陕西省安康市石泉县池河镇九年级数学上册24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径教案3(新版)新人教版
人教版九年级数学上册《24.1.2 垂直于弦的直径》 教案
第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标1.理解圆的对称性;掌握垂径定理.2.利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题.二、教学重点及难点重点:垂直于弦的直径所具有的性质以及证明.难点:利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题.三、教学用具多媒体课件,三角板、直尺、圆规。
四、相关资源《赵州桥》图片.五、教学过程【合作探究,形成知识】探究圆的对称性1.学生动手操作问:大家把事先准备好的一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?师生活动:学生动手操作,观察操作结果,可以发现沿着圆的任意一条直径对折,直径两旁的部分能够完全重合,由此可以发现:圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.教师在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性.2.探索得出圆的对称性圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.师生活动:学生总结操作结论,教师强调圆的对称轴是直径所在的直线.3.问:圆有几条对称轴?师生活动:学生回答,教师强调圆有无数条对称轴.4.你能证明这个结论吗?师生活动:四人一小组,小组合作交流,尝试证明.让学生注意要证明圆是轴对称图形,只需证明圆上任意一点关于对称轴的对称点也在圆上.教师板书分析及证明过程.设计意图:在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力,使学生感受圆的对称性,掌握证明轴对称图形的方法.探究垂径定理按下面的步骤做一做,回答问题:第一步,在一张纸上任意画一个⊙O,沿圆周将圆剪下,把这个圆对折,使圆的两半部分重合;第二步,得到一条折痕CD;第三步,在⊙O上任取一点A,过点A作折痕CD的垂线,垂足为点M;第四步,将纸打开,设AM的延长线与圆交于另一点B,如图1.图1 图2问题1在上述操作过程中,你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么?师生活动:学生动手操作,观察操作结果,得出结论,看哪个小组做得又快、又好,记入今天的英雄榜.最后师生共同演示、验证猜想的正确性,从而解决本节课的又一难点——垂径定理的证明,此时再板书垂径定理及其推理的过程.证明:如上图2所示,连接OA,OB,得到等腰△OAB,即OA=OB.因为CD⊥AB,所以△OAM与△OBM都是直角三角形.又因为OM为公共边,所以这两个直角三角形全等.所以AM=BM.又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称,所以A点和B点关于直线CD对称.所以当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,AC与BC重合.因此AM=BM,AC=BC.同 .理可得AD BD垂直于弦的直径的性质:(1)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.问题2 你能用符号语言表达这个结论吗?师生活动:学生尝试将文字转变为符号语言,用数学符号表达定理的逻辑关系.教师更正并板书.符号语言表达:AM MB CD O AC BC CD AB M AD BD=⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩,是圆的直径,,于点⇒ 设计意图:增加学生的兴趣,使学生通过探索发现、思维碰撞,获得对数学知识最深刻的感受,体会成功的乐趣,发展思维能力.【例题应用 提高能力】例1 如图,AB 所在圆的圆心是点O ,过点O 作OC ⊥AB 于点D .若CD =4 m ,弦AB = 16 m ,求此圆的半径.师生活动:学生观察图形,利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件,发现若OC ⊥AB ,则有AD =BD ,且△ADO 是直角三角形.在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程.教师在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳:弦长、半径、拱形高、弦心距(圆心到弦的距离)四个量中,只需要知道两个量,其余两个量就可以求出来.解:设圆的半径为R ,由题意可得OD =R -4,AD =8 m .在Rt △ADO 中,222AO OD AD =+,即222(4)8R R =-+.解得R =10(m ).答:此圆的半径是10 m .设计意图:增加一道引例,是基础应用题,为课本例题的实际应用作铺垫,有过渡作用,不但让学生掌握了知识,又增加了学习数学的兴趣,更体会到成功的喜悦.例2如图,赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1 400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).【教学图片】《二次函数》图片6赵州桥的图片,用于教学过程。
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思第24章24.1.2 垂直于弦的直径
24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论,会运用垂径定理等结论解决一些有关证明,计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程(一)导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(出示课件2)(二)探索新知探究一圆的轴对称性教师问:把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?(出示课件4)学生通过自己动手操作,归纳出结论:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.出示课件5:教师问:圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?学生答:圆是轴对称图形,任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考:如何来证明圆是轴对称图形呢?