2016-2017学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数习题课新人教版必修1

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高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)21指数函数211指数与指数幂的运算教学设计新人教A版1.

2.1.1 指数与指数幂的运算整体设计教学分析我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂．教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP 的增长问题和碳14的衰减问题．前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值．后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质．掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质．培养学生观察分析、抽象类比的能力．2．掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想．通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．3．能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．4．通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质．展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．重点难点教学重点(1)分数指数幂和根式概念的理解．(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质．(3)运用有理指数幂的性质进行化简、求值．教学难点(1)分数指数幂及根式概念的理解．(2)有理指数幂性质的灵活应用．课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1．同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的．教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算．思路2．同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n 次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算．推进新课新知探究提出问题(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？(2)如x4＝a，x5＝a，x6＝a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？(4)可否用一个式子表达呢？活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维．讨论结果：(1)若x2＝a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3＝a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：－8的立方根为－2.(2)类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根．一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根．一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根．(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根．(4)用一个式子表达是，若x n＝a，则x叫a的n次方根．教师板书n次方根的意义：一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n＞1且n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例．提出问题(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？(多媒体显示以下题目).①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤－32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.(2)平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，－32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点？(3)问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢？活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，－2的5次方等于－32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，－32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是±2，±2，±2,2，－2,0，a2.(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数．总的来看，这些数包括正数，负数和零．(3)一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数.0的任何次方根都是0.(4)任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数．类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用－na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a＞0)．②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示．③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零．上面的文字语言可用下面的式子表示：a 为正数：⎩⎨⎧n 为奇数， a 的n 次方根有一个为n a ，n 为偶数， a 的n 次方根有两个为±n a .a 为负数：⎩⎪⎨⎪⎧ n 为奇数， a 的n 次方根只有一个为n a ，n 为偶数， a 的n 次方根不存在.零的n 次方根为零，记为n0＝0. 可以看出数的平方根、立方根的性质是n 次方根的性质的特例．思考根据n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况？活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题．解：答案不唯一，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，－27的5次方根为5－27，而－27的4次方根不存在等．其中5－27也表示方根，它类似于n a 的形式，现在我们给式子n a 一个名称——根式．根式的概念：式子na 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．如3－27中，3叫根指数，－27叫被开方数．思考 n a n 表示a n 的n 次方根，式子n a n ＝a 一定成立吗？如果不一定成立，那么n a n 等于什么？活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生多举实例，分组讨论．教师点拨，注意归纳整理．〔如3(－3)3＝3－27＝－3，4(－8)4＝|－8|＝8〕．解答：根据n 次方根的意义，可得：(n a )n ＝a .通过探究得到：n 为奇数，n a n＝a .n为偶数，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，－a，a≥0，a<0.因此我们得到n次方根的运算性质：①(na)n＝a.先开方，再乘方(同次)，结果为被开方数．②n为奇数，na n＝a.先奇次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数．n为偶数，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，－a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再开方(同次)，结果为被开方数的绝对值．应用示例思路1 例求下列各式的值：(1)3(－8)3；(2)(－10)2；(3)4(3－π)4；(4)(a－b)2(a＞b)．活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析．观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药．求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数．解：(1)3(－8)3＝－8；(2)(－10)2＝10；(3)4(3－π)4＝π－3；(4)(a－b)2＝a－b(a＞b)．点评：不注意n的奇偶性对式子na n的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用．例1 下列各式中正确的是( )A．4a4＝aB．6(－2)2＝3－2C．a0＝1D．10(2－1)5＝2－1活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答．解析：(1)4a4＝a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写na n＝|a|，故A项错．(2)6(－2)2＝3－2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(－2)2＝32，故B项错．(3)a0＝1是有条件的，即a≠0，故C项也错．(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确．所以答案选D. 答案：D点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心．例2 3＋22＋3－22＝__________.活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式．正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路．解析：因为3＋22＝1＋22＋(2)2＝(1＋2)2＝2＋1，3－22＝(2)2－22＋1＝(2－1)2＝2－1，所以3＋22＋3－22＝2 2.答案：2 2点评：不难看出3－22与3＋22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式．思考上面的例2还有别的解法吗？活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“＋”，一个是“－”，去掉一层根号后，相加正好抵消．同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法．另解：利用整体思想，x＝3＋22＋3－22，两边平方，得x2＝3＋22＋3－22＋2(3＋22)(3－22)＝6＋232－(22)2＝6＋2＝8，所以x＝2 2.点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A＋2B±A－2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解．(教师用多媒体显示在屏幕上) 1．以下说法正确的是( ) A．正数的n次方根是一个正数B．负数的n次方根是一个负数C．0的n次方根是零D．a的n次方根用na表示(以上n＞1且n∈N*)答案：C2．化简下列各式：(1)664；(2)4(－3)2；(3)4x8；(4)6x6y3；(5)(x－y)2.答案：(1)2；(2)3；(3)x2；(4)|x|y；(5)|x－y|. 3．计算7＋40＋7－40＝__________.解析：7＋40＋7－40＝(5)2＋25·2＋(2)2＋(5)2－25·2＋(2)2＝(5＋2)2＋(5－2)2＝5＋2＋5－ 2＝2 5.答案：2 5拓展提升问题：na n＝a与(na)n＝a(n＞1，n∈N)哪一个是恒等式，为什么？请举例说明．活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义．通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下．再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论．解：(1)(na)n＝a(n＞1，n∈N)．如果x n＝a(n＞1，且n∈N)有意义，则无论n是奇数或偶数，x＝na一定是它的一个n次方根，所以(na)n＝a恒成立．例如：(43)4＝3，(3－5)3＝－5.(2)na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a，|a|，当n为奇数，当n为偶数.当n为奇数时，a∈R，na n＝a恒成立．例如：525＝2，5(－2)5＝－2.当n为偶数时，a∈R，a n≥0，na n表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么na n＝a.例如434＝3，40＝0；如果a＜0，那么na n＝|a|＝－a，如(－3)2＝32＝3，即(na)n＝a(n＞1，n∈N)是恒等式，na n＝a(n＞1，n∈N)是有条件的．点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解．课堂小结学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上．1．如果x n＝a，那么x叫a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数．(1)当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用－na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a＞0)．(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示．(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零．2．掌握两个公式：n为奇数时，(na)n＝a，n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，－a，a≥0，a<0.作业课本习题2.1A组 1. 补充作业：1．化简下列各式：(1)681；(2)15－32；(3)6a2b4.解：(1)681＝634＝332＝39；(2)15－32＝－1525＝－32；(3)6a2b4＝6(|a|·b2)2＝3|a|·b2.2．若5＜a＜8，则式子(a－5)2－(a－8)2的值为__________．解析：因为5＜a＜8，所以(a－5)2－(a－8)2＝a－5－8＋a＝2a－13.答案：2a－133．5＋26＋5－26＝__________.解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，不难看出5＋26＝(3＋2)2＝3＋ 2.同理5－26＝(3－2)2＝3－ 2.所以5＋26＋5－26＝2 3.答案：2 3设计感想学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a＞0，a＜0，a＝0三种情况，并结合具体例子讲解，因此设计了大量的类比和练习题目，要灵活处理这些题目，帮助学生加以理解，所以需要用多媒体信息技术服务教学．第2课时作者：郝云静导入新课思路1．碳14测年法．原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失．对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代(半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半)．引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂．思路2．同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的．这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂．推进新课新知探究提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？(2)观察以下式子，并总结出规律：a＞0，1025a a===；②a8＝(a4)2＝a4＝82a，；③4a12＝4(a3)4＝a3＝124a；④2a10＝2(a5)2＝a5＝102a.(3)利用(2)的规律，你能表示下列式子吗？x>0，m，n∈N*，且n>1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？(5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示．讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n＝a·a·a·…·a，a0＝1(a≠0)；00无意义；a－n＝1a n(a≠0)；a m·a n＝a m＋n；(a m)n＝a mn；(a n)m＝a mn；(ab)n＝a n b n.(2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根．实质上①5a10＝105a，②a8＝82a，③4a12＝124a，④2a10＝102a结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，105，形式上变了，本质没变．根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)．(3)利用(2)的规律，453＝345，375＝537，5a7＝75a，n x m＝mnx.(4)53的四次方根是345，75的三次方根是537，a7的五次方根是75a，x m的n次方根是mnx.结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的．(5)如果a＞0，那么a m的n次方根可表示为na m＝mna，即mna＝n a m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：规定：正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．提出问题(1)负整数指数幂的意义是怎样规定的？(2)你能得出负分数指数幂的意义吗？(3)你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？(4)综合上述，如何规定分数指数幂的意义？(5)分数指数幂的意义中，为什么规定a＞0，去掉这个规定会产生什么样的后果？(6)既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a＞0的必要性，教师及时作出评价．讨论结果：(1)负整数指数幂的意义是：a－n＝1a n(a≠0)，n∈N*.(2)既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义．规定：正数的负分数指数幂的意义是mna-＝1mna＝1na m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．(3)规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(4)教师板书分数指数幂的意义．分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，正数的负分数指数幂的意义是mna-＝1mna＝1na m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(5)若没有a＞0这个条件会怎样呢？如13(1)-＝3－1＝－1，26(1)-＝6(－1)2＝1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的．因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a ＞0的条件，比如式子3a 2＝23||a ，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上．(6)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r ，s ，均有下面的运算性质： ①a r·a s＝ar ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q )，②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q )， ③(a ·b )r＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q )．我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题．应用示例例1 求值：(1)238；(2)1225-；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5；(4)341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭.活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2－1，1681写成⎝ ⎛⎭⎪⎫234，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来．解：(1)222333338(2)2⨯==＝22＝4； (2)1112222225(5)5⎛⎫⨯--- ⎪⎝⎭==＝5－1＝15；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝(2－1)－5＝2－1×(－5)＝32； (4)33444162813⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝278.点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解．在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如238＝382＝364＝4.例2 用分数指数幂的形式表示下列各式．a 3·a ；a 2·3a 2；a 3a (a ＞0)．活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结．解：a3·a＝a3·12a＝17322a a+=；a2·3a2＝a2·23a＝28233a a+=；a 3a＝1421133322()()a a a a⋅==.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算．对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数．例3 计算下列各式(式中字母都是正数)．(1)211511336622(2)(6)(3)a b a b a b-÷-；(2)31884()m n-.活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第(2)小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤．解：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]211115326236a b+-+-＝4ab0＝4a；(2)33311188888888444()()()m n m n m n---⨯⨯==＝m2n－3＝m2n3.点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法．有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了．本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用．(1)(325－125)÷425；(2)a2a·3a2(a＞0)．活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底．利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答．解：(1)原式＝121131 332422 (25125)25(55)5 -÷=-÷＝21131326225555---=-＝65－5；(2)a2a·3a2＝125222362132aa aa a--==⋅＝6a5.知能训练课本本节练习1,2,3.【补充练习】教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答，教师巡视，启发，对做得好的同学给予表扬鼓励．1．(1)下列运算中，正确的是( )A．a2·a3＝a6 B．(－a2)3＝(－a3)2C．(a－1)0＝0 D．(－a2)3＝－a6(2)下列各式①4(－4)2n，②4(－4)2n＋1，③5a4，④4a5(各式的n∈N，a∈R)中，有意义的是( )A．①② B．①③ C．①②③④ D．①③④(3)(34a6)2·(43a6)2等于( )A．a B．a2 C．a3 D．a4(4)把根式－25(a－b)－2改写成分数指数幂的形式为( )A．252()a b--- B．522()a b---C．22552()a b---- D．55222()a b----(5)化简2115113366221()(3)3a b a b a b⎛⎫⎪-÷⎪⎝⎭的结果是( )A．6a B．－a C．－9a D．9a2．计算：(1)130.027-－⎝⎛⎭⎪⎫－17－2＋34256－3－1＋(2－1)0＝__________.(2)设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝__________.3．已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求11221122x yx y-+的值．答案：1．(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2．(1)19 (2)83．解：11111111 22222222111111222222()()2()()x y x y x y x x y yx yx y x y x y----+==-++-.因为x＋y＝12，xy＝9，所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝144－36＝108＝4×27.又因为x＜y，所以x－y＝－2×33＝－6 3.所以原式＝122()x y xyx y+--＝12－6－63＝－33.拓展提升1．化简：132111333311111 x x x xx x x x-+-+-+++-.活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到：x－1＝133()x－13＝121333(1)(1)x x x-++；x＋1＝133()x＋13＝121333(1)(1)x x x+-+；1111112333333[()1](1)(1) x x x x x x x-=-=-+．构建解题思路教师适时启发提示．解：132111 333311111 x x x x x x x x-+-+-+++-＝11121 333333333 21113333 ()1()1111 x x x x x x x x x-+-+-+++-＝12112111133333333321113333(1)(1)(1)(1)(1)(1)11(1)x x x x x x x x x x x x x-+++-+-++-+++-＝12121 33333 11x x x x x -+-+--＝13x-.点拨：解这类题目，要注意运用以下公式，11112222()()a b a b-+＝a－b，11222()a b±＝a±11222a b＋b，112112333333()()a b a a b b±+＝a±b.2．已知11223a a-+=，探究下列各式的值的求法．(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)33221122a aa a----.解：(1)将11223a a-+=，两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7；(2)将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47；(3)由于331133 2222()()a a a a---=-，所以有331111122222211112222()()a a a a a a a aa a a a--------++=--＝a＋a－1＋1＝8.点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．课堂小结活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流．同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点：(1)分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，正数的负分数指数幂的意义是mna-＝1mna＝1na m(a＞0，m，n∈N*，n＞1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义．(2)规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．(3)有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)，②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)，③(a·b)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．(4)说明两点：①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系．②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用．因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用()m m n n nnaa⨯=＝a m来计算．作业课本习题2.1A 组 2,4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务．第3课时作者：郑芳鸣导入新课思路1．同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数．并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数．对无理数指数幂，也是这样扩充而来．既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的运算(3)〕之无理数指数幂．思路2．同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂，教师板书本节课的课题．推进新课新知探究提出问题(1)我们知道2＝1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？(2)多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中，能发现什么样的规律？。

