数据库技术-国防科学技术大学2#￥-第二章 元组关系演算(3)

元组演算表达式的值
• 上述元组演算表达式的值是所有使 (x/t)为真的框架为 的元组t 为真的框架为R ϕ(x/t)为真的框架为R的元组t的集 合，即： F(h)={tt∈d(R)且ϕ(x/t)为真} F(h)={t d(R)且 (x/t)为真} 为真 •ϕ(x/t)意指用具体元组t取代公式中 意指用具体元组t ϕ(x/t)意指用具体元组 元组变量x后得到的替换公式。 元组变量x后得到的替换公式。
ϕ1: s(x) x[TEACHER]=‘LIU LIU’ ϕ2：x[TEACHER]= LIU ϕ3：x1[GRADE]≤x2[GRADE] ϕ4：y[GRADE] ＜60 x[SEX]=‘M ϕ5：x[AGE]≤21 ∧ x[SEX]= M’ ϕ6：∀x[S] (x[AGE]≥18) x[S](x[S-NO]=‘S1 )∧x[C-NO]=‘C1 S1’)∧x[C C1’ ϕ7：∃x[S](x[S-NO]= S1 )∧x[C-NO]= C1 ϕ8：s(x) ∨ x[GRADE]≥60
(2) 规则
1)任何原子公式是公式； 1)任何原子公式是公式； 任何原子公式是公式 2)若 为公式， ¬ϕ也是公式； 2)若ϕ为公式，则¬ϕ也是公式； 也是公式 3)若 3)若ϕ1、ϕ2为公式，则ϕ1∧ϕ2、ϕ1∨ϕ2也都是公 为公式， ∧ϕ2 1∨ϕ 式； 4)若x是元组变量，ϕ (x)是涉及x的公式，则 是涉及x 4)若 是元组变量， (x)是涉及 的公式，
ϕ1: s(x) x[TEACHER]=‘LIU LIU’ ϕ2：x[TEACHER]= LIU ϕ3：x1[GRADE]≤x2[GRADE] ϕ4：y[GRADE] ＜60 x[SEX]=‘M ϕ5：x[AGE]≤21 ∧ x[SEX]= M’ ϕ6：∀x[S] (x[AGE]≥18) ϕ7：s(x) ∨ x[GRADE]≥60
为确定公式求值的运算次序，将运算 按优先级从高到低排列如下：括号；算 术比较运算符；∀、∃、¬、∧、∨。
元组演算公式举例
S（S-NO,SNAME,AGE,SEX） NO,SNAME,AGE,SEX） SC（ NO,C-NO，GRADE） SC（S-NO,C-NO，GRADE） C（C-NO,CNAME,TEACHER） NCHER]=‘LIU LIU’ ϕ2：x[TEACHER]= LIU ϕ3：X1[GRADE]≤x2[GRADE] ϕ4：y[GRADE] ＜60 x[SEX]=‘M ϕ5：x[AGE]≤21 ∧ x[SEX]= M’ ϕ6：∀x[S] (x[AGE]≥18) ϕ7：s(x) ∨ x[GRADE]≥60
f f ff f ff bb ff
(1) 原子公式
2、合法公式
1)若 1)若ϕ为r(x)，这时x在ϕ中为自由的，定义T(x, r(x)，这时x 中为自由的，定义T(x, )=R， 是关系r的框架。 ϕ)=M(x, ϕ)=R，R是关系r的框架。 2)若 2)若ϕ为x[A]θC或Cθx[A]，这时x在ϕ中是自 x[A]θ [A]，这时x 由的， 不确定。 由的，定义 M(x, ϕ)=A, T(x, ϕ)不确定。 3)若 3)若ϕ为x[A]θy[B]，这时x、y在ϕ中均为自由 x[A]θy[B]，这时x 定义M(x, 的，定义M(x, ϕ)=A, M(y, ϕ)=B, T(x, ϕ)和 不确定。 T(y, ϕ)不确定。 以上原子公式在服从比较运算和域的要求 时均为合法的。 时均为合法的。
5、合法公式的解释规则
• 设ϕ是没有自由出现元组变量的合法公式， 是没有自由出现元组变量的合法公式， 但可能包含true false作为原子 true和 作为原子。 但可能包含true和false作为原子。那么 公式ϕ的解释I(ϕ)递归地定义为： 公式ϕ的解释I(ϕ 递归地定义为： I( true， I(ϕ 为真； false， 1) 若ϕ为true，则I(ϕ)为真；若ϕ为false， I(ϕ 为假。 则I(ϕ)为假。 中必无自由变量。如果I(g) 2) 若ϕ为¬g，g中必无自由变量。如果I(g) 为真， I(ϕ 为假；否则I( 为真。 I(ϕ 为真，则I(ϕ)为假；否则I(ϕ)为真。
