浙江省衢州市2019-2020学年高二数学6月教学质量检测试题(含解析)

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浙江省衢州五校2019-2020学年高二上学期期末考试联考数学试题Word版含解析

浙江省衢州五校2019-2020学年上学期期末考试联考高二数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是（）A. 若不是偶数，则与不都是偶数B. 若不是偶数，则与都不是偶数C. 若是偶数，则与不都是偶数D. 若是偶数，则与都不是偶数2. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.3. 已知，，若，则点的坐标为（）A. B. C. D.4. 过点且与直线垂直的直线方程是（）A. B.C. D.5. 已知空间两不同直线，两不同平面，下列命题正确的是（）A. 若且，则B. 若且，则C. 若且，则D. 若不垂直于，且，则不垂直于6. 圆上的动点到直线的最小距离为（）A. 1B.C.D.7. 由曲线围成的图形的面积为（）A. B. C. D.8. 在直角坐标平面内有四点，，，，为该坐标平面内的动点，则到四点的距离之和的最小值为（）A. B. C. 12 D.9. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的体积为（）A. B. 16 C. D. 3210. 已知是椭圆上的三个点，直线经过原点，直线经过椭圆右焦点，若，且，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（单空题每题4分，多空题每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）11. 已知直线，直线，若，则__________；若，则两平行直线间的距离为__________.12. 某几何体的三视图入下图所示，则该几何体最长的一条棱的长度__________，体积为__________.13. 已知正方体中，，异面直线与所成角的余弦值是__________；14. 已知椭圆的方程为，则其长轴长为__________；若为的右焦点，为的上顶点，为上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值为__________．15. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若（为坐标原点），则__________．16. 如图，矩形与所成的二面角的平面角的大小是，，，现将绕旋转一周，则在旋转过程中，直线与平面所成角的取值范围是__________．17. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且斜率为的直线与双曲线右支相交于两点，若，则__________.三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18. 已知命题：方程表示圆；命题：方程表示焦点在轴上的椭圆.（1）若命题为真命题时，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.19. 如图，在直三棱柱中，，，且分别是中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20. 已知抛物线的焦点为，为过定点的两条直线.（1）若与抛物线均无交点，且，求直线的斜率的取值范围；（2）若与抛物线交于两个不同的点，以为直径的圆过点，求圆的方程.21. 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，，，为的中点.（1）证明：；（2）求二面角的正切值.22. 如图，分别是椭圆的左、右焦点，焦距为，动弦平行于轴，且.（1）求椭圆的方程；（2）过分别作直线交椭圆于和，且，求四边形面积的最大值.浙江省衢州五校2019-2020学年上学期期末考试联考高二数学试题参考答案第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是（）A. 若不是偶数，则与不都是偶数B. 若不是偶数，则与都不是偶数C. 若是偶数，则与不都是偶数D. 若是偶数，则与都不是偶数【答案】A【解析】命题“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则与不都是偶数”. 故选：A2. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】一般式化为斜截式：，故k=，故倾斜角为.故选C.3. 已知，，若，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设点为，又∴，∵，∴即, D点坐标故选：D4. 过点且与直线垂直的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】与直线垂直的直线的斜率为，有过点，∴所求直线方程为：即故选：C5. 已知空间两不同直线，两不同平面，下列命题正确的是（）A. 若且，则B. 若且，则C. 若且，则D. 若不垂直于，且，则不垂直于【答案】B【解析】对于A，若且，则或，故错误；对于B，若且，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；对于C，若且，则，故错误；若m不垂直于α，且n⊂α，则m可以垂直于n，故D错误．故选：B6. 圆上的动点到直线的最小距离为（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0即（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，表示圆心坐标为（2，2），半径等于1的圆．圆心到直线的距离为 =2（大于半径），∴圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0上的动点P到直线x+y=0的最小距离为2﹣1．故选：D．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值.7. 由曲线围成的图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，作出如图的图形，由曲线关于原点对称，当x≥0，y≥0时，解析式为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故可得此曲线所围的力图形由一个边长为2的正方形与四个半径为的半圆组成，所围成的面积是2×2+4××π×（）2=8+4π故选：D．8. 在直角坐标平面内有四点，，，，为该坐标平面内的动点，则到四点的距离之和的最小值为（）A. B. C. 12 D.【答案】A【解析】设平面直角坐标系中任一点P，P到点，，，的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC，即到四点的距离之和的最小值为四点构成的四边形对角线长度之和．故选：A9. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的体积为（）A. B. 16 C. D. 32【答案】B【解析】设AC=x，BC=y，由题意得x＞0，y .＞0，x2+y2=16，∵当阳马B﹣A1ACC1体积最大，∴V=4x×y=取最大值，∵xy≤=8，当且仅当x=y=时，取等号，∴当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，AC=BC=，此时堑堵ABC﹣A1B1C1的体积V=S ABC•AA1=．故选：B．10. 已知是椭圆上的三个点，直线经过原点，直线经过椭圆右焦点，若，且，则椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设椭圆的另一个焦点为E，令|CF|=m，|BF|=|AE|=4m， |AF|=2a-4m，在直角三角形EAC中，4m2+（2a-4m +m）2=（2a-m）2，化简可得a=3m，在直角三角形EAF中，4m2+（2a-4m）2=（2c）2，即为5a2=9c2，可得e=．故选：B．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（单空题每题4分，多空题每题6分，满分36分，将答案填在答题纸上）11. 已知直线，直线，若，则__________；若，则两平行直线间的距离为__________.【答案】 (1). (2)............................若，则，解得：∴两平行直线间的距离为故答案为：，12. 某几何体的三视图入下图所示，则该几何体最长的一条棱的长度__________，体积为__________.【答案】 (1). (2).【解析】如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC．其中PA⊥底面ABC，PA=2，底面△ABC是边长为2的等边三角形．该几何体最长的一条棱的长度为PA或PC==2，体积V==．故答案为：，．点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.13. 已知正方体中，，异面直线与所成角的余弦值是__________；若，则__________．【答案】 (1). (2).【解析】如图建立空间坐标系，设正方体棱长为4易得：，，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值是由可得：即，∴故答案为：，点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。

衢州高二下教学质量检测数学答案

2019年6月衢州市高二教学质量检测数学参考答案一．选择题（每小题4分,共40分）1.A2.B3.B4.C5.A6.A7.B8.D9.D 10.C二．填空题（多空题每空3分，单空题每空4分，共36分）11.3512.()0,1413.284+3814.4()3222，15.2116.2517.273-三．解答题（本大题共5小题,满分74分）18．解:（I ）43sin sin )sin 21cos 23()(2+--=x x x x x f …………………………2分43sin 23cos sin 232+-=x x x 43)2cos 1(432sin 43+--=x x ………………………………4分x x 2cos 432sin 43+=)32sin(23π+=x ……………………………………………6分∴)(x f 的最小正周期ππ==22T …………………………………………7分（II ）23)(max =x f ………………………………………………………10分∴,k x πππ2232+=+…………………………………………………………12分⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=z k ,k x x ππ12…………………………………………………………14分19.（I ）证明:取PA 中点M ，连接DM EM ,则,21//,21//AB CD AB EM ∴四边形EMDC 是平行四边形，∴CD EM //…………………………………………4分又⊄CE 平面PAD ,⊂DM 平面PAD⊂CE 平面EDM ,//CE ∴平面PAD ………………………………………………7分（Ⅱ） ⊥PC 平面ABCD ，故AC PC ⊥.在直角梯形ABCD 中，AB AD CD AB ⊥==，，12，∴2==BC AC ． 222AB BC AC =+，∴BC AC ⊥．∴⊥AC 平面PBC……………………………………………………………9分过点P 作CE PF ⊥，垂足为F ．则AC PF ⊥,∴⊥PF 平面AEC则PAF ∠即为直线PA 与平面AEC 所成的角…………………………………11分易求：3=PC ，5=PA又点E 为PB 的中点，122CE PB ==．由面积法得：12CE PF PC BC ⋅=⋅．所以5PF =．………………………13分在PAF Rt ∆中,5655530sin ===∠AP PF PAF ………………………………………15分法2：利用建系，坐标法酌情给分.20．解:（I ） 12426==-d a a ∴3=d ∴dn a a n )2(2-+=即63-=n a n …………………………………………3分 121+=+n n S b ∴121+=-n n S b )2(≥n ∴)(211-+-=-n n n n S S b b ∴n n b b 31=+)2(≥n 又31212=+=S b ,123b b =也成立，∴13-=n n b ……………………………6分（II ）21331311)1(1-=--=--=n n n n q q a S ……………………………………………8分∴6321213(-≥+-⋅n k n 对*N ∈n 恒成立即n n k 3)2(6-≥对*N ∈n 恒成立…………………………………………………10分令n n n c 32-=，nn n n n n n n c c 372333211+-=---=---当3≤n 时，1->n n c c 当4≥n 时，1-<n n c c ……………………………………………………………13分∴2713==c )c (max n ,故9263=≥c k 即k 的取值范围为),92[+∞……………………………………………………………15分21．解:（I ）由已知：8262=+=a ………………………………………………3分∴椭圆C 的标准方程为：16822=+y x ……………………………………………5分（II ）令l ：2-=my x ，设),(11y x M ),(22y x N ，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=168222y x my x ∴01826)43(22=--+my y m …………………………………7分由0>∆，即0)43(727222>++m m ，∴Rm ∈则4326221+=+m m y y ，4318221+-=⋅m y y 设MN F 2∆的内切圆半径为RR R NF MF MN s MN F 24|)||||(|21222=⋅++=∆又||2|||F F |212121212y y y y s MN F -=-⋅=∆∴||22421y y R -=即：||421y y R -=……………………………10分 222222221)43(12124372)43(72||++⋅=+++=-m m m m m y y 43121222++⋅=m m ……………………………………………12分令12+=m t 则1≥t 得：t t t t |y y |1321213212221+=+=-令t t )t (f 13+=，知)(t f 在),1[+∞上是单调递增函数34)1()(=≥∴f t f ∴23421221==-max |y y |()234=max R 423=max R ∴MN F 2∆内切圆面积89π=max S ………………………15分法2：利用斜率存在，设()2+=x k y ，酌情给分.22.解:（I ）()021)(2>-='x x x x f ……………………………………………3分（II ）()22ln x e x x a x g x -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，()()022e 21342x 2=--=⋅-⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-='x e ax x x x e x x x a )x (g x x 令x e ax x h -=)(，转化为0)(=x h 在()2,0上有两个不相等的实数解……………………5分x e a e ax x x==-,0，转化为a y =1与x e y x =2有两个不同的交点()()()递减在，当递增在当100102102112,x e y y ,x ;,x e y ,y ,x ,x x e y x x x =<'<<=>'<<-='……………………………………7分22e a e <<∴…………………………………………………………………………9分（III ）x e ax x h -=)(，(),x e a x h -='在()a ln 0，上减函数，在()2,ln a 上增函数()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=-'+'='<<--=-x x xa ln x e a e a e a e a )x a ln (h x h x H ,a ln x ),x a ln (h )x (h x H 222202构造函数…………………12分()()x H x H a x ∴<'∴<<,0,ln 0 在()a ln 0，递减()()()()0ln ln ln =-=>a h a h a H x H 即0)ln 2()(>--x a h x h ，又()a x x x ln ,0,121∈∴<，0)ln 2()(11>--∴x a h x h 又)()(21x h x h =……………………………………………14分，0)ln 2()(12>--x a h x h 又)(x h 在()2ln ，a 递减，a ln x x ,x a ln x 222112<+∴-<∴………………………………………………………15分法2：利用对数平均不等式ab bln a ln b a b a >-->+2证明，酌情给分.。

