步步高高中数学步步高选修2-1 章末检测卷(二)

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步步高导学设计高中数学人教A版选修2-1配套练习2.1.2求曲线的方程(含答案详析)

2.1.2求曲线的方程一、基础过关1．若点M到两坐标轴的距离的积为2 012，则点M的轨迹方程是() A．xy＝2 012 B．xy＝－2 012C．xy＝±2 012 D．xy＝±2 012 (x>0)2．在第四象限内，到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是() A．x2＋y2＝4B．x2＋y2＝4 (x>0)C．y＝－4－x2D．y＝－4－x2(0<x<2)3．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是() A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2 (x≠±2) D．x2＋y2＝4 (x≠±2)4．与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是() A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1(x≠±1)C．y＝1－x2D．x2＋y2＝9(x≠0)5．已知A(2,5)、B(3，－1)，则线段AB的方程是__________________．6．“点M在曲线y＝|x|上”是“点M的两坐标轴距离相等”的__________条件．7．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|P A|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于() A．πB．4πC．8πD．9π二、能力提升8．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是() A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝09．若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程是__________．10．等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别为A(4，2)，B(－2，0)，A为顶点，求另一腰的一个端点C的轨迹方程．11．A为定点，线段BC在定直线l上滑动．已知|BC|＝4，A到l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程．12．已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．三、探究与拓展13.如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N)为切点，使得|PM|＝2|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．答案1．C 2.D 3.D4．B5．6x＋y－17＝0 (2≤x≤3)6．充分不必要7.B8．B9．y＝4x210．解设点C的坐标为(x，y)，∵△ABC为等腰三角形，且A为顶点．∴AB＝AC.又∵AB＝(4＋2)2＋22＝210，∴AC＝(x－4)2＋(y－2)2＝210.∴(x－4)2＋(y－2)2＝40.又∵点C不能与B重合，也不能使A、B、C三点共线．∴x≠－2且x≠10.∴点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝40 (x≠－2且x≠10)．11．解建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，点A在y轴上(如图所示)，则A(0,3)．设外心P(x，y)．∵点P在BC的垂直平分线上，∴B(x＋2,0)、C(x－2,0)．∵点P也在AB的垂直平分线上，∴|P A|＝|PB|，即x2＋(y－3)2＝22＋y2.化简得x2－6y＋5＝0.这就是所求的轨迹方程．12．解设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x －6，y ′＝3y .∵顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， ∴3y ＝(3x －6)2＋3，整理，得y ＝3(x －2)2＋1. 故所求轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1. 13．解以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，∴|PM |2＝2|PN |2.又∵两圆的半径均为1，∴|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，即(x －6)2＋y 2＝33.∴所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33 (或x 2＋y 2－12x ＋3＝0)．。

数学选修2-1期末考试卷及答案

高二数学选修2-1期末考试卷一、选择题（每小题5 分,共10小题,满分50分）1、对抛物线，下列描述正确的是A、开口向上,焦点为B、开口向上，焦点为C、开口向右，焦点为D、开口向右，焦点为2、已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件,那么是的A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3、在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点,若，，,则下列向量中与相等的向量是A、B、C、D、4、椭圆的一个焦点是，那么实数的值为A、B、C、D、5、空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1，0），B（—1，3，0），若点C 满足=α+β，其中α,βR，α+β=1，则点C的轨迹为A、平面B、直线C、圆D、线段6、已知=（1，2,3），=（3，0，-1),=给出下列等式：①∣∣=∣∣②=③= ④=其中正确的个数是A、1个B、2个C、3个D、4个7、设，则方程不能表示的曲线为A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、圆8、已知条件p：〈2，条件q：—5x-6<0,则p是q的A、充分必要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分又不必要条件9、已知函数f(x）=,若，则k的取值范围是A、0≤k〈B、0<k〈C、k〈0或k〉D、0〈k≤10、下列说法中错误．．的个数为①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；②若一个命题的否命题为假，则它本身一定为真；③是的充要条件；④与是等价的；⑤“”是“”成立的充分条件。

A、2B、3C、4D、5二、填空题(每小题6分，共6小题，满分36分）11、已知,（两两互相垂直)，那么= 。

12、以为中点的抛物线的弦所在直线方程为：．13、在△中，边长为，、边上的中线长之和等于．若以边中点为原点，边所在直线为轴建立直角坐标系，则△的重心的轨迹方程为: ．14、已知M1(2,5，—3），M2（3，-2，—5），设在线段M1M2的一点M满足=，则向量的坐标为。

【步步高】高中数学第一章章末检测新人教A版选修2-2

章末检测一、选择题1．一质点运动方程为S ＝20＋12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)，则t ＝3秒时的瞬时速度为 ( )A ．20 m/sB ．49.4 m/sC ．29.4 m/sD ．64.1 m/s2．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5 3．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋a ，其中a ≥16，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )有目仅有一个零点B ．f (x )至少有两个零点C ．f (x )最多有两个零点D ．f (x )一定有三个零点4．若f (x 0)存在且f ′(x 0)＝0，下列结论中正确的是( )A ．f (x 0)一定是极值B ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值C ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极小值D ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极大值5．定积分ʃ30x d x 等于( ) A.92 B ．9 C ．8 D ．36．一个弹簧压缩x cm 产生4x N 的力，那么将它从自然长度压缩0.05 m 做的功是( )A ．50 JB ．0.5 JC ．500 JD ．5 J7．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A.12 B ．1 C.32 D. 38．函数y ＝12x －2sin x 的图象大致是( )9．曲线y ＝e－2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为 ( )A.13B.12C.23 D ．110．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( ) A.827π B.1627π C.89π D.169π 11．已知函数f (x )＝ax 5－x (a <0)，若x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．一定大于零B ．一定小于零C ．等于零D ．不能确定 12．函数f (x )＝ʃx 0t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值二、填空题13．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.14．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．15．若1 N 的力使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________．16．若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是________．三、解答题 17．设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程．18．列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？19．已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c . (1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．20．设f (x )＝ʃ10|x 2－a 2|d x .(1)当0≤a ≤1与a >1时，分别求f (a )；(2)当a ≥0时，求f (a )的最小值．答案1．C 2．B 3．C 4．B 5．A 6．B 7．D 8．C 9．A 10．A11．B 12．B13．214．215．0.36 J16．(－1,0]17．解 (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a .∵f (x )在x ＝3处取得极值，∴f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0，解得a ＝3.∴f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8.(2)A 点在f (x )上，由(1)可知f ′(x )＝6x 2－24x ＋18， f ′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y －16＝0.18．解因为a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s.设t 秒后的速度为v ，则v ＝v 0＋ʃt 0a d t＝20－ʃt00.4d t ＝20－0.4t ，当列车停止时v ＝0，解得t ＝50 s.设列车由开始制动到停止所走过的路程为s .则s ＝ʃ500v (t )d t ＝ʃ500(20－0.4t )d t＝500 (m)．故列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动．19．解 (1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0，即3x2－x ＋b ≥0，∴b ≥x －3x 2在(－∞，＋∞)上恒成立．设g (x )＝x －3x 2.当x ＝16时，g (x )max ＝112，∴b ≥112. (2)由题意知f ′(1)＝0，即3－1＋b ＝0，∴b ＝－2. x ∈[－1,2]时，f (x )<c 2恒成立，只需f (x )在[－1,2]上的最大值小于c 2即可．∵f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－23.∵f (1)＝－32＋c ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2227＋c ，f (－1)＝12＋c ，f (2)＝2＋c .∴f (x )max ＝f (2)＝2＋c ，∴2＋c <c 2.解得c >2或c <－1，∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．20．解 (1)0≤a ≤1时，f (a )＝ʃ10|x 2－a 2|d x ＝ʃa 0(a 2－x 2)d x ＋ʃ1a (x 2－a 2)d x＝(a 2x －13x 3)|a 0＋(x 33－a 2x )|1a ＝a 3－a 33－0＋0＋13－a 2－a 33＋a 3 ＝43a 3－a 2＋13. 当a >1时，f (a )＝ʃ10(a 2－x 2)d x ＝(a 2x －13x 3)|10＝a 2－13. ∴f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 43a 3－a 2＋13 0≤a ，a 2－13 a(2)由于f (a )＝a 2－13在[1，＋∞)上是增函数，故f (a )在[1，＋∞)上的最小值是f (1)＝1－13＝23. 当a ∈[0,1]时，f ′(a )＝4a 2－2a ＝2a (2a －1)，由f ′(a )>0知：a >12，故在[0，12]上递减，在[12，1]上递增．因此在[0,1]上，f (a )的最小值为 f (12)＝14.综上可知，f (x )在[0，＋∞)上的最小值为14.。

