几个非线性演化方程的解析解
非线性偏微分方程
应用
研究方向
突破
1.变分不等式理论与能量泛函的凸性密切相关，由于现代科学技术的需要，特别是研究自由边界和固体力学 问题的需要，传统的方法往往都无法解决这类问题，人们对H-半变分不等式进行研究，研究涉及现代分析及应用、 偏微分方程以及科学计算等众多领域中亟待解决和发展的重要课题。
2．该研究是现代数学与电力生产的交叉学科研究课题，它对电力生产及管理有着十分重要的理论指导意义和 实际应用价值，为控制系统设计、分析和计算都可提供一些重要的理论依据。在应用数学学科的这一研究领域中 本课题属于国内外前沿性研究工作。
发展情况
目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE)。很多意义重大的自然科学 和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究。现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述， 很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE。另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程 近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出 了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪 50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学 中的热点。
3．应用现代数学所获得的理论，研究最有控制系统的微分方程，为控制系统设计、分析和计算提供一些重要 的理论依据和方法。
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定义
非线性偏微分方程(NLPDE)，又称非线性数学物理方程、非线性演化方程。它是描述现代诸多科学工程领域 如物理化学、生物，大气空间科学等中的非线性现象的数学模型。
函数是一个广义的偏微分方程，如果 u，v是此微分方程的两个解，而（au+bv)也是此微分方程的解，则此 偏微分方程则为线性偏微分方程，否则为非线性偏微分方程 。
各类非线性方程的解法
各类非线性方程的解法非线性方程是一类数学方程，其中包含了一个或多个非线性项。
求解非线性方程是数学研究中的重要问题之一，它在科学、工程和经济等领域具有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的非线性方程的解法。
1. 试-and-错误法试-and-错误法是求解非线性方程的最简单方法之一。
它基于逐步尝试的思路，通过不断试验不同的数值来逼近方程的解。
这种方法的缺点在于需要反复试验，效率较低，但对于简单的方程或近似解的求解是有效的。
2. 迭代法迭代法是一种常用的数值计算方法，可以用来求解非线性方程的近似解。
它的基本思想是通过迭代计算逐步逼近方程的解。
不同的迭代方法包括牛顿迭代法、弦截法和割线法等。
这些方法都是基于线性近似的原理，通过不断迭代计算来逼近解。
迭代法的优点是可以得到较为精确的解，适用于多种类型的非线性方程。
3. 数值优化方法数值优化方法是一种求解非线性方程的高级方法，它将问题转化为优化问题，并通过优化算法来寻找方程的最优解。
常用的数值优化方法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些方法通过不断迭代调整变量的取值，以最小化目标函数，从而求解非线性方程。
数值优化方法的优点是可以处理复杂的非线性方程，并且具有较高的求解精度。
4. 特殊非线性方程的解法对于特殊的非线性方程，还可以使用特定的解法进行求解。
例如，对于二次方程可以使用公式法直接求解，对于三次方程可以使用卡尔达诺法等。
这些特殊解法适用于特定类型的非线性方程，并且具有快速和精确的求解能力。
综上所述，非线性方程的解法有试-and-错误法、迭代法、数值优化方法和特殊非线性方程的解法等。
根据具体的方程类型和求解要求，选择合适的方法进行求解，可以得到满意的结果。
非线性代数方程组的数值解法
a (a
2u ) (2 ) 0
i m i 1 m i m i 1 m
i 1 i 1 i 1 i i 1 i i 1 i 1 am am 2am um 2m m m m 0 a
1 2 1i 1 1i 1 (im ) 2 1i 1 i 1 2 1i 1 um im 2 i 1 2
a
i 1 m
i 1 1 i 1 m
i 1 2
i 1 i i2 ( K T ) P m m
1 2 1 a(im ) 2bim c 0
4
增量弧长法
a(
i 1 2 m
) 2b
i 1 m
c 0
式中系数为
a 1 ( 1i 1 ) T ( 1i 1 )
3 增量方法
混合法:在增量法每一增量步进行自修正的迭 代计算。其m增量步n次迭代的计算公式为 自修正 n n 1 n 不平衡力 am ( K Tm ) ( R m Pm ) n n n 1 n n Pm (a m , m ) am a a 1 m m 在实际计算中，对于 m＜M-1的各增量步的 计算，可以只进行少许几次(例如3次)迭代， 而对于m=M-1，即最后的一个荷载增量，需耍 使用较多次迭代，以使近似解更接近于真解。 用混合法求解时，所选取的荷载增量的步长 可以比普通增量算法的步长大一些。
3
增量方法
求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。 使用这种方法需要知道“荷载”项(R)为零时问 题的解(a)0。在实际问题中，(R)经常代表真实 荷载，(a)0 代表结构位移。在问题的初始状态， 它们均为零。这种从问题的初值开始，随着荷 载列阵(R)按增量形式逐渐增大，研究(a)i的变 化规律的方法，称为增量方法。
(2+1)维非线性演化方程的显示解
Vol. 33,No. 1Mar. 2021第33卷第1期2021年3月河南工程学院学报（自然科学版）JOURNAL OF HENAN UNIVERSITY OF ENGINEERING （2+1 ）维非线性演化方程的显示解刘小平（电子科技大学中山学院计算机学院，广东中山528406）摘 要：首先借助规范变换并利用Himta 双线性算子的特性,推导出（2 + 1）维非线性方程的双线性形式，然后利用Himta 直接法求出该方程的孤予解和奇异解，包括单孤予解、二孤予解、单奇异解和二奇异解，最后给出新的变换，求出该方程的有 理周期解。