2018-2019学年浙江省衢州市高一年级6月教学质量检测数学试题(解析版)

2018-2019学年浙江省衢州市高一年级6月教学质量检测数学试题一、单选题1．设{}1,2,4,6,8U =，{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则下列结论中正确的是（） A ．A B ⊆ B ．B A ⊆C ．{}2A B ⋂=D ．(){}1U A B ⋂=ð 【答案】D【解析】根据子集的定义可排除,A B ；由交集定义排除C ；根据补集和交集的定义可知D 正确. 【详解】1B ∉，6A ∉ ,A B ∴错误；{}2,4A B =，则C 错误； {}1,8U C B = (){}1U AC B∴=，D 正确. 本题正确选项：D 【点睛】本题考查集合间的关系、集合运算中的交集和补集运算，属于基础题. 2．下列函数中，在[]1,1-上单调递减的是（） A ．y x = B ．12log y x =C ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2y x =【答案】C【解析】根据一次函数单调性、对数函数定义域、指数函数单调性、二次函数单调性依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】当[]0,1x ∈时，y x x ==，此时函数单调递增，A 错误；12log y x =的定义域为()0,∞+，B错误；1013<<，则13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，C 正确；当[]0,1x ∈时，2y x =单调递增，D 错误. 本题正确选项：C 【点睛】本题考查判断函数的单调性，属于基础题.3．若0a b >>，下列不等式一定成立的是（） A ．22a b < B ．2a ab <C ．11a b< D ．1b a< 【答案】D【解析】通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可. 【详解】若2a =，1b =-，则22a b >，A 错误；()20a ab a a b -=->，则2a ab >，B 错误； 10a >，10b<，则11a b >，C 错误；0a >，则1ba<等价于b a <，成立，D 正确.本题正确选项：D 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.4．如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则OA OC OE ++=（）A ．0B ．0C ．AED ．EA【答案】A【解析】根据向量加法运算法则和相反向量的定义即可求得结果. 【详解】OA OC OB +=，OB OE =- 0O A O C O E O B O E ∴++=+=本题正确选项：A 【点睛】本题考查向量的线性运算，涉及到向量的加法和相反向量的问题，属于基础题. 5．函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（）A ．()0,1B ．()1,eC ．()2,e eD ．()2,e +∞【答案】B【解析】首先判断出函数的单调性，根据零点存在定理求得结果. 【详解】由题意知：()f x 在()0,∞+上单调递增当0x →时，()f x →-∞；()110f =-<；()110f e e =->；()22120f e e=->；当x →+∞时，()f x →+∞ 可知：()()10f f e ⋅<()f x ∴零点所在区间为：B【点睛】本题考查利用零点存在定理判断零点所在区间，属于基础题. 6．将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数解析式为（）A ．3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．12sin 233y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．13sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．123sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据三角函数左右平移变换、伸缩变换的原则依次变换即可得到结果. 【详解】向左平移3π个单位得：sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 横坐标扩大到原来的2倍得：1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭纵坐标扩大到原来的3倍得：13sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭本题正确结果：C【点睛】本题考查求解三角函数图象变换后的解析式，涉及到相位变换和伸缩变换，属于常考题型.7．已知0.33a =，3log 0.3b =，30.3c =，则（） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】D【解析】根据指数和对数函数的单调性可确定临界值，从而得到大小关系. 【详解】0.30331a =>=；33log 0.3log 10b =<=；300.30.31c =<=且30.30c =>a cb ∴>>本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用指数和对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题. 8．函数()533xy x x =-⋅的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数奇偶性排除C ；根据x →+∞和()0,1x ∈时，函数值的正负可排除,A D ，从而得到正确结果.【详解】()()()()535353333x x x x x x x x x -⎡⎤---⋅=-+⋅=--⋅⎣⎦()533xy x x =-⋅∴为奇函数，图象关于原点对称，可排除C 选项； ()()3325133xx y x x x x =-⋅⋅=-当x →+∞时，0y >，可排除A 选项；当()0,1x ∈时，0y <，可排除D 选项. 本题正确选项：B 【点睛】本题考查函数图象的识别，解决此类问题常用的方法是根据函数的奇偶性、特殊位置的符号、单调性来进行排除.9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，13n n a S +=，*n N ∈，则5a =（） A ．334⋅ B ．3314⋅+ C ．44 D ．441+【答案】A【解析】根据11n n n a S S ++=-代入已知等式可求得14n n S S +=，从而可知{}n S 是等比数列，得到14n n S -=，利用554a S S =-求得结果.【详解】由13n n a S +=得：13n n n S S S +-=，即14n n S S +=又111a S == {}n S ∴是以1为首项，4为公比的等比数列 14n n S -∴=4335544434a S S ∴=-=-=⋅本题正确选项：A 【点睛】本题考查数列通项与前n 项和之间关系的应用，关键是能够证得数列{}n S 为等比数列. 10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有()()21f x f x +=-，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2log 3f x x =+，则()()20182019f f +=（）A ．3B ．2C ．2-D ．3-【答案】C【解析】根据()()21f x f x +=-可得函数周期为3，从而将所求式子变为()()10f f -+；利用函数的奇偶性的性质和在30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时的解析式即可求得结果.【详解】由()()21f x f x +=-得：()()3f x f x += 即：()f x 是周期为3的周期函数()()()()()()2018201967331673310f f f f f f ∴+=⨯-+⨯=-+ ()f x 为R 上的奇函数 ()()211log 42f f ∴-=-=-=-且()00f = ()()201820192f f ∴+=-本题正确选项：C 【点睛】本题考查利用抽象函数的周期性和奇偶性求解函数值的问题，关键是能够将自变量通过周期性和奇偶性转化为已知区间内的值，从而利用已知区间的解析式来进行求解. 11．若正数a ，b 满足111a b +=，则1911a b +--的最小值为（） A ．6 B ．9C ．12D ．15【答案】A【解析】利用已知等式可得1ab a =-且10a ->；代入所求式子可得基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】由111a b +=得：1111a b a a -=-=，即：1a b a =- 0b >，0a > 10a ∴->()19191916111111a a ab a a a ∴+=+=+-≥=------ 当且仅当()1911a a =--，即4a =时取等号 min19611a b ⎛⎫∴+= ⎪--⎝⎭本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够通过代入消元的方式，整理出符合基本不等式的形式. 12．已知函数()223,0,0x x f x x x ->⎧=⎨≤⎩．若0a >，0b <，且()()f a f b =，则()f a b +的最小值为（） A ．3- B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】令()()f a f b t ==，用t 表示出,a b ，进而可得0a b +>；代入函数解析式可将()f a b +变为二次函数，根据二次函数图象求得最值. 【详解】设()()f a f b t ==，则2230a b t -==≥ 32t a +∴=，b =)2123022t a b ++∴+===>()()2333f a b a b t t ∴+=+-=+-=-1=时，(min121t -=-=-，即()min 1f a b +=-⎡⎤⎣⎦本题正确选项：B 【点睛】本题考查函数最值的求解，关键是能够通过换元的方式将问题变为二次函数最值的求解问题.二、填空题13．已知向量()1,2a =，()1,1b =-，则2b =________，a b ⋅=________．【答案】()2,2- 1【解析】根据向量数乘运算和数量积运算法则求解即可. 【详解】()()221,12,2b =⨯-=-；()11211a b ⋅=⨯-+⨯=本题正确结果：()2,2-；1 【点睛】本题考查向量坐标运算中的数乘运算和数量积运算，属于基础题.14．计算：lg 2lg5+=________，)2221log 1-++=________．【答案】154【解析】根据指数和对数运算的运算法则直接计算可得结果. 【详解】()lg2lg5lg 25lg101+=⨯==；)221521log 11044-++=++= 本题正确结果：1；54【点睛】本题考查指数运算和对数运算，属于基础题. 15．已知tan 3α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________，3sin cos sin cos αααα-=+________．【答案】2- 2【解析】利用两角和差正切公式可求得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭；分子分母同时除以cos α，从而构造出tan α，代入求得结果. 【详解】tan tan314tan 241311tan tan 4παπαπα++⎛⎫+===- ⎪-⨯⎝⎭- 3sin cos 3tan 13312sin cos tan 131αααααα--⨯-===+++本题正确结果：2-；2 【点睛】本题考查利用两角和差正切公式求值、关于sin ,cos αα的齐次式的求解问题，属于基础题.16．若点x ，y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为________，以x ，y为坐标的点(),P x y 所形成平面区域的面积等于________．【答案】394【解析】由约束条件可得可行域，将2z x y =+的最大值转化为2y x z =-+在y 轴截距的最大值，根据图象平移可得过C 时最大，代入得到结果；平面区域为三角形区域，分别求出三个顶点坐标，从而可求得三角形的底和高，进而得到所求面积. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：2z x y =+的最大值即为：直线2y x z =-+在y 轴截距的最大值由2y x =-平移可知，当2y x z =-+过C 时，在y 轴截距最大由11x y y +=⎧⎨=-⎩得：()2,1C - m a x 413z ∴=-= 由1y x y =⎧⎨=-⎩得：()1,1B --；由1y x x y =⎧⎨+=⎩得：11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭∴平面区域面积为：()119211224ABC S ∆⎛⎫=⨯+⨯+= ⎪⎝⎭ 本题正确结果：3；94【点睛】本题考查线性规划中求解最值、区域面积类的问题，属于常考题型.17．已知等差数列{}n a 的公差为2，73a =，其前n 项和为n S ，则10S =________．【答案】0【解析】根据等差数列通项公式求得1a 和10a ，代入等差数列求和公式可得结果. 【详解】1763629a a d =-=-⨯=-；10733329a a d =+=+⨯= ()110101002a a S +∴==本题正确结果：【点睛】本题考查等差数列前n 项和的求解，涉及到等差数列通项公式的应用，属于基础题.18．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】【解析】利用辅助角公式可得：()()fθθϕ=+=sin ϕ=，cos 5ϕ=；可求得()22k k Z πθϕπ=--+∈，代入可知sin sin 44ππθϕ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用两角和差正弦公式即可求得结果.【详解】()()2sin cos f x x x x ϕ=+=+，其中sin ϕ=cos ϕ=则()()fθθϕ=+=()sin 1θϕ+=-()22k k Z πθϕπ∴+=-+∈，即()22k k Z πθϕπ=--+∈sin sin 2sin 4244k ππππθϕπϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=--++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin coscos sin 4422ππϕϕ=--==本题正确结果：【点睛】本题考查利用辅助角公式、两角和差正弦公式求解三角函数值的问题，关键是能够利用辅助角公式，结合最值取得的点求得θ.19．已知平面内两个单位向量a ，b 的夹角为60，()1R 2c a tb t =-+∈，则c c a +-的最小值为________．【答案】2【解析】根据向量数量积运算法则可求得2c 和()2c a -，从而得到c 和c a -，可得c c a +-的几何意义为点(),0t 到1,44⎛ ⎝⎭，3,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的距离之和，从而利用对称求解出距离之和的最小值. 【详解】222222221111113cos6024424416c a tb a ta b t b t t t t t ⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅+=-+=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2222222219393273224324416c a a tb a a tb a ta b t b t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=-⋅+=-+=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1c t ⎛-= ∴=c a t ⎛-=-=c c a ∴+-的几何意义为点(),0t 到14⎛ ⎝⎭，34⎛ ⎝⎭的距离之和13,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭关于x 轴的对称点坐标为1,4⎛ ⎝⎭()min2c c a ⎛∴+-==本题正确结果：2【点睛】本题考查向量数量积和模长运算的应用问题，关键是能明确所求模长之和的几何意义，将所求问题转化为直线上动点到两定点距离之和的最小值的求解问题，从而利用对称的思想求得结果.三、解答题20．已知函数()22sin cos 2sin 1f x x x x =+-．（Ⅰ）求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）π；()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】利用二倍角公式和辅助角公式整理可得()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭；（Ⅰ）代入4x π=求得结果；（Ⅱ）根据正弦型函数的性质可知：22T ππ==；令()222242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得x 的范围即为所求单调递增区间.【详解】()22sin cos 2sin 1sin 2s 42co 2f x x x x x x x π=+-⎛⎫=- ⎪⎝=⎭-（Ⅰ）214444f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）()f x 的最小正周期：22T ππ== 令()222242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得：()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈ ()f x ∴的单调递增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查三角函数函数值求解、周期性和单调区间的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，属于常考题型.21．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =3b =，sin 2sin C A =．（Ⅰ）求边c 的值；（Ⅱ）求ABC △的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）根据正弦定理求解即可；（Ⅱ）利用余弦定理求得cos A ，利用同角三角函数关系求得sin A ，代入三角形面积公式求得结果. 【详解】（Ⅰ）由正弦定理sin sin c a C A =得：sin sin a Cc A=又sin 2sin C A = 2c a ∴==（Ⅱ）由余弦定理得：222cos25b c a A bc +-===sin A ∴===ABC ∆∴的面积：11sin 3322S bc A ==⨯⨯=【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用问题，属于基础题. 22．已知函数()222f x x x =++．（Ⅰ）求函数()()10g x f x =-的单调递增区间；（Ⅱ）若对任意的实数1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()31f x mx -≥成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若()()()236h x f x a x =+--，[]13,x ∈-的最大值是0，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）()4,1--和()2,+∞；（Ⅱ）4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（Ⅲ）13a =-或1a =-．【解析】（Ⅰ）求得()g x 解析式后，根据解析式可画出()g x 图象，利用图象确定所求单调区间；（Ⅱ）通过分离变量的方式整理为：132m x x≤++；根据对号函数的单调性可求得()12x x xμ=++的最小值，从而得到()min 3m x μ≤，进而解得范围；（Ⅲ）得到()h x 解析时候，根据二次函数图象和性质，分别在32a ≥、1322a -<<、5122a -≤≤-、52a ≤-四种情况下构造关于最值的方程，从而解得结果. 【详解】（Ⅰ）由题意得：()()222819g x x x x =+-=+-令2280x x +-=，解得：4x =-或2x = 可得函数()g x 图象如下图所示：由图象可知，()g x 单调递增区间为：()4,1--和()2,+∞ （Ⅱ）对任意的实数1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，都有()31f x mx -≥成立得：22231x x mx ++-≥，即：2321mx x x ≤++132m x x ∴≤++，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦令()12x x xμ=++ 则()x μ在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,2上单调递增()()min 14x μμ∴== 34m ∴≤即4,3m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦（Ⅲ）由题意得：()()()2222236214h x x x a x x a x =+++--=+--对称轴为：21122a x a -=-=-+ []13,x ∈- ①当112a -+≤-，即32a ≥时()()()max 3932140h x h a ==+--=，解得：13a =-（舍）②当1112a -<-+<，即1322a -<<时()()()max 3932140h x h a ==+--=，解得：13a =-，符合题意③当1132a ≤-+≤，即5122a -≤≤-时()()max 112140h x h a =-=-+-=，解得：1a =-④当132a -+≥，即52a ≤-时 ()()max 112140h x h a =-=-+-=，解得：1a =-（舍）综上可知：13a =-或1a =- 【点睛】本题考查二次函数图象和性质的综合应用问题，涉及到函数图象、单调性求解、恒成立问题的求解、二次函数最值与图象之间的关系，考查学生对于二次函数知识的掌握情况.23．已知数列{}n a 满足11a =，()21n n n a g n a a +=+．（Ⅰ）若()1g n =，求证：对一切的*n N ∈，2n ≥，都有1n a >；（Ⅱ）若()12g n =，记12111222n nb a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++，求证：数列{}n b 的前n 项和1n S <；（Ⅲ）若()g n n =，求证：121111111n a a a ++⋅⋅⋅+<+++．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.【解析】（Ⅰ）由21n n n a a a +=+得210n n n a a a +-=≥，当且仅当0n a =时等号成立；而110a =>可得1n n a a +>，进而证得结论；（Ⅱ）由2112n n n a a a +=+整理可得：1122n n n a a a +=+；代入n b 可得11122n n n n a b a +<=，进而2111222nn S ⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据等比数列求和公式可证得结论；（Ⅲ）由21n n n a na a +=+整理可得：1111111n n n n n n a a na a a n+=-=-++，可知11111n n na a a +<-+，利用累加的方法可证得结论. 【详解】（Ⅰ）由()1g n =得：21n n n a a a +=+故有210n n n a a a +-=≥，当且仅当0n a =时等号成立而110a =>，故有210n n n a a a +-=>，即有1n n a a +>∴对一切的*n N ∈，2n ≥，都有1n a >（Ⅱ）当()12g n =时，有2112n n n a a a +=+，则有：()21222n n n n n a a a a a +=+=+ 122n n na a a +∴=+，即有1122n n n a a a +=+ 312112234111111222222222n n n n n n n a a a a a b a a a a a a a a ++∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=<+++ 2123111221111111222212nn n n n S b b b b ⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦∴=+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-∴数列{}n b 的前n 项和1n S <（Ⅲ）由21n n n a na a +=+得：()()11111111n n n n n n n n n a a na na na na na +⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭1111111111111n n n n n n n n n n n a na na a na a a a a n +⎛⎫∴=⋅-=-=-<- ⎪+++⎝⎭+ 即11111n n n a a a +<-+ 累加可得：1211111111111111n n n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<-=-<+++ 121111111n a a a ∴++⋅⋅⋅+<+++ 【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用问题，涉及到放缩法证明不等式、数列中的递推关系、等比数列求和公式的应用、累加累乘法的应用等知识，难点在于对数列通项进行合理的放缩，属于难题.。