出示课件6:已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB,垂足为E.教师问:此图是轴对称图形吗?学生答:是轴对称图形.教师问:满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢?师生共同解答如下:(出示课件7)证明:连结OA、OB.则OA=OB.又∵CD⊥AB,∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点,在圆上都有关于直线CD的对称点,即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8:如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答:线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由:把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,点A 与点B重合,AE与BE重合,重合.教师总结归纳:(出示课件9)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式:∵CD是直径,CD⊥AB,∴AE=BE, AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调:垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想:下列图形是否具备垂径定理的条件?如果不是,请说明为什么?(出示课件10)学生独立思考后口答:1图是;2图不是,因为没有垂直;3图是;4图不是,因为CD没有过圆心.教师强调:垂径定理的几个基本图形:(出示课件11)出示课件12:如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧)结论与题设交换一条,命题是真命题吗?①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗?学生思考后教师总结:深化认知:(出示课件13)如图,①CD是直径;②CD⊥AB,垂足为E;③AE=BE;④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决,并加以交流,教师加以指导,并举例.(出示课件14)如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使AE=BE.(1)CD⊥AB吗?为什么?⑵AC⌒与BC⌒相等吗?AD⌒与BD⌒相等吗?为什么?证明:⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE,OE=OE∴△AOE≌△BOE(SSS),∴∠AEO=∠BEO=90°,∴CD⊥AB.(2)由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结:(出示课件15)垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考:“不是直径”这个条件能去掉吗?如不能,请举出反例.教师强调:圆的两条直径是互相平分的.出示课件16:例1 如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答:连接OA,∵OE⊥AB,巩固练习:(出示课件17)如图,⊙O的弦AB=8cm,直径CE⊥AB于D,DC=2cm,求半径OC的长.学生自主思考后,独立解答如下:解:连接OA,∵CE⊥AB于D,,∴设OC=xcm,则OD=x-2,根据勾股定理,得x2=42+(x-2)2,∴22221068AE OA OE=-=-=cm.1184(cm)22AD AB==⨯=解得x=5,即半径OC的长为5cm.出示课件18:例2 已知:⊙O中弦AB∥CD,求证:学生思考后师生共同解答.证明:作直径MN⊥AB.∵AB∥CD,∴MN⊥CD.则(垂直于弦的直径平分弦所对的弧)教师强调:平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结:(出示课件19)解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的弦心距(垂线段),或作垂直于弦的直径,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件.巩固练习:(出示课件20)如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证: 四边形ADOE是正方形.学生独立解答,一生板演.证明:∵OE⊥AC,OD⊥AB,AB⊥AC,∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形,AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21:例3 根据刚刚所学,你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意,先把实际问题转化为数学问题,然后画出图形进行解答.解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D,与弧AB交于点C,则D是AB的中点,C 是弧AB的中点,CD就是拱高.∴AB=37m,CD=7.23m.AB=18.5m,OD=OC-CD=R-7.23.∴AD=12OA2=AD2+OD2,R2=18.52+(R-7.23)2,解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:(出示课件23)如图a、b,一弓形弦长为,弓形所在的圆的半径为7cm,则弓形的高为_______.学生独立思考后解答:如图,分两种情况,弓形的高为5cm或12cm.教师归纳:1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法(出示课件24)在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d(圆心到弦的距离),弓形高h的计算题时,常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形,利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a,弦心距d,弓形高h,半径r之间有以下关系:⑴d+h=r;⑵2 222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(三)课堂练习(出示课件25-29)1.2.