关键词：双线性形式；有理周期解;孤子解；奇异解中图分类号：029 文献标志码:A 文章编号：1674 -330X （2021）01 -0074 -03Explicit solutions of the （2+1） dimensional nonlinear evolution equationLIU Xiaoping（^Department of Computer Science , Zhongshan Institute , University of Electronic Science and Technology of China ,Zhongshart 528406, China ）Abstract : In tlie paper, the bilinear form of the （2 + 1） dimensional nonlinear evolution equation is established by utilizing tlie characteristic of Hirota bilinear operators with aid of gauge transfonnation. Tlie soliton solutions and singular solutions are derived by u- sing Hirota direct method , including one soliton solution » two soliton solution » one singular and two singular solution. In the end » a new rational periodic solution is obtained according to a new transformation.Keywords : Hirota bilinear form ； rational periodic solution ； soliton solution ； singular solution寻求物理、数学上有重耍意义方程的显示解一宜是热门话题，现已形成许多成熟的方法，比如Hirota 宜 接法「匕穿衣方法［6-12\Riemam-theta 函数与直接法相结合的方法”叭其中,Hirota 直接法提供了一个 强有力的获得非线性演化方程的方法。
非线性方程的解
f (x)
二分法 的实现
f (x0) > 0
a
x0
b x
a
x0
f (x)
f (a) < 0 f (b) > 0
b x x0 : (a,b)中点
f (x0) < 0
a = a, b = x0 1 1
a = x0, b = b 1 1
(a,b) ⇒(a1,b ) ⇒L⇒(an,bn) ⇒L 区间每次缩小一半，n足 1
2
解方程 f(x)=0第 第 一步——确定 一步 确定 根的大致范围 二分法 的原理
•作f(x)图形,观察 作 图形, 图形 观察f(x)与x轴的交点 与 轴的交点 •根的隔离:二分法 根的隔离: 根的隔离
若对 a < b , 有 f (a) ⋅ f (b) < 0 , 则 (a, b) 内 f (x) 于 在 至 有 个 点 即 f (x) = 0 至 有 个 。 少 一 零 ， 少 一 根
够大时，可确定根的范围
不足
收敛速度较慢
3
迭代法 举例
f (x) = x2 + x −14 = 0 ⇒ x = ϕ(x)
f (3) = −2, f (4) = 6 存在根 x∈(3,4)
x = ϕ1 (x) = 14 − x2 , 迭代公式：xk +1 = 14 − xk2 x = ϕ2 (x) = 14/( x +1) ，迭代公式：xk +1 = 14 /( xk +1)
0
{xk}收敛于 * 收敛于x 收敛于
取决于曲线ϕ(x) 的斜率
{xk}不收敛于 * 不收敛于x
6
迭代法的收敛性 迭代法的收敛性
设 y = ϕ(x) 在a ≤ x ≤ b 连续 且a ≤ y ≤ b ，若 在L < 1使 ， 存
非线性方程组求解方法的比较与优化
非线性方程组求解方法的比较与优化非线性方程组的求解在科学计算、工程领域以及其他许多实际问题中扮演着重要的角色。
在实际应用中，往往需要高效准确地求解非线性方程组，以获得所需的结果。
本文将对几种常用的非线性方程组求解方法进行比较，并探讨如何进一步优化这些方法，以提高求解效率。
一、牛顿法（Newton's Method）牛顿法是最常用的非线性方程组求解方法之一。
该方法基于泰勒级数展开，通过迭代逼近非线性方程组的解。
具体而言，给定初始猜测值x0，牛顿法通过以下迭代公式进行求解：x^(k+1) = x^k - [J(x^k)]^(-1) * F(x^k)其中，J(x^k)表示方程组F(x)的雅可比矩阵，F(x^k)表示方程组的值向量。
牛顿法通常具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能出现发散或收敛速度慢的问题。
二、拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）拟牛顿法是对牛顿法的改进和优化。
由于求解雅可比矩阵的逆矩阵相对困难且计算量大，拟牛顿法通过逼近雅可比矩阵的逆矩阵，避免了对逆矩阵的直接求解。
其中，最著名的拟牛顿法是DFP算法和BFGS算法。
DFP算法通过计算Hessian矩阵的逆矩阵的逼近，不断更新该逼近矩阵，以逼近真实的Hessian矩阵的逆矩阵。
BFGS算法同样通过逼近矩阵的更新来求解方程组，但采用了更加复杂的更新策略，相较于DFP算法在某些问题上具有更好的性能。
拟牛顿法通过避免直接计算逆矩阵，一定程度上提高了计算效率，但其迭代过程中的计算相对复杂，因此在实际问题中需要综合考虑。
三、Levenberg-Marquardt算法Levenberg-Marquardt算法是一种解决非线性最小二乘问题的方法，也可用于求解非线性方程组。
该算法基于牛顿法，利用信赖域思想进行调整，以提高求解的稳定性和收敛性。
Levenberg-Marquardt算法通过在牛顿迭代中引入一个参数，将其视为步长的控制因子，从而在迭代过程中实现步长的自适应调整。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法非线性方程是数学领域中最为繁杂的算术问题之一。