2019-2020学年浙江省衢州市四校联盟高二(上)期中数学试卷 -(含答案解析)

2019-2020学年浙江省衢州市四校联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x|−2<x <2}，B ={x|(x +1)(x −3)≤0}，则A ∩(∁R B)等于( )A. (−1,2)B. (−2,−1]C. (−2,−1)D. (2,3) 2. 直线x −√3y +2=0的倾斜角是( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6 3. 已知平面△ABC 的直观图A′B′C′是边长为a 的正三角形则原三角形的面积是( )A. √62a 2 B. √34a 2C. √32a 2D. 12a 24. 已知x 、y 满足约束条件{x +y −1⩽0x −y ⩽0x ⩾0，则z = x + 2y 的最大值为( )A. −2B. −1C. 1D. 25. 若l,m,n 表示三条不同的直线，α,β表示两个不同的平面，下列说法正确的是( )A. 若，则B. 若，则 C. 若α⊥β,α∩β=l,m ⊥l ，则m ⊥β D. 若m ⊥α,n ⊥α，则6. 函数f(x)=(x −1)ln|x|的图象大致为( )A.B.C. D.7. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是棱CD 的中点，则A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角的余弦值为( )A. −√26 B. √26 C. −√1010 D. √10108. 已知直线l ：(a −1)x +2ay +a +1=0(a ∈R)，圆C ：(x −2)2+(y −1)2=9，则下列说法正确的是( )A. l 与C 可能相切或相交B. l 与C 可能相离或相切C. l 与C 一定相交D. l 与C 可能相交或相离9. 已知圆C ：(x −4)2+(y −3)2=4和两点A(0,−a)，B(0,a)(a >0)，若圆C 上有且只有一点P ，使得，则a 的值为( ) A. 3 B. 5 C. 3或7 D. 3或510. 正四棱锥S −ABCD 中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系是( )A. α<β<γ<θB. α<β<θ<γC. θ<α<γ<βD. α<γ<β<θ二、填空题（本大题共7小题，共36.0分） 11. 若，则______．12. 已知a ⃗ =(1,−3,λ)，b ⃗ =(2,4，−5)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则λ=______．13. 一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______；表面积为______．14. 在△ABC 中，O 是外接圆的圆心，若OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，∠A =60°，则△ABC 周长的最大值______ ．15. 如图，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，使二面角D −AE −B 为60°，则直线AD 与面ABCE 所成角的正弦值为______ ．16. 已知实数x ，y 满足x 2+2xy +2y 2−2y =0，则x +2y 的最大值是________． 17. 如图，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AA 1=1，M ，N 分别为CC 1，BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上且满足A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R).若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45°，则实数λ的值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知直线l ：x −y −1=0与圆C ：x 2+y 2=13交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点(x 1>x 2).(Ⅰ)求交点A ，B 的坐标； (Ⅱ)求△AOB 的面积．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB=AP=1，BC=√3．(Ⅰ)证明：PB//平面AEC；(Ⅱ)求二面角D−AE−C的余弦值．20.已知数列{a n}的前n项和S n=32n2+52n(n∈N∗)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．21.如图，四棱锥S−ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=3，E为线段SD上的一点．(1)求证：AC⊥BE；(2)若DE=1，求直线SC与平面ACE所成角的正弦值．22.已知函数f(x)=x2+(1−a)x−a(a∈R)．(1)解关于x的不等式f(x)<0；(2)若∀a∈[−1,1]，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A ={x|−2<x <2}，B ={x|(x +1)(x −3)≤0}={x|−1≤x ≤3}，则∁R B ={x|x >3或x <−1}， ∴A ∩(∁R B)=(−2,−1)，故选：C ．求出集合B ，得到集合B 的补集，从而求出其和A 的交集即可．本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题． 2.答案：A解析：【分析】先求出直线x −√3y +2=0的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可．本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．【解答】解：设倾斜角为α，∵直线x −√3y +2=0的斜率为√33，∴tanα=√33， ∵0≤α<π，∴α=π6．故选：A ． 3.答案：A解析：解：直观图△A′B′C′是边长为a 的正三角形，故面积为√34a 2，而原图和直观图面积之间的关系S 直观图S 原图=√24，那么原△ABC 的面积为：√62a 2故选：A ．由原图和直观图面积之间的关系S 直观图S原图=√24，先求出直观图三角形的面积，再由此关系求原图的面积即可得到答案本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查，解题的关键是理解记忆原图和直观图面积之间的关系S 直观图S原图=√24，能根据斜二测画法的规则推出这一关系，明确知道其来龙去脉的结论记忆起来才有把握，记得牢，应用灵活．4.答案：D解析：【分析】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件{x +y −1⩽0x −y ⩽0x ⩾0作出可行域如图：化目标函数z =x +2y 为y =−x 2+z2，由图可知，当直线y =−x2+z2 过C(0,1)时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 有最大值为0+2×1=2．故选D ．5.答案：D解析：【分析】利用空间中线线，线面，面面间的位置关系求解．【解答】解：若m//n,n ⊂α,则m//α或m ⊂α，故A 错误;若m//α,n ⊂a ，则不能确定m//n 关系，可能平行，可能相交，故B 错误; 若α⊥β,α∩β=l ，m ⊥l ，不能确定m ⊥β，也可能m ⊂β，故C 错误; 若m ⊥α,n ⊥α,则m//n ，故D 正确．故选D ． 6.答案：A解析：【分析】本题考查了函数图象的识别，利用排除法是关键，属于基础题．利用排除法，根据函数值即可判断．解：当x >1时，f(x)=(x −1)lnx >0，故排除C ，D ，当0<x <1时，x −1<0，lnx <0，∴f(x)=(x −1)lnx >0，故排除B 故选：A ． 7.答案：A解析：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， A 1(1,0，1)，M(0,12,0)， D(0,0，0)，C 1(0,1，1)，A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,−1)，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)， cos <A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=12−1√2+14⋅√2=−√26．故选：A ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A 1M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 8.答案：C解析：解：由直线l ：(a −1)x +2ay +a +1=0(a ∈R)可得： a(x +2y +1)−(x −1)=0，由{x +2y +1=0x −1=0可得该直线所过的定点为(1,−1)，检验可知，该点在圆内，故选：C ．由直线系方程可得直线所过定点，检验可得点在圆内，故一定相交．此题考查了直线与圆的位置关系，难度不大． 9.答案：C解析：解：根据题意，圆C ：(x −4)2+(y −3)2=4，其圆心为(4,3)，半径r =2，两点A(0,−a)，B(0,a)(a >0)，以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=a 2，设该圆为圆O ，其圆心为(0,0)，半径R =a ，若点P 满足∠APB =90°，则P 在圆x 2+y 2=a 2上，又由若圆C 上有且只有一点P ，则圆C 与圆x 2+y 2=a 2相切，则有|OC|2=(0+4)2+(0+3)2=25=(2−a)2或|OC|2=(0+4)2+(0+3)2=(2+a)2，解可得：a =3或7；故选：C ．根据题意，求出以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=a 2，分析可得又由若圆C 上有且只有一点P ，则圆C 与圆x 2+y 2=a 2相切，由圆与圆的位置关系分析可得答案．本题考查圆与圆的位置关系，注意将原问题转化为圆与圆相切的问题，属于基础题．解析：解：如图，正四棱锥S−ABCD，设AB=2，高VO=ℎ.H为BC中点．在RT△VOB中，tanα=tan∠VBO=VOBO =ℎ√2，在RT△VOℎ中，tanβ=tan∠VHO=VOHO=ℎ，在RT△VHC中，tanγ=tan∠VCH=VHCH=√ℎ2+1，∴0<tanα<tanβ<tanγ.∴α<β<γ<π2．过点D作DE⊥VA于E，连接ED，由于△VBA≌△VDA，∴ED⊥VA，∠BED为相邻两侧面所成的二面角θ．S△VAB=12VA×BE=12×BC×VH，即12√ℎ2+2×BE=12×2×√ℎ2+1，BE2=4(ℎ2+1)ℎ2+2，DE2+BE2=2DE2<BD2，∴∠BED为钝角，∴α<β<γ<θ．故选A．在正四棱锥S−ABCD，找出空间角的平面角，考虑通过三角函数的值大小关系得出角的大小关系．本题考查了正四棱锥的性质，空间角的定义及度量．三角函数的单调性．考查了空间想象能力、转化、计算能力．11.答案：√2+13解析：【分析】本题考查两角和差的三角函数公式的灵活运用．【解答】解：，，，．故答案为√2+13．12.答案：−2解析：解：∵a ⃗ =(1,−3,λ)，b ⃗ =(2,4，−5)，a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =2−12−5λ=0，解得λ=−2．故答案为：−2．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.答案：12；3+√2解析：【分析】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．【解答】解：由三视图知几何体是三棱柱，且三棱柱的高为1，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，其斜边长为√1+1=√2， ∴几何体的体积V =12×1×1×1=12；表面积S =2×12×1×1+(1+1+√2)×1=3+√2．故答案为12；3+√2．14.答案：3√3解析：解：△ABC 中，∵O 是外接圆的圆心，设外接圆的半径为r ，∵∠A =60°，∴∠BOC =120°，由OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，可得r ⋅r ⋅cos120°=−12⋅r 2=−12， ∴r =1，∴BC =√r 2+r 2−2r ⋅r ⋅cos120°=√3．△ABC 中，由余弦定理可得BC 2=3=CA 2+AB 2−2CA ⋅AB ⋅cos60°=AC 2+AB 2−CA ⋅CB =(AB +AC)2−3AB ⋅AC ≥(AB +AC)2−3(AB+AC 2)2，求得(AB +AC)2≤12，∴AB +AC ≤2√3，∴△ABC 周长AB +AC +BC ≤3√3，故△ABC 周长的最大值为3√3，故答案为：3√3．由条件可得外接圆的半径为r=1，BC=√3，再利用余弦定理、基本不等式求得△ABC周长的最大值．本题主要考查两个向量的数量积公式，余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题．15.答案：√3913解析：解：作DO垂直面ABCD，垂足为O，过O作OF垂直AE于F，连接DF、OA，则DF垂直AE，∠OFD为二面角D−AE−B的平面角，∠OFD=60°，∠OAD为直线AD与面ABCD所成角，AE=√AD2+DE2=√13，DF⋅AE=AD⋅DE，DF=AD⋅DEAE =6√13，DODF=sin∠OFD=sin60°=√32，DO=DF⋅√32=√13⋅√32=3√3913，sin∠OAD=DOAD =√3913，故答案为：√3913．作DO垂直面ABCD，垂足为O，过O作OF垂直AE于F，连接DF、OA，则∠OFD为二面角D−AE−B 的平面角等于60°，∠OAD为直线AD与面ABCD所成角，解三角形OFD，和三角形OAD，即可求出直线AD与面ABCE所成角的正弦值．本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中添加辅助线，构造出∠OAD为直线AD与面ABCD所成角，将线面夹角问题转化为解三角形问题，是解答本题的关键．16.答案：√2+1解析：【分析】本题考查了通过代换转化为一元二次方程有实数根的情况，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令x+2y=t，则x=t−2y，问题等价于方程2y2−(2+2t)y+t2=0有解，利用△≥0即可得出．【解答】解：令x+2y=t，则x=t−2y，x2+2xy+2y2−2y=0等价于方程2y2−(2+2t)y+t2=0有解，则△=(2+2t)2−8t2≥0，∴1−√2≤t≤1+√2．∴x+2y的最大值等于√2+1．故答案为√2+1．17.答案：−2解析：解：取AC的中点O，连接OB，则易知OB⊥平面ACC1A1，以O为原点建立如图所示的空间坐标系O−xyz，显然m⃗⃗⃗ =(0,1，0)为平面ABC的一个法向量．∵正三棱柱的棱长均为1，故A 1(12,1，0)，B 1(0,1，√32)，M(−12,12,0)，N(−14,0，√34)， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,−12,√34)，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0，√32)，MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,12,0)， ∴MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λA 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−12λ,12,√32λ)，设平面PMN 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{14x −12y +√34z =0(1−12λ)x +12y +√32λz =0，令z =2λ−5可得n ⃗ =(√3+2√3λ,2√3λ−2√3,2λ−5)，∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=2√3λ−2√32√7λ2−8λ+10=√3(λ−1)√7λ2−8λ+10，令√3(λ−1)√7λ2−8λ+10=±√22解得，λ=−2．故答案为：−2．建立坐标系，求出平面PMN 和平面ABC 的法向量，令法向量夹角的余弦值为±√22，即可求出λ的值．本题考查了空间向量与二面角的计算，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)由{x −y −1=0x 2+y 2=13，解得{x =3y =2或{x =−2y =−3，交点A ，B 的坐标分别为(3,2)，(−2,−3)；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知|AB|=√(3+2)2+(2+3)2=5√2，坐标原点到直线的距离d =√2=√22， ∴△AOB 的面积S =12|AB|⋅d =12×5√2×√22=52．解析：(Ⅰ)联立直线方程与圆的方程，通过解方程组求交点A ，B 的坐标；(Ⅱ)求出|AB|的距离，求出三角形的高．即可求△AOB 的面积．本题考查直线与圆的位置关系的应用，方程思想的应用，基本知识的考查．19.答案：证明：(Ⅰ)在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E 为PD 的中点．连结BD ，交AC 于O ，由底面ABCD 为矩形，得O 为BD 中点，连结OE ，则OE//PB ，∵PB ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，∴PB//平面AEC ．解：(Ⅱ)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D(0,√3,0)，A(0,0，0)，P(0,0，1)，E(0,√32,12)，C(1,√3,0)，平面ADE 的法向量n⃗ =(1,0，0)， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,12)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，设平面ACE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +12z =0m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3y =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(−√3,1，−√3)，设二面角D −AE −C 的平面角为θ，则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√7=√217． ∴二面角D −AE −C 的余弦值为√217．解析：(Ⅰ)连结BD ，交AC 于O ，连结OE ，则OE//PB ，由此能证明PB//平面AEC ．(Ⅱ)以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −AE −C 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.答案：解：(1)∵数列{a n }的前n 项和S n =32n 2+52n(n ∈N ∗)∴a 1=S 1=4，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=32n 2+52n −(32(n −1)2+52(n −1))=3n +1，又a n =3n +1对n =1也成立．∴a n =3n +1(n ∈N ∗)(2)由a n =3n +1可知：b n =1a n a n+1=13n+1⋅13n+4=13(13n+1−13n+4)∴T n =b 1+b 2+⋯…+b n =13(14−17+17−110+⋯…+13n +1−13n +4) =13(14−13n +4) =n12n+16．解析：(1)根据a n =S n −S n−1，可得数列{a n }的通项公式；(2)由b n =1a n a n+1，求解数列{b n }的通项公式，利用裂项相消法即可求解前n 项和T n ．本题主要考查数列通项公式和前n 项和的求解，利用裂项相消求和法是解决本题的关键． 21.答案：解：(1)因为四棱锥S −ABCD 的底面为正方形，SD ⊥平面ABCD ，所以SD ，DC ，DA 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，则各点的坐标为D(0,0，0)，A(3,0，0)，B(3,3，0)，C(0,3，0)，S(0,0，3)，设E(0,0，t) (0≤t ≤3)，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3，0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−3,t)．所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3×(−3)+3×(−3)+0×t =0，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AC ⊥BE ；(2)因为DE =1，所以t =1，所以SC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，−3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0，1)．设平面ACE 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，直线SC 与平面ACE 所成角为θ，所以n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即−3x +3y =0，−3x +z =0，解得x =y ，z =3x ．取x =1，则n⃗ =(1,1，3)，所以n ⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0×1+3×1+(−3)×3=−6，|n ⃗ |=√11，|SC⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，则sinθ=|cos <SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√11×3√2=√2211．所以直线SC 与平面ACE 所成角的正弦值为√2211．解析：本题考查直线与直线的垂直的判断，直线与平面所成角的大小的求法，本题的解题的关键是空间直角坐标系的建立，以及公式的灵活应用，考查计算能力，空间想象能力．(1)SD ，DC ，DA 两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出ABCS 点的坐标，设出E 的坐标，求出向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 通过向量的数量积证明AC ⊥BE ； (2)通过DE =1，求出SC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设出平面ACE 的法向量n ⃗ ，通过n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ⋅AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出n ⃗ ，然后利用公式求出直线SC 与平面ACE 所成角的正弦值．22.答案：解：(1)不等式x 2+(1−a)x −a <0，等价于(x −a)(x +1)<0，当a <−1时，不等式的解集为(a,−1)；当a =−1时，不等式的解集为⌀；当a >−1时，不等式的解集为(−1,a)．(2)x 2+(1−a)x −a =−a(x +1)+x 2+x ，设g(a)=−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1,1]，要使g(a)≥0在a ∈[−1,1]上恒成立，只需{g(−1)≥0g(1)≥0，即{x 2+2x +1≥0x 2−1≥0, 解得x ≥1或x ≤−1，所以x 的取值范围为{x|x ≤−1或x ≥1}．解析：本题考查函数与方程的应用，恒成立条件的转化，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．(1)不等式x 2+(1−a)x −a <0等价于(x −a)(x +1)<0，通过a 与−1的大小比较，求解即可．(2)x 2+(1−a)x −a =−a(x +1)+x 2+x ，设g(a)=−a(x +1)+x 2+x ，a ∈[−1,1]，要使g(a)≥0在a ∈[−1,1]上恒成立，只需{g(−1)≥0g(1)≥0，求解即可．。