高中数学必修一第二章基本初等函数 2-1 指数函数课时提升作业及解析

a>0 且 a≠1.
(1)求 a 的值.
(2)求函数 y=f (x≥0)的值域.
【解析】(1)函数图象经过点
,所以 a2-1= ,则 a= .
,其中
(2)由(1)知函数为 f(x)=
(x≥0),由 x≥0,得 x-1≥-1.于是 0<
≤
=2,所以函数的值域为(0,2].
(20 分钟 40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2015·南昌高一检测)函数 f(x)=ax-b 的图象如图所示,其中 a,b 均为常数,则下列结论正确的是 ( )
【解题指南】从直线位置得出 b 与 1 的大小及 a 的正负,从而判断 y=bax 的增减性. 【解析】选 A.选项 A 中,由直线位置可知 a>0,0<b<1,所以 y=bax 为减函数,故 A 正确.选项 B 中 a>0,b>1,所以 y=bax 为增函数,故 B 项不正确.选项 C 中,a<0,b>1,
2.(2015·昆明高一检测)化简[
的结果为 ( )
A.5
B.
C.-
D.-5
【解析】选 B.[
=(
= == .
【补偿训练】计算[(- )2 的结果是 ( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选 C.[(- )2 =(
=( )-1= = ,故选 C.
3.
+(-1)-1÷0.75-2+
=( )
A.
B.
C.-
D.-
所以
= =.
的值.
课时提升作业(2)
指数幂及运算
(15 分钟 30 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)

山西省忻州市2016-2017学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2 指数函数及其性质(

2.1.2 指数函数及其性质(二)
【教学目标】
1.知识与技能
进一步理解和掌握指数函数的图象与性质.
2.过程与方法
通过一组指数函数的图像进一步观察，加深对指数函数图象与性质的理解，斌能解决一些简单的问题；
3..情感、态度、价值观
通过解决具体事例，培养学生的建模意识. 培养学生的应用能力；
【预习任务】
1.在同一坐标系中画出下列函数的图象:y=2x ；y=(12)x ；y=3x ；y=(13)x ；y=5x ； y=(15
)x . ①根据上述函数图象的特征归纳出指数函数y=a x (a>0,a≠1)的图象特征和性质 (列表)
②探究指数函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
2. 回顾复合函数单调性的判定方法: (1) 复合函数y=f[g(x)]的单调性可有内、外函数的单调性得出,具体如下表: 减
2 即: 若u=g(x)与y=f(u)的增减性相同,则y=f[g(x)]为增函数. 若u=g(x)与y=f(u)的增减性相反,则y=f[g(x)]为减函数
(2)讨论函数y=22x 的单调性
3.阅读课本57—58页:
总结例8解题步骤:
【自主检测】
1.指数函数x a y )2(-=在定义域内是减函数,则a 的范围是__________.
2.函数31
2-=x y 的定义域是__________,值域___________.
【组内互检】
复合函数单调性的判定方法:。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2第1课时指数函数的图象及性质课件新人教A版必修1

由图象可知值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0]，递减区间是[0，＋∞)．
与指数函数有关的定义域、值域问题
求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝
；(2)y＝23－|x|.
思路点拨：
指数函数y＝axa＞0，且a≠1的定义域是R
―→
函数y＝afxa＞0，且a≠1 与fx的定义域相同
―→
值域
解：(1)由xx＋－11≥0，得 x≤－1 或 x＞1.
已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(6)＝________. 解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)． ∵函数f(x)的图象过点(3,8)． ∴8＝a3，∴a＝2. ∴f(x)＝2x. ∴f(6)＝26＝64. 答案：64
2．指数函数的图象和性质 a＞1
图象图象
如图是指数函数：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④ y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
思路点拨：
解析：方法一：在①②中底数大于零且小于 1，在 y 轴右边，底数越小，图象向下越靠近 x 轴，故有 b＜a，在③④中底数大于 1，在 y 轴右边，底数越大，图象向上越靠近 y 轴，故有 d<c.故选 B.
1．指数函数的图象一定在x轴的上方．( ) 2．当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.( ) 3．函数f(x)＝2－x在R上是增函数．( ) 答案：1.√ 2.× 3.×
指数函数的概念
函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值．思路点拨： ax的系数为1 ―→ a为常数，a＞0且a≠1 ―→ 不等式组解：∵y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数， ∴aa＞2－03且a＋a≠3＝1，1，解得aa＝＞10或且2a，≠1. ∴a＝2.

高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数习题2.1》430教案教学设计一等奖名师公开课比赛优质课评比

2.1.1（1）指数与指数幂的运算（教学设计）教学目标1、知识与技能：理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。

2、过程与方法：通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n次方根；通过对“当n是偶数时，)0()0(aaaaaann”的理解，培养学生分类讨论的意识。

3、态度情感价值关：通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。

教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。

教学难点：当n是偶数时，)0()0(aaaaaann的得出及运用教学过程一、创设情境，新课引入：问题（课本P58问题2）：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t 之间的关系5730)21(tP．当生物死亡了5730，25730，35730，…年后，它体内碳14的含量P分别为21，2)21(，3)21(，…．是正整数指数幂．它们的值分别为21，41，81，…．当生物死亡6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为57306000)21(，573010000)21(，5730100000)21(，这些式子的意义又是什么呢？这些正是本节课要学习的内容．二、师生互动，新课讲解：1、问题引入：（1）若ax2，则x叫a的.如：2是4的平方根一个正数的平方根有个，它们互为数；负数没有平方根；零的平方根是.（2）若ax3，则x叫a的.如：2是8的立方根，－2是－8的立方根。

一个正数的立方根是一个数，一个负数的立方根是一个数，0的立方根是.（3）类比平方根、立方根的定义，你认为，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的；一个数的五次方等于a，则这个数叫a的；一个数的六次方等于a，则这个数叫a的；……；一个数的n次方等于a，则这个数叫a的；一般地，如果axn，则x叫a的n次方根，其中1n且*Nn. 问：（1）16的四次方根是.32的五次方根是.－32的五次方根是.（2）一个正数的n次方根有几个？一个负数的n次方根有几个？0的n次方根是多少？（给学生留点时间进行探究）得出结论：（1）一个正数的偶次方根有两个，这两个数互为相反数；负数没有偶次方根。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数 2.1.2 第1课时指数函数的图象及性质讲

学习资料2.1。

2 指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质学习目标核心素养1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法．（重点、难点) 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质．（重点）1．通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养．2．借助指数函数的定义域、值域的求法,提升逻辑推理素养.1．指数函数的概念一般地，函数y＝a x（a〉0，且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量，函数的定义域是R。

2．指数函数的图象和性质,a的范围a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域（0，＋∞）过定点（0,1），即当x＝0时，y＝1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝a x与y＝a－x的图象关于y轴对称(2）指数函数值随自变量有怎样的变化规律？提示:（1）指数函数y＝a x(a〉0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0〈a<1时，图象具有下降趋势．(2）指数函数值随自变量的变化规律1．下列函数一定是指数函数的是（)A．y＝2x＋1B．y＝x3C．y＝3·2x D．y＝3－xD［由指数函数的定义可知D正确．]2．函数y＝3－x的图象是()A B C DB［∵y＝3－x＝错误!错误!,∴B选项正确．］3．若指数函数f(x）的图象过点（3,8)，则f（x)的解析式为(）A．f(x）＝x3B．f(x）＝2xC．f（x）＝错误!错误!D．f（x)＝x错误!B［设f（x)＝a x(a>0且a≠1)，则由f（3)＝8得a3＝8,∴a＝2,∴f(x）＝2x,故选B。

]4．函数y＝a x（a〉0且a≠1）在R上是增函数，则a的取值范围是________．（1，＋∞)[结合指数函数的性质可知,若y＝a x（a>0且a≠1）在R上是增函数，则a〉1.]指数函数的概念①y＝（－8）x；②y＝2x2－1；③y＝a x；④y＝2·3x。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算(3)教案数学教案

