2021届新高考数学一轮课件：第二章+第10讲+函数的图象

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2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲函数的单调性与最值

第2讲函数的单调性与最值一、知识梳理 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．[注意] 有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值M 为最小值1．函数单调性的两个等价结论设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0)⇔f (x )在D 上单调递增．(2)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0)⇔f (x )在D 上单调递减．2．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、教材衍化1．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是________．答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))2．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案：2 25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)求单调区间忘记定义域导致出错；(2)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念出错． 1．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为( ) A ．(－∞，1] B ．[3，＋∞) C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)解析：选B ．设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．2．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，所以m ≤2. 答案：(－∞，2]考点一确定函数的单调性(区间)(基础型) 复习指导| 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．核心素养：数学抽象角度一判断或证明函数的单调性(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】法一：设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．法二：f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤[注意] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．角度二利用函数图象求函数的单调区间求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．【解】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋2，x ≥0，－（x ＋1）2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．【迁移探究】 (变条件)若本例函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1]和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－2]和(1，1＋2]．确定函数的单调区间的方法[注意] (1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(2)“函数的单调区间是M ”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N ⊆M .1．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 可能是( ) A ．(－∞，0) B ．⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：选B ．y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0－x （1－x ），x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0x 2－x ，x <0＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x ≥0，⎝⎛⎭⎫x －122－14，x <0.画出函数的草图，如图．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 2．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C ．由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调，对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．3．判断函数y ＝2x 2－3x的单调性．解：因为f (x )＝2x 2－3x ＝2x －3x ，且函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而函数y ＝2x和y ＝－3x 在区间(－∞，0)上均为增函数，根据单调函数的运算性质，可得f (x )＝2x －3x 在区间(－∞，0)上为增函数．同理，可得f (x )＝2x －3x在区间(0，＋∞)上也是增函数．故函数f (x )＝2x 2－3x 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均为增函数．考点二函数的最值(值域)(基础型) 复习指导| 理解函数的最大(小)值，并能利用函数的单调性求最值．核心素养：逻辑推理(1)(一题多解)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．(2)(2020·福建漳州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x ≤0，x ＋4x ，x ＞0有最小值，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)法一(换元法)：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1，所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0. 配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1，故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)内为增函数，所以y min ＝1.(2)(基本不等式法)由题意知，当x >0时，函数f (x )＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时取等号；当x ≤0时，f (x )＝2x ＋a ∈(a ，1＋a ]，因此要使f (x )有最小值，则必须有a ≥4.【答案】 (1)1 (2)[4，＋∞)求函数最值的五种常用方法1．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.所以a ＋b ＝6. 答案：62．(一题多解)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：法一：在同一直角坐标系中，作出函数f (x )，g (x )的图象，依题意，h (x )的图象如图所示．易知点A (2，1)为图象的最高点，因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数，所以h (x )在x ＝2处取得最大值h (2)＝1. 答案：1考点三函数单调性的应用(综合型) 复习指导| 利用函数单调性求解，要明确函数的所给区间，不同区间有不同的单调性．角度一比较两个函数值已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)，所以b >a >c . 【答案】 D比较函数值大小的思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度二解函数不等式已知函数f (x )＝－x |x |，x ∈(－1，1)，则不等式f (1－m )<f (m 2－1)的解集为________．【解析】由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1<x ≤0，－x 2，0<x <1，则f (x )在(－1，1)上单调递减，所以⎩⎨⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，m 2－1<1－m ，解得0<m <1，所以所求解集为(0，1)．【答案】 (0，1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．角度三求参数的值或取值范围(1)(2020·南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．【解析】 (1)设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0. 因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)利用单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．1．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D ．因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.故选D ．2．函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72B ．f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52C ．f ⎝⎛⎭⎫72<f ⎝⎛⎭⎫52<f (1)D ．f ⎝⎛⎭⎫52<f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)解析：选B ．因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12.又0<12<1<32<2，f (x )在[0，2]上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫12<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52. 3．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________．解析：由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，令－a2＝3，得a ＝－6.答案：－6[基础题组练]1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C ．当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤－2，－13上的最大值是( ) A ．32B ．－83C ．－2D ．2解析：选A ．函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1x 2，则f ′(x )<0，可得f (x )在⎣⎡⎦⎤－2，－13上单调递减，即f (－2)为最大值，且为2－12＝32.3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C ．由f (x )为R 上的减函数且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.所以－1＜x ＜0或0＜x ＜1.故选C ．4．(多选)(2021·预测)已知f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f (x )是增函数的是( )A ．对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )B ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≥x 2，都有f (x 1)≥f (x 2)C ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0D ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0解析：选CD ．根据题意，依次分析选项：对于选项A ，对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B ，当f (x )为常数函数时，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，都有f (x 1)＝f (x 2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0，符合题意；对于选项D ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，设x 1>x 2，若f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，必有f (x 1)－f (x 2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．5．(创新型)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C ．由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，所以f (x )的最大值为6.6．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是________．解析：由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．答案：[1，2]7．函数y ＝2＋－x 2＋4x 的最大值是________，单调递增区间是________．解析：函数y ＝2＋－x 2＋4x ＝2＋－（x －2）2＋4，可得当x ＝2时，函数y 取得最大值2＋2＝4；由4x －x 2≥0，可得0≤x ≤4，令t ＝－x 2＋4x ，则t 在[0，2]上为增函数，y －2＋t 在[0，＋∞)上为增函数，可得函数y ＝2＋－x 2＋4x 的单调递增区间为[0，2]．答案：4 [0，2]8．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3<f (x ＋1)<1的解集为________．解析：由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3，1)是其图象上的两点，知不等式－3<f (x ＋1)<1，即为f (0)<f (x ＋1)<f (3)，所以0<x ＋1<3，所以－1<x <2.答案：(－1，2)9．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）.因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围为(0，1]．[综合题组练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x >1对任意的x 1≠x 2都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．[1，3)解析：选D ．由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]>0，得(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，所以函数f (x )在R 上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a ＜3.故选D ． 2．(多选)若函数f (x )满足条件：①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f （a ）－f （b ）a －b >0；②对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≥f （x 1）＋f （x 2）2成立．则称其为G 函数．下列函数为G 函数的是( ) A ．f (x )＝3x ＋1 B ．f (x )＝－2x －1 C ．f (x )＝x 2－2x ＋3D ．f (x )＝－x 2＋4x －3，x ∈(－∞，1)解析：选AD ．①对于定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有f （a ）－f （b ）a －b >0，则函数f (x )在定义域为增函数；②对于定义域内任意x 1，x 2都有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≥f （x 1）＋f （x 2）2成立，则函数f (x )为“凸函数”．其中A ．f (x )＝3x ＋1在R 上为增函数，且f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2，故满足条件①②；B ．f (x )＝－2x －1在R 上为减函数，不满足条件①；C ．f (x )＝x 2－2x ＋3在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)为增函数，不满足条件①；D ．f (x )＝－x 2＋4x －3的对称轴为x ＝2，故函数f (x )＝－x 2＋4x －3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.综上，为G 函数的是AD ．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．解析：因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案：[0，2]4．(创新型)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________．解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3 ]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．答案：[1， 3 ]5．已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.(1)当a ＝2时，求f (x )在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2（x －1）2－1，x ＜2，当x ∈[0，2)时，－1≤f (x )<0，当x ∈[2，3]时，0≤f (x )≤7，所以f (x )在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递增，所以当x ＞2时，f (x )单调递增，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1＜x ≤2时，f (x )单调递增，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立，故a 的取值范围为[－4，－2]．6．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2，9]上的最小值．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈()0，＋∞，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间()0，＋∞上是单调递减函数．(3)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以f (x )在[2，9]上的最小值为f (9)，由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.所以f (x ) 在[2，9]上的最小值为－2.。