2019年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末检测新人教A版选修2-1

章末检测(二) 圆锥曲线与方程时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是( )A. 3 B ． 6 C ．3D ．6解析：双曲线的焦点到渐近线的距离等于b ，即b ＝ 6. 答案：B2．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．4 B ．6 C ．7D ．8解析：由渐近线方程y ＝32x ，且b ＝3，得a ＝2，由双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝4，又|PF 1|＝3，∴|PF 2|＝7. 答案：C3．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点 D ．以上答案都不对解析：(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.答案：C4．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：A5．已知椭圆x2a 2＋y22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1 B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1D.x 26＋y 22＝1 解析：由题意知，椭圆焦点在x 轴上，且c ＝2， ∴a 2＝2＋4＝6，因此椭圆方程为x 26＋y 22＝1，故选D.答案：D6.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析：由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝k >|OF |， ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆．答案：A7．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF |＝5，则△MPF 的面积为( ) A ．5 6 B.2534C ．20D ．10解析：由题意，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则|PF |＝|PM |＝y 204＋1＝5，所以y 0＝±4，所以S △MPF ＝12|PM |·|y 0|＝10.答案：D8．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)，即4x ＋6y －7＝0，选B.答案：B9．已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝2(x －1) B ．y 2＝4(x －1) C ．y 2＝x －1D ．y 2＝12(x －1)解析：设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋22y ＝y2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2y 0＝2y，由于y 20＝x 0，所以4y 2＝2x －2，即y 2＝12(x －1)．答案：D10．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( ) A ．0 B ．2C ．4D ．－2解析：易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大．此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)， ∴PF 1→·PF 2→＝－2. 答案：D11．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为( ) A ．2 B ．3 C.52D.32解析：由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时，为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2. 答案：A12．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，94B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由题意：B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，∴k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a ＝1－e ，∴13<1－e <12，∴12<e <23，故选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的两个焦点，若椭圆上一点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆的离心率e ＝________.解析：由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝4，所以2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝1，所以e ＝c a ＝12.答案：1214．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．解析：由双曲线的方程可知a ＝1，c ＝2， ∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， ∴|PF 1|2－2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4， ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2＝8， ∴2|PF 1||PF 2|＝4，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝8＋4＝12， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 答案：2 315．过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则|AF ||FB |＝________.解析：由题意可得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，与x 2＝2py 联立得A ，B 两点的横坐标为x A ＝－33p ，x B ＝3p ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33p ，16p ，B ⎝⎛⎭⎪⎫3p ，32p ，所以|AF |＝23p ，|BF |＝2p ，所以|AF ||BF |＝13.答案：1316. 已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |，∴|FA |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)如果直线l 过定点M (1,2)且与抛物线y ＝2x 2有且只有一个公共点，求直线l 的方程．解析：①当直线l 的斜率不存在时，x ＝1与对称轴平行，有一个交点；②当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y －2＝k (x －1)，与y ＝2x 2联立，得2x 2－kx ＋k －2＝0，由Δ＝k 2－8(k －2)＝0得k ＝4，所以直线l 的方程为y ＝4x －2.综上，直线l 的方程为x ＝1或y ＝4x －2.18．(12分)已知双曲线的中心在原点，过右焦点F (2, 0)作斜率为 35的直线，交双曲线于M ，N 两点，且|MN |＝4，求双曲线方程．解析：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由右焦点为F (2,0)知c ＝2，b 2＝4－a 2，则双曲线方程为x 2a 2－y 24－a 2＝1.直线MN 的方程为：y ＝35(x －2)，代入双曲线方程整理，得 (20－8a 2)x 2＋12a 2x ＋5a 4－32a 2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12a 220－8a 2，x 1x 2＝5a 4－32a220－8a 2.∴|MN |＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫352×x 1＋x 22－4x 1x 2＝85× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a 220－8a 22－4·5a 4－32a 220－8a 2＝4. 解得：a 2＝1，∴b 2＝4－1＝3. 故所求双曲线方程为：x 2－y 23＝1. 19．(12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点F 在x 轴正半轴上，且过点P (2,2)，过F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．(1)求抛物线的方程；(2)设直线l 是抛物线的准线，求证：以AB 为直径的圆与准线l 相切．解析：(1)设抛物线y 2＝2px (p >0)，将点(2,2)代入得p ＝1. ∴y 2＝2x 为所求抛物线的方程．(2)证明：设l AB 的方程为：x ＝ty ＋12，代入y 2＝2x 得：x 2－(1＋2t 2)x ＋14＝0，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝1＋2t 22.∴点M 到准线l 的距离d ＝x 0＋12＝1＋2t 22＋12＝1＋t 2，又AB ＝x 1＋x 2＋p ＝1＋2t 2＋1＝2＋2t 2，∴d ＝12AB ，故以AB为直径的圆与准线l 相切．20．(12分)正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．解析：如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0.因为x 1>0，x 2>0,2p >0，所以x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|，即点A ，B 关于x轴对称．由此得∠AOx ＝30°，所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立，解得y 1＝23p .所以|AB |＝2y 1＝43p .21．(13分)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解析：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M ，N 的坐标分别为M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1， ①∴x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk. 又|AM |＝|AN |， ∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2. 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上可得，m 的取值范围是12<m <2.点P⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 22．(13分)已知椭圆E 的方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其右焦点为F 2(1,0)，上．(1)求椭圆E 的方程；(2)过椭圆E 的左顶点A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆E 交于(不同于点A 的)两点M ，N .问：直线MN 是否一定经过x 轴上一定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．解析：(1)∵椭圆E 的右焦点为F 2(1,0)，∴c ＝1，左焦点为F 1(－1,0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上． ∴2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝4. ∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 3. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知A 点坐标为(－2,0)，设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋3x 2＋4y 2＝12⇒(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2，同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2－83k 2＋4，－12k 3k 2＋4. 若6－8k 23＋4k 2＝6k 2－83k 2＋4，则得k 2＝1，即直线MN 的方程为x ＝－27，此时过x 轴上一点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.当k 2≠1时，假设直线MN 过x 轴上一定点Q ′(m,0)，则Q ′M →∥NQ ′→，又Q ′M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 23＋4k2－m ，12k 3＋4k 2，NQ ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6k 2－83k 2＋4，12k 3k 2＋4，则由Q ′M →∥NQ ′→，解得m ＝－27.∴直线MN 过x 轴上一定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0.。

【步步高】高中数学章末检测一同步训练新人教B版选修2-1

章末检测一、选择题1．下列语句中，是命题的个数是( )①|x＋2|；②－5∈Z；③π∉R；④{0}∈N.A．1 B．2 C．3 D．42．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是( ) A．p且q B．p或qC．非p D．非p且非q3．已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假D．命题“綈p且綈q”为假4．下列命题，其中说法错误的是( ) A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．“x2－3x－4＝0”是“x＝4”的必要不充分条件C．若p∧q是假命题，则p，q都是假命题D．命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，都有x2＋x＋1≥05．等比数列{a n}的公比为q，则“a1>0且q>1”是“∀n∈N＋，都有a n＋1>a n”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．若命题p：x＝2且y＝3，则綈p为( ) A．x≠2或y≠3 B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y＝37．(2012·山东)设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．(2012·重庆)命题“若p 则q ”的逆命题是( )A ．若q 则pB ．若綈p 则綈qC ．若綈q 则綈pD ．若p 则綈q 9．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a >110．已知a 、b ∈R ，那么“0<a <1且0<b <1”是“ab ＋1>a ＋b ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：肖像不在金盒里．p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在( )A ．金盒B ．银盒C ．铅盒D ．无法判断 12．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，若A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m >0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，则点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )A ．m >－1，n <5B ．m <－1，n <5C ．m >－1，n >5D ．m <－1，n >5二、填空题13．命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是______．14．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为__________________．15．设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －1x ＋1<0，B ＝{x ||x －b |<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是______________________________________．16．在下列四个命题中，真命题的个数是________．①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0；②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数； ③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.17．写出命题“若x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．18．写出下列命题的“綈p”命题，并判断它们的真假．(1)p：∀x，x2＋4x＋4≥0.(2)p：∃x0，x20－4＝0.19．求证：“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件．20．设p：关于x的不等式a x>1 (a>0且a≠1)的解集为{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x ＋a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围．21．(1)设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？(2)求使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要条件．22．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0，且綈p是綈q的必要非充分条件，求a的取值范围．答案1．C 2．B 3．C 4．C 5．A 6．A 7．A 8．A 9．C 10．A 11．B 12．A13．存在x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤314．若a ≤b ，则2a ≤2b－115．(－2,2)16．417．解逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题．否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1，真命题．逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题．18．解 (1)綈p ：∃x 0，x 20＋4x 0＋4<0是假命题．(2)綈p ：∀x ，x 2－4≠0是假命题．19．证明充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x ＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝－1，两直线互相垂直．必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝－1，所以a ＋2b ＝0；若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0.所以，a ＋2b ＝0. 综上，“a ＋2b ＝0”是“直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直”的充要条件．20．解当p 真时，0<a <1，当q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1－4a 2<0，即a >12， ∴p 假时，a >1，q 假时，a ≤12. 又p 和q 有且仅有一个正确．当p 真q 假时，0<a ≤12，当p 假q 真时，a >1.综上得，a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)．21．解 (1)“x ∈M 或x ∈P ”⇒x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)．因为“x ∈M 或x ∈P ”D ⇒/x ∈(M ∩P )，但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0.又m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立．故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.22．解设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0 (a <0)}＝{x |3a <x <a (a <0)}B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8>0}＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x <－4或x >2}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要非充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈pD ⇒/綈q .则{x |綈q }{x |綈p }，而{x |綈q }＝∁R B ＝{x |－4≤x <－2}，{x |綈p }＝∁R A ＝{x |x ≤3a 或x ≥a (a <0)}，∴{x |－4≤x <－2}{x |x ≤3a 或x ≥a (a <0)}，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3 a ≥－2 a <0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4a <0，即－23≤a <0或a ≤－4.。

新高一步步高必修一章末检测试卷（二）

章末检测试卷（二）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.给定下列命题：A11①">/?习。

2>。

2；②。

2>人2=^>人；③④其中正确的命题个数是（）A.OB.1C.2D.3答案A解析对于①，当。

=1,b=—2时，。

>仞但/<屏，故①错误；对于②，当QV0<0时，。

2>力2也成立，故②错误；b对于③，只有当a>0且a>》时，£<1才成立，故③错误；当a>0,人<0时，④错误.2.已知a>l,b>l,记心=土+，，则M与N的大小关系为（）A.M>NB.M=NC.M<ND.不确定答案A解析M=粕咛士*,故选A.Y-- 13.不等式E<°的解集为（）A.{x\x>l}B.{x\x<~2）C.（x|~2<x<l）D.{x|Ql或x<~2}答案C解析原不等式等价于（x—l）（x+2）<0,则原不等式的解集为{x|—2<尤<1}・4.不等式一3^+7x~2<0的解集为（）A.jx||<x<2jB.jx|x<^^x>2jC.|x|~2<x<~3ID.{x\x>2}答案B解析不等式一3*+7工一2<0可化为—7x+2>0,方程3a2—7尤+2=0的两根为由=?,X2=2,则不等式3/—7x+2>0的解集是"或x>2 ],故选B.5.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x 件，则平均仓储时间为言天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储 O费用之和最小，则每批应生产产品（）A. 60 件B. 80 件C. 100 件D. 120 件答案B解析设每件产品的平均费用为y 元，由题意得尸M+砂2\^r§=20.Qnn r当且仅当芋=§3>。