∃ x [ R ]ϕ 和 ∀ x [ R ]ϕ
也都是公式； 也都是公式；
5)若 是公式， 5)若ϕ是公式，则(ϕ)也是公式； 也是公式； 6)所有公式均从原子公式出发 所有公式均从原子公式出发， 6)所有公式均从原子公式出发，按上述规则经 有限次复合运算求得，别无其他形式的公式。 有限次复合运算求得，别无其他形式的公式。
f∧g或为f∨g， 或为f∨g 2) 若ϕ为f∧g或为f∨g，ϕ中所有变量出现是自由 抑或约束的一如它们在g 中的情况。为使ϕ 抑或约束的一如它们在g和h中的情况。为使ϕ为 合法公式，需满足下面三种情形： 合法公式，需满足下面三种情形： f)、 g)已有定义 已有定义， ①若T(x, f)、T(x, g)已有定义，则必有 g)； T(x, f)=T(x, g)； 若只有T(x, f)(或 g))已定义 已定义， ②若只有T(x, f)(或T(x, g))已定义，则必有 f)⊇ (或 g)⊇ f))； T(x, f)⊇M(x, g) (或T(x, g)⊇M(x, f))； 上述两种情形下都定义T(x, (或 上述两种情形下都定义T(x, ϕ)=T(x, f) (或T(x, g))： ϕ)=T(x, g))： f)和 g)都不确定 都不确定， ③若T(x, f)和T(x, g)都不确定，则T(x, ϕ)亦不确 定。 上述三种情形均定义M(x, g)。 上述三种情形均定义M(x, ϕ)=M(x, f)∪M(x, g)。
1、元组演算公式的定义
原子公式 （基础） 基础） 规则 复合公式
(1) 基础（三种原子公式）：
r(x)。 中的关系， 是元组变量， 1) r(x)。r是h中的关系，x是元组变量， r(x)表示x∈r； 表示x∈r r(x)表示x∈r； x[A]θ x[B]。 为元组变量， 2) x[A]θC 或 Cθx[B]。x为元组变量，A、 中的属性， B为U中的属性，C为A或B对应的域中的 常量，θ为比较运算符，x[A]θC表示x的A 常量， 为比较运算符，x[A]θ 表示x 分量与C之间有θ关系； x[B]类似 类似。 分量与C之间有θ关系；Cθx[B]类似。 x[A]θy[B]。 为元组变量， 3) x[A]θy[B]。x、y为元组变量，A、B 为 中属性， 为比较运算符。x[A]θy[B]表 U中属性，θ为比较运算符。x[A]θy[B]表 分量与y 分量之间有θ关系。 示x的A分量与y的B分量之间有θ关系。
问题及解决
• 引入概念： 引入概念： –元组变量在公式中的自由出现和约 元组变量在公式中的自由出现和约 束出现 –公式ϕ中自由出现变量x的型T(x, ϕ) 公式ϕ 公式 中自由出现变量x的型T(x, 与述M(x, 与述M(x, ϕ) • 型T(x, ϕ)指元组变量x的框架 指元组变量x • 述M(x, ϕ)指元组变量x在ϕ中涉及到的 指元组变量x 属性； 属性；
(2) 复合公式
f均为合法公式 均为合法公式。 设g, f均为合法公式。 1)若 1)若ϕ为¬g，则ϕ为合法公式。ϕ中 为合法公式。 所有变量出现是自由抑或约束的 一如它们在g中的情况。 一如它们在g中的情况。对ϕ中所 有自由出现的变量，定义T(x, 有自由出现的变量，定义T(x, g)。 ϕ)=T(x, g), M(x, ϕ)=M(x, g)。
例:
设 ϕ=s(x)∧x[S-NO]=y[S-NO]∧y[GRADE]≥60 =s(x)∧x[S-NO]=y[S={SSEX}。 T(x, ϕ) ={S-NO, NAME, AGE, SEX}。 u=<S3, CHEN, 21, M> ϕ(x/u)=true∧s3=y[S-NO]∧y[GRADE]≥60 (x/u)=true∧s3=y[S-