已知⊙O中,弦AB=8cm,圆心到AB的距离为3cm,则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .4.(分类讨论题)已知⊙O的半径为10cm,弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.你认为AC和BD有什么关系?为什么?6.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案:1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.证明:过O作OE⊥AB,垂足为E,则AE=BE,CE=DE.∴AE-CE=BE-DE.即AC=BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=,根据勾股定理,得222,OC CF OF =+ ()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.(四)课堂小结通过这节课的学习,你有哪些收获和体会?(五)课前预习预习下节课(24.1.3)的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始,引入课题从实验入手,得到圆的轴对称性,进而推出垂径定理及推论.教学设计中,从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般,层层递进,以利于提高学生的数学思维能力,同时,注意加强对学生的启发和引导,培养学生们大胆猜想,小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合,将圆的问题转化为直角三角形,常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。
陕西省石泉县九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径教案(新版)新人教版
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a 半径 r、弦心距 d、弦长 a 的一半之间的关系式: r 2 d 2 2
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通过该问题引起 学生思考, 进行探 究,发现垂径定 理, 初步感知培养 学生的分析能力, 解题能力
为继续探究其推论 奠定基础
(学生审题,尝试自己画图,理清题中的数量关系,并思考解决方法, 由本节课知识想到作辅助线办法) 三、课堂训练 体会转化思想,化 课本 83 页练习 (教师组织学生进行练习,教师巡回检查,集体交流评价) 四、课堂小结 1. 垂径定理和推论及它们的应用 未知为已知,从而 解决本题,同时把 握一类题型的解题 方法,作辅助线方
设计意图
通过学生亲自动 手操作发现圆的 对称性, 为后续探 究打下基础
通过问题引导学 生探究, 发现圆的 集合定义, 初步感 知圆
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对的优弧,平分弦所对的劣弧. (学生观察图形, 结合圆的对称性和相关知识进行思考, 尝试得出垂 径定理,并从不同角度加以解释.再进行严格的几何证明.) 垂径定理推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (教师引导学生类比定理独立用类似的方法进行探究,得到推论) 思考:1.这条推论是由哪几个已知条件得到哪几条结论? 2.为什么要求“弦不是直径”?否则会出现什么情况? 垂径定理的进一步推广 思考: 类似推论的结论还有吗?若有, 有几个?分别用语言叙述出来. 归纳:只要已知一条直线满足“垂直于弦、过圆心、平分弦、平分弦 所对的优弧,平分弦所对的劣弧.”中的两个条件,就可以得到另外 三个结论. (三) 、垂径定理、推论的应用 完成课本赵州桥问题 分析:1.根据桥的实物图画出的几何图形应是怎样的? 2.结合所画图形思考:圆的半径 r、弦心距 d、弦长 a,弓形高 h 有怎样的数量关系? 3.在圆中解决有关弦的问题时,常常需要作垂直于弦的直径, 作为辅助线,这样就可以把垂径定理和勾股定理结合起来,得到圆的
九年级数学上册 第24章 圆 24.1 圆的有关性质(第2课时)垂直于弦的直径
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• 学习重点: 垂径定理及其推论.
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【知识链接,复习(fùxí)准备】
1.在下图中,弦有__________________;
直径(zhíjìng)是_______,半径是__________; 其中,弦AB所对的弧是_____________; 在图中作出
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拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m,求赵州桥主桥 拱的半径(精确到 0.1 m).
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【典例精析,经典(jīngdiǎn)同行】
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【反思(fǎn sī)总结 ,归纳方法】
内容: 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两
_________
变式2:已知⊙O的半径为5cm,圆心 O到AB的距离为3cm,则弦AB的长为
______cm.
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【利用(lìyòng)新知,解决问题】
学案(xuéàn)题组一第4题
4.如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直(chuízhí)且相等的
两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边 形 ADOE是正方形.
学案(xuéàn)题组一第5 题
5.如图,已知在两同心圆⊙O 中,大圆(dàyuán)弦 AB 交小圆 于 C,D,则 AC 与 BD 间可能存在什么关系?
A C DB O
数学九年级上人教新课标24.1.2垂直于弦的直径说课稿.
数学九年级上人教新课标24.1.2垂直于弦的直径说课稿《垂直于弦的直径》说课稿各位老师,今天我说课的内容是:新人教版九年级第二十四章<<圆>>24.1.2垂直于弦的直径。
下面,我从教材分析、目的分析、教学方法与教材处理、学法指导、教学程序、板书设计及设计特色七个方面对本课的设计进行说明。
