考点13 三角函数定义——2021年高考数学专题复习真题附解析

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高考三角函数专题(含答案)

高考专题复习三角函数专题模块一——选择题一、选择题： (将正确答案的代号填在题后的括号内． )π5π1．(2021天·津)以下图是函数 y ＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间－6，6上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将 y ＝sinx(x∈R)的图象上所有的点 ( )π1A ．向左平移3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变π2倍，纵坐标不变B ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3π1C ．向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短2，纵坐标不变到原来的π2倍，纵坐标不变D ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的6y ＝Asin(ωx＋φ)中A ＝1，2ππ π解析：观察图象可知，函数 ω＝π，故ω＝2，ω×－6＋φ＝0，得φ＝ 3，所以函数y ＝sin 2x ＋，故只要把y ＝sinx 的图象向左平移π1即个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的2可．答案：A2．(2021全·国Ⅱ)为了得到函数 y ＝sin2x －π的图象，只需把函数y ＝sin2x ＋π的图象()36πB ．向右平移A ．向左平移个长度单位个长度单位44πD ．向右平移C ．向左平移2个长度单位2个长度单位解析：由y＝sin2x＋πx→x＋φ＝sin2x－πππ――→y＝sin2(x＋φ)，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－6634π即向右平移4个长度单位．应选B. 答案：B3．(2021重·庆)函数y＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π的局部图象如下图，那么()2πB．ω＝1，φ＝－πππA．ω＝1，φ＝66C．ω＝2，φ＝6D．ω＝2，φ＝－6解析：依题意得T＝2π7ππππ2πππω＝412－3＝π，ω＝2，sin2×3＋φ＝1.又|φ|<2，所以3＋φ＝2，φ＝－6，选D.答案：D4．函数 y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如下图，那么ω＝( )11A．1B．2 C.2D.32π解析：由函数的图象可知该函数的周期为π，所以 ω＝π，解得ω＝2.答案：Bπ()5．函数y ＝sinx －12cosx －12，那么以下判断正确的选项是A ．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是π，012B ．此函数的最小正周期为 π，其图象的一个对称中心是π，012C ．此函数的最小正周期为 2π，其图象的一个对称中心是π，6D ．此函数的最小正周期为 π，其图象的一个对称中心是π，6ππ1π解析：∵y＝sinx －12·cosx－12＝2sin2x －6，∴T＝2ππ2＝π，且当x ＝12时，y＝0.答案：Bπa 的值为()6．如果函数y ＝sin2x ＋acos2x 的图象关于直线对称，那么实数 x ＝－8A.2B ．－2C．1D．－1π分析：函数f(x)在x ＝－时取得最值；或考虑有8ππf－＋x＝f－－x对一切x∈R恒成立．88解析：解法一：设f(x)＝sin2x＋acos2x，因为函数的图象关于直线x＝－πππ8对称，所以f－8＋x＝f－8－x对一切实数x都成立，即sin2ππ－＋x＋acos2－＋x＝sin2ππ－－x＋acos2－－xππsin－4＋2x＋sin4＋2xππ＝acos4＋2x－cos－4＋2x，ππ∴2sin2x·cos4＝－2asin2x·sin4，即(a＋1)sin2x·＝0对一切实数x恒成立，而sin2x不能恒为，∴a＋1＝0，即a＝－1，应选D.π解法二：∵f(x)＝sin2x＋acos2x关于直线x＝－8对称．ππ∴有f－＋x＝f－－x对一切x∈R恒成立．88π特别，对于x＝8应该成立．π将x＝8代入上式，得f(0)＝f－，ππ∴sin0＋acos0＝sin－2＋acos－2∴0＋a＝－1＋a×0.∴a＝－1.应选D.解法三：y＝sin2x＋acos2x＝1＋a2sin(2x＋φ)，其中角φ的终边经过点(1，a)．其图象的对称轴方程π2x＋φ＝kπ＋2(k∈Z)，kππφx＝2＋4－2(k∈Z)．kππφπ令2＋4－2＝－8(k∈Z)．3π得φ＝kπ＋4(k∈Z)．π但角φ的终边经过点(1，a)，故k为奇数，角φ的终边与－2角的终边相同，∴a＝－1.解法四：y＝sin2x＋acos2x＝21＋asin(2x＋φ)，其中角φ满足tanφ＝a.因为f(x)的对称轴为πy＝－8，π∴当x＝－8时函数y＝f(x)有最大值或最小值，所以1＋a2＝fπ－8或－1＋a2＝fπ－8，即1＋a2＝sinπ－4＋acosπ－4，或－1＋a2＝sinπ－4＋acosπ－4.解之得a＝－1.应选D.答案：D评析：此题给出了四种不同的解法，充分利用函数图象的对称性的特征来解题．解法一是运用了方程思想或恒等式思想求解．解法二是利用了数形结合的思想求解，抓住f(m＋x)＝f(m－x)的图象关于直线＝m对称的性质，取特殊值来求出待定系数a的值．解法三利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴是方程xωxππkπ＋2－φπ＋φ＝kπ＋2(k∈Z)的解x＝ω(k∈Z)，然后将x＝－8代入求出相的φ，再求a的．解法四利ππ用称的特殊性，在此函数f(x)取最大或最小．于是有f－8＝[f(x)]max或f－8＝[f(x)]min.从而化解方程，体了方程思想．由此可，本体了丰富的数学思想方法，要从多种解法中悟出其西．模块二——填空题二、填空：(把正确答案填在后的横上．)π7．(2021福·建)函数f(x)＝3sinωx－6(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的象的称完全相同．假设π，f(x)的取范是________．x∈0，2解析：∵f(x)与g(x)的象的称完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)ππππ5π13≤3，即f(x)＝3sin2x－6，∵≤2x－≤≤sin2x－61，∴－≤3sin2x－6 0≤x≤2，∴－666，∴－22的取范，3.答案：－3，318．函数y＝cos2πx的象位于y 右所有的称中心从左依次A1，A2，⋯，An，⋯.A50的坐是________．解析：称中心横坐x＝2k＋1，k≥0且k∈N，令k＝49即可得．答案：(99,0)9．把函数y＝cosx＋π的象向左平移m个位(m>0)，所得象关于y称，m的最小是3________．解析：由y＝cos(x＋πππ3＋m)的象关于y称，所以3＋m＝kπ，k∈Z，m＝kπ－3，当k＝1，m最2小3π.答案：2π310．定义集合A，B的积A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．集合M＝{x|0≤x≤2π}，N＝{y|cosx≤y≤1}，那么M×N所对应的图形的面积为________．解析：如下图阴影面积可分割补形为ABCD的面积即BC×CD＝π·2＝2π.答案：2π模块三——解答题三、解答题：(写出证明过程或推演步骤．) 11．假设方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解x1、x2，求a的取值范围，并求x1＋x2的值．分析：设函数y1＝3sinx＋cosx，y2＝a，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，应用数形结合解答即可．解：设f(x)＝π3 sinx ＋cosx ＝2sin x＋6，x∈[0,2．π]π令x＋6＝t，那么f(t)＝2sint，且t∈π6，13π6 .在同一平面直角坐标系中作出y＝2sint及y＝a的图象，从图中可以看出当1＜a＜2和－2＜a＜1时，两图象有两个交点，即方程3sinx＋cosx＝a在[0,2上π]有两个不同的实数解．当1＜a＜2时，t1＋t2＝π，ππ即x1＋6＋x2＋6＝π，2π∴x1＋x2＝3；当－2＜a＜1时，t1＋t2＝3π，ππ即x1＋6＋x2＋6＝3π，8πx1＋x2＝3.综上可得，a的取值范围是(1,2)∪(－2,1)．2π当a∈(1,2)时，x1＋x2＝3；8πa∈(－2,1)时，x1＋x2＝3.评析：此题从方程的角度考查了三角函数的图象和对称性，运用的主要思想方法有：函数与方程的思想、数形结合的思想及换元法．解答此题常见的错误是在换元时忽略新变量t的取值范围，仍把t当成在[0,2 π]中处理，从而出错．11πφ<π)，其图象过点π1＋φ(0<，12．(2021山·东)函数f(x)＝2sin2xsinφ＋cosxcosφ－2sin262.(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函2π数g(x)在0，4上的最大值和最小值．11π解：(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin＋φ(0<φ<π)，2211＋cos2x1所以f(x)＝2sin2xsinφ＋2cosφ－2cosφ1 12sin2xsinφ＋2cos2xcosφ12(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)1π2cos(2x－φ)，π1又函数图象过点6，2，11ππ所以2＝2cos2×6－φ，即cos3－φ＝1，π又0<φ<π，所以φ＝3.1π1(2)由(1)知f(x)＝2cos2x－3，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变，得1 2 3 4 56π到函数y ＝g(x)的象，可知g(x)＝f(2x)＝2cos4x －3，π4x∈[0，π]，因x∈0，4 ，所以ππ2π1因此4x － 3∈－3，3 ，故－ 2≤cos4x －3≤1. 所以y ＝g(x)在0，π114上的最大和最小分 2和－4.13.〔2021天津卷理〕在⊿ ABC 中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA求AB 的： (II) 求sin 2A 的4本小主要考正弦定理、余弦定理、同角三角函数的根本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基知，考根本运算能力。