第2章函数及其表示-2021版高三数学(新高考)一轮复习教学课件(45张ppt)

___[_1_,2_)_∪__(_4_,5_]___.
第二章函数、导数及其应用
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题组三考题再现 5．(2019·江苏，5 分)函数 y＝ 7＋6x－x2的定义域是____[_－__1_,7_]_______.
[解析] 要使函数有意义，则 7＋6x－x2>0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是 [－1,7]．
第二章函数、导数及其应用
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[答案] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数 (3)不同函数①②；同一函数③
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第二章函数、导数及其应用
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1.映射与函数的含义 (1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓． (2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，且每个象都有原象，即称为函数． 2．判断两个函数是否相同的方法 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同． (2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．
f2：
x
x≤1
y
1
1<x<2 2
x≥2 3
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f3：
第二章函数、导数及其应用
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[解析] (1)①是映射，也是函数； ②不是映射，更不是函数，因为从A到B的对应为“一对多”； ③当x＝0时，与其对应的y值不存在．故不是映射，更不是函数； ④是映射，但不是函数，因为集合A不是数集． (2)A图象不满足函数的定义域，不正确；B、C满足函数的定义域以及函数的值域，正确；D不满足函数的定义，故选B、C． (3)①中f1的定义域为{x|x≠0}，f2的定义域为R，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是同一函数； ②中f1的定义域为R，f2的定义域为{x|x≥0}，f3的定义域为{x|x≠0}，故不是同一函数； ③中f1，f2，f3的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数．

2021届新高考数学一轮课件：第二章+第10讲+函数的图象

到 y＝f(wx)(w>0，w≠1)的图象.
(3)对称变换：
1.函数 f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( A )
A
B
C
D
2.(2017 年新课标Ⅲ)函数 y＝1＋x＋sixn2 x的部分图象大致为 ( D)
A
B
C
D
解析：当 x∈0，π2时，y＝1＋x＋sixn2 xபைடு நூலகம்然为正，排除 A， C；当 x→＋∞时，sixn2 x→0，y＝1＋x＋sixn2 x→＋∞，排除 B.故选 D.
A
B
C
D
解析：f(x)＝csoins xx＋＋xx2显然为奇函数，故排除 A；当 x＝π 时 f(x)>0，故排除 C；当 x＝π2时 f(x)＝1＋π2π2＝4＋π22π>1，∴最大
4 值肯定大于 1，故排除 B.
答案：D
(3)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]上的图象大致为( )
A
B
C
D
(a<0)平移|a|个单位长度得到.
(2)伸缩变换： ①把 y＝f(x)的图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)到原来的 A
倍或缩短(0<A<1)到原来的A1，横坐标不变，就得到 y＝Af(x)(A>0，
A≠1)的图象.
②把 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长(0<w<1)到原来
1
1
的___w___倍或缩短(w>1)到原来的____w____，纵坐标不变，就得
考点 2 函数图象的应用
例 2：(1)已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx(k>0).若方程 f(x) ＝g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是( )

第10讲函数的图像(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

解析：(1)作函数 y＝2x 的图象关于 x 轴对称的图象得到 y＝－2x 的图象，再将图象向上平移 2 个单位，可得 y＝2－2x 的图象．如图 1；
(2)因为 y＝log1[3(x＋2)]＝－log3[3(x＋2)]＝－log3(x＋2)－1.
3
所以可以先将函数 y＝log3x 的图象向左平移 2 个单位，可得 y＝log3(x＋2)的图象，再作图象关于 x 轴对称的
由
f (x) (1)x , g(x) 2(1)x
3
3
(1)x 3 1
2
(1)x
3
(
1
log
)
1 3
1 2
3
( 1 ) x log3 3
2
知，
f
(x)
向右移动
log3
2
个单位可得到
g
(x)
，故选项
D
正确；
故选： ABD ．
5、.已知函数
f(x)＝|log3x|，实数
m，n
满足
0<m<n，且
f(m)＝f(n)，若
3
m
ln x，x≥1， 6、(一题两空)(2019·吉林调研改编)设函数 f(x)＝ 1－x，x＜1，则 f(f(0))＝________，若 f(m)＞1，则实数 m
的取值范围是________．
【答案】0 (－∞，0)∪(e，＋∞)
ln x，x≥1，【解析】f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得 f(x)＝ 1－x，x＜1的图象与直线 y＝1 的交点分别为(0，1)，
【答案】B
1－x2≥0，【解析】(1)由 |x|≠0 且|x|≠1，得－1<x<0 或 0<x<1，

最新-创新大课堂2021届高三数学文一轮复习课件：第2章函数、导数及其应用第1节精品

(4)消去法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)．
跟踪训练 (1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，则 f(x)＝________. (2)已知 f(x)为二次函数且 f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.则 f(x)的解析式为________． [解析] (1)令 t＝ x＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2. 则 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
【名师说法】
函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
[答案] C
角度三已知定义域确定参数问题 5．(2016·合肥模拟)若函数 f(x)＝ x2＋2ax－a的定义域为 R，则 a 的取值范围为________． [解析] 函数 f(x)的定义域为 R，所以 x2＋2ax－a≥0 对 x ∈R 恒成立，因此有 Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. [答案] [－1,0]
[质疑探究] 函数的值域是由函数的定义域、对应关系唯一确定的吗？
提示：是．函数的定义域和对应关系确定后函数的值域就确定了，在函数的三个要素中定义域和对应关系是关键．
(3)相等函数：如果两个函数的_定__义__域___和__对__应__关__系__完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
D．[0，lg 2]

