10刚体3.jsp

1 2 J ml 3
1 l 2 0 0 2 J mg 2 sin
mg

B端的加速度： 3 at l g cos an l2 3 g sin 2 3 2 2 a B at an g cos 2 4 sin2 2 10
3g sin l
fB
fA
tA
tB
2 fA 2 fB mA mB
fA mA 1 f B mB 2
8
例.现有质量相同，厚度相同的铁质和木质圆板各一个。 令其各自绕通过圆板中心且与圆板垂直的光滑轴转动。 设其角速度也相同。某时刻起两者受到同样大小的阻 力矩，问：哪种质料的圆板先停止转动？ 解： 由转动定律： M J
or R
r
R
at r
at R
6
（2）用一根绳连接两个或多个刚体 同一根绳上各点的速度相同， 加速度也相同。 A B C D a A aB aC aD a
M2 o2 R 2
B
C
o1R 1 M1
R
J 球 J 剩 J 小球
a
J 剩 J 球 J 小球
J球 2 2 MR 5
2 2 2 [ m a m ( R a) ] 5

J 小球
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匀质直棒与单摆 小球的质量相等 两者共面共转轴
水 平 静 止 释 放
静 悬
满足什么条件时，小球（视为 质点）摆至铅垂位置与棒弹碰而小 球恰好静止。直棒起摆角速度

1 2
1
§3-5 进动
进动——高速自转的刚体的轴在空间转动的现象. 陀螺进动问题
v v M L，
角动量定理
v 则 L只改变方向
dL M dt v v dL L
不改变大小。 自旋的物体在外力矩作用下， 沿外力矩方向改变其角动量。
2
v dL
dL M dt v dL L sin dQ
成因
具有角动量并在 外力矩作用下
具有动量并在 外力作用下
共同点 两因素互相垂直
两因素相互垂直
动量改变方向， 作圆周运动
4
结果
角动量改变方向， 自旋轴转动
习题课
（刚体定轴转动部分）
5
注意以下几个问题 ！
(1) 粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）
它们的角速度和角加速度均相同，
盘边缘的线速度和切向加速度不同。 如图，在r处: 在R处：
R1 2 R2
21
11
一力学系统由两个质点组成，它们之间只有引力 作用。若两质点所受外力的矢量和为零，则此系 统中（C）。 （A）动量、机械能以及对一轴的角动量都守恒； (B)动量、机械能守恒，但角动量是否守恒还不能 断定； (C)动量守恒，但机械能和角动量是否守恒还不能 断定； (D)动量和角动量守恒，但机械能是否守恒还不能 断定。
13
例.如图，匀质圆盘M静止，有一粘土块m从高h处下落 ，与圆盘粘在一起。已知M=2m,θ=60˚；求碰撞后瞬间圆 盘的ω0=? P转到x轴时圆盘的ω=? =? 解：m下落 1 m mgh m 2 v 2 gh 1 2 y 碰撞 t 极短，对 m +盘系统，冲力远 h 大于重力，故重力对O力矩可忽略，角 P 动量守恒： x mvR cos J 0 2 o 1 M J MR2 mR 2 2mR 2 3 2 2 gh 由1 ~ 3得： 0 cos 4 2R
1 2 d mR kR4 dt 2 dt 2kR2 2 2 t d 2kR t d 2kR m dt 0 dt 0e 0 m m
19
M 4kr dr kR
3
4
R
dr
0
例.半径为R的均匀细圆环，可绕通过环上O点且垂直于 环面的水平光滑轴在竖直平面内转动，若环最初静止时 直径OA沿水平方向(如图所示)。环由此位置下摆，求A 到达最低位置时的速度
12
关于角动量有如下四种说法，其中正确的是（ ）。 B （A） 质点系的总动量为零，总角动量一定为零； （B） 一质点作直线运动，相对于直线上的任一点， 质点的角动量一定为零； （C） 一质点作直线运动，质点的角动量一定不变； （D） 一质点作匀速率圆周运动，其动量方向在不断 改变，所以角动量的方向也随之不断改变。
T1
R o m4
T2
滑轮转动的切向加速度是 a
T2
m m T2 g a 2 2 mg T1 ma 1 1 2 a (T1 T2 ) R J mR mRa 8 R 8
T1
v
m 2
m
mg
m g 2
4 a g 13
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例：如图。大球体被挖去 一个小球，求剩余部分的 转动惯量(对如图所示的轴)
dQ：进动的角位移
则M v dL dt L sin d Q dt
v L
v M
dQ 进动角速度 dt M L sin
进动角速度
M L sin
M J sin
进动 3
实际上，转动中的进动现象相当于平动中的匀 速圆周运动，类比如下： 类比 刚体的进动 质点匀速圆周运动

