§1.4 自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度

dv v2 a = aτ + an = τ + n dt R
3. 变速曲线运动
P v
aτ
an
ρ
曲率圆
a
dv v a= τ + n dt ρ
2
一汽车在半径R=200 m 的圆弧形公路上行驶,其运动学 的圆弧形公路上行驶, 例 一汽车在半径 方程为s 方程为 =20t 0.2 t 2 (SI) . 时的速度和加速度大小. 求 汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小. 解 速度
v(t)
A
R
P
v
B
Q
r
α
O
v(t + t)
r v | r | v v a= t→0( lim )= | lim |= R t R R t→0 t
2
a的方向
沿 (t→0 时)方向 方向 v→
v(t)
A
v
B
法向加速度
v an =源自文库n R
反映
2
反映速度方 向变化快慢
速度大小 速度方向
α O
v(t + t)
说明
t →0 时, r 沿切线方 沿切线方 向,且 r →s
τ
— 运动轨迹切线方向的单位矢量
ds — 速度矢量在切线上的投影,是代数量 速度矢量在切线上的投影, dt
二. 加速度
v a = lim 1.匀速圆周运动 1.匀速圆周运动 t →0 t | v| lim a的大小 a = t→0 t | v | v = OAB∞OPQ | r | R
v=
加速度
ds = 20 0.4t dt dv aτ = = 0.4 dt
v(1) =19.6 m /s
v 2 (20 0.4t)2 an = = R R
2 a = aτ2 + an
a(1) =1.44 m 2 /s
将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线, 例 将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线,质点可沿钢 丝向下滑动. 丝向下滑动.已知质点运动的切向加速度为 a = g sinθ , τ g 为重力加速度,θ 为切向与水平方向的夹角 y0处质点的速 为重力加速度, 为切向与水平方向的夹角. 度为v 度为 0 质点在钢丝上各处的运动速度. 求 质点在钢丝上各处的运动速度. 解 由题意可知
讨论 加速度
速 度矢量 变化的快慢
思考:匀速圆周运动有加速度?
2.变速圆周运动 2.变速圆周运动
v(t)
A α
v = vτ + vn vτ 反映速度大小的变化 vn 反映速度方向的变化 v vn v = lim τ + lim a = lim t →0 t →0 t t t→0 t
vn
α
P
B
2 s1 t1
s2
t2
3+ 10 ∴s2 s1 = s = 3 10 2 + ln = 9.98 m 1+ 2
∵∫ 1+ t 2dt = t 1 1+ t 2 + ln t + 1+ t 2 + c 2 2
(
)
求抛体运动过程中的曲率半径? 思考 求抛体运动过程中的曲率半径? 如B 点
∵aτ = 0 , an = gj ,vB =v0cosθ
y
aτ =
dv dv ds dv =v = dt ds dt ds
dy
P
aτ = g sin θ
ds
vdv = g sin θ ds dy sin θ = sin θ ds = dy ds
θ
O
x
∫
v
v0
vdv = ∫ gdy
y0
y
v2 =v0 + 2g( y0 y)
2
例 已知质点运动方程为 r = 2t i + t j (SI)
2 2
vB (v0cosθ)2 xm ∴ρB = = = an g 8ym
y
B
v
θ
x
C
O
例 已知质点的运动方程为
x = Acosω t, y = Asinω t, z = Bt
求 在自然坐标系中任意时刻的速度 解 ∵ds = vx +vy +vz dt
2 2 2
=
0
( Aω) cos ωt + ( Aω) sin2 ω t + B2 dt
2
求 t1 = 1s → t2 = 3s 之间的路程 . 解 速度 速率为 速率为 路程
dr d v = = (2ti + t 2 j ) = 2i + 2t j dt dt
v = vx +v y = 22 + 4t 2 = 2 1+ t 2
2 2
ds =vdt = 2 1+ t dt ∫ ds = ∫ 2 1+ t 2 dt
v
v(t + t)
O
vτ
= aτ + an
第二项: 第一项: 大小 方向
v2 指向圆心, an = n 反映速度方向变化的快慢 ,指向圆心,法向加速度 R v 反映速度大小变化的快慢 a = lim τ τ t →0 t | vτ | v dv aτ = lim vτ = v(t + t) v(t) = v = lim = t →0 t t →0 t dt t → 0 时,α → 0,则 vτ 沿切线方向 — 切向加速度
§1.4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
一. 速度
v
s = s(t + t) s(t)
r s r = lim ( ) v = lim t →0 s t t →0 t r s = (lim )( lim ) t →0 s t→0 t
P
s
Q
r
L
r (t + t)
r (t)
O
r ds ds = (lim ) = τ t →0 s dt dt
2 2 2
s t 0
∴s = ∫ ds = ∫
A2ω2 + B2dt = A2ω2 + B2t
ds v =vτ = τ = A2ω2 + B2 τ dt
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