数学2021年高考一轮复习解析三角函数知识点知识点总结

数学2021年高考一轮复习解析三角函数知识点知识点总结高中学习常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

以下是整理的解析三角函数知识点，请考生学习。

有些学生仍然在遇到三角函数题目的时候画直角三角形协助理解，这是十分危险的，也是我们所不提倡的。

三角函数的定义在引入了实数角和弧度制之后，已经发生了革命性的变化，sinA中的A不一定是一个锐角，也不一定是一个钝角，而是一个实数弧度制的角。

有了这样一个思维上的飞跃，三角函数就不再是三角形的一个附属产品(初中三角函数很多时候依附于相似三角形)，而是一个具有独立意义的函数表现形式。

既然三角函数作为一种函数意义的理解，那么，它的知识结构就可以完全和函数一章联系起来，函数的精髓，就在于图象，有了图象，就有了所有的性质。

对于三角函数，除了图象，单位圆作为辅助手段，也是非常有效就好像配方在二次函数中应用广泛是一个道理。

三角恒等变形部分，并无太多诀窍，从教学中可以看出，学生听懂公式都不难，应用起来比较熟练的都是那些做题比较多的同学。

题目做到一定程度，其实很容易发现，高一考察的三角恒等只有不多的几种题型，在课程与复习中，我们也会注重给学生总结三角恒等变形的统一论，把握住降次，辅助角和万能公式这些关键方法，一般的三角恒等迎刃而解。

关键是，一定要多做题。

解析三角函数知识点的内容就是这些，更多精彩内容请考生持续关注。

2021届高考(理)热点题型：三角函数与解三角形(含答案解析)

2021届高考（理）热点题型：三角函数与解三角形（含答案解析）三角函数与解三角形热点三角函数的图象与性质注意对基本三角函数y＝sinx，y＝cosx的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y＝asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解.十、【例1】已知函数f(x)＝sinx－23sin22.(1)求f(x)的最小正周期；2π??(2)求f(x)在区间?0，?上的最小值.3.（1）因为f（x）=SiNx+3cosx-3？π?＝ 2分钟？x＋？－三3??所以F（x）的最小正周期是2π。

2 π(2)解因为0≤x≤3，ππ所以3≤ x+3≤ ππ2π当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值.332π 2π?所以f(x)在区间?0，?上的最小值为f??＝－3.3.3.【相似问题的一般方法】求函数y=asin（ωx＋φ）＋B的循环模板和最大值第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝asin(ωx＋φ)＋h或y＝acos(ωx＋φ)＋h的形式；第二步：由t＝求最小正周期|ω| 2π第三步：确定f(x)的单调性；第四步：确定每个单调区间结束时的函数值；第五步：明确规范地表达结论.三【对点训练】设函数f(x)＝2－3sin2ωx－sinωxcosωx(ω＞0)，且y＝f(x)的π从图像的一个对称中心到最近对称轴的距离为4（1）Begω值；3π?? （2）在区间π中求f（x），2?上的最大值和最小值.?三解(1)f(x)＝2－3sin2ωx－sinωxcosωx1－cos2ωx13＝2－3－2sin2ωx2π?31?＝2cos2ωx－2sin2ωx＝sin？两个ωx-？。

3??π因为y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，故该函数的周期π t＝4×4＝π。

而且ω＞0，所以2π=π，所以ω＝一点二ωπ??（2）从（1），f（x）=sin？2x－？。

重难点专题13 导数与三角函数结合的解答题(原卷版) 备战2024年高考数学重难点突破

②当⩾0时，()⩾2 + 1 ― sin恒成立，求的取值范围．
【变式 2-1】3. （2021 秋·河北邯郸·高三统考开学考试）已知函数() =

e
― 2（ ∈ ）
（其中 ≈ 2.71828为自然对数的底数）.
（1）当 = 2时，判断函数()的单调性；
（2）若 > 1，证明() > cos对于任意的 ∈ [0, + ∞)恒成立.
∈ 0, π ．
2
(1)当 = 1时，讨论()的单调性；
(2)若() + sin < 0，求的取值范围．
4．
（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当0 < < 1时， ― 2 < sin < ；
（2）已知函数() = cos ― ln(1 ― 2)，若 = 0是()的极大值点，求 a 的取值范围．
证明：
（1）()在区间(0,)存在唯一极大值点；
（2）()有且仅有 2 个零点.
1
【变式 1-1】2. （2019 秋·安徽·高三校联考开学考试）已知函数() = cos + 42 ―1.

2 2
（1）证明：() ≤ 0， ∈ ― ,
；
（2）判断 = ()的零点个数，并给出证明过程.
题型 2 放缩法 ..................................................................................................................................2
题型 1 分段分析法
sin
2．
（2023·全国·统考高考真题）已知函数() = ― cos3, ∈ 0, π

2021年高考数学专题分类汇编：三角函数(含答案)