一、教材分析:本节内容是前面圆的性质的重要体现,是圆的轴对称性的具体化,也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据,同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据,所以它在教材中处于非常重要的位置。
另外,本节课通过“实验--观察--猜想——合作交流——证明”的途径,进一步培养学生的动手能力,观察能力,分析、联想能力、与人合作交流的能力,同时利用圆的轴对称性,可以对学生进行数学美的教育。
因此,这节课无论从知识上,还是在从学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。
通过分析,我们看到“垂径定理”在教材中起着重要的作用,是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据,它有广泛的应用,因此,本节课的教学重点是:垂径定理及其应用。
由于垂径定理的题设与结论比较复杂,很容易混淆遗漏,所以,对垂径定理的题设与结论区分是难点之一,同时,对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到,是本节的又一难点。
因此,本节课的难点是:对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。
而理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。
二、目的分析:新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上。
新数学课程数理念下的数学教学不仅是知识的教学,技能的训练,更应重视能力的培养及情感的教育,因此根据本节课教材的地位和作用,结合我所教学生的特点,我确定本节课的教学目标如下:知识与技能:使学生理解圆的轴对称性;掌握垂径定理;学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
过程与方法:教师播放动画、创设情境,激发学生的求知欲望;学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流,收获新知;通过分组训练、深化新知,共同感受收获的喜悦。
陕西省安康市石泉县池河镇九年级数学上册 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系教案
24.2.2 直线和圆的位置关系探索并证明切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。
课标依据知识与 技能知道三角形内切圆、内心的概念,理解切线长定理,并会用其解决有关问题;经历探究切线长定理的过程, 体会应用内切圆相关知识解决问题, 渗透转化思 教学 目标 过程与 想. 方法 情感态 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步演绎 度与价 推理能力.能有条理地,清晰地写出推理过程. 值观 教学重 教学 重点 难点 教学难 点 切线长定理的推 导和运用 点 切线长定理及其应用.教法学法自主探索、合作交流 、启发引导。
师生活动 一、复习引入 教学 过程 设计 二、探究新知 (一)切线长定理 1.操作探究:从上面的复习,可知,过⊙O 上任一点 A 都可以作圆的 1/5 回忆切线的判定定理和性质定理? 这节课我们继续来研究切线.设计意图一条切线,且只能作一条,根据下面提出的问题,操作、思考、并解 决问题:在纸上画⊙O,并画出过圆上点 A 的切线 PA,•连结 PO,• 沿着直线 PO 将纸对折,设与点 A 重合的点为 B,这时,OB 是⊙O 的 一条半径吗?PB 是⊙O 的切线吗?利用圆的轴对称性, 思考图中的线 段 PA 与线段 PB,∠APO 与∠BPO 有什么数量关系? 分析:对折之后,OB 与 OA 重合,OA 是半径,OB 也是半径. B 为 OB• 的外端,根据对折后角的度数不变,所以 PB 是⊙O 的又一条切线, 且 PA=PB,∠APO=∠BPO. (学生独立按要求画图,操作,思考、并尝试解决问题,之后学生分 组讨论,老师请 3~4 位同学回答这个问题 ,师生达成共识.) 结合图形理解概 我们把线段 PA 或 PB 的长,即经过圆外一点作圆的切线,这点 和 切点之间的线段的长,•叫做这点到圆的切线长. (学生理解点到圆的切线长概念,初步感知圆的切线长定理.) 从上面的操作及圆的对称性可得: 从圆外一点可以引圆的两条切线, 它们 线长相等, 这点和圆心的连线平分两条 的夹角. 2.几何证明. 如图,已知 PA、PB 是⊙O 的两条 切线. 求证:PA=PB,∠OPA=∠OPB. 分析:据所要证明的结论在图中分布的位置特点和已知条件,易得只 要证明两个对应的三角形全等即可. 得到 切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等, 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. (学生观察图形,思考证明思路,书写规范的证明步骤,教师及时点 拨,肯定.) 学生运用全等知 识进行几何推理 证明, 体会数学结 论的严谨性, 培养 学生应用数学的 意识和能力 的 切 切 线 念 学生通过画图, 折 叠,观察获得结 论, 初步感知定理(二)三角形的内切圆2/5如图,三角 形的三条角平分线交于一点,设交点为 I,那么 I 到 AB、 AC、BC 的距离相等,因此以点 I 为圆心,点 I 到 BC 的距离 I D 为半 径作圆,则⊙I 与△ABC 的三条边都相切. 与三角形各边都相切的 圆叫做三角形的内切圆,•内切圆的圆心 是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.从旧知识出发, 呼应 引课问题, 自然引出 (引导学生将“三角形的三条角平分线交于一点,这点与三边距离相 等”和“圆心与圆上各点距离都等于半径”结合,理解三角形的内切 圆的概念.) 三、例题讲解 课本 100 页例 2 (学生审题, 思考利用切线长定理求出三角形三边的长度, 从题中条 件“ABC 的面积为 6 ”出发, 作辅助线,再以面积为等量关系,建立 以 r 为未知数的方程) 四、课堂训练 完成课本 100 页练习 五、小结归纳 1.圆的切线长概念和定理; 2.三角形的内切圆及内心的概念 六、作业 必做:教科书第 101 页 第 6、11 题. 选做:P103 页第 14 题。
推荐K12陕西省安康市石泉县池河镇九年级数学上册24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系教案2
K12 教育资料(小初高学习)