新课程2021高考数学一轮复习第二章第10讲导数的概念及运算课件

[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测 2021 年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.
1
PART ONE
基础知识过关
1．变化率与导数 (1)平均变化率
① ②
由①知 x0≠0，故②可化为 1＋x20＋ax0＝0，
所以 ax0＝－1－x20，代入①得 3x20＋2(－1－x20)＝－1，即 x20＝1，解得 x0＝±1. 当 x0＝1 时，a＝－2，f(x0)＝x30＋ax20＝－1；当 x0＝－1 时，a＝2，f(x0)＝x30＋ ax20＝1，所以点 P 的坐标为(1，－1)或(－1，1).
2．小题热身 (1)下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝x·l1n 2； ③(e1－x)′＝e1－x；④ln1x′＝x. A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 ①中，(3x)′＝3xln 3，错误；②中，(log2x)′＝x·l1n 2，正确；③ 中，(e1－x)′＝－e1－x，错误；④中，ln1x′＝0·llnnxx－2 1x＝－xln1 x2，错误，因此求导运算正确的个数为 1.
2.(2019·全国卷Ⅰ)曲线 y＝3(x2＋x)ex 在点(0,0)处的切线方程为 __y_＝__3_x __.
解析 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率 k＝e0×3 ＝3，∴切线方程为 y＝3x.
角度 2 求切点坐标
3.(2019·广州模拟)设函数 f(x)＝x3＋ax2，若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))

2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数课件苏教版

第二章Fra bibliotek函数、导数及其应用
第五节指数与指数函数
最新考纲
考情分析
1.了解指数函数模型的实际背景． 1.直接考查指数函数的图
象及其性质或以指数与指
2．理解有理数指数幂的含义，了解
数函数为知识载体，考查
实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
指数幂的运算和函数图象
3．理解指数函数的概念，理解指数
的应用或以指数函数为载
C．4x2y
D．－2x2y
(2)已知系是( D )
A．a<b<c C．b<a<c
B．a<c<b D．c<b<a
，则 a，b，c 的大小关
(3)若 x＋x－1＝3，则 x2－x－2＝_____±_3__5__.
(4)若函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象经过点 A2，13，则 f(－1)＝_____3____.
2．有理数指数幂的性质
(1)aras＝___a_r_＋_s__ (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝___a_rs___ (a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝___a_r_b_r__ (a>0，b>0，r∈Q)．
知识点二
指数函数的图象与性质
(1)指数函数的图象与底数大小的比较
在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大． (2)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a>1 与 0<a<1 来研究．
n (
a)n＝a.
(3)由指数函数的形式定义知应满足的条件：①系数为 1，②

高中数学《函数的图像》高考一轮复习

高考数学一轮复习第10讲：函数的图像学习目标:1.会运用函数图像理解和研究函数的性质.2.熟记基本初等函数的图像，掌握函数作图的基本方法及函数图像的基本变换，能结合图像研究函数的性质学习方法：观察归纳；类比，转化教学重点：会运用函数图像理解和研究函数的性质.教学难点：应用函数图像求参数范围课前准备:1.教师准备：三角板、多媒体课件2.学生自备：笔、三角板考情分析：函数的图像作为函数性质的研究工具，频频在高考题中出现．主要考点及考查方向如下表：教学过程知识聚焦：（自主学习以下知识点）1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．4．平移变换：（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到．① y=f(x)y=f(x+h); ② y=f(x) y=f(x -h);③y=f(x) y=f(x)+h; ④y=f(x) y=f(x)-h.5．对称变换：（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到； 6．翻折变换：（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到．7．伸缩变换：（1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；()y f x a =+()y f x =x (0)a >(0)a <||a ()y f x a =+()y f x =x (0)a >(0)a <||a h 左移→h 右移→h 上移→h 下移→()y f x =-()y f x =y ()y f x =-()y f x =x ()y f x =--()y f x =|()|y f x =()y f x =x x x x ()y f x =x (||)y f x =()y f x =y y y ()y f x =y ()y af x =(0)a >()y f x =(1)a >01a <<a（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到． ①y=f(x)y=f();②y=f(x)y=ωf(x). 链接教材：（学生自主回答）例题教学：考点一函数图象的辨识【例1】函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．规律方法函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．【练习1】 (1)函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )．(2)函数y ＝x ＋cos x 的大致图象是( )．考点二函数图象的变换【例2】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x (x ≤1)，log 13x (x ＞1)，则y ＝f (1－x )的图象是( )． ()y f ax =(0)a >()y f x =(1)a >01a <<1a ω⨯→x ωxω⨯→y规律方法作图象平移时，要注意不要弄错平移的方向，必要时，取特殊点进行验证；平移变换只改变图象的位置，不改变图象的形状．【练习2】设函数f(x)的定义域为R ，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关系为（）A ．直线y=0对称B ．直线x=0对称C ．直线y=1对称D ．直线x=1对称考点三函数图象的应用【例3】已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个练习3：设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，f （2-x ）=f （x+2）且当x ∈[-2,0]时，f(x)=x )21(-1，若关于x 的方程f(x)-log a (x+2)=0（a>1）在区间(-2,6]内恰有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是【例4】已知不等式x 2－log a x ＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．练习4：设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________ . 规律方法 (1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解．数形结合是常用的思想方法．(2)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质.课堂小结1．掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．2．识图的要点：重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x 、y 轴的交点，最高、最低点等)．3．识图的方法(1)定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决；(3)排除法：利用本身的性能或特殊点进行排除验证．4．研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想；5．方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决．。

2021届数学基础第二章第10讲函数的图象含解析

2021届高考数学一轮基础反馈训练：第二章第10讲函数的图象含解析基础知识反馈卡·2。

10时间:20分钟分数:60分一、选择题(每小题5分，共30分）1．函数y ＝x ＋sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是( )A B CD2．函数y ＝321x x 的图象大致是( ) A B CD3．函数f （x ）＝x 2－2|x |的图象大致是( ）A B CD4．函数f (x )＝x sin x 的图象大致是( ）A B CD5．已知函数f (x ）的图象如图J2。