2021年高考数学专题分类汇编：三角函数一．选择题（共10小题）1．（2021•浙江）已知α，β，r是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于的个数的最大值是（）A．0B．1C．2D．32．（2021•甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'﹣CC'约为（）（≈1.732）A．346B．373C．446D．4733．（2021•乙卷）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣）的图像，则f（x）＝（）A．sin（﹣）B．sin（+）C．sin（2x﹣）D．sin（2x+）4．（2021•乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝（）A．+表高B．﹣表高C．+表距D．﹣表距5．（2021•甲卷）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝（）A．1B．C．D．36．（2021•新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）8．（2021•甲卷）若α∈（0，），tan2α＝，则tanα＝（）A．B．C．D．9．（2021•乙卷）函数f（x）＝sin+cos的最小正周期和最大值分别是（）A．3π和B．3π和2C．6π和D．6π和210．（2021•乙卷）cos2﹣cos2＝（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．（2021•浙江）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则＝．12．（2021•浙江）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝；cos∠MAC＝．13．（2021•甲卷）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则f（）＝．14．（2021•乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝．15．（2021•甲卷）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则满足条件（f（x）﹣f（﹣））（f（x）﹣f（））＞0的最小正整数x为．16．（2021•上海）已知θ＞0，存在实数φ，使得对任意n∈N*，cos（nθ+φ）＜，则θ的最小值是．三．解答题（共4小题）17．（2021•浙江）设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x﹣）在[0，]上的最大值．18．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin∠ABC＝a sin C．（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．19．（2021•上海）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C＝﹣．（1）若sin A＝2sin B，求b、c；（2）若cos（A）＝，求c．20．（2021•上海）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足|P A|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021•浙江）已知α，β，r是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于的个数的最大值是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由基本不等式可得：，，，三式相加，可得：，很明显sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα不可能均大于．取α＝30°，β＝60°，γ＝45°，则，则三式中大于的个数的最大值为2，故选：C．2．（2021•甲卷）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'﹣CC'约为（）（≈1.732）A．346B．373C．446D．473【解答】解：过C作CH⊥BB′于H，过B作BM⊥AA′于M，则∠BCH＝15°，BH＝100，∠ABM＝45°，CH＝C′B′，A′B′＝BM＝AM，BB′＝MA′，∠C′A′B′＝75°∴tan∠BCH＝tan15°＝tan（45°﹣30°）＝，sin75°＝sin（45°+30°）＝则在Rt△BCH中，CH＝＝100（2+），∴C′B′＝100（2+）在△A′B′C′中，由正弦定理知，A′B′＝＝100（+1），∴AM＝100（+1），∴AA′﹣CC′＝AM+BH＝100（+1）+100≈373，故选：B．3．（2021•乙卷）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣）的图像，则f（x）＝（）A．sin（﹣）B．sin（+）C．sin（2x﹣）D．sin（2x+）【解答】解：∵把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin（x﹣）的图像，∴把函数y＝sin（x﹣）的图像，向左平移个单位长度，得到y＝sin（x+﹣）＝sin（x+）的图像；再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得f（x）＝sin（x+）的图像．故选：B．4．（2021•乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝（）A．+表高B．﹣表高C．+表距D．﹣表距【解答】解：＝，＝，故＝，即＝，解得AE＝，AH＝AE+EH，故AB＝＝＝＝+DE＝+表高．故选：A．5．（2021•甲卷）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝（）A．1B．C．D．3【解答】解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，结合余弦定理，可得19＝a2+4−2×a×2×cos120°，即a2+2a−15＝0，解得a＝3 （a＝﹣5 舍去），所以BC＝3．故选：D．6．（2021•新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由题意可得：＝＝＝．故选：C．7．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）【解答】解：令，k∈Z．则，k∈Z．当k＝0时，x∈[，]，（0，）⊆[，]，故选：A．8．（2021•甲卷）若α∈（0，），tan2α＝，则tanα＝（）A．B．C．D．【解答】解：由tan2α＝，得，即，∵α∈（0，），∴cosα≠0，则2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin2α，解得sinα＝，则cosα＝＝，∴tanα＝．故选：A．9．（2021•乙卷）函数f（x）＝sin+cos的最小正周期和最大值分别是（）A．3π和B．3π和2C．6π和D．6π和2【解答】解：∵f（x）＝sin+cos＝sin（+），∴T＝＝6π．当sin（+）＝1时，函数f（x）取得最大值；∴函数f（x）的周期为6π，最大值．故选：C．10．（2021•乙卷）cos2﹣cos2＝（）A．B．C．D．【解答】解：法一、cos2﹣cos2＝＝＝．法二、cos2﹣cos2＝cos2﹣sin2＝cos＝．故选：D．二．填空题（共6小题）11．（2021•浙江）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则＝25．【解答】解：∵直角三角形直角边的长分别为3，4，∴直角三角形斜边的长为＝5，即大正方形的边长为5，∴S1＝52＝25，则小正方形的面积S2＝S1﹣S阴影＝25﹣4××3×4＝1，∴＝25．故答案为：25．12．（2021•浙江）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝2；cos∠MAC＝．【解答】解：在△ABM中：AM2＝BA2+BM2﹣2BA•BM cos60°，∴（2）2＝22+BM2﹣2×2•BM•，∴BM2﹣2BM﹣8＝0，解得：BM＝4或﹣2（舍去）．∵点M是BC中点，∴MC＝4，BC＝8，在△ABC中：AC2＝22+82﹣2×2×8cos60°＝52，∴AC＝2；在△AMC中：cos∠MAC＝＝．故答案为：2；．13．（2021•甲卷）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则f（）＝﹣．【解答】解：由图可知，f（x）的最小正周期T＝（﹣）＝π，所以ω＝＝2，因为f（）＝0，所以由五点作图法可得2×+φ＝，解得φ＝﹣，所以f（x）＝2cos（2x﹣），所以f（）＝2cos（2×﹣）＝﹣2cos＝﹣．故答案为：﹣．14．（2021•乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝2．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，∴ac sin B＝⇒ac×＝⇒ac＝4⇒a2+c2＝12，又cos B＝⇒＝⇒b＝2，（负值舍）故答案为：2．15．（2021•甲卷）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则满足条件（f（x）﹣f（﹣））（f（x）﹣f（））＞0的最小正整数x为2．【解答】解：由图像可得，即周期为π，∵，T＝π，∴，观察图像可知当，，，即x＝2时最小且满足题意，故答案为：2．16．（2021•上海）已知θ＞0，存在实数φ，使得对任意n∈N*，cos（nθ+φ）＜，则θ的最小值是．【解答】解：在单位圆中分析，由题意可得nθ+φ的终边要落在图中阴影部分区域（其中∠AOx＝∠BOx ＝），所以θ＞∠AOB＝，因为对任意n∈N*都成立，所以∈N*，即θ＝，k∈N*，同时θ＞，所以θ的最小值为．故答案为：．三．解答题（共4小题）17．（2021•浙江）设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x﹣）在[0，]上的最大值．【解答】解：函数f（x）＝sin x+cos x＝，（Ⅰ）函数y＝[f（x+）]2＝[2＝2cos2（x+）＝1+cos[2（x+）]＝1+cos（2x+）＝1﹣sin2x，则最小正周期为T＝；（Ⅱ）函数y＝f（x）f（x﹣）＝＝（sin x+cos x）sin x＝＝＝sin（2x﹣）+，因为x，所以2x﹣，所以当2x﹣，即x＝时，f（x）max＝1+．18．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin∠ABC＝a sin C．（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．【解答】解：（1）证明：由正弦定理知，，∴b＝2R sin∠ABC，c＝2R sin∠ACB，∵b2＝ac，∴b•2R sin∠ABC＝a•2R sin∠ACB，即b sin∠ABC＝a sin C，∵BD sin∠ABC＝a sin C．∴BD＝b；（2）由（1）知BD＝b，∵AD＝2DC，∴AD＝，DC＝，在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BDA＝＝＝，在△CBD中，由余弦定理知，cos∠BDC＝＝＝，∵∠BDA+∠BDC＝π，∴cos∠BDA+cos∠BDC＝0，即＝0，得11b2＝3c2+6a2，∵b2＝ac，∴3c2﹣11ac+6a2＝0，∴c＝3a或c＝，在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC＝＝，当c＝3a时，cos∠ABC＝＞1（舍）；当c＝时，cos∠ABC＝；综上所述，cos∠ABC＝．19．（2021•上海）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C＝﹣．（1）若sin A＝2sin B，求b、c；（2）若cos（A）＝，求c．【解答】解：（1）因为sin A＝2sin B，可得a＝2b，又a＝2，可得b＝1，由于cos C＝＝＝﹣，可得c＝．（2）因为cos（A）＝（cos A+sin A）＝，可得cos A+sin A＝，又cos2A+sin2A＝1，可解得cos A＝，sin A＝，或sin A＝，cos A＝，因为cos C＝﹣，可得sin C＝，tan C＝﹣，可得C为钝角，若sin A＝，cos A＝，可得tan A＝7，可得tan B＝﹣tan（A+C）＝＝＜0，可得B为钝角，这与C为钝角矛盾，舍去，所以sin A＝，由正弦定理，可得c＝．20．（2021•上海）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足|P A|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）【解答】解：（1）由题意可得a＝10，c＝20，所以b2＝300，所以双曲线的标准方程为﹣＝1，直线OP：y＝x，联立双曲线方程，可得x＝，y＝，即点P的坐标为（，）．（2）①|QA|﹣|QB|＝30，则a＝15，c＝20，所以b2＝175，双曲线方程为﹣＝1；②|QC|﹣|QD|＝10，则a＝5，c＝15，所以b2＝200，所以双曲线方程为﹣＝1，两双曲线方程联立，得Q（，），所以|OQ|≈19米，Q点位置北偏东66°．。

专题13—三角函数的图像与性质-近8年高考真题分类汇编—2022届高三数学一轮复习

专题13—三角函数的图像与性质考试说明：1、能画 sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图像，了解三角函数的周期性；2、理解正弦函数、余弦函数在区间[]0,2π上的性质，理解正切函数在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的单调性； 3、了解函数sin()y A x ωφ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωφ=+的图像，了解,,A ωφ对函数图像变化的影响；4、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。