指数与指数幂的运算(3)导入新课思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂.思路2.同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.推进新课新知探究提出问题①我们知道2=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是2的什么近似值？③你能给上述思想起个名字吗?④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如52,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于2的方向,另一方面从小于2的方向.问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于2,称2的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于2,称2的过剩近似值.②第一个表:从大于2的方向逼近2时,52就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近52.第二个表:从小于2的方向逼近2时,52就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向逼近52.从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面52从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于52的方向接近52,而另一方面52从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向接近52,可以说从两个方向无限地接近52,即逼近52,所以52是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示52的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是52一定是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.41421<…<52<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.充分表明52是一个实数.③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识. ④根据②③我们可以推断52是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.⑤无理数指数幂的意义:一般地,无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂. 提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢? （3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳. 对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通. 对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么a α是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂a α是一个确定的实数,就不会再造成混乱. （2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则: ①a r ·a s =a r+s(a>0,r,s 都是无理数).②(a r )s =a rs(a>0,r,s 都是无理数).③(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r 是无理数).（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂. 实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r+s(a>0,r,s∈R ).②(a r )s =a rs(a>0,r,s∈R ).③(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r∈R ). 应用示例思路1例1利用函数计算器计算.（精确到0.001）（1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.143;（4）33.活动：教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于（1）,可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按,即可求得它的值；对于（2）,先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按即可;对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按即可;对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.答案：（1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032; （3）3.143≈2.336;（4）33≈6.705.点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n 位,只需看第（n+1）位能否进位即可.例2求值或化简. (1)3224ab ba -(a>0,b>0); (2)(41)21-213321)()1.0()4(---b a ab (a>0,b>0);(3)246347625---+-.活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.解：(1)3224ab ba -=2224b a -(a 31b 32)21=a -2ba 61b 31=a611-b 34=61134ab .点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.(2)(41)21-2133231)()1.0()4(---b a ab =223211044•a 23a 23-b 23-b 23=254a 0b 0=254.点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.(3) 246347625---+- =222)22()32()23(---+- =3-2+2-3-2+2=0.点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.例3已知x=21(5n 1-5n 1-),n∈N *,求(x+2x 1+)n 的值.活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5n1与5n1-具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.x 2=41(5n 1-5n 1-)2=41(5n 2-2·50+5n 2-)=41(5n 2+2+5n 2--4) =41(5n 1+5n 1-)2-1. 这时应看到1+x 2=1+41(n 1-5n 1-)2=41(5n 1+5n 1-)2,这样先算出1+x 2,再算出2x 1+,带入即可.解：将x=21(5n 1-5n 1-)代入1+x 2，得1+x 2=1+41(5n 1-5n 1-)2=41(5n 1+5n 1-)n ,所以(x+2x 1+)n=［21(5n 1-5n 1-)+211)55(41n n-+］n=［21(5n 1-5n 1-)+21(5n 1+5n 1-)］n =(5n 1)n=5.点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.思路2 例1计算:(1)105432)(0625.0833416--+++π;(2)12532+(21)-2+34331-(271)31-;(3)(-2x 41y31-)(3x 21y 32)；(4)(x 21-y 21)÷(x 41-y 41).活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价. 解：(1)105432)(0625.0833416--+++π =(425)21+(827)31+(0.062 5)41+1-21=(25)2×21+(23)313⨯+(0.5)414⨯+21 =25+23+0.5+21 =5;(2)12532+(21)-2+34331-(271)31-=(53)32+(2-1)-2+(73)31-(3-3)31-=5323⨯+2-2×(-1)+7313⨯-3)31(3-⨯-=25+4+7-3=33; (3)(-2x 41y 31-)(3x 21y 32)=(-2×3)(x 41x 21·y31-y 32)=323121416+-+•-yx=-6x 43y 31=3436y x-;(4)(x 21-y 21)÷(x 41-y 41)=((x 41)2-(y 41)2)÷(x 41-y 41) =(x 41+y 41)(x 41-y 41)÷(x 41-y 41) =x 41+y 41.点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.例2化简下列各式: (1)323222323222--------+--++yxy x yxy x ;(2)(a 3+a -3)(a 3-a -3)÷［(a 4+a -4+1)(a-a -1)］.活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x 2与x 32的关系可知x 2=(x 32)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流. 解：(1)原式=323222323222--------+--++yxy x yxy x=])())(()[()()(23232322322323232232--------++-+-yyx x yy x x=343234343234)()(---------+-yxy xy xy x=xyxy xy 3322)(2-=--; (2)原式=［(a 3)2-(a -3)2］÷［(a 4+a -4+1)(a-a -1)］=))(1()()(1442222----++-a a a a a a =))(1()1)((1444422-----++++-a a a a a a a a =1212)(----a a a a =a+a -1.点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a 23=(a 21)3还容易看出,对其中夹杂的数字m 可以化为m·a 21a 21-=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力.知能训练课本P 59习题2.1A 组 3.利用投影仪投射下列补充练习: 1.化简:(1+2321-)(1+2161-)(1+281-)(1+241-)(1+221-)的结果是( )A.21(1-2321-)-1B.(1-2321-)-1C.1-2321- D.21(1-2321-) 分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形. 因为(1+2321-)(1-2321-)=1-2161-,所以原式的分子分母同乘以(1-2321-),依次类推,所以321212121)21)(21(----+-=32112121----=21(1-2321-)-1. 答案：A2.计算(297)0.5+0.1-2+(22710)32--3π0+9-0.5+490.5×2-4.解：原式=(925)21+100+(6427)32-3+4921×161=53+100+169-3+31+167=100.3.计算1212--+-+a a a a (a≥1). 解：原式=|11|11)11()11(22--++-=--++-a a a a (a≥1).本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.4.设a>0,x=21(a n 1-a n 1-),则(x+2x 1+)n 的值为_______.分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到解：1+x 2=1+41(a n 1-a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.这样先算出1+x 2,再算出2x 1+,将x=21(a n 1-a n 1-)代入1+x 2,得1+x 2=1+41(a n 1-a n 1-)2=41(a n 1+a n 1-)2.所以(x+2x 1+)n=［21(a n 1-a n 1-)+41(a n 1+a n 1-)2］n=［21(a n 1-a n 1-)+21(a n 1+a n 1-)］n=a.答案：a 拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂32的意义.活动：教师引导学生回顾无理数指数幂52的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算32的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”32的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.我们把用2作底数,3的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数 21.7,21.72,21.731,21.7319,…,同样把用2作底数, 3的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数: 21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出3的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为32. 即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<32<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.也就是说32是一个实数,32=3.321 997 …也可以这样解释:当3的过剩近似值从大于3的方向逼近3时,32的近似值从大于32的方向逼近32；当3的不足近似值从小于3的方向逼近3时,32的近似值从小于32的方向逼近32.所以32就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319,…,和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即32≈3.321 997.课堂小结(1)无理指数幂的意义.一般地,无理数指数幂a α（a>0,α是无理数）是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质: ①a r ·a s =a r+s(a>0,r,s∈R ).②(a r )s =a rs(a>0,r,s∈R ).③(a·b)r =a r b r(a>0,b>0,r∈R ).(3)逼近的思想,体会无限接近的含义. 作业课本P 60习题2.1 B 组 2.设计感想无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.。

人教A版高中数学必修1《第二章基本初等函数(Ⅰ) 2.1 指数函数习题2.1》_24

函数的应用1．题型为选择题或填空题，主要考查零点个数的判断及零点所在区间．2．函数的零点与方程的根的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．[典题示例] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤0，x －2＋ln x ，x ＞0的零点个数为________．[解析] 令f (x )＝0，得到⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ≤0，解得x ＝－1；或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋ln x ＝0，x ＞0，在同一个直角坐标系中画出y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象，观察交点个数，如图所示．函数y ＝2－x 和y ＝ln x ，x ＞0，在同一个直角坐标系中交点个数是1，所以函数f (x )在x ＜0时的零点有一个，在x ＞0时零点有一个，所以f (x )的零点个数为2.[答案] 2 [类题通法]确定函数零点个数的方法(1)解方程f (x )＝0有几个根．(2)利用图象找y ＝f (x )的图象与x 轴的交点或转化成两个函数图象的交点个数． (3)利用f (a )·f (b )与0的关系进行判断．[题组训练]1．函数f (x )＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9)D ．(9,10)解析：选D ∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0，f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0， ∴f (9) · f (10)＜0.函数的零点问题∴f (x )＝lg x －9x的零点的大致区间为(9,10)．2．已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选C ∵f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2在(0，＋∞)是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝⎛⎭⎫12－1＝ln 1－2＜0， f (2)＝ln 2－⎝⎛⎭⎫120＜0， f (3)＝ln 3－⎝⎛⎭⎫121＞0， ∴x 0∈(2,3)．3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________．解析：在同一直角坐标系内，画出y 1＝⎝⎛⎭⎫12|x |和y 2＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0＜m ＜1.答案：(0,1)1．通过对近几年高考试题的分析可以看出，对函数的实际应用问题的考查，更多地以实际生活为背景，设问新颖、灵活；题型以解答题为主，难度中等偏上；主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．2．函数实际应用的示意图[典题示例] 某网店经营的某消费品的进价为每件12元，周销售量p (件)与销售价格x (元)的关系，如图中折线所示，每周各项开支合计为20元．(1)写出周销售量p (件)与销售价格x (元)的函数关系式； (2)写出利润周利润y (元)与销售价格x (元)的函数关系式；函数的应用(3)当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润． [解] (1)由题设知，当12≤x ≤20时，设p ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝26，20a ＋b ＝10，∴a ＝－2，b ＝50. ∴p ＝－2x ＋50，同理得，当20＜x ≤28时，p ＝－x ＋30，所以p ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋50，12≤x ≤20，－x ＋30，20＜x ≤28.(2)当12≤x ≤20时，y ＝(x －12)(－2x ＋50)－20＝－2x 2＋74x －620；当20＜x ≤28时，y ＝(x －12)(－x ＋30)－20＝－x 2＋42x －380.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋74x －620，12≤x ≤20，－x 2＋42x －380，20＜x ≤28. (3)当12≤x ≤20时，y ＝－2x 2＋74x －620， ∴x ＝372时，y 取得最大值1292. 当20＜x ≤28时，y ＝－x 2＋42x －380， ∴x ＝21时，y 取得最大值61. ∵1292＞61，∴该消费品销售价格为372时，周利润最大，最大周利润为1292. [类题通法]建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x ，y 分别表示． (2)建立函数模型，将变量y 表示为x 的函数，此时要注意函数的定义域． (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．[题组训练]1.某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速率越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变．其中说法正确的是序号是________．解析：由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0＜α＜1)，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．答案：②③2．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a8升，则m的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D 令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，由已知得12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.3．某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：时需上交0.05x 2万美元的特别关税．(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x (x ∈N)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润．解：(1)由题知y 1＝10x －(20＋ax )＝(10－a )x －20,0≤x ≤200且x ∈N ；y 2＝18x －(40＋8x )－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40＝－0.05(x－100)2＋460,0≤x ≤120且x ∈N.(2)∵3≤a ≤8，∴10－a ＞0， ∴y 1＝(10－a )x －20为增函数．又0≤x ≤200，x ∈N ，∴x ＝200时y 1取最大值，即生产甲产品的最大年利润为(10－a )×200－20＝1 980－200a (万美元)．又y 2＝－0.05(x －100)2＋460,0≤x ≤120，x ∈N ，∴x ＝100时y 2取最大值，即生产乙产品的最大年利润为460万美元．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ＜0，x (x －4)，x ≥0，则该函数的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当x ＜0时，令x (x ＋4)＝0，解得x ＝－4；当x ≥0时，令x (x －4)＝0，解得x ＝0或4.综上，该函数的零点有3个．2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选A f (1)＝ln 2－2＝ln 2e 2＜ln 1＝0，f (2)＝ln 3－1＝ln 3e＞ln 1＝0，所以函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是(1,2)．3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设该家具的进货价是x 元，由题意得132(1－10%)－x ＝x ·10%，解得x ＝108元．4．下列函数：①y ＝lg x ；②y ＝2x ；③y ＝x 2；④y ＝|x |－1，其中有2个零点的函数是( ) A ．①② B ．③④ C ．②③D ．④解析：选D 分别作出这四个函数的图象，其中④y ＝|x |－1的图象与x 轴有两个交点，即有2个零点，选D.5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内( )A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一实根解析：选B 由于f (a )f (b )＜0，则f (a )＜0＜f (b )或f (b )＜0＜f (a )，又函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，则至多有一个实数x 0∈[a ，b ]，使f (x 0)＝0，即方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内至多有一实根．6．已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关解析：选A 设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个根．故选A.7．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．解析：由题意，S ＝(4＋x )⎝⎛⎭⎫3－x 2，即S ＝－12x 2＋x ＋12，∴当x ＝1时，S 最大．答案：18．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以每套比出厂价低30元给予优惠．如果按出厂价购买应付a 元，但再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a 元(价格为整数)，则a 的值为________．解析：设按出厂价y 元购买x (x ≤50)套应付a 元，则a ＝xy .再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a 元，则a ＝(x ＋11)(y －30)，其中x ＋11＞50.∴xy ＝(x ＋11)(y －30)(39＜x ≤50)．∴3011x ＝y －30.又x ∈N ，y ∈N(因价格为整数)，39＜x ≤50， ∴x ＝44，y ＝150，a ＝44×150＝6 600. 答案：6 6009．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a ＞1时两函数图象有两个交点，0＜a ＜1时两函数图象有唯一交点，故a ＞1.答案：(1，＋∞)10．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在规定的时间内，产量减少3件．如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件．(1)请写出规定时间内产品的总利润y 与档次x 之间的函数关系式，并写出x 的定义域； (2)在规定的时间内，生产哪一档次产品的总利润最大？并求出最大利润．解：(1)由题意知，生产第x 个档次的产品每件的利润为8＋2(x －1)元，该档次的产量为60－3(x －1)件．则规定时间内第x 档次的总利润y ＝(2x ＋6)(63－3x )＝－6x 2＋108x ＋378，其中x ∈{x ∈N *|1≤x ≤10}．(2)y ＝－6x 2＋108x ＋378＝－6(x －9)2＋864，则当x ＝9时，y 有最大值为864.故在规定的时间内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元．11．A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月．(1)求x 的范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小．解：(1)x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝0.25×20x 2＋0.25×10(100－x )2＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)由y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003. 则当x ＝1003km 时，y 最小．故当核电站建在距A 城1003km 时，才能使供电费用最小．12．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( ) A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2} C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}解析：选D A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错，故选D. 2．(2017·山东高考)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3(2x－1)，x ≥2，则f (f (2))＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1. ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.4．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2－2D ．y ＝log 12x解析：选A ∵y ＝x－1是奇函数，y ＝log 12x 不具有奇偶性，故排除B 、D ，又函数y ＝x 2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C ，只有选项A 符合题意．5．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )解析：选D 函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到： y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.6．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：选A 设f (x )＝x α，则22＝⎝⎛⎭⎫12α，∴α＝12，f (2)＝212，所以log 2f (2)＝log 2212＝12. 7．函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,10) C ．(10,100)D ．(100，＋∞)解析：选B ∵f (1)＝－1＜0，f (10)＝1－110＝910＞0，f (100)＝2－1100＞0， ∴f (1)·f (10)＜0，由函数零点存在性定理知，函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在的区间为(1,10)．8．设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B. 9．如右图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是下列图象中的( )解析：选B 开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢．故选B.10．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( )A ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x ) B ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x ) C ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x ) D ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x ) 解析：选C ∵f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除A 、B.又f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋⎝⎛⎭⎫1x 21－⎝⎛⎭⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C. 11．已知函数f (x )＝m ＋log 2x 2的定义域是[1,2]，且f (x )≤4，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，2) C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选A 因为f (x )＝m ＋2log 2x 在[1,2]是增函数，且由f (x )≤4，得f (2)＝m ＋2≤4，得m ≤2.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：选C 作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.于是lg a ＋lg b ＝0. 故ab ＝1.因而abc ＝c .由图知10<c <12，故abc ∈(10,12)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设U ＝R ，已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞a }，且(∁U A )∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |x ＞1}， ∴∁U A ＝{x |x ≤1}．由B ＝{x |x ＞a }，(∁U A )∪B ＝R 可知a ≤1. 答案：(－∞，1]14．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)解析：设n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n ≤0.2，即2n ≥15，解得n ≥log 215，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．答案：415．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于________．解析：∵0＜1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵2＞1，∴f (2)＝4＋2a ，∴f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a ＝2.答案：216．已知函数f (x )＝lg(2x －b )(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，则b 的取值范围是________．解析：∵要使f (x )＝lg(2x －b )在x ∈[1，＋∞)上，恒有f (x )≥0，∴有2x －b ≥1在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即2x ≥b ＋1恒成立．又∵指数函数g (x )＝2x 在定义域上是增函数．∴只要2≥b ＋1成立即可，解得b ≤1.答案：(－∞，1]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |2＜2x ＜8}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}．(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |2＜2x ＜8}＝(1,3)，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}＝[2,5]，故A ∩B ＝[2,3)．(2)∁R A ＝(－∞，1]∪[3，＋∞)．故由B ⊆∁R A 知，a ＋3≤1或a ≥3，故实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4,2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域；(3)在(2)的条件下，求g (x )的单调减区间．解：(1)由已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4,2)，则2＝log a 4，即a 2＝4，又a ＞0且a ≠1，所以a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )．由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，定义域为(－1,1)．(3)g (x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)，其单调减区间为[0,1)．19．(本小题满分12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0，满足f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13<2.解：(1)在f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0.(2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13<2＝f (6)＋f (6)．∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)，即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32<f (6)．∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，x ＋32<6.解得－3<x <9，即不等式的解集为(－3,9)．20．(本小题满分12分)随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐普及开来，据某报记者了解，某市电动汽车国际示范区运营服务公司逐步建立了全市乃至全国的分时租赁服务体系，为新能源汽车分时租赁在全国的推广提供了可复制的市场化运营模式．现假设该公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1 725元．调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为x (元)(60≤x ≤300，x ∈N *)，用y (元)表示出租电动汽车的日净收入(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使日净收入最多？解：(1)当60≤x ≤90，x ∈N *时，y ＝750x －1 725；当90＜x ≤300，x ∈N *时，y ＝[750－3(x －90)]x －1 725，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧750x －1 725，60≤x ≤90，x ∈N *，－3x 2＋1 020x －1 725，90＜x ≤300，x ∈N *. (2)对于y ＝750x －1 725,60≤x ≤90，x ∈N *，∵y 在[60,90](x ∈N *)上单调递增，∴当x ＝90时，y max ＝65 775.对于y ＝－3x 2＋1 020x －1 725＝－3(x －170)2＋84 975，90＜x ≤300，x ∈N *，当x ＝170时，y max ＝84 975.∵84 975＞65 775，∴当每辆电动汽车的日租金为170元时，日净收入最多．21．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －1.(1)求f (3)＋f (－1)；(2)求f (x )的解析式；(3)若x ∈A ，f (x )∈[－7,3]，求区间A .解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (3)＋f (－1)＝f (3)－f (1)＝23－1－2＋1＝6.(2)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝2－x －1， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x ＋1， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，－2－x ＋1，x ＜0.(3)作出函数f (x )的图象，如图所示．根据函数图象可得f (x )在R 上单调递增，当x ＜0时，－7≤－2－x ＋1＜0，解得－3≤x ＜0；当x ≥0时，0≤2x －1≤3，解得0≤x ≤2；∴区间A 为[－3,2]．22．(本小题满分12分)对于函数f (x )＝a －2b x＋1(a ∈R ，b ＞0，且b ≠1)． (1)探索函数y ＝f (x )的单调性；(2)求实数a 的值，使函数y ＝f (x )为奇函数；(3)在(2)的条件下，令b ＝2，求使f (x )＝m (x ∈[0,1])有解的实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫a －2bx 1＋1－⎝⎛⎭⎫a －2bx 2＋1＝2(bx 1－bx 2)(bx 1＋1)(bx 2＋1).当b ＞1时，由x 1＜x 2，得bx 1＜bx 2，从而bx 1－bx 2＜0，于是f (x 1)－f (x 2)＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，此时函数f (x )在R 上是单调增函数；当0＜b ＜1时，由x 1＜x 2，得bx 1＞bx 2，从而bx 1－bx 2＞0，于是f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)，此时函数f (x )在R 上是单调减函数．(2)函数f (x )的定义域为R ，由f (0)＝0得a ＝1. 当a ＝1时，f (x )＝1－2b x ＋1＝b x －1b x ＋1， f (－x )＝1－2b －x ＋1＝b －x －1b －x ＋1＝1－b x 1＋b x . 满足条件f (－x )＝－f (x )，故a ＝1时，函数f (x )为奇函数．(3)f (x )＝1－22x＋1， ∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]，2x ＋1∈[2,3]，22x＋1∈⎣⎡⎦⎤23，1， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，13，要使f (x )＝m (x ∈[0,1])有解，则0≤m ≤13，即实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，13.。

