，有a1＝0，S(An)＝0；当n＝4m＋1(mN*)时，E数列An的项满足a4k－1＝a4k－3＝0，a4k－2＝－1，a4k＝1(k＝1,2，…，m)，a4m＋1＝0时，有 a1＝0，S(An)＝0；当n＝4m＋2或n＝4m＋3(mN*)时，n(n－1)不能被4整除，此时不存在E数列An，使得a1＝0，S(An)＝0. 1．本题具有以下创新点： (1)本题为新定义问题，命题背景新颖． (2)命题方式创新，既有证明题，也有探究性问题，同一个题目中多种方式相结合． 2．解决本题要注意以下几个问题：对于此类压轴型新定义数列题，首先要有抢分意识，得一分是一分，多尝试解答，仔细分析，认真翻译；其次，要有运用数学思想方法的意识，如构造、分类等．第(1)问中E数列A5的首尾都是0，则必须先增后减或先减后增，或者摆动；第(2)问条件在后边，因此，前推后是证明条件的必要性，不可颠倒，前推后比较容易，应该先证明；第(3)问和第(1)问相呼应，所以在推理时要善于前后联系，善于发现矛盾，从而找到解决问题的突破口． 1．已知数列{an}：a1，a2，a3，…，an，如果数列{bn}：b1，b2，b3，…bn满足b1＝an，bk＝ak－1＋ak－bk－1，其中k＝2,3，…，n，则称{bn}为{an}的“衍生数列”．若数列{an}：a1，a2，a3，a4的“衍生数列”是5，－2,7,2，则{an}为______；若n为偶数，且{an}的“衍生数列”是{bn}，则{bn}的“衍生数列”是______．解析：由b1＝an，bk＝ak－1＋ak－bk－1，k＝2,3，…，n可得，a4＝5,2＝a3＋a4－7，解得a3＝4.又7＝a2＋a3－(－2)，解得a2＝1.由－2＝a1＋a2－5，解得a1＝2，所以数列{an}为2,1,4,5. 由已知，b1＝a1－(a1－an)，b2＝a1＋a2－b1＝a2＋(a1－an)，….因为n是偶数，所以bn＝an＋(－1)n(a1－an)＝a1.设{bn}的“衍生数列”为{cn}，则ci＝bi＋(－1)i(b1－bn)＝ai＋(－1)i·(a1－an)＋(－1)i(b1－bn)＝ai＋(－1)i(a1－an)＋(－1)i·(an－a1)＝ai，其中i＝1,2,3，…，n.则{bn}的“衍生数列”是{an}．答案：2,1,4,5　{an} 2．(2012·上海高考改编)对于项数为m的有穷数列{an}，记bk＝max{a1，a2，…，ak}(k＝1,2，…，m)，即bk为a1，a2，…，ak中的最大值，并称数列{bn}是{an}的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. (1)若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{an}； (2)设{bn}是{an}的控制数列，满足ak＋bm－k＋1＝C(C为常数，k＝1,2，…，m)．求证：bk＝ak(k＝1,2，…，m)．解：(1)数列{an}为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5. (2)证明：因为bk＝max{a1，a2，…，ak}， bk＋1＝max{a1，a2，…，ak，ak＋1}，所以bk＋1≥bk. 因为ak＋bm－k＋1＝C，ak＋1＋bm－k＝C，所以ak＋1－ak＝bm－k＋1－bm－k≥0，即ak＋1≥ak. 因此，bk＝ak. 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. 等差数列{an}中，a3＋a11＝8，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8的值( ) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：选D　{an}为等差数列，a7＝＝4＝b7. 又{bn}为等比数列，b6·b8＝b＝16. 2．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为( ) A. B．4 C．2 D. 解析：选C　设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a＝a1a7得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，故数列{bn}的公比q＝＝＝＝2. 3．(2013·泉州模拟)满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(nN*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是( ) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：选C　因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(nN*)，所以an＋1＝2an， an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn>1 025的最小n值是11. 4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足关系式Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( ) A．5、6月 B．6、7月 C．7、8月 D．8、9月解析：选C　由Sn解出an＝(－n2＋15n－9)，再解不等式(－n2＋15n－9)>1.5，得6<n<9. 5．数列{an}的通项an＝n2，其前n项和为Sn，则S30为( ) A．470 B．490 C．495 D．510 解析：选A　注意到an＝n2cos，且函数y＝cos的最小正周期是3，因此当n是正整数时，an＋an＋1＋an＋2＝－n2－(n＋1)2＋(n＋2)2＝3n＋，其中n＝1,4，7…，S30＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a28＋a29＋a30)＝＋＋…＋＝3×＋×10＝470. 6．(2013·株州模拟)在数列{an}中，对任意nN*，都有＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断： k不可能为0；等差数列一定是等差比数列；等比数列一定是等差比数列；通项公式为an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的数列一定是等差比数列．其中正确的判断为( ) A． B． C． D．解析：选D　若k＝0时，则an＋2－an＋1＝0，因为an＋2－an＋1可能为分母，故无意义，故k不可能为0，正确；若等差、等比数列为常数列，则错误；由定义知正确．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·安庆模拟)设关于x的不等式x2－x<2nx(nN*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．解析：由x2－x<2nx(nN*)，得0<x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________. 解析：依题意得，函数y＝x2(x>0)的图象在点( ak，a)处的切线方程是y－a＝2ak(x－ak)．令y＝0得x＝ak，即ak＋1＝ak，因此数列{ak}是以16为首项，为公比的等比数列，所以ak＝16·k－1＝25－k，a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21. 答案：21 9．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为(nN*)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了________天．解析：由第n天的维修保养费为(nN*)元，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值．由题意知使用n天的平均耗资为＝＋＋，当且仅当＝时取得最小值，此时n＝800. 答案：800 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．设同时满足条件：≥bn＋1；bn≤M(n∈N*，M是常数)的无穷数列{bn}叫“嘉文”数列．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝(an－1)(a为常数，且a≠0，a≠1)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝＋1，若数列{bn}为等比数列，求a的值，并证明数列为“嘉文”数列．解：(1)因为S1＝(a1－1)＝a1，所以a1＝a. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－an－1)，整理得＝a，即数列{an}是以a为首项，a为公比的等比数列．所以an＝a· an－1＝an. (2)由(1)知， bn＝＋1＝，(*) 由数列{bn}是等比数列，则b＝b1·b3，故2＝3·，解得a＝，再将a＝代入(*)式得bn＝3n，故数列{bn}为等比数列，所以a＝. 由于＝>＝＝，满足条件；由于＝≤，故存在M≥满足条件.故数列为“嘉文”数列． 11．已知正项数列{an}，{bn}满足：a1＝3，a2＝6，{bn}是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列． (1)求数列{bn}的通项公式； (2)设Sn＝＋＋…＋，试比较2Sn与2－的大小．解：(1)对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列，且数列{an}，{bn}均为正项数列， an＝bnbn＋1(nN*)．由a1＝3，a2＝6得又{bn}为等差数列，即有b1＋b3＝2b2，解得b1＝，b2＝，数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．数列{bn}的通项公式为bn＝(nN*)． (2)由(1)得，对任意nN*，an＝bnbn＋1＝，从而有＝＝2， Sn＝2 ＝1－. 2Sn＝2－.又2－＝2－， 2Sn－＝－＝. 当n＝1，n＝2时，2Sn2－. 12．已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，且过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝2knan，求数列{bn}的前n项和Tn； (3)设Q＝{x|x＝kn，nN*}，R＝{x|x＝2an，nN*}，等差数列{cn}的任一项cnQ∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，110<c10<115，求{cn}的通项公式．解：(1)点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上， Sn＝n2＋2n(nN*)．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1. (2)由f(x)＝x2＋2x求导可得f′(x)＝2x＋2. 过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn， kn＝2n＋2. bn＝2knan＝4·(2n＋1)·4n. Tn＝4×3×41＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n＋1)×4n. 由×4，得 4Tn＝4×3×42＋4×5×43＋4×7×44＋…＋4×(2n＋1)×4n＋1. ①－得－3Tn＝4[3×4＋2×(42＋43＋…＋4n)－(2n＋1)×4n＋1] ＝4， Tn＝·4n＋2－. (3)Q＝{x|x＝2n＋2，nN*}，R＝{x|x＝4n＋2，nN*}，Q∩R＝R. 又cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，c1＝6. {cn}的公差是4的倍数，c10＝4m＋6(mN*)．又110<c10n＋1，即 1－0时，An<Bn；当aBn. 2．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房． (1)分别写出第1年末和第2年末的实际住房面积的表达式； (2)如果第5年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15≈1.6) 解：(1)第1年末的住房面积为a·－b＝1.1a－b(m2)，第2年末的住房面积为·－b＝a·2－b＝1.21a－2.1b(m2)． (2)第3年末的住房面积为·－b＝a·3－b(m2)，第4年末的住房面积为 a·4－b(m2)，第5年末的住房面积为 a·5－b＝1.15a－b≈1.6a－6b(m2)．依题意可知，1.6a－6b＝1.3a，解得b＝，所以每年拆除的旧住房面积为 m2. 3．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝kSn＋2(nN*)，且a1＝2，a2＝1. (1)求k的值和Sn的表达式； (2)是否存在正整数m，n，使得<成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．解：(1)由条件Sn＋1＝kSn＋2(nN*)，得S2＝kS1＋2，即a1＋a2＝ka1＋2， a1＝2，a2＝1，2＋1＝2k＋2，得k＝. 于是，Sn＋1＝Sn＋2，设Sn＋1＋x＝(Sn＋x)，即Sn＋1＝Sn－x，令－x＝2，得x＝－4， Sn＋1－4＝(Sn－4)，即数列{Sn－4}是首项为－2，公比为的等比数列． Sn－4＝(－2)·n－1，即Sn＝4(nN*)． (2)由不等式<，得<，即<. 令t＝2n(4－m)，则不等式变为<，解得2<t<6，即2<2n(4－m)<6. 假设存在正整数m，n，使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，4－m为整数，则只能是2n(4－m)＝4，或解得或于是，存在正整数m＝2，n＝1或m＝3，n＝2，使得<成立．。