步步高高中数学步步高选修2-1 第二章 2.2.2(二)

2．2.2 椭圆的简单几何性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识．知识点一点与椭圆的位置关系思考点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)有几种位置关系？答案点P 与椭圆有三种位置关系：在椭圆外、在椭圆内、在椭圆上．梳理设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示：知识点二思考1 直线与椭圆有几种位置关系？答案有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？答案联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程梳理 (1)将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离． (2)根与系数的关系及弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，将y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 代入上式，得AB ＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2＝(x 1－x 2)2＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，所以AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1·x 2均可由根与系数的关系得到．(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.例如，直线l ：y ＝k (x －2)＋1和椭圆x 216＋y 29＝1.无论k 取何值，直线l 恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交.类型一直线与椭圆的位置关系例1 (1)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交． (2)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．解由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.反思与感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程 (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点． (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点． (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．跟踪训练1 (1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( )A ．1B ．1或2C ．2D ．0(2)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33答案 (1)C (2)C解析 (1)因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)236<1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l 与椭圆有2个公共点． (2)把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63.类型二直线与椭圆的相交弦问题例2 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ (x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)方法一设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.方法二设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1)，由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练2 如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k 2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2，由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1. 类型三椭圆中的最值(或范围)问题例3 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x . 反思与感悟求最值问题的基本策略(1)求解形如|P A |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|P A |＋|PB |取得最值．(2)求解形如|P A |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练3 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM→＝0，求|PM →|的最小值．解由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心， 1为半径的圆上运动，∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2＝|P A →|2－1，∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜ 2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1答案 A解析由题意知a 24＋12＜1，解得－2＜a ＜ 2.2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交答案 C解析把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．3．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32 C ．1 D.3 答案 B解析椭圆的右焦点为F (1,0)，由点到直线的距离公式得d ＝33＋1＝32.选B. 4．椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( )A ．3 B.11 C ．2 2 D.10答案 D解析设与直线x ＋2y －2＝0平行的直线为x ＋2y ＋m ＝0与椭圆联立得，(－2y －m )2＋4y 2－16＝0，即4y 2＋4my ＋4y 2－16＋m 2＝0得2y 2＋my －4＋m 24＝0.Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫m24－4＝0, 即－m 2＋32＝0， ∴m ＝±4 2.∴两直线间距离最大是当m ＝42时， d max ＝|2＋42|5＝10. 5．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB |＝________.答案423解析由题意⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，解得A ，B 两个不同的点的坐标分别为(0,1)，⎝⎛⎭⎫－43，－13，故|AB |＝ 169＋169＝4 23.(1)点P (x 0，y 0)和椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的关系①P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；②P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；③P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.(2)如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2a，称为通径．(3)如图，P 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝θ，则△F 1PF 2的面积为b 2·tan θ2.(4)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 2a 2＋y 2b2＝k (k >0)有相同的离心率．一、选择题1．线段|AB |＝4，N 为AB 的中点，动点P 满足条件|P A |＋|PB |＝6，当P 点在同一平面内运动时，|PN |的最大值M ，最小值m 分别是( ) A ．M ＝4，m ＝ 3 B ．M ＝3，m ＝ 5 C ．M ＝5，m ＝ 5 D ．M ＝3，m ＝ 3答案 B解析由|P A |＋|PB |＝6>|AB |＝4，∴P 的轨迹是以A 、B 为焦点，N 为中心的椭圆．则M ＝|PN |max ＝a ＝3，m ＝|PN |min ＝b ＝a 2－c 2＝9－4＝ 5.2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73 C.⎝⎛⎭⎫－23，13 D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 答案 C解析把y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得3x 2＋4x －2＝0，所以弦的中点坐标(x 0，y 0)满足x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝－23＋1＝13.3．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( ) A ．2 B ．2或83C ．2或6D ．2或8答案 D解析显然m >0且m ≠4，当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8. 4．已知F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使|PF 1|·|PF 2|取最大值的点P 为( ) A ．(－2,0) B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(0,1)或(0，－1)答案 D解析由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4， ∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝4，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2，即P (0，－1)或(0,1)时，取“＝”．5．已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( ) A ．1 B. 2 C.32 D. 3答案 D解析由题意知a ＝2，所以|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因为|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，所以|AB |的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A ⎝⎛⎭⎫－c ，32，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－32，代入椭圆方程得c 24＋94b 2＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以4－b 24＋94b 2＝1，即1－b 24＋94b 2＝1，所以b 24＝94b2，解得b 2＝3，所以b ＝ 3. 6．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，c >0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且c 2＝a 2－b 2.若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( ) A ．[12，1)B ．(0，12]C ．[22，1) D ．(0，22] 答案 B解析圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部， ∴只需⎩⎪⎨⎪⎧2c ≤a ，c 2a 2＋c 2b 2≤1，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ≤12，e 4－3e 2＋1≥0，结合e ∈(0,1)，可得0<e ≤12.7．已知椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y ＝1相交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OM 的斜率为2，则nm 的值为( )A.22 B.12C. 2 D ．2 答案 A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点M (x 0，y 0)，由题意可得y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 0x 0＝2，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，①因为A ，B 在椭圆上，所以mx 21＋ny 21＝1，mx 22＋ny 22＝1，两式相减可得m (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋n (y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.② 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－m (x 1＋x 2)n (y 1＋y 2)，即－1＝－m (x 1＋x 2)n (y 1＋y 2)，所以－1＝－m n ·22，即n m ＝22.二、填空题8．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________．答案 2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧p ＋r ＝a －c ，q ＋r ＝a ＋c ， ∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )，∴2b ＝2(p ＋r )(q ＋r ).9．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．答案 2解析因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，所以|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4，即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．10．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．答案 23或38解析依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k2. 由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2. 由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，由此解得k ＝23或k ＝38. 三、解答题11．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率． (1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4. 故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1. (2)方法一 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA 及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .方法二 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2. 由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2. 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，离心率为63.过点F 2的直线l (斜率不为0)与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝6，b ＝ 2.故椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1. (2)由题意可知直线l 的斜率存在．设其方程为y ＝k (x －2)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (－x 3，－y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 26＋y 22＝1，y ＝k (x －2)，得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，则x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k 1＋3k 2，所以AB 的中点D 的坐标为(6k 21＋3k 2，－2k 1＋3k 2)，因此直线OD 的方程为x ＋3ky ＝0(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3ky ＝0，x 26＋y 22＝1，解得y 23＝21＋3k 2，x 3＝－3ky 3，因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以F 2M →·F 2N →＝0.即(x 3－2，y 3)·(－x 3－2，－y 3)＝0，所以4－x 23－y 23＝0，所以4－2(9k 2＋1)1＋3k 2＝0.解得k ＝±33. 故直线l 的方程为y ＝±33(x －2)． 13．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程．解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，所以1a 2＋94b2＝1.① 又因为离心率为12，所以c a ＝12，所以b 2a 2＝34.② 解①②得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线的倾斜角为π2时， A (－1，32)，B (－1，－32)， 2ABF S ＝12|AB |×|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227. 当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)，代入x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3， x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以2ABF S＝12|y 1－y 2|×|F 1F 2| ＝|k |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝|k | (－8k 24k 2＋3)2－4·4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227，所以17k 4＋k 2－18＝0，解得k 2＝1(k 2＝－1817舍去)，所以k ＝±1，所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。