高中数学第二章基本初等函数§2.1.1指数(第1—2课时)教案新人教A版必修1

第二课时
提问： 1．习初中时的整数指数幂，运算性质？
an a a a a, a0 1 (a 0) ,0 0无意义
an
1 an
(a 0)
a m a n a m n ; (a m )n a mn
(an )m a mn, (ab) n a nb n
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数 . 2．观察以下式子，并总结出规律：
三．学法与教具 1 ．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 2．教具：多媒体
四、教学设想：
第一课时
一、复习提问：
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
归纳：在初中的时候我们已经知道：若
x2 a ，则 x 叫做 a 的平方根 . 同理，若 x3 a ，则 x 叫做 a
的立方根 .
3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模
型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展
.
4. 教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调
整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担
.
5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象
思考： a n n ( n a ) n 是否成立，举例说明 .
课堂练习： 1. 求出下列各式的值
(1) 7 ( 2)7
(2) 3 (3a 3)3 ( a 1)
4
(3) (3a
3)4
2．若 a2 2a 1 a 1,求 a的取值范围 .
3．计算 3 ( 8)3 4 (3 2)4 3 (2 3)3
三．归纳小结：
即： a n
1
m

高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.2指数函数及其性质(第1课时)指数函数的图象及性质

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第十二页，共三十八页。
(1)判断一个函数是指数函数的方法 ①看形式：只需判断其解析式是否符合 y＝ax(a>0，且 a≠1)这一结构特征； ②明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
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解析：选 B.法一：由图象可知③④的底数必大于 1，①②的底
数必小于 1.
作直线 x＝1，在第一象限内直线 x＝1 与各曲线的交点的纵坐
标即各指数函数的底数，则 1＜d＜c，b＜a＜1，从而可知 a，b，
c，d 与 1 的大小关系为 b＜a＜1＜d＜c.
法二：根据图象可以先分两类：
③④的底数大于 1，①②的底数小于 1，再Байду номын сангаас③④比较 c，d 的
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求解指数函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
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1．指数函数①f(x)＝mx，②g(x)＝nx 满足不等式 0<m<n<1，则它们的图象是( )
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2．已知 0＜a＜1，b＜－1，则函数 y＝ax＋b 的图象必定不经过
() A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选 A.函数恒过点(0，1＋b)，因为 b＜－1，所以点(0，1 ＋b)在 y 轴负半轴上．故图象不经过第一象限．
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高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.1指数与指数幂的运算(第1课时)根式aa高一数学

解析:∵x4=2 019,
.
4
∴x 是 2 019 的 4 次方根,则 x=± 2 019.
4
答案:± 2 019
【做一做1-3】已知x7=5,则x=
.
解析:∵x7=5,∴x 是 5 的 7 次方根,则 x=
7
答案: 5
第七页，共十九页。
7
5.
2.根式(gēnshì)

(1)定义:式子 a叫做根式, 这里叫做根指数, 叫做被开方数.
原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;
当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4.
-2-2,-3 < < 1,
∴原式 =
-4,1 ≤ < 3.
第十四页，共十九页。
题型一
题型二
题型三
反思1.有条件的根式的化简问题,是指被开方数或被开方的表达式可以通过
配方、拆分等方式进行化简.
2.能利用根式的性质对根式进行化简.
第五页，共十九页。
1.n次方根(fānggēn)
一般地,如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,且 n∈
定义 *
N
a>0 x>0