从求解原理上来看，非线性方程的解法可以分为解析法和迭代法两种。
其中，解析法一般是针对特定的非线性方程设计的显式计算方法，比如说牛顿法等。
而对于大多数的非线性方程而言，其解析求解难度太大，甚至无法得到精确解。
这时，我们就需要通过迭代法来求解非线性方程。
下面介绍三种新的迭代法。
1. 基于贝克曼变换的迭代法贝克曼变换是一种重要的非线性映射变换，它可以有效地将原始问题转换为线性化问题。
基于贝克曼变换，我们可以将待求解的非线性方程转化为一个等价的线性方程组，然后通过迭代求解线性方程组来得到非线性方程的近似解。
具体而言，基于贝克曼变换的迭代法大致分为以下三个步骤：（1）选择一个初始解$x_{0}$，设定迭代精度$\varepsilon$和最大迭代次数$N$。
（2）通过贝克曼变换，将原始方程转化为一个等价的线性方程组$Ax=b$。
其中，$A$为系数矩阵，$b$为右端项向量。
（3）采用迭代格式$x_{k+1}=Tx_k+c$求解线性方程组，直至迭代精度达到要求或达到最大迭代次数为止。
其中，$T$为迭代矩阵，$c$为常数向量，$x_{k}$为第$k$次迭代的解。
需要注意的是，为了保证迭代的收敛性，选取迭代矩阵$T$时应满足其谱半径小于1。
基于信赖域的迭代法是一种有效的求解非线性方程的方法，它最早由Powell和Dennis于1976年提出。
其关键思想是在每个迭代步骤中，通过构造一个相对较小的信赖域来限制变量的移动范围。
（2）构造信赖域模型，将非线性方程转化为一个二次规划问题。
（3）求解二次规划问题，得到当前迭代步骤的解。
（4）根据解的质量，更新信赖域的大小和形状，并更新迭代点。
（5）比较新的解和旧的解之间的差距，确定是否要进一步迭代。
需要注意的是，在每个迭代步骤中，信赖域的形状和大小都需要靠上一次迭代的结果进行更新。
此外，为了保证计算的精度，比较新旧解之间的差距时应加入一定的容差限制。
非线性解法
解非线性方程是方法主要有：增量法、迭代法、增量迭代混合法。
几何非线性有限元方法：1、完全的拉格朗日列式法（T.L.Formulation）在整个分析过程中，以t=0时的位形作为参考，且参考位形保持不变，这种列式称为完全的拉格朗日列式（T.L法）对于任意应力-应变关系与几何运动方程，杆系单元的平衡方程可由虚功原理推导得到：式（1）式中各量分别为：应变矩阵，是单元应变与节点位移的关系矩阵；单元的应力向量；杆端位移向量；V是单元体积分域，对T.L列式，是变形前的单元体积域；单元杆端力向量；直接按上式建立单元刚度方程并建立结构有限元列式，称为全量列式法。
在几何非线性分析中，按全量列式法得到的单元刚度矩阵和结构刚度矩阵往往是非对称的，对求解不利，因此多采用增量列式法。
将式（1）写成微分形式变形后得：式（2）这就是增量形式T.L列式的单元平衡方程。
式中为：单元弹性刚度矩阵、单元初位移刚度矩阵或单元大位移刚度矩阵、初应力刚度矩阵、三个刚度矩阵之和，称为单元切线刚度矩阵。
2、修正的拉格朗日列式法（U.L.Formulation）在建立t+∆t时刻物体平衡方程时，如果我们选择的参照位形不是未变形状态t=0时的位形，而是最后一个已知平衡状态，即本增量步起始的t时刻位形为参照位形，这种列式法称为修正的拉格朗日列式法（U.L列式）。
增量形式的U.L列式结构平衡方程可写成：式（3）3、T.L列式与U.L列式的比较T.L列式与U.L列式是不同学派用不同的简化方程及理论导出的不同方法，但是它们在相同的荷载增量步内其线性化的切线刚度矩阵应该相同，这一点已得到多个实际例题的证明。
T.L列式与U.L列式的不同点比较内容| T.L列式| U.L列式| 注意点计算单刚的积分域| 在初始构形的体积域内进行| 在变形后的t时刻体积域内进行| U.L列式必须保留节点坐标值精度| 保留了刚度阵中所有线性与非线性项| 忽略了高阶非线性| U.L列式的荷载增量不能过大单刚组集成总刚| 用初始时刻各单元结构总体坐标系中的方向余弦形成转换阵，计算过程不变| 用变形后t时刻单元在结构总体坐标中的方向余弦形成转换阵，计算过程中不断改变| U.L列式中组集荷载向量也必须注意方向余弦的改变本构关系的处理| 在大应变时，非线性本构关系不易引入| 比较容易引入大应变非线性本构关系| U.L方法更适用于混凝土徐变分析从理论上讲，这这两种方法都可以用于各种几何非线性分析。
一类非线性演化方程的精确解
一类非线性演化方程的精确解
用不变子空间法来求一些非线性演化方程的精确解是比较简单而又有效的.本文主要研究了( 2 + 1 )-维无色散变系数Kadomtsev-Petiashili(dKP)方程的多项式解.在dKP方程维数增加一维的情况下,得到更为广泛(3 + 1 )-维dKP方程的平凡解和在超曲面上的爆破解.本文的研究结果推广了不变子空间法在高维偏微分方程解中的应用.本文的结构安排如下:第一章引言,主要介绍了用不变子空间法求精确解的研究背景,以及一些相关的预备知识.第二章,首先讲述KP方程的背景知识,最后给出(2 + 1 )-维变系数dKP方程的多项式解.第三章,首先研究(3 + 1 )-维变系数dKP方程平凡解和它在超曲面上的爆破解,再通过p(t)的取值,由定理直接给出(3 + 1 )-维KZK方程的精确解.最后一章,先总结本文,再对本文后续工作进行展望.。
流体力学中的非线性问题与数值模拟
流体力学中的非线性问题与数值模拟流体力学是研究流体运动规律的一门学科，涉及范围广泛，包括空气、水、油等介质，关注的问题也有很多，比如流体的速度、压力、密度等特性，流体与物体的相互作用等。
其中，非线性问题是流体力学中一个十分重要的领域，它通常会导致流场的复杂性和难以预测性，很难通过理论手段求解。
因此，数值模拟成为这一领域研究的重要手段。
一、非线性问题的概念与类型非线性问题是指一些物理现象不遵从线性方程的规律，不能被简单的线性方程表示和处理。
在流体力学中，非线性问题常常出现在高速湍流、边界层、多相流等领域，具有以下特征：1. 非线性耗散：流体主要存在的为惯性力和粘性力，当这两者的作用同时存在时，就会产生非线性的耗散现象。
2. 非线性传播：流体中往往存在波动现象，而波动的传播也会是非线性的。
3. 非线性相互作用：流体中的各个部分之间很少是孤立的，它们之间的相互作用会导致非线性现象。
根据具体的物理特性，流体力学中的非线性问题可以分为很多类型，如下所示：1. Navier-Stokes方程的非线性问题：Navier-Stokes方程是研究流体运动问题的基本方程，其中的非线性项常常会导致流场的复杂性。