步步高高中数学步步高选修2-1 第二章 2.4.2

2.4.2 抛物线的简单几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一抛物线的范围思考观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x 轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ (2)根据图形及抛物线方程y 2＝2px (p >0)如何确定横坐标x 的范围？答案 (1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心．(2) 由抛物线y 2＝2px (p >0)有⎩⎪⎨⎪⎧2px ＝y 2≥0，p ＞0，所以x ≥0.所以抛物线x 的范围为x ≥0.抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，︱y ︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．知识点二抛物线的对称性、准线方程抛物线四种形式的性质如下表所示：直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝2px 解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行或垂直，此时直线与抛物线有1个公共点．类型一抛物线的性质应用例1 (1)已知抛物线y 2＝8x ，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围． (2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．解 (1)抛物线y 2＝8x ，p ＝4，所以顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围分别为(0,0)，(2,0)，x ＝－2，x 轴，x ≥0.(2)椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3,∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ，其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3.反思与感悟把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1.跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程．解由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上．故可设抛物线方程为：y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称， ∴点A 与B 关于x 轴对称， ∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23， ∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4，得x 2＋3＝4，∴x ＝±1，∴A (±1，3)或A (±1，－3)，代入抛物线方程，得： (3)2＝±a ，∴a ＝±3.∴所求抛物线方程是：y 2＝3x 或y 2＝－3x . 类型二抛物线的焦半径和焦点弦问题例2 (1)过抛物线y 2＝8x 的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________． (2) 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________．(3)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________________．答案 (1)16 (2)x ＋y －1＝0或x －y －1＝0 (3)72解析 (1)由抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x －2，代入y 2＝8x 得(x －2)2＝8x 即x 2－12x ＋4＝0. 所以x 1＋x 2＝12，弦长为x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16. (2)∵抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，若l 与x 轴垂直，则|AB |＝4，不符合题意， ∴可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，∴2k 2＋4k2＝6，解得k ＝±1.∴所求直线l 的方程为y ＋x －1＝0或x －y －1＝0.(3)抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，又准线方程为x ＝－1，因此点M 到抛物线准线的距离为 52＋1＝72.反思与感悟 (1)抛物线上任一点P (x 0，y 0)与焦点F 的连线得到的线段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为： ①抛物线y 2＝2px (p >0)，|PF |＝|x 0＋p 2|＝p2＋x 0；②抛物线y 2＝－2px (p >0)，|PF |＝|x 0－p 2|＝p2－x 0；③抛物线x 2＝2py (p >0)，|PF |＝|y 0＋p 2|＝p 2＋y 0；④抛物线x 2＝－2py (p >0)，|PF |＝|y 0－p 2|＝p2－y 0.(2)已知AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：①y 1·y 2＝－p 2，x 1·x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为直线AB 的倾斜角)；③S △ABO ＝p 22sin θ(θ为直线AB 的倾斜角)；④1|AF |＋1|BF |＝2p； ⑤以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p .跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离．解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°，所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝⎛⎭⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6.于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.类型三抛物线中的最值问题例3 如图，已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点．若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求|MN |的最小值．解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1. 同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以|MN |＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝82k 2＋1|4k －3|，令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，|MN |＝2 225t 2＋6t＋1>2 2.当t <0时，|MN |＝2 2⎝⎛⎭⎫5t ＋352＋1625≥852. 综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，|MN |的最小值是852.反思与感悟 (1)利用抛物线的定义进行转化，然后利用图形的几何特征进行处理． (2)建立目标函数，然后利用函数的相关性质求最值．如已知M (a,0)为抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上的一个定点，在抛物线上求一点N 使得|MN |最小．其解法为：设y 2＝2px (p >0)上一点为N (x 0，y 0)，则y 20＝2px 0，故|MN |2＝(x 0－a )2＋y 20＝x 20－2ax 0＋a 2＋2px 0＝[x 0－(a －p )]2－p2＋2ap (x 0≥0)．①当a >p 时，x 0＝a －p 使|MN |最小，则N (a －p ， ±2p (a －p ))．②当a ≤p 时，x 0＝a 使|MN |最小，则N (0,0)．(3)除了上述几何法、二次函数法解决此类问题外，还要注重不等式方法的应用及利用函数的单调性求解最值问题．跟踪训练3 抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值是( ) A.12 B.22C.32D.223答案 B解析抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，如图，过P 作PN 垂直x ＝－1于N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |，连接P A ，在Rt △P AN 中，sin ∠P AN ＝|PN ||P A |，当|PN ||P A |＝|PF ||P A |最小时，sin ∠P AN 最小，即∠P AN 最小，即∠P AF 最大，此时，P A 为抛物线的切线，设P A 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，所以∠P AF ＝∠NP A ＝45°， |PF ||P A |＝|PN ||P A |＝cos ∠NP A ＝22，故选B.1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12y D ．y 2＝±6y答案 C解析对称轴为y 轴可设抛物线方程为x 2＝my (m ≠0)，又∵⎪⎪⎪⎪m 4＝3，∴m ＝±12.∴抛物线方程为x 2＝±12y . 2．设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦为AB ，则|AB |的最小值为( ) A.p 2 B ．p C ．2p D ．无法确定答案 C解析由题意得当AB ⊥x 轴时，|AB |取最小值，最小值为2p . 3．已知直线y ＝kx －k 及抛物线y 2＝2px (p >0)，则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没有公共点答案 C解析 ∵直线y ＝kx －k ＝k (x －1)，∴直线过点(1,0)，又点(1,0)在抛物线y 2＝2px 的内部，∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点． 4．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝3FQ →，则|QF |等于( ) A.83 B.43 C ．2 D ．1 答案 B解析焦点为F (1,0)，准线l ：x ＝－1，设点P (－1，m )，设点Q (x 0，y 0)，FP →＝(－2，m )， FQ →＝(x 0－1，y 0)，根据FP →＝3FQ →，求解得到|QF |＝43，故选B.5．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，M 是抛物线C 的一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为________________．答案 y 2＝8x解析由题意，得F (p 2，0)，准线方程为x ＝－p2，∵|MF |＝4|OF |，∴|MF |＝2p ， ∴M 的横坐标为2p －p 2＝3p2，∴M 的纵坐标为y ＝±3p ， ∵△MFO 的面积为43， ∴12×p2×3p ＝43，即p ＝4，抛物线的方程为y 2＝8x .(1)已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向 .一次项的变量如果为x (或y )，那么x 轴(或y 轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向．例如抛物线的方程为x 2＝－2y ，则y 轴为对称轴，开口方向和y 轴正方向相反．(2)由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p .(3)画图时特别注意不要把抛物线看成双曲线的一支．(4)解决直线与抛物线相交问题时，一般常将直线方程代入抛物线的方程中得到一元二次方程，这个方程的两个根就是交点的横(纵)坐标，利用根与系数的关系可以解决弦中点、弦长、轨迹等问题．(5)解决弦长问题时，应注意所给弦是否过焦点．(6)解决中点弦问题的思路一般有两种：一是用根与系数的关系解，二是用“点差法”解决，其中“点差法”用的较多．一、选择题1．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8 答案 C解析设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)，抛物线的准线为x ＝－4，且|AB |＝43，故可得A (－4,23)，B (－4，－23)，将点A 坐标代入双曲线方程得a 2＝4，故a ＝2，故实轴长为4.2．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( ) A.15 B ．215 C.152D ．15答案 A解析令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，y 2＝12x ，得4x 2－8x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴|AB |＝(1＋22)(x 1－x 2)2 ＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝15.3．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) A.43 B.75 C.85 D ．3答案 A解析设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23时，取得最小值为43.4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其上的三个点A ，B ，C 的横坐标之比为3∶4∶5，则以|F A |，|FB |，|FC |为边长的三角形( ) A ．不存在 B ．必是锐角三角形 C ．必是钝角三角形 D ．必是直角三角形答案 B解析设A ，B ，C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 1＝3k ，x 2＝4k ，x 3＝5k (k >0)，由抛物线定义得|F A |＝p 2＋3k ，|FB |＝p 2＋4k ，|FC |＝p2＋5k ，易知三者能构成三角形，|FC |所对角为最大角，由余弦定理可证该角的余弦值为正数，故该三角形必是锐角三角形．5．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2 答案 B解析因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，所以易得A ，B 两点的坐标分别为(2p,2p )和(2p ，－2p )．所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.6．已知点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，则z ＝x 2＋12y 2＋3的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．0 答案 B解析因为点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，所以x ≥0，因为z ＝x 2＋12y 2＋3＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，所以当x ＝0时，z 最小，其值为3.7．设F 为抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交曲线C 于A ，B 两点(B 点在第一象限，A 点在第四象限)，O 为坐标原点，过A 作C 的准线的垂线，垂足为M ，则|OB |与|OM |的比值为( ) A. 3 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析如图所示：抛物线的焦点坐标为(p 2，0)，x ＝－p 2，直线AB 的方程为y ＝tan 60°(x －p 2)＝3(x －p 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3(x －p 2)，y 2＝2px消去y 并整理，得3x 2－5px ＋34p 2＝0，解得x ＝3p 2或x ＝p 6，将x ＝3p 2或x ＝p 6代入抛物线的标准方程得， A (p 6，－33p )，B (3p 2，3p )， |OM |＝ (p 2)2＋(－33p )2＝712p ， |OB |＝(3p 2)2＋(3p )2＝214p ，故|OB ||OM |＝3，故选C. 二、填空题8．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影为A 1、B 1，则∠A 1FB 1＝________.答案 90°解析如图，由抛物线定义知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以∠AA 1F ＝∠AF A 1，又∠AA 1F ＝∠A 1FO ，所以∠AF A 1＝∠A 1FO ，同理∠BFB 1＝∠B 1FO ，于是∠AF A 1＋∠BFB 1＝∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝∠A 1FB 1.故∠A 1FB 1＝90°.9．已知直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点且与抛物线相交，其中一交点为(2p,2p )，则其焦点弦的长度为________．答案 25p 8解析由题意知直线l 过(p 2，0)和(2p,2p )，所以l ：y ＝43(x －p 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝43(x －p 2)，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝17p 8，所以焦点弦的长度为x 1＋x 2＋p ＝25p 8. 10．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．答案 y 2＝4x解析设抛物线方程为y 2＝kx ，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得x 2－kx ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),∴x 1＋x 2＝k .又∵P (2,2)为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝2. ∴k ＝4.∴y 2＝4x .三、解答题11．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O .证明因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为x＝my ＋p 2，代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0. 若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2.因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p 2上，所以点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫－p 2，y 2，故直线CO 的斜率为k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率，所以A ，O ，C 三点共线，所以直线AC 经过原点O .12．已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由题意知直线l 的方程为x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p 2， ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③由①，②，③及p >0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，则抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)，得x 2－4kx －16k ＝0，④∴x 0＝x C ＋x B 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . ∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k(x －2k )， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k >0得：k >0或k <－4.∴b ∈(2，＋∞)．13．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则称AB 为抛物线的焦点弦．求证：(1)y 1y 2＝－p 2；x 1x 2＝p 24； (2)1|F A |＋1|FB |＝2p； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明如图所示．(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程：x ＝－p 2. 设直线AB 的方程为x ＝ky ＋p 2，把它代入y 2＝2px ，化简，得y 2－2pky －p 2＝0.∴y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝(y 1y 2)24p 2＝(－p 2)24p 2＝p 24. (2)根据抛物线定义知|F A |＝|AA 1|＝x 1＋p 2，|FB |＝|BB 1|＝x 2＋p 2， ∴1|F A |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝22x 1＋p ＋22x 2＋p ＝2(2x 2＋p )＋2(2x 1＋p )(2x 1＋p )(2x 2＋p )＝4(x 1＋x 2)＋4p 4x 1x 2＋2p (x 1＋x 2)＋p 2＝4(x 1＋x 2＋p )2p (x 1＋x 2＋p )＝2p . (3)设AB 中点为C (x 0，y 0)，过A 、B 、C 分别作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1.则|CC 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB|.∴以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切．。