【2020】人教版最新高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)Word版

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———综合训练篇
一、选择题：
1．在等差数列中，，则的值为（ D ）
A．18B．20C．22D．24
2．等差数列满足：，若等比数列满足则为（ B ） A．16B．32C．64D．27
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和Sn.
17．解：（Ⅰ），
，…………………………………………2分
，即
………………………………………………4分
∴数列为首项，公差为2的等差数列 …………………………6分
（Ⅱ）由（1）得：，即
……………………………………………………8分
b1 = 1，当，
（I）哪一年两产品获利之和最小？
（II）至少经过几年即可达到或超过预期计划？
16．
故第20xx年两产品获利最小.……………………………………………………（6分）
（II）
…………………………………………（1分）
17.（选做题）已知函数的反函数为，数列{an}满足：a1 = 1，，数列是首项为1，公比为的等比数列.
三、解答题：
15．已知是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12－S6，成等比数列.
15.[解法1]由已知………………（2分）
当
…………（4分）
………………（8分）
当……（10分）
所以，成等比数列.………………………………………………（12分）
[解法2]由已知，……………（2分）
A. B. C. D.

人教A版高中数学必修五数列综合训练题.docx

数列综合训练题（）1．在等差数列}{n a 中，836a a a +=，则=9S （A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）以上都不对 A（）2．在等比数列}{n a 中，3a 和 5a 是二次方程 052=++kx x 的两个根，则642a a a 的值为（A ）55± （B ）55 （C ） 55- （D ）25 【答案】A（）３．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和。

已知)6(144,324,3666>===-n S S S n n 。

则n 等于（A ）16 （B ） 17 （C ） 18 （D ）19【答案】B 解析：216)144324(36)(6)(166=-+=+=-+-n n n a a S S S ， 361=+n a a ，3242)(1=+=n n a a n S （）４．在数列}{n a 中，已知)(,5,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++，则2013a 等于（A ）4- （B ）5- （C ） 4 （D ）1-【答案】C 解析：n n n n a a a a -=-=+++123 ，n n n a a a =-=∴++36，200845a a ==。

（）5. 由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列考查等差数列的性质．【答案】B （a 2+a 5）－（a 1+a 4）=（a 2－a 1）+（a 5－a 4）=2d ．（a 3+a 6）－（a 2+a 5）=（a 3－a 2）+（a 6－a 5）=2d ．依次类推．（）6. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是A ．15(0,)2+ B ．15(,1]2- C ．15[1,)2+ D ．)251,251(++- 【答案】D 设三边为2,,,a aq aq 则222a aq aq a aq aq aq aq a ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，即222101010q q q q q q ⎧--<⎪-+>⎨⎪+->⎩得1515221515,22q q R q q ⎧-+<<⎪⎪⎪∈⎨⎪-+--⎪><⎪⎩或，即151522q -++<<（）7. 在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对【答案】B 374,4,2,tan 2,a a d A =-===361,9,3,tan 33b b q B ==== tan tan()1C A B =-+=，,,A B C 都是锐角（）8．三个数c b a ,,成等比数列，且)0(>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（A ）]3,0[m （B ）]3,[m m -- （C ）)3,0(m （D ）]3,0()0,[m m ⋃- 【答案】D 解析：设bq c q b a ==,，则有bmq q b m bq b q b =++∴≠=++11,0, 。