高频考点：1、三角函数的图像及其变换；2、三角函数的性质；3、三角函数的最值及值域；4、三角函数图像与性质的综合应用。

三角函数的图象与性质是高考的必考点，多以选择题、填空题的形式考查，也常常与三角恒等变换综合以解答题形式出现或以解答题形式考查三角函数图像与性质的综合应用。

一、典例分析1．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数()7sin()6f x x π=-单调递增的区间是( )A ．(0,)2πB ．(2π，)π C ．3(,)2ππ D ．3(2π，2)π 分析：本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解．解答：解：令22262k x k πππππ-+-+，k Z ∈．则22233k xk ππππ-++，k Z ∈．当0k =时，[3x π∈-，2]3π， (0,)[23ππ⊆-，2]3π，故选：A ．点评：本题考查正弦函数单调性，是简单题．2．（2021•乙卷）函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是( )A ．3π和2B ．3π和2C ．6π和2D ．6π和2分析：化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．解答：解：()sin cos 2sin()3334x x x f x π=+=+，2613T ππ∴==．当sin()134x π+=时，函数()f x 取得最大值2；∴函数()f x 的周期为6π，最大值2．故选：C ．点评：本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（2020•新课标Ⅰ）设函数()cos()6f x x πω=+在[π-，]π的图象大致如图，则()f x 的最小正周期为( )A ．109πB ．76π C ．43π D ．32π 分析：由图象观察可得最小正周期小于139π，大于109π，排除A ，D ；再由4()09f π-=，求得ω，对照选项B ，C ，代入计算，即可得到结论．解答：解：由图象可得最小正周期小于413()99πππ--=，大于4102()99πππ⨯-=，排除A ，D ；由图象可得44()cos()0996f πππω-=-+=，即为4962k πππωπ-+=+，k Z ∈，(*) 若选B ，即有212776πωπ==，由4129762k ππππ-⨯+=+，可得k 不为整数，排除B ；若选C ，即有23423πωπ==，由439262k ππππ-⨯+=+，可得1k =-，成立．故选：C ．点评：本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数的周期的求法，运用排除法是迅速解题的关键，属于中档题．4.（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以2π为最小正周期且在区间(4π，)2π单调递增的是( )A ．()|cos2|f x x =B ．()|sin 2|f x x =C ．()cos ||f x x =D ．()sin ||f x x =分析：根据正弦函数，余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解．解答：解：()sin ||f x x =不是周期函数，可排除D 选项； ()cos ||f x x =的周期为2π，可排除C 选项； ()|sin 2|f x x =在4π处取得最大值，不可能在区间(4π，)2π单调递增，可排除B ．故选：A ．点评：本题主要考查了正弦函数，余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用，属于基础题．5．（2019•新课标Ⅲ）设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点； ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点； ③()f x 在(0,)10π单调递增；④ω的取值范围是12[5，29)10．其中所有正确结论的编号是( )A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【分析】依题意作出()sin()5f x x πω=+ 的图象，可判断①和②，根据()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点，可得5265πππωπ+<，解出ω，然后判断③是否正确即可得到答案．解答：解：依题意作出()sin()5f x x πω=+ 的图象如图，其中2m n π<，显然①正确，②错误；当[0x ∈，2]π时，[55x ππω+∈，2]5ππω+， ()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点，5265πππωπ∴+<，∴1229510ω<，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当(0,)10x π∈时，[55x ππω+∈，(2)]10ωπ+，若()f x 在(0,)10π单调递增，则(2)102ωππ+<，即3ω<， 1229510ω<，故③正确．故选：D ．点评：本题考查了三角函数的图象与性质，关键是数形结合的应用，属中档题． 6．（2018•新课标Ⅰ）已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则( ) A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4分析：首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦函数的性质求出结果．解答：解：函数22()2cos sin 2f x x x =-+ 22222cos sin 2sin 2cos x x x x =-++ 224cos sin x x =+ 23cos 1x =+cos21312x +=+ 3cos2522x =+，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为35422+=，故选：B ．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦型函数的性质的应用． 7．（2017•天津）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x R ∈，其中0ω>，||ϕπ<．若5()28f π=，11()08f π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则( ) A ．23ω=，12πϕ= B ．23ω=，1112πϕ=-C ．13ω=，1124πϕ=-D ．13ω=，724πϕ=分析：由题意求得4T ，再由周期公式求得ω，最后由若5()28f π=求得ϕ值．解答：解：由()f x 的最小正周期大于2π，得42T π>，又5()28f π=，11()08f π=，得11534884T πππ=-=， 3T π∴=，则23ππω=，即23ω=． 2()2sin()2sin()3f x x x ωϕϕ∴=+=+，由525()2sin()2838f ππϕ=⨯+=，得5sin()112πϕ+=． 52122k ππϕπ∴+=+，k Z ∈．取0k =，得12πϕπ=<．∴23ω=，12πϕ=．故选：A ．点评：本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查sin()y A x ωϕ=+型函数的性质，是中档题．8．（2016•新课标Ⅰ）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在(18π，5)36π上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5分析：根据已知可得ω为正奇数，且12ω，结合4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合()f x 在(18π，5)36π上单调，可得ω的最大值．解答：解：4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，∴2142n T π+=，即212()42n n N ππω+=∈ 即21()n n N ω=+∈即ω为正奇数，()f x 在(18π，5)36π上单调，则53618122T πππ-=，即26T ππω=，解得：12ω，当11ω=时，114k πϕπ-+=，k Z ∈， ||2πϕ，4πϕ∴=-，此时()f x 在(18π，5)36π不单调，不满足题意；当9ω=时，94k πϕπ-+=，k Z ∈， ||2πϕ，4πϕ∴=，此时()f x 在(18π，5)36π单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B ．点评：本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大． 9．（2015•新课标Ⅱ）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．分析：根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．解答：解：当04xπ时，tan BP x =，2224AP AB BP tan x =+=+，此时2()4tan f x tan x x =++，04xπ，此时单调递增，当P 在CD 边上运动时，344xππ且2x π≠时，如图所示，1tan tan()tan tan PQ POB POQ x POQ OQ OQπ∠=-∠==-∠=-=-， 1tan OQ x∴=-， 11tan PD AO OQ x ∴=-=+，11tan PC BO OQ x=+=-， 2211(1)1(1)1tan tan PA PB x x∴+=-+++ 当2x π=时，22PA PB +=当P 在AD 边上运动时，34x ππ，24tan PA PB tan x x ++，由对称性可知函数()f x 关于2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹为非线型，排除A ，C ，D ，故选：B ．点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出04x π时的解析式是解决本题的关键．10．（2019•浙江）设函数()sin f x x =，x R ∈．（Ⅰ）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．分析：（1）函数()f x θ+是偶函数，则()2k k Z πθπ=+∈，根据θ的范围可得结果；（2）化简函数得3)16y x π=-+，然后根据x 的范围求值域即可．解答：解：（1）由()sin f x x =，得 ()sin()f x x θθ+=+， ()f x θ+为偶函数，∴()2k k Z πθπ=+∈， [0θ∈，2)π，∴2πθ=或32πθ=，（2）22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 22sin ()sin ()124x x ππ=+++ 1cos(2)1cos(2)6222x x ππ-+-+=+11(cos2cos sin 2sin sin 2)266x x x ππ=---33sin 2214x x =+ 3)16x π=-+，x R ∈，∴sin(2)[1,1]6x π-∈-，∴333sin(2)1[1,1]2622y x π=-+∈-+， ∴函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域为：33[1,1]22-+．点评：本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属基础题．二、真题集训1．（2018•新课标Ⅲ）函数2tan ()1xf x tan x=+的最小正周期为( )A ．4π B ．2π C ．π D ．2π2．（2016•浙江）设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关3．（2015•新课标Ⅰ）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A ．1(4k π-，3)4k π+，k z ∈B ．1(24k π-，32)4k π+，k z ∈ C ．1(4k -，3)4k +，k z ∈ D ．1(24k -，32)4k +，k z ∈ 4．（2015•安徽）已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f （2）(2)(0)f f <-< B ．(0)f f <（2）(2)f <-C ．(2)(0)f f f -<<（2）D ．f （2）(0)(2)f f <<-5．（2014•全国）使函数()sin(2)f x x ϕ=+为偶函数的最小正数(ϕ= )A ．πB ．2π C ．4π D ．8π 6．（2014•新课标Ⅱ）设函数()3sinxf x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是( )A ．(-∞，6)(6-⋃，)+∞B ．(-∞，4)(4-⋃，)+∞C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞7．（2013•大纲版）已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论中不正确的是( ) A ．()y f x =的图象关于(,0)π中心对称B ．()y f x =的图象关于2x π=对称C ．()f x 的最大值为32D ．()f x 既是奇函数，又是周期函数8．（2012•全国）设0ω>，函数()sin cos f x x x ωω=在区间[6π-，]3π单调增加，则ω的最大值为( ) A ．32B ．54C ．43D ．349．（2011•辽宁）已知函数()tan()(0,||)2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图象如图，则()(24f π= )A ．23B 3C 3D ．2310．（2020•上海）已知函数()sin f x x ω=，0ω>．（1）()f x 的周期是4π，求ω，并求1()2f x =的解集；（2）已知1ω=，2()()3()()2g x f x x f x π=--，[0x ∈，]4π，求()g x 的值域．11．（2015•山东）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()02Af =，1a =，求ABC∆面积的最大值．真题集训答案1．解：函数222tan sin cos 1()sin 21cos sin 2x x x f x xtan x x x ===++的最小正周期为22ππ=，故选：C ．2．解：设函数2()sin sin f x x b x c =++，()f x ∴图象的纵坐标增加了c ，横坐标不变，故周期与c 无关，当0b =时，211()sin sin cos222f x x b x c x c =++=-++的最小正周期为22T ππ==，当0b ≠时，11()cos2sin 22f x x b x c =-+++，cos 2y x =的最小正周期为π，sin y b x =的最小正周期为2π，()f x ∴的最小正周期为2π，故()f x 的最小正周期与b 有关，故选：B ．3．解：由函数()cos()f x x ωφ=+的部分图象，可得函数的周期为2512()244πω=-=，ωπ∴=，()cos()f x x πφ=+．再根据函数的图象以及五点法作图，可得42ππφ+=，k z ∈，即4πφ=，()cos()4f x x ππ=+．由224k x k πππππ++，求得132244k x k -+，故()f x 的单调递减区间为1(24k -，32)4k +，k z ∈，故选：D ．4．解：依题意得，函数()f x 的周期为π， 0ω>，22πωπ∴==．又当23x π=时，函数()f x 取得最小值，232232k ππϕπ∴⨯+=+，k Z ∈，可解得：26k πϕπ=+，k Z ∈， ()sin(22)sin(2)66f x A x k A x πππ∴=++=+．(2)sin(4)sin(42)066f A A πππ∴-=-+=-+>． f （2）sin(4)06A π=+<， 5(0)sinsin066f A A ππ==>，又35422662πππππ>-+>>，而()sin f x A x =在区间(2π，3)2π是单调递减的，f ∴（2）(2)(0)f f <-<．故选：A ．5．解：函数()sin(2)f x x ϕ=+为偶函数， 2k πϕπ∴=+，k Z ∈，∴使函数()sin(2)f x x ϕ=+为偶函数的最小正数2πϕ=．故选：B ．6．解：由题意可得，0()f x =，即2x k mπππ=+，k z ∈，即0212k x m +=．再由22200[()]x f x m +<，即2203x m +<，即2203x m <-，即22221[]32k m m +⋅<-，即2212123443m k k >--，故24m >，求得2m >，或2m <-，故选：C ．7．解：对于A ，因为()cos()sin(22)cos sin 2f x x x x x πππ+=++=-， ()cos()sin(22)cos sin 2f x x x x x πππ-=--=，所以()()0f x f x ππ++-=，可得()y f x =的图象关于(,0)π中心对称，故A 正确；对于B ，因为()cos()sin(2)sin (sin 2)sin sin 222f x x x x x x x πππ+=++=--=，()cos()sin(2)sin sin 222f x x x x x πππ-=--=，所以()()22f x f x ππ+=-，可得()y f x =的图象关于直线2x π=对称，故B 正确；对于C ，化简得22()cos sin 22cos sin 2sin (1sin )f x x x x x x x ===-，令sin t x =，2()()2(1)f x g t t t ==-，11t -，2()2(1)g t t t =-的导数2()262(1)(1)g t t '=-=∴当(1,t ∈-时或t ∈1)时()0g t '<，函数()g t 为减函数；当(t ∈时()0g t '>，函数()g t 为增函数．因此函数()g t 的最大值为1t =-时或t =时的函数值，结合(1)0g g -=<=，可得()g t．由此可得()f x，故C 不正确；对于D ，因为()cos()sin(2)cos sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 是奇函数．因为(2)cos(2)sin(42)cos sin 2()f x x x x x f x πππ+=++==，所以2π为函数的一个周期，得()f x 为周期函数．可得()f x 既是奇函数，又是周期函数，得D 正确．综上所述，只有C 项不正确．故选：C ．8．解：0ω>，函数()sin cos f x x x ωω=在区间[6π-，]3π单调增加， 0ω>，函数1()sin cos sin 22f x x x x ωωω==，()f x ∴的增区间满足：22222k xk πππωπ-++，k Z ∈，解得44k kx ππππωωωω-++，k Z ∈，当0k =时，()f x 的增区间为[4πω-，]4πω，函数()sin cos f x x x ωω=在区间[6π-，]3π单调增加，∴4643ππωππω⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得3324ω-， ω∴的最大值为34．故选：D ．9．（解：由题意可知32()882T πππ=⨯-=，所以22πωπ==，函数的解析式为：()tan(2)f x A x ϕ=+，因为函数过3(8π，0)，可得：30tan()4A πϕ=+，又||2πϕ<，所以解得：4πϕ=，又图象经过(0,1)，可得：1tan 4A π=，所以：1A =，所以：()tan(2)4f x x π=+，则()tan()tan 241243f ππππ=+== 故选：B ．10．解：（1）由于()f x 的周期是4π，所以2142πωπ==，所以1()sin 2f x x =．令11sin 22x =，故1226x k ππ=+或526k ππ+，整理得43x k ππ=+或543x k ππ=+．故解集为{|43x x k ππ=+或543x k ππ=+，}k Z ∈．（2）由于1ω=，所以()sin f x x =．所以21cos 2111()sin )sin()22cos 2sin(2)222226x g x x x x x x x x ππ-=+--==-+=-+．由于[0x ∈，]4π，所以22663x πππ+． 1sin(2)126x π+，故11sin(2)62x π--+-，故1()02g x -．所以函数()g x 的值域为1[,0]2-．11．解：（Ⅰ）由题意可知，1cos(2)12()sin 222x f x x π++=-11sin 2sin 222xx -=-1sin 22x =-由22222k x k ππππ-+，k Z ∈可解得：44k x k ππππ-+，k Z ∈；由322222k x k ππππ++，k Z ∈可解得：344k x k ππππ++，k Z ∈；所以()f x 的单调递增区间是[4k ππ-，]4k ππ+，()k Z ∈；单调递减区间是：[4k ππ+，3]4k ππ+，()k Z ∈；（Ⅱ）由1()sin 022A f A =-=，可得1sin 2A =，由题意知A 为锐角，所以cos A =，由余弦定理2222cosa b c bc A =+-，可得：2212b c bc =+，即23bc +，且当b c =时等号成立．因此123sin 24S bcA +=，所以ABC ∆．。

