大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
历届“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题及答案
由条件易得 △ACE ∽△BAE ，
（第 9 题）
∴ CE AE ， AE2 CE EB ，即 AE2 mEB 。 AE BE
结合 AB2 AE2 EB2 ，得 (2 5m)2 mEB EB2 。 （或由射影定理得 BA2 BE BC ，即 (2 5m)2 BE (BE m) ） ∴ EB2 mEB 20m2 0 ，解得 EB 4m 或 EB 5m（舍去）。
将 t 4 代入方程①，解得 x2 8 ，x 2 6 ；t 4 代入方程①，解得 x2 8 ，x 2 10 。
3
3
3
5
5
5
∴ xy 的最大值为 4 ，最小值为 4 。
3
5
因此， M 8 4 20 ， m 8 4 12 ， M m 20 12 136 。
3
3
5
y 10 ，或 x 2 10 ， y 10 时等号成立。
5
5
5
∴ xy 的最小值为 4 ， u x2 xy 4y2 2xy 4 的最小值为 12 ，即 m 12 。
5
5
5
∵ 3xy 4xy (x2 4 y2 4) 4 (x 2y)2 4，当且仅当 x 2y ，即 x 2 6 ，y 6 或
不填、多填或错填都得 0 分）
1．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 B(0，2) ，点 A 在 x 轴正半轴上且 BAO 30 。将
△OAB 沿直线 AB 折叠得 △CAB ，则点 C 的坐标为（ ）
A． (1， 3)
B． ( 3 ，3)
C． (3， 3) D． ( 3 ，1)
2．若实数 a ， b 满足 a2 3a 2 ， b2 3b 2 ，且 a b ，则 (1 a2 )(1 b2 ) （ ）
2018年大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标
年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试卷参考答案及评分标准考试时间 年月日 ∶－∶ 满分分一、选择题（共小题，每小题分，共分）。
每道小题均给出了代号为，，，的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得分）．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）．3- ．2- ．1- ． 【答案】【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。
因此，2310m m ++=。
∴ 231m m =--，231m m +=-。
∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。
．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。
坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ）．11．1．1 【答案】【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。
由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。
∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。
∴1nm=。
（第题图）．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AE AC=（ ）．25 ．35 ．37 ．47【答案】【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。
过点F 作FM DE ∥，交AC 于点M 。
则13CM CF CE CD ==，21AE AG EM GF ==。
“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案
2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2019年3月17日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若一次函数2y x =+与反比例函数4y x=的图像交于11()A x y ，，22()B x y ，两点，则1212x x y y +的值为（）A ．8B ．6C ．6-D ．8-【答案】D【解答】由24y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2240x x +-=……………①。
依题意，1x ，2x 是方程①的两根，于是122x x +=-，124x x =-。
∴121212121212441616484x x y y x x x x x x x x +=+⋅=+=-+=--。
2．如图，ABC △为圆O 的内接三角形，D 为BC 中点，E 为OA 中点，40ABC ∠=︒，80BCA ∠=︒，则OED ∠的大小为（）A ．15︒B ．18︒C ．20︒D ．22︒【答案】C【解答】如图，连结OC 。
由40ABC ∠=︒，80BCA ∠=︒，得60BAC ∠=︒。
∵D 为BC 中点，∴OD BC ⊥，1602DOC BOC BAC ∠=∠=∠=︒。
∴30OCD ∠=︒，12OD OC =。
又E 为OA 中点，∴12OE OA OD ==。
结合40ABC ∠=︒，知24060140EOD AOC COD ∠=∠+∠=⨯︒+︒=︒，（第2题图）（第2题答题图）11(180)(180140)2022OED EOD ∠=︒-∠=︒-︒=︒。
3．已知二次函数2()2f x x ax b =++，若()(1)f a f b =+，其中1a b ≠+，则(1)(2)f f +的值为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】A【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，知124a b a++=-。
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准 (4)
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。
因此，2310m m ++=。
∴ 231m m =--，231m m +=-。
∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。
2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。
坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。
由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。
∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。
∴1nm=。
（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。
大梦杯福建省初中数学竞赛试题
“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设2323a =++-，则1a a+的整数部分为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B【解答】由22322323236a =+++⋅-+-=，知6a =。