2021年高考数学一轮复习 5.4 数列求和课时作业理(含解析)新人教A版必修5

2021年高考数学一轮复习 5.4 数列求和课时作业理（含解析）新人教A版必修5一、选择题1．等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝4，a 2＋a 3＋a 4＝－2，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝( )A.2116 B.1916 C.98 D.78解析：由于q ＝a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝－24＝－12，所以a 3＋a 4＋a 5＝(a 2＋a 3＋a 4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，a 6＋a 7＋a 8＝(a 3＋a 4＋a 5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－18，于是a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝78.答案：D2．(xx·大纲全国卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101 B.99101 C.99100 D.101100解析：由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3，∴d ＝a 5－a 35－3＝1，a 1＝1，∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101，故选A.答案：A3．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．11B ．99C ．120D ．121解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10，得n ＝120.答案：C4．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n 的前n 项和S n 等于( )A.3n －1n ＋1B.2n n ＋1C.3n n ＋1D.4nn ＋3解析：a n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案：B5．(xx·云南昆明高三调研)公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n，且－3a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4＝( )A．－20 B．0 C．7 D．40解析：记等比数列{a n}的公比为q，其中q≠1，依题意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2≠0，即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，又q≠1，因此有q＝－3，S4＝1×[1－－34]1＋3＝－20，选A.答案：A6．(xx·山东青岛期中)已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且a n＝f(n)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝( )A．0 B．100 C．5 050 D．10 200解析：因为f(n)＝n2cos(nπ)，所以a1＋a2＋a3＋...＋a100＝－12＋22－32＋42－...－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋...(1002－992)＝3＋7＋ (199)503＋1992＝5 050，选C.答案：C二、填空题7．已知数列{a n}对于任意p，q∈N*有a p a q＝a p＋q，若a1＝12，则S9＝________.解析：由题意得a n＋1＝a n a1，a n ＋1a n ＝a 1＝12，a n ＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，因此S 9＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫129＝511512.答案：5115128．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝________.解析：∵a n ＋1＝3S n ，∴S n ＋1－S n ＝3S n ，∴S n ＋1＝4S n ，∴{S n }是以S 1为首项，公比为4的等比数列，∴S 10＝410－1＝49，∴log 4S 10＝log 449＝9.答案：99．已知数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1，则a n ＝________解析：由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1＝2＋1a n∴数列{a n }的倒数成公差为2的等差数列，由此可求1a n ＝2n －1，∴a n ＝12n －1.答案：12n －1三、解答题10．(xx·青岛统一质检)已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋－1n2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ；又知数列{b n }中，b 1＝2，且对任意正整数m ，n，b mn＝b n m.(1)求数列{a n}和数列{b n}的通项公式；(2)将数列{b n}中的第a1项，第a2项，第a3项，……，第a n项，……，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n}，求数列{c n}的前2 013项和．解：(1)∵d n＝3＋－1n2，∴a n＝d1＋d2＋d3＋…＋d2n＝3×2n2＝3n又由题知：令m＝1，则b2＝b21＝22，b3＝b31＝23，…，b n＝b n1＝2n若b n＝2n，则b m n＝2nm，b n m＝2mn，所以b m n＝b n m恒成立若b n≠2n，当m＝1，b m n＝b n m不成立，所以b n＝2n.(2)由题知将数列{b n}中的第3项、第6项、第9项……第3n项删去后构成的新数列{c n}中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b1＝2，b2＝4公比均是8，T2 013＝(c1＋c3＋c5＋…＋c2 013)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c2 012)＝2×1－81 0071－8＋4×1－81 0061－8＝20×81 006－6711．(xx·山东烟台诊断)已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a2·a4＝65，a1＋a5＝18.(1)若1<i<21，a1，a i，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；(2)设b n＝n2n＋1S n，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋b n<m对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．解：(1){a n }为等差数列，∵a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2·a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d >0，∴a 2<a 4，∴a 2＝5，a 4＝13. ∴⎩⎨⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，∴a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3.由1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，∴a 1·a 21＝a 2i ，即1·81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n n －12·4＝2n 2－n ，所以b n ＝12n －12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n2n ＋1 因为n 2n ＋1＝12－122n ＋1<12，所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立．12．(xx·山西第三次四校联考)已知各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b n ，设C n ＝b n a n ，求数列{C n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知2a n ＝S n ＋12，a n >0当n ＝1时，2a 1＝a 1＋12，∴a 1＝12当n ≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－12两式相减得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1整理得：a na n －1＝2∴数列{a n }是以12为首项，2为公比的等比数列．a n ＝a 1·2n －1＝12×2n －1＝2n －2(2)a 2n ＝2－b n ＝22n －4∴b n ＝4－2n ，C n ＝b n a n ＝4－2n 2n －2＝16－8n 2nT n ＝82＋022＋－823＋…＋24－8n 2n －1＋16－8n2n①12T n ＝822＋023＋…＋24－8n 2n ＋16－8n 2n ＋1② ①－②得12T n ＝4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －16－8n 2n ＋1＝4－8·122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－16－8n2n ＋1＝4－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－16－8n 2n ＋1＝4n 2n .∴T n ＝8n2n. [热点预测]13．(xx·保定第一次模拟)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2x ，12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2x ，－12(ω>0，x ≥0)，函数f (x )＝a ·b 的第n (n ∈N *)个零点记作x n (从左向右依次计数)，则所有x n 组成数列{x n }．(1)若ω＝12，求x 2；(2)若函数f (x )的最小正周期为π，求数列{x n }的前100项和S 100. 解：f (x )＝a ·b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω2x cos ⎝⎛⎭⎪⎫ω2x －14＝12sin(ωx )－14 (1)当ω＝12时，f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －14令f (x )＝0，得x ＝4kπ＋π3或x ＝4kπ＋5π3(k ∈Z ，x ≥0) 取k ＝0，得x 2＝5π3. (2)因为f (x )最小正周期为π，则ω＝2，故f (x )＝12sin(2x )－14令f (x )＝0得x ＝kπ＋π12或x ＝kπ＋5π12(k ∈Z ，x ≥0)所以S 100＝∑k ＝049⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ＋π12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kπ＋5π12＝∑k ＝049 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2kπ＋π2 ＝2π(0＋1＋2＋…＋49)＋50×π2＝50×49π＋25π＝2 475π.g25753 6499 撙23520 5BE0寠F30302 765E 癞23967 5D9F 嶟28347 6EBB 溻30218 760A 瘊22181 56A5 嚥27623 6BE7 毧m39956 9C14 鰔20395 4FAB 侫32450 7EC2 绂。

2022届高考数学一轮复习第五章数列第4节数列求和课时作业含解析新人教版.docx

■课时作业•巩固提升授课提示：对应学生用书第295页[A 组基础保分练]1. 已知数列修.｝的前〃项和为且 ai=5, a2=2, a n =2a n -i+3a n -2(n^3),则 S 6=() A. 567B. 637C. 657D. 727 答案：B2. 已知数列｛痴｝的前〃项和 &=1—5+9 —13 + •••+(—l)"「i(4〃一3),则 S15+S22—S3i = () A. 76B. 78C. -78D. -76 答案：D3. (202L 保定期末测试)在数列｛a"｝中，若ai = l, “2=3,林2=如4—妃住N*),则该数列的前100项之和是()A. 18B. 8C. 5D. 2 答案：C4. (2021-济南模拟)已知数列｛勿｝的前〃项和为S 〃，ai = l, S…=2a n+i,则S…=()A.借「1B. 2"「iC.(扣D.拙- c q解析：由&=2勿+i 可得S…=2(S…+i -S…),可得3&=2&+i,即号=茅所以数列｛&｝是以S=<2i = 1为首项，三为公比的等比数列，即&=(D"一七答案：A5. 数列｛a n ｝, ｛b n ｝满足 ai =bi =lt a n +i —a 〃= —=2, n £ N*,则数列｛ba”｝的刖"项和为()A.|(4,!-1-l)B. |(4n -l)C.§(4”「i-1)D. |(4"-1) 解析：因为a n+i-a…=^1=2, ai=bi=l,所以数列｛a,｝是等差数列,数列｛陈｝是等比数列, a n = 1 +2(n — l) = 2n — 1, b n =l X2n ~i = 2n ~i ,数列化。

〃｝的前〃项和为 bai+bm --------- b a n =b\第五章数列活页装订方便使用_ 1 — 4" 1+b3+b5+-+史,i=2°+22+24 ——F 2-'^-=^^=^（4,!-1）.答案：D6.（多选题）（2021.山东济宁期末）若&为数列皿｝的前"项和，且S…=2a,,+1,则下列说法正确的是（）A.<75= — 16B.S5=—63C.数列｛《,｝是等比数列D.数列俱+1｝是等比数列解析：因为&为数列｛《,｝的前"项和，且S…=2«…+l,所以«i=Si = 2ai + l,所以«i = — 1.当"N2时，a n= S…—S…-i= 2a… — 2a n-1,即cz…=2cz…-i,所以数列｛。