2021年高考数学高考数学压轴题三角函数与解三角形多选题分类精编附解析

2021年高考数学高考数学压轴题三角函数与解三角形多选题分类精编附解析一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，sin 2sin B C =，有以下四个命题中正确的是（）A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．当A =2C 时，ABC 的周长为2+D ．当A =2C 时，若O 为ABC 的内心，则AOB 【答案】BCD 【分析】对于A ，利用勾股定理的逆定理判断；对于B ，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案；对于C ，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案对于D ，由已知条件可得ABC 为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得AOB 的面积【详解】对于A ，因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得，2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得3c =，所以A 错误；对于B ，以BC 的中点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(1,),(1,0)B C -，设(,)A m n ，因为2b c ==，化简得22516()39m n ++=，所以点A 在以5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆上运动，所以ABC 面积的最大值为1442233⨯⨯=，所以B 正确；对于C ，由A =2C ，可得3B C π=-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b cB C=，即2sin(3)sin c c C C π=-，所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=，因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以2B π=，6C π=，3A π=，因为2a =，所以2343,c b ==，所以ABC 的周长为223+，所以C 正确；对于D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且2B π=，6C π=，3A π=，2343,c b ==，所以ABC 的内切圆半径为123433212r ⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以AOB 的面积为1123331122333cr ⎛⎫-=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭所以D 正确，故选：BCD 【点睛】此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.2．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2πϕ≤）的图象与x 轴交于点,A B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，,||23OCB OA π∠==，221||3AD =.则下列说法正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为12B ．6πϕ=-C ．()f x 的最大值为163D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增【答案】ACD 【分析】由题意可得：3|sin |2A πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据221||AD =，可得方程22228(1)243A sin πϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ．判断出结论．【详解】由题意可得：||3||OB OC =，3sin 2A πϕω∴=+，sin(2)0ωϕ+=， (2,0)A ，(2B πω+，0)，(0,sin )C A ϕ，sin 1,22A D πϕω⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭， 2213AD =，222sin 281243A πϕω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，把|sin |(2)3A πϕω=+代入上式可得：2()2240ππωω-⨯-=，0>ω.解得6πω=，6πω∴=，可得周期212T ωπ==，sin()03πϕ∴+=，||2πϕ≤，解得3πϕ=-.可知：B 不对，3sin 263A π⎛⎫∴-=+ ⎪⎝⎭，0A >，解得163A =，函数16()sin()363f x x ππ=-，可知C 正确. ()14,17x ∈ 时，52,632x ππππ⎛⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得：函数()f x 在()14,17x ∈单调递增. 综上可得：ACD 正确.故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点,,B C D 的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.3．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（） A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍 B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABC 167D ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形【答案】ABD 【分析】对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2A π=，由此确定选项正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453cos 0256604A +-===>⨯⨯，16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，cos2cos A C =.0,022A C ππ<<<<，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由于0,0A B ππ<<<<，所以2A π=，故B 选项正确.对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<，sin 8C ==，设三角形ABC 外接圆半径为R，则2sin 2sin 7c cR R C C=⇒===，故C 选项错误.对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤，要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是2sin aR A=，而不是sin aR A =.4．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC满足sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC的面积ABC S =△，则下列结论正确的是（）A ．ABC 的周长为10+B ．ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列C ．ABC 的外接圆半径为3D ．ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =ABCS =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2C =，则π3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据2sin c R C =即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos 14B =，再根据cos 14B =求出CD 长，D 错误. 【详解】A 项：设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =设2a t =，3b t =，()0c t =>，因为ABCS =△，所以=解得2t =，则4a =，6b =，c =故ABC 的周长为10+A 正确；B 项：因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==，故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确；C 项：因为π3C =，所以sin 2C =，由正弦定理得2sin 3c R C ===，R =C 错误；D 项：由余弦定理得222cos2a c b B ac +-===在BCD △中4BC =，BD =由余弦定理得27cos 247B ==⨯⨯，解得19CD =，D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222cos 2a c b B ac+-=，考查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.5．如图，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a b =，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC 外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（）A ．ABC 是等边三角形B ．若23AC =A ，B ，C ，D 四点共圆 C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 533 【答案】AC 【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求sin B ，再利用a b =，可知ABC 为等边三角形，从而判断A ；利用四点A ，B ，C ，D 共圆，四边形对角互补，从而判断B ；设AC x =，0x >，在ADC 中，由余弦定理可得2106cos x D =-，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求ABCD S 四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，判断CD ．【详解】由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===， 3(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅，332sin ,sin B B =∴=， a b =，B 是等腰ABC 的底角，(0,)2B π∴∈，,3B ABC π∴=∴△是等边三角形，A 正确；B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补，由A 正确知21,cos 32D D π∠==-，但由于1,3,DC DA AC ===22211cos 232DC DA AC D DA DC +-===-≠-⋅⋅，∴B 不正确． C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-，(106cos )ABC S θθ∴=-=△， 3sin 2ADC S θ=△，3sin cos 222ABCADCABCD S S Sθθ∴=+=-+四边形，13(sin cos 2θθ=⋅-+，3sin()3πθ=-+(0,),sin()(3πθπθ∈∴-∈，3ABCD S <≤+四边形，∴C 正确，D 不正确；故选：AC.．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．6．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（） A ．AB AC →→⋅为定值B ．2210AC AB += C ．co 415s A << D ．BAD ∠的最大值为30【答案】ABD 【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确；对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos AA A∴≥-=-，解得3cos 5A ≥，故C 错误；对于D，2222213cos 4442c c BAD c c c +-+∠==≥=（当且仅当c =立），因为BAD ABD ∠<∠，所以(0,)2BAD π∠∈，又cos BAD ∠≥BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.7．函数()cos |cos |f x x x =+，x ∈R 是（） A ．最小正周期是π B ．区间[0，1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)()k Z ∈对称 D ．周期函数且图象有无数条对称轴【答案】BD 【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】2cos (22)22()30(22)22x k x k f x k x k ππππππππ⎧-+⎪⎪=⎨⎪+<≤+⎪⎩，则对应的图象如图：A 中由图象知函数的最小正周期为2π，故A 错误，B 中函数在[0,]2π上为减函数，故B 正确，C 中函数关于x k π=对称，故C 错误，D 中函数由无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确故正确的是B D 故选：BD【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．8．函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．1()2sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．若把()f x 的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得函数是奇函数 D ．函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称【答案】ACD 【分析】根据函数的图象求出函数的解析式，得选项A 正确；求出213263x πππ--得到函数在[],ππ-上不是增函数，得选项B 错误；求出图象变换后的解析式得到选项C 正确；求出函数的对称轴方程，得到选项D 正确. 【详解】 A, 如图所示：1732422T πππ=-=， 6T π∴=，∴2163πωπ==，(2)2f π=，∴2(2)2sin()23f ππϕ=+=，即2sin()13πϕ+=， ∴22()32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴2()6k k Z πϕπ=-∈，||ϕπ<，∴6πϕ=-，∴1()2sin()36f x x π=-，故选项A 正确；B, 把()y f x =的横坐标缩短为原来的23倍，纵坐标不变，得到的函数12sin()26y x π=-，[x π∈-，]π，∴213263x πππ--，∴12sin()26y x π=-在[π-，]π上不单调递增，故选项B 错误；C, 把()y f x =的图象向左平移2π个单位，则所得函数12sin[()]2sin 3223xy x ππ=-+=，是奇函数，故选项C 正确； D, 设1,,32,362x k k Z x k πππππ-=+∈∴=+当24k x π=-⇒=-，所以函数()y f x =的图象关于直线4x π=-对称，故选项D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三角函数的解析式，一般利用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式sin()y A wx k ，再求待定系数,,,A w k ，最值确定函数的,A k ,周期确定函数的w ,非平衡位置的点确定函数的φ.9．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确；对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.10．已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（） A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ，C ．当2ω=时，π2π()()125-<f f D ．若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤ 【答案】AD 【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则12ω=，故A 选项正确；对于B 选项，当1ω=时，()()tan 6f x x π=-，所以令,62k x k Z ππ-=∈，解得：,62k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心的坐标为()0()62k k ππ+∈Z ，，故B 选项错误；对于C 选项，当2ω=时，()()tan 26f x x π=-，()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦，()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125f f ->，故C 选项错误；对于D 选项，令,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，解得：233k k x ππππωωωω-+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π3π，上单调递增，所以33,23k k Z k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故203ω<≤，故D 选项正确.故选：AD 【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233T ππππω=≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.。