于是166a a +=+，2111()62866a a +=++=+，214()9a a <+<。
因此，1a a+的整数部分为2。
（注：4234233131232362222a +-+-=++-=+=+=） 2．方程22()32x x x +=-的所有实数根之和为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【答案】 A 【解答】方程22()32x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。
即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。
解得1x =。
经检验1x =是原方程的根。
∴ 原方程所有实数根之和为1。
3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。
设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（ ）A ．3B ．23C ．22±D ．22 【答案】 D【解答】依题意线段AC 的中点M 的坐标为221212()22t t t t ++，。
（第3题）由BM y ∥轴，且2BM =，知B 点坐标为221212(2)22t t t t ++-，。
由点B 在抛物线2y x =上，知22212122()22t t t t++-=。
整理，得22221211222282t t t t t t +-=++，即221()8t t -=。
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准 (2)
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。
因此，2310m m ++=。
∴ 231m m =--，231m m +=-。
∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。
2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。
坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。
由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。
∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。
∴1nm=。
（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准 (3)
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。
因此，2310m m ++=。
∴ 231m m =--，231m m +=-。
∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。
2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。
坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。
由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。
∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。
∴1nm=。
（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。
2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案(PDF版)
2019年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2019年3月17日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若一次函数2y x =+与反比例函数4y x=的图像交于11()A x y ，，22()B x y ，两点，则1212x x y y +的值为（）A ．8B ．6C ．6-D ．8-【答案】D【解答】由24y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得2240x x +-=……………①。
依题意，1x ，2x 是方程①的两根，于是122x x +=-，124x x =-。
∴121212121212441616484x x y y x x x x x x x x +=+⋅=+=-+=--。
2．如图，ABC △为圆O 的内接三角形，D 为BC 中点，E 为OA 中点，40ABC ∠=︒，80BCA ∠=︒，则OED ∠的大小为（）A ．15︒B ．18︒C ．20︒D ．22︒【答案】C【解答】如图，连结OC 。
由40ABC ∠=︒，80BCA ∠=︒，得60BAC ∠=︒。
∵D 为BC 中点，∴OD BC ⊥，1602DOC BOC BAC ∠=∠=∠=︒。
∴30OCD ∠=︒，12OD OC =。
又E 为OA 中点，∴12OE OA OD ==。
结合40ABC ∠=︒，知24060140EOD AOC COD ∠=∠+∠=⨯︒+︒=︒，（第2题图）（第2题答题图）11(180)(180140)2022OED EOD ∠=︒-∠=︒-︒=︒。
3．已知二次函数2()2f x x ax b =++，若()(1)f a f b =+，其中1a b ≠+，则(1)(2)f f +的值为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】A【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，知124a b a ++=-。
福建省初中数学竞赛试卷
福建省初中数学竞赛试卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列数中，是无理数的是（）A. √9B. √16C. √2D. √12. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = x² + 13. 下列等式中，正确的是（）A. a² + b² = (a + b)²B. (a + b)² = a² + 2ab + b²C. (a b)² = a² 2ab + b²D. a² b² = (a + b)(a b)4. 一个等差数列的前三项分别是1、3、5，那么第10项是（）A. 19B. 21C. 23D. 255. 下列图形中，面积和周长都不变的是（）A. 正方形B. 长方形C. 圆D. 三角形二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘，结果是正数。
（）2. 平行线的性质是同位角相等。
（）3. 任何两个奇数相加都是偶数。
（）4. 一次函数的图像是一条直线。
（）5. 相似三角形的面积比等于边长比的平方。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若a：b=3：4，则（a+b）：b=______。
2. 已知x² + x = 12，则x² + 2x + 1 = ______。
3. 一次函数y = 2x + 3的图像与y轴的交点坐标是______。
4. 若等腰三角形的底边长为10，腰长为8，则其面积为______。
5. 一个正方体的体积是64立方厘米，则其表面积是______平方厘米。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请解释有理数的概念。