高三数学专题4 数列精品专题检测理新人教A版

专题4 数列【2012高考试题】一、选择题1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.252.【2012高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列3.【2012高考真题新课标理5】已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【答案】D【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选D.4.【2012高考真题上海理18】设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++=Λ21，在10021,,,S S S Λ中，正数的个数是（）A ．25B ．50C ．75D ．1005.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 【答案】B【解析】在等差数列中，111111481111()16,882a a a a a a s ⨯++=+=∴==Q ，答案为B6.【2012高考真题四川理12】设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则=-5123)]([a a a f （）A 、0B 、2116π C 、218π D 、21316π7.【2012高考真题湖北理7】定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ， {()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的如下函数：①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()||f x x =； ④()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为A ．① ②B ．③ ④ C．①③D ．② ④8.【2012高考真题福建理2】等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为A.1B.2C.3D.4【答案】B.【解析】由等差中项的性质知52513=+=a a a ，又2,7344=-=∴=a a d a Θ.故选B. 9.【2012高考真题安徽理4】公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（）()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 7 【答案】B【解析】29311771672161616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔=．10.【2012高考真题全国卷理5】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100 【答案】A二、填空题11.【2012高考真题浙江理13】设公比为q （q ＞0）的等比数列{a n }的前n 项和为S n 。

高考数学一轮复习第五章数列第4课时数列的综合应用课时作业理新人教版-新人教版高三全册数学试

第4课时数列的综合应用考纲索引1.等差数列与等比数列的综合应用.2.数列的实际应用.3.数列与其他知识的综合应用.课标要求1.以递推关系为背景,在等差、等比数列交汇的题目中,进行数列的基本运算,求数列的通项公式与前n 项和.2.在数列与函数、不等式、解析几何的交汇处,考查数列的综合应用.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决相应的问题.1.等差数列与等比数列比较表2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意.(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题,弄清该数列的特征、要求是什么.(3)求解——求出该问题的数学解.(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.3.数列应用题常见模型(1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化时,应考虑是a n与a n+1的递推关系,还是S n与S n+1之间的递推关系.基础自测1.(教材改编)已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2的值为().A.-4B.-6C.-8D.-102.已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列,数列{b n}是等差数列,且a6=b7,则有().A.a3+a9≤b4+b10B.a3+a9≥b4+b10C.a3+a9≠b4+b10D.a3+a9与b4+b10的大小关系不确定3.(教材改编)有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖),问细菌将病毒全部杀死至少需要().A.6秒钟B.7秒钟C.8秒钟D.9秒钟指点迷津◆两个区分在数列的实际应用中注意区分:①是等差数列还是等比数列问题.②是求数列的通项a n,还是求S n或者求n.◆三种思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性).(2)数列与不等式结合时需注意放缩.(3)数列与解析几何结合时要注意递推思想.考点透析考向一等差数列与等比数列的综合应用例1(2013·某某市质检二)已知数列{a n}为公差不为零的等差数列,a1=1,各项均为正数的等比数列{b n}的第1项、第3项、第5项分别是a1,a3,a21.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)求数列{a n b n}的前n项和S n.【审题视点】由等比中项建立d的关系,利用错位相减法求S n.【方法总结】对等差、等比数列的综合问题的分析,应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和;分析等差、等比数列项之间的关系,往往用到转化与化归的思想方法.变式训练1.(2013·某某模拟)已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列的前n项和.考向二数列的实际应用例2(2013·某某重点中学联考)为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某某市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.(1)求经过n年,该市被更换的公交车总数S(n);(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换,求a的最小值.【审题视点】把电力车混合型车分别看作等比数列和等差数列来求解.【方法总结】解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,使关系明朗化、标准化.然后用等差、等比数列知识求解.这其中体现了把实际问题数学化的能力,也就是所谓的数学建模能力.变式训练2.(2013·某某调研)为了缓解城市道路拥堵的局面,某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准,并实行累进加价收费.已公布的征求意见稿是这么叙述此收费标准的:“(中心城区占道停车场)收费标准为每小时10元,并实行累进加价制度,占道停放1小时后,每小时按加价50%收费.”方案公布后,这则“累进加价”的算法却在媒体上引发了争议.请你用所学的数学知识说明争议的原因,并请按照一辆普通小汽车一天内连续停车14个小时计算,则根据不同的解释,收费各应为多少元?考向三数列与其他知识的综合应用【方法总结】1.数列与函数的综合问题:一般是通过研究函数的性质、图象进而解决数列问题.2.数列与不等式的综合问题:(1)以数列为背景的不等式恒成立问题,多与数列求和相联系,最后利用函数的单调性求解.(2)以数列为背景的不等式证明问题,多与数列求和有关,有时利用放缩法证明.变式训练经典考题典例(2014·某某)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n-1,x i∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.【解题指南】第(1)问用列举法,第(2)问通过放缩比较大小.真题体验1.(2014·某某)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,求证:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cos B的值.2.(2014·某某)已知等差数列{a n}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)记S n为数列{a n}的前n项和,是否存在正整数n,使得S n>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.参考答案与解析知识梳理1.前项前项基础自测1.B2.B3.B4.95.2n+1-3考点透析变式训练经典考题真题体验。