n 是奇数
x 仅有一个值,记为
a<0 x<0
个数

a>0
x 有两个值,且互为相反数,记为 ±
n 是偶数

由此看来,只要( )有意义,其值就恒等于 a,即( ) = .
第十页，共十九页。

2. 对 an 的理解

剖析是实数an 的 n 次方根,是一个恒有意义的式子,不受 n 的

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质教学设计新人教A版必修1

2.1.2 指数函数及其性质整体设计教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教A版)第二章第一节第二课(2.1.2)《指数函数及其性质》．根据实际情况，将《指数函数及其性质》划分为三节课〔指数函数的图象及其性质，指数函数及其性质的应用(1)，指数函数及其性质的应用(2)〕，这是第一节课“指数函数的图象及其性质”．指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究．学生学习情况分析指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用．教材在之前的学习中给出了两个实际例子(GDP的增长问题和碳14的衰减问题)，已经让学生感受到了指数函数的实际背景，但这两个例子的背景对于学生来说有些陌生．本节课先设计一个看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望．设计思想1．函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置．如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机地结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望——持久的好奇心．我们知道，函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，以往的函数的学习大多只关注到图象的作用，这其实只是借助了图象的直观性，只是从一个角度看函数，是片面的．本节课力图让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究的方法，让学生去体会这种研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．2．在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式．(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法．3．通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法．教学目标根据学生的实际情况，本节课的教学目标是：理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法，加深对指数函数的认识，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识．重点难点教学重点：指数函数的概念、图象和性质．教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.教学过程一、创设情境、提出问题(约3分钟)师：如果让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备6粒米，4号同学准备8粒米，5号同学准备10粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学生回答后教师公布事先估算的数据：51号同学该准备102粒米，大约5克重．师：如果改成让1号同学准备2粒米，2号同学准备4粒米，3号同学准备8粒米，4号同学准备16粒米，5号同学准备32粒米，……，按这样的规律，51号同学该准备多少粒米？学情预设学生可能说出很多或能算出具体数目．师：大家能否估计一下51号同学该准备的米有多重吗？教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重1.2亿吨．师：1.2亿吨是一个什么概念？根据2007年9月13日美国农业部发布的最新数据显示，2007～2008年度我国大米产量预计为1.27亿吨．这就是说51号同学所需准备的大米相当于2007～2008年度我国全年的大米产量！设计意图用一个看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望．在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用y表示，每位同学的座号数用x表示，y与x之间的关系分别是什么？学生很容易得出y＝2x(x∈N*)和y＝2x(x∈N*)．学情预设学生可能会漏掉x的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中x的取值范围．二、师生互动、探究新知1．指数函数的定义师：其实，在本章开头的问题中，也有一个与y＝2x类似的关系式y＝1.073x(x∈N*，x≤20)．(1)让学生思考讨论以下问题(问题逐个给出，约3分钟)：①y＝2x(x∈N*)和y＝1.073x(x∈N*，x≤20)这两个解析式有什么共同特征？②它们能否构成函数？③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？设计意图引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型．学生对比已经学过的一次函数、反比例函数、二次函数，发现y ＝2x ，y ＝1.073x 是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣．引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量．师：如果可以用字母a 代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成y ＝a x 的形式．自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数．(2)让学生讨论并给出指数函数的定义(约6分钟)．对于底数的分类，可将问题分解为：①若a ＜0，会有什么问题？(如a ＝－2，x ＝12，则在实数范围内相应的函数值不存在) ②若a ＝0，会有什么问题？(对于x ≤0，a x 都无意义)③若a ＝1又会怎么样？(1x 无论x 取何值，它总是1，对它没有研究的必要)师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定a ＞0且a ≠1.在这里要注意生生之间、师生之间的对话．①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求a ＞0，且a ≠1；a ＝1为什么不行？②若学生只给出y ＝a x ，教师可以引导学生通过类比一次函数(y ＝kx ＋b ，k ≠0)、反比例函数(y ＝k x ，k ≠0)、二次函数(y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0)中的限制条件，思考指数函数中底数的限制条件．学情预设设计意图①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值；②讨论出a ＞0，且a ≠1，也为下面研究性质时对底数的分类做准备．接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如y ＝2×3x ，y ＝32x ，y ＝－2x.学情预设学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的．设计意图加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解．2．指数函数的性质(1)提出两个问题(约3分钟)①目前研究函数一般可以包括哪些方面？设计意图让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三要素(对应法则、定义域、值域)和函数的基本性质(单调性、奇偶性)．②研究函数(比如今天的指数函数)可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手(即底数取一些数值)；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考．设计意图①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从图象和解析式(包括列表)两个不同的角度对函数进行研究；②对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论)的有机渗透．(2)分组活动，合作学习(约8分钟)师：下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究．①让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数；②每一大组再分为若干合作小组(建议4人一小组)；③每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流．学情预设考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导．通过自主探索、合作学习，不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解．设计意图(3)交流、总结(约10～12分钟)师：下面我们开一个成果展示会！教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果．教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析．这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性质？师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢？〔〕如过定点(0，1)，y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图象关于y 轴对称学情预设①首先选一个从解析式的角度研究的小组上台汇报；②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；③问其他小组有没有不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过电脑操作看函数图象的变化．设计意图①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的．②让学生上台汇报研究成果，使学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养；③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题，使该难点的突破显得自然．师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性，以及过定点(0,1)，但定义域、值域却不可确定；从解析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到．教师通过几何画板中改变参数a的值，追踪y＝a x的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律．师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书．0＜a＜1a＞1(0，＋∞)过定点(0,1)1．例：已知指数函数f(x)＝a x(a＞0，且a≠1)的图象经过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．解：因为f(x)＝a x的图象经过点(3，π)，所以f(3)＝π，即a 3＝π.解得13πa =，于是f (x )＝3πx . 所以f (0)＝1，f (1)＝3π，f (－3)＝1π. 设计意图通过本题加深学生对指数函数的理解．师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即布列一个方程就可以了．设计意图让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想．2．练习：(1)在同一平面直角坐标系中画出y ＝3x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 的大致图象，并说出这两个函数的性质；(2)求下列函数的定义域：①y =112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？学情预设学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数．设计意图①让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从多个角度进行)，让学生体会本节课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去．②总结本节课中所用到的数学思想方法．③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通．4．作业：课本习题2.1A 组 5.教学反思1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，更重要的是让学生体会到对函数的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”．2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本节课使用几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的变化过程，让学生直观地观察底数对指数函数单调性的影响．3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉地运用这些数学思想方法去分析、思考问题．指数函数及其性质的应用整体设计三维目标1．知识与技能理解指数函数的图象和性质，会利用性质来解决问题．2．过程与方法能利用指数函数的图象和性质来比较两个值的大小，图象间的平移，去探索利用指数函数的单调性来求未知字母的取值范围．3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．重点难点教学重点：指数函数的图象和性质．教学难点：指数函数的性质应用．教学过程第2课时指数函数及其性质的应用(1)作者：王建波导入新课思路1．复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质．如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题，这就是本堂课要讲的主要内容．教师板书课题．思路2．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在理论上，我们能否严格的证明(特别是指数函数的单调性)，以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这个问题．教师板书课题：指数函数及其性质的应用(1)．应用示例例1 比较下列各题中的两个值的大小：(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的方法，再写出答案(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)．比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；图1二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并评价．解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y＝1.7x的图象，如图1.在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点，显然，图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.解法三：利用函数单调性，(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y＝1.7x在R上是增函数，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y＝0.8x，当x＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y＝0.8x在R上是减函数，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2；(3)因为1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，所以1.70.3＞0.93.1.点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但解法三不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值．思考在上面的解法中，你认为哪种方法更实用？活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法，这要通过反复练习强化来实现．例活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．证法一：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2－y 1＝21121(1)x x x x a a a a x -=--．因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a-，即21x x a -－1＞0. 又因为1x a ＞0，所以y 2－y 1＞0，即y 1＜y 2.所以当a ＞1时，y ＝a x，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数．证法二：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则y 2与y 1都大于0，则y 2y 1＝2211x x x x a a a -=. 因为a ＞1，x 2－x 1＞0，所以21>1x x a-＞1，即y 2y 1＞1，y 1＜y 2. 所以当a ＞1时，y ＝a x ，x ∈R 是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数．例1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底人口约为13亿；经过1年人口约为13(1＋1%)亿；经过2年人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿；经过3年人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿；……经过x 年人口约为13(1＋1%)x亿；经过20年人口约为13(1＋1%)20亿．解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则 y ＝13(1＋1%)x ，当x ＝20时，y ＝13(1＋1%)20≈16(亿)．答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．点评：类似此题，设原值为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后总量y ＝N (1＋p )x (x ∈N )，像y ＝N (1＋p )x 等形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1)的函数称为指数型函数．知能训练1．函数y ＝a |x |(a ＞1)的图象是( )图2解析：当x ≥0时，y ＝a |x |＝a x 的图象过(0,1)点，在第一象限，图象下凸，是增函数．答案：B2．下列关系中正确的是( )A ．221333111252⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．122333111225⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．212333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．221333111522⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案：D3．已知函数f (x )的定义域是(0,1)，那么f (2x)的定义域是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 解析：由题意得0＜2x ＜1，即0＜2x ＜20，所以x ＜0，即x ∈(－∞，0)．答案：C4．若集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．AB B ．AB C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅解析：A ＝{y |y ＞0}，B ＝{y |y ≥0}，所以A B .答案：A5．对于函数f (x )定义域中的任意的x 1、x 2(x 1≠x 2)，有如下的结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.当f (x )＝10x时，上述结论中正确的是__________．解析：因为f (x )＝10x，且x 1≠x 2，所以f (x 1＋x 2)＝1212101010x x xx +=⋅＝f (x 1)·f (x 2)，所以①正确；因为f (x 1·x 2)＝1212101010x x xx ⋅≠+＝f (x 1)＋f (x 2)，②不正确；因为f (x )＝10x是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号，所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，所以③正确．因为函数f (x )＝10x图象如图3所示是上凹下凸的，可解得④正确．图3答案：①③④另解：④.∵10x 1＞0,10x 2＞0，x 1≠x 2，∴1210102xx +>1210102xx +>即121221010102x x x x ++>.∴f (x 1)＋f (x 2)2＞f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.拓展提升在同一坐标系中作出下列函数的图象，讨论它们之间的联系． (1)①y ＝3x，②y ＝3x ＋1，③y ＝3x －1；(2)①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，③y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1.活动：学生动手画函数图象，教师点拨，学生没有思路，教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．解：如图4及图5.观察图4可以看出，y ＝3x，y ＝3x ＋1，y ＝3x －1的图象间有如下关系：y ＝3x ＋1的图象由y ＝3x 的图象左移1个单位得到； y ＝3x －1的图象由y ＝3x 的图象右移1个单位得到； y ＝3x －1的图象由y ＝3x ＋1的图象向右移动2个单位得到．观察图5可以看出，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象间有如下关系：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象左移1个单位得到；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象右移1个单位得到； y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1的图象向右移动2个单位得到．你能推广到一般的情形吗？同学们留作思考．课堂小结思考本节课我们主要学习了哪些知识，你有什么收获？把你的收获写在笔记本上.活动：教师用多媒体显示以下内容，学生互相交流学习心得，看是否与多媒体显示的内容一致．本节课，在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想，加深了对问题的分析能力，形成了一定的能力与方法．作业课本习题2.1 B组1,3,4.设计感想本节课主要是复习巩固指数函数及其性质，涉及的内容较多，要首先组织学生回顾指数函数的性质，为此，必须利用函数图象，数形结合，通过数与形的相互转化，借助形的直观性解决问题，本节课要训练学生能够恰当地构造函数，根据函数的单调性比较大小，有时要分a＞1,0＜a＜1，这是分类讨论的思想，因此加大了习题和练习的量，目的是让学生在较短的时间内，掌握学习的方法，提高分析问题和解决问题的能力，要加快速度，多运用现代化的教学手段．第3课时指数函数及其性质的应用(2)作者：刘玉亭导入新课思路1．我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图象的特点，并且是用类比和归纳的方法得出，在上节课的探究中我们知道，函数①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1的图象之间的关系，由其中的一个可得到另外两个的图象，那么，对y＝a x与y＝a x＋m(a＞0，m∈R)有着怎样的关系呢？在理论上，含有指数函数的复合函数是否具有奇偶性呢？这是我们本堂课研究的内容．教师点出课题：指数函数及其性质的应用(2)．思路2．我们在第一章中，已学习了函数的性质，特别是单调性和奇偶性是某些函数的重要特点，我们刚刚学习的指数函数，严格地证明了指数函数的单调性，便于我们在解题时应用这些性质，在实际生活中，往往遇到的不单单是指数函数，还有其他形式的函数，有的是指数函数的复合函数，我们需要研究它的单调性和奇偶性，这是我们面临的问题，也是我们本节课要解决的问题——指数函数及其性质的应用(2)．推进新课新知探究提出问题(1)指数函数有哪些性质？(2)利用单调性的定义证明函数单调性的步骤有哪些？(3)对复合函数，如何证明函数的单调性？(4)如何判断函数的奇偶性，有哪些方法？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容．讨论结果：(1)指数函数的图象和性质一般地，指数函数y＝a x在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：图象分布在一、二象限，与轴相交，落在x轴的上方都过点(0,1)第一象限的点的纵坐标都大于1第二象限的点的纵坐标都大于第一象限的点的纵坐标都大于0且小于1；第二象限的点①取值．即设x1，x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2.②作差变形．即求f(x2)－f(x1)，通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号．根据给定的区间和x2－x1的符号确定f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论．④判断．根据单调性定义作出结论．(3)对于复合函数y＝f(g(x))可以总结为：当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f(g(x))是增函数；当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f(g(x))是减函数；又简称为口诀“同增异减”．(4)判断函数的奇偶性：一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考查式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性；二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．应用示例例 1 在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系．(1)y＝2x＋1与y＝2x＋2；(2)y＝2x－1与y＝2x－2.活动：教师适当时候点拨，学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生，列出对应值表，抓住关键点，特别是(0,1)点，或用计算机作图．解：(1)列出函数数据表作出图象如图6.图6比较可知函数y＝2x＋1、y＝2x＋2与y＝2x的图象的关系为：将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x＋1的图象；将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象．(2)列出函数数据表作出图象如图7.图7比较可知函数y ＝2x －1、y ＝2x －2与y ＝2x的图象的关系为：将指数函数y ＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y ＝2x －1的图象；将指数函数y ＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y ＝2x －2的图象．点评：类似地，我们得到y ＝a x与y ＝ax ＋m(a ＞0，a ≠1，m ∈R )之间的关系：y ＝a x ＋m (a ＞0，m ∈R )的图象可以由y ＝a x 的图象变化而来．当m ＞0时，y ＝a x的图象向左移动m 个单位得到y ＝ax ＋m的图象；当m ＜0时，y ＝a x 的图象向右移动|m |个单位得到y ＝a x ＋m的图象．上述规律也简称为“左加右减”．例2 已知定义域为R 的函数f (x )＝2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．活动：学生审题，考虑解题思路．求值一般是构建方程，求取值范围一般要转化为不等式，如果有困难，教师可以提示，(1)从条件出发，充分利用奇函数的性质，由于定义域为R ，所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，(2)在(1)的基础上求出f (x )，转化为关于k 的不等式，利用恒成立问题再转化．(1)解：因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1.所以f (x )＝1－2xa ＋2x ＋1；。