2. 简述平行线的性质。
3. 什么是二次方程？请举例说明。
4. 如何求解一元一次不等式？5. 简述三角形相似的判定条件。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 小明有3个苹果，小红的苹果数量是小明的2倍，他们一共有多少个苹果？2. 一辆汽车行驶100千米，速度为60千米/小时，求汽车行驶这段路程所需的时间。
大梦杯福建初中数学竞赛试题参考答案及评分标
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。
因此，2310m m ++=。
∴ 231m m =--，231m m +=-。
∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。
2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。
坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。
由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。
∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。
∴1nm=。
（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。
因此，2310m m ++=。
∴ 231m m =--，231m m +=-。
∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。
2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。
坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。
由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。
∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。
∴1nm=。
（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ） A ．25 B ．35 C ．37 D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。
2022年大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题考试时间 3月18日 9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 旳四个选项，其中有且只有一种选项是对旳旳。
请将对旳选项旳代号填入题后旳括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若有关x 旳方程4x 2+4mx -3m -1=0有两个相等旳实数根，则m 3+4m 2+4m -2旳值为（）A ．-3B ．-2C ．-1D ．12．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m <n ）。
坐标原点O 为AD旳中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数y =ax 2旳图像过C 、F 两点，则A ．3+1B ．2+1C ．23-1D ．22-1（第2题图）（第3题图）（第4题图）B n=（）mAAGEHOCD B C3．如图，G 为△ABC 旳重心，点D 在CB 延长线上，且BD =1BC ，过D 、G 旳直线交2AC 于点E ，则AE=（）AC3B ．53C ．7D ．2A ．5474．如图，H、O分别为△ABC旳垂心、外心，∠BAC=45︒，若△ABC外接圆旳半径为2，则AH=（）A．23B．22C．45．满足方程x2-4xy+19y2=151旳整数对(x，y)有（）A．0对B．2对C．4对D．6对D．3+1二、填空题（共5小题，每题7分，共35分）6．已知a，b，c为正整数，且a>b>c。
若b+c，a+c，a+b是三个持续正整数旳平方，则a2+b2+c2旳最小值为。
4 7．如图，ABCD为矩形，E为对角线AC旳中点，A、B在x轴上。
若函数y=（x>0）x旳图像过D、E两点，则矩形ABCD旳面积为。
（第7题图）AO1CBDO2（第8题图）8．如图，△ABC是边长为8旳正三角形，D为AB边上一点，⊙O1为△ACD旳内切圆，⊙O2为△CDB旳边DB上旳旁切圆。
2023年“大梦杯”福建省青少年数学水平测试试题参考答案及评分标准
2023年“大梦杯”福建省青少年数学水平测试参考答案测试时间2023年3月12日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.若抛物线2y x bx c =++的顶点坐标为(25)，，且与直线y a =有交点，则a b c ++的最小值为（）A ．18B ．13C ．8D ．4【答案】A【解答】由抛物线2y x bx c =++的顶点坐标为(25)，可知，22(2)5x bx c x ++=-+，所以4b =-，9c =。
又抛物线与直线y a =有交点，故方程249x x a -+=有实根，即关于x 的一元二次方程2490x x a -+-=有实根，所以判别式164(9)0a =--≥△，解得5a ≥。
所以4951318a b c a ++=++≥+=，当5a =时，18a b c ++=。
因此a b c ++的最小值为18。
2.已知0x >，且11x x -=，则53132x x x +=--（）A ．56+B ．76+C ．52+-D ．72+-【答案】D 【解答】54324323221(1)(1)132(1)(2)2x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+-+-+-+==--+----。
因为11x x-=，所以210x x --=，21x x =+，21x x -=。
所以22121x x --=-=-，43222221()()123x x x x x x x x x x x -+-+=-+-+=+=+。
由0x >，210x x --=得152x +=，51753322x ++=+=。
所以53175322x x x ++=---。
3．5个互不相同的正实数，它们两两的和从小到大的排列为3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，则这5个数的平方和为（）A ．114B ．103C ．88D ．75【答案】B 【解答】设这个5个互不相同的正实数为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，且12345x x x x x <<<<。
2021年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案
2021年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2021年3月14日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.若当13x -≤≤时，二次函数223y x x m =-+的最大值为6，则m =（）A ．3B ．1C ．3-D ．1-【答案】C【解答】∵13x -≤≤时，2239232()48y x x m x m =-+=--+的有最大值为6。
∴3x =时，6y =。
∴1896m -+=。
∴3m =-。