【步步高】高中数学章末检测一北师大版选修1-2

章末检测一、选择题1．下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )A ．瑞雪兆丰年B ．名师出高徒C ．吸烟有害健康D ．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧2．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵截距是a ，那么必有 ( )A ．b 与r 的符号相同B ．a 与r 的符号相同C ．b 与r 的相反D ．a 与r 的符号相反3．某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成份含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得：∑8i ＝1x i ＝52，∑8i ＝1y i ＝228，∑8i ＝1x 2i ＝478，∑8i ＝1x i y i ＝1 849，则y 与x 的线性回归方程是( )A ．y ＝11.47＋2.62xB ．y ＝－11.47＋2.62xC ．y ＝2.62x ＋11.47xD ．y ＝11.47－2.62x4．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程y ＝7.19x ＋73.93，用此方程预测10岁时的身高，有关叙述正确的是( )A ．身高一定为145.83 cmB ．身高大于145.83 cmC ．身高小于145.83 cmD ．身高在145.83 cm 左右 5．下列是x 与y 之间的一组数据则y 关于x( )A ．(32，4)B ．(32，2)C ．(2,2)D ．(1,2)6．为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9 965人，得到如下结果(单位：人)( )A ．90%B ．95%C ．99%D ．100%=7．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：( )A ．80%B ．90%C ．95%D ．99%8．甲、乙二人分别对一目标射击一次，记“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B .则在A 与B ，A 与B 、A 与B 、A 与B 中，满足相互独立的有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 9．下列说法中正确的是( )①独立性检验的结论是带有概率性质的；②独立性检验就是选取一个假设H 0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H 0的推断；③独立性检验一定能给出明确的结论． A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③10．两个分类变量X 与Y ，可能的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数满足a ＝10，b＝21，c ＋d ＝35，若X 与Y 有关系的可信程度为90%，则c 的值可能等于 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．711．某调查机构调查教师工作压力大小的情况，部分数据如表：( ) A．0.01 B．0.05 C．0.10 D．0.005二、填空题12．对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据已求得线性回归方程的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条线性回归方程为________．13．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：班级与成绩列联表则统计量χ214．从某地区老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：15．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②线性回归方程y＝bx＋a必过点(x，y)；③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；④在一个2×2列联表中，由计算得χ2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误的是________．(填序号)三、解答题16．5个学生的数学成绩x与物理成绩y如下表，求其相关系数.17．含杂质的关系，调查结果如下表所示.18．在一段时间内，某种商品的价格x(元)和需求量y(件)之间的一组数据为：已知x与y19．某聋哑研究机构，对聋与哑是否有关系进行抽样调查，在耳聋的657人中有416人哑，而在另外不聋的680人中有249人哑，你能运用这组数据，得到相应结论吗？请运用独立性检验进行判断．20．某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，于是该单位领导决定在餐厅墙壁上张贴文明标语看是否有效果，并对文明标语张帖前后餐椅的损坏情况作了一个统计，具体数据如下：21．测得某国10对父子身高(单位：英寸)如下：(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程；(3)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．答案1．D 2.A 3.A 4.D 5.A 6.C 7.B 8．D 9.A 10.B 11.B 12．y ＝－10＋6.5x 13．0.600 14．90% 15．③④16．解由表中给出的数据可以得出：x ＝70，y ＝66，∑5i ＝1x 2i ＝24 750， ∑5i ＝1y 2i ＝21 820，∑5i ＝1x i y i ＝23 190， ∴r ＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x2∑5i ＝1y 2i －5y2＝23 190－5×70×6624 750－5×702×21 820－5×662＝0.9.17．解由已知数据得到如下2×2列联表由公式χ2＝158×224×59×323≈13.11，由于13.11>6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备改造是有关的． 18．解 x ＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑5i ＝1x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑5i ＝1y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32＝327，∑5i ＝1x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－2320＝－1.15，所以a ＝y －b x ＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以线性回归方程为y ＝－1.15x ＋28.1. 19．解能．根据题目所给数据得到如下列联表：χ2＝－2657×680×665×672≈95.291>6.635.因此有99%的把握认为聋与哑有关． 20．解根据题中的数据计算：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝－2196×196×68×324≈1.78.因为 1.78<2.706，所以我们没有理由认为在餐厅墙壁上张贴文明标语对减少餐椅损坏数有效果，即效果不明显． 21．解 (1)x ＝66.8，y ＝67.01，∑10 i ＝1x 2i ＝44 794，∑10 i ＝1y 2i ＝44 941.93，x y ＝4 476.27，x 2＝4 462.24，y 2＝4 490.34，∑10 i ＝1x i y i ＝44 842.4. 所以r ＝∑10i ＝1x i y i －10x y ∑10 i ＝1x 2i －10x2∑10 i ＝1y 2i －10y2＝44 842.4－10×4 476.2744 794－44 622.4 44 941.93－44 903.4＝79.76 611.748≈79.781.31≈0.980 2.由于r 非常接近于1，所以y 与x 之间具有线性相关关系． (2)设线性回归方程为y ＝bx ＋a . 由b ＝∑10 i ＝1x i y i －10x y ∑10 i ＝1x 2i －10x 2＝44 842.4－44 762.744 794－44 622.4＝79.7171.6≈0.464 5， a ＝y －b x ＝67.01－0.464 5×66.8≈35.98.故所求的线性回归方程为y ＝0.464 5x ＋35.98.(3)当x ＝73时，y ＝0.464 5×73＋35.98≈69.9，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸．。

数学第1章章末检测同步练习步步高(人教A版选修2-1)

章末检测一、选择题1．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件，则A与B的关系是() A．A B B．B AC．A＝B D．A B且B A2．若一个命题p的逆命题是一个假命题，则下列判断一定正确的是() A．命题p是真命题B．命题p的否命题是假命题C．命题p的逆否命题是假命题D．命题p的否命题是真命题3．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是() A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a>14．下列命题中，真命题是() A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx (x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx (x∈R)是奇函数C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx (x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx (x∈R)都是奇函数5．若命题p：x＝2且y＝3，则綈p为() A．x≠2或y≠3 B．x≠2且y≠3C．x＝2或y≠3 D．x≠2或y＝36．已知命题p：∀x∈R，cos x≤1，则() A．綈p：∃x∈R，cos x≥1B．綈p：∀x∈R，cos x≥1C．綈p：∃x∈R，cos x>1D．綈p：∀x∈R，cos x>17．若集合A＝{1，m2}，B＝{3,9}，则“m＝3”是“A∩B＝{9}”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．下列命题中的假命题是() A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>09．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是() A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>010．下列命题错误的是() A．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m ≤0”B ．“x ＝2”是“x 2－5x ＋6＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥011．下列命题中正确的是 ( )A ．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互平行”的充分不必要条件B ．“直线l 垂直平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的充分条件C ．已知a 、b 、c 为非零向量，则“a·b ＝a·c ”是“b ＝c ”的充要条件D ．p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0.12．已知命题p ：|x －1|≥2，命题q ：x ∈Z .如果“p 且q ”与“綈q ”同时为假命题，则满足条件的x 为 ( )A ．{x |x ≥3或x ≤－1，x ∉Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x ∉Z }C ．{－1,0,1,2,3}D ．{0,1,2}二、填空题13．已知命题p ：“若a >b >0，则log 12a <log 12b ＋1.”则命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为________．14．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________________________________．15．不等式kx 2＋x ＋k >0恒成立的充要条件是_____________________________________．16．在下列四个命题中，真命题的个数是________．①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0；②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数； ③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.三、解答题17．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假：(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x ＝4或x ＝6，则(x －4)(x －6)＝0；(3)正方形是菱形又是矩形．18．写出下列命题的“綈p ”命题，并判断它们的真假．(1)p ：∀x ，x 2＋4x ＋4≥0.(2)p ：∃x 0，x 20－4＝0.19．已知命题p ：关于x 的方程4x 2－2ax ＋2a ＋5＝0的解集至多有两个子集，命题q ：1－m≤x ≤1＋m ，m >0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．20．设p ：关于x 的不等式a x >1 (a >0且a ≠1)的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围．21．(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件．22．给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．答案1．A 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7．A 8.C 9.C 10.C 11.D 12.D13．2 14.对任何x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠015．k >1216.4 17．解 (1)逆命题：如果会使用电脑，那么就学好了数学；(假)否命题：如果学不好数学，那么就不会使用电脑；(假)逆否命题：如果不会使用电脑，那么就学不好数学．(假)(2)逆命题：若(x －4)(x －6)＝0，则x ＝4或x ＝6；(真)否命题：若x ≠4且x ≠6，则(x －4)(x －6)≠0；(真)逆否命题：若(x －4)(x －6)≠0，则x ≠4且x ≠6.(真)(3)逆命题：既是菱形又是矩形的四边形是正方形；(真)否命题：不是正方形的四边形就不是菱形或者不是矩形；(真)逆否命题：不是菱形或者不是矩形的四边形就不是正方形．(真)18．解 (1)綈p ：∃x 0，x 20＋4x 0＋4<0是假命题．(2)綈p ：∀x ，x 2－4≠0是假命题．19．m ≥9 20.⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞) 21．(1)必要不充分条件 (2)－4<m ≤022．(1){a |a <－12或a >13} (2){a |13<a ≤1或－1≤a <－12}高γ考╬试∵题]库。

