大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准

大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标

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The latest revision on November 22, 2020

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题 考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）

A ．3-

B ．2-

C ．1-

D ．1

2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。坐标原点O 为

AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则n m

=（ ）

A ．31+

B ．21+

C ．231-

D ．221-

3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且1

2

BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则

AE

AC

=（ ） A ．2

5

B ．3

5

C ．

3

7

D ．

47

4．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=︒，若ABC △外接圆的半径 为2，则AH =（ ）

A ．23

B ．22

C ．4

D ．31+

5．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ，

有（ ） H

O

B

C

A

（第4题图）

（第2题图）

E

G

B D （第3题图）

A ．0对

B ．2对

C ．4对

D ．6对 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．已知a ，b ，c 为正整数，且a b c >>。若b c +，a c +，a b +是三个连续正整数的平方，则222a b c ++的最小值为 。

7．如图，ABCD 为矩形，E 为对角线AC 的中点，A 、B 在x 轴上。若函数4

y x

=（0x >）的图像过D 、E 两点，则矩形ABCD 的面积为 。

8．如图，ABC △是边长为8的正三角形，D 为AB 边上一点，1O ⊙为ACD △的内切圆，2O ⊙为CDB △的边DB 上的旁切圆。若1O ⊙、2O ⊙的半径都是r ，则

r = 。

9．若实数x 满足[][][]232018x x x ++=，则[]4x = 。其中[]x 表示不超过x 的最大整数。

10．网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：

把一个矩形区域划分成n 个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这n 个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成

A

B

O 1

O 2

C

D

（第7题图） （第8题图）

这n 个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域内，则这n 个凸多边形中四边形个数的最大值为 。

三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）

11．已知二次函数224y x bx c =-+的图像交x 轴于1(0)A x ，

、2(0)B x ，两点，且211226

5

x x x x +=。若函数224y x bx c =-+在13b x b +≤≤+上的最小值为6-，求b ，c 的值。

12．如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB AD =，M 是BC 边的中点，点N 在对角线

BD 上，且满足BAN CAM ∠=∠。

求证：MN AC ∥。

（第12题图）

13．已知关于x的方程299990

--+=的两根都是素数，求k的值。

x kx k

14．一个由36个单位小方格组成的66

⨯的方格表中的n个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求n的最大值。

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准

考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）

A ．3-

B ．2-

C ．1-

D ．1 【答案】 A

【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。因此，2310m m ++=。 ∴ 231m m =--，231m m +=-。

∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。

2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。坐标原点O 为

AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则n m

=（ ）

A ．31+

B ．21+

C ．231-

D ．221- 【答案】 B

【解答】依题意，点C 坐标为()2m

m ，，点F 的坐标为

()2

m

n n -+

，。 由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得

2

22

()2

m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨

⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。 （第2题

图）