2. 对流扩散方程的非线性问题：一些物理现象，比如传热和质量传递，可以用对流扩散方程来描述，但是非线性项会导致方程的解具有多个分支，且难以得到精确解。
3. 多相流问题：多相流问题中，颗粒的相互作用会导致非线性现象，比如颗粒浓度梯度、相互摩擦等。
4. 界面问题：流体中的许多问题都涉及到界面，而界面的行为通常是非线性的，比如界面不稳定性等。
二、数值模拟在非线性问题中的应用由于非线性问题难以用解析方法求解，所以数值模拟成为流体力学研究中非常重要的手段之一。
数值模拟的主要思路是将物理模型转化为计算模型，并用计算方法求解模型，从而获得流场的物理规律和特性。
在非线性问题的数值模拟中，有几个关键性的问题需要注意：1. 离散化：计算模型需要离散化，把连续的流体场转换为网格形式，并在网格点上建立方程，然后用数值方法进行求解。
数学中的非线性偏微分方程与方法论
总结
物理意义
非线性偏微分方程是描述 自然界中很多现象的数学 模型，具有重要的物理意 义。
数学难题
应用前景
研究进展
非线性偏微分方程的数学 性质复杂，相关的数学难 题是数学家们研究的重点 之一。
非线性偏微分方程在物理 学、工程学等领域具有广 泛的应用前景，对于理解 和解决实际问题具有重要 意义。
目前关于非线性偏微分方 程的研究进展迅速，涉及 到数值方法、理论分析等 多个方面。
数学难题和研究进展
Navier-Stokes方程的非线 性性质导致了很多数学难 题，目前研究仍在进行中， 取得了一些进展。
S c h r öd i n g e r 方 程
01 量子力学中的地位和作用
量子力学是描述微观粒子行为的重要理论， 而Schrödinger方程是量子力学的基础方程之 一。
02 波函数解释和统计物理学意义
非线性反应-扩散 方程的数值解法
非线性反应-扩散方 程是描述许多物理现 象的重要数学模型。 在数值模拟中，我们 需要考虑扩散系数和 反应速率对解的影响。 误差分析和收敛性检 验是评估数值解法有 效性的重要步骤。
非线性波动方程的数值模拟
有限差分离 散
离散化过程
波的传播和 干涉
现象分析
稳定性分析
数值模拟性质
● 04
第四章 非线性偏微分方程的 解析理论
非线性偏微分方程的解的存在 性定理
01 Leray-Schauder定理
解的存在性和唯一性
02 Sobolev空间
在存在性定理中的应用
03 解的存在性与正则性
关系及应用
拉普拉斯算子的谱理论
本征函数
描述 性质
谱理论应用
物理学中的非线性方程
物理学中的非线性方程非线性方程是指未能表达为未知量的一次方的方程，或者说含有未知量的幂或乘法运算的方程。
在物理学中，非线性方程广泛应用于描述许多复杂的自然现象。
下面将介绍物理学中的一些重要的非线性方程。
1. 克努森堆积方程（Knudsen堆积方程）克努森堆积方程描述了气体流过孔洞或狭缝时的气体流动行为。
它是由物理学家克努森（Martin Knudsen）于1909年提出的。
该方程是一个非线性的积分方程，可以用来计算气体分子在孔洞或狭缝内的流动速度与压强之间的关系。
2.庞加莱－洛伦兹方程庞加莱－洛伦兹方程是描述相对论性粒子运动的非线性微分方程。
这个方程由法国物理学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）和荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹（Hendrik Lorentz）在19世纪末提出的。
该方程描述了质子、电子等带电粒子在电磁场中的受力和运动。
光学非线性方程是用于描述光在非线性介质中传播时的行为的方程。
光在非线性介质中传播时会产生光的自相互作用，如自聚焦、自调制等现象。
这些现象可以通过非线性方程来描述。
常见的光学非线性方程包括光波方程、改正的光波方程、Kerr方程等。
4.斯托克斯方程斯托克斯方程是描述流体力学中粘性流体运动的基本方程。
它是由爱尔兰物理学家乔治·斯托克斯（George Stokes）在19世纪提出的。
斯托克斯方程是一组非线性的偏微分方程，描述了流体的速度场和压力场之间的关系。
斯托克斯方程在描述微观尺度上的流体运动中尤为重要。
5.薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子的运动和状态演化的基本方程。
它是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）于1926年提出的。
薛定谔方程是一个非线性偏微分方程，描述了微观粒子的波函数与能量之间的关系。
它是量子力学的基础，被广泛应用于描述原子、分子和凝聚态物理等领域。
《几类非线性演化方程解析解的研究》范文
《几类非线性演化方程解析解的研究》篇一一、引言非线性演化方程是数学物理学中重要的研究领域，广泛地应用于物理、化学、生物等众多领域。
近年来，随着科学技术的飞速发展，对非线性演化方程的研究越来越受到重视。
本文旨在研究几类非线性演化方程的解析解，为相关领域的研究提供理论支持。
二、非线性演化方程概述非线性演化方程是一类描述物理系统随时间演化的数学模型，其特点是方程中包含非线性项。
这类方程具有丰富的动力学行为和复杂的解结构，对于理解自然现象和解决实际问题具有重要意义。
常见的非线性演化方程包括反应扩散方程、波动方程、扩散方程等。
三、几类非线性演化方程的解析解研究（一）反应扩散方程的解析解反应扩散方程是一类描述物质在空间中扩散和反应过程的非线性演化方程。
本文通过运用分离变量法、傅里叶变换等方法，对反应扩散方程的解析解进行了深入研究。
研究发现，在特定条件下，可以通过这些方法求得反应扩散方程的精确解或近似解。
（二）波动方程的解析解波动方程是一类描述物体振动过程的非线性演化方程。
本文针对不同类型的波动方程，分别运用了微分变换法、逆散射变换等方法，得到了其解析解。
通过对比不同方法的优劣，为选择合适的解法提供了依据。
（三）扩散方程的解析解扩散方程是一类描述物质在空间中扩散过程的非线性演化方程。
本文通过分析扩散方程的特性，结合数值分析和近似方法，求得了其解析解。
通过与实际问题的对比，验证了所得解析解的实用性和准确性。
四、研究方法与实验结果分析本文采用理论分析和数值模拟相结合的方法，对几类非线性演化方程的解析解进行了研究。
在理论分析方面，通过运用分离变量法、傅里叶变换、微分变换法等方法，得到了各类非线性演化方程的解析解。
在数值模拟方面，通过运用计算机软件进行仿真实验，验证了所得解析解的准确性和实用性。