三角函数--2024年数学高考真题和模拟好题分类汇编(解析版)

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)=()A.-3mB.-m3C.m3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求cosα-β的值.【详解】因为cosα+β=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，而tanαtanβ=2，所以=12×2b×kb×sin A2+12×kb×b×sin A2，故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β=-3m，故选：A.2(新课标全国Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y=sin x的的最小正周期为T=2π，函数y=2sin3x-π6的最小正周期为T=2π3，所以在x∈0,2π上函数y=2sin3x-π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=()A.-1B.12C.1D.2【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A：当x∈-π8 ,π3时，2x-π3∈-7π12,π3，由函数y=sin x在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8 ,π3上不为单调递增，故A错误；对B：当x=5π6时，2x-π3=4π3，由x=4π3不是函数y=sin x的对称轴，故x=5π6不是f x 图象的对称轴，故B错误；对C：当x∈-π6 ,π4时，2x-π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,1 2，故C错误；对D：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y=sin2x+2×5π12-π3=sin2x+π2=cos2x，该函数关于y轴对称，故D正确.故选：D.8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由fπ4=1，得sinπ4ω+φ=22，又点π4,1及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2kπ,k∈Z，由f5π8=0，点5π8,0及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2kπ,k∈Z，联立解得ω=2，φ=-π4+2kπ,k∈Z，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f(x)=2sin2x-π4，若将函数f(x)的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y=sin2x-2θ-π4，则-2θ-π4=π2-kπ,k∈Z，而θ>0，因此θ=-3π8+kπ2,k∈N，所以当k=1时，θ取得最小值为π8 .故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

考点13 三角函数定义——2021年高考数学专题复习讲义附解析

考点13 三角函数定义【思维导图】【常见考法】考点一：终边相同的角1．终边在第二、四象限的角平分线上的角可表示为。

【答案】180135,k k Z ⋅︒+︒∈【解析】角的终边在第二象限的角平分线上，可表示为：13601352180135k k α=⋅︒+︒=⋅︒+︒，k Z ∈，角的终边在第四象限的角平分线上，可表示为：2360315(21)180135k k α=⋅︒+︒=+⋅︒+︒，k Z ∈．故当角的终边在第二、四象限的角平分线上时，可表示为：180135k α=⋅︒+︒，k Z ∈．2．下列各组角中，终边相同的角是。

A ．2k π与()2k k Z ππ+∈ B ．3±k ππ与()3k k Z π∈ C ．()21+k π与 ()()41k k Z π±∈ D ．6k ππ+与()6k k Z ππ±∈【答案】C【解析】对于A 选项，()2k k Z π∈表示2π的整数倍，()()2122k k k Z πππ++=∈表示2π的奇数倍，2k π与()2k k Z ππ+∈的终边不一定相同；对于B 选项，()()3133k k k Z πππ±±=∈，()31k k Z +∈表示除3余数为1的整数，()()31312k k k Z -=-+∈表示除3余数为2的整数，而()3k k Z π∈表示3π的整数倍，所以，,,33k x x k k Z x x k Z πππ⎧⎫⎧⎫=±∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则3±k ππ与()3k k Z π∈的终边不一定相同；对于C 选项，对于()41k π±，取1k k Z =∈得()()14141k k ππ±=±，对于()21+k π，取2k k Z =∈得()()22121k k ππ+=+，()()()()12121241214222k k k k k k ππππ+-+=-=-，()()()()1212124121422221k k k k k k ππππ--+=--=--均为2π的整数倍，则()21+k π与 ()()41k k Z π±∈的终边相同；对于D 选项，显然,,66x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=±∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则6k ππ+与()6k k Z ππ±∈的终边不一定相同.故选：C.3．已知集合|22,42k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是。