10-1,则f (x ）的解析式可能是（）图J2-10。

1A．f（x）＝错误!－x3B．f（x）＝错误!＋x3C．f（x）＝错误!－x3D．f(x)＝错误!＋x36．函数y＝ln｜x－1|的图象大致是（)二、填空题(每小题5分，共15分)7．函数y＝f（x）的图象与函数y＝log3x（x>0)的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝________.8．（2015年安徽)在平面直角坐标系xOy中,若直线y＝2a与函数y＝|x－a｜－1的图象只有一个交点，则a的值为________．9．设奇函数f（x）的定义域为［－5，5]．若当x∈［0，5]时,f(x)的图象如图J2.10。

2，则不等式f（x)＜0的解集是____________．图J2.10。

2三、解答题（共15分）10．直线y＝1与曲线y＝x2－｜x｜＋a有四个交点，求实数a 的取值范围．基础知识反馈卡·2。

101．C2。

A3．B解析:∵函数f（x)＝x2－2｜x|，∴f(3）＝9－8＝1〉0，故排除C，D;∵f（0）＝－1，f错误!＝错误!－212＝0.25－错误!〈－1，故排除A。

故选B.4．A解析：∵f（－x）＝－x sin(－x）＝x sin x＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，∴其图象关于y轴对称,故排除B，C；∵f（π)＝πsin π＝0，排除D.故选A。

高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用

第十讲函数模型及其应用知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax ＋b(a ，b 为常数，a≠0)反比例函数模型 f(x)＝kx ＋b(k ，b 为常数且k≠0)二次函数模型 f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0)指数函数模型 f(x)＝ba x＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blog a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n ＋b(a ，b 为常数，a≠0)2．三种函数模型的性质函数性质y ＝a x(a>1)y ＝log a x(a>1) y ＝x n(n>0)在(0，＋∞) 上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x>x 0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：重要结论1．函数f(x)＝x a ＋bx (a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) (3)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (4)不存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0.( × ) [解析] (1)当x ＝－1时，2－1<(－1)2.(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a ·b x＋c.(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(4)当a∈(0，1)时存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0. 题组二走进教材2．(必修1P 107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P 107A 组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( D ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x[解析] 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意，故选D ．4．(必修1P 104例5改编)某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只[解析] ∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝alog 3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log 3(x ＋1)， ∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A ．5．(必修1P 107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C(x)＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．[解析] 利润L(x)＝20x －C(x)＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L(x)有最大值．题组三走向高考6．(2020·全国Ⅲ，4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e －0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( C )A ．60B ．63C ．66D ．69[解析] 本题以Logistic 模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算．由题意可得I(t *)＝K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，化简得e －0.23(t *－53)＝119，即0.23(t *－53)＝ln 19，所以t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C ．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点函数模型及应用考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( ABC )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是( B )[解析] (1)通过题图可知A 不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B 正确．从图观察C 是正确的，D 也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A ．(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D 错误．故选A 、B 、C ．(3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ 为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A 、C 、D ，选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 1.用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研例2 (2020·北京十一中月考)已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝ae－kx，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：log 20.767≈－0.4)．[解析] 由题意可知，当x ＝5 730时，ae －5 730k＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2 292.〔变式训练1〕(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y ＝alog 4x ＋b(其中x 为销售额，y 为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧alog 48＋b ＝1，alog 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，有2log 4x －2＝8，解得x ＝1 024. 考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究角度1 一次函数、二次函数分段函数模型例3 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力指标．该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下： f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－60（0≤t≤10），340（10<t≤20），－15t ＋640（20<t≤40）(a>0且a≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由； (3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ [解析] (1)由题意得，当t ＝5时，f(t) ＝140，即100·a 510－60＝140，解得a ＝4.(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．(3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)＝100·4t10－60≥140，解得5≤t≤10； ②当10<t≤20时，f(t) ＝340>140恒成立；③当20<t≤40时，f(t)＝－15t ＋640≥140，解得20<t≤1003.综上所述，5≤t≤1003.故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． (3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值．角度2 指数函数与对数函数模型例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋blog 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ [分析](1)根据已知列出方程组→解方程组求a ，b 的值 (2)由（1）列出不等式→解不等式求Q 的最小值[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋blog 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，则a ＋blog 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋blog 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．名师点拨 MING SHI DIAN BO指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．〔变式训练2〕(1)(角度1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( A )A ．[4，8]B ．[6.10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%](2)(角度2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过16min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] (1)根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R%≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]． (2)当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b＝12a ，∴e －8b ＝12.令y ＝18a ，即ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e－24b，则t ＝24，∴再经过16 min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数y ＝x ＋ax(a>0)模型及应用例5 (2021·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝13x 2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x 万件产品的销售收入为5x 万元，依题意得：当0<x<8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3.当x≥8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x<8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x≥8.(2)当0<x<8时，L(x)＝－13(x －6)2＋9，此时，当x ＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．当x≥8时，L(x)＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)．此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax ＋bx 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．〔变式训练3〕某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m ，20_m 时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m 2.[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x<400)．因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648.即当矩形温室的相邻边长分别为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.。

2021新高考数学新课程一轮复习课件：第二章第2讲函数的单调性与最值

解析因为函数 f(x)＝(2a－1)x－3 是 R 上的减函数，所以 2a－1＜0，解得 a＜12.
(4)函数 f(x)＝x＋3 1(x∈[2,5])的最大值与最小值之和等于____32____．
解析因为函数 f(x)＝x＋3 1在[2,5]上单调递减，所以 f(x)max＝f(2)＝1， f(x)min＝f(5)＝12，f(x)max＋f(x)min＝32.
2．小题热身 (1)设定义在[－1,7]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的增区间为__[_－__1_,1_]_，__[_5_,7_]_____．
解析由图可知函数的单调递增区间为[－1,1]和[5,7]．
(2)函数 y＝4x－x2＋3，x∈[0,3]的单调递增区间是___[0_,_2_] __，最小值是 ___3_____，最大值是___7_____．
解析因为 y＝4x－x2＋3＝－(x－2)2＋7，所以函数 y＝4x－x2＋3，x∈[0,3]的单调递增区间是[0,2]．当 x＝2 时，ymax＝7；当 x＝0 时，ymin＝3.
(3)函数 f(x)＝(2a－1)x－3 是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是 _－__∞__，__12_ __．
1．概念辨析 (1)函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × ) (2)设任意 x1，x2∈[a，b]且 x1≠x2，那么 f(x)在[a，b]上是增函数⇔ fxx11－－fx2x2>0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0.( √ ) (3)若函数 y＝f(x)，x∈D 的最大值为 M，最小值为 m(M＞m)，则此函数的值域为[m，M]．( × ) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( √ )