实验结果表明，本文所研究的几类非线性演化方程的解析解具有较高的精度和实用性。
其中，反应扩散方程的解析解可以用于描述物质在空间中的扩散和反应过程；波动方程的解析解可以用于描述物体振动过程中的波形变化；扩散方程的解析解可以用于描述物质在空间中的扩散过程。
非线性求解学习.pptx
2000年10月16日
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收敛
Newton-Raphson 法需要一个收敛的度量以决定何时结束迭代。给 定外部载荷（Fa），内部载荷（ Fnr ）（由单元应力产生并作用于 节点），在一个体中，外部载荷必须与内力相平衡。
Fa - Fnr = 0
收敛是平衡的度量。
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样将易于绘制载荷－位移曲线。
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自动时间步
• 子步中的载荷增量大小 (F) 由时间 步的大小t决定。
• 时间步大小可由用户设定或由 ANSYS自动预测与控制。
载荷
F2 F
• 自动时间步 算法可在载荷步内为所有
子步预测与控制时间步长的大小（载 荷增量）。
F1
CRITERION= 2.113
DISP CONVERGENCE VALUE = 0.1024E-01 CRITERION= 0.9406
<<< CONVERGED
EQUIL ITER 3 COMPLETED. NEW TRIANG MATRIX. MAX DOF INC= 0.3165E-02
FORCE CONVERGENCE VALUE = 2.179
CRITERION= 2.108
<<< CONVERGED
>>> SOLUTION CONVERGED AFTER EQUILIBRIUM ITERATION 4
*** LOAD STEP
1 SUBSTEP 15 COMPLETED. CUM ITER =
31
*** TIME = 59.1250
《几类非线性演化方程解析解的研究》
《几类非线性演化方程解析解的研究》篇一一、引言非线性演化方程在物理学、生物学、经济学等多个领域中具有广泛的应用。
这些方程能够描述复杂系统的动态变化过程，而其解析解的研究对于理解这些系统的行为和性质具有重要意义。
本文将针对几类非线性演化方程的解析解进行研究，旨在为相关领域的研究提供理论支持和方法参考。
二、非线性演化方程概述非线性演化方程是一类描述系统随时间变化的数学模型，其特点是方程中包含非线性项。
这类方程在自然界和人类社会中广泛存在，如物理学中的非线性波动方程、化学反应动力学中的非线性扩散方程等。
由于非线性项的存在，这类方程的解析解往往较为复杂，需要通过特殊的方法进行求解。
三、几类非线性演化方程的解析解研究1. 非线性薛定谔方程非线性薛定谔方程在量子力学、光学等领域具有广泛的应用。
本文将采用分离变量法、逆散射法等方法对非线性薛定谔方程进行求解，并分析其解析解的性质。
2. 非线性扩散方程非线性扩散方程在描述物质传输、生物种群扩散等过程中具有重要作用。
本文将通过变换法、微扰法等方法对非线性扩散方程进行求解，并探讨其解析解与系统行为之间的关系。
3. 反应扩散方程反应扩散方程是描述化学反应扩散过程的基本模型。
本文将利用Fokker-Planck方法、多尺度法等方法对反应扩散方程进行求解，并分析其解析解的物理含义和系统动力学特性。
四、解析解的研究方法及技术路线对于非线性演化方程的解析解研究，本文主要采用以下方法和技术路线：1. 根据不同类型的非线性演化方程，选择合适的求解方法，如分离变量法、变换法、微扰法等；2. 对所选择的求解方法进行详细的推导和验证，确保其适用于所研究的非线性演化方程；3. 通过数值模拟和实验数据验证解析解的正确性和有效性；4. 分析解析解的性质和系统动力学特性，为相关领域的研究提供理论支持和方法参考。
五、研究结果与讨论通过对几类非线性演化方程的解析解研究，我们得到了以下结果：1. 对于非线性薛定谔方程，我们采用了分离变量法和逆散射法进行求解，得到了其解析解的表达式和性质。
非线性发展方程解的有界性与渐近行为等问题
非线性发展方程解的有界性与渐近行为等问题非线性发展方程解的有界性与渐近行为等问题_______________________________非线性发展方程解的有界性与渐近行为等问题是当前数学中一个非常重要的研究方向。
从抽象的数学角度来看，非线性发展方程是一个复杂的问题，它通常具有非常复杂的行为，甚至有时会导致无界的情况出现。
在数学分析中，有界性和渐近行为是非线性发展方程解的一个重要特征。
在讨论非线性发展方程解的有界性和渐近行为之前，必须先了解其背景信息。
非线性发展方程是一类微分方程，它们描述了一个变量随时间变化的情况。
这些方程以其变量的函数作为结果，并对变量的函数进行不同的分析。
例如，在经济学中，非线性发展方程可以用来描述一个国家的经济增长情况。
在讨论有界性和渐近行为时，首先要明确的是，有界性是一个重要的数学特征，它指的是函数值是否存在上限或下限。
通常来说，如果一个函数值存在上限和下限，并且不会超出这些限制，则它是有界的。
而渐近行为则是指函数值在时间上是否存在某种趋势。
例如，如果一个函数值随时间不断增大或不断减小，则它具有渐近行为。
当然，函数值也可能在时间上呈正弦波动，或者不断地上升后再不断地下降，也可以被认为具有渐近行为。
对于非线性发展方程解的有界性和渐近行为的分析，理论上可以采用多种方法，包括几何分析、泛函分析、动力学分析以及数学定理证明等。
但是，在实际应用中，由于复杂性原因，很难完全证明一个非线性发展方程解的有界性和渐近行为。
因此，在处理实际问题时，通常会采用一些数值方法来对有界性和渐近行为进行近似的分析。
此外，对于复杂的非线性发展方程解，我们也可以使用人工神经网络（ANNs）或其他相关工具来对其有界性和渐近行为进行数值估计。
ANNs是一类由大量神经元构成的人工神经网络，它们可以对各种复杂问题进行估计、分析和预测。
ANNs对于分析复杂的非线性发展方程解的有界性和渐近行为尤其有用。
总之，非线性发展方程解的有界性和渐近行为是一个重要的数学问题。
某些非线性发展方程的精确解
某些非线性发展方程的精确解非线性发展方程是研究自然界中许多复杂现象的重要工具。
它们的解决方案可以帮助我们更好地理解和预测自然界中的各种现象，如气候变化、物理过程、流体力学、生物学等。