高考数学一轮复习第五章第四节数列求和课时作业理新人教A版高三全册数学试题

【优化探究】2017届高考数学一轮复习第五章第四节数列求和课时作业理新人教A 版A 组考点能力演练1．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ，则S 2 014＝( ) A ．2×31 007－2 B ．2×31 007C.32 014－12 D.32 014＋12解析：由a n ＋2＝3a n 可得数列{a n }的奇数项与偶数项分别构成等比数列，所以S 2 014＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 014)＝1－31 0071－3＋31－31 0071－3＝(－2)×(1－31 007)＝2×31 007－2，故选择A.答案：A2．(2016·长沙质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 015的值为( )A ．2 015B ．2 013C ．1 008D ．1 007解析：因为a n ＋2S n －1＝n ，n ≥2，所以a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，n ≥1，两式相减得a n ＋1＋a n ＝1，n ≥2.又a 1＝1，所以S 2 015＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 014＋a 2 015)＝1 008，故选择C.答案：C3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos 2n π2a n ＋sin 2n π2，则该数列的前18项的和为( )A ．2 101B ．2 012C ．1 012D ．1 067解析：当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋1，即奇数项构成首项为1、公差为1的等差数列；当n 为偶数时，a n ＋2＝2a n ，即偶数项构成首项为2、公比为2的等比数列，所以该数列的前18项和为9＋9×82＋21－291－2＝45＋1 022＝1 067，故选择D.答案：D4．(2016·贵阳一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝4，S 4＝10，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前2 015项和为( )A.2 0142 015 B.2 0152 016 C.2 0162 015D.2 0172 016解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 1＋3d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝10，联立解得a 1＝d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，1a n a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前2 015项和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015－12 016＝1－12 016＝2 0152 016，故选择B.答案：B5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝nm ，S m ＝m n(m ，n ∈N *且m ≠n )，则下列各值中可以为S n ＋m 的值的是( )A ．2B ．3C ．4D.92解析：由已知，设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧S n＝An 2＋Bn ＝nm ，S m＝Am 2＋Bm ＝mn⇒⎩⎪⎨⎪⎧An ＋B m ＝1，Am ＋B n ＝1.两式相减得B (m －n )＝0，故B ＝0，A ＝1mn .S m ＋n ＝A (m ＋n )2＝m ＋n2mn＝m 2＋n 2＋2mn mn >4mnmn＝4，故只有D 符合，故选D.答案：D6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3n ，n 为偶数，2n －1，n 为奇数，则其前10项和为________．解析：依题意，注意到a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝1－28·221－22＝341，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5×－5－292＝－85，因此题中的数列的前10项和等于341－85＝256.答案：2567．数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(n ∈N *)，设b n ＝1a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，则T n ＝________.解析：本题考查数列的前n 项和与通项间的关系、裂项相消法．依题意，当n ≥2时，a n＝n 2－(n －1)2＝2n －1；又a 1＝12＝2×1－1，因此a n ＝2n －1，b n ＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，因此T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 答案：n2n ＋18．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)na n ＝1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60＝________. 解析：依题意得，当n 是奇数时，a n ＋2－a n ＝1，即数列{a n }中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＝30×1＋30×292×1＝465；当n 是偶数时，a n ＋2＋a n ＝1，即数列{a n }中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 58＋a 60＝(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋…＋(a 58＋a 60)＝15.因此，该数列的前60项和S 60＝465＋15＝480.答案：4809．(2016·南昌模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n >0.(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3，得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0. 当n ≥5时，a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2，所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1，又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，所以a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1，而a 5>0，所以a 1>0，从而a 1＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－1n －11≤n ≤42n －7n ≥5，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－－1n ]1≤n ≤4，n 2－6n ＋8n ≥5.10．(2016·石家庄一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *，λ≠－1)，且a 1,2a 2，a 3＋3为等差数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和．解：(1)法一：∵a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)， ∴a n ＝λS n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝λa n ，即a n ＋1＝(λ＋1)a n (n ≥2)，λ＋1≠0，又a 1＝1，a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，∴数列{a n }是以1为首项，公比为λ＋1的等比数列， ∴a 3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.法二：∵a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，a 3＝λS 2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1， ∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1， ∴a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)， ∴a n ＝S n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝a n (n ≥2)，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝2，∴数列{a n }是以1为首项，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)由(1)知，a n b n ＝(3n －2)×2n －1，设T n 为数列{a n b n }的前n 项和，∴T n ＝1×1＋4×21＋7×22＋…＋(3n －2)×2n －1，①∴2T n ＝1×21＋4×22＋7×23＋…＋(3n －5)×2n －1＋(3n －2)×2n.②①－②得，－T n ＝1×1＋3×21＋3×22＋…＋3×2n －1－(3n －2)×2n＝1＋3×2×1－2n －11－2－(3n －2)×2n，整理得：T n ＝(3n －5)×2n＋5.B 组高考题型专练1．(2015·高考天津卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意知q >0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0.又因为q >0，解得q ＝2，所以d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *；数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)×2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1，2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n，上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋ (2)－(2n －1)×2n＝2n ＋1－3－(2n －1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，所以，S n ＝(2n －3)×2n＋3，n ∈N *.2．(2015·高考全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3①，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3②. 由②－①可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n32n ＋3.3．(2014·高考浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n . 解：(1)由题意得a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项为a n ＝2n(n ∈N *)．所以a 1a 2a 3…a n ＝2n n ＋12＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝12＋122＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0；当n ≥5时，c n ＝1n n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋12n －1，而n n ＋12n－n ＋1n ＋22n ＋1＝n ＋1n －22n ＋1>0，得n n ＋12n≤5·5＋125<1，所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.。

人教版高中数学数列专题复习(综合训练篇含答案)及参考答案

数列高考复习 (附参考答案)———综合训练篇一、选择题：1．在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ，则1092a a -的值为（ D ）A ．18B ．20C ．22D ．242．等差数列{}n a 满足：30,8531==+S a a ，若等比数列{}n b 满足,,4311a b a b ==则5b 为（ B ） A ．16B ．32C ．64D ．273．等差数列{}n a 中,,27,39963741=++=++a a a a a a 则数列{}n a 的前9项之和S 9等于（ C ）A ．66B ．144C ．99D ．2974．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比q ≠1，且2a ，321a ，1a 成等差数列，则5443a a a a ++为（A ） A ．215- B ．215+ C ．251- D ．215+或215-5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,336=S S 则=69S S（ B ） A. 2 B.73C. 83D.36．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且210S =，555S =，则过点(,)n P n a 和2(2,)()n Q n a n N *++∈的直线的一个方向向量的坐标是 ( B )A.1(2,)2B.1(,2)2-- C.1(,1)2-- D.(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且a 1、b 1、c 1成等差数列，则acc a +的值为（ C ）A ．1594B ．1594±C ．1534 D ．1534±8．已知数列{}n a 的通项,1323211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=--n n n a 则下列表述正确的是 ( A ) A ．最大项为,1a 最小项为3a B ．最大项为,1a 最小项不存在 C ．最大项不存在，最小项为3a D ．最大项为,1a 最小项为4a9.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（B ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．189．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ，且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以43为首项，31为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为a i =(i=1，2，…，n)，设b n =2（2n+1）·3n －2·a n ，且C n =11+n n b b ，T n =C 1+C 2+…+C n ，若对任意n ∈N*，总有T n >90m恒成立，则m 的最大正整数为（ B ）A ．3B ．5C ．6D ．9二、填空题：10．已知等差数列{}n a 前n 项和S n =－n 2+2tn ，当n 仅当n=7时S n 最大，则t 的取值范围是 (6.5，7.5) .11．数列{}n a 的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧=)(2)(2为偶数为奇数n n na nn ，则数列的前2m （m 为正整数）项和是 2m+1+m 2－2 .12．已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；2014a =_________.【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得2009450331a a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====.∴应填1，0.13．在数列{}n a 和{}n b 中，b n 是a n 与a n +1的等差中项，a 1 = 2且对任意*N n ∈都有 3a n +1－a n = 0，则数列{b n }的通项公式 nn b 34= . 14．设P 1，P 2，…P n …顺次为函数)0(1>=x xy 图像上的点（如图），Q 1，Q 2，…Q n …顺次为x 轴上的点，且n n n Q P Q Q P O Q OP 122111,,-∆∆∆ ，…，均为等腰直解三角形（其中P n 为直角顶点）.设Q n 的坐标为（*)0)(0,N x n ∈，则数列{a n }的通项公式为 n x n 2=*)N n ∈ .三、解答题：15．已知}{n a 是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6，成等比数列.15. [解法1]由已知.21,2,26361311741q q q a q a a a a a =+∴=+=+………………（2分）当66663124373124126361,2()2()2()2q S S S S a a a S a q a q a q S S q ≠-=+++=++=时…………（4分）.1)1(1)1()1()1(266616318633S S qq a S q q a q S S q =⋅--=⋅--⋅+=+=………………（8分）当,)(2,6,6,3,126612316121613S S S S a S S a S a S q =-=-===同样有时……（10分）所以，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分）[解法2]由已知636131174121,2,2q q q a q a a a a a =+∴=+=+，……………（2分）当,36)12(32)(2,1231314122a a a a S S S q =-⨯=-=时∴==.36)6(232126a a S ∴=-.)(2266122S S S S 61263,,2S S S S -成等比数列.…（6分）当,221)1(2111212,1633636q q q q S S q ⋅=+=--⋅=≠时…………………………（8分） ∴61263,,2S S S S -成等比数列.……………………………………………………（11分）综上，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分）16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意自然数n 总有p a p S n n (),1(-=为常数，且q q n b b p p n n (2}{),1,0+=≠≠中有数列为常数）。