(三)巩固新知,形成技能 1.判断下列说法是否正确 (1)任意的一 个三角形一定有一个外接圆( (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( (3)经过三点一定可以确定一个圆( ) ) ). )
分析为题的能 力,巩的距离相等( 2.课本练习题
K12 教育资料(小初高学习)
24.2.1 点和圆的位置关系
课标依据 了解点与圆的位置关系;了解三角形的外心及性质。
1.探索并掌握点与圆的三种位置关系,以及这三种位置关系对应的圆 的半径与点到圆心的距离之间的关系。 知识与 2.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点做圆,掌握不在同 技能 一直线上三点确定一个圆的方法。 教学 目标 过程与 方法 情感态 通过本节课的学习,渗透数形结合的思想和运动变化的观点教育,发 度与价 展用数学知识解决实际问题的能力,激发学生学习数学的积极性。 值观 用数量关系判断点与圆的位置关系 教学 教学 重点 难点 教学 难点 教学 师生活动 设计意图 用 数量关系判断点和圆的位置关系 重点 3.了解三角形外接圆和三角形外心的概念,掌握三角形外心的性质。 经历探索点与圆的位置关系过程,体会数学中分类思考问题的数学思 想。
检查学生 对本节课所学 知识的掌握程 度,感受用数 学知识解决实 际问题乐趣。
(学 生独立完成后同桌互评,最后教师 ppt 演示) (四)回顾反思,深化提高 (利用提问、解说形式,师生共同进行小结) (五)布置作业 1.《学案》 “达标检测”C、D 挡做 1----7 题;A、B 挡做 1----8 题 2.课后探究课本 10 2 页第 8 题
K12 教育资料(小初高学习)3
检验学生 建立旋转的概念、 独立自主学效 果,引导学生 归纳总结出点 与圆的位置关 以及相应的数 量关系 2. 问题:如何解决“破镜重圆”的问题: 激发学生 3. 探索:我们知道圆上有无数个点,那么多少个点就可以确定 好奇心,产生 一个圆呢? 探究问题的欲 ①过一个点可以做出多少个圆? 望,合作寻找 ②过两个点能做多少个圆?圆心在哪? 解 决问题的 ③过同一平面内三个点的情况会怎样呢? 方法,锻炼学 (探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点做圆) 生的实践能 总结:三角形外接圆和三角形外心的概念,三角形外心的性质。 力,培养学生 4. 解决“破镜重圆”问题
陕西省安康市石泉县池河镇九年级数学上册24.1圆的有关性质24.1.3弧、弦、圆心角课件2(新版)新
练习
1、如图,AB是⊙O 的直径, BC = CD = DE ∠COD=35°,求∠AOE 的度数.
解:
E
D
∵ BC = CD = DE
C
BOC=COD=DOE=35
A
·
O
B AOE 180 335
75
练习
2、如图,AD=BC, 比较A⌒B与C⌒D的长度,并证明你的结 论。
练习
3、如图,BC为⊙O的直径,OA是⊙O的半径, 弦BE∥OA,求证:AC⌒=A⌒E
A
E
B
O·
D
F C
例题
例1 如图,在⊙O中, A⌒B=A⌒C ,∠ACB=60°,
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC
A
证明:
∵ AB = AC
∴ AB=AC.⊿ABC是等腰三角形
B
又∠ACB=60°,
∴ ⊿ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
·O 60° C
ห้องสมุดไป่ตู้
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
24.1.3 弧、弦、圆心角
知识回顾
圆的对称性:
1、圆是轴对称图形
垂径定理及其推论
2、圆也是中心对称图形.
3、圆无论绕圆心旋转多少度,它都能与自身重合。
(圆的旋转不变性)
?
·
概念
圆心角:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A
O· B
O
A
D
B
练一练:找出右上图
中的圆心角。
圆心角有:
∠AOD,∠BOD,∠AOB
探究一
如图,在⊙O中,将圆心角∠AOB绕圆心O旋
转到∠A’OB’的位置,你能发现哪些等量关系?
陕西省石泉县后柳中学九年级数学上册教案:24.1.2垂径定理
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠和测量,学生可以直观地感受垂径定理的基本原理。
五、教学反思
在今天的课堂中,我们学习了垂径定理这一重要的几何知识点。回顾整个教学过程,我觉得有几个方面值得反思和总结。
首先,从学生的反馈来看,他们对垂径定理的基本概念和应用有了初步的认识。通过导入新课环节的问题引导,激发了学生的好奇心和求知欲。但在讲授过程中,我发现部分学生对定理的理解还不够深入,特别是在涉及到定理证明的部分。因此,在今后的教学中,我需要更加注重学生对定理本质的理解,而不仅仅是应用。
5.培养学生的合作交流意识:在小组讨论和问题解决过程中,鼓励学生相互交流、协作,提升合作解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-本节课的核心内容是垂径定理及其应用。以下是教学过程中的重点:
-垂径定理的定义:通过直线垂直于圆的弦,且平分弦,同时平分弦所对的两条弧。
-垂径定理的图形特征:识别圆中垂直于弦的直径或线段,并能够画出对应的图形。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解垂径定理的基本概念。垂径定理是指在圆中,通过一条直线垂直于弦,则该直线将弦平分,并且平分弦所对的两条弧。这个定理在解决与圆相关的几何问题中具有重要意义。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用垂径定理求出圆中弦的长度,以及它如何帮助我们解决实际问题。
陕西省安康市石泉县池河镇九年级数学上册 24.1.2 垂直
⑶如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形ADOE是正方形。
⑷弓形的弦长为16cm,弓形的高为4cm,则这弓形所在的圆的半径为。
⑸已知P为圆内一点,且OP=2cm,如果 圆的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于。
24.1.2垂直于弦的直径
一、教材分析
本节教学内容是新人教版九年级(上)第二十四章第一节圆的第二课时.本节教材是在学生学习了有关轴对称和中心对称性质之后对垂直 于弦的直径和这弦的关系的学习,研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系.垂径定理的推证是以轴对称图形的性质和圆是轴对称图形的性质为依据的.本节内容是本章基础,是圆的有关计算和圆的有关证明一个重要工具.本节课的学习也为下节课奠定基础.