第2章第8讲函数的图象-2021版高三数学(新高考)一轮复习课件共56张PPT

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第二章函数、导数及其应用
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[分析] (1)先由函数的奇偶性画出y轴右侧图象，再画左侧； (2)先对绝对值分类讨论，将原函数化成分段函数的形式，再分段作图即可； (3)先化简解析式，分离常数，再利用图象变换画出图象； (4)将y＝log2x的图象向左平移1个单位→y＝log2(x＋1)的图象→将y＝log2(x＋1) 的图象位于x轴下方的部分向上翻折→y＝|log2(x＋1)|的图象．
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函数、导数及其应用
第二章函数、导数及其应用
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第八讲函数的图象
第二章函数、导数及其应用
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1 知识梳理 • 双基自测 2 考点突破 • 互动探究 3 名师讲坛 • 素养提升
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[解析] (1)设 f(x)＝2x＋2x23 －x(x∈[－6,6])，则 f(－x)＝22－－x＋x23x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除选项 C；当 x＝－1 时，f(－1)＝－45<0，排除选项 D；当 x＝4 时，f(4)＝161＋28116 ≈7.97，排除选项 A．故选 B．
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(2)先化简，再作图． y＝x－2－x2x＋－x2＋，2x，≥x2<，2，图象如图实线所示．
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第二章函数、导数及其应用
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(3)∵y＝2xx－－11＝2x－x－11＋1＝2＋x－1 1，∴其图象可由 y＝1x的图象沿 x 轴向右平移 1 个单位，再沿 y 轴向上平移 2 个单位得到，其图象如图所示．

新高考数学大一轮复习专题一函数与导数第10讲导数中函数的构造问题

2020),F(－2)＝4f(－2),所以F(2020＋x)－F(－2)>0,
即F(2020＋x)>F(－2)．
又F(x)在(－∞,0)上是减函数,所以2 020＋x<－2,即x<－2 022.
3．设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1)＝0,当x<0时,有xf′(x)－f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集为________________________．
答案 (－∞,－1)∪(1,＋∞)
解析构造F(x)＝ ,则F′(x)＝ ,当x<0时,xf′(x)－f(x)>0,可以推出当x<0时,F′(x)>0,F(x)在(－∞,0)上单调递增,∵f(x)为偶函数,∴F(x)为奇函数,∴F(x)在(0,＋∞)上也单调递增,根据f(1)＝0可得F(1)＝0.根据函数图象(图略)可知f(x)>0的解集为
第
导数问题中已知某个含f′(x)的不等式,往往可以转化为函数的单调性,我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题．
例1 (1)f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)＋xf′(x)<0,且f(－4)＝0,则不等式xf(x)>0的解集为________________．
答案 (－∞,－4)∪(0,4)
(4)构造函数：条件中含“f′(x)sinx－f(x)cosx”的形式．
1．(2020·广东韶关调研)已知f(x)为R上的可导函数,且∀x∈R,均有f(x)>f′(x),则以下判断正确的是( )
A．f(2021)>e2021f(0)
B．f(2021)<e2021f(0)
C．f(2021)＝e2021f(0)
D．f(2021)与e2021f(0)的大小关系无法确定