T ϕ1: s(x) M ϕ2：x[TEACHER]=‘LIU x[TEACHER]= LIU’ LIU MM ϕ3：X1[GRADE]≤x2[GRADE] M ϕ4：y[GRADE] ＜60 x[SEX]=‘M ϕ5：x[AGE]≤21 ∧ x[SEX]= M’ M 合法 ϕ6：∀x[S] (x[AGE]≥18) x[S](x[S-NO]=‘S1 )∧x[C-NO]=‘C1 S1’)∧x[C C1’) ϕ7：∃x[S](x[S-NO]= S1 )∧x[C-NO]= C1 ) ? ? ϕ8：s(x) ∨ x[GRADE]≥60
元组关系演算
• 元组关系演算
r÷s={u |对每一元组v∈s,都存在一元 |对每一元组v∈s,都存在一元 对每一元组v∈s, 组t∈r,使得t[Q]=u 且t[S]=v} t∈r,使得t[Q]=u 使得 r′(R′)={u |∀v(v∈s→∃t(t∈r∧t[Q]=u (R′ |∀v(v∈s→∃t(t∈r∧ v∈s→∃t(t∈r ∧t[S]=v))}
3)若 3)若ϕ为 ∃x[ R ]g 或 ∀x[ R ]g 仅当同时满足下 。 列两个条件时，公式ϕ才是合法的： 列两个条件时，公式ϕ才是合法的： 中必须自由出现且R g)； ①x在g中必须自由出现且R⊇M(x, g)； g)有定义 则必须有R=T(x, g)。 有定义， ②若T(x, g)有定义，则必须有R=T(x, g)。 中的所有出现都是约束的，因此T(x, x 在ϕ中的所有出现都是约束的，因此T(x, ϕ)和 无定义。 中不同于x的任何元组变量y M(x, ϕ)无定义。ϕ中不同于x的任何元组变量y的 任何出现是自由的抑或约束的一如它们在g中的 任何出现是自由的抑或约束的一如它们在g 情况，并且T(y, M(y,ϕ g)。 情况，并且T(y, ϕ)=T(y, g), M(y,ϕ)=M(y, g)。 (g)， 为合法的，并且ϕ 4) 若ϕ为(g)，ϕ为合法的，并且ϕ中元组变量的出 现是自由抑或约束，其型和述一如它们在g 现是自由抑或约束，其型和述一如它们在g中的 情况。 情况。
4、元组代入规则
设公式ϕ(x)是合法的，元组变量x的框架为R 设公式ϕ(x)是合法的，元组变量x的框架为R。 是合法的 已定义，要求R=T(x, 若T(x, ϕ)已定义，要求R=T(x, ϕ)，否则应有 R⊇M(x, ϕ)。 将框架为R的具体元组t取代公式ϕ 将框架为R的具体元组t取代公式ϕ中的元组变 后得到的替换公式ϕ(x/t)为按如下规则修 量x后得到的替换公式ϕ(x/t)为按如下规则修 中的原子公式而来： 改ϕ 中的原子公式而来： r(x)中是自由的 如果t∈r 则用true 中是自由的， t∈r， 1) 若x在r(x)中是自由的，如果t∈r，则用true 取代r(x) r(x)， false取代r(x)。 取代r(x) 取代r(x)，否则用 false取代r(x)。
x[A]θ x[A]）是自由的， 2) 若x在 x[A]θC（或Cθx[A]）是自由的，如 C1θ C1）， ），则用 果 t[A]=C1 且 C1θC（或CθC1），则用 x[A]θ (Cθx[A])，否则用false true 取代 x[A]θC (Cθx[A])，否则用false 取代之。 取代之。 3) 若x在 x[A]θy[B] 或 y[B]θx[A]中是自由的， x[A]θ y[B]θx[A]中是自由的 中是自由的， t[A]=C， 取代x[A] x[A]； 如果 x≠y, t[A]=C，则用 C取代x[A]；如 x=y， x[A]θy[B]实际为 果x=y，那么原子公式 x[A]θy[B]实际为 x[A]θx[B]，此时若 t[A]=C1, t[B]=C2 且 x[A]θx[B]， C1θC2， true取代x[A]θy[B]， 取代x[A] C1θC2，则用 true取代x[A]θy[B]，否则 false取代之 取代之。 用false取代之。
元组关系演算
• F={x[R]ϕ(x)} F={x[R]ϕ ϕ(x)} • 元组演算的结果关系x[R]是指框架R 元组演算的结果关系x[R]是指框架R x[R]是指框架 下所有使公式ϕ(x)为真的元组构成 下所有使公式ϕ(x)为真的元组构成 的集合 • ϕ(x)┉公式的构成 (x)┉公式的构成 • ϕ(x/u) ┉代入规则 ┉代入规则 • ϕ(x/u)为真┉解释规则 (x/u)为真 为真┉