2021年高考数学的三角函数与解三角形多选题含解析

2021年高考数学的三角函数与解三角形多选题含解析一、三角函数与解三角形多选题1．设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（） A ．()20f >B ．()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π 【答案】ABD 【分析】由()23sin 22cos2f =+，结合3224ππ<<，可判定A 正确；作出函数2sin sin y x x =+的图象，可得函数()f x 的值域及单调性，可判定B 正确，C 不正确；结合函数的图象，可得()f x 在[]0,2π上的所有零点之和，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，可得()22sin 2sin 22cos23sin 22cos2f =++=+ 因为3224ππ<<，所以sin 2cos20>->，所以()20f >，所以A 正确；由3sin ,222sin sin ,sin ,222x k x k y x x k Z x k x k πππππππ≤≤+⎧=+=∈⎨-+≤≤+⎩，作出函数2sin sin y x x =+的图象，如图所示，可得函数()f x 是以2π为周期的周期函数，由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 在3(,)2ππ上单调递增，又由()f x 是以2π为周期的周期函数，可得函数()f x 在5(3,)2ππ--上单调递增，所以B 是正确的；由由函数2sin sin y x x =+的图象可知，函数()f x 的值域为[2cos 2,32cos 2]+，所以C 不正确；又由2223ππ<<，所以1cos 202-<<，则02cos21<-<，令()0f x =，可得2sin sin 2cos2x x +=-，由图象可知，函数()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π，所以D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题.2．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（）A ．2A =B ．点7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图像的一个对称中心 C ．6π=ϕ D ．直线3x π=是()f x 图像的一条对称轴【答案】ABD 【分析】由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可.【详解】因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A b =⎧⎨=⎩，故A 正确；()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2ϕ=.又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故C 错误；()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令23x k ππ+=，k ∈Z ，解得62πk πx =-+，k ∈Z ，所以()f x 图像的对称轴方程为62πk πx =-+，令1k =，则3x π=，D 正确；令232x k πππ+=+，k ∈Z ，解得122k x ππ=+，k ∈Z ，令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确.故选：ABD 【点睛】本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系数法求解.3．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间；对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点；对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭；由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误；对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.4．已知函数()cos f x x x =-，则下列说法正确的是（） A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()f x 在()0,2π上有且仅有1个最小值点 D ．()f x 的值域为[]1,2- 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断A 选项的正误；化简函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误；由()()f x f x π+=可得()f x 的周期为π，再在[]0,π上讨论函数()f x 的单调性、最值，可判断CD 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭62f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故A 错误；对于B 选项，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，27,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确；对于C 选项，()()()cos sin cos f x x x x x πππ+=+-+=--()cos x x f x =-=，所以π为函数()f x 的周期.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()min 01f x f ==-，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭ 由B 选项可知，函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()max 2f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭()()min1f x f π==-.所以，函数()f x 在()0,2π上有且只有1个最小值点，C 选项正确；对于D 选项，由C 选项可知，函数()f x 的值域为⎡-⎣，D 选项错误.故选：BC. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.5．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（）A ．::7:5:3sinA sinB sinC = B ．0AB AC ⋅>C ．若6c =，则ABC 的面积是D ．若8+=b c ，则ABC 【答案】ACD 【分析】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==，故选项A 正确；222222cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=222222.5 1.5 3.515028k k +-==-<，故选项B 不正确；若6c =，则4k =，所以14,10a b ==，所以222106141cos 21062A +-==-⨯⨯，所以3sin A =，故ABC 的面积是：113sin 610153222bc A =⨯⨯⨯=；故选项C 正确；若8+=b c ，则2k =，所以7,5,3a b c ===，所以2225371cos 2532A +-==-⨯⨯，所以3sin 2A =，则利用正弦定理得：ABC 的外接圆半径是：1732sin a A ⨯=，故选项D 正确；故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.6．如图，已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴交于点A ，B ，若7OB OA =，图象的一个最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．4πϕ=-B ．()f x 的最小正周期为4C ．()f x 一个单调增区间为24,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．()f x 图象的一个对称中心为5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BCD 【分析】先利用7OB OA =设0OA x =，得到点A 处坐标，结合周期公式解得选项A 错误，再利用最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭解出0x 得到周期，求得解析式，并利用代入验证法判断单调区间和对称中心，即判断选项BCD 正确. 【详解】由7OB OA =，设0OA x =，则07OB x =，06AB x =，选项A 中，点A ()0,0x 处，()0sin 0x ωϕ+=，则00x ωϕ+=，即0x ϕω=-，0612262T x AB ϕπωω-==⋅==，解得6πϕ=-，A 错误；选项B 中，依题意0004343D x x x x =+==，得013x =，故1,03A ⎛⎫⎪⎝⎭，最小正周期414433T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，B 正确；选项C 中，由24T πω==，得2πω=，结合最高点42,33D ⎛⎫⎪⎝⎭，知43A =，即()4sin 326f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当24,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,2622x ππππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个单调增区间，C 正确；选项D 中，53x =-时()5454sin sin 0332363f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，D 正确.故选：BCD. 【点睛】思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.7．已知4παπ≤≤，32ππβ≤≤，4sin 25α=，cos()10αβ+=-，则（）A ．cos α=B ．sin cos αα-=C ．34πβα-= D ．cos cos αβ= 【答案】BC 【分析】先根据4sin 25α=，判断角α的范围，再根据cos2α求cos α；根据平方关系，判断sin cos αα-的值；利用公式cos()cos[()2]βααβα-=+-求值，并根据角的范围判断角βα-的值；利用公式()cos βα+和()cos βα-，联合求cos cos αβ.【详解】 ①因为4παπ≤≤，所以222παπ≤≤，又4sin 205α=>，故有22παπ≤≤，42ππα≤≤，解出2231cos 22cos 1cos cos 55αααα=-=-⇒=⇒=，故A 错误； ②()21sin cos 1sin 25ααα-=-=，由①知：42ππα≤≤，所以sin cos αα>，所以sin cos 5αα-=，故B 正确； ③由①知：42ππα≤≤，而32ππβ≤≤，所以524παβπ≤+≤，又cos()010αβ+=-<，所以5342ππαβ≤+≤，解得sin()αβ+=所以34cos()cos[()2]1051052βααβα⎛⎫⎛⎫-=+-=--+-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为5342ππαβ≤+≤，22ππα-≤-≤-，所以4πβαπ≤-≤，有34πβα-=，故C 正确；④由cos()cos cos sin sin 1010αβαβαβ+=-⇒-=-，由③知，cos()cos cos sin sin 2βααβαβ-=+=-，两式联立得：cos cos 10αβ=-，故D 错误．故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值4sin 25α=，确定22παπ≤≤，且cos()010αβ+=-<，进一步确定5342ππαβ≤+≤，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.8．已知函数)()lg1( 2.7)x x f x x e e e -=+-+≈⋯，若不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--对任意R θ∈恒成立，则实数t 的可能取值为（）A ．1BC ．3D ．4【答案】CD 【分析】令)()lgx x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，可判断()g x 是奇函数且单调递增，不等式可变形可得(sin cos )(sin 2)g g t θθθ+<-，所以sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，换元法求出()h θ的最大值，()max t h θ>即可. 【详解】令)()lgx x g x x e e -=+-，则()()1f x g x =+，()g x 的定义域为R ，))()()lglgx x x x g x g x x e e x e e ---+=+-++-0=，所以()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，不等式(sin cos )2(sin 2)f f t θθθ+<--等价于[](sin cos )1(sin 2)1f f t θθθ+-<---，即(sin cos )(sin 2)(sin 2)g g t g t θθθθ+<--=-，当0x >时y x =单调递增，可得)lgy x =单调递增，x y e =单调递增，x y e -=单调递减，所以)()lgx x g x x e e -=+-在()0,∞+单调递增，又因为)()lg x x g x x e e -=+-为奇函数，所以)()lgx x g x x e e -=+-在R 上单调递增，所以sin cos sin 2t θθθ+<-，即sin cos sin 2t θθθ>++，令()sin cos sin 2h θθθθ=++，只需()max t h θ>，令sin cos m θθ⎡+=∈⎣，则21sin 2m θ=+，2sin 21m θ=-，所以()21h m m m =+-，对称轴为12m =-，所以m =()max 211h m ==，所以1t >可得实数t 的可能取值为3或4，故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()g x 奇函数且是增函数，将原不等式脱掉f 转化为函数恒成立问题.9．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2πϕ<），在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（）A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2π【答案】ABD 【分析】根据条件先求函数的解析式，对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可；对于B:根据函数的对称性进行判断；对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断；对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断. 【详解】因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上既无最大值，也无最小值，所以,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=，即函数的周期2233T ππ≥⨯=，即223ππω≥，则03ω<≤因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以06212ππ+=为函数的一条对称轴；则1223πππωϕωϕπ+=+=①② 由①②解得：=2=3πωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数的周期=T π. 对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π-==,则21x x -必为2π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π=-时，()sin 03f x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，B错误，可选B;对于C:当7,1212x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，322,2322x k k πππππ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是44T π=,故D 错误，可选D 故选:ABD 【点睛】（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.10．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（）A ．2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．(2021)1f π=C ．函数|()|y f x =为偶函数D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 【答案】AD 【分析】先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12x π=-时取得最大值求得ϕ，得到解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可. 【详解】由图象可知，2A =，5212122T πππ=+=，即2T ππω==,2ω=，由12x π=-时，()2sin 2212f x =πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭，即22,3=k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，A 正确；22(2021)2sin 22021=2sin =333f ππππ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭B 错误；由2()2sin 23y f x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是恒成立，故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误；由6x π=时，22sin 22sin 0663f =ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫⎪⎝⎭，是2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心，故,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可.。