高中数学数列基础知识点和综合练习(含答案) 新人教A版必修5

一、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳：1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列称等差数列；2°.通项公式：3°.前n项和公式：公式：②等比数列：1°.定义若数列（常数），则称等比数列；2°.通项公式：3°.前n项和公式：当q=1时2．简单性质：①首尾项性质：设数列1°.若是等差数列，则2°.若是等比数列，则②中项及性质：1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且③设p、q、r、s为正整数，且1°. 若是等差数列，则2°. 若是等比数列，则④顺次n项和性质：1°.若是公差为d的等差数列，组成公差为n2d的等差数列；2°. 若是公差为q的等比数列，组成公差为qn的等比数列.（注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立）⑤若是等比数列，则顺次n项的乘积：组成公比这的等比数列.⑥若是公差为d的等差数列,1°.若n为奇数，则而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n为偶数，则（二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n 项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m（或a-m,a,a+m）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为“”④四数成等比数列，可设四数为“”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.[例1]解答下述问题：（Ⅰ）已知成等差数列，求证：（1）成等差数列；（2）成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，（Ⅱ）设数列（1）求证：是等差数列；（2）若数列求证：{}是等比数列.①②[解析]（1）②－①得1）当2）由1）、2）知，[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归纳猜想”并证明.[例2]解答下述问题：（Ⅰ）等差数列的前n项和为求[解析]选择公式做比较好，但也可以考虑用性质完成.①②[解法一]设①－②得：[解法二]不妨设（Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为，求项数n.[解析]设公比为（Ⅲ）等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：求数列[解析]①，②①②[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.[例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为a－d, a, a+d，则有（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.[解析]设此四数为,解得所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列复习题一、选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）（A）为常数数列（B）为非零的常数数列（C）存在且唯一（D）不存在2.、在等差数列中，,且,,成等比数列，则的通项公式为（）（A）（B）（C）或（D）或3、已知成等比数列，且分别为与、与的等差中项，则的值为（）（A）（B）（C）（D）不确定4、互不相等的三个正数成等差数列，是a,b的等比中项，是b,c的等比中项，那么，，三个数（）（A）成等差数列不成等比数列（B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列（D）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列的前项和为,,则此数列的通项公式为（）（A）（B）（C）（D）6、已知，则（）（A）成等差数列（B）成等比数列（C）成等差数列（D）成等比数列7、数列的前项和，则关于数列的下列说法中，正确的个数有（）①一定是等比数列，但不可能是等差数列②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列④可能既不是等差数列，又不是等比数列⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A）4 （B）3 （C）2 （D）18、数列1,前n项和为（）（A）（B）（C）（D）9、若两个等差数列、的前项和分别为、，且满足，则的值为（）（A）（B）（C）（D）10、已知数列的前项和为,则数列的前10项和为（）（A）56 （B）58 （C）62 （D）6011、已知数列的通项公式为, 从中依次取出第3，9，27，…3n, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为（）（A）（B）（C）（D）12、下列命题中是真命题的是( ) A．数列是等差数列的充要条件是()B．已知一个数列的前项和为,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C．数列是等比数列的充要条件D．如果一个数列的前项和,则此数列是等比数列的充要条件是二、填空题13、各项都是正数的等比数列，公比,成等差数列，则公比=14、已知等差数列，公差,成等比数列，则=15、已知数列满足,则=16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为二、解答题17、已知数列是公差不为零的等差数列，数列是公比为的等比数列，，求公比及。