高中数学选修2-1步步高全书配套课件学案第一章章末复习

章末复习学习目标 1.理解命题及四种命题的命题间的相互关系.2.掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义,会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义,会判断全称命题、特称命题的真假,会求含有一个量词的命题的否定.1.命题及其关系(1)判断一个语句是否为命题,关键是：①为陈述句；②能判断真假.(2)互为逆否关系的两个命题的真假性相同.(3)四种命题之间的关系如图所示.2.充分条件、必要条件和充要条件(1)定义一般地,若p则q为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作p ⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.(2)特征充分条件与必要条件具有以下两个特征：①对称性：若p是q的充分条件,则q是p的必要条件；②传递性：若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的充分条件.即若p⇒q,q⇒r,则p ⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性,但若p是q的充分条件,q是r的必要条件,则p与r 的关系不能确定.3.简单的逻辑联结词与量词(1)常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”.(2)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词,通常用符号“∀x”表示“对任意x”.(3)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词,通常用符号“∃x0”表示“存在x0”.4.含有全称量词的命题叫做全称命题,含有存在量词的命题叫做特称命题.(1)命题“若x＞0且y＞0,则x＋y＞0”的否命题是假命题.(√)(2)“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题.(√)(3)命题“若p,则q”与命题“若綈p,则綈q”的真假性一致.(×)(4)已知命题p：∃x0∈R,x0－2＞0,命题q：∀x∈R,x2＞x,则命题p∨(綈q)是假命题.(×)类型一命题及其关系例1(1)有下列命题：①“若x＋y>0,则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若q≤1,则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”.其中是真命题的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①③【试题考点】四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假【参考答案】D(2)设a,b,c是非零向量,已知命题p：若a·b＝0,b·c＝0,则a·c＝0；命题q：若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是()A.p∨qB.p∧qC.(綈p)∧(綈q)D.p∨(綈q)【试题考点】“p∨q”形式的命题题点判断“p∨q”形式命题的真假【参考答案】A解析由向量数量积的几何意义可知,命题p为假命题；命题q中,当b≠0时,a,c一定共线,故命题q 是真命题.故p ∨q 为真命题.反思与感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同.(2)“p 与綈p ”一真一假,“p ∨q ”一真即真,“p ∧q ”一假就假. 跟踪训练1 (1)命题“若x 2>1,则x <－1或x >1”的逆否命题是( ) A.若x 2>1,则－1≤x ≤1 B.若－1≤x ≤1,则x 2≤1 C.若－1<x <1,则x 2>1 D.若x <－1或x >1,则x 2>1 【试题考点】四种命题题点四种命题概念的理解【参考答案】B(2)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称.则下列判断正确的是( ) A.p 为真 B.q 为真 C.p ∧q 为假D.p ∨q 为真【试题考点】“p ∧q ”形式的命题题点判断“p ∧q ”形式命题的真假【参考答案】C解析由题意知p 是假命题,q 是假命题,因此只有C 正确. 类型二充要条件例2 (1)已知函数f (x )＝x 2＋bx ,则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【试题考点】充分、必要条件的概念及判断题点充分不必要条件的判断(2)已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【试题考点】充分、必要条件的概念及判断题点充分不必要条件的判断【参考答案】(1)A (2)A解析 (1)当b ＜0,且x ＝－b 2＞0时,f (x )取得最小值－b 24,则f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－b 24，＋∞,则当f (x )＝－b2时,f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等,故是充分条件；当b ＝0时,f (x )＝x 2,f (f (x ))＝x 4的最小值都是0,故不是必要条件.故选A.(2)当两个平面内的直线相交时,这两个平面有公共点,即两个平面相交；但当两个平面相交时,两个平面内的直线不一定有交点. 反思与感悟分清条件与结论,准确判断p ⇒q ,还是q ⇒p .跟踪训练2 已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0),若綈p 是綈q 的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.【试题考点】必要条件的概念及判断题点由必要条件求参数的取值范围解由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0), 得1－m ≤x ≤1＋m .由⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2,得－2≤x ≤10.由綈p 是綈q 的必要不充分条件知, p 是q 的充分不必要条件,∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，且不等式组中的等号不能同时成立,得m ≥9. 类型三逻辑联结词与量词的综合应用例3 已知p ：∃x 0∈R ,mx 20＋2≤0.q ：∀x ∈R ,x 2－2mx ＋1>0,若p ∨q 为假命题,则实数m 的取值范围是( ) A.[1,＋∞) B .(－∞,－1] C.(－∞,－2]D.[－1,1]【试题考点】“p ∨q ”形式的命题题点由“p ∨q ”形式命题的真假求参数的范围【参考答案】A解析因为p ∨q 为假命题,所以p 和q 都是假命题.由p ：∃x 0∈R ,mx 20＋2≤0为假,得∀x ∈R ,mx 2＋2>0,所以m ≥0.①由q ：∀x ∈R ,x 2－2mx ＋1>0为假,得∃x 0∈R ,x 20－2mx 0＋1≤0, 所以Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1.反思与感悟解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义,掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系.其次要善于利用等价关系,如：p 真与綈p 假等价,p 假与綈p 真等价,将问题转化,从而谋得最佳解决途径.跟踪训练3 已知命题p ：∃x 0∈R ,x 20＋1<2x 0,命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立,则－4<m ≤0,那么( )A.“綈p ”是假命题B.“綈q ”是真命题C.“p ∧q ”为真命题D.“p ∨q ”为真命题【试题考点】存在量词的否定题点含一个量词的命题真假判断【参考答案】D解析对于命题p ：x 20＋1－2x 0＝(x 0－1)2≥0,即对任意的x ∈R ,都有x 2＋1≥2x , 因此命题p 是假命题.对于命题q ,若mx 2－mx －1<0恒成立, 则当m ＝0时,－1<0恒成立；当m ≠0时,由mx 2－mx －1<0恒成立,得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.故－4<m ≤0, 故命题q 是真命题.因此,“綈p ”是真命题,“綈q ”是假命题, “p ∧q ”是假命题,“p ∨q ”是真命题,故选D.1.下列说法正确的是( )A.命题“若x 2＞1,则x ＞1”的否命题为“若x 2＞1,则x ≤1”B.命题“∃x 0∈R ,x 20＞1”的否定是“∀x ∈R ,x 2＞1”C.命题“若x ＝y ,则cos x ＝cos y ”的逆否命题为假命题D.命题“若x ＝y ,则cos x ＝cos y ”的逆命题为假命题【试题考点】四种命题的概念题点四种命题定义的应用【参考答案】D解析A中,命题“若x2＞1,则x＞1”的否命题为“若x2≤1,则x≤1”,∴A错误.B中,命题“∃x0∈R,x20＞1”的否定是“∀x∈R,x2≤1”,∴B错误.C中,“若x＝y,则cos x＝cos y”为真命题,则其逆否命题也为真命题,∴C错误.D中,命题“若x＝y,则cos x＝cos y”的逆命题“若cos x＝cos y,则x＝y”为假命题,∴D正确.2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是()A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”【试题考点】四种命题的概念题点按要求写命题【参考答案】B解析依题意,得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数,则它是负数.3.分别指出下列各组命题的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题的真假.(1)p：2>2,q：2＝2；(2)p：∅是{0}的真子集,q：0∈∅；(3)p：函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴有公共点,q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根.【试题考点】“或”“且”“非”的综合问题题点判断复合命题的真假解(1)∵p：2>2,是假命题,q：2＝2,是真命题,∴命题p∨q是真命题,p∧q是假命题,綈p是真命题.(2)∵p：∅是{0}的真子集,是真命题,q：0∈∅,是假命题,∴命题p∨q是真命题,p∧q是假命题,綈p是假命题.(3)∵p：函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴有公共点,是假命题,q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根,是真命题,∴命题p∨q是真命题,p∧q是假命题,綈p是真命题.4.对任意x∈[－1,2],x2－a≥0恒成立,则实数a的取值范围是________.【试题考点】全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的取值范围【参考答案】(－∞,0]解析由x2－a≥0,得a≤x2,故a≤(x2)min,得a≤0.5.