2021年高考数学的三角函数与解三角形多选题及解析

2021年高考数学的三角函数与解三角形多选题及解析一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ．【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值，即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确；因为()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值，所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=，所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．2．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（） A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍 B ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABC外接圆半径为7D ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形【答案】ABD 【分析】对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2A π=，由此确定选项正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453cos 0256604A +-===>⨯⨯，16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，cos2cos A C =.0,022A C ππ<<<<，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由于0,0A B ππ<<<<，所以2A π=，故B 选项正确.对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<，sin 8C ==，设三角形ABC 外接圆半径为R，则2sin 2sin 7c cR R C C=⇒===，故C 选项错误.对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤，要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是2sin aR A=，而不是sin aR A =.3．在ABC 中，下列说法正确的是（）A ．若AB >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACD 【分析】A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减，此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>；若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->，于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<，此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.4．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=，对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos fθθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误；对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 2sin [1,2]4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，3cos 2θ=时，函数取得极大值31333222t =⨯+⨯⨯=，又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值33，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.5．（多选题）如图，设ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，、、A B C 成等差数列，D 是ABC 外一点，1,3DC DA ==，下列说法中，正确的是（）A ．3B π=B ．ABC 是等边三角形C ．若A B CD 、、、四点共圆，则13AC =D ．四边形ABCD 面积无最大值【答案】ABC 【分析】根据等差数列的性质和三角形内角和可得3B π=，根据等比中项和余弦定理可得a c =，即ABC 是等边三角形，若A B C D 、、、四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得23D π=，再利用余弦定理可求AC =211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+和2222cos AC AD CD AD CD D 可得3sin cos 3sin()22232S D D D π=-+=-+，从而求出最大面积. 【详解】由、、A B C 成等差数列可得，2A+C =B ，又A B C π++=，则3B π=，故A 正确；由a b c 、、成等比数列可得，2b ac =，根据余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，两式相减整理得，2()0a c -=，即a c =，又3B π=，所以，ABC 是等边三角形，故B 正确；若A B C D 、、、四点共圆，则B D π+=，所以，23D π=， ADC 中，根据余弦定理，2222cos AC AD CD AD CD D ，解得AC =C 正确；四边形ABCD 面积为：211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+23sin 2D AC = 又2222cos 106cos AC AD CD AD CD D D =+-⋅=-，所以，3sin 3sin()22232S D D D π=-+=-+，因为(0,)D π∈，当四边形面积最大时，sin()13D π-=，此时max 3S =，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查解三角形和平面几何的一些性质，同时考查了等差等比数列的基本知识，综合性强，尤其是求面积的最大值需要一定的运算，属难题.6．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（）A ．22sin 2sin 1y x =+B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =-D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD 【分析】对原式进行切化弦，整理可得：222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，结合因式分解代数式变形可得选项. 【详解】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=，整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+，即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=，即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确. 故选：CD 【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.7．设函数()sin 6f x M x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,0)M ω＞＞的周期是π，则下列叙述正确的有（）A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为MC ．()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心【答案】BCD 【分析】已知只有周期的条件，只能求出ω，其中M 未知；A 选项代值判定；B 选项由解析式可知；C 选项由()f x 的单调递减区间在32,2,22k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭上化简可得；D 选项由()f x 的对称中心为(),0,k k Z π∈化简可得. 【详解】由题可知2T ππω==，解得2ω=，即()sin 26f x M x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当0x =时，()0sin 20sin 662Mf M M ππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，故选项A 错误；因为()sin 26f x M x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以最大值为M ，故选项B 正确；由解析式可知()f x 在3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 即2,63x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦上单调递减，当0k =时，选项C 正确；由解析式可知()f x 的对称中心的横坐标满足26x k ππ+=，即212k x ππ=- 当1k =时，512x π=，对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查()()sin f x A x =+ωϕ型三角函数的性质，其中涉及最值、对称轴、对称中心，属于较难题.8．已知函数()2sin()05,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（） A ．函数()f x 的图象关于原点对称 B ．函数()f x 的最小正周期为π C ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①.2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=，则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.9．已知函数()1cos cos 632f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为12【答案】ABC 【分析】利用三角恒等变换思想化简()11sin 2232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】cos cos sin 3266x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确；对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32232x πππ≤+≤，此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确；对于C 选项，5151111sin 2sin 262632222f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确；对于D 选项，()max 111122f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．10．已知函数()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f xC ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称【答案】BD 【分析】首先要熟悉()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象和性质，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，并判断选项.【详解】由题意，将()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的最小正周期为2π，故A 错误；函数()f x B 正确；函数()f x 的图象是由()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，所以不是中心对称图形，故C 错误；由7012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知D 正确，故选：BD .【点睛】思路点睛：要判断函数()f x 的性质，需先了解函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，并且知道函数()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，函数的周期变为原来的一半，()g x 的对称轴和对称中心都是函数()f x 的对称轴.。

2021年高考数学考点汇总考点13 三角函数的图象与性质(含解析)

2021年高考数学考点汇总考点13 三角函数的图象与性质（含解析）一、选择题1.（xx · 湖南高考理科·Ｔ9）已知函数则函数的图象的一条对称轴是( )A ．B ．C ．D ．【解题提示】利用函数图象的平移和对称性求解。

【解析】选A.由于得到的对称中心为，所以，，所以，所以的图象的一条对称轴是。

2.（xx ·福建高考文科·Ｔ7）7．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（） ()()()() (32).-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期是的图象关于直线对称的图象关于点，对称【解题指南】将函数y =sin x 的图象向左平移个单位, 得到函数．然后结合三角函数的图象性质进行判断．【解析】D.将函数y =sin x 的图象向左平移个单位, 得到函数．该函数是偶函数，故A 错；周期为，故B 错；该函数图象的对称轴为，故C 错；对称中心为，故D 正确．3.（xx ·辽宁高考文科·Ｔ11）与（xx ·辽宁高考理科·Ｔ9）相同将函数的图象向右平移个单位长度,所的图象对应的函数在区间上单调递减在区间上单调递增在区间上单调递减在区间上单调递增【解题提示】结合图象平移的原则得到新函数的解析式，利用正弦函数的单调区间求解新函数的单调区间【解析】选Ｂ.函数的图象向右平移个单位长度,所的图象对应的函数为23sin(2())3sin(2)233y x y x πππ=-+⇒=-．由得即的增区间为当时，为可见在区间上单调递增；由得而不论取何整数值，得到的减区间都不包含区间，故只有选项（Ｂ）正确．4.(xx ·陕西高考文科·T2)函数f(x)=cos 错误！未找到引用源。

的最小正周期是 ( )A.错误！未找到引用源。

2021年高考数学母题题源系列专题13 三角函数性质的综合应用文(含解析)

2021年高考数学母题题源系列专题13 三角函数性质的综合应用文（含解析）【母题来源】xx 天津卷文-14【母题原题】已知函数,,若函数在区间内单调递增,且函数的图像关于直线对称,则的值为．【答案】【考点定位】本题主要考查三角函数的单调性、对称性.【试题解析】因为的递增区间长度为半个周期,所以由在区间内单调递增, 可得,所以 ,又的图像关于直线对称, ,且()()2222πππsin cos sin 12π442f k k ωωωωω⎛⎫=+=⇒+=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭Z ,由可得,【命题意图】本题主要考查三角函数性质的综合应用及分析问题解决问题的能力. 【方法、技巧、规律】奇偶性、单调性、周期性是三角函数的重要性质,有关结论课本上都有,不再一一指出.除此之外,对称性也是三角函数的重要性质,由于课本对此总结较少,学生比较生疏,故这这里总结几点,供参考： 1.的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,其对称轴是直线,其对称中心是； 2. 的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,其对称轴是直线,其对称中心是； 3. 的图像不是轴对称图形,是中心对称图形,其对称中心是；4. 的图像既是轴对称图形,又是中心对称图形,图像关于直线对称的充要条件是,图像关于点对称的充要条件是.【探源、变式、扩展】下面以一个题组对此问题进行扩展：【扩展】已知.1.若图像关于直线对称,求实数的最小值；2.若存在,使得在是单调函数,求实数ω的取值范围；3. 若对任意,在上的值域为,求实数ω的取值范围；4. 若对任意,,且在上至少有50个零点,求实数ω的取值范围. 【解析】1. ()πsin cos 2sin 4f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,若图像关于直线对称,则,即,又,所以的最小值是.2. 若存在,使得在是单调函数, ,所以,即ω的取值范围时.3. 在任意长度为一个周期的闭区间上的值域均为,若对任意,在上的值域为,应满足T ≤1,即≤1,解得ω≥2,故实数ω的取值范围是.4.由题意可知是最大值,设的最小正周期为,在区间上的第一个零点是,第50个零点是,所以,即ω的取值范围.1.【xx 安徽涡县】已知函数在区间上至少取得2次最大值,则正整数的最小值是________．【答案】82.【xx 江西上高】已知函数在上单调递增,在上单调递减,则．【答案】．3.【xx江西吉安】设函数图象的一条对称轴是直线,则__________.【答案】4.【xx江苏无锡】将函数的图像向左平移个单位长度后,所得的图像关于轴对称,则的最小值是【答案】5.【xx上海闸北区】设函数,若存在同时满足以下条件：①对任意的,都有成立；②,则的取值范围是．【答案】6.【xx湖北咸宁】若函数的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为,则＝________________；【答案】3【解析】∵函数f（x）的最大值为3,∴A+1=3,即A=2；7.【xx 浙江湖州】已知,函数在上单调递减．则的取值范围是 . 【答案】8.【xx 河南安阳】已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,且在区间有最小值,无最大值,则＝__________．【答案】.9.【xx 甘肃嘉峪关】函数(ω＞0),把函数的图象向右平移个单位长度,所得图象的一条对称轴方程是x ＝,则ω的最小值是 . 【答案】2.10.【xx湖北长阳】已知函数f(x)＝2sinωx（ω＞0）在区间[－,]上的最小值为－2,则ω的取值范围是．【答案】[,＋∞).30270 763E 瘾29292 726C 牬40093 9C9D 鲝39646 9ADE 髞35628 8B2C 謬{37776 9390 鎐?20085 4E75 乵1b"25443 6363 捣38753 9761 靡p。

(2021年整理)三角函数部分高考题(带答案)

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22．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=．(Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a Bb Ac -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； (Ⅱ)由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34。

23。

在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．(Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△,求BC 的长．解:（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =，由4cos 5C =，得3sin 5C =．所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=． ········· 5分（Ⅱ)由332ABC S =△得133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=，由(Ⅰ)知33sin 65A =,故65AB AC ⨯=， ······················· 8分又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11sin 2AB A BC C ⨯==．··················· 10分24。