高考数学复习第五单元专题集训四数列的综合问题练习理新人教A版0606148.docx

专题集训四数列的综合问题1.[2018·嘉兴二模]已知数列{a n}为等差数列,且a8=1,则2|a9|+|a10|的最小值为()A.3B.2C.1D.02.在如下所示的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则a+b+c的值为(A.1B.2C.3D.43.已知数列{a n}的各项均为整数,a8=-2,a13=4,前12项依次成等差数列,从第11项起依次成等比数列,则a15=()A.8B.16C.64D.1284.[2018·河北衡水中学模拟]已知1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值是.5.定义:F(x,y)=y x(x>0,y>0).已知数列{a n}满足a n=(n∈N*),若对任意正整数n,都有a n≥a k(k∈N*)成立,则a k的值为.6.[2018·广东仲元中学模拟]已知数列{a n}满足a n=--(n∈N*), 若{a n}是递减数列, 则实数a的取值范围是()A.,1B.,C.,1D.,7.[2018·山东济宁一中月考]设f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N),则f(n)等于()A.(8n-1)B.(8n+1-1)C.(8n+3-1)D.(8n+4-1)8.今年“五一”期间,北京十家重点公园举行免费游园活动,北海公园免费开放一天,早晨6时30分有2人进入公园,接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来,第二个30分钟内有8人进去2人出来,第三个30分钟内有16人进去3人出来,第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去,到上午11时30分公园内的人数是()A.211-47B.212-57C.213-68D.214-809.[2018·山东烟台模拟]对于任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数,例如[3]=3,[-1.2]=-2,[1.2]=1.已知数列{a n}满足a n=[log2n],其前n项和为S n,则满足S n>2018的正整数n的最小值为()A.305B.306C.315D.31610.[2018·四川三台中学模拟]在数列{a n}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和S n满足=a n(S n-1),设b n=log2,数列{b n}的前n项和为T n,则满足T n≥6的正整数n的最小值是()A.12B.11C.10D.911.[2018·四川双流中学一模]设公比不为1的等比数列{a n}满足a1a2a3=-,且a2,a4,a3成等差数列,则数列{a n}的前4项和为.12.[2018·郑州三测]设有四个数的数列a1,a2,a3,a4,前三个数构成一个等比数列,其和为k,后三个数构成一个等差数列,其和为15,且公差非零.对于任意固定的实数k,若满足条件的数列个数大于1,则k的取值范围为.13.[2018·山东、湖北部分重点中学联考]已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n+S n+1=2n2+n,若对任意n∈N*,a n<a n+1恒成立,则首项a1的取值范围是.14.已知数列{a n}满足a1=,a n+1=a n-,数列的前n项和为S n.证明:(1)0<a n+1<a n;;(2)a n≤-(3)S n>n-.15.[2018·江西宜春中学、新余一中联考]设函数f(x)=+sin x的所有大于0的极小值点从小到大排成的数列为{x n}.(1)求数列{x n}的通项公式;的前n项和为S n,求证:S n<.(2)令b n=,设数列·16.[2018·株洲二模]已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,且满足a n a n+1=2S n,数列{b n}满足b1=15,b n+1-b n=2n,则数列中第项最小.17.[2018·江苏南京师大附中模拟]设数列{a n}的前n项和为S n,且a n=4+-n-1,若对于任意的n∈N*,都有1≤x(S n-4n)≤3成立,则实数x的取值范围是.专题集训(四)1.C[解析] 设等差数列{a n}的公差为d.∵a8=1,∴2|a9|+|a10|=2|1+d|+|1+2d|=--由分段函数的性质可得2|a9|+|a10|的最小值为1,故选C.2.A[解析] 由题意知,a=,b=,c=,故a+b+c=1,故选A.3.B[解析] 设由前12项构成的等差数列的公差为d,从第11项起构成的等比数列的公比为q.由a13==--=4,解得d=1或d=,又数列{a n}的各项均为整数,所以d=1,所以q==2,所以a n=--故a15=24=16,故选B.4.[解析] 依题意可知a1+a2=1+4=5,=1×4=4,1·b2=>0,所以b2=2,所以=.5.[解析] 由题意得a n==且a k=(a n)min,∴=.∵2n2-(n+1)2=(n-1)2-2,当n≥3时,(n-1)2-2>0,即2n2>(n+1)2,∴当n≥3时,a n+1>a n,同理当n<3时,a n+1<a n.∴a n>a n-1>…>a4>a3<a2<a1,∴(a n)min=a3=,则a k=.6.D[解析] 由题意得-×解得<a<.7.D[解析] 因为数列2,24,27,…,23n+10,…是一个首项为2,公比为23的等比数列,设23n+10是第k项,则23n+10=2×(23)k-1=23k-2,所以3n+10=3k-2,则k=n+4,所以f(n)是该等比数列的前n+4项的和,于是f(n)==(8n+4-1).故选D.8.B[解析] 由题意,可知从早晨6时30分开始,接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项,2为公比的等比数列,出来的人数构成以1为首项,1为公差的等差数列.记第n个30分钟内进入公园的人数为a n,第n个30分钟内出来的人数为b n,则a n=4×2n-1,b n=n,因为从早晨6时30分至上午11时30分共有10个30分钟,所以上午11时30分公园内的人数S=2+-=212-57.9.D[解析] 由题意,a n=[log2n].当n=1时,a1=0,S1=0;当21≤n<22时,a2=a3=1,共2项,S3=2;当22≤n<23时,a4=a5=a6=a7=2,共4项,S7=2×4+S3=10;当23≤n<24时,a8=a9=…=a15=3,共8项,S15=3×8+S7=34;当24≤n<25时,a16=a17=…=a31=4,共16项,S31=4×16+S15=98;当25≤n<26时,a32=a33=…=a63=5,共32项,S63=5×32+S31=258;当26≤n<27时,a64=a65=…=a127=6,共64项,S127=6×64+S63=642;当27≤n<28时,a128=a129=…=a255=7,共128项,S255=7×128+S127=1538;当28≤n<29时,a256=a257=…=a511=8,共256项,S511=8×256+S255=3586>2018.∴当S n=2018时,n=255+=315,∴满足S n>2018的正整数n的最小值为316.故选D.10.C[解析] 在数列{a n}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和S n满足=a n(S n-1),∴当n≥2时,=(S n-S n-1)·(S n-1),化为--=1.∴数列是等差数列,且首项为1,公差为1,∴=1+(n-1)=n,∴S n=.∴b n=log2=log2,数列{b n}的前n项和T n=log2+log2+log2+…+log2-+log2=log2×××…×-×=log2.由T n≥6,即log2≥6,得(n+1)(n+2)≥27.令f(x)=x2+3x-126=x+2-128-,可得f(x)在[1, ∞)上单调递增.而f(9)=-18<0,f(10)=4>0,若x∈N*,则当x≥10时,f(x)≥0,∴满足T n≥6的正整数n的最小值是10.11.[解析] 公比不为1的等比数列{a n}满足a1a2a3=-,所以=-,解得a2=-.设公比为q,则a3=-q,a4=-q2,因为a2,a4,a3成等差数列,所以2a4=a2+a3,即2×-=--q,解得q=-或q=1(舍去),所以a1=1,由{a n}的前n项和S n=-,可得S4=.12.,5∪(5,15)∪(15, ∞)[解析] 因为后三个数成等差数列且和为15,故可依次设后三个数为5-d,5,5+d(d≠0且d≠5),又前三个数构成等比数列,则第一个数为-,即-+5-d+5=k,化简得d2-15d+75-5k=0,因为满足条件的数列的个数大于1,所以Δ>0,所以k>.又由d≠0且d≠5,得k≠5且k≠15,故k的取值范围为,5∪(5,15)∪(15, ∞).13.-,[解析] 因为S n+S n+1=2n2+n,所以S n-1+S n=2(n-1)2+n-1(n≥2),两式相减得a n+a n+1=4n-1,n≥2,所以a n-1+a n=4n-5,n≥3,两式再相减得a n+1-a n-1=4,n≥3,可得数列{a n}的偶数项是以4为公差的等差数列,从a3起奇数项也是以4为公差的等差数列.若对任意n∈N*,a n<a n+1恒成立,则a1<a2<a3<a4.又a1+S2=3,所以a2=3-2a1,同理a3=7-a2=4+2a1,a4=11-a3=7-2a1,所以a1<3-2a1<4+2a1<7-2a1,解得-<a1<,即首项a1的取值范围是-,.14.证明:(1)由于a n+1-a n=-≤0,所以a n+1≤a n.若a n+1=a n,则a n=0,与a1=矛盾,从而a n+1<a n,a1=>a2>a3>…>a n.又=1-≥1->0,所以a n+1与a n同号,又a1=>0,所以a n+1>0,即0<a n+1<a n.(2)由于0<a n+1<a n,所以a n+1=a n-<a n-,即-<-=-,即->-.当n≥2时,=--+---+…+-+>--+---+…+1-+=3-=->0,从而a n<-;当n=1时,a1==.综上可得a n≤-.(3)=1-≥1-=1--,所以S n=++…+≥n-1-+-+…+-=n-1->n-.15.解:(1)f(x)=+sin x,令f'(x)=+cos x=0,得x=2kπ±(k∈Z).由f'(x)>0,得2kπ-<x<2kπ+(k∈Z),由f'(x)<0,得2kπ+<x<2kπ+(k∈Z),所以当x=2kπ-(k∈Z)时,f(x)取得极小值,所以x n=2nπ-(n∈N*).(2)证明:因为b n==n-=-,所以·=-·=3--,所以S n=3-+-+…+--=3-=-,又n∈N*,所以S n<.16.4[解析] 当n≥2时,2a n=2S n-2S n-1=a n a n+1-a n-1a n,∵a n≠0,∴a n+1-a n-1=2;当n=1时,a1a2=2a1,解得a2=2.∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差都为2,且a1=1,a2=2,∴数列{a n}为等差数列,其首项为1,公差为1,∴a n=1+n-1=n.∵数列{b n}满足b1=15,b n+1-b n=2n,∴当n≥2时,b n=2[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+15=2×-+15=n(n-1)+15,当n=1时,上式也成立,∴b n=n(n-1)+15,∴=n-1+≥2-1(当且仅当n= 时取等号),又n∈N*,且=3+,=7,则数列中第4项最小.17.[2,3][解析] 由题设可得S n=4n+=4n+-×-n,则S n-4n=-×-n,不等式1≤x(S n-4n)≤3可化为1≤x-×-n≤3,即×≤x≤×,则问题转化为求-n的最大值和最小值.由于n∈N*,所以-n的最大值和最小值分别为和-,则×≤x ≤×,即2≤x≤3,所以实数x的取值范围是[2,3].精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2020届高考数学第五章第五节数列的综合问题课后练习新人教A版 .doc