2.已知a ，b ，c 为正数，且满足3815a b ab b c bc c a ca ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，则32a b c ++=（）A ．9B ．11C ．13D ．15【答案】B【解答】由3815a b ab b c bc c a ca ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，得(1)(1)4(1)(1)9(1)(1)16a b b c c a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩。
∴222(1)(1)(1)4916a b c +++=⨯⨯。
∵a ，b ，c 为正数，∴(1)(1)(1)24a b c +++=。
于是，16c +=，813a +=，312b +=。
∴53a =，12b =，5c =，3251511a b c ++=++=。
3.已知0x >，且13x x +=，则551x x+=（）A ．121B ．122C ．123D ．124注：参考资料“杨辉三角”是我国古代数学的研究成果之一，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。
如下所示，由“杨辉三角”可以得到()n a b +展开式中各项的系数。
【答案】C 【解答】由“杨辉三角”，知3322333111111(33()()3()x x x x x x x x x x x x+=+⋅+⋅+=+++。
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题+参考答案及评分标准
2．如图， ABCD 、 DEFG 都是正方形， 边长分别为 m 、 n（ m n ）。坐标原点 O 为 AD 的
中点， A 、 D 、 E 在 y 轴上。若二次函数 y ax2 的图像过 C 、 F 两点，则 n （
）
m
A． 3 1
B． 2 1
【答案】 B
C． 2 3 1 D． 2 2 1
【 解 答 】 依 题 意 ， 点 C 坐 标 为 (m ，m) ， 点 F 的 坐 标 为 2
B．2 对
C．4 对 D．6 对
【答案】 C
【解答】 方程 x2 4xy 19y2 151 化为 ( x 2y) 2 151 15 y2 。 依题意， A 151 15y 2 为完全平方数。
由 A 151 15y2 0 ，得 y2 151 。结合 y 为整数，得 y2 10 。故， y2 0 ， 1， 4， 9 。 15
D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里
，
不填、多填或错填都得 0 分） 1．若关于 x 的方程 4 x2 4mx 3m 1 0 有两个相等的实数根，则 m3 4m2 4m 2 的值
为（ ）
A． 3
B． 2
C． 1
D．1
2．如图， ABCD 、 DEFG 都是正方形，边长分别为 m 、 n （ m n ）。坐标原点 O 为 AD
的图像过 D 、 E 两点，则矩形 ABCD 的面积为
。
【答案】 8
【解答】 设 D( xD ，yD ) ， E ( xE ，yE ) ，则 xD yD xE yE 4 。
作 EF AB 于 F ，由 E 为 AC 中点， 得 F 为 AB 中点， 且
EF
2022年“大梦杯”福建省青少年数学水平测试参考答案
2022年“大梦杯”福建省青少年数学水平测试参考答案测试时间2022年3月13日9∶00－11∶00满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1.已知二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，交y 轴于点(03)C ，，若124x x +=，且ABC △的面积为3，则a b +=（）A ．3B ．5-C ．3-D ．5【答案】C 【解答】依题意1x ，2x 为方程20ax bx c ++=的两根，且3c =。
所以124b x x a +=-=，123c x x a a==。
所以12AB x x =-=ABC △面积1133322S AB =⨯=⨯=。
解得1a =，于是44b a =-=-。
因为函数243y x x =-+的图象与x 轴有两个不同交点，因此1a =，4b =-，3c =符合要求。
所以3a b +=-。
另解：不妨设12x x <，则21AB x x =-，由ABC △的面积为3，且(03)C ，，得2AB =。
所以212AB x x =-=，又124x x +=，于是11x =，23x =。
因此2(1)(3)y ax bx c a x x =++=--。
将0x =代入，得33y a ==，所以1a =。
所以22(1)(3)43y ax bx c x x x x =++=--=-+，因此1(4)3a b +=+-=-。
2.已知实数x ，y 满足336626127x y x y =-，且22x y ≠，则2222x y x y +-的值为（）A ．54B ．45C ．12D ．2【答案】A【解答】由336626127x y x y=-，得633626270x x y y --=，即63()26()270x x y y --=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准The latest revision on November 22, 20202018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题 考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．12．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。
坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则n m=（ ）A ．31+B ．21+C ．231-D ．221-3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ） A ．25B ．35C ．37D ．474．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=︒，若ABC △外接圆的半径 为2，则AH =（ ）A ．23B ．22C ．4D ．31+5．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ，有（ ） HOBCA（第4题图）（第2题图）EGB D （第3题图）A ．0对B ．2对C ．4对D ．6对 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知a ，b ，c 为正整数，且a b c >>。
若b c +，a c +，a b +是三个连续正整数的平方，则222a b c ++的最小值为 。
7．如图，ABCD 为矩形，E 为对角线AC 的中点，A 、B 在x 轴上。
若函数4y x=（0x >）的图像过D 、E 两点，则矩形ABCD 的面积为 。
8．如图，ABC △是边长为8的正三角形，D 为AB 边上一点，1O ⊙为ACD △的内切圆，2O ⊙为CDB △的边DB 上的旁切圆。
若1O ⊙、2O ⊙的半径都是r ，则r = 。
9．若实数x 满足[][][]232018x x x ++=，则[]4x = 。
其中[]x 表示不超过x 的最大整数。
10．网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。
其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。
图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。