2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲导数与函数的单调性

第2讲导数与函数的单调性一、知识梳理函数的单调性与导数的关系条件结论函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )＞0 f (x )在(a ，b )内单调递增 f ′(x )<0 f (x )在(a ，b )内单调递减 f ′(x )＝0f (x )在(a ，b )内是常数函数理清三组关系(1)“在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)”是“函数f (x )在此区间上为增(减)函数”的充分不必要条件．(2)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒为零．(3)对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件．二、教材衍化1．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2，1)上f (x )是增函数B ．在区间(1，3)上f (x )是减函数C ．在区间(4，5)上f (x )是增函数D ．当x ＝2时，f (x )取到极小值解析：选C ．在(4，5)上f ′(x )>0恒成立，所以f (x )是增函数．2．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12解析：选B ．由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，所以函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 故选B ．3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )＞0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( ) 答案：(1)× (2)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)判断导数值的正负时忽视函数值域这一隐含条件； (2)讨论函数单调性时，分类标准有误．1．函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A ．先增后减 B ．先减后增 C ．增函数 D ．减函数解析：选D ．因为f ′(x )＝－sin x －1<0. 所以f (x )在(0，π)上是减函数，故选D ．2．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时， f ′(x )<0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．考点一判断(证明)函数的单调性(基础型)复习指导| 借助图象探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性．核心素养：数学抽象、逻辑推理(1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上单调递增 B ．在(0，＋∞)上单调递减 C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减 (2)(2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.讨论f (x )的单调性．【解】 (1)选D ．因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e，即函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，故选D ． (2)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，a3时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫a3，＋∞ 单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，a3单调递减．若a ＝0，则f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫a3，0时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝⎛⎭⎫a3，0单调递减．导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤(1)求f ′(x )．(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号．(3)作出结论：f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数.[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．已知函数f (x )＝a2(x －1)2－x ＋ln x (a >0)，讨论f (x )的单调性．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a (x －1)－1＋1x ＝（x －1）（ax －1）x ，令f ′(x )＝0，则x 1＝1，x 2＝1a，①若a ＝1，则f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数； ②若0<a <1，则1a>1，当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，1a 时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； ③若a >1，则0<1a<1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．综上所述，当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当0<a <1时，f (x )在(0，1)上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上是增函数；当a >1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．考点二求函数的单调区间(基础型)复习指导| 会利用导数求不超过三次的多项式函数的单调区间．核心素养：数学运算已知函数f (x )＝a ln x －x －a ＋1x(a ∈R )．求函数f (x )的单调区间．【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax －1＋1＋a x 2＝－x 2＋ax ＋1＋a x 2＝－（x ＋1）[x －（1＋a ）]x 2，①当a ＋1>0，即a >－1时，在(0，1＋a )上f ′(x )>0，在(1＋a ，＋∞)上，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(0，1＋a )，单调递减区间是(1＋a ，＋∞)； ②当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上，f ′(x )<0，所以，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间．利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间内f ′(x )的符号，从而确定单调区间．(3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据f ′(x )的结构特征，利用图象与性质确定f ′(x )的符号，从而确定单调区间．[提醒] 所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．1．当x >0时，f (x )＝x ＋4x 的单调递减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)解析：选B ．令f ′(x )＝1－4x 2＝（x －2）（x ＋2）x 2<0，则－2<x <2，且x ≠0.因为x >0，所以x ∈(0，2)，故选B ．2．已知函数f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，求函数f (x )的单调区间．解：f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．故函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0，5)．考点三函数单调性的应用(综合型)复习指导| 利用导数与函数的单调性可以比较大小、求参数的范围等，其关键是明确函数的单调性．角度一比较大小或解不等式已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e2的解集为( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(1，e)D ．(e ，＋∞)【解析】 F ′(x )＝f ′（x ）e x －e x f （x ）（e x ）2＝f ′（x ）－f （x ）e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0，所以F (x )在R 上单调递减．由F (x )<1e2＝F (1)，得x >1，所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞)．【答案】 B利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．角度二已知函数单调性求参数的取值范围已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围．【解】 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解．即a ＞1x 2－2x 有解，设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a ＞G (x )min 即可．而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1. 所以a ＞－1，即a 的取值范围是(－1，＋∞)． (2)由h (x )在[1，4]上单调递减得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，＋∞. 【迁移探究1】 (变条件)本例条件变为：若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递增，求a 的取值范围．解：由h (x )在[1，4]上单调递增得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )≥0恒成立，所以当x ∈[1，4]时，a ≤1x 2－2x 恒成立，又当x ∈[1，4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．【迁移探究2】 (变问法)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围．解：h (x )在[1，4]上存在单调递减区间，则h ′(x )<0在[1，4]上有解，所以当x ∈[1，4]时，a >1x 2－2x 有解，又当x ∈[1，4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min＝－1，所以a >－1，即a 的取值范围是(－1，＋∞)．(1)已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围的两种思路 ①转化为不等式恒成立问题若函数在某区间上单调递增⇒f ′(x )≥0在该区间上恒成立；若函数在某区间上单调递减⇒f ′(x )≤0在该区间上恒成立．[注意] 一般地，f (x )在区间(a ，b )上是增函数的充要条件是f ′(x )≥0在(a ，b )上恒成立，且在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )不恒为0.其中不等式中等号不能省略，否则可能漏解！②利用区间之间的包含关系若已知y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调，则区间(a ，b )应该是相应单调区间的子区间． (2)已知函数的单调区间求参数的值时，首先利用导数，求出函数的单调区间(含参)，然后令该单调区间与已知区间相等，列方程求解．(3)已知函数在某区间内不单调求参数的取值范围时，通常利用极值点在该区间内，列不等式求解．1．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 解析：选A ．因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )．所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3. 又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数．所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3. 所以f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A ． 2．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在(－1，1)上为单调减函数，求实数a 的取值范围； (3)若函数f (x )的单调递减区间为(－1，1)，求实数a 的值； (4)若函数f (x )在区间(－1，1)上不单调，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)由题意知f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1，1)上恒成立，所以a ≥3x 2在(－1，1)上恒成立，因为当－1<x <1时，3x 2<3，所以a ≥3，所以a 的取值范围为[3，＋∞)． (3)由题意知f ′(x )＝3x 2－a ，则f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3，又f (x )的单调递减区间为(－1，1)，所以3a3＝1，解得a ＝3. (4)由题意知：f ′(x )＝3x 2－a ，当a ≤0时，f ′(x )≥0，此时f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，不合题意，故a >0.令f ′(x )＝0，解得x ＝±3a 3. 因为f (x )在区间(－1，1)上不单调，所以f ′(x )＝0在(－1，1)上有解，需0<3a3<1，得0<a <3，所以实数a 的取值范围为(0，3)．[基础题组练]1．函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选D ．由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D ．2.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：选C ．由题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，因为a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，故选C ． 3．函数f (x )＝e xx的图象大致为( )解析：选B ．函数f (x )＝e xx 的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，当x >0时，函数f ′(x )＝x e x －e x x 2，可得函数的极值点为：x ＝1，当x ∈(0，1)时，函数是减函数，x >1时，函数是增函数，并且f (x )>0，选项B 、D 满足题意．当x <0时，函数f (x )＝e xx <0，选项D 不正确，选项B 正确．4．已知f (x )＝ln xx ，则( )A ．f (2)>f (e)>f (3)B ．f (3)>f (e)>f (2)C ．f (3)>f (2)>f (e)D ．f (e)>f (3)>f (2)解析：选D ．f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1－ln xx 2，令f ′(x )＝0，得x ＝e.所以当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)＝1e ，而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 96，所以f (e)>f (3)>f (2)，故选D ．5．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，2]D ．(－∞，2) 解析：选C ．因为f ′(x )＝6(x 2－mx ＋1)，且函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝6(x 2－mx ＋1)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即x 2－mx ＋1≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以m ≤x 2＋1x ＝x ＋1x 在(1，＋∞)上恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫x ＋1x min (x ∈(1，＋∞))，因为当x ∈(1，＋∞)时，x ＋1x>2，所以m ≤2.故选C ． 6．函数f (x )＝x 4＋54x－ln x 的单调递减区间是________．解析：因为f (x )＝x 4＋54x－ln x ，所以函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜5，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，5)．答案：(0，5) 7．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________．解析：由题可得函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2x ln 2，所以在定义域内f ′(x )>0，函数单调递增，所以由f (x 2＋2)<f (3x )得x 2＋2<3x ，所以1<x <2.答案：(1，2)8．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________．解析：由f (x )图象特征可得，f ′(x )在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上大于0，在⎝⎛⎭⎫12，2上小于0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，f ′（x ）≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f ′（x ）≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)．答案：⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23.(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f ′⎝⎛⎭⎫23＝3×⎝⎛⎭⎫232＋2a ×23－1，解得a ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，则f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －1)，令f ′(x )>0，解得x >1或x <－13；令f ′(x )<0，解得－13<x <1. 所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－13和(1，＋∞)； f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，1. 10．已知函数f (x )＝b e x －1(b ∈R ，e 为自然对数的底数)在点(0，f (0))处的切线经过点(2，－2)．讨论函数F (x )＝f (x )＋ax (a ∈R )的单调性．解：因为f (0)＝b －1，所以过点(0，b －1)，(2，－2)的直线的斜率为k ＝b －1－（－2）0－2＝－b ＋12，而f ′(x )＝－b e x ，由导数的几何意义可知， f ′(0)＝－b ＝－b ＋12，所以b ＝1，所以f (x )＝1e x －1. 则F (x )＝ax ＋1e x －1，F ′(x )＝a －1e x ，当a ≤0时，F ′(x )<0恒成立；当a >0时，由F ′(x )<0，得x <－ln a ，由F ′(x )>0，得x >－ln a .故当a ≤0时，函数F (x )在R 上单调递减；当a >0时，函数F (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．[综合题组练]1．(综合型)设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C ．令F (x )＝f （x ）g （x ），则F ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2<0，所以F (x )在R 上单调递减．又a <x <b ，所以f （a ）g （a ）>f （x ）g （x ）>f （b ）g （b ）.又f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )． 2．函数f (x )的定义域为R .f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析：选B ．由f (x )>2x ＋4，得f (x )－2x －4>0.设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2. 因为f ′(x )>2，所以F ′(x )>0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4>0等价于F (x )>F (－1)，所以x >－1，选B ．3．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．答案：(－3，0)∪(0，＋∞)4．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－（x －1）（x －3）x，由f ′(x )＝0，得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.答案：(0，1)∪(2，3)5．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (1)求b ，c 的值；(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.故b ＝0，c ＝1.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立．则存在x ∈(－2，－1)使－a >－x －2x成立，即－a >⎝⎛⎭⎫－x －2x min. 因为x ∈(－2，－1)，所以－x ∈(1，2)，则－x －2x ≥2（－x ）·⎝⎛⎭⎫－2x ＝22，当且仅当－x ＝－2x，即x ＝－2时等号成立，所以－a >22，则a <－2 2.所以实数a 的取值范围为(－∞，－22)．6．(2020·成都七中检测)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －e ex ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数．(1)讨论f (x )的单调性；(2)证明：当x >1时，g (x )>0.解：(1)由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)证明：令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1.当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )>s (1)，即e x－1>x ，从而g (x )＝1x －e e x ＝e （e x －1－x ）x e x>0.。