"【三维设计】高考数学第五章第五节数列的综合问题课后练习人教A 版 "一、选择题1．(2012·长沙模拟)设{a n }、{b n }分别为等差数列与等比数列，a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则下列结论正确的是( )A ．a 2>b 2B ．a 3<b 3C ．a 5>b 5D ．a 6>b 6解析：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由题可得d ＝－1，q ＝322，于是a 2＝3>b 2＝232. 答案：A2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝－36，S 13＝－104，等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7，则b 6的值为( )A ．±4 2B ．－4 2C ．4 2D ．无法确定解析：依题意得，S 9＝9a 5＝－36⇒b 5＝a 5＝－4，S 13＝13a 7＝－104⇒b 7＝a 7＝－8，所以b 6＝±4 2.答案：A3．(2012·青岛模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )A ．(2,4)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 D ．(－1，－1) 解析：由S 2＝10，S 5＝55，得2a 1＋d ＝10,5a 1＋10d ＝55，解得a 1＝3，d ＝4，可知直线PQ 的一个方向向量是(1,4)，只有⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－43与(1,4)平行，故选B.答案：B4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64 解析：依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.答案：D5．(2011·上海高考)设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件为( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同解析：∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，…. ∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n ＝q ，从而{A n }为等比数列．答案：D二、填空题6．(2011·江苏高考)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．解析：设a 2＝t ，则1≤t ≤q ≤t ＋1≤q 2≤t ＋2≤q 3，由于t ≥1，所以q ≥max{t ，t ＋1，3t ＋2}，故q 的最小值是33. 答案：337．(2011·陕西高考)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)．解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2 000米．答案：2 000三、解答题8．(2011·浙江高考)已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R)，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 22＝1a 1·1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，从而a 1d ＝d 2.因为d ≠0.所以d ＝a 1＝a .故通项公式a n ＝na .(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n，因为a 2n ＝2n a ，所以T n ＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝1a ·12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 从而，当a ＞0时，T n ＜1a 1；当a ＜0时，T n ＞1a 1. 9．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者总共有8 670人，则11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．解：设从11月1日起第n (n ∈N *,1≤n ≤30)日感染此病毒的新患者人数最多，则从11月1日至第n 日止，每日新患者人数依次构成一个等差数列，这个等差数列的首项为20，公差为50，前n 日的患者总人数即该数列前n 项之和S n ＝20n ＋n n －12·50＝25n 2－5n .从第n ＋1日开始，至11月30日止，每日的新患者人数依次构成另一等差数列，这个等差数列的首项为[20＋(n －1)·50]－30＝50n －60，公差为－30，项数为(30－n )，(30－n )日的患者总人数为T 30－n ＝(30－n )·(50n －60)＋30－n 29－n 2×(－30) ＝(30－n )(65n －495)＝－65n 2＋2 445n －14 850.依题意有S n ＋T 30－n ＝8 670，即(25n 2－5n )＋(－65n 2＋2 445n －14 850)＝8 670.化简整理得n 2－61n ＋588＝0，所以n ＝12，n ＝49，又1≤n ≤30，所以n ＝12.所以第12日的新患者人数为20＋(12－1)×50＝570，所以11月12日该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天新患者人数为570人． 10．已知函数f (x )＝a x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1，a n n 2 (n ∈N *)在函数f (x )＝a x的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋1－12a n ，若数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <5. 解：(1)∵函数f (x )＝a x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12， ∴a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x . 又点⎝⎛⎭⎪⎫n －1，a n n 2(n ∈N *)在函数f (x )＝a x 的图象上，从而a n n 2＝12n －1，即a n ＝n 22n －1(n ∈N *)． (2)由b n ＝n ＋122n －n 22n ＝2n ＋12n 得， S n ＝32＋522＋…＋2n ＋12n ，则12S n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12S n ＝32＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －2n ＋12n ＋1， ∴S n ＝5－2n ＋52n (n ∈N *)， ∴S n <5。

人教A版高中数学必修五数列综合训练题

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作数列综合训练题（）1．在等差数列}{n a 中，836a a a +=，则=9S （A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）以上都不对 A（）2．在等比数列}{n a 中，3a 和 5a 是二次方程 052=++kx x 的两个根，则642a a a 的值为（A ）55± （B ）55 （C ） 55- （D ）25 【答案】A（）３．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和。

已知)6(144,324,3666>===-n S S S n n 。

（）5. 由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列考查等差数列的性质．【答案】B （a 2+a 5）－（a 1+a 4）=（a 2－a 1）+（a 5－a 4）=2d ．（a 3+a 6）－（a 2+a 5）=（a 3－a 2）+（a 6－a 5）=2d ．依次类推．（）6. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是 A ．15(0,)2+ B ．15(,1]2- C ．15[1,)2+ D ．)251,251(++-【答案】D 设三边为2,,,a aq aq 则222a aq aq a aq aq aq aq a⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，即222101010q q q q q q ⎧--<⎪-+>⎨⎪+->⎩得1515221515,22q q R q q ⎧-+<<⎪⎪⎪∈⎨⎪-+--⎪><⎪⎩或，即151522q -++<<（）7. 在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对【答案】B 374,4,2,tan 2,a a d A =-===361,9,3,tan 33b b q B ==== tan tan()1C A B =-+=，,,A B C 都是锐角（）8．三个数c b a ,,成等比数列，且)0(>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（A ）]3,0[m （B ）]3,[m m -- （C ）)3,0(m （D ）]3,0()0,[m m ⋃- 【答案】D 解析：设bq c q b a ==,，则有bmq q b m bq b q b =++∴≠=++11,0, 。

人教A版高中数学必修五高二复习：数列单元测试题.docx

高中数学学习材料唐玲出品2013.9一：选择题（每题5分，共50分）1．等差数列}{n a 中，已知前15项的和9015=S ，则8a 等于………（）A ．245B ．12C ．445D ．62．等比数列{a n }中，如果817643=⋅⋅⋅a a a a ，则91a a ⋅的值为……（）A ．3B ．9C ．±3D ．±93.{}n a 为等差数列，2-=d ，5031741=++++a a a a ，则=++++421062a a a a ( ) (A). 60 (B). 82- (C). 182 ( D). 96-4、已知等比数列{a n } 的前n 项和为n S , 若S 4=1,S 8=4，则a 13+a 14+a 15+a 16=( ) A ．7 B ．16 C ．27 D ．645．数列}{n a 的前n 项和为n S ，若)(23*N n a S n n ∈+=，则这个数列一定是（） A ．等比数列B ．等差数列C ．从第二项起是等比数列D ．从第二项起是等差数列6．等差数列{a n }中，4,84111073=-=-+a a a a a .记n n a a a S +++= 21，S 13等于（）A ．168B ．156C ．152D ．787．在等比数列{a n }中，100992019109,),0(a a b a a a a a a +=+≠=+则等于（）A ．89abB ．9)(abC ．910abD ．10)(ab8．{}n a 是等差数列，S 10>0，S 11<0，则使n a <0的最小的n 值是（）A ．5B ．6C ．7D ．89．已知等差数列{a n }的前m 项和为100，前3 m 项的和为－150，则它的前2m 项的和为（）A ．25B ．—25C ．50D ．7510．．已知数列{}n a 的前n 项和)(3为常数k k S n n +=，那么下述结论正确的是（） A ．k 为任意实数时，{}n a 是等比数列 B ．k = －1时，{}n a 是等比数列C ．k =0时，{}n a 是等比数列D ．{}n a 不可能是等比数列设二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．43,)1(112161211=⋅+++++=+n n n S S n n S 且，则n 的值为 12．夏季某高山上的温度从山脚起，每升高100米降低0.7C ︒，已知山顶处的温度是14.8C ︒，山脚温度是26C ︒，则这山的山顶相对于山脚处的高度是13．设数列{a n }的前n 项和为=++++-=||||||,1410212a a a n n S n 则 14．等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为n S 、n T ，若77,322b a n n T S nn 则++==15．等比数列}{n a 公比为q ，前n 项和为n S ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 为数列单元过关答题纸一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题11、 12、 13、 14、 15、三、解答题（共75分）16.等比数列{a n }的前n 项和n S ，且a 3=23, S 3= 29,求n a 的表达式.17．数列{a n }的前n 项和为n S ，且11=a ，113n n a S +=，)2(≥n求:（I ）432,,a a a 的值及数列{a n }的通项公式；（II ）2462n a a a a ++++的值.18.数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足n n a S =2 .(n S －21)（1）求n S 的表达式；（2）设n b = 12+n S n ,求数列{}n b 的前n 项和n T19. 已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，已知,153,1193==S a（1）求n a ；（2）设n n b a 2log =，证明}{n b 是等比数列，并求其前n 项和T n .20．设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。

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