本文将介绍某些非线性发展方程的精确解。
首先，我们来讨论一种常见的非线性发展方程，即Korteweg–de Vries (KdV)方程。
这个方程最早由Korteweg和de Vries于1895年提出，用于描述河流中的水波行为。
KdV方程的一个精确解是所谓的孤立子解，它描述了一种波动的形式，具有稳定的性质。
这种解可以通过变换方法和适当的初值条件得到。
另一个非线性发展方程是非线性薛定谔方程（NLSE），它是量子力学中描述粒子行为的方程。
在某些情况下，NLSE可以通过变换方法得到精确解。
例如，当势能函数为调和势时，NLSE 的精确解是高斯波包。
这种解描述了粒子的概率分布，并具有一定的传播特性。
此外，还有一类非线性发展方程称为Kadomtsev–Petviashvili (KP)方程，它描述了等离子体中的孤立波行为。
KP方程的一个重要精确解是所谓的雅可比椭圆函数解，可以通过雅可比椭圆函数的性质和适当的初值条件得到。
这种解揭示了等离子体中孤立波的结构和演化。
除了上述方程，还有许多其他非线性发展方程的精确解被发现。
这些解的存在使得我们能够更深入地理解自然界中的复杂现象，并为我们提供了预测和解释这些现象的工具。
然而，非线性发展方程的解决方案通常较为复杂，需要借助数学方法和适当的变换来获得。
因此，对于不同的非线性发展方程，我们需要采用不同的方法和技巧来寻找精确解。
总之，某些非线性发展方程的精确解为我们理解和解释自然界中的各种现象提供了重要的工具。
这些解的存在和性质使得我们能够更好地研究和预测复杂系统的行为。
通过进一步的研究和探索，我们可以希望发现更多非线性发展方程的精确解，以推动科学的发展和人类对自然界的认知。
杨氏方程解释范文
杨氏方程解释范文杨氏方程是描述光的波动行为的非线性偏微分方程，由法国数学家杨博士于1870年提出。
这个方程被广泛用于描述波动光的传播、干涉和衍射现象，并在光学领域的各个方面有广泛的应用。
在本文中，我将解释杨氏方程的背景、含义和意义。
首先，我们来看看杨氏方程的数学形式。
杨氏方程可以写成如下的形式：∂²E/∂t²=c²∇²E+αE+β，E，²E其中，E代表电场强度，t代表时间，c代表光速，∇²代表拉普拉斯算符，α和β为常数。
杨氏方程的第一项描述了电场强度随时间变化的二阶导数，它反映了光的波动行为。
第二项描述了电场强度在空间中的扩散行为，它与传播速度有关。
第三项描述了非线性效应，它与电场的幅度有关。
接下来，我们来看看杨氏方程的物理含义。
首先，杨氏方程可以用来描述光的传播行为。
当没有非线性效应时，杨氏方程简化为经典的波动方程，描述了光在介质中传播的速度和幅度。
其次，杨氏方程可以用来描述光的干涉现象。
在干涉现象中，两束光波在空间中相遇，产生干涉图样。
杨氏方程可以用来计算干涉图样的形成和演化。
此外，杨氏方程还可以用来描述光的衍射现象。
在衍射现象中，光波通过障碍物或孔径时，产生波前的扩散和弯曲。
杨氏方程可以用来计算衍射现象的模式和强度分布。
最后，杨氏方程还可以用来描述光的非线性效应。
当介质对光的响应随光的强度变化而变化时，就会引起非线性效应。
杨氏方程可以用来描述这种非线性效应的产生和演化。
杨氏方程的解决方法多种多样，包括解析方法、数值方法和近似方法。
通过求解杨氏方程，我们可以得到光的传播、干涉和衍射行为的详细信息。
杨氏方程在现代光学研究中起着重要的作用。
它不仅用于理论分析和研究，还应用于实际问题的求解和设计。
例如，在光学通信中，杨氏方程可以用来模拟和优化光纤传输系统的性能。
在激光加工中，杨氏方程可以用来预测激光束的焦点和功率分布。
在全息成像中，杨氏方程可以用来计算全息图样的生成和重建。
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（３）Ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｅｘａｃｔ ｓｏｌｉｔａｒｙ ｗａｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ（３＋１）一ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｚａｋｈａｒｏｖ—Ｋｕｚｎｅｔｓｏｖ（ＺＫ）ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｔａｉｎｓ ｔｈｒｅｅ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｖａｒｉａｂｌｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂＹ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ＷＴＣ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｌｌ ｎｏｔ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｗａｖｅ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ，ｂｕｔ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ
物理学中对于非线性问题的研究，始于机械振动，而后扩及至流体力学和声学领域． ６０年代以来，随着激光的问世，－Ｉ＂１新兴的学科——非线性光学应运而生；同一时期， 热力学的研究也从线性步入非线性阶段，量子非线性问题的研究，早在２０年代即由德布 罗意和爱因斯坦从理论角度提出，其后陆续有所发展．随着认识的深化，非线性物理学 必将逐步得到发展和完善．
（３）用ＷＴＣ方法求解了具有三个任意变系数的（３＋１）维Ｚａｋｈａｒｏｖ－Ｋｕｚｎｅｔｓｏｖ（ＺＫ）方 程，得到了它的单孤立波解．对解分析表明，该波在运动过程中，振幅保持不变而速度 则随时间发生变化．
（４）对包括阻尼ＫｄＶ方程、柱ＫｄＶ方程和球ＫｄＶ方程在内的一类ＫｄＶ方程进行 了求解，得到了这一类方程积分意义下的广义解．该解表示的波，振幅和速度一般随时 间变化．
ｕｎｄｅｒ ｃｅｒｔａｉｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ｃａｎ ｒｅａｃｈ ９ ｔｉｍｅｓ ｏｆ ｉｎｉｔｉａｌ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｓｏｌｉｔｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｒｅｅ ｓｏｌｉｔｏｎｓ ｔｈａｔ ｗｉｔｈ ｓａｍｅ ａｍｐｌｉｔｕｄｅｓ．