图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。
请你回答下列问题：把一个矩形区域划分成n 个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。
已知构成这n 个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。
若围成ABO 1O 2CD（第7题图） （第8题图）这n 个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域内，则这n 个凸多边形中四边形个数的最大值为 。
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11．已知二次函数224y x bx c =-+的图像交x 轴于1(0)A x ，、2(0)B x ，两点，且2112265x x x x +=。
若函数224y x bx c =-+在13b x b +≤≤+上的最小值为6-，求b ，c 的值。
12．如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB AD =，M 是BC 边的中点，点N 在对角线BD 上，且满足BAN CAM ∠=∠。
求证：MN AC ∥。
（第12题图）13．已知关于x的方程299990--+=的两根都是素数，求k的值。
x kx k14．一个由36个单位小方格组成的66⨯的方格表中的n个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求n的最大值。
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。
因此，2310m m ++=。
∴ 231m m =--，231m m +=-。
∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。
2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。
坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。
若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则n m=（ ）A ．31+B ．21+C ．231-D ．221- 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。
由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。
（第2题图）∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。
∴1nm=。
3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。
过点F 作FM DE ∥，交AC 于点M 。
则13CM CF CE CD ==，21AE AG EM GF ==。
设CM k =，则3CE k =，2EM k =，4AE k =。
∴ 7AC k =，4477AE k AC k ==。
另解：如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。
∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。
∴23FD DC =，21AG GF =。
在AFC △中，利用梅涅劳斯定理，得1FD CE AGDC EA GF⋅⋅=。
（第3题图）（第3题答题图）（第3题答题∴ 22131CE EA ⋅⋅=，34CE EA =。
∴ 47AE AC =。
4．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=︒，若ABC △外接圆的半径为2，则AH =（ ）A．．．4 D1 【答案】 B【解答】如图，连结BO 并延长交O ⊙于点D ，连HC 、CD 、DA 。
∵ O 为ABC △的外心，∴ BD 为O ⊙直径，DC BC ⊥，DA AB ⊥。
又H 为ABC △的垂心， ∴ AH BC ⊥，CH AB ⊥。
∴ AH DC ∥，CH DA ∥。
∴ 四边形AHCD 为平行四边形，AH DC =。
∵ 45BAC ∠=︒，ABC △外接圆的半径为2， ∴ 45BDC BAC ∠=∠=︒，4BD =。
∴AH DC ==5．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ，有（ ） A ．0对 B ．2对 C ．4对 D ．6对 【答案】 C【解答】方程22419151x xy y -+=化为22(2)15115x y y -=-。
依题意，215115A y =-为完全平方数。
由2151150A y =-≥，得215115y ≤。
结合y 为整数，得210y ≤。
故，20y =，1，4，9。
当20y =时，215115151A y =-=，不是完全平方数。
当21y =时，215115136A y =-=，不是完全平方数。
当24y =时，21511591A y =-=，不是完全平方数。
当29y =时，2215115164A y =-==。
（第4题图）∴ 方程化为229(2)16y x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，即23(6)16y x =⎧⎨-=⎩，或23(6)16y x =-⎧⎨+=⎩ ∴ 364y x =⎧⎨-=⎩，或364y x =⎧⎨-=-⎩，或364y x =-⎧⎨+=⎩，或364y x =-⎧⎨+=-⎩。
∴ 103x y =⎧⎨=⎩，或23x y =⎧⎨=⎩，或23x y =-⎧⎨=-⎩，或103x y =-⎧⎨=-⎩。
∴ 满足方程的整数对有(103)，、(23)，、(23)--，、(103)--，，共4对。
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知a ，b ，c 为正整数，且a b c >>。
若b c +，a c +，a b +是三个连续正整数的平方，则222a b c ++的最小值为 。
【答案】 1297【解答】依题意，设2(1)b c n +=-，则2a c n +=，2(1)a b n +=+，n 为正整数，且1n >。
∴ 22222()(1)(1)32a b c n n n n ++=-+++=+，可见n 为偶数，且2322n a b c +++=。
∴ 242n n a +=，222n b +=，242n nc -=。
可见，6n ≥，且当n 增大时，222a b c ++的值也随之增大。
又6n =时，30a =，19b =，6c =符合要求。
∴ 222a b c ++的最小值为222301961297++=。
7．如图，ABCD 为矩形，E 为对角线AC 的中点，A 、B 在x 轴上。
若函数4y x=（0x >）的图像过D 、E 两点，则矩形ABCD 的面积为 。
【答案】 8【解答】设()D D D x y ，，()E E E x y ，，则4D D E E x y x y ==。
作EF AB ⊥于F ，由E 为AC 中点，得F 为AB 中点，且1122EF BC AD ==。
∴ 2D E y y =。
结合2E E D D D E x y x y x y ==⋅，得2E D x x =。
∴ OA AF =，222D AB AF OA x ===。
∴ 矩形ABCD 的面积28D D S AB AD x y =⨯==。
（第7题图）8．如图，ABC △是边长为8的正三角形，D 为AB 边上一点，1O ⊙为ACD △的内切圆，2O ⊙为CDB △的边DB 上的旁切圆。