2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式教学课件

答案
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.

2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版提优版)：函数的奇偶性、周期性

那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果奇函数 ∀x∈D，都有－x∈D，且_f_(_－__x_)＝__－__f_(x_)_，关于_原__点__对称
那么函数f(x)就叫做奇函数
知识梳理
2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且__f(_x_＋__T_)＝__f_(_x_) _，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_最__小__的正数，那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
√A.f(2 023)＝0 √B.f(x)的值域为[－1,2]
C.f(x)在[4,6]上单调递减
D.f(x)在[－6,6]上有8个零点
f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝f(1)＝0，所以A正确；当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增，所以当x∈[0,2]时，函数的值域为[－1,2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[－1,2]，所以B正确；当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2单调递增，又函数的周期是4，所以f(x)在[4,6]上单调递增，所以C错误；
教材改编题
2.已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝_－__6_.
因为函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.
教材改编题
3.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝ _－__1__.

高考数学一轮复习第二章基本初等函数、导数的应用第2讲函数的定义域与值域课件文

[解析] 要使函数的定义域为 R，则 mx2＋4mx＋3≠0 恒成立． (1)当 m＝0 时，得到不等式 3≠0 恒成立； (2)当 m≠0 时，要使不等式恒成立，
须mΔ>＝0，（4m）2－4×m×3<0，
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或mΔ<＝0，（4m）2－4×m×3<0，
即m>0，
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第三十一页，共四十一页。
已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．
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第三十二页，共四十一页。
若函数 y＝mx2m＋x4－m1x＋3的定义域为 R，则
实数 m 的取值范围是___0_，__34__．
【解析】 (1)要使函数 y＝ 3－2x－x2有意义，则 3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，则函数 y＝ 3－2x－x2的定义域是[－3，1]． (2)要使函数 g(x)＝（f（x－2x1））0有意义，则必须有1x≤－21x≠≤02，，
所以12≤x<1，故函数 g(x)的定义域为12，1.
0≤x＋12≤2， 0≤x－12≤2，
解得12≤x≤32，
所以函数 g(x)的定义域是12，32.
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求函数的值域(高频考点) 求下列函数的值域． (1)y＝x2＋2x(x∈[0，3])； (2)y＝11－＋xx22； (3)y＝x＋4x(x<0)； (4)f(x)＝x－ 1－2x.
或m<0，
解得
m（4m－3）<0 m（4m－3）<0.
所以 1≤f(x)≤10.