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y
P转到x轴时圆盘的ω=? =?
m
P
o

M

对M、m、地球系统，机械能守恒 令 P和x轴重合时，E p 0 1 1 2 2 J0 mgR sin J 5 x 则：
2 由3 ~ 5得：
2
,
o
M
R
gh g 2 cos sin 2 2R R 1 g h 4 3R 2R 2
7
例. 如图，转轮A、B可分别独立地绕O轴转动。
A、B轮的质量分别为 m A 10 kg 和m B 20kg ， 半径分别为 A和rB。现用力f A和f B分别拉系在轮上 r 的细绳且使绳与轮间无 滑动。为使A、B两轮边缘
处切向加速度相同相应的拉力 A、f B 之比为多少？ , f 解：A、B滑轮视为两个刚体 rB M fr 2f o a t r r r rA 1 J m mr 2 2 a a
解：以环、地球为系统，系统机械能守恒 1 J 2 MgR 0 设O点为势能零点 2
O
A
J J c MR 2
R
MR 2 MR 2 2MR 2
A
g R A 2 R 2 gR
20
20
例、在半径为R1,质量为m的静止水平圆盘上，站一 质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖 直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为R2的 圆周匀速地走动时，设它相对于圆盘的速度为v，问 圆盘将以多大的角速度旋转？ 解： 设圆盘的角速度为 人走动前后角动量守恒 v 人相对于地面的角速度： R2 系统的角动量： J J L 1 v 2 2 mR1 mR2 ( ) 0 2 R2 2 R2 2 v 2
对摆球、直棒系统
小球下摆阶段 弹碰阶段 角动量守恒
弹碰 忽略摩擦
弹碰过程能量守恒
联立解得
0.577
1.861
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例、质量为m，半径为R的圆盘，可绕过盘中心且垂直 于盘面的轴转动，在转动过程中单位面积所受空气的阻 力为 f kv， t 0 时，圆盘的角速度为 0 。求盘在 任意时刻的速度 (t ) 解：取半径为r宽为dr的圆带 dM 2r f ( 2rdr ) 4kvr2dr o 4kr 3dr r 由转动定律： J d M
M M m, M相同， 1 J mR 2 2 2 铁 R木 2 1 铁 木 木 R铁
由题意，初始时刻的角速度相同 因此，铁圆板先停
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例.如图，一均匀细棒AB长为l ,质量为m，A端挂在一 光滑的水平轴上使之可以在竖直平面内自由摆动。今 将棒拉成水平，然后松手让它下落。求棒下摆 角时 的角速度、角加速度及B端的加速度的大小。 解： 由机械能守恒定律求角速度： 系统：棒、地球 A B 势能零点
60
0


mg
P和x轴重合时，由转动定律 M mgR g M J 2 J 2mR 2R
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例、一轻绳绕过一半径为R，质量为m/4的滑轮。质量为 m的人抓住了绳的一端，在绳的另一端系一个质量为m/2 的重物，如图所示。求当人相对于绳匀速上爬时，重物 上升的加速度是多少？ 设重物上升的加速度是 a 解: 则人相对于地面的加速度是 a
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A
m2
m1
两滑轮的线速度相同，等于绳的速度 R11 R2 2 两滑轮的切向加速度相同，等于绳的加速度R11 R2 2 a
两个圆盘的角速度和角加速度不相等。 1 2 1 跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等；
2
TA TB
TC TD
但 TB TC
dL d ( J ) 刚体对定轴的角动量定理 M J dt dt 刚体对定轴的角动量守恒定律 M 0 J 常数
复习上一次课的内容
力矩的功 A
Md
0

刚体的转动动能 E k J 2 刚体的转动的动能定理
1 1 2 A Md J 2 J12 0 2 2
d 3 g cos dt 2l
例 关于力矩有以下几种说法，其中正确的是（ ）。 （A）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零。
A
（B）内力矩会改变刚体对某个定轴的角动量。
（C）角速度的方向一定与外力矩的方向相同。 （D）质量相等、形状和大小不同的两个刚体，在相 同力矩的作用下，它们的角加速度一定相等。