浙江省衢州市2020-2021学年高二6月教学质量检测数学试卷

【全国市级联考】浙江省衢州市2020-2021学年高二6月教学质量检测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设i 是虚数单位，复数13i -的虚部是（） A ．1B ．3i -C ．-3D ．3i2．若实数,x y R ∈，则“0,0x y >>”是“0x y +>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知集合M 满足{}{}1,21,2,3,4M ⊆⊆，则集合M 的个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．54．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A C 的中点，则异面直线DE 与1B C 所成角的大小为（）A ．15B ．30C ．45D ．605．在等比数列{}n a 中，若33a =-，则此数列的前5项之积等于 A ．15- B ．15 C ．243D ．243-6．已知,0a b >，若211a b+=，则2a b +的最小值是（） A ．9B ．8C ．7D ．67．已知()f x 是R 上的奇函数，当0x ≥时，2log (1),01()3,1x x f x x x +≤<⎧=⎨-≥⎩，则函数1()2y f x =-的所有零点之和是（）A ．5+B ．1-C 1D ．58．设双曲线22221(0,0y x a b a b -=>>）的下焦点为(0)F c -，，直线y kx c =-与圆222x y a +=相切于点M ，与双曲线上支交于点N ，若MOF MON ∠=∠(O 是坐标原点)，则此双曲线的离心率为（）A B C D ．129．已知()f x 是(0,)+∞的增函数，若[()ln ]1f f x x -=，则()f e =（） A ．2B ．1C ．0D ．e10．数列{}n a 中，12n a +=12018a a +的最大值为（）A．2 B ．4C ．4-D ．4+二、双空题11．设函数()2sin(2)4f x x π=+，则函数()f x 的最小正周期为__________，单调递增区间为__________．12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________，表面积为__________．13．若抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(1,0)F ，则P =__________；设M 是抛物线C 上的动点，(4,3)A ，则||||MA MF +的最小值为__________．14．对于任意两个正实数,a b ，定义*aa b b λ=⨯．其中常数λ⎛∈ ⎝⎭，“⨯ ”是实数乘法运算，若8*33=，则λ=__________；若0a b ≥>，*a b 与*b a 都是集合{|,}2nx x n Z =∈中的元素，则*a b =__________．三、填空题15．已知实数,x y 满足2101010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，则331x y z x ++=+的取值范围是__________．16．已知定义在R上的函数()2017)20172018x x f x x -=+-+，若对任意的x ∈R ，不等式(32)()4036f x f x -+>恒成立，则实数x 的取值范围是__________．17．在平面内，···6AB AC BA BC CACB ===，若动点,P M 满足2,AP PM MC ==，则BM 的最小值是__________．四、解答题18．已知函数21111()cos )cos sin 2222f x x x x x =-+ （1）求函数()f x 的值域；（2）ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，()2,f B b ==ABC ∆面积S =，求a c +的值．19．三棱锥A BCD -中，E 是BC 的中点，且8,6,10,BD CD BC ===AB AD ==（1）求证：AE BD ⊥；（2）若二面角A BD C --的余弦值为34，求AD 与平面BCD 所成角的正切值． 20．已知函数21()ln (1)12f x x ax a x =-+-+．（1）当1a =时，）求函数()f x 在2x =处的切线方程；（2）求函数()f x 在[]1,2x ∈时的最大值．21．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的长轴长为(1,0)F -，若过点(2,0)B b -的直线与椭圆交于,M N 两点．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）求证：MFB NFB π∠+∠=；（3）求FMN ∆面积S 的最大值．22．数列{}n a 中，11,n a a =．（1）证明：1n n a a +<；（2）证明：121n n a a n +≥+；（3）设n b =22)n b n <<≥．参考答案1．C 【解析】复数13i -的虚部是-3,所以选C.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi2．A 【解析】0,0x y >>⇒ 0x y +>; 0? 0,0x y x y +>>>,所以“0,0x y >>”是“0x y +>”的充分不必要条件,选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 3．C 【解析】集合M 的个数为22=4. 选C. 4．B 【分析】建立空间直角坐标系，先求得向量1,DE B C 的夹角的余弦值，即可得到异面直线所成角的余弦值，得到答案. 【详解】分别以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，可得1(0,0,0),(1,1,2),(2,2,2),(0,2,0)D E B C , 所以1(1,1,2),(2,0,2)DE B C ==--，所以111cos ,2DE B C DE B C DE B C⋅===-⋅所以异面直线DE 和1B C 所成的角的余弦值为所以异面直线DE 和1B C 所成的角为30，故选B. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．D 【分析】根据等比数列性质化简前5项之积，再代入已知条件求结果；【详解】根据等比数列的性质可得55123453(3)243a a a a a a ==-=-，故选D ．【点睛】若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质：①若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*N ．推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-====若m n t p q r ++=++，则m n t p q r a a a a a a =．6．A 【解析】21222(2)()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+= ,当且仅当3a b == 时取等号选A.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 7．A 【解析】当0x ≥时，()0f x ≥ ，所以当0x <时，()0f x <；由2011log (1)2x x ≤<⎧⎪⎨+=⎪⎩得1x =-+；由1132x x ≥⎧⎪⎨-=⎪⎩得7522x =或，所以所有零点之和是5 A. 8．B 【解析】由题意得π,,,()2MF MN b ON C FNF F ''===∠=为上焦点，由双曲线定义得2b 2NF a '=-，所以222(22)(2)(2)2,b a b c b a c e -+=⇒=⇒==，选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 9．A 【解析】由题意得()ln f x x - 为常数，设为a ，则()ln ,()11ln 1f a a a f a a a a -==⇒-=⇒= 因此()ln 12f e e =+= ，选A. 10．D 【解析】由题意得221(2)4(2)2(2)n n n a a a n +-=--≥≥且，因此2222(2)(2)(2)n n n n a a a a n ++-=-⇒=≥因此12018a a+121222cos 22sin 4a a a θθ+=+=+++≤+（令122cos a θ=+ ），选D.11．π 3[,],88k k k Z ππππ-++∈ 【解析】函数()f x 的最小正周期为2ππ2= ,由πππ2[2π,2π]422x k k +∈-++ 得x ∈ 3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，即增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦12．13 32+ 【解析】所以体积为2111133⨯⨯=，表面积为2211111111222⨯+⨯⨯⨯=322++ 13．2 5 【解析】由12p= 得2p = ；设M,A 在准线上的射影为M 1，A 1 则MA MF +114+1=5MA MM AA =+≥=点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得0||2pPF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 14．98 52【解析】由8*33=得89=3=38λλ⨯⇒ ，23,,(,,)(1,)55,12242a m b n mn m n m n mn m n ba λλλ⨯=⨯=∈>⇒=∈⇒=⇒==Z 所以5*2a b =15．7[2,]2【解析】331x y z x ++=+33,(1,0),1PA yk A P x =+=+-+ 为可行域内一点，可行域如图，所以331x y z x ++=+的取值范围是[3,3]AB AC k k ++= 72,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 16．12x >【解析】()()2018g x f x =-为单调递增奇函数,而不等式()()324036f x f x -+>等价于1(32)()0(32)()322g x g x g x g x x x x -+>⇔->-⇔->-⇔>17．2 【解析】由···AB AC BA BC CACB ==得三角形ABC 为等边三角形，且边长为，以AC 所在直线为x 轴，AC 中点为坐标原点建系，则(3,0),(3,0),(0,3),(,)(22)A C B M x y P x y -⇒-设，因此2221x y =⇒+= ，所以312BM ≥-= 18．（1）[]22-,（2）2 【解析】试题分析：（1）先利用二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数形式()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，再根据正弦函数性质求值域（2）先根据()2f B =求B ，再利用余弦定理得223a c ac =++2()a c ac =+- ，利用三角形面积公式得1ac =，代入可得a c +的值．试题解析：（1）∵()cos f x x x =-2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x R ∈，∴()f x 的值域是[]2,2-（2）由()()2sin 1,0,6f B B B ππ⎛⎫=⇒-=∈ ⎪⎝⎭∴23B π=由2222cos b a c ac B =+- 223a c ac ⇒=++14S ac =⇒= ∴()242a c a c +=⇒+=19．（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）取BD 的中点为F ，由等腰三角形性质得BD AF ⊥，由勾股定理以及三角形中位线性质可得BD EF ⊥，再由线面垂直判定定理得BD ⊥面AEF ，因此可证BD AE ⊥（2）由线面角定义得ADE ∠就是AD 与平面BCD 所成的角，由二面角定义得AFE ∠就是二面角A BD C --的平面角，解三角形可得AD 与平面BCD 所成角的正切值．试题解析：（1）简证：设BD 的中点为F ，易得BD EF ⊥BD AF ⊥ BD ⇒⊥面AEF BD AE ⇒⊥（2）简解：3,4EF AF ==，34cos AFE AE EF ∠=⇒⊥，AE =又∵AE BD AE ⊥⇒⊥面BCD ADE ⇒∠就是AD 与平面BCD 所成的角θ∴5tan AE DE DE θ=⇒==20．（1）32ln 22y x =-++（2）max 143ln 2,211()ln ,12232,12a a f x a a a a a ⎧-++≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为()2f '，再根据点斜式可得切线方程；（2）先研究导函数符号变化规律：当12a ≤时，为正；当112a <<时，先正后负；当1a ≥时，为负，对应确定单调性，进而确定函数最值试题解析：解：（1）当1a =时，()21ln 12f x x x =-+ ∴()1f x x x'=- ∴()322f '=-，即32k 切=- 已知切点为()2,1ln2-+∴切线的方程为：32ln22y x =-++ （2）∵()()()21112ax a x f x x x -+-+≤'=≤当0a ≤时，()0f x '>在[]1,2x ∈恒成立∴()f x 在[]1,2x ∈单调递增∴()()max 243ln2f x f a ==-++ 当102a <≤时，()f x 在[]1,2x ∈单调递增 ∴()()max 243ln2f x f a ==-++ 当112a <<时，()f x 在11,x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在1,2x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减 ∴()max 11ln 2f x f a a a ⎛⎫==-⎪⎝⎭ 当1a ≥时，()f x 在[]1,2x ∈单调递减∴()()max 3122f x f ==-+ 综上所述()max 1432,211,12232,12a ln a f x lna a a a a ⎧-++≤⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩21．（1）2212x y +=（2）见解析（3【解析】试题分析：（1）由椭圆几何意义得222a c ==，解得22b =（2）即证：0MF NF k k +=，设()()1122,,,M x y N x y ，MN 直线方程为()2y k x =+，即证()()12122011x x x x +++=++，联立直线方程与椭圆方程，代入化简即证（3）利用三角形面积公式得121··2S FB y y =-，再利用MN 直线方程得1212S k x x =-，利用弦长公式可得一元函数S=，利用换元可化为一元二次函数：S =212t k =+，根据二次函数对称轴与定义区间位置关系可得最值试题解析：解：（1）∵椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为2，即222a c ==∴22b =，∴椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）QAB PAB π∠+∠=，即证：0MF NF k k +=设MN 直线方程为()2y k x =+，代入椭圆方程得：()2222128820kx k x k +++-= 其中0∆>，所以212k < 设()()1122,,,M x y N x y ，则2122812k x x k +=-+，21228212k x x k -=+ 121211MF NF y y k k x x +=+++ ()()12122211k x k x x x ++=+++ ()()12122011x x k x x ⎡⎤++=+=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦ （3）121211··22S FB y y k x x =-=-= 令212t k =+则S == 当216k =（满足212k <），所以S 的最大值为4点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.22．（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）平方化简得12n n na a a +=+，作差再根据项的符号可证（2）由2112n n n n n a a a a a -+<=-得递推关系112n n n n a a a a +-->，再根据叠加法可证结果（3）由12n n n a a a +=+平方得递推关系221244044,9n n n a a a +⎛⎫-=+∈ ⎪⎝⎭，叠加可得()()22240242,9n n a a n ⎛⎫--∈- ⎪⎝⎭，即得240141,9n n a n +⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭满足条件试题解析：证明：（1）11200n n n n n na a a a a a ++>⇒-=>⇒> （2）2112n n n n n a a a a a -+<=- 112n n n n a a a a +-⇒->1n =时1213n n a a n +=+= 2n ≥时()132121n n a a n n +>+-=+ 综述：121n n a a n +≥+；（3）需证245n n a n <<，∵22112244n n n n n na a a a a a ++=+⇒=++ ∴221244044,9n n n a a a +⎛⎫⇒-=+∈ ⎪⎝⎭()()22240242,9n n a a n ⎛⎫-⇒-∈- ⎪⎝⎭ ()240141,4,59n n a n n n +⎛⎫⇒∈+⊆ ⎪⎝⎭得证。