高中数学第二章基本初等函数2.1.1指数与指数幂的运算第2课时分数指数幂新人教A版必修1

B．234
C．18
D．243
[解析]
4－23
＝
1
3
42
＝22123
＝213＝18.
(C)
2．若a>0，n，m为实数，则下列各式中正确的是
m
A．am÷an＝a n
B．an·am＝am·n
C．(an)m＝am＋n
D．1÷an＝a0－n
(D )
• [解析] 由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确，故选D．
(3)由于a23
－a－32
＝(a12
)3－(a－12
3
)3，所以有a21 a2
－a－32 －a－12
1
＝a2
－a－21 a＋a－1＋a12
1
a2
－a－12
·a－12
＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
『规律方法』 (1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知
条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体
3
(2)化简：
7
a2
a－3÷ 3 a－83 a15÷3
a－3 a－1.
• [思路分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．
[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)21 ＝1＋16－110＝1165.
3
(2)原式＝
7
a2
a－32
÷
a－83
15
a3
3
÷
a－23
• 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．

学年高中数学第二章基本初等函数(I)新人教版必修1

【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学第二章基本初等函数（I）新人教版必修12.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算第1课时根式目标定位 1.理解n次方根及n次根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.自主预习1.根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数naa∈Rn为偶数±na [0，＋∞)(3)根式式子na n叫做根指数，a叫做被开方数.2.根式的性质(1)n0＝0(n∈N*，且n＞1)；(2)(na)n＝a(n∈N*，且n＞1)；(3)na n＝a(n为大于1的奇数)；(4)na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a（a≥0），－a（a＜0）(n为大于1的偶数).即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根式一定是无理式.( )(2)若(n－5)n有意义，则整数n一定是奇数.( )(3)a的n次方根是na.( )(4)(m－2)2＝m－2.( )提示(1)错.根式不一定是无理式，如327＝3，16＝4.(2)对.当整数n为偶数时，(n－5)n没有意义.(3)错.当a>0，n为偶数时，a的n次方根为±na.(4)对.根据n次方根的意义，(m－2)2＝m－2. 答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.已知x7＝16，则x＝( )A.2 2B.716 C.－716 D.±716解析由根式的定义知x＝7 16.答案 B3.若a＋(a－2)0有意义，则a的取值范围是( )A.a≥0B.a＝2C.a≠2D.a≥0且a≠2解析要使此式子有意义，必须满足a≥0且a－2≠0，即a≥0且a≠2.答案 D4.3（－1）3＝________；481＝________.解析当n为奇数时，na n＝a，当n为偶数时，na n＝|a|，∴3（－1）3＝－1，481＝3.答案－1 3类型一n次方根的概念问题【例1】 (1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.(2)若31a－3有意义，则实数a的取值范围是________.解析(1)依题意，a＝±81＝±9，b＝3－8＝－2.∴a＋b＝－11或a＋b＝7.(2)由于根指数是3，只需1a－3有意义，∴a－3≠0，故a的取值范围是{a|a≠3}.答案(1)－11或7 (2){a|a≠3}规律方法(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个.(2)根式na的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：①当n为偶数时，为非负实数；②当n为奇数时，na的符号与a的符号一致.【训练1】 (1)若x4＝3，则x＝________.(2)设m＜0，则(－m)2＝________.解析(1)依题意，x是3的4次方根，∴x＝±43.(2)∵m＜0，∴－m＞0，∴(－m)2＝－m.答案(1)±43 (2)－m类型二根式的化简与求值【例2】 (1)化简13（2＋5）3＋1（32－5）3；(2)求值5＋26＋7－4 3.解(1)原式＝12＋5＋12－5＝5－2－(5＋2)＝－4.(2)5＋26＋7－43＝3＋26＋2＋4－43＋3＝（3＋2）2＋（2－3）2＝3＋2＋2－3＝2＋ 2.规律方法(1)①解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.②开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简.(2)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论.【训练2】(2016·吉林高一检测)化简3（1＋2）3＋4（1－2）4.解3（1＋2）3＋4（1－2）4.＝2＋1＋|1－2|＝2＋1＋2－1＝2 2. 类型三有限制条件的根式运算(互动探究)【例3】 (1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x＝________；(2)若代数式2x －1＋2－x 有意义，化简4x 2－4x ＋1＋24（x －2）4. [思路探究]探究点一代数式2x －1＋2－x 有意义，x 应满足什么条件？提示要开偶次方根，满足2x －1≥0且2－x ≥0. 探究点二代数式4x 2－4x ＋1如何去掉根号？提示将4x 2－4x ＋1化为(2x －1)2，再利用根式的性质去根号.解 (1)当x <0时，x ＋|x |＋x 2x＝x －x ＋|x |x ＝－xx＝－1.(2)由2x －1＋2－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2－x ≥0，即12≤x ≤2.故4x 2－4x ＋1＋24（x －2）4＝（2x －1）2＋24（x －2）4＝|2x －1|＋2|x －2|＝2x －1＋2(2－x )＝3. 规律方法有限制条件的根式化简注意两点：(1)条件的运用：充分利用已知条件，确定所要化简的代数式中根式的根指数是奇数还是偶数，确定被开方数是正数还是负数.(2)讨论的标准：如果根式的被开方数不确定时，可依据题设条件对被开方数取正值、负值、零进行分类讨论，得出结论.【训练3】设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值. 解原式＝（x －1）2－（x ＋3）2＝|x －1|－|x ＋3| ∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4，∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2 （－3＜x ＜1），－4 （1≤x ＜3）.[课堂小结]1.对n 次方根的三点说明(1)当n 为奇数时，正数a 的n 次方根是一个正数，负数a 的n 次方根是一个负数，记作na . (2)当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，记作±na ，负数没有偶次方根. (3)零的任何次方根都是0. 2.根式记号的注意点(1)根式中根指数要求n >1，且n ∈N *.(2)当n 为奇数时，n a 中a ∈R ，当n 为偶数时，na 中a ≥0. 3.掌握两个公式：(1)(na )n ＝a ，n 为奇数；(2)na n ＝a ，n 为偶数，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.1.若m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2B.3mC.6mD.5－m解析 C 中，6m 隐含m ≥0；当m <0时，没有意义. 答案 C2.下列各式正确的是( ) A.8a 8＝aB.a 0＝1C.4（－4）4＝－4D.3（－3）3＝－3解析 A 中，8a 8＝|a |，当a <0时，不成立.B 中，当a ＝0时，a 0没意义，B 不正确.C 中，4（－4）4＝444＝4，C 不正确；D 中3（－3）3＝－3正确.答案 D3.若x >3，则x 2－6x ＋9－|2－x |＝________.解析原式＝（x －3）2－|2－x |＝|x －3|－|2－x |＝x －3－(x －2)＝－1(x >3). 答案－14.(2016·杭州高一检测)化简：(a －1)2＋（1－a ）2＋7（a －1）7. 解由题意知a －1有意义，则a ≥1.原式＝(a －1)＋|1－a |＋(a －1)＝a －1＋a －1＋a －1＝3a －3.基础过关1.若a ＜12，则化简4（2a －1）2的结果是( )A.2a －1B.－2a －1C.1－2aD.－1－2a解析 ∵a ＜12，∴2a －1＜0，∴（2a －1）2＝1－2a ，∴4（2a －1）2＝1－2a .答案 C2.下列式子中成立的是( )A.a －a ＝－a 3B.a －a ＝－a 3C.a －a ＝－－a 3D.a －a ＝a 3解析依题意－a ≥0，即a ≤0，∴a －a ＝－（－a ）2（－a ）＝－（－a ）3＝－－a 3. 答案 C3.(2016·天津高一检测)化简（x ＋3）2－3（x －3）3得( ) A.6 B.2xC.6或－2xD.－2x 或6或2解析原式＝|x ＋3|－(x －3)，当x ≥－3时，原式＝x ＋3－x ＋3＝6.当x <－3时，原式＝－(x ＋3)－x ＋3＝－2x . 答案 C4.计算：12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫350＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0.5＋4（2－e ）4＝____________. 解析原式＝2＋1－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×0.5＋e －2＝e ＋23.答案 e ＋235.若x 2＋4x ＋4＝－x －2，则实数x 的取值范围是________. 解析因为x 2＋4x ＋4＝（x ＋2）2＝|x ＋2|. 又|x ＋2|＝－(x ＋2)，所以x ＋2≤0，故x ≤－2. 答案 (－∞，－2]6.化简n（x －π）n (x <π，且n ∈N *). 解 ∵x ＜π，∴x －π＜0，当n 为偶数时，n （x －π）n＝|x －π|＝π－x ；当n 为奇数时，n（x －π）n＝x －π，综上，n（x －π）n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *.x －π，n 为奇数，n ∈N *7.若等式（x －5）（x 2－25）＝(5－x )x ＋5成立，求实数x 的取值范围. 解由于（x －5）（x 2－25）＝（x －5）2（x ＋5）依题意要使（x －5）2（x ＋5）＝(5－x )x ＋5成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，即－5≤x ≤5.故实数x 的取值范围是[－5，5].8.当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9. 解 ∵2－x 有意义，∴2－x ≥0，即x ≤2， ∴x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9 ＝（x －2）2－（x －3）2＝|x －2|－|x －3|＝2－x －(3－x ) ＝－1.能力提升9.化简－x3x的结果为( )A.－－xB.xC.－xD.－x解析要使式子有意义，只需－x 3>0，即x <0，所以－x3x ＝－x －xx＝－－x .答案 A10.已知二次函数y ＝ax 2＋2bx 图象如图所示，则4（a －b ）4的值为( )A.a ＋bB.－(a ＋b )C.a －bD.b －a解析由图象知a ＜0，－b a＞－1，故b ＞a ，即a －b ＜0，∴4（a －b ）4＝|a －b |＝b －a .答案 D11.若a <0，则a 2·(a ＋1)＋3a 3＝________.解析 ∵a <0，∴a 2·(a ＋1)＋3a 3＝|a |(a ＋1)＋a ＝－a (a ＋1)＋a ＝－a 2. 答案－a 212.若x －1＋4x ＋y ＝0，则x 2 015＋y 2 016＝________.解析由x －1＋4x ＋y ＝0，得x －1＝0且4x ＋y ＝0，∴x ＝1且y ＝－1，从而x2 015＋y2 016＝12 015＋(－1)2 016＝1＋1＝2.13.已知4a 4＋4b 4＝－a －b ，求4（a ＋b ）4＋3（a ＋b ）3的值.解因为4a 4＋4b 4＝－a －b .所以4a 4＝－a ，4b 4＝－b ，所以a ≤0，b ≤0，所以a ＋b ≤0，所以原式＝|a ＋b |＋a ＋b ＝－(a ＋b )＋a ＋b ＝0.探究创新14.若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________.解析因为x >0，所以原式＝(2x 14)2－(332)2－4x －12·x ＋4x －12·x 12＝4x 14×2－332×2－4x －12＋4x－12＋12＝4x 12－33－4x 12＋4x 0＝4x 12－33－4x 12＋4＝4－27＝－23. 答案－23第2课时指数幂及运算目标定位 1.理解分数指数幂的含义；熟练掌握用分数指数幂表示一个正实数的n 次方根.2.会进行根式与分数指数幂的相互转化，能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简.3.经历用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程，了解实数指数幂的含义.自主预习1.分数指数幂(1)定义：规定正数的正分数指数幂的意义是：a mn＝na m (a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n＝1a m n(a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)；(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.2.有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q ).温馨提示：分数指数幂a mn 不能理解为m n个a 相乘；任何有意义的根式都能化为分数指数幂的3.无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.即时自测1.234化成根式形式为( ) A.324B.423C.432D.243解析结合正分数指数幂的运算性质可知234＝423. 答案 B2.5a －2可化为( ) A.a －25B.a 52C.a 25 D.－a 52解析5a －2＝(a －2)15＝a －25.答案 A3.计算[(－5)－3]－13的结果是________. 解析 [(－5)－3]－13＝(－5)(－3)(－13)＝－ 5.答案－ 5 4.a 3a 2＝________.解析 ∵a3a 2＝a 12a 23＝a 12－23＝a －16＝16a.答案 16a类型一根式与分数指数幂的互化【例1】 (1)(2016·济宁高一检测)设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A.a 12 B.a 32 C.a 56 D.a 76(2)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.－x ＝(－x )12(x >0)B.6y 2＝y 13(y <0)C.x －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x >0) D.x －13＝－3x (x ≠0)解析 (1)a 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝25132()a a＝a 2a 56＝a2－56＝a 76.(2)选项A 中，(－x )12无意义，不正确.B 中，6y 2＝y 26＝(－y )13(y <0)，B 不正确.C 中，x －34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x >0)正确. D 中，x －13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 13＝31x ≠－3x (x ≠0)，不正确.答案 (1)D (2)C规律方法 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化关系式： ①根指数指数幂的分母.②被开方数(式)的指数分数指数幂的分子.(2)当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.【训练1】将下列各式化为分数指数幂的形式.(1)13x ·（5x 2）2(x >0)；(2)ab 3ab 5(a >0，b >0).解 (1)原式＝13x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 252＝13x ·x 45＝13x 95＝3513935511x xx -==⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)原式＝[ab 3(ab 5)12]12＝[a ·a 12b 3(b 5)12]12＝(a 32b 112)12＝a 34b 114. 类型二利用分数指数幂运算性质化简与求值【例2】 (2016·宁波高一检测)计算：(1)a 23b 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 12b 13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 16b 56. (2)(0.064)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋⎝ ⎛⎭⎪⎫811614＋|－0.01|12. 解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫－3÷13a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a . (2)原式＝(0.43)－13－1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32414＋(0.12)12＝0.4－1－1＋32＋0.1＝3110.规律方法 (1)①由分数指数幂的概念，将根式化成分数指数幂.②利用分数指数幂的运算性质进行化简.(2)对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序. 【训练2】化简求值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －23y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13y －16；(2)(2016·温州高一检测)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42232()3-解 (1)原式＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x －23－1＋13y 12＋12－16＝2524x －43y 56.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234·214－122323⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋21－⎝ ⎛⎭⎪⎫2323×12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2. 类型三分数指数幂的综合应用【例3】已知a 12＋a -12＝3，求a ＋a －1，a 2＋a －2的值.