2021年高考数学(理)一轮复习讲义第2章 2.7 函数的图象

§2.7函数的图象1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域．(2)化简函数的解析式．(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)．(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )―――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )―――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．概念方法微思考1．函数f (x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f (x)解析式满足什么条件？提示 f (a＋x)＝f (a－x)或f (x)＝f (2a－x)．2．若函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，则f (x)，g(x)的关系是__________．提示g(x)＝2b－f (2a－x)题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( × ) (2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( × )(3)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( × ) (4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( √ ) 题组二教材改编2．函数f (x )＝x ＋1x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称答案 C解析函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，故选C.3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是________．(填序号)答案③解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．4．如图，函数f (x)的图象为折线ACB，则不等式f (x)≥log2(x＋1)的解集是__________．答案(－1,1]解析在同一坐标系内作出y＝f (x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．题组三易错自纠5．函数f (x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()答案 A解析依题意，得函数定义域为R，且f (－x)＝ln(x2＋1)＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，即函数f (x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f (x)过定点(0,0)，排除B，D，故选A. 6．将函数f (x)＝(2x＋1)2的图象向左平移一个单位后，得到的图象的函数解析式为________．答案y＝(2x＋3)2作函数的图象分别作出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解 (1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．函数图象的辨识例1(1)(2019·甘肃、青海、宁夏回族自治区联考)函数f (x)＝(2x＋2－x)ln|x|的图象大致为()答案 B解析∵f (x)定义域为{x|x≠0}，且f (－x)＝(2－x＋2x)ln|－x|＝(2x＋2－x)ln|x|＝f (x)，∴f (x)为偶函数，关于y轴对称，排除D；当x∈(0,1)时，2x＋2－x>0，ln|x|<0，可知f (x)<0，排除A，C.(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f (x)的图象如图所示，则y＝－f (2－x)的图象为()答案 B作关于y轴对称的图象解析y＝f (x)――――――――→向右平移2个单位y＝f (－x)――――――――→作关于x轴对称的图象y＝f (2－x)――――――――→y＝－f (2－x)．选B.思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．跟踪训练1 (1)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1·sin x 的图象的大致形状为( )答案 A解析 ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1·sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1＋e x －1sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x ＝f (x )，且f (x )的定义域为R ，∴函数f (x )为偶函数，故排除C ，D ；当x ＝2时，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e 2－1·sin 2<0，故排除B ，只有A 符合． (2)(2019·贵州七校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1x答案 A解析由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.函数图象的应用命题点1 研究函数的性质例2 (1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 答案 C解析将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图所示，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设y ＝max{2x ,2x －3,6－x }，则y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 C解析画出y ＝max{2x ,2x －3,6－x }的示意图，如图所示．由图可知，y 的最小值为22＝6－2＝4，故选C.命题点2 确定零点个数、解不等式例3 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5解析方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.对本例中函数f (x )，不等式f (x )≤1的解集为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝0或110≤x ≤10 解析由图象可知f (0)＝1，当110≤x ≤10时，f (x )≤1.∴不等式f (x )≤1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝0或110≤x ≤10. 命题点3 求参数的取值范围例4 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，1解析先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.若f (x )>g (x )恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－1，12 解析如图作出函数f (x )的图象，当－1≤k<1时，2直线y＝kx的图象恒在函数y＝f (x)的下方．思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2(1)已知f (x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f (x)|≥g(x)时，h(x)＝|f (x)|；当|f (x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值答案 C解析画出y＝|f (x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f (x)|≥g(x)，故h(x)＝|f (x)|；在A，B之间，|f (x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x)．综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．(2)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是______．答案(－1,0)解析在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)．(3)设函数f (x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f (x)≥g(x)恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案[－1，＋∞)解析如图作出函数f (x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f (x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．x2ln|x|1．函数y＝|x|的图象大致是()答案 D解析从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增．由此可知应选D. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，13log x ，x >1，则函数y ＝f (1－x )的大致图象是( )答案 D解析方法一先画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，13log x ，x >1的草图，令函数f (x )的图象关于y 轴对称，得函数f (－x )的图象，再把所得的函数f (－x )的图象，向右平移1个单位，得到函数y ＝f (1－x )的图象(图略)，故选D.方法二由已知函数f (x )的解析式，得y ＝f (1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x ，x ≥0，13log (1)x －，x <0，故该函数过点(0,3)，排除A ；过点(1,1)，排除B ；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.3．将函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )等于( ) A ．e x ＋1 B ．e x －1 C ．e－x ＋1 D ．e－x －1答案 D解析与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝e －x ，将函数y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度即得y ＝f (x )的图象，∴y ＝f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1. 4．(2019·衡水中学调研卷)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案 C解析 ∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1.∴选C.5．(2019·成都诊断)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 A解析当x >0时，f (x )＝1－2－x >0. 又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )<－12的解集和f (x )>12的解集关于原点对称，由1－2－x >12得2－x <12＝2－1，即x >1，则f (x )<－12的解集是(－∞，－1)．故选A.6．函数f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c >0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0 答案 C解析由f (x )＝ax ＋b(x ＋c )2及图象可知，x ≠－c ，－c >0，则c <0.当x ＝0时，f (0)＝bc 2>0，所以b >0，当y ＝0时，ax ＋b ＝0⇒x ＝－ba >0.所以a <0，选C.7．已知偶函数y ＝f (x )，x ∈R 满足f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x ，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为________．答案 3解析 y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象交点个数，作出两函数图象，如图所示，共有三个交点．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 020x ，x >1，若实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a＋b ＋c 的取值范围是__________．答案 (2,2 021)解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 020x ，x >1的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2 020，所以2<a ＋b ＋c <2 021.9．函数f (x )的定义域为[－1,1]，图象如图1所示，函数g (x )的定义域为[－1,2]，图象如图2所示，若集合A ＝{x |f (g (x ))＝0}，B ＝{x |g (f (x ))＝0}，则A ∩B 中元素的个数为________．答案 3解析由图可知，当f (x )＝0时，x ＝－1，x ＝0，x ＝1，由g (x )＝－1，g (x )＝0，g (x )＝1得，x ＝－1，x ＝0，x ＝1，x ＝2，即A ＝{－1,0,1,2}，当g (x )＝0时，x ＝0，x ＝2，由f (x )＝0，f (x )＝2得，x ＝－1，x ＝0，x ＝1，所以B ＝{－1,0,1}，所以A ∩B ＝{－1,0,1}，所以A ∩B 中有3个元素．10．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个实数根，则k 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫－13，0 解析由题意作出f (x )在[－1,3]上的图象如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象在[－1,3]内有四个交点，故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.11．设a 为实数，且1<x <3，试讨论关于x 的方程x 2－5x ＋3＋a ＝0的实数解的个数．解原方程即a ＝－x 2＋5x －3.作出函数y ＝－x 2＋5x －3＝－⎝⎛⎭⎫x －522＋134(1<x <3)的图象，得当a>134或a≤1时，原方程的实数解的个数为0；当a＝134或1<a≤3时，原方程的实数解的个数为1；当3<a<134时，原方程的实数解的个数为2.综上，a>134或a≤1时有0个解；a＝134或1<a≤3时有1个解；3<a<134时有2个解．12．已知函数f (x)＝2x，x∈R.(1)当实数m取何值时，方程|f (x)－2|＝m有一个解？两个解？(2)若不等式f2(x)＋f (x)－m>0在R上恒成立，求实数m的取值范围．解(1)令F (x)＝|f (x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F (x)的图象如图所示．由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F (x)与G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个实数解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个实数解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．13．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是( )答案 B解析函数f (x －1)的图象向左平移1个单位长度，即可得到函数f (x )的图象；∵函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数， ∴函数f (x －1)的图象关于原点对称，∴函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A ，C ，D ，选B.14．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，1)解析当x ≤0时，f (x )＝2－x －1,0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x －1)＝2－(x －1)－1. 故x >0时，f (x )是周期函数，如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．15．函数y＝f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，其图象上任一点P(x，y)满足x2－y2＝1，则给出以下四个命题：①函数y＝f (x)一定是偶函数；②函数y＝f (x)可能是奇函数；③函数y＝f (x)在(1，＋∞)上单调递增；④若y＝f (x)是偶函数，其值域为(0，＋∞)．其中正确的序号为________．(把所有正确的序号都填上)答案②解析由题意可得，函数y＝f (x)的图象是双曲线x2－y2＝1的一部分．由函数的定义可知，该函数的图象可能是如图所示的四种情况之一．其中，图(1)(4)表示的函数为偶函数，图(2)(3)表示的函数是奇函数，所以命题②正确，命题①错误；由图(2)(4)可知函数y ＝f (x )可以在区间(1，＋∞)上单调递减，故命题③错误；由图(4)可知，该函数的值域也可能为(－∞，0)，所以命题④错误．综上可知，填②.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1，g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数k 的取值范围．解对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min .观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14.因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，74∪⎣⎡⎭⎫94，＋∞.。

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