浙江省衢州市2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测物理试题(含答案)

浙江省衢州市 2020 年 6 月高二年级教学质量检测试卷
物理
命题：
审题：
本试题卷分选择题和非选择题两部分，共 8 页，满分 100 分，考试时间 90 分钟。考生注意：
1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
B.输电线上损失的电压增大为原来的 3 倍
C.输电线上的电能损失减少为原来的 1/9
D.用户得到的电功率增大为原来的 3 倍
9.如图，小球甲从 A 点水平抛出，同时将小球乙从 B 点自由释放，两小球经过 C 点时速度大小相等，方向
夹角为 60°。已知 A、C 高度差为 h，两小球质量均为 m，不计空气阻力，由以上条件可知
C.0~t2
内，传送带对物块做的功为W
=
1 2
mv22
−
1 2
mv12
D.0~t2 内，摩擦产生的热量一定大于物块减小的机械能
二、选择题Ⅱ（本题共 3 小题，每小题 2 分，共 6 分。每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的。全部选对的得 2 分，选对但不全的得 1 分，有选错的得 0 分） 14.一列简谐横波在同一介质中传播，图甲是某时刻的波形图，图乙是从该时刻起质点 A 的振动图像，下列说法正确的是
A.火星的第一宇宙速度
B.火星表面重力加速度
C.探测器绕行的周期
D.探测器受火星的引力
6.如图所示，竖直面内有带负电的圆环，当圆环沿顺时针方向转动时，a、b、c 三枚小磁针都会发生转动，
以下说法正确的是
A.a、b、c 的 N 极都向纸面外转动

浙江省衢州市2019-2020学年高二下学期6月教学质量检测数学试题

n1
A.
,2
1,
B.
,2
2,
C.
,1
2,
【答案】B 【解析】【分析】
D.
2, 2
aa
1 n
1
1 1n
先根据题意，对原式进行化简可得
n 1 n nn 1 n n 1
，然后利用累加法求得
a
a
1 =3- 1
n
n
2
1 2t
n 1 n 1 ，然后不等式
n1
2
at 1
2t
恒成立转化为
at 1 3
恒成立，再利用
解.
【详解】因为 a / /b ，所以 3 6 ( 2) m 0, m
9.
因为 a b ，所以 3m ( 2) 6 0, m 4 .
故答案为： 9; 4.
【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
13.十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，
C. 3
D. 4
，转化为曲线
y 3x a
与函数
y 2x2
的图象有三个交点，
分曲线 y 3x a 的左支、右支分别与抛物线 y 种情况讨论，数形结合可求得实数 a 的值.
2x2 相切，以及曲线 y
3x a 过原点三
【详解】令 f x
0 ，得出 2x2 3x a ，则曲线 y 3x a 与函数 y 2x2 的图象有三个
【答案】【解析】【分析】
(1). 3
(2). 3
由直线的一般方程 Ax By C 0 的斜率 k A 可得，由