解 ∵a 12＋a -12＝3， ∴两边平方得：a ＋a －1＋2a 12＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫－12＝9，故a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方得a 2＋a －2＋2a ·a －1＝49. 因此a 2＋a －2＝47.规律方法条件求值问题的两个步骤及一个注意点 (1)两个步骤：(2)一个注意点：若已知条件或所求式子中含有平方差、立方差的形式，要注意整体代换及平方差、立方差公式的灵活应用.【训练3】若例3条件变为：已知x ＋x －1＝7，求值：(1)x 12＋x －12；(2)x 12－x －12.解 (1)设m ＝x 12＋x －12，两边平方得m 2＝x ＋x －1＋2x 12·x －12＝7＋2＝9.又m >0，所以m ＝3，即x 12＋x －12＝3.(2)设n ＝x 12－x －12则n 2＝x ＋x －1－2x 12·x －12＝7－2＝5.∴n ＝±5，即x 12－x －12＝± 5.[课堂小结]1.分数指数幂与根式互化(1)指数幂a m n 不可以理解为m n个a 相乘，它是根式的一种新写法.在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化.(2)通常规定分数指数幂的底数a >0，但要注意在像(－a )14＝4－a 中的a ，则需要a ≤0. 2.对有理数指数幂的运算性质的三点说明(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积.(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘. (3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数幂.3.根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.1.⎝ ⎛⎭⎪⎫81625－14的值是( ) A.35B.53C.325D.259解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫81625－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫354－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－1＝53.答案 B2.计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －3b －23·(－3a －1b )÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －4b －53得( )A.－32b 2B.32b 2 C.－32b 73D.32b 73解析原式＝－6a －4b134a －4b －53＝－32b 2.答案A3.614－3338＋30.125的值为________. 解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－3⎝ ⎛⎭⎪⎫323＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝52－32＋12＝32. 答案 324.(2015·淮安高一检测)不用计算器求下列各式的值： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－0.30－16-34； (2)设x 12＋x -12＝2，求x ＋x －1.解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－(24) -34＝32－1－2－3＝12－18＝38.(2)由x 12＋x-12＝2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12＋x －122＝4，即x ＋x －1＋2＝4，故x ＋x －1＝2.基础过关1.已知a m＝4，a n＝3，则a m －2n的值为( )A.23 B.6C.32D.2解析am －2n＝a m （a n ）2＝49＝23. 答案 A2.如果x ＝1＋2b，y ＝1＋2－b，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1B.x ＋1xC.x －1x ＋1D.xx －1解析由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1.答案 D3.化简(36a 9)4(63a 9)4的结果为( )A.a 16B.a 8C.a 4D.a 2解析 (36a 9)4(63a 9)4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 964⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 934＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 124⎝ ⎛⎭⎪⎫a 124＝a 4.答案 C4.（3×223×512）（－4×212×513）－3×216×556＝________. 解析原式＝223＋2＋12－16×512＋13－56＝23＝8.答案 85.下列根式、分数指数幂的互化中，正确命题的序号是______. ①－x ＝(－x )12 (x ≠0)；②x －13＝－3x ；③⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3(x ，y ≠0)；④⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －32－23＝b 19. 解析 ①不正确，∵－x ＝－x 12； ②不正确，∵x －13＝13x；③正确，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 43＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 3；④不正确，∵b ≠0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －23－23＝b 19. 答案 ③6.计算下列各式的值或化简：(1)(0.027)13－⎝ ⎛⎭⎪⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0；(2)化简：44x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－34x ·13y ÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫－63y 2x . 解 (1)原式＝[(0.3)3]13－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫52212＋(44) 34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23223－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715. (2)原式＝4×（－3）－6x 14＋14－(－12)y －13－23＝2x ·y －1＝2xy .7.化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0). 解原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy 2（xy －1）1213·(xy )12·(xy )－1＝x 13·y 23|x |16|y |-16·|x |-12·|y |-12＝x 13·|x |-13＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0.8.化简：a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a .解原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13·a 13＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13 ＝a （a －8b ）⎝ ⎛⎭⎪⎫a 133－⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 133＝a （a －8b ）a －8b＝a .能力提升9.(2016·宜春高一检测)计算2－12＋（－4）02＋12－1－（1－5）0，结果是( )A.1B.2 2C. 2D.2－12解析原式＝12＋12＋2＋1（2＋1）（2－1）－1＝22＋22＋2＋1－1＝2 2. 答案 B10.(2016·长沙长郡中学模块检测)化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A.1B.－1C.a 2－1a 2＋1D.a 2＋1a 2－1解析 (a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)＝（a －a －1）2（a ＋a －1）（a －a －1）＝a －a －1a ＋a －1＝a （a －a －1）a （a ＋a －1）＝a 2－1a 2＋1. 答案 C11.设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 解析利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝2-15.答案 1421512.(2016·湖北襄阳五中月考)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2＝________. 解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9412－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝12. 答案 1213.(2016·天津高一检测)已知a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，求a b －a －b的值. 解由a b ＋a －b ＝22，得(a b ＋a －b )2＝8. 所以a 2b＋a－2b＋2＝8，即a 2b ＋a－2b＝6.同理(a b －a －b )2＝a 2b＋a－2b－2＝6－2＝4又a >1，b <0知a b－a －b<0. 故a b －a －b＝－2.探究创新14.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值. 解因为a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4，因为a >b >0，所以a >b >0.所以a －ba ＋b>0.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15，所以a －ba ＋b＝15＝55.2.1.2 指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质目标定位 1.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义.2.能用描点法或借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步理解指数函数的有关性质(定义域、值域、特殊点、单调性).自主预习1.指数函数的概念一般地，函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 2.指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象和性质a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 (0，＋∞)性质过定点过点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1函数值的变化当x ＞0时，y ＞1；当x <0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1 单调性是R 上的增函数是R 上的减函数温馨提示：指数函数的图象和性质中，掌握图象是关键，根据图象可以观察理解函数的性质.即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 3，y ＝2x ＋1，y ＝52x都是指数函数.( )(2)指数函数的图象经过点(2，4)，则当x ＝3时，y ＝8.( )(3)函数y ＝2x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象关于y 轴对称.( )提示 (1)错.只有y ＝52x ＝10x是指数函数.(2)对.设指数函数为y ＝a x，得4＝a 2，所以a ＝2.所以y ＝2x.当x ＝3时，y ＝8.(3)对.作出这两个函数的图象，可知这两个函数的图象关于y 轴对称. 答案 (1)× (2)√ (3)√2.下列各函数中，是指数函数的是( ) A.y ＝(－2)xB.y ＝－5xC.y ＝4x －1D.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x解析根据指数函数的概念知，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x是指数函数. 答案 D3.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x的图象可能是( )解析因为43>1，图象经过点(0，1)，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 的图象可能是选项A 的图象.答案 A4.函数f (x )＝2x与y 轴的交点坐标为________. 解析令x ＝0得f (0)＝20＝1. 答案 (0，1)类型一指数函数的概念【例1】在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？ (1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝(－2)x ；(3)y ＝－2x ；(4)y ＝πx；(5)y ＝x 2；(6)y ＝(a －1)x(a ＞1，且a ≠2).解只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y ＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b ＝a －1，则y ＝b x，b ＞0且b ≠1，所以是.规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x ；(3)a x的系数是1. 2.求指数函数的关键是求底数a ，并注意a 的限制条件.【训练1】函数y ＝(2a －3)x是指数函数，则实数a 的取值范围是________.解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a －3>0，2a －3≠1，解得a >32且a ≠2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2∪(2，＋∞)类型二指数函数的图象【例2】如图是指数函数①y ＝a x，②y ＝b x，③y ＝c x，④y ＝d x的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( )A.a <b <1<c <dB.b <a <1<d <cC.1<a <b <c <dD.a <b <1<d <c解析法一在y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大.由指数函数图象的升降，知c >d >1，b <a <1.∴b <a <1<d <c .法二作直线x ＝1，与四个图象分别交于A 、B 、C 、D 四点，由于x ＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大. 由图可知b <a <1<d <c .答案 B规律方法 1.无论指数函数的底数a 如何变化，指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象与直线x ＝1相交于点(1，a )由图象可知：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大. 2.处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0，1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响.【训练2】函数y ＝|2x－2|的图象是( )解析 y ＝2x －2的图象是由y ＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的.故y ＝|2x －2|的图象是由y ＝2x－2的图象在x 轴上方的部分不变，下方部分对折到x 轴的上方得到的.所以选项B 满足函数y ＝|2x－2|的图象特征. 答案 B类型三求指数型函数的定义域、值域【例3】求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x －4；(2)y ＝1－2x；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3.解 (1)由x －4≠0，得x ≠4，故y ＝21x －4的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}. 又1x －4≠0，即21x －4≠1，故y ＝21x －4的值域为{y |y ＞0，且y ≠1}. (2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x的定义域为(－∞，0].由0＜2x ≤1，得－1≤－2x ＜0，∴0≤1－2x＜1， ∴y ＝1－2x的值域为[0，1). (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域为R . ∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16.又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3＞0，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0，16]. 规律方法 1.对于y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)型函数的定义域、值域(1)定义域：形如y ＝af (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合.(2)值域可分两步求解：①换元，令t ＝f (x )，x ∈D ，并求t ＝f (x )的值域M . ②利用y ＝a t的单调性求y ＝a t，t ∈M 的值域. 2.求指数型函数定义域、值域注意两点：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集. (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论.【训练3】 (1)函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域是________. (2)已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象过点(2，1)，则f (x )的值域为( )A.[9，81]B.[3，9]C.[1，9]D.[1，＋∞) 解析 (1)要使函数有意义，则有1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.解得x ≥0.故函数的定义域为[0，＋∞).(2)∵y ＝f (x )的图象过点(2，1)，∴32－b＝1，∴b ＝2，则f (x )＝3x －2，由于2≤x ≤4，知0≤x －2≤2.故f (x )的值域是[1，9]. 答案 (1)[0，＋∞) (2)C [课堂小结]1.指数函数概念的理解判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否具有三个特征： (1)底数a >0，且为不等于1的常数，也不含有自变量x . (2)指数位置是自变量x ，且x 的系数是1. (3)a x的系数是1.2.指数函数的图象随底数的变化规律由图象可知：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.可概括为第一象限内，底数自下而上依次增大.3.