分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的复合命题,并判断它们的真假.(1)p：平行四边形的对角线相等,q：平行四边形的对角线互相平分；(2)p：方程x2－16＝0的两个根的符号不同,q：方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等.【试题考点】“或”“且”“非”的综合问题题点判断复合命题的真假解(1)p或q：平行四边形的对角线相等或互相平分.p且q：平行四边形的对角线相等且互相平分.綈p：平行四边形的对角线不相等.因为p假q真,所以“p或q”为真,“p且q”为假,“綈p”为真.(2)p或q：方程x2－16＝0的两个根符号不同或绝对值相等.p且q：方程x2－16＝0的两个根符号不同且绝对值相等.綈p：方程x2－16＝0的两个根符号相同.因为p真q真,所以“p或q”为真,“p且q”为真,“綈p”为假.1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义,应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.2.判断命题真假的步骤确定复合命题的构成形式 ⇒判断其中简单命题的真假 ⇒ 根据真值表判断复合命题的真假一、选择题1.全称命题“∀x ∈Z,2x ＋1是整数”的逆命题是( ) A.若2x ＋1是整数,则x ∈Z B.若2x ＋1是整数,则x ∉Z C.若2x ＋1不是整数,则x ∈Z D.若2x ＋1不是整数,则x ∉Z 【试题考点】四种命题的概念题点按要求写命题【参考答案】A2.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( ) A.有一个α,使tan(90°－α)＝1tan αB.存在实数x 0,使sin x 0＝π2C.对一切α,sin(180°－α)＝sin αD.sin 15°＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45° 【试题考点】存在量词与特称命题题点特称命题的符号表示【参考答案】A3.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A.∀x∈R,|x|＞0B.∃x0∈R,|x0|＞0C.∀x∈R,|x|≤0D.∃x0∈R,|x0|≤0【试题考点】存在量词的否定题点含存在量词的命题的否定【参考答案】C4.若向量a＝(x,3)(x∈R),则“x＝4”是“|a|＝5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【试题考点】充分、必要条件的概念及判断题点充分不必要条件的判断【参考答案】A解析若x＝4,则a＝(4,3),∴|a|＝42＋32＝5,若|a|＝5,则x2＋32＝5,∴x＝±4,故“x＝4”是“|a|＝5”的充分不必要条件.5.命题“若a2＋b2＝0(a,b∈R),则a＝b＝0”的逆否命题是()A.若a≠b≠0(a,b∈R),则a2＋b2≠0B.若a＝b≠0(a,b∈R),则a2＋b2≠0C.若a≠0且b≠0(a,b∈R),则a2＋b2≠0D.若a≠0或b≠0(a,b∈R),则a2＋b2≠0【试题考点】四种命题的概念题点按要求写命题【参考答案】D解析“且”的否定词为“或”,所以“若a2＋b2＝0(a,b∈R),则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2＋b2≠0”.6.命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是()A.∀x∉R,x2≠xB.∀x∈R,x2＝xC.∃x0∉R,x20≠x0D.∃x0∈R,x20＝x0【试题考点】全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定【参考答案】D解析全称命题的否定是特称命题,所以“∀x∈R,x2≠x”的否定为“∃x0∈R,x20＝x0”.二、填空题7.若命题p ：常数列是等差数列,则綈p ：_________________. 【试题考点】全称量词的否定题点含全称量词的命题的否定【参考答案】存在一个常数列,不是等差数列解析全称命题的否定是特称命题.8.把“奇函数的图象关于原点对称”改写成“若p ,则q ”的形式为________________. 【试题考点】命题的结构形式题点改写成标准的若p 则q 形式【参考答案】若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称9.命题p ：若ac ＝b ,则a ,b ,c 成等比数列,则命题p 的否命题是________命题.(填“真”或“假”)【试题考点】四种命题的概念题点判断四种命题的真假【参考答案】假解析其原命题的否命题是：若ac ≠b ,则a ,b ,c 不成等比数列. 若b ＝－ac ,则b 2＝ac ,此时a ,b ,c 也可以成等比数列,故为假命题.10.定义f (x )＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“取上整函数”,例如{1.2}＝2,{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用,诸如停车收费,出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的.以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________. ①f (2x )＝2f (x )；②若f (x )＝f (y ),则x －y <1；③任意x ,y ∈R ,f (x ＋y )≤f (x )＋f (y )；④f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )；⑤函数f (x )为奇函数. 【试题考点】命题的真假判断题点命题真假的判断【参考答案】②③解析根据新定义“取上整函数”的意义f (2x )＝2f (x )不一定成立,如x 取1.5；f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )不一定成立,如x 取0；函数f (x )不满足奇函数的关系,如f (1.6)＝f (2),f (－1.6)＝f (－1).故答案为②③.三、解答题11.设p ：2x 2－3x ＋1≤0,q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0,若綈p 是綈q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.【试题考点】充分、必要条件的概念及判断题点由充分、必要条件求参数的取值范围解由题意得,p ：12≤x ≤1,q ：a ≤x ≤a ＋1. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件,∴p 是q 的充分不必要条件,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＞1，a ≤12，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12， ∴0≤a ≤12. 故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，12. 12.求证：函数f (x )＝x 2＋|x ＋a |＋1是偶函数的充要条件是a ＝0.【试题考点】充要条件的概念及判断题点寻求充要条件证明先证充分性,若a ＝0,则函数f (x )＝x 2＋|x ＋a |＋1是偶函数.因为a ＝0,所以f (x )＝x 2＋|x |＋1(x ∈R ).因为f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝x 2＋|x |＋1,所以f (x )是偶函数.再证必要性,若f (x )＝x 2＋|x ＋a |＋1是偶函数,则a ＝0.因为f (x )是偶函数,所以f (－x )＝f (x ),即(－x )2＋|－x ＋a |＋1＝x 2＋|x ＋a |＋1,从而|x －a |＝|x ＋a |,即(x －a )2＝(x ＋a )2,展开并整理,得ax ＝0.因为x ∈R ,所以a ＝0.13.已知c >0,设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题,求c 的取值范围.【试题考点】复合命题真假性的判断题点由复合命题的真假求参数的取值范围解函数y ＝c x 在R 上单调递减等价于0<c <1.不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R等价于函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.∵x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x <2c ， ∴函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c ,∴2c >1,得c >12. 如果p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<c <1，0<c ≤12，解得0<c ≤12；如果q 真p 假,则⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1，c >12，解得c ≥1. ∴c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12∪[1,＋∞). 四、探究与拓展14.已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ,B 两点,则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【试题考点】充分、必要条件的概念及判断题点充分不必要条件的判断【参考答案】A解析由直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ,B 两点,易知k ≠0,且圆心O 到直线l的距离d ＝11＋k2＜1,所以|AB |＝21－d 2＝21－11＋k 2＝2k 21＋k 2. 若k ＝1,则|AB |＝2,d ＝22, 所以△OAB 的面积为12×2×22＝12. 反过来,若△OAB 的面积为12, 则S ＝12×11＋k 2×2k 21＋k 2＝k 21＋k 2＝12,解得k ＝±1. 故“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件.15.设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0),q ：实数x 满足x －3x －2≤0. (1)若a ＝1,且p ∧q 为真,求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.【试题考点】充分条件的概念及判断题点由充分条件求参数的取值范围解 (1)若a ＝1,由x 2－4x ＋3＜0,得1＜x ＜3.由x －3x －2≤0,得2＜x ≤3. ∵p ∧q 为真,∴p 真,q 真,∴x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1＜x ＜3，2＜x ≤3，解得2＜x ＜3,即实数x 的取值范围为(2,3).(2)綈q ：实数x 满足x ≤2或x ＞3,綈p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2≥0,解x 2－4ax ＋3a 2≥0得x ≤a 或x ≥3a .∵綈p 是綈q 的充分不必要条件,∴a ≤2且3a ＞3,解得1＜a ≤2,∴实数a 的取值范围为(1,2].。