2019-2020学年人教A版浙江省衢州市四校联盟高二(上)期中数学试卷含解析

2019-2020学年高二第一学期期中数学试卷一、选择题1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1＜x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩∁U B＝（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|1≤x＜2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|1≤x≤3} 2．直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为（）A．B．C．D．4．若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值（）A．B．0 C．D．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n⊥βD．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n6．函数y＝a x﹣a（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱DC的中点，则异面直线BM与A1C所成角的正弦值为（）A．B．C．D．8．已知直线l：x﹣y+2＝0，圆C：（x﹣3）2+y2＝4，若点P是圆C上所有到直线的距离中最短的点，则点P的坐标是（）A．（3，） B．（3﹣）C．（3﹣）D．（3）9．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a+3）2＝1上存在两个不同的点P，Q，使得|OP|＝|OQ|＝2（O 为坐标原点），则a的取值范围（）A．0＜a＜3 B．0≤a≤3 C．a＜﹣1或a＞4 D．a≤﹣1或a≥4 10．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，AD⊥侧面SCD，∠SDC＝120°，E是线段AB上的点（不含端点），若侧面SAB，直线SE，侧面SAD与平面ABCD所成角大小分别为α，β，γ，则下列结论成立的是（注：α指二面角S﹣AB﹣C的大小，γ指二面角S﹣AD﹣C的大小）（）A．α＜β＜γB．β＜γ＜αC．γ＜β＜αD．β＜α＜γ二、填空题（本大题共7题）11．若sinα+2cosα＝0（0＜α＜π），则tanα＝，cos（2）＝．12．已知向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若，则λ＝，若，，共面，则λ＝．13．一个三棱锥的三视图如图所示，则其体积为，其表面积为．14．在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，O为△ABC的外接圆圆心，则＝，△ABC的面积最大值为．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使得二面角D﹣AE﹣B为60°，则DE与平面ABCD所成角的余弦值为．16．若正实数x，y满足y2+2xy﹣1＝0，则x+2y的最小值为．17．如图，圆柱W的底面半径为1，高为2，平面MNFE是轴截面，点G，G1分别是圆弧，的中点，H在劣弧上（异于N，G1），H，G，G1在平面MNFE的同侧，记二面角G ﹣NH﹣F，G﹣FH﹣N的大小分别为α，β，则tanα﹣tanβ的取值范围为．三、解答题（本题共5小题）18．已知直线l：x+y+2＝0，圆C：（x﹣2）2+y2＝2．（1）平行于l的直线l1与圆C相切，求直线l1的方程；（2）直线l分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆C上，求△ABP的面积的取值范围．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，D为线段AC的中点．（1）证明：B1C∥平面BA1D；（2）求二面角B﹣A1D﹣C的余弦值．20．已知{a n}是等差数列，公差不为零，其前n项和为S n，若a2，a4，a7成等比数列，S3＝12．（1）求a n及S n；（2）已知数列{b n}满足，，T n为数列{b n}的前n项和，求T n的取值范围．21．（16分）四棱锥P﹣ABCD中，AP＝AC，底面ABCD为等腰梯形，CD∥AB，AB＝2CD＝2BC ＝2，E为线段PC的中点，PC⊥CB．（1）证明：AE⊥平面PCB；（2）若PB＝2，求直线DP与平面APC所成角的正弦值．22．（16分）已知．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若实数a满足，求实数a的取值范围；（3）若存在实数b∈[0，1]，使对任意x∈[1，+∞），f（x）﹣ax2+2ax﹣b≥0恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10小题）1．已知全集U＝R，集合A＝{x|1＜x≤3}，B＝{x|x＞2}，则A∩∁U B＝（）A．{x|1＜x≤2} B．{x|1≤x＜2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|1≤x≤3} 【分析】根据题意，由补集的定义先求出集合∁U B，进而由交集的定义计算可得A∩∁U B，即可得答案．解：根据题意，B＝{x|x＞2}，则∁U B＝{x|x≤2}又由A＝{x|1＜x≤3}，则A∩∁U B＝{x|1＜x≤2}；故选：A．2．直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】先求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系及倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．解：直线x﹣y+2＝0的斜率等于，又因为直线的斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角大于或等于0度小于180度，故直线的倾斜角为60°，故选：B．3．已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为（）A．B．C．D．【分析】作出原图三角形与直观图形，再求直观图形的面积．解：如图所示，直观图△A′B′C′的高为h＝C′D′sin45°＝CD sin45°＝×2×sin60°×sin45°＝，底边长为A′B′＝AB＝2；所以△A′B′C′的面积为：S＝AB•h＝×2×＝．故选：D．4．若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值（）A．B．0 C．D．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z＝x+2y 过点A（1，2.5）时，z最大值即可．解：作出x，y满足约束条件可行域如图，由z＝x+2y知，y＝﹣x+z，所以动直线y＝﹣x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得B（，）．结合可行域可知当动直线经过点B（，）时，目标函数取得最大值z＝+2×＝．故选：C．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n⊥βD．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n【分析】A．由条件可得m与n不一定垂直，即可判断出正误；B．由条件可得：m∥n或为异面直线，即可判断出正误；C．由条件可得：n与β的各种位置关系都有可能，即可判断出正误；D．由α∥β，m⊥α，n∥β，利用面面平行、线面垂直的性质定理即可判断出正误．解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．A．α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n不一定垂直，不正确；B．α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或为异面直线，因此不正确；C．α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n与β的各种位置关系都有可能，因此不正确；D．α∥β，m⊥α，∴m⊥β，又n∥β，可得m⊥n，正确．故选：D．6．函数y＝a x﹣a（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】令x＝1得y＝0，即函数过定点（1，0），利用对应性进行排除即可．解：当x＝1时，y＝a﹣a＝0，即函数过定点（1，0），排除A，B，D，故选：C．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱DC的中点，则异面直线BM与A1C所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BM与A1C所成角的正弦值．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱DC的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中设棱长为2，则B（2，2，0），M（0，1，0），A1（2，0，2），C（0，2，0），＝（﹣2，﹣1，0），＝（﹣2，2，﹣2），cos＜，＞＝＝＝，则异面直线BM与A1C所成角的正弦值为＝．故选：A．8．已知直线l：x﹣y+2＝0，圆C：（x﹣3）2+y2＝4，若点P是圆C上所有到直线的距离中最短的点，则点P的坐标是（）A．（3，）B．（3﹣）C．（3﹣）D．（3）【分析】先确定直线与圆的位置关系，找出圆上的点到直线的最短距离的点，求出连心线方程，与圆联立解方程，根据点所在象限求出P即可．解：如图，直线l：x﹣y+2＝0的斜率为1，所以过圆心垂直于l的直线方程为：y＝﹣x+3．圆上的点到直线的最短距离的点P，就是直线与圆第一象限的交点．联立解方程，得或者．因为P在第一象限，所以P（．故选：B．9．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a+3）2＝1上存在两个不同的点P，Q，使得|OP|＝|OQ|＝2（O 为坐标原点），则a的取值范围（）A．0＜a＜3 B．0≤a≤3 C．a＜﹣1或a＞4 D．a≤﹣1或a≥4 【分析】根据题意，分析可得P、Q在以（0，0）为圆心，半径为2的圆上，其方程为x2+y2＝4，进而分析可得两个圆有两个交点，由圆与圆的位置关系可得2﹣1＜＜2+1，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，点P、Q满足|OP|＝|OQ|＝2，则P、Q在以（0，0）为圆心，半径为2的圆上，其方程为x2+y2＝4，若圆（x﹣a）2+（y﹣a+3）2＝1上存在两个不同的点P，Q，使得|OP|＝|OQ|＝2（O为坐标原点），即两个圆有两个交点，则2﹣1＜＜2+1，变形可得a2﹣3a＜0且a2﹣3a+4＞0，解可得：0＜a＜3，即a的取值范围为0＜a＜3，故选：A．10．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，AD⊥侧面SCD，∠SDC＝120°，E是线段AB上的点（不含端点），若侧面SAB，直线SE，侧面SAD与平面ABCD所成角大小分别为α，β，γ，则下列结论成立的是（注：α指二面角S﹣AB﹣C的大小，γ指二面角S﹣AD﹣C的大小）（）A．α＜β＜γB．β＜γ＜αC．γ＜β＜αD．β＜α＜γ【分析】作出二面角的平面角，再根据正切的三角关系，比较大小，最后得到结论．