六、练习及检测题
⑴判断:
①平分弧的直径必平分弧所对的弦。
②平分弦的直线必垂直弦。
③垂直于弦的直径平分这条弦。
④平分弦的直径垂直于这条弦。
⑤弦的垂直平分线是圆的直径。
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦。
⑦在圆中,如果一条直线经过圆心且平分弦,必平分此弦所对的弧。
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线,将弦所对的两条弧分别三等分。
线段:AE=BE
弧:
得垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 。
4.得垂径定理推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧。
5.利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题
6.练习:
7.小 结
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
陕西省石泉县池河中学人教版九年级数学上册教学课件:第24章圆小结与复习(共15张PPT)
五、 圆中的计算问题 1. 圆内接正多边形的计算
(1)正n边形的中心角为 360 n
(2)正n边形的边长a,半径R,边心距r之间的关系
R2 r2 (a)2. 2
(3)边长a,边心距r的正n边形的面积为
S 1 nar 1 lr. 其中l为正n边形的周长. 22
2.弧长公式
n R
半径为R的圆中,n°圆心角所对的弧长l=__1_8_0____.
E
C
D
七、例与练: 课本复习题1.(1)---(3)、3、9题;
八、作业 必做: 复习题 24 第 2,4 ,10题. 选作: 15题。
第24章 圆
小结与复习
一、知识梳理
1.圆是如何定义的? 2.同圆或等圆中的弧、弦、圆心角有什么关系?垂直 于弦的直径有什么性质?一条弧所对的圆周角和它所对 的圆心角有什么关系? 3.点和圆有怎样的位置关系?直线和圆呢?圆和圆呢? 怎样判断这些位置关系? 4.圆的切线有什么性质?如何判断一条直线是圆的切 线? 5.正多边形和圆有什么关系? 6.如何计算弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积?
3.扇形面积公式 半径为R,圆心角为n°的扇形面积S= n_3_6R_02__或__12__lR___. 4.弓形面积公式
O
O
弓形的面积 = 扇形的面积±三角形的面积
5. 圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图:
l h
r
l
侧面
底面
2πr
(1)圆锥的侧面展开图是一个 扇形 . (2)如果圆锥母线长为l,底面圆的半径为r,那么这
二、知识体系
圆的概念
圆是中心对称图形
圆的对称性 圆是轴对称图形,任意一 条直径所在直线都是它的
圆的性质
陕西省安康市石泉县池河镇九年级数学上册24.1圆的有关性质24.1.4圆周角(2)教案(新版)新人教
课标依据探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,了解并证明圆周角定理及其推论:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半;直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;圆内接四边形的对角互补。
教学目标知识与技能1.了解圆内接多边形的有关概念;2.掌握圆内接四边形的性质,并能进一步运用圆周角定理及其推论解决有关问题。
过程与方法经历圆周角定理的实际应用,发现圆内接四边形的对角互补的性质,进一步发展合情推理和演绎推理能力。
情感态度与价值观树立运动变化和对立统一的辩证唯物主义观点, 培养团结协作精神,增强学好数学的信心。
教学重点难点教学重点圆内接四边形的性质的理解及应用。
教学难点圆周角定理及其推论的灵活应用。
教学师生活动设计意图过程设计一、复习引入1.什么叫圆周角?2.圆周角定理及其推论是什么?二、探索新知1.自学课本87、88页,注意理解概念及性质:回答:什么是圆内接多边形?什么叫多边形的外接圆?圆内接四边形的性质是什么?圆内接多边形的相关概念:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。
2.探索圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补。
(学生带着问题自学课本,同伴交流后,教师提问,师生共同评价)三、例题示范例求证:圆内接平行四边形是矩形.四、当堂训练1、完成课本88页,练习3、5。
2.《学案》(学生进行练习,教师巡回检查,集体交流评价,教师指导学生写出解答过程,体会方法,总结规律.)五、课堂小结1、定理:圆的内接四边形的对角互补。
2、利用圆周角定理解题应注意哪些问题?六、课后作业P90习题24.1:第13题、第14题学案:自主预习深化理解定义,掌握性质。
通过练习进一步理解,培养学生的应用意识和能力。
陕西省安康市石泉县池河镇九年级数学上册24.1圆的有关性质24.1.4圆周角(2)教案(新版)新人教版。
九年级数学上册24.1圆的有关性质24.1.2垂直于弦的直径教案1新人教版(2021年整理)
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24。
1。
2 垂直于弦的直径课标依据探索并证明垂径定理教学目标知识与技能探索并证明垂径定理;能初步应用垂径定理进行计算和证明。