（２）Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｅｘｐａｎｓｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｗｅ ｇｏｔ ｓｏｍｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｂｕｒｇｅｒｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ＫｄＶ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ＫｄＶ－Ｂｕｒｇｅｒｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｖａｒｉａｂｌｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ．Ｍａｎｙ ｅｘａｃｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｓｏｌｉｔａｒｙ ｗａｖｅ，ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ ｔｒａｖｅｌｉｎｇ
ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．
ＩＩＩ
独创性声明
本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果．尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大 学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料．与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．
签名：彳移红踊
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关于论文使用授权的说明
本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文 的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文． （保密的论文在解密后应遵守此规定）
签名：杨确导师签名弘麦凶魄沙形／
Ｒｕｓｓｅｌｌ当时未能成功地证明并使物理学家们信服他的论断，从而埋怨数学家们未 能从已知的流体运动方程预言出这一现象．之后有关孤立波的问题在当时许多物理学家 中引起了广泛的争论．直到６０年后的１８９５年，Ｋｏｒｔｅｗｅｇ和ｄｅＶｒｉｅｓ研究了浅水波的运动， 在长波近似和小振幅的假定下。建立了单向运动的浅水波运动方程
ＫｄＶ方程默默地度过了漫长的６５年，偶尔在文献中被提一下，有时甚至被忘掉（Ｖａｎ ｄｅｒ Ｂｌｉｊ（１９７８））．一直到了２０世纪５０年代，由于Ｆｅｒｍｉ，Ｐａｓｔａ和Ｕｌａｍ的工作，才出现了 新的局面．他们将６４个质点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦，初始时这些谐振子 的所有能量都集中其一，其他６３个的初始能量为零．按照经典的理论认为：只要非线性 效应存在，就会有能量均分现象出现，即任何微弱的非线性相互作用，可导致系统由非
１．１．１孤立子理论的产生【ｌ，２１ １８３４年英国科学家Ｓｃｏｔｔ Ｒｕｓｓｅｌｌ偶尔观察到了一种奇妙的水波．１８４４年，他在《英 国皇家科学促进协会第１４届会议报告》上发表的《论波动》一文中，对此现象作了生动 的描述： “我观察过一次船的运动，这条船被两匹马拉着沿狭窄的运河迅速前进着．突然，
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（５）利用同伦分析方法求得了Ｂｕｒｇｅｒｓ方程的扭结型孤立波解，发现用该方法求得 的解与精确解十分吻合，说明同伦分析法对于求解一类非线性演化方程扭结形孤立波的 近似解时非常有效．
１Ｉ
ＡＢＳＴＲＡＣＴ
Ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｃｉｅｎｃｅ，ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｒｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｗｉｄｅｌｙ ｉｎ ｐｈｙｓｉｃｓ，ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，ｇｅｏｓｃｉｅｎｃｅ，ｌｉｆｅ ｓｃｉｅｎｃｅｓ，ａｐｐｌｉｅｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ， ａｎｄ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｆｉｎｄｉｎｇ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｓ ａｎ ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ ｗｏｒｋ ｔｏ ｐｈｙｓｉｃａｌ ｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ ａｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｗｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｍａｎｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｅｖｅｒａｌ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｐａｒｔｉａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕｍｉｏｎｓ ａｎｄ ｓｔｕｄｉｅｄ ｃｈａｒａｃｔｅｒｓ ｏｆｅｑｕｍｉｏｎｓ．
ｗａｖｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ．
（４）Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ＫｄＶ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，
ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｔｈｅ ｄａｍｐｉｎｇ ＫｄＶ ｅｑｕｍｉｏｎｓ，ｔｈｅ ｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌ ＫｄＶ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ
ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ＫｄＶ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｍｐｌｉｔｕｄｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｖｅｌｏｃｉｔｙ ｏｆｔｈｅ ｗａｖｅｓ ｃｈａｎｇｅ ａｓ ｔｉｍｅ ｃｈａｎｇｅｓ．
（５）Ｗｅ ｓｏｌｖｅｄ ｔｈｅ Ｂｕｒｇｅｒｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｈｏｍｏｔｏｐｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｉｔｓ ｋｉｎｋ ｓｏｌｉｔａｒｙ ｗａｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｖａｌｉｄ ｔｏ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｓｏｌｉｔａｒｙ ｗａｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ
物理现象从本质上讲应是非线性的，而线性规律，仅是物质世界的近似描写．事实 上，非线性问题与物理学相伴而生．物理学形成伊始，开普勒（Ｋｅｐｌｅｒ）对天体轨迹的研究， 就是对非线性问题探索之发端；１８１３年法拉第（Ｆａｒａｄａｙ）通过振动水槽实验发现水中有槽 振动频率一半的分频，法拉第可算是观察分岔现象之始祖；１８３４年罗素（Ｒｕｓｓｅｌｌ）在爱丁 堡——戈拉斯高运河上发现了孤立波：在此之后庞加莱（Ｐｏｉｎｃａｒ６）在天体物理的研究中， 瑞利（Ｒａｙｌｅｉｇｈ）在声和光的衍射研究中，雷诺（Ｒｅｙｎｏｌｄｓ）对流体湍流的研究中均发现了不 少非线性问题．近２０年来的科技进展表明，非线性问题已不是物理学中的个别特殊现象， 它已渗透到力、热、电、声、光、原子物理和粒子物理等物理学的各个领域．而且达到 物理学及其相关学科的每一新的进展几乎都与“非线性”相关的程度．
（１）求褥ＴＯ＋１）维ＫＰ方程的Ｂｔｌｃｌｄｕｎｄ变换，并利用它得到了该方程的多孤子解和 Ｌｕｍｐ解．研究了（２＋１）维ＫＰ方程三孤子的相互作用，发现在一定条件下三个同振幅孤 子相互作用时振幅的最大值可达到相互作用前的９倍．
（２）利用函数展开法求得了变系数Ｂｕｒｇｅｒｓ方程、变系数ＫｄＶ方程和变系数 ＫｄＶ－Ｂｕｒｇｅｒｓ方程在一定条件下的若干精确解，包括变速孤立波解、奇异行波解和其它 类型的解．
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第一章非线性物理与非线性演化方程简介
１．１非线性物理简介
几个世纪以来，物理学研究的主要是线性问题，即运动方程为线性方程，物质方程 为线性方程的情形，无论是在力、热、声、光、电现象或在微观世界中，研究工作的状 况均是如此．线性与非线性，是事物客观属性及运动规律中对立、统一的两个方面．从原 则上讲，线性是特殊的、相对的，而非线性才是普遍的、绝对的．线性系统的主要特点是： 系统的整体性质可由组成它的各个子系的叠加而得出，这就是熟知的线性叠加原理．许 多实际系统在一定条件下可以看作线性系统．由于在一定条件下线性是一个很好的近似， 以及对线性系统的处理比较简单，因而长期以来，人们对线性问题研究得比较充分，而 对非线性问题的重要性与普遍性则认识不足，并很少研究．
（１）Ｗｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｈｅ Ｂｉｉｃｋｌｕｎｄ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ（３＋１）一ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ＫＰ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄ ｄｅｒｉｖｅｄ ｔｈｅ ｍｕｌｔｉ—ｓｏｌｉｔｏｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｌｕｍｐ ｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｗｅ ａｌｓｏ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｔｈｒｅｅ ｓｏｌｉｔｏｎｓ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｆｏｒ（２＋１）一ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄ ｆｉｎｄ，
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船停了下来，而被船所推动的大堆水却并不停止，它们积聚在船头周围激烈地扰动着， 然后水浪突然呈现出一个滚圆而平滑、轮廓分明的巨大孤立波峰它以巨大的速度向前 滚动着，急速地离开船头，在行进中它的形状和速度并没有明显的改变．我骑在马上紧 跟着观察．它以每小时约八、九英里的速度滚滚向前，并保持长约３０英尺、高约ｌ—１．５ 英尺的原始形状．后来，渐渐它的高度下降了．当我跟踪ｌ—２英里后，它终于消失在逶 迤的河道之中．这就是我在１８３４年８月第一次偶然发现这奇异而美妙的现象的经过．