解：∵AD⊥侧面SCD，∴AD⊥CD，AD⊥SD，∴∠SDC是面SAD与底面ABCD所成的二面角，∵∠SDC＝120°，侧面SAB，直线SE，SAD与底面ABCD所成的二面角分别为α，β，γ，∴γ＝120°，过S作SO⊥CD于O，则AD⊥SO，∴SO⊥平面ABCD，∴∠SCD为平面SBC与底面ABCD所成角，∴β＜60°，tanβ＝，过O作OE⊥AB于E，则∠SEO为直线SE与平面ABCD所成的二面角，tanα＝，∴0＜β＜α＜γ，故选：D．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．若sinα+2cosα＝0（0＜α＜π），则tanα＝﹣2 ，cos（2）＝．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得tanα，再利用二倍角公式，求出cos（2）的值．解：∵sinα+2cosα＝0（0＜α＜π），∴sinα＝﹣2cosα，即tanα＝﹣2．∴cos（2）＝cos2α﹣sin2α＝•﹣•＝•﹣•＝﹣•＝，故答案为：﹣2；．12．已知向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若，则λ＝﹣3 ，若，，共面，则λ＝．【分析】本题第一个空根据两向量垂直则内积为0即可算出λ的值；第二个空三向量共面，则其中一个向量可由另两个向量线性表达，然后转化成方程组即可得出结果．解：由题意，可知：①⊥⇔2×7+（﹣1）×5+3λ＝0，解得λ＝﹣3．②，，共面⇔存在两个实数m、n，使得＝m+n，即，根据上面两个式子，可得．∴λ＝3×﹣2×＝．故答案为：﹣3，．13．一个三棱锥的三视图如图所示，则其体积为10 ，其表面积为26．【分析】由三视图画出该三棱锥的直观图，结合图形求出该三棱锥的表面积和体积．解：由三视图，画出该三棱锥P的直观图如图所示；则该三棱锥的表面积是S＝S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC＝×3×4+×5×+×3×5+×4×＝6+++2＝26+2；体积是V＝S△ABC•PA＝××3×4×5＝10．故答案为：10，26+2．14．在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，O为△ABC的外接圆圆心，则＝0 ，△ABC 的面积最大值为．【分析】（1）直接由圆心角是对应圆周角的2倍，可得OA⊥OC；（2）由余弦定理可得＝，再用三角形的面积公式可求得三角形面积是最大值；解：由，∠B＝45°，则∠AOC，即OA⊥OC；∴；又由余弦定理|AC|2＝|AB|2+|BC|2﹣2|AB|•|BC|cos∠B≥；即＝；≤＝；故答案为：0，；15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使得二面角D﹣AE﹣B为60°，则DE与平面ABCD所成角的余弦值为．【分析】取AB中点F，连接DF，交AE于O，取OF中点G，证明DG⊥平面ABCE，则∠DEG 即为DE与平面ABCD所成角，在三角形DEG中处理即可．解：如图，取AB的中点F，连接DF，交AE于O，因为AB＝2，AD＝1，所以OD＝OF＝，DE＝EF＝1，AE⊥OD，AE⊥OF，又OD∩OF＝O，所以AE⊥平面ODF，所以∠DOF即为二面角D﹣AE﹣B的平面角，所以∠DOF＝60°所以△DOF为正三角形，所以DF＝，取OF的中点G，连接GE，GD，因为AE⊥平面ODF，DG⊂平面ODF，所以DG⊥AE，又因为DG⊥OF，OF∩AE＝O，所以DG⊥平面ABCE，所以∠DEG即为DE与平面ABCD所成角，DG＝OD×sin60°＝＝，所以GE＝＝＝，所以sin∠DEG＝＝＝，故答案为：．16．若正实数x，y满足y2+2xy﹣1＝0，则x+2y的最小值为．【分析】令x+2y＝t，（t＞0）则x＝t﹣2y，将已知条件转化为方程3y2﹣2ty+1＝0有实根，根据判别式即可求t的范围．解：令x+2y＝t，（t＞0）则x＝t﹣2y，依题意，y2+2xy﹣1＝0，即y2+2y（t﹣2y）﹣1＝0，所以方程3y2﹣2ty+1＝0有实根，所以△＝（2t）2﹣12≥0，解得t或t（舍），所以x+2y的最小值为，故答案为：．17．如图，圆柱W的底面半径为1，高为2，平面MNFE是轴截面，点G，G1分别是圆弧，的中点，H在劣弧上（异于N，G1），H，G，G1在平面MNFE的同侧，记二面角G ﹣NH﹣F，G﹣FH﹣N的大小分别为α，β，则tanα﹣tanβ的取值范围为（4，+∞）．【分析】以点O2为坐标原点，分别以O2G，O2E，O2O1为x、y、z轴建立空间坐标系O2﹣xyz，N（0，﹣1，2），G（1，0，0），F（0，1，2），设H（m，n，2），0＜m＜1，﹣1＜n＜0，且m2+n2＝1，设平面NHG的法向量，由，可得．设平面GFH的法向量，由，可得．设平面FNH的法向量为＝（0，0，1），利用向量解集公式可得cosα＝|cos＜，＞|．可得tanα．﹣cosβ＝|cos＜，＞|．可得﹣tanβ．代入tanα﹣tanβ，化简整理即可得出．解：以点O2为坐标原点，分别以O2G，O2E，O2O1为x、y、z轴建立空间坐标系O2﹣xyz，所以N（0，﹣1，2），G（1，0，0），F（0，1，2），设H（m，n，2），0＜m＜1，﹣1＜n＜0，且m2+n2＝1，，设平面NHG的法向量，，由，得，，设平面GFH的法向量，，由，得，故，设平面FNH的法向量为＝（0，0，1），cosα＝|cos＜，＞|＝＝．可得tanα＝．﹣cosβ＝|cos＜，＞|＝＝．可得﹣tanβ＝．∴tanα﹣tanβ＝+＝+＝2（+）＝＞4．（n→﹣1时）．故答案为：（4，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．已知直线l：x+y+2＝0，圆C：（x﹣2）2+y2＝2．（1）平行于l的直线l1与圆C相切，求直线l1的方程；（2）直线l分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆C上，求△ABP的面积的取值范围．【分析】（1）利用直线的平行，设出直线l1的方程，根据相切求出直线的方程；（2）求出|AB|，利用点到直线的距离h，根据几何性质求出h的范围，代入面积公式即可．解：（1）设l的平行系方程为l1：x+y+m＝0，因为直线l1与圆C相切，所以，∴m＝0，m＝﹣4∴l1：x+y＝0或l1：x+y﹣4＝0．（2）直线l分别与x轴，y轴交于A，B两点，A（0，﹣2），B（﹣2，0），记P到直线l的距离为h，则，又圆心C到l的距离，∴d﹣r≤h≤d+r，即，代入得：2≤S△ABP≤6．19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，D为线段AC的中点．（1）证明：B1C∥平面BA1D；（2）求二面角B﹣A1D﹣C的余弦值．【分析】（1）连接AB1交A1B于E，则AE＝EB1，由D为AC中点，得到B1C∥DE，由此能证明B1C∥平面BA1D．（2）以AC，AB，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B ﹣A1D﹣C的余弦值．解：（1）证明：连接AB1交A1B于E，则AE＝EB1，又D为AC中点，∴在△AB1C中，B1C∥DE，DE⊂平面BA1D，B1C⊄平面BA1D，∴B1C∥平面BA1D．（2）解：以AC，AB，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB＝2，则A1（0，0，2），B（0，2，0），D（1，0，0），C（2，0，0），设平面BA1D法向量＝（x，y，z），＝（0，﹣2，2），＝（1，﹣2，0），则，则＝（2，1，1），同理平面CA1D的法向量＝（0，1，0），则|cosθ|＝，∵二面角B﹣A1D﹣C为钝角，∴二面角B﹣A1D﹣C的余弦值为﹣．20．已知{a n}是等差数列，公差不为零，其前n项和为S n，若a2，a4，a7成等比数列，S3＝12．（1）求a n及S n；（2）已知数列{b n}满足，，T n为数列{b n}的前n项和，求T n的取值范围．【分析】（1）将a2，a4，a7成等比数列，S3＝12．转化为a1和d的方程组，解出a1和d，即可得到a n及S n；（2）数列{b n}满足，当n≥2时，运用累加法求出b n，验证n＝1时也成立，再利用裂项相消求和求出T n，根据其单调性即可求出T n的范围．解：（1）解得d＝0（舍）或d＝1，则a1＝3，a n＝n+2，S n＝，（2）由﹣＝a n得n≥2时，＝（）+（+）+（﹣）+……+（﹣）+，＝，当n＝1时上式仍成立．∴b n＝＝2（﹣），∴，∵单调递增．∴．21．（16分）四棱锥P﹣ABCD中，AP＝AC，底面ABCD为等腰梯形，CD∥AB，AB＝2CD＝2BC ＝2，E为线段PC的中点，PC⊥CB．（1）证明：AE⊥平面PCB；（2）若PB＝2，求直线DP与平面APC所成角的正弦值．【分析】（1）直接利用直线和平面的垂直之间的转换的应用求出结果．（2）首先建立空间直角坐标系，利用平面的法向量的应用，进一步利用平面向量的数量积的应用期初直线和平面夹角．【解答】证明：（1）AP＝AC，E为PC的中点，所以AE⊥PC，在等腰梯形ABCD中，作CF⊥AB，F为垂足，则由AB＝2BC＝2CD知FB＝，所以∠CBA＝60°，∠CAB＝30°，则∠ACB＝90°．即AC⊥BC，又PC⊥BC，PC∩AC＝C，BC⊥平面PCA，AE⊂平面PCA，AE⊥BC，由于PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PCB，所以AE⊥平面PCB．解：（2）PB＝2，BC＝1，所以，AP＝AC＝，取AC中点M，则PM⊥AC，所以BC⊥平面PCA，PM⊥BC，所以PM⊥平面ABCD．如图以CA为x轴，CB为y轴，C为原点建立空间直角坐标系，则A（），B（0，1，0），C（0，0，0），，，由（1）知BC⊥平面PCA，则平面APC的法向量，，所以，直线DP与平面APC所成角的正弦值．22．（16分）已知．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若实数a满足，求实数a的取值范围；（3）若存在实数b∈[0，1]，使对任意x∈[1，+∞），f（x）﹣ax2+2ax﹣b≥0恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）利用奇函数的定义证明即可；（2）利用对数的性质化简，利用函数的单调性脱去f，即可解的；（3）假设存在实数b∈[0，1]，使对任意x∈[1，+∞），f（x）﹣ax2+2ax﹣b≥0，即f （x）≥ax2﹣2ax+b成立，则f（x）≥ax2﹣2ax+1≥ax2﹣2ax；令g（x）＝ax2﹣2ax，分三种情况对g（x）在[1，+∞）上单调性讨论，当a＜0时，当a＝0时，当a＞0时，只要f（x）最小值≥g（x）最大值，即可．解：（1）定义域为R，f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x）；∴f（x）为奇函数；（2）f（x）＝＝＝1﹣由于e2x+1为增函数且e2x+1＞0，∴为减函数，∴f（x）为R上的增函数；∴2f（log3a）+f（）+f（1）＝2f（log3a）﹣f（log3a）+f（1）≤0；∴f（log3a）≤﹣f（1）＝f（﹣1）；∴；∴0＜a≤；（3）假设存在实数b∈[0，1]，f（x）﹣ax2+2ax﹣b≥0，即f（x）≥ax2﹣2ax+b成立，则f（x）≥ax2﹣2ax+1≥ax2﹣2ax；由（2）知f（x）在[1，+∞）单调递增；令g（x）＝ax2﹣2ax，当a＜0时，g（x）在（1，+∞）单调递减，∴要使f（x）≥ax2﹣2ax＝g（x）对任意x ∈[1，+∞）恒成立，则只要f（1）≥g（1），即≥﹣a成立，解得0＞a≥﹣；当a＝0时，g（x）＝0，∴f（x）≥＞0，恒成立当a＞0时，因为g（x）＝ax2﹣2ax在[1，+∞）单调递增且当x→+∞时，g（x）→+∞；而f（x）＝＝＝1﹣＜1；所以必然存在x0∈[1，+∞），使x＞x0时，有g（x）＞f（x），综上：≤a≤0．。