高中数学选修2-1步步高全书配套课件学案模块综合试卷

模块综合试卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设a ∈R ,则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【试题考点】充要条件的概念及判断题点充要条件的判断【参考答案】A解析若直线l 1与l 2平行,则a (a ＋1)－2×1＝0, 即a ＝－2或a ＝1,所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件. 2.命题“若a >b ,则a －1>b －1”的否命题是( ) A.“若a >b ,则a －1≤b －1” B.“若a >b ,则a －1<b －1” C.“若a ≤b ,则a －1≤b －1” D.“若a <b ,则a －1<b －1” 【试题考点】四种命题的概念题点按要求写命题【参考答案】C解析否命题为“若a ≤b ,则a －1≤b －1”. 3.双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是( )A.4B.2 2C.8D.4 2 【试题考点】双曲线的标准方程题点由标准方程求a ,b ,c 【参考答案】C解析依题意知,a 2＝m 2＋12,b 2＝4－m 2,所以c ＝a 2＋b 2＝16＝4.所以焦距2c ＝8. 4.已知a ,b ∈R ,则“ln a >ln b ”是“⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫13b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【试题考点】充分、必要条件的概念及判断题点充分、必要条件的判断【参考答案】A解析 ∵ln a >ln b ⇔a >b >0,⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫13b⇔a >b . ∴a >b >0是a >b 的充分不必要条件,∴“ln a >ln b ”是“⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫13b ”的充分不必要条件.5.以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 【试题考点】双曲线的简单几何性质题点双曲线的简单几何性质【参考答案】D解析由x 24－y 212＝－1,得y 212－x 24＝1.∴双曲线的焦点为(0,4),(0,－4),顶点坐标为(0,23),(0,－23).∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1.6.若命题“∃x 0∈R ,使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题,则实数a 的取值范围为( ) A.1≤a ≤3 B.－1≤a ≤3 C.－3≤a ≤3D.－1≤a ≤1【试题考点】特称命题的真假性判断题点存在性问题求参数的范围【参考答案】B解析根据题意可得∀x ∈R ,都有x 2＋(a －1)x ＋1≥0, ∴Δ＝(a －1)2－4≤0,∴－1≤a ≤3.7.已知在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝2AB ,则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13 【试题考点】向量法求线面角题点向量法求线面角【参考答案】A解析设AB ＝1,则AA 1＝2,以D 1为坐标原点,分别以D 1A 1-→,D 1C 1-→,D 1D -→的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系D 1xyz ,则D (0,0,2),C 1(0,1,0), B (1,1,2),C (0,1,2),DB →＝(1,1,0),DC 1→＝(0,1,－2),DC →＝(0,1,0),设n ＝(x ,y ,z )为平面BDC 1的一个法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y －2z ＝0，令z ＝1,则n ＝(－2,2,1),设CD 与平面BDC 1所成角为θ,则sin θ＝|n ·DC →||n ||DC →|＝23.8.以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是( )A.y 2＝12xB.y 2＝－12xC.y 2＝6xD.y 2＝－6x【试题考点】双曲线的离心率与渐近线题点以离心率或渐近线为条件下的简单问题【参考答案】A 解析由x 24－y 25＝1,得a 2＝4,b 2＝5,∴c 2＝a 2＋b 2＝9. ∴右焦点的坐标为(3,0),故抛物线的焦点坐标为(3,0),顶点坐标为(0,0), 故p2＝3,∴抛物线方程为y 2＝12x . 9.已知F 1(－3,0),F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的两个焦点,点P 在椭圆上,∠F 1PF 2＝α.当α＝2π3时,△F 1PF 2的面积最大,则m ＋n 的值是( ) A.41 B.15 C.9 D.1 【试题考点】椭圆的定义题点焦点三角形中的问题【参考答案】B 解析由12F PF S＝12|F 1F 2|·|y P|＝3|y P |, 知当P 为短轴端点时,△F 1PF 2的面积最大. 此时∠F 1PF 2＝2π3,得a ＝m ＝23,b ＝n ＝3,故m ＋n ＝15.10.已知命题p ：“若a >b >0,则12log a <12log b ＋1”,则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3【试题考点】四种命题的概念题点按要求写命题【参考答案】B解析对于命题p ,当a >b >0时,有12log a <12log b ,则必有12log a <12log b ＋1,因此原命题正确,逆否命题也正确；但当12log a <12log b ＋1时,得12log a <12log 2b ,得a >b2>0,不一定有a >b >0,因此逆命题不正确,故否命题也不正确.因此真命题的个数为1.11.已知A ,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2【试题考点】双曲线的简单几何性质题点求双曲线的离心率【参考答案】D解析如图,设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0,b >0),则|AB |＝2a ,由双曲线的对称性,可设点M (x 1,y 1)在第一象限内,过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0),∵△ABM 为等腰三角形,且∠ABM ＝120°, ∴|BM |＝|AB |＝2a ,∠MBN ＝60°,∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a , x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (2a ,3a )代入x 2a 2－y 2b 2＝1,可得a 2＝b 2,∴e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝2,故选D. 12.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6【试题考点】空间向量在求空间角中的应用题点空间向量求线面角【参考答案】B解析如图所示,S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.设O 点是△ABC 的中心, 则OP ⊥平面ABC ,∠OAP 即为P A 与平面ABC 所成的角. ∴111ABC A B C V －三棱柱＝S △ABC ·OP＝334·OP ＝94, ∴OP ＝ 3. 又OA ＝3×32×23＝1,∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝31＝3, 又0<∠OAP <π2,∴∠OAP ＝π3.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若命题p ：一元一次不等式ax ＋b >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－b a ,命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x－b )<0的解集为{x |a <x <b },则“p ∧q ”“p ∨q ”及“綈p ”形式的复合命题中真命题是____. 【试题考点】“或”“且”“非”的综合问题题点判断复合命题的真假【参考答案】綈p解析 p 为假命题,因为a 的符号不确定,q 为假命题,因为a ,b 的大小不确定.所以p ∧q 假,p ∨q 假,綈p 真.14.已知O 是空间任一点,A ,B ,C ,D 四点满足任三点均不共线,但四点共面,且OA →＝2x ·BO →＋3y ·CO →＋4z ·DO →,则2x ＋3y ＋4z ＝________. 【试题考点】空间向量的数乘运算题点平面向量基本定理【参考答案】－1解析 OA →＝(－2x )·OB →＋(－3y )·OC →＋(－4z )·OD →,由A ,B ,C ,D 四点共面,则有－2x －3y －4z ＝1,即2x ＋3y ＋4z ＝－1.15.椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆上,若|PF 1|＝4,则∠F 1PF 2的大小为________.【试题考点】直线与椭圆的位置关系题点求椭圆中的直线方程【参考答案】120°解析在椭圆x 29＋y 22＝1中,a 2＝9,a ＝3,b 2＝2,又c 2＝a 2－b 2＝7,所以c ＝7. 因为|PF 1|＝4,且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6, 所以|PF 2|＝6－4＝2.所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12,因为∠F 1PF 2∈(0°,180°),所以∠F 1PF 2＝120°.16.已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB ＝2,AD ＝AA 1＝1,则直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为________.【试题考点】空间向量在求空间角中的应用题点空间向量求线面角【参考答案】63解析以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系Dxyz 如图所示,则A (1,0,0),B (1,2,0),D 1(0,0,1),BD 1→＝(－1,－2,1), 因为AB ⊥平面BCC 1B 1,所以AB →＝(0,2,0)为平面BCC 1B 1的法向量. 设直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角为θ, 则有sin θ＝|cos 〈AB →,BD 1→〉|＝|AB →·BD 1→||AB →| |BD 1→|＝|(0，2，0)·(－1，－2，1)|2×6＝63. 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”.若p ∨q 为真, 綈p 为真,求m 的取值范围. 【试题考点】“或”“且”“非”的综合问题题点由复合命题的真假求参数的范围解对p ：∵直线与圆相交,∴d ＝|1－m |2<1.∴－2＋1<m <2＋1.对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根, ∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，f (0)<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f (0)>0，解得0<m <4. ∵綈p 为真,∴p 为假.又∵p ∨q 为真,∴q 为真. 故可得2＋1≤m <4.故m 的取值范围是[2＋1,4).18.(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ,B 两点. (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点,求实数a 的值. 【试题考点】直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其它问题解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ,得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠±3.故a 的取值范围是{a |－6＜a ＜6且a ≠±3}.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点, ∴OA ⊥OB ,∴x 1x 2＋y 1y 2＝0, 即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0, 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0. ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0, ∴a ＝±1,符合题意,且满足Δ＞0,故a ＝±1.19.(12分)已知A ,B 是抛物线y 2＝52x 上不同于原点O 的两点,OA ⊥OB .(1)求证：直线AB 恒过定点T ,且以OT 为直径的圆过点D (2,1)； (2)若直线AB 与⊙O ：x 2＋y 2＝5相切,求切点坐标及直线AB 的方程. 【试题考点】直线与抛物线的位置关系题点直线与抛物线的综合问题(1)证明设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ,t ＞0,代入y 2＝52x ,得2y 2－5my －5t ＝0.Δ＝25m 2＋40t＞0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).则y 1y 2＝－5t 2,x 1x 2＝2y 215·2y 225＝425(y 1y 2)2＝t 2.又OA →⊥OB →,所以x 1x 2＋y 1y 2＝0. 即t 2－52t ＝0,解得t ＝52或0(舍).所以直线AB 的方程为x ＝my ＋52,恒过点T ⎝⎛⎭⎫52，0. 所以OD →·TD →＝(2,1)·⎝⎛⎭⎫－12，1＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋1×1＝0, 所以OD →⊥TD →,即OD ⊥TD , 所以点D 在以OT 为直径的圆上.(2)解由(1)知直线AB 的方程为2x －2my －5＝0.由题意得|－5|4＋4m 2＝ 5.解得m ＝±12.当m ＝12时,切线AB 的方程为2x －y －5＝0,此时,切点坐标为(2,－1).当m ＝－12时,切线AB 的方程为2x ＋y －5＝0,此时,切点坐标为(2,1).20.(12分)如图,平面P AC ⊥平面ABC ,△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形,E ,F ,O 分别为P A ,PB ,AC 的中点,AC ＝16,P A ＝PC ＝10.设G 是OC 的中点,证明：FG ∥平面BOE .【试题考点】空间向量求解直线与平面的位置关系题点向量法解决线面平行证明如图,连接OP ,以O 为坐标原点,分别以OB ,OC ,OP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系Oxyz ,则O (0,0,0),B (8,0,0),P (0,0,6),E (0,－4,3),F (4,0,3),G (0,4,0).因为OB →＝(8,0,0),OE →＝(0,－4,3),设平面BOE 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB →＝8x ＝0，n ·OE →＝－4y ＋3z ＝0，解得x ＝0,4y ＝3z ,令z ＝4, 则n ＝(0,3,4),所以平面BOE 的一个法向量为n ＝(0,3,4). 由FG →＝(－4,4,－3),得n ·FG →＝0,所以FG →⊥n . 又直线FG 不在平面BOE 内,所以FG ∥平面BOE .21.(12分)已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2),直线l 经过点P 且与椭圆交于A ,B 两点.(1)当直线l 的斜率为12时,求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时,求l 的方程. 【试题考点】直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4),即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0.若设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝0,x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)方法一当直线l 的斜率不存在时,不合题意. 所以直线l 的斜率存在.设l 的斜率为k ,则其方程为y －2＝k (x －4). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2,由于AB 的中点恰好为P (4,2),所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4,解得k ＝－12,且满足Δ>0. 此时直线的方程为y －2＝－12(x －4),即x ＋2y －8＝0.方法二设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1.两式相减,得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0, 整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1). 由于P (4,2)是AB 的中点,∴x 1＋x 2＝8,y 1＋y 2＝4,于是k AB ＝－9×836×4＝－12. 于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4), 即x ＋2y －8＝0.22.(12分)如图所示,正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直,AB ＝2AD ＝2,点E 为AB 的中点.(1)求证：BD 1∥平面A 1DE ；(2)求证：D 1E ⊥A 1D ；(3)在线段AB 上是否存在点M ,使二面角D 1－MC －D 的大小为 π6？若存在,求出AM 的长；若不存在,请说明理由.【试题考点】向量法求解直线与平面的位置关系题点向量法解决线面平行(1)证明由题意可得D 1D ⊥平面ABCD ,以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ,则D (0,0,0),C (0,2,0),A 1(1,0,1),D 1(0,0,1),B (1,2,0),E (1,1,0).DA 1→＝(1,0,1),DE →＝(1,1,0),设平面A 1DE 的一个法向量为n 1＝(x 1,y 1,z 1),则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA 1→＝0，n 1·DE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋z 1＝0，x 1＋y 1＝0，取x 1＝1,则n 1＝(1,－1,－1)是平面A 1DE 的一个法向量,又BD 1→＝(－1,－2,1),且BD 1→·n 1＝(－1,－2,1)·(1,－1,－1)＝0,故BD 1→⊥n 1,又BD 1不在平面A 1DE 内,故BD 1∥平面A 1DE .(2)证明由题意得D 1E -→＝(1,1,－1),A 1D -→＝(－1,0,－1),D 1E -→·A 1D -→＝(1,1,－1)·(－1,0,－1)＝0,D 1E -→⊥A 1D -→,故D 1E ⊥A 1D .(3)解线段AB 上存在点M ,使二面角D 1－MC －D 的大小为π6. 设M (1,y 0,0)(0≤y 0≤2),因为MC →＝(－1,2－y 0,0),D 1C -→＝(0,2,－1),设平面D 1MC 的一个法向量为v 1＝(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧ v 1·MC →＝0，v 1·D 1C -→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y (2－y 0)＝0，2y －z ＝0，取y ＝1,则v 1＝(2－y 0,1,2)是平面D 1MC 的一个法向量,而平面MCD 的一个法向量为v 2＝DD 1→＝(0,0,1),要使二面角D 1－MC －D 的大小为π6, 则cos π6＝|cos 〈v 1,v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|＝2(2－y 0)2＋12＋22＝32, 解得y 0＝2－33(0≤y 0≤2). 所以当AM ＝2－33时,二面角D 1－MC －D 的大小为π6.。