过程与方法经历实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等数学活动,增强逻辑思维能力和识图能力,感悟类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法。
情感态度与价值观渗透数学来源于实践和事物之间相互统一、相互转化的辩证唯物主义观点,体会几何图形所蕴涵的对称美。
教学重点难点教学重点垂径定理及其应用教学难点对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明教学师生活动设计意图过程设计(一)情景引入问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。
它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37。
4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7。
2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(用课件向学生展示现实生活赵州桥问题,揭示本节的研究课题)(二)探索新知活动一:用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?你能证明它吗?可以发现:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
陕西省安康市石泉县池河镇九年级数学上册 24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角课件1 (新版)新人教版.ppt
2
2
Q AOB 2BOC
ACB= 1 AOB BOC 2
即 ACB=2BAC
圆周角(1)
知识回顾:
1、什么是圆心角?
答:顶点在圆心的角是圆心角. 2、圆心角、弦、弧之间有什么内在联 系? 答:在同圆或等圆中,相等的圆心角 所圆上 ,并且两边都与圆 相交 的 角叫做圆周角.
2、圆周角定义的两个特征:
(1)顶点都在 圆上 ;(2)两边都与圆相交 .
2
圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的 一半 .
几何语言: ∵∠AOB是 »AB 所对的圆心角,
∠ACB是 »AB 所对的圆周角 ∴∠ACB= 1 ∠AOB
2
证明圆周角定理:
在⊙O任取一个圆周角∠BAC,则圆心O 在圆周角的位置,会出现三种情况:
图1
图2
图3
证明圆周角定理
①在圆周角的一条边上(如图1)圆心O 在∠BAC的一条边上. ∵OA=OC ∴ A C . ∵∠BOC=∠A+∠C
判断下列图形,指出哪个是圆周角,并说明 理由.
答:第三个是圆周角.因为它的顶点在圆 上,并且两边都与圆相交.
圆周角定理
思考 如图,»AB 所对的圆周角 是ACB ,»AB 所对的圆心角是AOB.
用量角器度量它们的度数,发现它们 有什么关系?在⊙O上任取一条弧, 做出这条弧所对的圆周角和圆心角, 有答同:样A的CB结论1 吗A?OB. 有
圆心O在∠BAC的外部.
∵∠由 DA①C=可12 知D:O,C
∠BAD=
1 2
DO.B
∴∠DAC-∠BAD=
1 2
(DOC
.DOB)
图3
∴∠BAC=
1 BOC 2
推荐K12学习陕西省安康市石泉县池河镇九年级数学上册24.2点和圆直线和圆的位置关系24.2.1点和
24.2.1点和圆的位置关系探索不在同一直线上的三点确定一个圆的问题,用数量关系判断点与圆的位置关系;不在同一直线上的三点确定一个圆。
判断点与圆的位置关系。
过程设计一.回顾旧知:1.圆的两种定义是什么?2.你能至少举例两个说明圆是如何形成的?3.圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何?4.如果在圆外有一点呢?圆内呢?请你画图想一想.学生口答问题,指导学生动手画图。
二.情境导入新课:三.探究新知1.由上面的画图以及所学知识,可知:设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d 因此,我们可以得到:点P在圆外<=>d>r;点P在圆上<=>d=r;点P在圆内<=>d<r。
学生通过实际操作画图,观察得出结论。
问1:⊙O的半径10cm,A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm,则点A、B、C与⊙O的位置关系是:点A在(),点B在(),点C在()。
问2:已知矩形ABCD的边AB=3厘米,AD=4厘米(1)以点A为圆心,3厘米为半径作圆A,则点B、C、D与圆A的位置关系如何?(2)以点A为圆心,4厘米为半径作圆A,则点B、C、D与圆A的位置关系如何?(3)以点A为圆心,5厘米为半径作圆A,则点B、C、D与圆A的位置关系如何?问3:在⊙O中,点M到⊙O的最小距离为3,最大距离是19,那么⊙O的半径为()2.巩固练习P101页第1题为新知识的学习作好铺垫。
通过对新知识形成过程,进一步强化对分类和化归思想的认识。
尝试理论指导实践,体验成功。
布置作业:。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
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- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
通过该问题引起
思考:1.这条推论是由哪几个已知条件得到哪几条结论?