浙江省衢州市开化中学2019-2020学年高二数学理测试题含解析

浙江省衢州市开化中学2019-2020学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，，且，若，则（）A. B. C. D.参考答案：B当时有，所以，得出，由于，所以.故选B.2. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于()A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：A略3. 函数的递减区间是A.或B.C. 或D.参考答案：B略4. 在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1内的动点，且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P﹣BCD的体积最大值是（）A．36 B．12 C．24 D．18参考答案：B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据Rt△ADP∽△Rt△PMC，PD=2PC，利用体积公式求解得出PO⊥CD，求解OP 最值，根据勾股定理得出：3h2=﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，利用函数求解即可【解答】解：∵在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD=∠MPC，∴Rt△ADP∽△Rt△PMC，∴==2，即PD=2PC，设DO=x，PO=h，作PO⊥CD，∴，化简得：3h2=﹣3x2+48x﹣144，0≤x≤6，根据函数单调性判断：x=6时，3h2最大值为36，h大=，∵在正方体中PO⊥面BCD，∴三棱锥P﹣BCD的体积最大值：=12，故选：B【点评】本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即可，属于难题．5. 函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）参考答案：A【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据已知中函数y=Asin（ωx+?）在一个周期内的图象经过（﹣，2）和（﹣，2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin（ωx+?）的解析式．【解答】解：由已知可得函数y=Asin（ωx+?）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2）则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin（2x+?），将（﹣，2）代入得﹣+?=+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=此时故选A6. 定义在R上的函数的反函数为，且对任意的x都有若ab=100,则--( )A.2B.3C.4D.6参考答案：D略7. 已知正三棱锥的所有棱长均为，则侧面与底面所成二面角的余弦为A． B． C． D.参考答案：C略8. 已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点, 则l的方程是（）A. x＋2y+8＝0B. x＋2y－8＝0C. x-2y－8＝0D. x-2y+8＝0参考答案：B9. 从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则与的大小关系为（）A． B.C． D.不确定参考答案：B略10. 在棱长为的正方体内有一四面体，其中分别为正方体两条棱的中点，其三视图如图所示，则四面体的体积为（）A． B．C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 比较大小：log25 log23；（填“＞”或“＜”）参考答案：＞【分析】利用对数函数的单调性，判断即可．【解答】解：因为y=log2x，是单调增函数，所以log25＞log23．故答案为：＞．【点评】本题考查对数函数的单调性的应用，基本知识的考查．12. 设是等差数列的前项和，且，则下列结论一定正确的有(1)． (2)．(3)(4)(5)．和均为的最大值参考答案：(1)(2)(5)13. 设锐角的面积为2，边的中点分别为，为线段上的动点，则的最小值为_____________．参考答案：14. 已知M(-5,0),N(5,0),给出下列直线的方程：①5x-3y=0;②5x-3y-52=0;③x-y-4=0;④4x-3y+15=0,在直线上存在点P满足|MP|=|PN|+6的直线方程是___________参考答案：②③15. 若函数f（x）=2x﹣5，且f（m）=3，则m= ．参考答案：3【考点】有理数指数幂的化简求值；函数的值．【分析】由题意化为方程f（m）=2m﹣5=3，从而解得．【解答】解：由题意知，f（m）=2m﹣5=3，解得，m=3；故答案为：3．16. 已知抛物线C：y2=4x的焦点F，点P为抛物线C上任意一点，若点A（3，1），则|PF|+|PA|的最小值为．参考答案：4考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．解答：解：抛物线C：y2=4x的准线为x=﹣1．设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小．当D，P，A三点共线时，|PA|+|PD|最小，为3﹣（﹣1）=4．故答案为：4．点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．17. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为_________．参考答案：②③④略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019-2020学年衢州市高二(下)期末数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年衢州市高二(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={1,2，3}，B={2,4，6}，则A∩B=()A. 2B. {2}C. {2,3，4}D. {1,2，3，4，6}2.已知双曲线与椭圆x29+y225=1的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于85，则此双曲线的方程为()A. x24−y212=1 B. y24−x212=1 C. x212−y24=1 D. y212−x24=13.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//，//，则//D. ，使成立4.已知函数f(x)=4sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所，则f(π2)=()A. 3√23B. −3√22C. −32D. 325.设点(x,y)在不等式组{x≥1y≥1x+y−4≤0所表示的平面区域上，若对于b∈[0,1]时，不等式ax−by>b恒成立，则实数a的取值范围是()A. (23,4) B. (23,+∞) C. (4,+∞) D. (2,+∞)6. 一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )cm 3A. 6B. 3C. 4D. 87.已知f(x)=lnx +x −2，g(x)=xlnx +x −2在(1,+∞)上都有且只有一个零点，f(x)的零点为x 1，g(x)的零点为x 2，则( )A. 1<x 2<x 1<2B. 1<x 1<x 2<2C. 1<x 1<2<x 2D. 2<x 2<x 18.已知函数y =√1−x 2−x −m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−2,2)B. (−1,1)C. [1,√2)D. [−√2,√2]9.二面角的平面角是锐角，点C 且点C 不在棱AB 上，D 是C 在平面上的射影，E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任意一点，则( )A. ∠CEB >∠DEBB. ∠CEB =∠DEBC. ∠CEB <∠DEBD. ∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定10. 已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n −3，则数列{a n }的通项公式为( )A. a n ={1,n =13−2n−1,n >1B. a n =3+(−2)nC. a n =3−2nD. a n =−3+2n+1二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 已知O 为椭圆中心，F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点与上顶点，P 为椭圆上一点，若PF 1⊥F 1A ，PO//AB ，则该椭圆的离心率为______ ．12. 若A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，则1A+B +4C 的最小值为______ ．13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三角形的面积为√3，又cosC cosB =c 2a−b ，则1b+1+9a+9的最大值为______ ．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 直线−x +√3y −6=0的倾斜角是，在y 轴上的截距是．15. 已知|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=√2，且a ⃗ ⊥(a ⃗ +b ⃗ )，则向量a ⃗ 与向量b ⃗ 夹角的大小是，向量b ⃗ 在向量a⃗ 上的投影向量是．16. 若4a =8，则a = (1) ，若lg2+lgb =1，则b = (2) ．17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知acosB =bcosA ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4.则c = ；AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=2√3sinxcosx −sin(π2−2x)，x ∈R ． (Ⅰ)求f(x)的最小值，并求出相应的x 值的集合； (Ⅱ)求f(x)的单调递减区间．19. 如图，在梯形ABCD 中，BC//AD ，AB ⊥BC ，AB =BC =1，PA =AD =2，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点． (Ⅰ)求证：CE//平面PAB ；(Ⅱ)求直线CE 与平面PAD 所成角的大小．20. 设数列{a n }前n 项和为S n ，且S n +a n =2． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b 1=a 1，b n =3b n−1bn−1+3，n ≥2.求数列{b n }的通项公式；(3)(理)设c n =anb n ，求数列{c n }的前n 和T n ．(文)设c n =na n ，求数列{c n }的前n 和E n ．21. 设点F(1,0)，动圆P 经过点F 且和直线x =−1相切．记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W ． (Ⅰ)求曲线W 的方程；(Ⅱ)过点M(0,2)的直线l 与曲线W 交于A 、B 两点，且直线l 与x 轴交于点C ，设MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =αAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =βBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：α+β为定值．22. 已知函数f(x)=sinx +cosx +sin2x ，(x ∈R)，试求f(x)的最大值和最小值。