指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的性质分底数a ＞1，0＜a ＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.4.(1)由于指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，即x ∈R ，所以函数y ＝af (x )(a ＞0且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同.(2)求函数y ＝af (x )(a ＞0且a ≠1)的值域的方法如下：①换元，令t ＝f (x )，并求出函数t ＝f (x )的定义域； ②求t ＝f (x )的值域t ∈M ；③利用y ＝a t的单调性求y ＝a t在t ∈M 上的值域.1.函数f (x )＝2x－32的定义域是( ) A.(5，＋∞) B.[5，＋∞) C.(－∞，5)D.(－∞，5]解析依题意2x －32≥0，即2x≥25，解得x ≥5.所以函数y ＝2x－32的定义域为[5，＋∞). 答案 B 2.函数y ＝5－|x |的图象是( )解析当x ＞0时，y ＝5－|x |＝5－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x，又原函数为偶函数，选项D 的图象满足要求.答案 D3.若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x是指数函数，则实数a ＝________.解析由y ＝(a 2－3a ＋3)·a x是指数函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2.答案 24.求函数y ＝512x －4的定义域和值域.解依题意2x －4>0，∴x >2，∴函数y ＝512x －4的定义域为(2，＋∞).当x >2时，2x －4>0，则12x －4>0，又指数函数y ＝5t在(0，＋∞)上是增函数，∴y >1，故函数y ＝512x －4的值域为(1，＋∞).基础过关1.函数y ＝2x ＋1的图象是( )解析当x ＝0时，y ＝2，且函数单调递增，故选A. 答案 A2.若函数f (x )＝(a －1)x在R 上是指数函数，那么实数a 的取值范围是( ) A.(0，1)∪(1，＋∞) B.(1，2) C.(1，2)∪(2，＋∞)D.(0，＋∞)解析由题意得a －1>0且a －1≠1，所以a >1且a ≠2. 答案 C3.(2016·浙江求实高中期中)函数y ＝a x＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( ) A.(0，1)B.(1，0)C.(2，1)D.(0，2)解析因为y ＝a x的图象一定经过点(0，1)，将y ＝a x的图象向上平移1个单位得到函数y ＝a x ＋1的图象，所以，函数y ＝a x＋1的图象经过点(0，2). 答案 D4.函数y ＝4x＋2的值域是________.解析因为对于任意x ∈R ，都有4x >0，所以4x ＋2>2，即函数y ＝4x＋2的值域是(2，＋∞). 答案 (2，＋∞)5.已知函数y ＝(a －2)x是指数函数，且当x <0时，y >1，则实数a 的取值范围是________. 解析由题知函数y ＝(a －2)x是减函数，所以0<a －2<1，即2<a <3. 答案 (2，3) 6.求函数y ＝32x －1－19的定义域.解要使函数有意义，则32x －1－19≥0，即32x －1≥3－2. ∵函数y ＝3x是增函数， ∴2x －1≥－2，即x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 7.已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域.解 (1)∵f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12， ∴a2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0，2].8.若y ＝(a －3)(a －2)x是指数函数，求函数f (x )＝a1x ＋2的定义域与值域. 解因为y ＝(a －3)(a －2)x是指数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝1，a －2>0且a －2≠1，解得a ＝4.所以f (x )＝41x ＋2由x ＋2≠0，知f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠－2}. 令t ＝1x ＋2，则t ≠0，所以4t >0且4t≠1，故f (x )的值域为{y |y >0且y ≠1}. 能力提升9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x －12，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A.4B.14C.－4D.－14解析因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫19－12＝－2，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝2－2＝14.答案 B10.函数y ＝－e x的图象( ) A.与y ＝e x的图象关于y 轴对称 B.与y ＝e x的图象关于坐标原点对称 C.与y ＝e －x的图象关于y 轴对称 D.与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解析 y ＝e x的图象与y ＝－e x的图象关于x 轴对称，y ＝－e x的图象与y ＝e －x的图象关于原点对称. 答案 D11.(2016·浙江杭州西湖高中月考)已知集合A ＝{x |1≤2x<16}，B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，则A ∩B ＝________.解析由1≤2x<16得0≤x <4，即A ＝{x |0≤x <4}，又B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，所以A ∩B ＝{0，1，2}. 答案 {0，1，2}12.方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是______.解析作出y ＝|2x－1|的图象(如图)，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0. 答案 {a |a ≥1或a ＝0}13.设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象.(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？解 (1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3.f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π.f (m )＝3m，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的指数互为相反数时，它们的图象关于y 轴对称.探究创新14.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－1.(1)作出f (x )的简图.(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求实数m 的取值范围.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，x ≥0，3x －1，x <0，如图所示.(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且－1<f (x )≤0.作出直线y ＝3m ，当－1<3m <0，即－13<m <0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两个交点.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 第2课时指数函数及其性质的应用目标定位 1.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小，解不等式.2.在解决一些简单的实际问题中，体会指数函数是一类重要的函数模型.3.会求一些与指数函数有关的简单复合函数的定义域、值域、单调性等.自主预习1.比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断. 2.简单指数不等式的解法形如af (x )＞ag (x )的不等式，可借助y ＝a x的单调性求解；(1)当0<a <1时，a f (x )>ag (x )⇔f (x )<g (x )；(2)当a >1时，a f (x )>ag (x )⇔f (x )>g (x ).3.形如y ＝af (x )(a ＞0，且a ≠1)函数的性质(1)函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )有相同的定义域.(2)当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有相同的单调性；当0＜a ＜1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反.即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当a >1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性相同；当0<a <1时，函数y ＝af (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反.( )(2)函数y ＝a 2x －1(a >0且a ≠1)的定义域是(0，＋∞).( ) (3)函数y ＝3－x ＋1的值域是R .( )提示 (1)对.由复合函数的单调性的性质知，该结论正确； (2)错.由指数函数的定义知，函数y ＝a 2x －1(a >0且a ≠1)的定义域是R ；(3)错.函数y ＝3－x ＋1的值域是(0，＋∞).答案 (1)√ (2)× (3)× 2.已知x ，y 为正实数，则( ) A.2lg x ＋lg y＝2lg x＋2lg yB.2lg (x ＋y )＝2lg x·2lg yC.2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y D.2lg(xy )＝2lg x·2lg y解析利用指数幂及对数的运算性质逐项验证.A 项，2lg x ＋lg y＝2lg x·2lg y，故错误；B 项，2lg x·2lg y＝2lg x ＋lg y＝2lg(x ·y )≠2lg(x ＋y )，故错误；C 项，2lg x ·lg y＝(2lg x )lg y，故错误；D 项，2lg(xy )＝2lg x ＋lg y ＝2lg x·2lg y，正确.答案 D3.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调递增区间为( )A.(－∞，＋∞)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.(0，1)解析因为x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ＝2x －1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x 在(－∞，＋∞)上是增函数.答案 A4.已知某种细菌在培养过程中，每20 min 繁殖一次，经一次繁殖1个细菌变成2个，经过3 h ，这种细菌由1个可繁殖成________个细菌.解析因为3 h ＝9×20 min ，所以这种细菌由1个可繁殖成29＝512(个).答案 512类型一利用函数的单调性比较大小【例1】比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫56－0.24与⎝ ⎛⎭⎪⎫56－14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π与1； (3)(0.8)－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫54－12. 解 (1)考查函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56x，且0<56<1. ∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56x在(－∞，＋∞)上是减函数，又－0.24>－14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫56－0.24＜⎝ ⎛⎭⎪⎫56－14.(2)考查函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx ，且0＜1π＜1，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx在(－∞，＋∞)上是减函数，又－π＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－π＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1π0＝1.(3)(0.8)－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542.函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x 在(－∞，＋∞)上是增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫54－12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫542，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54－12＜(0.8)－2. 规律方法比较幂值大小的三种类型及处理方法【训练1】 (1)下列判断正确的是( ) A.2.82.6>2.82.9B.0.52<0.53C.π2<π 2D.0.9－0.3>0.9－0.2(2)(2016·潍坊高一检测)已知a ＝5－12，函数f (x ) ＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系是________.解析 (1)函数y ＝0.9x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.9－0.3>0.9－0.2.(2)因为f (x )＝a x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x在R 上是减函数，又f (m )>f (n )，因此m <n .答案 (1)D (2)m <n 类型二解简单的指数不等式【例2】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤2.(2)已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x，求x 的取值范围.解 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2＝22－x 2，所以原不等式等价于22－x 2≤21.因为y ＝2x 是R 上的增函数，所以2－x 2≤1，所以x 2≥1，即x ≤－1或x ≥1.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤2的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}.(2)因为a 2＋a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋74>1，所以y ＝(a 2＋a ＋2)x在R 上是增函数. 所以x >1－x ，解得x >12.所以x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >12.规律方法 1.解指数不等式问题，需注意两点：(1)形如a f (x )>ag (x )的不等式，借助y ＝a x的单调性 ①a >1时，af (x )>ag (x )⇔f (x )>g (x ). ②0<a <1时，af (x )>ag (x )⇔f (x )<g (x ).(2)形如a x＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x的单调性求解.2.(1)解指数不等式时，若底数a 的取值不定，要分类讨论.(2)不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，不能写成不等式的形式. 【训练2】设0＜a ＜1，解关于x 的不等式a 2x 2－3x ＋2＞a 2x 2＋2x －3.解 ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x在R 上是减函数，又∵a 2x 2－3x ＋2＞a 2x 2＋2x －3， ∴2x 2－3x ＋2＜2x 2＋2x －3，解得x ＞1. ∴不等式的解集是(1，＋∞).类型三指数型函数的单调性(互动探究)【例3】判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 的单调性，并求其值域.[思路探究]探究点一函数f (x )是由哪两个函数复合而成的？提示由二次函数u ＝x 2－2x 与指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u复合运算得到. 探究点二如何研究f (x )的单调性？提示根据二次函数u ＝x 2－2x 及指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u的单调性，利用“同增异减”的规律确定函数f (x )的单调性.解令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u. ∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减. ∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)， ∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13u≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0，3]. 规律方法 1.形如y ＝af (x )(a >0且a ≠1)的函数的单调性的判定(1)定义法，即“取值——作差——变形——定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性.(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.其中影响单调性的因素有两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成.2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调区间.【训练3】求函数y＝2－x2＋2x的单调区间.解函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u ＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数.当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数.综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].类型四指数型函数在实际中的应用【例4】某林区2015年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到了5%.经过x年后该林区的木材蓄积量为多少万立方米？经过9年后，该林区的木材蓄积量约为多少万立方米？(精确到0.1万立方米)解先归纳出函数解析式，再按指数型函数的性质进行讨论.列表如下：由上表，得经过x年后，该林区的木材蓄积量为f(x)＝200(1＋5%)x＝200×1.05x，x∈N*.当x＝9时，f(9)＝200×1.059≈310.3(万立方米).故经过9年后，该林区的木材蓄积量约为310.3万立方米.规律方法 1.类似上面此题，设原值为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后总量y＝N(1＋p)x，像y＝N(1＋p)x等形如y＝ka x(k≠0，a＞1且a≠1)的函数称为指数型函数.。