学生思考,进行探
2.为什么要求“弦不是 直径”?否则会出现什么情况?
究,发现垂径定
垂径定理的进一步推广
理,初步感知培养
思考:类似推论的结论还有吗?若有,有几个?分别用语言叙述出来. 学生的分析能力,
归纳:只要已知一条直线满足“垂直于弦、过圆心、平分弦、平分弦 解题能力
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
即:直径 CD 垂直于弦 AB 则 CD 平分弦 AB,并且平分弦 AB 所对的两
条弧.
推理验证:可以连结 OA、•OB,证其与 AE、BE 构成的两个全等三角 形,进一步得到不同的等量关系. 分析:垂径定理是由哪几个已知条件得到哪几条结论? 即一条直线若满足过圆心、垂直于弦、则可以推出平分弦、平分弦所
通过问题引导学 生探究,发现圆的 集合定义,初步感 知圆
对的优弧,平分弦所对的劣弧.
(学生观察 图形,结合圆的对称性和相关知识进行思考,尝试得出
垂径定理,并从不同角度加以解释.再进行严格的几何证明.)
垂径定理推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(教师引导学生 类比定理独立用类似的方法进行探究,得到推论)
1.(赵州桥简介、图片) 2. 直径是圆中特殊的弦,研究直径是研究圆的重要突破口,这节课 我们就从对直径的研究开始来研究圆的性质. 二、探究新知
(一)圆的对称性
沿着圆的任意一条直径所在直线对折,重复做几次,看看你能 发
设计意图
1
现什么结论?
得到:把圆沿着它的任意一条直径所在直线对折,直径两旁的两个半
所对的优弧,平分弦所对的劣弧.”中的两个条件,就可以得到另 外
2
三个结论.
(三)、垂径定理、推论的应用 完成课本赵州桥问题 分析:1.根据桥的实物图画出的几何图形应是怎样的?
为继续探究其推论 奠定基础
2.结合所画图形思考:圆的半径 r、弦心距 d、弦长 a,弓形高
h 有怎样的数量关系?
3.在圆中解决有关弦的问题时,常常需要作垂直于弦的直径,
方法 识图能力.
情感态 1.通过实际问题转化为数学问题,培养学生勇于探索,锲而不舍的精神。
度与价 2.通过对赵州桥的介绍,培养学生的自豪 感。
值观
教学 重点 难点
教学重 点
教学难 点
垂径定理及其推论. 垂径定理及其推论的应用.
教法学法
操作、讲解、自学、练习、合作交流。
师生活动
一、情境引入:
教学 过程 设计
课标依据
24.1.2 垂直于弦的直径
探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
理解圆的轴对称性,会运用垂径定理解决有关的 证明、计算和作图问题; 知 识与
技能
教学 目标
经历对垂径定理的探究过程,感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和 过程与 方法,在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理的过程中发展逻辑思维能力和
作为辅助线,这样就可以把垂径定理和勾股定理结合起来,得到圆的
半径
r、弦心距
d、弦长
பைடு நூலகம்
a
的一半之间的关系式:
r2
d
2
a
2
2
(学生审题,尝试自己画图,理清题中的数量关系,并思考解决方法,
由本节课知识想到作辅助线办法)
三、课堂训练
课本 83 页练习 (教师组织学生进行练习,教师巡回检查,集体交流评价)
体会转化思想 ,化 未知为已知,从而
四、课堂小结
解决本题,同时把
1. 垂径定理和推论及它们的应用
握一类题型的解题
2. 垂径定理和勾股定理相结合,将圆的问题转化为直角三角形问题. 方法,作辅助线方
3.圆中常作辅助线:半径、过圆心的弦的垂线段
法.
五、检测
《学案》P76 页巩固练习:1--- 4 题。
六、作业
圆就会重合在一起,因此,圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直
线都是圆的对称轴. (学生用纸剪一个圆,按教师要求操作,观察,思考,交流,尝 试 通过学生亲自动
发现结论).
手操作发现圆的
对称性,为后续探
(二)、垂径定理
究打下基础
完成课本思考
分析:1.如何说明图 24 .1-7 是轴对称图形?
2.你能用不同方法说明图中的线段相等,弧相等吗?
C 组:教科书 P83 第 1 题 B 组:教科书 P83 第 2 题.
A 组:P89 第 8 题 绩优学案 77~79 页按 ABC 组分别做自己的题
让学生通过练习 进一步理解概念, 培养学生的应用 意识和能力
3
4